Numeros Racionales

ESTRATEGIA DIDÁCTICA PARA LA ESEÑANZA DEL CAMPO CONCEPTUAL DE LA ADICIÓN, SUSTRACCIÓN, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN CON NÚMEROS RACIONALES

ALBA MARINA GIRALDO VASQUEZ CARLOS JULIO BARRANTES ROJAS ELIÉRCER ALDANA BERMÚDEZ GRACIELA WAGNER DE GARCÍA HEILLER GUTIERREZ ZULUAGA LILIANA PATRICIA OSPINA MARULANDA

DOCENTES PROGRAMA LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS

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No está permitido importar, vender, difundir, distribuir o exportar total o parcialmente esta obra, ni su tratamiento o transmisión por cualquier método sin autorización escrita del Editor. El contenido de la presente obra es exclusivo de los autores

Derechos reservados 200 ejemplares

ISBN: 978-958-57263-4-5 ELIZCOM S.A.S www.elizcom.com ventas@elizcom.com Cel: (57) 3113349748 Fax: (57) (6) 7493244 Armenia, Quindío 2011

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TABLA DE CONTENIDO

PRÓLOGO -------------------------------------------------------------------------------------------- 4 PROCESOS DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE EN EL ÁREA DE MATEMÁTICAS -------- 6 Tipos de pensamiento --------------------------------------------------------------------------------------------------------------9 Habilidades del Pensamiento--------------------------------------------------------------------------------------------------- 15

CAMPOS CONCEPTUALES ---------------------------------------------------------------------- 20 LOS NÚMEROS ------------------------------------------------------------------------------------ 30 Conceptos Previos. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 40 Etapa Real o Concreta. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- 41 Etapa Gráfica.----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 42 Etapa Simbólica. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 43 Resolución de Problemas. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 44

ESTRATEGÍA DIDÁCTICA PARA LAS ENSEÑANZA DE LA ADICIÓN Y LA SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES------------------------------------------------ 45 ADICIÓN DE NÚMEROS RACIONALES: ---------------------------------------------------------------------------------------- 57

ESTRATEGÍA DIDÁCTICA PARA LAS ENSEÑANZA DE MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES ------------------------------------------------------ 68 PROBLEMAS PROPUESTOS ------------------------------------------------------------------------------------------------------ 98

EJERCICIOS DE APLICACIÓN----------------------------------------------------------------- 100 CAMPO CONCEPTUAL DE LA ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES ------------------------------------------------------------------------------------ 100

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EJERCICIOS DE APLICACIÓN----------------------------------------------------------------- 108 CAMPO CONCEPTUAL DE LA MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES ------------------------------------------------------------------------------------ 108 PERTINENCIA DE LA ESTRATEGIA -------------------------------------------------------- 115 CONCLUSIONES --------------------------------------------------------------------------------- 120 BIBLIOGRAFÍA---------------------------------------------------------------------------------- 122

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PRÓLOGO

La experiencia docente en la enseñanza de las matemáticas nos ha llevado a detectar que los estudiantes presentan dificultad en la construcción y comprensión de los procesos algorítmicos de las operaciones y problemas de aplicación con números racionales; por lo general cuando el estudiante se enfrenta a operaciones con números racionales, utiliza el mismo procedimiento para resolver cualquier operación que se le propone.

La falta de comprensión de éste campo conceptual dificultad el planteamiento y resolución de ejercicios y problemas, a tal punto que el estudiante siente asombro cuando ve una fracción y angustia cuando se enfrenta a resolver ejercicios y problemas, la alternativa que utiliza el estudiante para el manejo de la parte operativa es la calculadora.

El libro presenta inicialmente un marco referencial sobre aspectos relacionados con el pensamiento matemático y posteriormente se propone una estrategia didáctica para que los estudiantes desarrollen dicho pensamiento en el campo conceptual de la adición, sustracción, multiplicación y división con números racionales. Por lo anterior queremos contribuir a mejorar los procesos de enseñanza- aprendizaje en el tema de las operaciones con números racionales proponiendo estrategias pedagógicas y didácticas innovadoras, que conlleven al desarrollo del pensamiento matemático, demostrado por la capacidad de relación, análisis, comprensión, procedimientos,

abstracción, síntesis, generalización y

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desarrollo de los procesos que involucran la construcción del conocimiento y que están ligados con el desarrollo de la inteligencia, que es precisamente lo que la educación actual requiere de personas con capacidad crítica, analítica, reflexiva y esto se logra a través del desarrollo del pensamiento; ya que una persona con un desarrollo intelectual alto está capacitada para interpretar, argumentar, proponer, plantear y resolver

problemas en

diferentes contextos.

En la educación matemática se considera que en muchos casos no existe una buena comprensión conceptual, tampoco una buena comprensión y uso de los procedimientos propios de algunos aspectos de las matemáticas y mucho menos hay una formación para el planteamiento y resolución de problemas, lo que se trata de plantear a lo largo de este libro de texto tipo ensayo, es una forma que recupere precisamente este proceso matemático, para que el sujeto que aprende logre una comprensión conceptual de las fracciones y por tanto adquiera la competencia en el planteamiento y en la resolución de problemas propios de este campo del pensamiento numérico y sistemas numéricos.

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PROCESOS DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE EN EL ÁREA DE MATEMÁTICAS

Las políticas educativas planteadas en los últimos años, como la renovación curricular, la promoción automática, los estándares y competencias, han tenido incidencia en las prácticas evaluativas de la educación básica y media. Los resultados esperados en las Pruebas Saber no son coherentes con la intencionalidad de la ley, en lo relacionado con el mejoramiento de la calidad de la educación.

De acuerdo con lo anterior surgen algunos interrogantes, ¿La promoción automática afectó la calidad educativa?, ¿Falta compromiso de los educadores?, ¿Las metodologías aplicadas no son adecuadas para ésta época de acuerdo al tipo de estudiante que se tiene?, ¿El sistema normativo de evaluación no favorece los procesos de aprendizaje?, ¿Los estudiantes no adquieren un aprendizaje significativo?. Estudios realizados han demostrado, que en la mayoría de los casos no existe solidez en la construcción del conocimiento matemático.

Según informes de las pruebas SABER los resultados reflejan que la mayoría de los estudiantes no alcanzan los niveles de logro esperados, lo que indica que no están haciendo uso del razonamiento lógico, no logran elaborar representaciones simples de objetos matemáticos, reconocer patrones y argumentar utilizando ejemplos, construir una estrategia

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de solución, justificar estrategias y procedimientos con ejemplos, descubrir en un enunciado la estrategia de solución, traducir diferentes representaciones gráficas, icónicas o simbólicas y proponer diferentes estrategias para la solución de un problema.

Un alto porcentaje de estudiantes presentan los siguientes indicadores que configuran el prototipo del estudiante que ingresa a la educación superior: -

Desconocimiento del lenguaje de las matemáticas, su historia y nivel de abstracción.

-

Poca capacidad para plantear y resolver problemas.

-

Dificultades en la comunicación matemática.

-

Bajo desempeño en el razonamiento matemático.

-

Poco interés por la construcción de los saberes matemáticos.

-

Bajo nivel académico.

El Programa de Matemáticas de la Universidad del Quindío, realizó la investigación “Errores más comunes que cometen los estudiantes de primer semestre de la Licenciatura en Matemáticas y programas afines al realizar operaciones con números racionales” de la cual se concluyó que los errores que más cometían los estudiantes con números racionales son: al ordenar fracciones, al utilizar el MCD para la adición, al operar números mixtos, desconocen racionales con raíces, desconocen fraccionario nulo, no saben que es racional equivalente, utilizan la propiedad asociativa en la división, confunden el algoritmo de la adición con el de la multiplicación, no multiplican fracciones homogéneas, utilizan

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procesos inadecuados al simplificar, distribución de la potencia en una adición y suman numeradores y denominadores en racionales heterogéneos.

La información anterior demuestra que los estudiantes no tienen una aprehensión de los conceptos matemáticos, en el caso particular de los números racionales; por tanto se hace necesario desarrollar estrategias de pensamiento que generen en el educando el desarrollo de la inteligencia lógico-matemática, lo que implica el alcance de los siguientes indicadores:



Desarrollo de habilidades que le permitan resolver problemas de la vida cotidiana.



Crear, innovar y plantear soluciones lógicas a todo tipo de situaciones.



Construir algoritmos argumentando la lógica de cada uno de ellos.



Demostrar dominio del manejo de las operaciones mentales.



Presentar dominio conceptual de los diferentes campos de las matemáticas.



Tener mayor nivel de comprensión de los conceptos matemáticos.



Adquirir un pensamiento divergente y reflexivo desde la formación personal y profesional.

Por lo cual es importante plantear estrategias didácticas que sirvan como soporte en el proceso de enseñanza–aprendizaje de las operaciones con números racionales buscando el desarrollo del pensamiento matemático, de tal forma que los aprendizajes sean significativos y le permitan al estudiante ser competente en su diario vivir.

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La intencionalidad del libro se fundamenta en la integración de los anteriores indicadores, buscando superar dificultades de los estudiantes en las cuatro operaciones básicas con números Racionales a través de estrategias didácticas innovadoras.

Antes de describir las estrategias didácticas para la enseñanza de las cuatro operaciones básicas con números racionales, es importante tener en cuenta algunos referentes teóricos sobre los cuales se fundamenta la propuesta, como son: tipos de pensamiento, operaciones mentales, habilidades del pensamiento, campos conceptuales y la historia de los números.

Tipos de pensamiento Según Montserrat (2002)

la psicología cognitiva ha basado fundamentalmente sus

investigaciones en tres aspectos:  El razonamiento deductivo.  El razonamiento inductivo. 

La solución de problemas.

Montserrat (2002) establece las siguientes definiciones: El razonamiento deductivo El pensamiento deductivo parte de categorías generales para hacer afirmaciones sobre casos específicos, es decir de lo general a lo particular. Es una forma de razonar donde se concluye a partir de una o varias premisas. Aristóteles, fue el primero en establecer los principios formales del razonamiento deductivo.

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El pensamiento inductivo Por otro lado, el pensamiento inductivo es aquel proceso en el que se razona partiendo de lo específico para llegar a lo general, es lo contrario a la deducción. La base de la inducción es la suposición de que si algo es cierto en algunas ocasiones, también lo será en situaciones similares aunque no se hayan observado.

La solución de problemas Otro importante aspecto en el que se han basado las investigaciones de la psicología cognitiva es la solución de problemas. Podríamos decir que un problema es un obstáculo que se interpone de una u otra forma ante nosotros, impidiéndonos ver lo que hay detrás. Lo cierto es que no hay consenso entre los psicólogos sobre lo que es exactamente un problema, y por tanto difícilmente puede haberlo en lo que supone una conducta de solución de problemas.

“Algunos autores han intentado precisar estos términos. Gagné, por ejemplo, definió la solución de problemas como "una conducta ejercida en situaciones en las que un sujeto debe conseguir una meta, haciendo uso de un principio o regla conceptual". En términos restringidos, se entiende por solución de problemas, cualquier tarea que exija procesos de razonamiento relativamente complejos y no una mera actividad asociativa.

Se considera que habitualmente cualquier persona pasa por tres fases a la hora de solucionar un problema y se las denomina: preparación, producción y enjuiciamiento.

En la fase de preparación es cuando se hace un análisis e interpretación de los datos que tenemos. Muchas veces si el problema es muy complejo se subdivide en problemas más elementales para facilitar la tarea.

En la fase de producción intervienen distintos aspectos entre los que hay que destacar la memoria, que se utiliza para recuperar todos los recursos que estén a nuestro alcance y que nos sirvan para llegar a una solución eventual.

En la última fase de enjuiciamiento, lo que se hace es evaluar la solución generada anteriormente, contrastándola con nuestra experiencia, para finalmente darla como buena o no”.

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Los anteriores aspectos conllevan a que los estudiantes desarrollen el pensamiento permitiéndoles el aprendizaje de nuevos conceptos, que les permitan dar solución a diferentes situaciones problémicas, de tal forma que se desenvuelvan de forma competente.

Es importante orientar el desarrollo de los temas a través de actividades que propicien el razonamiento deductivo, el razonamiento inductivo y la solución de problemas, ya que esto permite determinar el nivel de comprensión que los estudiantes alcanzan, lo que se refleja en la forma como se enfrenta a las situaciones problémicas que se le presentan, manifestando con esto la coherencia entre los conceptos y sus operaciones mentales.

En los procesos de aprendizaje de los estudiantes se realizan actividades múltiples enfocadas a las operaciones cognitivas que conllevan a que ellos alcancen el desarrollo de sus estructuras mentales y de sus esquemas de conocimiento.

Según Alonso (2000), las actividades de aprendizaje son como un interfaz entre los estudiantes, los profesores y los recursos que facilitan la retención de la información y la construcción conjunta del conocimiento, suponen realizar operaciones con una determinada información. A partir de la consideración de los tipos de actividades de aprendizaje que apunta Alonso, se destacan las siguientes operaciones mentales: Receptivas: 

Percibir / Observar



Leer / Identificar

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

Escuchar

Actividades de aprendizaje memorísticas, reproductivas: pretenden la memorización

y el

recuerdo de una información determinada.

Retentivas: 

Memorizar (retener)/ Recordar (recuperar, evocar). Memorizar una definición, un hecho, un poema, un texto, etc. - Recordar (sin exigencia de comprender) un poema,

una

efemérides, etc. 

Identificar elementos en un conjunto, señalar un río en un mapa, etc.



Calcular / Aplicar procedimientos. Aplicar mecánicamente fórmulas y reglas para la resolución de problemas típicos.

Actividades de aprendizaje comprensivas: pretenden la construcción o la significado de la información con la que se trabaja utilizando

reconstrucción del

estrategias para relacionar,

combinar y transformar los conocimientos. Por ejemplo: 

Analíticas (pensamiento analítico) o Analizar o Comparar / Relacionar o Ordenar / Clasificar o Abstraer

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

Resolución de problemas (pensamiento complejo) o Deducir / Inferir o Comprobar / Experimentar o Analizar perspectivas / Interpretar o Transferir / Generalizar o Planificar o Elaborar hipótesis / Resolver problemas /Tomar decisiones



Críticas (pensamiento crítico) y argumentativas o Analizar /conectar o Evaluar o Argumentar / Debatir

Creativas (pensamiento creativo): 

Comprender / Conceptualizar (hacer esquemas, mapas cognitivos)



Sintetizar (resumir, tomar apuntes) / Elaborar



Extrapolar / Transferir / Predecir



Imaginar (juzgar)/ Crear

Expresivas simbólicas: 

Representar (textual, gráfico, oral...) / Comunicar



Usar lenguajes (oral, escrito, plástico, musical)

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Expresivas prácticas: 

Aplicar



Usar herramientas

Actividades de aprendizaje metacognitivas: pretenden la toma de conciencia de los

propios

procesos cognitivos. 

Metacognitivas: o

Tener conciencia de sus procesos cognitivos de aprendizaje

En el aprendizaje también están implicadas las habilidades emocionales: control de las emociones, empatía, tolerancia a la frustración y persistencia en la actividad, flexibilidad ante los cambios.

Una dimensión importante del pensamiento es el conjunto de operaciones mentales llamadas procesos, que reúne las acciones interiorizadas, organizadas y coordinadas en función de las cuales se realiza la elaboración de la información que se recibe de fuentes tanto internas y externas.

La actividad mental puede variar desde los niveles muy simples hasta los niveles muy complejos, de ahí que la operación que se necesita para resolver una actividad que puede oscilar desde el simple reconocimiento o identificación de objetos hasta niveles más complejos que exijan de operaciones tales como: clasificación, seriación, multiplicación, lógica y comparaciones.

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Según Feurestein (1978), el pensamiento creativo y el pensamiento crítico son descripciones de la forma como los procesos se llevan a cabo:

Habilidades del Pensamiento Los procesos cognoscitivos se han definido como operaciones complejas que usualmente requieren de tiempo, esfuerzo y desarrollo de habilidades.

Los procesos son metas, en cambio las habilidades son los medios para alcanzar las metas.

Las habilidades básicas son aquellas esenciales para el funcionamiento de otras dimensiones;

pueden ser usadas al servicio de la metacognición de los procesos

cognoscitivos del pensamiento crítico, creativo y afectivo; las habilidades son medios para tareas particulares, como por ejemplo, analizar críticamente un argumento. Los procesos en cambio, incluyen la utilización de una secuencia de habilidades que tienen por objeto lograr un resultado particular.

Las habilidades pueden ser utilizadas en cualquier punto de un proceso de pensamiento y la misma habilidad de pensamiento puede ser utilizada de manera repetida.

Según Marzano (1994) en su artículo habilidades del Pensamiento, las principales se clasifican así:

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- Habilidades para centrarse (enfocar): 1-

Definir problemas.

2-

Fijar metas.

- Habilidades para recolectar información: 3-

Observar.

4-

Formular Preguntas.

- Habilidades para recordar: 5-

Codificar.

6-

Recordar.

- Habilidades para organizar: 7-

Comparar.

8-

Clasificar.

9-

Ordenar.

10- Representar.

- Habilidades para analizar: 11- Identificar componentes y atributos.

12- Identificar relaciones y patrones.

13- Identificar las ideas principales.

14- Identificar errores.

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- Habilidades para generar: 15- Inferir.

16- Predecir.

17- Elaborar.

- Habilidades para integrar: 18- Resumir.

19- Reestructurar.

- Habilidades para Evaluar: 20- Establecer criterios.

21- Verificar.

Según Marzano (1994) es importante diferenciar entre habilidades y estrategias: Una habilidad es una actividad mental como predecir, resumir o comparar. En tanto que una estrategia es una manera particular de ejecutar una habilidad como por ejemplo para desarrollar la habilidad de definir problemas, pueden seguirse estrategias como comenzar con problemas que estén claramente estructuradas y luego pasar a problemas más complicados, de acuerdo a la evolución del pensamiento.

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Los seres humanos desarrollan su pensamiento de acuerdo con su edad, periodos del pensamiento, instrumentos de conocimiento y operaciones intelectuales, principio didáctico conocido con el nombre de asequibilidad.

La construcción del conocimiento en general o los saberes específicos de determinada disciplina, no llegan a la persona en cualquier momento, se requiere de un proceso sistemático de acuerdo con la edad, las estructuras de pensamiento, las habilidades y procesos intelectivos del momento.

El siguiente esquema es propuesto desde la pedagogía conceptual por la fundación Alberto Merani: “Hermanos Zubiría” (1987):

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EDADES

2- 5 Años

6 – 9 Años

10 – 11 Años

12 –15 Años

PERIODOS

INSTRUMENTOS DEL

OPERACIONES

PENSAMIENTO

CONOCIMIENTO

INTELECTUALES

Nocional

Nociones

Proposicional

Conceptual

Formal

Proposiciones

Conceptos

Razonamientos Hipotéticos Deductivos

-

Introyección

-

Proyección

-

Nominación

-

Comprensión

-

Codificación

-

Decodificación

-

Ejemplarización

-

Proposicionalización

-

Supraordinación

-

Exclusión

-

Isoordenación

-

Infraordenación

-

Inducción

-

Deducción

-

Cadenas

de

Razonamientos 15 – 18 Años

Precategorial

Precategorías

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-

Argumentación

-

Derivación

-

Definición de tesis

-

Contraargumentación

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Campos Conceptuales “Gérard Vergnaud, director de investigación del Centro Nacional de Investigación Científica (CNRS) de Francia, discípulo de Piaget, amplía y redirecciona en su teoría, el foco piagetiano de las operaciones lógicas generales y de las estructuras generales del pensamiento, para el estudio del funcionamiento cognitivo del “sujeto-en situación”. Además reconoce la importancia de la teoría de Piaget, destacando las ideas de adaptación, desequilibración y re-equilibración como piedras angulares para la investigación en didáctica de las Ciencias y de la Matemática. Sin embargo cree que la gran piedra angular colocada por Piaget fue el concepto de esquema. Tal concepto, es fundamental en su teoría.

Vergnaud reconoce igualmente que su teoría de los campos conceptuales fue desarrollada también a partir del legado Vigotsky. Eso se percibe, por ejemplo, en la importancia atribuida a la interacción social, al lenguaje y a la simbolización en el progresivo dominio de un campo conceptual por los estudiantes. Para el profesor, la tarea más difícil es la de proveer oportunidades a los estudiantes para que desarrollen sus esquemas en la zona de desarrollo próximo.

Este mismo autor toma como premisa que el conocimiento está organizado en campos conceptuales cuyo dominio, por parte del sujeto, ocurre a lo largo de un extenso período de tiempo, a través de experiencia, madurez y aprendizaje. Campo conceptual es, para él, un conjunto informal y heterogéneo de problemas, situaciones, conceptos, relaciones, estructuras, contenidos y operaciones del pensamiento conectados unos a otros y, probablemente, entrelazados durante el proceso de adquisición. El dominio de un campo conceptual no ocurre en algunos meses, ni tampoco en algunos años. Al contrario, nuevos problemas y nuevas propiedades deben ser estudiadas a lo largo de varios años si quisiéramos que los estudiantes progresivamente los dominen. De nada sirve rodear las dificultades conceptuales; ellas son superadas en la medida en que son detectadas y enfrentadas.

La teoría de los campos conceptuales supone que el amago del desarrollo cognitivo es la conceptualización. Ella es la piedra angular de la cognición. Luego, se debe prestar toda la atención a los aspectos conceptuales de los esquemas y al análisis conceptual de las situaciones para las cuales los estudiantes desarrollan sus esquemas, en la escuela o fuera de ella… …Tres argumentos principales llevaron a Vergnaud al concepto de campo conceptual:

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1) Un concepto no se forma dentro de un sólo tipo de situaciones.

2) Una situación no se analiza con un sólo concepto.

3) La construcción y apropiación de todas las propiedades de un concepto o de todos los aspectos de una situación es un proceso de largo aliento que se extiende a lo largo de los años, a veces de una decena de años, con analogías y mal entendidos entre situaciones, entre conceptos, entre procedimientos, entre significantes… …Naturalmente, los campos conceptuales no son independientes y unos pueden ser importantes para la comprensión de otros, pero aún así, se considera útil hablar de distintos campos conceptuales si ellos pueden ser descriptos consistentemente”.

La teoría de los campos conceptuales no es, por lo tanto, una teoría de enseñanza de conceptos explícitos y formalizados. Se trata de una teoría psicológica del proceso de conceptualización de lo real que permite localizar y estudiar continuidades y rupturas entre conocimientos desde el punto de vista de su contenido conceptual. En el estudio de este proceso, cualquier reduccionismo es peligroso en la medida en que la conceptualización de lo real es específica del contenido y no puede ser reducida ni a las operaciones lógicas generales, ni a las operaciones puramente lingüísticas, ni a la reproducción social, ni a la emergencia de estructuras innatas, ni, en fin, al modelo del procesamiento de la información. Consecuentemente, la teoría de los campos conceptuales, es una teoría compleja, pues involucra la complejidad derivada de la necesidad de abarcar en una única perspectiva teórica, todo el desarrollo de situaciones progresivamente controladas, de conceptos y teoremas necesarios para operar eficientemente en esas situaciones, y de las palabras y símbolos que pueden representar eficazmente esos conceptos y operaciones para los estudiantes, dependiendo de sus niveles cognitivos.

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Los conceptos clave de la teoría de los campos conceptuales son, además del propio concepto de campo conceptual, los conceptos de esquema (la gran herencia piagetiana de Vergnaud), situación, invariante operatorio (teorema-en-acción o concepto-en-acción), y su propia concepción de concepto.

El desarrollo del pensamiento requiere de unas entrenadas y ejercitadas operaciones intelectuales y una buena calidad y cantidad de instrumentos de conocimiento, que deben ser enseñados tomando en cuenta su carácter evolutivo.

Cuando hablamos de desarrollo de pensamiento en el aula de clase nos referimos a la ejercitación y entrenamiento de las operaciones intelectuales, de tal manera que con mayor propiedad deberíamos decir con respecto al área, tiempo y espacio curricular, “área de procesos de pensamiento, que se complementará e integrará con el trabajo e instrumentos de conocimiento de las áreas científico-técnicas”.

El currículo debe estar orientado al desarrollo del pensamiento, así los educandos aprovecharán y ejercitaran hasta el dominio de las diferentes operaciones intelectuales que consecutivamente un ser humano debe alcanzar en su proceso de humanización, estableciendo el tiempo y el espacio curricular para el área de procesos de pensamiento, el mediador deberá tener en cuenta las siguientes variables:

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-

Nivel de desarrollo real, como punto de partida.

-

Nivel de desarrollo próximo, como punto de llegada.

Para lo que refiere a de la estrategia didáctica, abordamos específicamente el desarrollo del pensamiento matemático, el cual genera una relación didáctica que se establece entre aquello que el profesor se propone enseñar matemáticamente (selección de contenido) y ante todo las metodologías empleadas para tal fin y todo aquello que los estudiantes conscientemente son capaces de aprehender.

Cuando se hace referencia a la categoría desarrollo del pensamiento matemático, se connota razonamiento lógico desde la acción del proceso de quienes se dedican a la construcción, reflexión y aprehensión del conocimiento matemático.

Los investigadores sobre el pensamiento matemático se ocupan de entender cómo interpreta la gente un contenido específico de la matemática. Se interesan ante todo por caracterizar los procesos básicos de la matemática: Planteamiento y resolución de problemas, razonamiento matemático, comunicación y modelación desde la elaboración, comparación y ejercitación de procedimientos matemáticos.

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Social y culturalmente se han establecido además de los procesos anteriores, cinco tipos de pensamientos matemáticos así:

-

Pensamiento numérico y sistemas numéricos.

-

Pensamientos espaciales y sistemas geométricos.

-

Pensamientos métricos y sistemas de medidas.

-

Pensamiento aleatorio y sistemas de datos.

-

Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos.

Aquí los pensamientos se entienden como la forma de comprender, operar, razonar y construir desde las estructuras cerebrales, apoyadas en un sistema que se define como un conjunto de elementos que interactúan entre sí y operan. Los pensamientos y los sistemas no son independientes, se complementan.

Estos pensamientos interactúan de manera horizontal, vertical y transversal, todos entran en una relación dialéctica de interacción que actúan como campos conceptuales y se articulan en una experiencia cultural y social.

El pensamiento matemático además de desarrollar procesos, conocimientos (pensamientos) debe estar contextualizado en situaciones problémicas desde las mismas matemáticas, la vida cotidiana y desde otras ciencias.

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Describir el desarrollo del pensamiento matemático significa considerar que éste se interpreta de diferentes formas: en primer lugar como una reflexión espontánea que los matemáticos realizan sobre la naturaleza del conocimiento y del proceso de descubrimiento e invención en matemáticas; en segundo momento como parte de un ambiente científico en el cual los conceptos y las técnicas matemáticas surgen y se desarrollan en la resolución de tareas, y la versión que considera que el pensamiento matemático se desarrolla en todos los seres humanos en el enfrentamiento cotidiano a múltiples tareas. Desde ésta perspectiva académica

CANTORAL, Ricardo y otros

consideran que la construcción del

conocimiento matemático tiene muchos niveles, relaciones, propiedades y profundidades.

En sentido moderno, el pensamiento matemático incluye por un lado, pensamiento sobre tópicos matemáticos, y por otro, procesos avanzados del pensamiento como abstracción, justificación, visualización, estimación o razonamiento bajo hipótesis.

El pensamiento matemático debe operar sobre una red compleja de conceptos, unos más avanzados y otros más elementales. Esto implica que el desarrollo del pensamiento matemático involucra las edades, los periodos del pensamiento de los educandos, los instrumentos del conocimiento y las operaciones intelectuales.

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Finalmente para que el profesor contribuya en el desarrollo debe conocer la forma cómo funciona el pensamiento de los estudiantes.

Desde tiempos remotos las ciencias matemáticas han construido un importante elemento disciplinador del pensamiento, ha construido una magnifica guía del pensamiento filosófico, entre los pensadores del racionalismo y los filósofos contemporáneos.

Una de las tendencias generales más difundidas hoy tal como lo señala Miguel de Guzmán (1993): Consiste en el hincapié que se hace en la transmisión de los procesos de pensamiento propios de la matemática más bien que en la mera transferencia de contenidos.

En un mundo científico cambiante vale mucho más hacer acopio de procesos de pensamiento útiles, que de contenidos que rápidamente se convierten en lo que Whitehead llamó “ideas inertes”, ideas que forman un pesado lastre, que no son capaces de cambiarse con otras para formar constelaciones dinámicas, capaces de abordar los problemas del presente.

La enseñanza por resolución de problemas pone el énfasis en los procesos de pensamiento, en los procesos de aprendizaje y toma de contenidos matemáticos, considerando importante que el estudiante manipule los objetivos matemáticos , active su propia capacidad mental, y ejercite su creatividad, reflexione sobre su propio proceso de pensamiento, haga transferencia de actividades u otros aspectos de su trabajo mental, que adquiera confianza en sí mismo, que se divierta con su propia actividad mental, que se prepare para otros problemas de la ciencia y de la vida cotidiana y para los nuevos retos de la tecnología y la ciencia.

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PENSAMIENTO NUMÉRICO

De acuerdo con lo que se plantea en los lineamientos curriculares del área de matemáticas, en los grados de primaria, el pensamiento numérico se adquiere gradualmente y va evolucionando en la medida en que los estudiantes tienen la oportunidad de pensar en los números y de usarlos en contextos significativos, y se manifiesta de diversas maneras de acuerdo con el desarrollo del pensamiento matemático; el cual se ve reflejado en la utilización de las operaciones y de los números, en la formulación y resolución de problemas y la comprensión de la relación entre el contexto del problema y el cálculo necesario.

El contexto mediante el cual se acercan los estudiantes a las matemáticas es un aspecto determinante para el desarrollo del pensamiento, por lo tanto para la adquisición del sentido numérico es necesario proporcionar situaciones ricas y significativas para los estudiantes.

Claramente, el pensamiento numérico es a veces determinado por el contexto en el cual las matemáticas evolucionan, por ejemplo, mientras un estudiante en la escuela no se incomoda porque 915 sea la suma de 47 + 58, el mismo estudiante en una tienda puede exigir que le revise la cuenta si tiene que pagar $9150 por dos artículos cuyos precios son $470 y $580.

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Para otro estudiante resulta más fácil decir que

que determinar cuál es mayor entre

1 1 libra de queso hay más que en de libra, 2 4

1 1 y .

4 2

En los Lineamientos Curriculares del área de matemáticas, también se plantea que la manera como se trabajen los números en la escuela contribuye o no a la adquisición del pensamiento numérico.

Los estudiantes que son hábiles para efectuar cálculos con

algoritmos de lápiz y papel (éste es el indicador mediante el cual se mide con frecuencia el éxito de las matemáticas) pueden o no estar desarrollando este pensamiento

Cuando un estudiante de 5º grado dice que

2 3 5   , o un estudiante de 2º grado afirma 9 5 14

que 40 – 36 = 16, están intentando aplicar el logaritmo que han aprendido pero no están manifestando pensamiento numérico.

En realidad toda la importancia que en este momento se está dando al desarrollo del pensamiento numérico en la educación, es una reacción al énfasis tan grande que se le ha dado a los algoritmos para efectuar cálculos, los cuales se realizan a veces de una manera mecánica sin considerar la comprensión de los conceptos que los fundamentan.

Según Ausubel (1983) en el proceso de orientación del aprendizaje, es de vital importancia conocer la estructura cognitiva del alumno; no sólo se trata de saber la cantidad de

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información que posee, sino cuales son los conceptos y proposiciones que maneja así como de su grado de estabilidad. Los principios de aprendizaje propuestos por Ausubel, ofrecen el marco para el diseño de herramientas metacognitivas que permiten conocer la organización de la estructura cognitiva del educando, lo cual permitirá una mejor orientación de la labor educativa, ésta ya no se verá como una labor que deba desarrollarse con "mentes en blanco" o que el aprendizaje de los alumnos comience de "cero", pues no es así, sino que, los educandos tienen una serie de experiencias y conocimientos que afectan su aprendizaje y pueden ser aprovechados para su beneficio.

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LOS NÚMEROS El Proyecto 2061 de la Asociación Americana Para El Avance de la Ciencia (Asociación Americana para el Avance de la Ciencia ) se ha investigado extensamente la comprensión que tiene el estudiante del mundo matemático. El Handbook of Research in Mathematics Teaching and Learning (Manual de investigaciones en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas) (Grouws, 1992) ), junto con los trabajos presentados en las "conferencias de investigación" acerca del concepto de número en los grados intermedios (Hiebert & Behr, 1988) y con la enseñanza y aprendizaje del álgebra (Wagner & Kieran, 1989), indican que hay muchas investigaciones y cada vez más, sobre los números, las relaciones simbólicas, las formas y la incertidumbre. Sin embargo, se ha investigado poco acerca del razonamiento. Como en otras áreas, los trabajos se han enfocado hacía lo que comprenden los alumnos sobre conceptos matemáticos y puntos aislados en el tiempo, o hacía cómo evoluciona naturalmente esta comprensión, mientras que las investigaciones que tratan de la influencia de la enseñanza en la comprensión del alumno han recibido menos atención.

En el mismo proyecto 2061, se expresa que durante los años preescolares y al comenzar la enseñanza elemental, los niños desarrollan significados de los números hablados en los que los significados de secuencia, conteo y cardinal se integran cada vez más (Fuson et al., 1982; Fuson, 1988). Sus propias ideas de los números hablados determinan, hasta cierto

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punto, sus estrategias para sumar y restar, y la complejidad de los problemas que pueden resolver. Los de enseñanza elemental y media pueden tener poco manejo del valor posicional (Sowder, 1992a). Sowder informa que los alumnos del nivel medio pueden identificar los valores posicionales de los dígitos en un número, pero no pueden usar con confianza esta idea en contexto; por ejemplo, los alumnos tienen dificultad para determinar cuántas cajas de 100 caramelos se pueden formar con 48638 caramelos.

En lo que respecta a nuestro problema de investigación, hacemos referencia en especial al concepto de los números racionales.

Los estudiantes de los últimos años de básica y media no comprenden muchas veces que las fracciones decimales representan objetos concretos que se pueden medir con unidades, décimas de unidad, centésimas de unidad, etc. (Hiebert, 1992). Por ejemplo, se les dificulta escribir decimales que representen partes sombreadas de rectángulos divididos en 10 o 100 partes iguales (Hiebert & Wearne, 1986). Hay otros que entienden poco el valor que representa cada uno de los dígitos de un decimal, o dicen que el valor del número es la suma del valor de sus dígitos. Los alumnos de todas las edades tienen problemas para elegir el máximo y el mínimo de un conjunto de decimales con distintas cantidades de dígitos a la derecha del punto decimal (Carpenter et al., 1981; Hiebert & Wearne, 1986; Resnick et al. , 1989). Los estudiantes que terminan la enseñanza elemental pueden representar conceptos en símbolos decimales, y realizar correctamente varias operaciones con decimales después de recibir instrucción especial con bloques de base 10 (Wearne & Hiebert, 1988, 1989). Los de nivel medio y últimos años de elemental pueden tener poca comprensión del significado

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de los números fraccionarios (Kieren, 1992). Por ejemplo, muchos del primer grado de enseñanza media no perciben que 5¼ es lo mismo que 5 + 1/4 (Kouba et al., 1988).

Además, a los alumnos de nivel elemental se les puede dificultar entender una fracción como una sola cantidad (Sowder, 1988), más bien la toman como un par de números enteros. Una base intuitiva para conformar una idea adecuada de número fraccionario consiste en las particiones (Kieren, 1992) en las que se considera a las fracciones como múltiplos de unidades básicas: por ejemplo, ¾ es 1/4 más 1/4 más 1/4 y no tres de cuatro partes Behr et al. (1983).

Además, un número significativo de estudiantes de los últimos grados de la educación básica, en incluso de la media, tienen interpretaciones erróneas de los conceptos relacionados con la fracción. Por ejemplo, considerar la fracción

suma de

2 como el valor de la 5

1 1 con . La reiterada aparición de estos errores en el aprendizaje que hacen los 2 3

estudiantes de este concepto matemático, a pesar de que se enseña desde el grado tercero de la educación básica primaria, ha cuestionado la forma cómo se ha venido orientando la enseñanza del mismo, parece ser que el énfasis de una enseñanza de las fracciones donde se privilegia los algoritmos, no ha generado en los educandos un aprendizaje significativo y duradero.

Al considerar la enseñanza de las fracciones, es necesario hacer también un análisis del tipo de conocimiento didáctico del contenido que tiene el profesor de matemáticas para

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comprender el mismo concepto y para mediar los problemas que presentan sus estudiantes en el proceso de construcción del concepto de fracción, operaciones y aplicaciones.

Es por todo lo anterior que desde este libro de texto queremos ofrecer a los lectores otra forma de construir el concepto de fracción y de utilizarlo en un contexto de aprendizaje consciente para el estudiante.

Los números racionales son los que se pueden expresar como cociente de dos números enteros, es decir, en forma de fracción. Los números enteros son racionales, pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad:

a=

a .

1

Los números racionales no enteros se llaman fraccionarios. El conjunto de todos los números racionales se designa por Q. Éste está compuesto por los números enteros y por los fraccionarios. Se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir (salvo por cero) y el resultado de todas esas operaciones entre dos números racionales es siempre otro número racional.

Así como en el conjunto Z de los números enteros cada número tiene un siguiente (el siguiente al 7 es el 8, el siguiente al -5 es el -4), no pasa lo mismo con los racionales, pues entre cada dos números racionales existen infinitos números.

Los números racionales sirven para expresar medidas, ya que al comparar una cantidad con su unidad el resultado es, frecuentemente, fraccionario. Al expresar un número racional, no

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entero, en forma decimal se obtiene un número decimal exacto o bien un número decimal periódico

(tomado

de

http://www.edukativos.com/preparatoria/downloads-file-9-

details.html).

En el libro de A.D.Aleksandrov, A.N. Kolmogorov, N.A.Laurentiev y otros: La Matemática: su contenido, métodos y significado. Alianza Editorial S.A. Madrid, 1987, se relata como aparecen las fracciones:

Las fracciones aparecen como consecuencia de la división y comparación de magnitudes continuas (longitudes, áreas, tiempo) es decir, de mediciones. Las fracciones no surgen de divisiones de números enteros, puesto que con los números enteros solo se cuentan objetos enteros. Tres hombres es algo que tiene sentido, no así un tercio de hombre. Cuando se mide la longitud de un objeto se aplica a este una cierta unidad de longitud y se calcula cuantas veces está contenida esta unidad; el primer paso (aplicación) es de carácter geométrico, el segundo (cálculo), de carácter aritmético. Pero, en este proceso de medida puede ocurrir que la unidad elegida no está contenida un número entero de veces en la magnitud a medir, por lo que no es suficiente. Así, surge la necesidad de fraccionar la unidad de medida para poder expresar la magnitud con mayor exactitud en partes de la unidad; esto es, no mediante números enteros sino por medio de fracciones.

¿Por qué es necesario distinguir una fracción de un número racional?

Desde el punto de vista lógico porque la definición de número racional no puede depender de la representación de él.

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Desde un punto de vista práctico, esto se debe a que una magnitud puede ser descrita de diferentes formas según la unidad elegida. Pero, el número en sí es el mismo. Por ejemplo:

En la escuela se detectan muchas falencias en el manejo de los números racionales, porque para los estudiantes, el pasar del concepto de número natural y entero a número racional genera dificultades en su conceptualización, por el rechazo del estudiante para el cambio de paradigma. Prueba de ello se evidencia en respuesta de los estudiantes a preguntas como: PREGUNTA

RESPUESTA DEL ESTUDIANTE

1. ¿Cual número sigue de 2.87?

De 2.87 sigue 2.88

2. ¿Qué fracción expresa 0.5 ó 0.8?

Expresan 1/5 y 1/8 de unidad

3. Sume las siguientes fracciones:

3/4 + 2/5 = 5/9

3/4 + 2/5 4. Ordene de menor a mayor las

½, 1/3, ¼.

siguientes fracciones: 1/3, ½, ¼ 5. ¿Quién es mas alto: Juan que mide

Juan

1.48 mts ó Pedro que mide 1.5 mts?.

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6. ¿En cuál de las siguientes figuras la parte sombreada es equivalente a ¾?

Lograr que el pensamiento numérico de los estudiantes trascienda los números naturales, implica un cambio en las estrategias de trabajo y en la organización curricular sobre la manera como se abordan los procesos de aprendizaje alrededor de este sistema numérico.

Dichos cambios se pueden dar si los procesos de aprendizajes de estos se organizan desde la perspectiva del trabajo en situaciones problema que impliquen la comparación de magnitudes a partir de la medición. Así, el número racional será comprendido como la cantidad (número) que expresa la medida de una magnitud con respecto ala otra tomada como unidad. Esta medida se puede representar en notación decimal (números con punto: 1.25), o en notación fraccionaria (x/y, y  0).

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Además, para estudiar una operación numérica es necesario distinguir entre el concepto de operación y su algoritmo, es decir: -

Comprender el significado de la operación, vinculado con la aplicación de la operación en la resolución de situaciones problémicas.

-

Ser hábil en la ejecución de los pasos necesarios y en el orden correcto, que llevan a la obtención del resultado de una operación.

Como se plantea en los Lineamiento curriculares de matemáticas “una conceptualización completa de una operación implica la comprensión del efecto de la operación sobre varios números incluyendo naturales y racionales. A menudo se usan modelos para ayudar a los estudiantes a comprender la acción de la operación. Por ejemplo, modelar la multiplicación como una adición repetida suministra una forma concreta de ayudar a los estudiantes a pensar en la multiplicación así como también en cómo resolverla”.

Es importante explorar varios modelos para la multiplicación para que los estudiantes vean tanto el poder de un modelo como sus limitaciones.

Por ejemplo, pensar en la

multiplicación siempre como adición repetida puede conducir a generalizaciones incorrectas (la multiplicación siempre hace las cosas más grandes). Una variedad de modelos tales como la manipulación de material concreto o un modelo de arreglo son útiles en la medida en que los estudiantes adquieren el concepto de manera significativa y ven la multiplicación en una variedad de contextos.

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Como se plantea en los Lineamientos curriculares de matemáticas “El pensamiento numérico se adquiere gradualmente y va evolucionando en la medida en que los alumnos tienen la oportunidad de pensar en los números y de usarlos en contextos significativos”.

Las relaciones entre operaciones se amplían en la medida en que los operandos aumentan desde números racionales naturales hasta números racionales. Cuando se exploran los números racionales, es natural explorar y utilizar las relaciones adicionales, tales como aquellas que se establecen entre la división y la multiplicación.

Ejemplos: 1. Multiplicar por

1 1 es equivalente a dividir por 10; y dividir por es equivalente a 10 10

multiplicar por 10. Cuando un estudiante comprende y descubre las relaciones que conectan la multiplicación y la división, puede ampliar su rango de estrategias para resolver problemas.

2. Multiplicar

Unidad

2 3 por , gráficamente sería: 3 4

3 4

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2 3 x 3 4

Cuando multiplicamos

2 3 por , el estudiante debe comprender gráficamente que se toma 3 4

la unidad, se divide en 4 partes iguales, se seleccionan 3 de ellas, y luego la unidad se divide en tres partes iguales, y por último se toman

2 3 de . Es importante entender que la 3 4

palabra “por” en producto de racionales se debe interpretar como “de”.

3. Utilicé

3 de una docena de huevos para hacer tres tortas. ¿Cuántos huevos tiene cada 4

torta?

1 3 1 3 3 de , es decir x = 3 4 3 4 12

1 3 3 de 12 huevos = 9 huevos 4

39

de

9

huevos

=

3

huevos.

La propuesta de la estrategia didáctica de enseñanza de la matemática orientada desde los conceptos previos, las etapas –real o concreta, gráfica y simbólica, busca una visión renovada para la enseñanza de las matemáticas que apunte a la concepción moderna, es decir despertar en los estudiantes el interés por los temas abordados, mostrar la pertinencia y aplicación de los conceptos en el contexto, lograr que los estudiantes progresen en su forma de razonar y analizar los temas objeto de estudio, con el fin de que adquieran un aprendizaje sea significativo y no por mera repetición. A continuación, se hace una descripción de cada una de las etapas:

Conceptos Previos.

La finalidad es averiguar qué saben los estudiantes sobre los conceptos previos y realizar una nivelación de los vacíos conceptuales que se tengan. Estos conceptos facilitan la deducción e interpretación de un nuevo concepto.

En los conocimientos matemáticos se incluyen los conceptos matemáticos, la actividad matemática y el currículo de las matemáticas, los conocimientos sobre el aprendizaje de las nociones matemáticas tienen que ver con ideas y concepciones previas de los estudiantes de diferentes edades y con las propuestas para guiar el aprendizaje de cada concepto.

Murillo (2000) plantea que para lograr un aprendizaje significativo en una clase de matemática se deben tener presentes las experiencias y conocimientos previos de los estudiantes, los cuales son punto de partida para el proceso de enseñanza y se deben 40

preparar los contenidos de acuerdo con la etapa de razonamiento por la que atraviese el estudiante, pues no se pretende que construya un aprendizaje si previamente no ha adquirido conocimientos previos del tema para relacionarlos con los nuevos.

Etapa Real o Concreta.

En esta parte se busca que el estudiante visualice los conceptos matemáticos en situaciones reales a través de representaciones (videos, gráficas, fotografías, dibujos, esquemas, dramatizaciones, material manipulativo tangible o gráfico-textual) con el fin de que realice conjeturas, justifique su pensamiento matemático, reconozca y describa patrones, realice analogías para que empiece a construir los conceptos. De hecho, los estudiantes necesitan ver las conexiones entre conceptos y sus aplicaciones. A medida que relacionan ideas matemáticas con experiencias cotidianas y situaciones del mundo real, se van dando cuenta de que esas ideas son útiles y poderosas. El conocimiento matemático de los estudiantes aumenta a medida que entienden que varias representaciones (por ejemplo, físicas, verbales, numéricas y gráficas) se interrelacionan. Para lograrlo necesitan experimentar con cada una y entender cómo están conectadas (Vasco, 1994).

La experiencia y comprensión de las nociones, propiedades y relaciones matemáticas a partir de la actividad real es, al mismo tiempo, un paso previo a la formalización y una condición necesaria para interpretar y utilizar correctamente todas las posibilidades que encierra dicha formalización. Además, como recurso didáctico para hacer un puente entre la realidad y los objetos matemáticos, se puede utilizar material manipulativo y distingue dos tipos, “manipulativos tangibles” y contacto “manipulativos gráfico-textuales-verbales”: los 41

primeros ponen en juego la percepción táctil: regletas, ábacos, balanzas, compás, instrumentos de medida, etc. y en los segundos participan la percepción visual y/o auditiva, por medio de gráficas, símbolos, tablas, etc. Este segundo tipo de objetos (gráficos, palabras, textos y símbolos matemáticos, programas de ordenador) también pueden manipularse, pues implica actuar sobre ellos. Sirven como medio de expresión de las técnicas y conceptos matemáticos y al mismo tiempo son instrumentos del trabajo matemático (Godino, 2004).

Etapa Gráfica.

Una vez los estudiantes son conscientes de las características y propiedades aprendidas en la fase anterior, se les muestra la forma de representarlo gráficamente. Vale la pena anotar que no puede haber comprensión en matemáticas si no se distingue un objeto de su representación. No se deben confundir nunca los objetos matemáticos (números, funciones, rectas, etc.) con sus representaciones (escrituras decimales o fraccionarias, los símbolos, los gráficos, los trazados de figuras, etc.), pues un mismo objeto matemático puede darse a través de representaciones muy diferentes. Existen representaciones mentales, conjunto de imágenes, conceptos, nociones, ideas, creencias, concepciones que un individuo puede tener sobre un objeto, sobre una situación y sobre aquello que les está asociado. Según Godino (2004: 20) estas "permiten una mirada del objeto en ausencia total de significante perceptible". Las representaciones mentales están ligadas a la interiorización de representaciones externas, de la misma manera que las imágenes mentales lo están a una interiorización de los preceptos.

42

De acuerdo con lo planteado por Vasco (1994), El conocimiento matemático de los estudiantes aumenta a medida que entienden que varias representaciones (física, verbal, numérica y gráfica) se interrelacionan. Para lograrlo necesitan experimentar con cada una y entender cómo están conectadas.

Etapa Simbólica.

Luego de comprender las etapas anteriores, el estudiante en esta etapa identifica las características del objeto matemático y lo representa el concepto a través de símbolos.

Godino y Batanero (1996; 1998), afirman que la matemática es un lenguaje simbólico en el que se expresan las situaciones problema y las soluciones encontradas, enfatizando que los sistemas simbólicos matemáticos tienen una función comunicativa e instrumental dentro de la matemática, la cual se expresa en un sistema conceptual lógicamente organizado.

Además en esta se busca establecer y completar la red de relaciones de los conceptos matemáticos, integrar los contenidos, conectar tópicos del mismo campo conceptual, deducir conclusiones lógicas, razonar inductiva y deductivamente, realizar demostraciones, conseguir la modelación y la ejercitación de los conceptos. Se muestra un resumen de todo lo aprendido a través de mapas conceptuales o redes semánticas, los cuales son representaciones gráficas de los esquemas de conocimiento, que permiten a su vez que el estudiante piense, construya y haga elaboraciones mentales de los conceptos.

43

Resolución de Problemas.

En esta etapa se les proponen a los estudiantes situaciones problema, con el fin de apliquen los conceptos adquiridos. No puede olvidarse que la actividad de resolver problemas es esencial si se quiere conseguir un aprendizaje significativo de las matemáticas. No se debe pensar en esta actividad sólo como un contenido más del currículo matemático, sino como uno de los vehículos principales del aprendizaje de conceptos y habilidades matemáticas, al igual que una fuente de motivación para los estudiantes, ya que permite contextualizar y personalizar los conocimientos.

Godino (2004) plantea que a través de la resolución de problemas matemáticos, los estudiantes deberán adquirir modos de pensamiento adecuados, hábitos de persistencia, curiosidad y confianza ante situaciones no familiares que les serán útiles fuera de la clase de matemáticas. Incluso en la vida diaria y profesional es importante que el estudiante tenga la habilidad para resolver problemas. Es decir, cuando los estudiantes pueden conectar las ideas matemáticas entre sí, con las aplicaciones a otras áreas, y en contextos de su propio interés, la comprensión matemática es más profunda y duradera. Se puede postular que sin conexión no hay comprensión, o esta comprensión es débil y deficiente.

Mediante una instrucción que enfatiza las interrelaciones entre las ideas matemáticas, los estudiantes no sólo aprenden matemáticas, sino que también aprecian la utilidad de las matemáticas.

44

ESTRATEGÍA DIDÁCTICA PARA LAS ENSEÑANZA DE LA ADICIÓN Y LA SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

La estrategia didáctica consiste en trabajar el concepto de adición y sustracción de racionales a través de tres etapas: la real o concreta, la gráfica y la simbólica.

Para que los estudiantes adquieran un desarrollo del pensamiento en este campo conceptual se hace necesario trabajar algunos conceptos previos que posteriormente servirán de base para alcanzar el aprendizaje esperado. Según Ausubel (1983) el aprendizaje debe ser significativo, no memorístico, y para ello los nuevos conocimientos deben relacionarse con los saberes previos que posea el aprendiz.

Los conceptos previos abordados fueron:  El concepto de fracción. 

Orden de las fracciones.



Amplificación de fracciones



Simplificación de fracciones



Fracciones equivalentes.



Concepto de número racional.



Representación de Números Racionales.



Orden de los Números Racionales.



Racionales equivalentes.



Mínimo Común Múltiplo



Máximo Común Divisor

La estrategia didáctica se desarrolló a través de tres etapas: la real o concreta, la gráfica y la simbólica. La etapa real consiste en la manipulación de material concreto donde los estudiantes tienen la experiencia física conducente a adquirir habilidades; es decir se actúa sobre objetos para obtener un conocimiento por abstracción a partir de estos mismos objetos. En la etapa gráfica los estudiantes representan a través de figuras los temas 45

trabajados en la etapa real o concreta. En la etapa simbólica se busca que los estudiantes representan simbólicamente los temas conceptualizados. Por último los estudiantes se enfrentan a situaciones problémicas donde después de haber conceptualizado dan solución matemática a la situación presentada.

Con la estrategia planteada desde las tres etapas se busca que los estudiantes alcancen un desarrollo de pensamiento; las actividades I, II, III, IV y V que se proponen, buscan inicialmente que el estudiante utilice el método inductivo donde a partir de experiencias particulares puedan generalizar los conceptos, en las actividades VI y VII se trabaja con el método deductivo, el cual permite que a partir de condiciones o reglas establecidas los estudiantes puedan aplicar los conceptos para casos particulares, en la actividad VIII Y IX se combinan los métodos inductivo y deductivo y en la actividad X se trabaja con problemas de aplicación que permiten contextualizar los conceptos y en especial la adición de números racionales.

Para desarrollar lo expuesto anteriormente, se realizaron las siguientes actividades:

Actividad I

Se reparten bananas de varios colores a los estudiantes. Luego se pide que se organicen por grupos de acuerdo al color de la banana que le correspondió. Se fijan en el tablero hojas con los nombres de cada color de la siguiente manera:

46

Cada grupo cuenta sus integrantes y escribe el número correspondiente en la parte superior de la línea de la hoja, en la parte inferior escribe el número total de estudiantes del curso.

Posteriormente los estudiantes nombran la fracción formada en cada uno de los subgrupos del curso e identifican las partes.

47

Actividad II 1

Se entrega a cada estudiante 8 de cartulina con 12 círculos de igual tamaño, con sus respectivas divisiones; para que marquen cada parte con el número correspondiente de acuerdo a su partición: medios, tercios, cuartos, quintos, sextos, séptimos, octavos y novenos, así:

Los estudiantes recortan los círculos y luego cada una de las partes en las que se dividió la unidad; se les entrega una bolsa transparente para guardar todas las partes recortadas. Las bolsas se marcan con el nombre de cada niño.

48

Actividad III

Se toma una parte de cada uno de los círculos y se ordena en forma descendente así: 1 1 1 1 1 1 1 1 1         2 3 4 5 6 7 8 9 10 1

Posteriormente se forma un cono empezando con 2 pegará en una hoja de block.

1 2 1 3

1 4

1 5

1 6 1 7

1 8

1 9 1 10

1 1 1 1 1 1 1 1 1         2 3 4 5 6 7 8 9 10

49

1

y terminando en 10 Este se

Actividad IV

Para esta actividad se deben conforman grupos de dos estudiantes. Luego se toman y se pegan en una hoja de acuerdo a su tamaño.

Por último deben comparar cada parte y ubicar el signo < o > de acuerdo al caso.

1 5

, 52 ,

3 4 5, 5

Se trabaja con los estudiantes el concepto de fracción equivalente, para ello se solicita que cada uno tome una de las partes que representa un representa un

1 4

1 2

y dos de las partes que

y que las sobreponga comparando su tamaño. El estudiante concluirá

al respecto.

y sacar conclusiones.

Luego que sobreponga

son iguales

50

De igual manera se les pide sobreponer con . Y conclusiones.

2 6

sacar

1 3

2 1  6 3

Por último sobreponer

2 5

con

4 10 .

Sacar conclusiones.

2 4  5 10

51

Actividad V

Se trabaja el concepto de suma de fracciones homogéneas así: Cada

estudiante

1 3



toma

4 3

y

1 3



4 3

para efectuar la suma.

5 3

1

4

Posteriormente se suman 5 y 5

1 4 5   1 5 5 5

52

Teniendo en cuenta el trabajo realizado en la primera clase, se efectĂşa la siguiente suma:

53

Actividad VI

CONCEPTO DE NÚMERO RACIONAL 1. Completar 

El conjunto de divisores de 6 es:



El conjunto de múltiplos de 3 es:



Los cinco primeros ( números?) primos son:



Los factores de 36 son:

2. Calcular ( repasar conceptos previos) 

mcm (122,18)



mcd (24,38) (Explicar)

3. Ordenar de mayor a menor los siguientes conjuntos de fracciones: 



2 3 5 1 , , , 3 5 7 4 1 1 1 1 , , , 3 4 2 6

En el tema anterior se observó que existen algunas operaciones que no tenían solución en el conjunto de los  3  4 ,

números enteros. Por ejemplo:  1   ,  8   10  5 y, en general, todas aquellas divisiones en las que el dividendo no es múltiplo del divisor.

Esto nos lleva a definir un nuevo conjunto numérico, llamado conjunto de números racionales, que se representa con la letra

y se define así:

54

Q =  a / a, b  , b  0

 

 b

Ejemplos:

2 3 1 4 7 , , , , .

5 6 7 2 4 En todo número racional se pueden determinar 3 términos que son: 

El numerador, es el número entero escrito en el parte superior.



El denominador, es el número entero escrito en la parte inferior.



El signo, que puede ser positivo o negativo y se escribe antes de la fracción.

RACIONALES EQUIVALENTES a c se les llama equivalente y se notan a = c , si a.d  b.c y b d b d donde a., b, c, d   con b  0 y d  0

Dos racionales

Por ejemplo, un racional equivalente al racional

1 2 1* 2 2 es , ya que = (amplificación 2*2 4 2 4

de racionales) Un racional equivalente a

30 3 30  10 3 es ya que = (simplificación de racionales) 60 6 60  10 6

Un racional es irreducible cuando no hay factores comunes al numerador y al denominador, es decir, cuando el máximo común divisor del numerador y el denominador es 1.

Por medio de la amplificación y la simplificación de racionales se puede obtener una serie de racionales equivalentes.  5 10 15  Así:  , , ,.... es un conjunto de racionales equivalentes obtenido de la amplificación  8 16 24 

sucesiva de

5 .

8

55

CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS RACIONALES: 1. Racionales positivos. Son aquellos en las que el producto de los signos del numerador y del denominador es positivo.

Así:

2  Q + ya que   *     3

5 Q  + ya que   *     7 2. Racionales negativos. Son aquellos en los que el producto de los signos del numerador y del denominador es negativo. 5 Así: -    Q - ya que 3

 *   =

-

 4    *   =    Q - ya que 7

3. Racionales nulos. Son aquellos en los que el numerador es cero y el denominador es cualquier entero diferente de cero.

Así:

0 0 0 0 son racionales nulos. , , , 4  3 80 97

4. Racionales enteros. Son todos aquellos racionales cuyo denominador es 1 o el cociente entre el numerador y el denominador es entero.

Así:

 5 7 8 4 10 12 , , , , , ,.... es así como los números enteros están contenidos en los 1 1 1 2 5 4

números racionales.

56

Actividad VII

ADICIÓN DE NÚMEROS RACIONALES:

1. Suma de racionales homogéneos: Los racionales homogéneos tienen igual denominador. Se suman los numeradores y se deja el denominador común.

2  5   = Se restan los numeradores y al resultado se le antepone el signo del mayor 3  3 

2 +(-5)= -3

3 = -1 .

3

4 5 7      9  9  9 

5 4 1   9 9 9

1 7 6   9  9  9

57

Actividad VIII

Actividad con tiras de cartulina plana de colores:

Motivación:

Para la adición de números racionales se puede utilizar como ayuda didáctica un cuadro formado por varias filas divididas en medios, tercios, . . . , décimos. Como se muestra a continuación:

UNIDAD ½

½

1/3

1/3

¼

1/4

1/5

1/10

1/6

1/7

1/7

1/8 1/9 1/10

1/8 1/9 1/10

¼

1/5

1/6

1/7

1/9

1/4

1/5

1/6

1/8

1/3

1/6 1/7

1/8 1/9

1/10

1/5

1/6 1/7

1/8 1/9

1/10

1/5

1/7 1/8

1/9 1/10

1/6

1/10

1/7

1/8

1/9

1/9

1/10

1/10

1/8 1/9 1/10

Luego se divide el grupo en dos. A cada grupo se le entregan diez (10) tiras de diferente color para que hagan la misma figura.

La idea es que se tome del cuadro las partes necesarias para hacer la suma.

Veamos los siguientes ejemplos:

58



Para hacer la operación:

1 1 5   2 3 6

Tomamos del cuadro la tira correspondiente a

1 , luego tomamos la correspondiente a 2

1 , las unimos y comparamos con cual de las otras filas concuerdan, encontrando en la 3

sexta fila que esa cantidad corresponde a

1/2

5 .

6

+

1/3

5 6

59



Para hacer la operación:



1 2 1   2 3 6

 1     2 

2 3

1 6

Actividad IX

ACTIVIDAD CON TIRAS DE CARTULINA DE DIFERENTES COLORES

Para está actividad se tomaron pliegos de cartulina de dos colores, los cuales se dividieron en tiras que representan la unidad, posteriormente las tiras se dividieron en medios, tercios, cuartos, quintos, sextos, séptimos, octavos, novenos, décimos, doceavos, dieciochoavos y venticuatroavos, tal como se muestra a continuación

60 1 6

UNIDAD ½

½

1/3

1/3

¼

1/4

1/5

1/12

1/6

1/7

1/8

1/7

1/8

1/8

1/9 1/10 1/12

1/9 1/10

1/12

1/12

¼

1/5

1/6

1/7

1/10

1/4

1/5

1/6

1/9

1/3

1/6 1/7

1/8 1/9

1/10 1/12

1/5 1/6 1/7 1/8

1/9 1/10

1/12

61

1/8

1/10 1/12

1/6

1/7

1/9 1/10

1/12

1/5

1/7

1/8

1/9

1/9

1/10 1/12

1/8

1/12

1/10 1/12

1/9 1/10 1/12

UNIDAD ½

½

1/3

1/3

¼

1/4

1/5 1/6

1/12

1/6

1/7

1/8

1/7

1/8

1/8

1/9 1/10 1/12

1/9 1/10

1/12

1/12

¼

1/5

1/6

1/7

1/10

1/4

1/5

1/9

1/3

1/6 1/7

1/8 1/9

1/10 1/12

1/5 1/6 1/7 1/8

1/9 1/10

1/12

1/8

1/10 1/12

1/6

1/7

1/9 1/10

1/12

1/5

1/7

1/8

1/9

1/9

1/10 1/12

1/8

1/12

1/10 1/12

1/9 1/10 1/12

Las tiras azules corresponden a los números racionales positivos (cantidades que se tienen) y las tiras rojas representan los números racionales negativos (cantidades que se deben)

Para efectuar las sumas de números racionales heterogéneos se convierten a números racionales homogéneos equivalentes, por medio de la amplificación, tal como se describe en los siguientes ejemplos: 62

Ejemplo 1: Efectuar:

1 2  2 3

Tomamos las tiras que representan cada número:

Como son cantidades a favor todos van de color azul.

1 2 2 3 Luego de pegar en el tablero las partes correspondientes a cada racional, se halla el mínimo común múltiplo de los denominadores, éste número se utiliza para encontrar números racionales equivalentes a los originales por medio de la amplificación.

Para el caso del ejemplo 1, el MCM de 2 y de 3 es 6 .

Por medio de la amplificación convertimos cada número racional en uno equivalente, de tal manera que ambos tengan el MCM como denominador, es decir que pasen de ser números racionales heterogéneos a números racionales homogéneos, asi:

1 3 3 *  2 3 6 2 2 4 *  3 2 6

Después de realizar el proceso anterior, se pega en la parte inferior de los números racionales ya representados en cartulina, la parte que corresponde al número racional equivalente. Tal como se muestra a continuación:

63

3 6  4 6

Como cada representación está dividida en pedazos de igual tamaño y todas son cantidades a favor, se suman los pedazos de cada representación para obtener el número racional correspondiente al resultado de la suma.

De está manera se concluye que

1 2 7   2 3 6

Ejemplo 2: Efectuar

3  2    4  3

Convertimos cada racional en uno equivalente, de tal manera que tengan el mismo denominador: 3 3 9 *  4 3 12 2 4 8 *  3 4 12

64

Tomamos las tiras que representen cada nĂşmero:

Los estudiantes representaban en su cuaderno a travĂŠs de figuras lo trabajado con el material concreto.

65

Actividad X:

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

1.

Se pesaron 2 peces. El primero pesó

El peso de este pez es

7 4

7 4

Kg. El segundo pesó

kg. El peso de este pez es

17 8

17 8

kg.

kg.

a) ¿Cuánto pesaron los dos peces? b) ¿Cuánto más pesó el segundo pez que el primero?

2.

Para ir de la casa a la iglesia hay ¾ km. Para ir de la casa al parque hay 7/10 km.

Distancia de la casa a la iglesia km.

km.

Distancia de la casa al parque

¿Cuánto más lejos está la iglesia que el parque?

66

3. En la cocina hay

3 4

1

de taza de azúcar en polvo y 4 de taza de azúcar en cubos.

Taza con ¾ de azúcar

Taza con ¼ de azúcar

¿Cuanta azúcar hay en total?

4. Una hormiga camina por el borde de un rectángulo desde un vértice al opuesto. Si 39

el rectángulo tiene 8 cm. de largo por

cm.

41 6

de ancho cuanto recorre la hormiga?

41 6

cm.

39 8

67

cm.

ESTRATEGÍA DIDÁCTICA PARA LAS ENSEÑANZA DE MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

La estrategia didáctica consiste también en trabajar el concepto de multiplicación y división de racionales a través de tres etapas: la real o concreta, la gráfica y la simbólica.

Para que los estudiantes adquieran un desarrollo del pensamiento en este campo conceptual se hace necesario trabajar algunos conceptos previos que posteriormente servirán de base para alcanzar el aprendizaje esperado. Según Ausubel (1983) el aprendizaje debe ser significativo, no memorístico, y para ello los nuevos conocimientos deben relacionarse con los saberes previos que posea el aprendiz.

Los conceptos previos abordados fueron: - El concepto de fracción.

- Orden de las fracciones.

- Amplificación de fracciones.

- Simplificación de fracciones.

- Fracciones equivalentes.

- Concepto de número racional.

- Representación de Números Racionales.

- Orden de los Números Racionales.

- Ley de Signos.

Con la estrategia planteada desde las tres etapas se busca que los estudiantes alcancen un desarrollo de pensamiento; las actividades I, II y III que se proponen buscan inicialmente que el estudiante utilice el método inductivo donde a partir de experiencias particulares puedan generalizar los conceptos, en la actividad IV

se

trabaja con el método deductivo el cual permite que a partir de condiciones o reglas establecidas los estudiantes puedan aplicar los conceptos para casos particulares, en las actividades V, VI, VII, VIII, IX y X se combinan los métodos inductivo y 68

deductivo y en la actividad XI y XII se trabaja con problemas de aplicación que permiten contextualizar los conceptos en especial la multiplicación de números racionales.

Para desarrollar lo expuesto anteriormente, se propone realizar las siguientes actividades:

Actividad I

Los estudiantes se organizan en grupos de 4 y se reparte a cada uno galletas en forma de rectángulo, divididas en 6 partes iguales.

Luego se les pide que formen un rectángulo con las 4 galletas

69

Posteriormente cada grupo realizará las siguientes actividades:

-

Identificar cuántas partes tiene la nueva unidad. ¿Cómo se puede representar esta cantidad en forma de número racional?

-

Si un integrante del grupo se come una de las partes de la nueva unidad, ¿qué sucede con la unidad? ¿Cómo se representa esta cantidad en forma de número racional?

-

Ahora los otros tres integrantes del grupo debe comerse una parte de la unidad. Representa en forma de número racional lo que quedó.

-

Por último paulatinamente van tomando diferentes cantidades de la unidad y a medida que las tomen, representen en forma de número racional las nuevas cantidades; hasta que terminen con la galleta.

70

Actividad II 1

Se entrega a cada estudiante 8 de cartulina con 12 rectángulos de igual tamaño, con sus respectivas divisiones; para que marquen cada parte con el número correspondiente de acuerdo a su partición: medios, tercios, cuartos, quintos, sextos, séptimos, octavos y novenos, así:

Los estudiantes recortan los rectángulos y luego cada una de las partes en que se dividió la unidad; se les entrega una bolsa transparente para guardar todas las partes recortadas. Las bolsas se marcan con el nombre de cada estudiante.

71

72

Actividad III

Se toma una parte de cada uno de los rectángulos y se ordena en forma descendente así:

1 1 1 1 1 1 1 1 1         2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

Posteriormente se forma una pirámide empezando con 1 y terminando en 10 Este se pegará en una hoja de block.

Actividad IV

Se trabaja con los estudiantes el concepto de fracción equivalente, para ello se solicita que cada uno tome una de las partes que representa un representa un al respecto.

1 6

1 3

y dos de las partes que

y que las sobreponga comparando su tamaño. El estudiante concluirá

73

Luego que sobreponga con

4 y 8

5 sacar conclusiones.

10

De igual manera se les pide sobreponer con . Sacar

Por último sobreponer

2 5

con

4 10 .

2 4

3 6

conclusiones.

Sacar conclusiones.

Actividad IV

Recorrido histórico de la multiplicación con números racionales-

Los números racionales o fracciones aparecieron muy pronto en la historia de las matemáticas. Como la gran mayoría de los conceptos matemáticos, su descubrimiento fue debido a la necesidad de resolver un problema. Los antiguos

74

necesitaban medir longitudes, áreas, tiempo, pesos y todo otro tipo de medidas. Al enfrentarse a esto en la vida cotidiana, pronto descubrieron que no era suficiente poder contar con los números naturales para hacerlo de manera exacta, ya que estas medidas eran susceptibles de divisiones más pequeñas que la unidad, o divisiones mayores que la misma pero que no eran números naturales, por lo que fue necesario ampliar el concepto de número natural. Así surgieron los números racionales.

Las fracciones aparecen ya en los primeros textos matemáticos de los que hay constancia, quizás uno de los más antiguos y más importantes sea el Papiro Rhind de Egipto, escrito hacia el 1.650 a.C. y que pasa por ser la mayor fuente de conocimiento de la matemática egipcia.

En Occidente tuvieron que pasar muchos siglos hasta que los musulmanes introdujeron su sistema de numeración, conocido como indoarábigo. Este paso fue clave para la comprensión y el estudio de los números racionales en la vieja Europa.

Sin embargo, no fue hasta el S. XIII cuando Leonardo de Pisa, más conocido por su apodo Fibonacci, introdujo el concepto de números quebrados o números “ruptus”, empleando además la raya para separar el numerador del denominador.

Actividad V

Se trabaja el concepto de multiplicación de números racionales desde la etapa concreta:

Para esta actividad se utilizará un cuadrado de 50cmx50cm subdivido en cuadrados de 5cm de lado.

75

Se iniciará multiplicando

1 1 y : 2 3

Se señalan dos rectángulos de igual tamaño y en uno de ellos se representa la fracción 1 1 en forma horizontal con post-it de un color y en el otro la fracción en forma 2 3

vertical con un color diferente.

Se construye otro rectángulo con iguales dimensiones y se representa en él fracciones, quedando de la siguiente manera:

1 6

las dos

76

Luego se les pide a los estudiantes que determinen que fracción de la unidad corresponde a la intersección de los dos colores .

El estudiante debe observar que las dimensiones del rectángulo

las determinan los

denominadores de las fracciones que se multiplican. Es decir la primera fracción determina la altura (filas) y la segunda fracción determina la base (columnas) .

Posteriormente se multiplican

1 4

y

3 4

Se toma un rectángulo y se representa la fracción fracción

1 en forma horizontal con un color y la 4

3 en forma vertical con un color diferente.

4

77

Las representaciones anteriores se hacen en un solo rectángulo, quedando de la siguiente manera:

3 16

Luego se les pide a los

estudiantes que determinen que

fracción de la unidad

corresponde a la intersección de los dos colores:

Se espera que después de haber realizado varios ejemplos los estudiantes deben deducir como se obtiene el resultado.

Actividad VI

Se mostrarán algunos ejemplos que evidencian la propiedad conmutativa de la multiplicación.

Vamos a multiplicar

4 2 x 7 5

78

Recordemos que representamos inicialmente la primer fracci贸n y posteriormente la segunda fracci贸n.

8 35

79

Ahora vamos a multiplicar

2 4 x 5 7

8 35

80

Se puede observar que da el mismo resultado al multiplicar

4 2 2 4 x y x 7 5 5 7

Con el ejemplo anterior se verifica la propiedad conmutativa para la multiplicaci贸n, la cual establece que el orden de los factores no altera el resultado.

81

Actividad VII:

En esta actividad se representar谩 de diferentes formas el producto de dos fracciones.

Vamos a multiplicar

7 3 x , tal como se hizo en los ejemplos anteriores.

8 5

21 40

Otra forma de representar el resultado anterior es la que se presenta a continuaci贸n.

21 40

82

Actividad VIII

Ya hemos visto como multiplicar fracciones; ahora veremos la multiplicación con números Racionales.

2 3

Cada estudiante toma

y

7 para efectuar la 3

Se toma un rectángulo y se representa el racional en color y la fracción

5 3

multiplicación.

2 3

forma horizontal con un

en forma vertical con un color diferente.

Las dos representaciones anteriores se hacen en dos rectángulos, haciendo la intersección entre los dos racionales, de la siguiente manera:

10 9

83

Recuerda que los Números Racionales pueden ser positivos o negativos, y para realizar la multiplicación debes tener en cuenta la ley de los signos:

Veamos a continuación ejemplos de multiplicación de Números Racionales positivos y negativos.

Multipliquemos



1 4

y

3 5

Para realizar esta operación, se multiplican inicialmente los signos, teniendo en cuenta la ley enunciada anteriormente. Después se realiza la multiplicación de fracciones tal como lo hemos visto:

(-) . (+) = - , Lo que indica que el producto será negativo.

Ahora representamos los dos racionales, sin tener en cuenta los signos.

84

Las representaciones anteriores se hacen en un solo rectángulo, quedando de la siguiente manera:

El resultado tendría como signo el menos (-), y como racional la parte correspondiente a la intersección de los dos números racionales:



Multipliquemos 

2 3

y 

3 20

5 4

Para realizar esta operación, se multiplican inicialmente los signos, teniendo en cuenta la ley enunciada anteriormente. Después se realiza la multiplicación de fracciones tal como lo hemos visto:

(-) . (-) = +, Lo que indica que el producto será positivo.

85

Ahora representamos los dos racionales, sin tener en cuenta los signos.

Las dos representaciones anteriores se hacen en dos rect谩ngulos, haciendo la intersecci贸n entre los dos racionales, de la siguiente manera:

10 12

86

El producto de racionales se obtiene asi: 1. Multiplicamos los signos.

2. Representamos los números racionales gráficamente.

3. Se intersectan los dos números racionales, teniendo en cuenta que si un racional indica menos de una unidad y el otro más de una unidad, la intersección debe hacerse con cada una de las unidades existentes.

4. El producto contiene el signo obtenido, como numerador el número correspondiente a las partes intersección de los dos racionales y como denominador el número correspondiente a las partes en que quedó dividida finalmente la unidad.

87

Actividad IX

En esta actividad se mostrará a los estudiantes la representación gráfica del producto de dos fracciones y ellos deben deducir los factores que originan dicho producto.

Si el producto 3 es: 10

¿Cuáles son las fracciones que originan el producto? ____ y ____

Si el producto es 9 : 48

¿Cuáles son las fracciones que originan el producto? ____ y ____

88

Si el producto es 8 : 25

¿Cuáles son las fracciones que originan el producto? ____ y ____

Recuerda que cuando el numerador es mayor que el denominador para representar el número racional se necesita más de una unidad

89

Los factores de esta multiplicaci贸n son: _____ y _____

90

Actividad X

La división de dos números Racionales se puede expresar como una multiplicación veamos:

Dividamos

2 4  , está división se puede expresar como una multiplicación así: se 3 7

multiplica el primer número racional por el recíproco del segundo Racional. Así:

El resultado es:

14 12

Luego

2 7 14 2 4 14 x  , entonces   3 4 12 3 7 12

2 7 x 3 4

91

La división de números racionales también se puede realizar mediante otros procesos, veamos:

3 a) Dividamos 7  . Inicialmente se representan las 7 unidades y 4 las dividimos en 4 partes iguales cada una:

Luego observamos cuántas veces está contenido

3 en el espacio de 7 4

Unidades

1 vez

2 veces

3 veces 4 veces 5 veces 6 veces 7 veces 8 veces 9 veces 1/3

92

Podemos observar a través de la representación gráfica que 7; es decir, 7 

3 1 28 9  4 3 3

a) Dividamos ahora que

2 3



3 está “9 veces y un tercio” en 4

2 3



3 3 2 . La pregunta ahora es qué parte de cabe en (puesto 4 4 3

3 ). Si (con el fin de poder compararlas) llevamos ambas fracciones a sus 4

representaciones equivalentes de igual denominador,

8 12

y

9 , respectivamente: 12

vemos que de las 9 cuadrículas de 3/4 (en su forma 9/12) sólo caben 8 en 2/3 (en su forma 8/12). Es decir, que sólo 8/9 de 3/4 están contenidos en 2/3. Por lo tanto,

2 3 8   .

3 4 9

93

Si ahora analizamos ambos resultados descubrimos que: 5 

2 15 3   5.

3 2 2

y que

2 3 8 2 3    . .

3 4 9 3 4

La “regla” para dividir números Racionales es: Se multiplica el primer número Racional por el inverso del segundo; otra forma es: se multiplican en cruz numeradores y denominadores.

Actividad XI

Problemas de aplicación que involucren la multiplicación con números racionales.

En esta actividad se utilizará papel bond, representado números racionales mediante pliegues que ilustramos en los siguientes ejemplos.

Lea las siguientes situaciones problémicas y represéntelas utilizando papel bond como se indica:

1. Don Juan tiene una parcela distribuida así: la mitad tiene terreno cultivable, de esta parte

está sembrado con papas y la mitad de la mitad está destinada a los animales.

¿Qué parte de la parcela completa está sembrada de papas?

94

Para representarlo tomamos un cuadrado, que representa la parcela completa, y luego se dobla por la mitad de la siguiente forma:

"De esa parte, 1/3 está sembrado con papas."

Para representarlo se dobla en tres partes iguales la mitad anterior (que representa el "terreno cultivable"):

Se pinta la parte que representa la siembra de papas. ¿Qué parte de la parcela completa está sembrada de papas?

Para saberlo abren el papel, lo observan y responden: ¿Qué fracción del papel está pintada?

Es decir, 1/3 de 1/2 es igual a 1/6.

95

¿Qué parte de la parcela está destinada a los animales si se utiliza para ello la mitad de la mitad?

Para representarlo tomamos un cuadrado, que representa la parcela completa, y luego se dobla por la mitad de la siguiente forma:

De esta parte la mitad sería

Se pinta la parte que representa la siembra de papas.

¿Qué parte de la parcela completa está sembrada de papas?

Para saberlo abren el papel, lo observan y responden: ¿Qué fracción del papel está pintada?

Es decir, 1/2 de 1/2 es igual a 1/4.

96

Compara el resultado con cada uno de los factores de la multiplicación, estableciendo si es menor o igual. Explica por qué el resultado es menor que cada factor.

2. En un colegio,

de los estudiantes de grado sexto practica algún deporte, de ellos la

mitad juega fútbol. ¿Qué parte del curso practica fútbol? a)Observa este diagrama en el que las regiones pintadas representan la parte del curso que practica deportes.

b)De quienes practican deporte, la mitad juega fútbol.

¿Qué parte del curso practica fútbol?

Es decir, 1/2 de 3/4 es igual a 3/8.

97

c)Representa otros cursos en los cuales 2/3 de cada uno de ellos practica algún deporte y se dan los siguientes casos: En un curso, de los 2/3 que practican deportes, la cuarta parte juega vóleibol. ¿Qué parte del total del curso practica vóleibol?

En otro curso, de los dos tercios que practican deportes, sólo un quinto juega fútbol. ¿Qué parte del total del curso juega fútbol?

d) Analiza expresiones como la siguiente, obtenida de una situación anterior:

3 1 3 1 3    4 2 42 8

e) Revisa los resultados que obtuvieron en todas las situaciones anteriores y escribe las multiplicaciones.

98

f) Resolver multiplicaciones de fracciones y completar la siguiente tabla:

Situación Un tercio de la mitad

Multiplicación

Resultado

1 1 x 3 2

1 6

Un cuarto de la mitad La mitad de dos tercios Un cuarto de dos tercios Un tercio de dos tercios Un tercio de un tercio

ACTIVIDAD XII

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Ana estuvo caminando durante 7/4 de hora. ¿Cuántos minutos estuvo caminando?

2. Luís compra tres quintos de kilo de fríjol , ¿cuántos gramos de fríjol compró?

3. ¿Cuántos frascos de un cuarto de kilo se llenan con dos sextos de kilo de mermelada?

4. Se han pintado tres quintos de la mitad de una pared. ¿Qué parte de ella esta pintada?

5. Un kilo de pan cuesta $800. ¿Cuánto cuestan tres cuartos de kilo?

99

6. Pedro decide pintar así su cuarto: ¼ de color azul y 1/3 de los ¾ que le quedan le pondrá papel. ¿Que fracción de papel ocupa la pieza?

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES El proceso que se debe realizar para multiplicar Números Racionales es: Inicialmente se multiplican los signos teniendo en cuenta la LEY DE LOS SIGNOS. Luego se multiplican directamente, es decir, numerador por numerador y denominador por denominador.

NOTA: Un número Racional negativo se puede expresar de varias formas, veamos como: a a a   b b b

100

EJERCICIOS DE APLICACIÓN CAMPO CONCEPTUAL DE LA ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

1. Qué es para usted un número racional?

2. Observa la siguiente figura:

En cuál de los siguientes círculos la parte sombreada representa aproximadamente la fracción de la parte sombreada en la figura anterior?

a .

b .

c .

d .

3. Simplifica los siguientes racionales a su mínima expresión:

a.

8 20

b.



16 14

c.

15 21

d.

18 24

4. Al terminar la fiesta organizada por Andrés, sobró más de chocolatina y media, tal como se muestra en el siguiente dibujo:

101

¿Cuál de las siguientes expresiones representa la chocolatina que sobró?

7   4

a. Siete Cuartos

1   2

b. Un medio

c. Tres Cuartos

3   4

d. Cuatro Tercios

4   3

5. Relaciona cada recta con el Racional respectivo: a)  4

a) 0

1

b)

3 2

b) -3

-2

-1

0

c) 0

c)



7 3

d)



17 4

1

d) -5

-4

-3

-2

-1

0

e)

e) -4

-3

-2

-1

0

6. Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas:

6 10

102

a. El número ubicado en la parte de arriba en una expresión Racional se denomina numerador. ____

b. El número ubicado en la parte de abajo de un número Racional se denomina denominador. ____

c. Una fracción es aquella cuyo numerador es menor que el denominador, siendo los dos enteros positivos. ____

d. Un Racional cuyo numerador es mayor que el denominador, se puede expresar como un número mixto. ____

7. Para el día de los niños una profesora repartía entre sus estudiantes una bolsa de dulces de la siguiente manera: la mitad de los dulces para los estudiantes de tercero, un cuarto de los dulces para los de cuarto y un octavo de los dulces para los de quinto.

Si los estudiantes de tercero recibieron 40 dulces ¿Cuantos dulces recibieron los de quinto?

a.

5 dulces.

b.

10 dulces.

c.

20 dulces.

d.

80 dulces.

8. En el problema anterior, los niños lanzan afirmaciones sobre que curso recibió mas dulces la afirmación correcta es: 1 2

1

a.Cuarto recibió más que tercero porque es

b.Tercero recibió más que cuarto porque

mayor que 4

1 es mayor que 2

.

1 4

103

c.Quinto recibió más que tercero porque 1 es mayor que 8 d.Quinto recibió más que cuarto porque

.1 2

1 1 es mayor que .

8 4

9. Ordena las siguientes fracciones de mayor a menor:

3 8

1 8

1.____

10.

7 8

2.____

3.____

5 8

4.____

2 8

5.____

Ordena los pesos (en kilogramos) de los siguientes artículos de menor a mayor:

1 Kg 3

1 Kg 2

1 Kg 5

1.______

2.______

3.______

1 Kg 4

4.______

11. Identifica cuales de los siguientes conjuntos racionales son homogéneos y cuales son heterogéneos.

a.

1 , 2

1 , 4

1 ___________________ 10

b.

2 , 5

3 , 5

8 5

c.

1 , 5

2 , 8

9 ___________________ 8

___________________

104

d.

1 , 16

5 ___________________ 16

4 , 16

12. El mínimo común múltiplo de 4, 8 y 10 es:

a.

2.b. 20.c. 40.d. 80.

3 de una tela para hacer una bata, luego 4 1 emplearon de la misma para una blusa. ¿Qué fracción de tela emplearon?

5

13. Gloria y Milena utilizaron

a.

19 20

b.

4 9

c.

2 7

d.

15 4

14. Representar los siguientes números en la recta numérica:

a)  1 3

-5

c)  10 3

b) 7 2

-4

-3

-2

-1

d) 14 3

0

1

2

3

4

105

15. Efectuar las siguientes sumas:

a)

3 4



1  5

12 5



 2    10 



b)

16. En una parcela,



 3      20 

4 2 del suelo están sembrados de cebada y de trigo.

7 7

a. ¿Qué parte de la parcela está sembrada? ____ b. ¿Qué parte de la parcela no está sembrada? ___ 17. Un escritor escribe una novela en cuatro meses. El primer mes escribe 2 de la 8 novela. El segundo mes 5 y el tercer mes . 5 24 12 a. ¿Qué fracción de la novela ha escrito? __________________ b. ¿Qué fracción de la novela le falta por escribir?___________

18. Escribir >, <, = según corresponda:

a.

3 5

___

1 4

b. 

2 3

___ 

4 7

c.

5 4

___ 

3 6

106

d.

0

___ 

9 5

e.

10 2

___

20 4

19. En las siguientes figuras la parte sombreada representa 1 2

y

1 3

respectivamente.

¿En cuál de las siguientes figuras la parte sombreada representa

a.

b.b.

1 1  ?

2 3

107

c.

e.

d.

108

EJERCICIOS DE APLICACIÓN CAMPO CONCEPTUAL DE LA MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

Lea cuidadosamente cada pregunta y responda a conciencia.

1. ¿Cuál es la diferencia entre un número Racional y fraccionario? ___________________________________ _________________________________________.

2. Observa la siguiente figura:

Cuál de las siguientes fracciones representa la parte sombreada en la figura anterior? a.

8 14

b.

6 14

c.

4 7

d.

14 6

3. Ordena las siguientes fracciones de mayor a menor:

3 8

1.____

1 8

2.____

7 8

5 8

3.____

2 8

4.____

5.____

109

4. Ordena los pesos (en kilogramos) de menor a mayor:

1 Kg 5

1 Kg 2

1.______

2.______

1 Kg 3

3.______

1 Kg 4

4.______ Analice bien las preguntas antes de responder

5. Ordena de mayor a menor:

8 3

8 1

1.____

8 6

2.____

3.____

8 5 4.____

8 4 5.____

6. Escribir >, <, o = según corresponda:

a.

3 5

___

c.

5 4

___ 

1 4 3 6

b. 

2 3

___ 

4 7

d.

0

___ 

9 5

110

7. Simplifica los siguientes racionales a su mínima expresión:

a. c.

8 20 15 21

b. d.

16 14 18  24 

8. En las siguientes figuras la parte sombreada representan

1 2

respectivamente.

y

1 1  ?

2 3

¿En cuál de las siguientes figuras la parte sombreada representa

a.

b.

c.

d.

1 3

111

9. Relaciona cada recta con el Racional respectivo:

17 4



3 2 

7 3

6 10

10. La siguiente gráfica muestra el producto de dos racionales:

¿Cuáles son los factores que representa la gráfica?

a.

10 20  2 4

b.

3 4  6 5

c.

6 2  10 3

d.

5 6  4 3

112

11. La siguiente gráfica muestra el producto de dos racionales:

¿Cuáles son los factores que originaron la gráfica?

____ y ____

12. La gráfica que muestra el cociente de los racionales

a.

1 4  : es?

2 3

b.

c. d.

113

 7  4 13. El resultado de la operación        : es?  5  3

a.

11 8

b.

11 15

c.

28 15

d.

21 20

14. La gráfica que representa el resultado de la operación

 1   2     2     3     2  : es?    

15.

a.

b.

c.

d.

Cuantos vasos de un cuarto de litro de jugo se pueden llenar con tres cuartos de litro?

16.

Pedro se comió las dos terceras partes de 18 pasteles ¿Cuántos pasteles comió?

17.

Carlos recibe clases de matemáticas de ¾ de hora durante cinco días a la semana ¿Cuántas horas de matemáticas recibe a la semana?

114

18.

Debo repartir medio kilo de chocolate en bolsas de un octavo de kilo ¿Cuántas bolsas puedo llenar?

19.

Observe los siguientes procesos y señale el procedimiento incorrecto (justifique su respuesta).

Proceso A

  4   2     4  6    3     3       5   3         8   12         3   30   96     90   48      35 

Proceso B   4   2     4  6    3     3       5   3         8   12         9   30   96      270   16      45 

Revise las respuestas antes de entregar este cuestionario.

Su colaboración fue muy valiosa para la investigación.

MUCHAS GRACIAS!

115

PERTINENCIA DE LA ESTRATEGIA

En la estrategia didáctica se trabajan las etapas real o concreta, gráfica y simbólica. En la etapa real es necesario que los estudiantes tengan la experiencia física conducente a adquirir habilidades a partir de lo concreto, porque según Piaget (1980) citado por Woolfolk (1986, pag. 93) “la experiencia física responde a la concepción clásica de la experiencia; consistente en actuar sobre objetos para obtener un conocimiento por abstracción a partir de estos mismos objetos”, además según Ausubel (1983) citado por Woolfolk (1986, pag. 291) “se necesita que los estudiantes manipulen ideas mentalmente, aunque sean muy simples y basadas en relaciones físicas como objetos; es importante también que los estudiantes representen en figuras o gráficos las experiencias con material concreto, y posteriormente trabajen la parte simbólica”.

Con las estrategias didácticas se busca que los estudiantes adquirieran un aprendizaje significativo, por ello se deben trabajar conceptos previos a las operaciones con números racionales, de tal manera que logre despertar en ellos motivación iniciando el trabajo desde lo concreto;

Ausubel (1983) postula que el aprendizaje debe ser significativo, no

memorístico, y para ello los nuevos conocimientos deben relacionarse con los saberes previos que posea el aprendiz. Por otro lado el aprendizaje por descubrimiento de Bruner (1972), defiende el aprendizaje por percepción donde el profesor estructura los contenidos y las actividades a realizar para que los conocimientos sean significativos para los estudiantes (experimentación directa sobre la realidad, aplicación práctica de los conocimientos y su transferencia a diversas situaciones).

116

Según López (2005) se hace necesario buscar vías alternativas para la presentación de los contenidos a partir de situaciones y actividades que representen un sentido significativo para el alumno; estos permitirán a los estudiantes generar congeturas, analizarlas con sus compañeros y poner en juego de manera conciente los conocimientos adquiridos con anterioridad.

Las afirmaciones del profesor Paulino Murillo (2003) corroboran que el estudiante debe construir sus propios aprendizajes, que sean autónomos y que integren sus experiencias a otras ya conocidas para que no sigan en la búsqueda del desarrollo de la memoria y la repetición y es precisamente en éste tema donde se reconoce el avance del conocimiento adquirido.

Teniendo en cuenta que el pensamiento implica una actividad global del sistema cognitivo con intervención de los mecanismos de memoria, atención, procesos de comprensión, aprendizaje, etc.; y que tiene una serie de características particulares, que lo diferencian de otros procesos, siendo la más importante la función de resolver problemas, se aplicó la estrategia de tal forma que los estudiantes construyeran los conceptos partiendo de ejemplos específicos, desarrollando un pensamiento inductivo. Según Montserrat (2002) el pensamiento inductivo es aquel proceso en el que se razona partiendo de lo particular para llegar a lo general. La base de la inducción es la suposición de que si algo es cierto en algunas ocasiones, también lo será en situaciones similares aunque no se hayan observado.

117

Además la estrategia también se fundamenta en el pensamiento deductivo pues los estudiantes a través de reglas generales realizaban

ejercicios específicos.

Según

Montserrat (2002) el pensamiento deductivo parte de categorías generales para hacer afirmaciones sobre casos particulares. Va de lo general a lo particular.

Otro aspecto considerado por Montserrat (2002) para el desarrollo del pensamiento es la resolución de problemas. Dentro de la estrategia se buscó que los estudiantes contextualizaran los conceptos y en especial la suma con números racionales, a través de situaciones problémicas.

Para que los estudiantes logren desarrollar el pensamiento matemático en el campo conceptual de suma de números racionales, se deben trabajar los temas de manera secuencial y sistemática desde lo real o concreto, gráfico y simbólico, y con la aplicación en situaciones problémicas. Vergnaud (1995)

define un campo conceptual como un

conjunto informal y heterogéneo de problemas, situaciones, conceptos, relaciones, estructuras, contenidos y operaciones del pensamiento conectados unos a otros y, probablemente, entrelazados durante el proceso de adquisición. También lo define como un conjunto de problemas y situaciones cuyo tratamiento requiere conceptos, procedimientos y representaciones de tipos diferentes pero íntimamente relacionados.

Para validar la apropiación de los conceptos, dentro de la estrategia se debe considerar el trabajo con situaciones problémicas, cuya solución requiere del campo conceptual de las operaciones con números racionales, donde los estudiantes muestren interés al encontrar la

118

aplicabilidad de los temas desarrollados, manejando con propiedad la secuencia lógica para llegar a la solución del problema. Según Vergnaud (1995): la enseñanza por resolución de problemas pone el énfasis en los procesos de pensamiento, en los procesos de aprendizaje y toma de contenidos matemáticos, considerando importante que el estudiante manipule los objetivos matemáticos, active su propia capacidad mental, y ejercite su creatividad, reflexione sobre su propio proceso de pensamiento, haga transferencia de actividades u otros aspectos de su trabajo mental, que adquiera confianza en sí mismo, que se divierta con su propia actividad mental, que se prepare para otros problemas de la ciencia y de la vida cotidiana y para los nuevos retos de la tecnología y la ciencia.

Según lo planteado por la UNESCO (1995), es tarea de la educación formal habilitar al alumno en los procesos de pensamiento que facilitan la comprensión de enunciados matemáticos y permita avanzar en la resolución de aquellas formulaciones que impliquen problemas matemáticos

López (2005) planea que en la práctica pedagógica de aula es importante abordar y resolver problemas cuyo contenido y orientación induzcan al estudiante a usar sus capacidades de abstracción de manera eficiente; es decir, que el estudiante experimente la satisfacción personal recompensada del esfuerzo realizado en la resolución de problema o situación contingente que se le plantee.

Por otro lado Guzmán (1993) afirma “interpretar se refiere a la posibilidad del estudiante para dar sentido a partir de la matemática, a los diferentes problemas que surgen en una

119

situación, o sea identifican lo matematizable que se infiere en la situación problema a partir de lo construido como conocimiento matemático y poderlo expresar como un modelo matemático”.

En la construcción del conocimiento el ritmo de aprendizaje de todos los estudiantes es diferente, pues como lo afirman los hermanos Zubiría (1987): “la construcción del conocimiento en general o los saberes específicos de determinada disciplina, no llegan a la persona en cualquier momento, se requiere de un proceso sistemático de acuerdo con la edad, las estructuras de pensamiento, las habilidades y procesos intelectivos del momento”.

Vigotsky (1984): plantea que la interpretación es personal, de manera que no hay una realidad compartida de conocimientos. Por ello, los alumnos individualmente obtienen diferentes interpretaciones de los mismos materiales, cada uno construye (reconstruye) su conocimiento según sus esquemas, sus saberes y experiencias previas, su contexto.

120

CONCLUSIONES

 A través de la implementación de la estrategia didáctica orientada desde lo real, lo gráfico y lo simbólico, en el campo conceptual de las operaciones de números racionales, desde las etapas de pensamiento (inductivo, deductivo y resolución de problemas) permite evidenciar el desarrollo del pensamiento matemático de los estudiantes y determinar el nivel de comprensión que alcanzaron, de acuerdo a la forma como se enfrentan a las diferentes actividades propuestas, manifestando con esto la coherencia entre el manejo de conceptos y sus operaciones mentales.

 Las estrategias didácticas desarrolladas a través de las tres etapas, permiten que los contenidos sean llamativos, agradables, interesantes y motivadores, despertando el interés en los estudiantes.



El trabajo con la estrategia didáctica permite que los estudiantes estén motivados y muestren disposición frente a los nuevos conceptos, lo que genera gran motivación, interés, curiosidad, disposición por el aprendizaje; además de un gran compromiso académico y actitudinal.

121



El trabajo desde lo real, lo gráfico y lo simbólico es un buen referente de trabajo y es lo suficientemente didáctico para orientar los temas en matemáticas, en cada uno de los diferentes niveles y fases, generando un mayor aprendizaje y desarrollo del pensamiento matemático.



Teniendo en cuenta la realidad educativa, se recomienda a los educadores plantear y acoger estrategias pedagógicas y didácticas innovadoras, que conlleven al desarrollo del pensamiento matemático.



Se sugiere a los docentes del área de matemáticas de educación básica, la aplicación de las estrategias orientadas a desarrollar el pensamiento matemático en los estudiantes, para potenciar las habilidades que les permita mejorar el acceso al saber.



Uno de los elementos importantes en el aprendizaje de las fracciones es plantear a los estudiantes situaciones que involucren la aplicación, dónde el sujeto que aprende comprenda que las fracciones expresan una relación entre colecciones de partes y un todo, no el tamaño de la parte o el todo.

las

122

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