Historia de las matematicas

Historia de las Matemáticas. Desde la Prehistoria hasta la Edad Media Alfredo Caicedo B. Jorge Hernán Aristizábal Z. Jorge Mario García U. Diciembre de 2011

1 Historia de las Matemáticas Desde la Prehistoria hasta la Edad Media

Autores: Msc. Alfredo Caicedo Barrero.

Profesor Universidad del Quindío.

Msc. Jorge Hernán Aristizábal Zapata.

Profesor Universidad del Quindío.

Msc. Jorge Mario Garcia Usuga.

Profesor Universidad del Quindío ISBN: 978-958-57263-6-9

Diagramación en LATEX. Diseño Carátula: Jorge Hernán Aristizábal Z. ©Derechos reservados Reproducido y editado por Ediciones Elizcom Primera edición, diciembre del 2011 200 ejemplares www.elizcom.com ventas@elizcom.com Cel: 3113349748 Fax (6) 7493244 Armenia, Quindío Colombia

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PRÓLOGO

Es conocido por todos nosotros que la “Historiografía” o la historia como ciencia, no tiene como objetivo fundamental presentar un inventario de hechos pasados, si no obtener conclusiones de esos hechos para que los sucesos y enseñanzas del pasado nos sean útiles y nos ayuden a remodelar el presente y construir el futuro.

Es por ello que en este ensayo monográfico de la “Historia de las Matemáticas” se pretende relacionar aquellos aspectos matemáticos que más han contribuido a la formación de la matemática actual, ubicándolos en la época y en el contexto histórico donde se originaron y teniendo en cuenta que todo conocimiento o idea se gestó y fue influenciada por una situación histórica concreta, que no podemos dejar de referenciar, pues el tipo de matemático creado y sus métodos eran distintos en diversas culturas y ambientes sociales. Veremos que en Mesopotamia y antiguo Egipto la matemática era para suplir algunas necesidades básicas, empírica y aplicada mediante recetas; en el período Jónico griego la matemática se transforma en ciencia; se hizo matemática por gusto sin necesidad de buscarle alguna aplicación práctica inmediata; en la sociedad feudal de la edad media la matemática se convierte en instrumento de la teología, lo que frena, en parte, un desarrollo y creatividad. Los temas tratados aquí solo comprenden la época desde la prehistoria hasta la edad media y aunque no son exhaustivo, si hemos pretendido que cubran el máximo posible de las temáticas más importantes de los hechos que tuvieron origen en la época mencionada y que fueron el génesis del desarrollo de las matemáticas que se crearon a partir del “Renacimiento” Europeo, las cuales posteriormente condujeron a fundamentar la matemática moderna a partir del siglo XVI. Queremos que el lector comprenda que las matemáticas se fueron formando gracias a la acumulación de conocimientos de muchas culturas, de épocas muy diferentes y que hablaban distintas lenguas, pero gracias a la invensión de la escritura y posteriormente de la imprenta se pudo crear este gran edificio científico que llamamos “matemáticas” y que hoy en día consideramos como el lenguaje universal, mediante el cual se ha podido interpretar la naturaleza, con todos sus infinitos fenómenos que nos presenta.

Aquí debemos recordar la famosa frase de Galileo: “El libro de la naturaleza está escrito 3

4 en el lenguaje de las matemáticas”.

En conclusión, la historia de las matemáticas nos revela la estrecha relación de las matemáticas con las demás ciencias, y que el progreso de las sociedades ha estado de la mano del progreso de las matemáticas. La sociedad actual no podría funcionar plenamente sin las matemáticas; a diario la sociedad esta haciendo uso de matemáticas que se crearon hace miles de años o muy pocos años.

Debemos ser concientes que el estudio del desarrollo histórico de las matemáticas nos induce a tener una vision más clara de su dinamismo y evolución; nos lleva a descubrir los porqué y los cómo lógicos e históricos que dieron origen a los conceptos matemáticos y que ninguna disciplina perderia más que las matemáticas, si no tuviera en cuenta su historia, se perderia su objetividad y como lo dice Wilder1 “El matemático que ignora las fuerzas de evolución que han formado su pensamiento pierde un perspectiva de gran valor”.

Este texto, presentado en dos tomos, es una herramienta para el espacio académico de Historia de la Matemáticas. En él, encontrará los temas siguiendo un orden cronológico y teniendo en cuenta la importancia de los desarrollos matemáticos. Los temas presentan mapas y en algunos casos gráficas que ilustran las situaciones, así como fotografías, las cuales fueron tomadas de algunas paginas web referenciadas en el texto.

1 Raymond L. Wilder “Evolution of mathematical concepts an elementory study” New York, Wiley.

1968

ÍNDICE GENERAL

1. La Matemática en la Prehistoria 1.1. Los primeros símbolos . . . . . . . . . . . .

1.2. ¿Cuándo las marcas o muescas se convierten 1.3. El conteo en el hombre primitivo . . . . . .

1.4. Origen de los sistemas de numeración . . .

. . . . . . . . . en numerales? . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Matemáticas Precolombinas 2.1. La Matemática Chibcha . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.1. El sistema de numeración Chibcha . . . . . . . .

2.2. Los incas y su sistema decimal . . . . . . . . . . . . . .

2.2.1. El Quipu como medio de almacenar información.

2.2.2. La representación de los números en el quipu . .

2.2.3. Suma Inca en la Yupana . . . . . . . . . . . . . .

2.2.4. La Multiplicación Inca en la Yupana . . . . . . .

2.2.5. El Chimpú . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3. El sistema Maya de numeración . . . . . . . . . . . . . .

2.3.1. Sistema posicional de base 20 . . . . . . . . . . .

2.3.2. El Cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.3. El Tablero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.4. Operaciones Aritméticas . . . . . . . . . . . . . .

2.3.4.1. La suma . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.4.2. La resta . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. La Matemática en la Civilización Babilónica 3.1. Origen en la Civilización Babilónica . . . . .

3.2. La Escritura de los Babilonios . . . . . . . . .

3.3. La Nomenclatura Matemática . . . . . . . . .

3.3.1. Números Babilónicos para los números 3.3.2. Aritmética Babilónica . . . . . . . . .

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1 al 59 . . . . .

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33 34 34 35 37 37

ÍNDICE GENERAL 3.3.2.1.

3.3.2.2.

3.3.2.3.

3.3.2.4.

3.3.2.5.

3.3.2.6.

3.3.2.7.

6 La sustracción . .

La multiplicación Las fracciones . .

La división . . . .

La raíz cuadrada La Geometría . .

El Álgebra . . . .

4. Matemática Egipcia 4.1. Origenes . . . . . . . . . . . .

4.2. La escritura Egipcia . . . . .

4.3. Sistema de numeración . . . .

4.4. Aritmética Egipcia . . . . . .

4.4.1. Las fracciones . . . . .

4.4.2. La suma y resta . . .

4.4.3. La multiplicación . . .

4.4.4. La división . . . . . .

4.5. La geometría Egipcia . . . . .

4.5.1. El triángulo . . . . . .

4.5.2. Cálculo de superficies 4.5.3. El círculo . . . . . . .

4.5.4. Volúmenes . . . . . .

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73 74 74 75 77 78 78 79 79 81 88 89 89 91 91 128 129 130 134 135 137 141 143 143

5. Matemáticas de la antigua Grecia 5.1. Sistemas de numeración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.1.1. Sistema Atico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.1.2. El sistema Jónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2. Períodos de la matemática griega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2.1. Período Jónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2.1.1. Tales de Mileto (ca. 624 a.C. 548 a.C) . . . . . . . .

5.2.1.2. Demócrito de Abdera (ca. 460a.C. 370 a.C) . . . . .

5.2.1.3. Hipócrates de Quíos (ca. 470 a.C. 410 a.C) . . . . .

5.2.1.4. Pitágoras de Samos (585 − 500 a.C) . . . . . . . . .

5.2.1.5. Arquitas de Tarento (c.a 430 - 360 a.C) . . . . . . .

5.2.2. Período Ateniense (Siglos V y IV a.C) . . . . . . . . . . . . .

5.2.2.1. Platón (428 a 347 a.C) . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2.3. Período Helenístico (Periódo Alejandrino) . . . . . . . . . . .

5.2.3.1. Euclídes de Alejandría (ca. 325 - ca. 265 a. C.). . .

5.2.3.2. Aristarco de Samos (310 - 230 a.C) . . . . . . . . .

5.2.3.3. Heratóstenes o Eratóstenes (284 a.C. - 192 a.C) . .

5.2.3.4. Arquímedes (c.a 287 a.C a 212 a.C) . . . . . . . . .

5.2.3.5. Menelao de Alejandría (c.a 70 d.C - 140 d.C) . . . .

5.2.3.6. Herón de Alejandría (c.a 75 d.C - 150 d.C) . . . . .

5.2.3.7. Claudio Ptolomeo (c.a 85 d.C - 165 d.C) . . . . . .

5.2.3.8. Diofanto de Alejandría (c.a 214 d.C - 296 d.C) . . .

5.2.4. Período de la Decadencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2.4.1. Pappus (finales del siglo III y comienzos del siglo IV

ÍNDICE GENERAL

7

5.2.4.2. Los comentaristas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6. Matemática de la civilización Islámica 6.1. Primera etapa: La Casa de la Sabiduria (650 - 750 d.C) . . .

6.2. Segunda etapa: Fundamentación básica (Siglo VIII y IX d.C) 6.3. Tercera etapa: Matemática numérica (Siglos X, XI y XII) . .

6.4. Matemáticos Árabes más destacados . . . . . . . . . . . . . .

6.4.1. Al-Jwarizmi (780-850) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4.2. Tabit ibn Qurra (826 -901) . . . . . . . . . . . . . . .

6.4.3. Abu Kamil (c.a 850 - 930) . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4.4. Abu-l-wafá (940 - 998) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4.5. Al-Karhi (c.a 1020) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4.6. Umar Jayyám (c.a 1044 - 1123) . . . . . . . . . . . . .

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147 147 148 149 149 149 153 154 154 154 155

7. Matemática de la civilización China 7.1. Sistemas de numeración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.1.1. Tipos de dígitos en los diversos sistemas de numeración . . . . . .

7.1.2. Las varillas de contar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.1.2.1. Operaciones con las varillas de contar . . . . . . . . . . .

7.1.3. Las matemáticas chinas ántes de la dinastía Qín (221-206 a.C.) . .

7.1.3.1. El libro de las Artes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.1.3.2. El libro del maestro Mò. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.1.4. Las matemáticas chinas en la dinastía Hàn (206a.C. - 220d.C.) . .

7.1.4.1. El clásico de la aritmética del gnomon y los sendas circulares del cielo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.1.4.2. El arte matemático en nueve secciones . . . . . . . . . . .

7.1.5. Las matemáticas chinas en el período de las dinastías Sui y Táng (589-907) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2. Matemáticos Chinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2.1. Liú Hui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2.2. Z˘ u Chongzhio (o Qu Chon Shih )(430-501) . . . . . . . . . . . . .

7.2.3. Otros matemáticos chinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

158 159 159 160 161 162 162 163 163

8. Matemáticas en la India antigua 8.1. Origenes. . . . . . . . . . . . . .

8.2. Los Sulvasutras . . . . . . . . . .

8.3. Los Siddhantas . . . . . . . . . .

8.4. Matemáticos Hindues . . . . . .

8.4.1. Aryabhata (476 - 550) . .

8.4.2. Brahmagupta (siglo VII) .

8.4.3. Bhaskara II (siglo XII) . .

163 164 169 172 172 173 173

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9. Matemáticas en la Edad Media Europea 9.1. Matemáticos bizantinos . . . . . . . . . . . . .

9.1.1. Isidoro de Mileto . . . . . . . . . . . .

9.1.2. Antonio de Tralles (Antemio de Tralles) 9.1.3. Miguel Psellus (1018 - 1080) . . . . . . .

9.1.4. Jorge Paquimero (1242 - 1310) . . . . .

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ÍNDICE GENERAL 9.1.5. Máximo Planudes (1255 - 1305) . . . . . . . . .

9.2. Matemáticos en el Occidente de Europa . . . . . . . .

9.2.1. Boecio (480 - c.a 525) . . . . . . . . . . . . . .

9.2.2. Cassiodorus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.2.3. Isidoro de Sevilla (556 - 636) . . . . . . . . . .

9.2.4. Beda el Venerable (673 - 735) . . . . . . . . . .

9.2.5. Alcuino de York (735 - 804) . . . . . . . . . . .

9.3. Influencia de la Matemática Árabe . . . . . . . . . . .

9.3.1. Los traductores . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.3.1.1. Gerberto de Aurillac (945 - 1003) . .

9.3.1.2. Adelardus Bathensis (1075 - 1160) . .

9.3.1.3. Gerardo de Cremona (1114 - 1187) . .

9.3.1.4. Otros traductores . . . . . . . . . . .

9.3.1.5. Leonardo de Pisa (1170 - 1250) . . . .

9.3.1.6. La sucesión de Fibonacci . . . . . . .

9.3.1.7. Otras obras de Fibonacci . . . . . . .

9.4. La Escolástica y el surgimiento de las Universidades en 9.5. Matemáticos del final de la Edad media . . . . . . . .

9.5.1. Thomas Bradwardine (1290-1349) . . . . . . .

9.5.2. Roberto Grosseteste (1175 - 1253) . . . . . . .

9.5.3. Nicolás de Oresme (1323 - 1382) . . . . . . . .

9.5.4. Roger Bacon (1214 - 1294) . . . . . . . . . . .

9.5.5. John Buridan (1300 - 1358) . . . . . . . . . .

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Europa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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CAPÍTULO 1 LA MATEMÁTICA EN LA PREHISTORIA

9

1.1. LOS PRIMEROS SÍMBOLOS

1.1.

10

Los primeros símbolos

Las matemáticas empezaron con los números. La historia de la matemáticas comienza con la invención de símbolos escritos para denotar números.

Los números no son cosas pero cuentan cosas. Podemos escoger uno o dos objetos, pero no podemos coger el número uno o el número dos. Los números se denotan por símbolos pero en realidad no son símbolos, puesto que existen diversas formas de representar el mismo número. Los números son abstracciones (representaciones mentales), son una construcción mental y sin embargo estan presentes en todas las culturas. Sin números, la civilización tal como la conocemos no podría existir.

Aunque nuestros sistema de dígitos solo contiene los símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, con ellos se pueden representar todos los números que nos podamos imaginar.

La invención de los símbolos matemáticos posiblemente se inicia hace 37 mil años. Se encontró un hueso de babuino (mono) en una cueva de las montañas de Lebombo, en la frontera entre Swazilandia y Sudáfrica; este hueso contiene 29 muescas grabadas en forma vertical. No se conoce su significado exacto pero se cree que podría corresponder a un mes lunar (entre 27 y 28 días) de modo que es posible que las muescas esten relacionadas con las fases de la luna.

Otro hueso de lobo encontrado en Checoslovaquia tiene 57 marcas repartidas en grupos de cinco y dos marcas sueltas, se calcula que su edad es de 30 mil años y se ha interpretado que esta representando 2 meses lunares.

En Ishango Zaire (Africa) se descubrió otro hueso (figura 1.11 ) de aproximadamente 25 mil años que contiene una serie de muescas que pueden representar los números primos 11, 13, 17, 19 y cuya suma es 60.

Otra hilera de muescas contiene los números 9, 11, 19 y 21 que también suman 60. Una tercera fila de muescas se ha interpretado que representa un método para multiplicar dos números por duplicación y por división repetida por dos

Figura 1.1: Hueso de Ishango 1 IAN

STEWART, “Historia de las matemáticas”. Editorial Critica, Barcelona 2009

1.2. ¿CUÁNDO LAS MARCAS O MUESCAS SE CONVIERTEN EN NUMERALES? 11

1.2.

¿Cuándo las marcas o muescas se convierten en numerales?

La representación numérica empezó en el Oriente Próximo hace aproximadamente 10 mil años con pequeñas fichas de arcilla. En esta región se inició el conteo mediante fichas que tenian formas de conos, esferas, cilindros, discos y pirámides, según lo asegura la arqueóloga Denise Schhmandt-Besserat quien dedujo que estas fichas representaban productos básicos de la región. Transcurrido algún tiempo las fichas se fueron elaborando decoradas con diagramas para representar los diversos productos y valores. Esto dió origen a un primer paso hacia los símbolos numerales y a la aritmética. Las fichas se almacenaban en jarrones de arcilla y tapadas con bloques de arcilla, pero esto tuvo el inconveniente que para saber qué contenía el jarrón habia que romper el tapón de arcilla o quebrar el jarrón. Para evitar este inconveniente después de mucho tiempo se idearon elaborar los jarrones con los símbolos grabados en su superficie y así tener información de lo que contenían. Después se evitaron tener que guardar las fichas en jarrones y vieron que era más conveniente elaborar tablillas de arcilla en la que se marcaban las figuras correspondientes; esto dió origen a un simbolismo escrito en tablillas de barro en la cual se registraban símbolos numerales para diversas clases de bienes, llegandose así al nacimiento de la propia escritura.

Las fichas más antiguas (figura1.22 ) datan del 8000 a.C y fueron de uso común durante 5000 años.

La extensión de los numerales a los “decimales”, que permite representar cualquier número con alta presición, no tiene más de 450 años.

Figura 1.2: Fichas para contar en la prehistoria

1.3.

El conteo en el hombre primitivo

El hombre de Neandertal comenzó a pensar hacia el año 40 mil antes de Cristo.

Adquiere conciencia del medio en que vive e idea estrategias para procurar su supervivencia. Dos elementos matemáticos surgen en esta sociedad primitiva: 1. Un lenguaje articulado en el que ya aparecen sonidos o rudimentos de un sistema de números.

2. Utencilios decorados y construcciones en los que intervienen relaciones espaciales.

El hombre primitivo poseía una cierta idea del concepto de número. Antes de que existiera un lenguaje, él podia observar la naturaleza y establecer fenómenos cuantitativos, por 2 Clawson,

Clavin C., Misterios Matemáticos, Magia y belleza de los números, pág 17

1.3. EL CONTEO EN EL HOMBRE PRIMITIVO

12

ejemplo distinguir entre un árbol y un bosque, un lobo y una manada de lobos; así llegó a establecer la distinción entre unidad y pluralidad. Estableció la noción de par: dos pies, dos manos, dos ojos, etc.

La primera etapa en el camino hacia el concepto de número fue el reconocimiento de diferencias sustanciales como “mucho y poco”, “grande y pequeño”, “lo uno y lo multiple”.

Establece gradualmente la idea de comparación y es capaz de asociar cada objeto observado con un signo o símbolo o cosa que le sea familiar, puede asi utilizar la correspondencia biunivoca para asociar a una colección de objetos observados con un grupo de signos o un grupo de fichas.

La enumeración de un grupo de objetos observados conduce a la numeración con la aparición de un lenguaje articulado, escrito y hablado.

La numeración presenta variaciones debido a tres factores importantes: 1. El lenguaje de la tribu determina las palabras de caracter numérico.

2. El medio en el que la tribu evoluciona determina el tipo de individuo y la necesidad de contar o de llevar registros numéricos.

3. El hombre primitivo piensa en un número cuándo persive bien las siguientes relaciones: La naturaleza de los objetos que se van a contar no desempeñan ningún papel en la numeración.

El orden en que los objetos son observados no influye en el resultado del conteo (en el número cardinal).

El último objeto contado corresponde al número cardinal de la colección.

El paso más dificil para el primitivo posiblemente fue el de reconocer al último elemento contado como el que expresa “cuántos elementos contiene el conjunto que se va a contar”.

Esto dió origen a la noción de agrupamiento (base) que permite que agrupando elementos por conjuntos se pueda aumentar considerablemente el número de objetos contados.

Los signos para representar los números precedieron cronologicamente a las palabras; el agrupamiento de los signos (rayas verticales, gijarros, dedos de la mano, fichas, etc.) influenció en forma directa en la base del sistema de numeración adoptado.

Las tribus más primitivas utilizaron el agrupamiento de 2 en 2, después de 4 en 4, de 6 en 6, etc. Un sistema muy natural correspondió a los dedos de la mano y se llegó asi a agrupamientos de 5 en 5, de 10 en 10 y de 20 en 20.

Cuándo ya se ha adquirido la noción de agrupamiento es natural que el primitivo asigne un simbolismo especial al agrupamiento utilizado, lo cual conlleva a que se haya establecido una base y por lo tanto un sistema de numeración. Los aztecas contaban en base 5, los egipcios en base 10, los babilonios en base 60, los celtas en base 20, los grusinios

1.4. ORIGEN DE LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN

13

(Georgia) en base 20.

Al principio las palabras utilizadas para designar los números dependian de los objetos numerados. Los habitantes de las islas Fiji, dicen “bole” para expresar 10 tarros, “caro” para expresar 10 cocos. La distinción entre las palabras que designan los números y los conjuntos particulares numerados se produjo merced a un lento proceso.

La capacidad de representar números y operaciones mediante signos gráficos es a veces de gran complejidad como se evidencia en el objeto encontrado en la isla de Sicilia, en costa sarracena (tramo costero situado entre Catania y Siracusa) ver figura 1.33

Figura 1.3: Calannariu de Sicilia

Se trata de un registro de una asociación entre pastores analfabetos que, mediante muescas sobre bastones, establecian el número de cabezas de ganado con el que participaban en la sociedad, contabilizaban el número de nuevos nacimientos, la producción de derivados lácteos, etc. Recibia el nombre de calannarius (calendario) y se estipulaba cada año, a finales de agosto: tenía una validez de doce meses, del 1 de septiembre al 31 de agosto del año siguiente, Cuando se aproximaba la fecha de terminación de un contrato, los pastores interesados se reunian, llamaba a un Littiratu (persona que supiera leer y escribir) para que escribiera en los bastones el nombre de los socios y los tipos de ovinos (cabras u ovejas); luego marcaban la madera con una navaja.

Como puede verse en este objeto, la correspondencia entre signos y cosas ha alcanzado un notable nivel de elaboración por parte de las personas que no saben leer ni escribir, pero sí saben hacer cuentas de forma intuitiva. Aunque, es relativamente reciente, podemos decir que objetos de este tipo constituyen los orígenes del pensamiento matemático y lógico.

1.4.

Origen de los sistemas de numeración

Los sistemas de numeración tuvieron su origen posiblemente de dos formas diferentes: Prolongación del agrupamiento unidad por unidad.

Utilización del principio de repetición del agrupamiento establecido 3 Agostini,

Franco., Juegos de Lógica y Matemática

1.4. ORIGEN DE LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN

14

En el primer caso se puede pensar que el hombre primitivo utiliza los dedos de una mano y continua con los dedos de la otra mano y posiblemente hará una extensión para utilizar los dedos de los pies. En cuánto al lenguaje escrito puede ocurrir que se haga extensión de una palabra o creación de nuevas palabras para llevar a cabo el conteo.

En el segundo caso se han encontrado ejemplos4 como el de los pigmeos de Africa que trabajando en base 3 introducen un sistema repetitivo en su vocabulario para establecer el conteo como se muestra a continuación: 1 ←→ a 2 ←→ oa 3 ←→ ua 4 ←→ oa − oa (repetición del 2) 5 ←→ oa − ua (2+3) 6 ←→ ua − ua (3+3) 7 ←→ ua − oa − oa (3+4) Este sistema es aditivo no posicional pero su principal desventaja es que utiliza una gran cantidad de sonidos o símbolos para representar números grandes.

Ya en épocas posteriores a la prehistoria se tiene la aparición de un tercer método basado en el principio de la posición; cualquier símbolo posee un valor de acuerdo a la posición que ocupa en la serie de caracteres que representa el número. Este sistema ha sido llamado el sistema posicional y un ejemplo de él es nuestro sistema decimal.

Muchos historiadores establecen que en la epoca prehistórica los sistemas de numeración no pasaron de un tipo aditivo no posicional puesto que la adición se establece con muy pocos símbolos y los números empleados se escriben casi siempre como la suma de dos números de valor inferior al representado, por ejemplo el número siete se podria escribir como: 1 + 6, 2 + 5, 4 + 3, etc.

La sustracción se originó mediante el concepto de quitar de a una unidad al elemento al cual se va a restar, ejemplo 7 − 3 se haría en la siguiente forma: 7 − 1 = 6, =⇒ 6 − 1 = 5, =⇒ 5 − 1 = 4.

La resta que produce cero se descartaba puesto que para el primitivo la cantidad vacio no simbolizaba nada y el cero no se había inventado, lo mismo se podría decir de las cantidades negativas la cuales no eran concebidas por la mente del primitivo.

4 Jean

- Paul Collette “Historia de las matemáticas vol. 1”. siglo XXI, 1986

1.4. ORIGEN DE LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN

15

La multiplicación se introdujo en algunos pueblos primitivos por medio del desdoblamiento. Ejemplo 10 = 2 × 5 = 2 × (2 + 2 + 1)=2 + 2 + 2 + 2 + 2.

La división y las fracciones solo aparecen en civilizaciones más avanzadas como la sumeria, egipcia e hindú.

La geometría aparece en los pueblos primitivos en el momento de la elaboración y ornamentación de vasijas de barro, cestos y demás utensilios de uso común, en los cuales se han encontrado ejemplos de semejanza y simetría en figuras geométricas y antropomórficas. En las cavernas también se ha hecho presente la geometría mediante las figuras rupestres de diferente simbolismo.

1.4. ORIGEN DE LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN

16

CAPÍTULO 2 MATEMÁTICAS PRECOLOMBINAS

17

2.1. LA MATEMÁTICA CHIBCHA

2.1.

18

La Matemática Chibcha

La cultura de los chibchas es señalada como la civilización indígena más avanzada que poblaba en el actual territorio de Colombia antes del descubrimiento de América.

2.1.1.

El sistema de numeración Chibcha

Lo poco que se conoce de la Aritmética que empleaban los chibchas, lo debemos a la información dejada por el clérigo santafereño José Domingo Duquesne (1748-1822) que gracias al contacto estrecho con sus feligreses recogió datos muy valiosos referente a la historia y a las prácticas de conteo ya casi extinguidas en su tiempo, que poseían los antiguos pobladores de la Sabana de Bogotá.

Humbolt en su memoria sobre los “Monumentos de los Indios Muiscas” dice, los números en lengua chibcha son: 1 2 3 4 5

ata bozha ó bosa mica mhuyca ó muyhica hicsca o hisca

6 ta 7 ghuppa o cuhupqa 8 shusha ó suhuza 9 aca 10 hubchibica ó ubchihica

Los muiscas al pasar de estas cifras añadían a cada una de ellas la voz quihicha o chicha que significa pie. Diciendo 11, 12, 13 pie uno, pie dos, pie tres o sea quihicha ata, quihicha bosa, quihicha mica, etc.

Expresiones sencillas que vienen a mostrarnos el método de contar por los dedos de los pies cuando se acabaron los de las manos.

También juega gran papel el 20 en la numeración americana, cifra que componen los dedos de todas las extremidades. En lengua chibcha 20 es: pie-diez o quihicha ubchihica o también gueta que se deriva de gue = casa, 21 es: 20+1 o sea guetas asaqui1 ata, 22 =20+2= guetas asaqui bosa, 23 =20+3= guetas asaqui mica, etc. 30=20+10= guetas asaqui ubchihica, 40=20+20= gueta asaqui gueta = 2(20) = gue-bosa, 60=3(20) = guemica, 80=4(20)= gue-muyhica, 100 =5(20)= gue-hisca.

1 La

palabra asaqui se usaba para simbolizar “+”

2.1. LA MATEMÁTICA CHIBCHA

19

Los números del 1 al 100 en lengua chibcha son: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Ata Bozha o bosa Mica Mhuyca o muyhica Hisca o hicsca Ta Ghuppa o cuhupqa Shusha o suhusa Aca Hubchibica o ubchihica Quihicha ata (P ie − uno) Quihicha bosa (P ie − uno) Quihicha mica Quihicha mhuyca Quihicha hisca Quihicha ta Quihicha ghuppa Quihicha shusha Quihicha aca Quihicha ubchihica (gueta o gue) Gueta asaqui ata (20 + 1) Gueta asaqui bosa Gueta asaqui mica Gueta asaqui mhuyca Gueta asaqui hisca Gueta asaqui ta Gueta asaqui ghuppa Gueta asaqui shusha Gueta asaqui aca Gueta asaqui ubchihica Gueta asaqui ubchihica ata Gueta asaqui ubchihica bosa Gueta asaqui ubchihica mica Gueta asaqui ubchihica mhuyca Gueta asaqui ubchihica hisca Gueta asaqui ubchihica ta Gueta asaqui ubchihica ghuppa Gueta asaqui ubchihica shusha Gueta asaqui ubchihica aca Gue bosa (20 × 2)

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

Gue Gue Gue Gue Gue Gue Gue Gue Gue Gue Gue Gue Gue Gue Gue Gue Gue Gue Gue Gue

bosa ata (20 × 2, 1) bosa bosa (20 × 2, 2) bosa mica bosa mhuyca bosa hisca bosa ta bosa guppa bosa shusha bosa aca bosa ubchihica (40, 10) bosa quihicha ata bosa quihicha bosa bosa quihicha mica bosa quihicha muyhica bosa quihicha hicsca bosa quihicha ta bosa quihicha ghuppa bosa quihicha shusha bosa quihicha aca mica (20, 3)

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

Gue Gue Gue Gue Gue Gue Gue Gue Gue Gue Gue Gue Gue Gue Gue Gue Gue Gue Gue Gue

mica ata (20, 3, 1) mica bosa mica mica mica mhuyca mica hisca mica ta mica ghuppa mica shusha mica aca mica quihicha (20, 3, 10) mica quihicha ata (20,3,11) mica quihicha bosa mica quihicha mica mica quihicha mhuyca mica quihicha hisca mica quihicha ta mica quihicha ghuppa mica quihicha shusha mica quihicha aca mhuyca

2.1. LA MATEMÁTICA CHIBCHA

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

Gue Gue Gue Gue Gue Gue Gue Gue Gue Gue

mhuyca mhuyca mhuyca mhuyca mhuyca mhuyca mhuyca mhuyca mhuyca mhuyca

ata bosa mica mhuyca hisca ta ghuppa shusha aca quihicha

20

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Gue Gue Gue Gue Gue Gue Gue Gue Gue Gue

mhuyca quihicha mhuyca quihicha mhuyca quihicha mhuyca quihicha mhuyca quihicha mhuyca quihicha mhuyca quihicha mhuyca quihicha mhuyca quihicha hisca (20 × 5)

ata bosa mica mhuyca hisca ta guppa shusha aca

Este sistema que era por lo visto una superposición del sistema decimal y del vigesimal, es similar a otros sistemas utilizados en América. De paso es bueno anotar que las superposiciones de diversos sistemas de numeración no son raras, bástemos recordar el sistema romano en que aparece el sistema quinario al que se la ha superpuesto el sistema decimal.

La simbología y el significado de los nombres de los números de 1 al 10 y del 20 que utilizaban los chibchas, era: Número

Nombre

Significado

Representación

1

Ata

Otra cosa, aproximación de las aguas

Rana en acción de brincar

2

Bosa

Alrededor

Dos ojos abiertos

3

Mica

Cosas varia

Dos ojos abiertos

4

Muybica

Cosa Negra

Dos ojos cerrados

5

Hisca

Echarse uno sobre otro

2 figuras unidas

6

Ta

Cosecha

El palo y la cuerda

7

Cuhupeva

Sordo

2 orejas tapadas

8

Suhuza

Cola, rabo

Cola

9

Aca

Cosecha abundante

Rana de cola curva

10

Ubchihica

Luna brillante

Una oreja

20

Gueta

Casa

Rana tendida

Símbolo

2.2. LOS INCAS Y SU SISTEMA DECIMAL

21

Estos mismos nombres y figuras servían para representar los meses del año en el calendario chibcha. El papel casi mágico que representaba el número 20 se pone de relieve en actividades comunes que no implicaba directamente cálculos numéricos.

2.2.

Los incas y su sistema decimal

Lo que hace particularmente interesante a las matemáticas incaicas, es el hecho de ser en cierto sentido, el reflejo de la estructura social y administrativa del imperio. Veamos por qué: En la base de la pirámide económica-social del imperio estaba el puric o trabajador raso. Diez de estos purics estaban bajo el mando de un cancha-camayo. Por cada canchacamayo había un pachaca-curaca o capataz. Cada decena de capataces obedecía órdenes de un superior (supervisor). Continuaba la jerarquía con el homo-curaca o el jefe principal de tribu, seguía el gobernador de la provincia y más arriba el mandatario de uno de los cuatros provincias en que se dividia el imperio. En la cúspide de la pirámide aparecía la figura omnipotente del Sapa Inca o emperador.

SAPA INCA (Emperador) ?

Mandatario de la Región 1

?

Mandatario de la Región 2

?w ~ Gobernadores de Provincia

?w ~ Gobernadores de Provincia

w~ Homo Curacas (Jefe de tribus) ?w ~ 10 Pachaca Curacas o Capataces para cada Supervisor ?

10 Cancha - Camayos Por cada capataz ?

10 Puric o trabajadores por cada Cancha - Camayo

w~ Homo Curacas (Jefe de tribus) ?w ~ 10 Pachaca Curacas o Capataces para cada Supervisor ?

10 Cancha - Camayos Por cada capataz ?

10 Puric o trabajadores por cada Cancha - Camayo

?

Mandatario de la Región 1 ?w ~ Gobernadores de Provincia w~ Homo Curacas (Jefe de tribus) ?w ~ 10 Pachaca Curacas o Capataces para cada Supervisor ?

10 Cancha - Camayos Por cada capataz ?

10 Puric o trabajadores por cada Cancha - Camayo

?

Mandatario de la Región 2 ?w ~ Gobernadores de Provincia w~ Homo Curacas (Jefe de tribus) ?w ~ 10 Pachaca Curacas o Capataces para cada Supervisor ?

10 Cancha - Camayos Por cada capataz ?

10 Puric o trabajadores por cada Cancha - Camayo

Figura 2.1: Estructura social y administrativa imperio inca La anterior jerarquía, decimalmente establecida, sirvió sin duda como arquetipo en el

2.2. LOS INCAS Y SU SISTEMA DECIMAL

22

origen del sistema numérico empleado por los incas.

Para el caso de los incas, la organización social con sus correspondientes niveles jerárquicos originó un modelo numérico estrictamente decimal y posicional, que esencialmente coincide con el sistema hindú-arábigo de numeración.

2.2.1.

El Quipu como medio de almacenar información.

El quipu (quechua: khipu, ’nudo’) fue el instrumento central de archivo y control de información, tanto numérica como estadística, en el imperio inca.

Se ha dicho que el quipu fue la mayor aproximación que a la escritura tuvieron los pueblos suramericanos en la época precolombina. A diferencia de la escritura, el quipu requería un interprete, el quipucamayo, que tradujera al lenguaje corriente la información en él contenida.

El quipu está constituido por una cuerda de lana o cabuya de la cual pende otras cuerdas de diferentes grosor y variados colores. Las cuerdas presentan nudos de distintos tamaños según el mensaje en él registrado. Para el registro de ciertos datos existían ciertas convenciones.

2.2.2.

La representación de los números en el quipu

El sistema de numeración empleado era decimal y posicional.

Las unidades de mayor orden se registraban cerca de la cuerda horizontal del quipu, y sucesivamente iban descendiendo hasta las unidades en el extremo opuesto de cada cuerda vertical. El número 1 se representaba con un nudo simple, el 2 como un nudo en forma de 8, el 3 con un nudo de tres lazadas y así en adelante hasta el 9. El cero estaba sobreentendido al no anudar la cuerda en un nivel determinado.

La figura 2.2 muestra las cifras del sistema de numeración incaico.

3 8 4

1

2

3

9

0

6

2

2

6

862

Figura 2.2: Sistema de numeración incaico

3426

2.2. LOS INCAS Y SU SISTEMA DECIMAL

23

Los números mayores se registraban de arriba hacia abajo. Por ejemplo, el número 4.625 corresponde a 4 nudos en el nivel de las unidades de mil, 6 nudos en el nivel de las centenas, dos más en las decenas y cinco nudos al final de la cuerda.

El quipu, por su disposición, permitía en forma fácil efectuar la suma de cantidades previamente anotadas en cuerdas contiguas como se muestra en la figura 2.3

467 + 123 234 824

8

4 1

2

6 2

2 4

7

3

+1 +1

3 4

Figura 2.3: 824 representado en el Quipu

Se suman las unidades de los tres números 4+3+7=14. Se anuda en la cuerda izquierda el 4, en el nivel de las unidades, se lleva 1 para el nivel de las decenas. Se suman las decenas 1+3+2+6=12, se anuda el 2 en el nivel de las decenas y llevamos una centena. Finalmente se suman las centenas. El resultado se puede leer en la cuerda de la izquierda. Al terminar la operación se ajustaban los nudos de la parte superior y las cuatro cuerdas se ataban en el extremo opuesto. Con esto se indicaba que en el quipu se había efectuado una adición.

La aritmética de los incas no se circunscribió al quipu. En razón a la dificultad que se deriva de hacer y deshacer nudos, los quipucamayos se idearon otros procedimientos más simples de efectuar las operaciones aritméticas. Estos procedimientos están referenciados por aquello que José de Acosta llama “quipu de granos de maíz” y que hoy se conoce con el nombre de “yupana”. El término yupana se origina en la palabra quechua “yupay” que significa contar.

La yupana la representa Felipe Guamán Poma de Ayala como un arreglo rectángular de veinte casillas dispuestas en cinco filas de cuatro casillas cada una.

De las descripciones hechas por los cronistas se colige que las cifras en los números que entraban en la operación se representaba por medio de cinco granos de maíz o piedrecillas de dos coloraciones distintas. Cuatro granos con el mismo color con valor nominal de uno y un grano extra de distinto color que equivale a cinco. Los números del uno al nueve se tomaban aditivamente. Por ejemplo el ocho se representaba en cada cuadro como cinco más tres, es decir, tres granos del mismo color y uno adicional de diferente color.

2.2. LOS INCAS Y SU SISTEMA DECIMAL

2.2.3.

24

Suma Inca en la Yupana

La adición era entonces realizada en la misma forma en que se hacía en el quipu.

Sabemos que los cálculos los efectuaban en la yupana y sus resultados los anotaban en el quipu. La figura 2.4 muestra la misma suma que se representó ántes en el quipu y también la suma de 6859+3784+7803.

824 467 123 234

18446 6859 3784 7803

D.M (+1) U.M (+1) 234 + 123 + 467 824

C D

6859 + 3784 + 7803 18446

C (+1) D (+1)

U Resultado

U Resultado

Figura 2.4: La suma en la yupana

Para la multiplicación se sigue un proceso análogo al empleado en el sorobán o ábaco japonés, efectuando productos parciales, y adicionando éstos mientras el proceso está en curso. La sustracción y la división se realizan en el ábaco incaico de modo análogo a como se hace en el sorobán (ábaco japones) o en el suan phan (ábaco chino. Dinastía Hàn). Como en todo proceso abacista, en la yupana se manipulan objetos, y por lo tanto la economía de pensamiento es indudablemente máxima. Todo se reduce a unas pocas reglas y por supuesto, como en el caso de los algoristas (los que manipulan símbolos) aquí también hay que aprenderse las tablas de multiplicar.

El esquema de la yupana es sólo una ayuda u orientación para el principiante. Se busca con esto familiarizar al operario con la representación de los números en las columnas y el valor posicional de las filas. Al cabo de cierto tiempo el esquema de la yupana se hace innecesario y las operaciones se efectúan con otro recurso que no sea los granos de maíz u objetos pequeños. Así se llega a la primigenia de calcular, verbo que tiene su origen precisamente en la palabra latina calculus (piedrecilla).

2.2.4.

La Multiplicación Inca en la Yupana

Para efectuar la multiplicación de dos enteros, los Incas utilizaban dos tipos de piedritas, negra y blancas o dos tipos de semillas diferentes; una piedra negra valía por 10 blancas, esto indica que operaban bajo el sistema decimal.

2.2. LOS INCAS Y SU SISTEMA DECIMAL

25

Para multiplicar 254 por 137 procedían en la siguiente forma: 1. Uno de los números se representa en la primera columna de la izquierda de la yupana de abajo hacia arriba y el otro se presenta en la fila superior, de izquierda a derecha pero a partir de la 2◦ columna (Recuerdese que en la yupana la fila inferior contiene las unidades, la 2◦ fila de abajo hacia arriba contiene las decenas, y así sucesivamente hacia arriba).

2. Se multiplica cada elemento de la primera columna por el primer elemento de la fila superior. Se multiplica cada elemento de la primera columna por el 2◦ elemento de la fila superior. Se repite este proceso hasta que los elementos de la 1◦ columna queden multiplicados por todos los elementos de la fila superior.

3. Se trazan diagonales imaginarias hacia arriba, de izquierda a derecha, en forma tal que pasen por los resultados de las multiplicaciones efectuadas en el paso anterior.

Se suman los valores cubiertos por cada diagonal y el resultado se ubica en una columna adicional.

4. Se simplifican los valores de esta última columna: Se examina cuántas decenas hay en el valor de nivel inferior.

Se resta esta cantidad de decenas y se pasan al nivel siguiente (Con valor unitario).

El valor sobrante se deja en dicho nivel.

Se efectua este mismo proceso en cada nivel para que solo queden valores menores que 10 en cada nivel. La columna final contendrá el resultado y se lee de arriba hacia abajo.

En momenclatura común, el procedimiento anterior da origen a:

1

2 5 4

2 5 4

3

6 15 12

7

14 35 28

2 11 33 47 28

2

1+2 (1)+1 (3)+1 (3)+3 (4)+3 (4)+7 (2)+7 (2)+8

3 4 7 9 8

4

103 102 10 1 100 10

2.2. LOS INCAS Y SU SISTEMA DECIMAL

26

En la yupana la representación es la siguiente

3 4 7 9 8

D.M U.M C D U

4

10 3 10 2

10 1 10 0 10

Nota: Cuándo una piedra o semilla negra (de valor 10) pasa al nivel inmediato superior, se convierte en una unidad de dicho nivel.

El cálculo numérico no ha sido ajeno a ninguna cultura. El origen de los procesos de contar y calcular usando guijarros se pierde en la antiguedad de los tiempo. Como dice L.A.White. “las matemáticas fueron un desarrollo del pensamiento humano , que tuvo su principio con el del hombre primitivo y su cultura hace un millón de años aproximadamente”. Por lo tanto no es de extrañar que en culturas tan avanzadas como las que existieron en América se dieran métodos de cálculo numérico como los que aquí estamos describiendo.

Los términos que utilizaron en el lenguaje hablado fueron los siguientes.

Uno ⇒Huc Dos ⇒Iskay Tres⇒Quimsa

Siete⇒Canchis Ocho⇒Puzao Nueve⇒Iscon

Cuatro⇒Taua

Diez⇒Chunka

Cinco⇒Pinchica

Veinte⇒Izkay chunka Treinta⇒Quimsa chunka

Seis⇒Zopta

Cien⇒Pachaca Mil⇒Waranka Diez mil⇒Chunka aranka Cien mil⇒Pacha ka waranka Innumerable⇒Pantacac huno

2.3. EL SISTEMA MAYA DE NUMERACIÓN

2.2.5.

27

El Chimpú

Es probable que el CHIMPU, una especie de recurso nemotécnico, usado aún en algunas 5 tribus de Bolivia y Perú, tenga su origen en el quipu. El chimpú es un haz de cuerdas que 3 atraviesa semillas perforadas o chaquiras. En la representación de un número, el valor de cada cifra 2 4 depende del número de cuerdas que pasan por entre las semillas o chaquiras. Por ejemplo, las unidades están atravesadas por una cuerda, las decenas por dos, las centenas por tres y así sucesivamente.

Figura 2.5: Chimpu representando la cifra 5324

2.3.

El sistema Maya de numeración

La cultura maya se considera una de las más avanzadas entre las culturas centroamericanas de la época precolombina. Una característica distintiva fue su acceso a la escritura, cosa que los incas desconocieron. Su escritura fue esencialmente ideográfica, es decir, sus caracteres representaban ideas abstractas.

La gran preocupación de los mayas fue el tiempo. Casi todo lo que se ha logrado interpretar de ellos tiene que ver con el tiempo y su medición, incluyendo la predicción de eclipses de sol y de luna. Los mayas seguían no sólo un calendario sino tres.

2.3.1.

Sistema posicional de base 20

El sistema numérico de los mayas siguió el patrón esencialmente vigesimal acogido por la astronomía en la medición del tiempo.

Las cifras del sistema de numeración maya se muestran a continuación. s 1 ss 2 sss 3 ssss 4 p 5 s p p 6 s s p p 7 p

p s s sp ps s s sp pp pp s pp pp s s pp pp s s s pp pp s s s s pp pp

8 9 10 11 12 13 14

pp pp p p 15 s pp pp 16 p p s s pp pp 17 p p pp s s s pp 18 p p sp s s sp pp pp 19 0

El veinte no se escribía con cuatro rayas como podría esperarse, sino como

2.3. EL SISTEMA MAYA DE NUMERACIÓN

28

s

cuyo significado es una veintena, cero unidades. Al igual que en el quipu inca, el valor de las cifras crece a medida que su posición asciende en el numeral. El piso inferior corresponde a las unidades y el piso siguiente a las veintenas.

Los siguientes números son ejemplos de este caso. pp s s s pp s p

ssss 7+4x20=87 p ss p

sp p 16+14x20=296 pp p

pp s s p pps s s p

pp p sp 19+17x20=359 pp

Desconocemos si los mayas tuvieron alguna especie de ábaco para efectuar las adición o multiplicación. Por los informes de los cronistas españoles, hoy sabemos, que en general los indios eran muy rápidos para realizar sus cálculos. Se cuenta por ejemplo, que el cacao se vendía por unidades y esto implicaba contar una a una las pepas que entraban en la transacción. Entre otras cosas la semilla del cacao era tan apreciada que se usó regularmente como unidad de trueque y como dinero.

=0, s =1, s s =2, s s s =3, s s s s=4,

p =5, s p =6, p s s p =7, p s s s p =8, ps s s sp =9, p p

pp =10, s p p =11, pp s s pp =12, pp s s s pp =13, pp s s s spp =14, pp pp

pp pp p p =15 s pp pp =16 p p s s pp pp =17 p p s s s pp pp p p =18 sp s s sp pp pp =19

Al llegar al veinte, se activa la caracteristica principal del sistema numérico de los mayas: el posicionamiento. Al completarse la primera veintena se termina con las unidades de primer orden y se avanza al siguiente (por ser justamentes un sistema vigesimal); esto sucede en cada uno de los niveles, y al acumularse veinte unidades en un nivel, se sube al siguiente y así sucesivamente. pp s s s pp p p=18,

2.3.2.

pps s s spp =19, pppp p p

20

pp pp

s

1x20= 20 0x1=0

El Cero

Las matemáticas mayas han dejado una huella en el tiempo; antes que cualquier otra civilización, los mayas originaron un concepto revolucionario: el cero.

2.3. EL SISTEMA MAYA DE NUMERACIÓN

29

El cero es un símbolo comunmente utilizado para representar la nada; sin embargo, el concepto maya del cero no implica una ausencia ni una negación; para los mayas, el cero posee sentido de plenitud.

Por ejemplo, al escribir la cifra 20, el cero, ubicado en el primer nivel, únicamente indica que la veintena está completa.

La posición del cero comprueba que a este número no le falta nada, lo cual es una acepción opuesta al concepto de ausencia o carencia. En este sentido, el 20 es una unidad completa del segundo nivel y del primer nivel. Al ocupar el primer nivel, y generar uno nuevo, da la idea del cierre de un ciclo y el principio de otro.

En primer lugar, puede observarse como un puño cerrado: los dedos (que son los numerales con que empezó a contar el hombre) retenidos dentro de un espacio cerrado; contenidos en el puño, integrados y completos. Por otra parte, se le ve como una concha, imágen vinculada con el concepto de muerte.

Al unir ambas acepciones, se deduce la terminación de la vida, el cierre de un ciclo, la medida que se completa, la integración final. Al ver el glifo y entenderlo como un puño cerrado, éste señala que nada sobra, que todo está completo; la concha anuncia que el ciclo de vida ha terminado y que sólo queda ahí el remanente, la huella geológica que nos informa que existió y se completó.

2.3.3.

El Tablero

Para entender la sencillez y precisión de la ciencia matemática de los mayas, la utilización del tablero es un factor indispensable; sobre esta cuadrícula se realizaban las operaciones y los cálculos con los que se contabilizaron desde las pertenencias, los impuestos y la repartición de las cosechas, hasta los eventos astronómicos y los ciclos del tiempo.

Como todas las muestras de la cultura maya, el tablero, que es una cuadrícula semejante a la del ajedrez, es un objeto lleno de significaciones relacionadas con su cosmovisión.

Los niveles del tablero incrementan su valor de abajo hacia arriba, de acuerdo a la posición que tiene el numeral dentro de dicho tablero, como se muestra a continuación, ordenando los numerales por unidades, veintenas, veintenas de veintenas, veintenas de veintenas de veintenas, etc, por lo que un punto (o unidad) en cada nivel, tendría la siguiente equivalencia: Un Un Un Un Un Un

punto punto punto punto punto punto

en en en en en en

la la la la la la

6 5 4 3 2 1

posición posición posición posición posición posición

3´200.000 → 205 160.000 → 204 8.000 → 203 400 → 202 20 → 201 1 → 200

2.3. EL SISTEMA MAYA DE NUMERACIÓN

30

Este mecanismo permitió a los mayas hacer cálculos con números grandes; por ejemplo, el número 25673295, se representaba en maya de la siguiente manera, utilizando seis niveles o posiciones del tablero: 25673295 p s s s p =8 =0 sp s s sp =9 s s s =3 s s s s=4 pp pp p p =15

8x3200000=25600000 0x160000 = 0 9x8000 = 72000 3x400 = 1200 4x20 = 80 15x1 = 15 25673295

2.3.4.

Operaciones Aritméticas

Cuando entendemos estos conceptos básicos: los numerales y las posiciones en el tablero, la realización de operaciones aritméticas resulta un proceso manual. Recordemos que dentro de cada nivel del tablero puede haber diecinueve unidades, y que al completarse una veintena ésta se convierte en una unidad del siguiente nivel y de un cero en el nivel inferior. Lo que resta es manipular los signos materialmente, utilizando objetos que puedan colocarse sobre el tablero para realizar los cálculos, con el fin de facilitar su comprensión.

En cualquier caso, se acomodan los números dentro de las casillas del tablero, de izquierda a derecha, sabiendo que el primer nivel (de abajo hacia arriba) representa las unidades; el que le sigue, las veintenas; el siguiente las veintenas de veintenas; y así sucesivamente.

2.3.4.1.

La suma

Para sumar dos o más números hay que reunir, en una sola casilla, las barras y los puntos de un mismo nivel del tablero y, posteriormente, convertir los grupos de cinco puntos en barras y las veintenas completas (conjunto de cuatro barras) en unidades del nivel superior inmediato.

Ejemplo La suma de 11000+455+16142+127+1503, se efectua como se muestra a continuación.

2.3. EL SISTEMA MAYA DE NUMERACIÓN 11000

455

16142

s

127

1503

ss

p ss p pp

31

sss

s

pp

ss pp p

p ss p pp p

p

s p

p ss p

ss

pp p

pp p sss

Figura 2.6

1. Se representaban los números en las columnas (figura 2.6) Ejemplo 1503 es : 3 × 400 = 15 × 20 = 3 × 200

=

1200 300 3

2. Se agrupan en cada nivel los puntos y las barras, esto con el fin de convertir cinco puntos en una barra y cuatro barras en un punto del siguiente nivel.

29227 3x20

3

13x20

2

1

1x20

0

7x20

Figura 2.7 Una vez que se ha ordenado los signos en cada nivel, el resultado está a la vista; sólo es necesario convertirlo en números arábigos multiplicando cada uno de los números en los distintos niveles por su valor posicional. El resultado se observa en la columna 4 de la tabla de la figura 2.7

2.3. EL SISTEMA MAYA DE NUMERACIÓN 2.3.4.2.

32

La resta

Si la operación que se quiere realizar es una resta o sustracción, hay que acomodar en el tablero el minuendo en la primera columna y el sustraendo en la segunda. Quizá la primera cifra dé la apariencia de no poder restarse por no contar con los puntos y barras suficientes para realizar la operación; en este paso, hay que recordar que los puntos de los niveles segundo y superiores equivalen a veintenas de cada nivel anterior; así, si es necesario, podemos bajar las veintenas a las casillas inferiores inmediatas, convertidas en conjuntos de cuatro barras (4 barras por 5 unidades) o un grupo de veinte unidades.

Ejemplo 16222-1665=14557

ss ssss pp

s p menos p ss

sss p

p

Figura 2.8

El mecanismo de hacer la resta es quitar los puntos y barras que equivalen al sustraendo y, con estos, obtener la diferencia. El resultado se observa en la columna 4 de la tabla de la figura 2.9 14557 3

1x20

16x20

menos

2

1

7x20

0

17x20

Figura 2.9

CAPÍTULO 3 LA MATEMÁTICA EN LA CIVILIZACIÓN BABILÓNICA

Mar Caspio

MESOPOTAMIA

o

IRÁ

M

N

is

fra tes

gr

Éu

Ti

e ar n M erra it ed

Babilonia Ukur s rio Asi

O IPT Mar Rojo

Golfo Persico

Oc e Índ ano ico

EG

IRAk

33

3.1. ORIGEN EN LA CIVILIZACIÓN BABILÓNICA

3.1.

34

Origen en la Civilización Babilónica

El imperio de Babilonia o antiguo imperio de Mesopotamia, también llamado imperio de Summer y Acad se desarrolló en la región situada entre los rios Tigris y Eufrates al sur de la actual Bagdad (Irak) y formó parte de la región denominada por los arqueólogos y antropólogos como el Creciente Fertil, duró desde los siglos XVIII hasta el VI a.C y estuvo conformada por los pueblos Sumerios, Acadios, Caldeos, Asirio y Babilonios.

La ciudad de Babilonia fué el centro económico y cultural del Creciente Fertil entre el año 2000 y el 550 a.C. Durante esta época hubo un gran desarrollo y evolución de las matemáticas que continuó hasta el final de la época seleúcida (año 50 a.C)

3.2.

La Escritura de los Babilonios

En Mesopotamia las primeras formas de escritura aparecen hacia el tercer milenio antes de Cristo, surgió de la necesidad de poner por escrito la contabilidad de bienes y ganancias comerciales. La escritura se realizaba mediante la presión en tablillas de arcilla, de cuñas de bambú o estiletes cilíndricos; este tipo de escritura se llamó cuneiforme (Figura 3.11 ) puesto que aparece en la tabilla como una especie de cuña. Las tablillas de barro se secaban al sol o se horneaban para que tuvieran mayor consistencia y se preservaran durante mucho tiempo. Se ha encontrado casi medio millón de tablillas de las cuales 300 se refieren a temas matemáticos, sus dimensiones oscilan entre 12 cm2 y 500 cm2 . La mayoria de estas tablillas se encuentran en los museos de Paris, Londres, Berlin, Universidad de Columbia, Universidad de Yale y Universidad de Pensilvania.

Al principio, la escritura cuneiforme tenía más de 2000 símbolos diferentes, pero luego quedaron reducidos a 600, que se combinaban entre si para expresar todo tipo de ideas.

Figura 3.1: Escritura Cuneiforme El contenido matemático de algunas de las tablillas es basicamente listados de problemas, tablas de multiplicar, tablas de números y sus inversos, tablas de cuadrados y cubos, series numéricas y algunas relaciones geométricas.

1 Tomada

de http://auladeadriana.blogspot.com/2011/02/la-escritura-cuneiforme.html

3.3. LA NOMENCLATURA MATEMÁTICA

3.3.

35

La Nomenclatura Matemática

“La localización geográfica de Sumeria fue más propicia que la de Egipto para un desarrollo rápido de las matemáticas concebidas en la agricultura y nacidas en la astronomia. Egipto estaba situado bastante lejos de la principal ruta comercial entre oriente y occidente. Sumeria, el antecesor no semítico de la Babilónia semítica, quedaba directamente a través del sendero de los mercaderes, al extremo norte del Golfo Pérsico.

El comercio estimuló la invención matemática en Sumeria y en la vieja Mesopotamia, como probablemente nunca lo haya hecho desde entonces.

Seguros testimonios muestran que la Aritmética y las mediciones se desarrollaron en Babilonia a partir de los primeros trabajos de los sumerios no semíticos. Este pueblo afortunado también inventó una escritura dibujada que evolucionó a los eficientes caracteres cuneiformes, los que resultaron adecuados para la expresión de su aritmética y trabajos de medición” 2 La escala de numeración de los sumerios, que trasmitieron a los babilónicos, era la sexagesimal (base 60), con una ligera mezcla del sistema decimal.

Los Sumerios y los Acadios utilizaron un sistema de numeración con base 60 pero no posicional; posteriormente los babilónicos (hacia el 2000 a.C) adoptaron el sistema posicional sexagecimal.

Las primeras formas de representar números fue establecida por los Sumerios (antes del 2.700 a.C) mediante el estilete cilíndrico de varios grosores, como se muestra a continuación.

1

10

60

600

3600

36.000

Figura 3.2: Signos matemáticos Sumerios curvilineos El número 1 se hacía presionando sobre la tablilla un estilete cilíndrico delgado mientras que el número 60 se elaboraba presionando un estilete cilíndrico más grueso; el número 10 se hacía presionando la punta circular del estilete cilíndrico delgado, el número 600 era la combinación de el número 60 con el número 10, el número 3600 se hacia presionando la punta circular del estilete cilíndrico grueso y el 36.000 era la combinación de 3600 y el 10.

Este sistema de representar los números crea una notación multiplicativa donde un símbolo se puede combinar con otro y así establecer una multiplicación. Hay menos símbolos que aprender y los símbolos para números grandes tienen una lógica interna que hace posible generar números mayores a partir de números más pequeños y sin inventar 2 E.T.Bell.

Historia de las matemáticas., Fondo de cultura económica. México 2003

3.3. LA NOMENCLATURA MATEMÁTICA

36

nuevos símbolos. El sistema es aditivo y no posicional pues no interesa el orden en el que queden marcados los símbolos. Inicialmente el sistema consistía en reunir marcas en pares como se muestra en la figura 3.3.

3600x2

+

+ 10x4 = 7480

60x4

2x60 + 3x600 + 1x10 + 2x1 + 1x3600 = 5532 Figura 3.3 El sistema tiene la desventaja de que se requiere una cantidad apreciables de marcas para representar números grandes cuando no son múltiplos de 60.

Aproximadamente para el año 2.600 a.C se produjo un cambio significativo en la notación sumeria para los caracteres numerales. Se cambió el estilete cilíndrico a dos estiletes en forma de cuña con los cuales se podía producir marcas en forma de cuña aguda y de diferentes tamaños llegandose así a la escritura cuneiforme.

10

1

Figura 3.4: Estiletes en forma de cuña Estas marcas en forma de cuña se hacían en grupos para indicar los números del 2 al 9 y del 20 al 50 sin embargo esta pauta se detiene en el número 59 y una cuña delgada pasa a significar el número 60. Es por esto que el sistema de numeración babilónico es de base 60 (sexagecimal). El valor de un símbolo puede ser un número o 60 veces dicho número o 60 veces 60 veces dicho número dependiendo de la posición del símbolo, por lo tanto ya en esta época el sistema numérico se vuelve posicional, similar a nuestro sistema decimal.

Ejemplo 7452 = 2 × 602 +5 × 601 + 42 × 600

3.3. LA NOMENCLATURA MATEMÁTICA

37

Para un babilonio, una serie de tres repeticiones del símbolo para 5 tiene un significado diferente, aunque basado en un principio similar. El primer número significaría 5x60x60, el segundo significaría 5x60 y el tercero significaría unicamente 5, por lo tanto el grupo de tres 5 estaría representando en nuestra notación la cifra 1800+300+5=18305.

18305

3.3.1.

Números Babilónicos para los números del 1 al 59

En la figura 3.53 los números babilónicos del 1 al 59 en escritura cuneiforme.

Figura 3.5: Números babilónicos del 1 al 59

3.3.2.

Aritmética Babilónica

Los babilónicos no tenían un símbolo para representar el punto o la coma decimal y recurrían a dejar un espacio entre las cifras. Neugebaguer adoptó la nomenclatura de una coma para representar la posición decimal y el punto y coma para indicar parte fraccionaria.

Por ejemplo: a. 12,59;57,17 en nomenclatura de Neugebaguer significa: 12×601 + 59x600 +

57 601

+

17 602

= 779, 955

3.3. LA NOMENCLATURA MATEMÁTICA

38

779,955

b. 6,46,19 en nomenclatura de Neugebaguer significa: 6 × 602 + 46 × 601 + 19 × 600 = 24379

24379

En los textos antiguos babilónicos no se encuentra un símbolo especial para representar el cero, lo cual se suplía con un espacio más o menos adecuado entre las cifras, pero en la época de la conquista de Alejandro Magno (Época Seleúcida) utilizaron el siguiente símbolo para el cero

y también para los espacios en las cifras numéricas.

Ejemplo: a. 7232 = 2 × 3600 + 32 = 2 × 602 + 0 × 601 + 32 × 600

7232

b. 439322 = 2 × 603 + 2 × 602 + 2 × 601 + 2 × 600

439322

439322

3 Tomado

de http://www.profesorenlinea.cl/matematica/MatematicaBabilonia.html

3.3. LA NOMENCLATURA MATEMÁTICA 3.3.2.1.

39

La sustracción

Para representar la sustracción se utilizaba el signo de la unidad pero ocupando una posición de exponente.

Ejemplo

a. 30-1=29

b. 20-1=19 Pero el número 19 también se podría representar en las dos formas siguientes

10+9=19

Notación Cuniforme normal

19

Forma Cursiva. Período Seleucida 3.3.2.2.

La multiplicación

Los babilónicos disponían de tablas de cuadrados de números de 2 al 59. Si se conoce el cuadrado de un número n, el cuadrado de n+ 1 será n2 + 2n+ 1 y entonces sustituyendo n por 1,2,3... se obtienen los cuadrados 1,4,9,16,25...

Dos tablillas encontradas en Senkerah cerca del Eufrates en 1854 datan de 2000 años a.C, ellas contienen los cuadrados de los números 2 al 59 y los cubos de 2 a 32.

En estas tablillas se lee que 82 = 1, 4 =1 × 60 + 4 = 64.

592 = 58, 1 = 58 × 60 + 1 = 3481 Estos cuadrados eran utilizados en el momento de multiplicar dos números enteros.

35 × 43 =

78 2 2

−

8 2 2

= 392 − 42 = 1525 − 16 = 1505

Es evidente que ellos conocían una fórmula para el producto como la siguiente: a×b=

a+b 2 2

−

a−b 2 2

3.3. LA NOMENCLATURA MATEMÁTICA 3.3.2.3.

40

Las fracciones

Para escribir fracciones los babilónicos tenían muy en cuenta la posición de los símbolos.

Ejemplo 1 21 = 1 +

30 60

Esta expresión podría presentar confusión puesto que no hay presencia del cero y podría tener dos interpretaciones: 1+

30 60

3.3.2.4.

o

1 60

+

30 602

La división

Para la división los babilónicos recurrian a tablas de inversos para diferentes valores de n y así la operación división se reducía a una operación de multiplicación.

1 n

Por ejemplo = a × 1b por lo que era necesario disponer de una tabla de reciprocos se muestra a continuación a b

1 2 1 3 1 4 1 5 1 6

= 0; 30 = 0; 20 = 0; 15 = 0; 12 = 0; 10 1 7 = 1 = 0; 7, 30 8 1 = 0; 6, 40 9 1 = 0; 6 10 De acuerdo a la tabla anterior

1 90

1 11

= = 0; 5 1 13 = 1 14 = 1 15 = 0; 4 1 16 = 0; 3, 45 1 17 = 1 18 = 0; 3, 20 1 19 = 1 12

= 0; 6, 40 =

6 60

1 b

como la que

1 20 = 0; 3 1 21 = 0; 2, 30 1 22 = 1 23 = 1 24 = 0; 2, 30 1 25 = 0; 2, 24 1 26 = 1 27 =

+

40 602

1 1 1 1 1 , 13 , 14 , 17 , 19 , etc. no se usaban porque no tienen una representación Las fracciones 71 , 11 finita en base 60, pero podrían establecer un valor aproximado como en el siguiente caso.

1 13

=

3.3.2.5.

7 91

=7×

1 91

≈7×

1 90 ,

porque

1 90

si aparecía en las tablas.

La raíz cuadrada

Es evidente que los babilónicos ya conocían la forma de calcular la tablilla YBC 7289.

√ 2 y la evidencia es

3.3. LA NOMENCLATURA MATEMÁTICA

41

Tablilla Yale YBC 7289 (vieja Babilonia) Esta tablilla Babilónica contiene un cuadrado de lado 30 con las dos diagonales. En el centro de la tablilla aparecen los números 1, 24, 51, 10 y 42, 25, 35 en sistema babilónico base 60.

30 1,24,51,10 42,25,35

Suponiendo que para el primer número, la parte entera es 1 y el resto es la parte decimal entonces: 1; 24, 51, 10 = 1 +

24 60

+

51 602

+

10 603

= 1,41421296 =

√

2

Al calcular 30 × [1; 24, 51, 10] obtenemos el segundo número 42; 25, 35 Por √ lo tanto la diagonal del cuadrado de lado 30 la han encontrado al multiplicar 30 × 2 Se supone que ellos calcularon

√ 2 en la siguiente forma:

Suponian que era equivalente a resolver la siguiente ecuación: x2 − 2 = 0

(1)

Asignaban un valor que satisfaciera la ecuación. Por ejemplo suponían que √ √ 2 2 = 13 entonces 23 − 2 = 94 − 2 = 49 − 48 = 14 6= 0 ⇒ 23 6= 2. q √ √ (2) Pero 2 < 94 lo cual indica que 2 < 94 ⇒ 2 < 32 Se ha hallado una cota superior para

√

2=

3 2

o

√ 2

Ahora trataban de hallar una cota inferior. Encontrar un número menor que al multiplicarlo por 23 el producto sea 2

3 2

y que

3.3. LA NOMENCLATURA MATEMÁTICA 3 2

4 3

=2y

obtenían Pero

4 2 3

4 2 3

=

< 32 . Al reemplazar este

4 3

−2=

16 9

16 9

<2⇒

Por las ecuaciones

−2= 4 3

<

√

(2) y

16 9

−

2

18 9

4 3

42 en

(1)

= − 31 6= 0 ⇒

4 3

6=

√ 2

(3). Esta es la cota inferior para

(3) se establece que

4 3

<

√ 2<

√ 2.

3 2

√ √ 24 < 2 < 17 En forma similar llegaron a establecer que 17 2 lo trabajaban 12 o sea que como el promedio aritmético entre estos 2 valores, es decir: √

2=

Algoritmo Babilónico para

1,411764+1,416666 2

= 1,414215

√ x

Este algoritmo está basado en el hecho de que cada lado de un cuadrado es la raiz cuadrada del área.

A

h

b 1. Escoger b y h tales que bh = x.

2. Si h ≈ b vaya al paso 5, si nó continuar.

3. Hacer b =

h+b 2

4. Hacer h = xb → paso 2. √ 5. Hacer x = b.

La tablilla Plimpton 322 En 1920 se encontró en la ciudad de Larsa, cerca de Babilonia una pequeña tablilla de arcilla de 13 × 9 cm, con escritura cuneiforme; fue catalogada con una antiguedad aproximada de 1700 años a.C o sea aproximadamente 60 años antes de que la ciudad de Larsa fuera capturada por el rey Hammurabi.

Esta tabilla fue comprada por el editor neoyorquino, George Arthur Plimpton y después pasó por donación, en 1936, a la Universidad de Columbia, donde fué catalogada, en una colección que lleva de nombre “Colección Plimpton”, con el número 322.

La tablilla fue estudiada por los investigadores Otto Neugebauer y A.J Sachs quienes publicaron sus resultados en el libro “Mathematical Cuneiform Texts” en 1945.

3.3. LA NOMENCLATURA MATEMÁTICA

43

En la tablilla aparecen (figura 3.64 ) 4 columnas de números escritos en la vieja numenclatura cuneiforme que data del período 1900 a 1700 a.C. Faltan algunas partes del texto, pero ha sido reconstruida integramente a partir del texto que es legible.

Figura 3.6: Tablilla Plimpton 322

La reproduccion publicada por Neugebauer y Sachs de las 4 columnas es la que se muestra a continuación.

IV c2 /a2 [1,59,0] 15 [1,56,56] 58,14,50,6,15 [1,55,7] 41,15,33,45 [1] 5 [3,1] 0,29,32,52,16 [1] 48,54,1,40 [1] 47,6,41,40 [1] 43,11,56,28,26,40 [1] 41,33,59,3,45 ([1] 33,45,14,03,45) [1] 38,33,36,36 1,35,10,2,28,27,24,26,40 1,33,45 1,29,21,54,2,15 [1] 27,0,3,45 ([1] 27,00,03,45) 1,25,48,51,35,6,40 [1] 23,13,46,40

4 Tomado

III (b) 1,59 56,7 1,16,41 3,31,45 1,5 5,19 38,11 13,19 9,1 (8,1) 1,22,41 45 27,59 7,12,1 29,31 56 (28)

II (c) 2,49 3,12,1 (1,20,25) 1,50,49 5,9,1 1,37 8,1 59,1 20,49 12,49 2,16,1 1,15 48,49 4,49 53,49 53 (1,46)

I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

de http://laquesigueaqui.blogspot.com/2010/06/la-tablilla-plimpton-322.html

3.3. LA NOMENCLATURA MATEMÁTICA

44

Los números que estan entre corhochetes [] son las partes que faltan en la tablilla original; estos valores fueron adicionados por Neugebauer y Sachs.

Los valores entre paréntesis son los valores correctos que deberian aparecer en lugar de las cifras incorrectas que presenta la tablilla.

Interpretación pitagórica de la tablilla.

Un exámen detallado de las columnas II y III muestra que ellos corresponden a la hipotenusa y el lado horizontal de un triángulo rectángulo como el siguiente

c

a

α b En la tablilla no aparece una columna para los valores del lado a, pero la columna IV 2 presenta los valores del cociente ac 2 , corresponde a los valores de cosc(α) Observese los valores de la primera fila c = 2,49 = 2 × 601 + 49 × 600 = 169 ⇒ c2 = 28561 b = 1,59 = 1 × 601 + 59 × 600 = 119 ⇒ b2 = 14161 Además se puede deducir que mediante las diferencia c2 − b2 se puede obtener el cuadrado del otro entero(a) Para la primera fila se obtiene b2 = (1,59)2 = 3,59,01 c2 = (2,49)2 = 7,56,01 c2 − b2 = 7,56,01 − 3,59,01 = 4, 0, 0 = a2 ⇒ a = 2, 0 En forma decimal 28561 − 14161 = 14400 = (120)2 = a2 Si se hace este análisis para cada una de las filas de la tablilla se infiere que las columnas II y III contienen los 2 valores con los cuales se puede √ obtener triplas pitagoricas. Si se añade una columna más para los valores de a a = c2 − b2 se obtiene:

3.3. LA NOMENCLATURA MATEMÁTICA V (a) 120 3456 4800 13500 72 360 2700 960 600 6480 60 2400 240 2700 90

2

IV (c/a) 1.9834028 1.9491586 1.9188021 1.8862479 1.8150077 1.7851929 1.7199837 1.6927094 1.6426694 1.5861226 1.562500 1.4894168 1.4500174 1.4302388 1.3871605

III (b) 119 3367 4601 12709 65 319 2291 799 481 4961 45 1679 161 1771 56

II (c) 169 4825 6649 18541 97 481 3541 1249 769 8161 75 2929 289 3229 106

45 I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

α 450 14′ 23′′ 450 44′ 50′′ 460 12′ 45′′ 460 43′ 43′′ 470 55′ 29′′ 470 39′ 53′′

c/a 1.4083 1.3961 1.3852 1.3734

560 44′ 17′′ 580 6′ 33′′

En la última columna de la tablilla anterior aparecen los valores del ángulo α obtenidos 2 mediante la siguiente relación cosc2 (α) = sen12 (α) = ac Se observa que α varía (aproximadamente) entre α = 45o y α = 60o

2 Neugebauer al observar el decrecimiento casi lineal de la columna IV ac y de ac sugiere que los escribas mesopotámicos conocían algún método algebráico para establecer tripletas pitagóricas (a, b, c) a partir de otros valores p y q que cumplieran ciertas condiciones.

1. p > q > 0 2. p y q son primos entre si (primos relativos) (no tienen divisores comunes, excepto el 1) La relación pitagórica se establece mediante el siguiente procedimiento: Sea  a= 2pq  2 2 b = p2 − q 2 ⇒ b2 + a2 = p2 − q 2 + (2pq) =  c = p2 + q 2 2 2 2 = p2 − 2p2 q 2 + q 2 + 4p2 q 2 = p2 + q 2 = c2 (∗) ⇒ b 2 + a2 = c2

3.3. LA NOMENCLATURA MATEMÁTICA donde (*) se tiene que c = p2 + q 2 ⇒ ac =

p2 +q2 a

46 =

p2 +q2 2pq

=

1 2

p q

+

q p

De esta forma podríamos obtener tripletas pitagóricas al dar valores a p y q Ejemplo: si p = 7 y q = 5 1. p > q >= 0 ⇒ (7 > 5 > 0) 2. 7 y 5 son primos relativos a = 2pq = 2 × 7 × 5 = 70

b = p2 − q 2 = 72 − 52 = 49 − 25 = 24 c = p2 + q 2 = 72 + 52 = 49 + 25 = 74 ⇒ c2 = a2 + b2 ⇒ 5476 = 4900 + 576

1 7 5 c a = 2 5 + 7 = 1,05714

En la fila 1 también se observa que b = p2 − q 2 = 1,59 c = p2 + q 2 = 2,49

(1) (2)

sumando (1) y (2) 2p2 = 4,48 ⇒ p2 = 2,24 ⇒ p = 12

(3)

Reemplazando (3) en (2): 2,24 + q 2 = 2,49 ⇒ q 2 = 25 ⇒ q = 5 Observe que p y q son números regulares.

Nota: Para los babilónicos un número es regular si sus factores son potencias de los divisores primos de 60 o sea x es regular si x = 2m × 3n × 5r donde m, n, r ∈ Z∔ y 2,3,5 son los divisores primos de 60.

Para p = 12 = 4 × 3 = 22 × 31 y q = 5 = 51 El cociente ac puede expresarse como una suma finita de fracciones sexagesimales, si p y q son números regulares.

3.3.2.6.

La Geometría

De la geometría, los babilónicos conocían el teorema de Pitágoras, área del triángulo, área del trapecio, área del círculo con π = 3, volumen de prismas rectos, volumen de cilindros rectos, volumen del tronco de cono, conocida la altura h y el perímetro de las bases a y b (V = 21 h a2 + b2 fórmula no exacta).

Volumen del tronco de pirámide de base conocido a= lado de la base inferior, cuadrada

(a+b)2 3 + 4 (a − b) fórmula no exacta, b= lado de la base superior, h=altura V = h 2

3.3. LA NOMENCLATURA MATEMÁTICA

47

pues la verdadera es: V =h

(a+b)2 2

+

2 1 (a+b) 3 2

.

También tuvieron conocimientos de algunos teoremas como los siguientes: 1. Todo triángulo inscrito en un semicírculo es rectángulo (Teorema atribuido a Tales de Mileto) 2. Los lados correspondientes de 2 triángulos rectos semejantes son proporcionales 3. La perpendicular trazada desde el vértice de un triángulo isósceles divide la base del triángulo en 2 partes iguales Howard Eves afirma que la geometría babilónica se caracteriza por ser principalmente algebráica pero Hans Wussing afirma que: “la geometría babilónica revela marcado origen práctico: junto al cálculo de área de los campos aparecen cálculos de los rendimientos totales de los terrenos, dependientes de un rendimiento específico, que es función de la calidad del suelo. En los cálculos de terraplenes con perfiles trapezoidales se consideran cuestiones relativas a la inclinación del terreno, la anchura de la corona del terraplen, el número de trabajadores necesarios por jornada media de trabajo”.

Wussing en su libro Lecciones de Historia de las Matemáticas presenta el siguiente ejemplo: Un pequeño canal. 6 guis su longitud 2 varas la anchura superior, 1 vara la inferior 1 21 varas su profundidad 1 3 sar de tierra en rendimiento, 18 personas. ¿Cuántos son los días?

11 días y un cuarto son los días.

El problema anterior lo que indica es que se quiere construir un canal trapezoidal como el siguiente: Donde un gis es una medida de longitud, un sar es una medida de capacidad o volumen. Según is g 6 los datos un obrero rinde 13 de sar en movimiento 6 varas de tierra por día, se dispone de 18 obreros y se pregunta cuántos días se requieren para construir 1 varas el canal. La respuesta al problema es 11 41 días.

1 2

1 varas

3.3. LA NOMENCLATURA MATEMÁTICA

48

Tablilla Tell Dhibayi Esta tablilla fue encontrada cerca a Bagdad en 1962. Presenta un problema geométrico: “Hallar las dimensiones de un rectángulo de área 0;45 (sexagesimal) y de diagonal 1;15 (sexagesimal) El escriba de la tablilla presenta el siguiente desarrollo: 2xy = 1; 30 lo restamos de x2 + y 2 = 1; 33, 45 para obtener x2 + y 2 − 2xy = 0; 3, 45 Extraer raíz cuadrada x − y = 0; 15 Dividir por 2 entonces x−y 2 = 0; 7, 30 Dividir por 4 a x2 + y 2 − 2xy = 0; 3, 45 para obtener Extraer raíz cuadrada :

x+y 2

x2 4

+

y2 4

−

xy 2

= 0; 45, 56, 15

= 0; 52, 30

Sumar

x+y 2

= 0; 52, 30 a

x−y 2

= 0; 7, 30 para obtener x = 1

Restar

x−y 2

= 0; 7, 30 de

x+y 2

= 0; 52, 30 para obtener y = 0; 45

Nota: En forma decimal los dos últimos pasos equivalen a: + 0+

7 60

+

30 602

=1⇒x=1

30 2. (0; 52, 30) − (0; 7, 30) = 0 + 52 60 + 602 − 0 +

7 60

+

30 602

1. (0; 52, 30) + (0; 7, 30) = 0 + =0+

=0+

3.3.2.7.

59 60

45 60

30 + 2x 60 2 = 0 +

52 60

+

60 60

30 602

+ 0 = 0,75 ⇒ y = 0,75

El Álgebra

Los babilónicos consiguieron resolver gran variedad de ecuaciones algebráicas: ecuaciones lineales, cuadráticas, cúbicas, bicuadráticas, sistemas de ecuaciones hasta de 10 ecuaciones lineales y 10 variables.

Sistemas de ecuaciones como los siguientes: xy + x − y = 183 x + y = 27 xy x2 + y 2 x+y xy

=b =b =a =b

3.3. LA NOMENCLATURA MATEMÁTICA x2 + y 2 y = 67 x

49

= 21, 15

En una tablilla de la colección Yale se encuentra un problema que conduce al siguiente sistema de ecuaciones: mx2 y

xy + ry2 x +b

=a =0

Otro problema dice: Sumad al cuadrado: la longitud multiplicada por 3 y la anchura multiplicada por 2 Sumad el área de la longitud y esto es 4,56,40 Sumad el área de la longitud multiplicada por 2 y esto es 5,11,40 En notación actual el problema es equivalente a las siguientes ecuaciones: 2

(3x + 2y) + x2 2 (3x + 2y) + 2x2

= 4, 56, 40 donde x=largo, y =ancho = 5, 11, 40

También lograron establecer relaciones como las siguientes: 2

(a + b) = a2 + 2ab + b2 (a + b) (a − b) = a2 − b2 a·b=

a+b 2 2

+

a−b 2 2

3.3. LA NOMENCLATURA MATEMÁTICA

50

CAPÍTULO 4 MATEMÁTICA EGIPCIA

Mar Mediterraneo Alejandría

Bajo Egipto

SINAI

El Cairo

Oasis de Bahariya Oasis de Farafra

Ashmunein Mallawi

Desierto Occidental

Oasis de Dakhia

D Or esie ien rto tal

Beni Hassan

Tell el amarna

Hurghada Abydos

Denderah Tebas

Oasis de Kharga

Mar Rojo

Karnak Luxor

Esna Edfu

Alto Egipto

Kom-Ombo Aswan

Abu-Simber

Egipto

Wadi el Sebou

51

4.1. ORIGENES

4.1.

52

Origenes

La civilización egipcia se desarrolló mediante dos reinos: el alto Egipto y el bajo Egipto. Fueron dos pequeñas comunidades rurales y urbanas que fueron unificadas por el rey Menes (3050 a. C). Estas comunidades se desarrollaron siguiendo las orillas del rio Nilo y florecieron con base a la agricultura, el comercio, la construcción naval, industria textil, metalurgia, las artesanias y la construcción de grandes monumentos (templos, pirámides, tumbas y obeliscos).

La expedición de Napoleón a Egipto propició el estudio cientifico de la civilización egipcia puesto que él incentivó a los cientificos y soldados a hacer escavaciones y en una de ellas fue encontrada la famosa piedra de Rosetta, al esté de Alejandría; extrajeron una piedra de basalto negro (figura 4.11 ) en la que había una inscripcion del mismo texto con tres lenguas antiguas: griego, demótico y jeroglífico. Esta piedra sirvió para hacer la traducción al griego de la vieja escritura demótica y jeroglífica, mediante la comparación de los tres lenguas.

Figura 4.1: Piedra Rosetta Entre los interpretadores de la lenguas egipcias se destacaron el francés Jean-Francois Champollion y el inglés Thomas Young quienes consiguieron hacer rápidos progresos de los jeroglíficos que estaban grabados en los templos.

Aunque la civilización egipcia duró 4.000 años dejaron pocas evidencias matemáticas porque basicamente la matemática era escrita en papiros que es un material poco duradero pero muchos de ellos lograron conservarse debido al clima cálido y seco de la región. El más antiguo de los papiros data aproximadamente del año 1800 a.C. Los principales papiros con que se cuenta en la actualidad son: 1. El papiro Rhind. Es un rollo de papiro de 33 cm de ancho por 5.48 metros de largo y se conserva en el British Museum. Este papiro fue comprado por el abogado escocés Henry Rhind en la ciudad de Luxor en el año 1858; se supone que el papiro fue escrito por el escriba Ahmes hacia el año 1650 a.C y contiene 87 problemas y sus soluciones, en escritura Hierática en lugar de la jeroglífica. La mayoria de los problemas del papiro se refieren a la repartición de porciones de pan entre un número determinado de personas (reparto proporcional), aritmética, fracciones, áreas y 1 Tomado

de http://anubisredemption.blogspot.com/2009/11/pan-en-casa.html

4.1. ORIGENES

53

volúmenes, progresiones, regla de tres, ecuaciones líneales, trigonometría básica; contiene también un método para calcular la superficie de un triángulo rectángulo.

Las soluciones de los problemas son explicadas mediante ejemplos prácticos pero en ningún momento se explican métodos o fórmulas generales. El contenido básico del papiro se refiere a la Aritmética, la Estereometría, el cálculo de pirámides, y problemas prácticos.

Los problemas se pueden clasificar en la siguiente forma: Problemas 1 - 23 Problemas 24 - 27 Problemas 28 -29 Problemas 30 - 38 Problemas 39 - 40 Problemas 41 - 16 Problema 47 Problemas 48 - 55 Problemas 56 - 60 Problemas 61 y 61b Problemas 62 - 63 Problema 64 Problemas 65 - 68 Problemas 69 - 78 Problema 79 Problemas 80 - 87

Aritmética, operaciones con fracciones Ecuaciones de primer grado Problemas de pensar un número Ecuaciones de primer grado Progresiones aritméticas Volumen y capacidades Operaciones con fracciones Áreas de figuras planas Volúmenes y poliedros Regla de los 23 Razones y proporciones Progresiones aritméticas Proporciones Reparto proporcional Progresión goemétrica Temas varios

2. El papiro de Moscú. Es un rollo de papiro de 7 cm de ancho por 5.48 metros de largo, fue comprado en Egipto en 1893 y se conserva en el museo de artes de Moscú.

Se supone que fue escrito hacia el año 1850 a.C y contiene 25 problemas de entre los cuales se destacan problemas de cálculo de volumen de un tronco de pirámide truncada, volumen de un cilindro y un intento de calcular el área de la superficie de una semiesfera.

3. El rollo de cuero de las matemáticas egipcias. Es un rollo de cuero de cordero de 25 cm de ancho por 5.18 metros de largo, fue comprado junto con el papiro Rhind y se conserva en el Museo Británico desde 1984. Solo se pudo desenrollar en 1927 debido a su fragilidad. El papiro contiene una colección de 26 sumas escritas en forma de fracciones unitarias (numerador 1).

4. Otros papiros importantes: Fuera de los tres anteriores merecen nombrarse los papiros de Kahun, Berlín, Reisner y Akhmin, todos ellos contienen problemas y conceptos aritméticos.

La escritura antigua de los egipcios se realizaba sobre piedra o ladrillos y era básicamente jeroglífica; posteriormente adoptaron la escritura en documentos mas flexibles como el papiro. La escritura jeroglífica aparece por lo general en tumbas y monumentos, mientras que la escritura cursiva (Hierática) era la que se usaba en los papiros.

4.2. LA ESCRITURA EGIPCIA

54

La escritura jeroglífica es un sistema complejo, una escritura que es a un tiempo figurativa, simbólica y fonética en un mismo texto, en una misma frase y, debería decir, casi en una misma palabra. Champollion, 1822

4.2.

La escritura Egipcia

Para tener un mejor entendimiento de la complejidad de hacer matemáticas para los Egipcios, debemos entender su lenguaje oral y escrito, en este texto no profundizaremos en este tema, pero si daremos una mirada a su extraordinaria complejidad. Antes que nada, lenguas como el español, el inglés, italiano, etc, descienden de una lengua muy primitiva hablada en la región del Caucaso (hoy el país que conocemos como Armenia) llamada proto-Indoeuropeo, el cual dió origen a la mayoría de las lenguas de Europa y Asia occidental, entre ellas el Eslabo, Griego, Armenio, Albanes, Persa y en especial el Latín, aunque en su haber existen cerca de 150 lenguas descendientes del Indoeuropeo2 . Sin embargo, la lengua egipcia no esta emparentada con ninguna de estas lenguas, pertenece a una variante aislada más antigua conocida como familia Afro-asiática relacionada con las lenguas como el Bereber y Beja3 . Esto nos muestra que no es posible hacer una traducción literal como lo hacemos con nuestro idioma y una lengua extranjera como el inglés. Para traducir el idioma egipcio se requiere ir más allá de la traducción literal como lo veremos más adelante.

Al igual que con su lengua hablada, la escritura no está relacionada con ninguna otra, inclusive con las escrituras desarrolladas por civilizaciones contemporáneas. Por esta razón y por muchos años, los eruditos pensaron que los jeroglíficos egipcios tenían un significado simbólico, es decir, creían que sus caracteres representaban una idea, pero no pensaban que tuvieran significado fonético propio. Podemos tomar como ejemplo los escudos de armas, ellos tienen un significado pero no se pueden leer. Un ejemplo de esto lo vemos en la paleta de Narmer.

Figura 4.2: Paleta de Narmer 2 Para

más información ver http://www.indoeuropean.nl/ Antonio, (1995), Ancient Egyptian: a linguistic introduction, Cambridge University press, Cambridge.

3 Loprieno

4.2. LA ESCRITURA EGIPCIA

55

En la figura 4.24 , las dos caras de la paleta de Narmer, se puede apreciar que no existe ningún jeroglífico, pero si se puede ver que la paleta “narra una historia”, la cual está llena de simbolismo. Por ejemplo, la paleta izquierda, tiene tres niveles; en el primero, se puede ver al faraón Narmer con un tamaño más grande que su comitiva, los guerreros que llevan los estandartes de guerra y frente a ellos, un grupo de prisioneros decapitados.

En esta paleta podemos deducir que el tamaño del faraón hace honor a su divinidad, poniéndolo por encima de los demás. Sin embargo, en la parte inferior, se puede ver al faraón representado como como un toro, que aplasta un enemigo y arrasa su ciudad.

Los expertos pensaron que la mayoría de los jeroglíficos egipcios se podían interpretar de la misma manera. Fue sólo hasta que Jean-François Champollion logró traducir con éxito los jeroglíficos egipcios, que se pudo profundizar en el pensamiento egipcio antiguo y desencriptar más de 4000 años de historia.

El ejemplo de la paleta de Narmer, nos muestra el extremo simbolismo que manejaban los egipcios, su escritura es aún más compleja, debido a su forma dual de representación que tenían los caracteres, pues un carácter podía representar un sonido, pero en otro contexto podía representar una idea o una palabra. Para entender el sistema de escritura egipcio, imaginemos los típicos jeroglíficos que aparecen en los pasatiempos de los periódicos y revistas:

Es fácil resolver el problema, la unión de ambas palabras nos da como resultado la palabra “soldado”. En la escritura egipcia es muy común ver esta forma de escribir las palabras. Collier y Manley5 nos muestran un ejemplo clave para entender la forma de escritura jeroglífica de los Egipcios: La manera más fácil de verlo es observando un ejemplo real. El signo representa, esquemáticamente una casa (en planta) y se utiliza para escribir la palabra “Casa” de la manera siguiente ( | representa el signo de trazo):

Se lee “Pr” y quiere decir “casa”. Ahora bien, existe otra palabra que usa la misma combinación de sonidos “p” y “r”, la palabra “salir” o “marcharse” que 4 Tomado 5 Collier

España

de http://irenelopezvallejo.blogspot.com/2010/10/la-paleta-de-narmer.html M, y Manley B, (2000-2001), Introducción a los jeroglíficos Egipcios, Alianza Editorial,

4.2. LA ESCRITURA EGIPCIA

56

en jeroglíficos se escribe así:

En esta palabra

, ya no se usa para describir una casa, sino para transmitir

la combinación del sonido “pr”. Expresado de forma más formal, como signo de sonido o fonograma.

se usa

“salir” , también muestra otros dos signos, el signo de la La palabra boca que se lee como una “r” como en que quiere decir “Boca”, aunque no tiene nada que ver con una boca aquí, se usa para complementar o aclarar la lectura de “pr”. Las piernas caminando se usan como determinativo, que es un signo que a menudo se sitúa al final de una palabra para dar una idea general de su significado, en este caso, el movimiento.

Los autores nos dan un buen ejemplo de la complejidad que representa expresar una idea escrita en jeroglíficos egipcios, además, esta escritura sólo se usaba en los monumentos en piedra. Por esta razón idearon otro alfabeto llamado Hierático, que era una versión adaptada del jeroglífico que usaban los sacerdotes y escribas para realizar los documentos oficiales; aun así, era difícil de usar. Finalmente, idearon otro alfabeto llamado Demótico (del Griego Demotika “Popular”), el cual se utilizaba para el uso común y consistía en una forma más estilizada y cursiva del Hierático.

Figura 4.3: Ejemplo de Jeroglíficos del Libro http://bluwiki.com/go/Resumen_del_libro

de

los muertos, tomado de

Figura 4.4: Ejemplo del Hierático del Papiro Edwin Smith de la Dinastía XVII, tomado de http://es.wikipedia.org/wiki/Papiro_Edwin_Smith

4.2. LA ESCRITURA EGIPCIA

Figura 4.5: Ejemplo de Demótico de la piedra http://es.wikipedia.org/wiki/Egipcio_dem %C3 %B3tico

57

Roseta,

tomado

de

Los documentos de matemáticas que escribían los egipcios eran escritos en cualquiera de los alfabetos vistos anteriormente, sin embargo, era muy común usar Hierático o Demótico para tales documentos, debido a su simplicidad. El papiro Rhind o de Ahmes y el papiro de Moscú fueron escritos en Hierático y representan dos de los más hermosos ejemplos de textos matemáticos egipcios. Sin embargo, Los egipcios se enfrentaban a problemas matemáticos a diario y como vimos anteriormente, la estructura administrativa y extrema organización de los egipcios, les obligaba a llevar registro de todo cuanto hacían.

Barry Kemp6 , nos muestra una contabilidad de los ingresos diarios en el período de un mes, del archivo administrativos de una pirámide del imperio antiguo (Faraón Neferirkare en Abu Sir).

Figura 4.6: Papiro de Abu Sir, Lámina XXXIV - Museo Británico de Londres 6 Para más información sobre el papiro de Abu Sir ver Kemp, B (1996), El Antiguo Egipto, Edt Critica, Barcelona - España.

4.2. LA ESCRITURA EGIPCIA

58

Este Papiro (figura 4.67 ) recoge información sobre los productos que se almacenan, teniendo presente el nombre del supervisor de la entrada, que trajo, la cantidad y finalmente el lugar de procedencia. La zona resaltada se puede leer de la siguiente forma: Nombre del supervisor de

Jarras de

Jarras de

Jarras de

la entrada

bebida

cerveza

harina

Ni-Taui-Kakai

3

Pan besen

Pan pesen

1

1

Pan hetja

lugar procedencia Finca Kakai

La zona resaltada, muestra que el supervisor Ni-Taui-Kakaki registra la entrada de 3 jarras de cerveza, una jarra de pan besen y otra de pan pesen, los productos provienen de la Finca Kakai. Los egipcios eran muy organizados, es probable que el papiro de Abu Sir hubiese tendido los resultados finales de las sumas de la contabilidad, pero el mal estado del papiro hace imposible saber cuales fueron los resultados finales.

Otro hermoso ejemplo de matemáticas egipcias lo podemos encontrar en la administración de los Nomos o provincias egipcias, todas ellas debían llevar un registro de los tributos al faraón. La figura 4.7 se conoce como Lista de Sesostris I8 , en ella se hace un registro de los tributos que hacen los diferentes Nomos a la casa del faraón.

Figura 4.7: Lista de Sesostris I La figura 4.7 está dividida en columnas y filas, cada columna representa el número correspondiente al Nomo y cada fila la cantidad de tributo aportado por éste. En el marco azul se puede leer el número 6006, correspondiente a un tributo posiblemente de pan hecho por el Nomo 13.

7 Tomado 8 Para

jpg

de [23] más información sobre la figura ver http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Nome_u_12_14.

4.3. SISTEMA DE NUMERACIÓN

59

Otro aspecto importante en el cual los egipcios usaban matemáticas era en la elaboración y manejo del calendario, el cual, no era muy preciso pero servía para llevar los registros del imperio. Por ejemplo, cuántos días han pasado desde que subió un faraón al trono, o para calcular las fechas de las temporadas de recolección. El siguiente es un ejemplo del conteo días, meses y años9 .

Figura 4.8: Cálculo de fechas egipcias De nuevo, el registro de los días, meses y años permitía a los egipcios tener el control del imperio. Todo su poder se basaba en la economía alrededor del río Nilo, de ellos dependía la construcción de templos y demás edificios gubernamentales, con lo que las matemáticas de alguna manera colaboraron con el funcionamiento del imperio Egipcio.

Los ejemplos anteriores muestran tres aspectos importantes de las matemáticas egipcias en relación con su lengua hablada y escrita: 1. La organización del estado y el aparato burocrático establecido por los egipcios, exigía llevar registros escritos sobre los diferentes recursos que tenían a disposición; esto nos muestra que, aunque su lenguaje escrito era más complejo que el nuestro, sirvió de base para el desarrollo de las matemáticas en Egipto.

2. El simbolismo usado por los Egipcios en su escritura, pudo haber preparado el camino para desarrollar matemáticas más complejas. Aunque inicialmente fueron las matemáticas lo primero que empezaron a escribir.

3. Las matemáticas usadas a diario por los Egipcios eran muy similares a las que usamos hoy en día, los libros de contabilidad modernos no difieren mucho a los registros que llevaban los egipcios.

4.3.

Sistema de numeración

El sistema numérico empleado por los egipcios no era único, se ha establecido que los egipcios emplearon dos sistemas de numeración: El sistema jeroglífico, utilizaba jeroglifos que representaban formas abreviadas para símbolizar cantidades y procesos especiales. Este sistema era decimal (base 9 Tomado

de http://www.egiptologia.org/ciencia/calendario/fecha.htm

4.3. SISTEMA DE NUMERACIÓN

60

diez) pero no posicional, en él, el principio aditivo determina la disposicion de los símbolos. Cada una de las potencias de diez hasta 106 , poseía un símbolo propio; los números se formaban colocando sucesivamente los símbolos de las potencias respectivas.

La unidad se repesentaba con una raya vertical y se podía repetir hasta nueve veces. El número diez se representaba con el símbolo ∩ y también se repetía hasta nueve veces. El número cien se representaba con el símbolo y se podía repetir hasta nueve veces.

0

10

1

2

3

4

5

6

10 10 10 10 10 10

Ejemplo

13245 Como el sistema no era posicional también se podría haber escrito en la siguiente forma

13245 Para las fracciones unitarias utilizaban un símbolo en forma de ovalo (boca) encima del denominador .

Ejemplo

1 , = 100

= 13

Posteriormente el ovalo fue cambiado por un punto encima del número, sobre todo cuando se estableció la escritura hierática.

Algunas fracciones tenián símbolos especiales: 1 2

=

,

2 3

=

,

3 4

=

Los egipcios también usaron una notación alternativa para las fracciones basada en las partes del ojo de Horus y que corresponde a un conjunto especial de fracciones de la forma 21k , k = 1, 2, ..., 6 Cuando se trataba de fracciones agrarias (medidas de área) los egipcios utilizaron otro simbólismo:

=

1 2 ,

=

1 4 ,

=

1 8

4.3. SISTEMA DE NUMERACIÓN

61 1 =2 1 =4 1 =8 1 = 16 1 = 32 1 = 64

Figura 4.9: Ojo de Horus Sistema Hierático (sagrado, cursivo). Este sistema también era decimal pero el principio de repetición es sustituido por signos especiales, estos signos especiales representaban los números del uno al diez y las potencias de diez, como se muestra en la figura 4.1010

Figura 4.10: Sistema Hierático Ejemplo: 9999=9000+900+90+9 se escribe como: Si este mismo número se escribiera en jeroglífico necesitaria 36 signos: 9 de mil, 9 de cien, 9 de diez y 9 de uno.

En este sistema las fracciones se representaban colocando un punto encima del número por ejemplo: 10 http://cleoppatra.com/wp-content/uploads/2010/08/Numeros_hieraticos_egipcios146.gif

4.4. ARITMÉTICA EGIPCIA

1 20

=

4.4.

,

1 5

=

,

1 8

=

,

1 3

62

=

Aritmética Egipcia

Toda la aritmética que desarrollaron los egipcios fue basada en fracciones unitarias, por lo tanto cualquier número fraccionario que se fuera a procesar había que convertirlo a fracciones unitarias excepto la fracción 32 .

4.4.1.

Las fracciones

Esta reducción se facilitaba mediante el uso de tablas de fracciones de la forma n2 .

El papiro Ahmes contiene una tabla que expresa n2 para n = 3,...,101, como suma de fracciones unitarias. El rollo de cuero contiene 26 sumas de fracciones unitarias que son iguales a otra fracción unitaria como se muestra en la siguiente tabla.

1 1 1 10 + 40 = 8 1 1 1 5 + 20 = 4 1 1 1 4 + 13 = 3 1 1 1 10 + 10 = 5 1 1 1 6 + 6 = 3 1 1 1 1 + 6 6 + 6 = 2 1 1 2 3 + 3 = 3 1 1 1 1 25 + 15 + 75 + 200 = 1 1 1 1 50 + 30 + 150 + 400 = 1 1 1 1 25 + 50 + 150 = 6 1 1 1 9 + 18 = 6 1 1 1 1 + 7 14 + 28 = 4 1 1 1 12 + 24 = 8 1 1 1 1 14 + 21 + 42 = 7 1 1 1 1 18 + 27 + 54 = 9 1 1 1 1 12 + 33 + 66 = 11 1 1 1 1 28 + 49 + 196 = 13

1 30

1 8 1 16

1 1 1 45 + 90 = 15 1 1 1 20 + 48 = 16 1 1 1 18 + 36 = 12 1 1 1 21 + 42 = 14 1 1 1 45 + 90 = 30 1 1 1 30 + 60 = 20 1 1 1 15 + 30 = 10 1 1 1 48 + 96 = 32 1 1 1 96 + 192 = 64

+

Figura 4.11

En el rollo de cuero estas dos columnas aparecen repetidas como columnas 3 y 4.

En los textos originales no aparece ninguna explicación o fórmula que explique cómo ellos procedían para establecer la suma de fracciones unitarias, pero un análisis posterior indica que posiblemente utilizaban un algoritmo que involucra multiplicar el numerador y denominador por un mismo valor y luego reducir la ecuación resultante como se ve en el siguiente ejemplo:

4.4. ARITMÉTICA EGIPCIA

1 8

63

=

1 25 × 25 8

=

1 × 5×5 8 = 5×5

1×5 5

=

1 × 5

24 40

= 51 ×

=

1 × 5

1 5

+

+

1 40

2 5

+

1 40

5×5 8×5

×

= 51 × 25 40

3×8 5×8

= 15 ×

1 5

+

1 40

+

1 3

Para hacer la descomposición de la fracción

= 15 ×

+ 2 p

1 15

3 5

+

+

1 40

1 40

=

1 25

+

1 15

+

1 75

+

1 200

recurrian a los siguientes procedimientos:

a. Si el denominador p es un primo pequeño usaban la siguiente expansión: 2 p

2 p+1

=

+

2 p(p+1)

Ejemplo 2 5

=

2 6

+ 5x2 6 =

1 3

+

1 15

b. Si el denominador p es un primo grande usaban la siguiente expansión:

2m-p 2 1 , donde m es un número con varios divisores en el rango p2 < m < p. = + p m mp

2m-p 2m-p puede ser expandido considerando la suma como una El término mp mp suma de divisores de m y formando una fracción

d mp

para cada divisor en esta suma.

En el papiro Ahmes aparece: 2 37

=

1 24

+

1 111

+

1 296

En esta expansión se escogió m = 24 porque p2 = 37 2 < 24 < 37 = p, además 2m − p = 2×24 − 37 = 48 − 37 = 11 = 3 + 8 y, 3 y 8 son divisores de 24, entonces: 3 24×37

=

1 8×3

8 24×37

=

1 3×37

1 296

= =

1 111

c. Si el denominador es un número compuesto que se factoriza como pxq, usaban la expansión 2 pq

=

1 aq

+

1 apq ,

donde a =

p+1 2

4.4. ARITMÉTICA EGIPCIA

64

En el papiro Rhind aparece: 2 21

1 14

=

1 42

+

Aquí el escriba utilizó el siguiente procedimiento: 21 = 3×7 ⇒ p = 3 y q = 7 por lo tanto a = 2 21

1 2×7

=

1 2×3×7

+

1 14

=

+

p+1 2

=

3+1 2

=

4 2

= 2, entonces

1 42

d. En el papiro Rhind también aparece la siguiente expansión: 2 101 2 p

1 101

=

=

1 p

+

1 2p

+

1 303 1 3p

+

1 606 ,

+ +

lo que indica que Ahmes uso la expansión

1 6p

Otra metodología consistía en el desdoblamiento de la fracción, como lo dice Ahmes para las siguientes fracciones

2 7

1 1 + 7 7

1 1 1 + + 14 14 7

1 1 1 1 + + + 28 28 14 7

1 1 1 1 + + + 28 28 14 7

= = = =

1 1 + 28 4

= 2 13

=

5 13

=

=

1 1 1 1 1 1 1 1 1 13 + 13 = 26 + 26 + 13 = 52 + 26 + 13 52 + 1 1 1 1 1 1 1 1 104 + 52 + 104 + 26 + 13 = 104 + 52 + 8

=

2 13

+

1 104

2 13

+

+

1 104

1 13

+

=

1 104

1 52

+

+

1 52

1 52

+

+

1 8

+

1 104

1 8

+

1 8

+

+

1 52

1 13

+

=

=

1 104

1 8

+

1 13

1 52

+

1 26

+

+

1 4

1 104

+

+

1 13

1 52

+

1 26

+

1 13

R. J. Gillings en su libro “Matemáticas en el tiempo de los faraones” opina que en la elaboración de la tabla n2 , n = 3, ..., 101, n impar los escribas pudieron tener en cuenta las siguientes reglas:

4.4. ARITMÉTICA EGIPCIA

65

1. Las fracciones unitarias se colocan en orden decreciente sin que se repitan ninguna.

2. Se prefieren las fracciones pares a las impares.

3. La primera fracción siempre es la menor pero se puede aceptar una fracción ligeramente superior si esto permite reducir la última fracción.

4. De todas las igualdades posibles se aceptan aquellas que posean el menor número de fracciones.

5. Ninguna fracción debe tener denominador mayor de mil.

6. Se prefiere una igualdad de dos términos a una de tres y una de tres términos a una de cuatro términos. No se aceptaban igualdad de más de cuatro términos Para los egipcios era muy importante la descomposición de la unidad en dos fracciones 31 y 23 por lo tanto establecieron dos reglas para obtener los 32 o 13 de cualquier valor entero o fraccionario.

Regla de la fracción 32 : “Los dos tercios de cualquier fracción son iguales a dos veces el denominador de la fracción más seis veces el denominador de la fracción” Ejemplo: Los

2 3

de

1 5

1 1 + 6× = son: 2× 5 5

1 10

Los

2 3

de

1 3

1 1 + 6× = son: 2× 5 5

1 6

+

+

1 30

1 18

Regla de la fracción 13 : “El tercio de cualquier fracción es igual a cuatro veces el denominador de la fracción más doce veces el denominador de la fracción” Ejemplo: El

1 3

de

1 5

1 + es: 4× 5

1 12×5

=

1 20

+

1 60

El

1 3

de

1 3

1 + es: 4× 3

1 12×3

=

1 12

+

1 36

El

1 3

de

1 8

1 + es: 4× 8

1 12×8

=

1 32

+

1 96

Cuando se trata de hallar el 13 o los procedían de la siguiente forma: 1 3

1 2 3

1 3

2 3

de una suma de fracciones unitarias los Egipcios

de 1 +

1 3

+

1 4

→ 1 + 13 + 41 ր 32 + 16 + 81 + = 23 + 16 + 61 + 1 = 23 + 31 + 18 1 = 1 + 18 ÷ 2 1 = 21 + 36

1 6 1 18

4.4. ARITMÉTICA EGIPCIA 2 3

de 16 +

1 52

1 679

+ 1 2 3

4.4.2.

+

1 776

66

se efectua en la siguiente forma:

→ 16 +

ր 10 + = 10 +

1 1 1 52 + 679 + 776

2 1 1 1 + + + 3 56+28 2×679 6×679 1 1 1 1 + + + 84 1358 4074 1164

+

1 776+388

La suma y resta

Para indicar la suma o la resta entre dos cantidades jeroglíficas se usaba el signo de un pié en posición de caminar.

Si el pié señala en la dirección de la escritura , indica que las dos cantidades se van a sumar, si el pié señala en dirección contraria a la escritura , indica que las dos cantidades se van a restar .

Ejemplo =10000+300-4000=6300

4.4.3.

La multiplicación

Para establecer la multiplicación entre dos números p y q los egipcios establecían dos columnas, la primera columna contiene 1, 2, 4, 8, ... hasta llegar a un valor que no supere al valor p, (2n < p); la segunda columna contiene a q, 2q, 4q, 8q, ... (desdoblamiento, duplicación) En la primera columna se buscan dos valores m y n que sumados produzcan p y se observa en la segunda columna los valores asociados a m y n y se suman, éste es el resultado del producto.

Ejemplo La multiplicación de 36x45 se haría en la siguiente forma: A B 1 45 2 90 → 4 180 ← 8 360 16 720 → 32 1440 ← 36 1620 En este caso m = 4 y n = 32 por que 4 + 32 = 36, el valor asociado a 4 en la columna b es 180 y el asociado a 32 es 1440, por lo tanto el resultado del producto es 180+1440=1620

4.4. ARITMÉTICA EGIPCIA

67

Ejemplo La multiplicación de 102x128 la realizaban en la siguiente forma

→ → → →

A B 1 128 2 256 4 512 8 1024 16 2048 32 4096 64 8192 102 13056

← ← ← ←

Se observa que el primer factor esta compuesto de 2+4+32+64 por lo tanto el valor del producto es 256+512+4096+8192=13056

4.4.4.

La división

Para efectuar la división los egipcios también establecen dos columnas, en la primera ubican el dividendo d y la duplicación de esta o sea d, 2d, 4d, ..; se continua la duplicación hasta encontrar que 2 o más números de esta columna produzcan el dividendo o un valor muy cercano al dividendo, en la segunda columna se ubica 1, 2 4, 8, 16 ... hasta que se obtenga un valor (duplicado) que no supere al divisor.

Ejemplo Para dividir 724 entre 42 se procede en la siguiente forma A B 42 1 ← 84 2 168 4 336 8 → 672 16 ← →

De la columna A se obtiene que 42+672=714 es un valor cercano al dividendo y de la columna B se obtiene que 1+16=17 es el cociente, pero queda un residuo de 10 42 .

Cuando el dividendo es menor que el divisor los egipcios procedían a sacar los 32 y el 13 del divisor y buscaban en la segunda columna la suma de dos o más resultados que fuera igual al dividendo y a estos resultados le asociaban de la primera columna los valores correspondientes Ejemplo Calcular 9÷13

4.5. LA GEOMETRÍA EGIPCIA

68 A 1

→ →

2 3

2 3 1 3 1 39

+

B 13 8 + 23 4 + 13 1 39

1 3

9

← ←

De la segunda fila se ha obtenido que 23 de 13 es 8 + 32 por lo tanto falta 31 para llegar a 1 de 13 para obtener este 13 que faltaba. El resultado 9 , esto indica que se debe calcular 39 1 2 de la división es: 3 + 39

4.5.

La geometría Egipcia

Heródoto, Estrabón y Diodoro comentaron que los egipcios fueron los inventores de la geometría y que la habian transmitido a los griegos. Desde épocas muy antiguas los egipcios tuvieron que resolver el problema de reconfigurar y medir las parcelas que eran inundadas por el río Nilo, lo cual los llevó a establecer cálculos relacionados con las medidas de superficies de triángulos, cuadrados, cuadriláteros y regiones poligonales en general.

4.5.1.

El triángulo

Los egipcios tuvieron prelación sobre la medida de los triángulos rectángulos, en especial sobre el triángulo de longitudes 3, 4 y 5 el cual llamaban el “Triángulo Sagrado” (figura 4.12) ya que es el triángulo más fácil de construir y se utilizó en las construcciones arquitectónicas antiguas. Un triángulo similar es el llamado “Triángulo Isíaco” (de la diosa Isis), de medidas 15, 20 y 25 codos egipcios y fue el más empleado en el antiguo Egipto.

b

b b b

b b b

b

b

b

b

b

Figura 4.12: Triángulo Sagrado

El triángulo Sagrado es el único que tiene sus lados en progresión geométrica, lo que hace posible que cumpla con la propiedad enunciada por Heródoto: “El cuadrado de la altura de la pirámide es igual a la superficie de una cara”. En la segunda pirámide de Giza (pirámide de Kefrén) se observa que tiene un semitriángulo meridiano proporcional al triángulo sagrado, dicho triángulo tiene base proporcional a 3 y a la altura 4; esto hace que la pirámide de Kefrén sea más pequeña que la Gran pirámide.

Para los egipcios la palabra “Seqt” designaba la razón que existe entre la base horizontal de la pirámide y su altura, era una medida muy importante y aparece en los problemas 56 a 60 del papiro Rhind. El problema 56 trata del cálculo de la seqt de una pirámide de altura 250 codos y base 360 codos. El codo es una unidad de longitud

4.5. LA GEOMETRÍA EGIPCIA

69

que vale aproximadamente 20,6 po y tiene generalmente 7 manos, una mano es 2,94 po, cada mano tiene 4 dedos y cada dedo 0,75 po.

Según Jean Paul Collette la solución del problema anterior planteada por el escriba egipcio es la siguiente: Cálcula

1 2

de 360:180

Divide 180 por 250:

1 2

+

1 5

+

1 50

codos

Un codo vale 7 manos Entonces multiplica 7 por

1 2

+

1 5

+

1 50

1 → → → →

1 2

+

1 5

1 2 1 5 1 50

+

7 3 + 12 1 1 + 31 + 15 1 1 10 + 25 1 5 + 25 manos

1 50

Mantener constante la seqt de los bloques que constituían las caras de las pirámides era de vital importancia para los constructores de las pirámides y poder así obtener pirámides cuya inclinación fuera la misma por todos los lados.

h h´ b´ b

seqt (α) =

h b

=

h´ b´

Figura 4.13

La solucion del problema 56 corresponde a un ángulo de 54o , 14′ .

4.5.2.

Cálculo de superficies

El problema 51 del papiro Rhind dice:

4.5. LA GEOMETRÍA EGIPCIA

70

“Si te dicen: un triángulo de diez varas de meryt 11 (altura) y de cuatro varas de base; ¿Cuál es su superficie?

Calcularás así: Tomarás la mitad de 4, o sea 2 para hacerlo rectángulo Multiplicarás 10 por 2. Esto es su superficie.”

Solución

B

△ABC es el triángulo inicial de altura 10 varas de meryt. Se toma la mitad de la base (2 varas de meryt) y se obtiene el triángulo rectángulo △BCD. Se calcula su área

10×2 = 10 .

El área del △ABC = 2 veces 2 el área del △BDC = 20

10 2

2

A

C

D

El problema 52 se refiere a un triángulo truncado o trapecio y dice: “Si te dicen: ¿cuál es el área de un triángulo truncado de tierra de 20 khet 12 en su altura, 6 khet, 4 khet en su línea truncada.?

Calcularás así: Añadir su base a su línea truncada, esto hace 10 Tomad la mitad de 10, es decir 5 para su rectángulo Multiplicad 20 veces 5, esto hace 100. Esto es el área.”

Solución 4

B

C

6

E

20

A

6

D

4

F

La primera línea de la solución del escriba es equivalente a formar un rectángulo al añadir al trapecio inicial el mismo trapecio pero en forma invertida. Se forma el rectángulo ABF E que contien 2 veces al trapecio inicial. Al tomar la mitad de 10 el escriba indica que se va a trabajar con la mitad de la base del rectángulo formado. Al multiplicar 20 por 5, calcula el área de la mitad del rectángulo ABF E que es equivalente al área del triángulo truncado.

11 Algunos historiadores opinan que varas de meryt se refiere a la unidad de medida de longitud usada en la época del reinado de la princesa y posteriormente reyna Meryt - Neith (c.a 3040 a.C), esposa de Djer, tercer rey de la primera dinastía; después fue esposa de Uadji, el rey serpiente, sucesor de Djer y fue la madre de Den quinto rey de la dinastía.

12 Khet significa vara

4.5. LA GEOMETRÍA EGIPCIA

4.5.3.

71

El círculo

Los problemas 41, 42, 43, 48 y 50 del papiro Rhind se relacionan con la cuadratura del círculo. En el problema 50 el escriba propone un método para hallar el área del un círculo. En el problema 48 dice: “un círculo inscrito en un cuadrado tiene diámetro 9 khets, compare sus áreas”.

El problema 48 presenta una regla para construir un cuadrado de área casi igual a la del círculo. La regla es: “cortar 91 del diámetro del círculo y construir el cuadrado con lo que resta”.

Si d = 9 khets = diámetro del círculo, entonces.

2 2 Área del cuadrado =L2 = d − 91 d = 9 − 91 9 = 82 = 64u2 ⇒ L = 8 khets.

Área del círculo = π

d 2 2

2

= π (4,5) = 63,6172.

Observese que el área del cuadrado es aproximadamente igual al área del círculo de diámetro d, por lo tanto el escriba Ahmes propone que para establecer la cuadratura del círculo basta construir un cuadrado de lado L = d − 91 d.

El cálculo del valor de π = 3 61 lo obtuvieron a partir de un cuadrado de lado 9; dentro de este cuadrado construyeron un octógono de forma tal que el área de los triángulos isósceles que se forman en las esquinas sea 4 21 unidades.

3

3

3

3

3

3

Figura 4.14

Área del cuadrado = 9 × 9 = 81, Área del triángulo = 21 (3 × 3) = Área del octógono =área del cuadrado - áreas de los triángulos = 81 − 4 ×

9 2

= 81 − 18 = 63

(63 Ňrea de un cuadrado de lado 8).

9 2

4.5. LA GEOMETRÍA EGIPCIA

72

El área del octógono es aproximadamente igual al área del círculo inscrito en el cuadrado de lado 8.

Entonces área del círculo inscrito = donde π =

16 2 9

= 3 61 .

2 8 9d

=

8 9

× 2r

2

=

16 2 2 r 9

= πr2 ,

Del resultado anterior se deduce que los escribas egipcios para cálcular el área del círculo tomaban 19 del diámetro y con ello calculaban el área del cuadrado correspondiente, lo cual produce un valor para π de 3.16 que es mejor que el calculado por otras civilizaciones de la misma época, las cuales establecian π = 3.

En el papiro Rhind, el problema 50 hace uso del procedimiento anterior: “Metodo para cálcular un trozo de tierra circular cuyo diámetro son 10 varas ¿Cuál es la superficie de la tierra?

Debes quitar de 1 su novena parte. Quedan ocho: entonces tienes que multiplicar a ocho, ocho veces, lo que hace 64 mira, la superficie es 6 Kha y 4 Sehat”

4.5.4.

Volúmenes

Los escribas egipcios sólo estaban interesados en el cálculo de los volúmenes que se presentaban en la vida real: pirámide, tronco de pirámide, cilindro, etc. En el papiro de Moscú, problema 14 se lee lo siguiente: “Si se os dice: una pirámide truncada de h=6 y de base 4 y 2; debeis tomar el cuadrado de 4 que es 16, después doblar 4 para obtener 8, tomar el cuadrado de 2 que es 4, sumar 16, 8 y 4 para obtener 28; calcular un tercio de 6 que es 2, multiplicar 28 por 2 que da 56; veis, es 56”

Se evidencia que el escriba conocía la fórmula V = h3 a2 + ab + b2 para hallar el volumen de un tronco de pirámide de base cuadrada, donde a es el lado de la base inferior y b el lado de la base superior, h la altura. No se tiene evidencia cómo fue descubierta dicha fórmula.

CAPÍTULO 5 MATEMÁTICAS DE LA ANTIGUA GRECIA

Mar Adriático

Mar Negro

TRACIA MACEDONIA Antipolis Pella

Apolonia

ÉPIRO

Tasos Sesto

Olinto

Pidna

Samofracia

Dodona

Mar Jónico

Mar Egeo

Larisa Farsalia

Ambracia

Delfos Queronea Patrás Corinto Megalópolis

Calcis

Mililene

EUBEA

Tanagra Caristos

Samos

Atenas El Pireo

Mileto Naxos

Mar Mediterráneo

Éfeso Priene Yaso Halicarnasco Cnido

Cytera

73

Focea

Quíos

Esparta

Grecia Antigua

Abydos Troya

TESALIA Cortú

Bizancio

Abdera

Knosos Creta

Rodas

5.1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN

74

La civilización griega (Helénica) surgió probablemente de la fusión de las razas Egeas con los invasores Aqueos provenientes de la Europa central a finales de la edad de bronce.

Se formó una raza extraordinariamente activa, inteligente, intuitiva y organizada. Fue una raza de hombres dedicados a la busqueda de la verdad en todas sus formas. Desde el siglo VI a.C los helénicos se preocuparon por investigar el “cómo” y establecer el “porqué” lo que los condujo a crear ciencia deductiva en muchos ámbitos del conocimiento.

El mundo griego tenía su centro cultural y comercial en las costas del mar Egeo y el mar Jónico, con numerosas colonias diseminadas por las costas del mar Negro y el mar Mediterraneo. Las colonias que estaban situadas cercas de las culturas egipcia y babilónica, supieron aprovechar la influencia de conocimientos de tipo matemático y astronómico y la disiminaron por todo el mundo helénico.

Con relación a la historia de las matemáticas griegas se ha establecido que el libro más antiguo “Catálogo de matemáticos” se debe a un discipulo de Aristóteles, Eudemo de Rodas (siglo IV a.C). Sus escritos estan desaparecidos pero Proclo en el siglo VI d.C lo relaciona en su libro “Comentarios sobre el primer libro de Los Elementos de Euclídes”. Allí también Proclo dice que Tales de Mileto fue el fundador de las matemáticas griegas y más exactamente el fundador de la geometría griega. Según Heródoto y otros historiadores, fue Tales de Mileto quien en los principios del siglo VI a.C, llevó desde Egipto las matemáticas a Grecia, y quien le dió la característica más importante: el concepto de demostración o prueba, característica que se conservó desde la antiguedad hasta el declive de la matemática griega; Esto contribuyó a que los griegos tomaran la matemática como una ciencia deductiva y rechazaran el aspecto empírico y no aceptarán más que el rigor matemático basado en un conocimiento teórico antes que práctico.

Las matemáticas griegas alcanzaron su más alto nivel en el período helenístico (época posterior a la muerte de Alejandro Magno), pero sus origenes se remontan unos tres siglos atrás. No se tiene evidencia sobre la matemática escrita antes de Euclídes, aunque existe un pequeño trabajo de astronomía posiblemente de Autólico; ningún texto completo de matemáticas de ese período se ha conservado.

5.1.

Sistemas de numeración

En Grecia se desarrollaron varios sistemas de numeración puesto que toda la peninsula griega estaba fraccionada en regiones o ciudades independientes que la mayoria de las veces usaban variantes del dialecto griego antiguo. Se destacaron dos sistemas de numeración: el sistema Atico o Herodiano y el sistema Jónico o Alfabético. Los dos sistemas eran de base 10 y aditivo y se utilizaban esencialmente con los números enteros.

5.1.1.

Sistema Atico

Este sistema se estima que tuvo su origen en el siglo VI a.C, es de base diez, aditivo y no posicional, los signos no son símbolos numéricos en el verdadero sentido del término pues proceden de las primeras lectras de las palabras que se usaban para nombrar algunos

5.1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN

75

números.

Los signos del sistema Atico son: | = 1 || = 2 ||| = 3 |||| = 4 Γ =5 P enta ∆ = 10 D´ eka H = 100 Hekat´ on X = 1000 Ch´ılioi M = 10000 M yr´ıori Para representar los números 6, 7, 8 y 9 se adicionaban al 5 los signos del número uno correspondientes.

Los números 50, 500 y 5000, etc. se formaban combinando el símbolo Γ con los símbolos ∆, H, X, M , etc.

Ejemplo

H

X

M

X

=50=5x10 =500=5x100 =5000=5x1000 =50000=5x10000

XX HHH

5.1.2.

H

=5000+2000+500+300+30+5+4=7839

El sistema Jónico

En el siglo III a.C los griegos adoptaron el alfabeto de los fenicios que utilizaba 22 letras (todas consonantes); añadieron vocales a estas consonantes para poder expresar tres conjuntos de nueve números: las unidades, las decenas y las centenas.

Los signos del sistema numérico Jónico antes de la introducción del alfabeto con minúsculas era: A=1 B=2 Γ=3 ∆=4 E=5

I = 10 K = 20 Λ = 30 M = 40 N = 50

P = 100 Σ = 200 T = 300 Y = 400 Φ = 500

=6 Z=7 H =8

Ξ = 60 O = 70 Π = 80

X = 600 Ψ = 700 Ω = 800

Θ=9

= 90

= 900

5.1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN

76

Cuando ya se estableció el alfabeto con letras minúsculas, se efectuó la siguiente correspondencia.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

α β γ δ ǫ ζ η θ

alpha beta gamma delta epsilon vau zeta eta theta

10 20 30 40 50 60 70 80 90

ι κ λ µ ν ξ o π

iota kappa lamda mu nu xi omicron pi koppa

100 200 300 400 500 600 700 800 900

rho segma tua upsilon phi chi psi omega sampi

ρ σ τ υ φ χ ψ ω

Para poder distinguir cuándo una serie de símbolos representaban números o palabras, se introdujo en los textos matemáticos tres símbolos especiales que se ubicaban encima o al lado de las letras minúsculas, estos símbolos fueron: −,

,

.

La forma más ortodoxa para distinguir un número de una letra era ubicarle encima una raya horizontal: α = 1, α = alpha.

Para establecer las potencias de mil los griegos utilizaban las primeras nueve letras del alfabeto precedidas de un acento: α = ´α=1 × 1000 = 1000 β = ´β=2 × 1000 = 2000

θ = ´θ=9 × 1000 = 9000.

Para escribir números superiores a 10000 se usaba el principio de la multiplicación que consistia en colocar encima o a la derecha de M el símbolo de los números del 1 al 9999, separados por un punto del resto del número .

Ejemplo 40,000 =

δ M

54,351,234 = M ǫνλǫ.αβγδ. La formación de este número se explica a continuación:

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA M ǫ M _ν M __λ M ___ǫ .α ._β .__γ .___δ

77

= 10,000 × 5,000

= 50,000,000

= 10,000 × 10×3

= 300,000

= 10,000 × 100 × 4 = 10,000×1×5 = 1,000 × 1 = 100×2 = 10×3 = 1×4

= 4,000,000 = 50,000 = 1,000 = 200 = 30 =4

34,531,432 =M γδǫγ.αδγβ, se explica en la siguiente forma:

M γ M _δ M __ǫ M ___γ .α ._δ .__γ .___β

= 10,000 × 3,000

= 30,000,000

= 10,000 × 10 × 5

= 500,000

= 10,000 × 100 × 4 = 10,000 × 1 × 3 = 1,000 × 1 = 100 × 4 = 10 × 3 =1×2

= 4,000,000 = 30,000 = 1,000 = 400 = 30 =2

Para establecer las fracciones unitarias utilizaron el acento después del signo que simbolizaba el denominador.

Ejemplo 1 3

=γ ,

5.2.

1 7

=ζ ,

1 80

=π ,

1 900

=

Períodos de la matemática griega

Para hacer un estudio riguroso de la matemática griega, los historiadores han establecido cuatro períodos claramente diferenciados al tener en cuenta métodos, contenidos y localización geográfica. Estos 4 períodos son: a. Período Jónico (Período inicial). Desde finales del siglo VII a.C, hasta la mitad del siglo V a.C. El centro de actividad matemática fue Mileto y las costas de Asia Menor. b. Período Ateniense. Desde aproximadamente el 450 a.c, hasta el 300 a.C. El centro de actividad matemáticas fue Atenas. c. Período Helénistico (Período Alejandrino). Desde mediados del siglo IV a.C hasta mediados del siglo II a.C. El centro de actividad matemática fue Alejandría

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

78

d. Período de Decadencia (Período de comentaristas, neoplatónicos y neopitagóricos).

Desde el siglo I a.C hasta el siglo V d.C. El centro de actividad matemática fue Atenas y Alejandría.

5.2.1.

Período Jónico

Desde finales del siglo VII a.C las ciudades-estado jónicas de las costas de Asia Menor y de las islas adyacentes, se convirtieron en centros comerciales y culturales, especialmente la ciudad del Mileto y en ellas aparecieron ilustres filósofos y famosos matemáticos como Tales, Anaximandro, Anaxímenes, Heráclito, Pitágoras, Anaxágoras, Parménides, Empédocles, Arquitas de Tarento y Demócrito y otros, quienes fueron filósofos dedicados al estudio de la naturaleza y desde una posición ideológica, materialista y dialéctica trataron de comprender y explicar la naturaleza. Concivieron la idea de una “sustancia primaria” lo que les permitió aproximarse a un concepto de materia como categoría filosófica para poder describir la realidad objetiva. En este período tuvo lugar la formación de la matemática como ciencia independiente. Se precisó la naturaleza de la definición. Las demostraciones de los teoremas se realizaba mediante la comprensión que se tiene de cómo funcionan las cosas en la matemáticas. La matemática adquirió estructura lógica y se pudo establecer una clara distinción conceptual entre hipótesis, teorema y demostración.

5.2.1.1.

Tales de Mileto (ca. 624 a.C. 548 a.C)

Es el primer hombre griego al que se le atribuyen descubrimientos matemáticos precisos. En la antiguedad era considerado uno de los siete sabios de Grecia. El historiador Heródoto le atribuye la predicción del eclipse de sol del 8 de mayo del 585 a.C. Según Proclo a Tales se le atribuye las siguientes proposiciones o teoremas: a. Cualquier diámetro biseca un círculo. b. Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales (congruentes). c. Todo triángulo inscrito en un semicírculo es un triángulo recto. d. Dos triángulos son semejantes cuando coinciden en un lado y sus dos lados adyacentes (teorema del ángulo-lado-ángulo). e. La suma de los ángulos interiores de una triángulo es 180 grados.

Además de los teoremas anteriores se le atribuye un método para medir la distancia desde la orilla a un barco que se encuentra en el mar y un procedimiento para calcular la altura de una pirámide con la ayuda de un bastón vertical, usando triángulos semejantes.

Uno de sus aportes más importantes a la matemática fue el método demostrativo pues él exigía que toda afirmación matemática tenía que ser demostrable.

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA 5.2.1.2.

79

Demócrito de Abdera (ca. 460a.C. 370 a.C)

Desarrolló una teoría atomista de orientación materialista, cuya influencia ha perdurado hasta nuestra época. Sus conocimientos matemáticos los adquirió en Atenas, Egipto, Mesopotamia y Etiopía.

De sus libros solo se conocen los titulos, pues ellos estan desaparecidos; los principales tratados que escribió fueron: a. Sobre el contácto del círculo y la esfera. b. Sobre las tangentes. c. Sobre la geometría. d. Sobre los números. e. Sobre extensiones (representación de las superficies sobre el plano) Logró expresar correctamente, por primera vez, los volúmenes de la pirámide y el cono (no se conoce su demostración).

Se le atribuye la invención de la construcción de la bóveda, investigaciones sobre las leyes de la perspectiva en la escenografía, la comprobación de la relación entera de la longitudes de las cuerdas del monocordio con los intervalos de tono.

Decía que el número ayuda a la comprensión de la naturaleza y tenía la idea de que el número entero es la medida de todas las cosas. En esto es casi idéntico a la doctrina de la escuela pitagórica.

Su doctrina del atomismo establecía que todos los fenomenos físicos deben ser explicados en términos de átomos infinitamente pequeños, que se mueven en el espacio vacío. La creación del universo es el resultado de un ordenamiento y cuagulación de átomos que tienen la misma forma (cierto parecido). Esta teoría de los átomos duros e impenetrables (indivisibles) ya había sido propuesta por Leucipo. Se le acusa de haber plagiado a Leucipo, Pitágoras y Anaxágoras en esta teoría atomista.

Concebía los sólidos como una suma de un número infinito de capas planas paralelas unas a otras, infinitamente delgadas, infinitamente próximas. Esta concepción infinitesimal posiblemente le sirvió para establecer que el volumen de una pirámide es un tercio del volumen de un prisma que tiene la misma base y la misma altura.

5.2.1.3.

Hipócrates de Quíos (ca. 470 a.C. 410 a.C)

Matemático griego del período jónico, fue el geómetra más celebre del siglo V, precursor de Euclídes en diversos temas de geometría, se ocupó especialmente del problema de la cuadratura del círculo, la construcción del hexágono regular, la circunferencia circunscrita a un triángulo, etc. y consiguió, con la llamada lúnula de Hipócrates, trazar con regla y compás una lúnula de área igual a la de un triángulo que

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

80

es mitad de un cuadrado dado. Aplicó el procedimiento denominado “por reducción al absurdo” y escribió la primera exposición sumaria de la geometría, titulada Elementos, siguiendo lo que desde entonces se convirtió en el esquema clásico de presentación de conceptos matemáticos: hipótesis, teorema y demostración. Los historiadores creen que los libros I, II, III y IV de los Elementos de Euclídes provienen de la obra de Hipócrates.

Hipócrates halló cinco tipos de lúnulas que admitían cuadratura, dos de ellas se muestran a continuación.

B L1

L2

L

T A

área L1 + área L2 =área T

C

área L =área ∆ABC

Fue el primero que observó que el problema de la duplicación del cubo se reduce a encontrar dos medias proporcionales en proporción continua entre dos rectas dadas. El problema de la duplicación del cubo provenía de una predicción del Oráculo de Delfos que establecia que si los habitantes de cierta región de Grecia no duplicaban el volumen de uno de sus altares en forma de cubo, una epidemia extinguiría toda la población. En notación moderna la solución de Hipócrates consiste en construir un segmento x tal que √ x3 = 2a3 , entonces x = a 3 2 donde a es la longitud de la arista del altar original.

Hipócrates dedujo que el problema es equivalente a la construcción de dos medias proporcionanes x e y a un segmento a y a otro el doble del largo (2a), es decir se debe solucionar la siguientes proporciones:

a x y = = x y 2a De los dos primeros términos se obtiene que y = dos últimos términos se llega a que:

x2 a

y reemplazando este valor en los

ax x2 = x2 2a2 por lo tanto x3 = 2a3 . esta relación ya expresa la duplicación del cubo inicial de lado √ a en un cubo de lado x. o sea que el nuevo cubo tendrá arista de lado x = 3 2a.

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA 5.2.1.4.

81

Pitágoras de Samos (585 − 500 a.C)

La influencia de la matemática aritmético-algebraíca de la Mesopotámia se observa más claramente en Pitágoras de Samos y en su escuela politico-religiosa que él fundó en el sur de Italia. La sociedad de los pitagóricos presentaba las características propias de una secta religiosa porque ellos pregonaban que la unión con lo divino debía alcanzarse mediante el estudio profundo de las leyes del mundo de los números, pues la escencia del mundo se hallaba en la armonia de los números. El aspecto más positivo de la escuela de Pitágoras era que toda afirmación matemática debía ser demostrada a partir de postulados y que las propiedades y características observadas en el campo de los números debían ser formuladas de manera abstracta. Su mérito principal radica en el hecho del estudio de lo cuantitativo, de lo comprensible numéricamente y de las componentes importantes para la descripción del universo.

Para los pitagóricos los números no son el resultado de un proceso de abstracción obtenido por el hombre a partir de la realidad objetiva, si no entes objetivos en sí mismos, dotados de cualidades como los masculino, lo femenino, el odio y el amor; esto los condujo a la creación de los llamados números poligonales o figurados a los cuales le atribuían ciertos poderes y eran objeto de gran veneración. El pitagórico Filolao afirma: “La eficiencia y la naturaleza del número se deben juzgar según la fuerza que reside en el número diez. Pues ella es grande, perfectiva y productiva de todo, y es principio y guia de la vida divina, celeste y humana.”

Figura 5.1: Números poligonales pitagóricos

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

82

Para la escuela pitagórica existieron 4 clases de números importantes: los triángulares, los cuadrados, los pentagonales y los hexagonales. La unión del concepto de número con la imágen geométrica les permitió una representación visual que tiene que ver con las dos escencias matemáticas importantes: el número y la forma, dotandolos de propiedades y relaciones que son completamente independientes de todo simbolismo introducido para representarlos (figura 5.11 ), otorgandoles de este modo un caracter universal e inmutable.

Por medio de los números figurados se podía hallar, en una forma experimental, la suma de diversas series Pn

i=1

Pn

i=1

i=

1 2

(n + 1) n,

(3i − 2) =

1 2

Pn

i=1

(3n − 1) n

2i = (n + 1) n,

Pn

i=1

(2i − 1) = n2 ,

Los pitagóricos a partir de las distribuciones geométricas de los números poligonales pudieron establecer importantes propiedades aritméticas de los números enteros como se evidencia a continuación.

Si T (n) representa un número triángular cualquiera, entonces: T (n) + T (n) = n (n + 1) ⇒ T (n) =

n(n+1) 2

A continuación se muestra una tabla de números poligonales con su respectiva fórmula que los genera al hacer variar n.

1 Tomado de http://virtual.uptc.edu.co/ova/estadistica/docs/autores/pag/mat/Pitagoras11. asp.htm

n=1 1 2 n (1n + 1) 1 2 n (2n − 0) 1 2 n (3n − 1) 1 2 n (4n − 2) 1 2 n (5n − 3) 1 2 n (6n − 4) 1 2 n (7n − 5) 1 2 n (8n − 6) 1 2 n (9n − 7) 1 2 n (10n − 8) 1 2 n (11n − 9) 1 2 n (12n − 10) 1 2 n (13n − 11) 1 2 n (14n − 12) 1 2 n (15n − 13) 1 2 n (16n − 14) 1 2 n (17n − 15) 1 2 n (18n − 16) 1 2 n (19n − 17)

2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

4 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60

5 10 16 22 28 34 40 46 52 58 64 70 76 82 88 94 100 106 112 118

6 15 25 35 45 55 65 75 85 95 105 115 125 135 145 155 165 175 185 195

7 21 36 51 66 81 96 111 126 141 156 171 186 201 216 231 246 261 276 291

8 28 49 70 91 112 133 154 175 196 217 238 259 280 301 322 343 364 385 406

9 36 64 92 120 148 176 204 232 260 288 316 344 372 400 428 456 484 512 540

10 45 81 117 153 189 225 261 297 333 369 405 441 477 513 549 585 621 657 693

11 55 100 145 190 234 280 325 370 415 460 505 550 595 640 685 730 775 820 865

12 66 121 176 231 286 341 396 451 506 561 616 671 726 781 836 891 946 1001 1056

13 78 144 210 276 342 408 474 540 606 672 738 804 870 936 1002 1068 1134 1200 1266

91 169 247 325 403 481 559 637 715 793 871 949 1027 1105 1183 1261 1339 1417 1495

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

√ 2yx+1+1 6

83

Si l = # de lados de un polígono ⇒ la fórmula para el n − esimo número poligonal de l lados es: n((l−2)n−(l−4)) 2

Test para saber si un número x es pentagonal: n =

Fórmula Triangular Cuadrado Pentagonal Hexagonal Heptagonal Octagonal Nonagonal Decagonal 11-agonal 12-agonal 13-agonal 14-agonal 15-agonal 16-agonal 17-agonal 18-agonal 19-agonal 20-agonal 21-agonal

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

84

Si n resulta entero ⇒ x es el n − esimo número pentagonal.

Teorema2 : “Todo número natural es la suma, a lo máximo, de 3 números triangulares” N = △1 + △2 + △3 Teorema: La suma de los n primeros números naturales es un número triangular T1 = 1,

T2 = 1 + 2 = 3 T3 = 1 + 2 + 3 = 4, . . . Tn = 1 + 2 + 3 + . . . + n

Teorema: La suma de los n primeros números impares es un número cuadrado .

C1 = 1,

C2 = 1 + 3 = 4,

C3 = 1 + 3 + 5 = 9, . . . Cn = 1 + 3 + 5 + . . . (2n − 1)

Teorema: Todo número cuadrado es la suma de dos triangulares consecutivos.

Cn = Tn + Tn−1 La concepción filosófica que los pitagóricos concebían para los números enteros era: 1. La Unidad: lo Divino, origen de todas las cosas. El ser inmanifestado.

2. La Díada: desdoblamiento del punto, origen de la pareja masculino-femenino.

Dualismo interno de todos los seres.

3. La Tríada: los tres niveles del mundo: celeste, terrestre, infernal, y todas las trinidades.

4. El Cuaternario: los cuatro elementos, tierra, aire, fuego y agua, y con ellos la multiplicidad del universo material.

La Santa Tetraktys pitagórica. Para los pitagóricos el número diez era un número sagrado, formado por el 1 + 2 + 3 + 4 y que se puede disponer en forma triángular, pero a la vez esta compuesto de los siguientes triangulares: 1, 3, 6, 10.

Figura 5.2: Santa Tetraktys 2 Este

teorema también fue establecido por Gauss:

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

85

El conjunto constituye la Década, la totalidad de Universo: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 = 1 + 0 = 1.

La enseñanza pitagórica de lo par y de lo impar les condujo a otra clase de números (mistisismo numérico) que fueron los números perfectos. Afirmaron que los números de la forma 2n 20 + 21 + 22 + · · · + 2n son perfectos, si la expresión entre paréntesis es un número primo. Un número x es perfecto si es igual a la suma de sus divisores propios, incluido el 1 (excluyendo el propio número). Los pitagóricos establecieron como números perfectos al 1, 6, 28, 496 y 8128.

El libro “Enseñanza de lo par y lo impar” de los pitagóricos sería incluido más tarde en el libro IX de Los Elementos de Euclídes. La teoría de las relaciones numéricas o proporciones y la teoría de la divisibilidad fueron incluidas en el libro VII de Los Elementos de Euclídes.

Según H. Wussing: “La concepción pitagórica de la indivisibilidad del 1, que ni siquiera era considerado un número, les condujo a buscarse un equivalente a las fracciones, esto es las proporciones numéricas. En lugar de reducir una fracción, se reducian proporciones numéricas. La reducción a común denominador de los denominadores condujo necesariamente a la investigación del mínimo común múltiplo, es decir, en expresión de Euclídes, a la determinación del número más pequeño que es medido por estos números. La teoría de las proporciones, esto es, de la relaciones de los números naturales se basaban en la siguiente definición: Los números son proporcionales cuando el primero es de la segunda cantidad la misma parte o el mismo conjunto de partes que el tercero de la cuarta”.

La teoría de la divisibilidad la basaron en las siguientes definiciones : a. Un número primo es un número que se puede comparar sólo con la unidad como medida común. b. Primos entre sí son números que se pueden comparar sólo con la unidad como medida común.

La existencia de infinitos primos aparece en el libro IX de Los Elementos de Euclídes: “Hay más números primos que cualquier cantidad de números primos”.

Los primeros pitagóricos ya conocían algunos poliedros regulares como el cubo, el tetraedro, el dodecaedro, el octaedro y el icosaedro. Algunos investigadores afirman que llegaron al conocimiento del dodecaedro al examinar los cristales de pirita que es un material muy abundante en la magna Grecia (Italia), la cual se cristaliza como un dodecaedro. El pentagrama, símbolo de la orden de los pitagóricos, alude también al dodecaedro, pues las doce caras de este poliedros son pentágonos regulares.

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

86

Pentagrama (Pentalfa) Símbolo de los pitagóricos De la figura de un dodecaedro regular, cortada por la mitad en dos pentágonos que, a su vez se descomponen en seis figuras semejantes, los pitagóricos obtuvieron el emblema místico del pentalfa, lo que supone la división de la recta en media y extrema razón.

Pentágono VI

Se cree que los pitagóricos con base a estudios del pentagrama, llegaron al conocimiento de la existencia de segmentos inconmensurables (o cantidades inconmensurables) y al descubrimiento de los números irracionales (Hipaso de Metaponto).

“Se puede afirmar con bastante certeza que el descubrimiento de la existencia de segmentos mutuamente no comparables (inconmensurables) se llevó a cabo todavía en el seno de la escuela pitagórica y posiblemente no más tarde del año 420 a.C; dos segmentos no son medibles, son inconmensurables cuando la longitud de cada uno de los segmentos no es a la vez múltiplo entero de la de un tercer segmento cualquiera que se elija como unidad” 3 .

La demostración de que dos cantidades son inconmensurables fue establecida por los pitagóricos mediante el método de contradicción (Reducción al absurdo).

Para demostrar que la diagonal b y el lado a de un cuadrado son inconmensurables, posiblemente los pitagóricos realizaron una demostración como la siguiente:

b a 3 H.

1998.

a

Se supone que la conclusión es falsa, o sea que a y b si son conmensurables, entonces existe una cantidad u común a ambas magnitudes, entonces existen m y n pertenecientes a los naturales tales que:

Wussing. Lecciones de Historia de las Matemáticas. Editorial Siglo XXi de España editores S.A.

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA a = mu

(1), b = nu

(2).

√ además b2 = a2 + a2 ⇒ b2 = 2a2 ⇒ b = a 2

√ De (2) y (3) se obtiene que a 2 = nu Multiplicando por

87

(3).

(4).

√ √ √ 2 en (1) se obtiene que a 2 = mu 2

√ √ Igualando (4) y (5) se obtiene que nu = mu 2 ⇒ 2 =

nu mu

(5). ⇒

√ 2=

n m

√ n es un racional, por lo tanto 2 es un racional, Como m y n son naturales, entonces m lo cual es falso. Suponer que a y b son conmensurables conduce a una contradicción, por lo tanto el supuesto es falso, o sea que a y b son inconmensurables.

Una demostración como la anterior posiblemente sea de carácter más moderno y se acepta que los pitagóricos realizaron la demostración de la inconmensurabilidad basados en el pentágono regular y utilizando el antiguo método de cambio de camino.

“El cambio de camino desempeñó un papel central en la matemática griega en sus aspectos metodológicos; con este procedimiento se pudo determinar, por ejemplo, la mayor medida común (máximo común divisor) de dos números. El método de cambio de camino consiste en lo siguiente: Dadas dos magnitudes diferentes a y b, com a < b, se quita a la mayor, la menor; de entre la nueva magnitud obtenida b − a y a, se vuelve a quitar a la mayor la menor y asi sucesivamente. Este procedimiento no descompone a a · b, si las magnitudes son inconmensurables. Este teorema fue demostrado por Euclides en el libro X, donde lo formula de la siguiente manera: Si dadas dos magnitudes distintas, al quitar alternativamente la más pequeña a la mayor, el resto nunca coincide con la magnitud precedente, entonces dichas magnitudes han de ser inconmensurables4 .”

Wussing en su obra ya citada presenta la siguiente demostración: E

A , C , B

, D

,,

,,

A

E

,,

,,

B

D

,,

D

, A

C

, E

B

C

Las diagonales del pentágono regular, forman de nuevo un pentágono regular y así sucesivamente. Para la cadena de pentágonos obtenidos en este proceso se obtienen las 4 Wussing

ob cit. Nota 3.5

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

88

siguientes relaciones: AE = AB ′ y B ′ D = B ′ E ′ ⇒ AD − AE = B ′ E ′ AE = ED′ = EA′ y B ′ E ′ = B ′ D = B ′ E ⇒ AE − B ′ E ′ = B ′ A′ y así sucesivamente sin llegar a finalizar nunca; es decir: a. La diferencia entre la diagonales y el pentágono mayor es igual a las diagonales del pentágono menor. b. La diferencia entre los lados del pentágono mayor y las diagonales del pentágono menor es igual a los lados del pentágono menor. c. La diferencia entre las diagonales del pentágono menor y sus lados respectivos es de nuevo igual a las diagonales del siguiente pentagono menor, y así indefinidamente.

El proceso de cambio de camino se puede continuar y por ello, no es posible encontrar una medida común máxima para las diagonales y los lados del pentángono regular: existen segmentos mutuamente inconmensurables. √ La demostración de la irracionalidad de 2 posiblemente apareció en una época posterior, puesto que resulta más complicada si se lleva a cabo mediante un procedimiento parecido al de cambio de camino.

La secta de los pitagóricos comenzó a fraccionarse en dos grupos entre los años 500 450 a.C; uno de estos grupos era llamado Akousmatikoi que hacian énfasis en los ritos y preceptos (el Akousmata) pitagóricos convenientes para la vida. El segundo grupo fue el que tuvo verdadero interés por las matemáticas y se les llamó los Mathematikoí; esta denominación deriva del hecho de que los pitagóricos consideraban 4 disciplinas teóricas (mathémata) cuyo conjunto hacia referencia a la representación del universo ordenado según el número y la medida. Estas disciplinas eran: Teoría de números (Aritmethika), geometría (geometria), teoría de la música (harmonika) y astronomía (astrología); de aquí se puede derivar también el nombre de matemáticas.

5.2.1.5.

Arquitas de Tarento (c.a 430 - 360 a.C)

A finales del período Jónico aparece la figura de Arquitas de Tarento, pitagórico y amigo de Platón, que continuó con la tradición pitagórica de situar la aritmética por encima de la geometría, realizó importantes contribuciones a la teoría de la divisibilidad, desarolló teoremas sobre las proporcionalidades numéricas y sobre las desigualdades relativas a las tres medias: media aritmética, media geométrica y media armónica.

Arquitas desarrolló una construcción espacial de la duplicación del cubo a partir de la intersección de tres superficies construidas en el espacio de tres dimensiones.

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

89

Según Collette5 en el período que separa a Pitágoras de Platón los matemáticos griegos estuvieron preocupados por la solución de seis problemas matemáticos: 1. Fundamentación sistemática de la geometría plana: Teoría de las paralelas, ángulos de un triángulo, áreas poligonales, polígonos regulares, teoría de las proporciones, teorema de Pitágoras.

2. El desarrollo de la teoría de los números (aritmética).

3. Cuadratura de las lunulas (Hipocrates), área de círculos.

4. Duplicación del cubo, la trisección de un ángulo.

5. El problema de los irracionales.

6. La validez de los métodos infinitesimales a partir de los trabajos de Demócrito.

5.2.2.

Período Ateniense (Siglos V y IV a.C)

Fue uno de los períodos más representativos para la matemática griega. Atenas apoyada por la Liga Atica, alcanzó una posición dominante entre todas las ciudades estado de Grecia. Bajo el mandato de Pericles la democracia alcanzó su máximo esplendor y Atenas vivió un magnifico florecimiento cultural; en este período se construyó La Acrópolis y aparecieron los tres grandes maestros filosóficos Sócrates, Platón y Aristóteles. El idealismo filosófico, especialmente el de Platón se impuso sobre la tradición materialista de la filosofía tradicional Jónica.

En este período se destacaron matemáticos como Teodoro de Cirene, Teeteto, Eudoxo de Cnido y Dinóstrato.

5.2.2.1.

Platón (428 a 347 a.C)

Platón nació en Atenas, (o en Egina, según otros, siguiendo a Favorino), probablemente el año 428 o el 427 a. c. de familia perteneciente a la aristocracia ateniense, que se reclamaba descendiente de Solón por línea directa. Su verdadero nombre era Aristocles, aunque al parecer fue llamado Platón por la anchura de sus espaldas, según recoge Diógenes Laercio en su "Vida de los filósofos ilustres", anécdota que ha sido puesta en entredicho. Los padres de Platón fueron Aristón y Perictione, que tuvieron otros dos hijos, Adimanto y Glaucón, que aparecerán ambos como interlocutores de Sócrates en la República, y una hija, Potone.

Platón consideró a las matemáticas como una rama de las ciencias cuyo resultado se puede deducir mediante el pensamiento puro. Este pensar filosófico condujo al fortalecimiento de los fundamentos metodológicos de las matemáticas que guiaban las demostraciones, construidas deductivamente a partir de definiciones e hipótesis.

5 Collete,

Jean-Paul. Historia de las matemáticas, volumen I. Ed. siglo XXI. 1986. México.

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

90

La matemática griega, bajo la influencia de Platón, se centro principalmente en las construcciones con regla y compás, ya que permite asegurar la asimetría de las configuraciones lo que originó una especie de álgebra-geométrica. El matemático e historiador de las matématicas Zeuthen caracterizó en 1886 este tipo de matemáticas, que trata los problemas algebráicos con la ayuda de las construcciones geométricas.

La obra de Platón ha llegado a nosotros casi en su totalidad; se le atribuye 43 escritos de los cuales 30 son de autenticidad indudable. Steele6 afirma que existen al menos 121 pasajes, repartidos en 25 diálogos, en los que Platón se refiere a las matemáticas. Los diálogos más citados que con frecuencia se refieren a las matemáticas son: La República, Fedón, Timeo, Teeteto y Epínomis.

En el Timeo Platón se refiere a los poliedro regulares (cubo, tetraedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro) y aplica así los sólidos regulares a la explicación de los fenómenos científicos.

Tetraedro

cubo

Icosaedro

Octoedro

Dodecaedro

Figura 5.3: Poliedros regulares platónicos En el Parménides, Platón presenta la siguiente proposición: Si x > y, ⇒

x+y y+y

< xy .

En el Timeo se encuentra que: entre a2 y b2 , ab es una media geométrica, mientras 2 3 que a3 y b3 , a2 b y ab2 son dos medias geométricas tales que aa2 b = ab b3 Algunos pasajes de La República inducen a pensar que Platón distiguía claramente la aritmética de la logística. La aritmética era la teoría de los números y la logística era el arte de contar.

Se le atribuye la introducción del método analítico en la demostración matemática; discutió sobre los fundamentos de las matemáticas, clarificando definiciones y reorganizando postulados. En aritmética distinguió claramente el concepto de par e impar y estableció que: par × par = par, 6 Domhnall

7, 1942.

impar × impar = impar,

impar × par = par

A. Steele, “A mathematical reapperaisal of de Corpus Platonicum”, Scripta Mathematical,

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

5.2.3.

91

Período Helenístico (Periódo Alejandrino)

Este periódo se considera desde la subida al trono de Grecia del Macedonio Alejandro Magno (336 a.C) hasta la conquista de Egipto por los romanos (30 a.C). Se le ha llamado Período Helenístico porque todo el gran territorio conquistado por Alejandro Magno fue penetrado por los logros científicos y culturales de los griegos (helenos) hasta el punto que el preceptor de Alejandro era Aristóteles y la cultura y la ciencia helenística ocuparon un lugar destacado en los sistemas políticos que sucedieron al período Alejandrino. Durante este período las matemáticas y otras ciencias se liberaron de los conceptos filosóficos y religiosos y se destacaron matemáticos como Euclídes, Heratóstenes, Arquímedes, Apolonio, Herón, Menelao de Alejandría, Ptolomeo y Diofanto.

5.2.3.1.

Euclídes de Alejandría (ca. 325 - ca. 265 a. C.).

Vivió en Alejandría (actualmente Egipto) durante el reinado de Ptolomeo I. A él se debe el libro de las matemáticas que haya tenido mayor éxito en todos los tiempos: “Los Elementos (del griego Stoicheia)”.

Este libro, no hace honor a su nombre puesto que no es un libro para principiantes, sino más bien para estudiantes de nivel avanzado. Casi la totalidad de las matemáticas de aquella época estan comprendidas en ella; es de ideología platónica pues no incluye ninguna referencia a la utilidad y aplicaciones de las matemáticas.

Los Elementos estan constituidos de 13 libros a los que posteriormente se añadieron 2 libros más: el libro XIV de Hypsicles (Siglo II a.C) y el libro XV atribuido a Damasquios (Siglo V d.C).

En la siguiente tabla se muestra la estructura de la obra Los Elementos de Euclídes: Libro I

Tema

II

Contenido Desde el punto hasta el teorema de Pitágoras Algebra Geométrica

III

Geometría

Teoría del círculo

IV

Plana Básica

V

Planimetría

Polígonos regulares inscritos y circunscritos Extensión de la teoría de las magnitudes a los irracionales Proporciones y aplicación a la planimetría Teoría de la divisibilidad, números primos Números cuadrados y cúbicos, series geométricas Teoría de lo par y lo impar

VI VII VIII

Teoría de

IX

números

Procedencia

Período Jónico (Escuela Pitagórica)

Eudoxo

Escuela Pitagórica

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA X

Números Irracionales

XI XII

Estereometría

XIII

Geometría de sólidos

Clases de irracionales cuadráticos Estereometría elemental Método Exhaustivo. pirámide, cono y esfera Poliedros regulares

92 Teeteto Período Jónico Eudoxo Teeteto

La obra de Euclídes esta construida a partir de definiciones, postulados y axiomas, a los que se siguen teoremas (con demostraciones), problemas y proposiciones auxiliares.

El libro I presenta 23 definiciones seguidas de 5 postulados y 5 definiciones comunes 1. Un punto es lo que no tiene partes.

2. Un línea es una longitud sin anchura.

3. Los extremos de las líneas son puntos.

4. Un limite es lo que finaliza.

5. Una recta es una línea que tiene todos sus puntos en la misma dirección.

6. Una superficie es la que tiene solo longitud y anchura.

7. Un ángulo plano es la inclinación entre sí de dos líneas de un plano, si estas se cortan y no están en una misma recta.

8. Cuando las líneas que comprenden el ángulo son rectas, se dice que el ángulo es rectilíneo.

9. Un círculo es una figura plana contenida en una línea, llamada circunferencia, tal que todas las rectas que van desde un punto particular hasta puntos de ella, quedando dentro de la figura son iguales.

10. Figuras rectilíneas son las contenidas entre rectas, figuras son las contenidas entre tres rectas (triángulos), cuadrilaterales o cuadriláteros son los contenidos entre cuatro y los multilaterales o polígonos son las contenidas entre más de 4 rectas.

11. Rectas paralelas son las que, estando en el mismo plano y prolongándolas indefinidamente en ambos sentidos, no se cortan ni en uno ni en el otro sentido.

12. Un ángulo obtuso es un ángulo mayor que un ángulo recto.

13. Un ángulo agudo es un ángulo menor que un ángulo recto.

14. Un círculo es una figura plana, limitada por una sola línea tal que todas las rectas que caen sobre ella desde uno de los puntos interiores de la figura son iguales entre sí.

15. El diámetro del círculo es una recta trazada a través del centro y limitada a ambos lados por la circunferencia del círculo. Esta recta divide al círculo en dos partes iguales.

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

93

16. Las figuras rectilineas son las que estan contenidas entre dos líneas rectas, las figuras trilaterales, contenidas entre tres, las cuadriláteras las contenidas entre cuatro y las multilaterales las contenidas entre más de cuatro.

Esto no es propiamente una definición, sino una descripción, por lo que se requiere que quien las lea sea capaz de abstraer el concepto a partir de la intuición. Las propiedades se incluyen como elemento fundamental de la definición, por ejemplo “Paralelas son las líneas rectas que se hallan en el mismo plano, y además, si se prolongan idefinidamente hacia ambos lados, una nunca encuentra a la otra”.

A continuación Euclídes incluye cinco postulados 1. Una recta puede trazarse desde un punto cualquiera hasta otro (se puede trazar una línea recta desde cualquier punto a una recta cualquiera dada).

2. Una recta finita puede prolongarse continuamente y hacerse una recta ilimitada o indefinida.

3. Una circunferencia puede describirse con un centro y una distancia.

4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

5. Si una recta que corte a otras dos forma con éstas ángulos interiores del mismo lado de ella que sumados sean menores que dos rectos, las dos rectas, si se prolongan indefinidamente, se cortan del lado en que dicha suma de ángulos sea menor que dos rectos.

Figura 5.4: Postulado de las paralelas

Este quinto postulado se ha denominado “postulado de las paralelas” (o axioma de las paralelas), pues con él queda asegurada la existencia de una paralela como máximo a toda recta dada y que pasa por un punto que no se halle en ella.

Este postulado dió origen a diversas criticas porque no parecia tener la misma evidencia y claridad de los otros cuatro y por ello se intentó convertirlo en teorema y, por lo tanto, demostrarlo. Posteriormente se estableció que su demostración no era posible, pero que no era consistente con los demás postulados y su reemplazo dió origen a las llamadas geometrías no euclidianas (Gauss, Bolyai, Lobatcheveski).

A los cinco postulados geométricos le siguen los axiomas lógicos o nociones comunes (Teoría aristotélica):

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

94

1. Los iguales a uno mismo son iguales entre sí.

2. Si a iguales se añaden iguales, entonces los totales son iguales.

3. Los dobles o mitades de uno mismo son iguales entre sí.

4. Los que se pueden superponer uno a otro son iguales entre sí (fundamento de la congruencia geométrica).

5. El todo es mayor que las partes.

El libro II presenta 2 definiciones y 14 proposiciones.

Definiciones: 1. Cualquier paralelogramo rectángulo esta contenido por las dos rectas que forman el ángulo recto.

2. En cualquier paralelogramo, cualquiera de los paralelogramso descritos alrededor del diámetro con sus dos complementos se llamará gnomón.

La palabra gnomón (en griego: guía o maestro) hacía referencia a un objeto alargado cuya sombra se proyectaba sobre una escala graduada para medir el paso del tiempo (figura 5.57 ) .

Figura 5.5: Gnomón

Proposiciones: Las proposiciones de este libro tratan de las transformaciones de las áreas, del algebra geométrica al estilo de la escuela Pitagórica.

1. Sobre una recta dada y finita se puede construir un triángulo equilátero (usando unicamente regla y compás).

7 Tomado

de: http://www.dateriles.com/2011/03/gnomon.html

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

95

2. Si en un triángulo dos ángulos son iguales, los lados opuestos a los ángulos iguales, serán también iguales (En la demostración de esta proposición Euclídes recurrió al método de reducción al absurdo, frecuentemente utilizado por los griegos).

3. Un ángulo rectilineo se puede dividir en dos partes iguales (concepto de bisectríz).

4. Si se corta al azar una línea recta, el cuadrado de la recta entera es igual a los cuadrados de los segmentos y dos veces el rectángulo comprendido por los segmentos.

A

a

C

b

H

B

b

a

b

G

K

a

D

b

a a

F

a

b

E

Esta proposición establece el desarrollo del cuadrado de una suma: 2

(a + b) = a2 + 2ab + b2 .

5. Si se corta una línea recta en segmentos iguales y desiguales, el rectángulo comprendido por los segmentos desiguales de la recta entera junto con el cuadrado de la recta que está entre los puntos de sección, es igual al cuadrado de la mitad (Es equivalente al resultado de (a + b) (a − b) = a2 − b2 ).

6. Si se divide en dos partes iguales una línea recta y se le añade, en línea recta, otra recta; el rectángulo comprendido por la recta entera con la recta añadida y la recta añadida junto con el cuadrado de la mitad es igual al cuadrado de la recta compuesta por la mitad y la recta añadida.

7. Si se corta al azar una línea recta, el cuadrado de la recta entera y el de uno de los segmentos tomados conjuntamente son iguales a dos veces el rectángulo comprendido por la recta entera y el segmento conocido más el cuadrado del 2 segmento restante. (Es equivalente a la demostración geométrica de (a − b) = 2 2 a − 2ab + b ).

29. Una recta que cae sobre dos rectas paralelas hace que los ángulos alternos sean iguales entre sí, el ángulo exterior igual al ángulo interior opuesto y situado del mismo lado, los ángulos interiores situados del mismo lado son iguales a dos rectos (En la demostración de esta proposición Euclídes utiliza por primera vez el postulado de las paralelas).

El libro III presenta 11 definiciones relativas al círculo y 37 proposiciones sobre el círculos, las cuerdas, las tangentes, las construcciones sobre el círculo y la medición de

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

96

ángulos asociados.

Definiciones: 1. Círculos iguales son aquellos cuyos diámetros o radios son iguales.

2. Una recta tangente toca a un círculo y si al encontrar el círculo y se prolongara no lo corta.

6. Un segmento de círculo es la figura comprendida entre una recta y una círcunferencia de círculo.

Euclídes también escribió otros tratados como resultado de sus investigaciones: 7. Un ángulo del segmento es el comprendido por una recta y una círcunferencia de círculo.

10. Un círculo es una figura que, construido un ángulo en el centro del círculo, está comprendido por las rectas que determinan el ángulo y por las círcunferencias que encierra.

Proposiciones 1. Determinar el centro de una circunferencia dada (Con regla y compás).

2. Si se toman dos puntos al azar en la circunferencia de un círculo, la recta que une los dos puntos estará dentro del círculo.

3. Si en un círculo una recta dibujada a través del centro divide en dos partes iguales a otra recta no dibujada a través del centro, la corta formando también ángulos rectos; y si la corta formando ángulos rectos, la divide también en dos partes iguales.

4. Si en un círculo se cortan entre sí dos rectas que no pasan por el centro, no se dividen entre sí en dos partes iguales.

5. Si dos círculos se cortan entre sí, sus centros no coinciden.

6. Si dos círculos se tocan el uno al otro, sus centros no coinciden.

El libro IV presenta 7 definiciones de figuras poligonales inscritas o circunscritas y 16 proposiciones relativas a figuras inscritas o circunscritas en un círculo. El contenido de este libro se suele a atribuir a Hipócrates de Quios.

Definiciones: 1. Se dice que una figura rectilínea está inscrita en otra figura rectilínea, cuando cada uno de los ángulos de la figura inscrita toca los lados respectivos de la figura en la que se inscribe.

2. De manera semejante, se dice que una figura está circunscrita en torno de otra figura, cuando cada lado de la figura circunscrita toca los ángulos respectivos de la figura a la que circunscribe.

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

97

3. Definición 3. Se dice que una figura rectilínea está inscrita en un círculo, cuando cada ángulo de la figura inscrita toca la circunferencia del círculo.

4. Se dice que una figura rectilínea está circunscrita en torno a un círculo, cuando cada lado de la figura circunscrita toca a la circunferencia del círculo.

5. De manera semejante, se dice que un círculo está inscrito en una figura, cuando la circunferencia del círculo toca cada lado de la figura en la que está inscrita.

6. Se dice que un círculo está circunscrito en torno de una figura, cuando la circunferencia del círculo toca cada ángulo de la figura en torno a la que está circunscrita.

7. Se dice que una recta está adaptada a un círculo, cuando sus extremos están en la circunferencia del círculo.

Proposiciones 1. Adaptar a un círculo dado una recta igual a una recta dada que no sea mayor que el diámetro del círculo.

2. Inscribir en un círculo dado un triángulo de ángulos iguales a los de un triángulo dado.

3. Circunscribir en torno a un círculo dado un triángulo de ángulos iguales a los de un triángulo dado.

4. Inscribir un círculo en un triángulo dado.

5. Circunscribir un círculo en torno a un triángulo dado.

6. Inscribir un cuadrado en un círculo dado.

7. Circunscribir un cuadrado en torno a un círculo dado.

8. Inscribir un círculo en un cuadrado dado.

9. Circunscribir un círculo en torno a un cuadrado dado.

10. Construir un triángulo isósceles cada uno de cuyos ángulos de la base sea el doble del ángulo restante.

11. Inscribir un pentágono equilátero y equiángulo en un círculo dado.

12. Circunscribir un pentágono equilátero y equiángulo en torno a un círculo dado.

13. Inscribir un círculo en un pentágono dado que sea equilátero y equiángulo.

14. Circunscribir un círculo en torno a un pentágono dado que sea equilátero y equiángulo.

15. Inscribir un hexágono equilátero y equiángulo en un círculo dado.

16. Inscribir un pentadecágono equilátero y equiángulo en un círculo dado.

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

98

El libro V presenta 18 definiciones y 25 proposiciones referentes a las proporciones y a las proporciones no conmensurables.

Definiciones: 1. Una magnitud es parte de una magnitud, la menor de la mayor, cuando mide a la mayor.

2. La mayor es múltiplo de la menor cuando es medida por la menor.

3. Una razón es determinada relación respecto a su tamaño entre dos magnitudes homogéneas.

4. Se dice que las magnitudes guardan razón entre sí cuando, al multiplicarse, puedan exceder la una a la otra.

5. Se dice que una primera magnitud guarda la misma razón con una segunda magnitud, que una tercera magnitud con una cuarta magnitud, cuando cualquier equimúltiplo de la primera y la tercera exceden a la par, sean iguales a la par o sean inferiores a la par, que cualquier equimúltiplo de la segunda y la cuarta, respectivamente y cogidos en el orden correspondiente.

6. Se llaman proporcionales las magnitudes que guardan la misma razón.

7. Entre los equimúltiplos, cuando el múltiplo de la primera excede al múltiplo de la segunda pero el múltiplo de la tercera no excede al múltiplo de la cuarta, entonces se dice que la primera guarda con la segunda una razón mayor que la tercera con la cuarta.

8. Una proporción entre tres términos es la menor posible.

9. Cuando tres magnitudes son proporcionales, se dice que la primera guarda con la tercera una razón duplicada de la que guarda con la segunda.

10. Cuando cuatro magnitudes son proporcionales, se dice que la primera guarda con la cuarta una razón triplicada de la que guarda con la segunda, y así siempre, sucesivamente, sea cual sea la proporción.

11. Se llaman magnitudes correspondientes las antecedentes en relación con las antecedentes y las consecuentes con las consecuentes.

12. Una razón por alternancia consiste en tomar el antecedente en relación con el antecedente y el consecuente en relación con el consecuente.

13. Una razón por inversión consiste en tomar el consecuente como antecedente en relación con el antecedente como consecuente.

14. La composición de una razón consiste en tomar el antecedente junto con el consecuente como una sola magnitud en relación con el propio consecuente.

15. La separación de una razón consiste en tomar el exceso por el que el antecedente excede al consecuente en relación con el propio consecuente.

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

99

16. La conversión de una razón consiste en tomar el antecedente en relación con el exceso por el que el antecedente excede al consecuente.

17. Una razón por igualdad se da cuando, habiendo diferentes magnitudes y otras iguales a las primeras en número que, tomadas de dos a dos, guardan la misma razón, sucede que como la primera es a la última -entre las primeras magnitudes-, así pues -entre las segundas magnitudes- la primera as a la última; o dicho de otra forma, consiste en tomar los extremos sin considerar los medios.

18. Una proporción perturbada se da cuando habiendo tres magnitudes y otras iguales a ellas en número, sucede que como que el antecedente es al consecuente -entre las primeras magnitudes-, así pues -entre las segundas magnitudes- el antecedente es al consecuente, y como el consecuente es a otra magnitud -entre las primeras magnitudes- ,así pues -entre las segundas magnitudes- alguna otra magnitud es al antecedente.

Proposiciones 1. Si hay un número cualquiera de magnitudes respectivamente equimúltiplos de cualesquiera otras iguales en número, cuantas veces una sea múltiplo de otra, tantas veces lo serán todas de todas.

2. Si una primera magnitud es el mismo múltiplo de una segunda que una tercera lo es de una cuarta, y una quinta es también el mismo múltiplo de la segunda que una sexta de la cuarta, la suma de la primera y la quinta será el mismo múltiplo de la segunda que la suma de la tercera y la sexta de la cuarta.

3. Si una primera magnitud es el mismo múltiplo de una segunda que una tercera lo es de una cuarta, y se toman equimúltiplos de la primera y la tercera, también por igualdad cada una de las dos magnitudes tomadas serán equimúltiplos, respectivamente, una de la segunda y la otra de la cuarta.

4. Si una primera magnitud guarda la misma razón con una segunda que una tercera con una cuarta, cualquier equimúltiplo de la primera y la tercera guardaran la misma razón con cualquier equimúltiplo de la segunda y la cuarta respectivamente, tomados en el orden correspondiente.

5. Si una magnitud es el mismo múltiplo de otra, que una magnitud restada a la primera lo es de otra restada a la segunda; la magnitud que queda de la primera será también el mismo múltiplo de la magnitud que queda de la segunda que la magnitud entera de la magnitud entera.

6. Si dos magnitudes son equimúltiplos de dos magnitudes y ciertas magnitudes restadas de ellas son equimúltiplos de estas dos segundas, las que queden también son o bien iguales a las mismas o bien equimúltiplos de ellas.

7. Las magnitudes iguales guardan la misma razón con una misma magnitud y la misma magnitud guarda la misma razón con las magnitudes iguales.

8. De magnitudes desiguales, la mayor guarda con una misma magnitud una razón mayor que la menor, y la misma magnitud guarda con la menor una razón mayor que con la mayor.

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

100

9. Las magnitudes que guardan con una misma magnitud la misma razón son iguales entre sí; y aquellas con las cuales una misma magnitud guarda la misma razón, son iguales.

10. De las magnitudes que guardan razón con una misma magnitud, la que guarda una razón mayor, es mayor. Y aquella con la que la misma magnitud guarda una razón mayor, es menor.

11. Las razones que son iguales a una misma razón son iguales también entre si.

12. Si un número cualquiera de magnitudes fueran proporcionales, como sea una de las antecedentes a una de las consecuentes, así lo serán todas las antecedentes a las consecuentes.

13. Si una primera magnitud guarda con una segunda la misma razón que una tercera con una cuarta, y la tercera guarda con la cuarta una razón mayor que una quinta con una sexta, la primera guardará también con la segunda una razón mayor que la quinta con la sexta.

14. Si una primera magnitud guarda con una segunda la misma razón que una tercera con una cuarta y la primera es mayor que la tercera, la segunda será también mayor que la cuarta, y si es igual, será igual, y si es menor, será menor.

15. Las partes guardan la misma razón entre sí que sus múltiplos, tomados en el orden correspondiente.

16. Si cuatro magnitudes son proporcionales, también por alternancia serán proporcionales.

17. Si unes magnitudes son proporcionales por composición, también serán proporcionales por separación.

18. Si unes magnitudes son proporcionales por separación, también serán proporcionales por composición.

19. Si tal y como un todo es a otro todo, así es una parte restada de uno a una parte restada de otro, la parte que queda será también a la parte que queda tal y como el todo es al todo.

20. Si hay tres magnitudes y otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guardan la misma razón, y si, por igualdad, la primera es mayor que la tercera, también la cuarta será mayor que la sexta; y si es igual, igual, y si es menor, menor.

21. Si hay tres magnitudes y otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guardan la misma razón y la su proporción es perturbada, y si, por igualdad, la primera es mayor que la tercera, también la cuarta será mayor que la sexta; y si es igual, igual; y si es menor, menor.

22. Si hay un número cualquiera de magnitudes y otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guarden la misma razón, por igualdad guardarán también la misma razón.

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

101

23. Si hay tres magnitudes y otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guardan la misma razón, y su proporción es perturbada, por igualdad guardarán también la misma razón.

24. Si una primera magnitud guarda con una segunda la misma razón que una tercera con una cuarta, y una quinta guarda con la segunda la misma razón que la sexta con la cuarta, la primera y la quinta, tomadas juntamente, guardarán también la misma razón con la segunda que la tercera y la sexta con la cuarta.

25. Si cuatro magnitudes son proporcionales, la mayor y la menor juntas son mayores que las dos que quedan.

El libro VI presenta 4 definiciones y 33 proposiciones referentes a la geometría plana, a razones y proporciones, triángulos semejantes, paralelogramos y otros polígonos.

Definiciones: 1. Figuras rectilíneas semejantes son las que tienen los ángulos iguales uno a uno y proporcionales los lados que comprenden los ángulos iguales.

2. Dos figuras están inversamente relacionadas cuando en cada una de las figuras hay razones antecedentes y consecuentes.

3. Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor.

4. En cualquier figura, la altura es la perpendicular dibujada desde el vértice hasta la base.

Proposiciones 1. Los triángulos y los paralelogramos que tienen la misma altura son entre sí como sus bases.

2. Si se dibuja una recta paralela a uno de los lados de un triángulo, cortará proporcionalmente los lados del triángulo. Y si se cortan proporcionalmente los lados de un triángulo, la recta que une los puntos de sección será paralela al lado que queda del triángulo.

3. Si se divide en dos partes iguales el ángulo de un triángulo, y la recta que corta el ángulo corta tconién a la base, los segmentos de la base guardarán la misma razón que los lados del triángulo que queden; y, si los segmentos de la base guardan la misma razón que los lados que quedan del triángulo, la recta dibujada desde el vértice hasta la sección dividirá en dos partes iguales al ángulo del triángulo.

4. En los triángulos equiángulos, los lados que comprenden a los ángulos iguales son proporcionales y los lados que subtienden a los ángulos iguales son correspondientes.

5. Si dos triángulos tienen los lados proporcionales, los triángulos serán equiángulos y tendrán iguales los ángulos los cuales subtienden a los lados correspondientes.

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

102

6. Si dos triángulos tienen un ángulo igual el uno del otro, y tienen proporcionales los lados que comprenden los ángulos iguales, los triángulos serán equiángulos y tendrán iguales los ángulos a los que subtienden los lados correspondientes.

7. Si dos triángulos tienen un ángulo igual el uno del otro y tienen proporcionales los lados que comprenden a los otros ángulos, y tienen los ángulos que quedan de manera aparejada menores o no menores a un ángulo recto, los triángulos serán equiángulos y tendrán iguales los ángulos que comprenden los lados proporcionales.

8. Si en un triángulo rectángulo se dibuja una perpendicular desde el ángulo recto hasta la base, los triángulos adyacentes a la perpendicular son semejantes al triángulo entero y entre sí.

9. Restar de una recta dada la parte que se pida .

10. Dividir una recta dada no dividida de manera semejante a una recta dada que ya está dividida.

11. Dadas dos rectas, encontrar una tercera proporcional.

12. Dadas tres rectas, encontrar una cuarta proporcional.

13. Dadas dos rectas, encontrar una media proporcional.

14. En los paralelogramos iguales y equiángulos entre sí, los lados que comprenden los ángulos iguales están inversamente relacionados, y los paralelogramos equiángulos que tienen los lados que comprenden los ángulos iguales inversamente relacionados, son iguales.

15. En los triángulos iguales que tienen un ángulo igual el uno del otro, los lados que comprenden los ángulos iguales están inversamente relacionados. Y aquellos triángulos que tienen un ángulo igual el uno del otro y los lados que comprenden los ángulos iguales y que están inversamente relacionados, son iguales.

16. Si cuatro rectas son proporcionales, el rectángulo comprendido por las extremas es igual al rectángulo comprendido por las medias; y si el rectángulo comprendido por las extremas es igual al rectángulo comprendido por las medias, las cuatro rectas serán proporcionales.

17. Si tres rectas son proporcionales, el rectángulo comprendido por las extremas es igual al cuadrado de la media; y si el rectángulo comprendido por las extremas es igual al cuadrado de la media, las tres rectas serán proporcionales.

18. A partir de una recta dada, construir una figura rectilínea semejante y situada de manera semejante a una figura rectilínea dada.

19. Los triángulos semejantes guardan entre sí la razón duplicada de sus lados correspondientes.

20. Los polígonos semejantes se dividen en triángulos semejantes e iguales en número y homólogos a los polígonos enteros y un polígono guarda con el otro una razón duplicada de la que guarda el lado correspondiente con el lado correspondiente.

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

103

21. Les figures semejantes a una misma figura rectilínea son también semejantes entre sí.

22. Si cuatro rectas son proporcionales, les figures rectilíneas semejantes y construidas de manera semejante a partir de ellas serán también proporcionales; y si, las figuras semejantes y construidas de manera semejante a partir de ellas son proporcionales, las propias rectas serán también proporcionales.

23. Los paralelogramos equiángulos guardan entre sí la razón compuesta de las razones de sus lados.

24. En todo paralelogramo, los paralelogramos situados alrededor de su diagonal son semejantes al paralelogramo entero y entre sí.

25. Construir una misma figura semejante a una figura rectilínea dada, e igual a otra figura dada.

26. Si se quita de un paralelogramo un paralelogramo semejante y situado de manera semejante al paralelogramo entero que tenga un ángulo común con él, está alrededor de la misma diagonal que el paralelogramo entero.

27. De todos los paralelogramos aplicados a una misma recta y deficientes en figuras paralelogramas semejantes y situadas de forma semejante al construido a partir de la mitad de la recta, el paralelogramo mayor es el que es aplicado a la mitad de la recta y es semejante al defecto.

28. Aplicar a una recta dada un paralelogramo igual a una figura rectilínea dada deficiente en una figura paralelograma semejante a una dada; pero es necesario que la figura rectilínea dada no sea mayor que el paralelogramo construido a partir de la mitad y semejante al defecto.

29. Aplicar a una recta dada un paralelogramo igual a una figura rectilínea dada que exceda en una figura paralelograma semejante a una dada.

30. Dividir una recta finita dada en extrema y media razón.

31. En los triángulos rectángulos, la figura construida a partir del lado que subtiende el ángulo recto es igual a les figuras semejantes y construidas de manera semejante a partir de los lados que comprenden el ángulo recto.

32. Si dos triángulos que tienen dos lados de uno proporcionales a dos lados del otro, se construyen unidos por un ángulo de manera que sus lados correspondientes sean paralelos, los lados restantes de los triángulos estarán en línea recta.

33. En los círculos iguales , los ángulos guardan la misma razón que las circunferencias sobre las que están, tanto si están en el centro como si están en las circunferencias.

El libro VII presenta 22 definiciones y 39 proposiciones referentes a teoria de números.

Definiciones: 1. Una unidad es aquello en virtud de la cual cada una de las cosas que hay, se llama una.

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

104

2. Un número es una pluralidad compuesta de unidades.

3. Un número es parte de un número, el menor del mayor, cuando mide al mayor.

4. Pero partes cuando no lo mide.

5. Y el mayor es múltiplo del menor cuando es medido por el menor.

6. Un número par es el que se divide en dos partes iguales.

7. Un número impar es el que no se divide en dos partes iguales, o se diferencia de un número par en una unidad.

8. Un número parmente par (o propiamente par) es el medido por un número par según un número par (es el producto de dos pares).

9. Y parmente impar es el medido por un número par según un número impar.

10. Imparmente par es el medido por un número impar según un número par.

11. Un número imparmente impar es el medido por un número impar según un número impar.

12. Un número primo es aquél que sólo es medido por la unidad.

13. Números primos entre sí son los medidos por la sola unidad como medida común.

14. Número compuesto es el medido por algún número.

15. Números compuestos entre sí son los medidos por algún número como medida común.

16. Se dice que un número multiplica a un número cuando el multiplicado se añade a si mismo tantas veces como unidades hay en el otro y resulta un número.

17. Cuando dos números, al multiplicarse entre sí, hacen algún número, el resultado se llama número plano y sus lados son los números que se han multiplicado entre sí.

18. Cuando tres números, al multiplicarse entre sí, hacen algún número, el resultado es un número sólido y sus lados son los números que se han multiplicado entre sí.

19. Un número cuadrado es el multiplicado por si mismo el comprendido por dos números iguales.

20. Y un número cubo el multiplicado dos veces por sí mismo o el comprendido por tres números iguales.

21. Unos números son proporcionales cuando el primer es el mismo múltiple o la misma parte o las mismas partes del segundo que el tercero del cuarto.

22. Números planos y sólidos semejantes son los que tienen los lados proporcionales.

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

105

23. Número perfecto es el que es igual a sus propias partes. Por ejemplo, el número 28 es un número perfecto porque sus partes (los divisores propios) 1, 2, 4, 7 y 14 suman 28. Los cuatro números perfectos más pequeños son el 6, 28, 496 y 8128. A la proposición 36 del libro IX, Euclídes nos ofrece una construcción de los números perfectos pares. Hoy en día todavía desconocemos si hay algún número perfecto que sea impar.

Proposiciones 1. Dados dos números desiguales y restando sucesivamente el menor del mayor, si el que queda no mide nunca al anterior hasta que quede una unidad, los números iniciales serán primos entre sí.

2. Dados dos números no primos entre sí, hallar su medida común máxima (máximo común divisor).

3. Dados tres números no primos entre sí, hallar su medida común máxima.

4. Todo número es parte de todo número, el menor del mayor.

5. Si un número es parte de un número, y otro es la misma parte de otro, la suma será también la misma parte de la suma que el uno del otro.

6. Si un número es partes de un número y otro número es las mismas partes de otro número, la suma será también las mismas partes de la suma que el uno del otro.

7. Si un número es la misma parte de un número que un número restado de un número restado, el resto será la misma parte del resto que el total del total.

8. Si un número es las mismas partes de un número que un número restado de un número restado, el resto será las mismas partes del resto que el total del total.

9. Si un número es parte de un número y otro número es la misma parte de otro, también, por alternancia, la parte o partes que el primero es del tercero, la misma parte o partes será el segundo del cuarto.

10. Si un número es partes de un número y otro número es las mismas partes de otro, también, por alternancia, las partes o parte que el primer es del tercero, las mismas partes o la misma parte será el segundo del cuarto.

11. Si de la misma forma que un todo es a un todo, también un número restado es a un número restado, también el resto será al resto de la misma forma que el todo es al todo.

12. Si unos números, tantos como se quiera, fueran proporcionales, como uno de los antecedentes es a uno de los consecuentes, de la misma forma todos los antecedentes serán a todos los consecuentes.

13. Si cuatro números son proporcionales, también por alternancia serán proporcionales.

14. Si hay unos números, tantos como se quiera, y otros iguales a ellos en cantidad que, tomados de dos en dos guardan la misma razón, también por igualdad guardarán la misma razón.

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

106

15. Si una unidad mide a un número cualquiera, y un segundo número mide el mismo número de veces a otro numero cualquiera, por alternancia, la unidad medirá también al tercer número el mismo número de veces que el segundo al cuarto.

16. Si dos números, al multiplicarse entre sí, hacen ciertos números, los números resultantes serán iguales entre sí.

17. Si un número, al multiplicar a dos números, hace ciertos números, los números resultantes guardarán la misma razón que los multiplicados.

18. Si dos números, al multiplicar a un número cualquiera, hacen ciertos números, los resultantes guardarán la misma razón que los multiplicados.

19. Si cuatro números son proporcionales, el producto del primero y el cuarto será igual al del segundo y el tercero; y si el producto del primero y el cuarto es igual al producto del segundo y el tercero, los cuatro números serán proporcionales.

20. Los números menores de aquellos que guardan la misma razón que ellos, miden a los que guardan la misma razón el mismo número de veces, el mayor al mayor y el menor al menor.

21. Los números primos entre sí son los menores de aquellos que guardan la misma razón que ellos.

22. Los números menores de aquellos que guardan la misma razón que ellos son números primos entre sí.

23. Si dos números son primos entre sí, el número que mide a uno de ellos será número primo respecto del que queda.

24. Si dos números son primos respecto a otro número, también el producto será número primo respecto al mismo número.

25. Si dos números son números primos entre sí, el producto de uno de ellos multiplicado por sí mismo será número primo respecto del que queda.

26. Si dos números son primos respecto a dos números, uno y otro con cada uno de ellos, sus productos también serán números primos entre sí.

27. Si dos números son primos entre sí y al multiplicarse cada uno a sí mismo hacen algún otro número, sus productos serán números primos entre sí, y si los números iniciales, al multiplicar a los productos, hacen ciertos números, también ellos serán números primos entre sí. Y siempre sucede esto con los extremos.

28. Si dos números son primos entre sí, su suma también será un número primo respecto a cada uno de ellos; y si la suma de ambos es un número primo respecto a uno cualquiera de ellos, también los números iniciales serán números primos entre sí.

29. Todo número primo es primo respecto a todo número al que no mide.

30. Si dos números, al multiplicarse entre sí, hacen algún número y algún número primo mide a su producto, también medirá a uno de los números iniciales.

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

107

31. Todo número compuesto es medido por algún número primo.

32. Todo número o bien es número primo o es medido por algún número primo.

33. Dados tantos números como se quiera, hallar los menores de aquellos que guardan la misma razón que ellos.

34. Dados dos números, hallar el menor número al que miden.

35. Si dos números miden a algún número, el número menor medido por ellos también medirá al mismo número.

36. Dados tres números, hallar el número menor al que miden.

37. Si un número es medido por algún número, el número medido tendrá una parte homónima del número que lo mide.

38. Si un número tiene una parte cualquiera, será medido por un número homónimo de la parte.

39. Hallar un número que sea el menor que tenga unas partes dadas.

El libro VIII presenta 27 proposiciones relativas a los números en proporcion continua (progresión geométrica), propiedades sencillas de los cuadrados y de los cubos.

Proposiciones 1. Si tantos números como se quiera son continuamente proporcionales y sus extremos son números primos entre sí, son los menores de aquellos que guardan la misma razón que ellos.

2. Hallar tantos números como uno proponga continuamente proporcionales, los menores en una razón dada.

3. Si tantos números como se quiera continuamente proporcionales son los menores de los que guardan la misma razón entre ellos, sus extremos son números primos entre sí.

4. Dadas tantas razones como se quiera en sus menores números, hallar los números continuamente proporcionales menores en las razones dadas.

5. Los números planos guardan entre sí la razón compuesta de las razones de sus lados.

6. Si tantos números como se quiera son continuamente proporcionales y el primo no mide al segundo, tampoco ningún otro medirá a ninguno.

7. Si tantos números como se quiera son continuamente proporcionales y el primero mide al último, también medirá al segundo.

8. Si entre dos números caen números en proporción continua con ellos, entonces cuantos números como caigan entre ellos en proporción continua, tantos caerán también en proporción continua entre los que guardan la misma razón con los números iniciales.

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

108

9. Si dos números son primos entre sí, y caen entre ellos números en proporción continua, entonces, cuantos números caigan en proporción continua entre ellos, tantos caerán también en proporción continua entre cada uno de ellos y la unidad.

10. Si entre cada uno de dos números y una unidad caen números en proporción continua, entonces, tantos números como caigan en proporción continua entre cada uno de ellos y la unidad, tantos caerán también en proporción continua entre ellos.

11. Entre dos números cuadrados hay un número que es media proporcional y el número cuadrado guarda con el número cuadrado una razón duplicada de la que el lado guarda con el lado.

12. Entre dos números cubos hay dos números que son medias proporcionales y el número cubo guarda con el número cubo una razón triplicada de la que el lado guarda con el lado.

13. Si tantos números como se quiera son continuamente proporcionales y cada uno, al multiplicarse por sí mismo, hace algún número, los productos serán proporcionales; y, si los números iniciales, al multiplicar a los productos, hacen ciertos números, también estos últimos serán proporcionales.

14. Si un número cuadrado mide a un número cuadrado, también el lado medirá al lado; y, si el lado mide al lado, el número cuadrado medirá también al número cuadrado.

15. Si un número cubo mide a un número cubo, también el lado medirá al lado; y, si el lado mide al lado, también el cubo medirá al cubo.

16. Si un número cuadrado no mide a un número cuadrado, tampoco el lado medirá al lado; y si el lado no mide al lado, tampoco el número cuadrado medirá al número cuadrado.

17. Si un número cubo no mide a un número cubo, el lado tampoco medirá al lado; y si el lado no mide al lado, tampoco el número cubo medirá al número cubo.

18. Entre dos números planos semejantes hay un número que es media proporcional; y el número plano guarda con el número plano una razón duplicada de la que el lado correspondiente guarda con el lado correspondiente.

19. Entre dos números sólidos semejantes caen dos números que son medias proporcionales; y el número sólido guarda con el número sólido semejante una razón triplicada de la que el lado correspondiente guarda con el lado correspondiente.

20. Si entre dos números cae un número que es media proporcional, los números serán números planos semejantes.

21. Si entre dos números caen dos números medios proporcionales, los números son sólidos semejantes.

22. Si tres números son continuamente proporcionales y el primo es cuadrado, el tercer también será cuadrado.

23. Si cuatro números son continuamente proporcionales y el primo es cubo, también será cubo el cuarto .

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

109

24. Si dos números guardan entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado y el primo es cuadrado, el segundo será también cuadrado.

25. Si dos números guardan entre sí la razón que un número cubo guarda con un número cubo y el primo es cubo, el segundo también será cubo.

26. Los números planos semejantes guarden entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado.

27. Los números sólidos semejantes guarden entre sí la razón que un número cubo guarda con un número cubo.

El libro IX presenta 36 proposiciones referentes a la teoría de números.

Proposiciones 1. Si dos números planos semejantes, al multiplicarse entre sí, hacen un número, el producto será cuadrado.

2. Si dos números, al multiplicarse entre sí, hacen un número cuadrado, son números planos semejantes.

3. Si un número cubo, al multiplicarse por sí mismo, hace algún número, el producto será cubo.

4. Si un número cubo, al multiplicar a un número cubo, hace algún número, el producto será cubo.

5. Si un número cubo, al multiplicar a algún número, hace un número cubo, el número multiplicado también será cubo.

6. Si un número, al multiplicarse por sí mismo, hace un número cubo, también él mismo será cubo.

7. Si un número compuesto, al multiplicar a un número, hace algún número, el producto será sólido.

8. Si tantos números como se quiera a partir de una unidad son continuamente proporcionales, el tercero a partir de la unidad será cuadrado, de la misma forma que todos los que dejan un intervalo de uno, y el cuarto será cubo, de la misma forma que todos los que dejan un intervalo de dos, y el séptimo será al mismo tiempo cubo y cuadrado, de la misma forma que todos los que dejan un intervalo de cinco.

9. Si tantos números como se quiera a partir de una unidad son continuamente proporcionales, y el número siguiente a la unidad es cuadrado, todos los demás serán también cuadrados, y si el número siguiente a la unidad es cubo, todos los demás serán también cubos.

10. Si tantos números como se quiera a partir de una unidad son continuamente proporcionales, y el número siguiente a la unidad no es cuadrado, ningún otro será cuadrado excepto el tercero a partir de la unidad y todos los que dejan un intervalo de uno. Y si el siguiente a la unidad no es cubo, ningún otro será cubo excepto el cuarto a partir de la unidad y todos los que dejen un intervalo de dos.

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

110

11. Si tantos números como se quiera a partir de una unidad son continuamente proporcionales, el menor mide al mayor según uno de los números que se encuentran entre los números proporcionales.

12. Si tantos números como se quiera a partir de una unidad son continuamente proporcionales, por cuantos números primos sea medido el último, por los mismos será medido también el siguiente a la unidad.

13. Si tantos números como se quiera a partir de una unidad son continuamente proporcionales y el siguiente a la unidad es un número primo, el mayor no será medido por ningún otro fuera de los que se encuentran entre los números proporcionales.

14. Si un número es el menor medido por números primos, no será medido por ningún otro número primo fuera de los que le medían desde un principio.

15. Si tres números continuamente proporcionales son los menores de los que guardan la misma razón que ellos, cualquiera de los dos tomados juntos son números primos con respecto al número que queda.

16. Si dos números son primos entre sí, como el primero es al segundo, el segundo no será a ningún otro.

17. Si tantos números como se quiera son continuamente proporcionales y sus extremos son números primos entre sí, tal y como el primero es al segundo, el último no será a ningún otro.

18. Dados dos números, investigar si es posible hallar un tercer número proporcional.

19. Dados tres números, investigar cuándo es posible hallar un cuarto número proporcional a ellos.

20. Hay más números primos que cualquier cantidad propuesta de números primos (Los números primos son infinitos).

21. Si se suman tantos números pares como se quiera, el total es un número par.

22. Si se suman tantos números impares como se quiera y su cantidad es par, el total será par.

23. Si se suman tantos números impares como se quiera y su cantidad es impar, también el total será impar.

24. Si de un número par se quita un número par, lo que queda será par.

25. Si de un número par se quita un número impar, lo que queda será impar.

26. Si de un número impar se quita un número impar, lo que queda será par.

27. Si de un número impar se quita un número par, lo que queda será impar.

28. Si un número impar, al multiplicar a un número par, hace algún número, el producto será par.

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

111

29. Si un número impar, al multiplicar a un número impar, hace algún número, el producto será impar.

30. Si un número impar mide a un número par, también medirá a su mitad.

31. Si un número impar es número primo respecto a algún número, también será número primo respecto al doble.

32. Cada uno de los números duplicados sucesivamente a partir de una díada es sólo (parmente par) un número par, un número par de veces par.

33. Si un número tiene su mitad impar es sólo (parmente impar) un número par de veces impar.

34. Si un número no es uno de los duplicados sucesivamente a partir de una díada, ni tiene su mitad impar, es (parmente par) un número par, un número par de veces par y (parmente impar) un número, un número par de veces impar.

35. Si tantos números como se quiera son continuamente proporcionales, y se quitan del segundo y del último números iguales al primero, entonces, tal y como el exceso del segundo es al primero, de la misma manera el exceso del último será a todos los anteriores a él.

36. Si tantos números como se quiera a partir de una unidad se disponen en proporción duplicada hasta que su suma total resulte un número primo, y el total multiplicado por el último produce algún número, el producto será un número perfecto.

En notacion moderna esta proposicion se expresa en la siguiente forma: “Si Sn = 1 + 21 + 22 + 23 + · · · + 2n−1 = 2n − 1 es un número primo, entonces 2 (2n − 1) es un número perfecto” n−1

Los griegos conocián los cuatro primeros números perfectos: 2, 28, 496, 8128.

No se conoce ningún número perfecto impar y no se sabe si existen.

El en siglo XVII Euler demostró que la fórmula propuesta por Euclídes es verdadera para generar números perfectos pares.

El libro X presenta 5 definiciones sobre magnitudes conmensurables e inconmensurables y 115 proposiciones sobre los números irracionales.

Definiciones: 1. Se llaman magnitudes conmensurables aquellas que se miden con la misma medida, y inconmensurables aquellas de las que no es posible hallar una medida común.

2. Las líneas rectas son conmensurables en cuadrado cuando sus cuadrados se miden con la misma área, e inconmensurables cuando no es posible que sus cuadrados tengan un área como medida común.

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

112

3. Dadas estas premisas, se demuestra que hay un número infinito de rectas respectivamente conmensurables y inconmensurables, unas sólo en longitud y otras también en cuadrado con una recta determinada. Se llama entonces racionalmente expresable la recta determinada; y las conmensurables con ella, bien en longitud y en cuadrado, bien sólo en cuadrado, racionalmente expresables y las inconmensurables con ella se llaman no racionalmente expresables.

4. Y el cuadrado de la recta determinada se llama racionalmente expresable, y los cuadrados conmensurables con éste racionalmente expresables; pero los inconmensurables con él se llaman no racionalmente expresables; y las rectas que los producen se llaman no racionalmente expresables, a saber, si fueran cuadrados, los propios lados y si fueran otras figuras rectilíneas, aquellas rectas que construyan cuadrados iguales a ellos.

5. Dada una recta expresable y otra de binomial dividida en sus términos, de manera que el cuadrado del término mayor sea mayor que el cuadrado del término menor en el cuadrado de una recta conmensurable en longitud con el mayor; si el término mayor es conmensurable en longitud con la recta expresable dada, la recta entera se llama primera binomial.

Y si el término menor es conmensurable en longitud con la recta expresable, la recta entera se llama segunda binomial.

Pero si ninguno de los términos es conmensurable en longitud con la recta expresable dada, la recta entera se llama tercera binomial.

Si el cuadrado del término mayor es a su vez, mayor que el del menor en el cuadrado de una recta inconmensurable en longitud con el mayor, entonces, si el término mayor es conmensurable en longitud con la recta expresable dada, la recta entera se llama cuarta binomial.

Pero si lo es el menor, quinta binomial.

Y si ninguno de los dos, sexta binomial.

Otras versiones de Los Elementos de Euclídes presentan las siguientes definiciones: Definición 1. Dada una recta expresable y apótoma, si el cuadrado de la recta entera es mayor que el de la recta adjunta en el cuadrado de una recta conmensurable en longitud con la recta entera, y la recta entera es conmensurable en longitud con la recta expresable dada, la recta apótoma se llama primera apótoma.

Definición 2. Y si la recta adjunta es conmensurable en longitud con la recta expresable dada, y el cuadrado de la recta entera es mayor que el de la adjunta en el cuadrado de una recta conmensurable con ella, la recta se llama segunda apótoma.

Definición 3. Y si ninguna de las dos es conmensurable en longitud con la recta expresable dada, y el cuadrado de la recta entera es mayor que el de la adjunta en el cuadrado de una recta conmensurable con ella, la recta apótoma se llama tercera apótoma.

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

113

Definición 4. Si, a su vez, el cuadrado de la recta entera es mayor que el de la adjunta en el cuadrado de una recta inconmensurable con la recta entera, entonces, si la recta entera es conmensurable en longitud con la recta expresable dada, la apótoma se llama cuarta apótoma.

Definición 5. Pero si la adjunta es conmensurable, se llama quinta apótoma.

Definición 6. Y si ninguna de las dos es conmensurable, se llama sexta apótoma.

Proposiciónes 1. Dadas dos magnitudes desiguales, si se quita de la mayor una magnitud mayor que la de su mitad y, de la que queda, una magnitud mayor que su mitad y así sucesivamente, quedará una magnitud que será menor que la magnitud menor dada.

2. Si al restar continua y sucesivamente la menor de la mayor de dos magnitudes desiguales, la que queda nunca mide a la anterior, las magnitudes serán inconmensurables.

3. Dadas dos magnitudes conmensurables, hallar su medida común máxima.

4. Dadas tres magnitudes conmensurables, hallar su medida común máxima.

5. Las magnitudes conmensurables guardan entre sí la misma razón que un número guarda con un número.

6. Si dos magnitudes guardan entre sí la razón que un número guarda con un número, las magnitudes serán conmensurables.

7. Las magnitudes inconmensurables no guardan entre sí la razón que un número guarda con un número.

8. Si dos magnitudes no guardan entre sí la razón que un número guarda con un número, las magnitudes serán inconmensurables.

9. Los cuadrados de rectas conmensurables en longitud guardan entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado; y los cuadrados que guardan entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado tendrán también los lados conmensurables en longitud. Pero los cuadrados de las rectas inconmensurables en longitud no guardan entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, y los cuadrados que no guardan entre sí la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado tampoco tendrán los lados conmensurables en longitud.

10. Hallar dos rectas conmensurables, una sólo en longitud, la otra también en cuadrado, con una recta determinada.

11. Si cuatro magnitudes son proporcionales y la primera es conmensurable con la segunda, también la tercera será conmensurable con la cuarta, y si la primera es inconmensurable con la segunda, la tercera será también inconmensurable con la cuarta.

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

114

12. Las magnitudes conmensurables con una misma magnitud son también conmensurables entre sí.

13. Si hay dos magnitudes conmensurables y una de ellas es incommensurable con una otra magnitud cualquiera, también la que queda será incommensurable con ella.

14. Si cuatro rectas son proporcionales, y el cuadrado de la primera es mayor que el de la segunda en el cuadrado de una recta commensurable con la primera, el cuadrado de la tercera será también mayor que el de la cuarta en el cuadrado de una recta commensurable con la tercera. Y si el cuadrado de la primera es mayor que el de la segunda en el cuadrado de una recta incommensurable con la primera, el cuadrado de la tercera será también mayor que el de la cuarta en el cuadrado de una recta incommensurable con la tercera.

15. Si se suman dos magnitudes conmensurables, la magnitud total también será commensurable con cadauna de ellas; y si la magnitud total es commensurable con cadauna de ellas, también las magnitudes iniciales serán conmensurables.

16. Si se suman dos magnitudes inconmensurables , la magnitud total será incommensurable con cadauna de ellas; y si la magnitud total es incommensurable con una de ellas, las magnitudes iniciales serán también inconmensurables.

17. Si hay dos rectas desiguales, y se aplica a la mayor un paralelogramo igual a la cuarta partee del cuadrado de la menor y deficiente en la figura de un cuadrado, y si la divide en partes conmensurables en longitud, el cuadrado de la mayor será mayor que el de la menor en el cuadrado de una recta commensurable con la mayor.

Y si el cuadrado de la mayor es mayor que el de la menor en el cuadrado de una recta commensurable con la mayor, y se aplica a la mayor un paralelogramo igual a la cuarta parte del cuadrado de la menor y deficiente en la figura de un cuadrado, la divide en partes conmensurables en longitud.

18. Si hay dos rectas desiguales, y se aplica a la mayor un paralelogramo igual a la cuarta parte del cuadrado de la menor y deficiente en la figura de un cuadrado, y si la divide en partes inconmensurables, el cuadrado de la mayor será mayor que el de la menor en el cuadrado de una recta incommensurable con la mayor.Y si el cuadrado de la mayor es mayor que el cuadrado de la menor en el cuadrado de una recta incommensurable con la mayor, y se aplica a la mayor un paralelogramo igual a la cuarta parte del cuadrado de la menor y deficiente en la figura de un cuadrado, la divide en partes inconmensurables.

19. El rectángulo contenido por rectas expresables conmensurables en longitud, según alguna de las formas antes descritas, es expresable.

20. Si se aplica un área expresable a una recta expresable, produce como anchura una recta expresable y commensurable en longitud con aquella a la que se ha aplicado.

21. El rectángulo comprendido por rectas expresables y conmensurables sólo en cuadrado no es racionalmente expresable y el lado del cuadrado igual a él tampoco es racionalmente expresable, se le llama a este último medial.

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

115

22. El cuadrado de una recta medial, si se aplica a una recta expresable, produce una anchura expresable y incommensurable en longitud con aquella a la que se aplica.

23. La recta commensurable con una recta medial es medial.

24. El rectángulo contenido por rectas mediales conmensurables en longitud según alguna de las formas descritas, és medial.

25. El rectángulo comprendido por rectas mediales conmensurables sólo en cuadrado o bien es expresable o bien es medial.

26. Un área medial no excede a otra medial en un área expresable.

27. Hallar rectas mediales conmensurables sólo en cuadrado que comprendan un rectángulo expresable.

28. Hallar rectas mediales proporcionales sólo en cuadrado que comprendan un rectángulo medial.

29. Hallar dos rectas expresables conmensurables sólo en cuadrado, de manera que el cuadrado de la mayor sea mayor que el de la menor en el cuadrado de una recta commensurable en longitud con la mayor.

30. Hallar dos rectas expresables conmensurables sólo en cuadrado, de manera que el cuadrado de la mayor sea mayor que el de la menor en el cuadrado de una recta incommensurable en longitud con la mayor.

31. Hallar dos rectas mediales conmensurables sólo en cuadrado que comprendan un rectángulo expresable, de manera que el cuadrado de la mayor sea mayor que el de la menor en el cuadrado de una recta commensurable en longitud con la mayor.

32. Hallarr dos rectas mediales conmensurables sólo en cuadrado que comprendan un rectángulo medial, de manera que el cuadrado de la mayor sea mayor que el de la menor en el cuadrado de una recta commensurable con la mayor.

33. Hallar dos rectas inconmensurables en cuadrado que hagan la suma de sus cuadrados expresable, pero que el rectángulo comprendido por ellas sea medial.

34. Hallar dos rectas inconmensurables en cuadrado que hagan la suma de sus cuadrados medial, pero que el rectángulo comprendido por ellas sea expresable.

35. Hallar dos rectas inconmensurables en cuadrado que hagan la suma de sus cuadrados medial, y que el rectángulo comprendido por ellas sea medial y además incommensurable con la suma de sus cuadrados.

36. Si se suman dos rectas expresables conmensurables sólo en cuadrado, la recta entera no es expresable; se la llama binomial.

37. Si se suman dos rectas mediales conmensurables sólo en cuadrado que comprendan un rectángulo expresable, la recta entera no es expresable; se la llama primera bimedial.

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

116

38. Si se suman dos rectas mediales conmensurables sólo en cuadrado que comprendan un rectángulo medial, la recta entera no es expresable; se la llama segunda bimedial.

39. Si se suman dos rectas inconmensurables en cuadrado que hagan la suma de sus cuadrados expresable y el rectángulo comprendido por ellas medial, la recta entera no es expresable; se la llama mayor.

40. Si se suman dos rectas inconmensurables en cuadrado que hagan la suma de sus cuadrados medial y el rectángulo comprendido por ellas expresable, la recta entera no es expresable; se la llama lado del cuadrado equivalente a un área expresable más un área medial.

41. Si se suman dos rectas inconmensurables en cuadrado que hagan la suma de sus cuadrados medial y el rectángulo comprendido por ellas también medial y incommensurable ademá con la suma de sus cuadrados, entonces la recta entera no es expresable; se la llama lado del cuadrado equivalente a la suma de dos áreas mediales.

42. La recta binomial se divide en sus términos por un sólo punto.

43. La recta primera bimedial se divide por un sólo punto.

44. La recta segunda bimedial se divide por un sólo punto.

45. La recta mayor se divide por uno y el mismo punto 46. El lado del cuadrado equivalent a un área expresable más un área medial se divide sólo por un punto.

47. El lado del cuadrado equivalente a la suma de dos áreas mediales se divide por un sólo punto.

48. Hallar una recta primera binomial.

49. Hallar una recta segunda binomial.

50. Hallar una recta tercera binomial.

51. Hallar una recta cuarta binomial.

52. Hallar una recta quinta binomial.

53. Hallar una recta sexta binomial.

54. Si un área está comprendida por una recta expresable y una primera binomial, el lado del cuadrado equivalente al área es la recta no expresable llamada binomial.

55. Si un área está comprendida por una recta expresable y una segunda binomial, el lado del cuadrado equivalente al área es la recta no expresable llamada primera binomial.

56. Si un área está comprendida por una recta expresable y una tercera binomial, el lado del cuadrado equivalente al área es la recta no expresable llamada segunda binomial.

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

117

57. Si un área está comprendida por una recta expresable y una cuarta binomial, el lado del cuadrado equivalente al área es la recta no expresable llamada mayor.

58. Si un área está comprendida por una recta expresable y una quinta binomial, el lado del cuadrado equivalente al área es la recta no expresable llamada lado del cuadrado equivalente a un área expresable más un área medial.

59. Si un área está comprendida por una recta expresable y una sexta binomial, el lado del cuadrado equivalente al área es la recta no expresable llamada lado del cuadrado equivalente a la suma de dos áreas mediales.

60. El cuadrado de una binomial aplicado a una recta expresable produce como anchura una primera binomial.

61. El cuadrado de una recta primera binomial, aplicado a una recta expresable produce como anchura una segunda binomial.

62. El cuadrado de una recta segunda binomial, aplicado a una recta expresable produce como anchura una tercera binomial.

63. El cuadrado de una recta mayor, aplicado a una recta expresable produce como anchura una cuarta binomial.

64. El cuadrado del lado de un área expresable más una medial aplicado a una recta expresable produce como anchura una quinta binomial.

65. El cuadrado del lado de la suma de dos áreas mediales aplicado a una recta expresable produce como anchura una sexta binomial.

66. Una recta conmensurable en longitud con una binomial es también binomial y del mismo orden.

67. La recta conmensurable en longitud con una bimedial es también bimedial y del mismo orden.

68. Una recta conmensurable con una recta mayor es también mayor.

69. Una recta conmensurable con el lado del cuadrado equivalente a un área expresable más una medial es ella misma también el lado del cuadrado equivalente a un área expresable más una medial.

70. Una recta conmensurable con el lado del cuadrado equivalente a la suma de dos áreas mediales es también ella misma el lado del cuadrado equivalente a la suma de dos áreas mediales.

71. Si se suman un área expresable y una medial resultan cuatro tipos de rectas no expresables: o una binomial o una primera bimedial o una mayor o el lado del cuadrado equivalente a un área medial más una expresable.

72. Si se suman dos áreas mediales inconmensurables entre sí resultan los dos restantes tipos de rectas no expresables que quedan: o la segunda bimedial o el lado del cuadrado equivalente a la suma de dos áreas mediales.

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

118

73. Si se quita de una recta expresable otra recta expresable que sea conmensurable sólo en cuadrado con la recta entera, la recta que queda no es expresable; se llama apótoma.

74. Si de una recta medial se quita otra recta medial que sea conmensurable sólo en cuadrado con la recta entera y que comprenda junto con la recta entera un rectángulo expresable, la recta que queda no es expresable; se llama primera apótoma de una medial.

75. Si de una recta medial se quita otra recta medial que sea conmensurable sólo en cuadrado con la recta entera y que comprenda junto con la recta entera un rectángulo medial, la recta que queda no es expresable; se llama segunda apótoma de una medial.

76. Si de una recta se quita otra recta que sea inconmensurable en cuadrado con la recta entera y haga con la recta entera la suma de sus cuadrados expresable y el rectángulo comprendido por ellas medial, la recta que queda no es expresable; se llama menor.

77. Si de una recta se quita otra recta que sea inconmensurable en cuadrado con la recta entera y que haga con la recta entera, la suma de sus cuadrados medial, pero el doble del rectángulo comprendido por ellas expresable, la recta que queda no es expresable; se llama la que hace con un área expresable un área entera medial.

78. Si de una recta se quita otra recta que sea inconmensurable en cuadrado con la recta entera y que haga junto con la recta entera la suma de sus cuadrados medial, y el doble del rectángulo comprendido por ellas medial, y además sus cuadrados inconmensurables con el doble del rectángulo comprendido por ellas, entonces la recta que queda no es expresable; se llama la que hace con un área medial un área entera medial.

79. A una apótoma únicamente se le adjunta una recta expresable que sea conmensurable sólo en cuadrado con la recta entera.

80. A una primera apótoma de una medial únicamente se le adjunta una recta medial que sea conmensurable sólo en cuadrado con la recta entera y que comprenda junto con la recta entera un rectángulo expresable.

81. A una segunda apótoma de una medial únicamente se le adjunta una recta medial que sea conmensurable sólo en cuadrado con la recta entera y que comprenda junto con la recta entera un rectángulo medial.

82. A una recta menor únicamente se le adjunta una recta que sea inconmensurable sólo en cuadrado con la recta entera y que haga junto con la recta entera la suma de sus cuadrados expresable y el doble del rectángulo comprendido por ellas medial.

83. A una recta que hace con un área expresable un área entera medial únicamente se le adjunta una recta que sea inconmensurable en cuadrado con la recta entera y que haga con la recta entera, la suma de sus cuadrados medial yi el doble del rectángulo comprendido por ellas expresable.

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

119

84. En la recta que hace con un área medial un área entera medial se le adjunta únicamente una recta que sea inconmensurable en cuadrado con la recta entera y que haga con la recta entera, la suma de sus cuadrados medial y el doble del rectángulo comprendido por ellas también medial y además inconmensurable con la suma de sus cuadrados.

85. Hallar la primera apótoma.

86. Hallar la segunda apótoma.

87. Hallar la tercera apótoma.

88. Hallar la cuarta apótoma.

89. Hallar la quinta apótoma.

90. Hallar la sexta apótoma.

91. Si un área está comprendida por una recta expresable y una primera apótoma, el lado del cuadrado equivalente al área es una recta apótoma.

92. Si un área está comprendida por una recta expresable y una segunda apótoma, el lado del cuadrado equivalente al área es una primera apótoma de una medial.

93. Si un área está comprendida por una recta expresable y una tercera apótoma, el lado del cuadrado equivalente al área es una segunda apótoma de una medial.

94. Si un área está comprendida por una recta expresable y una cuarta apótoma, el lado del cuadrado equivalente al área es una recta menor.

95. Si un área está comprendida por una recta expresable y una quinta apótoma, el lado del cuadrado equivalente al área es la recta que hace con un área expresable un área entera medial.

96. Si un área está comprendida por una recta expresable y una sexta apótoma, el lado del cuadrado equivalente al área es la recta que hace con un área medial un área entera medial.

97. El cuadrado de una apótoma aplicado a una recta expresable produce como anchura una primera apótoma.

98. El cuadrado de una primera apótoma de una medial, aplicado a una recta expresable produce como anchura una segunda apótoma.

99. El cuadrado de una segunda apótoma de una medial aplicado a una recta expresable produce como anchura una tercera apótoma.

100. El cuadrado de una recta menor aplicado a una recta expresable produce como anchura una cuarta apótoma.

101. El cuadrado de la recta que hace con un área expresable un área entera medial aplicado a una recta expresable produce como anchura una quinta apótoma.

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

120

102. El cuadrado de la recta que hace con una área medial un área entera medial aplicado a una recta expresable produce como anchura una sexta apótoma.

103. Una recta conmensurable en longitud con una apótoma es apótoma y del mismo orden.

104. Una recta conmensurable con una apótoma de una medial es apótoma de una medial y del mismo orden.

105. Una recta conmensurable con una recta menor es menor.

106. Una recta conmensurable con la recta que hace con un área expresable un área entera medial es también una recta que hace con un área expresable un área entera medial.

107. Una recta conmensurable con la que hace con un área medial un área entera medial es también ella misma una recta que hace con un área medial un área entera medial.

108. Si de un área expresable se quita un área medial, el lado del cuadrado equivalente al área restante es una de estas dos rectas no expresables: o bien una apótoma o bien una menor.

109. Si se quita de un área medial un área expresable, resultan otras dos rectas no expresables: o bien la primera apótoma de una medial, o bien la que hace con un área expresable un área entera medial.

110. Si se quita de un área medial otra área medial inconmensurable con el área entera, resultan las dos rectas no expresables restantes: o bien la segunda apótoma de una medial o bien la que hace con un área medial un área entera medial.

111. La apótoma no es la misma que la binomial.

112. El cuadrado de una recta expresable, aplicado a una binomial produce como anchura una apótoma cuyos términos son conmensurables con los términos de la binomial y además guardan la misma razón y la apótoma resultante es del mismo orden que la binomial.

113. El cuadrado de una recta expresable, aplicado a una apótoma, produce como anchura una recta binomial cuyos términos son conmensurables con los términos de la apótoma y guardan la misma razón, y además la binomial resultante es del mismo orden que la apótoma.

114. Si un área está comprendida por una apótoma y una binomial cuyos términos son conmensurables con los términos de la apótoma y guardan la misma razón, el lado del cuadrado equivalente al área es expresable.

115. A partir de una recta medial se produce un número infinito de rectas no expresables y ninguna de ellas es la misma que ninguna de sus predecesoras.

El libro XI presenta 28 definiciones y 39 proposiciones, sobre sólidos, inclinación de planos, planos paralelos, figuras sólidas, ángulo sólido, pirámide, prisma, cilindro, esfera, cono, octaedro, icosaedro, dodecaedro y cubo.

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

121

Definiciones: 1. Un sólido es aquello que tiene longitud, anchura y profundidad.

2. Y el extremo de un sólido es una superficie.

3. Una recta es ortogonal a un plano cuando forma ángulos rectos con todas las rectas que la tocan y que están en el plano.

4. Un plano es ortogonal a un plano cuando las rectas dibujadas en uno de los planos formando ángulos rectos con la intersección común a los dos planos forman ángulos rectos con el plano que queda.

5. Cuando desde el extremo de una recta elevado sobre un plano se dibuja una perpendicular al plano y se traza otra recta desde el punto que va hasta el extremo que está en el plano de la primera recta, el ángulo comprendido por la recta dibujada y la que está sobre el plano es la inclinación de la recta con respecto al plano.

6. La inclinación de un plano respecto a un plano es el ángulo comprendido por las rectas dibujadas a un mismo punto formando ángulos rectos con la sección común en cada uno de los planos.

7. Se dice que un plano se inclina sobre un plano de manera semejante a como otro plano se inclina sobre otro, cuando los ángulos de inclinación son iguales entre sí.

8. Planos paralelos son los que no concurren.

9. Figuras sólidas semejantes son las comprendidas por planos semejantes iguales en número.

10. Figuras sólidas iguales y semejantes son las comprendidas por planos semejantes iguales en número y tamaño.

11. Un ángulo sólido es la inclinación de más de dos líneas que se tocan entre sí y no están en la misma superficie respecto a todas las líneas. O dicho de otra manera: Un ángulo sólido es el que está comprendido por más de dos ángulos planos construidos en el mismo punto, sin estar en el mismo plano.

12. Una pirámide es una figura sólida comprendida por planos, construida desde un plano a un punto.

13. Un prisma es una figura sólida comprendida por planos dos de los cuales, los opuestos, son iguales, semejantes y paralelos, mientras que los demás planos son paralelogramos.

14. Cuando, estando fijo el diámetro de un semicírculo, se hace girar el semicírculo y se vuelve de nuevo a la misma posición inicial, la figura comprendida es una esfera.

15. Y el eje de la esfera es la recta que permanece fija en torno a la que gira el semicírculo.

16. Y el centro de la esfera es el mismo que el del semicírculo.

17. Y diámetro de la esfera es cualquier recta dibujada a través del centro y limitada en las dos direcciones por la superficie de la esfera.

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

122

18. Cuando, estando fijo uno de los lados que comprenden el ángulo recto de un triángulo rectángulo, se hace girar el triángulo y se vuelve de nuevo a la posición inicial, la figura comprendida es un cono. Y si la recta que permanece fija es igual a la que queda del ángulo recto, el cono será rectángulo, y si es menor obtusángulo y si es mayor acutángulo.

19. Y el eje del cono es la recta que permanece fija en torno a la que gira el triángulo.

20. Y la base es el círculo que describe la recta que gira.

21. Cuando, estando fijo uno de los lados que comprenden el ángulo recto de un paralelogramo rectángulo, se hace girar el paralelogramo y vuelve de nuevo a la posición inicial, la figura comprendida es un cilindro.

22. Y el eje del cilindro es la recta que permanece fija en torno a la que gira el paralelogramo.

23. Y las bases son los círculos descritos por los dos lados opuestos que giren.

24. Conos y cilindros semejantes son aquellos en los que ejes y diámetros de las bases son proporcionales.

25. Un cubo es la figura sólida que está comprendida por seis cuadrados iguales.

26. Un octaedro es una figura sólida comprendida por ocho triángulos iguales y equiláteros.

27. Un icosaedro es la figura sólida comprendida por veinte triángulos iguales y equiláteros.

28. Un dodecaedro es la figura sólida comprendida per doce pentágonos iguales equiláteros y equiángulos.

Proposiciones 1. No es posible que una parte de una línea recta esté contenida en el plano de referencia y otra parte de la recta en un plano más elevado.

2. Si dos rectas se cortan una a otra están en el mismo plano, y todo triángulo está en un plano.

3. Si dos planos se cortan uno a otro su intersección común es una línea recta.

4. Si se levanta una recta formando ángulos rectos con dos rectas que se cortan una a otra en su intersección común, formará también ángulos rectos con el plano que pasa a través de ellas.

5. Si se levanta una recta formando ángulos rectos con tres rectas que se tocan en su intersección común, las tres rectas están contenidas en el mismo plano.

6. Si dos rectas forman ángulos rectos con el mismo plano, las rectas son paralelas.

7. Si dos rectas son paralelas y se toman unos puntos al azar en cada una de ellas, la recta que une los puntos está contenida en el mismo plano que las paralelas.

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

123

8. Si dos rectas son paralelas y una de ellas forma ángulos rectos con un plano cualquiera, la recta que queda formará también ángulos rectos con el mismo plano.

9. Las paralelas a una misma recta y que no están contenidas en el mismo plano que la recta son también paralelas entre sí.

10. Si dos rectas que se tocan son paralelas a otras dos rectas que se tocan, sin estar en el mismo plano, comprenderán ángulos iguales.

11. Trazar una línea recta perpendicular a un plano dado desde un punto dado elevado.

12. Levantar una línea recta formando ángulos rectos con un plano dado desde un punto dado y contenido en el plano.

13. No se pueden levantar por el mismo lado dos rectas formando ángulos rectos con el mismo plano desde el mismo punto.

14. Los planos con los que una misma recta forma ángulos rectos serán paralelos.

15. Si dos rectas que se tocan son paralelas a dos rectas que se tocan sin estar en el mismo plano, los planos que pasan a través de ellas son paralelos.

16. Si dos planos paralelos son cortados por un plano, les intersecciones comunes son paralelas.

17. Si dos rectas son cortadas por planos paralelos, serán cortadas en las mismas razones.

18. Si una recta forma ángulos rectos con un plano cualquiera, todos los planos que pasen a través de ella formarán también ángulos rectos con el mismo plano.

19. Si dos planos que es cortan forman ángulos rectos con un plano, la intersección común formará también ángulos rectos con el mismo plano.

20. Si un ángulo sólido es comprendido por tres ángulos planos, dos cualesquiera, tomados juntos de cualquier manera, son mayores que el restante.

21. Todo ángulo sólido es comprendido por ángulos planos menores que cuatro rectos.

22. Si hay tres ángulos planos, dos de los cuales tomados juntos de cualquier manera son mayores que el restante, y los comprenden rectas iguales, es posible construir un triángulo a partir de las rectas que unen los extremos de las rectas iguales.

23. Construir un ángulo sólido a partir de tres ángulos planos, dos de los cuales tomados juntos de cualquier manera son mayores que el restante; entonces, es necesario que los tres ángulos sean menores que cuatro rectos.

24. Si un sólido es comprendido por planos paralelos, sus planos opuestos son iguales y paralelogramos.

25. Si un sólido paralelepípedo es cortado por un plano que sea paralelo a los planos opuestos, entonces, de la misma manera que la base es a la base, así el sólido es al sólido.

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

124

26. Construir un ángulo sólido igual a un ángulo sólido dado sobre una recta dada y en uno de sus puntos.

27. Trazar sobre una recta dada un sólido paralelepípedo semejante y situado de manera semejante a un sólido paralelepípedo dado.

28. Si un sólido paralelepípedo es cortado por un plano según las diagonales de los planos opuestos, el sólido será dividido en dos partes iguales por el plano.

29. Los sólidos paralelepípedos que están sobre la misma base y tienen la misma altura, y en los que los extremos superiores de las aristas laterales están en las mismas rectas son iguales entre sí.

30. Los sólidos paralelepípedos que están sobre la misma base y tienen la misma altura y en los que los extremos superiores de las aristas laterales no están en las mismas rectas son iguales entre sí.

31. Los sólidos paralelepípedos que están sobre la misma base y tienen la misma altura son iguales entre sí.

32. Los sólidos paralelepípedos que tienen la misma altura son entre sí como sus bases.

33. Los sólidos paralelepípedos semejantes guardan entre sí una razón triplicada de la de sus lados correspondientes.

34. Las bases de los sólidos paralelepípedos iguales están inversamente relacionadas con las alturas; y aquellos sólidos paralelepípedos las bases de los cuales están inversamente relacionadas con sus alturas son iguales.

35. Si hay dos ángulos planos iguales y se levantan desde sus vértices rectas elevadas que comprendan ángulos iguales respectivamente con las rectas iniciales, y se toman unos puntos al azar en las rectas elevadas y, desde estos puntos se dibujan perpendiculares a los planos en los que están los ángulos iniciales y se trazan rectas de los puntos producidos en los planos hasta los vértices de los ángulos iniciales, estos ángulos comprenderán con las rectas elevadas ángulos iguales.

36. Si tres rectas son proporcionales, el sólido paralelepípedo construido a partir de ellas es igual al sólido paralelepípedo construido a partir de la media proporcional, equilátero y equiangular con el sólido nombrado.

37. Si cuatro rectas son proporcionales, los sólidos paralelepípedos semejantes y construidos de manera semejante a partir de ellas serán también proporcionales; y si los sólidos paralelepípedos semejantes y construidos de manera semejante a partir de ellas son proporcionales, también las propias rectas serán proporcionales.

38. Si los lados de los planos opuestos de un cubo se dividen en dos partes iguales y se trazan planos a través de las secciones, la intersección común de los planos y el diámetro del cubo se dividen mutuamente en dos partes iguales.

39. Si dos prismas tienen la misma altura y uno tiene como base un paralelogramo y el otro un triángulo y el paralelogramo es el doble del triángulo, los prismas serán iguales.

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

125

El libro XII presenta 18 proposiones sobre la medición de figuras mediante el método exhaustivo. Este libro se atribuye a la escuela de Eudoxo de Cnido.

Proposiciones 1. Los polígonos semejantes inscritos en círculos son el uno al otro como los cuadrados de sus diámetros.

2. Los círculos son el uno al otro como los cuadrados de sus diámetros.

3. Toda pirámide que tenga como base un triángulo se divide en dos pirámides iguales, semejantes una a la otra y a la pirámide entera, que tienen triángulos como base, y se divide en dos prismas iguales; y los dos prismas son mayores que la mitad de la pirámide entera.

4. Si hay dos pirámides de la misma altura que tienen triángulos como base, y cada una de ellas se divide en dos pirámides iguales entre sí y semejantes a la pirámide entera y en dos prismas iguales; entonces tal y como la base de una pirámide es a la base de la otra, entonces serán todos los prismas de una pirámide a todos los prismas iguales en número a la otra pirámide.

5. Las pirámides que tienen la misma altura y tienen triángulos como base son entre sí como sus bases.

6. Las pirámides que tienen la misma altura y tienen polígonos como base son una a la otra como sus bases.

7. Cualquier prisma que tenga como base un triángulo se divide en tres prismas iguales entre sí que tienen triángulos como base.

8. Las pirámides semejantes que tienen como base triángulos guardan una razón triplicada de la razón de sus lados correspondientes.

9. Las bases de las pirámides iguales que tienen como base triángulos están inversamente relacionadas con sus alturas; y las pirámides que tienen como base triángulos, las bases de los cuales están inversamente relacionadas con sus alturas, son iguales.

10. Cualquier cono es la tercera parte del cilindro que tiene la misma base y la misma altura.

11. Los conos y cilindros que tienen la misma altura son el uno al otro como sus bases.

12. Los conos y cilindros semejantes guardan uno a otro una razón triplicada de la que guardan los diámetros de sus bases.

13. Si un cilindro se corta por un plano que sea paralelo a los planos opuestos, entonces, el cilindro es al cilindro como el eje es al eje.

14. Los conos y cilindros que están sobre bases iguales son uno al otro como sus alturas.

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

126

15. Las bases de los conos y cilindros iguales están inversamente relacionadas con las alturas, y aquellos conos las bases de los cuales están inversamente relacionadas con sus alturas, son iguales.

16. Dados dos círculos con el mismo centro, inscribir en el círculo mayor un polígono equilátero y de un número par de lados que no toque el círculo menor.

17. Dadas dos esferas con el mismo centro, inscribir en la esfera mayor un sólido poliédrico que no toque la superficie de la esfera menor.

18. Las esferas guardan una con otra la razón triplicada de la de sus respectivos diámetros.

El libro XIII presenta 18 proposiciones que tratan de la construcción de los poliedros regulares y de las propiedades de estas figuras cósmicas.

Proposiciones 1. Si se corta una línea recta en extrema y media razón, el cuadrado del segmento mayor junto con el de la mitad de la recta entera es cinco veces el cuadrado de la mitad.

2. Si el cuadrado de una línea recta es cinco veces el de un segmento de ella misma, cuando se corta el doble de este segmento en extrema y media razón, el segmento mayor es la parte que queda de la recta inicial.

3. Si se corta una línea recta en extrema y media razón, el cuadrado del segmento menor junto con el de la mitad del segmento mayor es cinco veces el cuadrado de la mitad del segmento mayor.

4. Si se corta una línea recta en extrema y media razón, el cuadrado de la recta entera y el del segmento menor juntos, son el triple del cuadrado del segmento mayor.

5. Si se corta una línea recta en extrema y media razón, y se añade otra igual al segmento mayor, la recta entera queda cortada en extrema y media razón, y la recta inicial es el segmento mayor.

6. Si una recta expresable se corta en extrema y media razón, cada uno de los segmentos es la recta sin razón expresable llamada apótoma.

7. Si tres ángulos de un pentágono equilátero, sucesivos o no, son iguales, el pentágono será equiangular.

8. Si en un pentágono equilátero y equiangular, unas rectas opuestas a dos ángulos sucesivos se cortan entre sí en extrema y media razón y sus segmentos mayores son iguales al lado del pentágono.

9. Si se unen el lado de un hexágono y el de un decágono inscritos en el mismo círculo, la recta entera queda cortada en extrema y media razón, y su segmento mayor es el lado del hexágono.

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

127

10. Si se inscribe un pentágono equilátero en un círculo, el cuadrado del lado del pentágono es igual a los cuadrados de los lados del hexágono y del decágono inscritos en el mismo círculo.

11. Si se inscribe un pentágono equilátero en un círculo que tenga diámetro expresable, el lado del pentágono es la recta sin razón expresable llamada menor.

12. Si se inscribe un triángulo equilátero en un círculo, el cuadrado del lado del triángulo es el triple del cuadrado del radio del círculo.

13. Construir una pirámide inscrita en una esfera dada y demostrar que el cuadrado del diámetro de la esfera es una vez y media el del lado de la pirámide.

14. Construir un octaedro inscrito en una esfera como en la proposición anterior, y demostrar que el cuadrado del diámetro de la esfera es el doble del cuadrado del lado del octaedro.

15. Construir un cubo inscrito en una esfera como en la pirámide, y demostrar que el cuadrado del diámetro de la esfera es el triple del cuadrado del lado del cubo.

16. Construir un icosaedro inscrito en una esfera, como en las figuras anteriores, y demostrar que el lado del icosaedro es la recta sin razón expresable llamada menor.

17. Construir un dodecaedro inscrito en una esfera como en las figuras anteriores, y demostrar que el lado del dodecaedro es la recta sin razón expresable llamada apótoma.

18. Colocar los lados de las cinco figuras y compararlos entre sí.

En varias ediciones de Euclídes, el estudio de los poliedros regulares se hacen en dos libros numerados como libro XIV y libro XV. Parte del primer libro se cree que fue escrito en el siglo XVI d.C y el segundo libro se cree que se escribió en el siglo II a.C y se le atribuye a Hipsicles de Alejandría.

Euclídes también escribió otros tratados como resultado de sus investigaciones: 1. Sobre la descomposición de las figuras.

2. Porismas (Proposiciones con las que se puede encontrar algo).

3. Pseudaria (Sobre razonamientos falsos).

4. Los Dedomena (Los datos).

5. Un tratado sobre las cónicas (4 volúmenes).

6. La Optica (Sobre la perspectiva).

7. Catóptrica (Reflexión de imágenes).

8. Sectio canonis (Teoría de la música).

9. Phainomena (astronomía teórica, esférica).

En conclusión se puede afirmar que Euclídes sistematizó casi la totalidad del material matemático conocido en su época y como habia sido pre-escrito por la Escuela Platónica.

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA 5.2.3.2.

128

Aristarco de Samos (310 - 230 a.C)

Astrónomo y matemático de la escuela de Alejandría, propuso el sistema heliocéntrico del sistema solar. Fue el primero de los astrónomos que trabajó a los astros como seres materiales y no como dioses. Cronologicamente se puede situar entre Euclídes y Arquimedes, época en la cual fue director del Museo de Alejandría (284 - 269 a.C).

Estableció un método para calcular la distancia entre la tierra, el sol y la luna.

Observó que cuando la mitad de la luna esta iluminada, el triángulo sol - luna - tierra es recto.

Luna

s

L

Sol

T Tierra

Aristarco midió el ángulo θ y obtuvo valores comprendidos entre 86o 49′ y 87o 8′ y estableció la siguiente relación trigonométrica:

cos (θ) = cos 870 = Pero

1 cos(870 )

distancia (LT ) distancia (T S) .

= 19,08

entonces distancia (T S) =

distancia (LT ) cos(870 )

= 19,08 (distancia (LT )).

En conclusión se puede afirmar que Aristarco estableció que la distancia de la tierra al sol es igual a 19 veces la distancia de la tierra a la luna: d(T S) = 19d(T L). Este resultado es falso porque se ha comprobado que es 400 veces y no 19.

En su tratado “Sobre el tamaño y distancia del sol y la luna”, él usó el equivalente de la siguiente desigualdad: sen(α) sen(β)

<

α β

<

tan(α) tan(β)

0<β<α<

π 2

También afirmó que: El diámetro del sol es 19 veces el diámetro de la luna: DS = 19DL Distancia de la tierra a la luna es igual a 40 veces el diámetro de la luna: d (T L) = 40DT Distancia de la tierra al sol es igual 760 veces el diámetro de la tierra: d(T S) = 760DT Aristarco al observar eclipses de luna pudo establecer que el diámetro de la luna es 20 57 el diámetro de la tierra y el diámetro del sol es 6.67 el diámetro de la tierra. Esto lo estableció al observar que el diámetro de la luna recorría dos veces la sombra terrestre durante un elipse.

En las proposiciones 11, 12 y 13 de su obra establece las siguientes desigualdades:

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA 1 6

< sen (1o ) <

1 45

85 90

< cos (1o ) < 1

44 45

< cos2 (1o ) < 1

5.2.3.3.

129

Heratóstenes o Eratóstenes (284 a.C. - 192 a.C)

Eratóstenes es particularmente recordado por haber establecido por primera vez la longitud de la circunferencia de la Tierra, con un error de sólo 90 kilómetros respecto a las estimaciones actuales.

Eratóstenes sabía que, cuando en la ciudad egipcia de Siena (actual Asuán), el sol llegaba su punto más alto (medio día), se encontraba en la vertical del observador. Y observó que en Alejandría, ciudad situada a mayor latitud, el sol formaba un ángulo de aproximadamente 7o con la vertical cuando se encontraba en su punto más alto. Valiéndose de la distancia existente entre Siena y Alejandría, estimó que la circunferencia de la Tierra superaba en 70 veces tal longitud y dedujo fácilmente su medida mediante el siguiente procedimiento:

d L

A

d

2

, s

1

s

Alejandria

Siena

le

la

s

B

Pa

ra

2

C

Figura 5.6: Cálculo de la longitud de la circunferencia de la Tierra

En la figura 5.6 según Eratóstenes S es la sombra proyectada por un bastón de longitud d, en la ciudad de Siena, y S ′ es la sombra proyectada por el mismo bastón en la ciudad de Alejandría, ambas medidas ejecutadas a la misma hora en las dos ciudades. L es la longitud de Siena a Alejandría, la cual mandó a medir Eratóstenes y dió un resultado de 4.900 estadios o sea 800 kilómetros. Los ′ ángulos formados por los rayos del sol y el bastón

son α1 = arctan ds y α2 = arctan sd . β = 180 − α2 .

En el triángulo ABC, α1 + (180o − α2 ) + ϕ = 180o ⇒ ϕ = α2 − α1 .

Eratóstenes se hizo la siguiente pregunta: “Si a un ángulo ϕ le corresponde un arco de longitud L, qué arco x le corresponde a un ángulo de 360o”.

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA ϕo 360o 360o ·L ϕ

→ L ⇒x= → x = 2πR ⇒ R =

360o ·L ϕ

360o ·L 2πϕ

130

= arco igual a la longitud de la círcunferencia entonces:

=radio de la tierra.

Eratóstenes observó que cuando en Siena es el medio día, el bastón no proyectaba ninguna sombra, por lo tanto α1 = 0 y ϕ = α2 . A esa misma hora en Alejandría α2 = 7o , entonces ϕ = 7o .

Por lo anterior concluyó que la longitud de la círcunferencia es: x=

360o ·800 7o

= 41,142 km y R =

360o ·800 2π·7o

= 6,548 km.

En teoría de números Eratóstenes es recordado por su ingenioso método para establecer la secuencia de los números primos (Criba de Eratóstenes). Su método consistía en escribir una sucesión ilimitada de números impares a partir del número 3, tachar todos los múltiplos de 3, tomar el número 5 como primo y tachar todos sus múltiplos, continua este proceso hasta obtener la secuencia de primos tan larga como desee.

Según Teón de Alejandría y Pappus, Eratóstenes también estableció una solución para la duplicación del cubo que equivale a determinar dos medias proporcionales a partir de la media geométrica proporcional, así como todas las proporcionalidades a partir de la igualdad (esta solución estuvo grabada en las piedras del templo del dios-rey Tolomeo).

5.2.3.4.

Arquímedes (c.a 287 a.C a 212 a.C)

Nació en la ciudad griega de Siracusa, hijo de Fidias (astrónomo). Estudió con los sucesores de Euclídes entre ellos con Conón de Samos (en Egipto) y con Eratóstenes (Bibliotecario de la Universidad de Alejandria). Varios de sus descubrimientos matemáticos se los comunicó a Dositeo (alumno de Conón). Fue asesinado en Siracusa por un soldado del general romano Marcelo.

Se cuenta que durante el sitio de los romanos a Siracusa (2014-2012), Arquimides inventó varias máquinas de guerra: catapultas, máquinas para incendiar barcos, pértigas movibles, etc.

Sus trabajos matemáticos se refieren a la geometría plana y del espacio, aritmética, mecánica, hidrostática y astronomía.

Escribió más de diez obras que los historiadores modernos han clasificado en el siguiente orden: 1. Primer libro de los equilibrios: se refiere a los centros de gravedad de figuras planas como paralelogramos y triángulos.

2. Cuadratura de la parábola: trata de la cuadratura de cualquier segmento parabólico (hace uso de una serie geométrica infinita). Según el prefacio este libro está dedicado a Dositeo y presenta la solución en dos formas, forma mecánica y forma geométrica.

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

131

3. Segundo libro de los equilibrios: trata de los centros de gravedad de los segmentos de parábola.

4. Sobre la esfera y el cilindro (libros I y II): trata sobre superficies de la esfera, del segmento de la esfera y esferas inscritas y circunscritas en cilindros.

5. Sobre las espirales: trata sobre espirales del tipo r = aθ, y el estudio de las tangentes y el área barrida por el radio vector.

6. Sobre los conoides y esferoides: trata de los volúmenes generados por las elipses y parábolas cuando giran alrededor de un eje de simetría y por las hipérbolas cuando giran alrededor de un eje transversal.

7. De la medida: trata sobre medidas del círculo, establece una estimación para el valor de π 3+

10 71

<π <3+

10 70

8. El arenario: Contiene un sistema de numeración de números grandes, donde la unidad de primer orden es 10.000 (la miriada), La unidad de segundo orden es la miriada de la miriada (100,000,000)2 .

9. Sobre los cuerpos flotantes (libros I y II): trata del equilibrio de un segmento de paraboloide que flota en un líquido.

10. Tratado del método: En este libro Arquímedes revela a Eratóstenes alguno de sus métodos de investigación, explica que averiguó el contenido de los teoremas a partir de consideraciones mecanico-físicas y de analogías, y que luego sólo debia redactar la demostración matemática exacta. Este libro estuvo desaparecido y fue redescubierto en 1906 en un pergamino de Constantinopla; se trataba de un texto religioso escrito en pergamino sobre el original del tratado del método. Un Palimpsesto (palinsesto en italiano) es una página manuscrita, rollo de pergamino o libro que fue escrito, borrado y reescrito. El término deriva del griego πάλιν ψσvήσvτος (pálin-pséstos, lit. "nuevamente raspado").

11. Sobre el espejo incendiario: este libro está desaparecido y posiblemente trate de la utilización de la lupa y no de grandes espejos que se podrían utilizar para incendiar las velas de los barcos.

En el libro de las esferas y cilindros se encuentran tres teoremas muy importantes: a. La superficie de una esfera es 4 veces la superficie de gran círculo. b. La superficie de un segmento de esfera es igual a un círculo de radio igual a un segmento de recta trazado desde el vértice del segmento al punto sobre la circunferencia de la base. c. Si un cilindro esta circunscrito a una esfera y su altura es igual al diámetro de la esfera, entonces: • El volumen del cilindro es una vez y media el volumen de la esfera.

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

132

• La superficie del cilindro es una vez y media la superficie de la esfera.

La cuadratura de la parábola En el libro de la cuadratura de la parábola aparece el siguiente teorema: “El área de un segmento de parábola es igual a cuádruplo del tercio del área de un triángulo con la misma base y la misma altura del segmento”.

Para la demostración de este teorema Arquímedes recurre a dos métodos: Método mecánico basado en el método exhaustivo y método analítico basado en geometría plana (proposiciones 16 y 17 del libro de La Cuadratura de la Parábola). Pero en las siete últimas proposiciones de este mismo libro realiza una demostración diferente haciendo uso de una serie infinita de áreas, cada una de ellas cuadro veces mayor que la siguiente y cuya suma es inferior al área del segmento de parábola (figura 5.7).

B G

H

1

2

E

D

I

F 0

A

C

Figura 5.7: Cuadratura de la parábola

Sea ∆0 = ∆ABC, ∆1 = ∆ADB, ∆2 = ∆BEC, ∆3 = ∆AF D, ∆4 = ∆DGB, ∆5 = ∆BHE, ∆6 = ∆EIC. ∆1 = ∆2 , ∆3 = ∆6 , ∆4 = ∆5 .

Sea S0 = ∆0 y S1 = ∆1 + ∆2 , y S2 = ∆3 + ∆4 + ∆5 + ∆6 .

Se puede demostrar que ∆0 S1 S2

1 1 ∆0 = S0 4 4

1 1 1 S0 = = 4S2 ⇒ S2 = S1 = 4 4 4

1 1 1 = 4S3 ⇒ S3 = S2 = S1 = 4 4 4

= 4S1 ⇒ S1 =

1 S0 42 1 S0 43

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

133

y asi sucesivamente. Si en los segmentos restantes de la parábola se siguen construyendo triángulos, estos se hacen cada vez más pequeños, pero siempre se conserva que cada uno de ellos es igual a 14 del precedente, por lo tanto se puede establecer que: S0 + S1 + S2 + S3 + · · · = 14 S0 +

1 42 S0

+

1 43 S0

+ ··· =

Con esto demostró que el área de la parábola es igual A+

A 4

+

A 42

+ ··· +

A 4n

1 4 4 3

+

1 42

+

1 43

+ · · · S0 = 34 S0 .

del área del triángulo inscrito:

= 34 A.

En la época de Arquímedes no se disponía de una demostración directa de la serie infinita y además no se aceptaba el concepto del infinito, por esto recurrió al método de reducción al absurdo y estableció el siguiente postulado, conocido como el postulado Eudoxo-Arquímedes: “Dadas dos superficies desiguales, el exceso por el cual la mayor supera a la menor, puede ser sumado con sigo mismo, resultando más grande que cualquier superficie asignada”.

En su libro de la cuadratura recurrió a un doble absurdo, demostrar que el segmento parabólico no puede ser ni mayor ni menor que 43 S0 y pudo demostrar que tenía que ser precisamente 43 S0 .

Las áreas del segmento de parábola y del triángulo S0 son conmensurables entre sí y por lo tanto con regla y compás se puede construir un cuadrado de área igual 34 S0 . De esto se deriva la cuadratura del segmento de parábola.

La Espiral de Arquímedes.

En su trabajo Sobre las Espirales define la espiral en la siguiente forma: “si una línea recta dibujada en un plano gira uniformemente cualquier número de veces alrededor de un extremo fijo, hasta que regresa a su posición original y si, al mismo tiempo que la línea gira, un punto se mueve uniformemente a lo largo de la línea recta comenzando en el extremo fijo, el punto describirá una espiral en el plano”.

Este tipo de espiral ya habia sido considerada por Conón que era el astrónomo de la corte de Ptolomeo III en Alejandría.

Bonaventura Franchesco Cavalieri (1598 -1647 d.C) estableció que entre la espiral de Arquímedes y la parábola de Apolonio existe una relación muy importante:

P

O

Q

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

134

El arco OP es un segmento de parábola. La distancia OQ definida por la primera vuelta de la espiral es el radio de un círculo con centro en O. Si la distancia P Q se toma como la longitud de la circunferencia del círculo de radio OQ entonces el área dentro de la primera vuelta de la espiral es igual al área entre el arco parabólico OP y el radio vector OQ. Arquímedes también pudo calcular la longitud de varias tangentes a la espiral y mostró que puede ser usada para trisecar un ángulo y cuadrar el círculo.

Otras contribuciones importantes de Arquímedes fueron: Teoría de las palancas.

Principios de estática: estudio de los centros de gravedad de las figuras planas y sólidas, equilibrio físico.

Estudio de la hidrostática: propiedades de los liquidos, equilibrio de los cuerpos sumergidos y flotantes.

5.2.3.5.

Menelao de Alejandría (c.a 70 d.C - 140 d.C)

Trabajó en Alejandría y en Roma, definió el triángulo esférico y las geodésicas en la superficie esférica. Sus observaciones astronómicas las utilizó Ptolomeo para confirmar la precesión de los equinocios. Escribió una obra compuesta de 3 tomos que llamó “Sphaerica”, de la cual se conoció en occidente una versión en árabe. Esta obra trata de geometría esférica y sus aplicaciones al cálculo y medidas astronómicas.

Su contenido básico por tomos es: Tomo I: Triángulos esféricos (fue el primero en definirlos). Conceptos básicos de la geometría esférica.

Tomo II: Aplicaciones de la geometría esférica a la astronomía.

Tomo III: Aplicaciones de la geometría plana. Teorema de los tres puntos colineales (El famoso teorema de Menelao).

A Menelao se le considera el fundador de la geometría esférica como una ciencia sistemática y el primero en aplicarla a la astronomía.

El llamado teorema de Menelao dice: Si los puntos A, B y C forman un triángulo y los puntos D, E, F se encuentran sobre las líneas BC, AC, AB entonces D, E y F son colineales si se cumple que C

E

D

AE AC A

B

F

×

CD DB

×

BF FA

= −1

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

135

En muchas ocasiones el teorema de Menelao es confundido con el teorema de Giovanni Ceva quien lo demostró en 1678, pero ya había sido formulado por Yusuf al-Mùtaman Ibn Hud, un rey de la taifa de Zaragoza en el siglo XI. El teorema de Ceva dice: Dado un triángulo ABC y los puntos D, E y F que se encuentran sobre los lados BC, CA y AB respectivamente, entonces los segmentos AD, BE y CF son congruentes si y solo si C

D

E

A

F

AF FB

BD DC

×

CE EA

=1

B

En forma trigonométrica se escribe como: 5.2.3.6.

×

sen(∠BAD) sen(∠CAD)

×

sen(∠CBE) sen(∠ABE)

×

sen(∠ACF ) sen(∠BCF )

=1

Herón de Alejandría (c.a 75 d.C - 150 d.C)

Su trabajo científico lo orientó en dos áreas básicas: Matemáticas y Física. Sus trabajos se pueden clasificar en dos grupos: 1. De naturaleza geométrica: problemas sobre medidas y formas de figuras 2. De naturaleza mecánica: descripción de aparatos mecánicos basados en las propiedades de los fluidos y en las leyes físicas de las máquinas elementales, teoría sobre la mecánica, teoría de la óptica y geodesia.

Su obra principal la titulo “Las Metricas” y el tomo I está enfocado a demostrar fórmulas sobre medidas de áreas de regiones cerradas como cuadrados, triángulos, rectángulos, polígonos regulares, segmentos de esfera, cilindros y segmentos parábolicos. En este libro se encuentra la demostración aplicación de la fórmula para calcular el área de un triángulo, que hoy es conocida como la famosa fórmula de Herón p A = S · (S − a) (S − b) (S − c), donde S es el semiperímetro S = son los lados del triángulo.

a+b+c ; 2

a, b y c

Esta fórmula de Herón fue generalizada por Brahmagupta para extenderse a cuadrilateros cíclicos8 .

Herón también estableció una nueva media matemática que hoy es conocida como media √ Heroniana: la media Heroniana entre 3 números positivos A, B y C es H = 31 A + A × B + B . Es una media ponderada de la media aritmética y la media

p (S − a) (S − b) (S − c) (S − d). Para un cuadrilatero no cíclico: de Brahmagupta A = = (S − a) (S − b) (S − c) (S − d) − abcd × cos2 (α) , donde α = semisuma de dos ángulos opuestos en el cuadrilátero.

A2

8 Fórmula

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA geométrica: H =

2 3

×

A+B 2

+

1 3

×

136

√ A×B

La media Heroniana la usó para calcular el volumen de un tronco de pirámide o de cono, donde: v =producto de la altura del tronco por la media heroniana de las áreas de las caras paralelas que forman las bases.

El tomo II de Las Metricas está dedicado al cálculo del volúmenes de figuras sólidas: cono, esfera, toro, cilindro, paralelepípedo, pirámide, tronco de cono, tronco de pirámide, los 5 sólidos regulares.

El tomo III Se estudia la división de figuras, áreas y volúmenes en una razón dada.

Otra obra importante de Herón es “Las Neumáticas” en la cual describe cerca de 100 máquinas mecánicas, entre las más importantes se encuentran: primera máquina de vapor (figura 5.89 ), conocida como eolípila, el cifón, el organo hidráulico, dispositivos para abrir puertas, dispositivo para proyectar fuego en los altares, el reloj de arena, la dioptra, el odómetro, máquinas neumáticas de guerra, máquinas neumáticas para levantar pesos, el termómetro.

Figura 5.8: Eolípila

En “La dioptra” describe el funcionamiento de un dispositivo, similar al teodolito, usado en observaciones terrestres y astronómicas.

En óptica, propuso en su “Catóptrico” que la luz viaja siguiendo el camino geométricamente más corto.

9 Tomado

de http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Aeolipile_illustration.JPG

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA 5.2.3.7.

137

Claudio Ptolomeo (c.a 85 d.C - 165 d.C)

Fue miembro de la escuela de Alejandría desde el año 125 al año 160. Fue el autor de una obra de trece libros titulada “Magiste” hoy en día conocida con el nombre de Almagesto (la mayor, lo máximo). Es una obra que esta dedicada casi en su totalidad al estudio de la Trigonometría antigua y la Astronomía. En la parte de astronomía fue tan importante que todas las tablas trigonométricas y astronómicas fueron usadas hasta el siglo XII. A él se debe la división del círculo en 360 grados y el diámetro de la círcunferencia en 120 partes; y luego cada parte en minutos, segundos y terceros según el sistema sexagesimal de los babilonios. Estableció que la razón entre la círcunferencia de un círculo y el diámetro era: 3o 8′ 30′′ y así pudo establecer que el valor de π es: π =3+

8 60

+

30 602

Estableció el concepto de cuadrilátero cíclico, o sea un cuadrilátero convexo inscrito en un círculo (Todos los vértices del cuadrilátero deben de estar sobre el círculo). Creó un teorema que hoy es conocido con el nombre de: B A

Teorema de Ptolomeo “La suma de los productos de los lados opuestos de un cuadrilátero cíclico es igual al producto de las diagonales”. AC · BD = AB · CD + CB · AD

C

D

De este teorema se han derivado tres corolarios muy importantes : Colorario 1. Si a y b son las cuerdas de 2 arcos de un círculo de radio unidad, entonces s es la cuerda de la suma de los 2 arcos.

B A b

s

a D

C

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA s=

4 − b2

a 2

12

+

b 2

138

4 − a2

12

Colorario 2. Si a y b (a ≥ b) son las cuerdas de 2 arcos de un círculo de radio unidad, entonces d es la cuerda de la diferencia de los 2 arcos (si el cuadrilátero cíclico tiene la base en el diámetro del círculo unitario).

A

d

B

a

b C

D

d=

a 2

4 − b2

12

−

b 2

4 − a2

12

Colorario 3. Si t es la cuerda del arco menor de un círculo de radio unidad, entonces h es la cuerda del arco medio.

D t h C

A h

B

h=

h 1 i 21 2 − 4 − t2 2

Este teorema de Ptolomeo sirvió para que posteriormente se establecieran las siguientes identidades trigonométricas: sen (α ± β) = senαcosβ ± cosαsenβ cos (α ± β) = cosαcosβ ∓ senαsenβ Debemos anotar aquí que en esta época los griegos no conocían las razones trigonométricas y que utilizaron para ello las cuerdas de los arcos de círculo. En la trigonometría actual las cuerdas de arco del Almagesto nos conducen a: senα = cuerda (2α) 120

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

139

o

−2α) cosα = cuerda (180120

Así Ptolomeo,pdotado de un buen sistema de medidas, del teorema anterior y de la fórmula sen α2 = 1 − cos α2 pudo calcular por interpolación las cuerdas de ángulos con una precisión hasta de 5 cifras significativas.

La tabla de Ptolomeo dá la longitud de las cuerdas de todos los ángulos centrales, de o o un círculo dado, en intervalos de 21 y desde 12 hasta 180o . El radio del círculo lo dividió en 60 partes iguales y las longitudes de las cuerdas las expresa en forma sexagesimal en términos de una de esas partes como unidad. Usando el símbolismo de “crd α” para representar la longitud de la cuerda de un ángulo central α, expresa: crd 36o = 37p 4′ 55′′ 37 partes del Lo cual significa que la cuerda de un ángulo central de 36o es igual a 60 55 4 radio (o 37 pequeñas partes) más 60 partes de una de esas pequeñas partes, más 3600 partes de una de esas pequeñas partes.

De la siguiente figura 5.9 se deduce que una tabla de cuerdas es equivalente a una tabla de senos trigonométricos porque: sen (α) =

AM OA

=

AB di´ ametro

=

cdr (2α) 1200

M

A

B

O

Figura 5.9

También se deduce que la tabla de cuerdas de Ptolomeo en realidad produce los senos o de ángulos con incremento de 14 desde 0 a 90o .

Posiblemente uno de los tantos encuentros de los griegos y en especial de Ptolomeo, con los números irracionales, ocurrió cuando trataron de construír un pentágono regular, pues el ángulo que subtiende la cuerda que forma cada uno de los lados es 72o y al tomar la mitad de este ángulo se obtiene un triángulo isósceles donde los ángulos de la base miden 72o .

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

140

o x

36o

C

O

1-x

x

36o 36o

72o

o

36

36o 72o

A

o

72

B

x

B A

Si AC biseca uno de los ángulos de la base del △AOB se obtienen 2 triángulos isósceles AB = OB △CAB y △ACO. Además △AOB y △BAC son semejantes, por lo tanto: CB AB , y haciendo OB = 1 y x = AB, CB = 1 − x, por lo tanto: x 1−x

=

1 x

⇒ x2 + x − 1 = 0 ⇒ x =

√

5−1 2

= 0,6180

Pero x es la cuerda del ángulo de 36o o sea que crd (36o ) = 0,6180.

Cuando un segmento de línea como el lado OB del triángulo anterior es dividido por un punto C, tal que el segmento OC es una media proporcional entre el segmento más OC corto (CB) y todo el segmento (OB), talque CB OC = OB , los griegos decian que el segmento 1 = x1 es lo que en realidad se OB esta dividido en “razón de oro” o razón dorada y OC llama la razón de oro: y=

1 x

=

√

1 5−1 2

=

√

(

√ 2( 5+1) √ 5−1)( 5+1)

=

√ 5+1 2 .

A partir del pentágono regular cíclico también pudo establecer la famosa razón dorada o medida áurea teniendo en cuenta no el ángulo central sino el △ADC isósceles de base igual al lado el pentágono.

A a

a E

B

b b a

a b D

a

C

En el pentágono se selecciona el cuadrilátero ABCD donde las diagonales son iguales al lado AD = b.

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

141

Aplicando el teorema anterior AC · BD = AB · CD + CB · AD entonces b · b = 2 a · a + a · b ⇒ b2 = a2 + ab ⇒ ab 2 = 1 + ab . si Φ = 5.2.3.8.

b a

⇒ Φ2 = 1 + Φ, donde Φ =

√ 1+ 5 2

Diofanto de Alejandría (c.a 214 d.C - 296 d.C)

Sobre la vida de Diofanto se conoce muy poco y los detalles que se conocen acerca de él provienen de “Antología griega” que consta de 48 epigramas recopilados por Metrodoro alrededor del 500 d.C. Su obra principal fue “La Aritmética”, que consta de 13 libros, de los cuales solo se han preservado los primeros seis, recuperados en el siglo XVI por Regiomontano (Johann Müller).

Es una colección de 189 problemas resueltos mediante ejemplos numéricos. La mayoria de estos problemas conducen a ecuaciones lineales y cuadráticas con solución entera positiva y en algunos pocos casos con solución racional, esto porque en su época los matemáticos despreciaban los números negativos y no sabian operar con números racionales.

Aunque su libro se llama “La Aritmética” es en realidad una obra en donde se da la fusión de la aritmética con el álgebra. Los problemas planteados son netamente matemáticos sin ninguna utilidad práctica pero conllevan a una formalización del álgebra.

En cuanto a las ecuaciones cuadráticas solo considero las de la forma: ax2 + bx = 2

ax ax2 + c

= =

c bx + c bx

La Aritmética de Diofanto tuvo gran influencia sobre Fermat y se cree que el famoso teorema de Fermat se origino cuando trató de generalizar una proposición que encontró en el tomo II de La Aritmética y que dice: “Dividir un número dado en dos cuadrados” o sea z 2 = x2 + y 2 .

El libro de La Aritmética contiene al comienzo las definiciones de: cuadrado x2 ,

cubo x3 , cuadrado-cuadrado x4 , cuadrado-cubo x6 y cubo-cubo x9 , acompañada de los símbolos correspondientes y de una discusión sobre el símbolo menos, la ley de los signos y la presentación general del texto.

Los problemas tratados son como los siguientes: Libro I problema 1: Dividir un número dado en dos partes, cuya diferencia sea dada. Sea 100 el número y 40 la diferencia.

Solución: Suponer que el menor de los números buscados es x y el otro es y, entonces

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

142

z = 100 =

x+y 40 + y + y

100 = 60 =

40 + 2y 2y

x

= 40 + 30

y

x

= 70

30 =

x−y x

= 40 = 40 + y

Libro I problema 19: Encontrar 4 números de manera que la suma de tres de ellos exceda al cuarto en un número dado con la condición necesaria de que la suma de las cuatro diferencias dadas debe ser mayor que cada una de ellas. Sean las diferencias 20, 30, 40 y 50 Solución: Sea 2x la suma de los números buscados. Así los números son: x − 15, x − 20, x − 25 y x − 10.

Además 4x − 70 = 2x y x = 35 por lo tanto los números son 20, 15, 10 y 25.

Libro IV problema 12: Resolver el siguiente par de ecuaciones: y + z = 10 e y · z = 9 Solución y + z = 10 ⇒ y + z − 2z = 10 − 2z ⇒ y − z = 10 − 2z ⇒ y − z = 2 (5 − z) Sea y − z = 2x, por lo tanto x = 5 − z ⇒ z = 5 − x y como y − z = 2x ⇒ y − (5 − x) = 2x ⇒ y = x + 5 Además y (5 − x) = 9 ⇒ (x + 5) (5 − x) = 9 ⇒ x = 4, de donde se obtiene que z = 1 e y = 9.

En el libro IV se encuentra un problema que resuelve netamente por aritmética. El problema es: Encontrar el cuadrado entre 45 y 2.

Solución Multiplicar por 64, se obtiene: 5 4

· 64 = 80

2 · 64 = 128

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

143

El único cuadrado que existe entre 80 y 128 es 100 80

100

128

80 16 80 4·16 20 16 5 4

4·25 16 4·25 4·16 25 16 5 2 1

16·8 16 8 4 8 4

2

La Antología Griega contiene en forma de epigrama un rompecabezas algebráico donde se describe someramente la vida de Diofanto.

“Transeúnte, esta es la tumba de Diofanto: Es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su juventud ocupó la sexta parte; después, durante la doceava parte su mejilla se cubrio con el primer bozo. Pasó a una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. su padre tuvo que sobrevivirle, llorandole durante cuatros años. de todo esto se deduce su edad” 10 1 6x

En notación moderna el epitafio de Diofanto se puede escribir como 1 + 12 x + 71 x + 5 + 12 x + 4 = x ⇒ x = 84 años.

5.2.4.

Período de la Decadencia

(Período Helenístico-Romano Siglos III - V d.C) Los matemáticos que se destacaron en este período fueron: Pappus, Zenodoro, Teón de Alejandría, Hipatía (hija de Teón), Proclo, Simplicio y Eutoquio.

De los anteriores puede decirse que Pappus fue el verdadero matemático y los demás fueron comentaristas que se dedicaron a hacer comentarios, aclaraciones y adiciones a obras de matemáticos anteriores. Se puede afirmar que con Pappus sesa el progreso de las matemáticas griegas. Hipatía fue asesinada por los fanáticos cristianos y con ella se extinguio definitivamente la escuela matemática de Alejandría.

5.2.4.1.

Pappus (finales del siglo III y comienzos del siglo IV d.C)

Su obra principal fue una enciclopedia de 8 volúmenes que él llamó “La colección matemática”, además escribió un comentario al Almagesto de Tolomeo y otro al libro X de Los Elementos de Euclídes.

En los 2 primeros libros de la colección se encontraba un método desarrollado por Apolonio sobre la escritura y el cálculo de los grandes números.

En el libro III habla de las medias proporcionales y establece cómo intercalar dos medias proporcionales entre dos segmentos de rectas dados; también habla de las 10 Dedron,

Pierre y Jean Itard, Mathématiques et mathematiciens, Paris, Magnard, 1959 pp 117-118

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

144

desigualdades en un triángulo y de la construcción de los 5 sólidos regulares inscritos en una esfera.

Uno de sus teoremas más conocidos sobre la recta es: “Si sobre dos rectas L1 y L2 paralelas o no, se toman tres puntos A, B y C sobre L1 y A′ , B ′ y C ′ sobre L2 , entonces los puntos de corte x, y, z de las rectas AB ′ , BA′ ; AC ′ , CA′ ; BC ′ , CB ′ yacen sobre una recta L.”

C

B

L1

A

L

,

A

,

B

,

L2

C

En el Libro IV hace una extensión del teorema de Pitágoras y establece un tipo de espiral sobre la esfera y calcula el área limitada por la espiral y un arco de círculo.

En el libro V retoma los trabajos de Zenodoro referentes a la isoperimetría (comparación de áreas de figuras cuyos perímetros son iguales) y de volúmenes de sólidos limitados por áreas iguales.

El libro VI se refiere a la Astronomía y a los temas (tratados) que tenían que ser estudiados como introducción al Almagesto de Tolomeo. Los doce tratados eran: Los Datos, los Porismas, los Lugares en la superficie (de Euclídes), las Secciones cónicas (de Apolonio), los Lugares sólidos (de Aristeo) y sobre las medidas proporcionales (de Eratóstenes), los otros seis tratados eran obras suyas, en especial un complemento donde presenta una proposición sobre el volumen de un sólido de revolución; este complemento dió origen al famoso teorema de Pappus-Guldin.

El libro VII es un resumen o idea general de los trabajos que después constituyeron “El tesoro del análisis”, colección que tenía como objetivo proporcionar el material indispensable al matemático profesional.

El libro VIII lo dedicó a la mecánica y a la construcción de una cónica que pasa por cinco puntos.

También escribió comentarios sobre los Elementos y los Datos de Euclídes, sobre le Almagesto y el Planisferio de Tolomeo.

H.Eves11 afirma que la Colección Matemática de Pappus puede ser considerada como “El réquiem de la geometría Griega”, al tiempo que inicia la era de los comentaristas.

11 Eves, Howard, An introduction to the history of mathematics, 3er ed., New York, Holt, Rinehard and Wiston, 1969.

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA 5.2.4.2.

145

Los comentaristas

Desde mediados del siglo IV hasta comienzos del siglo VI es un período que en historia de las matemáticas se le ha llamado el período de los comentaristas, pues durante este tiempo los pocos matemáticos que sugieron en territorio griego tuvieron poca producción original y se dedicaron a explicar y complementar las obras de los matemáticos anteriores, sobre todo a Euclides, Arquímedes, Ptolomeo, Diofanto y Apolonio. De entre todos estos comentaristas se destacan: Teón de Alejandría, Hipatía (hija de Teón), Proclo, Diadoco, Simplicio, Eutoquio, Silecio de Cirene y Domninos.

En Atenas, en la escuela platónica, Proclo (siglo V, neoplatónico) escribió el conocido “Catálogo de Geómetras” y el “Comentarios sobre el libro I de Los Elementos de Euclides”, basado en el libro de Eudemo (Historia de la Geometría) y en el libro de Gémino (Teoría de las Ciencias Matemáticas). Proclo también fue director de la escuela de Atenas y murió en el año 485 a la edad de 75 años y Domninos escribió “La Aritmética” basada en la aritmética de Diofanto.

En la escuela de Alejandría, Teón (c.a 365) escribió “Comentarios al Almagesto” de Ptolomeo y comentarios a Los Elementos de Euclides. Hipatía12 escribe “Comentarios a la Aritmética” de Diofanto y “Comentarios a las Cónicas” de Apolonio. Simplicio que vivió en el siglo VI y estudió en Alejandría y Atenas escribió comentarios sobre el primer libro de Los Elementos de Euclides y sobre las obras de Aristóteles. Eutoquio escribio comentarios sobre las siguientes obras de Arquímedes: Sobre la Esfera y el Cilíndro, El libro de los Equilibrios y la Medida del círculo, también hizo comentarios a “Secciones Cónicas” de Apolonio.

Con el dominio de los romanos sobre el gobierno de Alejandría y el surgimiento del cristianismo en todo el imperio (Tiempos del emperador Constantino) la ciencia Helenística empieza a decaer. En el año 529 el emperador cristiano Justiniano ordenó cerrar la académia de Atenas por considerarla un sitio de enseñanzas paganas y los cristianos fanáticos de Alejandría sitiaron el templo de Serapis, que albergaba gran parte de la biblioteca, y quemaron cerca de 300.000 manuscritos, más tarde estos mismos fanáticos dieron muerte a Hipatía decapitandola y descuartizandola. Cuando los mahometanos invadieron a Alejandría, en el año 640 destruyeron nuevamente la biblioteca que había sido reconstruida por Cleopatra.

12 Los historiadores establecen que Hipatía es la primera matemática que se conoce en la historia de las matemáticas

5.2. PERÍODOS DE LA MATEMÁTICA GRIEGA

146

CAPÍTULO 6 MATEMÁTICA DE LA CIVILIZACIÓN ISLÁMICA

Después de la decadencia de la matemática griega, el desarrollo de las ciencias exáctas continuó en los paises del lejano y medio oriente, especialmente en aquellos de influencia islámica.

Comparada con la matemática de la civilización griega la matemática de los paises islámicos no poseía una estructura interna abstracta (excepto en muy pocos casos) porque no era establecida deductivamente o fundamentada en la axiomática. Esta matemática estaba más enfocada a la resolución de problemas prácticos reales y no a una sistematización interna; todo esto por que los usuarios de este tipo de matemáticas eran los comerciantes, funcionarios públicos, constructores, etc.

Los árabes tradujeron al árabe y al persa el álgebra hindú y griega; como el árabe era un idioma importante en erudición, en el comercio y en la guerra, esto ayudó a que penetrara en Europa. También las cruzadas de los siglos XII y XIII ayudaron a difundir indirectamente el algebra y la trigonometría de los árabes con influencia griega e hindú.

Según los historiadores en la matemática del islám se pueden distinguir claramente tres etapas de desarrollo.

6.1.

Primera etapa: La Casa de la Sabiduria (650 - 750 d.C)

En esta primera fase se sintió la herencia científica y cultural de la antigua Grecia, Persia, India y Egipto puesto que en ella se tradujeron al árabe los escritos matemáticos de dichas culturas. Bajo el mandato de los califas Al-Mamun, Harun-al-Rasid, Bagdad

147

6.2. SEGUNDA ETAPA: FUNDAMENTACIÓN BÁSICA (SIGLO VIII Y IX D.C) 148 se convirtió en un centro cultural, posteriormente el califa Al-Mamun fundó la academia llamada La Casa de la Sabiduria, cuya función principal era traducir al árabe la ciencia antigua hacia el siglo VIII, bajo el patrocinio de los califas comienza la traducción de los textos griegos e hindues; fue traducido al árabe una versión de los Siddhantas y la obra de astrología Tetrabiblos de Toloméo y fragmentos de Los Elementos de Euclides. Junto a La Casa de la Sabiduria se construyeron bibliotecas y un observatorio astronómico. Los copistas cuidaban de las transcripciones veraces de los libros. En esta casa de la sabiduria también se estableció un programa de investigación geográfica y astronómica y, también se desarrollaron la filosofía, la botánica, la zoología, la mineralogía, la medicina, la física, la química y la farmacología.

Se ha podido establecer la gran influencia de matemáticos indios como Brahmagupta y Bhaskara sobre todo en la Aritmética de los autores árabes donde se encuentran ciertos procedimientos como “la regla del tres”, “la regla del nueve” y “la regla de la falsa posición y la doble falsa posición”, esta última ya utilizada por los egipcios.

La reglas de la doble falsa posición se puede representar símbolicamente por: f(x2)

r= x1

r

x2

x2 f (x1 ) − x1 f (x2 ) f (x1 ) − f (x2 )

Donde x1 y x2 son valores próximos a la raíz r del polinomio f (x).

f(x1)

6.2.

Segunda etapa: Fundamentación básica (Siglo VIII y IX d.C)

Esta segunda fase se inicia aproximadamente hacia la mitad del siglo IX durante el califato de al-Mansur, se formó sobre la base de una actividad solidamente establecida de comentarios de los escritos ya disponibles, pero llegó a consolidarse como una cultura matemática independiente. Los matemáticos de esta época centraron su actividad en la fundamentación y aplicación de la geometría, la trigonometría, el álgebra y los métodos de aproximación numérica. En este período se traduce al árabe la versión de Brahmagupta de los Siddhantas y entre los años 786 - 808 bajo el patrocinio del califa Harun al-Rasid (Aarón el Justo), se traducen al árabe numerosos textos griegos e hindúes.

Los representantes más significativos de esta etapa fueron: Muhammad b. Musa al-Jwarizmi, al-Kindi, Tabit b. Qurra, Qusta b. Luqa, al-Mahani.

6.3. TERCERA ETAPA: MATEMÁTICA NUMÉRICA (SIGLOS X, XI Y XII)

6.3.

149

Tercera etapa: Matemática numérica (Siglos X, XI y XII)

Entre los siglos X y XII la matemática del islán estuvo enfocada a los métodos de aproximación del álgebra, por ello el centro de interés fueron los problemas de la matemática numérica.

Los representantes más significativos de esta época fueron: Abu Kamil, al-Battani, Abu Wafa, al-karhi, Ibn al-Haytam, al-Karyi, al-Biruni, Ibn Hayyan.

6.4.

6.4.1.

Matemáticos Árabes más destacados Al-Jwarizmi (780-850)

El nombre exácto es Abu Abd Allah Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi, el término al-Jwarizmi significa el joresmiano, originario de Joresm (Jiva), situada en la actual Republica Soviética de Uzbekistan. De su tratado sobre el álgebra se ha conservado un escrito árabe y otros en latín. Trabajó en la biblioteca de al-Mamun. Se conoce de él una obra de aritmética titulada en latín “De numero Indorum” donde presenta diversas reglas o métodos para el cálculo numérico basadas en los algoritmos indios. También explica el sistema de numeración utilizado por los indios. Se cree que esta obra, según Boyer, está escrita a partir de la traducción árabe de los textos de Brahmagupta.

Los matemáticos a finales de la edad media en Europa tuvieron muy en cuenta las contribuciones de al-Jwarizmi, basada en la numeración y notación india. Esta nueva notación se convirtió en la notación de al-Jwarizmi cuyo nombre después de algunas modificaciones se transformó en algorítmo, término que significaba un procedimiento sistemático de cálculo.

La obra principal de al-Jwarizmi es un álgebra titulada Ciencia de la Transposición y la Reducción, su titulo en árabe es al-Kitab al-Mujtasar fi hisab al-yabr wa l-muqqabala, donde al-Kitab significa libro, Hisab se traduce como cálculo, al-yabr significa transposición de términos o sea que en la ecuación los términos negativos se pasan al otro lado de la igualdad y así la ecuación solo queda con términos positivos; al-hatt consistia en dividir la ecuación por un valor numérico, cuando era posible, para simplificar coeficientes; Muqqabala equivale a proceso de reducción de términos semejantes.

Ejemplo: 8x2 − 2x + 6 = −4x2 + 10x − 8 se transforma en: 1. 8x2 + 4x2 + 6 + 8 = 10x + 2x (por al-yabr) 2. 4x2 + 2x2 + 3 + 4 = 5x + x

(por al-hatt)

3. 6x2 + 7 = 6x (por al-Muqqabala)

6.4. MATEMÁTICOS ÁRABES MÁS DESTACADOS

150

Según H. Wussing: “La palabra utilizada para la primera operación (al-yabr) se extendió posteriormente a toda la teoría de las ecuaciones; tras la latinización de la palabra al árabe surgió la denominación álgebra. Y del nombre del autor, puesto que el libro contenía procedimientos de resolución que llevaban siempre a buen fin, surgió el término matemático algoritmo”.

El álgebra de al-Jwarizmi estaba escritas en forma retórica y desprovista de justificaciones lógicas, como se observa en el siguiente ejemplo1 .

“Resolver cuadrado y diez raices igual a 39”.

En notación moderna equivale a resolver: x2 + 10x = 39 Solución: 1. Dividir por dos el número de raices (10x): resultado 5 2. Multiplicar esto por si mismo: resultado 25 3. Sumar esto a 39: resultado 64 4. Extraer raíz cuadrada a esto: resultado 8 5. Restar a 8 el resultado del paso 1: resultado 3 6. Esta es la raíz del cuadrado.

En notación moderna, este proceso equivale a:

x2 + 10x = 39 (x + 5)2 = 39 + 25 = 64 x+5 x

=8 =3

Observese que este procedimiento es equivalente a lo que hoy llamamos completar el cuadrado.

El álgebra de al-Jwarizmi consta de 6 capitulos, en el primer capitulo expone que las ecuaciones cuadráticas estan compuestas por (a, b, y c) los números y coeficientes, x la raíz y x2 los cuadrados. En este cápitulos estudia los cuadrados iguales a raices o sea 1 Collette

Jean Paul ob cit.

6.4. MATEMÁTICOS ÁRABES MÁS DESTACADOS

151

ecuaciones del tipo ax2 = bx; la raíz nula (x = 0) no se tenía en cuenta.

En el segundo capitulo estudia cuadrados iguales a números, como ax2 = c.

En el tercer capitulo trata de igualdades de raices y números, bx = c.

En cada uno de estos capitulos se estudia los casos cuando a y b son mayor, menor o igual a uno.

Los capitulos IV, V, y VI se dedican al estudio de tres casos de ecuaciones cuadráticas completas: a. Cuadrados y raices iguales a números: ax2 + bx = c b. Cuadrados y números iguales a raices: ax2 + c = bx c. Raices y números igual a cuadrados: bx + c = ax2 En el capitulo IV se encuentran, en especial, los siguientes tres ejemplos: 1. x2 + 10x = 39 2. 2x2 + 10x = 48 3.

x2 2

+ x = 28

Al solucionarlos el autor no presenta las raices negativas.

En el capitulo V aparece el ejemplo x2 + 21 √ = 10x y halla las raices positivas x = 3 y x = 7 obtenidas mediante la fórmula x = 5 ± 25 − 21. Aquí al-Jwarizmi hace notar que la cantidad que está dentro del radical (discriminante) debe ser positiva.

En el capitulo VI utiliza el método q de completar el cuadrado para resolver la ecuación 3 2 2 3x − 4 = x y obtiene x = 3 + + 4. Además explica que si el coeficiente de x2 2 no es igual a uno, se debe dividir la ecuación por este coeficiente ántes de completar el cuadrado.

A continuación del capitulo VI al-Jwarizmi juzga que es necesario demostrar la veracidad de los problemas en forma geométrica antes tratados con la ayuda de los números. Collete2 en su libro se hace la siguiente pregunta: “¿Induce esto a pensar que la influencia griega se impuso también el en álgebra de los árabes, al menos en lo relativo al aspecto geométrico del álgebra?. Lo menos que puede decirse es que las demostraciones geométricas de problemas tratados con operaciones aritméticas, al mismo tiempo que conservan un carácter propio del espiritu práctico de los matemáticos árabes, ponen de manifiesto la influencia Helenistica”.

Los matemáticos árabes tratan directamente el problema algebráico, utilizando operaciones aritméticas y algoritmos algebráicos y luego mediante la geometría clarifican 2 Opus

cit

6.4. MATEMÁTICOS ÁRABES MÁS DESTACADOS

152

y concretan los procesos algebráicos.

Ejemplo: Así resolvería al-Jwarizmi la ecuación x2 + 12x = 64 1. x2 = cuadrado de lado x 2. Trazar este cuadrado y completar con 4 rectángulos de dimensiones x y 3 para obtener 4 (3x) = 12x 3. Completar con 4 cuadrados de área 9 para obtener 4 (9) = 36 2

4. Se forma un cuadrado de lado x + 3 + 3 y de área (x + 6)

9

3

9

3 x

3

3

x2

x

x

3

3 x

9

3

3

9

5. Según los pasos 1, 2, 3, 3 se obtiene x2 + 4 (3x) + 4 (9) | {z } 64 64 + 36 100 10 10 − 6 4

2

= (x + 6)

2

= (x + 6) 2 = (x + 6) 2 = (x + 6) = x+6 = x = x

Ejemplo: En el capitulo V presenta la solución geométrica de x2 + 21 = 10x 1. Representar a x2 como un cuadrado de lado x 2. Formar un rectángulo de lado x y 10 o sea de área 10x 10 b

a

x2 d

x

c

x e

f

3. El área del rectangulo bcef debe ser 21 4. A partir de c tomar el punto medio (m) de ac por lo tanto cm = 5 5. Con vértice en c construir el cuadrado cmgh de lado 5 y área 25.

6.4. MATEMÁTICOS ÁRABES MÁS DESTACADOS

153

6. Con vértice en c construir el cuadrado de lado ng, entonces el área de benm es igual al área del rectángulo ophf , R1 = R3 b

a x

x2

d

x

m

c

R4

R1 n e

o

R2 g

R3 p

f h

7. La escuadra cmnoph = R4 + R3 es igual a R1 + R4 = 21, además R2 + R3 + R4 = | {z } R2 + 21 = R2

=

25 25 4

Entonces ng = 2 y como mn + ng = 5 ⇒ mn = 5 − 2 = 3, pero mn = x ⇒ x = 3. al-Jwarizmi fue el primer matemático árabe que describió y explicó el sistema posicional con las cifras hindúes. Después de la conquista de Egipto, Siria e Iran, se encontró que los textos árabes utilizaban para los números el alfabeto griego y letras del alfabeto árabe. En la primera mitad del siglo X aparecieron las cifras arabigo-orientales y un signo especial para el cero.

6.4.2.

Tabit ibn Qurra (826 -901)

Su nombre exacto es Abu-l-Hasan Tabit ibn Qurra al-Harrani. Fue el fundador de una escuela de traductores en la cual se tradujeron obras de Euclides, Arquímedes, Apolonio y Eutoquio; gracias a él se conocieron los libros V, VI, VII de las cónicas de Ptolomelo.

Siendo médico, filósofo y linguista se dedicó a las matemáticas y escribió sobre astronomia, las cónicas, el álgebra, los cuadrados mágicos, trisecciones de ángulos y los números amistosos. En geometría estableció una generalización del teorema de Pitágoras, pero no lo demostró. Se cree que una de las traducciones de Los Elementos de Euclides realizada por Tabit ibn Qurra fue la que utilizó Gerardo de Cremona cuando tradujo al latín el libro de Los Elementos Sobre los números amistosos3 es importante su siguiente aporte: “Si a y b son dos números primos y si a = 3 × 2 − 1, b = 3 × 2n−1 − 1 y c = 32 × 22n−1 − 1, entonces 2n × ab y 2n × c son números amistosos”.

También realizó la cuadratura de algunas parábolas y paraboloides, demostró la ley de las palancas, escribió más de 150 obras en árabe sobre lógica, matemáticas, astronomía y 3 Dos

números son amistosos si cada uno es igual a la suma de los divisores propios del otro.

6.4. MATEMÁTICOS ÁRABES MÁS DESTACADOS

154

medicina; 15 obras en siriaco y 15 traducciones de los clásicos griegos.

Es famosa su obra Sobre las demostraciones geométricas en problemas de álgebra en la cual continua con la tendencia del al-Jwarizmi de establecer demostraciones rigurosas en lenguaje geométrico, lo cual contribuyó a que las generación de matemáticos medievales lo tomaran como un modelo metódico a seguir.

6.4.3.

Abu Kamil (c.a 850 - 930)

Es considerado como el segundo gran algebrista árabe, aunque solo estudia ecuaciones cuadráticas introduce más incognitas que al-Jwarismi y utilizá potencias superiores.

Concibió los irracionales cuadráticos como números, o sea como objetos de la Aritmética.

Estudia las condiciones para que una suma o diferencia de raíces sea un número racional o por lo menos la raíz de un número racional. Para ello utiliza la fórmula: p √ √ √ a ± b = a + b ± 2 ab y proporciona el siguiente ejemplo numérico:

p √ √ √ √ 18 + 8 = 18 + 8 + 2 144 = 5 2 p √ √ √ √ 18 − + 8 = 18 + 8 − 2 144 = 2 2 Escribió un libro “Sobre la medida”, en el cual estudia los pentágonos y los decágonos regulares y las relaciones numéricas que existen entre sus elementos. También escribió un libro titulado “El Libro de las cosas raras en aritmética” y dedicado a estudiar sistemas de ecuaciones indeterminadas y a buscar sus soluciones enteras

6.4.4.

Abu-l-wafá (940 - 998)

Wafá (o Wefá) era oriundo de Persia (actual Iran), perteneciente a una familia de sabios. Se destacó en astronomía y matemáticas, sistematizó la trigonometría de su época en un sistema deductivo en el cual se demuestran todos los teoremas sobre las fórmulas del ángulo doble y el ángulo medio. Dedujo la ley de los senos para los triángulos esféricos.

Introdujo el equivalente de la función secante y la cosecante y utilizó las 6 funciones trigonométricas y las relaciones entre ellas. Construyó una tabla de senos para ángulos que difieren entre sí 15’ y con una aproximación de 8 decimales. Completo las tablas de Ptolomeo con unas tablas de tangentes. Tradujo la Aritmética de Diofanto e hizo un comentario sobre el álgebra de al-Jwarizmi.

6.4.5.

Al-Karhi (c.a 1020)

Al-karhi (o al-Karkhi), sucesor de Abu-l-wafá, estuvo muy influenciado por Abu Kamil, continuó con la tradición de dar demostraciones geométricas relativas a las ecuaciones cuadráticas. Se le atribuyen las primeras soluciones numéricas (raíces positivas

6.4. MATEMÁTICOS ÁRABES MÁS DESTACADOS

155

unicamente) de ecuaciones de la forma ax2n + bxn = c. Se considera que fue el primer árabe que enunció y probó teoremas de la teoría de números sobre sumas de cuadrados y de cubos para los n primeros números naturales. Sus escritos estaban hechos en álgebra sincopada rudimentaria y también en forma retórica.

6.4.6.

Umar Jayyám (c.a 1044 - 1123)

Nació en Nisapur (Irán), poeta y algebrista, fue el reformador del antiguo calendario persa, escribió un álgebra que superó a la de al-Jwarizmi porque incluye ecuaciones de tercer grado, pero continua con la tradición árabe de rechazar las soluciones negativas y presentar las demostraciones en forma aritmética y geométrica para las ecuaciones cuadráticas. En cuanto a las ecuaciones cúbicas creía que solo era posible establecer soluciones geométricas (este concepto fue desvirtuado por Cardano en el siglo XVI cuando presentó soluciones algebráicas a la solución cúbica). Al constatar la imposibilidad de resolver la ecuación cúbica con regla y compás Umar Jayyám recurrió a la utilización de cónicas que se cortan, proceso que ya habia sido utilizado por Menecmo, Arquímedes y Alhazén. El método se puede resumir como sigue: “Dada una ecuación cúbica, sustituir x2 por 2my para obtener una ecuación correspondiente a una hipérbola; trazar la hipérbola y la parábola x2 = 2my en un mismo sistema de coordenadas; las raíces de la ecuación cúbica se obtienen como intersecciones”.4 En su libro Álgebra (1074) afirma que ha obtenido un método para desarrollar binomios de potencias enteras, pero hasta la fecha no se ha podido encontrar indicio alguno de este descubrimiento. Si esto fuera cierto él se hubiera adelantado a Pascal en el n desarrollo del binomio (a + b) para potencias enteras. En este libro clasificó las ecuaciones según su grado y daba reglas para resolver ecuaciones cuadráticas, muy similares a las utilizadas actualmente.

En 1077 escribió “Explicación de las dificultades de los postulados de Euclides”, allí trata el famoso postulado de las paralelas que también habia sido tratado por Tabit ibn Qurra y al-Haytan. Rechaza el planteamiento de al-Haytan ya que contenía la idea de movimiento que había sido rechazada por Aristóteles.

Otra obra notable de Umar Jayyam es “Comentarios”, una exposición crítica de la teoría de las proporciones de Los Elementos de Euclides. Según Euclides dos razones ab y c d son iguales si se satisfacen las siguiente condiciones: 1. Si ma > nb entonces mc > nd.

2. Si ma = nb entonces mc = nd.

3. Si ma < nb entonces mc < nd.

Umar sugirió que dos o más razones se pueden definir como iguales, si podían reducirse a una razón de números enteros hasta un alto grado de exactitud. Así la razón de la diagonal de un cuadrado a su longitud 1 (que es la raíz cuadrada de dos) o la razón de 4 Collette

Jean Paul “Historia de las matemáticas”, editorial siglo XXI

6.4. MATEMÁTICOS ÁRABES MÁS DESTACADOS

156

la circunferencia de un círculo a su diámetro (que es π) nunca puede igualarse a ninguna otra razón, además tales números no quedan excluidos en la definición de Euclides de razones iguales, y asi la definición no es correcta.

6.4. MATEMÁTICOS ÁRABES MÁS DESTACADOS

157

CAPÍTULO 7 MATEMÁTICA DE LA CIVILIZACIÓN CHINA

Un estudio riguroso de la evolución de las matemáticas chinas antiguas comprendería el análisis histórico de la formación de las matemáticas en los siguientes períodos o etapas: 1. Período formativo: dinastía Shang (2100 a.C - 1040 a.C), dinastía Zhou (1040 a.C - 221 a.C), dinastía Qín (221 a.C - 206 a.C), dinastía Hàn (206 a.C - 220 d.C).

2. Periodo de desarrollo: dinastías Wèi, Jìn, dinastías del norte y sur (220 - 589), dinastías Sui - Táng (589 - 907).

3. Período del esplendor: dinastías Sòng del norte y sur (960 - 1220), dinastía Yuán (1227 - 1368).

Se ha establecido que los primeros emperadores de China datan del siglo III a.C y que posiblemente el primer emperador fue Fuxi (2852 - 2731 a.C); bajo su reinado se efectuaron las primeras observaciones astronómicas.

La forma más temprana de escritura que se ha descubierto en China es la Oracular (usada en los rituales y adivinaciones), aunque también se ha encontrado en alfarerería símbolos del período Yangsháo (5000 a.C).

La primera dinastía fue la Xiá y posteriormente la Sháng (2100 - 1040 a.C). De estas disnastias proceden los ritos oraculares con huesos, de los cuales parece sugir la primera escritura china. Durante la dinastía Sòng del norte y del sur (960 - 1220) se toman medidas para difundir la cultura mediante la creación de escuelas y se adopta el neoconfucionismo. El período de la dinastía Yuán (1227 - 1368) se caracteriza por un gran intercambio comercial y cultural con occidente, mediante la llamada ruta de la seda.

En el período 1368-1644 se instaura la dinastía Míng y se vuelve a los modelos culturales Han y Sui-Tang, progresa la filosofía, la literatura y el arte. Los Manchues invaden 158

7.1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN

159

a China e instauran la última dinastía (Los Quíng 1644-1911). Se desarrolló gran interés por la cultura clásica y por las enseñanza de los misioneros jesuitas (Comienza la invasión cultural a China); se promueve la traducción e impresión de obras occidentales de muchas ciencias, incluidas las matemáticas, se publican grandes compendios o enciclopedias.

Durante la dinastía Sháng se utilizaba una escritura de casi 5000 carácteres y entre ellos estaban los numerales; en estos huesos oraculares estaban registrados datos numéricos de diversas clases (ganado, bienes, prisioneros, etc.)

En 1889 se encontraron en Xiao Dun, en el distrito de Anyang cientos de huesos y caparazones de tortuga con inscripciones de carácteres chinos antiguos que contenían información numérica; el sistema de numeración utilizado es el que hoy se denomina oracular.

7.1.

Sistemas de numeración

Los números de la escritura oracular forman un sistema aditivo y multiplicativo de base diez (no posicional). El mayor número encontrado en este sistema es el 30.000 y no se encuentra símbolo para el cero. Los números del 1 al 10 tienen carácteres especiales, así como en 100, 1.000 y 10.000, los demás números se forman combinando los caracteres anteriores.

A partir de este sistema de numeración oracular se llegó a la numeración estándar o moderna, después de pasar por la numeración del bronce de la dinastía Zhóu (siglo XI 221 a.C) y la numeración de la dinastía Hán (206 a.C -221 d.C)

7.1.1.

Tipos de dígitos en los diversos sistemas de numeración Sistemas

1

2

3

Oracular Bronce Hán Estándar

-

= = = =

≡ ≡ ≡ ≡

Sistemas Oracular

20

30

4

5

,

x ,x x

40

6 ,

50

7

8 ,

60

70

80

600

700

800

9 ,

90

10

100

x

Estándar Sistemas

200

300

400

500

900

1000

x

Oracular Estándar Sistemas Oracular Estándar

2.000

3.000

4.000

5.000 x

6.000

7.000

8.000

9.000

7.1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN Sistemas Oracular

160

10.000

100.000

1’000.000

Estándar Ejemplos en oracular: a. 4359=

x

b. 5.080= x c. 2656=

x

d. 8873= A medida que el sistema de numeración fue evolucionando y posiblemente por influencia de la cultura occidental, se convirtió en posicional, ya sea escrito en forma horizontal o vertical.

Ejemplo: 9648= 9x10

3

2

6x10

1

4x10

0

8x10

(chino estándar)

Actualmente se usan otros dos sistemas de numeración derivados del estándar: el oficial y el comercial. La versión oficial se usa en los documentos legales y en los billetes de banco; el comercial es una simplificación del estándar y fue diseñado en el siglo XVI para poder escribir más rápido los cálculos comerciales.

7.1.2.

Las varillas de contar

En la antigua China el pueblo usaba grupos de varillas de bambú para poder realizar los cálculos numéricos. Las varillas se ordenaban en diferentes configuraciones sobre el suelo para representar números y realizar los cálculos. Se cree que aparecieron antes de la dinastía Hàn y han ido disminuyendo en longitud de 15 cm a 7 cm para facilitar su manipulación.

La representación de los números mediante varillas de contar es un sistema de numeración posicional, las varillas se podían ubicar en posición vertical u horizontal; el cero se expresa con un espacio en blanco.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Forma vertical Forma horizontal Para formar números grandes se disponían las varillas en forma vertical y horizontal en forma alterna de derecha a izquierda empezando por las unidades en forma vertical.

7.1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN

161

Ejemplo.

378= 3x10

1

2

0

7x10

3708=3x10

8x10

2

3

0

7x10

54863=5x10

4

8x10

3

4x10

2

8x10

1

6x10

0

3x10

Al hacer cálculos con las varillas, el espacio para el cero no era problema para el manipulador de las varillas; el problema surgió cuando las posiciones de las varillas pasaron a ser signos escritos. Esto se solucionó en 1247 d.C. cuando apareció el signo circular para representar el cero. A comienzos de la era cristiana aparecieron los números negativos, entonces los chinos optaron por pintar las varillas que simbolizaban los números positivos con color negro y los que representaban los negativos con color rojo.

7.1.2.1.

Operaciones con las varillas de contar

1. Suma.

Para sumar dos números, se representan los números en filas horizontales, una debajo de la otra y se va sumando de izquierda a derecha, recolocando el resultado en cada paso.

Ejemplo.

+

7 4

8 9 7 + 1 1 5 6 + 1 2 3 6 + 4 5 6 8 9 ⇒ ⇒ . ⇒ 5 6 1 1 5 6 1 2 3 6 1 2 4 5

1 2 4

5

2. Resta.

Para la resta se representan los números en filas horizontales, una debajo de la otra y se va restando de izquierda a derecha.

Ejemplo.

1 −

2 4 7 8

1 2 4 5 − − 7 5 ⇒ ⇒ 9 5 4 5

5

4 5 8 − ⇒ 4 6 5

4

4 4

5

6

6 5 9 .

5 6

7.1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN

162

3. Multiplicación.

Para multiplicar dos números se multiplica la primera cifra de la izquierda del primer número por todos las otras cifras del segundo número, cada resultado se ubica desplazado una posición hacia la derecha y se suma.

Por ejemplo: para multiplicar 234 × 456.

8 1 0 1 2 × 456 → 9 1

1 2 , 2

3 × 456 →

1

2 1 5 1 3 6

1 8 , 8

4 × 456 →

1

6 2 0 2 8 2

4 ⇒ 4

9 1 2 1 3 6 8 1 8 2 4 1 0 6 7 2 4

7.1.3.

Las matemáticas chinas ántes de la dinastía Qín (221-206 a.C.)

7.1.3.1.

El libro de las Artes.

Fue escrito en el estado feudal Qi (475-221 a.C.); trata sobre técnicas de fabricación de objetos (barcos, casas, arcos, flechas, etc.) pero también contiene datos matemáticos: ángulos, fracciones, unidades de medida; por ejemplo: ˘ , 2h´ u = 67o , 30′ = 1 21 xuan ju ˘ = 90o , xuan = 45o = 12 j u 1 o ′ u, qingzhe = 151o52′ 30′′ = 1 21 ke ke = 101 15 = 1 2 2h´ Se medían ángulos usando arcos de circunferencia.

Se encuentra un pasaje donde se hacen las siguientes equivalencias: Una circunferencia =

9 arcos para el emperador

= =

7 arcos para los señores feudales.

5 arcos para oficiales del emperador.

=

3 arcos para los letrados.

Lo que indica que si se ubican 9 arcos del emperador, uno a continuación del otro, se forma una circunferencia.

Se tenía una medida estándar de capacidad: 1 f u ` = un pie cúbico.

Medidas de longitud: pulgada, pie, brazo.

7.1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN 7.1.3.2.

163

El libro del maestro Mò.

Escrito por los discípulos del maestro Mò, antes de la dinastía Qin, también es conocido como “Cuatro capítulos de Mòz”. Contiene conceptos y definiciones de matemáticas, lógica y física.

En geometría dice: Igual = que tiene la misma longitud, la misma altura.

En línea recta = tres puntos alineados.

Misma longitud = emparejar de forma exacta.

Centro = punto a la misma longitud de todas las partes.

Circunferencia = un centro con la misma longitud.

En este libro se encuentra una frase con mucho sentido matemático “Tomad un palo de 1 pie de largo, le quitamos la mitad cada día, no terminaremos en diez mil generaciones” En notación moderna equivale a: 1 2

+

1 22

+

1 23

+ ···+

1 2n

→1

7.1.4.

Las matemáticas chinas en la dinastía Hàn (206a.C. 220d.C.)

7.1.4.1.

El clásico de la aritmética del gnomon y los sendas circulares del cielo.

Es un escrito sobre astronomía y algunos conceptos matemáticos; se cree que fue escrito a finales del siglo II a.C. Contiene cálculos sobre agrimensura, cuerpos celestes y ˇ y operaciones con fracciones como las siguientes: hace uso del teorema Goug u

7 499 = 29 940 365 41 ÷ 12 19 499 7 29 940 × 12 × 13 14 ÷ 365 41

˘: es equivalente al teorema de Pitágoras, donde el cateto vertical El teorema de Goug u del triángulo se llama palo o Gu, el cateto horizontal es la sombra del palo y se llama an.

Gou, a la hipotenusa la llamaron xi´

Gu palo

xiá

n

Gou sombra

“Gou, Gu, cada uno multiplicado por sí mismo, y tomando la raíz obtenemos xi´ an” q 2 2 xi´ an = (Gou) + (Gu)

En el libro se da gran importancia a este teorema y se menciona que el emperador no podría gobernar sin el reconocimiento de este teorema. En él se encuentran aplicaciones

7.1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN

164

en medidas de alturas, profundidades y distancias. Para ello recurren al concepto de triángulos semejantes.

7.1.4.2.

El arte matemático en nueve secciones

El Zhui Zhang Suan o “El arte matemático en 9 secciones”, es considerado el más importante texto clásico de los matemáticos chinos; fue escrito o recopilado durante la dinastía Han (206 a.c. - 221 D.C.); según Liú Hui que escribió un comentario a los nueve capítulos, el libro está basado en una colección anterior, la cual data del tiempo del emperador Ch´in Shih Huang (221 a.c. - 206 a.c.). Remanentes de esta temprana colección fue reescrita y arreglada en nueve capítulos, dice Liú Hui. (Nota: ver el artículo Liu Hui de Ho Peng-Yoke en el Dictionary of Scientific Biography).

El contenido de los nueve capítulos, se puede resumir así: Capítulo I Operaciones con fracciones de la forma m/n. Medidas de áreas.

Capítulo II Intercambio de bienes y monedas. Ecuaciones indeterminadas, porcentajes y proporciones, Capítulo III Particiones en una razón dada, progresiones aritméticas y geométricas.

Problemas de comercio.

Capítulo IV Problemas sobre campos (terrenos) rectangulares. Raíces cuadradas, cúbicas y mínimo común múltiplo.

Capítulo V Número de trabajadores. Cálculo de volúmenes.

Capítulo VI Varios problemas elementales. Cálculo de impuestos.

Capítulo VII Problemas sobre excedentes y pérdidas. Problemas con dos incógnitas.

Capítulo VIII Sistemas de ecuaciones lineales con varias incógnitas. Concepto de número positivo y negativo. u).

Capítulo IX Problemas relacionados con triángulos rectángulos (Goug˘ En el capítulo I se encuentran reglas (correctas) para el cálculo de áreas de rectángulos, triángulos, trapecios, círculos, segmentos de círculos, y sector circular. En el problema 33, para el sector circular, la regla dice: “múltiplique el diámetro por el área y divida por 4”. Esto muestra que el autor de este problema estaba familiarizado con la relación que existe entre el área, el radio y el área de un círculo o sector circular. ´ (1) Area : 12 radio × a ´rea Esta relación también fue conocida por los babilonios1 1 Pie de pagina 26 de A. Seidenberg: On the area of a semi-circle, archive for history of Exact Sciences 9, pag 171 - 211

7.1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN

165

d=16 arc=30

Figura 7.1: Ejemplo Sector Circular Chino La primera prueba conocida de esta relación fue dada por Arquímedes en su libro “Medida del círculo” Si la relación (1) se aplica para todo el círculo, se obtiene (2) (3) (4) (5)

área área área área

= = = =

1 2 radio × circunferencia o 1 4 diámetro × circunferencia o 3 4 diámetro × diámetro 1 12 circunferencia × circunferencia

El texto presenta estas 5 relaciones. Si comparamos (4) y (5) con (3) vemos que la circunferencia de un círculo fue igualada a 3 veces el diámetro. Esta misma razón también se encuentra en textos babilónicos.

En el capítulo I, problemas 35 y 36, se encuentra la regla para calcular el área de un segmento de círculo. La regla dice: “Multiplique la cuerda por la flecha. También multiplique la flecha por si misma. Sume y divida por 2”.

Si la cuerda es l y la flecha es h, como en la siguiente figura, entonces la regla se puede escribir como: A = 12 lh + h2 (6)

h

l

Figura 7.2 Si el segmento de círculo es un semicírculo, la fórmula (6) es equivalente a (4) la cual es aproximadamente correcta. Si h es muy pequeño en comparación con l, el segmento de círculo se asemeja a un segmento de parábola. Pero según Arquímedes, el área de ′ segmento de parábola es A = 32 lh (7). Para h pequeños, el cociente A A′

=

1 2

(lh+h2 ) 2 3 lh

→

3 4

por lo tanto (6) no es buena.

7.1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN

166

Es curioso que la relación (6) aparezca en la obra de Herón “La Métrica” y en el papiro del Cairo, escrito en el siglo III a.C. Para operar con fracciones usaron varillas de contar. En el capitulo primero aparece la simplificación de fracciones, busqueda de común denominador, comparación de fracciones con distinto denominador, suma, resta y multiplicación de fracciones. En la simplificación de fracciones se utilizaba el método de la sustitución sucesiva para encontrar el máximo común denominador: “Si dos números pueden dividirse por la mitad, dividase. Si nó, coloquese el denominador debajo del numerador y restese del número mayor el número menor. Continuese hasta que se obtenga el divisor común (Teng). Simplifiquese la fracción original dividiendo ambos números por el Teng.”

Para la división buscaban un denominador común para el dividendo y el divisor, entonces el cociente se obtiene buscando el numerador del divisor como denominador y numerador del dividendo como numerador. En notación moderna esto es equivalente a:

a c ad bc ad ÷ = ÷ = b d bd bd bc En el capitulo V, los primeros 7 problemas son de orden práctico, relacionados con volúmenes de paredes y represas, con el números de trabajadores necesarios para una determinada construcción; también aparecen las fórmulas para el volumen de: bloques rectángulares, pirámide truncada de base cuadrada, pirámide con base cuadrada, plano inclinado (rampla), pirámide con base cuadrada y con una de las aristas prependicular a la base.

Para el caso del volumen de la pirámide truncada, presenta la siguiente fórmula2 (9)

!

2 3 (a + b) + (a − b) 2 4

v=h

donde a es el lado de la base inferior, b es el lado de la base superior y h es la altura.

Los chinos no temieron operar con fracciones como se evidencia en los siguientes problemas: Problema 36 sección I: Dado un campo en forma de segmento circular, la base (cuerda) 78 21 y altura 13 97 , hallar el área.

Problema 11 sección IV: Dado un campo de anchura 1 + 1, hallar su longitud.

2 La

fórmula correcta es v = h

h

(a+b)2 2

+

2 1 (a+b) 3 2

i

1 2

+

1 3

+···+

1 12

y de área

7.1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN

167

También se encuentran problemas donde se requiere efectuar los siguientes operaciones: 240 ÷ 1 +

1 2

, 240 ÷ 1 +

1 2

+

1 3

, · · · , 240 ÷ 1 +

1 2

+

1 3

+ ··· +

1 11

En la sección VII se encuentra un procedimiento para resolver sistemas de ecuaciones lineales simultaneas mediante un método matricial.

Presenta un problema que conduce a un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incognitas: “Un grupo de personas compran en conjunto unas gallinas. Si cada persona dió 9 wen, quedarán 11 wen de sobra después de la compra. Si, en cambio, cada persona contribuye con 6 wen, quedarán 16 wen a deber. ¿Cuántas personas hay en el grupo y cuál es el costo de las gallinas?”

En notación moderna el sistema resultante es: 9x − y 6x − y

= =

11 −16

donde x es el número de personas, y es el costo de las gallinas.

J.P Collete presenta un ejemplo de cómo resolverían los chinos el siguiente sistema: (problema 1 sección 8) 3x + 3y + z 2x + 3y + z

= 39 = 34

x + 2y + 3z

= 26

Los chinos escribían la matriz de coefientes en la siguiente forma:3  1 2 3  2 3 2  x    3 1 1  y z 26 34 39 

Mediante operaciones elementales en las filas o columnas, la convierten en matriz triangular



  1 6 3 1 3 3  2   2 7 2 9 2  ⇒  3  3 2 1 3 1  26 102 39 26 63 39





 1 0 3   5 2  ⇒ 2  ⇒ ··· ⇒   3 1 1  26 24 39

3 Waerden, B. L. van der, “Geometry an Algebra in Ancient Civilization”. pag 47, 48, 49. SpringerVerlag. New york 1983.

7.1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN

168

 0 0 3  0 5 2  x  ⇒  36 1 1  y ↓ z 99 24 39 

De la última matriz obtienen:

36z 5y + z 3x + 2y + z

= = =

 99  24  39

El problema 20 de la sección IX conduce a plantear y resolver la ecuación x2 + 34x − 71000 = 0.

Otros problemas requieren de la solución de ecuaciones del tipo: x2 = a, x3 = b, x2 + y 2 = c2 , y − x = k El capitulo IX contiene 16 problemas sobre triángulos rectángulos. Los problemas propuestos son de los siguientes tipos: 1. Tipo 1: Dados x e y hallar z (Problemas 1 y 5) 2. Tipo 2: Dados z e y hallar x (Problemas 2, 3 y 4) 3. Tipo 3: Dados x y z − y hallar z e y (Problemas 6, 7, 8, 9 y 10) 4. Tipo 4: Dados x − y y z hallar x e y (Problema 11 ) 5. Tipo 5: Dados z − x y z − y hallar x, y, z (Problema 12) 6. Tipo 6: Dados x y z + y hallar z e y (Problema 13) 7. Tipo 7: Dados x y y + z = 73 x hallar z e y (Problema 14) 8. Tipo 8: Dados x e y hallar el lado del cuadrado inscrito (Problema 15) 9. Tipo 9: Dados y e x encontrar el radio del círculo inscrito (Problema 16) El problema 6 del tipo 3 da x = a y z − y = d para hallar z e y, y dice: “Un estanque es cuadrado de lado 1 chang = 10 ch’ih. Una caña crece en el centro del estanque y se extiende fuera del agua 1 ch’ih. Si la caña es halada hacia la orilla, llega exactamente hasta el borde del estanque. ¿Cuál es la longitud de la caña y la profundidad del agua?”.4 4 Waerden, B. L. van der, “Geometry an Algebra in Ancient Civilization”. pag 50-51. Springer-Verlag.

New york 1983.

7.1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN

169

1 5 x=a=5

z z

y

Si z es la longitud de la caña e y la profundidad del estanque entonces: (1)

y+1=z ⇒z−y =1=d

Por Pitágoras y 2 + 52 = z 2 ⇒ z 2 − y 2 = 25 Luego

z 2 −y 2 z−y

=

25 1

⇒

(z+y)(z−y) z−y

De (1) z − y = d ⇒ y = z − d De (2) z + y =

a2 d

⇒z=

Por lo tanto y = z − d =

a2 d

= 25 ⇒ z + y = 25 =

(2)

(3)

−y =

a2 +d2 2d

a2 d

a2 d

− (z − d) ⇒ z =

−d⇒y =

a2 −d2 2d

a2 +d2 2d

(4)

(5)

Como a = 5 y d = 1 al reemplazar en (4) y (5) se obtiene: z=

25+1 2

= 13 = 1 chang + 3 ch’ih (Longitud de la caña)

y=

25−1 2

= 12 = 1 chang + 2 ch’ih (Profundidad del agua)

7.1.5.

Las matemáticas chinas en el período de las dinastías Sui y Táng (589-907)

Durante estas dinastías, además de los dos clásicos “El arte de la matemática en 9 secciones” y “Clásico de la aritmética de Gnomón...”, aparecen los siguientes libros: Manual matemático de la isla del mar.

Manual matemático del maestro Sˇ un.

Cinco clásicos de la aritmética (Zhen Luán).

Memorias de algunas tradiciones del arte matemático (Zhen Luán).

Manual matemático de las cinco secciones del gobierno (Zhen Luán).

Manual matemático de Xióhóu Yán.

7.1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN

170

Manual matemático de Zhang Qiujiàn.

Continuación de las matemáticas antiguas (Wáng Xiáotong) Durante estas dinastías las matemáticas se desarrollaron teniendo como base los 10 libros anteriores que fueron llamados “Los diez libros clásicos de las matemáticas”. Se perfeccionaron las técnicas de impresión y el gobierno mandó a copiar todos los libros que se encontraban en la administración y donde se recopilaban todos los trabajos de las dinastías anteriores.

En el manual matemático del maesto Sˇ un (3 volúmenes) se enseñan métodos para multiplicar y dividir usando varillas, operaciones con fracciones, extracción de raíz cuadrada y una gran variedad de problemas avanzados de aritmética, de entre ellos se destaca el llamado “Problema del maestro Sˇ un” que dice: “Dado un número x, se divide por m y el residuo es r1 . Se divide por n y el residuo es r2 . Se divide por p y el residuo es r3 . ¿Cuánto vale x?”. En notación moderna esto equivale a hallar un número x donde se cumpla que x ≡ x1 mod m, x ≡ x2 mod n, x ≡ x3 mod p.

El libro “Manual matemático de las cinco secciones del gobierno” trata sobre aritmética aplicada a las finanzas, hacienda, armada, aduanas y almacenes”.

El libro “Cinco clásicos de la aritmética” se dedica a recopilar y comentar 5 libros clásicos del período Hán.

El libro “Memoria de algunas tradiciones del arte matemático” es el primero en estudiar los cuadrados mágicos. El cuadrado mágico de orden 3 y suma 15 (característica) es llamado “El Luò-shu” o cuadrado de las nueve casas. Allí se estableció que la suma total (S) de los números que forman el cuadrado se puede establecer en función de las casillas por lado (n) y que la suma (característica) de cada fila, columna o diagonal es s S = 12 n2 n2 + 1

s=

S n

El método que se estableció para construir el Luò-shu es: 1. Se traza el cuadrado de 3 × 3 en forma tal que quede apoyado en uno de sus vértices

2. Se introducen en las casillas los números del 1 al 9 en forma continua empezando por el extremo superior y por filas

7.1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN

171

1 2

4

3

5

7

6

8 9

3. Al cuadrado anterior se superpone otro cuadrado horizontal y cuyos extremos esten sobre el punto medio de cada uno de los lados del cuadrado inicial.

1 2

4

3

5

7

6

8 9

4. Los números que quedan por fuera de este cuadrado se intercambian: 1 con 9 y 3 con 7.

9 2

4

7

5

3

6

8 1

5. Se introducen al cuadrado horizontal los números que se intercambiaron en el paso anterior.

9 2

4

7

5

3

6

8

4 9 2 3 5 7 8 1 6

1 En el libro “Manual matemático” de Xióhóu Yán, se explican métodos para operar con las varillas y se presentan 83 problemas relacionados con la vida diaria: legislación de propiedades, cálculo de impuestos, etc.

El “Manual matemático” de Zhang Qiujiàn, mediante 92 problemas enseña a calcular denominadores comunes, operaciones con fracciones, resolución de sistemas de 2 ecuaciones con 3 incógnitas, además sucesiones y series.

7.2. MATEMÁTICOS CHINOS

172

El libro “Continuación de las matemáticas antiguas” de Wáng Xiáotong, se preocupa por la solución de ecuaciones de la forma x3 + ax2 + bx = c. Plantea problemas referentes a la construcción de diques y plataformas (plano inclinado).

El conocimiento de los “Diez manuales matemáticos”, era tan importante en aquella época que los exámenes para funcionarios del estado y militares estaban basados en problemas contenidos en estos doez libros.

Durante este período de la dinastía Tán se inventa la pólvora y se difunde la imprenta.

Se indroduce el budismo y libros matemáticos provenientes de la India, como: “Métodos de cálculo de la escuela Brahma” , “Manual matemático de la escuela Brahma”, “Cálculo del calendario de la escuela Brahma”.

7.2.

7.2.1.

Matemáticos Chinos Liú Hui

Vivió en la dinastía Jin (Siglo III), fue un comentarista, escribió dos libros, el primero es “Comentario a los nueve capitulos sobre el arte matemático” (263 d.C). El otro es “Manual matemático de la isla del mar”. Su descubrimiento matemático más destacado fue el “Método de la división del círculo”, con el cual crea un nuevo método para calcular a π (π = 3, 14159), mediante la razón de la circunferencia del círculo a su diámetro y considerando un polígono de 172 lados5 . En geometría aplicó el método de reorganizar figuras planas o tridimensionales para calcular áreas y volúmenes. Por ejemplo para hallar el lado del cuadrado que esta inscrito en un triángulo rectángulo cuyos lados a y b son dados (a > b). procedía de la siguiente forma:

2 b

1 x

3'

2

x

b 3 a

1 x

1

1'

x

b 3

2'

2

2'

a

ab , que es la misma fórmula que aparece en “Nueve capítulos sobre el y obtiene x = a+b arte matemático”. También se le atribuye de haber popularizado la notación matemática en base decimal y la introducción del punto decimal. En su segundo libro hace énfasis en u el llamado “método de la doble diferencia” que es la doble aplicación del teorema Gougˇ para calcular la altura y la distancia de una isla que se encuentra a cierta distancia de la costa, como se muestra en la siguiente figura:

5 Carl

B. Boyer. A History of mathematics, New York, John Wiley and Sons, 1968, pag 224

7.2. MATEMÁTICOS CHINOS

173

x h y

h a1

a2 d

El procedimiento de Liú Hui es el siguiente: 1. Se toma dos gnomones de igual longitud (h) y se ubican en la costa, en forma tal que los extemos queden alienados con la cima de la montaña y se establecen las distancias a1 y a2 y la distancia d entre los dos gnomones.

2. Mediante aplicación sucesiva del teorema Gougˇ u y la proporcionalidad de lados entre triángulos semejantes, se establece que6 :

y y+d d x−h x−h d h = a1 , h = a2 , entonces x = a2 −a1 h + h y = a2 −a1 a1

En el comentario al libro Las nueve secciones incluye numerosos problemas sobre mediciones de áreas y volúmenes, incluyendo el cálculo exácto del volumen del tronco de pirámide.

Z˘ u Chongzhio (o Qu Chon Shih7 )(430-501)

7.2.2.

Junto con su hijo Z˘ u G˘ eng vivieron durante la dinastia Norte y Sur; fueron grandes astrónomos y matemáticos, lograron deducir que 3,1415926 < π < 3,1415927, resultado que no fue mejorado hasta el siglo XV. Z˘ u Chongzhi corrigió errores de varios matemáticos anteriores como Liú Hui, Liú Xin, Zhang Héng, Wáng Fán. Corrigió el calendario de Hé Chéngtián y creó uno nuevo llamado “Calendario Dá Ming” También estableció que el volumen de la esfera es v = 43 πr3 y no como aparecía en “Nueve capítulos matemáticos”.

7.2.3.

Otros matemáticos chinos

Durante el período del esplendor chino, dinastías Song y Yuán (960-1368), se destacaron matemáticos que teniendo como referencia “Los Diez libros clásicos de las matemáticas” escribieron tratados matemáticos como los siguientes: Qín Jishao: Tratado matemático en nueve secciones.

L˘i Zhi: Espejo marino de las medidas circulares.

Yáng Hui: • Análisis detallado de los métodos matemáticos de los nueve capítulos.

• Métodos de cálculo • Métodos de cálculo para el uso diario Zhu Shìjie (o Zhou Jijie) (1280 - 1303): 6 B.

L. Van der Waerden, op cit. pág 194.

Collette, op. cit

7 Según

7.2. MATEMÁTICOS CHINOS

174

• Introducción a los estudios matemáticos • Espejos preciosos de los cuatro elementos En este último libro Zhou Jijie se ocupó de la solución de ecuaciones lineales simultáneas, solución de ecuaciones polinomiales de potencias altas (decimocuarta), sumas de series como: 1 2 + 2 2 + 3 2 + · · · + n2 = 1 + 8 + 30 + 80 + · · · +

n2 (n+1)(n+2) 6

n(n+1)(2n+1) 6

=

n(n+1)(n+2)(n+3)(4n+1) 120

También presenta un diagrama del triángulo de coeficientes binomiales hasta la octava potencia que posteriormente fue conocido como el triángulo de Pascal. Jian Xiàn también había desarrollado un método para encontrar los coeficientes binomiales, pues lo necesitaba para extraer raices de grado alto y desarrolló un diagrama triángular hasta la sexta potencia. Este diagrama apareció en el primer libro de Yáng Hui con el nombre de “La fuente del método de extracción de raices”.

En el libro “Analisis detallado de los métodos matemáticos de los nueve capítulos” Yáng Hui presenta un método para extraer raices cuadradas y cúbicas, que atribuye a Jian Xiàn (siglo XI) y es conocido como “Método de extracción de raices por sucesivas multiplicaciones”. Este método se extendió para solucionar ecuaciones polinómicas y fue conocido con el nombre de “Fan Fa” y es equivalente al método de Horner, pues fue William George Horner quien lo popularizó en Europa en 1819, aunque ya habia sido estudiado por Ch’in Chiu-shao en el siglo XIII, por Isaac Newton en 1669 y por Paolo Ruffini en 1804 (Italia).

7.2. MATEMÁTICOS CHINOS

175

CAPÍTULO 8 MATEMÁTICAS EN LA INDIA ANTIGUA

8.1.

Origenes.

En el siglo IV a.C se formó en el territorio hindú una sociedad de clases, ubicada en el valle del rio Indo; en esta región se desarrollaron dos culturas muy importantes, la cultura Amri (Finales del siglo IV a.C) y la cultura Harappa (aprox 2500 - 1500 a.C). Las ciudades más importantes fueron: Harappa, Mohenjo Daro y Kot Diji.

Estas culturas disponían de un sistema numérico decimal, donde los números 1, 2, 3, 4 se representaban por rayas verticales y 5, 6, 7 por grupos de rayas horizontales y verticales (en dos grupos), el 9 por tres grupos verticales. No se ha encontrado un signo para el 8.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Figura 8.1: Numeración Harappa

En la escritura Kharosthi y Brahmi se ha encontrado parte de estos mismo signos y aparece un signo para el 8

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Figura 8.2: Numeración Brahmi (siglo I) 176

8.2. LOS SULVASUTRAS

177

Para realizar cálculos no usaban varillas como los chinos, sino un tablero y un instrumento muy similar al ábaco chino, como el encontrado en Mohenjo Daro.

De geometría se sabe que conocian las figuras del cuadrado, rectángulo, círculo, cono, cilindro, intersección de círculos, etc. A partir de grabados y adornos de vajillas y jarrones se ha podido deducir que las culturas del Indo poseian conocimientos sobre semejanzas, proyecciones, sectores circulares, círculos concéntricos, líneas paralelas y partición de segmentos en una razón dada.

En el siglo VI a.C en la región de Mogadha (este de la India) se formó un reino muy poderoso que dominó la mayoría del territorio de la India, allí vivió Buda en el siglo V a.C y quien fundó una religión con una gran componente filosófica, la cual rechazaba el sistema de castas, por lo tanto como reflejo ideológico de los enfrentamientos sociales le permitió extenderse por toda la India, China y otras regiones vecinas. Durante estas épocas se establecieron intercambios culturales con los otros grandes imperios surgidos en el próximo oriente: Asiria, Persia, Babilonia. Cuando Alejandro Magno invadió la India (siglo IV a.C), la cultura hindú pudo entrar en contacto con la cultura helenistica.

El estudio de la evolución de las matemáticas de la India antigua se debe analizar teniendo en cuenta las siguientes épocas: 1. Época Védica (1500 - 1000 a.C). Aparición de los Shulbasutras (800 - 500 a.C) 2. Época Brahmánica (Siglo V a.C - siglo I a.C).

3. Época Clásica (siglo I a.C - VIII d.C).

8.2.

Los Sulvasutras

La transmisión de conocimientos matemáticos en la India se remonta a la época de la aparición de los Sulvas que eran textos religiosos-filosóficos (aprox siglo II a.C). Algunos de estos Sulvas se siguieron llamando “Sulvasutras”, palabra que proviene del vocablo ˘ Sulba-sutra que significa regla de las cuerdas. Se trata de instrucciones de carácter ˘ geométrico; Sulba se refiere a las cuerdas utilizadas para medir, sutra significa conjunto de reglas para la construcción de altares, para lo cual utilizaban cuerdas y palillos de bambú. ˘ Apastamba Hubo tres autores importantes que produjeron textos Sulba-sutras: (publicó dos versiones), Baudhayama y Katyayana. ˘ En los textos Sulba-sutras de Apastamba se encuentran reglas para aplicar el teorema de Pitágoras y construir triángulos rectángulos. El teorema de Pitágoras los presenta en la siguiente forma: “La diagonal de un rectángulo produce la suma de lo que producen por separado el lado más largo y el lado más corto”. Presenta métodos geométricos como los siguientes:

8.3. LOS SIDDHANTAS

178

Construir un cuadrado de área igual a la de un rectángulo.

Construir un cuadrado de área igual a la suma de otros dos.

Construir un cuadrado de área igual a la diferencia de otros dos.

Construir un rectángulo de área igual a la de un cuadrado.

Se observa que los métodos utilizados para la construcción de altares llevó a los hidues a tratar de resolver el problema del “Oráculo de Delos”.

8.3.

Los Siddhantas

A finales del siglo IV d.C aparece una obra anónima sobre astronomía titulada “Surya Siddhanta” o “lecciones acerca del sol”; de allí en adelante todos los textos que trataban de sistemas astronómicos se siguieron llamando Siddhantas. Durante la dinastía de los Gupta aparecieron cinco textos o versiones distintas de los Siddhantas: Surya Siddhanta, Paulisha Siddhanta, Vasisishta Siddhanta, Paitamaha Siddhanta, Rumanka Siddhanta.

En los textos Siddhantas el contenido astronómico es de origen griego pero el contenido matemático, especialemte la trigonometría, es de origen desconocido; se observa que no utilizaron la trigonometría de Ptolomeo, porque según Collette1 “Mientras la trigonometría de Claudio Ptolomeo se basaba esencialmente en la relación funcional entre las cuerdas de un círculo y el ángulo en el centro que subtiende cada una de las cuerdas, la trigonometria de los Siddhantas adopta un punto de vista diferente. En efecto, se modifica la correspondencia entre la cuerda y el ángulo en el centro, para convertirse en una relación funcional entre una semicuerda y el ángulo en el centro que subtiende esta semicuerda. Esto es, de hecho, el equivalente a la función seno considerada como razón, y es la mayor contribución de los Siddhanta a la historia de las matemáticas”

C B

O

A

r=1

Figura 8.3: Ptolomeo: corda (2α) = 2senα

C

O

r=1

Figura 8.4: Siddhanta: senα = 1 Collete,

ob cit. página 183

B

BC OB

=

BC 1

=semicuerda (α)

8.4. MATEMÁTICOS HINDUES

8.4.

179

Matemáticos Hindues

La época del 450 al 1200 d.C es considerada como la época de la fundamentación de la matemática moderna india; aparecieron matemáticos que contribuyeron al avance de la trigonometría, el álgebra y la teoría de ecuaciones. Dentro estos matemáticos se destacan: Los dos Aryabhata, Brahmagupta, Bhaskara I (o Bhaskarakarya 629), Bhaskara II (1150), Baudhayana, Lalla, Mahavira, Parameshvara.

8.4.1.

Aryabhata (476 - 550)

Nació en Palaliputra (hoy Patna). Fué astrónomo y matemático; en el 499 escribió en sánscrito y en forma de verso una obra titulada “Aryabhatiya” 2 , es una serie de reglas y propuestas astronómicas y matemáticas, dividido en 4 partes: Armonías Celestes Elementos de Cálculo (Ganita) Del tiempo y su medición Las esferas En general es un compendio o recopilación de trabajos anteriores. Fue un texto tan popular como el “Nueve capitulos” de los chinos o los textos de Herón. Según Van der Waerden, esta basado en la teoría griega de los epiciclos anterior a Ptolomeo y en la trigonometría griega.

El verso II,7 del Aryabhatiya dice, según lo traduce Clark: “La mitad de la circunferencia multiplicada por la mitad del diámetro es el área del círculo” Ac = 21 c · 12 d.

Esta fórmula también se encontró en textos griegos y chinos.

Otro verso dice: “Adicione 4 a 100, multiplique por 8 y adiciones 62.000. El resultado es aproximadamente la circunferencia de un círculo de diámetro 20.000”. Esto significa que Aryabhata estimó que π = 3,1416 porque: (100 + 4)8 + 62 = 2π10000 ⇒ 62832 = 20000π ⇒ π =

62832 20000

= 3,1416

El verso II,11-12 tiene que ver con el cálculo del seno3 .

Aryabhata expresa los ángulos y sus senos en minutos de arco. En la tabla de senos (Aryabhatiya I-10) r se escoge como 3438′. La ventaja de escoger este valor es que para ángulos pequeños el seno es casi igual al ángulo. Para encontrar un valor de r que satisfaga esta condición, se tiene que tener un valor estimado de π. Para un ángulo pequeño α (en minutos) se tiene: 2 La 3 El

versión inglesa más conocida es la de W. E. Clark: The Aryabhatiya of Aryabhata. Chicago. 1930. seno hindú, en notación moderna, se define como sen(α) = rsen(α), donde r es un radio arbitrario

8.4. MATEMÁTICOS HINDUES

180

rsen(α) ∼ r ·

π ·α 180 · 60

Si se quiere que esto sea igual a α, se tiene que escoger a r como : r=

10800′ π

=

10800′ 3,1416

= 3437,7 ∼ 3438′ .

El origen de la palabra seno tiene que ver en algo con Aryabhata, pues él habla de “Ardhˆ a-jya” (media cuerda) y también de “Jya-ardhˆa” (cuerda media) y luego abrevió el término a “jya” (cuerda). De jya los arabes derivaron el término “Jˆiba”, palabra que luego abreviaron a “jb”. Pero autores posteriores interpretaron a jb como “jaib”, que en árabe significa cueva o bahia. Más tarde Gherado de Cremona (c.a 1150) tradujo esta palabra al latín como sinus que también significa cueva o hueco.

El verso II,15 dice: “Multiplique la distancia entre un gnomón y un poste con lámpara por la altura del gnomón y divida este producto por la diferencia de alturas entre el gnomón y el poste con lámpara. El cociente obtenido es la longitud de la sombra del gnomón” L

E

D

A

B

C

Comparando los triángulos semejantes △BCE y △LDE se obtiene: BC DE

=

EB LD

⇒ BC =

DE·CD LD

=

AB·CD LA−EB

=sombra del gnomón.

En algunos casos Aryabhata se refiere a los lados del triángulo rectángulo en la siguiente forma:

Bhuja

En el verso II,16 dice: “La distancia entre los extremos de dos sombras, multiplicada por la longitud de la sombra y dividida por la diferencia en longitud de las sombras da

8.4. MATEMÁTICOS HINDUES

181

el koti. El koti multiplicado por la longitud del gnomon y dividido por la longitud de la sombra da la longitud de la bhuja”.

Este verso lo explica Clark en la siguiente forma: B

,

D

D

A

C

E

,

C

,

E

Donde AB = bhuja, AE =koti, CD =el gnomon en su primera posición, C ′ D′ =El gnomon en su segunda posición, CE =primera sombra, C ′ E ′ =segunda sombra.

Como se trata de hallar los lados perpendiculares del triángulo rectángulo más pequeño se obtiene: AB AE AE·CD =bhuja.

CD = CE ⇒ AB = CE AE CE

=

EE ′ C ′ E ′ −CE ′

⇒ AE =

CE·EE ′ C ′ E ′ −CE ′

=koti.

El verso II,19 dice: “El número deseado de términos menos uno, mitad, más el número de términos a los cuales precede, multiplicado por la diferencia común entre los términos, más el primer término, es el término medio. Esto multiplicado por el número de términos deseados es la suma del número de términos deseados” Si hacemos que en la progresión aritmética, a = primer término, z = último término, d = la diferencia común entre cada par de términos sucesivos, n = número de términos, M = término medio, s = suma del número de términos. Entonces el enunciado anterior se traduce como : M =a+

n−1 2

·d

s= M ·n= n a+

n−1 2

·d

El verso II,20 dice: “Multiplique la suma de la progresión por 8 veces la diferencia común, sume el cuadrado de la diferencia entre dos veces el primer término y la diferencia común; tome la raíz cuadrada de esto, reste 2 veces el primer término, divida por la diferencia común, sume uno, divida por dos. El resultado sera el número de términos”.

q  2 8ds + (d − 2a) − 2a 1 + 1 n=  2 d

8.4. MATEMÁTICOS HINDUES

182

En la segunda parte de Aryabhatiya (ganita o elementos del cálculo) se encuentran temas tan importantes como: Sistemas de ecuaciones lineales de la forma: a1 x1 + c1

= b1 y

a2 x2 + c2

= b2 y

Donde se requiere que las soluciones de x1 y x2 sean enteros.4 Indicios de que ya se conocía el sistema posicional decimal, pues allí dice: “de posición en posición, cada uno es diez veces superior al anterior”. o Cálculo del seno para ángulos de 0o a 90o en intervalos de 3 + 43 , donde

o sen 3 + 34 = 60 · 3 + 34 = 225. √ π ≈ 10 o Los otros valores del seno, multiplos de 3 + 34 , los calcula mediante la fórmula de recurrencia:

Sn + 1 = Sn + S1 −

Sn , S1

1 ≤ n ≤ 24

Sn =suma de los n primeros senos.

Tabla de valores para y = 1 − cos (α) ,

8.4.2.

Brahmagupta (siglo VII)

3+

3 o 4

≤ α ≤ 90o .

Es considerado como el más importante de los matemáticos hindues. En el 628 escribió una obra de astronomía titulada “Sistema revizado de Brahma” (Brahma-sphuttasiddhanta). Consta de 21 capitulos de los cuales muchos de ellos tratan estrictamente de matemáticas; esta escrita en forma sincopada (retórica y semisimbólica).

En el capitulo XVII se encuentra un problema que dice: “¿Qué número, dividido por 6 tiene un residuo de 5, y dividido por 5 un residuo de 4 y por 4, uno de 3, y por 3 uno de 2?”.

Se observa que el autor ya estaba manipulando elementos de la teoría de números, puesto que para dos residuos se llega a tener dos ecuaciones de la forma: y = a1 x1 + c1 y = a2 x2 + c2 4 Parameshvara demostró que la solución de tal par de ecuaciones se puede reducir a la solución de un sistema de 3 ecuaciones de la forma ax + c = by (diofántica)

8.4. MATEMÁTICOS HINDUES

183

Entonces a1 x1 + (c1 − c2 ) = a2 x2 que es una ecuación diofántica del tipo ax + c = by.

Otros aportes matemáticos de Brahmagupta fueron: Enunció las reglas matemáticas para operar con negativos.

Obtuvo la raíz de las ecuaciones de segundo grado.

Dió solución entera completa a ecuaciones diofánticas del tipo ax ± by = c.

Trabajó la ecuación ax2 + 1 = y 2 . (posteriormente llamada ecuación de Pell). √ Estimó que π = 10.

Estableció una generalización para la fórmula de Herón: p A = (s − a) (s − b) (s − c) (s − d), donde a, b, c y d son los lados de un cuadrilátero cíclico, s es el semiperímetro5 .

Esta fórmula de Brahmagupta puede estenderse a cuadriláteros no cíclicos al considerar las medidas de 2 ángulos opuestos en el cuadrilátero. p A = (s − a) (s − b) (s − c) (s − d) − abdc × cos2 θ, donde θ = 12 de la suma de los 2 ángulos opuestos. Si el cuadrilátero es inscrito, los ángulos opuestos suman 180o o sea que θ = 90o por lo tanto abdc × cos2 θ = abdc × cos2 900 = 0 y se llega a la fórmula básica de Brahmagupta6.

8.4.3.

Bhaskara II (siglo XII)

Bhaskara II es considerado como de gran nivel, superó a los anteriores, complementó y corrigió a Brahmagupta y Mahavira. Escribió dos tratados matemáticos; el primero lo tituló “Lilavatti” en honor a su hija, la cual no dejó que se casara porque él le hizo una predicción astrológica que no le prometía un buen futuro si contaía matrimonio. El otro libro lo tituló “Vijaganita”. En estas dos obras estudia temas como: Ecuaciones lineales cuadráticas Ecuaciones diofánticas Máximo común divisor Números irracionales 5 El

cuadrilatero ABCD es cíclico si ∠BAC = ∠BDC, ∠ADB = ∠ACB, ∠CBD = ∠CAD, ∠DCA = ∠DBA, o ∠A + ∠C = ∠B + ∠D = π = 180o A D

B

6 Una

C

variante de la fórmula anterior es la fórmula de Bretschneider o de Coolidge A =

q (s − a) (s − b) (s − c) (s − d) − diagonales del cuadrilatero.

1 4

(ac + bd + pq) (ac + bd − pq), donde p y q son las longitudes de las

8.4. MATEMÁTICOS HINDUES

184

Tripletas pitagóricas Al resolver ecuaciones diofánticas del tipo ax + c = by (1), Bhaskara II dice: “Comience dividiendo por la medida común de los coeficientes y obtendrá términos reducidos. Divida mutuamente el dividendo y el divisor reducido, hasta que el residuo sea la unidad”. Esto es equivalente al proceso que en notación moderna se escribiría como: Para resolver la ecuación (1), determine el m.c.d de a y b por el algoritmo de Euclides.

Si d no divide a c, la ecuación no se puede solucionar. Si d si divide a c, todos los términos de la ecuación pueden ser divisibles por d. Si d = 1, lo siguiente es dividir b por a con un residuo r < a, o sea b = qa + r (2).

Haciendo x = qy + z (3) y sustituyendo (2) y (3) en (1) se obtiene: a (qy + z) + c = (qa + r) y ⇒ ry − c = az (4) (diofántica).

El proceso se puede continuar hasta que el último residuo sea la unidad (el m.c.d de a y b) y asi se llega a que: x =

q1 y + z

y = .. . u =

q2 z + t

qk v + w

Al calcular v y w se puede hacer la sustitución hacia atrás para determinar u, · · · , y, x.

En el libro de Parameshvara, al comentar el método de Bhaskara II presenta el siguiente ejemplo: Resolver 29x + 4 = 8y.

Si 8 se divide por 29, entonces q1 = 0, residuo =8, entonces x = 0 · y + z.

Si 29 se divide por el residuo 8, el cociente es 3 y el residuo 5, entonces y = 3 · z + 6.

Continuando en esta forma se obtiene la secuencia de cocientes 0, 3, 1, 1, 1 y las sustituciones z t u Los residuos son: 8, 5, 3, 2, 1.

= 1·t+u = 1·u+b

= 1·v+w

8.4. MATEMÁTICOS HINDUES

185

El número de divisiones es impar, entonces creamos la ecuación 1 · v + c′ = gw, donde 1 y g son el último y penúltimo residuo, c′ = −c = −4. Ahora podemos escoger w en forma tal que se pueda obtener v. v − 4 = 2w Parameshvara escoge w = 1 y obtiene v = 6 y sustituyendo hacia atrás halla x e y.

v = u = t

=

z y

= =

x =

2·1+4 = 6 1·6+1 = 7

1 · 7 + 6 = 13

1 · 13 + 7 = 20 3 · 20 + 13 = 73 0 · 73 + 20 = 20 ⇒

x = y =

20 73

CAPÍTULO 9 MATEMÁTICAS EN LA EDAD MEDIA EUROPEA

La edad media o medievo es un período de tiempo en la historia de la humanidad, que parte del año 467 d.C con la caída del Imperio Romano de Occidente, y finaliza con la caída del Impero Romano de Oriente, también conocido como El imperio Bizantino, aproximadamente en el año 1453 d.C. Fue una época que se caracterizó por los muchos cambios a nivel económico, científico y humanístico. En lo político, se pierde la unidad establecida por Roma para dar paso a las nuevas naciones. Las personas pensaban que el imperio romano seguía estando en vigencia y que las invasiones bárbaras acabarían en algún momento. Sin embargo, ocurrió todo lo contrario, cuando cayó el imperio Romano de occidente, las naciones bárbaras se fortalecieron y formaron la mayoría de las naciones actuales. Es el caso de los Visigodos y Ostrogodos, los cuales se establecieron en lo que hoy es España e Italia, los Francos dieron origen a la Francia actual y los pueblos Germánicos a los Países Bajos y Alemania. Así mismo, el Imperio Romano de Oriente o Imperio Bizantino, dominó toda la parte oriental de Europa, la península Balcánica, Turquía y Egipto hasta la llegada de los Árabes y Otomanos.

Algunos expertos, caracterizan esta época como de olvido de las ciencias, sobre todo del fin de las matemáticas griegas, sin embargo, sí se produjo matemáticas, sólo que los resultados se debieron mostrar en forma mas discreta, debido a las represiones externas.

Recordemos que fue un período de cerca de 1000 años en los que seguramente se llegaron a nuevos resultados, pero que en algunos casos no se dieron a conocer o simplemente se perdieron. También se vió un profundo cambio en la mentalidad de los matemáticos, se convirtieron en matemáticos aplicados y se dedicaron a la utilización de las matemáticas a otras ciencias como la economía y sobre todo la Ingeniería Civil y la Arquitectura. Pero al contrario de lo que se piensa, en Europa en la edad media sí se hicieron matemáticas.

Por otro lado, sólo fue Europa la que vivió esta época de “oscurantismo”. Los Árabes empezaban a difundir su doctrina y trajeron de la India gran cantidad de conocimiento 186

187 que posteriormente fue introducido en Europa, no sin una gran resistencia al cambio. En América latina, los Mayas tenían matemáticas mucho más avanzadas que las usadas en Europa para cuando empezó la edad media. Un ejemplo de ello fue nuestro calendario, en la edad media se usaba el calendario Juliano1 y posteriormente fue modificado por el Papa Gregorio XIII (Calendario Gegoriano) para corregir el problema con los años bisiestos, sin embargo, los Mayas tenían un intrincado sistema para medir el tiempo, donde se juntan tres calendarios en uno2 , el cual es hasta ahora, el calendario antiguo más preciso que se conoce. Los Incas también desarrollaron matemáticas complejas, los chinos y los hindúes estaba trabajando en problemas en las áreas de Álgebra, Teoría de Números y Geometría.

Por el contrario, en Europa el advenimiento del cristianismo en las altas esferas del poder, provocó que se rechazara todo aquello que estuviera relacionado con el paganismo, entre ellas las ciencias griegas. Si embargo, algunos eruditos sabían de la importancia del legado de los griegos y prefirieron tratar de tener lo mejor de ambas partes: la filosofía griega y el cristianismo. Por esta razón, en Europa, se difundió una de las corrientes filosóficas que más influencia tuvo en las ciencia, se le conoce como la Escolástica, la cual intentó usar la filosofía grecolatina clásica para comprender la revelación de la fe cristiana. Para comienzos de la edad media, la iglesia cristiana (en el occidente de Europa y ortodoxa en el oriente) tuvo una importante influencia en ámbitos como las ciencias y la política en diferentes países. Con el paso del tiempo los cristianos en general tuvieron más poder, El imperio Bizantino se habia convertido al cristianismo desde hacia muchos años y como consecuencia fueron abolidos todos aquellos focos de filosofía griega pagana antigua.

Solo la Escolástica tuvo influencia perenne especialmente en la creación del concepto de Universidad.

Las Universidades de la edad media tenían dos orígenes, en primer lugar estaba las creadas por la iglesia y las segundas creadas por los reinos o imperios. Generalmente, se enseñaba derecho y jurisprudencia. Posteriormente, se comenzó a enseñar lo que se llamó “Artes Liberales” pues liberaban a la persona del trabajo manual, que para la época era considerado para artesanos y no para las personas adineradas. Estas artes estaban plasmadas en el Trivium (tres artes), en el cual, a los estudiantes se les instruía en Gramática, Retórica y Lógica. Posteriormente pasaban al cuadrivium (cuatro artes) en el cual se estudiaban cuatro áreas del conocimiento que eran Aritmética, Geometría, Música y Astronomía. Posteriormente, cada estudiante era libre de profundizar en el área que le fuese más afín.

La Escolástica fue la filosofía dominante en esa época. La Biblia era considerada la fuente principal del conocimiento. Pero este conocimiento era solo accesible a unos pocos, entre ellos la iglesia y las clases sociales altas. Es en este punto donde muchos expertos concuerdan que surge el concepto actual de burguesía. La cual, trató de mantener el esplendor que tuvieron las ciencias en la época griega. El Imperio Bizantino fue el encargado de preservar, en un delicado equilibro, todo el conocimiento griego y la nueva doctrina del cristianismo. Para esa época las escuelas filosóficas de Atenas y Alejandría 1 El

Calendario Juliano fue introducido por el emperador Julio César en el año 46 ac. calendario Maya tiene tres diferentes cuentas de tiempo, los cuales trascurren simultáneamente.

El primero es el calendario sagrado llamado tzolkin o bucxok, de 260 días, luego estaba el civil o haab, de 365 días y finalmente la Cuenta Larga.

2 El

9.1. MATEMÁTICOS BIZANTINOS

188

habían desaparecido y es Constantinopla la encargada de preservar todo el legado histórico y científico de Grecia.

Para cuando empezó la edad media, los emperadores Bizantinos eran cristianos y las escuelas filosóficas griegas eran consideradas paganas. Esto causó un conflicto con la iglesia cristiana que perjudicó notablemente a la ciencias griegas, pues mucho del legado se perdió en la quema de documentos y bibliotecas enteras como la de Alejandría. De igual forma, la escuela de Atenas fue cerrada por el emperador Justiniano en el año 529, lo que ocasionó que muchos de los sabios se exiliaran en países como Persia y Siria, entre ellos encontramos a Isidoro de Mileto, quien junto con Antonio de Tralles, se les conoce como los primeros matemáticos bizantinos.

9.1.

9.1.1.

Matemáticos bizantinos Isidoro de Mileto

Nació en la misma ciudad de grandes hombres de las ciencias griegas, como Anaxímenes y el mismo Tales de Mileto. No se tienen registros de su fecha de nacimiento y muerte, pero se sabe que vivió en la segunda mitad del siglo IV d.C. Paradójicamente, fue el mismo emperador Justiniano quien le encargó que trabajara junto Antonio de Tralles en la construcción de La Hagia Sophia (Catedral de Santa Sophia de Constantinopla), que para la fecha, debía ser la catedral más alta del mundo conocido, con una cúpula de 30 metros de alto. En la construcción de la Hagia Sophia, Isidoro aplicó todo las matemáticas que el mismo Arquímedes había desarrollado varios siglos antes. Sin embargo, cuando el emperador cerró las escuelas de Atenas, éste tuvo que irse exiliado a Siria y Persia, donde de alguna manera formó una escuela griega en el exilio, desde allí abordó temas relacionados con Arquímedes y Apolonio.

La Hagia Sophia casi fue destruida por un terremoto poco tiempo después de su construcción. Pero esta vez la reconstrucción fue encargada a su sobrino, llamado también Isidoro de Mileto, del cual se le conoce una recopilación de los Elementos de Euclides y las obras de Arquímedes, pero no se sabe con certeza si fueron escritas por el tío o el sobrino.

9.1.2.

Antonio de Tralles (Antemio de Tralles)

Nació alrededor de los años 475 o 476, fue un ingeniero bizantino que conocía muy bien las obras de Apolonio sobre las cónicas, conocimientos que puso en práctica en la construcción de la Hagia Sophia en especial en la edificación del domo de 30 mts. De igual manera, escribió una obra llamada “Espejos Ardientes”, en la cual plasmó las propiedades del foco de la parábola y los espejos parabólicos.

Otro de los personajes destacados de Bizancio fue Juan Filopón (Joannes Philoponus o Filopono), del cual se conoce las referencia hechas por el filosofo francés Jean Buridan (1300 - 1358). Se sabe que nació al rededor de los años 490 y posiblemente murió en el 566. Estudio Filosofía, Astronomía, Geografía, Aritmética y Física. Se le conoce por ser

9.1. MATEMÁTICOS BIZANTINOS

189

uno de los comentaristas clásicos, especialmente de la obra de Aristóteles. De igual forma, escribió sobre aritmética un comentario sobre “Arithmetike eisagoge” (Introducción a la Aritmética) de Nicómaco de Gerasa.

Estos tres autores sintieron la dureza del comienzo de la edad media, podríamos decir que les tocó la peor parte de ésta, pues vivieron en una época de cambios muy fuertes en lo político y social. En un tiempo en donde aun se pensaba que se vivía en la edad antigua y que los trabajos de los clásicos griegos eran más cercanos para ellos.

9.1.3.

Miguel Psellus (1018 - 1080)

Hubo que esperar casi 500 años para encontrar a otro matemático destacado, su nombre era Miguel Constantino Psellus, oriundo de Nicomedia. Fue un escritor muy prolijo, reconocido como uno de los hombre más brillantes de su época. Escribió sobre Filosofía, Teología, Derecho, Filología, Alquimia y Matemáticas entre otros temas. Dentro de sus obras se cuenta su “Chronografía”, un importante libro sobre las memorias de la edad media.

Por considerarsele un sabio, le fue encomendado como alumno al emperador Miguel IV de Constantinopla. Gracias a sus excelentes conexiones consiguió importantes puestos políticos, los cuales administro por más de treinta años. Fue un ferviente admirador de las obras e Platón con lo que entró en conflicto con la Iglesia Ortodoxa.

Problemas que al final, le costaron la vida. Sin embargo, de él se conoce dos trabajos, “El fin de la Geometría y Nociones Figura 9.1: Miguel Psellos y Miguel Comunes”, el último trata sobre Teología, VII - Codex 234, f. 245a, Mount At- Filosofía y Matemáticas. hos, Pantokrator Monastery. Tomado de http://es.wikipedia.org/wiki/Miguel_Psellos

9.1.4.

Jorge Paquimero (1242 - 1310)

Posteriormente, aparece en escena Jorge Paquimero (Jorge Paquimeres o Georgios Pachymeres), se sabe que nació en el año de 1242 en Nicea y muere en Constantinopla en el 1310. Fue un historiador y escritor que estudió derecho y posteriormente se entregó al sacerdocio. Fue autor entre otros de “Ejercicios sobre Teología” y escribió un resumen del Cuadrivium en especial la Aritmética y la Astronomía, al igual que un comentario sobre la obra de Diofanto y la filosofía Aristotélica.

9.1. MATEMÁTICOS BIZANTINOS

190

Figura 9.2: George Pachymeres - History of George Pachymeres, cod. Monac. gr. 442, fol.

6v, Bayerische Staatsbibliothek, Munich, tomado de http://en.wikipedia.org/wiki/George_Pachymeres

9.1.5.

Máximo Planudes (1255 - 1305)

Contemporáneo con Paquimeres tenemos a Máximo Planudes; se cree que nació entre los años 1255 a 1260 en Nicodemia, y murió en el 1310 (1305). De todos los sabios bizantinos a Máximo se le considera un verdadero innovador, pues es él quien permite la entrada de la numeración hindú en el Imperio Bizantino, la cual trajo de la Europa occidental, gracias a su trabajo como embajador en Venecia del Emperador Androico II (al rededor del año 1297). En su obra, hace un intento por introducir el cero hindú en la numeración griega y lo representa como una h invertida. Así por ejemplo, para escribir el número 7890 Máximo escribía ζηθ . De igual manera, expone un método (llamado método hindú por él mismo) para obtener la aproximación de √ la raíz cuadrada de un número no cuadrado muy grande3 . Por ejemplo, para obtener 18, se buscaba el número cuadrado más cercano inferiormente, en este caso el 16, dado que 42 = 16, la raíz cuadrada aproximada se calcula de la siguiente forma: h

4+

1 2 = 4 = 4,25 (2) · (4) 4

√ Mientras que 18 ≈ 4,2426407 una aproximación relativamente buena. La fórmula se puede generalizar de la siguiente forma: p b a2 + b ≈ a + 2a

Máximo, fue pionero en el uso uno de los artificios que más adelante otros matemáticos utilizarían, para librarse de problemas con la Iglesia, al mostrar el método afirmaba que “todo era con la ayuda de Dios”. También es conocido sus comentarios sobre la obra de Diofanto.

Máximo Planudes tuvo un discípulo destacado llamado Manuel Moscopoulos (Moschopoulus). Se cree que vivió al finales del siglo XIII y principios del XIV. Fue 3 Los

números cuadrados son de la forma n2 , es decir 2, 9, 16, . . . , n2

9.2. MATEMÁTICOS EN EL OCCIDENTE DE EUROPA

191

profesor en la Escuela de Constantinopla y se sabe que trabajó la Aritmética, en especial los cuadrados mágicos, además, una obra sobre la numeración con los dedos de la mano llamada Numeración Digital y que se le atribuye a Beda el Venerable. Esta numeración que fue muy popular entre otros matemáticos como Leonardo Pisano (Fibonacci) y Luca Pachioli. Esta numeración desapareció con la implementación de la tinta y el papel.

Figura 9.3: Numeración Digital, tomado de http://galeon.com/cincias/matematica.html

9.2.

Matemáticos en el Occidente de Europa

Mientras que el imperio Bizantino conservaba su unidad cultural, en el occidente de Europa pasaba todo lo contrario. El último emperador romano Romulo Augusto, fue derrotado por los ejércitos Ostrogodos de Odoacro y posteriormente por los de Teodorico.

Mucha de la identidad romana se mezcla con las nuevas costumbres y lenguas de los pueblos bárbaros invasores. Las guerras y la lucha de poderes en lo que otrora fuera el más grande imperio del mediterráneo, no dejó tiempo para el cultivo de las ciencias, en especial de las matemáticas. Sólo unos cuantos eruditos pudieron salvar parte del legado grecorromano, bien sea por que lo atesoraron, por el almacenamiento de información de algunas bibliotecas o por intercambio cultural con el Imperio Bizantino.

Por esta razón, las matemáticas al principio de la edad media no difería mucho de las matemáticas practicadas en Bizancio. Básicamente fue copia de los clásicos griegos como la obra de Nicómaco de Gerasa, enfatizándose en la Aritmética y usada en el estudio del Cuadrivium. En este punto, hubo más un avance en la enseñanza de las matemáticas que en la matemática misma, pues muchos de los trabajos encontrados en este período eran resúmenes o libros para el estudio de la aritmética que se basaban en los libros de los clásicos griegos.

9.2. MATEMÁTICOS EN EL OCCIDENTE DE EUROPA

9.2.1.

192

Boecio (480 - c.a 525)

Uno de los más importantes eruditos de la primera parte de la edad media en Europa occidental fue Anicius Manlius Severinus Boëthius, más conocido como Boecio. Nació en Roma, provenía de una importante familia romana muy antigua, su padre fue cónsul y el rey Teodorico lo tenía en alta estima, pues lo puso en importantes cargos políticos. Sin embargo la corte del rey Teodorico no fue muy condescendiente con el sabio. Rápidamente se ganó enemigos en la corte que lo llevaron a la muerte en Pavia, donde es considerado un santo.

Figura 9.4: Boecio, Historiated initial on folio 4r from Boethius’ On the Consolation of Philosophy Italy ?:1385 MS Hunter 374 (V.1.11), tomado de colección especial de la Universidad de Glasgow. Tomado de http://es.wikipedia.org/wiki/Boecio En su estancia en prisión, escribió sobre filosofía y gracias a él, encontramos muchas obras griegas traducidas al latín. Escribió libros para el cuadrivium, entre ellos una estructuración de la obra de Nicómaco de Gerasa sobre la Aritmética llamado “Institutione arithmettica libri duo”, la cual es una recopilación, pero no hay nuevos aportes.

Algunos historiadores como Étienne Gilson, consideran a Boecio como el último representante de la cultura romana antigua y el primero de los intelectuales medievales. En su trabajo sobre aritmética, hace mucho énfasis en la clasificación de los números y en sus propiedades. También escribió un tratado llamado “Institutione musicae” sobre música teórica basado en relaciones y medidas. Se sabe que estudio los cuatro primeros libros de Los Elementos de Euclides y estudió astronomía con el “Almagesto” de Ptolomeo.

9.2.2.

Cassiodorus

Otro de los destacados, fue el alumno de Boecio llamado Magnus Aurelius Cassiodorus Senator, comúnmente conocido como Casiodoro. Nació en Esquilache (Squillace) en Calabria hacia el año 485 y murió alrededor del año 580. Al igual que Boecio, También descendía de una importante familia aristocrática y sus antepasados ocuparon importantes cargos políticos.

9.2. MATEMÁTICOS EN EL OCCIDENTE DE EUROPA

193

Figura 9.5: Casiodoro, Codicibus sacris hostili clade perustis Esdra Domino fervens hoc reparavit opus. Tomado de http://es.wikipedia.org/wiki/Casiodoro Cassiodorus vivió cerca de 93 años, su larga vida le permitió estudiar muchos temas de las artes liberales, sobre todo en gramática. Es el responsable de almacenar y traducir muchas de las obras griegas, pues fundó un monasterio en Squillace llamado el Vivarium.

Los monjes que vivieron en el monasterio, tenían como función, traducir al Latín muchas de las obras clásicas. Gracias al trabajo de estos monjes, es posible conocer parte de las obras leídas a principios de la edad media.

Su fuerte fue la gramática, pero encontró en las matemáticas muchas relaciones con la teología, por ejemplo, recurrió a la Biblia para afirmar que Dios creó el universo basado en el concepto de número y de medida. Su obra más famosa se llama “Institutione”, escrita por él y transcrita por los mojes del Vivarium y que recoge la mayoría de las artes liberales.

9.2.3.

Isidoro de Sevilla (556 - 636)

Se considera uno de los primeros sabios Ibéricos de la edad media. Nació en Cartagena España cerca del año 556 y muere en Sevilla en el 636. Su vida la entregó al sacerdocio y proviene de una familia con fuertes tradiciones monásticas. Fue obispo de Sevilla y considerado un sabio entre la corte de los reyes Visigodos.

Su aporte más importante a la ciencias fue una enciclopedia de 20 libros con más de 400 capítulos, donde se recogen la mayor parte de las ciencias de la época, como Historia, Teología, Matemáticas, Literatura, Ciencias Naturales y en el cual, se destaca un libro llamado “Origenes o Etimologías”, donde hace un resumen de la Aritmética de Boecio.

Isidoro es el encargado de alguna manera “Romanizar” la España Visigoda.

Como vemos muchos de los primeros matemáticos de la época tienen su asiento en Europa continental, sin embargo, algunos matemáticos se destacaron en lugares como Inglaterra, donde Beda el Venerable y Alcuino de York son los mejores representantes en

9.2. MATEMÁTICOS EN EL OCCIDENTE DE EUROPA

194

Figura 9.6: Isidore de Séville, Défense de la foi catholique L’auteur présentant son œuvre à sa sœur Corbie, vers 800 BnF, Manuscrits, Latin 13396 fol. 1v. Tomado de http://es.wikipedia.org/wiki/Isidoro_de_Sevilla áreas como la aritmética.

9.2.4.

Beda el Venerable (673 - 735)

Era un monje benedictino en el monasterio de Saint Peter en Wearmouth Inglaterra, nació en el año 673 en Northumberlan y murió en el 735. Llegó a ser una de las personas más respetadas de su época, reconocido por su intelecto y particular ingenio. En el monasterio donde vivió toda su vida, aprendió griego y latín, lo que era extraño para la época en Inglaterra. Escribió sobre Historia, Ciencias y Teología, donde se destaca un libro llamado “Historia ecclesiastica gentis Anglorum”.

Dentro de sus muchos trabajos, se encuentran tres en particulares llamados “De rerum natura”, “De temporibus” y “De temporum ratione”, donde realizó el cálculo de la edad de la tierra y se cree que fue el primero en utilizar las frases “Antes de Cristo” y “Después de Cristo”.

En esta obra, aparece la ya mensionada numeración digital, el cual fue utilizada Figura 9.7: Beda el Venerable. The English entre los eruditos de la época. También, Wikipedia Bede Talk page. Tomado de reconoció que la tierra era redonda casi 900 años después de Eratóstenes. Trabajó http://es.wikipedia.org/wiki/Beda en problema de los calendarios, en especial el conteo de fechas especiales como la de la Semana Santa y las fiesta de Pascua y otros datos astronómicos, que era problemas latentes en la época.

9.3. INFLUENCIA DE LA MATEMÁTICA ÁRABE

9.2.5.

195

Alcuino de York (735 - 804)

Alcuinus Flaccus Albinus más conocido como Alcuino de York, nació en el año de 735, muy cerca a la fecha de muerte de Beda el Venerable, y muere en el año 804 en York Inglaterra. Entre los siglos VIII y IX está en apogeo el Imperio Carolingio, que estableció el llamado Renacimiento Carolingio, muy similar al Renacimiento Italiano, pero no enfocado en el humanismo sino en la Teología. El emperador Carlomagno designó a Alcuino de York para que administrara su política de educacional.

Su obra “Propositiones ad Acuendos Juvenes”, es un libro dedicado a la juventud y es básicamente un texto que prepara al estudiante en el caudrivium, pues recoge proposiciones en aritmética, geometría, lógica y otras áreas como agrimensura. Los siguientes son problemas destacados del manuscrito (el problema 18 y el 26): Problema 18: Un granjero compró un lobo, una cabra y una col. Tenia que cruzar el río para llegar a su casa, pero sólo hay una balsa para cruzar a la otra orilla, y en dicha balsa sólo caben él y una de las compras. El lobo no se puede quedar con la cabra, pues se la comería. La col no se puede quedar con la cabra, pues también se la comería, ¿cómo puede pasar el granjero?

Problema 26: Tenemos un campo de 150 pies de largo. En un extremo hay un perro y en el otro, una liebre, el perro persigue a la liebre. Mientras que el perro hace 9 pies por zancada, la liebre hace 7 pies por zancada. ¿Cuántos pies y cuántos saltos hacen falta para el perro capture a la liebre?

Problema: Un hombre vió caballos que pastaban en un campo; los deseo diciendo: ojalá fueises mios, y si fueses otros tantos, y la mitad de la mitad, sin duda me gloriaria sobre 100 caballos. Discierna, quien lo desee. ¿Cuántos caballos vió pastando aquel hombre primeramente?

La solución puede obtenerse mediante una secilla ecuación: la cantidad (x), más

otros tantos (x) más la mitad de la mitad 41 , pero la cantidad que ya llevamos acumulada, esto nos daría x + x + 2x 4 = 100.

Alcuino conocía los números perfectos y los relacionaba con teología como lo hieran muchos de sus predecesores. Al seis por ejemplo, le daba el carácter de número perfecto no sólo por sus cualidades aritméticas sino, por que Dios creó al mundo en seis días.

9.3.

Influencia de la Matemática Árabe

Como ya lo hemos mencionado, parte del legado cultural Grecoromano se pierde con la caída del Imperio Romano de Occidente. Aparte del Imperio Bizantino, sólo unos cuantas bibliotecas lograron preservar parte del legado de los Griegos. Mucho de este conocimiento fue valorado más por otras culturas, tal es el caso de la cultura árabe. Los cuales no tuvieron ningún problema al asimilar los conocimientos que otrora desarrollaron los griegos varios siglos atrás.

En el año 662 los árabes emprenden lo que luego se llamó la “Expansión Musulmana”. Lentamente comienzan un período de conquistas de amplios territorios

9.3. INFLUENCIA DE LA MATEMÁTICA ÁRABE

196

en el cercano y medio oriente, entre ellos Bactria (Afganistán y Paquistán ) y el Norte de la India. En el occidente invaden territorios que antes fueron de los Romanos, Jerusalen fue tomada en el año 638, Siria y Egipto en el 646 y en el 698 invaden la ciudad de Cártago al norte de África. En este punto, los árabes tienen tres posibles caminos para llegar a Europa. El primero de ellos es entrar por lo que hoy es Turquía y la península Balcánica, pero ese territorio pertenecía al Imperio Bizantino que para ese entonces hizo de “Tapón” contra los árabes. El otro camino estaba por la Isla de Cicília y la Península Itálica, en este sitio tuvieron cierto éxito, pues lograron conquistar por un tiempo la isla de Cicília. y finalmente el tercer y más largo de los caminos por la Península Ibérica. Este fue probablemente, la más exitosa de todas las campañas árabes.

La península Ibérica o Hispania (llamada así por los Romanos) era el asiento de la naciente nación Visigoda que junto con los Vándalos dominaron este territorio por cerca de 200 años. Para época, los Visigodos pasaban por una guerra civil, pues dos reyes se disputaban el control de la nación. De un lado estaba Roderic (Rodrigo) y del otro estaba Agila II. Fue en este preciso momento en que 7000 árabes al mando Tarik - Ben Ziyad, vence al ejercito Visigodo y entran en España en el año 711.

Los Musulmanes forman en el sur de España el Emirato de Córdoba o Al-Andalus, que duraría hasta el año 1492 al final de la edad media. España llegaría a ser el resguardo y punto de llegada de muchas de las conquistas culturales que hicieron los árabes en otros territorios como la India. Los Musulmanes no tenían problemas en asimilar nuevo conocimiento. En ese sentido eran más pragmáticos, si un nuevo método era más eficiente que otro, simplemente lo asimilaban y lo adaptaban sin problema.

De la India trajeron una gran cantidad de nuevo conocimiento, entre ellos las matemáticas. Fue de este punto, donde llegó la nueva numeración posicional, que posteriormente fue llevada a España y Cicilia de donde paso al resto de Europa. De igual manera, los árabes atesoraron parte del legado de los griegos, es por esta razón, muchas de las traducciones de los Elementos de Euclides están escritas en árabe, pues ellos las tradujeron del griego siglos atrás.

Los árabes dieron gran importancia al legado cultural que trajeron de la India y la cultura griega. Todo este nuevo conocimiento se organizó en bibliotecas como la de Toledo, que pasó a ser como la “Alejandría” de su tiempo. La biblioteca tenía una gran cantidad de escritos Islámicos, casi todos escritos en lengua árabe. Ésta lengua es de origen Semítico4 .

Mientras que la mayoría de los países Europeos pasaban por la formación de las lenguas Romances, en especial en España, que usaba una mezcla entre la Lengua Visigoda, el Suevo y el Latín Vulgar traído por los Romanos, todas ellas dieron origen al idioma Español actual.

9.3.1.

Los traductores

Para el momento de las invasiones árabes, la ciudad de Toledo contaba con tres civilizaciones que hacían uso de la Biblioteca, los árabes, judios y cristianos. Por esta 4 Más

emparentada con lenguas como el Hebreo, el Acadio y el Maltes.

9.3. INFLUENCIA DE LA MATEMÁTICA ÁRABE

197

razón, muchos de los matemáticos de esta época se les conoce como “los traductores”, pues se dedicaron a traducir los trabajos árabes a sus respectivas lenguas europeas y hebreas. Ahora bien, Los traductores vieron que era más fácil que ellos mismos aprendieran Árabe, pues la Iglesia Católica no veía con buenos ojos tener libros con caracteres árabes, así que eran traducidos inmediatamente y adaptados al idioma correspondiente.

Sin embargo, se presentaron algunos problemas con las traducciones, en especial con el nuevo paradigma indo-arábigo para la notación numérica. Los árabes usaban la cifra cero la cual llamaban “sifr” 5 , que en el sistema romano no existe. Recordemos que la aritmética de la época es heredada de los romanos que usaban una tabla especial para hacer cálculos grandes, muy similar al ábaco (de aquí la palabra Abacistas). Los europeos no concibieron el hecho de tener un símbolo para la cifra cero, por esta razón, el paso de el método aditivo romano al método posicional indu-arábigo fue muy dispendioso en su primer momento.

Figura 9.8: Papa Silvester II. and the Devil Illustration from Cod. Pal. germ. 137, Folio 216v. Tomado de http://es.wikipedia.org/wiki/Silvestre_II 9.3.1.1.

Gerberto de Aurillac (945 - 1003)

Uno de los personajes más importantes para las matemáticas de la edad media, es un hombre que gracias a su estatus, contribuyó en gran medida a la expansión de las matemáticas árabes en el continente Europeo. Se trata de Gerberto de Aurillac, quien nació en Auvernia Francia en el año 945 y muere en Roma en 1003. Gerberto se inició en el sacerdocio a muy temprana edad, fue uno de los primero cristianos que estudió en la España árabe. Estuvo en Barcelona en la corte del barón de Borell II, en el convento de Santa Maria de Ripoll, también en Córdoba y Sevilla donde aprendió matemáticas y astronomía en las escuelas árabes, entre los años 967 al 970.

5 De

aquí proviene la palabra “cifra” en español.

9.3. INFLUENCIA DE LA MATEMÁTICA ÁRABE

198

Entre los años 972 y 982 fue director de la escuela diocesana de Reims, donde enseñó el Cuadrivium, en especial los números indu-arábigos. Fue allí donde desarrolló un sistema que mostraba la relación entre los nuevos números y el sistema abacista, al parecer, creo un ábaco con unas fichas especiales llamadas “ápices”, que mostraban en cada columna, la cantidad de fichas de reemplazo. A partir de este trabajo, escribió un libro de aritmética basado en la numeración indu-arábiga.

A finales del año 969, viajó a Roma donde conoció al papa Juan XIII y tuvo la suerte de conocer al que sería su mecenas, el emperador Otón I, quien lo nombró tutor de su hijo Otón II. Fue Arzobispo de Rains y Ravena, lo que le valió el título que más ayudó a las matemáticas de la época, pues Gerberto fue nombrado Papa Silvestre II, (número 139)6 de la Iglesia católica entre 999 y 1003. ¿Por qué un Papa ayudó a la matemáticas?, digamos que Gerberto conoció y apreció el valioso aporte de los árabes en las matemáticas. Sin embargo, la Iglesia Católica no veía con muy buenos ojos que las ciencias árabes ganaran terreno, siendo la Iglesia Católica de origen Romano. Pues bien, Gerberto por su condición de Papa, pudo desmitificar las ciencias traídas por los árabes y de esa manera logró su expansión por Europa.

9.3.1.2.

Adelardus Bathensis (1075 - 1160)

Uno de los primeros traductores fue Adelardus Bathensis, más conocido como Adelardo de Bath. Se cree que nació al rededor del año 1075 en Inglaterra y murió en el año 1160. Es reconocido como el primero de los traductores, viajó por la mayoría de los centros culturales de Europa y de África del norte. Sus traducciones abarcaron áreas de matemática, astronomía, astrología, filosofía, y alquimia. Dentro de sus traducciones más famosas se encuentran: las tablas de astronomía de Al-Jwarizmi y una traducción de los 15 libros de los Elementos de Euclides (Los Elementos sólo tiene 13 libros), esta traducción es considerada la más exácta y cercana a los griegos. Además, tradujo el Almagesto de Ptolomeo.

Escribió un libro llamado de “Perdifficiles Quaestiones Naturales”, donde se cuestiona sobre la forma de la tierra (Junto con Beda el Venerable uno de los primeros en decir que era redonda en la edad media), además de la dinámica de la misma. También preguntas referentes a la naturaleza del agua y cuestiones relacionadas con hidrodinámica.

Escribió un libro sobre el manejo del ábaco llamado “Regulae abaci” y otro sobre el astrolabio (figura 9.97 ).

6 También 7 Tomado

es recordado por ser el primer Papa frances de http://enciclopedia.us.es/index.php/Archivo:Astrolabio.jpg

9.3. INFLUENCIA DE LA MATEMÁTICA ÁRABE

199

Figura 9.9: Astrolabio 9.3.1.3.

Gerardo de Cremona (1114 - 1187)

Gerardo de Cremona nació en Cremona Italia, muere en Toledo (España); fue uno de los traductores más prolíficos de la Edad Media. Sentía una especial fascinación por las matemáticas árabes y se cree que tradujo cerca de 80 obras del árabe al latín y griego, pasión a la que le dedicó la mayor parte de su vida.

Figura 9.10: Gerardus Cremonensis "Recueil des traités de médecine" 1250-1260.

Reproduction in "Inventions et découvertes au Moyen-Âge", Samuel Sadaune. Tomado de http://es.wikipedia.org/wiki/Gerardo_de_Cremona Para el año 1085, la ciudad de Toledo fue arrebatada a los musulmanes por el rey Alfonso VI de Castilla. Este encargó a varios traductores para que reorganizaran la biblioteca y tradujeran al latín, las obras escritas por los árabes. Dentro de sus traducciones se encuentra una versión revisada de Tabit Ibn Qurra de los Elementos de Euclides y el Almagesto (Kitab al-Medjisti que quiere decir El más grande) de Tolomeo,

9.3. INFLUENCIA DE LA MATEMÁTICA ÁRABE

200

que es la versión que se introdujo en Europa en los años siguientes, de igual manera los trabajos de Arquímedes, Apolonio y Al-Jwarizmi.

Ya hemos visto los problema de traducción de Gerardo Cremona. El problema de la palabra para la función Seno fue el más famoso. Éste y otros problemas de traducción fueron frecuentes en los autores de la época. Algunos términos técnicos del árabe no se pudieron traducir al latín, por esta razón se siguen usando, por ejemplo, la palabra Almagesto, que en realidad es un tratado de Astronomía de Tolomeo de Alejandría. La palabra “Irracional” que usamos en matemáticas por ejemplo para referirnos al numero π, se tradujo en forma errónea, pues el nombre que le dieron los árabes era “inconmesurables” y no “irracionales”.

Figura 9.11: El Almagesto de Gerardo de Cremona, http://circuloromanico.blogdiario.com/img/AlmagestSicily.jpg 9.3.1.4.

tomado

de

Otros traductores

Junto con Gerardo de Cremona, hay otros dos traductores que no son matemáticos, pero que hicieron muchos aportes a las ciencias. Ellos son Domingo Gundisalvo (1110 - 1181) y Juan Hispalense (? - 1180), ambos oriundos de Sevilla y contemporáneos con Gerardo. Los tres formaban lo que se conocería como la escuela de traductores de Toledo.

Domingo tradujo varios trabajos de filosofía entre ellos los de Aristóteles, la Metafísica de Avicena, la “Fons vitae” de Avicebrón y numerosas obras de al-Farabi y de Algazel.

Juan se dedicó a traducir las obras de : Astronomía, Astrología y obras de autores como al-Farganí. Domingo Gundisalvo era Mozárabe8 , al parecer sabía bien el griego y el latín, Mientras que Juan Hispalense era un Judío converso que dominaba bien la lengua árabe.

8 Nombre

que se le daba a los cristianos que vivían la España conquistada por los Musulmanes.

9.3. INFLUENCIA DE LA MATEMÁTICA ÁRABE

201

Los traductores judíos también hicieron grandes aportes, tal es el caso de Abraham bar Hiyya ha-Bargeloni. Nacido en Barcelona en 1070 y muerto en 1136. fue más conocido como Savasorda, que es el título árabe “Sáhib al Xorta” (jefe de la guardia).

Ocupó cargos importantes en la corte de Zaragoza y Aragón. Escribió varias obras en hebreo, pero sabía varios idiomas. Entre sus escritos se encuentran obras de astronomía, geometría y aritmética. Sus traducciones más importantes tenemos el Quadripartitum de Ptolomeo (En colaboración con Platón de Tívoli), las Esféricas de Teodosio (abordo temas tan complejos como los de triángulos esféricos) y el “De Motu Stellarum” de al-Battani, Ali ibn Ahmed sobre el Álgebra de Abucámil Xochá. Trabajó sobre calendarios griegos, romanos e ismaelitas. Tambien se cuentan algunos detalles de los elementos de Euclides y geometría griega en general, relativas a figuras planas, cálculo de áreas y solución de ecuaciones de segundo grado de Al-Jwarizmi.

Otro ejemplo de traductores judíos lo encontramos en Abraham ben Meir ibn Ezra, más conocido como Abraham ibn Ezra. Nació en Zaragoza en 1092 y muere en el año 1167. Es considerado un sabio entre los judíos y uno de los escritores más prolijo de la época. Viajó por el norte de África, Egipto, Italia, Francia e Inglaterra. Escribió sobre diversos temas, entre ellos aritmética, con un trabajo introductorio a los números Indu-arábigos, y fue el primero en asignarle al cero un círculo vacío. Hizo importantes aportes a la filosofía platónica. De igual forma, desarrolló trabajos en astronomía, entre las que se cuenta las tablas de posiciones astronómicas conocidas como Luhot, El libro “Sefer ha-’Ibbur” un trabajo sobre calendario y el “Keli ha-Nejoshet”, un manual para el manejo del astrolabio.

Algunos traductores no eran de España pero residían allí, como el caso de Roberto de Chester (Inglaterra). Tradujo al latín varias obras de autores como Al-Jwarizmi, al que llamo “Algebrae et almucabala de Liber”, del que se dice: “señala el comienzo del álgebra Europea”. De igual forma, trabajó en otras áreas, traduciendo obras como “Alchimiae de Liber de compositione” un tratado de alquimia.

Otro ejemplo lo podemos encontrar en Platón de Tivoli, del cual no se conoce mucho sobre su vida, se sabe que vivió en el siglo XII, nació en Italia pero vivió en España en la ciudad de Barcelona. Sus traducciones las hacia del hebreo y árabe al latín. Entre sus trabajos se encuentra “El libro del nacimiento” del astrólogo Albohali, las obras de Tolomeo y Teodosio y los trabajos astronómicos de Abraham bar Chiia llamado Liber Embadorum.

De igual forma, tenemos al monje franciscano francés Alejandro Villedieu, quien escribe un poema titulado “Carmen de Algorismos”, que era un compendio de aritmética con números indu-arábigos, y donde trabajó el cero como una cifra más.

Así mismo, Juan de Halifax (1200 - 1256) más conocido como Sacrobosco. Fue un monje y matemático inglés, quien se fue a vivir a París, donde trabajó como profesor de matemáticas en la Universidad de la ciudad. A él se le debe la llegada de los textos matemáticos Indu-arábigos a Francia, donde expuso la astronomía de Tolomeo y dos libros llamados “De sphaera mundi y Algorismus Vulgaris”, donde comentaba a varios matemáticos árabes.

9.3. INFLUENCIA DE LA MATEMÁTICA ÁRABE 9.3.1.5.

202

Leonardo de Pisa (1170 - 1250)

Quizá, el personaje que más influencia tuvo en la difusión de las matemáticas fue Leonardo de Pisa. Nació en el año 1170 en la ciudad de Pisa y muere allí mismo en el año 1250. Fue contemporáneo con algunos de los matemáticos y traductores que hemos mencionado, pero su obra ha tenido más relevancia que todas las anteriores. Leonardo era hijo de Guillermo Bonacci9 , y es por esta razón que Leonardo le decían Fibonacci (es la contracción de filius Bonacci, que quiere decir “hijo de Bonacci”).

Al parecer, su padre tenía un puesto de comercio en un pueblo del norte de África en lo que hoy es Argelia, Leonardo viajó con su padre cuando tenía cerca de siete años. Fue en este viaje que tuvo contacto con la cultura Árabe y de la que aprendió la numeración Induarábiga. Posteriormente, viajó por el norte de África y algunos países del mediterráneo donde completo su educación, a su regreso a Italia escribió un libro llamado Liber Abaci (libro del ábaco), el cual, tuvo una gran importancia en las matemáticas de este tiempo y que influenció enormemente la llegada y aceptación de los números indu-arábigos a Europa.

Ahora bien, la Italia de Fibonacci estaba dividida en varios estados, Pisa y otras ciudades de Italia como Venecia, estaban envueltas en una confrontación, no solo política sino comercial, pues las demás ciudades querían acaparar el mercado del mediterráneo.

Era muy común en las ciudades italianas, que el comercio se realizara con productos traídos de otros sitios, en especial el norte de África y con otras regiones conquistadas por los árabes. Luego, estas mercancías pasaban a Italia y se comercializaban con otras ciudades para luego ser llevadas a el norte de Europa.

Figura 9.12: Leonardo da Pisa, Liber abbaci, Ms. Biblioteca Nazionale di Firenze, Codice magliabechiano cs cI, 2626, fol. 124r. Tomado de http://es.wikipedia.org/wiki/Liber_abaci Italia hacía las veces de intermediario comercial con el resto de Europa. Las ciudades 9 La palabra Bonacci proviene del nombre personal Bona, que viene del latin y quiere decir bueno, nombre que se popularizó en la edad media en Italia. Hoy en día, Bonacci es un apellido común en Italia.

9.3. INFLUENCIA DE LA MATEMÁTICA ÁRABE

203

necesitaban desarrollar una política de intercambio de moneda que le permitiera a los mercaderes cambiar la moneda local por la moneda de otras ciudades. El comercio propició la aparición del sistema bancario casi como lo conocemos actualmente, así que era muy común que hubiesen prestamistas, cambistas y cosas tan comunes como los cheques. Para la época, los comerciantes y cambistas, eran ya muy populares y se ubicaban en las plazas de las ciudades a ofrecer sus servicios.

Pero estos comerciantes usaban algo muy parecido al ábaco actual, colocado sobre una banca de madera, pero en él que se usaban números romanos. A estos lugares llegaban las personas a realizar sus negocios los cuales podían ver claramente expuestos sobre el banco de los comerciantes las transacciones realizadas. Este sistemas del ábaco era muy bueno para cantidades enteras, pero tenía ciertas deficiencias con los decimales. Sin embargo estaba muy arraigado en las costumbres de los italianos de la época, y por esta razón, algunas ciudades prohibieron el uso del sistema indu-arábigo para realizar transacciones.

Solo hasta que apareció el Liber Abaci se cambió por completo la forma de hacer negocios.

En Europa ya se conocían los números indu-arábigos, pero sólo en los monasterios y algunas universidades, El Liber Abaci, está escrito en latín, en un idioma muy simple y esta dirigido específicamente a comerciantes. Hasta el mismo nombre del libro fue pensado para no causar conmoción entre los estudiantes, pues el nombre del libro traduce “libro del ábaco”, que es el método que se usaba en aquel entonces, pero en realidad el libro quería transformar la forma de hacer la aritmética. Por aquellos días si sabias aritmética básica ya podías ser un hombre de negocios. En Europa había un dicho que decía: “Si quieres que tu hijo aprenda a sumar y restar llévalo a estudiar a Alemania, pero si quieres que separa sumar, restar, multiplicar y dividir, llévalo a estudiar a Italia”.

Esto muestra en gran medida la importancia que tenían las matemáticas para los comerciantes de la época.

Figura 9.13: Leonardo de Pisa, http://es.wikipedia.org/wiki/Leonardo_de_Pisa

Fibonacci.

Tomado

de

9.3. INFLUENCIA DE LA MATEMÁTICA ÁRABE

204

Los comerciantes que estudiaron del libro, se dieron cuenta de las facilidades que ofrecían los números indu-arábigos, temas como conversión de pesos y medidas, cálculos aritméticos, intereses, intercambios de moneda, y otras aplicaciones fueron muy bien recibidas, en especial aquellas que tenían que ver con el cálculo de intereses, raíces cuadradas, cúbicas y el manejo de los fraccionarios. El libro tenía especial cuidado con la introducción de la nueva cifra cero, y el cambio de paradigma de sistema aditivo al nuevo sistema posicional. El libro estaba dividido en 15 capítulos de la siguiente forma:

Capítulo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Tema Introducción al sistema hindo-arábigo, haciendo énfasis en la lectura y escritura.

Multiplicación de números enteros.

Suma de números enteros.

Resta de números enteros.

División de números enteros.

Multiplicación entre números enteros y fracciones.

Manejo de Fracciones Precios de las mercancías Comercio Relaciones de parentesco.

Conversión de Monedas.

Problemas planteados y soluciones.

Introducción a la regla de la falsa posición.

Cálculo raíces cuadradas y raíces cúbicas Manejo de proporciones y el manejo de geometría y álgebra con el nuevo sistema hindu-arábigo.

Podemos ver, que el libro esta presentado para un público que no este iniciado en la numeración hindu-arábiga, y en el cual, la complejidad de los temas va creciendo con el pasar de los capítulos. Esta fue una de las razones por las cuales tuvo tanto éxito entre los lectores de la edad media. El libro también presentó algunas innovaciones como la presentación de problemas de aplicación. El siguiente es un ejemplo de uno de los problema presentado en el Liber Abaci.

Un hombre entró a una huerta que tenía siete puertas y tomó un cierto número de manzanas. Al abandonar la huerta le dio al primer guardia la mitad de las manzanas que llevaba más una. Al segundo guardia la mitad de las manzanas que le quedaban más una. Hizo lo mismo con los guardias de cada una de las cinco puertas que le faltaban. Cuando se fue de la huerta le quedaba una manzana; ¿cuántas manzanas había tomado en un principio?

9.3. INFLUENCIA DE LA MATEMÁTICA ÁRABE

205

Junto con lo anterior, Leonardo emplea una notación para las fracciones que para la época es revolucionaria, Collete nos muestra un ejemplo del uso de la notación de fraccionarios: 5 como Fibonacci escribe la expresión fraccionaria 24 12 probablemente herencia de la escritura Árabe.

5 12 24,

de derecha a izquierda,

La expresión 11 65 prefiere utilizar una yuxtaposición de fracciones unitarias y enteros, escribiendo 31 12 11.

Además, construye tablas de fracciones comunes a fracciones unitarias, por ejemplo, 1 1 111 98 = 0,98 la expresa como 100 la fracción 100 50 5 4 2 = 0,98.

Tiende a expresar la suma significa en este caso:

13 54

y de

1 2 10 9

como

16 2 2 9 10

en la que la notación

16 2 2 9 10

6 2 1 + + 2 · 9 · 10 9 · 10 10 9.3.1.6.

La sucesión de Fibonacci

Sin duda, el problema que más llamó la atención, fue el problema del cual se desprende la que más tarde se llamaría la sucesión de Fibonacci. Este problema fue redactado de la siguiente forma: Un hombre coloca una pareja de conejos de un mes de edad en un recinto cerrado para ver cuántos descendientes produce en el curso de un año, y se supone que cada mes, a partir del segundo mes de su vida, cada pareja de conejos da origen a una nueva. ¿Cuántas parejas habrá al cabo de un año?

La siguiente es la sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 . . .

Que en forma recursiva se puede representar como fn = fn−1 + fn−2 Esta expresión y su correspondiente sucesión ha producido numerosas aplicaciones en áreas tan complejas como la ingeniería, el arte e incluso la medicina, además se han encontrado propiedades en la naturaleza que conlleva la sucesión, tal es el caso de la flor del girasol, su semillas crecen de acuerdo a un patrón establecido por la sucesión.

Clawson (Misterios matemáticos), nos muestra con más detalle, algunas de sus propiedades matemáticas: 1. Cualquiera de dos números seguidos de Fibonacci serán primos entre si.

2. Si tenemos en cuenta que los números de la sucesión se representan con esta expresión fn = fn−1 + fn−2

9.3. INFLUENCIA DE LA MATEMÁTICA ÁRABE

206

y los números estarían dados por F1 = 1, F2 = 1, F3 = 2, F5 = 3...La suma de los n primeros números de Fibonacci se puede calcular n X i=1

Fi = F1 + F2 + · · · + Fn = Fn+2 − 1

Lo que indica que para obtener la suma de Fibonacci hasta la posición 7 que es el 13, solo debemos tomar el número de la sucesión que esta dos lugares más adelante en la sucesión y restarle uno, así por ejemplo, con la séptima posición, los dos posiciones más adelante muestran al 34, lo que nos daría 34 − 1 = 33, y esa seria la suma de los siete primeros términos.

3. Dada la siguiente serie n X i=1

F2i = F2 + F4 + F6 + · · · + F2n = F2n+1 − 1

Lo que indica que para encontrar la suma de los términos pares, sólo tomamos el impar inmediatamente superior y le restamos uno. Por ejemplo: F2 + F4 + F6 = 1 + 3 + 8 = 12 Pero con la fórmula tenemos: F2(3)+1 = F7 , el séptimo término de la sucesión es 13, entonces 13 − 1 = 12.

4. Para la suma de los términos impares pasa algo muy similar: n X i=1

F2i−1 = F1 + F3 + F5 + · · · + F2n−1 = F2n

Por ejemplo, si queremos saber la suma de los tres primeros términos impares F1 + F3 + F5 = 1 + 2 + 5 = 8 Con la fórmula tenemos que F2n = F2(3) = F6 = 8.

5. La siguiente propiedad esta relacionada con la suma de términos de la sucesión al cuadrado. n X Fi2 = F12 + F22 + F32 + · · · + Fn2 = Fn Fn+1 i=1

Si sumamos los tres primeros términos al cuadrado 12 + 12 + 22 = 6

Ahora bien, F3 = 2 y F4 = 3, entonces (2)(3) = 6.

9.3. INFLUENCIA DE LA MATEMÁTICA ÁRABE

207

6. Quizá, una de las propiedades más relevante es la asociada con la razón áurea. Si tomamos un término n de la sucesión y lo dividimos por el término n − 1 obtenemos los siguiente: F2 F1 F3 F2 F4 F3 F5 F4 F6 F5 F7 F6

= = = = = =

1 =1 1 2 =1 1 3 = 1,5 2 5 = 1,6666 3 8 = 1,6 5 13 = 1,625 8

Como podemos observar, la tendencia de los cocientes apunta a la razón áurea φ.

En pocos palabras: l´ım

n→∞

Fn =φ Fn−1

o bien, l´ım

n→∞

Fn+1 =φ Fn

7. Finalmente, la siguiente propiedad, une aun más√los lazos entre la sucesión de Fibonacci y la razón áurea. Sabemos que φ = 1+2 5 es la solución al la ecuación √ x2 − x − 1 = 0 y la otra solución es φ′ = 1−2 5 , luego, ambos resultados pueden utilizarse para calcular el n-ésimo término de la sucesión de Fibonacci, por medio de la siguiente expresión: Fn =

φn − (φ′ )n φn − (φ′ )n √ = φ − φ′ 5

Por ejemplo, si queremos encontrar F30 , es decir, el término 30 de la sucesión, simplemente calculamos √ 30 √ 30 1+ 5 − 1−2 5 2 √ = 832040 F30 = 5 9.3.1.7.

Otras obras de Fibonacci

Además del Liber Abaci, Leonardo de Pisa escribió “Practica Geometriae” (Geometría práctica), un texto de siete capítulos, escrito entre los años 1220 y 1221, donde hace referencia al manejo de figuras planas y el manejo de sólidos. En esta obra, el autor sigue la misma línea de Liber Abaci, pues hace un recuento muy amplio de los temas en forma muy didáctica, acudiendo al uso de tablas y ejemplos. En la Geometría Practica, Leonardo recoge la obra de Euclides y Arquímedes, y de autores contemporáneos como

9.3. INFLUENCIA DE LA MATEMÁTICA ÁRABE

208

Platón de Triboli. Es considerado uno de los texto de geometría más completos de la época.

Su tercera obra se conoce como Flos, pero su verdadero nombre era “Flos super solutionibus quarumdam questionum ad numerum et ad geometricam pertinentium”. (Ramillete de soluciones de ciertas cuestiones relativas al número y a la geometría). Un libro que recoge quince problemas relacionados con la solución de ecuaciones de primer y segundo grado por métodos geométricos. Este libro nació como un desafío que tuvo Fibonacci con un matemático de la corte del rey Federico II, llamado Juan de Palermo. Este desafío le permitió a Fibonacci encontrar una aproximación de la ecuación de tercer grado. Rovi10 y Collete nos muestran uno de los problemas que Leonardo abordó: x3 + 2x2 + 10x − 20 = 0 y en el que demuestra que la solución a esta ecuación no es un número entero ni una fracción, ni la raíz cuadrada de una fracción. Leonardo muestra una solución (en la que no da muchos detalles de como llegó a ella) usando números sexagesimales:

7 42 22 + + + ··· 60 60 60 Que al pasarla a base 10 es 1.3688081075, la cual es correcta en sus primeros 9 decimales.

1+

El libro de Flos, sirvió como base para el que sería la obra cúspide de Fibonacci, un libro titulado Liber Quadratorum. (El Libro de los Cuadrados, o el Libro de los números cuadrados). Escrito alrededor de el año 1225. Al igual que con el libro anterior, este fue producto de un desafío planteado por otro matemático de la Corte de Federico II llamado Teodoro. El nombre del libro sugiere el estudio de los números cuadrados, pero en realidad, hace más énfasis en problemas que conllevan o que inducen a la solución de una ecuación de segundo grado. De nuevo, Rovi, nos muestra algunos de los resultados que Fibonacci presenta en esta obra: Fibonacci explica que los números cuadrados pueden ser representados como la suma de números impares y lo demuestra por inducción a partir de la siguiente fórmula: n2 + (2n + 1) = (n + 1)2 También demuestra resultados como: No existen x y y, tales que x2 + y 2 y x2 − y 2 sean ambos cuadrados y si dados x y y números cualquiera, la expresión x4 − y 4 no puede ser un cuadrado. Además, demuestra de manera informal que el conjunto de las sumas de números cuadrados es cerrado bajo la multiplicación. Este libro, sienta las bases para que otros matemáticos como Fermat y Euler den forma a la teoría de números.

10 ROVI, Ana, Siguiendo los Paso de Fibonacci, Revista digital: Innovación y experiencias educativas, ISSN 1988-6047, No 13, Dic de 2008

9.4. LA ESCOLÁSTICA Y EL SURGIMIENTO DE LAS UNIVERSIDADES EN EUROPA

9.4.

La Escolástica y el Universidades en Europa

surgimiento

de

209

las

El nombre “Escolástica” proviene del latín scholasticus y a su vez del griego σχoλαστ ικoς, y literalmente quiere decir “que pertenece a la escuela”. Sin embargo, este movimiento teológico filosófico tuvo como objetivo, utilizar la filosofía griega, en especial la lógica aristotélica para explicar el cristianismo. Además, la escolástica fue la encargada de llevar la ciencia a las escuelas, en un sentido un poco más pedagógico, fue la encargada de institucionalizar la labor de los docentes.

La Escolástica trata en gran medida, de hacer un tregua entre la razón y la fe, para ello acudieron a la dialéctica y la lógica desarrolladas en Grecia. Sin embargo siempre considerando a la razón como un subordinado de la fe. Esta filosofía fue la predominante en las nacientes universidad es del medioevo europeo.

Segun Hans Wussig: “la escolástica es la encargada de llevar las ciencias a la escuela, siempre desde el punto de vista de la fe. Sin embargo, es la responsable de culturizar la población del medioevo en Europa. En el que, las personas compensaban con saber de la lengua común a las ciencias, el latín. ¿Por que se enseñaba latín?, bien, la mayoría de los países de Europa para el siglo IX tenían diferentes dialectos, y las principales obras estaban en esa lengua, de esa forma se siguió estudiando latín para establecer una lengua común y que todos pudieran tener acceso a los textos científicos. A los 10 o 12 años se inscribía al estudiante en la universidad, donde comenzaba con las artes liberales, iniciando con el Trivium. Es aquí, donde la escolástica ejerce una influencia marcada en la educación , pues se estudiaba retórica y dialéctica, que generalmente era basada en las ideas Aristotélicas”.

Posteriormente, los estudiantes pasaban al nivel superior, el Cuadrivium, que en el final se la edad media fue casi abandonado por la Lógica, pero que el algunas universidades se enseñaba rigurosamente. En esta etapa se hacia énfasis la aritmética, la geometría, la astronomía y la música. Sin embargo el nivel de formación era muy bajo, el cálculo se limitaba a las operaciones elementales, el trabajo con fraccionarios, pero no se hacia mucho énfasis en los números negativos. La astronomía y las astrología estaban estrechamente relacionadas, con una teoría heliocéntrica que explica el origen y el funcionamiento del universo desde el punto de vista de la fe cristiana. La geometría se basaba en Los Elementos de Euclides o alguno de los traductores o comentaristas, mientras que la música tenía un sentido eclesiástico con las marcadas ideas de Pitágoras y el manejo de las proporciones.

Pero tal vez, el desarrollo de la universidad en Europa cambió por completo, la visión de las matemáticas. A principios del siglo XI, Europa pasa por un momento en que el terreno esta apto para la aparición de instituciones que resguarden, produzcan y sobre todo impulsen el desarrollo de nuevo conocimiento, en especial en las matemáticas. En esta época, la sociedad y en especial la burguesía, tiende a mostrase a favor de la educación. y en la misma medida es la sociedad la que impulsa el rigor en la educación y hace que se eleven los estándares de calidad de la misma.

9.4. LA ESCOLÁSTICA Y EL SURGIMIENTO DE LAS UNIVERSIDADES EN EUROPA

210

Las Universidades tienen dos orígenes, como ya lo hemos misionado, el primero de tipo religioso y el segundo de tipo imperial. En primer lugar, la iglesia tiene una fuerte influencia en la sociedad y se convierte en la principal fuente de conocimiento, tanto por sus bibliotecas como por sus eruditos, ejemplo de ellos son los diferentes matemáticos que ya hemos mencionado. En segundo lugar los reinos e imperios se dan cuenta que una de las formas de tener el poder, es educar a las clases media alta que pueda ocupar los nuevos cargos burocráticos necesarios para el correcto funcionamiento de los nacientes reinos que tratan de separarse del feudalismo.

Sin embargo, la educación está en su mayor parte administrada por la Iglesia, lo que se ve reflejado en la base filosófica de muchas de las nacientes universidades en Europa.

Algunas de ellas fueron creadas por reinos pero administradas por el clero. Todo esto contribuyó en gran medida a los limitados desarrollos en matemáticas en comparación con el auge que tuvieron durante el período griego.

Iyanga11 nos describe algunas de las causas que propiciaron la aparición de la Universidades en Europa.

1. En primer lugar, el pensamiento Escolástico. La iglesia se pone al frente de la producción filosófica e intelectual en la sociedad de la edad media.

2. El resurgimiento de las ciudades. Cuando cae el imperio romano, muchas ciudades pierden su potencial económico y social, pero para esta época, las ciudades se han recuperado y vuelven a tener su antigua gloria. Aparece el concepto de Burgos, en los cuales recae los centros de administración de los reinos, en un intento por salir del feudalismo. Sin embargo tienen el mismo fin, proteger a la población.

3. La autoridad papal ejerce una gran influencia en la producción intelectual. En la edad media, la mayor parte de la producción académica nace precisamente en el en monasterios, lo que provoca que el Papado sea la principal fuente de cocimiento, otorgándole al mismo gran poder e influencia.

4. La reactivación del comercio provoca que Europa vuelva a estar conectada. La información vuelve a estar circulado y pasa de reino en reino de manera más ágil. Algunos reinos como el Carolingio imponen nuevas políticas educativas que promueven el desarrollo de nuevo conocimiento, aunque al amparo de la iglesia.

5. La aparición de algunas estructuras gremiales, promueven el mejoramiento y preparación de sus miembros, para entrar a competir en el naciente mercado y globalización de el continente. Estos gremios impulsan en gran medida que algunas de las universidades abran sus puertas a personas de escasos recursos.

6. El nuevo orden académico global impuesto por otras culturas como la árabe y la judía. En este sentido los reinos y la Iglesia hacen un enorme esfuerzo por estar a la par de los desarrollos impulsados por musulmanes y los judíos, en algunos casos absorbiendo lo mejor de ellas como en el caso de la numeración hindu-arábiga. Esta competencia impulsó enormemente el desarrollo de las universidades, pues fueron 11 Iyanga, Augusto., Historia de las Universidades en Europa. Valencia, Editorial Universidad de Valencia. Dpto Educación comparada e Historia de la Educación. 2001.

9.5. MATEMÁTICOS DEL FINAL DE LA EDAD MEDIA

211

creadas no solo para almacenar y distribuir el conocimiento, sino como contrapeso a los centros academicos de los árabes y de otras culturas.

7. El cambio de paradigma en la sociedad, el tener un gran ejercito o muchas tierras ya no era sinónimo de cultura. En este momento la sociedad europea le da más importancia al estudio, y es precisamente esa demanda de cultura la que en gran medida, toma fuerza para impulsar la aparición de la universidades.

8. Europa pasa de ser un grupo de territorios cambiantes y en continuo conflicto, a un conjunto de naciones estables tanto en lo político como en lo social, permitiendo crear una relativa paz que propicia el desarrollo de las Universidades.

9. El aumento del caudal de conocimiento. La humanidad a la época de la edad media, ha recogido gran cantidad de información, que debe ser almacenada, organizada y distribuida en forma eficiente. Inicialmente la iglesia cumplía esta labor, pero luego, esta labor pasa a las universidades.

10. En Europa surge el deseo de saber, un deseo que recae directamente en las universidades, la cuales son las encargadas de desarrollar los centros de investigación.

11. El desarrollo de la nueva sociedad. La formación de gremios y un sentido corporativo, crean la necesidad de tener personas preparadas para las nuevas administraciones y los nuevos cargos creados en los reinos. Los nuevos cargos como Juristas y Maestros, dan paso al desarrollo de las artes liberales.

Las universidades se convierten en instituciones de gran prestigio, algunas de ellas muy antiguas. Iyanga y Collete nos reseñan que las primeras universidades fueron creadas en las principales ciudades comerciales de Europa, Bolonia en Italia, Oxford en Inglaterra, y la Universidad de Paris, creadas en entre los siglos XI y XII. Mientras que Cambridge en Inglaterra, Salerno en Italia y Salamanca en España en el siglo XIII.

9.5.

Matemáticos del final de la Edad media

Estos matemáticos se caracterizan por poseer una grado de sofisticación mucho más alto que el de sus predecesores, siendo fruto de las nacientes universidades. Algunos de ellos abogaron por una corriente empirista, que al final dió como resultado el fin de la corriente filosófica escolástica.

9.5.1.

Thomas Bradwardine (1290-1349)

Un filósofo, teólogo y matemático inglés, quien fue procurador en la Universidad de Oxford y posteriormente Arzobispo de Canterbury. Trabajó en el concepto inicial de relación entre dos variables y propuso por primera vez el concepto de función, en su obra “Tractatu de proportionibus velocitatum”, estableció las relaciones entre fuerza y velocidad, tomando como base conceptos de Geometría y el desarrollo de teoría de proporciones. Según Collete, propone una variante de la ley de movimiento de Aritsóteles: v=k

F R

9.5. MATEMÁTICOS DEL FINAL DE LA EDAD MEDIA

212

donde v es la velocidad, k es la constante de proporcionalidad, F es la fuerza y R es la resistencia del medio. Pero, según Bradwardine, esta ley presenta un problema cuando la resistencia es mayor a la fuerza. entonces Bradwardine propone (en notación moderna): n F vn = log R

donde v0 = log F R es la velocidad inicial.

De igual forma, escribió sobre aritmética y geometría en sus obras Geométrica especulativa y Tractatus de continuo, en las que aborda algunos problemas de cálculo diferencial, haciendo mención de “infinitos elementos continuos”, siendo uno de los precursores del análisis, además de distintas opiniones y escritos sobre el infinito.

9.5.2.

Roberto Grosseteste (1175 - 1253)

Nació en Stradbroke (1175 - 1253), fue un monje franciscano, considerado un verdadero sabio en su época. Fue de Obispo en Lincoln (Inglaterra). y a quien se le atribuye la reorganización del método científico cultivado por los Griegos y retoma la idea de la “explicación” volviendo el método científico una herramienta útil, libre de las manipulaciones externas. Sus principales aportes están en la física del movimiento y se le considera junto con Bradwardine como el precursor de la idea del cálculo en Europa.

Sus principales obras están precisamente en la aplicación de la matemática a la física. Su obra De sphera fue muy estudiada en la astronomía del momento. Y lineis, angulis et figuris. un trabajo sobre ángulos, rectas y sus relaciones, además de algunos comentarios sobre la obra de Aristóteles.

9.5.3.

Nicolás de Oresme (1323 - 1382)

Nació en Normadía, fue obispo de Lisieux y también es considerado uno de los precursores del cálculo y reconocido en matemáticas por proponer las actuales leyes de los exponentes, la notación de las potencias fraccionarias e irracionales en una obra llamada “Algorismus proportionum” y además, por ser precursor de las ideas de Cavalieri sobre los indivisibles y algunas leyes sobre la convergencia y divergencia de series infinitas.

Oresme en su obra, describe las fracciones , 21 una mitad, 13 un tercio y 32 dos tercios. También le da nombre a los componentes de la fracción, al número de arriba lo llama numerador y al de abajo denominador. Posteriormente escribe “Proportiunibus proportionum”, donde aplica conceptos de Bradwardine para clasificar las distintas clases de razones. Además demuestra que es improbable que dadas dos proporciones, estas sean conmensurables entre si y que es mucho mayor la probabilidad de constatar la inconmensurabilidad de esas dos proporciones.

Sin embargo, y como hemos mencionado en los autores ingleses anteriores, es común abordar el tema del movimiento, tema que Oresme también abordó y al igual que sus contemporáneos llegó a interesantes resultados, por ejemplo, menciona que todo objeto mesurable puede imaginarse como una cantidad continua, trazando un diagrama de la

9.5. MATEMÁTICOS DEL FINAL DE LA EDAD MEDIA

213

velocidad en función del tiempo para un objeto en movimiento con aceleración uniforme.

De igual forma se interesó por el problema del área bajo la curva. En 1362, Oresme escribe “Latitudinibus formarum” y posteriormente “Tractatus de figuratione potentiarum et sensurarum”, donde el autor plasma ideas que para la época son revolucionarias, por ejemplo plantea el hecho de resolver problemas aplicando gráficos.

Otro de los aportes de Oresme y que fue compartido por otros autores tiene que ver con el tratamiento del infinito, algunas de sus obras tratan sobre el manejo de series infinitas, preparando el terreno para que otros matemáticos como Newton y Cauchy lo desarrollaran posteriormente.

9.5.4.

Roger Bacon (1214 - 1294)

Nació en Ilchester en 1214, muere en Oxford en el año 1294, fue un monje franciscano, muy celebre por ser enfático en apoyar el empirismo griego y precursor del moderno método científico, siendo uno de los responsables de la crisis de la escolástica. Su obra “El Opus Maius” (más de 800 páginas), aborda temas de ética, teoría del conocimiento, lenguas antiguas (griego y latín) y teología. Posteriormente retoma temas de matemáticas y física como la óptica y una introducción a la ciencia experimental y el método científico.

La obra también aborda temas de alquimia, como la creación de la pólvora, astronomía.

Además se le considera una obra con un tinte profético, pues vaticina que en el futuro se usarán máquinas como telescopios, gafas, máquinas a vapor, aviones, etc. Fue un hombre con una visión de la ciencia muy grande y a menudo se le atribuye la frase "la matemática es la puerta y la llave de toda ciencia".

9.5.5.

John Buridan (1300 - 1358)

Nació en el año 1300 y murió cerca del año 1358, fue profesor de la Facultad de Artes de la Universidad de París. Sus obras y escritos tratan temas sobre lógica, metafísica, y filosofía natural (ciencias naturales). Sin embargo, sus mayores aportes fueron con el estudio de la lógica. Algunos trabajos estuvieron relacionados con las ciencias naturales, donde se aleja de la visión del cosmos planteado por Aristóteles y en la que plantea la “Teoría del impetus”, o fuerza que se aplica para explicar los movimientos de cuerpos.

A pesar de todo, fue fiel seguidor de Aritoteles y defensor del principio de Causalidad.

Trabajo en óptica y mecánica y mejoro la noción de inercia, proponiendo la teoría del impetus. En lógica propuso la paradoja del asno de Buridan, que dice que un burro debe elegir entre dos comidas tan apetitosa una de la otra, puede hacerlo? Esta paradoja señala los comportamientos posibles del ser humano, en este caso, en elegir el bien más grande. Al final el asno muere de hambre por que no sabe que elegir. También propuso la paradoja "Dios existe" y "ni la proposición anterior ni esta son ciertas" en la que señala la lo paradójico del algunas propociones lógicas, adelantandose a Godel varios siglos12 .

12 Tomado de: Leon, Manuel & Sanjuan, Miguel., Las matemáticas y la Física del Caos, Madrid edt CSIC, Catarata, . 2009

9.5. MATEMร TICOS DEL FINAL DE LA EDAD MEDIA

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El periodo de la edad media esta lleno de matemรกticos que hicieron interesantes aportes a las ciencias en general. En un tiempo se planteรณ que fue un periodo de oscuridad intelectual, se puede notar como la humanidad hace un intento por salir adelante y ganarle la partida a la adversidad. Sin duda alguna, muchos de los matemรกticos de edades posteriores como el renacimiento y la edad moderna acogieron los logros alcanzados por los autores de la edad media.

9.5. MATEMÁTICOS DEL FINAL DE LA EDAD MEDIA

215

BIBLIOGRAFÍA

[1] Aaboe, Asger., Matemáticas: Episodios historicos desde Babilonia hasta Ptolomeo. Colombia, Norma. 1964.

[2] Agostini, Franco., Juegos de Lógica y Matemática. Valencia, Círculo de Lectores. 1988 [3] Asimov, Isaac., De los Números y su historia. Buenos Aires, El Ateneo.

2005.

[4] Asimov, Isaac., El cercano oriente. Historia universal. Madrid, Alianza editorial. 2010.

[5] Bell, E. T Historia de las matemáticas, México, Fondo de Cultura Económica, 2003.

[6] Berlinski, David., Ascenso Infinito. Breve historia de las matemáticas.

Barcelona, Debate. 2006 [7] Boyer C. B., Historia de la matemática. Madrid, Alianza Editorial. 1996.

[8] Boyer Carl B., A History of mathematics. New York, John Wiley and Sons, 1968.

[9] Burnett, Charles., Adelard of Bath: an English scientist and Arabist of the early twelfth century. Warburg Institute, Universidad de Londres. 1987.

[10] Champdor, Albert., Babilonia. Barcelona, Ediciones Orbis. 1963.

[11] Clawson, Clavin C., Misterios Matemáticos. Magia y belleza de los números.

México, Diana. 1999.

[12] Collier M, y Manley B., Introducción a los jeroglíficos Egipcios, España, Alianza Editorial. 2000-2001

216

BIBLIOGRAFÍA

217

[13] Collette Jean Paul. Historia de las matemáticas. Tomo I, México, Siglo XXI. 1986.

[14] Crombie, A. C. (1953). Robert Grosseteste and the Origins of Experimental Science, 1100-1700. Oxford: Clarendon Press y Lértora Mendoza, Celina Ana (2003). Roberto Grosseteste: metafísica: siglo XIII. Editorial Del Rey. [15] Dampier, Sir William Cecil., Historia de la ciencia, Madrid, Tecnos. 1997.

[16] Dubnow, S. and Resnick, S. and Senderey, M. Manual de la historia judia: desde los origenes hasta nuestros dias, Editorial S.Sigal. 1970.

[17] Eves, Howard., Great Moments in Mathematics. (Before 1650). New York, The Mathematical Association of America. 1980.

[18] Fairbank J. K., China: una nueva historia. Barcelona, Andres Bello. 1996.

[19] Gheverghese J.C., La cresta del pavo real. Madrid, Pirámide. 1996.

[20] Gilson, Etienne., La filosofía en la Edad Media. Madrid, Gredos, t. I., 1958.

[21] Hofmann, Joseph. E., Historia de la Matemática. Desde el comienzo hasta la revolución francesa. México, Limusa, Noriega Editores. 2003 [22] Iyanga, Augusto., Historia de las Universidades en Europa. Valencia, Editorial Universidad de Valencia. Dpto Educación comparada e Historia de la Educación. 2001.

[23] Kemp, B., El Antiguo Egipto. Barcelona, Critica. 1996.

[24] Leon, Manuel & Sanjuan, Miguel., Las matemáticas y la Física del Caos.

Madrid, CSIC, CATARATA. 2009.

[25] Little Heath, Thomas., A History of Greek Mathematics. Clarendon Press.

1921.

[26] Loprieno, Antonio., Ancient Egyptian: a linguistic introduction. Cambridge, Cambridge University Press . 1995.

[27] Mankiewicz, Richard., Historia de las Matemáticas. Del Cálculo al Caos.

Barcelona, Piadós. 2000.

[28] Meyerson, Daniel., La pasión por Egipto. Barcelona, Vergara Grupo Z. 2004.

[29] Muñoz, P. Carmen Elena y Camilo Andrés Morales., La antigua grecia.

Sabios y saberes. Medellin, Colombia. Instituto de filosofía. Universidad de Antioquia. 2010.

[30] Páez Tomas., Las Matemáticas a lo largo de la Historia: de la Europa Medieval al siglo XIX. Madrid, Visión Libros 2003.

[31] Raymond L. Wilder “Evolution of mathematical concepts an elementory study” New York, Wiley. 1968.

BIBLIOGRAFÍA

218

[32] Perez, Jesús Hernado y Castro Ivan., Un paseo finito por el infinito. Bogotá, Editorial Pontificia Universidad Javeriana. 2007.

[33] Recamán, Santos Bernardo., Los Números. Una Historia para contar.

Madrid, Taurus. 2002.

[34] Rey Abel., El apogeo de la ciencia técnica griega, México, UTEHA. 1962.

[35] Rovi, Ana, Siguiendo los Paso de Fibonacci, Revista digital: Innovación y experiencias educativas. ISSN 1988-6047, No 13, Dic de 2008.

[36] Singler. E, Fibonacci’s Liber Abaci, a traslation into moder English of leonardo Pisano’s Book of Calculation, Springer-Verlag, New York. 2003.

[37] Steele, Domhnall A., A mathematical reapperaisal of de Corpus Platonicum. Scripta Mathematical, 7, 1942.

[38] Stewart, Ian., Historia de las Matemáticas en los últimos diez mil años.

Barcelona, Crítica. 2009.

[39] Van der Waerden, B. L. Geometry and algebra in ancient civilizations, New York, Springer- Verlag. 1983.

[40] Van Doren, Charles., Breve historia del saber. Barcelona, Planeta. 2006.

[41] Vasco, Carlos E., El algebra Renacentista. Bogotá, Empresa editorial UNAL de Colombia. 1985.

[42] Violant I Holz, Albert., El enigma de Fermat. Barcelona, RBA libros S.A 2011.

[43] Wussing, H. “Lecciones de historia de las matemáticas”, México, Siglo XXI. 1998.

WEBGRAFIA

The Mac Tutor History of Mathematics archive http://www.history.mcs. st-andrews.ac.uk/ http: //auladeadriana.blogspot.com/2011/02/la-escritura-cuneiforme.html http://virtual.uptc.edu.co/ova/estadistica/docs/autores/pag/mat/ Pitagoras11.asp.htm http:/RaymondL. WilderEvolutionofmathematicalconceptsanelementorystudyNewYork,Wiley.

1968/www.dateriles.com/2011/03/gnomon.html http://www.1911encyclopedia.org/Georgius_Pachymeres http://special.lib.gla.ac.uk/exhibns/treasures/boethius.html http://www.enciclopedia-aragonesa.com/voz.asp?voz_id=145 http://books.google.com.co/books?id=s-PVXwAACAAJ http://books.google.com.co/books?id=0ijeXcWMEeMC&lpg=PA15&dq=liber% 20abaci&hl=es&pg=PA15#v=onepage&q=liber%20abaci&f=false http://books.google.com.co/books?id=PilhoGJeKBUC&printsec= frontcover&dq=liber+abaci&hl=es&sa=X&ei=nlcwT5L9E8bFtgeFtZnWAQ&ved= 0CC8Q6AEwAA#v=onepage&q=liber%20abaci&f=false http://www.indoeuropean.nl/ http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Nome_u_12_14.jpg http://www.egiptologia.org/ciencia/calendario/fecha.htm

219

BIBLIOGRAFĂ?A

220

http://virtual.uptc.edu.co/ova/estadistica/docs/autores/pag/mat/ Pitagoras11.asp.htm http://www.nndb.com/people/582/000114240/Cousin,JohnWilliam(1910) .AShortBiographicalDictionaryofEnglishLiterature.London,J.M. Dent&sons;NewYork,E.P.Dutton. http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Aeolipile_illustration.JPG http://www.profesorenlinea.cl/matematica/MatematicaBabilonia.html http: //laquesigueaqui.blogspot.com/2010/06/la-tablilla-plimpton-322.html http://cleoppatra.com/wp-content/uploads/2010/08/Numeros_hieraticos_ egipcios146.gif http://www.egiptologia.org/ciencia/calendario/fecha.htm http: //auladeadriana.blogspot.com/2011/02/la-escritura-cuneiforme.html http://enciclopedia.us.es/index.php/Archivo:Astrolabio.jpg