Dragul nostru elev, Ți-am pregătit un material care îți oferă posibilitatea să îți dezvolți cunoștin țele și abilitățile dobândite la școală și să te pregătești pentru concursurile școlare.
Exercițiile și problemele propuse, cu grad ridicat de dificultate, sunt organi zate după structura programei școlare și îți vor asigura un antrenament susținut de-a lungul anului școlar.
Dacă întâmpini dificultăți în rezolvarea cerințelor propuse, asigură-te că ai înțeles explicațiile teoretice din clasă, că ai citit cu atenție, ai înțeles cerința și ai fost atent la calcule.
Mult succes!
Autoarele
CAPITOLUL
CAPITOLUL
CAPITOLUL
CAPITOLUL
CAPITOLUL 5. 22
Probleme care se rezolvă prin operaţiile aritmetice cunoscute 22
Metoda reprezentării grafice 24
Metoda comparației 28
Metoda mersului invers 30
Alte tipuri de probleme 32
Metoda eliminării unei mărimi şi înlocuirea ei cu alta 32
Metoda redistribuirii 33
Metoda falsei ipoteze 34
Probleme de mișcare 36
Probleme de întâlnire a mobilelor, când deplasarea se face în sensuri opuse 36
Probleme de întâlnire a mobilelor, când deplasarea se face în același sens 37
CAPITOLUL FRACȚII 38
CAPITOLUL 7. ELEMENTE DE GEOMETRIE 42
Forme plane. Corpuri geometrice 42
Perimetrul. Aria unei suprafețe. Volumul corpurilor 42
CAPITOLUL UNITĂȚI DE MĂSURĂ 46
CAPITOLUL ORGANIZAREA DATELOR TABEL 48
CAPITOLUL PROBLEME DE LOGICĂ ŞI PERSPICACITATE 54
Numere naturale cuprinse între 0 și 1 000 000
1 Scrie:
a) cel mai mic număr natural impar de șase cifre, cu produsul cifrelor 2;
b) cel mai mic număr natural par de șase cifre diferite, cu cifra zecilor 0;
c) cel mai mare număr natural impar de șase cifre diferite, cu cifra miilor 5;
d) cel mai mic număr natural de șase cifre, cu produsul cifrelor 9.
2 Scrie cel mai mare și cel mai mic număr:
a) format din cinci cifre, la care suma cifrelor să fie 15;
b) format din șase cifre, la care suma cifrelor să fie 20.
3 Află cel mai mare număr impar, mai mic decât 234 256, cu cifra zecilor 4.
4 Află cel mai mic număr format din șase cifre care îndeplinește simultan condițiile:
a) nu are cifre care să se repete;
b) este mai mare decât 400 000;
c) suma cifrelor sale este mai mare decât 23.
5 Sunt cel mai mic număr de șase cifre diferite, mai mare decât cel mai mic număr alcătuit din șase cifre pare identice. Ce număr sunt?
6 Află cel mai mic număr natural format din șase cifre diferite care îndeplinește simultan condiţiile: a) cifra zecilor este 7; b) suma tuturor cifrelor este 18.
7 Ioana scrie pe tablă cifrele 387 126 594. Andrei ia buretele și șterge din greșeală unele cifre. Cele rămase, fără a schimba ordinea, formează cel mai mare număr de forma abcdef . Care sunt cifrele pe care le a șters Andrei?
8 Așază în ordine descrescătoare numerele impare de forma abcd , unde a + b = 3 și c + d = 5.
9 Ordonează crescător toate numerele de forma abcdef , care au:
a) cifra sutelor de mii 6;
b) cifra zecilor jumătate din cifra sutelor de mii;
c) cifra zecilor de mii egală cu rezultatul operației 36 : 9;
d) cifra miilor egală cu cifra sutelor, egale cu câtul numerelor 54 și 6.
10 Scrie în ordine descrescătoare numerele de șase cifre abcdef , știind că:
a) se împart exact la 100;
b) cifra zecilor de mii este câtul numerelor 32 și 4;
c) cifra sutelor de mii este cu 5 mai mică decât cifra zecilor de mii;
d) cifra sutelor este dublul cifrei sutelor de mii.
11 Determină numărul de cinci cifre care se împarte exact la 10 și îndeplinește condițiile:
a) cifra zecilor de mii este dublul cifrei sutelor;
b) cifra sutelor este triplul cifrei zecilor;
c) cifra miilor este cu 1 mai mică decât cifra zecilor de mii;
d) suma cifrelor este egală cu 15.
12 Găsește cel mai mare număr natural de șase cifre care îndeplinește simultan condițiile:
a) este mai mare decât 899 999;
b) cifra zecilor este de 3 ori mai mică decât cifra sutelor de mii;
c) cifra zecilor de mii este dublul cifrei zecilor;
d) numărul se împarte exact la 5.
13 Determină cel mai mic număr scris cu cinci cifre distincte, care îndeplinește simultan condițiile:
a) cifra sutelor este dublul cifrei zecilor;
b) cifra miilor este cu 3 mai mare decât cifra sutelor.
14 Determină cel mai mare număr natural de forma abcd , care îndeplinește simultan condițiile:
a) cifrele a, c și d reprezintă numere pare distincte;
b) cifra b reprezintă un număr impar;
c) cifra b reprezintă un număr cu 5 mai mare decât d; d) numărul este mai mic decât 5000.
15 Determină numerele pare mai mici decât 400 000, de forma ab 0000 .
16 În numărul natural aabcd , literele reprezintă numere consecutive. Scrie numărul, știind că suma cifrelor sale este 21.
17 Află numerele de forma abcde , mai mici de 5000 știind că a, b, c, d, e sunt numere pare, suma lor este 20 și b = 8.
18 Determină toate numerele naturale de forma aba care au proprietatea că b = 2a.
19 Câte numere de forma abc poți scrie, dacă a × b × c = 8?
20 Găsește numere de ordinul 4, impare, egale cu răsturnatul lor și cu suma cifrelor 14.
21 Scrie cel mai mare și cel mai mic număr de șase cifre care are cifra 1 la trei ordine.
22 Găsește numărul natural de forma abcde , care îndeplinește simultan condiţiile:
a) suma cifrelor este egală cu 25; b) cifrele cresc din 2 în 2.
23 Află cel mai mare număr natural de șase cifre care îndeplinește condiţiile:
a) este mai mic decât 324 000; b) are suma cifrelor mai mică decât 18; c) nu are cifre care se repetă.
24 Câte numere naturale de șase cifre au suma cifrelor mai mică decât 3?
25 Folosind cifrele 2, 5 și 8 scrie cel mai mare și cel mai mic număr natural de șase cifre.
26 Se consideră grupele de două cifre 22, 44 și 66. Scrie toate numerele de șase cifre care se pot forma cu aceste grupe.
27 Scrie cinci numere pare consecutive, astfel încât unul dintre ele să fie cel mai mare număr par de cinci cifre. Câte soluţii ai găsit?
28 Scrie cel mai mare număr de cinci cifre care are cifra miilor jumătate din cifra unităţilor și cu 3 mai mare decât cifra zecilor.
29 Câte numere de forma xy 0000 sunt? (x ≠ y ≠ 0)
30 Câte numere de patru cifre distincte poți forma cu cifrele 1, 3, 5 și 9?
31 Scrie numere ale căror cifre reprezintă numere consecutive cu suma cifrelor 18. Câte soluţii sunt?
32 Determină numărul n = 24 6ab , știind că suma cifrelor sale este 16, iar cifra zecilor este triplul cifrei miilor.
33 Care este cel mai mic număr natural de forma 104abc cu suma cifrelor 12? Dar cel mai mare?
34 Găsește numere naturale de forma 28 abc , astfel încât a + b + c = 8. Care dintre numerele găsite este cel mai mare?
35 Câte numere de forma 32 5aab , cu a = 2 + b, sunt: a) 6 b) 8 c) 9 d) 7
36 Dacă 34609 a < 345 610, atunci cifra a poate fi: a) 9 b) 7 c) 5 d) 6
37 Un număr de forma abaab , cu a + b = 9, este: a) 36 366 b) 81 881 c) 54 445 d) 90 999
38 Elimină trei cifre din numărul 5 940 281 pentru a obţine cel mai mare număr. Elimină trei cifre pentru a obţine cel mai mic număr.
39 Scrie numerele de forma abcd care îndeplinesc simultan condițiile: a) sunt mai mici decât 6000; b) se rotunjesc la 6000, nu la 5000; c) sunt pare; d) suma cifrelor este 16.
40 Scrie cel mai mic și cel mai mare număr de patru cifre, în care suma cifre lor este 9, iar produsul cifrelor este 18.
41 Sunt un număr al cărui predecesor se rotunjește la sute la 3300. Suma cifrelor mele este 16. Ce număr sunt, știind că am două cifre impare? Există mai multe soluții?
42 Sunt un număr de forma abcd . Suma primelor două cifre este 16, a ulti melor două este 14, iar suma cifrelor din mijloc este 13. Cât sunt, știind că suma primelor trei cifre este 22?
43 Aproximează la sute, apoi la mii, numerele: 25 307, 67 088, 105 639, 278 412.
44 Numărul 236 b se rotunjește la ordinul miilor prin 3000. Scrie ce valori poate avea b în acest caz.
45 Numărul 2536 x se rotunjește la ordinul miilor prin 20 000. Scrie ce valori poate avea x în acest caz.
46 Sunt un număr de ordinul 5 și am la cifra miilor cel mai mare număr impar de o cifră. O treime din ea reprezintă cifra unităţilor, iar cea a sutelor este dublul cifrei de ordin 1. Cât sunt dacă cifra zecilor este 9 și suma tuturor cifrelor este 30?
47 Află următoarele două numere din seriile de mai jos:
a) 4, 7, 13, 25 …
b) 100, 99, 96, 91 …
c) 987, 886, 785 …
d) 122, 233, 344 …
e)1234, 2345, 3456 …
48 Care este cheia șirurilor de mai jos:
a) 0, 1, 3, 4, 6, 7, 9, 10, …
b) 0, 1, 3, 6, 10, 15, …
c) 1, 3, 2, 4, 3, 5, …
49 Ce număr lipsește din șir? 10, 21, 33, … 60, 75, 91.
50 Cu ce numere se încheie șirul dat? 31, 30, 15, 14, 7, …
51 Scrie cu cifre arabe: XXXII, DLV, DCXXIV, XCVII, MVII, CMXCIX, MCMXLIV, XCVIII, CI, CCCLXII, LXXVIII, MMMCCI, LIX.
52 Schimbă poziţia unui singur beţișor, astfel încât egalităţile să devină adevărate:
a) VI – V = I + I e) X – X = XIX i) XXXIX = XXXVIII – II
b) II = II – I f) VI – IV = L j) L – II = LI
c) V – V = II g) XI + I = X k) VI – IV = L
d) III – II = IV h) L – II = LI l) II = V – V
53 Ordonează crescător următoarele numere. Scrie predecesorul și succesorul numerelor date folo sind atât cifre romane, cât și arabe. XX, L, MD, CCX, V, MMM.
54 Schimbă poziția unui singur bețișor pentru a obține numere cu 2 mai mici decât cele date: VI = XXXVI = LXI =
55 Care este cel mai mic număr care se poate forma cu cifrele romane L, X, V?
56 Dacă mama s a născut în anul MCMLXXX, iar fiica ei în anul MMVIII, câţi ani vor avea împreună în anul 2017?
A Găsește „intrusul” din șirul numerelor: 14B5672, 15B5438, 16B1346, 14B2765, 15B8345.
B Scrie un număr de 3 cifre care adunat cu răsturnatul său, să dea 1009. Care este cel mai mare număr cu această proprietate? Câte astfel de numere există?
C Numărul abcd reprezintă suma a 5 numere naturale consecutive și este succesorul celui mai mare număr natural de trei cifre. Care sunt cele șase numere?
Alte tipuri de probleme
Metoda eliminării unei mărimi şi înlocuirea ei cu alta În fiecare zi, bunicul dă 132 de litri de apă celor 3 vaci și celor 4 viţei. Fiecare vacă bea de 6 ori mai mult pe zi (dimineaţa și seara) decât un viţel. Câţi litri bea o vacă și câţi litri bea un viţel?
Rezolvare:
Dacă o vacă bea de 6 ori mai multă apă decât un viţel, atunci cele 3 vaci vor bea de 3 × 6 = 18 ori mai mult decât un viţel. Notăm cu x numărul de litri de apă pe care îi bea fiecare și atunci vom avea relaţia:
18x + 4x =132 ⇒ 22x = 132 ⇒ x = 132 : 22 De aici rezultă că x = 6. Un viţel bea 6 litri și o vacă 36 de litri.
1 228 de litri de vin s au pus în damigene de 12 litri și de 8 litri. Numărul damigenelor de 8 litri este de 8 ori mai mare decât al celor de 12 litri.
Câte damigene sunt din fiecare?
2 În 12 lăzi mici și 70 de lăzi mari sunt 2920 kg de mere. Câte kilograme sunt într o ladă mare și câte într o ladă mică, dacă în cea mică sunt de 4 ori mai puţine kilograme decât într una mare?
3 Bunica are 10 raţe și 40 de găini. Pentru 10 zile are pregătite 27 kg de grăunţe. Fiecare găină mănâncă cu 20 g mai puţin decât o raţă. Câte grame mănâncă pe zi o găină și câte o raţă?
4 5 kilograme de struguri și 5 kg de portocale au 6500 de calorii. Un kilogram de struguri are cu 500 de calorii mai mult decât un kilogram de portocale. Câte calorii are un kilogram de struguri și câte calorii are un kilogram de portocale?
5 Se deschid două robinete pentru a umple un bazin de înot. Prin primul curg cu 5 l de apă mai mult pe minut decât prin al doilea. Dacă deschidem amândouă robinetele timp de o jumătate de oră, în bazin se adună 1050 l de apă. Care este debitul primului robinet într un minut? Dar al celui de al doilea?
Metoda redistribuirii
Într o clasă, elevii stau câte 2 în bancă și rămâne o bancă liberă. Dacă se așază câte 3 în bancă, rămân 7 bănci libere. Câţi elevi și câte bănci sunt în clasă?
Rezolvare:
Pentru reprezentarea grafică folosim dreptunghiuri pentru bănci și cercuri pentru elevi. Desenăm un număr de bănci cu câte 2 copii și una liberă. În cazul în care așezăm elevii câte 3, rămân 7 bănci libere, adică încă 6 faţă de primul caz. Prin urmare, elevii care erau așezaţi în cele 6 bănci (6 × 2 = 12 elevi) au fost așezaţi câte unul în celelalte bănci cu câte 2 elevi. Acum avem 12 bănci cu câte 3 elevi și 7 bănci libere.
Sunt 12 + 7 = 19 bănci și 12 × 3 = 36 elevi.
1 Andra are de rezolvat niște probleme. Dacă ar rezolva câte 8 probleme pe zi, i ar rămâne 4 pro bleme nerezolvate. Ea face un efort și rezolvă câte 11 probleme pe zi, rămânându i două zile libere și o zi cu o problemă. Câte probleme a rezolvat Andra?
2 Mama are niște flori. Dacă le ar pune câte 3 într o vază i ar rămâne o floare pe masă. Dacă le pune câte 5 într o vază, îi rămân 5 vaze goale. Câte flori și câte vaze are mama?
3 Elevii clasei noastre se așază câte 2 în fiecare bancă. Dacă s‑ar așeza câte 3, ar rămâne un elev într o bancă și 4 bănci goale. Câţi elevi suntem în clasă?
4 Dacă așez cireșele câte 5 kg într o ladă, rămân 4 kg jos. Dacă așez câte 9 kg, îmi rămân 4 lăzi goale. Câte kilograme de cireșe am și câte lăzi?
5 Dacă se așază câte 2 elevi în fiecare bancă, rămân 6 elevi fără loc, iar dacă se așază câte 5, rămân 6 bănci libere.
Câţi elevi sunt în clasă și câte bănci?
6 Sportivii clubului din oraș dacă s ar așeza câte 9 pe un rând ar forma cu 10 rânduri mai puţin decât dacă s ar așeza câte 7. Câţi sportivi sunt în oraș?
7 Merele culese din livadă se așază în cutii. Dacă s ar așeza câte 10 kg într o cutie, ar rămâne 5 kg de mere jos. Dacă s ar așeza câte 13 kg într o cutie, ar rămâne 3 cutii goale și o cutie cu 4 kg. Câte kilograme de mere s au cules și câte cutii sunt necesare?
8 Denisa are de așezat niște jucării în cutii. Dacă le așază câte 4 jucării în fiecare cutie, îi rămân 3 jucării. Dacă așază câte 5 jucării într o cutie, îi rămâne o cutie goală și una cu două jucării. Câte jucării și câte cutii are Denisa?
9 Teo rezolvă niște probleme. Dacă rezolvă câte 10 probleme pe zi, îi rămân 7 probleme nerezol vate. Dacă rezolvă câte 13 probleme pe zi, îi rămân două zile libere. Câte probleme are de rezolvat Teo?
Metoda falsei ipoteze
Ana a făcut 10 depuneri la bancă, unele a câte 40 de lei, altele a câte 70 de lei, în total 610 lei. De câte ori a depus 40 de lei?
Rezolvare:
Presupunem că toate depunerile au fost de 70 de lei. Atunci ea ar fi depus 10 × 70 = 700 de lei. Suma este cu 90 de lei mai mult.
Diferenţa a apărut, deoarece unele depuneri au fost cu 70 – 40 = 30 lei mai mici. Câte astfel de diferenţe compensează diferenţa totală? 90 : 30 = 3. Deci 3 depuneri au fost de 40 lei.
1 Un bloc cu 50 de apartamente cu două și cinci camere are 190 de camere. Află câte apartamente sunt cu cinci camere și câte cu două camere?
2 La o fermă agricolă s au recoltat 2600 q de grâu de pe 100 ha. De pe unele s au recoltat 30 q la hectar și de pe altele, 20 q la hectar. De pe câte hectare s au recoltat 30 q și de pe câte 20 q la hectar?
3 Pe 15 casete și benzi sunt înregistrate 57 de melodii. Pe fiecare casetă sunt înregistrate câte două melodii, iar pe fiecare bandă câte 5 melodii.
Câte casete și câte benzi sunt înregistrate?
4 Într o cur te sunt pisici și porumbei.
Ştiind că în total sunt 10 capete și 24 de picioare, află câte pisici și câţi porumbei sunt?
5 Olguţa desenează pe un caiet 24 de figuri geometrice: triunghiuri și dreptunghiuri. Câte triunghiuri și câte dreptunghiuri a desenat ea, dacă în total sunt 77 de laturi?
6 Un grup de 10 prieteni cumpără un cort pentru a l folosi toţi. Dacă în grup ar mai veni 5 per soane, pe fiecare l ar costa cu 100 de lei mai puţin.
Care este preţul cortului?
7 Un copil are în insectar păianjeni (cu 8 picioare) și cărăbuși (cu 6 picioare). Ştiind că sunt 8 insecte având împreună 54 de picioare, află câţi păianjeni și câţi cărăbuși sunt în insectar.
8 De ziua lui, Dan oferă bomboane colegilor de clasă. Dacă le dă câte două, îi rămân 17 bomboane, iar dacă le dă câte trei, rămân 15 elevi cu câte două bomboane. Câţi elevi sunt în clasă și câte bomboane a adus Dan?
9 Membrii grupei I ai cercului de matematică rezolvă câte 7 probleme pe zi și cei ai grupei a II a, câte 10 probleme pe zi. O echipă formată din 14 elevi a petrecut 8 zile într o tabără de matema tică, unde au rezolvat 1000 de probleme.
Câţi elevi au fost din fiecare grupă?
10 La un concert prețul unui bilet la lojă este 70 de lei, iar prețul unui bilet în sală este de 55 de lei. Câte bilete din fiecare tip s au vândut, dacă se știe că s au încasat 5875 de lei pentru cele 100 de bilete vândute?