WISKUNDE KERN
HAVO / VWO
methodeconcept / redactie
Boom voortgezet onderwijs
auteurs
Benjamin del Canho
Maartje Elsinga
Jacqueline Kooiman
Gijs Langenkamp
Florine Meijer
Chantal Neijenhuis
Willem Schaap
Renee Springer
WISKUNDE KERN
HAVO / VWO
DEEL 1–A
BOOM VOORTGEZET ONDERWIJS
© 2021 Boom voortgezet onderwijs, Groningen, The Netherlands
Behoudens de in of krachtens de Auteurswet van 1912 gestelde uitzonderingen mag niets uit deze uitgave worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch door fotokopieën, opnamen of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever.
Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikelen 16h t /m 16m
Auteurswet 1912 jo. besluit van 27 november 2002, Stb 575, dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoeding te voldoen aan de Stichting Reprorecht te Hoofddorp (postbus 3060, 2130 kb , www.reprorecht.nl) of contact op te nemen met de uitgever voor het treffen van een rechtstreekse regeling in de zin van art. 16l, vijfde lid, Auteurswet 1912. Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16, Auteurswet 1912) kan men zich wenden tot de Stichting PRO (Stichting Publicatie- en Reproductierechten, postbus 3060, 2130 kb Hoofddorp, www.stichting- pro.nl).
All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, recording or otherwise without prior written permission of the publisher.
isbn 978 94 9322 442 1 boomvoortgezetonderwijs.nl
KERN Wiskunde is een RTTI-gecertificeerde methode en onderscheidt vier soorten vragen:
r Reproductievragen
t1 Trainingsgerichte toepassingsvragen
t2 Transfergerichte toepassingsvragen
i Inzichtvragen
Voor meer informatie over de RTTI-systematiek, zie www.docentplus.nl
Boekverzorging & technische tekeningen René van der Vooren, Amsterdam
Inhoud
1 Getallen
wis kunde in de praktijk Tellen met nullen en enen 8
1.1 Positieve en negatieve getallen 10
1.2 Met negatieve getallen
vermenigvuldigen en delen 16
1.3 Breuken 22
1.4 Met breuken vermenigvuldigen en delen 28
1.5 Machtsverheffen 34
Toetsvoorbereiding 40
2 Vlakke figuren
wis kunde in de praktijk Van vlakvulling naar kunstwerk en tegelpatroon 44
2.1 Punten en lijnen 46
2.2 Hoeken 52
2.3 Vlakke figuren 58
2.4 Tekenen en spiegelen 64
2.5 Symmetrie 70
Toetsvoorbereiding 76
3 Verbanden
wis kunde in de praktijk Waar ben ik op aarde? 80
3.1 Het assenstelsel 82
3.2 Verbanden 88
3.3 Formules en grafieken 94
3.4 Lineaire en kwadratische verbanden 100
3.5 Variabelen 106
Toetsvoorbereiding 112
4 Informatie verwerken
wis kunde in de praktijk Hoe win je verkiezingen ? 116
4.1 Data 118
4.2 Verhoudingen 124
4.3 Procenten 130
4.4 Diagrammen 136
4.5 Grafieken 142
Toetsvoorbereiding 148
Register van begrippen 151
Getallen 1
In dit hoofdstuk maak je kennis met verschillende soorten getallen en leer je hoe je ermee kunt rekenen. Ook leer je wat magische vierkanten, cijferreeksen en rekenpiramides zijn. Ten slotte maak je kennis met de legende over het ontstaan van het schaakspel.
WISKUNDE IN DE PRAKTIJK
Tellen met nullen en enen 8
1.1 Positieve en negatieve getallen 10
1.2 Met negatieve getallen vermenigvuldigen en delen 16
1.3 Breuken 22
1.4 Met breuken vermenigvuldigen en delen 28
1.5 Machtsverheffen 34
Toetsvoorbereiding 40
WISKUNDE
IN DE PRAKTIJK
DOEL > Je leert hoe de computer met alleen nullen en enen kan rekenen.
Tellen met nullen en enen
Decimale getallen Sta je er weleens bij stil dat je makkelijk kunt tellen en rekenen doordat
je met de cijfers 0 tot en met 9 alle getallen eenvoudig kunt opschrijven? Getallen die je met behulp van deze tien cijfers schrijft, heten decimale getallen: decimaal betekent ‘tientallig’. Er zijn in de geschiedenis ook andere manieren geweest om getallen op te schrijven. Denk bijvoorbeeld aan de Romeinen die rekenden met Romeinse cijfers of aan de Egyptenaren die rekenden met hiërogliefen.
In decimale getallen bepaalt de plaats waar een cijfer in een getal staat de waarde van dat cijfer. Van rechts naar links vertienvoudigt de waarde van elk cijfer steeds. Zo staat in het getal 2104 de 4 voor 4 eenheden, de 0 voor 0 tientallen, de 1 voor 1 honderdtal en de 2 voor 2 duizendtallen: 2104 > 4 + 0 + 100 + 2000 = 2104.
Binaire getallen Computers rekenen niet met decimale getallen. Daarom wordt bij computers gebruikgemaakt van een andere manier om getallen op te schrijven. Een computer kan alleen met de cijfers 0 en 1 overweg. Dit komt doordat een computer op basis van elektriciteit werkt die ‘uit’ of ‘aan’ kan staan. Deze twee toestanden komen overeen met de cijfers 0 (elektriciteit uit) en 1 (elektriciteit aan). Maar een computer zou vrij nutteloos zijn als hij niet op de een of andere manier met grotere getallen zou kunnen rekenen. Een computer doet dit door nullen en enen in een bepaalde volgorde achter elkaar te zetten :
0 = 0 4 = 100
1 = 1 5 = 101
2 = 10 6 = 110
3 = 11 7 = 111
Omdat er maar twee cijfers beschikbaar zijn om een getal te maken, heten dit binaire getallen: binair betekent ‘tweedelig’. Het vormen van grotere getallen door meerdere nullen en enen achter elkaar te zetten, gaat volgens hetzelfde principe als bij decimale getallen. Net als in een decimaal getal bepaalt in een binair getal de plaats van elk cijfer zijn waarde. Ook hier neemt de waarde van rechts naar links steeds toe. In decimale getallen vertienvoudigt de waarde; in binaire getallen verdubbelt de waarde. Zo staat in het binaire getal 110 van rechts naar links de 0 voor 0 eenheden, de 1 in het midden voor 1 tweetal en de 1 links voor 1 viertal: 110 > 0 + 2 + 4 = 6.
Bits en bytes Decimale getallen zijn korter dan binaire getallen. Zo is het decimale getal 2104 als binair getal geschreven gelijk aan 1000 0011 1000. Moderne geheugenchips hebben plek voor tientallen miljarden nullen en enen. Elke plek voor een 0 of 1 in het computergeheugen heet een bit. Deze bits staan niet lukraak achter elkaar, maar zijn georganiseerd in groepjes van 8 bits achter elkaar die bytes heten. Zo representeert de byte 00000101 het decimale getal 5. Een byte kan elke waarde van 0 (00000000) tot en met 255 (11111111) aannemen.
Een geheugenchip met ruimte voor miljarden bytes.
OPDRACHTEN
v Tekstvragen
1 a Wat zijn binaire getallen? R
b Wat is een bit ? R
c Wat is een byte ? R
2 Waarom rekenen computers niet met decimale getallen? R
3 Schrijf de volgende binaire getallen als decimale getallen: T 1
a 1000 c 1011 b 1001 d 1010010
4 a Schrijf de getallen 8 tot en met 16 onder elkaar als binaire getallen. T 1
b Schrijf de getallen 32, 64 en 128 als binaire getallen. T 2
c Schrijf de getallen 31, 63 en 127 als binaire getallen. T 2
v Verdiepingsvragen
5 a Schrijf 101 als decimaal getal en vermenigvuldig de uitkomst met 2. Schrijf de uitkomst weer als binair getal. Wat valt je op?
Tip : 2 is gelijk aan 10. T 2
b Schrijf 101 als decimaal getal en vermenigvuldig de uitkomst met 8. Schrijf de uitkomst weer als binair getal. Wat valt je op?
Tip : 8 is gelijk aan 1000. T 2
6 a Vermenigvuldig de binaire getallen 1101 en 1000 zonder gebruik te maken van decimale getallen. I
b Wat gaat er mis als je de bytes 10101001 en 00000010 met elkaar vermenigvuldigt en de uitkomst als byte wilt schrijven? I
v Onderzoeksopdracht
7 Voor mensen zijn lange reeksen van nullen en enen vaak lastig leesbaar. In de computerindustrie wordt om deze reden vaak gebruikgemaakt van hexadecimale getallen. Zoek op internet antwoord op de volgende vragen:
v Uit welke cijfers bestaan hexadecimale getallen?
v Hoe schrijf je een hexadecimaal getal om naar een decimaal getal en andersom? Geef enkele voorbeelden.
v Hoe schrijf je een hexadecimaal getal om naar een binair getal en andersom? Geef enkele voorbeelden.
v Waarom bestaat elke byte uit 2 hexadecimale cijfers?
Verwerk je resultaten in een presentatie, nieuwsartikel, video, poster of quiz. Gebruik voor je onderzoek ten minste drie verschillende bronnen. I
v Heb je het leerdoel bereikt?
R Ik ken de opbouw van decimale en binaire getallen.
T 1 Ik kan een decimaal getal omrekenen naar een binair getal en andersom.
T 2 Ik kan rekenen met bytes.
I Ik begrijp wat er gebeurt als je twee bytes met elkaar vermenigvuldigt.
BEGRIPPEN
decimaal getal bit binair getal byte
Positieve en negatieve getallen
DOEL > Je leert wat positieve en negatieve getallen zijn en hoe je ermee kunt optellen en aftrekken.
Positief en negatief Hiernaast zie je een getallenlijn met daarop gehele getallen. Getallen groter dan 0 zijn positief, getallen kleiner dan 0 negatief. Het getal 0 is niet positief en niet negatief. −3 en 3 zijn tegengestelde getallen, net als 10 en −10. Op de getallenlijn liggen tegengestelde getallen even ver van 0:
–3 en 3 zijn tegengestelde getallen
Decimalen In getallen met een komma heten de cijfers achter de komma decimalen. Op de getallenlijn liggen zulke getallen tussen gehele getallen in. Zo ligt het getal 2,4 tussen de getallen 2 en 3 in. En het getal −1,75 ligt tussen de getallen −2 en −1 in.
Groter dan en kleiner dan Hoe verder naar rechts op de getallenlijn, hoe groter het getal. Hoe verder naar links, hoe kleiner het getal. Zo is 5 groter dan 3 en −7,8 kleiner dan −7,6. Je noteert dit als 5 > 3 en −7,8 < −7,6.
Voorbeelden
9 is kleiner dan 11, want 9 ligt op de getallenlijn links van 11. Dus 9 < 11.
– 9 is groter dan –11, want – 9 ligt op de getallenlijn rechts van –11. Dus – 9 > –11.
2,4 is groter dan 2,2, want 2,4 ligt op de getallenlijn rechts van 2,2. Dus 2,4 > 2,2.
–2,4 is kleiner dan –2,2, want –2,4 ligt op de getallenlijn links van –2,2. Dus –2,4 < –2,2.
OPDRACHTEN — OEFENEN
v Positief en negatief
8 Hoeveel graden is het op de volgende thermometer? T 1
9 a Kijk nog eens goed naar de getallenlijnen bovenaan de linkerbladzijde.Teken een getallenlijn van –4 tot 4 en geef daarop op dezelfde manier met een pijltje het getal 3 en het tegengestelde getal van 3 aan. T 1
b Welk getal is het tegengestelde getal van 7?
En van –2,5? T 1
c Welk getal is het tegengestelde van het getal 0? Leg je antwoord uit. I
v Decimalen
10 a Wat zijn decimalen? R
b Hoeveel decimalen heeft het getal 13,05? T 1
c Hoeveel decimalen heeft het getal –0,7843? T 1
d Teken een getallenlijn van –5 tot 5 en geef daarop met een pijltje de volgende getallen aan: –4; –3; –1,5; 2; 3,5 en 4,75. T 1
11 Teken een getallenlijn van –1 tot 1 en geef daarop de volgende getallen aan: –0,5 ; 0,8 ; 0,25 en –0,9. T 2
v Groter dan en kleiner dan
12 Neem over en kies steeds het juiste woord. Teken indien nodig een getallenlijn. T1
a –4 is groter/ kleiner dan 3, want –4 ligt op de getallenlijn links/ rechts van 3.
b –5 is groter/ kleiner dan –2, want –5 ligt op de getallenlijn links/ rechts van –2.
c 51 is groter/ kleiner dan 49, want 51 ligt op de getallenlijn links/ rechts van 49.
d –13 is groter/ kleiner dan –15, want –13 ligt op de getallenlijn links/ rechts van –15.
13 Neem over en vul < of > in. T1
a 2 5 e 4,72 4,7
b –3 … –2 f –2,7 … –2,9
c 0 … –7 g –99 … –101
d –9 … –11 h –101 … –102
14 a Tussen welke twee gehele getallen ligt –1,75? T2
b Geef twee verschillende getallen die kleiner zijn dan –2,57 en groter dan –2,58. T2
c Zet de volgende getallen op volgorde van klein naar groot. T2
–2,2 / 4,5 / –1,1 / 3,49 / –3,51 / –1,099
Optellen Als je twee getallen bij elkaar wilt optellen, kun je de getallenlijn als hulpmiddel gebruiken. Je geeft elk getal dan met een pijl aan. Zie de linker getallenlijn hieronder. Bij optellen bereken je de som van twee getallen. Op de getallenlijn is dit de som van de twee pijlen. Je legt de pijlen daarvoor kop aan staart.
Een negatief getal bij een getal optellen geeft dezelfde uitkomst als het tegengestelde getal ervan aftrekken: 4 + −3 = 4 – 3.
Voorbeelden
3 + –4 = 3 – 4 = –1
–5 + 2,5 = –2,5
Aftrekken Bij aftrekken bereken je het verschil van twee getallen. Dit gaat net als bij optellen, maar je legt de tweede pijl de andere kant op.
Een negatief getal van een getal aftrekken geeft dezelfde uitkomst als het tegengestelde getal erbij optellen: 4
+
Voorbeelden
10 – 15 = –5
–2 – –6 = –2 + 6 = 4
OPDRACHTEN — OEFENEN
v Optellen
15 Bereken met behulp van een getallenlijn. T 1
a 0,4 + 2 c –2 + 0,4
b –0,4 + 2 d –2 + – 0,4
16 Neem over en vul in. T1
a 5 + –2 = 5 – 2 = e 15 + –5,5 =
b 8 + –10 = 8 10 = f 1 + –6 =
c 13 + –5 = 13 5 = g 35 + –10 =
d 2,5 + –7,5 = 2,5 7,5 = h 11 + –20 =
17 a Teken twee getallenlijnen van –4 tot 5 en reken hiermee –3 + 5 en 5 + –3 uit.
Wat valt je op? T 1
b Neem over en vul wel of niet in. T 2
Als je twee getallen bij elkaar optelt, is de volgorde ...… belangrijk.
18 Bereken. Gebruik indien nodig een getallenlijn of kijk nog eens naar opdracht 17. T1
a –2 + 25 e –9 + 7
b –3,5 + 7 f –18 + 9
c –7,5 + 16 g –19,5 + 11
d –19 + 31 h –13 + 7,5
19 Bereken. T 1
a 10 + –5 e –8 + –17
b 4 + – 8 f –25 + –150
c –7 + 17 g 7 + –4,5
d –12 + 7 h –8,5 + –20
v Aftrekken
20 Bereken met behulp van een getallenlijn. T 1
a 5 – 3 c 3 – 5
b –5 – 3 d 3 – – 5
21 Leg met behulp van een getallenlijn uit dat als je een getal van een ander getal aftrekt de volgorde van belang is : 2 – 7 = – 5 en 7 – 2 = 5. I
22 Bereken. Gebruik indien nodig een getallenlijn. T1
a 13 – 17 e –1,5 – 4
b 7 – 22 f –9 – 12
c 9,5 – 12 g –25 – 16
d 5,5 – 14,5 h –8,5 – 2
23 Neem over en vul in. T1
a 1 – –2 = 1 + 2 = …
b 9 – –6 = 9 … 6 = …
c –8 – –5 = –8 … 5 = …
d –4,5 – –7 = –4,5 … 7 = …
24 Bereken. T1
a 15 – 25 e 2,5 – 5
b –5 – –3 f –15,5 – 40
c –3 – 10 g 7,5 – –4
d 12 – –18 h –15 – –35,5
OPDRACHTEN — ONTDEKKEN & ONDERZOEKEN
v Ontdekken
25 Julius Caesar werd op 13 juli in het jaar 100 v. Chr. geboren en op 15 maart in het jaar 44 v. Chr. vermoord. Hoe oud was Caesar toen hij stierf? T 2
26 In de volgende tabel staat de gemiddelde temperatuur van de planeten in het zonnestelsel.
a Hoeveel graden is het gemiddeld warmer op Venus dan op Mars? T 2
b Hoeveel graden is het gemiddeld kouder op Neptunus dan op aarde? T 2
c Hoeveel graden is het gemiddeld warmer op Jupiter dan op Uranus? T 2
planeet gemiddelde temperatuur (°C)
Mercurius 167
Venus 464
Aarde 15
Mars –65
Jupiter –110
Saturnus –140
Uranus –195
v Onderzoeken
28 Lees de tekst Magische vierkanten op de rechterbladzijde. Neem het volgende magische vierkant over en vul de ontbrekende getallen in. T 2
Neptunus –200 0 –8 9 –16
27 Neem over en vul in. I
a 10 –… = –2 e … + 11,4 = 7
b 75 – … = 125 f … – –2,5 = –4,1
c … + –69 = 73 g –1,35 + … = 0,65
d … – –12 = 6 h –0,99 – … = 1,01
29 Ontwerp zelf een magisch vierkant van 3 bij 3. Gebruik hierbij ook negatieve getallen. I
BEGRIPPEN
getallenlijn groter dan geheel getal kleiner dan positief som negatief verschil tegengestelde getallen magisch vierkant decimaal
Magische vierkanten
Een magisch vierkant is een vierkant met getallen, waarbij de som van de getallen in elke rij, in elke kolom en in elke diagonaal steeds hetzelfde is.
Magische vierkanten zijn al heel lang bekend en hebben door de eeuwen heen de fantasie van wiskundigen en kunstenaars geprikkeld. Op een muur van de beroemde kerk Sagrada Família in Barcelona die door de Catalaanse architect Antoni Gaudí (1852–1926) is ontworpen, staat een bekend magisch vierkant. Bij elke rij en elke kolom is de som van de getallen 33. Dit getal zou kunnen verwijzen naar de leeftijd waarop Jezus stierf, maar is ook een belangrijk getal binnen de vrijmetselarij, waar Gaudí een tijdlang lid van is geweest.
REKENEN
R1 De Mount Everest is de hoogste berg ter wereld. De top van de Mount Everest ligt op 8848 meter boven zeeniveau.
I De top van de K2, de op een na hoogste berg ter wereld, ligt 237 meter lager dan die van de Mount Everest. Bereken de hoogte van de K2.
II De top van de Kangchenjunga, de op twee na hoogste berg ter wereld, ligt 25 meter lager dan de top van de K2. Bereken hoeveel meter de top van de Kangchenjunga lager ligt dan de top van de Mount Everest.
v Heb je het leerdoel bereikt?
R Ik weet wat positieve en negatieve getallen zijn.
T 1 Ik kan getallen op een getallenlijn plaatsen en ik kan positieve en negatieve getallen bij elkaar optellen en van elkaar aftrekken.
T 2 Ik kan een vraagstuk in woorden omzetten in een berekening.
I Ik kan een magisch vierkant maken met negatieve getallen.
Het magische vierkant op de Sagrada Família in Barcelona.
Met negatieve getallen vermenigvuldigen en delen
DOEL > Je leert hoe je met positieve en negatieve getallen kunt vermenigvuldigen en delen.
Vermenigvuldigen Bij vermenigvuldigen bereken je het product van twee getallen. 2 × 3 is gelijk aan 3 + 3 en dat is 6. Net zo is 2 × −3 gelijk aan −3 + −3 en dat is −6. Hiernaast zie je dat ook −2 × 3 gelijk is aan −6. In opdracht 31 toon je aan dat −2 × −3 gelijk is aan 6.
Als je een positief getal vermenigvuldigt met een negatief getal of andersom, dan is de uitkomst negatief.
Als je twee negatieve getallen met elkaar vermenigvuldigt, dan is de uitkomst positief.
Rekenregels
plus × plus = plus + × + = + plus × min = min + × – = –
min × plus = min – × + = –
min × min = plus – × – = +
Voorbeelden
4 × 8 = 32 4 × −8 = −32 −4 × 8 = −32 −4 × −8 = 32 1 2 3 4
Delen Bij delen bereken je het quotiënt van twee getallen.
Als je een getal door een ander getal deelt, kijk je hoe vaak het andere getal in het getal past. Zo is 8 : 4 = 2, want 2 × 4 = 8.
Met negatieve getallen werkt het net zo:
v −8 : 4 = −2, want −2 × 4 = −8.
v 18 : −6 = −3, want −3 × −6 = 18.
v −36 : −12 = 3, want 3 × −12 = −36.
Als je een positief getal deelt door een negatief getal of andersom, dan is de uitkomst negatief.
Als je twee negatieve getallen door elkaar deelt, dan is de uitkomst positief.
Rekenregels
plus : plus = plus + : + = + plus : min = min + : – = –
min : plus = min – : + = –min : min = plus – : – = +
Voorbeelden
: 7 = 3
OPDRACHTEN — OEFENEN
v Vermenigvuldigen
30 Neem over en vul positief of negatief in. R
a Als je een negatief getal vermenigvuldigt met een positief getal, dan is de uitkomst
b Als je een getal vermenigvuldigt met een negatief getal, dan is de uitkomst positief.
c Als je een positief getal vermenigvuldigt met een getal, dan is de uitkomst negatief.
31 Lees de uitleg over vermenigvuldigen op de linkerbladzijde en kijk goed naar de getallenlijnen ernaast. Maak op dezelfde manier de volgende vermenigvuldigingen met behulp van een getallenlijn: T 1
a 2 × –3 d –1 × –3
b 1 × –3 e –2 × –3
c 0 × –3
32 Neem over en vul indien nodig een minteken in. T1
a 2 × –15 = ...30 e –8 × ...9 = –72
b –13 × –4 = ...52 f ...7 × –6 = 42
c –9 × 2 = ...18 g 10 × ...3 = 30
d 10 × –3,5 = ...35 h 2,5 × ...5 = –12,5
33 Bereken. T1
a 2 × –3 g –10 × –10
b –6 × –4 h –15 × 0
c –3 × –5 i –2,5 × 6
d –7 × 1 j 5,25 × –20
e –3 × 12 k –7 × –1,5
f 5 × –14 l –50 × 0,5
v Delen
34 Neem over en vul in. T1
a 28 : –4 = , want × –4 = 28.
b –64 : –8 = , want × –8 = –64.
c –35 : 5 = , want × 5 = –35.
d 27 : –3 = , want × –3 = 27.
35 Neem over en vul indien nodig een minteken in. T1
a 45 : –5 = 9 e 72 : 24 = –3
b –14 : –2 = 7 f 36 : 6 = 6
c –56 : –7 = 8 g –100 : 25 = 4
d –25 : 10 = 2,5 h –40 : 8 = 5
36 Neem over en vul in. T2
a –0,5 : 10 = , want × 10 = –0,5.
b 4,9 : –7 = …, want … × –7 = 4,9.
c –2 : –0,2 = …, want … × –0,2 = –2.
d 5 : –0,1 = …, want … × –0,1 = 5.
37 Bereken. Kijk indien nodig nog eens naar opdracht 36. T1
a –24 : 2 g –100 : –10
b 10 : –2 h –3 : –3
c –45 : –9 i 0 : –40
d 15 : –10 j 10 : –2,5
e –20 : 4 k –4 : 0,1
f 50 : –2 l –45 : –0,5
Volgorde van berekeningen Je moet berekeningen in de juiste volgorde uitvoeren. De juiste rekenvolgorde is:
1 eerst uitrekenen wat tussen haakjes staat ; 2 dan vermenigvuldigen en delen van links naar rechts ; 3 dan optellen en aftrekken van links naar rechts.
Let erop dat je de berekening altijd stap voor stap uitwerkt en dat je de stappen onder elkaar opschrijft, zoals in de voorbeelden hieronder.
OPDRACHTEN — OEFENEN
v Volgorde van berekeningen
38 Zet in de juiste rekenvolgorde. R v vermenigvuldigen en delen v optellen en aftrekken
v uitrekenen wat tussen haakjes staat
39 Bereken. Schrijf je berekening stap voor stap op, zoals in de voorbeelden op de linkerbladzijde. T1
a (20 + 4) : 6 e 18 : (15 – 6)
b 20 + 6 : 2 f 12 × 3 : 3
c 5 + 7 – 6 g 12 × 3 – 3
d 5 + (7 – 6) h (6 + 2) × 3
40 Bereken. Schrijf je berekening stap voor stap op, zoals in de voorbeelden op de linkerbladzijde. T2
a 2 × –3 × 4 e –10 : –10 : –10
b (40 + –13) : –3 f –4 + 8 × –4
c 160 : (–100 – –60) g 20 × –(7 + –9)
d –15 + 6 : –6 – –18 h –5 + –5 × 5 – –5
41 Neem over en vul in. T 2
a 3 × = –12 e –2 × 3 + = –12
b –75 : = –25 f 20 : –5 – = 3
c … × –14 = 42 g –7 × … + –1 = –50
d … : –4 = 40 h … : –6 – 4 = 6
42 Je gaat een avond oppassen. Je verdient 5 euro voor het komen plus 4 euro per uur. Je past drie uur op. Hoe kun je berekenen hoeveel je verdient? Schrijf je berekening op. Bereken ook hoeveel je verdient. T2
43 Een bioscoopkaartje kost € 9,50. Reserveren kost € 0,50 per kaartje. Je reserveert en koopt vier kaartjes.
Met welke van de volgende berekeningen kun je bepalen hoeveel je moet betalen? Bereken ook hoeveel je moet betalen. Let op: er zijn meerdere berekeningen goed. Leg je antwoord uit. T2
A 9,50 × 4 + 0,50 × 4
B 4 × 9,50 + 0,50
C (4 × 9,50) + (4 × 0,50)
D 4 × (9,50 + 0,50)
44 Een klusbedrijf rekent 20 euro voorrijkosten en 32,50 euro per uur. T2
a Schrijf een berekening op die bij deze situatie past.
b Bereken wat een klus van vijf uur kost.
OPDRACHTEN — ONTDEKKEN & ONDERZOEKEN
v Ontdekken
45 In de Verenigde Staten wordt de temperatuur in graden Fahrenheit gemeten. Als je de temperatuur in graden Fahrenheit weet, kun je de temperatuur naar graden Celsius omrekenen door er eerst 32 van af te trekken, de uitkomst daarna te vermenigvuldigen met 5 en ten slotte door 9 te delen:
°C = 5 × (°F – 32) : 9
Een temperatuur van 50 graden Fahrenheit komt overeen met 5 × (50 – 32) : 9 = 5 × 18 : 9 = 90 : 9 = 10 graden Celsius.
a Leg uit waarom er haakjes om ‘°F – 32’ staan. T 2
b Hiernaast zie je een weersvoorspelling voor een deel van de Verenigde Staten. Wat is de verwachte temperatuur in Nashville in graden Celsius? En in Bismarck? T 2
46 De volgende sommen kloppen niet omdat er steeds één paar haakjes ontbreekt. Neem over en vul de haakjes op de juiste plek in. I
a –7 × 10 – –2 = –84
b 40 : –5 × 2 × –3 = 12
c –2,5 – 2,5 × 4 – 2 = –22
Weersvoorspelling voor de Verenigde Staten in graden Fahrenheit (°F)
47 Neem over en vul de juiste bewerkingen in. Gebruik +, –, × of : I
a –8 2 –5 = 1
b 10 –10 –10 = –110
c 5,25 –10 2,75 = 18
product haakjes quotiënt cijferreeks rekenvolgorde BEGRIPPEN
v Onderzoeken
48 Een cijferreeks is een reeks van getallen die logisch op elkaar volgen. Zo geldt voor de reeks 1, 2, 4, 8, 16 dat elk getal het dubbele van het vorige getal is. Cijferreeksen worden vaak gebruikt als onderdeel van psychologische tests. Geef steeds de volgende twee getallen in de onderstaande cijferreeksen.
a –2, –4, –8, –16, –32, , T 1
b 15, 14, 12, 9, 5, , T 2
c 3, –6, 12, –24, 48, , T 2 d 1024, –512, 256, –128, , T 2 e 1, –1, 3, –5, 11, , I
49 Bedenk zelf drie cijferreeksen en laat deze aanvullen door een klasgenoot. Gebruik ook negatieve getallen. I
v Heb je het leerdoel bereikt?
R Ik ken de rekenregels voor het vermenigvuldigen en delen met positieve en negatieve getallen en ik weet wat de juiste rekenvolgorde is.
T 1 Ik kan positieve en negatieve getallen met elkaar vermenigvuldigen of door elkaar delen.
T 2 Ik kan een berekening met meerdere bewerkingen in de juiste volgorde uitvoeren.
I Ik kan zelf een cijferreeks met negatieve getallen ontwerpen.
REKENEN
R2 Het grootste getijdenverschil ter wereld komt voor in de Baai van Fundy aan de Canadese oostkust. Het verschil tussen eb en vloed kan daar oplopen tot wel 15 meter. Er zit ongeveer 6 uur tussen de hoogste en de laagste waterstand.
I Hoeveel centimeter stijgt het water gemiddeld per uur tussen eb en vloed?
II Hoeveel centimeter is dat ongeveer per kwartier?
Hoog water in de Baai van Fundy
Laag water in de Baai van Fundy
Breuken
DOEL > Je leert wat breuken zijn en hoe je ermee kunt optellen en aftrekken.
Breuken Als je twee getallen door elkaar deelt, krijg je een decimaal getal. Zo is 2 : 5 = 0,4. Je kunt de deling 2 : 5 ook als breuk schrijven. Je schrijft dan 2 : 5 = 2 5 . Je spreekt 2 5 uit als ‘twee vijfde’. Het getal boven de streep heet de teller, het getal onder de streep de noemer. Omdat 2 5 = 2 : 5 = 0,4 geldt 2 5 = 0,4
Breuken zijn dus getallen. Je kunt breuken daarom op een getallenlijn aangeven. Negatieve breuken noteer je als 2 5 en niet als 2 5 of 2 5 Je kunt je een breuk ook voorstellen als een cirkel die verdeeld is in gelijke delen. De breuk geeft aan welk deel van de cirkel gekleurd is. De breuk 17 5 is groter dan 1 en kun je ook schrijven als 3 2 5 Breuken als 3 2 5 of 2 1 7 heten samengestelde breuken.
Vereenvoudigen Soms kun je in een breuk de teller en de noemer door hetzelfde getal delen. De teller en de noemer van een breuk door hetzelfde getal delen, noem je vereenvoudigen. Zo kun je in de breuk 4 6 de teller en de noemer allebei door 2 delen: 4 6 = 2 3 Sommige breuken kun je vereenvoudigen tot een geheel getal: 10 10 = 1 en –10 5 = –2. Vereenvoudig breuken altijd zo ver mogelijk.
Optellen en aftrekken Breuken met dezelfde noemer heten gelijknamig. Op de getallenlijn kun je zien dat je twee gelijknamige breuken bij elkaar kunt optellen of van elkaar kunt aftrekken door de tellers bij elkaar op te tellen of van elkaar af te trekken. Vaak kun je samengestelde breuken direct bij elkaar optellen of van elkaar aftrekken: 1
. Als je het antwoord niet meteen ziet, is het handig om de samengestelde breuken eerst als gewone breuk te schrijven voordat je ze bij elkaar optelt of van elkaar aftrekt: 4 5
Voorbeelden
OPDRACHTEN — OEFENEN
v Breuken
50 Welk deel van de volgende figuren is oranje gekleurd? T 1
v Vereenvoudigen
54 a Laat met cirkels zien dat 8 12 = 4 6 = 2 3 T1
b Laat op een getallenlijn zien dat 4 10 = 2 5 T1
55 Vereenvoudig. T1
a 4 8 d 25 5 g –24 6
b 9 27 e 36 12 h 18 4
c 6 18 f –63 9 i –32 3
v Optellen en aftrekken
56 Neem over en vul teller of noemer in. R
a In een breuk heet het getal onder de streep de b Breuken met dezelfde …… zijn gelijknamig.
51 Teken een getallenlijn van 0 tot 4 en geef de volgende breuken met een pijltje aan. T 1
1 4 , 3 4 , 10 4 , 12 4 , 3 1 4
52 Schrijf als samengestelde breuk. T1
a 11 2 d 21 7 g 37 4
b 15 4 e 8 3 h 32 5
c 20 9 f –27 8 i –29 6
53 Schrijf als gewone breuk. T1
a 1 3 4 d 5 5 6 g 40 1 7
b 2 5 6 e –7 1 3 h –4 3 7
c –1 5 9 f 25 1 4 i 10 3 8 A C B D
57 Bereken. T1 a 1 4 + 2 4 d 1 6 + 2 6 + 1 6 b 9 10 –4 10
58 Bereken. T1
59 Neem over en vul in. T2
Gelijknamig maken Als je twee breuken gelijknamig maakt, zorg je ervoor dat de noemers gelijk worden. Dat doe je als volgt:
v Vermenigvuldig eerst de teller én de noemer van de eerste breuk met de noemer van de tweede breuk.
v Vermenigvuldig daarna de teller én de noemer van de tweede breuk met de noemer van de eerste breuk.
Soms kun je breuken sneller gelijknamig maken. Als je bijvoorbeeld de breuken 1 3 en 1 12 gelijknamig wilt maken, hoef je beide breuken niet met noemer 3 × 12 = 36 te schrijven, maar kun je 1 3 direct schrijven als 1 3 = 1 × 4 3 × 4 = 4 12. En als je de breuken 5 6 en 2 9 gelijknamig wilt maken, hoef je beide breuken niet met noemer 6 × 9 = 54 te schrijven, maar kun je ze ook met noemer 18 schrijven:
Voorbeelden
Maak 2 3 en 4 5 gelijknamig.
Maak 1 2 en 3 8 gelijknamig.
Je kunt 1 2 direct schrijven als:
6, 12, 18, 24, ... 9, 18, 27, ...
Ongelijknamige breuken optellen en aftrekken Breuken met een verschillende noemer heten ongelijknamig. Ongelijknamige breuken moet je eerst gelijknamig maken voordat je ze bij elkaar op kunt tellen of van elkaar af kunt trekken.
Maak 1 6 en 5 8 gelijknamig.
6, 12, 18, 24, 30, ... 8, 16, 24, 32, ...
OPDRACHTEN — OEFENEN
v Gelijknamig maken
60 Neem over en vul in. T1
a 1 4 = 12 d 4 7 = 12
b 2 5 = 10 e 5 = 8 20
c 2 3 = 12 f 3 = 15 40
61 Maak de volgende breuken gelijknamig. T1
a 1 4 en 1 7 e 1 2 en 3 4
b 1 2 en 1 3 f 2 3 en 5 12
c 1 7 en 1 5 g 3 4 en 5 6
d 3 8 en 4 9 h 1 6 en 2 9
62 Neem over en vul < of > in. T2
a 3 2 … 5 6 d 5 6 … 6 7
b 5 8 … 7 16 e 5 8 … 7 12
c 1 3 … 1 4 f 3 5 … 5 9
v Ongelijknamige breuken optellen en aftrekken
63 Bereken. T1
a 1 4 + 1 3 e 2 3 + 4 5
b 2 5 + 3 7 f 1 6 − 1 4
c 3 4 − 1 8 g 5 9 + 7 10
d 5 6 − 3 5 h 2 7 − 5 9
64 Van de landbouwgrond in de provincie
Groningen is ongeveer 3 7 deel in gebruik als grasland, 1 4 deel wordt gebruikt voor granen, 3 20 deel voor aardappels, 1 14 deel voor suikerbieten, 1 20 deel voor groenvoedergewassen en de rest voor overige soorten akkerbouw. T 2
a Bereken hoe groot het deel van de landbouwgrond is waarop aardappelen of suikerbieten worden verbouwd.
b Bereken hoe groot het deel van de landbouwgrond is dat voor overige soorten akkerbouw wordt gebruikt.
65 Bereken. T1
66 Bereken. T2
a 2 5 6 − 2
OPDRACHTEN — ONTDEKKEN & ONDERZOEKEN
v Ontdekken
67 a Teken een getallenlijn van 0 tot 1 en geef de breuken 2 5 en 3 5 met een pijltje aan. Welke breuk is groter? T 1
b Waar staat in een breuk de teller en waar de noemer? R
c Hoe kun je zonder ze op een getallenlijn te plaatsen van twee gelijknamige breuken bepalen welke groter is? I
68 Bereken op een handige manier. I
a –50 6 7 – 2 3 7
b 47 1 13 – 49 2 13
c –115 2 3 + 215 1 6
v Onderzoeken
69 In een rekenpiramide is het getal in elk vak gelijk aan de som van de getallen in de twee eronder gelegen vakken. Hierboven zie je een voorbeeld van zo’n rekenpiramide.
Neem de volgende rekenpiramide over en vul de ontbrekende getallen in. T 2
70 Ontwerp zelf een rekenpiramide met breuken die uit vier lagen bestaat en laat een klasgenoot de ontbrekende getallen invullen. I
BEGRIPPEN
breuk teller noemer samengestelde breuk vereenvoudigen gelijknamig gelijknamig maken ongelijknamig
REKENEN
R3 In totaal is er in Nederland ongeveer 2 miljoen hectare landbouwgrond.
I Schrijf het getal 2 miljoen in cijfers.
II Welk getal is duizend keer kleiner dan één miljoen? Kies uit: 100, 1000, 10 000 of 100 000.
III En welk getal is duizend keer groter dan een miljoen? Kies uit honderdduizend, één miljard of één biljard.
IV Een hectare is 10 000 m2. Hoeveel m2 landbouwgrond is er ongeveer in Nederland? Kies uit 200 miljoen, 2 miljard, 20 miljard of 200 miljard.
v Heb je het leerdoel bereikt?
R Ik weet wat breuken zijn, wat de teller en wat de noemer is, en ken het verschil tussen gelijknamige en ongelijknamige breuken.
T 1 Ik kan breuken vereenvoudigen, gelijknamig maken, bij elkaar optellen en van elkaar aftrekken.
T 2 Ik kan een vraagstuk in woorden omzetten in een berekening.
I Ik kan zelf een rekenpiramide met breuken maken.
Historische kaart van landbouwkavels in de Schermer (Noord-Holland), gemaakt door landmeter Pieter Wils (1635).
DOEL > Je leert hoe je met breuken kunt vermenigvuldigen en delen.
Vermenigvuldigen met een geheel getal 4 × 2 5 en 2 5 × 4 kun je ook schrijven als 2 5 + 2 5 + 2 5 + 2 5 . Beide zijn dus gelijk aan 4 × 2 5 = 8
Als je een breuk vermenigvuldigt met een geheel getal, dan vermenigvuldig je de teller van de breuk met het gehele getal.
Let op: als je een samengestelde breuk vermenigvuldigt, schrijf je deze eerst om naar een gewone breuk.
Voorbeelden
Twee breuken met elkaar vermenigvuldigen Bij de vermenigvuldiging 2 3 × 4 5 bereken je 2 3 gedeelte van 4 5 . Om dit uit te rekenen, schrijf je 4 5 = 4 × 3
van
deel is
In deze berekening heb je in feite zowel de tellers als de noemers van beide breuken met elkaar vermenigvuldigd:
Als je twee breuken met elkaar vermenigvuldigt, dan vermenigvuldig je de tellers met elkaar en de noemers met elkaar.
Let op: als je samengestelde breuken vermenigvuldigt, schrijf je deze eerst om naar gewone breuken.
Voorbeelden
OPDRACHTEN — OEFENEN
v Vermenigvuldigen met een geheel getal
71 Bereken. T1
a 2 × 1 3 g 6 × 3 10
b 1 5 × 3 h 12 × 4 9
c 3 8 × 4 i –3 4 × 20
d 7 × − 5 7 j 6 × 1 3 4
e 3 7 × 2 k 2 1 7 × –14
f 2 3 × 5 l –3 1 5 × 7
72 Bereken. T1
a 1 3 deel van 12
b 7 10 deel van 40
c 3 8 deel van 56
d drie kwart van 160
e twee derde van 120
f vier vijfde van 400
73 Bereken en vul in. T 2
a 2 3 deel van een kwartier is minuten.
b 1 12 deel van een uur is minuten.
c 1 100 deel van een uur is seconden.
d 1 20 deel van een eeuw is jaar.
v Twee breuken met elkaar vermenigvuldigen
74 Bereken. T1
a 1 5 × 1 4 g 1 1 8 × 1 4
b 2 3 × 1 7 h 2 1 2 × − 3 5
c 5 6 × 2 9 i 2 1 2 × 3 5
d 7 8 × 8 7 j –1 4 × 1 3 8
e –3 4 × 5 6 k 10 1 3 × 3 1 11
f 2 7 × − 5 7 l –4 4 5 × –5 4 5
75 Bereken. T2
a – 3 + 4 × 5 2
b (2 3 + 1 6) × 4 5 –2 5
c 2 ( 1 2 + 2 1 2 ) × 1 1 2
d 2 3 × 3 + (3 1 2 3 ) × 2
76 Een bos is voor 2 7 deel gekapt. Van de grond die vrijgekomen is, wordt nu 3 4 deel voor landbouw gebruikt. Welk deel van het oorspronkelijke bos is nu in gebruik voor landbouw? T 2
77 Je bent gisteren om 22.00 uur naar bed gegaan en vanochtend om 7.00 uur opgestaan. Je hebt drie kwart van de tijd geslapen. Hoelang heb je geslapen? T2
Delen door een geheel getal 1 3 : 2 is de helft van 1 3 en is dus gelijk aan 1 3 × 1 2. Dit is gelijk aan 1 3 × 2 = 1 6
Als je een breuk deelt door een geheel getal, dan vermenigvuldig je de noemer van de breuk met het gehele getal.
Let op: als je een samengestelde breuk deelt, schrijf je deze eerst om naar een gewone breuk.
Voorbeelden
Delen door een breuk Als je een getal deelt door een breuk, dan bepaal je hoe vaak de breuk in het getal past: 4 : 2 5 = 10, want 10 × 2 5 = 4. Beide kanten vermenigvuldigen met 5 2 geeft 10 × 2 5 × 5 2 = 4 × 5 2
Dit betekent dat 10 = 4 × 5 2 , want 2 5 × 5 2 = 1. Je kunt de uitkomst van 4 : 2 5 dus vinden door 4 met het omgekeerde van 2 5 te vermenigvuldigen:
4 : 2 5 = 4 × 5 2 .
Als je deelt door een breuk, dan vermenigvuldig je met het omgekeerde van de breuk.
Let op: als je samengestelde breuken deelt, schrijf je deze eerst om naar gewone breuken.
Voorbeelden
OPDRACHTEN — OEFENEN
v Delen door een geheel getal
78 Bereken. T1
a 7 9 : 2 d 2 13 : 4
b 7 10 : 10 e 5 12 : 10
c 2 5 : 3 f 3 4 : 6
79 Bereken. T1
a 1 1 4 : 8 e 1 10 : 100
b 2 4 5 : 2 f 1 2 : 7
c 3 1 6 : 3 g 3 1 6 : 3
d 100 : 16 h 1 3 4 : 5
80 Neem over en vul in. T 2
a 3 4 : … = 1 4 c 24 27 : … = 1 9
b 8 3 : … = 2 3 d –10 6 : … = 1 2 3
81 4 5 deel van € 27 500,– wordt verdeeld over acht personen. Hoeveel euro krijgt ieder? T 2
v Delen door een breuk
82 Bereken. T1
a 5 : 1 2 e 2 7 : 1 3
b 10 : 1 8 f 3 8 : 3 8
c 6 : 2 3 g 5 6 : 5 8
d − 1 2 : 3 4 h 4 5 : − 3 2
83 Bereken. T1 a 4 5 : 1 1 9 e 1 1 10 : 1 2 3 b 2 3 4 : 3 7 f 4 9 : 1 2 3
c 2 : 1 3 4 g 2 1 3 : 5 6
d 1 1 5 : 1 1 5 h 3 1 3 : 2 1 2
84 Bereken. T2
a 2 : ( 2 7 + 1 14 )
b ( 3 10 + 1 2 5 ) : 7 10
c –6 : 1 3 – 2 × 5 3
d 1 2 × (1 3 4 – –1 1 2) : 1 2
85 In 2016 dronken Nederlanders gemiddeld 40 liter melk. In een glas past ongeveer 1 5 liter. Hoeveel glazen melk dronken Nederlanders gemiddeld in 2016 ? T 2
OPDRACHTEN — ONTDEKKEN &
ONDERZOEKEN
v Ontdekken
86 De Rijn stroomt Nederland binnen bij het Gelderse dorpje Spijk. Gemiddeld stroomt daar iedere seconde 2,1 miljoen liter water ons land binnen. Bij de Pannerdense Kop splitst de Rijn zich in de Waal en het Pannerdensch Kanaal. De verdeling van de afvoer van het water wordt door Rijkswaterstaat geregeld.
Onder normale omstandigheden stroomt 2 3 deel van het water uit de Rijn in de Waal en 1 3 deel in het Pannerdensch Kanaal.
a Bereken hoeveel liter water gemiddeld iedere seconde vanuit de Rijn in de Waal stroomt. T 2
Het Pannerdensch Kanaal komt na 6 kilometer uit in de Nederrijn waar even verderop bij de IJsselkop bij Arnhem-Zuid de IJssel van aftakt. Van het water in het Pannerdensch Kanaal wordt 2 3 deel door de Nederrijn afgevoerd en 1 3 deel door de IJssel.
b Bereken hoeveel liter water gemiddeld iedere seconde door de Nederrijn stroomt. Schrijf je antwoord indien nodig als breuk. I
Nederrijn arnhem
Pannerdensch Kanaal
Waal
IJssel
nijmegen 2 3 1 3 2 3 1 3 Spijk
IJsselkop
Pannerdense Kop
Rijn
REKENEN
R4 Kijk nog eens naar opdracht 86.
I Schat hoeveel miljard liter water ons land gemiddeld per dag via de Rijn binnenstroomt.
II Reken nu precies uit hoeveel miljard liter water gemiddeld per dag ons land via de Rijn binnenstroomt.
De IJsselkop bij Arnhem. Het Pannerdensch kanaal splitst zich in de Nederrijn (links) en de IJssel (rechts).
87 Geef drie vermenigvuldigingen waar 3 5 uit komt. I
88 a Neem over en maak de berekening af. T 1
11 4 × 8 19 = 11 × 4 × =
b Als je 11 4 met 8 19 vermenigvuldigt, zit er een gemeenschappelijke factor 4 in de noemer en de teller. Neem over en maak de berekening af. T 1
11 4 × 8 19 = 11 4 × 4 × 2 19 = 11 1 × 2 19 =
c Bereken 9 25 × 150 7 , 300 13 × 7 15 en 39 125 × 625 26 . T 2
d Mag je bij de deling 11 4 : 8 19 = 11 4 : 4 × 2 19 ook de gemeenschappelijke factor 4 wegstrepen? Leg je antwoord uit. I
89 Neem over en vul in. I
a
c 4 5 × … = –12 25 g 3 8 : … = –9 4 d –3 10 : = –4 9 h – 1 1 3 : = –5 1 3
v Onderzoeken
90 Maak samen met een klasgenoot een video of presentatie waarin je naar keuze uitlegt hoe je twee breuken met elkaar vermenigvuldigt of door elkaar deelt. I
v Heb je het leerdoel bereikt?
R Ik ken de rekenregels voor het vermenigvuldigen en delen met breuken.
T 1 Ik kan met breuken vermenigvuldigen en delen.
T 2 Ik kan een vraagstuk in woorden omzetten in een berekening. I Ik kan uitleggen waarom je bij vermenigvuldigen wel een gemeenschappelijke factor mag wegstrepen of de volgorde mag omdraaien en waarom dit bij delen niet mag.
Machtsverheffen
DOEL > Je leert wat machtsverheffen is en hoe je met machten rekent.
Machten en machtsverheffen Als je een getal een aantal malen met zichzelf vermenigvuldigt, heet die berekening machtsverheffen 2 × 2 × 2 noem je de derde macht van 2. Je schrijft 2 × 2 × 2 korter als 23 en 6 × 6 × 6 × 6 als 64. Je kunt 23 op verschillende manieren uitspreken: ‘de derde macht van twee’, ‘twee tot de macht drie’ of ‘twee tot de derde’. Een macht van een negatief getal schrijf je met haakjes: –2 × –2 × –2 × –2 schrijf je korter als (–2) 4 en is gelijk aan 16. –24 zonder haakjes is gelijk aan het tegengestelde van 2 4 en dus gelijk aan –16.
Voorbeelden
1 2 3 4 5
6 2 = 6 × 6 = 36
( 6) 2 = − 6 × − 6 = 36
6 2 = − 6 × 6 = − 36
( 1 2 ) 4 = 1 2 × 1 2 × 1 2 × 1 2 = 1 × 1 × 1 × 1
(
Grondtal en exponent In 23 heet 2 het grondtal en 3 de exponent. Het grondtal staat altijd onderaan en de exponent bovenaan : grondtal exponent. In 23 geeft de 3, de exponent, aan wat er gebeurt met de 2, het grondtal.
Kwadrateren De tweede macht van een getal komt vaak voor en heeft daarom een speciale naam: het kwadraat. De berekening heet kwadrateren. Zo heet 5 × 5 het kwadraat van 5. Je schrijft 5 × 5 korter als 52. Dit spreek je uit als ‘vijf kwadraat’ of ‘vijf in het kwadraat’. Het woord kwadraat is afkomstig van het Latijnse woord ‘quadratus’, dat vierkant betekent.
Als je de kwadraten van de getallen 1 tot en met 15 uit je hoofd kent, helpt dat je om handig te kunnen rekenen.
1 2 = 1 6 2 = 36 11 2 = 121
2 2 = 4 7 2 = 49 12 2 = 144
3 2 = 9 8 2 = 64 13 2 = 169
4 2 = 16 9 2 = 81 14 2 = 196
5 2 = 25 10 2 = 100 15 2 = 225
Dit zijn andere handige kwadraten om te onthouden :
202 = 400 302 = 900 502 = 2500
252 = 625 402 = 1600 1002 = 10 000
2 3 grondtal exponent
De oppervlakte van een vierkant is gelijk aan het kwadraat van de lengte van de zijden : oppervlakte = 4 × 4 = 42 = 16 4 4
OPDRACHTEN — OEFENEN
v Machten en machtsverheffen
91 Neem over en vul in. T1
a 3 3 = 3 × 3 × 3 =
b 5 2 = 5 × 5 =
c 2 4 = − 2 × 2 × 2 × 2 =
d ( 3) 3 = − 3 × − 3 × − 3 =
e 1 8 =
f ( 4) 2 =
92 Neem over en vul in. T1
a ( 1 5 ) 3 = 1 5 × 1 5 × 1 5 =
b (1 1 2) 2 = 1 1 2 × 1 1 2 =
c ( 2 5 ) 2 =
d (2 1 4 ) 2 = 2 1 4 × 2 1 4 = 4 × 4 =
e (1 1 3 ) 3 =
f (4 1 2 ) 2 = …
93 Bereken. T 1
a (o,5)2 e (– 4 ) 4 i ( 3 4 )3
b 162 f 100 3 j 10 6
c 1000 2 g – 36 k (2 1 7)2
d 312 h ( 1 3 )2 l (1 2 3 ) 3
94 Neem over en vul in. T 1
a –1 × –1 = (–1) c 9 × 9 × 9 × 9 = 4
b 2 5 × 2 5 × 2 5 = ( 2 5 ) d 7 9 × 7 9 = 2
v Grondtal en exponent
95 Bepaal steeds het grondtal en de exponent. T1
a 5 10 c 34 2 e (5 1 3) 10
b 2 14 d ( 1 2 ) 8 f (4 1 2) 2
96 Bepaal steeds het grondtal. T 2
a 144 = 2 c 81 = 4
b 125 = … 3 d 1 000 000 000 = 3
97 Bepaal steeds de exponent. T2
a 27 = 3 c 1 16 = ( 1 4 )
b 625 = 5 d 1 32 = ( 1 2 )
98 a Bereken (–2)2, (−2) 3, (−2) 4 en (−2) 5 T 1
b Bereken (– 3)2 en (– 3)3. T 1
c Wanneer is een macht met een negatief grondtal positief? I
v Kwadrateren
99 Bereken. R
a 11 2 c 152 e 302
b 142 d 252 f 402
100 Schrijf de oppervlakte van de volgende vierkanten als kwadraat. T 1
1.5 MACHTSVERHEFFEN 4
Volgorde van berekeningen Je moet berekeningen in de juiste volgorde uitvoeren. Als er machten in de berekening staan, krijgen die voorrang boven vermenigvuldigen, delen, optellen en aftrekken. Alleen haakjes krijgen voorrang boven machten. De juiste rekenvolgorde is:
1 eerst uitrekenen wat tussen haakjes staat ; 2 dan machtsverheffen en kwadrateren ; 3 dan vermenigvuldigen en delen van links naar rechts ; 4 dan optellen en aftrekken van links naar rechts.
Let erop dat je de berekening altijd stap voor stap uitwerkt en onder elkaar opschrijft, zoals in de volgende voorbeelden.
Voorbeelden
OPDRACHTEN — OEFENEN
v Volgorde van berekeningen
101 Zet in de juiste rekenvolgorde. R
v machtsverheffen
v uitrekenen wat tussen haakjes staat
v optellen en aftrekken
v delen en vermenigvuldigen
102 Neem over en vul in. T1
a 3 2 + 5 2 = + =
b (9 + 2) 2 = 2 =
c 5 × 2 4 = 5 × =
103 Bereken. T1
a 22 + 142
b 6 × 52
c (21 + 9) × 10
d 100 5 3
e 16 : ( 2) 3
f 5 2 × − 3 2
g 3 + 2 × 7 2
h 20 2 : (8 × 5)
104 Bereken. T1
a ( 4 × 2 + 10) 3
b 62 × 3 – 6 × 32
c (22 – 7) : 3 + 6
d 2 × (142 – 42)
e (1 + 2) 3 + 4 × 5
f (5 + 2) × (1 4 2) 2
105 Bereken. T2
a 4 × ( 1 2 ) 3
b (2 3 3 7)2
c 1 + 2 × ( 5 7)3
d 2 4 : 1 1 2 1
e ( 1 3 + 7 4) × 22 + 3
f 42 × (–3 2 + 4)
106 Bereken. T2
a 1 5 × (5 3 – 52 )
b 1 1 3 + (2 1 3)2
c 5 : 102 : 1 5
d ( 1 4 –1 3) : 1 24
e –22 × 23 : ( 1 2)2 – 2
f 3 1 5 : 3 3
107 De volgende berekeningen kloppen niet omdat er steeds één paar haakjes ontbreekt. Neem over en vul de haakjes op de juiste plek in. I
a 3 + 5 × 2 2 = 32
b 10 3 × 2 3 + 5 = − 29
c 4 × 2 3 2 2 × 3 = 48
d 2 2 × 3 2 × 3 2 = − 24
v Ontdekken
— ONTDEKKEN & ONDERZOEKEN
108 a Hoe spreek je 5 2 uit ? R
b Een kamer heeft een oppervlakte van 16 m2 Hoe spreek je ‘ m2 ’ hier uit ? T 2
c Welke exponent gebruik je als je wilt aangeven dat het om oppervlakte gaat? T 2
d Welke exponent gebruik je als je wilt aangeven dat het om inhoud gaat ? T 2
109 In het Engels spreek je 23 uit als ‘two cubed’. Letterlijk vertaald staat hier ‘twee gekubust’. Leg uit wat de relatie is tussen een kubus en een derde macht. I
110 a Leg uit waarom 1 dm2 uit 100 cm2 bestaat. T 2
b Leg uit waarom 1 dm3 uit 1000 cm3 bestaat. T 2
c Welke berekening moet je maken om uit te rekenen hoeveel mm 3 er in 1 dm 3 gaan?
Noteer wat je moet uitrekenen met een grondtal en een exponent. T 2
111 In de figuur hieronder vertakt elke lijn zich steeds in drie nieuwe lijnen. T 2
a Leg uit dat de tekening uit 1 + 3 + 32 + 33 lijnen bestaat en reken deze som uit.
b Hoeveel lijnen komen er bij als je er nog een vertakking bij zou tekenen?
v Onderzoeken
112 Lees de tekst Graankorrels en het schaakbord op de rechterbladzijde.
a Hoeveel graankorrels komen er op elk van de velden 5 tot en met 10 te liggen? T 1
b Schrijf de antwoorden bij opdracht a nu op als macht van 2. T 2
c Koning Shihram liet zijn slaven een schaakbord halen en de graankorrels erop leggen. Eerst verliep dit zonder problemen, maar dat veranderde snel: op veld 25 kwamen al 16 777 216 graankorrels te liggen. Noteer het aantal graankorrels op veld 25 als macht van 2. T 2
d Reken precies uit hoeveel korrels er op veld 26 moeten liggen. T 2
e Noteer het aantal graankorrels op veld 64 als macht van 2. T 2
f Denk je dat koning Shihram genoeg graan bezat om Sissa zijn beloning te kunnen geven? Leg je antwoord uit. I
REKENEN
R5 Bereken.
I 412 – 67 – 12
II 45 – 12,31 – 0,69
III 5,1 – 3,7 – 1,19
IV 735 : 15
V 5,115 : 11
Graankorrels en het schaakbord
Koning Shihram was een tiran. Een van zijn onderdanen, Sissa, vond het schaakspel uit om de koning te laten zien dat hij al zijn onderdanen nodig had en goed voor hen moest zorgen.
De koning was erg enthousiast over het spel: het schaakspel had hem geleerd dat de boeren (pionnen) en de adel (de andere stukken) als een eenheid moesten samenwerken.
Koning Shihram beloofde Sissa een beloning die hij zelf mocht uitkiezen. Daarop vroeg Sissa de koning om één graankorrel op het eerste veld van een schaakbord te leggen, twee korrels op het tweede veld, vier korrels op het derde veld, acht korrels op het vierde veld, enzovoort. Op ieder veld dus steeds het dubbele aantal graankorrels van het vorige veld. Wat een domoor, dacht de koning, ik zou hem veel meer gegeven hebben.
ibn khallikan (2015) Biographical dictionary of Ibn Khallikan, vol. 3. Arkose Press.
BEGRIPPEN
machtsverheffen grondtal exponent kwadraat kwadrateren rekenvolgorde
v Heb je het leerdoel bereikt?
R Ik weet wat machten, kwadraten, grondtallen en exponenten zijn en in welke volgorde ik een berekening moet uitvoeren.
T 1 Ik kan machtsverheffen en ik kan berekeningen in de juiste volgorde uitvoeren.
T 2 Ik kan het grondtal of de exponent bepalen in berekeningen met machten.
I Ik kan uitleggen wat machtsverheffen te maken heeft met oppervlakte en inhoud en met het verhaal over de graankorrels op het schaakbord.
Toetsvoorbereiding
Kijk aan het eind van elke paragraaf of je de begrippen kent en het leerdoel hebt bereikt. Zo niet, lees dan de uitleg nog eens goed door of bekijk de uitlegvideo's. Maak daarna de volgende opdrachten.
v Wiskunde in de praktijk
113 a Schrijf het getal 19 als binair getal en als byte. T 1
b Schrijf het binaire getal 100101 als decimaal getal. T 1
114 Welke byte heeft de grootste waarde?
Geef de waarde van deze byte ook als decimaal getal. I
v § 1.1
115 Bereken. T 1
a 14 – 38 c –5 – – 15
b – 4 + –16 d 11,1 + – 8,2
116 Alexander de Grote was koning van Macedonië en heeft met zijn vele veroveringen een van de grootste rijken in de oudheid gesticht. Zijn rijk strekte zich op het hoogtepunt uit van Griekenland tot aan de Himalaya. Alexander de Grote werd geboren op 20 juli in 356 v. Chr. en stierf op 11 juni in 323 v. Chr. Bereken hoe oud hij is geworden. T 2
Alexander de Grote
v § 1.2
117 Neem over en vul plus of min in. R
a plus × min = c : plus = min
b min × = plus d min : min =
118 Neem over en vul in. T 2
a –5 × = –15 d –3 × –7 + = –5
b –60 : = 4 e 40 : – 8 – = 2
c × – 9 = 72 f : 0,15 = –60
119 Bereken. T 1
a 10 – 4 + 2 × 6
b 5 + 8 – 16
c 6 × 5 – 8 : 2
d (2 – 5) – (3 – 4)
v § 1.3
120 Neem over en vul teller of noemer in. R
a Breuken met dezelfde zijn gelijknamig.
b Breuken met dezelfde kun je bij elkaar optellen door de s bij elkaar op te tellen.
121 Bereken. T 1
v § 1.4
122 Bereken. T 1
a 3 5 × 7 e 17 × 33 34
b 4 7 × –5 6 f 1 3 × 1 2 5
c –3 8 : 2 g – 4 : –1 3
d 2 11 : 3 4 h 1 2 3 : 1 3 5
123 Van de landbouwgrond in de provincie
Groningen is ongeveer 1 4 deel in gebruik voor granen. Daarvan wordt op ongeveer 4 5 deel tarwe verbouwd en op ongeveer 1 5 deel gerst. T 2
a Bereken welk deel van de totale landbouwgrond in Groningen in gebruik is voor tarwe en welk deel voor gerst.
b In 2017 was er in Groningen ongeveer 28 duizend hectare grond in gebruik voor tarwe. Bereken hoeveel hectare landbouwgrond er toen in gebruik was voor gerst.
v § 1.5
124 Waar staat in een macht het grondtal en waar de exponent? R
125 Bereken. T 2
a 4 + (2 3 : 4) 2
b (1 1 9 –2 9 ) × (1 1 2 )2
c (6 + 4) : (22 + 1)
d 3 (2 2 + 3 2) 2 + 5
v Hoofdstuk 1
126 Neem over en vul < , > of = in. T 2
a 1 –1 e 1 3 1 4
b – 19 … – 20 f 3 5 … 2 3
c – 5,15 – 5,07 g –3 5 – 0,60
d 0,1 … 0,09 h –5 7 … –11 14
127 De volgende berekeningen kloppen niet omdat er steeds één paar haakjes ontbreekt. Neem over en vul de haakjes op de juiste plek in. T 2
a 3 – 4 × 2 + 5 = – 25
b 1 4 + 1 2 × 2 3 –1 6 = 1 2
c 1 4 × 2 3 – 2 2 × 3 = 3
128 Bereken (– 1) 1000 I