KERN WISKUNDE
VWO B
LEERJAAR 4 DEEL 1
METHODECONCEPT / REDACTIE
Boom voortgezet onderwijs
AUTEURS
Benjamin del Canho
Maartje Elsinga
Gijs Langenkamp
Erik Leppen
Sibren Stienstra
Vera de Visser-Lagas
KERN WISKUNDE
VWO B
LEERJAAR 4 DEEL 1
BOOM VOORTGEZET ONDERWIJS
© 2023 Boom voortgezet onderwijs, Meppel, The Netherlands
Behoudens de in of krachtens de Auteurswet van 1912 gestelde uitzonderingen mag niets uit deze uitgave worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elek tronisch, mechanisch door fotokopieën, opnamen of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever.
Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikelen 16h t /m 16m
Auteurswet 1912 jo. besluit van 27 november 2002, Stb 575, dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoeding te voldoen aan de Stichting Reprorecht te Hoofddorp (postbus 3060, 2130 kb , www.reprorecht.nl) of contact op te nemen met de uitgever voor het treffen van een rechtstreekse regeling in de zin van art. 16l, vijfde lid, Auteurswet 1912. Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16, Auteurswet 1912) kan men zich wenden tot de Stichting PRO (Stichting Publicatie- en Reproductierechten, postbus 3060, 2130 kb Hoofddorp, www.stichting- pro.nl).
All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, recording or otherwise without prior written permission of the publisher.
isbn 978 94 6442 076 0 www.boomvoortgezetonderwijs.nl
KERN Wiskunde is een RTTI-gecertificeerde methode en onderscheidt vier soorten vragen:
r Reproductievragen
t1 Trainingsgerichte toepassingsvragen
t2 Transfergerichte toepassingsvragen
i Inzichtvragen
Voor meer informatie over de RTTI-systematiek, zie www.docentplus.nl.
Boekontwerp & omslag René van der Vooren, Amsterdam
Opmaak & technische tekeningen PPMP, Wolvega
Inhoud
1 Wiskundig redeneren
academie
Booleaanse algebra 8
1.1 De reële rechte 12
1.2 Formules en grafieken 18
1.3 Lineaire vergelijkingen 24
1.4 Kwadratische vergelijkingen 30
1.5 Ongelijkheden 36
Toetsvoorbereiding 42
Extra opdrachten 44
2 Functies
academie
Het affiene cijfer 50
2.1 Functies 54
2.2 Extreme waarden en asymptoten 60
2.3 Grafisch numeriek, algebraïsch en exact 66
2.4 Transformaties 72
2.5 Parameters 78
Toetsvoorbereiding 84
Extra opdrachten 86
3 Lijnen en cirkels
academie
Manhattanmeetkunde 92
3.1 Het cartesiaans coördinatenstelsel 96
3.2 Lijnen 102
3.3 Stelsels vergelijkingen 108
3.4 Vergelijking van een cirkel 114
3.5 Snijpunten van cirkels en lijnen 120
Toetsvoorbereiding 126
Extra opdrachten 128
Register van begrippen 132
1 Wiskundig redeneren
Wie op een gestructureerde manier nadenkt over de oplossing van wiskundige vraagstukken, is bezig met wiskundig redeneren. Het gaat er dan om dat je op een logische manier met behulp van wiskundige kennis en technieken tot een oplossing komt. In dit hoofdstuk leer je verschillende technieken voor het oplossen van vergelijkingen en ongelijkheden. Ook leer je hoe je deze technieken door logisch te denken op de juiste manier kunt gebruiken.
ACADEMIE
Booleaanse algebra 8
1.1 De reële rechte 12
1.2 Formules en grafieken 18
1.3 Lineaire vergelijkingen 24
1.4 Kwadratische vergelijkingen 30
1.5 Ongelijkheden 36
Toetsvoorbereiding 42
Extra opdrachten 44
ACADEMIE
DOEL Je maakt kennis met booleaanse algebra.
Booleaanse algebra
In de logica wordt gewerkt met beweringen die waar of onwaar zijn. Een propositie is een bewering die waar of onwaar is. Zo is ‘7 is een priemgetal’ een propositie die waar is en √36 = 8 een propositie die niet waar is. De Engelse wiskundige George Boole (1815–1864) heeft in zijn boek The Mathematical Analysis of Logic (1847) het idee ontwikkeld dat je proposities kunt beschrijven met algebra, zodat je ermee kunt rekenen. In deze vorm van algebra, die later booleaanse algebra is gaan heten, kunnen variabelen twee waarden aannemen, ‘waar’ of ‘onwaar’. Vaak wordt dit aangeduid met 0 (onwaar) of 1 (waar). Als bijvoorbeeld een variabele x waar is, dan noteer je dat als x = 1. Stel bijvoorbeeld dat je de propositie ‘Driehoek ABC is een rechthoekige driehoek.’ x noemt, dan betekent x = 1 dat driehoek ABC rechthoekig is en x = 0 dat deze driehoek niet rechthoekig is.
Je kunt verschillende bewerkingen op variabelen uitvoeren:
De negatie van een variabele x levert de tegenovergestelde waarde van x op. Je noteert de negatie van x als ¬ x Als x = 0, dan geldt ¬ x = 1. Als x = 1, dan geldt ¬ x = 0.
Een conjunctie verbindt twee variabelen x en y met elkaar. Je noteert de conjunctie van x en y als x ∧ y. Deze uitdrukking is alleen waar als x en y beide waar zijn. In alle andere gevallen is deze uitdrukking niet waar. Het symbool ∧ kun je daarom lezen als ‘en’. In de onderstaande waarheidstabel zie je de mogelijkheden.
Een disjunctie verbindt ook twee variabelen x en y met elkaar. Je noteert de disjunctie van x en y als x ∨ y. Deze uitdrukking is waar als ten minste een van beide variabelen x of y waar is. Het symbool ∨ kun je daarom lezen als ‘of’. Let op: een disjunctie is ook waar als x en y beide waar zijn. In de onderstaande waarheidstabel zie je de mogelijkheden.
Door de Tweede Wereldoorlog kreeg de ontwikkeling van computers een sterke impuls. In het Verenigd Koninkrijk werd in Bletchley Park de Colossus computer ontwikkeld om gecodeerde berichten van de Duitsers te kunnen kraken. De Colossus bestond uit twee grote rekken met ongeveer 1500 elektronenbuizen. Op de foto zie je Colossus Mark 2 computer in 1943 die bediend wordt door Dorothy Du Boisson (links) and Elsie Booker (rechts).
De logica achter deze algebra wordt op veel plaatsen in de wiskunde en de informatica gebruikt. Omdat een computer op basis van elektriciteit werkt die ‘uit’ (0) of ‘aan’ (1) kan staan, vormt de booleaanse algebra de basis om computers te laten rekenen. Door negatie, conjunctie en disjunctie op een slimme manier met elkaar te combineren, kun je ingewikkelder bewerkingen maken. Zonder logica zou de ontwikkeling van computers ongetwijfeld veel langzamer verlopen zijn.
1 Geef voor de onderstaande proposities aan of ze waar of onwaar zijn. T1
a 39 is een priemgetal
b 6 + 5 23 = 88
c De vergelijking x 2 = 4 heeft precies één oplossing.
d 3 10 71 < π < 3 1 7
e De grafiek van y = 2 x − 3 gaat door het punt (−3, 0).
f Een bergparabool snijdt de xas als de top boven de xas ligt.
2 Gegeven is dat x = 1 en y = 0. Geef voor de onderstaande proposities aan of ze waar of onwaar zijn.
a ¬ y T1 d ¬ ¬ x T2
b x ∨ y T1 e x ∨ (x ∨ y) T2
c x ∧ y T1 f (x ∨ y) ∧ ¬ y T2
3 Welke van onderstaande proposities is gelijkwaardig met de propositie 1 < √2 < 2? T2
A √2 > 1 ∨ √2 < 2
B 1,2 < √2 < 1,8
C √2 > 1 ∧ √2 < 2
D 2 < √2 ∨ 1 < √2
4 Gegeven zijn drie proposities over een geheel getal n T2
x : n is deelbaar door 2
y: n is deelbaar door 3
z: n is deelbaar door 6
Neem onderstaande waarheidstabel over en beredeneer welke waarden in de lege cellen moeten staan. Noteer ook steeds je redenatie.
y z
5 Leg uit welke van de onderstaande proposities over de getallen a en b altijd waar zijn. T2
a (a − b)2 = (b − a)2
b (a + b)(a − b) = a 2 − b 2
c (a − b)3 = (b − a)3
d (ab)2 ≥ 0
6 In booleaanse algebra heet een uitdrukking die altijd waar is een tautologie. I
a Toon met behulp van een waarheidstabel aan dat (x ∨ ¬ x) een tautologie is.
b Bepaal met behulp van een waarheidstabel of (x ∧ y) ∨ ¬ x een tautologie is.
Heb je het leerdoel bereikt?
R Ik weet dat in booleaanse algebra variabelen de waarden ‘waar’ (1) of ‘niet waar’ (0) kunnen aannemen. Ook ken ik de betekenis van de volgende begrippen:
propositie
booleaanse algebra
negatie
conjunctie
disjunctie
waarheidstabel
T1 Ik kan de waarde van eenvoudige booleaanse uitdrukkingen bepalen.
T2 Ik kan de waarde van ingewikkelde booleaanse uitdrukkingen bepalen.
I Ik kan redeneren met elektronische schakelingen.
Elektronische schakelingen
In een elektronische schakeling zitten logische poorten die werken volgens de booleaanse algebra. EN en OFpoorten hebben twee ingangen en één uitgang. Als bij een ENpoort door beide draadjes stroom loopt, laat deze poort de stroom door. Bij een OFpoort laat de poort stroom door als door minimaal een van de twee draadjes stroom loopt. Een NIETpoort heeft één ingang en één uitgang. Als er stroom binnenkomt, laat deze poort de stroom niet door. Als er geen stroom binnenkomt, laat deze poort wel stroom door de uitgang lopen. Met behulp van dit soort poorten kun je allerlei elektronische schakelingen maken, waarmee je apparaten ingewikkelde taken kunt laten uitvoeren.
7 Hieronder zie je een deel van een elektronische schakeling. Door de knoppen in te drukken, kun je stroom door de draadjes laten lopen. Je kunt deze situatie met behulp van variabelen beschrijven. Als een knop ingedrukt is, heeft de bijbehorende variabele waarde 1 en anders 0. Als het lampje brandt, geldt z = 1 en anders z = 0. Bepaal met behulp van de waarheidstabel hiernaast wanneer het lampje brandt en wanneer niet. I
De reële rechte
DOEL Je leert wat de reële rechte is en wat intervallen zijn. Ook leer je wat de absolute waarde van een getal is.
reële rechte Alle getallen die je op de getallenlijn kunt plaatsen, worden reële getallen genoemd. Daarom heet de getallenlijn ook wel de reële rechte. De verzameling van alle reële getallen noteer je als ℝ
intervallen Bij de ongelijkheid 1 < x ≤ 3 heeft de variabele x een waarde die groter is dan 1 en kleiner dan of gelijk aan 3. Op de reële rechte is dit een aaneengesloten stuk dat een interval wordt genoemd. In de intervalnotatie noteer je dit interval als 〈 1, 3], waarbij het puntige haakje aangeeft dat 1 niet bij het interval hoort en het rechte haakje dat 3 wel bij het interval hoort. Op de reële rechte geef je dit met een open en een dicht bolletje aan. Als een interval aan één kant onbegrensd is, gebruik je een pijltje. Zo is [0, →⟩ het interval dat uit alle getallen x ≥ 0 bestaat.
Een interval waarvan beide eindpunten tot het interval behoren, zoals het interval [−1, 6], is een gesloten interval. Een interval waarvan beide eindpunten niet tot het interval behoren, zoals het interval ⟨3, 10⟩, is een open interval.
Combinaties van intervallen Je kunt ook een combinatie van intervallen hebben. Hiernaast zijn bijvoorbeeld alle getallen x weergegeven met x < 1 ∨ 4 ≤ x ≤ 8. In de intervalnotatie noteer je ⟨←, 1⟩ ∪ [4, 8]. Het symbool ∪ staat voor de vereniging van beide intervallen.
Voorbeelden
ongelijkheid op de reële rechte
Reële rechte waarop de positie van enkele getallen aangegeven is.
8 a Wat is de reële rechte? R b Teken in je schrift de reële rechte van − 5 tot 5 en geef daarop de volgende getallen aan. T1
5 2 √3 π √ ( 3)2 ( 1)8 √1 4 (11 2)2 ( √9 4 )3
9 Welke ongelijkheden horen bij de onderstaande intervallen? Noteer deze intervallen ook in de intervalnotatie. T1
a –1 0 1 2 3 –3 4 5 –2
b 0 1 2 3 4 5
10 Teken de volgende intervallen op de reële rechte. T1
a [−5, 2] b ⟨←, 3⟩
11 Bij elk van de volgende ongelijkheden hoort een interval. Noteer deze intervallen in de intervalnotatie en teken ze op de reële rechte. T1
a 3 ≤ x < 6
b x ≥ − 1
12 Welke ongelijkheden horen bij de onderstaande combinaties van intervallen? Noteer deze combinaties ook in de intervalnotatie. T1 a 2 3 4 5 6 1 0 –1 –2 b 0 1 2 3 4 –1 –2 –3
13 Je ziet hieronder de reële rechte met de intervallen A en B. T2
a Schrijf A ∪ B zo kort mogelijk in de intervalnotatie.
b Welke ongelijkheid hoort bij A ∪ B? 0 1 2 3 4 5 –1 –2 –3 –4 6 A B
14 Bij de volgende ongelijkheden hoort een interval of een combinatie van intervallen.
Schrijf steeds zo kort mogelijk in de intervalnotatie.
a 3 < x ≤ 5 T1
b 2 < x T1
c x > 3 ∨ x > 4 T2
d x < 4 ∨ x ≥ 3 T2
Absolute waarde De absolute waarde of modulus van een reëel getal is de afstand op de reële rechte van dat getal tot 0. Zo is de absolute waarde van 3 gelijk aan 3. Je noteert de absolute waarde van het getal a met absoluutstrepen als | a |. Zo is | 3 | = 3 en | 5 | = 5.
De absolute waarde van een getal is altijd groter dan of gelijk aan 0.
| a | = { a als a ≥ 0 a als a < 0
De afstand tussen twee getallen op de reële rechte is gelijk aan de absolute waarde van het verschil van beide getallen. Zo is de afstand op de reële rechte tussen 9 en 3 gelijk aan | 9 − 3 | = | 6 | = 6. Je vindt dezelfde uitkomst als je | 3 − 9 | uitrekent: | 3 − 9 | = | 6 | = 6.
De afstand tussen de getallen a en b is gelijk aan | a − b |.
Er geldt | a − b | = | b − a |.
Voorbeelden
1 | 10 | = 10 en | 10 | = 10
2 | 5 − 12 | = | 7 | = 7
3
15 a Wat is de absolute waarde van een getal? R
b Waarom geldt | 4 | = | 4 |? T1
c Schrijf | 3,5 | zonder absoluutstrepen. T1
d Op welke van de volgende manieren kun
je de afstand op de reële rechte tussen de getallen 3 en 10 berekenen? Leg uit. T1
A | 10 − 3 | C | 3 − 10 |
B | 10 + 3 | D | 3 + 10 |
16 Bereken zonder rekenmachine. T1
a | 7,5 − 2 |
b | 1 − √2 |
c | 7 |
d 2 · | 8 − 9 |
17 Bereken zonder rekenmachine. T2
a | 32 − 52 | − | 4 · − 3 |
b 2 · | 1,5 | − | 7 | · | 2 |
c || 2 | − | 3 ||
d | 62 | + |2 − | 8 ||
e | 10 5 | − 6 : | 2 − √16 |
f |2 − π − | 1 ||
18 Neem over en vul <, > of = in. T2
a 2 | 3 | c (− 1)100 | 1 |99
b √25 | 5 | d | 3 − π | 0,14
19 In de volgende tabel staan de gemiddelde temperaturen van alle planeten in het zonnestelsel.
planeet gemiddelde temperatuur (°C)
Mercurius 167
Venus 464
Aarde 15
Mars −65
Jupiter −110
Saturnus −140
Uranus −195
Neptunus −200
De gemiddelde temperatuur neemt af naarmate een planeet verder van de zon staat. Venus is een uitzondering en heeft een veel hogere temperatuur dan je zou verwachten op basis van de afstand van Venus tot de zon. Dit komt door een uit de hand gelopen broeikaseffect als gevolg van de zeer dichte atmosfeer van koolstofdioxide. T2
a Neem over en vul in:
De gemiddelde temperatuur van Mercurius is | 167 − | = °C lager dan die van Venus. b De gemiddelde temperatuur van Uranus is | −195 − | = °C lager dan die van Jupiter.
20 Welke van de volgende ongelijkheden zijn waar voor a = 2 en b = − 3? Leg uit. T2
a a + | b | > 0
b | a | > | b |
c | a − 5 | < | b − 3 |
21 Een sporter heeft een uur hardgelopen. Zij heeft op de drie kortste intervallen hieronder met een gemiddelde snelheid van 5 km/h gelopen en op de andere vier intervallen met een gemiddelde snelheid van 18 km/h. Bereken de afstand die de sporter in dit uur in totaal heeft afgelegd. T2
24 a Neem over en vul <, ≤, >, ≥ of = in. T2
I | 2 + 10 | | 2 | + | 10 |
II | 2 + 10 | | 2 | + | 10 |
III | 2 − 10 | | 2 | + | 10 |
b Welk teken moet je op de puntjes invullen zodat | a + b | | a | + | b | voor alle reële getallen a en b geldt? T2
c Leg uit of | ab | = | a | | b | voor alle reële getallen a en b geldt. I
22 Je ziet hieronder de reële rechte met daarop veelvouden van π. T2 0 π 2π 3π –π –2π –3π
a Neem de reële rechte over en geef daarop de getallen 13 4π, −21 5π en | −11 2π | aan.
b Geef ook aan waar de getallen 2 en √2 liggen.
23 √2 ligt in het interval [1, 2], want de kwadraten van de eindpunten van dit interval zijn 1 en 4 en 1 < ( √2 )2 = 2 < 4 T2
a Laat zien dat √2 in het interval [1,4; 1,5] ligt.
b Geef een zo klein mogelijk interval waarin √2 ligt en waarbij de eindpunten twee decimalen hebben.
Heb je het leerdoel bereikt?
R Ik ken de betekenis van de volgende begrippen:
reëel getal en reële rechte
interval en intervalnotatie
open en gesloten interval
absolute waarde, absoluutstrepen en modulus
T1 Ik kan intervallen op de reële rechte tekenen en op verschillende manieren aangeven. Ook kan ik de absolute waarde van een getal bepalen.
T2 Ik kan berekeningen uitvoeren met de absolute waarde.
I Ik kan redeneren over vraagstukken waarbij je de absolute waarde moet gebruiken.
g emiddelde afstand
25 Je ziet hieronder de reële rechte met daarop bij de getallen 0, 1, 2 en 3 een punt. Het punt bij het getal 0 is het punt (0), het punt bij het getal 1 is het punt (1), enzovoort. In deze opdracht onderzoek je voor welk punt of welke punten (x) op de reële rechte de gemiddelde afstand tot de vier punten (0), (1), (2) en (3) het kleinst is.
0 1 2 3 4 –1 –2 –3 –4
Afstanden tussen punten kun je berekenen met de absolute waarde. Zo is de afstand van punt (−4) tot punt (1) gelijk aan | 4 − 1 | = | 5 | = 5, en de afstand van punt (2,5) tot punt (1) is gelijk aan | 2,5 − 1 | = | 1,5 | = 1,5.
a Geef de afstand tussen punt (−2) en elk van de vier punten (0), (1), (2) en (3). T2
b Bereken de gemiddelde afstand tussen punt (−2) en deze vier punten. T2
c Doe hetzelfde voor de punten (0), (1), (2) en (3). T2
d Leg uit waarom de gemiddelde afstand van punt (x) tot de vier punten en waarbij x in het interval ⟨← , 1] ligt, voor x = 1 het kleinst is. I
e Leg uit waarom de gemiddelde afstand van punt (x) tot de vier punten en waarbij x in het interval [2, →⟩ ligt, voor x = 2 het kleinst is. I
f Leg uit waarom de gemiddelde afstand van punt (x) tot de vier punten 1 is als x in het interval [1, 2] ligt. I
g Voor welke getallen x is de gemiddelde afstand van punt (x) tot de vier punten het kleinst? I
Formules en grafieken
DOEL Je leert werken met formules en grafieken.
Formules en grafieken
Lineaire formules De grafiek van een lineaire formule y = ax + b is een lijn. Hierin is a de richtingscoëfficiënt van de lijn en b het startgetal. In het assenstelsel hiernaast zie je de grafiek van y = 2 3 x + 1. Dit is een lijn die door de punten (0, 1) en (3, 3) gaat. Als je de coördinaten van twee punten A en B op een lijn weet, kun je de richtingscoëfficiënt van de lijn berekenen met: a = verticale verandering horizontale verandering = Δy Δ x = yB − yA xB − xA
Kwadratische formules De grafiek van een kwadratische formule y = ax 2 + bx + c is een parabool. Een parabool is lijnsymmetrisch en heeft een top. Hiernaast zie je bijvoorbeeld de grafiek van y = x 2 − 2 x + 1. Dit is een dalparabool met de verticale lijn x = 1 als symmetrieas. De coördinaten van de top zijn (1, 0).
Vaak staat de formule van een parabool in een van de onderstaande vormen. De grafiek is steeds een dalparabool als a > 0 en een bergparabool als a < 0.
y = ax 2 + bx + c. Dit is de algemene vorm. De xcoördinaat van de top is xtop = − b 2a .
y = a(x − p)2 + q. De coördinaten van de top zijn ( p, q).
y = a (x − m)(x − n). De coördinaten van de snijpunten met de xas zijn (m, 0) en (n, 0). De symmetrieas ligt hier midden tussenin, dus bij xtop = m + n 2
Voorbeelden
1 De grafiek van y = − 2(x − 3)(x + 7) is een bergparabool met xtop = 3 − 7 2 = − 2 en ytop = − 2( 2 − 3)( 2 + 7 ) = − 2 − 5 5 = 50
Door de haakjes weg te werken, kun je de formule herleiden naar de algemene vorm: y = − 2(x − 3)(x + 7) = − 2(x 2 + 4x − 21) = − 2x 2 − 8x + 42
2 De grafiek van y = 1 1 2 x 2 − 12 x is een dalparabool met xtop = − 12 2 11 2 = 12 3 = 4 en ytop = 1 1 2 42 − 12 4 = 24 − 48 = − 24
De formule kun je daarom ook schrijven als y = 11 2 (x − 4)2 − 24
y = x2 − 2x + 1 x y (p, q) (n, 0) (m, 0) O
26 Teken de grafieken van de volgende formules. T1
a y = 6 − 2 3 x
b y = 15x − 80
c y = − (x − 2)(x + 4)
d y = 2 (x + 1)2
27 Hieronder zie je drie lijnen. Stel voor elk van deze lijnen een bijbehorende lineaire formule op. T1
30 Herleid de formule y = − 114(x − 6)(x + 10) naar de volgende vormen. T1
a y = ax 2 + bx + c
b y = a(x − p)2 + q
31 Schets de grafieken van de volgende formules. In een schets hoef je de grafiek niet heel nauwkeurig te tekenen, maar moet het verloop van de grafiek wel duidelijk zijn. Ook moet je de positie van de top en de snijpunten met de assen duidelijk aangeven. T1
a y = − (x − 2)2 + 3
b y = 2(x + 1)(x − 5)
c y = 0,5x 2 − 3x + 4
32 Leg voor de volgende parabolen uit of je de bijbehorende formule in de vorm y = a (x − m)(x − n) kunt schrijven. T2
a een dalparabool met ytop = 8
b een bergparabool met ytop = − 2
28 a Een lijn snijdt de assen in de punten (0, 5) en (15, 0). Bepaal het startgetal en de richtingscoëfficiënt en stel een bijbehorende lineaire formule op. T1 b Stel een formule op voor de lijn die door de punten (−2, − 12) en (6, 0) gaat. T1
29 Bepaal de coördinaten van de top van elk van de grafieken van de volgende formules. Geef ook steeds aan of de grafiek een berg of een dalparabool is. T1
a y = − 0,5x 2 − 4x + 6
b y = 2(x − 3)(x + 5)
c y = 1 3 (x + 4)2 + 4
c een parabool met ytop = 0
33 Bij een historische herdenking wordt een kanonskogel afgevuurd. De baan van de kanonskogel wordt beschreven door de formule h = 0,015a (75 − a). Hierin is h de hoogte van de kanonskogel in m en a de horizontale afgelegde afstand in m. T2
a Hoe ver komt de kanonskogel?
b Hoe hoog komt de kanonskogel? Geef je antwoord in meters nauwkeurig.
c Teken de baan van de kanonskogel in een assenstelsel.
De grafiek van y = | x | Hiernaast zie je de grafiek van de formule y = | x |. Deze grafiek ligt nergens onder de xas, omdat de absolute waarde van een getal altijd groter dan of gelijk is aan 0. De grafiek van y = | x | bestaat uit twee halve lijnen: de rechterhelft valt samen met de lijn y = x en de linkerhelft met de lijn y = −x. Je kunt de formule y = | x | daarom ook schrijven als:
y = { x als x ≥ 0 x als x < 0
Voor x > 0 is de grafiek van y = | x | stijgend en voor x < 0 dalend. In de oorsprong heeft de grafiek een knik.
Voorbeeld
Teken de grafiek van de formule y = | 2 x − 6 | + 1.
Als 2 x − 6 ≥ 0 en dus x ≥ 3, is y = 2 x − 6 + 1 = 2 x − 5.
Als 2 x − 6 < 0 en dus x < 3, is y = −(2 x − 6) + 1 = −2 x + 7.
Er geldt dus:
y = { 2 x − 5 als x ≥ 3 −2 x + 7 als x < 3
De grafiek bestaat uit twee halve lijnen met een knik in het punt (3, 1).
34 Gegeven is de formule y = | x − 1 | T1
a Neem de volgende tabel over en vul hem in.
x −2 −1 0 1 2 y
b Neem over en vul in: y = {… als x ≥ … als x <
c Teken de grafiek van de formule.
35 Teken de grafiek van de volgende formules: T1
a y = | x + 3 | − 5
b y = 6 + | 4 − 2 x |
c y = | 1 3x + 1 | + 2
36 Hieronder zie je de grafiek van de formule y = 2 − 5| x − 1 |. T1
37 a Teken de grafiek van de formule y = x 2 − 1. T1
b Teken met behulp van de grafiek die je bij opdracht a hebt getekend in hetzelfde assenstelsel de grafiek van de formule y = | x 2 − 1 | T2
38 Leg uit waarom de formules y = √x 2 en y = | x | dezelfde grafiek hebben. T2
39 Hieronder zie je de grafiek van de formule y = x 4 − 3x 2 − 4. Teken met behulp van deze grafiek de grafiek van de formule y = | x 4 − 3x 2− 4 |. T2 x
a Verklaar waarom de grafiek in het punt (1, 2) een knik heeft.
b Welke formules horen bij de twee halve lijnen?
c Ga met een berekening na of de grafiek door het punt (−50, −243) gaat.
40 Bij een parabool hoort de formule
y = 0,5x 2 + bx + c. Bereken b en c als: T2
a de top van de parabool bij het punt (2; − 4,5) ligt.
b de parabool de xas snijdt bij x = − 3 en bij x = 7.
c de parabool door de punten (4, 10) en (6, 10) gaat.
Tip: stel eerst de formule op voor de parabool die door de punten (4, 0) en (6, 0) gaat.
41 Stel formules op bij de onderstaande twee grafieken. T2
42 Gegeven is de formule y = | | x − 1 | − 2 | I
a Leg uit waarom de grafiek van deze formule in drie punten een knik heeft. Geef ook de coördinaten van die punten.
b Teken de grafiek van de formule. Wat voor letter vormt de grafiek?
c Geef een formule waarvan de grafiek de letter M vormt. De linker en rechterpoot hoeven niet verticaal te zijn.
Heb je het leerdoel bereikt?
R Ik ken de betekenis van de volgende begrippen:
lineaire en kwadratische formule
lijn en parabool
Ook weet ik dat de grafiek van een lineaire formule een lijn is, van een kwadratische formule een parabool en dat de grafiek van y = | x | een knik heeft.
T1 Ik kan de grafieken van lineaire en kwadratische formules tekenen en van formules met één paar absoluutstrepen.
T2 Ik kan redeneren over formules van parabolen.
Ook kan ik een formule opstellen bij een grafiek met een knik.
I Ik kan grafieken tekenen van formules met meerdere paren absoluutstrepen.
Paraboolvlucht
43 Met sommige vliegtuigen is het mogelijk om een paraboolvlucht te maken. De baan van het vliegtuig heeft dan dezelfde vorm als die van een kogel als er geen luchtweerstand is. Tijdens zo’n paraboolvlucht ervaren passagiers gedurende 20 à 30 seconden gewichtloosheid. NASA voert deze vluchten uit als training voor astronauten. Op de afbeelding hiernaast zie je zo’n trainingsvlucht uit 1958.
In de grafiek hieronder zie je het verloop van een paraboolvlucht. In het gekleurde gedeelte ervaar je gewichtloosheid. T2
(m)
a Geef de coördinaten van de punten in de grafiek hierboven die het begin en het eind van het gevoel van gewichtloosheid markeren.
Bij deze paraboolvlucht kun je een formule van de vorm h = a (t − m)(t − n) + q opstellen, waarin h de hoogte van het vliegtuig in meters is en t de tijd in seconden vanaf de start van het gevoel van gewichtsloosheid.
b Wat zijn de waarden van m, n en q?
c In de formule is | a | de valversnelling. De grafiek gaat door het punt (25, 7981) Laat met een berekening zien dat | a | = 9,81 m/s2
d Bereken met behulp van de formule de maximale hoogte van deze paraboolvlucht. Geef je antwoord in tientallen meters nauwkeurig.
Astronauten tijdens een van de eerste paraboolvluchten in 1958 in een Convair C-131 Samaritan. Dit vliegtuig kreeg de bijnaam ‘Vomit Comet’ (kotskomeet). Deze bijnaam wordt nog steeds gegeven aan vliegtuigen waarin je tijdelijke gewichtloosheid kunt ervaren.
hoogte
Lineaire vergelijkingen
DOEL Je leert hoe je lineaire vergelijkingen kunt oplossen. 1.3
Lineaire vergelijkingen Hiernaast zie je de lijn y = 0,2 x + 3. In het snijpunt met de xas geldt y = 0 en dus 0,2 x + 3 = 0. Dit is een lineaire vergelijking. De waarde van x waarvoor de vergelijking klopt, is de oplossing van de vergelijking. Deze kun je bepalen met de balansmethode. Je vindt dan 0,2 x = −3 en dus x = −15. De lijn snijdt de xas dus in het punt (−15, 0).
Als je een vergelijking stap voor stap met algebra oplost, los je de vergelijking algebraïsch op. Als je in je berekening nergens, ook niet in tussenstappen, afrondt, dan is het antwoord exact (dus geen 0,33 maar 1 3).
Voorbeelden
Werk eerst de breuken weg
Werk eerst de haakjes weg
x − 6 = 2 x + 12
x = 2 x + 18
x = 18 x = 18 7 = 24 7
Lijnen en vergelijkingen Hiernaast zie je de grafieken van y = x + 2 en y = 4x − 5. Dit zijn twee lijnen die elkaar snijden in het punt S Omdat S op beide lijnen ligt, geldt daar y = x + 2 en y = 4x − 5.
Dit geeft:
2
4x
x + 2 = 4x − 5 x =
De y coördinaat van S kun je vinden door x = 2 1 3 in een van beide formules te substitueren, bijvoorbeeld in y = x + 2. Dit betekent dat je x = 2 1 3 invult op de plaats van x in y = x + 2. Je vindt dan y =
De coördinaten van het snijpunt S zijn dus (2 1 3, 4 1 3)
Dit is voor geen enkele waarde van x waar. De vergelijking heeft geen oplossing.
44 Gegeven is de formule y = 1,5x − 21. De grafiek van deze formule is een lijn. T1
a Bereken met behulp van een vergelijking in welk punt de lijn de xas snijdt.
b De lijn gaat door het punt P (150, yP).
Bereken yP
c De lijn gaat door het punt Q (xQ, − 8).
Bereken exact xQ
45 Los algebraïsch op. T1
a − 2 − 4x = x − 11
b − 7,5x + 40 = 2,5x
c 78 + 2,1x = 6x
d 2(3x + 9) = 3(2 x + 6)
46 Los exact op. T1
a 5 − x + 5 3 = x
b 1 2x + 12 6 = 3 4x + 2
c 2 5(x − 6) = 1 3(2 x − 5)
d 2 − 42 3x = 7(2 3x − 1)
47 Een boot vaart van Calais naar Dover. Het Kanaal is daar 40 km breed. Voor de afstand d in km tot Dover geldt (bij benadering) de formule d = 40 − 0,52t. Hierin is t het aantal minuten na vertrek uit Calais. T1
a Hoeveel kilometer heeft de boot na een kwartier varen nog te gaan?
b Bereken algebraïsch in minuten nauwkeurig hoelang de overtocht duurt. Calais Dover
48 Hieronder zie je de lijnen l: y = −0,5x + 1 en m: y = 1,25x + 4. Deze lijnen snijden elkaar in punt S T1
a Met behulp van welke vergelijking kun je de xcoördinaat van S vinden?
b Los deze vergelijking exact op.
c Bereken exact de coördinaten van S.
49 Gegeven is de vergelijking 12 5 x = 2 x − 1. T1
a Leg uit waarom de oplossing van deze vergelijking de xcoördinaat is van het snijpunt van de lijnen y = 12 5 x en y = 2 x − 1.
b Teken deze lijnen in één assenstelsel.
c Geef de oplossing van de vergelijking.
50 Autoverhuurbedrijf A rekent voor elke dag dat je een auto huurt een vast bedrag van € 50,plus € 0,40 per gereden kilometer. Bedrijf B rekent een vast bedrag van € 80, plus € 0,20 per gereden kilometer.
a Stel een vergelijking op waarmee je kunt bepalen bij welke gereden afstand d de bedrijven even duur zijn als je voor één dag een auto huurt. T1
b Los deze vergelijking algebraïsch op. T1
c Doordat de kosten gestegen zijn, verhogen beide bedrijven de prijs per gereden kilometer met 5 cent. Leg uit of de bedrijven nog steeds even duur zijn bij de afstand die je bij opdracht b hebt berekend. T2
Vergelijkingen met een absolute waarde De vergelijking | x | = 3 heeft als oplossingen de punten op de reële rechte die op een afstand van 3 van de oorsprong liggen. Dit zijn de punten x = −3 en x = 3. Je kunt deze vergelijking ook oplossen met behulp van de grafieken van de formules y = | x | en y = 3. In de afbeelding hiernaast zie je dat deze grafieken twee snijpunten hebben, bij x = −3 en bij x = 3. Dit zijn dus de oplossingen van de vergelijking.
In het algemeen zijn er bij de vergelijking | x | = c drie mogelijkheden:
Voor c > 0 zijn er twee oplossingen: x = − c en x = c
Voor c = 0 is er één oplossing: x = 0.
Voor c < 0 zijn er geen oplossingen.
Ook wanneer je wilt weten welke punten op de reële rechte op een bepaalde afstand van een gegeven punt liggen, kun je gebruikmaken van de absolute waarde. Zo voldoen alle punten op een afstand 10 van het punt x = 7 aan de vergelijking | x − 7 | = 10. Dit betekent dat x − 7 = −10 ∨ x − 7 = 10 en dus x = −3 ∨ x = 17.
Voorbeelden
Los algebraïsch op.
1 | x − 3 | = 0
x − 3 = 0
x = 3
2 | 3x − 5 | = 11 3x − 5 = −11 ∨ 3x − 5 = 11
3x = −6 ∨ 3x = 16 x = −2 ∨ x = 5 1 3
4 Los op | x − 6 | = 2 x.
Manier 1
Teken de grafiek van y = | x − 6 |
Als x − 6 ≥ 0 en dus x ≥ 6, dan is y = x − 6.
Als x − 6 < 0 en dus x < 6, dan is y = −x + 6.
3 | 10 − x | + 6 = 5 | 10 − x | = −1 geen oplossingen
Teken in hetzelfde assenstelsel de grafiek van y = 2 x
Je ziet dat de grafieken elkaar één keer snijden bij x = 2.
De oplossing van de vergelijking is dus x = 2.
Manier 2
Je kunt deze vergelijking ook oplossen zonder grafieken te tekenen. Houd er dan rekening mee dat dat 2 x ≥ 0 en dus
x ≥ 0, omdat | x − 6 | ≥ 0.
| x − 6 | = 2 x
x − 6 = − 2 x ∨ x − 6 = 2 x
3x = 6 ∨ x = − 6
x = 2 ∨ x = − 6
Alleen x = 2 voldoet.
51 Neem over en vul in. R
a De vergelijking | x | = c heeft oplossingen als c > 0.
b De vergelijking | x | = c heeft één oplossing als c 0.
52 Je ziet hieronder de grafiek van y = | 2 x − 1 | T1
54 Gegeven is de vergelijking | x + 4 | = −3x T1
a Teken de grafieken van de formules y = | x + 4 | en y = −3x in één assenstelsel.
b Wat zijn de oplossingen van de vergelijking?
55 Los op. T2
a | 3x + 2 | = x
b | 5 − x | = 2 x + 8
c | 0,5x + 1 | = | 0,5x − 4 |
a Wat zijn de oplossingen van de vergelijking | 2 x − 1 | = 3?
b Waarom heeft de vergelijking | 2 x − 1 | = 0 één oplossing? Geef ook die oplossing.
c Waarom heeft de vergelijking | 2 x − 1 | = c geen oplossingen als c < 0?
d Neem over en vul in.
| 2 x − 1 | = 9
2 x − 1 = ∨ 2 x − 1 =
x = ∨ x =
53 Los algebraïsch op. T1
a | x − 10 | = 0
b | 2 x + 6 | = 4
c | 3 − x | + 2 = 10
d 2 − | 0,5x + 5 | = 4
56 Hieronder staat de grafiek van de formule y = 2 − 5| x − 1 |. Deze grafiek snijdt de xas in de punten A en B en heeft een knik in punt C. Bereken de oppervlakte van de driehoek ABC. T2 x y B C A O
57 In de Verenigde Staten wordt de temperatuur in graden Fahrenheit gemeten. Je kunt het aantal graden Fahrenheit TF omrekenen naar het aantal graden Celsius TC met de formule TC = 5 9(TF − 32).
a De Fahrenheitschaal is zo ingedeeld dat water kookt bij 212 °F. Laat zien dat 212 °F = 100 °C. T1
b Reken 0 °C om naar graden Fahrenheit. T1
c Bereken bij welke temperatuur het aantal graden Fahrenheit 100 graden hoger is dan het aantal graden Celsius. Geef je antwoord in graden Celsius. T2
58 Aan de voet van een berg is het 20 °C. Naarmate je verder naar boven gaat, daalt de temperatuur elke kilometer in hoogte gemiddeld met 6 °C. T2
a Stel een formule op voor de temperatuur T in °C op een hoogte van h km boven de voet van de berg.
b Bereken met behulp van een vergelijking op welke hoogte de temperatuur naar verwachting 0 °C is.
Hoogten worden gemeten met een hoogtemeter. Deze meet eigenlijk de luchtdruk p in millibar en berekent dan de hoogte volgens de formule: h = 14 − 0,014p met p ≥ 200.
c Hoe hoog is volgens deze formule de luchtdruk op 10 km hoogte?
Deze formule legt samen met de formule die je bij opdracht a hebt opgesteld een verband vast tussen de luchtdruk p en de temperatuur T
d Stel een formule op voor dit verband.
e Bereken de luchtdruk op de hoogte waar de temperatuur − 20 °C is.
59 Je ziet hieronder de grafieken van y = x − 1 en y = 2 x. Tussen de grafieken zijn verticale lijnstukken getekend. Om te bepalen voor welke waarde van x het bijbehorende lijnstuk een lengte heeft van 3 kun je een vergelijking opstellen. T2 x
a Leg uit waarom dit de vergelijking
| x − 1 − 2 x | = 3 is.
b Los deze vergelijking op. c Bereken met behulp van een vergelijking voor welke waarde(n) van x het bijbehorende lijnstuk een lengte heeft van 10.
Heb je het leerdoel bereikt?
R Ik ken de betekenis van de volgende begrippen:
lineaire vergelijking
oplossing van een vergelijking
balansmethode
algebraïsch en exact
substitueren
T1 Ik kan lineaire vergelijkingen (ook met absoluutstrepen) oplossen.
T2 Ik kan lineaire vergelijkingen (ook met absoluutstrepen) in toegepaste situaties opstellen en oplossen.
I Ik kan het probleem met de drie hekken oplossen.
Drie hekken
60 Een boer verplaatst zijn kudde schapen regelmatig tussen de stal, het weiland en de heide. Het pad naar de stal is 3,4 m breed, het pad naar het weiland is 4,5 m breed en het pad naar de heide is 2,8 m breed. De drie paden komen samen op een driesprong. Op deze driesprong wil de boer drie scharnierende hekken plaatsen, zodat elk van de paden met twee van de drie hekken afgesloten kan worden. Hieronder zie je een schematische weergave van deze situatie. De boer kan bijvoorbeeld met hekken I en II het pad naar het weiland afsluiten en met hekken II en III het pad naar de stal. De boer wil dat de hekken zo kort mogelijk zijn. De uiteindes van de hekken raken elkaar dan precies als ze een pad afsluiten.
a Laat zien dat de lengte van hek I niet 2,4 m kan zijn. T2 b Beredeneer welke lengte de hekken moeten hebben. I
Kwadratische vergelijkingen
DOEL Je leert hoe je kwadratische vergelijkingen kunt oplossen. 1.4
Kwadratische vergelijkingen De algemene vorm van een kwadratische vergelijking is ax2 + bx + c = 0 met a ≠ 0. Er zijn verschillende methodes om een kwadratische vergelijking op te lossen:
De kwadratische vergelijking herleiden naar de vorm A · B = 0 door te ontbinden in factoren. Dit leidt tot A = 0 ∨ B = 0
De kwadratische vergelijking herleiden naar de vorm A 2 = c door het kwadraat af te splitsen. De vergelijking heeft twee oplossingen als c > 0, één oplossing als c = 0 en geen oplossingen als c < 0.
De abc-formule gebruiken: x =
discriminant is. De vergelijking heeft twee oplossingen als D > 0, één oplossing als D = 0 en geen oplossingen als D < 0.
Het herleiden van een kwadratische vergelijking tot de vorm A · B = 0 is niet altijd mogelijk. Een kwadratische vergelijking kun je door het kwadraat af te splitsen wel altijd in de vorm A 2 = c schrijven. Als je met breuken of kommagetallen te maken hebt, kun je een vergelijking meestal sneller oplossen met de abcformule.
Voorbeelden
Los exact op.
1 3x 2 + 30x = 33
3x 2 + 30x − 33 = 0
x 2 + 10x − 11 = 0
(x + 11)(x − 1) = 0
x = − 11 ∨ x = 1
2 2x 2 + 6,5 = 4x
2x 2 − 4x + 6,5 = 0
D = 16 + 52 = 68 > 0
herleid op 0 deel door 3 ontbind in factoren
x 2 + 2 x − 1 = 0 (x + 1)2 − 1 − 1 = 0
(x + 1)2 = 2
x + 1 =
herleid op 0 bereken de discriminant
Er zijn twee oplossingen:
x = 4 − √68 4 ∨ x = 4 + √68 4
x = 4 − 2 √17 4 ∨ x = 4 + 2 √17 4
x = − 1 + 1 2 √17 ∨ x = − 1 − 1 2 √17
D = 4 − 20 = − 16 < 0
Er zijn geen oplossingen. x = b ± √ b 2 − 4 ac 2a de abc-formule
splits het kwadraat af schrijf in de vorm A 2 = c
herleid op 0 bereken de discriminant
61 Gegeven is de vergelijking x 2 − 5x + 6 = 0
Los deze vergelijking op door: T1
a te ontbinden in factoren;
b het kwadraat af te splitsen;
c de abcformule te gebruiken.
62 Gegeven is de vergelijking 2(x − 3)2 + 4 = 12. T1
a Waarom hoef je de haakjes niet weg te werken om deze vergelijking algebraïsch op te lossen?
b Los deze vergelijking algebraïsch op.
c Leg uit waarom je bij de vergelijking (x + 4)2 + 2 x = 5 wel eerst de haakjes weg moet werken om deze op te lossen.
d Los deze vergelijking exact op.
63 Los exact op. T1
a 2x 2 = 18x
b x 2 + 6x = 2
c 3x 2 + x = x 2 − 3x
d 3x 2 − 8x + 1 = 2 x + 1
e 2(x + 6)2 + 2 = − 4
f 2,7x 2 = 1,3x + 4
g 0,5(4 − x)2 = 4
h (x − 1)(x + 2) = 2 x
64 Los algebraïsch op. Rond indien nodig af op drie decimalen. T1
a 1 2x 2 + 2 x = − 3
b 1 − 12 3x 2 = 2 x
c 5 7x − 2 7 = 1 5x 2
d 2 7(2 x − 5)(3 − x) = 0
65 Gegeven is de vergelijking 2x 2 + 6x = 2 x − 1 T1
a Laat in stappen zien hoe je de vergelijking kunt herleiden naar x 2 − 2 x = 0,5.
b Los de vergelijking vervolgens op door het kwadraat af te splitsen.
66 Hieronder zie je twee parabolen.
a Bereken exact de coördinaten van het snijpunt van deze parabolen. T1
b Bereken exact de coördinaten van de snijpunten van de parabool y = x2 − 4x + 1 met de xas. T1
c Neem over en vul in:
x 2 − 4x − 1 = (x + …)(x − …) T2
d Hoe kun je aan de parabool y = x2 + 2x + 3 zien dat je de vergelijking x 2 + 2 x + 3 = 0 niet in de vorm A · B = 0 kunt ontbinden? T2
67 Veel mensen denken dat 1 L water een massa heeft van 1 kg. Maar meestal is dit niet
helemaal juist en is de massa van 1 L water wat kleiner dan 1 kg. De dichtheid van water hangt namelijk af van de temperatuur van het water.
Je kunt de afwijking in massa ten opzichte van 1 kg bij benadering berekenen met de formule
Δ M = − 7,3T 2 + 58,4T − 116,8. Hierin is Δ M de afwijking in massa in milligram ten opzichte van 1 kg en T de temperatuur van het water in °C. T2
a Bij welke temperatuur heeft 1 L water een massa van precies 1 kg?
b Herleid de formule naar de vorm
ΔM = a(T − b)2 + c
c Bij welke temperatuur is de massa van 1 L water het grootst?
Handig kijken naar vergelijkingen Om een kwadratische vergelijking algebraïsch op te lossen, kun je de vergelijking naar de vorm A 2 = c of ax 2 + bx + c = 0 herleiden en vervolgens de vergelijking op een van de gebruikelijke manieren oplossen. Soms kan het ook sneller door op een handige manier naar de vergelijking te kijken.
Voorbeelden
1 Los de vergelijking (x − 1)(2 x + 3) = (x − 1)(−4x + 2) exact op.
Je kunt de haakjes wegwerken en de vergelijking op de gebruikelijke manier oplossen. Maar als je goed naar de vergelijking kijkt, zie je aan beide kanten van het isgelijkteken dezelfde factor (x − 1) staan. De vergelijking heeft dus de vorm A · B = A · C. Zo’n vergelijking is waar als B = C, maar ook als A = 0, want dan krijg je 0 = 0. Hiernaast zie je dat dit ook volgt uit ontbinden in factoren. Voor bovenstaande vergelijking geldt daarom:
(x − 1)(2 x + 3) = (x − 1)(−4x + 2)
x − 1 = 0 ∨ 2 x + 3 = − 4x + 2
x = 1 ∨ 6x = − 1
x = 1 ∨ x = − 1 6
2 Los de vergelijking (x + 2)2 = (2 x − 1)2 exact op.
Je kunt de haakjes wegwerken en de vergelijking op de gebruikelijke manier oplossen. Maar als je goed naar de vergelijking kijkt, zie je aan beide kanten van het isgelijkteken een kwadraat staan. De vergelijking is dus van de vorm A 2 = B 2 Deze vergelijking is waar als A = B, maar ook als A = − B, want (− B)2 = B 2. (Bedenk ook dat x = − 2 en x = 2 de oplossingen zijn van de vergelijking x 2 = 4.) Hiernaast zie je dat dit ook volgt uit ontbinden in factoren. Voor bovenstaande vergelijking geldt daarom:
(x + 2)2 = (2 x − 1)2
x + 2 = 2 x − 1 ∨ x + 2 = − (2 x − 1)
x = − 3 ∨ x + 2 = − 2 x + 1
x = 3 ∨ 3x = − 1
x = 3 ∨ x = − 1 3
AB = AC
AB − AC = 0
A(B − C ) = 0
A = 0 ∨ B − C = 0
A = 0 ∨ B = C
A 2 = B 2
A 2 − B 2 = 0
(A − B)(A + B) = 0
A − B = 0 ∨ A + B = 0
A = B ∨ A = − B
68 Los zonder haakjes weg te werken de volgende vergelijkingen exact op. T1
a (x − 5)(2 x + 5) = (x − 5)(3x + 8)
b (x − 2)2 = (4x − 3)2
c (3 − x)2 = (x − 1)2
69 Gegeven is de vergelijking
2(x − 3)(x + 5) = 5x (2 x − 6). T1
a Herleid de vergelijking naar de vorm AB = AC.
b Los de vergelijking algebraïsch op.
70 Gegeven is de vergelijking
x 2 − 6x + 9 = (0,5x + 2)2 . T1
a Herleid de vergelijking naar de vorm A 2 = B 2 .
b Los de vergelijking exact op.
71 Los op een handige manier op. T1
a (8 − x)(4x + 2) = (4x + 2)(3 − 3x)
b (x − 7)2 = (x + 10)2
c (2 x − 1)(7x + 1) = 2 x − 1
d (x + 2)2 = (x − 1)(x + 2)
e (4 − 3x)2 = (2 x − 4)2
f x 2 − 4 = 3x − 6
72 De grafieken van y = 0,5(2 x − 4)(x + 6) en y = x − 2 snijden elkaar in de punten A en B Bereken algebraïsch de coördinaten van deze punten. T2
73 Gegeven is de vergelijking x 2(x − 1) = 4x − 4. T2
a Welk probleem doet zich voor als je de vergelijking algebraïsch wilt oplossen door eerst de haakjes weg te werken?
b Ontbind 4x − 4 in factoren en los de vergelijking algebraïsch op.
c Los de vergelijking (x 2 − 4)2 = 9(x 2 − 3)2 algebraïsch op. Rond af op twee decimalen.
74 De oranje ring hieronder heeft een breedte van 2 cm. De straal van het binnengebied is r cm. T2
a Wat is de oppervlakte in cm2 van de oranje ring als r = 3? Rond je antwoord af op één decimaal.
b Bereken voor welke waarde van r de oppervlakte van de oranje ring 100 cm2 is. Rond je antwoord af op één decimaal. r cm 2 cm
75 Gegeven is de formule y = | x 2 − 3 |.
a Teken de grafiek van deze formule. T2
b Los de vergelijking | x 2 − 3 | = 6 op. T2
c Leg uit waarom de vergelijking | x 2 − 3 | = 6 dezelfde oplossingen heeft als de vergelijking (x 2 − 3)2 = 62 T2
d Los de vergelijking | x 2 − 3 | = 2 exact op. T2
e Voor welke waarde(n) van c heeft de vergelijking | x 2 − 3 | = c precies drie oplossingen? I
76 In deze opdracht ga je met behulp van kwadraat afsplitsen de abcformule afleiden. Gegeven is de vergelijking ax 2 + bx + c = 0 met a ≠ 0. T2
a Laat zien dat je deze vergelijking kunt herleiden naar x + b 2a − b 2 4a 2 + c a = 0.
b Toon aan dat hieruit de abcformule volgt.
77 Je ziet hieronder de grafiek van de formule
y = −0,5x 2 + 5 voor 0 ≤ x ≤ √10 . Op de grafiek ligt punt P. Als je dit punt over de grafiek laat lopen, wordt de rechthoek uit de tekening op enig moment een vierkant. Bereken exact voor welke coördinaten van P dit het geval is. I
Heb je het leerdoel bereikt?
R Ik ken de betekenis van de volgende begrippen:
kwadratische vergelijking
ontbinden in factoren, kwadraat afsplitsen, de abcformule
discriminant
T1 Ik kan kwadratische vergelijkingen oplossen.
T2 Ik kan kwadratische vergelijkingen in praktische situaties oplossen.
I Ik kan zelf door te redeneren een kwadratische vergelijking bij een vraagstuk opstellen en zo het vraagstuk oplossen.
De n ederlandse Wiskunde Olympiade
78 De Nederlandse Wiskunde Olympiade is een jaarlijkse wiskundewedstrijd voor leerlingen van havo en vwo.
Deelnemers aan deze wedstrijd mogen geen rekenmachine gebruiken.
In 2011 werd bij de tweede ronde de volgende vraag gesteld:
Bepaal alle drietallen (a , b, c) van positieve gehele getallen met de volgende eigenschappen:
Er geldt a < b < c en a , b en c zijn drie opeenvolgende oneven getallen.
Het getal a 2 + b 2 + c 2 bestaat uit vier gelijke cijfers.
In deze opdracht los je dit vraagstuk op. I
a Omdat a, b en c opeenvolgende positieve oneven getallen zijn, kun je deze getallen schrijven als a = 2n − 1, b = 2n + 1 en c = 2n + 3, met n een positief geheel getal. Laat zien dat a 2 + b 2 + c 2 = 12n 2 + 12n + 11.
Uit de tweede eigenschap volgt dat 12n 2 + 12n + 11 een getal is dat bestaat uit vier gelijke cijfers.
b Noem deze cijfers p. Leg uit waarom 12n 2 + 12n gelijk moet zijn aan een viercijferig getal waarvan de eerste twee cijfers p zijn en de laatste twee p − 1.
c Schrijf alle mogelijke viercijferige getallen op.
d Leg uit waarom het getal 12n 2 + 12n deelbaar moet zijn door zowel 2 als 3 en waarom hieruit volgt dat 12n 2 + 12n = 5544
e Los deze vergelijking op.
f Welke drietallen (a , b, c) van positieve gehele getallen hebben de gevraagde eigenschappen?
1.5
Ongelijkheden
DOEL Je leert hoe je ongelijkheden kunt oplossen.
g rafieken en ongelijkheden x 3 − 8x > −x + 6 is een ongelijkheid die klopt als x 3 − 8x groter is dan x + 6. Om te bepalen voor welke waarden van x dit het geval is, zijn hiernaast in één assenstelsel de grafieken van y = x 3 − 8x en y = −x + 6 getekend. De grafieken hebben drie snijpunten: bij x = −2, x = −1 en x = 3. Voor deze waarden van x geldt de vergelijking x 3 − 8x = −x + 6. De ongelijkheid is waar als de grafiek van y = x 3 − 8 boven de lijn y = −x + 6 ligt. Dat is het geval als x tussen −2 en −1 in ligt of groter is dan 3. De oplossing van de ongelijkheid is dus −2 < x < −1 ∨ x > 3.
Lineaire ongelijkheden Een lineaire ongelijkheid kun je met de balansmethode oplossen. Je gebruikt dezelfde regels als voor het oplossen van lineaire vergelijkingen, maar groter en kleinerdantekens klappen om als je vermenigvuldigt met of deelt door een negatief getal. Zo klapt het groterdanteken om bij de ongelijkheid 10 > 1 als je vermenigvuldigt met −1. Immers −10 < −1.
Voorbeelden
Los exact op.
1 6(x – 2) ≤ 12 – 2 x 6x – 12 ≤ 12 – 2 x 6
5
Dit is voor geen enkele x waar. Er zijn daarom geen oplossingen.
79 Hieronder staan links de grafieken van de formules y = −x 3 + 5x en y = x en rechts die van de formules y = −4x 4 + 5x 2 en y = x 2
Los hiermee de volgende ongelijkheden op. T1
a −x 3 + 5x ≤ x
b −x 3 + 5x > x
c −4x 4 + 5x 2 ≥ x 2
d x 2 < −4x 4 + 5x 2
80 Je ziet hieronder de grafiek van y = 5 − | 2 x − 1 |
Los op. T1
a 5 − | 2 x − 1 | < 2
b 5 − | 2 x − 1 | ≥ 0
c 5 − | 2 x − 1 | < 5
81 Gegeven is de ongelijkheid 0,5(x − 3)2 > x + 1. T1
a Teken de grafieken van de formules y = 0,5(x − 3)2 en y = x + 1 in één assenstelsel.
b Los de ongelijkheid op.
82 Los exact op. T1
a 2 x − 1 < 5x + 6
b 4 − 1 3 x > 1 5 6 x
c 6(2 x − 2) ≥ 2 − (x + 1)
d −2(3 − 3x) ≤ 6x + 10
e x − 2 7 < 5 4 x + 5 7
83 a Los exact op 2k + 1 < 3 − 4k. T1
b Los exact op −3k ≤ 12 + k. T1
c Welke waarden van k voldoen aan beide ongelijkheden van opdrachten a en b? T2
84 Als je een gewicht aan een veer hangt, rekt de veer verder uit naarmate het gewicht zwaarder is. Je kunt de lengte L in cm van een bepaalde veer berekenen met de formule
L = m 75 + 8. Hierin is m de massa in gram van het gewicht dat aan de veer hangt.
Als het gewicht te zwaar is, knapt de veer. Dit gebeurt op het moment dat de veer meer dan 2,5 keer zo lang is als de veer zonder gewicht. Bereken de massa van het zwaarste gewicht dat je aan de veer kunt hangen zonder dat deze knapt. T2
Kwadratische ongelijkheden De kwadratische ongelijkheid 5x 2 − 3 > 7 kun je herleiden naar x 2 > 2. Als je gaat worteltrekken, geldt nu echter niet dat x > − √2 ∨ x > √2 . Wat er aan de hand is, zie je als je de grafieken van y = x 2 en y = 2 in één assenstelsel tekent.
De ongelijkheid x 2 > 2 is waar als de grafiek van y = x 2 boven de lijn y = 2 ligt. Dat is het geval als x kleiner is dan √2 of groter dan √2 De oplossing van de ongelijkheid 5x 2 − 3 > 7 is dus x < − √2 ∨ x > √2
Een kwadratische ongelijkheid los je op door eerst de bijbehorende vergelijking op te lossen. Je vervangt dan dus het groter of kleinerdanteken door een isgelijkteken. Vervolgens lees je de oplossing van de ongelijkheid af door de grafieken van de bijbehorende formules te schetsen. Bij een lijn en een parabool hoef je alleen maar te weten of de parabool een dal of een bergparabool is en hoeveel snijpunten er zijn.
Voorbeelden
1 Los algebraïsch op −2 x 2 ≥ 4x. 2 Los algebraïsch op 2(x − 1)2 > 0.
−2x 2 = 4x
−2x 2 − 4x = 0
2x 2 + 4x = 0
2 x(x + 2) = 0
2 x = 0 ∨ x + 2 = 0
x = 0 ∨ x = −2
Schets de grafieken van y = −2x 2 en y = 4x
De grafiek van y = −2 x2 is een bergparabool waarvan de top bij x = 0 ligt. In de schets zie je dat −2 ≤ x ≤ 0. x = 0 x = –2
2(x − 1)2 = 0 x − 1 = 0 x = 1
Schets de grafiek van y = 2(x − 1)2. Dit is een dalparabool waarvan de top op de xas ligt. In de schets zie je dat de ongelijkheid overal waar is, behalve voor x = 1. Je noteert dit als x ≠ 1.
85 Los exact op. T1
a x 2 > 9
b 5x 2 ≥ − 10
c 4 − 0,5x 2 < 0
86 Hieronder zie je de parabolen y = 1 2x 2 − 4 en y = −x 2 + x. De parabolen snijden elkaar in de punten A en B T1
88 Los algebraïsch op. T1
a 3x 2 − 6 ≥ 21
b −2(x + 1)2 + 5 < 10
c 0,5x 2 + 3x ≤ −4
d (x − 6)(x − 3) ≥ 0
e x 2 − 3 < 4x 2 + 10
89 In een vierkant met zijden van x cm wordt een rand met een breedte van 1 cm oranje gekleurd. Bereken met behulp van een ongelijkheid voor welke waarden van x de oppervlakte van het witte gedeelte groter is dan 4 cm 2 . T2 x 1 cm
a Bereken exact de coördinaten van deze snijpunten.
b Los op 1 2x 2 − 4 < −x 2 + x
87 Je ziet hieronder vier ongelijkheden en vier oplossingen. Koppel de oplossingen aan de bijbehorende ongelijkheden. T1
A x 2 > 0 I voor elke x
B x 2 ≥ 0 II x = 0
C x 2 < 0 III x ≠ 0
D x 2 ≤ 0 Iv voor geen enkele x
90 Een bedrijf gebruikt de formule
R = − 1,65q 2 + 500 q − 10 000 om de winst te berekenen. Hierin is R de winst in euro’s en q het aantal verkochte producten. Bereken algebraïsch bij welke aantallen verkochte producten de winst groter is dan € 20 000. T2
91 Los exact op. T2
a √2 x < √8
b x 2 − 16 < − 1 2(x + 4)
c | x − 4 | ≥ 4
d | x 2 − 6 | < 3
92 Een brug is 852 m lang, maar kan door verandering van de temperatuur tot 380 mm langer of korter worden. Je wilt weten hoe lang de brug minimaal en maximaal kan worden. T2
a Welke van onderstaande ongelijkheden hoort bij dit vraagstuk?
A | x − 852 | ≤ 380
B | x − 852 | ≤ 0,380
C x ≤ | 852 − 380 |
D x ≤ | 852 − 0,380 |
b Los de ongelijkheid op. Hoe lang kan de brug minimaal en maximaal worden?
93 Hieronder zie je een stippenpatroon.
1 2 3 4 5
a Laat zien dat je het aantal stippen A van figuur n kunt berekenen met de formule
A = n 2 + 2n T2
b Vanaf welke figuur is het aantal stippen ten minste 100? T2
c Welke figuren hebben tussen de 1000 en 5000 stippen? T2
d Figuur m heeft 200 stippen minder dan figuur m + 10. Bereken m. I
Heb je het leerdoel bereikt?
R Ik ken de betekenis van de volgende begrippen:
lineaire ongelijkheid
kwadratische ongelijkheid
T1 Ik kan de oplossing van een ongelijkheid aflezen uit grafieken. Ook kan ik lineaire en kwadratische ongelijkheden algebraïsch oplossen.
T2 Ik kan een ongelijkheid met een absolute waarde oplossen. Ook kan ik ongelijkheden in toegepaste situaties oplossen.
I Ik kan redeneren over ongelijkheden in toegepaste situaties.
Elektriciteitskabels
94 Een elektriciteitskabel wordt opgehangen tussen palen die 30 m hoog zijn en 300 m van elkaar staan. Een technisch tekenaar wil met een computer een tekening maken van de hangende kabel. Daarbij neemt hij aan dat de vorm waarin de kabel tussen twee opeenvolgende palen hangt, een parabool is. Hoewel dit niet helemaal juist is (de werkelijke vorm is die van een kettinglijn), is dat een redelijke benadering.
30 m
De tekenaar kiest voor een assenstelsel waarbij O op de grond in het midden tussen twee palen ligt en waarbij de xas horizontaal is. De vergelijking van een parabool heeft de vorm:
y = a x 100 + c voor 150 ≤ x ≤ 150
Hierbij zijn x en y gemeten in meters. I
a Toon met behulp van de formule en de gegevens in de afbeelding aan dat 9a + 4 c = 120
Er bestaan voorschriften voor het ophangen van elektriciteitskabels. Een van de eisen is dat het laagste punt van de kabel ten minste 10 m boven de grond moet hangen. Bovendien mag, in verband met de spankracht van de kabel, het laagste punt van de kabel zich niet meer dan 20 m boven de grond bevinden.
b Is aan de eisen voldaan als de tekenaar a = 12 kiest?
c Bereken welke waarden voor a zijn toegestaan. Rond af op één decimaal.
Naar examen havo wiskunde B 1991-II
300m
Toetsvoorbereiding
Kijk aan het eind van elke paragraaf of je de begrippen kent en het leerdoel hebt bereikt. Zo niet, lees dan de uitleg nog eens goed door of bekijk de uitlegvideo’s. Maak daarna de volgende opdrachten.
Academie
95 Neem de onderstaande waarheidstabel over en vul hem in. T1 x y ¬ x ∨ y ¬ x
§ 1.2
100 Teken de grafieken van de volgende formules. T1
a y = 4 − 3 5 x
b y = (x − 3)(x + 1)
c y = − 1 + | x + 3 |
101 Een lijn snijdt de assen in de punten (0, − 2) en (5, 0). Stel een formule op voor deze lijn. T1
102 Je ziet hieronder de parabool
§ 1.1
96 Gegeven zijn de intervallen P = 〈 2, 4] en Q = 〈←, 6].
a Teken deze intervallen op de reële rechte. T1
b Schrijf P ∪ Q zo kort mogelijk in de intervalnotatie. T2
97 Teken op de reële rechte alle getallen x die voldoen aan:
a 1 < x ≤ 5 T1
b x < − 2 ∨ x > 4 T1
c x ≤ 10 ∨ x < − 4 T2
d x < 3 ∨ x > 3 T2
98 Bereken. T1
a | 4 − 7 |
b | 1 − √5 |
c | 12 − 3 | −11 | |
99 De temperatuur in De Bilt is 3 °C en in Oslo 12 °C. Neem over en vul in: T2
Het temperatuurverschil tussen deze twee plaatsen is gelijk aan | −3 − | = | 12 − | = °C.
y = 1 4 (x − 3)2 − 1. T2
a Ga met een berekening na of de lijn y = − 2 x + 5 door de top van deze parabool gaat.
b Herleid de formule naar de vorm
y = a (x − m)(x − n).
c Teken de grafiek van y = | 1 4 (x − 3)2 − 1 |
§ 1.3
103 Los algebraïsch op. T1
a 2 − x = 1 3 x + 5
b 3(4x − 1) = 7 − 12 x
c | x − 4 | = 2
d 5 − | x + 1 | = 0
104 Bereken algebraïsch de coördinaten van de snijpunten van de grafieken van de volgende formules. T1
a y = − 1 − x 6 en y = 2
b y = 33 + 2,1x en y = 6,5x
§ 1.4
105 Los exact op. T1
a 4x 2 + 16x + 8 = 0
b (x − 1)2 = 6x + 1
c (2 x − 3)2 = (4 − x)2
d (x − 4)(x + 5) = x (x − 4)
e x 2 − 9 = x − 3
106 Gegeven is de formule y = − 2(x + 4)(x + 6). T2
a Bereken algebraïsch de coördinaten van de snijpunten van de grafiek van deze formule met de assen.
b De grafiek snijdt de lijn y = 2 x in twee punten. Bereken exact de xcoördinaten van deze punten.
107 Een bedrijf maakt producten en verkoopt ze voor € 15, per stuk. De kosten voor het maken van een product zijn € 8,50. Ook heeft het bedrijf elke maand € 25 000, aan vaste kosten. In een bepaalde maand was de omzet € 8865, hoger dan de totale kosten. Bereken hoeveel producten het bedrijf in deze maand heeft verkocht. T2
109 Gegeven is de formule y = 5 − 3| x − 1 |
a Teken de grafiek van deze formule. T1
b Bereken de coördinaten van de snijpunten van de grafiek met de assen. T2
c Los op 5 − 3| x − 1 | < 5. T2
Hoofdstuk 1
110 Los exact op. T1
a 2 9(x − 7) = 10
b 7 + 1 3 x 2 + 2 x = 0
c (5x − 1)2 = x 2
d x (x − 2) = (x − 3)(x − 4)
e x + 4 5 < 3
f 8(x + 1) > (4x + 4)2
111 Je ziet hieronder de parabool y = − 0,5x 2 + 4x en de lijn y = x. Tussen de parabool en de lijn zijn verticale lijnstukken getekend.
y O x
§ 1.5
108 Los exact op.
a 1 2 x − 5 ≤ 3 5x T1
b 5(x + 4)2 − 3 < 12 T1
c x (x + 3) ≤ 3x T2
a Voor welke waarden van x is de parabool getekend? T2
b Voor welke waarden van x is de lijn getekend? T2
c Bereken de maximale lengte die de verticale lijnstukken kunnen hebben. I
Extra opdrachten
§ 1.1
112 Schrijf de volgende intervallen in de intervalnotatie. T1
1 2 3 –1 –2 –3 –4 –5
b –1 –2 –3 0 1
113 Teken de volgende (combinaties van) intervallen op de reële rechte. T1
a 〈 4, 5]
b [− 2, 2] ∪ 〈5, →〉
c 〈←, 0〉 ∪ 〈0, →〉
114 Je ziet hieronder de reële rechte met daarboven de intervallen A en B. T2
a Schrijf A ∪ B zo kort mogelijk in de intervalnotatie.
b Welke ongelijkheid hoort bij A ∪ B? 0 1 2 3 4 5 –1 –2 –3 6 A B
§ 1.2
115 Teken de grafieken van de volgende formules. T1
a y = 13 5 x − 2
b y = − (x − 2)(x + 4)
c y = − 1 + | x + 3 |
116 Om de prestaties van een speerwerper te verbeteren, zijn zijn worpen een tijd lang geanalyseerd. Dit heeft geholpen, want deze speerwerper werpt tijdens een atletiekwedstrijd een nieuw persoonlijk record. Tijdens deze worp wordt het verband tussen de hoogte H van de speer in m en de horizontale afstand a tot de plaats van de afworp in m gegeven door de formule
H = − 0,025a 2 + a T2 afstand a (m) ? ?
hoogte H (m)
a Bereken het nieuwe record.
b Bereken bij welke horizontale afstand a de speer zich op het hoogste punt bevond.
c Hoe hoog kwam de speer?
§ 1.3
117 Los op.
a 15 + 4x = 33 − 2(x − 6) T1
b 0,5(8 − 4x) = 2 x + 5 T1
c 2 − x 3 = x T1
d | x − 1 5 | = 3 T1
e 4 − | 6 − x | = 7 T1
f | x − 1 | = | 3x − 2 | T2
118 Bereken algebraïsch de coördinaten van de snijpunten van de grafieken van de volgende formules. T1
a y = −7,5x + 40 en y = 2,5x
b y = 3(20 − 3x) en y = x
119 a Bepaal de oplossingen van de vergelijking
3x 2 + 7x − 6 = 0. T1
b Bepaal de oplossingen van de vergelijking
(x − 2 3)(x + 3) = 0. T1
c Geef een combinatie van gehele waarden voor a , b en c waarvoor x = − 2 3 en x = 3 oplossingen zijn van de vergelijking ax 2 + bx + c = 0 T2
120 In het assenstelsel hieronder zie je de grafieken van de totale kosten TK en de totale omzet TO van een bedrijf, beide in euro’s. De totale winst TW in euro’s bereken je met de formule TW = TO − TK . T2
30 000
25 000
20 000
15 000
10 000 100 200 300
5 000 aantal producten TK 0 400 500 600 700 800 bedrag (€)
a Bij welk aantal producten maakt het bedrijf geen winst en geen verlies?
b Stel een formule op voor TW
c Bij welke aantallen producten is de winst 10 000 euro of hoger?
§ 1.4
121 Los exact op. T1
a 4x 2 = 6x
b 2x 2 + x = 56 − 5x
c (3 − x)2 = 6
d x (x − 3) = 2 x
e (4 − x)2 = (5x − 1)2
f (x + 4)(1 − x) = 4x − 4
122 a Toon aan dat x = 1 − √11 en x = 1 + √11 de oplossingen zijn van de vergelijking
x 2 − 2 x − 10 = 0 T1
b Geef een combinatie van waarden voor a ,
b en c waarvoor x = 2 − √7 en x = 2 + √7 oplossingen zijn van de vergelijking
ax 2 + bx + c = 0 I
§ 1.5
123 Los exact op. T1
a 3 − 10(0,5x − 2) ≤ 3x − 2
b 21 2 x + 1 > 13 4 x − 8
c x 2 − 3x ≥ 4
d 2x 2 < x − 25
e (5x 1)2 > x 2
124 Je ziet hieronder de grafieken van y = | 1,25x | − 2 en y = 4 − | x |.
Los op 4 − | x | < | 1,25x | − 2. T2
Hoofdstuk 1
125 Neem over en vul <, > of = in. T1
a 3,14 − π
b 1 2 √2 1 √2
c 1 − (1 + 1) − 1 0
d | 1 − √3 | 1 − √3
e | 0,32 | 0,09
f | 3,14 − π | … π − 3,14
126 Ga met een berekening na of de punten
(− 50, 60), (0, − 10) en (20, 28) op één lijn liggen. T2
127 Gegeven is de formule y = | x − 2 | + 1.
a Teken de grafiek van deze formule. T1
b Los op | x − 2 | + 1 = 4. T1
c Los op | x − 2 | + 1 < 4. T2
d Los op | x − 2 | + 1 > 1. T2
128 Als het waait, voelt het kouder aan dan de thermometer buiten aangeeft. De gevoelstemperatuur bij een temperatuur van 0 °C
kun je uitrekenen met de formule
G = 0,0124w 2 − 1,162w + 1,41. Hierin is G de gevoelstemperatuur in °C en w de windsnelheid in m/s. In het weerbericht wordt ’s middags een temperatuur van 0 °C voorspeld, waarbij de gevoelstemperatuur −10 °C tot −15 °C zal zijn. Welke windsnelheden worden er die middag verwacht?
Let op: je vindt meerdere waarden voor de windsnelheid. Welke zijn realistisch? T2
129 De oppervlakte van een rechthoekige tuin is 150 m 2. De lengte is 5 m groter dan de breedte. Bereken door eerst een vergelijking op te stellen de lengte en de breedte van de tuin. T2
130 a Voor welke waarden van x met 0 < x < 5 geldt x2 ≥ 16? T2
b Voor welke waarden van x met 2 ≤ x < 3 geldt 1 3x2 < 3? T2
c Voor welke waarden van x geldt −x2 > 0 of x < 2? T2
131 Teken een assenstelsel met daarin: I
a alle punten (x, y) die voldoen aan de vergelijking | x | + | y | = 3.
b alle punten (x, y) die voldoen aan de ongelijkheid | x | + | y | ≤ 3.
132 Als je de lengte van je voet in mm nauwkeurig weet, kun je je schoenmaat uitrekenen met de volgende formule:
schoenmaat ≈ 1,5 · voetlengte + 1,75.
In deze formule vul je je voetlengte in cm in en rond je de uitkomst af op een half getal. Komt er bijvoorbeeld 40,15 uit, dan heb je schoenmaat 40. Komt er 40,42 uit, dan heb je schoenmaat 40 1 2 T2
a Welke schoenmaat heeft iemand met een voetlengte van 24,6 cm?
b Iemand heeft schoenmaat 42. Wat is de minimale voetlengte van deze persoon? En de maximale?
133 Er wordt veel onderzoek gedaan naar het verband tussen het vermogen (het energieverbruik per seconde) en de vliegsnelheid bij vogels. Het vermogen P wordt gemeten per kg borstspier en uitgedrukt in watt (W).
Een onderzoek heeft uitgewezen dat de grafiek van het verband tussen de vliegsnelheid en het vermogen Uvormig is.
Dat wil zeggen: vliegen met lage of hoge snelheid kost veel vermogen, terwijl vliegen met een snelheid daartussenin minder vermogen kost. In de figuur is dit verband voor valkparkieten weergegeven.
vermogen P (W)
250
v (km/h) 0 40 50 60
10 20 30
Dit onderzoek toont bij valkparkieten een bij benadering kwadratisch verband aan tussen de vliegsnelheid en het vermogen. Hiervoor geldt de formule:
P = 0,19v 2 − 8,71v + 169,72
In deze formule is P het vermogen in watt (W) en v de snelheid in km/h. T2
a Bereken met behulp van de formule bij welke snelheden het vermogen van een valkparkiet 120 W is.
b Bereken met behulp van de formule bij welke snelheid het vermogen van een valkparkiet minimaal is.
Naar examen vwo wiskunde A 2013-II
134 Los op een handige manier op. T2
a 4(x − 1) + 2 x − 2 = 0
b (x − 2)(3 − x) = (2 x − 4)
c x 2 − 10x + 25 = 1 5(x − 5)
d (x − 1) | x | = 1 − x
135 Om te voorkomen dat er producten verkocht worden waarin een veel kleinere hoeveelheid zit dan op het etiket staat, zijn er Europese richtlijnen opgesteld. Als op het etiket bij de hoeveelheid het ℮ teken staat, dan is een vastgestelde afwijking toegestaan. Op een product staat dat er ℮ 500 g in zit. Volgens de richtlijnen mag de afwijking voor dit product maximaal 2,5% zijn. Je wilt weten wat de inhoud minimaal en maximaal mag zijn. T2
a Welke van onderstaande ongelijkheden hoort bij dit vraagstuk?
A | 500 − x | ≤ 2,5
B | x − 500 | ≤ 12,5
C | 2,5 − x | ≤ 500
D | x − 12, 5 | ≤ 500
b Los de ongelijkheid die je bij opdracht a gevonden hebt op. Wat mag de inhoud van het product minimaal en maximaal zijn?
136 Je ziet hieronder op het interval [0, 5] de lijn die door de punten (0, 5) en (5, 0) gaat. Verder zie je rechthoek OABC, waarbij A op de xas ligt, B op de lijn door (0, 5) en (5, 0) en C op de y as. Bereken de oppervlakte van de grootst mogelijke rechthoek OABC die je zo kunt tekenen. I