Círculo 1semana

Page 1

TRIÁNGULOS I DEFINICION

-

Semiperímetro de la región triangular ABC(P∆ABC)

Es la figura geométrica formada al unir tres puntos no colineales mediante segmentos.

(P∆ABC) =

B

TEOREMA 1

Elementos :

Notación :

En todo triángulo la suma de las medidas de sus

Vértices : A, B y C

Triángulo :

ángulos interiores es igual a 180º.

ABC ; ∆ABC

C

REGIONES DETERMINADAS RESPECTO AL TRIÁNGULO.

Lados : AB, BC y AC 

2

PROPIEDADES FUNDAMENTALES DEL TRIÁNGULO. 

C

A

abc

B  Región exterior

A

Región Interior

relativa a AB

relativa a BC

TEOREMA 2 En todo triángulo la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de dos ángulos interiores no adyacentes a él.

C

Región exterior relativa a AC

En la figura se indican las regiones que se han determinado respecto al triángulo ABC.

B

º

ÁNGULO DETERMINADO RESPECTO AL TRIÁNGULO.

B

C

En el ∆ABC, se cumple :  +  +  = 180º

Región exterior

A

Y

x

º

A

a

c

En el ∆ABC, se cumple : 

A

C

x=+

C z

b

-

Medida de los ángulos internos : , , . Medida de los ángulos externos : x, y, z. Perímetro de la región triangular ABC (2p∆ABC) 2p∆ABC = a + b + c

TEOREMA 3 En todo triángulo la suma de las medidas de los ángulos exteriores tomados uno por vértice es igual a 360º.


B

PROPIEDADES ADICIONALES

y

B 

x

C

A

x=++

D

z

x

A

En el ∆ABD, se cumple : x + y + z = 360º

 C

TEOREMA 4

En la figura se cumple:

En todo triángulo de un lado es mayor que la longitud se le opone al ángulo de mayor medida y viceversa (propiedad correspondencia).

C

B x

a

c

y A

A

D

En la figura ∆AOB y ∆COD presentan un ángulo interior opuesto por el vértice.

C

b

En el ∆ABC, si : a > b Entonces :  >  

+=x+y

O

B

Se cumple :

TEOREMA 5

B

En todo triángulo de un lado es mayor que la diferencia de las longitudes de los otros dos y menor que la suma de las mismas (propiedad de existencia).

C

x

x+y=+ 

y

A

D

B En la figura se cumple : a

c

B p < PA + PB + PC < 2p

C

A b

P

En el ∆ABC : a > b > c Se cumple :

b–c<a<b+c

A

C En la figura, P es un punto inferior al ∆ABC, se cumple :

p : perímetro de la región ABC

2


d) 90º

NIVEL 2

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 6.

(Propiedades Básicas y Clasificación) NIVEL 1 1.

2.

30º

b)

10º

c)

18º

d)

72º

e)

36º

B

2xº

xº 7. A

D

E

C

110º

b)

130

c)

100

d)

120

e)

150

120º

x +20º

8. 3.

4.

Calcular “x” a)

15º

b)

20º

c)

30º

d)

45º

e)

60º

2º º 9.

Calcular el menos valor entero de “x” Si : el ∢ABC el agudo :

 Además :  L1  a)

46º

b)

47º

c)

44º

d)

98º

e)

89º

 L2   º º

A

º

C 5.

L1

B

º

b) 30º

50º

b)

55º

c)

60º

P

d)

65º

e)

70º

50º

E xº L2

70º

Q

xº R

A

En la figura : L1

a)

100º

b)

140º

c)

130º

d)

120º

e)

150º

C

L2

B

L1

P º

a)

15º

b)

30º

c)

45º

d)

75º

e)

60º

80º

A

C

O

L2 Q

Calcular “x” Si : AD = AR ; AP = DR

D A

P

R

Si la diferencia de las medidas de 2 ángulos exteriores de un triángulo es igual al complemento de la medida del ángulo interior ubicado en el tercer vértice. Hallar la medida de un ángulo interno del triángulo. a) 30º d) 75º

Determinar el menor ángulo interno de un triángulo, sabiendo que las medidas de los ángulos externos forman una progresión aritmética de razón 30º. a) 15º

a)

Si : AB = BC, Calcular “”

Calcular “x” a)

En un triángulo ABC, isósceles que se muestra (AB = BC) y se sabe que el triángulo PQR es equilátero. Calcular “x”. B

Calcular “x”, si : AD = BD BE = EC a)

e) 120º

b) 45º e) 90º

c) 60º

10. De la figura, calcule “x + z” a)

110º

b)

280º

c)

220º

d)

240º

e)

320º

º 40º zº º º

º

c) 60º 3


NIVEL 3

Ejercicios Complementarios

11. Del gráfico, calcular ”x” a)

40º

b)

70º

c)

60º

d)

50º

e)

55º

º

40º

NIVEL 1

º

º

1.

º º

a) 10º

º

a)

10º

b)

15º

c)

30º

d)

35º

e)

37º

d) 40º e) 60º

C

2.

M

10º

b)

20º

c)

40º

d)

45º

e)

50º

º º

40º

Calcular “x” xº

a) 90º b) 60º A

P

N

B

d) 20º º

60º

e) 10º

º 100º 

3.

c) 45º

13. Del gráfico, calcular “x” a)

c) 30º

Q

S 45º

20º

º º

b) 20º

12. En la figura : AP = PS y BM = BN Calcular “x”

Calcular “x”

Calcular “x” 60º

a) 170º b) 150º

º

º º

º

c) 115º d) 120º

14. En la figura, el ∆ABC, gira mantenido un lado en la recta “L”, si A’ y A’’, son las posiciones de A.

e) 100º

xº º º

170º

º º

Calcule la medida del ángulo que determinan AA' y la bisectriz interior del ángulo de vértice A’’.

4.

Calcular “x”. 70º

a) 85º B

b) 65º

A’

c) 55º d) 45º

L’ C

A

a) 45º + º d) 90º + 2º

b) 90º + º e) 90º +

c) 90º +

3º

A’’ º 2

2

e) 35º 5.

AC , desde el cual se traza MN perpendicular a AB . (“N” es AB ). Luego se ubica en “P” en la

región exterior y relativa a BC , tal que :

º º

º

Calcular “xº + yº + zº” a) 120º

15. En un triángulo equilátero ABC. Se ubica “M” en

º

b) 135º

º º º xº

c) 270º d) 90º e) 180º

yº º º º

NP  BC = S y m∢BNS = m∢NMP. Calcular la

m∢NPM: a) 30º d) 75º

b) 60º e) 90º

c) 45º 4


NIVEL 2 6.

e)

En un triángulo ABC, AC = 10. Calcule el mínimo valor entero del perímetro de la región triangular ABC. a) 5 d) 21

7.

b) 10 e) 11

yº º

º

d) 1/3

º

e) 2

A

M

H

º

º

El perímetro de un triángulo rectángulo es 36. Calcular el mínimo valor entero de la hipotenusa.

º

c) 115º d) 110º

En un ∆ABC, AB = 9, BC = 12 y m∢BAC + m∢BCA < 90º. Calcular la diferencia de los valores enteros máximo y mínimo que puede tomar AC .

A

50º

b)

70º

c)

110º

d)

130º

e)

140º

D

b) 10

º

d) 4

E

b)

15º

c)

20º

d)

25º

2º

A

C

15. Del gráfico, calcule “x + y”. Si la región sombreada tiene perímetro mínimo.

40º

B

B C

yº xº

A

D A

a) º + º 2º

b) c)

º º

Q

P

11. En el gráfico calcule “x” 10º

C

B

a) 14

NIVEL 3

a)

º

M

14. Dado el triángulo ABC. Calcular “x”; si : AD = 4, BD = 3

e) 3

a)

º º

c) 7

d) 4 e) 3

10. En el gráfico, AB = BC = CD Calcule “x”

º º

º

2º

e) 130º

d) 15 e) 16

a) 7 b) 6 c) 5

C

B

a) 145º b) 120º

9.

N

13. Calcular “x” , si : AM = MC

º

a) 12 b) 13 c) 14

º º

c) 1/2

d) 34º

8.

º º

b) 1

c) 32º 58º

º

a) 3

b) 30º

e) 36º

12. En el gráfico, calcule “

c) 20

En la figura. Calcule (xº - yº) a) 28º

35º

º

2 3 3 2

(º + º)

º O

R

d) 360º-(º + º)   

  

 º  º  e) 180º -  2

(º + º)

xº 20º

5


TRIÁNGULOS II – LÍNEAS NOTABLES

NIVEL 2

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

6. En la figura, calcule “x” NIVEL 1

a) 10º

1. En la figura; calcular “x” a)

108º

b)

54º

c)

72º

d)

36º

e)

44º

º

c) 65º xº

º

d) 35º

º

º

º º 2º

º

e) 45º º

7. En la figura, calcule “x”

72º

2. Calcular “x” 55º

b)

60º

c)

45º

d)

40º

e)

10º

100º

b)

120º

c)

130º

d)

150º

e)

170º

c) 15º

B

bº A

100º

b)

80º

c)

125º

d)

150º

e)

250º

85º

b)

75º

c)

70º

d)

65º

e)

60º

º

º

70º

8. En la figura AB

C

CD ; Calcule “x” A

a) 125º xº

60º

c) 115º

C

D

º º

º º

º º

a) 52º b) 48º

xº º

c) 44º º º

º º

170º

40º

9. Del gráfico, calcule “x” ;

100º

B

º+10º

e) 20º

60º

º

b) 155º d) 100º

100º º º

º

d) 42º

º

e) 40º

º

º

º

º 20º

º

º

10. Del gráfico, calcular “x”

5. Calcular “x” a)

º

e) 20º

º º

d) 10º

80º

4. Calcular “x” a)

30º

b) 30º

3. Calcular “x” a)

70º

º

a) 35º

a)

xº º

60º

b) 20º

a) 110º º

b) 90º

º

c) 70º

º º

d) 20º xº

40º

80º

e) 10º

º º º

xº º

º º+º º

125


NIVEL 3 11. En el gráfico, AB = BC Calcule “x” a)

45º

b)

120º

c)

60º

d)

70º

e)

37º

Ejercicios Complementarios

NIVEL 1

C

A

º

º

1.

º 2º

º

2º

b) 80º

12. Determine “x”, Si : L1

c) 40º

L2 son mediatrices de

AB y BC .

B

L2

2.

c) 20º

P

Q

C

a) 90º

º

b) 100º

e) N.A.

º

3.

B

130º

P

E

c) 8

e) 20

A

Calcular “x” a) 15º

2º

c) 45º

3

d) 60º

2º

º º

e) 75º C

15. Según el gráfico, calcular el valor “x”

5.

2

a) 110º

150º

º

2

c) 60º d) 75º 2º

30º

40º

b) 35º

c) 130º

º

Calcular “x”; a) 30º

b) 120º

C

Q

b) 30º

x

d) 9

d) 40

P

7

b) 7

e) 95º

B

c) 50

4.

º

Del gráfico, calcular “x”

b) 25

B y C; respectivamente.

d) 150º

C

a) 60º

BP y CP son bisectrices exteriores de los ángulos

A

º

A º

14. Calcular “x”; si es un valor entero máximo.

a) 3

º

º

º

c) 120º d) 130º

80º

e) 55º

º

50º

c) 35º d) 75º

13. Calcular “x”

B

b) 45º A

º

Del gráfico, calcular “x” a) 60º

d) 36º

e) 10

e) 10º

b) 15º

º

d) 20º

75º

L1

e) 45º

50º

º

a) 100º

B

a) 30º

Calcular “x”

º

e) 45º

3

º º

2º

7


NIVEL 2 6.

NIVEL 3

En el gráfico. Calcular “x” a) 15º b) 20º

11. Del gráfico, Calcular “x” º º

120º

bº bº

c) 25º d) 30º

e) 35º

7.

aº 2aº

De la figura; 3º = 5º Calcular “x”

º º

c) 30º

b)

c)

10º

d)

e)

2º5’

a) 90º-

º

b) 15º

15º

b) 45º+

º

d) 20º

c) 45º-

45º

e) 35º

d) 90º+ 8.

Calcular “x” ; 2aº

a) 135º b) 115º c) 112,5º d) 52,5º e) 22,5º 9.

e) 45ºaº

b 2b

º

5(m∢AED) = 6(m∢ADC) y m∢BAD = 70º; Calcular la m∢CAD 44º

b)

24º

c)

14º

d)

15º

e)

10º

100º

b)

150º

c)

90º

d)

180º

e)

270º

º

2º

2 º

º º

2 º 4 º

4 º

º

º

mº xº º º º mº

2

º xº º

B

º

D

C

2xº

º º

b)

360º

c)

300º

d)

270º

e)

100º

º º º yº xº

º º º

zº º º º

a)

27º

b)

45º

c)

30º

d)

36º

e)

18º

º º

nº nº

º mº

º

15. En el gráfico, calcular “x”

6xº

º

180º

14. Calcular “x”

º A

a)

E

10. Según el gráfico mostrado: Calcular : “º +º” B a)

º 13. De la figura, calcular : xº + yº + zº

De la figura :

a)

30º

º

º

º º º

20º

12. De la figura, calcular “x”; en función de “” 45º

a) 25º

a)

º º º

a)

150º

b)

110º

c)

120º

d)

100º

e)

135º

º

º

º º xº

8


TRIÁNGULOS III 

Primer Caso (L.A.L)

PROPIEDADES DE LA MEDIATRIZ

 

º

L

E

º

Siendo:

L

mediatriz

de AB se cumple: 

Segundo Caso (A.L.A)

º

EA = BE

B

º

º

º

M

A

PROPIEDAD EN EL TRIÁNGULO ISÓSCELES

B 

º º

Tercer Caso (L.L.L)

Altura Mediana Bisectriz Segmento de mediatriz

BH A

H

C

PROPIEDAD DE LA BASE MEDIA

B 

Cuarto Caso (A.L.LM) M

º

O

A 

Siendo P

B

BN = NC

Si: E y F son puntos medios. Se cumple: Q

la

OP 

º º

C

º

PROPIEDADES DE LA BISECTRIZ

A

Si: M es punto medio de AB y MN // AC Se cumple:

N

bisectriz de AOB se cumple PA = PB

OA = OB

EF =

PR 2

E

P

F

R 9


PROPIEDAD DE LA MEDIANA TRIÁNGULO RECTÁNGULO

EN

b

b

EL

5

53º/2

2b

B Si: BM es mediana relativa a AC. Se cumple: M

A

C

k

k

37º/2

3k

AC 2

BM =

10

n 

76 º

17

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES 14º

45º a

a

2

a

60 º

2a

74 º

4n

25a 16º

45 º

a

7a

n

a

24a

30 º

3

B

a 53º

5a

3a

75 º

A

C

4a

37º

4a

15º

H

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

a)

24, 12 2 , 5

b)

5, 10,

c)

16, 6 2 , 5

d) 6 2 , 5, 18

2

e) 3 2 , 12, 5

NIVEL 1 B

2. Calcular “x”

1. Calcular “x”, en cada caso.

a

a) 127º 53º

x

20

45º

6

a+b

c) 45º d) 40º e) 30º

x

c

b) 135º

º A

º b

D

x 30º 10 10


3. Calcular “x”

7. Dado el triángulo ABC isósceles (AB = BC) se toma

B

un punto de la prolongación de AC y se traza las

16

a) 16

distancias hacia los lados iguales del triángulo

C

b) 20

isósceles, calcular la altura. Trazada de uno de los

c) 12

vértices de los ángulos iguales. Si dicho punto

x

d) 15 e) 5

53º

4. Calcular “x”; L 1

dista de los lados iguales 8 y 3. Respectivamente.

º º

A

L2 son mediatrices de AB y BC

respectivamente.

a) 11

b) 8

d) 4

e) 3

8. Calcular “x”. Si : AB = 6 , AH = 2 B

B

a) 10º

a) 2

70º

b) 4

b) 20º

L1

c) 30º

c) 5

x

c) 6

L2

º º

d) 8

d) 40º

e) 3

e) 50º P

A

A

5. Calcular “AC”, si PQ = 6

M

e) 48

L1

L2

son mediatrices

Si : m∢BOA = m∢COD, Calcular :

b) 3 d) 24

gráfico

de

BD y AC , respectivamente. B

c) 12

C

H

C

Q

9. En el

a) 6

D

a)

N P

b)

Q C

A

L2

1

AB CD

B

C

3

L1

1 2

c) 3

A

d) 1

0

e) 2

D

NIVEL 2 6. Si: AB = BC; Calcular “AH” Si; además : PQ = 4 y PR = 6

10. En el gráfico, HBMN es un cuadrado y AB = a, calcule HP. B

B

M

a) 6 b) 4

P

c) 2

H

d) 10 e) 12

Q A

37º/2

R P

A

C

a) b) c)

H

a 10 2 a 1 30 10 a 10 3

N

C

d) a 13 e)

a 10 5

13


NIVEL 3 11. Según la figura; BQ

MN

Ejercicios Complementarios

Si : BQ = AN, MN = a y QN = b Calcule “AC” B

a) a+b

1. Calcular “x” xº

º

b) 2a+b

M

c) 2b+a d) 2b–a e) 2a–b

º

º

A

N

Q

12. En la figura AC = CD = DE y BM = MC. Además si : BE = 20 y MQ = 6. Calcule “x” a)

2

Q

53º

c)

M

2

37º

d)

2

A

15º

C

D

E

13. En la región exterior y relativa a BC , de un triángulo ABC, se construye un triángulo equilátero BCP. Si : m∢BAC = 60º, AB = 10 y AC = 30. Calcule la suma de las distancias de “P” a

AB y AC . a) 40 3

b) 20 3

d) 18 3

c) 15 3

e) 10 3

14. En un triángulo ABC, se traza la mediana BM , luego se traza la perpendicular AH a BM , si : AH = 16m y HM = 15m. Calcule “HC” a) 30m d) 34

b) 31 e) 17

c) 16

15. De la figura mostrada. Calcular “x” Si : AD = CD (Sugerencia : Prop. Cuadrilátero cóncavo). a) 10º b) 5º

2xº

c) 15º e) 18º

2xº

xº A

D

a)

3

d) 120º + 2º e) 120º - 3º

b)

2

c)

6

d)

5

e)

10

B

º A

C

Q

x

P º

C

3. Calcular “x” a)

12

b)

6 2

c)

3 2

d)

4

e)

3

B M 6 x 45º

A

C

N

4. Determine “x”; AB = 4, AD = 8 y CD = 3 a)

115

b)

135

c)

127

d)

143

e)

153

a)

18

b)

9

c)

3

d)

6

e)

12

C

B xº

º º

A

5. Calcular “x”

B

d) 30º

a) 120º - º b) 120º + º c) 120º - 2º

2. Calcular “x” ; AC = 16 , AB = 10

45º

b)

e)

B

37º

º

C

D

B

º

º N

x E 3 A

M

º P

C

14


NIVEL 2

NIVEL 3 11. Calcular “x” ; Si : AB = BC = AD

6. Calcular “BN”. Si : AF = 5, BC = 17. ( MN : Mediatriz de AC ). B

a)

16

b)

12

c)

8

d)

6

e)

3

d) 122º

F

8

c)

10

d)

13

e)

26

3

b)

4

c)

6

d)

8

e)

10

C

M

M

N

A

P

N

8

B

5

5

30º A

D

F

x

9. Si : AB = BC , AP = 2 , BM = 8 y CQ = 4 Calcular “PQ” B a)

10

b)

6

c)

8

d)

12

e)

5

A

M

Q

10. Si : AB = 10, BC = 8, BP = 1 Calcular : “MP”

b)

4

c)

6

d)

7

e)

8

B

a)

1

b)

2

c)

1,5

d)

0,5

e)

2,5

E

A

º º

D H

C

13. Del gráfico, AP = 3 y CQ = 4 Calcular : AC a)

5

b)

6

c)

5 2

d)

7

e)

8

C 45º

A

P

Q

B

a)

3

b)

6

c)

12

d)

6 2

e)

3 2

B

D

º

45º

45º A

6 2

H

C

15. En un cuadrado ABCD de lado 4m, sobre AB, BC y CD , se toman los puntos P, Q y R.

C

2

12. Del gráfico, calcular “DH”. Si : BE = 2

14. Del gráfico, calcular “DH”

C

P

a)

A D

8. Del gráfico, Calcular “x” a)

96º

e) 142º

B

b)

c) 132º

N

7. Calcular el perímetro de la región triangular MNP; AB = 6, BC = 8 y AC = 12 6

C

60º

b) 112º

A

a)

B

a) 120º

Respectivamente. Tal que : PQ = QR = y m∢PQR = 90º.

M

Si : AP = 1, RD = 3. Calcular la m∢QDC.

P

a) 37º d) 30º B

b) 45º e) 60º

c) 53º

A

15


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