Matematică, clasa a VII-a. Caiet de activități (2)

Matematică

Matematică – clasa a 7-a. Caiet de activități

Copyright © 2021 Grup Media Litera Toate drepturile rezervate

Editura Litera tel.: 0374 82 66 35; 021 319 63 90; 031 425 16 19 e‑mail: Redactor:Editor:www.litera.rocontact@litera.roVidrașcușifiiiGabrielaNiță.Carmen

Birta Corector: Carmen Bîtlan Copertă: Vlad Panfilov Tehnoredactare: Banu Gheorghe

Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României Matematică – clasa a VII a : caiet de activităţi / Dorin Linţ, Maranda Linţ, Mariana Mitea, Lucian Piţu. Bucureşti : Litera, 2020 ISBN 978 606 33 6678 9

I. Linț, Dorin

II. Linţ, Maranda

III. Mitea, Mariana

IV. Piţu, Lucian Nicolae 51

1. MULȚIMEA NUMERELOR REALE

1.1. Rădăcina pătrată a pătratului unui număr natural. rădăcina pătrată a unui număr rațional pozitiv. Estimarea rădăcinii pătrate a unui număr rațional pozitiv 8

A. Rădăcina pătrată a pătratului unui număr natural 9

B. Rădăcina pătrată a pătratului unui număr rațional pozitiv 11

C. Estimarea rădăcinii pătrate a unui număr rațional pozitiv 13

1.2. Numere iraționale. Mulțimea numerelor reale. Incluziunile 15

1.3. Scoaterea factorilor de sub radical. Introducerea factorilor sub radical 17

A. Scoaterea factorilor de sub radical 17

B. Introducerea factorilor sub radical 18

1.4. Reprezentarea numerelor reale pe axa numerelor, prin aproximări. Compararea și ordonarea numerelor reale. Modulul unui număr real 19

A. Reprezentarea numerelor reale pe axa numerelor, prin aproximări 20

B. Compararea și ordonarea numerelor reale 21

C. Modulul unui număr real 22 1.5. Operații cu numere reale. Raționalizarea numitorilor de forma ab 23

A. Adunarea numerelor reale 24

B. Înmulțirea numerelor reale 26

C. Ridicarea la putere a unui număr real 27

D. Raționalizarea numitorilor de forma ab 28

E. Ordinea efectuării operațiilor cu numere reale 29 1.6. Media aritmetică ponderată a n numere reale, n ≥ 2. Media geometrică a două numere reale pozitive 32

A. Media aritmetică ponderată a n numere reale, ,2nn∈≥  32

B. Media geometrică a două numere reale pozitive 34

1.7. Ecuații de forma x2 = a, unde a este un număr real 35

2. ECUAȚII ȘI SISTEME DE ECUAȚII LINIARE 37

2.1. Transformarea unei egalități într-o egalitate echivalentă. Identități 37

2.2. Ecuații de forma a · x + b = 0, unde a și b sunt numere reale. Ecuații reductibile la ecuații de această formă 38

2.3. Sisteme de două ecuații liniare cu două necunoscute. Rezolvarea prin metoda substituției și/sau prin metoda reducerii 41

A. Sisteme de două ecuații liniare cu două necunoscute 42

B. Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare prin metoda substituției sau/și metoda reducerii 42

2.4. Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor sau al sistemelor de ecuații liniare 45

3. ELEMENTE DE ORGANIZARE A DATELOR

3.1. Produsul cartezian a două mulțimi nevide. Sistem de axe ortogonale în plan 49

A. Produsul cartezian a două mulțimi nevide 50

B. Sistem de axe ortogonale 50

3.2. Dependențe funcționale 52

4. PATRULATERE 55

4.1. Patrulater convex. Suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex 55

4.2. Paralelogramul. Proprietăți. Aplicații ale paralelogramului în geometria triunghiului 57

A. Paralelogramul. Proprietăți 57

B. Aplicații ale paralelogramului în geometria triunghiului 60

4.3. Paralelograme particulare: dreptunghi, romb, pătrat 61

A. Dreptunghiul 62

B. Rombul 65

C. Pătratul 67

4.4. Trapezul. Clasificare, proprietăți, linia mijlocie a unui trapez 69

A. Trapezul. Clasificare, proprietăți 69

B. Linia mijlocie a unui trapez 73

4.5. Perimetre și arii 74

5. CERCUL 77

5.1. Unghi înscris în cerc. Tangente dintr-un punct exterior la un cerc 77

A. Arce și coarde 77

B. Unghi la centru 79

C. Unghi înscris în cerc 80

D. Tangente dintr-un punct exterior la un cerc 81

5.2. Poligoane regulate înscrise în cerc 83

5.3. Lungimea cercului și aria discului 85

6. ASEMĂNAREA TRIUNGHIURILOR 87

6.1. Segmente proporționale. Teorema paralelelor echidistante 87

A. Segmente proporționale 87

B. Teorema paralelelor echidistante 88

6.2. Teorema lui Thales. Reciproca teoremei lui Thales. Împărțirea unui segment în părți proporționale cu numere date 89

A. Teorema lui Thales 89

B. Reciproca teoremei lui Thales 91

C. Împărțirea unui segment în părți proporționale cu numere date 92

6.3. Triunghiuri asemenea. Teorema fundamentală a asemănării, criterii de asemănare 93

A. Triunghiuri asemenea 94

B. Teorema fundamentală a asemănării 95

C. Criterii de asemănare 96

7. RELAȚII METRICE ÎN TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC 99

7.1. Proiecții ortogonale pe o dreaptă. Teorema înălțimii. Teorema catetei 99

A. Proiecții ortogonale pe o dreaptă 99

B. Teorema înălțimii 100

C. Teorema catetei 101

7.2. Teorema lui Pitagora. Reciproca teoremei lui Pitagora 102

A. Teorema lui Pitagora 102

B. Reciproca teoremei lui Pitagora 103

7.3. Noțiuni de trigonometrie în triunghiul dreptunghic 104

7.4. Rezolvarea triunghiului dreptunghic. Aplicații 106

A. Rezolvarea triunghiului dreptunghic 107

B. Aplicații ale triunghiului dreptunghic în determinarea unor elemente ale poligoanelor regulate 108

RECAPITULARE FINALĂ ȘI PROBLEME DE SINTEZĂ 111

Lucrare scrisă la matematică semestrul I (model) 115

Lucrare scrisă la matematică semestrul al II-lea (model) 119

INDICAȚII ȘI RĂSPUNSURI 123

Recapitularea materiei din clasa a VI-a prin teste

RECAPITULAREA MATERIEI DIN CLASA A VI-A, PRIN TESTE

TESTUL 1

Citiți cu atenție enunțurile, faceți raționamentele, efectuați calculele Alegeținecesare.varianta corectă de răspuns. Numai un răspuns este corect.

Alegeți varianta corectă de răspuns. Numai un răspuns este corect. ABCD

5 p 1. Calculând 22 – 222 + 202 – 2002, se obține: – 1900 – 2000– 2002– 2020

5 p 2. Dacă 3 x y + = + , atunci x · y – 6 este: – 2– 3– 4– 5

5 p 3. Un stilou costă 40 lei. După o scumpire cu 10% va costa: 45 lei44 lei42 lei50 lei

5 p 4. Dacă 6 muncitori construiesc un zid în 4 zile, atunci 4 muncitori vor construi un zid de aceleași dimensiuni în: 5 zile6 zile7 zile8 zile

5 p 5. Soluția ecuației 6 · (x + 6) + 4 = – 4 · (x – 4) – 6 este: – 3– 2– 4– 1

5 p 6. Un unghi al triunghiului ABC are măsura egală cu media aritmetică a măsurilor celorlalte unghiuri. Măsura acestuia este: 50° 60° 90° 40

5 p 7. Mulțimea Ax x  | 5 4 este: {5, 9}{1, 5, 9}{1, 9}{1, 5}

5 p 8. Dreptele a și b sunt paralele și c este o secantă. Numărul x este: E x + 49° F 94° ba c 47° 45 41 37°

5 p 5 p 5 p 5 p 10 p 10 p 10 p

9. Raportul numerelor x și y este 2 3 . Aflați numerele știind că 3 · x + 7 · y = 216. Fie numărul A = 7 · 3x – 3x+1 + 3x+2, x ∈ ℕ

a) Aflați numărul A pentru x = 1 și x = 2. Arătați că A este divizibil cu 13, oricare ar fi x ∈ ℕ. c) Determinați numărul x pentru este număr În triunghiul bisectoarea unghiului Arătați triunghiul este isoscel. Dacă = 67° CDE = 69°, calculați măsurile unghiurilor triunghiului Triunghiul dreptunghic, N = 90°, = 2 ∢P și = 20 cm. Calculați perimetrul punctul fiind mijlocul segmentului acordă 10 puncte din oficiu.

Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a

TESTUL 2

Citiți cu atenție enunțurile, faceți raționamentele și efectuați calculele necesare.

Alegeți varianta corectă de răspuns. Numai un răspuns este corect. A BCD

5 p 1. Mulțimea {1, 3, 4, 7}∩{x∈ℕ| 3 < x < 9} este: {3, 4, 7, 8}{3, 4, 7}{3, 4}{4, 7}

5 p 2. Dacă ()721 325 x = + , atunci x este egal cu: 81828384

5 p 3. Un telefon costă 520 lei. După o reducere de 30 % , noul preț va fi: 345 lei346 lei364 lei354 lei

5 p 4. Calculând [– 5·4 + (– 8)·2]:6 + 10, se obține: 5 4 7 3 5 p 5. Scris ca fracție zecimală, numărul 10555 :2: 3234  +−  este: 1,31,41,51,6

5 p 6. Complementul unghiului cu măsura de 53° are măsura: 47° 37° 127° 137°

5 p 7. Media aritmetică a numerelor 1,23; 2,34 și 3,45 este: 3,333,343,353,36

5 p 8. Triunghiul ABC este dreptunghic, ∢A = 90°, AB = 4 cm, AC = 3 cm. Perimetrul triunghiului ABC este: 12 cm15 cm16 cm10 cm

5 p 10 p 5 p 10 p 10 p 10 p

9. Un automobil s-a deplasat timp de două ore cu viteza de 80 km/h și, timp de o oră, cu viteza de 90 km/h. Calculați viteza medie cu care s-a deplasat automobilul.

10. Suma numerelor a și b este 63.

a) Aflați numerele știind că sunt direct proporționale cu 3 și 4. b) Aflați numerele știind că sunt invers proporționale cu 3 și 4.

11. ABC este un triunghi echilateral. Se prelungește latura BC cu CD ≡ BC.

a) Aflați măsurile unghiurilor triunghiului ABD b) Dacă E este mijlocul segmentului AD, demonstrați că CE ∥ AB.

12. În triunghiul ABC, ∢A = 90° , ∢B = 60°, iar AD este înălțime a triunghiului, D ∈ BC. Demonstrați că DC = 3 · BD.

Se acordă 10 puncte din oficiu.

Citiți cu atenție enunțurile, faceți raționamentele și efectuați calculele necesare.

Recapitularea materiei din clasa a VI-a prin teste

Alegeți varianta corectă de răspuns. Numai un răspuns este corect. ABCD

5 p 1. Cel mai mare dintre numerele a = –3,31, b = –3,32, c = 10 3 , d = 33 10 , este: abcd

5 p 2. a b = 0125, și a b este o fracție ordinară ireductibilă. Atunci a + b = 8 910 11

5 p 3. Opusul numărului –3 – (–33) – (–333) este: 300330333363

5 p 4. Calculând 4631121 75252125  −++−++   , se obține: 02–23

5 p 5. 40% dintre elevii unei clase sunt băieți. Dacă în clasă sunt 30 de elevi, numărul fetelor este: 16181719

5 p 6. Un triunghi isoscel cu un unghi de 150° are celelalte unghiuri de măsură: 10° 15° 20 30

5 p 7. Suplementul unghiului de măsură 82°, are măsura de: 108°8 98 102

9. Fie numărul a 1 2 025 1 3 0037 23 :,:, () Aflați numărul a și stabiliți dacă este pozitiv, negativ sau nul.

10. Media aritmetică a numerelor a și b este 3, iar unul dintre ele este cu 1,5 mai mare decât celălalt. a) Aflați cele două numere. b) Arătați că 117 10ab +> .

11. Punctul D aparține laturii AC a triunghiului ABC, BD ≡ DC și ∢BAC ≡ ∢ABD. a) Demonstrați că triunghiul ABC este dreptunghic. b) Dacă ∢ADB = 56°, calculați măsurile unghiurilor triunghiului ABC.

5 p 8. În triunghiul ABC, ∢A = 90°, AD este înălțime, AM este mediană, D, M ∈BC și BD ≡ DM. Dacă MC = 4 cm, atunci AB = 4 cm6 cm8 cm2 cm 10 p 10 p 5 p 10 p 5 p 10 p

12. În triunghiul DEF, ∢E = ∢F = 30°, iar M este simetricul punctului E față de dreapta DF. Demonstrați că triunghiul MEF este echilateral.

Se acordă 10 puncte din oficiu.

1. MULȚIMEA NUMERELOR REALE

1.1. Rădăcina pătrată a pătratului unui număr natural. Rădăcina pătrată a unui număr rațional pozitiv. Estimarea rădăcinii pătrate a unui număr rațional pozitiv

Breviar teoretic

Definiție

Dacă x este pătrat perfect, atunci numărul natural n cu proprietatea x = n2 se numește rădăcina pătrată a numărului x sau radicalul de ordin 2 al numărului x Se notează xn = .

 2 xnxn =⇔= , unde x ∈ ℕ este pătrat perfect și n ∈ ℕ .

 ;,0 xx xyxy y yy ⋅=⋅=≠ , unde x, y ∈ ℕ sunt pătrate perfecte.

 2 nn = , pentru orice n ∈ ℕ.

Definiție

Dacă x este pătratul unui număr rațional, atunci numărul rațional pozitiv a cu proprietatea x = a2 se numește rădăcina pătrată a numărului x sau radicalul numărului x. Vom scrie xa =

 Oricare ar fi numerele x și y, pătrate ale unor numere raționale, y ≠ 0, avem: xyxy ⋅=⋅ și xxyy = .

 Pentru orice număr rațional x ≥ 0 , există rădăcina pătrată x .

 Pentru 0a ≥ avem xa = dacă și numai dacă 2 xa =

 2 aa = , oricare ar fi a ∈  .

Estimarea este o evaluare a unei cantități, având uneori date incomplete sau insuficiente. Dacă pentru efectuarea unui calcul folosim aproximări ale numerelor care intervin, atunci vom obține o estimare a rezultatului corect.

 Dacă () 221, nxnn≤<+∈  , atunci 1nxn≤<+ .

 Dacă 210 n y x = cu y, n ∈ ℕ, atunci 10ynx =

Mulțimea numerelor reale

1 Scrieți numerele 16, 49, 196, 256, 529, 900, 1024, 1225, 1600, 3969, 10000 ca pătrate ale unor numere naturale și determinați rădăcina pătrată a acestora, după modelul: n 1649196256529900 n = a2 42 4 n 102412251600396910000 = a2

2 Se consideră următoarele numere naturale: 46, 81, 136, 317, 324, 441, 500, 625, 841, 1000, 1296, 2222, 7056. Alegeți dintre acestea doar pătratele perfecte și determinați rădăcina pătrată a fiecăruia. Scrieți rezultatele într un tabel precum cel din problema precedentă.

3 Calculați: () 222 4,25,64,289,27,123,19

4 Scrieți numerele 46510 ; 21023 ; () 6423 ; 246357 ; 100802:2 ; () 2001883:3 ca pătrate per fecte, apoi găsiți rădăcina pătrată a fiecăruia, după modelul:

6 Stabiliți valoarea de adevăr pentru fiecare propoziție. Scrieți A, în căsuța corespunzătoare din tabel, dacă propoziția este adevărată și F dacă propoziția este falsă. Propoziția A/F p1: 10010 = p2: 22111 = p3: 73222 p4: 2 aa = oricare ar fi numărul natural p5: 2 bb = , oricare ar fi numărul întreg b p6: 3399 p7: () 2 55 p8: () 2 66 p9: () 2 1717 p10: ()() () 242 2323

7 Descompuneți în factori și scrieți rădăcina pătrată a fiecăruia dintre numerele: 441; 5184; 11664; 50625; 10 · 2 · 53; 63 · 25 · 3; 12 · 313; 14 · 22 · n – 1 · 74 · m + 3, n, m ∈ ℕ. 8 Calculați: a) 676784302510404 1232118225104976 5127 37 182 94 2 22 101033 Calculați: 121361;400169;144225289

Matematică

10 Efectuați calculele necesare și încercuiți, pentru fiecare radical, rezultatul corect: Numărul a)b)c) 36 = 61872 32 9– 33 36222 8 25 24 7 481621215 644856

11 a) Determinați valorile numărului natural n pentru care 7 n este număr natural. b) Determinați valorile numărului natural m pentru care 361m este număr natural.

12 Determinați numărul natural n pentru fiecare din situațiile:

a) n2 = 16; b) n2 = 784 c) n4 = 256; d) n4 = 312.

13 Determinați numărul întreg m știind că: a) m2 = 25 și m > 0; b) m2 = 225 și m < 0 c) m2 = 289; d) m4 – 219 = 219.

14 Determinați numărul întreg p pentru care: a) 15p = b) 27p = c) 321p −= d) 3731 p ⋅+=

15 Efectuați calculele:

a) 6436 + b) 14481 c) 92493169 d) ( )49216196900 e) ( ) 400:2563241 f) () 1444:1400181718

16 Camera Soniei are formă dreptunghiulară, cu dimensiunile de 6 m și 4 m. Podeaua camerei este acoperită complet cu parchet, format din plăci pătratice cu latura de ab cm. Aflați dimensiunile unei plăci de parchet. Câte soluții are problema?

17 Efectuați calculele:

a) 2422 + b) 2442 2323 ⋅−⋅

c) () () () 224 357 −−−+− d) ()()25 412450 ⋅+⋅−⋅−

e) () () 2 36416:1016281  

f) () ()2 361225:5:3

18 Completați spațiile punctate cu unul dintre semnele „=” sau „≠”, așa încât să obțineți propoziții adevărate: a) 342234 ++ b) 13121312 22 c) 33220330 ++ d) 27 220270 e) 72472224 ++ f) 682268

g) 68 24 68 2224 2++ ++ h) 25151225156 22 2

19 Se consideră mulțimea M = {1, 2, 3, …, 500}. Determinați mulțimile: A = {x ∈ M | x = a2, a ∈ ℤ}, By yx xA|, și Cz zB z|,  5 .

20 Calculați latura unui pătrat cu aria de 1024 cm2

21 Un pătrat magic este format din 1296 de pătrățele. Aflați numărul pătrățelelor situate pe „un rând” al pătratului magic.

Mulțimea numerelor reale

B Rădăcina pătrată a pătratului unui număr rațional pozitiv

1 Scrieți în tabel următorele numere ca pătrate ale unor numere raționale și găsiți rădăcina pătrată a fiecăruia, după model: n 9 4 0,04 81 25 1,21 100 169 n = a2 32 2  ()0,22 n 3 20,2 n 10,244,41 324 6259729 23,040,0225 n = a2 n

2 Se consideră următoarele numere raționale: 1 9 ; 64 199 ; 75,69; 12,34; 1961 ; 436 ; 0,36; 625 125 ; – 0,25; 4,3; 441 144 ; 5,0625; 20,19. Alegeți dintre aceste numere doar pe cele care sunt pătrate ale unor numere raționale și determinați rădăcina pătrată a fiecăruia. Scrieți rezultatele într-un tabel precum cel din problema precedentă.

3 Calculați: 4 49 1 400 0642 ;;56 ,; ,; 4 3 10 31 7 2 4 2 ;, ;, .

4 Scrieți numerele: 3,24; 576 25 ; 1,96; 900 121 ; 0,0001; 2 2211 ; 34 : 52; 56,25; 363100108 12;2:2 , ca pătrate ale unor numere raționale, apoi extrageți rădăcina pătrată, după modelul: 3,24 = 1,82 576

5 a) Determinați valorile numărului natural n pentru care 12 2 n este număr natural.

b) Determinați valorile numărului natural m pentru care 304 m este număr rațional.

6 Fie x și y pătratele unor numere raționale nenule.

a) Folosind formula xyxy ⋅=⋅ , calculați: 0,6481 ⋅ ; 0,012025 ⋅ ; 14 95 ; () 32 274

b) Folosind formula xxyy = , calculați: 81 289 ; ()0,4 ; 187 9 ; 14,4 4,9 ; 2,5:0,4 ; 45 80

7 Stabiliți valoarea de adevăr a propozițiilor. Completați în tabel A, dacă propoziția este adevărată și F, dacă propoziția este falsă. Propoziția A/F p1: 11 497 = p2: 42 2525 = p3: 2 bbaa =  , oricare ar fi numerele naturale nenule a și b p4: 2 ddcc =  , oricare ar fi numerele întregi nenule c și d p5: 0,040,2 =− p6: () 2 0,10,01−= p7: 0,000001103 = p8: 0,10,90,36 ⋅= p9: () 4 3,13,1−=− p10: 30111 42 =

8 Calculați:

a) 11 49 + ; b) 0,160,25 + ; c) 11 64144 + ; d) 164 281 ⋅ .

9 Calculați și încercuiți răspunsul corect: Numărul a)b)c) 36 169 = 6

12 Efectuați calculele:

a) 6 4 2 3 ; b) 18425 ; c) 22 22 912 1216 + + ; d) 22 22 2520 4527 ; e) 11 9742 94 ⋅+⋅

f) () 49 0,50,3 121484 ⋅+⋅

13 Calculați:

a) 225 1,442,890,04 100 +−+ b) 1 6,250,0576 2 ++ c) 7,840,011,690,259,613,24 ++−++

10 Calculați: 17645475614641 ;; 98014356366025 .

11 Calculați: a) 756,25 ; b) 2134,44 ; c) 2756,25 ; d) 0,01 ; e) 0,0144 ; f) 0,000289 .

13 Arătați că numărul n = 1 + 2 + 3 +4 + 5 + 6 + 7 + 8 ∙ 9 este pătrat perfect. Calculați 189+n .

14 Arătați că numărul n = 1 + 3 + 5 + … + 29 este pătrat perfect. Calculați n .

C Estimarea rădăcinii pătrate a unui număr rațional pozitiv

1 Pentru fiecare element a al mulțimii

A = { }50,99,325,901 , determinați cel mai mare număr întreg, mai mic decât a.

2 Pentru fiecare element b al mulțimii

B = { }34,77,450,1000 , determinați cel mai mic număr întreg, mai mare decât b

3 Determinați:

a) cel mai mic număr natural a mai mare decât 200 b) cel mai mare număr natural b mai mic decât 300 .

4 Un parc din orașul X se poate traversa pe aleile AC, respectiv CE.

BCA DE

Știind că ABDE este dreptunghi și că CD = 75 m, iar AB = BC = 50 m, aproximați lungimea fiecărei alei, apoi estimați printr-un număr natural, în metri, lungimea traseului AC – CE.

5 Încadrați între două numere întregi consecutive următoarele numere: 7 ; 90 ; 56 ; 1234 ; 700 .

6 Determinați numărul întreg n, pentru fiecare din situațiile:

a) n < 23 < n + 1; b) n < 234 < n + 1 c) – n – 1 < 789 < –n; d) n < 159 ++ < n + 1.

Mulțimea numerelor reale

7 Determinați numărul întreg m, pentru fiecare din situațiile:

a) m < 4 9 < m + 1; b) m < 144 49 < m + 1;

c) –m < 900 121 < –m + 1.

8 Determinați mulțimile:

A = { }|57xx∈<<  ;

B = { }|32xx ∈−<−<−  ;

C = { }2 |44111xx∈<< 

D = { }2 |2222xx ∈−<<  .

9 Sara a cumpărat de la librărie un vocabular cu 3,95 lei, un compas cu 7,15 lei și două gume de șters cu 2,35 lei bucata. Estimați, printr-un număr natural, suma, în lei, necesară pentru toate cumpărăturile.

10 Completați spațiile libere astfel încât să obțineți propoziții adevărate.

a) Pentru n ∈ ℕ, cel mai mic număr natural c, astfel încât n = c și n > 27,8 este … .

b) Pentru m ∈ ℕ, cel mai mare număr natural d, astfel încât m = d și m < 84 este … .

11 Un pătrat are aria a cm2. Pentru fiecare dintre valorile a ∈ {2; 60; 525}, estimați perimetrul pătratului, exprimând rezultatul printr-un număr natural, în centimetri, apoi în milimetri.

12 Dreptunghiul cu dimensiunile 80 mm și 150 mm are aria egală cu cea a unui pătrat. Estimați, în centimetri, printr-un număr natural, perimetrul pătratului.

13 Calculați:

a) 3664 + ; b) 36006400 + .

Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a

14 Stabiliți valoarea de adevăr a propozițiilor:

p1: „ 200 = 15”

p2: „ 200 < 15”

p3: „ 7 ≤ 3”

p4: „–9 ≥ – 80 ”

p5: „1 < 2 < 3 < 4 ”

p6: „70 ≥ 4800 ≥ 3900 > 60.”

15 Fără a efectua toate calculele, copiați pe caiete și completați răspunsul corect:

a) 360000640000 + = …; b) 3600...006400...00 + RST 12 0 RST 12 cifre 0 = … .

16 Aproximați, la cel mai apropiat întreg, radicalii din coloana A, apoi asociați fiecărui număr care numește radicalul scris în coloana A, litera corespunzătoare răspunsului corect, scris în coloana B.

A B 1. 400 2. 500 3. 600 4. 700 a. 19 b. 20 c. 21 d. 22 e. 23 f. 24 g. 25 h. 26

17 În figura de mai jos, este reprezentată o rețea de pătrate cu latura de 1 cm. Arătați că:

A B C

a) AB > 5,3 cm b) AC < 9 cm;

c) PABC > 18 cm.

5.1.CERCULUnghiînscris

Breviar teoretic

în cerc. Tangente dintr-un punct exterior la un cerc

 În același cerc sau în cercuri congruente, la coarde congruente corespund arce congruente.

 În același cerc sau în cercuri congruente, la arce congruente corespund coarde congruente.

 Perpendiculara dusă din centrul cercului pe o coardă împarte corda și arcele formate de ea în câte două părți congruente.

 Dreapta care unește centrul cercului cu mijlocul coardei este perpendiculară pe coardă.

 Două coarde ale unui cerc sunt congruente dacă și numai dacă sunt egal depărtate de centrul cercului.

 Două coarde ale aceluiași cerc, cuprinse între drepte paralele, sunt congruente.

Se numește unghi la centru un unghi care are vârful în centrul cercului.

Măsura unui unghi la centru este egală cu măsura arcului subîntins (arcul determinat de laturile unghiului și situat în interiorul acestuia).

Se numește unghi înscris în cerc un unghi care are vârful pe cerc, iar laturile sale sunt coarde ale cercului. Măsura unui unghi înscris în cerc este egală cu jumătate din măsura arcului de cerc subîntins de laturile

Unsale.unghi

înscris în cerc care subîntinde un semicerc (sau un diametru) este un unghi drept.

 O dreaptă este tangentă la un cerc dacă și numai dacă este perpendiculară pe raza cercului, în punctul de intersecție al dreptei cu cercul (numit punct de tangență).

 Prin orice punct A, exterior unui cerc C(O, r), se pot construi două tangente la acest cerc. Segmentele determinate de punctul A și punctele de tangență sunt congruente.

A Arce și coarde

1 Dacă trapezul ABCD, cu AB ∥ CD, are vârfurile pe un cerc, arătați că este trapez isoscel.

2 Se consideră punctele A, B, C, D, E, F ∈ C (O, r), în această ordine, astfel încât AD ∥ BC și CF ∥ DE. Arătați că AB = EF. C D

3 Se consideră punctele

A, B, C, D, E, F ∈ C(O, r), în această ordine, astfel încât ABEF  = și BC = DE. Arătați că AC = DF.

4 Se consideră punctele

A, B, C, D, E, F ∈ C (O, r), în această ordine, astfel încât

AB ∥ FC și AE = BD. Arătați că FE = CD DE

Culegere de matematică clasa a VII-a

5 Fie punctele A, B, C, D ∈ C(O, r), în acestă ordine, astfel încât

AB = CD. Arătați că AC = BD.

6 Se consideră punctele A, B, C, D, E, F ∈ C (O, r), în această ordine, astfel încât

AB ∥ FC, iar CE și FD sunt Arătațidiametre.că AE = BD.

7 Fie AB și AC coarde în cercul cu centru O, iar D și E sunt mijloacele coardelor.

a) Dacă ∢BAC = 75° calculați ∢DOE

b) Dacă OD = OE arătați că BD = CE.

c) Dacă ∢BAC = 90° și raza cercului este r = 2 cm, calculați DE.

8 Perpendiculara dusă din O pe coarda AB intersectează coarda în E și arcul AB  în L. Dacă E este mijlocul segmentului OL, atunci:

a) arătați că ALBO este romb.

b) calculați măsura unghiului ∢OAL. A L O B E

11 Se consideră punctele A, B, C, D ∈ C(O, r), în această ordine, cu ADBC =

A B C E D

a) Arătați că AC = BD.

b) Arătați că ΔACD ≡ ΔBDC

c) Dacă {E} = AC ∩ BD arătați că EC = ED și EA = EB

d) Arătați că AB ∥ CD

12 Se consideră punctele A, B, C, D ∈ C (O, r), în această ordine, cu AC = BD. Perpendicularele duse din centrul cercului pe coardele AC și BD intersectează arcele AC  și BD  în E respectiv F. Arătați că FCBE = A B O EC D F

13 Fie E și F picioarele perpendicularelor duse din centrul unui cerc pe coardele AB respectiv BC. Arătați că EF ∥ AC

9 Perpendicularele duse din centrul cercului pe coardele AB și BC intersectează arcele AB  și BC  în D respectiv E. Dacă DBE  = 110°, calculați AC  A B O C D E

14 În figura de mai jos, punctele A, B, C, D sunt situate pe cercul cu centrul O astfel încât ADBC   = .

O A B CD FE

a) Arătați că ∆ OAD ≡ ∆ OBC.

10 Se consideră paralelogramul ABCD având vârfurile situate pe C (O, r). Arătați că ABCD este dreptunghi.

b) Fie OE ⊥ AB, E ∈ AB și OF ⊥ CD, F ∈ CD Arătați că O, E, F sunt puncte coliniare.

c) Arătați că AB ∥ CD .

A CB D A B CF DE O A B C D E O

B Unghi la centru

1 Se consideră punctele A, B, C, D, E, F ∈ C(O, r), în această ordine, astfel încât AB = CD = EF și BC = ED = AF. Arătați că ∢AOC = 120° și ΔACE este echilateral.

2 Se consideră punctele A, B, C, D ∈ C(O, r), în această ordine, astfel încât AB este diametru, ∢ABC = 60° și ADBC   = . Arătați că ΔDOC este echilateral. A B C O D

3 Se consideră punctele A, B, C, D ∈ C(O, r), în această ordine, astfel încât AB este diametru, ∢ABC = 70° și CD  = 100° Arătați că AD = BC.

4 Fie punctele A, B, C, D ∈ C(O, r), în acestă ordine, cu AC  < 90°, B este mijlocul arcului mic AC  , iar D este mijlocul arcului mare AB  Dacă AD CD = 30° arătați că ∆OAC este echilateral.

5 Se consideră punctele A, B, C, D ∈ C(O, 8), în această ordine, astfel încât AB este diametru AD = BC și ∢ABC = 75° .

a) Calculați măsura arcelor BC  și CD  .

b) Calculați distanța de la B la OC

c) Fie punctul E pe cerc astfel ca BE || OD. Arătați că OE ⊥ OC

6 Fie punctele A, B, C, D ∈ C(O, r), în această ordine și M, N mijloacele coardelor AB, respectiv CD Dacă AB CD   = și AEDE = , arătați că OE ⊥ MN.

7 Se consideră punctele A, B, C, D ∈ C (O, r), în această ordine și {E} = AC ∩ BD. Dacă OE este bisectoarea unghiului ∢BOC arătați că AC = BD. O A BC D E A B CF DE A B C D O A D E O B C O D A E M N

RECAPITULARE FINALĂ ȘI PROBLEME DE SINTEZĂ

1 Completați litera A, dacă propoziția este adevărată și litera F, dacă propoziția este PropozițiaA/Ffalsă: 48 ∈ (ℝ – ℚ) 12,906147 ∈ ℚ 91 7 −∉  () 2210 −⋅−∈ 

2 Determinați:

a) cel mai mare număr natural, mai mic decât 199 .

b) cel mai mic număr întreg, mai mare decât 29.

3 Aproximați prin lipsă, la zecimi:

a) 5 ; b) 21 ; c) 111.

4 Aproximați prin adaos, la sutimi:

a) 7 ; b) 55 ; c) 90 .

5 Se consideră mulțimea:

A = 8 4 04 121445 4 9 ;,2126 () ;; ;; ;( ).

Determinaţi elementele mulţimilor A ∩ ℕ; A ∩ ℤ;

A ∩ ℚ; A ∩ (ℝ \ ℚ).

6 Decideți dacă x este pozitiv, negativ sau nul. x 12216 33 ::38448 .

7 Calculați:

a) rădăcina pătrată a numărului 1849 b) 221312 c) 37827676

8 Efectuați calculele:

a) Calculați ma, media aritmetică, și mg, media geometrică, a numerelor x și y

b) Determinați numărul 2 11mh xy = + , media armonică a numerelor x și y.

c) Scrieți în ordine crescătoare numerele ma, mg, mh

10 Efectuaţi:

a) 3223232223 −+−+− 255253 +−−− 234273127 ⋅−+⋅− () () () 222 2533651 −+−−−−

11 Ordonaţi crescător şirurile de numere reale:

a) 42 6513 58 32 33 2126 ;;2 ;; ;; ;; ; b) 246 11;22;3;32;27; 35 12 Rezolvaţi ecuaţiile:

a) 1 721 2 x   1 7:2 2 x  −= 

c) 1 76,5 2 x    313 2 455 x  

e) (x – 1) : 2 + (x – 1) : 3 = 5

a) 1 0,42254000,25 2 b) 11440,252 7290,2 c) 17 216(71)256 151559 +⋅ 3 375:676236 12343844519100 ( )724 153(5):0,4375256 Se consideră numerele = 1 0,(3)29316425  ⋅−+  şi = 2 0,01(7)6464634 :0,1328

f) () 2,251,52,5 x −−= 1,75 – 5 · (0,1 – x) = 2,25

Matematică

13 Rezolvați, în numere reale, ecuațiile: |2 |3 – 2

14 Rezolvaţi ecuaţiile: 5

15 Rezolvaţi, în mulțimea numerelor naturale, ecuaţia:

20 Se consideră mulțimile A = {x ∈ ℕ | 3 · x – 7 < 2,3} și B = {x ∈ ℚ | |2x – 5 | = 1}.

Calculați: A, B, A∪B, A∩B, A – B, A ∩ ℕ, A – ℤ.

21 Aflați numerele naturale n și m, știind că diferența lor este 165, iar dacă împărțim numărul n la m, se obține câtul 6 și restul 5.

22 Pentru a achita suma de 275 lei, s au folosit 43 de bancnote, unele de 10 lei, altele de 5 lei. Aflați numărul bancnotelor de 10 lei și pe cel al bancnotelor de 5 lei cu care s a plătit suma.

23 Diagrama de mai jos reprezintă mediile anuale la matematică ale elevilor unei clase a VII a. 34 5 6789 4 5 6 nr de apariții nota

16 Într un bloc sunt 76 de apartamente. Unele au două camere, iar restul au trei camere, în total 196 de camere. Determinați numărul apartamentelor cu două camere și al celor cu trei camere.

17 Într o parcare, sunt 20 de maşini şi motociclete (fără ataș) care au împreună 66 de roți (fǎrǎ cele de rezervǎ). Aflați numărul maşinilor şi numărul motocicletelor din parcare.

18 Suma a două numere raționale este 45 6 , iar o șesime din unul dintre numere este cu 11 3 mai mic decât celălalt. Arătați că unul dintre numere este natural.

19 Dintr o livadă s au cules 780 kg de mere. Pentru vânzare, merele au fost puse în lǎdiţe de câte 10 kg sau de câte 15 kg. Știind că, în total, s au folosit 63 de lădițe, aflați numărul lădițelor de 15 kg. Calculați suma de bani care s a încasat din vânzarea merelor ambalate în lădițele de 10 kg, dacă prețul de vânzare a fost 4,80 lei/ kg.

Alegeți răspunsul corect.

a) Numărul tuturor elevilor din clasă este:

A. 18 B. 24 C. 20 D. 30

b) Numărul elevilor care au obținut media cel puțin egală cu 8, exprimat procentual, este:

A. 40 % B. 45% C.50% D. 55%

24 Fie triunghiul ABC și M, N, P mijloacele laturilor AB, BC, respectiv AC

a) Desenați punctul D, simetricul lui N față de M și punctul E, simetricul lui N față de P

b) Demonstrați că ADMP și AEPM sunt paralelograme.

c) Calculați măsura unghiului DAE.

25 Fie AD mediană a triunghiului ABC, D ∈ BC și fie BE, CF perpendicularele din vârfurile B, respectiv C, pe dreapta AD, cu E, F ∈ BC. Demonstrați că patrulaterul BECF este paralelogram.

26 Punctul E aparține înălțimii AD a triunghiului ABC dreptunghic în A. Paralela prin E la AB intersectează BC în G, iar perpendiculara în E pe CE intersectează dreapta AB în F. Să se arate că AGEF este paralelogram.

Recapitulare finală și probleme de sinteză

27 Graficul de mai jos reprezintă evoluţia temperaturii aerului pe parcursul unei zile. Alegeți răspunsul corect. înreoragis-trării0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 -3 -4 -5 -6 36 12151821 924

temperaturaînregistrată(°C)

a) Diferenţa dintre temperatura maximă și temperatura minimă înregistrate este egală cu:

A. 15 °C B. 8 °C C. 24 °C D. 13 °C

b) Temperaturi pozitive s­au înregistrat:

A. exact 12 ore B. mai mult de 12 ore C. între 8 ore și 12 ore D. exact 8 ore

28 Ipotenuza unui triunghi dreptunghic este de 13 cm, iar una dintre catete este de 5 cm. Calculați lungimile proiecțiilor catetelor pe ipotenuză.

29 În triunghiul ABC, ∢B = 90° – ∢C, AD ⊥ BC, D ∈ BC și AC = 10 cm, AD = 6 cm.

a) Calculați sin∢BAD + tg∢CAD.

b) Dacă E = prAB D, iar F = prAC D, aflați aria patrulaterului AEDF.

30 Fie triunghiul ABC cu ∢A = 90° și fie P = prBC A.

a) Dacă AB = 15 cm și BP = 9 cm, calculați aria cercului circumscris triunghiului ABC.

b) Dacă AP = 15 cm și CP = 10 cm, calculați lungimea cercului circumscris triunghiului ABC.

31 Proiecțiile catetelor unui triunghi dreptunghic pe ipotenuză au lungimile de 7 cm, respectiv de 63 cm. Calculați perimetrul și aria triunghiului.

32 ABCD este trapez, ∢A = ∢D = 90°, AB = 20 cm, CD = 12 cm, AD = 15 cm și AD ∩ BC = {M}

Calculați:

a) lungimile diagonalelor și aria trapezului

b) perimetrul triunghiului MBD

33 Un triunghi isoscel are laturile congruente de 10 cm iar baza de 12 cm. Calculați h1 + h2 + h3, suma înălțimilor triunghiului.

34 O coardă a unui cerc de rază 15 cm are lungimea de 18 cm. Calculați distanța de la centrul cercului la această coardă.

35 Triunghiul ABC este isoscel cu baza AC, ∢ABC =140°. Pe latura AC se consideră punctul D, astfel încât ∢CDB = 40°

a) Arătaţi că triunghiurile ABC și ADB sunt asemenea.

b) Demonstraţi că BC2 = AD · AC.

36 Se consideră cercurile tangente exterior C(O, R), C(O′ , r) și BC tangenta comună lor.

a) Știind că A, O, T și Q sunt coliniare, exprimați în funcție de R și r, lungimea segmentului BC.

b) Calculați lungimea segmentului BC, pentru cazul particular R = 8 cm, r = 2 cm.

A B C OQ T

37 Găsiți un triunghi dreptunghic astfel încât lungimile laturilor, lungimea înalțimii corespunzătoare ipotenuzei și lungimile proiecțiilor catetelor pe ipotenuză să fie toate numere întregi. Inspirați­vă, în stabilirea răspunsului, din informațiile pe care le puteți extrage din exemplul de mai jos.

C 3 59 5 12 16

Matematică • Caiet de activități clasa a VII-a

38 Prin punctul A, exterior cercului C(O,r), se trasează o dreaptă secantă cercului, care îl intersectează în punctele B și C, apoi tangenta AE la cerc, E fiind punctul de tangență.

A B C E

a) Demonstrați că triunghiurile ABE și AEC sunt asemenea.

b) Deduceți relația AE 2 = AB · AC. c) Se consideră două segmente de lungimi l1 și l2 Folosind informațiile aflate la subpunctele a) și b), construiți un segment de lungime 12ll ⋅

39 Perimetrul unui romb este de 100 cm, iar lungimea unei diagonale este de 14 cm. Calculați raportul lungimilor diagonalelor rombului.

40 Fie G centrul de greutate al triunghiului ABC și GMAB MBCGNBCN ACGPAC PAB ,, ,, ,.∈∈ ∈ Știind că AB = 18 cm, BC = 12 cm, AC = 15 cm, calculați lungimile segmentelor AN, BP și CM

41 Se consideră patrulaterul MNPQ și punctele A și B pe laturile MN respectiv PQ astfel încât 0MAQB k ANBP ==> . Arătați că MQNP  dacă și numai dacă 111 ABMQNPkkk =⋅+⋅ ++ .

42 În triunghiul ABC, AD ^ BC, D Î BC, iar F este intersecția dintre bisectoarea unghiului B și perpendiculara în A, pe AB. Dacă {E} = AD  BF

a) Arătați că AB · BE = BD × BF.

b) Dacă ∢ABC = 60° arătați că ΔAEF este echilateral.

43 În dreptunghiul ABCD cu AC = 40 cm şi BC = 24 cm, punctul P aparține laturii AB, AP PB = 7 25 , {O} = AC  BD, iar dreapta PO intersectează latura CD în punctul Q

a) Calculați perimetrul și aria dreptunghiului.

b) Calculați aria triunghiului BPQ.

44 Pe latura AB a triunghiului ABC se consideră punctul D. Se construiesc DE || BC, E Î AC şi DF || AC, F Î BC. Calculați aria patrulaterului CEDF știind că AADE = ABDF = 20 cm2

45 Triunghiurile ABC și CDE sunt echilaterale, cu AB = 12 cm și D mijlocul laturii BC.

a) Demonstrați că AB || CE

b) Arătați că patrulaterul ABEC este un trapez dreptunghic.

c) Aflați aria patrulaterului ABEC. A DCB E

46 Fie trapezul ABCD, cu baza mare AB, ∢A = 90° și {}ACBDO ∩= . Paralela prin punctul O la baze intersectează AD în punctul E. Demonstrați că:

a) ∆AEB ∼ ∆DEC; b) EO este bisectoarea unghiului BEC.

47 Dintr o bucată de carton în formă de semidisc, se decupează o suprafață pătratică. Raza discului din care provine semidiscul este egală cu 25 cm.

DABCO

a) Calculați aria semidiscului.

b) Calculați lungimea laturii pătratului.

c) Calculați numărul k, raportul dintre aria pătratului şi aria semidiscului. Comparați valoarea k a raportului cu numărul 0,(5), folosind inegalitățile 3,14 < π < 3,15.