Diccionario de biomatematicas by jhaz jhaz

Diccionario Cient´ıfico de Biomatemáticas A. Mu˜ noz L., J. C. Jamboos T. O. M. Garc´ıa A. Facultad de Ciencias Básicas y Tecnolog´ıas Facultad de Educación Grupo de Modelación Matemática en Epidemiolog´ıa (GMME) Universidad del Quind´ıo Armenia - Colombia Escuela de Biolog´ıa Benemérita Universidad Autónoma de Puebla Puebla - México 10 de febrero de 2011

A. Mu˜ noz L., J. C. Jamboos T., O. M. Garc´ıa A.

Dr. Anibal Mu˜ noz Loaiza Candidato a Msc. Juan Carlos Jamboos Toledo Msc. Oscar Marino Garc´ıa Arias

Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas No está permitida la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o método sin autorización escrita de los autores.

ISBN: 978-958-44-1251-5

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Dedicado a la memoria de mis padres: Nohemy y Anibal A mis hijos: Alejandro, Andr´ es y Dalia A mi esposa Irma A los jovenes Monserrat Cruz Limon Carolina Castellanos Sosa Juan Carlos Cruz Limon Anibal Mu˜ noz Loaiza

Dedico este libro a mis padres: Ruth Toledo B. y Carlos B. Jamboos O. y al profesor Anibal, quienes con su amor, sacrificio y dedicaci´ on han contribuido en mi formaci´ on humana, en el logro de mis objetivos y en mi formaci´ on acad´ emica - investigativa. Juan Carlos Jamboos Toledo

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Agradecimientos Agradecemos al Dr. Andr´ es Fraguela C. y Dr. Vladimir V. Alexandrov de la Facultad de Ciencias F´ısico Matem´ aticas y al Dr. Jose lino Zumaquero de la Escuela de Biolog´ıa, docentes investigadores de la Benem´ erita Universidad Aut´ onoma de Puebla, M´ exico. Al CONACyT M´ exico, a la Facultad de Ciencias F´ısico Matem´ aticas de la Benem´ erita Universidad Aut´ onoma de Puebla y a la Facultad de Ciencias B´ asicas y Tecnolog´ıas y la Facultad de Educaci´ on de la Universidad del Quind´ıo - Colombia. A. Mu˜ noz L., J. C. Jamboos T., O. M. Garc´ıa T. Puebla, Puebla - M´ exico Septiembre del 2007

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´Indice de figuras 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.

Distribución aleatoria y agregada x ¯ =4, s2x =4.58, 2 sx =25, k =27.59, k =0.16 [28]. . . . . . . . 6 Distribuciones agregadas x ¯ =4, s2x =66.67, s2x =400, k =0.05, k =0.006 [28]. . . . . . . . 6 Vector de la malaria [43]. . . . . . . . . . . . 9 Mosquito A. aegypti [38]. . . . . . . . . . . 9 Andrei A. Markov (1856 - 1922) [32]. . . . . 12 Criaderos del mosquito A. aegypti [38]. . . . 13 Naturaleza de la estabilidad [10]. . . . . . . . 16 Ciclo del mosquito A. aegypti [41]. . . . . . 17 Vibrio cholerae [43]. . . . . . . . . . . . . . . 20 Control biológico de insectos [41]. . . . . . . 24 Control biológico [42]. . . . . . . . . . . . . . 25 Thomas Robert Malthus (1766 - 1834) [34]. . 29 Crecimiento exponencial con x0 = 20, α =0.15, α =0.20, α = 0, α = -0.1, α =-0.15, t = 0, ..., 10. 30 Pierre Francois Verhulst (1804 - 1849) [35]. . 31 Dinámica de Crecimiento Log´ıstico. . . . . . . 32 Trypanosoma cruzi del mal de Chagas . . . . 34 Estad´ıo fase acuática del mosquito A. aegypti [40]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 vii

viii 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33.

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Ecuación de balance unidimensional. . . . . . 44 A. Mikhailovich Lyapunov (1857 - 1918) [40]. 58 Equilibrio Lyapunov Estable. . . . . . . . . . 58 Equilibrio Inestable. . . . . . . . . . . . . . . 59 Equilibrio Asintóticamente Estable. . . . . . . 59 Conjunto de Mandelbrot [44]. . . . . . . . . . 63 Flebótomo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Cato M. Guldberg y Peter Waage (1864) [39]. 82 Sir Ronald Ross (1857 - 1932) [31]. . . . . . . 86 William Ogilvy Kermack (1898 - 1970) [37]. . 94 Dinámica de los umbrales RM y R0 . . . . . . 109 Plano de fase dinámica Lotka - Volterra y FitzHugh - Nagumo. . . . . . . . . . . . . . . 114 Lev S. Pontryagin (1908 - 1988) [36]. . . . . 117 Simon Denis Poisson (1781 - 1840) [33]. . . . 119 Simulaciones del modelo de Lotka - Volterra - Depredador y Presa. . . . . . . . . . . . . . 130 Virus de Inmunodeficiencia Humana (VIH). . 143

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Introducci´ on Este libro Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas esta dirigido a estudiantes e investigadores de Biolog´ıa, Ecolog´ıa, Epidemiolog´ıa, Matemática y en particular la Biomatemática. En el se encuentran el significado cient´ıfico de términos y expresiones Biomatemáticas de interés en el modelado matemático en Epidemiolog´ıa y Ecolog´ıa de Poblaciones. Se enfatiza en algunos términos dando una amplia explicación de su deducción, significado y aplicación. En su desarrollo se incluyen diagramas compartimentales, fotos de cient´ıficos, planos de fase, gráficas de simulación e imagenes, haciendo una obra amena de consultar. Esperamos asi contribuir con el desarrollo de la Biomatemática. Los Autores

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A Abundancia relativa: Representación proporcional de una especie en una muestra o en una comunidad. ´ Acido: Cualquier de los compuestos que libera iones hidrógeno cuando se disuelve en agua. Solución de agua que contiene un excedente de iones hidrógeno. Adaptaci´ on: Una caracter´stica determinada genéticamente que realza o pontencia al individuo para tener suficiente capacidad para desenvolverse y desarrollarse en un determinado ambiente. Proceso evolutivo por el cual los organismos adquieren mejor acomodación en sus ambientes. ´ ADN: Acido Desoxirribonucleico, frecuentemente abreviado ADN (y tambin DNA, del inglés Deoxyribonucleic Acid), constituye el principal componente del material genético de la inmensa mayor´ıa de los organismos, junto con el ARN, siendo el componente qu´ımico primario de los cromosomas y el material en el que los genes están codificados. La función principal del ADN es mantener a través del código genético, la información genética necesaria para crear un ser vivo idéntico a aquel del que proviene (o casi similar, en el caso de mezclarse con otra cadena como es el caso de la reproducción sexual o de sufrir mutaciones). Las cadenas polipept´ıdicas codificadas por el ADN pueden ser estructurales como las prote´ınas de los m´ usculos, cart´ılagos, pelo, etc., bien funcionales como las de la hemoglobina o las innumerables enzimas del organismo. La función principal de la Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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herencia es la especificación de las prote´ınas, siendo el ADN una especie de plano o receta para nuestras prote´ınas. Para hacerse una idea, una diminuta cantidad de ADN en un huevo fertilizado, determina casi todas las caracter´ısticas f´ısicas del animal en su desarrollo completo; por ejemplo: la diferencia entre un ser humano y una rana está codificada en una parte relativamente peque˜ na de este ADN. En los organismos procariotas (moneras), as´ı como en las mitocondrias y cloroplastos eucariotas, el ADN se presenta como una doble cadena (de cerca de 1 mm de longitud), circular y cerrada, que toma el nombre de cromosoma bacteriano, que es circular excepto en las micoplasmas, que es lineal. En las Eucariotas el ADN se encuentra localizado principalmente en el n´ ucleo, apareciendo el superenrrollamiento (trenzamiento de la trenza) y la asociación con prote´ınas histónicas y no histónicas. El ADN se enrolla (dos vueltas) alrededor de un octeto de prote´ınas histónicas formando un nucleosoma, estos quedan separados por una secuencia de ADN de hasta 80 pares de bases, formando un collar de perlas o mejor denominado fibra de cromatina, siendo la estructura propia del n´ ucleo interfásico, que no ha entrado en división. Este collar de nucleosomas vuelve a enrollarse y cada 6 nucleosomas constituyen un paso de rosca por medio de histoma H1 formando estructuras del tipo solenoide. En los virus, el ADN puede presentarse como una doble hélice cerrada, como una doble hélice abierta o simplemente como una u ńica hebra lineal. Comparar con ARN.

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Advecci´ on: Desplazamiento horizontal, meridiano o zonal de una masa de aire, lo que provoca cambios de tiempo y transferencias de calor de unas zonas a otras de la superficie terrestre. Agua subterr´ anea: Agua que se ha acumulado en el suelo, completamente llenando y saturando todos los poros y espacios en rocas y suelo. El agua subterránea está libre y se mueve más o menos fácilmente. Es el reservorio de fuentes y manantiales y es rellenado mediante la infiltración del agua superficial. Agentes biol´ ogicos: Parásitos que se clasifican en microparásitos (protozoarios, matazoarios, bacterias, virus, hongos y rickettsias) y macroparásitos (helmintos, artrópodos). Se diferencian en su forma, tama˜ no, hábitos de vida, reproducción y forma de transmisión. Las especies que producen infecciones humanas son denominadas patógenas, hablamos entonces de agentes patógenos. Agregaci´ on biol´ ogica: Asociación o grupo de organismos de la misma especie que integran una estructura social formada por miembros repetidos o unidades modulares que tienen un bajo nivel de coordinación, integración o relación genot´ıpica. Las bases biológicas de la agregación son: Respuesta a factores f´ısicos del medio ambiente como luz, temperatura y humedad Respuesta a la planta hospedera o partes de ella Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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Comportamiento reproductivo Atracci´on mutua con otros individuos de la misma especie Interacciones con otros organismos.

Figura 1: Distribuci´on aleatoria y agregada x ¯ =4, s2x =4.58, s2x =25, k =27.59, k =0.16 [28].

Figura 2: Distribuciones agregadas x ¯ =4, s2x =66.67, 2 sx =400, k =0.05, k =0.006 [28]. Ana´ erobico: Sin ox´ıgeno. Alelo: Una de varias formas alternativas de un gen. Alelopat´ıa: Inhibici´on directa de una especie por otra usando qu´ımicos nocivos o t´oxicos. Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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Algebra: Colección no vacia Σ de subconjuntos de X que satisface: X∈Σ Si C ∈ Σ entonces C¯ ∈ Σ Si C, D ∈ Σ entonces C ∪ D ∈ Σ Ambiente: Se refiere a las condiciones del medio ambiente circundante del organismo; Todos los factores bióticos y abióticos que afectan a un individuo en cualquier momento de su ciclo de vida. Entorno que afecta y condiciona especialmente las circunstancias de vida de las personas o la sociedad en su conjunto. Comprende el conjunto de valores naturales, sociales y culturales existentes en un lugar y en un momento determinado, que influyen en la vida del hombre y en las generaciones venideras. Es decir, no se trata sólo del espacio en el que se desarrolla la vida sino que también abarca seres vivos, objetos, agua, suelo, aire y las relaciones entre ellos, as´ı como elementos tan intangibles como la cultura, la filosof´ıa, la educación o la pol´ıtica. Amino´ acido: Uno de los treinta aminoácidos que contiene el grupo amino (N H2 ), los cuales son los que construyen bloques de proteinas. Anaer´ obico: Organismo que no requiere ox´ıgeno para su desarrollo y actividades metabólicas.

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An´ alisis del factor k: Análisis de la relación entre el poder destructivo de varios factores ambientales y el cambio en el tama˜ no de la población. Comparar con Análisis del factor llave. An´ alisis de factor llave: Tratamiento estad´ıstico de datos poblacionales dise˜ nado para identificar los factores más relevantes de cambio en el tama˜ no de la población. An´ alisis de gradiente: Descripción e interpretación de las abundancias de especies a lo largo de gradientes de condiciones f´ısicas. Ani´ on: Una parte de una molécula disociada que transporta una carga eléctrica negativa. Anofeles: Mosquito de largos palpos cuya hembra es transmisora de los protozoos causantes del paludismo, las larvas del mosquito anofeles viven en las aguas estancadas o de escasa corriente. Antropof´ılico: Referente a los insectos que muerden, chupan o sencillamente se alimentan de sangre humana. ´ ARN: Acido Ribonucleico. Es un ácido nucleico, pol´ımero lineal de nucleótidos formando una larga cadena. El eje de la cadena lo forman grupos fosfato y az´ ucares ribosa de forma alternativa del que toma su nombre. Los nucleótidos del ARN contienen el az´ ucar ribosa y entre sus bases nitrogenadas al uracilo, a diferencia del ácido desoxirribonucleico

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Figura 3: Vector de la malaria [43].

Figura 4: Mosquito A. aegypti [38]. (ADN) cuyo az´ ucar es una desoxirribosa y contiene a la timina en vez del uracilo. La funci´on principal del ARN es servir como intermediario de la informaci´on que lleva el ADN en forma de genes y la prote´ına final codificada por esos genes. Comparar con ADN. Asociaci´ on: Un grupo de especies que viven en el mismo lugar.

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Autorregulaci´ on: Es la concepción de que el tama˜ no de la población es regulado con respecto a su recurso por restricción individual ante la sobreexplotación.

B Bacteria: Microorganismo, célula procariota y parásito que puede ser intracelular o extracelular obligado o facultativo. Cuenta con diferentes fuentes de alimentación y ambientes para su desarrollo y multiplicación que pueden ir desde condiciones aeróbicas y anaeróbicas hasta aquellos tremendamente adversos para la existencia de vida animal. Se presentan en diversas formas, incluyendo esferas, bastones y espirales. Bifurcaci´ on: Es un cambio de comportamiento cualitativo de un sistema dinámico. Algunos tipos de bifurcación locales de campos de vectores en R son: la bifurcación silla - nodo, la bifurcación transcritica y la bifurcación pitchfork. Biomasa: Peso de la materia viva, usualmente expresada como peso seco, en todo o parte de un organismo, población o comunidad. Comunmente presentada como peso por unidad de área, una densidad de la biomasa. Biomatem´ atica: Matemática aplicada a la Biolog´ıa. Biogenética y profundamente no reduccionista. Los problemas biológicos son tratados capturando sus cualidades biológicas básicas, para luego analizarlos por medio del razonamiento y práctica matemática. Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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Biota: Fauna y flora juntas. Bola abierta: Sea (X, d) un espacio metrico, a ∈ X, r ∈ (0, +∞). La bola abierta con centro a y radio r es el conjunto B(a, r) = {x ∈ X : d(x, a) < r} Bola cerrada: Sea (X, d) un espacio metrico, a ∈ X, r ∈ (0, +∞). La bola cerrada con centro a y radio r es el conjunto B(a, r) = {x ∈ X : d(x, a) ≤ r}

C Cadena alimenticia: Referente al paso y reciclaje de energ´ıa a través de las poblaciones dentro de una comunidad biológica. Cadena de Markov: Representa un sistema que varia su estado a lo largo del tiempo, siendo cada cambio una transición del sistema. Dichos cambios no estan predeterminados, aunque si lo está la probabilidad del próximo estado en función de los estados anteriores, puede ser finita o infinita y discreta o continua. Calentamiento global: Término referido al calentamiento gradual de la atmósfera debido al efecto invernadero del dióxido de carbono y otros gases. El calentamiento global es pensado por muchos como el tema ambiental global más Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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Figura 5: Andrei A. Markov (1856 - 1922) [32].

serio que enfrenta nuestra sociedad. Ver también Efecto invernadero y Gases invernadero. Cambio cultural: Cualquier modificación de las caracter´ısticas espec´ıficas de una población que es transmitida mediante aprendizaje más que por mecanismos genéticos. Caos: Cambio errático en el tama˜ no de las poblaciones gobernado por ecuaciones en diferencia y que tienen tasas intr´ısecas altas de crecimiento. Capacidad de carga(K): Es el máximo n´ umero de individuos que puede tener un ecosistema, también se llama capacidad l´ımite o capacidad de soporte, depende del espacio, alimentación, condiciones ambientales, entre otros factores; Cantidad de organismos vivos de un hábitat que Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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pueden ser soportados indefinidamente sobre los recursos disponibles. También llamada Capacidad de carga biol´ ogica. Capacidad de criaderos: Es el n´ umero máximo de criaderos aptos para la reproducción del mosquito, por ejemplo el Aedes aegypti. Capacidad vectorial: N´ umero de inoculaciones promedio

Figura 6: Criaderos del mosquito A. aegypti [38]. con un parásito espec´ıfico, originadas de un caso de malaria por unidad de tiempo, que una población de vectores distribuir´ıa al hombre si todas las hembras estuvieran infectadas, segun Garret - Jones y Shidrawi. La fórmula es la siguiente C=

ma2 pn − ln p

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donde, m : Es la tasa de picadura o n´ umero de picaduras por hombre por d´ıa a : Frecuencia promedio de picaduras sobre el hombre por un solo mosquito; también depende de la duración del ciclo gonotr´ ofico (CG) del vector y el ´ındice de sangre humana (ISH). Se calcula como el rec´ıproco del n´ umero de d´ıas requerido para el ciclo gonotrófico multiplicado por el ISH: 1 a= ISH CG p : Probabilidad de la hembra mosquito de sobrevivir un d´ıa pn : Probabilidad de la hembra mosquito de sobrevivir por n d´ıas n : Duración del periodo extr´ınseco de incubación, para el caso de parásitos de malaria es de 9 - 12 d´ıas 1 ln p a : Probabilidad de vida infectiva de la hembra o la proporción de las poblaciones con probabilidad de sobrevivir más allá del periodo extr´ınseco de incubación y picar a n´ umero de veces por d´ıa ISH : Se define como la proporción de hembras mosquito que contienen sangre humana. Reisen considera que la fórmula de capacidad vectorial de arbovirus en general deber´ıa incluir el componente de la competencia vectorial V ; por tanto la fórmula de C para el dengue quedar´ıa de la siguiente manera:

ma2 V pn − ln p

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donde, V : Es la capacidad genética del vector para infectarse con el patógeno y posteriormente ser capaz de transmitirlo. Caracter´ısticas de la estabilidad en R2 : Sea la matriz jacobiana evaluada en (ˆ x, yˆ): a11 a12 fx (ˆ x, yˆ) fy (ˆ x, yˆ) A(ˆ x, yˆ) = = a21 a22 gx (ˆ x, yˆ) gy (ˆ x, yˆ) donde la traza y el determinante de A(ˆ x, yˆ) son: β = T r.A(ˆ x, yˆ) = a11 + a22 = fx (ˆ x, yˆ) + gy (ˆ x, yˆ) γ = det.A(ˆ x, yˆ) = a11 a22 + a12 a21 = (fx gy − fy gx )(ˆ x, yˆ) Con base en la traza y el determinante, el estado de equilibrio (ˆ x, yˆ) de un sistema no lineal bidimensional, se puede clasificar en los siguientes seis casos (Figura 7): 1. Nodo inestable: β > 0 y γ > 0 2. Punto silla: γ < 0 3. Nodo estable: β < 0 y γ > 0 4. Espiral inestable: β 2 < 4γ y β > 0 5. Centro neutral: β 2 < 4γ y β = 0 6. Espiral estable: β 2 < 4γ y β < 0 Carcinog´ enico: Que tiene la propiedad de causar cáncer, al menos en animales y por la implicación del ser humano. Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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Figura 7: Naturaleza de la estabilidad [10].

Cati´ on: Es una molécula con carga eléctrica positiva. Celulosa: Molécula de cadena larga constituida por subunidades de glucosa. Se encuentra en las paredes celulares y estructuras fibrosas en plantas. Es la macromolécula orgánica que es el constituyente primario de las paredes celulares de las plantas y por consiguiente la mayor molécula presente en la madera, sus derivados y el algodón. Está compuesto de moléculas de glucosa pero en vista de que no puede ser digerida por el humano, su valor dietético es solamente como fibra, bolo o material de desecho. Ciclo: Variación recurrente en un sistema que per´ıodicaDiccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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mente regresa a su punto de inicio. Ciclo biol´ ogico: Caracter´ısticas importantes del ciclo de vida a través de las cuales pasa un organismo; con referencia particular a las estrategias que influyen en la sobrevivencia y reproducción. Ciclo de Calvin: La secuencia asimilatoria básica de la

Figura 8: Ciclo del mosquito A. aegypti [41]. fotos´ıntesis durante la cual un átomo de carbono se une a la molécula 5-carbono ribulosa bisfosfato (RuBP) para producir fosofoglicealdehido (PGA) y luego glucosa. Ciclo de nutriente: Es la ruta de un elemento a través del ecosistema, incluyendo su asimilación por los organismos y su regeneración en una forma inorgánica reutilizable. Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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Ciclo de poblaci´ on: Variación recurrente en el tama˜ no de población donde los n´ umeros fluct´ uan entre extremos a lo largo de un periodo regular. Ciclo de vida: Conjunto de los diferentes estados de vida que progresan desde el adulto de una generación hasta el adulto de la siguiente. Ciclo l´ımite: Oscilación de las poblaciones presa y depredadora que ocurren cuando las tendencias de estabilización y desestabilización se balancean. Clase de edad: Individuos en una población de una edad particular. Coeficiente de competici´ on (a): Medida del grado al cual un consumidor utiliza el recurso de otro, expresado en términos de las consecuencias poblacionales de la interacción. Coeficiente de determinaci´ on (R2 ): La proporción de variación en una variable (dependiente) que está relacionada con la variación de una u otras variables (independientes). Coeficiente de dispersi´ on: Indicador del grado de distribución espacial de los individuos de una población. Hay diferentes indicadores entre otros:

CDP =

s2 x ¯

donde CDP: Es el coeficiente de dispersi´on

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de Poisson, s2 : La varianza muestral y x ¯ : La media muestral. El exponente β de la Ley de Potencia de Taylor, s2 = ρ¯ xβ El parámetro k de la distribución binomial negativa. Coevoluci´ on: Evolución interdependiente de dos o más especies que poseen una relación ecológica obvia, usualmente restringida a casos en los que las interacciones son benéficas para ambas especies. También se utiliza para definir la interacción evolutiva entre especies que poseen alg´ un grado de interdependencia, como en el caso de un parásito y su huésped. Ocurrencia de rasgos determinados genéticamente (adaptaciones) en dos o más especies seleccionadas por las interacciones mutuas controladas por estos rasgos. Coexistencia: Ocurrencia de dos o más especies en el mismo habitad; usualmente aplicada a especies potencialmente en competencia. Cohorte: Un grupo de individuos de la misma edad que entrán a una población al mismo tiempo. C´ olera: Es una enfermedad infecciosa producida por una bacteria, el Vibrio Cholerae; y que provoca un cuadro cl´ınico caracterizado por vómitos y diarrea intensa, que puede llevar a la deshidratación grave. Dicha bacteria ingresa al organismo con el agua o los alimentos, en especial el pescado, contaminados con materia fecal de personas infectadas. Algunos insectos, como las moscas, pueden contaminar los alimentos. Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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Si consigue atravesar la acidez del estomago (primera gran barrera), coloniza el intestino delgado y comienza a producir una toxina que estimula la secreción intestinal, desencadenando una gran pérdida de l´ıquidos con alto contenido de bilis, ideal para el crecimiento del Vibrión Cholerae. Este microorganismo no coloniza otro tejido u órgano del organismo que no sea el intestino, desde donde estimula la eliminación de agua y sales. Comensalismo: Relación entre dos especies en la que se

Figura 9: Vibrio cholerae [43]. beneficia una sin afectar a la otra. Compartimentalizaci´ on: Subdivisión de una cadena alimenticia en grupos de especies que interact´ uan fuertemente poco aislados unos de otros. Competici´ on: Uso o defensa de un recurso por un individuo que reduce la disponibilidad de aquel recurso a otros individuos, ya sean de la misma especie (competición intraespec´ıfica) o de otras especies (competición interespec´ıfica). Competici´ on asim´ etrica: Interacción entre especies en la cual una explota un recurso en particular más eficientemente Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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que la otra; la segunda puede persistir mejor evadiendo la predación o sustituyendo un recurso exclusivo. Competici´ on indirecta: Explotación de un recurso a cargo de un individuo que reduce la disponibilidad de ese mismo recurso para otros. Competici´ on directa: Exclusión de individuos a partir del recurso por otros individuos, comportamiento agresivo o por uso de toxinas. Competici´ on interespec´ıfica: Competición entre individuos de diferentes especies. Competici´ on intraespec´ıfica: Competición entre organismos de la misma especie. Completitud: Sea (X, d) un espacio métrico. X es completo si toda sucesión de Cauchy en X es convergente en X: (R, d2 ), (Rn , d2 ) son espacios métricos completos. ((0, 1), d2 ) no es espacio métrico completo. Comportamiento asint´ otico: Es el comportamiento l´ımite para t −→ ∞ ó t −→ −∞. Comportamiento social: Cualquier interacción directa entre individuos relacionados distantemente de las mismas especies. Usualmente no incluye interacciones de cortejo, de apareamiento, de padres e hijos, ni entre hermanos o indiDiccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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viduos de la misma prole. Comunidad: Una asociación de poblaciones que interact´ uan, frecuentemente definida por la naturaleza de su interacción o el lugar en el cual ellas viven. Comunidad abierta: Asociación local de especies que tienen independencia y distribuciones ecológicas traslapadas parcialmente. La idea advocada por H. A. Gleason R. H. Whittaker, que las comunidades son la expresión local de las distribuciones geográficas independientes de las especies. Constante alom´ etrica: Pendiente de la relación entre el logaritmo de una medida de un organismo y el logaritmo de otra, usualmente se refiere al tamao en general. Constante de Michaelis - Menten: Es la concentración de un sustrato a la cual la velocidad de una reacción catalizada por una enzima act´ ua a la mitad de su tasa máxima. Consumidor: Es un organismo que obtiene su energ´ıa de materiales orgánicos de otros organismos vivos o muertos. Comparar con Productor. Consumidor primario: Es un herb´ıvoro. Es el consumidor que se encuentra más abajo o en la base de la cadena alimenticia. Un organismo como un conejo o ciervo que generalmente se alimenta de plantas verdes u otros productos tales como semillas y nueces.

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Contacto efectivo: Es una interacciÂón entre susceptibles e infecciosos, que resulta en que el susceptible se convierte en infeccioso. Contagio: Es la acciÂón de transmisiÂón directa de una enfermedad. TransmisiÂón o adquisiciÂón de una enfermedad por contacto con el germen o virus que la produce. TransmisiÂón de determinada enfermedad de un individuo a otro o de un animal a un ser humano. ContaminaciÂ´ on: Es la incorporaciÂón de cualquier substancia (quÂ´Äąmica principalmente) contaminante al agua, aire, suelo o en cualquier alimento o producto y que dependiendo de la cantidad y concentraciÂón de la substancia se estimarÂá el efecto nocivo. La contaminaciÂón puede estar dada por la presencia de microorganismos o por sus secreciones o residuos en un alimento o medio particular. Contaminante: Cualquier substancia natural o artifial que entra al ecosistema en tal cantidad que es nocivo al ecosistema. Cualquier substancia introducida que convierte al recurso en inservible para un propÂósito especÂ´Äąfico. Continuidad en un punto: Sean (X, d) , (Y, d0 ) espacios seudomÂétricos. Una aplicaciÂón f : X â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; Y se llama continua en el punto a â&#x2C6;&#x2C6; X, si para todo nÂ´ umero real > 0 existe un nÂ´ umero real Î´ > 0 tal que para todo x â&#x2C6;&#x2C6; X:

d(a, x) < Î´ =â&#x2021;&#x2019; d0 (f (a), f (x)) < Diccionario CientÂ´Äąfico de BiomatemÂ´ aticas

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Contracci´ on: Sean (X, d) un espacio métrico y T : X −→ X una aplicación. T es contractiva o T es una contracción en X si ∃θ, 0 ≤ θ < 1 tal que ∀x, y ∈ X, se cumple: d(T (x), T (y)) ≤ θd(x, y) Se llama a θ la constante de contracción. Control biol´ ogico: Control de una plaga mediante la introducción, preservación o facilitación de depredadores naturales, parásitos u otros enemigos, o mediante técnicas de esterilización, el uso de hormonas inhibitorias u otros medios biológicos. Control gen´ etico: Es la modificación de la misma es-

Figura 10: Control biológico de insectos [41]. pecie. Una de estas técnicas de control usa machos estériles. Se esteriliza un gran n´ umero de machos del insecto de la plaga que luego son liberados. Los estériles compiten con los normales en la fecundación de las hembras, por lo que muchas de las descendencias teóricamente posibles no se producen, con lo que va disminuyendo la población de la plaga de una generación a otra. Esta técnica tiene éxito especialmente en aquellas especies de insectos en los que la hembra sólo se cruza una vez. Otro de los procedimientos consiste en Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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Figura 11: Control biol´ogico [42].

desarrollar, por diversas técnicas, variedades de cultivos resistentes a la plaga. Se puede hacer seleccionando ejemplares de la planta que han resistido a la plaga y cruzándolos entre s´ı, hasta obtener una variedad genética resistente. Este proceso suele durar unos 10 o 20 a˜ nos pero el resultado suele compensar con creces el esfuerzo y dinero empleados. La ingenier´ıa genética aporta técnicas muy interesantes para conseguir variedades de plantas resistentes a las plagas. As´ı, por ejemplo, un gen de la bacteria del suelo Bacillus thuringiensis (productora de un veneno que mata a los insectos) ha sido introducido en plantas de algodón. Las orugas que se alimentan de hojas de estas plantas genéticamente alteradas mueren o sufren graves alteraciones en su desarrollo. El desarrollo de variedades resistentes ha tenido grandes éxitos en la lucha contra las plagas, pero no siempre ha sido un éxito total. En muchos casos los insectos, hongos o bacterias evolucionan rápidamente y pueden volver a convertirse en plaga de la variedad que era resistente.

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Control de la natalidad: Cualquier medio, natural o artificial que puede ser usado para reducir el n´ umero de nacimientos. Control mec´ anico: Comprende las técnicas más antiguas y simples de la lucha contra los insectos. Estas técnicas consisten en la remoción y destrucción de los insectos, criaderos y órganos infestados de las plantas. También se incluye la exclusión de los insectos y otros animales por medio de las barreras y otros dispositivos. Control qu´ımico: Consiste en la destrucción de plagas mediante el empleo de sustancias qu´ımicas diversas, cuyo uso se recomienda de manera selectiva. El Control qu´ımico de las plagas es la represión de sus poblaciones o la prevención de su desarrollo mediante el uso de substancias qu´ımicas. Este control puede ser muy efectivo sin costar mucho. Los pesticidas tienen un lugar muy importante en el control integrado de plagas y enfermedades, pero el mal uso de pesticidas tienen muchos problemas, como que la plaga desarrolla resistencia al pesticida. Los pesticidas pueden afectar a los humanos también, entonces tenemos que cuidarnos de los efectos residuales en la cosecha. Controlabilidad: El sistema x˙ = Ax + B∆u

t ∈ [0, t1 ], t1 > 0.

Donde A es una matriz n × n, B es una matriz n × m y x0 es un vector en Rn . La función x : [0, t1 ] −→ Rn representa la función vectorial de estados y u : [0, t1 ] −→ Rm la función Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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vectorial de controles. Dada la condición inicial x0 ∈ Rn y una función vectorial u ∈ L2 (0, t1 ; Rm ), el sistema anterior tiene una u ńica solución x ∈ H 1 (0, t1 ; Rn ) caraterizada por la expresión, Z t 0 At eA(t−s) Bu(s)ds, x(t) = x e + 0

∀t ∈ [0, t1 ]. El sistema es completamente controlable en un tiempo t1 > 0 si dada una condición inicial y final x0 , x1 ∈ Rn existe un u ∈ L2 (0, t1 ; Rm ) tal que la solución del sistema satisface x(t1 ) = x1 . Es decir, se trata de llevar la solución del estado x0 a un estado final x1 en un tiempo t1 por el sistema através del control u. La condici´ on de controlabilidad de Kalmans es un resultado clásico debido a R. E. Kalmans que da la solución al problema de completa controlabilidad de un sistema lineal de dimensión finita como el sistema mencionado. Este sistema es completamente controlable en alg´ un t1 si y sólo si rang[B, AB, ..., An−1 B] = n es decir, det[B, AB, ..., An−1 B] 6= 0. Donde, la matriz [B, AB, ..., An−1 B] es llamada matriz de controlabilidad.

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Convecci´ on: Transferencia de calor por el movimiento de un flu´ıdo (Por ejemplo, aire o agua). Cortejo: Cualquier interacción conductual entre individuos de sexo opuesto que facilita el apareamiento. Costo - beneficio: Usado para describir un análisis y/o comparación del valor de los beneficios, en contraste con los costos de cualquier acción o proyecto particular. Covarianza: Es el producto promedio de desviaciones de dos variables desde sus respectivas medias. Crecimiento exponencial: Crecimiento que es solo una función simple del tama˜ no de la entidad en crecimiento, de manera que entre más grande sea la población crecerá con mayor rapidez. Se denomina Ley de Crecimiento Malthusiano, la tasa de cambio de la población en el tiempo es proporcional a la población presente, lo que conduce a un crecimiento exponencial. Se considera x(t) el n´ umero de individuos de la población en un tiempo t y α la tasa de crecimiento poblacional, como se muestra en el siguiente diagrama de flujos: αx

_^]\ / XYZ[ x

Diagrama 1.: Dinámica de crecimiento exponencial. y la ecuación diferencial ordinaria correspondiente a dicha dinámica es Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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Figura 12: Thomas Robert Malthus (1766 - 1834) [34].

dx = αx , x ∈ R , α > 0 dt con condición inicial x(0) = x0 y solución general x(t) = x0 eαt donde Si α > 0 la población crece Si α = 0 el crecimiento es constante en x0 Si α < 0 la población decrece. Crecimiento log´ıstico: Crecimiento que sigue una curva sigmoide en la que la velocidad de crecimiento es gradual inicialmente (fase de crecimiento retardado), luego rápida (fase de crecimiento exponencial) y luego lenta otra vez (fase de crecimiento estacionario), seg´ un la población o sistema alcance su tama˜ no o capacidad portadora máxima. Es decir, La Ley de crecimiento log´ıstico de Verhulst, propone Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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Figura 13: Crecimiento exponencial con x0 = 20, α =0.15, α =0.20, α = 0, α = -0.1, α =-0.15, t = 0, ..., 10. un crecimiento poblacional dependiente de la capacidad de carga (capacidad de soporte, capacidad limite ´o capacidad de saturaci´on) de la especie en su ecosistema.

rx 1 −

x K

Diagrama 2.: Din´amica de crecimiento log´ıstico. La ecuaci´on diferencial ordinaria que describe el crecimiento log´ıstico es de la forma dx x = rx 1 − dt K donde, r, K > 0

x(0) = x0 y

r : Tasa de crecimiento neto Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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Figura 14: Pierre Francois Verhulst (1804 - 1849) [35]. K : Capacidad de carga tiene por soluci´on: x(t) =

x0 Kert K + x0 (ert − 1)

con comportamiento en el l´ımite, l´ım x(t) = K

t−→+∞

Es decir, la poblaci´on en un tiempo futuro tiende a su capacidad de carga. Criterio de Routh - Hurwitz: Dada la ecuaci´on diferencial lineal de coeficientes reales constantes a0 y (n) + a1 y (n−1) + · · · + an y = 0 Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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Figura 15: Dinámica de Crecimiento Log´ıstico. donde a0 , a1 , a2 , ..., an son constantes, a0 > 0. La solución y ≡ 0 de la ecuación anterior es asintóticamente estable, cuando las partes reales de todas las ra´ıces de la ecuación caracter´ıstica: f (λ) = a0 λn + a1 λn−1 + · · · + an = 0 son negativas, para que esto suceda es necesario y suficiente que sean positivos todos los menores principales diagonales de la matriz de Hurwitz: 

a1 a0 0 0 0 0−−−0  a3 a a a 0 0−−−0 2 1 0   a5 a4 a3 a2 a1 a0 − − − 0  − − − − − − − − − − − − − − − −−− 0 0 0 0 0 0−−−0

     

los menores diagonales principales de la matriz de Hurwitz son de la forma: ∆1 = a1 Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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a1 a0 ∆2 = det a3 a2   a1 a0 0 ∆3 = det a3 a2 a1  a5 a4 a3   a1 a0 0−−−0  a3 a2 a1 − − − 0     a4 a3 − − − 0  ∆n = det  a5  − − − − − − −−−  0 0 0 − − − an Por lo tanto, la condición de Hurwitz dice: Para que la solución y ≡ 0 de la ecuación diferencial sea estable, es necesario y suficiente que se cumplan las relaciones: ∆1 > 0

∆2 > 0

, ...,

∆n > 0

como ∆n = an ∆n−1 , la condici´on ∆n > 0 puede sustituirse por an > 0.

CH Chagas: Es una enfermedad que se transmite por medio de insectos y es com´ un en Centro y Suram´erica. El mal de Chagas es provocado por el Tripanosoma cruzi, un par´asito relacionado con el tripanosoma africano que causa la tripanosomosis africana o enfermedad del sue˜ no. La enfermedad es propagada por los red´ uvidos o chupasangre y es uno de los Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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mayores problemas de salubridad en América del Sur. Los factores de riesgo para el mal de Chagas incluyen la pobreza, vivir en una choza donde los red´ uvidos viven en las paredes y recibir transfusiones sangu´ıneas de una persona que tenga el parásito, aunque no tenga la enfermedad activa. El mal de Chagas tiene dos fases: la aguda y la crónica.

Figura 16: Trypanosoma cruzi del mal de Chagas . La primera puede presentarse sin s´ıntomas o con s´ıntomas muy leves. Los s´ıntomas de la fase aguda pueden ser: inflamación y enrojecimiento del sitio de infección (donde el mosquito hematófago o chupasangre provocó la infección inicial). Luego, puede seguir con la inflamación de un ojo y de Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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los ganglios linfáticos que drenan el área de la picadura. A medida que el parásito se disemina partiendo del sitio de la inoculación, el paciente presenta fiebre, malestar general, e inflamación generalizada de los ganglios linfáticos. Asimismo, el h´ıgado y el bazo pueden aumentar de tama˜ no. La enfermedad disminuye su intensidad después de la fase aguda y puede volverse crónica sin manifestar s´ıntomas posteriores durante muchos a˜ nos. Cuando los s´ıntomas finalmente se hacen presentes, aparecen como cardiopat´ıa (miocardiopat´ıa) y trastornos digestivos. Los pacientes pueden presentar insuficiencia card´ıaca congestiva y el primer s´ıntoma de trastorno digestivo puede ser la dificultad para deglutir, que puede llevar a la desnutrición. Los pacientes que presenten infección parasitaria del colon pueden experimentar dolor abdominal y estre˜ nimiento. La cardiopat´ıa es, por lo general, la causa de la muerte del paciente.

D Demograf´ıa: Es la ciencia que se encarga del estudio estad´ıstico relacionado con el crecimiento, movimiento y desarrollo de la población humana. Dengue: El dengue es una enfermedad viral transmitida al hombre por mosquitos vectores del género Aedes siendo la especie aegypti la más importante en la transmisión de Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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la enfermedad. El dengue es endémico en las regiones tropicales y temporal o esporádico en las subtropicales y neárticas ´ [22], [27], [30]. Se reconoció cl´ınicamente en América, Africa y Asia desde el siglo XVIII y se descubrió su transmisión por el A. aegypti en 1906, la cual fue comprobada en 1918. El aislamiento de su agente causal se logró en 1944 [27]. El mosquito vector A. aegypti es hematófago y antropof´ılico [27], se difunde en áreas con caracter´ısticas urbanas, aunque también se encuentra en las áreas rurales. Sobrevive y resiste a la desecación (diapausa) y la inanición haciéndolo un mosquito de presencia continua, as´ı como de poblaciones elevadas durante las épocas lluviosas y de temperatura y humedad estables. Tiene dos fases bien diferenciadas en su ciclo de vida: fase acuática y fase aérea. La fase acuática de estad´ıos inmaduros: huevo, larva y pupa y la fase aérea o de adulto corresponde al mosquito o imago que vuela [27], [30]. El mosquito hembra después de alimentarse de sangre puede producir entre 50 y 100 huevos en una ovipostura, la cual puede verse afectada por la temperatura, la humedad, la intensidad de la luz, la lluvia y las caracter´ısticas de los criaderos y del agua que estos contienen [27], [30]. El tiempo promedio de maduración de los huevos es de uno a tres d´ıas siempre y cuando estén h´ umedos y a temperaturas eno o tre 25 C y 30 C. La duración de los estad´ıos larvarios en condiciones óptimas es de cinco d´ıas en promedio y el periodo de pupa tiene una duración aproximada de uno a dos d´ıas [27] [8].

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Densidad: Referente a poblaciones, es el n´ umero de indi-

Figura 17: Estad´ıo fase acuática del mosquito A. aegypti [40]. viduos por unidad de área o volumen. N´ umero de individuos u observaciones dentro de un área o volumen dados. Densidad dependiente (Denso - dependiente): Que tiene influencia sobre los individuos en una población que var´ıa con el grado de multitud dentro de una población. Dependencia de la frecuencia: Se refiere a la condición en la cual la expresión de un proceso var´ıa con las proporciones relativas de los fenotipos en una población. Densidad independiente: Que tiene influencia sobre los individuos en una población que no var´ıa con el grado de tama˜ no poblacional. Depredador: Organismo que para alimentarse tiene que matar a otros individuos que son sus organismos presa. El Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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término depredador también se emplea para referirse a plantas que se alimentan de algunos insectos en quienes encuentran una fuente prote´ınica o nutricional. Derivada Orbital V˙ (x): Es la derivada temporal de la función de Lyapunov V (x) sobre las trayectorias del sistema dx dt = f (x). Esta dada por: ∂V V˙ (x) = f (x) = ∇V (x) · f (x) ∂x Desinfecci´ on: Proceso de destrucción de microorganismos patógenos, más no sus esporas. Uno de los propósitos de la desinfección del agua es el impedir la diseminación de enfermedades h´ıdricas, las cuales se pueden controlar con el desarrollo de la bacteriolog´ıa. Desviaci´ on est´ andar: Es una medida de la variabilidad entre elementos en una muestra, tal como los individuos en una población. Es la ra´ız cuadrada de la varianza. Determinante de A(ˆ x, yˆ) : Sea la matriz jacobiana evaluada en (ˆ x, yˆ): a11 a12 fx (ˆ x, yˆ) fy (ˆ x, yˆ) A(ˆ x, yˆ) = = a21 a22 gx (ˆ x, yˆ) gy (ˆ x, yˆ) Se define el determinante de A(ˆ x, yˆ) as´ı: det.A(ˆ x, yˆ) = a11 a22 + a12 a21 = (fx gy − fy gx )(ˆ x, yˆ) Determin´ıstico: Referente a un resultado de un proceso que no está sujeto a variación estocástica (aleatoria). Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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Diagrama de serie de recambio: Descripción del crecimiento vegetativo o reproducción de dos especies de plantas en un experimento de competencia como una función de la proporción de una especie cuando la densidad inicial de las dos es mantenida constante. Diapausa: Fase de descanso. Per´ıodo de crecimiento o de desarrollo suspendido, caracterizado por una actividad metabólica muy reducida, usualmente durante la hibernación o la estivación. Interrupción temporal en el desarrollo de huevos o larvas de insectos, usualmente asociada con un per´ıodo de latencia. Difusi´ on: Movimiento pasivo de los individuos de una especie desde una región de alta concentración poblacional a otra de baja. Tal movilización está dada por diferentes factores como la fuente de alimento, agua, temperatura, humedad, entre otros factores bióticos y abióticos. Dimorfismo: Ocurrencia de dos formas de individuos en una población. Din´ amica poblacional: Estudio de los cambios dentro de poblaciones y de los factores que ocasionan o influyen en esos cambios. Estudio de las poblaciones como sistemas de funcionamiento. Diploide: Perteneciente a células u organismos que tienen dos juegos de cromosomas. Comparar con Haploide; Meiosis.

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Dispersi´ on: Patrón espacial de distribución de individuos dentro de las poblaciones. Patrón de dispersión de organismos o poblaciones en el espacio. Traslado no accidental de individuos hacia o fuera de un área o población, habitualmente a una distancia relativamente corta y de naturaleza más o menos regular. Movimiento de organismos desde su lugar de nacimiento o desde los centros de densidad poblacional. Distribuci´ on: Extensión geográfica de una población u otra unidad ecológica. Distribuci´ on de contagio: Patrón de distribución en el que los valores, observaciones o individuos se encuentran más agrupados o congregados que en una distribución aleatoria, indicando que la presencia de un individuo o valor incrementa la probabilidad de ocurrencia de otro en las cercan´ıas. Los seres vivos tienden en general a asociarse con los mismos de su especie de tal manera que la presencia de un individuo en un lugar aumenta la probabilidad de encontrar a otro vecino. Este principio de asociación de eventos o sucesos ha producido las llamadas distribuciones de contagio. Entre estas tenemos la distribución binomial negativa, la de Neyman tipo A, la Poisson doble de Thomas, la de Polya y la binomial positiva. Distribuci´ on log normal: Es una caracterización del n´ umero de especies en clases de abundancia escaladas logar´ıtmicamente, de acuerdo a que la mayor´ıa de especies tienen abun-

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dancia moderada y otras pocas tienen extremadamente alta o baja abundancia. Distribuci´ on normal: Es una distribución estad´ıstica en forma de campana en la cual la densidad de probabilidad var´ıa en proporción al exponente (−x2 /2) donde es una distancia (la desviación estándar) desde la media. Distribuci´ on Poisson: Es una distribución de probabilidad que describe la ocurrencia de eventos aleatorios discretos (tales como encuentros entre un depredador y su presa). La probabilidad que un cierto n´ umero de eventos pueda ocurrir en alg´ un intervalo de tiempo (como el tiempo de vida del hospedero) es dada por términos sucesivos de esta distribución: e−µ µx P (x) = , x = 0, 1, 2, ... x! donde, P (x) : es la probabilidad de x eventos. µ : es el n´ umero promedio de eventos en el intervalo de tiempo. Diversidad: N´ umero de especies en un área local (diversidad alfa) o región (diversidad gamma). Medida de la variedad de especies en una comunidad que tiene en cuenta la abundancia relativa de cada especie. Dormancia (Latencia): Estado inactivo que incluye hibernación, diapausa y latencia de semillas. Usualmente, asumido durante un per´ıodo desfavorable para el desarrollo de la especie. Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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E Ecoclina: Gradiente geográfico de la estructura de vegetación asociada con una o más variables medioambientales. Ecolog´ıa: Rama de la Biolog´ıa que estudia las interrelaciones entre organismos vivos y su ambiente. Estudio de la relación entre los seres vivos y su ambiente o la distribución y abundancia de los seres vivos, y cómo esas propiedades son afectadas por la interacción entre los organismos y su ambiente. El ambiente incluye las propiedades f´ısicas que pueden ser descritas como la suma de factores abióticos locales, como el clima y la geolog´ıa, y los demás organismos que comparten ese hábitat (factores bióticos). Ecolog´ıa de poblaciones: La Ecolog´ıa de poblaciones también llamada demoecolog´ıa, es una rama de la Ecolog´ıa que estudia las poblaciones formadas por los organismos de una misma especie desde el punto de vista de su tama˜ no (n´ umero de individuos), estructura (sexo y edad) y dinámica (variación en el tiempo). Una población desde el punto de vista ecológico se define como el conjunto de individuos de la misma especie que ocupan un lugar y tiempo determinado y que adem´ as tienen descendencia f´ ertil. Ecolog´ıa de sistemas: Es el estudio de una estructura ecológica como un grupo de componentes relacionados mediante flujos de energ´ıa y nutrientes o por interacciones de Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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la población. Frecuentemente aplicado a ecosistemas. Ecosistema: Comunidad de organismos y su medio f´ısico interactuando como una unidad ecológica. Contenido biológico y f´ısico completo de un biotopo. Sistema dinámico relativamente autónomo, formado por una comunidad natural y su ambiente f´ısico. El concepto, que empezó a desarrollarse entre 1920 y 1930, tiene en cuenta las complejas interacciones entre los organismos (plantas, animales, bacterias, algas, protozoos y hongos, entre otros) que forman la comunidad y los flujos de energ´ıa y materiales que continuamente circulan por ella. Ectopar´ asito: Parásito que vive sobre o ataca a la superficie de su hospedero. Ecuaci´ on caracter´ıstica: Es una ecuación del tipo det(A − λIn ) = 0 donde A es la matriz nxn, A = (aij ), λ es un escalar y In es la matriz identidad de orden n. Ecuaci´ on de balance Unidimensional: Esta ecuación tiene la forma ∂c(x, t) ∂J(x, t) =− ± σ(x, t) ∂t ∂x donde, c(x, t) : es la concentración de part´ıculas en (x, t). J(x, t) : es el flujo de part´ıculas en (x, t). Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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σ(x, t) : es la creaci´on o decaimiento de part´ıculas en (x, t). x : es la coordenada espacial. para una ´area de cruzamiento de part´ıculas constante, es

Figura 18: Ecuación de balance unidimensional. ¯ decir: A(x, t) = A. ¯ Si el área no cambia con el tiempo A(x, t) = A(x) 6= 0, entonces la ecuación de balance unidimensional es: ∂c(x, t) ∂J(x, t) =− − ∂t ∂x ¯ J(x, t) ∂ A(x) − ¯ ± σ(x, t) A(x) ∂x Si el área del tubo es uniforme a lo largo de su longitud, pero posiblemente var´ıa con el tiempo, se obtiene la ecuación de balance unidimensional, ∂c(x, t) ∂J(x, t) =− − ∂t ∂x ¯ c(x, t) ∂ A(t) − ¯ ± σ(x, t) A(t) ∂t Si el área es función de (x, t) entonces, la ecuación de conservación es: Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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∂c(x, t) ∂J(x, t) =− ± σ(x, t)− ∂t ∂x −

c(x, t) ∂A(x, t) J(x, t) ∂A(x, t) − A(x, t) ∂x A(x, t) ∂t

Ecuaci´ on de disco: Ecuación que relaciona la tasa de encuentros de la presa con el predador para buscar eficiencia, abundancia de la presa y la energ´ıa invertida por el predador para controlar y matar a su presa. Ecuaci´ on en diferencias no lineal: Es una ecuación de la forma: xn+1 = f (xn , xn−1 , ...) donde xn es el valor de x en la generación n y donde la función de recursión depende de combinaciones no lineales de sus argumentos. Ecuaci´ on diferencial: Es una relación funcional entre los valores de una función desconocida, sus derivadas hasta cierto orden y los valores de la variable independiente sobre las que está definida esa función. Ecuación que describe la tasa instantánea de cambio en una cantidad, como por ejemplo, dN/dt describe el cambio en n´ umero de individuos en una población (N ) en el tiempo (t). Ecuaci´ on diferencial ordinaria (EDO): Son las ecuaciones que contienen derivadas con respecto a una variable Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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independiente. Si denotamos la función incógnita por y(x), entonces una EDO es una relación funcional de la forma dy dn y F x, y, , ..., n = 0 dx dx donde F es una función escalar de n + 2 variables. Algunas EDO de interés particular: Ecuación general de primer orden: Es de la forma dy F x, y, =0 dx Ecuación de Bernoulli dy + p(x)y = f (x)y n dx Para n = 0, 1 esta ecuación es lineal. Ecuación de Riccatti dy + p(x)y(x) + q(x)y 2 (x) = f (x) dx Ecuaci´ on diferencial parcial (EDP): Es una ecuación que contiene derivadas con respecto a varias variables independientes. Entre las EDP de interés práctico tenemos Ecuación de convección: Es de la forma ut + cux = 0 y tiene por solución u(x, t) = F (x − ct) para alguna función diferenciable F . Soluciones de este tipo son llamadas Ondas viajeras. Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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Ecuación de difusión: Tiene la forma ut − Duxx = 0 donde D es la constante de difusión.

Ecuación de convección - difusión: Tiene la forma ut + cux − Duxx = 0 si hay decaimiento entonces ut + cux − Duxx = −λu Ecuaci´ on en diferencia: Ecuación que describe el cambio de una cantidad sobre un intervalo, como por ejemplo: ∆N describe el cambio en n´ umero de individuos en una población entre un tiempo t y y t + 1. Ecuaci´ on log´ıstica: Expresión matemática de una curva de crecimiento sigmoide particular en la que la tasa porcentual de incremento decrece en forma lineal como el tama˜ no de población crece y la ecuación log´ıstica en diferencias tiene la forma: yn+1 = yn (r − dyn ) donde r, d son constantes. Ectopar´ asito: Parásito que vive en la superficie exterior de su huésped. Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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Edad de clase: Individuos en una población de una edad particular. Edad promedio de la enfermedad: Edad en la que se adquiere por primera vez una infección. Efecto bohr: Un cambio de dirección en la curva de disociación de ox´ıgeno de la hemoglobina quedando en condiciones ácidas bajas, las cuales facilitan la descarga de ox´ıgeno desde el torrente sangu´ıneo hacia los tejidos. Efecto invernadero: Es el efecto del calentamiento de la atmósfera sobre la tierra, particularmente como el aumento en la concentración del dióxido de carbono, causado por una pronta admisión de las ondas de luz pero con una más lenta liberación de calor. Eficiencia de la producci´ on neta: Es el porcentaje de alimento asimilado y utilizado para el crecimiento y reproducción de los organismos. Eficiencia ecol´ ogica: Porcentaje de energ´ıa en la biomasa producida por un nivel trófico que es incorporado dentro de la biomasa producida por el siguiente nivel trófico ms alto. Eficiencia energ´ etica: Relación entre el trabajo u ´til o energ´ıa almacenada y el producto energético. Emigraci´ on: Movimiento de un individuo o grupo fuera

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de un área o población. Enemigo natural: Todo depredador y/o parásito que pueden alimentarse de un organismo dado. Organismo usado para controlar una plaga espec´ıfica a través de la depredación o el parasitismo. Energ´ıa potencial: Es la energ´ıa de una sustancia u objeto que deriva de su posición, particularmente con respecto a la gravedad. Entrop´ıa: Incremento del desorden que reduce la capacidad energética para realizar un trabajo. Endemia: Existencia de casos nuevos constantemente a lo largo del tiempo. End´ emico: Confinado a una cierta región.Un organismo que es nativo o pertenece a una región particular. Endopar´ asito: Parásito interno que vive dentro de los órganos o tejidos de su huésped. Parásito que vive dentro de los tejidos o el torrente sangu´ıneo de su huésped. Energ´ıa: Capacidad para realizar un trabajo. Enfermedad contagiosa: Enfermedad que se transmite por contacto f´ısico. Enfermedad infecciosa: Cualquier enfermedad transmi-

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tida sin que haya contacto f´ısico. Entomolog´ıa epidemiol´ ogica: Es el muestreo y estudio de las poblaciones del vector teniendo como objetivo estimar de acuerdo con el rango de prevalencia del vector, su longevidad, ritmos de picadura, selección de huésped, etc., las tendencias esperadas en la incidencia de la transferencia de un patógeno al huésped vertebrado y viceversa, ya sea antes, durante o después de la operación de las medidas de control. Entomolog´ıa m´ edica: Rama de la Biolog´ıa que estudia los insectos implicados en la transmisión o generación de enfermedades en el ser humano. Epidemia: Epidemia (del griego epi, por sobre y demos, pueblo), en su definición tradicional, es una enfermedad ampliamente extendida que afecta a muchos. Enfermedad que se propaga durante alg´ un tiempo por un pa´ıs, acometiendo simultáneamente a gran n´ umero de personas. Enfermedad que por alguna temporada afecta a un pueblo o comarca, padeciéndola simultáneamente un gran n´ umero de personas. Se denomina a la aparición brusca de una enfermedad que se disemina rápidamente entre una población determinada. A veces se la identifica erróneamente como brote. La forma m´ss habitual es la producida por virus, debido a su hábito cambiante. Epidemiolog´ıa: Rama de la medicina que estudia la frecuencia de las enfermedades en una población, segun sexo,

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edad, clase social, lugar, etc.

Enfermedades transmisibles agudas y crónicas Enfermedades parasitarias Tuberculosis Enfermedades transmitidas por insectos vectores Enfermedades crónicas no transmisibles Violencia social: Suicidios, homicidios, accidentes, etc. Alcholismo, tabaquismo y drogadición También se estudian enfermedades transmisibles en las plantas, los animales y la regulación de las poblaciones biológicas en condiciones de laboratorio (epidemiolog´ıa experimental).Estudio de las enfermedades en las poblaciones o grupos. Es la parte de la medicina que se dedica al estudio de la distribución, frecuencia, determinantes, relaciones, predicciones y control de factores relacionados con la salud y enfermedad en poblaciones humanas determinadas, as´ı como la aplicación de este estudio a los problemas de salud. Por lo tanto, la epidemiolog´ıa estudia la salud de los grupos humanos en relación con su medio. La epidemiolog´ıa se considera la ciencia básica para la medicina preventiva y una fuente de información para la formulación de pol´ıticas de salud p´ ublica. La epidemiolog´ıa estudia, sobre todo, la relación causa - efecto entre exposición y enfermedad. Las enfermedades no se producen de forma aleatoria; tienen causas, muchas Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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de ellas de origen humano, que pueden evitarse. Por tanto, muchas enfermedades podr´ıan prevenirse si se conocieran sus causas. Los métodos epidemiológicos han sido cruciales para identificar numerosos factores etiológicos que, a su vez, han justificado la formulación de pol´ıticas sanitarias encaminadas a la prevención de enfermedades, lesiones y muertes prematuras. Inicialmente la epidemiolog´ıa surgió del estudio de las epidemias de las enfermedades infecciosas. En el siglo XX los estudios de la epidemiolog´ıa se basan en el estudio demográfico de cualquier enfermedad con la ayuda de la estad´ıstica. Equilibrio: Una condición de balance, tal como la existente entre inmigración y emigración o entre la tasa de natalidad y la tasa de muerte en una población de tama˜ no fijo. Equilibrio estable: Es el estado particular en el cual un sistema retorna a su estado original si es perturbado por alguna fuerza externa. Equilibrio inestable: Es el estado particular de un sistema que se desequilibra ante peque˜ nas fuerzas perturbadoras. Espacio topol´ ogico: Si Ω es un conjunto no vac´ıo, ℘(Ω) denotará el conjunto de partes de Ω. Un espacio topológico es un par (Ω, T ), donde Ω es un conjunto no vac´ıo y T es un subconjunto de ℘(Ω) tal que ∅ y Ω pertenecen a T La unión de una familia de elementos de T es un eleDiccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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mento de T La intersección de una familia finita de elementos de T es un elemento de T Espacio de Banach: La aparición del libro Theorie des operations lineaires de Banach significó el comienzo del estudio sistemático de los espacios vectoriales normados. Sea X un espacio vectorial normado y sea d la métrica asociada. Si X es un espacio métrico completo con respecto a d se dice que X es un espacio de Banach. Espacio conexo: Sea (E, d) un espacio metrico y sea A ⊂ E, decimos que A es conexo si no existen B1 , B2 conjuntos abiertos de (E, d) tales que B1 ∩ B2 = ∅, A ⊂ B1 ∪ B2 y B1 ∩ A 6= ∅, B2 ∩ A 6= ∅. Espacio completo: Aquel en el que toda sucesion de Cauchy es convergente. Espacio de Hilbert: Espacio con un producto interior y completo. Espacio Lindelof: X es Lindelof s´ı y sólo si para todo recubrimiento de X existe alg´ un subrecubrimiento numerable. Espacio de medida: Es toda terna (X, Σ, µ) compuesta por un conjunto X, una σ−álgebra Σ de ℘(X) y una medida µ definida sobre Σ. Espacio normado: Sea K el cuerpo R de los n´ umeros reales Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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o el cuerpo C de los n´ umeros complejos y sea X un espacio vectorial sobre K. Una norma en X es una función kxk : X −→ R tal que kxk ≥ 0 para todo x ∈ X kxk = 0 s´ı y sólo si x = 0 kλxk = |λ|kxk para todo x ∈ X, para todo escalar λ∈K kx + yk ≤ kxk + kyk para todo x, y ∈ X se dice que (X, kk) es un espacio normado. Espacio reflexivo: Consideramos la aplicación (que preserva la norma entre espacios), i : V −→ V ∗∗ definida por i(v)(α) = α(v) donde i(v) ∈ V ∗∗ = (V ∗ )∗ , y α ∈ V ∗ . Decimos que el espacio V es reflexivo si la aplicación i es biyectiva. Los espacios de Hilbert son reflexivos. Espacio m´ etrico: Sea X un conjunto no vac´ıo. Sea d : XxX −→ R. Decimos que d es una métrica en X cuando se verifican: d(x, y) ≥ 0 para todo x, y ∈ X d(x, y) = d(y, x) para todo x, y ∈ X Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) para todo x, y, z ∈ X d(x, y) = 0 s´ı y sólo si x = y En este caso se dice que (X, d) es un espacio métrico. Espacio vectorial: Sobre el cuerpo R de los n´ umeros reales, es un conjunto V en el que están definidas dos operaciones:

+:V ·:R

x V −→ V y x

V −→ V

que satisfacen: x + y = y + x para todo x, y ∈ V x + (y + z) = (x + y) + z para todo x, y, z ∈ V Existe un elemento, 0 ∈ V , tal que x+0 = x para todo x∈V Para cada x ∈ V existe otro elemento, −x ∈ V , tal que x + (−x) = 0 1.x = x para todo x ∈ V (αβ).x = α.(βx) para todo α, β ∈ R, x ∈ V α(x + y) = αx + αy para todo α ∈ R, x, y ∈ V (α + β)x = αx + βx para todo α, β ∈ R, x ∈ V Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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Especialista: Es un organismo con uso restringido de hábitats o recursos. Especie: Una especie es la limitación de lo genérico en un ámbito morfológicamente concreto. Se compone de individuos que, además de los caracteres genéricos, tienen en com´ un otros caracteres por los cuales se asemejan entre s´ı y pueden ser distinguidos de individuos pertenecientes a las demás especies. Desde el punto de vista estrictamente sistémico, taxonómico y de la jerarqu´ıa comprendida entre el género (o el subgénero, si existiese) y la variedad (o, en su caso, la subespecie). Grupo de organismos que forman una poblacin natural o grupo de poblaciones que transmiten caracter´ısticas espec´ıficas de los padres a la descendencia. Grupo de organismos aislados reproductivamente de organismos similares y que usualmente producen descendencia infértil cuando se cruzan entre ellos. Filogenéticamente se define como la unidad m´ınima de organismos que comparten la misma historia evolutiva. Especie competidora: Es una especie adaptada a periodos de vida larga, de crecimiento lento y largos periodos de gestación, capaz de defenderse y competir por el recurso. Comparar con Especie oportunista. Especie ex´ otica: Es una especie introducida a un área geográfica donde ésta no es nativa. Comparar con Especie nativa. Especie nativa: Especie propia y natural que se establece

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en el mismo sitio en donde se originÂó. Comparar con Especie exÂótica. Especie oportunista: Es un organismo adaptado al rÂápido crecimiento y reproducciÂón con poca capacidad de resistir la competencia. Comparar con Especie competidora. Estabilidad: Ausencia de fluctuaciones en las poblaciones. Capacidad de resistir perturbaciones sin cambios grandes en su composiciÂón. Estabilidad global: Capacidad para resistir las perturbaciones de una gran magnitud sin ser afectada. Estabilidad en sentido de Lyapunov: Un punto de equilibrio de un sistema dinÂámico es estable en el sentido de Lyapunov si todas las soluciones que nacen en las cercanÂ´Äąas del punto de equilibrio permanecen en dichas cercanÂ´Äąas; de otra forma resulta inestable. El punto de equilibrio ademÂás es asintÂóticamente estable si las soluciones ademÂás de permanecer en las cercanÂ´Äąas del mismo, tienden hacia el punto de equilibrio a medida que transcurre el tiempo. Formalizando: Si Ď&#x2C6;(t; t0 , x0 ) representa la soluciÂón del sistema dx on inicial x(t0 ) = dt = f (x) dada a partir de la condiciÂ´ x0 a partir del instante inicial t = t0 , entonces el punto de equilibrio x = 0 del sistema anterior es: Lyapunov estable: Si para cada > 0, hay un Î´ = Î´( ) > 0

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Figura 19: A. Mikhailovich Lyapunov (1857 - 1918) [40]. tal que kx(0)k < Î´ â&#x2021;&#x2019; kĎ&#x2C6;(t; t0 , x0 )k <

â&#x2C6;&#x20AC;t â&#x2030;Ľ 0

Inestable: Si no es estable.

Figura 20: Equilibrio Lyapunov Estable. AsintÂ´ oticamente estable: Si es estable y Î´ se puede elegir Diccionario CientÂ´Äąfico de BiomatemÂ´ aticas

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Figura 21: Equilibrio Inestable. de manera de manera que kx(0)k < δ ⇒ l´ım ψ(t; t0 , x0 ) = 0 t−→∞

Estado de equilibrio din´ amico: Condici´on en la cual los

Figura 22: Equilibrio Asint´oticamente Estable. flujos de energ´ıa o materiales de dentro y fuera de un sistema est´an balanceados. Estoc´ astico: Referente a patrones que resultan de efectos aleatorios.

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Estratificaci´ on: Es el establecimiento de distintas capas de temperatura o salinidad en los cuerpos de agua basadas en las diferentes densidades de calor y fr´ıo del agua o salinidad y dulzura del agua. Estructura de edad: Se refiere a las proporciones de individuos en una población quienes se clasifican como viejos, adultos, jóvenes y recién nacidos. Eusinantrop´ıa: Es una asociación total que involucra una dependencia completa sobre el hombre y su medio, as´ı como de los productos de los animales domésticos. Ejemplos de vectores eusinántropicos son las moscas domésticas y las cucarachas, quienes dependen para su desarrollo y alimentación de los residuos alimenticios dejados por el hombre. Evapotranspiraci´ on potencial: Es la cantidad de transpiración de las plantas y evaporación del suelo que ocurrir´ıa dada la temperatura y humedad local si el agua no fuera limitada. Evoluci´ on: Cualquier cambio acumulativo en las caracter´ısticas genot´ıpicas de los organismos o de las poblaciones que se da de generación en generación, algunas veces con implicaciones fenot´ıpicas. Expansi´ on en series de Taylor en R2 : Consideremos el sistema: dr = H(r + x ˆ, s + yˆ) dt Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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ds = W (r + x ˆ, s + yˆ) dt Usando el Teorema de Taylor para funciones de dos variables, tenemos: H(r + x ˆ, s+ yˆ) = H(ˆ x, yˆ)+

∂H ∂H (ˆ x, yˆ)r + (ˆ x, yˆ)s+W1 (r, s) ∂x ∂y

W (r+ˆ x, s+ˆ y ) = W (ˆ x, yˆ)+

∂W ∂W (ˆ x, yˆ)r+ (ˆ x, yˆ)s+W2 (r, s) ∂x ∂y

donde W1 y W2 son funciones peque˜ nas para valores peque˜ nos de r, s puesto que W1 (r, s) W2 (r, s) l´ım √ = l´ım √ =0 2 + s2 2 + s2 r−→0 r−→0 r r s−→0 s−→0 Experimento controlado: Es un experimento con grupos de control adecuado.

F Factores abi´ oticos: Influencias ambientales como la temperatura, humedad, pH y otras influencias f´ısicas y qu´ımicas. Comparar con Factores bi´oticos. Factores bi´ oticos: Influencias ambientales causadas por organismos vivos. Comparar con Factores abi´oticos. Facultativo: Referente a la capacidad para ajustarse, acostumbrarse o acomodarse a una variedad de condiciones o circunstancias. Esta facultad es opcional de los organismos. Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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Comparar con Obligado. Fecundidad: Es la tasa a la cual un individuo produce descendencia. Potencial de un organismo para producir descendencia. Concepto ´ıntimamente relacionado con la cantidad de huevos o espermatozoides viables. Fenotipo: Es la expresión f´ısica en el organismo de la interacción entre el genotipo y el ambiente. Apariencia externa del organismo. Feromona: Sustancia qu´ımica usada para la comunicación entre individuos. Flujo difusivo: En una dimensión está dado por J = −D

∂c ∂x

Fotos´ıntesis: S´ıntesis, con la ayuda de clorofila y con luz como la fuente energética, de carbohidratos del dióxido de carbono y agua, con ox´ıgeno como un derivado. Fractal: Un fractal es un objeto semi geométrico cuya estructura básica se repite a diferentes escalas. Un fractal es un elemento de la naturaleza que puede ser descrito mediante la geometr´ıa fractal. Las nubes, las monta˜ nas, el sistema circulatorio, las lineas costeras o los copos de nieve son fractales naturales. Las propiedades atribuidas a los objetos fractales ideales, como el detalle infinito, tienen l´ımites en el mundo natural. Un fractal es un forma geométrica que permanece incambiada cualquiera sea el aumento con el que se la obDiccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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serve. Esta propiedad recibe el nombre de autosemejanza. Este término se debe a Beno´ıt Mandelbrot, que empezó a usarlo allá por 1975. Dejemos que sea él mismo quien lo explique: Acu˜ n´ e el t´ ermino fractal a partir del adjetivo latino fractus. El verbo correspondiente es frangere que significa romper en pedazos. Frecuencia del gen: Es la proporción de un alelo par-

Figura 23: Conjunto de Mandelbrot [44]. ticular de un gen en el pool génico de una población. Fuerza de la infecci´ on: Es una tasa de infección, la introdujo el epidemiólogo Hugo Muench (1959), en su obra Modelos catal´ıticos en epidemiolog´ıa, al realizar un estudio comparativo entre los procesos en la qu´ımica y la epidemiolog´ıa. Desde estos estudios y por tradicción se le llama: Fuerza de la Infecci´ on. Factores relacionados con la fuerza de la infección son: La naturaleza del huésped Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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Su ciclo de vida Su forma de transmisión La virulencia y patogenecidad El periodo infeccioso El contagio del ambiente Condiciones alimenticias y condiciones sanitarias Condiciones sociales, culturales y la densidad de la población. Funci´ on caracter´ıstica de A: Se define as´ı: 1 si x ∈ A χA (x) = 0 si x ∈ A También se llama funci´ on indicatriz. Funci´ on generadora (f.g.): Supongamos una sucesión de n´ umeros reales a0 , a1 , a2 , ... e introducciendo la variable dummy x, podemos definir la función A(x), as´ı: A(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · =

∞ X

aj xj

j=0

si la serie converge en alg´ un intervalo real −x0 < x < x0 , la funcion A(x) se llama Función Generadora de la sucesión {aj }. Funci´ on generadora de probabilidad (f.g.p.): Si la sucesión {aj } son probabilidades con las restricciones: Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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pj ≥ 0 Pn j=0 pj = 1 la funci´on A(x) es entonces una funci´on generadora de probabilidad ψ(x, t). Es decir, ψ(x, t) =

n X

xj pj (t) = E[X j ]

j=0

donde pj (t) es la distribuci´on de probabilidad tal que pj = P {X = j}. Funci´ on generadora de momentos (f.g.m.): En general la funci´on generadora de momentos de la variable aleatoria X se define de la forma, M (a, t) = E[eaX(t) ] Si X es discreta y toma valores x con probabilidades px (t), tenemos: n X M (a, t) = eax px (t) x=0

Tomando u = obtenemos la relación entre la función generadora de probabilidad y la función generadora de momentos, M (a, t) = ψ(ea , t) Expandiendo la función eaX(t) en serie de Taylor, M (a, t) ≡ E [1 + aX(t) + · · · ] ≡ 1 + aE[X(t)] +

a2 E[X 2 (t)] + · · · 2!

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≡ 1 + µ1 + ≡1+

a2 0 µ + ··· 2! 2

∞ X

µr

r=1

ar r!

Derivando parcialmente la funci´on M (a, t) con respecto a a, obtenemos X ∂M = xeax px (t) ∂a x=0

X ∂M |a=0 = xpx (t) = E[X] ∂a x=0

Por lo tanto,

∂M ∂a |a=0

= µ = E[X].

La segunda derivada de M (a, t) es, X ∂2M = x2 eax px (t) ∂a2 x=0

X ∂2M | = x2 px (t) = E[X 2 ] a=0 ∂a2 x=0

sustituyendo en V ar[X] = E[X 2 ] − (E[X])2 obtenemos, ∂2M V ar[X] = |a=0 − ∂a2

∂M |a=0 ∂a

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Funci´ on generadora cumulante (f.g.c.): Correspondiente al proceso est´ocastico univariado (X(t) : t ≥ 0) se define como: ∞ X ax K(a, t) = kx x! x=0

donde kx es el x-ésimo cumulante y k0 = 0. Se establece la relación entre la función generadora de momentos y la función generadora cumulante, K(a, t) = ln M (a, t) Funciones de Lyapunov: Sea V : D −→ Rn un campo escalar continuamente diferenciable definido en un dominio D ⊂ Rn que contiene al origen, entonces V (x) es una función definida positiva si V (0) = 0 y V (x) > 0 en D − {0}. V (x) es una función semidefinida positiva si V (0) = 0 y V (x) ≥ 0 en D. V (x) es una función definida negativa si −V (x) es definida positiva. V (x) es una función semidefinida negativa si −V (x) es semidefinida positiva. Funci´ on medible: Una función f : X −→ R∗ ≡ R ∪ {−∞, +∞} Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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es Σ−medible s´ı y sólo si f −1 (A) ∈ Σ para todo conjunto boreliano A, es decir, f −1 (A) = {x ∈ X : f (x) ∈ A} Funci´ on simple: Una función f : X −→ R es simple si sólo toma un n´ umero finito de valores diferentes. Funci´ on de transferencia: En el modelamiento de sistemas, es la ecuación que describe el flujo de energ´ıa o una sustancia entre un componente y otro. Fungicida: Qu´ımico usado para matar hongos.

G Gameto: Es una célula haploide que se fusiona con otra célula haploide de sexo contrario durante la fertilización para formar el Zigoto. En los animales el gameto masculino se llama espermatozoide y el gameto femenino se llama huevo u óvulo. Gases invernadero: Son los gases de la atmósfera que absorben energ´ıa infrarroja y que contribuyen a la temperatura del aire. Estos gases son como un manto de calor y son importantes en la insolación de la superficie de la tierra. Dentro de estos gases se pueden incluir el dióxido de carbono, el vapor de agua, metano, óxido nitroso, clorofluorocarbonos y otros halocarbonos. Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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Gen: Unidad de información genética. Se refiere a una región de la molécula de ADN que codifica a una enzima sencilla o prote´ına estructural. Generaciones traslapadas: Es la co - ocurrencia de padres y su progenie en la misma población. G´ enero: Categor´ıa taxonómica que está por encima de la especie y por debajo de la familia. Un grupo de especies a las que se le considera que tienen un antecesor directo com´ un. Gen´ etica cuantitativa: Es el estudio de la herencia y respuesta a la selección de los rasgos de variación continua que tienen herencia poligenética. Genotipo: Son todas las caracter´ısticas genéticas que determinan la estructura y función de un organismo. A menudo aplicado a un solo locus del gen para distinguir un alelo o combinación de alelos, de otros. Es la constitución genética de un organismo o de una especie en contraste con las caracter´ısticas observables. Comparar con Fenotipo. Glucosa: Az´ ucar simple. El mayor producto de la fotos´ıntesis. Act´ ua como un bloque constitutivo básico de la celulosa y el almidón. Es el mayor combustible para la liberación de energ´ıa a través de la respiración celular tanto en plantas como en animales. Gradiente: Vector que se˜ nala el cambio en cierta direc-

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ción de la magnitud escalar. Es la diferencia en condición y concentración de una sustancia entre dos puntos o a través de una barrera o membrana. Gradiente ambiental: Es el rango posible en el que oscila un factor como la luz, la temperatura o la humedad. Grupo control: Es el grupo que en un experimento es tratado como el grupo experimental en todo sentido excepto para el factor particular sujeto de estudio. Solamente por comparación con el grupo control se puede adquirir información espec´ıfica concerniente al efecto de cualquier factor de prueba. Gen´ etica de poblaciones: Estudio de las frecuencias genéticas y de las presiones de selección en las poblaciones.

H H´ abitat: Es la suma de las condiciones ambientales en donde un organismo, población o comunidad vive. Lugar en donde generalmente un organismo vive. Hamiltoniano: La función de Pontryagin para las variables adjuntas, ρi , i = 1, ..., 3 es H = ρT f donde, ρ = (ρ1 , ρ2 , ρ3 )T y f = (f1 , f2 , f3 )T = dx dt . Haploide: Referente a una célula u organismo que contiene Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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un juego o serie de cromosomas. Hemat´ ofago: Organismo que se alimenta de sangre. Hepatitis: Es la inflamación del h´ıgado, puede ser causada por infecciones de diversos parásitos, bacterias o virus (como los virus de la hepatitis A, B, C). Asimismo, las toxinas qu´ımicas como el alcohol, los medicamentos o los hongos venenosos pueden causarle da˜ no al h´ıgado y hacer que se inflame, una sobredosis de acetaminofén (como el Tylenol), que es rara pero puede ser mortal, las células del sistema inmunológico pueden atacar al h´ıgado y causar hepatitis autoinmune. La hepatitis se puede resolver rápidamente (hepatitis aguda) o puede causar una enfermedad a largo plazo (hepatitis crónica) y, en algunos casos, se puede presentar un da˜ no hepático progresivo o insuficiencia hepática. Los tipos espec´ıficos de hepatitis son: Hepatitis A, Hepatitis B, Hepatitis C, Hepatitis autoinmunitaria, Hepatitis inducida por fármacos y Hepatitis alcohólica. Herbicida: Qu´ımico usado para matar o inhibir el crecimiento de plantas plaga, indeseables o ARVENSES. Herb´ıvoro: Organismo que consume plantas vivas o sus partes. Herencia: Transmisión genética del conjunto de caracteres fenot´ıpicos y del genoma de un individuo a su descendencia. Heterogeneidad: La variedad de cualidades encontradas

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en un ambiente (hábitat) o en una población (variación genot´ıpica). Hip´ otesis: Suposición concerniente a la causa que está detrás de un fenómeno observado que es luego sujeto a pruebas experimentales para probar su precisión y inexactitud. Historia de vida: Es el conjunto de adaptaciones de un organismo que más o menos influye directamente los valores de la tabla de vida de sobrevivencia espec´ıfica de la edad y de fecundidad, por consiguiente, la tasa reproductiva, la edad de la primera reproducción, el riesgo de reproducción y as´ı sucesivamente. Homeomorfismo entre espacios normados: Sean X, Y dos espacios normados. Una aplicación f : X −→ Y es un homeomorfismo si es biyectiva y bicontinua. es decir, si tiene inversa f −1 y f −1 es continua. Homeostasis: Mantenimiento de las condiciones internas constantes ante la variación del medio ambiente externo. Homocigoto: Que contiene dos alelos idénticos en un locus del gen. Hospedero:: Organismo que ofrece refugio o que act´ ua como anfitrión de otro organismo. Hospedero intermediario: Es un hospedero que alberga un estado asexual del ciclo de vida de un parásito u organ-

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ismo que genera enfermedad. Hu´ esped: Organismo que proporciona alimento, refugio u otros beneficios a un organismo de otra especie. Hu´ esped primario: Es un huésped que alberga el estado sexual del ciclo de vida de un parásito u organismo que genera enfermedad. Hu´ esped secundario: Es un huésped que alberga un estado asexual del ciclo de vida de un parásito u organismo que produce enfermedad. Humedad: Es la cantidad de vapor de agua en el aire. Ver también Humedad relativa. Humedad relativa: Es el porcentaje de humedad en el aire comparado con qué tanto puede el aire retenerlo en una temperatura dada. Humus: Es la sustancia compuesta por productos orgánicos, de naturaleza coloidal, que proviene de la descomposición de los restos orgánicos (hojas, troncos de madera, hongos, bacterias, etc.). Se caracteriza por su color negruzco debido a la gran cantidad de carbono que contiene. Se encuentra principalmente en las partes altas de los suelos con actividad orgánica. Los elementos orgánicos que componen el humus son muy estables. Es decir, que su grado de descomposición es tan elevado que ya no se descomponen más y no sufren transformaciones considerables. Es un residuo de materia

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orgánica, esponjoso, suave, café obscuro o negro que permanece después del volumen de hojas muertas, madera u otra materia orgánica que se haya descompuesto. El humus se oxida pero a una velocidad relativamente lenta. Es extremadamente valioso dentro de las propiedades fisiológicas y qu´ımicas del suelo.

I Imago: Es el estado adulto de un insecto. Impacto ambiental: Efecto que produce una determinada acción humana sobre el medio ambiente en sus distintos aspectos. El concepto puede extenderse, con poca utilidad, a los efectos de un fenómeno natural catastrófico. Técnicamente, es la alteración de la l´ınea de base (medio ambiente), debido a la acción antrópica o a eventos naturales. Las acciones humanas, motivadas por la consecución de diversos fines, provocan efectos colaterales sobre el medio natural o social. Mientras los efectos perseguidos suelen ser positivos, al menos para quienes promueven la actuación, los efectos secundarios pueden ser positivos y, más a menudo, negativos. La evaluación de impacto ambiental (EIA) es el análisis de las consecuencias predecibles de la acción; y la Declaración de Impacto Ambiental (DA) es la comunicación previa, que las leyes ambientales exigen bajo ciertos supuestos, de las consecuencias ambientales predichas por la evaluación. Impacto ecol´ ogico: Es el efecto total de un cambio ambiental, natural o humano. Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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Incidencia: N´ umero de nuevos casos ocurridos en una unidad de tiempo elegida (da, semana, a˜ nos). ´ Indice de Breteau: N´ umero total de contenedores con larvas por 100 casas examinadas. ´ Indice de casa: Porcentaje de casas examinadas, incluyendo sus alrededores, que contienen larvas del vector en al menos, un contenedor. ´ Indice de contenedor: Porcentaje de contenedores con agua que contienen larvas. ´ Indice de crecimiento Medio de Lloyd’s Deduzcamos el t´ermino de transmisi´on f (S, I). Sea, x ˆ=x ¯+

s2 −1 x ¯

Donde, x ˆ : es el ´ındice de crecimiento de crecimiento medio de Lloyd’s, n´ umero de personas susceptibles en su vecindad. x ¯ : n´ umero medio de individuos hallados en un cuadrante. s2 : es la varianza de los n´ umeros de individuos hallados en un cuadrante. Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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Sustituyendo la ley de potencia de Taylor: s2 = α¯ xβ en el ´ındice x ˆ tenemos: x ˆ=x ¯+

α¯ xβ −1 x ¯

es decir, x ˆ=x ¯ + α¯ xβ−1 − 1 Por lo tanto, el término de transmisión de un patógeno que integra aspectos fenomenológicos de la agregación espacial de la población susceptible (S) es, f (S, I) = θI(¯ s + α¯ sβ−1 − 1) ´ Indice Maya: Matriz de datos que contiene niveles graduales de contenedores controlables. La interpretación de la matriz del Índice Maya se utiliza finalmente para caracterizar el barrio o la colonia como una zona de alto, mediano o bajo riesgo entomológico para la transmisión del dengue, con base en los niveles de higiene doméstica como elemento predictivo. ´ Indice de Shannon - Weaver (H): Es una medida logar´ıtmica de la diversidad de las especies soportada en la abundancia relativa de cada una. ´ Indice de Simpson: Es la medida de diversidad de las especies sustentada en la abundancia relativa de cada una. Infeccioso: Persona que transmite una que infección en forma directa, indirecta o mediante vectores.

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Ingenier´ıa gen´ etica: Transferencia artificial de genes espec´ıficos de un organismo a otro. Inhibici´ on: Es la supresión de una población colonizada por otra que ya está establecida, especialmente durante secuencias sucesivas. Inmigraci´ on: Es el movimiento de individuos en una población. Traslado de un individuo o de un grupo hacia una nueva población o región geográfica. Inmune: Huésped que se encuentra en un estado resistente a un agente infeccioso. Referente a la resistencia que resulta de la exposición al agente causal y la consecuente estimulación de la respuesta inmune. Inmunidad espec´ıfica: La inmunidad espec´ıfica constituye la tercera l´ınea de defensa del organismo y está representada por los linfocitos de los que existen dos clases: los linfocitos B (o células B) y los linfocitos T (o células T). Ambos derivan de la misma célula madre de la médula ósea a través de una serie de intermedios y ambos tienen las mismas caracter´ısticas morfológicas. Algunos autores incluyen entre los linfocitos las células asesinas naturales (Natural Killer, NK) que se diferencian de los linfocitos B y T en su tama˜ no ligeramente mayor. Los linfocitos B son los representantes de la llamada inmunidad humoral caracterizada por la secreción de las protenas llamadas anticuerpos, mientras que los linfocitos T son los representantes de la inmunidad medida por células ya que ellos atacan directamente a los

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gérmenes destruyéndolos por fagocitosis y disgestión. La inmunidad espec´ıfica es uno de los principales componentes de la resistencia a las enfermedades infecciosas; es un estado de respuesta alterada a una substancia espec´ıfica adquirida por inmunización o infección natural. Estado del organismo que le impide contraer enfermedades. Puede ser natural o provocado por medio de vacunas. Capacidad que tienen, o adquieren, algunas personas de no padecer una determinada enfermedad. Situación biológica de un ser vivo, respecto a sus compa˜ neros de especie y dentro de un mismo ambiente, propensa a no desarrollar la enfermedad al ser atacado por microorganismos (bacterias o virus), o sustancias ajenas al propio ser, o que, pertenecientes al mismo, se hallen alteradas en cuanto a su estructura. La inmunidad puede ser natural o adquirida. Inorg´ anico: Todo componente qu´ımico o molécula que no contiene átomos de carbono como parte integral de su estructura molecular. Comparar con Orgánico. Insecticida: Cualquier qu´ımico usado para matar insectos. Interespec´ıfico: Que se da entre especies. Entre individuos de diferentes especies. Intraespec´ıfico: Que se da al interior o dentro de una especie. Entre individuos de una misma especie. Inversi´ on parental: Un acto de cuidado parental que intensifica la supervivencia de la progenie individual o incre-

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menta su n´ umero. Ion: Son las partes disociadas de una molécula, cada una de las cuales transporta una carga eléctrica. En caso de que la carga eléctrica sea positiva recibe el nombre de catión y si la carga eléctrica es negativa, se le llamará anión. Isoclina: Una l´ınea sobre una gráfica poblacional que designa combinaciones de poblaciones que compiten, o las poblaciones presa depredador, por lo que la tasa de crecimiento de una de las poblaciones es igual a cero.

J Jerarqu´ıa: Es un orden en el rango. Liderazgo. Patrones de dominancia entre los miembros de una poblaci´on.

K K: En la qu´ımica es el s´ımbolo del potasio. En la f´ısica el s´ımbolo del grado kelvin, unidad de temperatura y en la inform´atica, el s´ımbolo de la capacidad de memoria de un ordenador.

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L Larva: Estado inmaduro de un invertebrado que es fundamentalmente diferente al adulto y que debe sufrir alguna clase de metamorfosis. Forma inmadura de vida libre que se presenta en el ciclo de vida de algunos organismos principalmente los insectos y que es estructuralmente distinto que el adulto. Larv´ıvoro: Organismo que se alimenta de larvas. Latente: Persona que tiene un agente patógeno sin manifestarse al exterior. Leishmaniasis: Es una enfermedad parasitaria transmitida por la picadura del jején o flebótomo. La Leishmania es un género de protozoarios (organismos vivientes simples) diminutos, cuyo ciclo de vida parasitaria incluye al jején o flebótomo y a un huésped apropiado como el hombre, entre otros. La infección por Leishmania puede ocasionar una enfermedad en la piel llamada leishmaniasis cutánea que también puede afectar las membranas mucosas. La infección también puede causar enfermedad sistémica (en todo el cuerpo). Las membranas mucosas afectadas pueden tener un rango amplio de apariencias, con más frecuencia, en forma de u ´lceras. La leishmaniasis puede ocasionar lesiones cutáneas similares a las producidas por otras enfermedades como la tuberculosis cutánea, la s´ıfilis, la lepra, el cáncer de piel e infecciones micóticas. La enfermedad sistémica por Leishmania, llamada leishDiccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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Figura 24: Fleb´otomo.

maniasis visceral, puede ocasionar complicaciones mortales. Cuando el jején pica, este parásito entra en el cuerpo y migra a la médula ósea, al bazo y a los ganglios linfáticos. Estos parásitos da˜ nan al sistema inmune disminuyendo el n´ umero de células que combaten la enfermedad. En los pa´ıses de América, esta infección puede encontrarse desde el sur de México hasta el continente Suramericano. Se han reportado brotes de leishmaniasis entre el personal militar que regresó del Golfo Pérsico. Ley de acci´ on de masas: Indica que la velocidad de una reacción qu´ımica es directamente proporcional a las masas activas de las especies reaccionantes. El principio de acción de masas en epidemiolog´ıa, expresa que el curso de una epidemia depende de la tasa de contactos efectivos (β) entre individuos susceptibles (S) e individuos infecciosos (I). Es decir, βSI. En este principio se asume que la población es constante, homogénea y las personas tienen Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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Figura 25: Cato M. Guldberg y Peter Waage (1864) [39].

un comportamiento similar, cada persona tiene la misma probabilidad de ser infectado. Ley de Chick: Dice: La r´apidez con que disminuye la cantidad de microorganismos es proporcional al n´ umero de ellos. Es decir, dx = −λx dt donde, x : Es el n´ umero de microorganismos viables en un tiempo t λ : Constante de velocidad de reacci´on para un desinfectante determinado. Ley de Fick: El flujo debido a movimiento aleatorio es aproximadamente proporcional a el gradiente local en la conDiccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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centración de particulas: J = −D∇c donde D es el coeficiente de difusión. Ley de potencia de Taylor: Ley que establece que la varianza de una población es proporcional a una potencia fraccional de la media aritmética, se expresa como s2 = α¯ xβ donde α depende del tama˜ no de la unidad de muestra y β es el ´ındice de dispersión que var´ıa desde cero (para una distribución uniforme) hasta infinitivo (para una distribución altamente contagiosa). Linealizaci´ on: Considerando el sistema de ecuaciones diferenciales: dx ≡ H(x, y) dt dy ≡ W (x, y) dt con condiciones iniciales x(0) = x0 , y(0) = y0 y haciendo el cambio de variables r = x − x ˆ, s = y − yˆ en el sistema se obtiene: dr = H(r + x ˆ, s + yˆ) dt ds = W (r + x ˆ, s + yˆ) dt Usando el Teorema de Taylor para funciones de dos variables, tenemos: H(r + x ˆ, s+ yˆ) = H(ˆ x, yˆ)+

∂H ∂H (ˆ x, yˆ)r + (ˆ x, yˆ)s+W1 (r, s) ∂x ∂y

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W (r+ˆ x, s+ˆ y ) = W (ˆ x, yˆ)+

∂W ∂W (ˆ x, yˆ)r+ (ˆ x, yˆ)s+W2 (r, s) ∂x ∂y

donde W1 y W2 son funciones peque˜ nas para valores peque˜ nos de r, s puesto que W2 (r, s) W1 (r, s) = l´ım √ =0 l´ım √ 2 + s2 2 + s2 r−→0 r−→0 r r s−→0 s−→0 La linealizaci´on del sistema se obtiene considerando H(ˆ x, yˆ) = 0

W (ˆ x, yˆ) = 0

y despreciando los t´erminos de orden superior W1 (r, s) y W2 (r, s), obteniendo el sistema lineal bidimensional dr ∂H ∂H = (ˆ x, yˆ)r + (ˆ x, yˆ)s dt ∂x ∂y ds ∂W ∂W = (ˆ x, yˆ)r + (ˆ x, yˆ)s dt ∂x ∂y La matriz de coeficientes del sistema es:   ∂H ∂H (ˆ x , y ˆ ) (ˆ x , y ˆ ) ∂y   ∂x   ∂W ∂W (ˆ x , y ˆ ) (ˆ x , y ˆ ) ∂x ∂y es llamada Matriz Jacobiana o Matriz de Comunidad del sistema en el equilibrio (ˆ x, yˆ). Locus g´ enico: Segmento de un cromosoma en el cual reside un gen.

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M Malaria: Es una enfermedad parasitaria caracterizada por fiebre, escalofr´ıo y anemia. Se transmite de un humano a otro por la picadura de mosquitos anofeles infectados. En los humanos, los parásitos (llamados esporozo´ıtos) migran hacia el h´ıgado, donde maduran y se convierten en merozo´ıtos, los cuales penetran el torrente sangu´ıneo e infectan los glóbulos rojos. Los parásitos se multiplican dentro de los glóbulos que, al cabo de 48 a 72 horas, se rompen e infectan más glóbulos rojos. Los primeros s´ıntomas se presentan por lo general de 10 d´ıas a 4 semanas después de la infección, aunque en ocasiones se pueden presentar en un lapso de 8 d´ıas hasta 1 a˜ no después. Los s´ıntomas de la enfermedad ocurren en ciclos de 48 a 72 horas. La mayor´ıa de los s´ıntomas se originan por la liberación masiva de merozo´ıtos en el torrente sangu´ıneo, por la anemia causada por la destrucción de glóbulos rojos y por los problemas debidos a las grandes cantidades de hemoglobina libre que invaden el torrente sangu´ıneo luego de la ruptura de los glóbulos rojos. La transmisión de la malaria también puede ser de forma congénita (de la madre al feto) y por transfusiones sangu´ıneas. La malaria se puede trasmitir por intermedio de los mosquitos en zonas de clima templado, pero el parásito desaparece cuando llega el invierno. Manejo integrado de plagas: Dos o más métodos de control de plagas integrados cuidadosamente en un programa dise˜ nado para evitar las pérdidas económicas causadas por plagas. El objetivo es minimizar el uso de qu´ımicos sintéticos Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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Figura 26: Sir Ronald Ross (1857 - 1932) [31]. ambientalmente riesgosos. Tales qu´ımicos pueden ser usados en el Manejo Integrado de Plagas pero solamente como un u ´ltimo recurso para prevenir p´erdidas econ´omicas significativas. Matrices cuadradas: Son matrices de la  a11 a12 − − −  a21 a22 − − −  A = (aij ) =  . ..  .. . −−− am1 am2 − − −

forma:  a1n a2n   ..  .  amn

donde m = n. Las matrices cuadradas m´as importantes son: Diagonales, cuando aij = 0 para todo i 6= j Triangulares superiores, cuando aij = 0 para todo i > j Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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Triagulares inferiores, cuando aij = 0 para todo i < j Simétricas, cuando aij = aji Matriz de comunidad: Es la matriz simétrica de coeficientes de interacción entre especies en una comunidad. Matriz Hessiana: Sea f : U ⊂ R2 −→ R, definimos la matriz hessiana de f como: Hp (f ) =

2 f ∂xx 2 f ∂yx

2 f ∂yx 2 f ∂yy

Matriz de Hurwitz: Se compone del modo siguiente: En la diagonal principal se escriben los coeficientes del polinomio caracter´ıstico: f (λ) = a0 λn + a1 λn−1 + · · · + an = 0 comenzando por a1 y terminando por an . Las columnas, una tras otra, constan de los coeficientes de subundices solamente impares o de subindices solamente pares, entre estos u ´ltimos va incluido el coeficiente a0 . Todos los dem´as elementos de la matriz, correspondientes a subindices mayores que n o menores que cero, se suponen iguales a cero. Es decir, la matriz de Hurwitz tiene la forma: 

a1 a0 0 0 0 0−−−0  a3 a2 a1 a0 0 0−−−0   a5 a a a a a 4 3 2 1 0−−−0  − − − − − − − − − − − − − − − −−− 0 0 0 0 0 0−−−0 Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

     

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Matriz de incidencia: Tabla de ocurrencias de especies en muestras. Matriz de Leslie: Es una matriz de valores de fecundidad espec´ıficos de la edad y sobrevivencia usada para proyectar el tama˜ no y la estructura de edad de una población a través del tiempo. Matriz de poblaci´ on: Ver Matriz de Leslie. Matriz de transici´ on: Es una matriz de probabilidades de cambio desde un estado a otro. Media aritm´ etica: Suma de una serie de valores dividido por el n´ umero de valores. Una medida de la tendencia central de una muestra. Comparar con Media geométrica. Media geom´ etrica: La ra´ız enésima del producto de n valores. El antilogaritmo de la media de los logaritmos de una serie de valores. Comparar con Media aritmética. Medida: Es una función µ : Σ −→ [0, +∞] que cumple:

µ(A) ≥ 0 para todo A ∈ Σ y µ(∅) = 0 Si {Ei }i∈N es una familia disjunta de conjuntos de la σ− ´algebra Σ en el conjunto X, entonces S P∞ µ( ∞ i=1 ) = i=1 µ (Ei ) Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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Medida de Lebesgue en R : Un conjunto A ⊂ R es medible seg´ un Lebesgue si para cada entero positivo n el conjunto acotado A ∩ [−n, n) es un conjunto medible seg´ un Lebesgue. La medida de Lebesgue en R es m(A) = l´ım m (A ∩ [−n, n)) n−→∞

Meiosis: Proceso de una serie seguida de dos divisiones de células destinadas a producir gametos, que incluyen apareamiento y segregación de cromosomas homólogos y que reduce el n´ umero de cromosomas de diploide a haploide. Metabolismo: Es el conjunto de transformaciones bioqu´ımicas responsables de la constitución y descomposición de tejidos y la liberación de energ´ıa de los organismos. Suma de todas las reacciones qu´ımicas que ocurren en un organismo. Metamorfosis: Un cambio abrupto en forma durante el desarrollo que fundamentalmente altera la función del organismo. Metapoblaci´ on: Subpoblación que es parte de una población más grande y que está conectada con otras subpoblaciones mediante inmigración. M´ etodo directo de Lyapunov: Sea x = 0 un punto de equilibrio del sistema dx dt = f (x) y sea V : D −→ R un campo escalar continuamente diferenciable definido en un dominio D ⊂ Rn que contiene al origen, entonces Si V (x) es definida positiva y V˙ (x) es semidefinida negaDiccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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tiva, el origen es un punto de equilibrio estable. Si V (x) es definida positiva y V˙ (x) es definida negativa, el origen es un punto de equilibrio asint´oticamente estable. M´ etodo Indirecto de Lyapunov: Sea x = 0 un punto de equilibrio del sistema no lineal dado por dx dt = f (x) donde n n f : D ⊂ R −→ R , es continuamente diferenciable y D es un entorno del origen. Sea la matriz Jacobiana A=

∂f (x)|x=0 ∂x

Entonces, notando con λi (i = 1, ..., n) a los valores propios de A El origen es asintóticamente estable si Re{λi } < 0, para todo λi . El origen es inestable si Re{λi } > 0, para uno o más valores propios de A. M´ etodo de marca y recaptura: Es una forma de estimar el tama˜ no de una población mediante la recaptura y marcado de los individuos. Mezcla vertical: Intercambio entre el fondo y la superficie de un cuerpo de agua. Mimetismo: Cuando una especie copia de otra alg´ un rasgo fenot´ıpico o de comportamiento con el propósito de adquirir una ventaja selectiva. Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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Modelo compartimental: RepresentaciÂ´on de un sistema en el cual sus diversas partes son descritas como unidades (compartimentos) que se afectan con flujos de entrada y/o de salida hacia otras unidades:

_Y < | < M f Y_ |

Ď&#x2030;L

ÎťM

Y z_ : / : L Y_ zZ

ÎąM + Î˛XM

f XM

Î¸L WVUT / PQRS X o

ÂľX Diagrama 3.: DinÂámica de modelo compartimental. Modelo epidemiolÂ´ ogico: Analiza el rol de un infeccioso para predecir el comportamiento de la propagaciÂón de la enfermedad atravÂés de la poblaciÂón. Modelo de crecimiento exponencial con dispersiÂ´ on espacial: La ecuaciÂón diferencial que describe la dinÂámica es, â&#x2C6;&#x201A;p(x, t) â&#x2C6;&#x201A; 2 p(x, t) = Îťp(x, t) + D â&#x2C6;&#x201A;t â&#x2C6;&#x201A;x2 Diccionario CientÂ´Äąfico de BiomatemÂ´ aticas

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Dâ&#x2C6;&#x201A;

2 p(x,t)

â&#x2C6;&#x201A;x2

Îťp(x, t)

hijk / onml p(x, t)

Diagrama 4.: DinÂámica de crecimiento exponencial con dispersiÂón espacial. donde, p(x, t) : es la densidad poblacional en (x, t). Îť : es la tasa de incremento neto de la poblaciÂón. D : es la tasa de dispersiÂón (coeficiente de difusiÂón, cuadrado medio de dispersiÂón por unidad de tiempo). 2 p(x,t) D â&#x2C6;&#x201A; â&#x2C6;&#x201A;x : representa el movimiento de los individuos de la 2 poblaciÂón. x : es la coordenada espacial. Modelo de crecimiento exponencial con dispersiÂ´ on denso - dependiente: Es el caso en que la distribuciÂón espacial de la poblaciÂón (al azar o gregaria) influye en su desplazamiento: â&#x2C6;&#x201A;p(x, t) â&#x2C6;&#x201A; = Îťp(x, t) + â&#x2C6;&#x201A;t â&#x2C6;&#x201A;x

â&#x2C6;&#x201A;p(x, t) D(p) â&#x2C6;&#x201A;x

Modelo de crecimiento logÂ´Äąstico con dispersiÂ´ on espacial: La ecuaciÂ´on diferencial parcial que interpreta esta dinÂ´amica es, Diccionario CientÂ´Äąfico de BiomatemÂ´ aticas

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∂ 2 p(x, t) ∂p(x, t) p(x, t) p(x, t) + D =r 1− ∂t k ∂x2 donde, r : es la tasa de incremento neto de la población. k : es la capacidad de carga o capacidad limite o de soporte de la población. Modelamiento de sistemas: Descripción de una función de sistema mediante funciones matemáticas que describen las interacciones entre sus componentes. Modelo SIR sin din´ amica vital: Corresponde a enfermedades transmisibles susceptible (x) - infeccioso (y)- inmune (z) como el sarampión, rubeola entre otras.

_^]\ XYZ[ x

βxy

_^]\ / XYZ[ y

θy

_^]\ / XYZ[ z

Diagrama 5.: Dinámica SIR sin dinámica vital. donde x(t) : es el n´ umero de personas susceptibles en un tiempo t. y(t) : es el n´ umero de personas infecciosas en un tiempo t. z(t) : es el n´ umero de personas inmunes en un tiempo t. β : tasa de contactos efectivos entre susceptibles e infecciosos. θ : tasa de adquisición de inmunidad. El sistema de ecuaciones diferenciales que interpretan esta Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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din´amica son: dx = −βxy dt dy = βxy − θy dt dz = θy dt Este modelo se debe a Kermack y McKendrick. Modelo SIR con din´ amica vital: Corresponde a en-

Figura 27: William Ogilvy Kermack (1898 - 1970) [37]. fermedades transmisibles susceptible (x) - infeccioso (y)- inmune (z) como la Rubeola, Sarampi´on entre otras.

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ÂľN

_^]\ XYZ[ x

Âľx

Î˛xy

_^]\ / XYZ[ y

Î¸y

_^]\ / XYZ[ z

Âľy

Âľz

Diagrama 6.: DinÂámica SIR con dinÂámica vital. donde Âľ : es la tasa constante de nacimiento igual a la tasa de mortalidad natural. N = x + y + z : es la poblacion total constante. El sistema de ecuaciones diferenciales que interpretan esta dinÂámica son: dx = ÂľN â&#x2C6;&#x2019; Î˛xy â&#x2C6;&#x2019; Âľx dt dy = Î˛xy â&#x2C6;&#x2019; (Î¸ + Âľ)y dt dz = Î¸y â&#x2C6;&#x2019; Âľz dt Modelo SIRS con dinÂ´ amica vital: Corresponde a enfermedades transmisibles susceptible (x) - infeccioso (y)- inmune (z) - susceptible (x) como la HepatitÂ´Äąs entre otras.

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ÂľN

_^]\ XYZ[ x

Âľx

Î˛xy

Îąz k _ S

_^]\ / XYZ[ y

H Î¸y

_^]\ / XYZ[ z

Âľy

Âľz

Diagrama 7.: DinÂámica SIRS con dinÂámica vital. donde Îą : es la tasa de pÂérdida de inmunidad. Las ecuaciones diferenciales que interpretan esta dinÂámica son: dx = ÂľN + Îąz â&#x2C6;&#x2019; Î˛xy â&#x2C6;&#x2019; Âľx dt dy = Î˛xy â&#x2C6;&#x2019; (Î¸ + Âľ)y dt dz = Î¸y â&#x2C6;&#x2019; (Îą + Âľ)z dt Modelo SIS con dinÂ´ amica vital: Corresponde a enfermedades transmisibles susceptible (x) - infeccioso (y)- susceptible (x) como las enfermedades de transmisiÂón sexual y el resfriado entre otras.

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ÂľN

Îąy u _ O Î˛xy XYZ[ _^]\ _^]\ / XYZ[ y x

Âľx

Âľy

Diagrama 8.: DinÂámica SIS con dinÂámica vital. donde Îą : es la tasa de individuos infecciosos que vuelven hacer susceptibles. Ecuaciones diferenciales de la dinÂámica: dx = ÂľN + Îąy â&#x2C6;&#x2019; Î˛xy â&#x2C6;&#x2019; Âľx dt dy = Î˛xy â&#x2C6;&#x2019; (Îą + Âľ)y dt Modelo SI con dinÂ´ amica vital: Corresponde a enfermedades transmisibles susceptible (x) - infeccioso (y) como el SIDA.

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Î´N

XYZ[ _^]\ x

Âľx

Î˛xy

_^]\ / XYZ[ y

(Âľ + Îą)y

Diagrama 9.: DinÂámica SI con dinÂámica vital. donde Îą : es la tasa de muerte por la enfermedad. Î´ : es la tasa constante de nacimiento diferente a la tasa de muerte natural Âľ. Es una dinÂámica con poblaciÂón variable, es decir, dN = (Î´ â&#x2C6;&#x2019; Âľ)N â&#x2C6;&#x2019; Îąy dt Ecuaciones diferenciales de la dinÂámica: dx = ÎŃ â&#x2C6;&#x2019; Î˛xy â&#x2C6;&#x2019; Âľx dt dy = Î˛xy â&#x2C6;&#x2019; (Îą + Âľ)y dt Mortalidad: ÂÍndice de mortalidad en proporciÂón a la poblaciÂón, expresado asÂ´Äą o como fracciÂón. ProporciÂón del nÂ´ umero de muertes de individuos en riesgo, a menudo descrito como una funciÂón de la edad. Comparar con Tasa de muerte.

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A. Mu˜ noz L., J. C. Jamboos T., O. M. Garc´ıa A.

Mosquito: Es un término genérico con el que se designa a varias familias de insectos del orden de los d´ıpteros y en particular del suborden de los nematóceros. Algunas de las familias más destacadas son: Culicidae o cucl´ıcidos: estos mosquitos son parásitos hematófagos (se alimentan de la sangre de otros animales), y por ello son frecuentes vectores de enfermedades infecciosas. Chironomidae o quiron´ omidos: se asemejan a la familia anterior pero no se alimentan de sangre. Tipulidae o tip´ ulidos: conocidos como moscas o mosquitos gigantes, pueden llegar a medir 7,5 cm; también son inofensivos. Los mosquitos con mayor importancia práctica son los cul´ıcidos que por ser parásitos hematófagos, son a la vez frecuentes vectores de enfermedades infecciosas. Otras familias importantes son los quironómidos (Chironomidae) o los tip´ ulidos (Tipulidae). Mutaci´ on: Cualquier tipo de cambio en el genotipo de un organismo que ocurre en el gen, cromosoma o a nivel genómico. Usualmente aplicado a cambios en los genes para nuevas formas alélicas. Un cambio en el arreglo genético de un organismo que resulta de un cambio qu´ımico en el ADN. Mutante: Es un organismo con una caracter´ıstica o rasgo cambiado que resulta de un cambio genético. Mutualismo: Es el tipo de relación entre dos especies que las beneficia. Es una interacción entre dos especies en la que ambas se benefician de la asociación.

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A. Mu˜ noz L., J. C. Jamboos T., O. M. Garc´ıa A.

N Natural: Que ocurre o que es producido como parte normal de la naturaleza sin cualquier actividad o intervención humana. Contrario a lo artificial, sintético, hecho por el hombre o causado por el hombre. Natalidad: Índice de nacimientos. Cantidad de progenie producida por hembra o cabeza de la población por unidad de tiempo. Producción de individuos nuevos por nacimiento. Nicho: Es el rol ecológico de una especie en la comunidad. El conjunto de condiciones y cualidades del recurso dentro del cual el organismo o las especies persisten, a menudo concebido como un espacio multidimensional. Es el total de todas las relaciones que conduce al cómo los organismos enfrentan o interact´ uan con los factores tanto bióticos como abióticos. Nicho fundamental: Es el nicho, as´ı determinado por la combinación tolerable máxima de condiciones ambientales de una especie en ausencia de competencia. Nicho traslapado: Es el nicho compartido por dos o más especies en la que también se puede compartir el recurso alimenticio y la tolerancia de las condiciones ecológicas. Ninfa: Es el estado inmaduro que le sigue al estado larval y es previo al estado adulto en los artrópodos, especialmente en los insectos. Nivel tr´ ofico: Posición en la cadena alimenticia determiDiccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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A. Mu˜ noz L., J. C. Jamboos T., O. M. Garc´ıa A.

nado por el n´ umero de grados de transferencia de energ´ıa a ese nivel. Es el nivel alimentario con respecto a la fuente primaria de energ´ıa. Las plantas verdes son el primer nivel trófico, consumidores primarios en el segundo, los consumidores secundarios en el tercer y as´ı sucesivamente. No linealidad: Es la dependencia de los coeficientes de interacción en la densidad de población. N´ umero cr´ıtico: Es el n´ umero m´ınimo de individuos de una especie dada que se requiere para mantener la población saludable y viable. Si una población cae por debajo de su n´ umero cr´ıtico casi que con certeza se extinguirá. N´ umero Reproductivo B´ asico R0 : Se ilustra este concepto con el modelo matemático que presenta las siguientes caracter´ısticas: Se construye un modelo matemático de dos procesos estoc´ asticos cont´ınuos no lineales con estados discretos acoplados e intensidades de flujos de Poisson, mediante un modelo determin´ıstico para las magnitudes promedio. Se introducen funciones generales denso - dependientes, es decir, una función que depende de la población humana infectada y una función que depende de la población de mosquitos portadores del virus, correspondientes a la fuerza de infección del dengue y la fuerza del virus en el mosquito. También se considera la función de capacidad de carga de los criaderos. Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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A. Mu˜ noz L., J. C. Jamboos T., O. M. Garc´ıa A.

Se considera la fase acuática en la dinámica del mosquito, al introducir la ecuación diferencial para la población de estad´ıos inmaduros (huevos, larvas, pupas). Ademas, el modelo de dimensión finita para el estado endémico de la enfermedad, tiene las siguientes consideraciones: 1. La población humana tiene tama˜ no constante (N) con tasa de nacimiento constante (µ) igual a su tasa de mortalidad natural (µ) la cual no considera ning´ un otro parámetro demográfico como emigración, inmigración o mortalidad por la enfermedad. 2. En el modelo los términos importantes corresponden a las incidencias en la población humana y la población del mosquito, as´ı como la función de saturación del estad´ıo inmaduro. Estos términos se representan en la y a i forma αψ1 ( m m )x, βψ2 ( N )ms y ψ3 ( I ) respectivamente, donde ψ1 y ψ2 son funciones sigmoides que corresponden a términos de transferencia en sentido epidemiológico, también conocidas como Fuerzas de Infecci´ on y ψ3 es una función antisigmoide. Ademas: + x: N´ umero promedio de personas susceptibles en un tiempo t. + y: N´ umero promedio de personas infecciosas en un tiempo t. + z: N´ umero promedio de personas inmunes en un tiempo t. + N : N´ umero total de personas que se supone constante durante todo el proceso. Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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A. Mu˜ noz L., J. C. Jamboos T., O. M. Garc´ıa A.

+ ms : N´ umero promedio de mosquitos susceptibles en un tiempo t. + mi : N´ umero promedio de mosquitos portadores de virus en un tiempo t. + m = ms +mi : Población total del mosquito maduro en un tiempo t. + a: N´ umero promedio de estad´ıos inmaduros (huevos, larvas y pupas) de la fase ac´ uatica en un tiempo t. + I: Capacidad de carga de los criaderos. + α y β Representan magnitudes inversas de la unidad de tiempo. 3. El modelo se formula mediante un sistema de seis ecuaciones diferenciales ordinarias; las tres primeras corresponden a la dinámica en la población humana y las restantes corresponden fundamentalmente a la dinámica poblacional del mosquito. Teniendo en cuenta la consideración 1 (x + y + z = N ), el modelo se reduce a un sistema de orden cinco, el cual se desacopla en un subsistema de orden tres y otro de orden dos. 4. Otras consideraciones del modelo son que la dinámica de la población humana es tipo SIR (susceptible, infeccioso e inmune) con la inmunidad espec´ıfica a uno de los serotipos de virus del dengue. También se considera que la población del vector A. aegypti es variable y se divide en mosquitos maduros (susceptibles y portadores del virus) de la fase aérea y un estad´ıo inmaduro de la fase ac´ uatica (huevos, larvas y pupas). Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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A. MuË&#x153; noz L., J. C. Jamboos T., O. M. GarcÂ´Äąa A.

No se considera transmisiÂón vertical (transovarica) del virus a la progenie. Los demÂás parÂámetros del modelo, todos positivos, son: + Âľ: Tasa de nacimiento y muerte natural en los humanos. + Î¸: Tasa de recuperaciÂón de las personas infecciosas. + Ď&#x2020;: NÂ´ umero de huevos por mosquito por dÂ´Äąa. + : Tasa de mortalidad natural de los mosquitos maduros susceptibles e infecciosos. + Ď&#x20AC;: Tasa de mortalidad natural de los estadÂ´Äąos inmaduros (huevos, larvas y pupas). + Ď&#x2030;: Tasa de desarrollo del estadÂ´Äąo inmaduro a mosquito maduro. La dinÂámica se representa por el diagrama de flujos: ÂľN

Âľx

Ď&#x2030;a

m ÎąĎ&#x2C6;1 ( mi )x

]

Âľy

Î¸y

Âľz

_ T _Y ; w 7 w _T 7 Ď&#x2020;mĎ&#x2C6;3 ( aI ) { / ms _ _ _/ mi / a ; ( y )m7 7 Î˛Ď&#x2C6; Y_ { T_ w 2 N s T_ w

(Ď&#x20AC; + Ď&#x2030;)a

Diccionario CientÂ´Äąfico de BiomatemÂ´ aticas

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A. MuË&#x153; noz L., J. C. Jamboos T., O. M. GarcÂ´Äąa A.

Diagrama 10.: DinÂámica de transmisiÂón e incidencia de dengue. Las ecuaciones diferenciales no lineales que describen esta dinÂámica son: dx mi = ÂľN â&#x2C6;&#x2019; ÎąĎ&#x2C6;1 ( )x â&#x2C6;&#x2019; Âľx dt m

(1)

mi dy = ÎąĎ&#x2C6;1 ( )x â&#x2C6;&#x2019; (Âľ + Î¸)y dt m

(2)

dz = Î¸y â&#x2C6;&#x2019; Âľz dt

(3)

dms y = Ď&#x2030;a â&#x2C6;&#x2019; Î˛Ď&#x2C6;2 ( )ms â&#x2C6;&#x2019; ms dt N

(4)

dmi y = Î˛Ď&#x2C6;2 ( )ms â&#x2C6;&#x2019; mi dt N

(5)

da a = Ď&#x2020;mĎ&#x2C6;3 ( ) â&#x2C6;&#x2019; (Ď&#x20AC; + Ď&#x2030;)a (6) dt I donde Ď&#x2C6;i i=1,2 son funciones sigmoides y Ď&#x2C6;3 es antisigmoide las cuales son continuas y satisfacen las condiciones: + Ď&#x2C6;i [R] â&#x160;&#x201A;]0, 1[, i=1,2,3. + +

lÂ´Äąm Ď&#x2C6;i (x) = 0,

xâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

lÂ´Äąm Ď&#x2C6;3 (x) = 1,

xâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

lÂ´Äąm Ď&#x2C6;i (x) = 1 para i=1,2.

xâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

lÂ´Äąm Ď&#x2C6;3 (x) = 0.

xâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

+ Ď&#x2C6;3 decreciente. + Ď&#x2C6;1 y Ď&#x2C6;2 crecientes. Diccionario CientÂ´Äąfico de BiomatemÂ´ aticas

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A. MuË&#x153; noz L., J. C. Jamboos T., O. M. GarcÂ´Äąa A.

El modelo se reduce teniendo en cuenta que z = N â&#x2C6;&#x2019; x â&#x2C6;&#x2019; y al siguiente sistema: dx mi = ÂľN â&#x2C6;&#x2019; ÎąĎ&#x2C6;1 ( )x â&#x2C6;&#x2019; Âľx dt m

(7)

dy mi = ÎąĎ&#x2C6;1 ( )x â&#x2C6;&#x2019; (Âľ + Î¸)y dt m

(8)

y dms = Ď&#x2030;a â&#x2C6;&#x2019; Î˛Ď&#x2C6;2 ( )ms â&#x2C6;&#x2019; ms dt N

(9)

dmi y = Î˛Ď&#x2C6;2 ( )ms â&#x2C6;&#x2019; mi dt N

(10)

da a = Ď&#x2020;mĎ&#x2C6;3 ( ) â&#x2C6;&#x2019; (Ď&#x20AC; + Ď&#x2030;)a dt I

(11)

Se desacopla el sistema teniendo en cuenta que m(t) = ms (t) + mi (t) y sumando las ecuaciones (9) y (10), el sistema anterior se desacopla en los dos siguientes subsistemas A y B, respectivamente: ďŁą mi dx ďŁ´ ďŁ´ dt = ÂľN â&#x2C6;&#x2019; ÎąĎ&#x2C6;1 ( m )x â&#x2C6;&#x2019; Âľx ďŁ´ ďŁ´ ďŁ´ ďŁ´ ďŁ˛ mi (A) dy dt = ÎąĎ&#x2C6;1 ( m )x â&#x2C6;&#x2019; (Âľ + Î¸)y ďŁ´ ďŁ´ ďŁ´ ďŁ´ ďŁ´ ďŁ´ ďŁł dmi y dt = Î˛Ď&#x2C6;2 ( N )(m â&#x2C6;&#x2019; mi ) â&#x2C6;&#x2019; mi

(B)

ďŁą dm ďŁ´ ďŁ˛ dt = Ď&#x2030;a â&#x2C6;&#x2019; m ďŁ´ ďŁł da dt

Ď&#x2020;mĎ&#x2C6;3 ( aI )

(12)

(13) â&#x2C6;&#x2019; (Ď&#x20AC; + Ď&#x2030;)a

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A. MuË&#x153; noz L., J. C. Jamboos T., O. M. GarcÂ´Äąa A.

Supondremos que las condiciones iniciales pertenecen a la regiÂ´on ÎŁ del espacio de fase que tiene sentido biolÂ´ogico. Es decir, ÎŁ={(x,y,mi ,m,a):xâ&#x2030;Ľ0,yâ&#x2030;Ľ0,mi â&#x2030;Ľ0,mâ&#x2030;Ľ0,mi â&#x2030;¤m,0â&#x2030;¤aâ&#x2030;¤I}

TambiÂén definimos la regiÂón de sentido biolÂógico para el subsistema B como ÎŁB = {(m, a) : m â&#x2030;Ľ 0, 0 â&#x2030;¤ a â&#x2030;¤ I}

ÂľN

_Y < Y { _ ; ÎąĎ&#x2C6;1 ( mi ) | _ _ _ _m _ _ / y ; x < Y_ {Z Y_ | 8 ; Âľx Âľy = @ C w _T 7 / m y Î˛Ď&#x2C6;2 ( N )(m â&#x2C6;&#x2019; mi ) 7 i T_ w /

Ď&#x2030;a

Ď&#x2020;mĎ&#x2C6;3 ( aI )

(Ď&#x20AC; + Ď&#x2030;)a

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/ Î¸y

/ mi

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A. MuË&#x153; noz L., J. C. Jamboos T., O. M. GarcÂ´Äąa A.

Diagrama 11.: DinÂ´amica desacoplada. Se deduce de las ecuaciones del modelo, el umbral adimensional: Ë&#x2020; ÎąÎ˛ Ë&#x2020; 0 (YË&#x2020; ) X R0 = Ď&#x2C6;10 (Z)Ď&#x2C6; (14) 2 (Î¸ + Âľ) N donde, X = x, Y =

y N,

mi m Ë&#x2020; .

El nÂ´ umero R0 se denomina NÂ´ umero Reproductivo BÂ´ asico que indica el nÂ´ umero promedio de casos secundarios que un individuo infectado produce durante su perÂ´Äąodo de infecciÂón en una poblaciÂón totalmente susceptible. El nÂ´ umero de personas infectadas producidas por un mosquito portador del virus durante su perÂ´Äąodo infeccioso en una poblaciÂón de personas susceptibles estÂá dada por Ë&#x2020; Îą 0 Ë&#x2020; X Ď&#x2C6;1 (Z) N AnÂálogamente, el nÂ´ umero de mosquitos infectados producidos por una persona infectada durante su perÂ´Äąodo infeccioso en una poblaciÂón de mosquitos susceptibles es Î˛ Ď&#x2C6; 0 (YË&#x2020; ) Î¸+Âľ 2 â&#x2C6;&#x161; La media geomÂétrica de estas cantidades, R0 , representa el nÂ´ umero promedÂ´Äąo de infecciones secundarias producidas por una sola persona infectada o mosquito portadorâ&#x2C6;&#x161;del virus durante su perÂ´Äąodo infeccioso. Al nÂ´ umero RË&#x153;0 = R0 , se le llama NÂ´ umero Reproductivo BÂ´ asico de la Enfermedad. Diccionario CientÂ´Äąfico de BiomatemÂ´ aticas

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Figura 28: Din´amica de los umbrales RM y R0 .

En términos matem´ aticos, se define R0 como el radio espectral de un cierto operador lineal L1 (Ω), donde Ω es el espacio heterogeneo de estados. Nutriente: Cualquier sustancia requerida por los organismos para el crecimiento normal y mantenimiento. En las plantas, es un elemento esencial en un ion particular o molécula que puede ser absorbido y usado por la planta. Por ejemplo: Carbono, Hidrógeno, Nitrógeno y Fósforo, entre otros, son elementos esenciales. Dióxido de Carbono, Agua, Nitrato y Fosfatos son nutrientes. En animales, moléculas como las prote´ınas, vitaminas y minerales que son requeridas para crecer, mantenerse y reestablecer el cuerpo y solo moléculas tales como hidratos de carbono que son requeridas para la producción de energ´ıa.

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O Omn´ıvoro: Es el organismo cuya dieta es amplia, que incluye tanto comida animal como vegetal. Organismo que se alimenta de más de un nivel trófico. Omnivor´ıa: En el sentido del análisis de la cadena alimenticia, es la alimentación que se lleva a cabo en más de un nivel trófico. Operador lineal: Sea T : X −→ Y . Decimos que T es un operador lineal si T (x + y) = T (x) + T (y) para todo x, y ∈ X T (λx) = λT (x) para todo x ∈ X, para todo escalar λ donde X, Y son dos espacios normados sobre el mismo cuerpo de escalares. ´ Orbita peri´ odica: Una orbita Or(x0 ) que inicia en x0 es un subconjunto ordenado del espacio de estados X: Or(x0 ) = {x ∈ X : x = ϕt x0 , t ∈ T } Es el conjunto de puntos que definen la evolución de un sistema en el espacio de estados apartir de un estado inicial x0 . Org´ anico: Todo componente qu´ımico o molécula natural o sintética que contiene átomos de carbono como parte integral de su estructura. Comparar con Inorgánico. Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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Organismo heterog´ enico: Organismo que puede alternar entre reproducción sexual y asexual. Oscilaci´ on: Es la fluctuación regular a través de un ciclo fijado por encima y por debajo de alg´ un valor medio. Oscilaci´ on amortiguada: Ciclo con una amplitud progresivamente peque˜ na, como en algunas poblaciones que se aproximan a su equilibrio. Osmosis: Es la difusión de sustancias en solución acuosa a través de la membrana celular. Oviposici´ on: Acto o proceso de depositar huevos (poner huevos) por parte de un organismo ov´ıparo. Oxidaci´ on: Proceso de reacción qu´ımica que generalmente involucra rupturas mediante la combinación con el ox´ıgeno. Tanto la combustión como la respiración celular son ejemplos de oxidación. En ambos casos, la materia orgánica está combinada con ox´ıgeno y liberan dióxido de carbono y agua.

P Par´ asito: Cualquier organismo ´ıntimamente asociado y metabólicamente dependiente de otro organismo viviente (huésped) para la conclusión de su ciclo de vida, que siempre Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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es da˜ nino para el huésped en menor o mayor grado. Es un organismo que al alimentarse de su huésped le causa da˜ no, lesión y hasta la muerte. Par´ asito biotr´ ofico: Parásito que crece solamente mientras su huésped vive. Parasitoide: Organismo con un modo de vida intermedio entre el parasitismo y la depredación. Generalmente se trata de una especie himenóptera en la que la larva se alimenta del cuerpo de otro organismo vivo, ocasionando con el tiempo la muerte de su huésped. Cualquiera de un n´ umero de los también llamados insectos paras´ıticos cuyas larvas viven dentro y consumen a su huésped, usualmente otro insecto. Parásito especializado que es usualmente fatal para su huésped y que además puede ser considerado un depredador más que un parásito clásico. Partenog´ enesis: Reproducción sin fertilización de gameto masculino, que usualmente incluye la formación de huevos diploides cuyo desarrollo se inicia espontáneamente. Pat´ ogeno: Organismo que usualmente es un microbio y que es capaz de causar enfermedad. Patogenecidad: Es la capacidad que tiene un organismo para producir enfermedad en su huésped. Per´ıodo incubaci´ on: Tiempo entre el contagio de un susceptible y la aparición de los primeros s´ıntomas.

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Periodo infeccioso: Tiempo en que el infeccioso puede transmitir la enfermedad. Permeabilidad: Capacidad que posee un material de permitir el paso a algunos l´ıquidos, compuestos o moléculas. Persistencia: En pesticidas, es el periodo de tiempo que estos permanecen en el suelo o en los cultivos después de ser aplicados. pH (potencial de hidr´ ogeno): Es la escala de acidez o alcalinidad. Logaritmo de la concentración de iones hidrógeno. Pir´ amide de energ´ıa: Es el concepto referido a que el flujo de energ´ıa a través de un enlace o unión dada en la cadena alimenticia decrece progresivamente a niveles tróficos más altos. Plancton: Plantas acuáticas flotadoras microscópicas (fitoplancton) y animales (zooplancton). Plano de fase: Un plano cuyos ejes son la abundancia de dos poblaciones que interact´ uan. Poblaci´ on: Todos los individuos de una o más especies que viven dentro de un área prescrita. Grupo de organismos de una especie que ocupan un área definida y que normalmente están aislados, hasta cierto grado, de otros grupos similares.

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Figura 29: Plano de fase dinámica Lotka - Volterra y FitzHugh - Nagumo. Poligamia: Es un sistema de aparejamiento en el cual un macho tiene más de una hembra al mismo tiempo (poliginia) o una hembra con más de un macho (poliandria). Comparar con Monogamia. Polinomio caracter´ıstico: Dada la ecuación diferencial lineal de coeficientes reales constantes a0 y (n) + a1 y (n−1) + · · · + an y = 0 donde a0 , a1 , a2 , ..., an son constantes, a0 > 0. El polinomio caracter´ıstico es: P (λ) = a0 λn + a1 λn−1 + · · · + an y la ecuación caracter´ıstica P (λ) = 0. Pool g´ enico: Suma total de todos los genes que existen entre todos los individuos de una especie.

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Potencial osm´ otico: Es la atracción del agua a una solución acuosa debido a la concentración de iones y otras moléculas peque˜ nas, expresada usualmente como una presión. Portador: Individuo sano (sin s´ıntomas) que portan el agente patógeno y lo pueden transmitir. Organismo que transporta una enfermedad o un agente infeccioso sin mostrar los s´ıntomas t´ıpicos y que es capaz de transmitir la infección a otro individuo. Predador: Es un animal (pocas veces lo es una planta) que mata y come otros animales. Presa: En una asociación alimenticia, el animal que es eliminado y comido por otro. Prevalencia: N´ umero de casos presentes en la población en un instante determinado. Principio de exclusi´ on competitiva: Hipótesis fundamentada en el hecho de que dos o más especies no pueden coexistir con un u ńico recurso que es relativamente escaso para demandarlo. Es la hipótesis basada en consideraciones teóricas y experimentos de laboratorio que dos o más especies no pueden coexistir ni usar el mismo recurso que es escaso para su demanda. Principio de Invarianza de Lasalle: Sea Ω ⊂ D un conjunto compacto que es invariante positivo con respecto al sistema dx as, V : D −→ R una función dt = f (x). Adem´

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continuamente diferenciable tal que V˙ (x) ≤ 0 en Ω, E el conjunto de todos los puntos de Ω donde V˙ (x) = 0 y sea M el mayor conjunto invariante en E. Entonces toda soluci´on que comienza en Ω tiende a M cuando t −→ ∞. Principio del M´ aximo de Pontryagin: Una condici´ on necesaria de optimalidad. En 1956 L. S. Pontryagin introdujo un criterio para encontrar controles optimales, llamado Principio del M´ aximo y que afirma lo siguiente: Supongamos que: Existen u1 (·) ∈ Γ tales que x(t1 ) ∈ M existe u01 (·) ∈ Γ tal que J(u01 ) = m´ın J(u1 ) u1 (·)∈Γ

Si u01 (t) es un control óptimo (hace m´ınimo a J(u1 )), entonces existe un par {λ0 ≥ 0, ρ(·)} no trivial tal que Condición de máximo: máx

u1 ∈Ω

H(ρ(t), x0 (t), u1 ) = H(ρ(t), x0 (t), u01 )

es decir, la función de Pontryagin alcanza un máximo con respecto al control óptimal casi para todo t ∈ [0, t1 ]. Condición hde transversalidad: i 1 )) El vector ρ(t1 ) + λ0 ∂ϕ0 (x(t es ortogonal a la variedad ∂x suave M en el punto x(t1 ). Condición de estacionariedad: H = H(ρ(t), x0 (t), u01 (t)) = 0 Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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Probabilidad de transmisi´ on: Es la probabilidad de

Figura 30: Lev S. Pontryagin (1908 - 1988) [36]. adquirir un agente pat´ogeno. Problema de Cauchy: En forma matricial:   f (x, y) d X X = AX =  dt g(x, y) donde X = (x, y)T y vector de condiciones iniciales X(0) = (x0 , y0 )T . Problema de contorno: Un sistema de ecuaciones diferenciales formado por un subsistema de ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales acoplado a otro subsistema de ecuaciones diferenciales con condiciones de frontera. Proceso de Markov: Es un proceso estoc´astico en donde Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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A. Mu˜ noz L., J. C. Jamboos T., O. M. Garc´ıa A.

el estado futuro de un sistema depende solamente de su estado presente. Producci´ on neta: Es la energ´ıa total o nutrientes acumulados por el organismo debido al crecimiento y reproducción. Es la producción bruta menos la respiración. Proceso de Poisson en Epidemiolog´ıa: En la teor´ıa matemática de epidemias muchos eventos de vida son la transición de un estado susceptible (S) a un estado latente (E), de un estado latente a un estado infeccioso (I) y de un estado infeccioso a un estado de remoción (R), cada uno con una cierta probabilidad de ocurrencia, la cual no depende de cuanto tiempo ha persistido en el estado inicial, esta dinámica se llama Proceso de Poisson. En este proceso se supone que la probabilidad de transición entre t y t + ∆t es igual a φ∆t, es decir, P {Transición entre t y

t + ∆t} = φ∆t

donde, φ = θ + µ, es la suma de las tasas de transición (θ, µ) como se muestra en los diagramas 12 y 13. Con esta consideración la probabilidad de que una persona permanezca en el estado latente en un tiempo t es, P (t) = e−φt Para calcular la duración promedio del estado de latencia (periodo latente) utilizamos los conceptos de distribución y densidad de probabilidad de una variable aleatoria. La Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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A. MuË&#x153; noz L., J. C. Jamboos T., O. M. GarcÂ´Äąa A.

Figura 31: Simon Denis Poisson (1781 - 1840) [33]. distribuciÂ´on de probabilidades de acuerdo a la probabilidad P (t) se define asÂ´Äą: F (t) = 1 â&#x2C6;&#x2019; eâ&#x2C6;&#x2019;Ď&#x2020;t

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Diagrama 12: DinÂ´amica SEIRS con una ruta de transmisiÂ´on. Diccionario CientÂ´Äąfico de BiomatemÂ´ aticas

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A. MuË&#x153; noz L., J. C. Jamboos T., O. M. GarcÂ´Äąa A.

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( + Ď&#x201E; )C Diagrama 13.: DinÂámica SEIRS (cÂólera) con dos rutas de transmisiÂón. y la funciÂón de densidad es: f (t) =

dF = Ď&#x2020;eâ&#x2C6;&#x2019;Ď&#x2020;t dt

El tiempo promedio o valor esperado de una persona en el estado E se define por, Z â&#x2C6;&#x17E; 1 1 E[E] = t(Ď&#x2020;eâ&#x2C6;&#x2019;Ď&#x2020;t )dt = = Ď&#x2020; Î¸+Âľ 0 Se concluyen los siguientes resultados: Si la transiciÂ´on de un estado latente (E) a un estado infeccioso (I) es un proceso de Poisson con tasas de Diccionario CientÂ´Äąfico de BiomatemÂ´ aticas

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transici´on θ y µ, entonces la duraci´on promedio del estado latente es, E[E] =

1 θ+µ

Si la transición de un estado infeccioso (I) a un estado de remoción (R) es un proceso de Poisson con tasas de transición µ, λ y δ, entonces la duración promedio del estado infeccioso es, E[I] =

1 µ+λ+δ

Producto interno: Sea V un espacio vectorial. Un producto interno en V es una función h·i : V x V −→ R que satisface: hx, xi ≥ 0 para todo x ∈ V hx, xi = 0 si y sólo si x = 0 hx, yi = hy, xi para todo x, y ∈ V hαx, yi = αhx, yi para todo x, y ∈ V , α ∈ R hx + y, zi = hx, zi + hy, zi para todo x, y, z ∈ V Productor primario: Son todas las plantas que asimilan la energ´ıa solar para fotosintetizar los compuestos orgánicos. Aquellos organismos, generalmente plantas verdes que en un ecosistema usan la energ´ıa solar para elaborar sus constituyentes orgánicos a partir de componentes inorgánicos. Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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Promedio muestral (¯ x) : Es la suma del n´ umero de individuos de cada unidad muestral dividido por el n´ umero de unidades de muestreo, es decir, Pn xi x1 + x2 + x3 + · · · + xn x ¯= = i=1 n n Punto fijo: Sea T : X −→ X una aplicaci´on en un conjunto X. Se dice que x ∈ X es un punto fijo de T si T (x) = x. Pupa: Es el estado de transici´on entre larva y adulto en insectos con desarrollo indirecto (metamorfosis completa).

Q Quimiostato: Vaso, vasija o recipiente que contiene un cultivo con un flujo constante de un medio nutritivo.

R Radio de acumulaci´ on de biomasa: Es el radio del peso de la producci´on anual. Rango de una matriz: El rango de una matriz A se puede definir de tres formas equivalentes:

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Es el n´ umero de columnas linealmente independientes de A Es el n´ umero de filas linealmente independientes de A Es el maximo orden de los menores de A con determinante no nulo. Recurso: Es el producto requerido por un organismo para el mantenimiento normal, crecimiento y reproducción. Si el recurso es relativamente escaso, se refiere a él como un recurso limitado. Recursos naturales: Aplicado a los ecosistemas naturales y especies, este término indica que de tales recursos se espera tengan un valor económico y puedan ser explotados. Igualmente este término se aplica a segmentos particulares de ecosistemas tales como el aire, el agua, la luz solar y los minerales. Recurso renovable: Estos son recursos que son producidos a una tasa que puede ser parcialmente determinada por su utilización. Como ejemplo de este, es el alimento. Recurso no renovable: Tal como el espacio, es todo producto que se presenta en cantidades fijas y puede ser completamente utilizado. Refuerzo: Adición de nuevos individuos a una población mediante la reproducción. Término que a menudo está restringido solo para referirse a la adición por procreación de individuos. Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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Regulador: Es aquel organismo que mantiene un ambiente interno diferente a las condiciones externas del momento. Reinfecci´ on: Reaparición de la infección por el mismo germen habitualmente, una vez que se ha comprobado previamente su erradicación. Relaci´ on de sexo: Es la relación del n´ umero de individuos de un sexo con los individuos del sexo opuesto en una población. Relaci´ on presa - depredador: Es una relación alimenticia entre dos clases de animales. El depredador es el animal que se alimenta de la presa. Tales relaciones son frecuentemente instrumentos par controlar poblaciones de herb´ıvoros. Algunas veces también se usa para referirse a la asociación planta - herb´ıvoro. Relajaci´ on: Pérdida de la diversidad de especies con el concomitante aislamiento del hábitat. Removido: Individuo que sale de la interacción susceptible - infeccioso ya sea por inmunización, aislamiento o por muerte. Reproducci´ on asexual: Tipo de reproducción en donde toda la descendencia tiene copias genéticas exactas a la de los padres.

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Reproducci´ on sexual: Reproducción que involucra segregación y recombinación de cromosomas tal que la descendencia tenga alguna combinación de rasgos genéticos de los padres. Comparar con Reproducción asexual. Resistencia cruzada: Resistencia o inmunidad a un organismo enfermo que resulta de la infección por otro, usualmente en organismos estrechamente relacionados. Respiraci´ on celular: Proceso qu´ımico que ocurre en todas las células vivientes, en donde los compuestos orgánicos son sintetizados para liberar la energ´ıa requerida en los procesos de vida. Respuesta de la selecci´ on: Respuesta en el valor fenot´ıpico medio de la prole de los individuos seleccionados y de la población de cuyos padres fueron tomados. Respuesta funcional: Cambio en la tasa de explotación de la presa por un depredador como resultado de un cambio en la densidad de presas. Ver también Respuesta numérica. Solomon definió como respuesta funcional el cambio en n´ umero de presas atacadas en un periodo de tiempo fijo por un depredador al cambiar el valor de la densidad inicial de la presa. De 1959 a 1964, Holling, basado en numerosos experimentos, propuso que la respuesta funcional puede clasificarse en tres categorias:

Respuesta funcional tipo I: Observada en depredadores de filtrado. Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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Respuesta funcional tipo II: Correspondiente a depredadores invertebrados. Respuesta funcional tipo III: Observada en depredadores vertebrados. Respuesta num´ erica: Cambio en el tama˜ no de la población de una especie predadora como un resultado de un cambio en la densidad de su presa. Ver también Respuesta funcional. Respuesta regulatoria: Es una respuesta rápida, de comportamiento o fisiológica reversible que un organismo realiza con el propósito de cambiar y adaptarse al medio. Rubeola: Enfermedad v´ırica, generalmente leve caracterizada por una erupción semejante a la del sarampión. La gravedad surge si la padece una mujer embarazada pues puede transmitirse al feto y provocar en él defectos congénitos importantes. La vacuna contra la rubéola proporciona una inmunidad duradera, por lo que es conveniente que se vacune a todas las ni˜ nas antes de la pubertad, si no han padecido la enfermedad hasta entonces. Infección vital leve que frecuentemente aparece en epidemias. El contagio es directo, y el per´ıodo de incubación, de doce a veinti´ un d´ıas. La complicación más importante se presenta cuando quien padece la infección es una mujer gestante, ya que si ocurre durante el primer mes de embarazo, hay posibilidad de que se produzcan anomal´ıas fetales (cataratas, embriopat´ıas varias, cardiopat´ıas congénitas, etcétera). Cerca del tercer mes de embarazo, el riesgo de anomal´ıas se reduce a menos del 10 por 100. La vacuna contra la rubéola produce inmunidad duradera; por ello deber practicarse a todas las ni˜ nas antes de Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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la pubertad. Enfermedad infecciosa, contagiosa y epid´emica, que se caracteriza por erupciones semejantes a las del sarampi´on.

S Sarampi´ on: Enfermedad altamente contagiosa causada por un virus. Es decir, la enfermedad se disemina rápidamente. Es causada por un virus y la infección se propaga por las gotitas que salen de la nariz, la boca o la garganta de una persona infectada. Por ejemplo, con el estornudo y la tos se pueden lanzar gotitas contaminadas al aire. Los s´ıntomas generalmente se presentan de 8 a 12 d´ıas después de la exposición al virus, lo que se denomina per´ıodo de incubación. Las personas con sarampión clásicamente presentan fiebre, tos, enrojecimiento e irritación de los ojos (conjuntivitis) y una erupción en la piel que se propaga. Aquellas personas que hayan tenido una infección de sarampión activa o que hayan sido vacunados contra la enfermedad tienen inmunidad contra dicha infección. Saturaci´ on: En relación a las comunidades biológicas, es el l´ımite superior del n´ umero de especies que pueden coexistir localmente as´ı como el conjunto de sus interacciones competitivas. Selecci´ on: Es la supervivencia diferencial o reproducción de Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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individuos en una población debido a las diferencias fenot´ıpicas entre ellos. Selecci´ on diferencial: Es la diferencia en el valor fenot´ıpico medio de los individuos seleccionados y de la población de la cual fueron tomados. Selecci´ on natural: Cambio en la frecuencia de los rasgos genéticos en una población a través de la supervivencia diferencial y la reproducción de individuos que llevan aquellos rasgos. Proceso natural por el cual los organismos más adaptados a su ambiente sobreviven y aquellos menos adaptados son eliminados. Selecci´ on sexual: Selección a cargo de uno de los sexos por caracter´ısticas espec´ıficas en los individuos del sexo opuesto. Acción que se pone de manifiesto a través del comportamiento de cortejo entre machos y hembras. Serie: Sea X un espacio normado. Una serie es un par ({xn }, {sn }) donde {xn } es una sucesión de elementos de X y sn = x1 + x2 + x3 + · · · + xn =

n X

k=1

Serie de recambio: Es una investigación experimental de competición entre dos especies en la que la proporción de las especies no es la misma mientras que la densidad es mantenida constante.

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Serie geom´ etrica: Es una serie en la que cada elemento se forma de la multiplicación del elemento previo por alg´ un otro factor. Una caracterización de las abundancias relativas de las especies en la que el logaritmo de la abundancia decrece linealmente con el rango de abundancia de las especies. SIDA: (sndrome de inmunodeficiencia adquirida) es la etapa final y más grave de la infección por VIH, la cual produce da˜ no severo al sistema inmunitario. De acuerdo con los Centros para el Control y Prevención de Enfermedades, el SIDA comienza cuando una persona con infección por VIH tiene un conteo de células CD4 (un tipo de célula inmunitaria también denominadas c´ elulas T o linfocitos T cooperadores) por debajo de 200. También se define por numerosas infecciones oportunistas y cánceres que se presentan en presencia de la infección por VIH. σ−´ algebra (Σ): Es una álgebra respecto a las uniones numerables, es decir, si {Ai }∞ i=1 ⊂ Σ entonces

S∞

i=1 Ai

∈Σ

Simbiosis: Es alg´ un tipo de asociación ´ıntima a veces obligada entre dos especies. La mayor´ıa de las veces incluye coevolución. Las relaciones simbióticas pueden ser paras´ıticas, mutuales o comensales. Simulaci´ on: Es reproducir el ambiente, las variables (rasgos, apariencia, caracter´ısticas, contexto) de un sistema real. Es imitar una situación del mundo real en forma matemática.

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La simulación constituye una técnica económica que nos per-

Figura 32: Simulaciones del modelo de Lotka - Volterra Depredador y Presa. mite ofrecer varios escenarios posibles de una situación y nos permite equivocarnos sin provocar efectos sobre el mundo real (por ejemplo un simulador de vuelo o conducción). Sinantrop´ıa: Es la penetración a la comunidad ecológica dominada por el hombre (o biocenosis humana) coexistiendo por un largo per´ıodo de tiempo. Sistema din´ amico: Una formula matemática que describe la evolución del estado de un sistema en el correr del tiempo. El tiempo puede ser una variable continua o discreta. Sistema de ecuaciones en diferencias no lineal: Es un sistema de la forma: xn+1 = f (xn , yn ) yn+1 = g(xn , yn )

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donde f, g son funciones no lineales. Sistema lineal de ecuaciones diferenciales: Es un sistema de la forma dx = Ax dt donde x ∈ Rn , A es una matriz n x n y  dx1  dt

dx2  dx   dt  = .  dt  ..  dxn dt

Este sistema con la condici´on inicial x(0) = x0 tiene por soluci´on: x(t) = x0 eAt donde eAt =

∞ X Ak t k k=0

Sistema aut´ onomo de ecuaciones diferenciales: En ´este caso el sistema es dx = f (x) dt donde f : E ⊂ Rn −→ Rn y f no depende de t. Sistema no aut´ onomo de ecuaciones diferenciales: Sistema de la forma dx = f (x, t) dt Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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donde f : E ⊂ Rn −→ Rn y f puede depender de la variable independiente t. Sistema matricial: El sistema lineal cl´asico de m ecuaciones y n inc´ognitas

a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1

(15)

a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2

(16)

a31 x1 + a32 x2 + · · · + a3n xn = b3

(17)

−−−−−−−−−−−−−

(18)

am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm

(19)

se puede escribir en forma compacta como Ax = b donde A = (aij ) ∈ Mnxn es la matriz de coeficientes del sistema. x = (x1 , x2 , ..., xn )T es el vector de incógnitas. b = (b1 , b2 , ..., bm )T es el vector de términos independientes. Un sistema matricial Ax = b se denomina homogéneo, cuando b = 0 incompatible, cuando no tiene ninguna solución compatible determinado, cuando tiene una u ńica solución Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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compatible indeterminado, cuando tiene más de una solución Sistem´ atica: Es la clasificación de los organismos en un grupo jerárquico de categor´ıas (taxón) que enfatiza sus interrelaciones evolutivas. Sobrevivencia: Ver supervivencia. Sociobiolog´ıa: Estudio de las bases biológicas del comportamiento social. Sucesi´ on: Sea (X, d) un espacio métrico. Una sucesión en (X, d) es una función de N en X. Sucesi´ on de Fibonacci {an }: Está definida por a1 = a2 = 1, an = an−1 + an−2 Esta sucesión fué descubierta por Fibonacci (1175 - 1250 apróx.) en relación con un problema de conejos. Sucesi´ on (natural o ecol´ ogica): Es la renovación de las poblaciones en un h´ abitat a través de una progresión regular hacia un estado estable. Es el cambio gradual o algunas veces rápido en las especies que ocupan un área dada, con algunas especies que invaden y llegan a ser más numerosas mientras otras declinan en población y desaparecen. Sucesión causada por un cambio en uno o más factores abióticos o bióticos que benefician a algunas especies pero que lo hacen a expensas de otras.

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Sucesi´ on primaria: Es la estabilización gradual a través de una serie de estados de un ecosistema maduro en un área que no ha sido antes ocupada. Sucesi´ on secundaria: Es el reestablecimiento a través de una serie de estados de un ecosistema maduro en un área desde la cual fue previamente limpiada. Superparasitismo: Ocurrencia de más de un individuo de una especie Parasitoide en particular por huésped. Supervivencia: Proporción de individuos recién nacidos en edad. También llamada sobrevivencia. Proporción de individuos en un grupo espec´ıfico al inicio de un intervalo que sobrevive hasta el final del periodo. Susceptibilidad: Capacidad de un organismo de responder a un est´ımulo. Irritabilidad, Sensibilidad. Susceptible: Personas que pueden adquirir la enfermedad.

T Tabla de vida din´ amica: Sobrevivencia y fecundidad espec´ıfica por edad de una cohorte de individuos en una población seguida entre el nacimiento y la muerte del u ´ltimo individuo. Comparar con, Tabla de vida de la cohorte. Tama˜ no de la poblaci´ on efectiva: El tama˜ no promedio de una población expresado en términos del n´ umero de Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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individuos asumidos para proporcionar genes de igual forma a la siguiente generación, generalmente más peque˜ no que el tama˜ no actual de la población, dependiendo de la variación en el éxito reproductivo entre individuos. Es un compendio por edad de la sobrevivencia y fecundidad de los individuos en una población. Tabulación que presenta datos completos sobre el registro de mortalidad en una población. Tabla de vida espec´ıfica del tiempo: Ver tabla de vida estática. Tabla de vida est´ atica: Es la supervivencia espec´ıfica de la edad y fecundidad de los individuos de diferentes edades dentro de una población en un tiempo dado. Tabla de vida de tiempo espec´ıfico. Tasa de contacto: Es el promedio de contactos efectivos por unidad de tiempo. Tasa de incremento exponencial: Tasa a la cual una población crece en un periodo particular expresado en un incremento proporcional por unidad de tiempo. Tasa de incremento geom´ etrico: Factor por el cual el tama˜ no de una población cambiar en un periodo de tiempo espec´ıfico. Comparar con Tasa de crecimiento exponencial. Tasa de incremento intr´ınseco: Tasa de crecimiento exponencial de una población con una distribución de edad estable bajo condiciones constantes.

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Tasa de incremento geom´ etrico: Factor por el cual el tama˜ no de una población cambia en un periodo espec´ıfico de tiempo. Comparar con Tasa de incremento exponencial. Tasa de muerte: Porcentage de nuevos nacidos que mueren durante un intervalo de tiempo. Comparar con Mortalidad. Tasa de nacimiento: N´ umero promedio de nacimientos que un individuo produce por unidad de tiempo, a menudo expresado como una función de la edad. Tasa neta de muerte: Nmero ´ de muertes por cada mil individuos por a˜ no. Tasa neta de nacimiento: N´ umero de nacimientos por cada mil individuos por a˜ no. Tasa per capita de crecimiento de poblaci´ on: Tasa de crecimiento de población por individuo, usada por especies que se traslapan, lo que es propio de generaciones no discretas. Tasa reproductiva: Tasa a la cual la descendencia, huevos o semillas se produce. Tasa reproductiva neta: Es el n´ umero esperado de progenie de una hembra durante su tiempo de vida. Temperatura cr´ıtica baja: Temperatura ambiente bajo

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la cual los animales de sangre caliente deben generar calor para mantener su temperatura corporal. Teor´ıa: Formulación conceptual que proporciona una explicación racional o sistema para observaciones relacionadas por n´ umeros. Teor´ıa de juegos: Análisis de los resultados de las interacciones sociales entre individuos con diferentes programas de comportamiento. Tiempo de generaci´ on: Edad promedio a la que una hembra concibe a su progenie o el tiempo promedio para que una población se incremente a causa de un factor igual a la tasa reproductiva neta. Tiempo entre el nacimiento de un padre y el nacimiento de su descendencia. Tiempo de residencia: Es la relación del tama˜ no de un compartimento con el flujo a través de él expresado en unidades de tiempo. En tanto, es el tiempo promedio de gasto de energ´ıa o de una sustancia en el compartimento. Tiempo de retardo: Es el retardo en la respuesta de una población u otro sistema a las condiciones del medio ambiente. Retrazo en responder a un cambio. Tiempo de tr´ ansito: Es el tiempo promedio que una sustancia o energ´ıa permanece en el dominio biológico o en cualquier compartimento de un sistema. Relación de la biomasa con la productividad.

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Tolerancia: En referencia a sucesión ecológica, es la indiferencia al establecimiento de una especie ante la presencia de otra. Transmisi´ on directa: Es la transferencia directa e inmediata del agente infeccioso a una puerta de entrada receptiva para que pueda llevar a cabo la infección del hombre. Esto puede ocurrir al besar, al tener relaciones sexuales, por rociado de goticas en las conjutivas o en las membranas mucosas de la nariz o la boca, al estornudar, cantar, hablar, mediante mordeduras etc. Transmisi´ on horizontal: La enfermedad se contagia de un infeccioso a un susceptible en forma directa. Se realiza entre individuos de una misma o diferentes especies relacionada o no. Transmisi´ on indirecta: Ocurre cuando intervienen en ella objetos o veh´ıculos que act´ uan mecánicamente transportando el agente a través del aire o por medio de un vector. Por medio de objetos inanimados como pa˜ nuelos, vestidos, ropa de cama, instrumentos quir´ urgicos mal esterilizados, vendajes, juguetes, alimentos, agua, productos biológicos, etc. Transmisi´ on vertical: Se realiza entre el individuo y su progenie bien sea durante la etapa de la vida intrauterina o en la vida perinatal. Y puede ocurrir: Cuando el virus integrado al cromosoma de las células de uno de los dos padres (células germinales) es transmitido a la descendencia Cuando el virus infecta al feto a través de la sangre Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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materna y placenta Durante el nacimiento, o en la vida intrauterina temprana Transporte activo: Movimiento de iones o de otras substancias a travs de una membrana y en contra de un gradiente de concentracin para lo que se requiere de un gasto energético. Trayectoria de la poblaci´ on: Es la suma de los vectores de dos poblaciones en un gráfico retratando la abundancia de una de ellas como una función de la abundancia de la otra. Es una representación de los cambios simultáneos en los tama˜ nos de dos poblaciones que usualmente interact´ uan entre s´ı. Traza de A(ˆ x, yˆ): Sea la matriz jacobiana evaluada en (ˆ x, yˆ): a11 a12 fx (ˆ x, yˆ) fy (ˆ x, yˆ) A(ˆ x, yˆ) = = a21 a22 gx (ˆ x, yˆ) gy (ˆ x, yˆ) Se define la traza de A(ˆ x, yˆ) asi: T r.A(ˆ x, yˆ) = a11 + a22 = fx (ˆ x, yˆ) + gy (ˆ x, yˆ) Tr´ ofico: Perteneciente a alimentación o nutrición.

U Umbral biol´ ogico: Indices que indican el cambio de comportamiento dinámico de un fenómeno biológico o epidemiológico. Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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V Vacuna: Producto biológico utilizado para obtener inmunización activa artificial contra una enfermedad espec´ıfica. Suero que se inocula e inmuniza. Sustancia orgánica o virus convenientemente preparado que, aplicado al organismo, hace que este reaccione contra él preservándolo de sucesivos contagios. Valor fenot´ıpico: Es la medida de un rasgo fenot´ıpico particular en un organismo particular. Valor Propio: Una de las ra´ıces n de n ecuaciones lineales simultáneas. El primer valor propio de la matriz de población es la tasa exponencial del crecimiento de población. Variable aleatoria (v.a.): Se dice que la función X : Ω −→ R es una variable aleatoria (v.a) si la probabilidad de realización de sus posibles valores puede establecerse con ayuda de los resultados de la experiencia aleatoria en estudio cuyo espacio muestral es Ω. Se trata, en definitiva, de una función que asigna un valor numérico a cada uno de los resultados de una experiencia aleatoria. Varianza de dominancia: Variación en un valor fenot´ıpico dentro de una población debido a la expresión desigual de alelos en el estado heterocigoto. Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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Varianza fenot´ıpica: Es una medida estad´ıstica de la variación en una medida de estructura o función (valor fenot´ıpico) entre individuos en una población. Varianza gen´ etica: Es la variación en el valor de un genotipo en una población debido a la expresión de factores genéticos. Varianza gen´ etica aditiva (VA ): Variación en un valor fenot´ıpico dentro de una población debido a la diferencia en expresión de alelos en el estado homocigote. Varianza muestral s2x¯ : Variabilidad (dispersión) de los datos muestrales, se calcula mediante la expresión, Pn (xi − x ¯)2 2 sx¯ = i=1 n−1 donde x ¯ : es el promedio (media aritmética) muestral. n : n´ umero de unidades de muestreo. xi : n´ umero de individuos por cada unidad de muestreo. Vector: Portador del agente patógeno que pertenece a otra población (insectos, ratas, etc.). Organismo que porta y transmite un agente patógeno. Vector propio: Columna de elementos matemáticos que proporciona una solución a una matriz de multiplicación. En Biolog´ıa de poblaciones, el primer vector propio de la matriz de población es la distribución de edad estable.

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Virus: Microorganismo generalmente patógeno, que sólo puede vivir en el interior de una célula viva, y que u ńicamente es visible con el microscopio electrónico. Los virus son agentes causantes de diversas enfermedades (rubeóla, herpes, sarampión, hepatitis, etc) y más resistentes a los tratamientos que las bacterias. VIH: El virus de la inmunodeficiencia humana (VIH) causa el SIDA. Este virus ataca al sistema inmunitario y deja al organismo vulnerable a una gran variedad de infecciones y cánceres potencialmente mortales. Las bacterias comunes, los hongos levaduriformes, los parásitos y los virus que generalmente no provocan enfermedades serias en personas con un sistema inmunitario que funciona normalmente pueden provocar enfermedades mortales en las personas con SIDA. Se ha encontrado el VIH en saliva, lágrimas, tejido del sistema nervioso, l´ıquido cefalorraqu´ıdeo, sangre, semen (incluido el l´ıquido preseminal), flujo vaginal y leche materna. Sin embargo, sólo a través de la sangre, el semen, las secreciones vaginales y la leche materna se presenta el contagio con otras personas. La transmisión del virus ocurre a través del contacto sexual, ya sea oral, vaginal o anal. Por v´ıa sangu´ınea, mediante transfusiones (en la actualidad muy poco com´ un) o al compartir agujas. De la madre al ni˜ no. Una mujer embarazada puede transmitir el virus a su feto a través del hecho de compartir la circulación de la sangre o una madre lactante puede transmitirlo a su bebé por la leche. Hay otros métodos de transmisión poco comunes como una lesión accidental con

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Figura 33: Virus de Inmunodeficiencia Humana (VIH). una aguja, inseminación artificial por un semen donado y a través de trasplantes de órganos. La infección por VIH no se propaga por contacto casual como un abrazo, por tocar cosas que han sido tocadas con anterioridad por una persona infectada con el virus, ni durante la participación en deportes ni por mosquitos. No se transmite a las personas que DONAN sangre u órganos. Las personas que donan órganos no entran en contacto directo con los que la reciben. De la misma manera, alguien que dona sangre no tiene contacto con el que la recibe. En todos estos procedimientos se utilizan agujas e instrumentos estériles. Sin embargo, el VIH se puede transmitir a la persona que recibe sangre u órganos de un donante infectado. Es por esto que los bancos de sangre y Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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los programas de donación de órganos hacen exámenes minuciosos a los donantes, la sangre y los tejidos. Viscosidad: Cualidad de un flu´ıdo que resiste el flujo interno.

W Wolfram: Nombre del volframio en la nomenclatura internacional.

X Xer´ ofilo-la: Se aplica a las plantas que se adaptan a la vida en un medio seco. Xerosis: Estado de sequedad de un ´organo o estructura corporal. Xilologia: Ciencia que estudia las propiedades f´ısicas y qu´ımicas de la madera.

y Diccionario Cient´ıfico de Biomatem´ aticas

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Yb: En la qu´ıimica es el simbolo del iterbio. Yedra: Hiedra, planta. Yodato: Sal del ´acido y´odico.

Z Zigoto: Cigoto, huevo fecundado. Zoolog´ıa: Parte de la biolog´ıa que estudia los animales. Zoometr´ıa: Estudio de las dimensiones de los animales. Zoonosis: Designación genérica de cualquier enfermedad infecciosa que los animales, especialmente los domésticos, pueden transmitir al hombre.

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