TRIÁNGULOS I DEFINICION
-
Semiperímetro de la región triangular ABC(P∆ABC)
Es la figura geométrica formada al unir tres puntos no colineales mediante segmentos.
(P∆ABC) =
B
TEOREMA 1
Elementos :
Notación :
En todo triángulo la suma de las medidas de sus
Vértices : A, B y C
Triángulo :
ángulos interiores es igual a 180º.
ABC ; ∆ABC
C
REGIONES DETERMINADAS RESPECTO AL TRIÁNGULO.
Lados : AB, BC y AC
2
PROPIEDADES FUNDAMENTALES DEL TRIÁNGULO.
C
A
abc
B Región exterior
A
Región Interior
relativa a AB
relativa a BC
TEOREMA 2 En todo triángulo la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de dos ángulos interiores no adyacentes a él.
C
Región exterior relativa a AC
En la figura se indican las regiones que se han determinado respecto al triángulo ABC.
B
º
ÁNGULO DETERMINADO RESPECTO AL TRIÁNGULO.
B
C
En el ∆ABC, se cumple : + + = 180º
Región exterior
A
Y
x
º
A
a
c
En el ∆ABC, se cumple :
A
C
x=+
C z
b
-
Medida de los ángulos internos : , , . Medida de los ángulos externos : x, y, z. Perímetro de la región triangular ABC (2p∆ABC) 2p∆ABC = a + b + c
TEOREMA 3 En todo triángulo la suma de las medidas de los ángulos exteriores tomados uno por vértice es igual a 360º.
B
PROPIEDADES ADICIONALES
y
B
x
C
A
x=++
D
z
x
A
En el ∆ABD, se cumple : x + y + z = 360º
C
TEOREMA 4
En la figura se cumple:
En todo triángulo de un lado es mayor que la longitud se le opone al ángulo de mayor medida y viceversa (propiedad correspondencia).
C
B x
a
c
y A
A
D
En la figura ∆AOB y ∆COD presentan un ángulo interior opuesto por el vértice.
C
b
En el ∆ABC, si : a > b Entonces : >
+=x+y
O
B
Se cumple :
TEOREMA 5
B
En todo triángulo de un lado es mayor que la diferencia de las longitudes de los otros dos y menor que la suma de las mismas (propiedad de existencia).
C
x
x+y=+
y
A
D
B En la figura se cumple : a
c
B p < PA + PB + PC < 2p
C
A b
P
En el ∆ABC : a > b > c Se cumple :
b–c<a<b+c
A
C En la figura, P es un punto inferior al ∆ABC, se cumple :
p : perímetro de la región ABC
2
d) 90º
NIVEL 2
EJERCICIOS DE APLICACIÓN 6.
(Propiedades Básicas y Clasificación) NIVEL 1 1.
2.
30º
b)
10º
c)
18º
d)
72º
e)
36º
B
2xº
xº 7. A
D
E
C
110º
b)
130
c)
100
d)
120
e)
150
120º
x +20º
xº
8. 3.
4.
Calcular “x” a)
15º
b)
20º
c)
30º
d)
45º
e)
60º
xº
2º º 9.
Calcular el menos valor entero de “x” Si : el ∢ABC el agudo :
Además : L1 a)
46º
b)
47º
c)
44º
d)
98º
e)
89º
L2 º º
A
º
C 5.
L1
B
º
b) 30º
50º
b)
55º
c)
60º
P
d)
65º
e)
70º
50º
E xº L2
70º
Q
xº R
A
En la figura : L1
a)
100º
b)
140º
c)
130º
d)
120º
e)
150º
C
L2
B
L1
P º
a)
15º
b)
30º
c)
45º
d)
75º
e)
60º
80º
A
C
O
L2 Q
Calcular “x” Si : AD = AR ; AP = DR
D A
P
R
Si la diferencia de las medidas de 2 ángulos exteriores de un triángulo es igual al complemento de la medida del ángulo interior ubicado en el tercer vértice. Hallar la medida de un ángulo interno del triángulo. a) 30º d) 75º
Determinar el menor ángulo interno de un triángulo, sabiendo que las medidas de los ángulos externos forman una progresión aritmética de razón 30º. a) 15º
a)
Si : AB = BC, Calcular “”
Calcular “x” a)
En un triángulo ABC, isósceles que se muestra (AB = BC) y se sabe que el triángulo PQR es equilátero. Calcular “x”. B
Calcular “x”, si : AD = BD BE = EC a)
e) 120º
b) 45º e) 90º
c) 60º
10. De la figura, calcule “x + z” a)
110º
b)
280º
c)
220º
d)
240º
e)
320º
º 40º zº º º
xº
º
c) 60º 3
NIVEL 3
Ejercicios Complementarios
11. Del gráfico, calcular ”x” a)
40º
b)
70º
c)
60º
d)
50º
e)
55º
º
40º
NIVEL 1
º
º
xº
1.
º º
a) 10º
º
a)
10º
b)
15º
c)
30º
d)
35º
e)
37º
d) 40º e) 60º
xº
C
2.
M
10º
b)
20º
c)
40º
d)
45º
e)
50º
º º
40º
Calcular “x” xº
a) 90º b) 60º A
P
N
B
d) 20º º
60º
e) 10º
º 100º
3.
xº
c) 45º
13. Del gráfico, calcular “x” a)
xº
c) 30º
Q
S 45º
20º
º º
b) 20º
12. En la figura : AP = PS y BM = BN Calcular “x”
Calcular “x”
xº
xº
Calcular “x” 60º
a) 170º b) 150º
xº
º
º º
º
c) 115º d) 120º
14. En la figura, el ∆ABC, gira mantenido un lado en la recta “L”, si A’ y A’’, son las posiciones de A.
e) 100º
xº º º
170º
º º
Calcule la medida del ángulo que determinan AA' y la bisectriz interior del ángulo de vértice A’’.
4.
Calcular “x”. 70º
a) 85º B
b) 65º
A’
c) 55º d) 45º
L’ C
A
a) 45º + º d) 90º + 2º
b) 90º + º e) 90º +
c) 90º +
3º
A’’ º 2
2
e) 35º 5.
AC , desde el cual se traza MN perpendicular a AB . (“N” es AB ). Luego se ubica en “P” en la
región exterior y relativa a BC , tal que :
º º
º
Calcular “xº + yº + zº” a) 120º
15. En un triángulo equilátero ABC. Se ubica “M” en
xº
º
b) 135º
º º º xº
c) 270º d) 90º e) 180º
yº º º º
zº
NP BC = S y m∢BNS = m∢NMP. Calcular la
m∢NPM: a) 30º d) 75º
b) 60º e) 90º
c) 45º 4
NIVEL 2 6.
e)
En un triángulo ABC, AC = 10. Calcule el mínimo valor entero del perímetro de la región triangular ABC. a) 5 d) 21
7.
b) 10 e) 11
yº º
º
d) 1/3
xº
º
e) 2
A
M
H
º
º
El perímetro de un triángulo rectángulo es 36. Calcular el mínimo valor entero de la hipotenusa.
º
c) 115º d) 110º
En un ∆ABC, AB = 9, BC = 12 y m∢BAC + m∢BCA < 90º. Calcular la diferencia de los valores enteros máximo y mínimo que puede tomar AC .
A
50º
b)
70º
c)
110º
d)
130º
e)
140º
D
b) 10
º
d) 4
E
b)
15º
c)
20º
d)
25º
2º
A
C
15. Del gráfico, calcule “x + y”. Si la región sombreada tiene perímetro mínimo.
40º
B
B C
yº xº
A
D A
a) º + º 2º
b) c)
º º
Q
P
11. En el gráfico calcule “x” 10º
C
B
a) 14
NIVEL 3
a)
º
M
14. Dado el triángulo ABC. Calcular “x”; si : AD = 4, BD = 3
e) 3
a)
º º
c) 7
d) 4 e) 3
10. En el gráfico, AB = BC = CD Calcule “x”
º º
º
2º
e) 130º
d) 15 e) 16
a) 7 b) 6 c) 5
C
B
a) 145º b) 120º
9.
N
13. Calcular “x” , si : AM = MC
º
a) 12 b) 13 c) 14
º º
c) 1/2
d) 34º
8.
”
º º
b) 1
c) 32º 58º
º
a) 3
b) 30º
e) 36º
12. En el gráfico, calcule “
c) 20
En la figura. Calcule (xº - yº) a) 28º
35º
º
2 3 3 2
(º + º)
xº
º O
R
d) 360º-(º + º)
º º e) 180º - 2
(º + º)
xº 20º
5
TRIÁNGULOS II – LÍNEAS NOTABLES
NIVEL 2
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
6. En la figura, calcule “x” NIVEL 1
a) 10º
1. En la figura; calcular “x” a)
108º
b)
54º
c)
72º
d)
36º
e)
44º
º
c) 65º xº
º
d) 35º
º
º
º º 2º
º
e) 45º º
7. En la figura, calcule “x”
72º
2. Calcular “x” 55º
b)
60º
c)
45º
d)
40º
e)
10º
100º
b)
120º
c)
130º
d)
150º
e)
170º
xº
c) 15º
B
bº A
100º
b)
80º
c)
125º
d)
150º
e)
250º
85º
b)
75º
c)
70º
d)
65º
e)
60º
º
º
70º
8. En la figura AB
C
CD ; Calcule “x” A
a) 125º xº
60º
c) 115º
xº
C
D
º º
º º
º º
a) 52º b) 48º
xº º
c) 44º º º
º º
170º
40º
9. Del gráfico, calcule “x” ;
100º
xº
B
º+10º
e) 20º
60º
º
b) 155º d) 100º
100º º º
º
aº
d) 42º
º
e) 40º
º
º
º
º 20º
º
º
10. Del gráfico, calcular “x”
5. Calcular “x” a)
º
e) 20º
aº
bº
º º
d) 10º
80º
4. Calcular “x” a)
xº
30º
b) 30º
3. Calcular “x” a)
70º
º
a) 35º
a)
xº º
60º
b) 20º
a) 110º º
b) 90º
º
c) 70º
º º
d) 20º xº
40º
80º
e) 10º
º º º
xº º
º º+º º
125
NIVEL 3 11. En el gráfico, AB = BC Calcule “x” a)
45º
b)
120º
c)
60º
d)
70º
e)
37º
Ejercicios Complementarios
xº
NIVEL 1
C
A
º
º
1.
º 2º
º
2º
b) 80º
12. Determine “x”, Si : L1
c) 40º
L2 son mediatrices de
AB y BC .
B
L2
2.
c) 20º
P
Q
C
xº
a) 90º
º
b) 100º
e) N.A.
º
3.
B
130º
P
E
c) 8
e) 20
A
Calcular “x” a) 15º
2º
c) 45º
3
d) 60º
2º
º º
e) 75º C
15. Según el gráfico, calcular el valor “x”
5.
2
a) 110º
150º
º
xº
2
c) 60º d) 75º 2º
30º
40º
b) 35º
xº
c) 130º
º
Calcular “x”; a) 30º
b) 120º
C
Q
b) 30º
x
d) 9
xº
d) 40
P
7
b) 7
e) 95º
B
c) 50
4.
º
Del gráfico, calcular “x”
b) 25
xº
B y C; respectivamente.
d) 150º
C
a) 60º
BP y CP son bisectrices exteriores de los ángulos
A
º
A º
14. Calcular “x”; si es un valor entero máximo.
a) 3
º
º
º
c) 120º d) 130º
80º
e) 55º
º
50º
c) 35º d) 75º
13. Calcular “x”
B
xº
b) 45º A
º
Del gráfico, calcular “x” a) 60º
d) 36º
e) 10
xº
e) 10º
xº
b) 15º
º
d) 20º
75º
L1
e) 45º
50º
º
a) 100º
B
a) 30º
Calcular “x”
º
e) 45º
3
º º
2º
xº
7
NIVEL 2 6.
NIVEL 3
En el gráfico. Calcular “x” a) 15º b) 20º
11. Del gráfico, Calcular “x” º º
xº
120º
bº bº
c) 25º d) 30º
mº
e) 35º
7.
aº 2aº
mº
De la figura; 3º = 5º Calcular “x”
º º
c) 30º
b)
8º
c)
10º
d)
5º
e)
2º5’
a) 90º-
xº
º
b) 15º
15º
b) 45º+
º
d) 20º
c) 45º-
45º
e) 35º
d) 90º+ 8.
Calcular “x” ; 2aº
a) 135º b) 115º c) 112,5º d) 52,5º e) 22,5º 9.
e) 45ºaº
b 2b
º
5(m∢AED) = 6(m∢ADC) y m∢BAD = 70º; Calcular la m∢CAD 44º
b)
24º
c)
14º
d)
15º
e)
10º
100º
b)
150º
c)
90º
d)
180º
e)
270º
º
2º
2 º
º º
2 º 4 º
4 º
º
º
mº xº º º º mº
2
º xº º
B
º
D
C
2xº
º º
b)
360º
c)
300º
d)
270º
e)
100º
º º º yº xº
º º º
zº º º º
a)
27º
b)
45º
c)
30º
d)
36º
e)
18º
º º
xº
nº nº
mº
xº
º mº
º
15. En el gráfico, calcular “x”
6xº
º
180º
14. Calcular “x”
º A
a)
E
10. Según el gráfico mostrado: Calcular : “º +º” B a)
xº
º 13. De la figura, calcular : xº + yº + zº
De la figura :
a)
30º
º
º
xº
º º º
20º
12. De la figura, calcular “x”; en función de “” 45º
a) 25º
a)
xº
º º º
a)
150º
b)
110º
c)
120º
d)
100º
e)
135º
º
xº
º
º º xº
8
TRIÁNGULOS III
Primer Caso (L.A.L)
PROPIEDADES DE LA MEDIATRIZ
º
L
E
º
Siendo:
L
mediatriz
de AB se cumple:
Segundo Caso (A.L.A)
º
EA = BE
B
º
º
º
M
A
PROPIEDAD EN EL TRIÁNGULO ISÓSCELES
B
º º
Tercer Caso (L.L.L)
Altura Mediana Bisectriz Segmento de mediatriz
BH A
H
C
PROPIEDAD DE LA BASE MEDIA
B
Cuarto Caso (A.L.LM) M
º
O
A
Siendo P
B
BN = NC
Si: E y F son puntos medios. Se cumple: Q
la
OP
º º
C
º
PROPIEDADES DE LA BISECTRIZ
A
Si: M es punto medio de AB y MN // AC Se cumple:
N
bisectriz de AOB se cumple PA = PB
OA = OB
EF =
PR 2
E
P
F
R 9
PROPIEDAD DE LA MEDIANA TRIÁNGULO RECTÁNGULO
EN
b
b
EL
5
53º/2
2b
B Si: BM es mediana relativa a AC. Se cumple: M
A
C
k
k
37º/2
3k
AC 2
BM =
10
n
76 º
17
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES 14º
45º a
a
2
a
60 º
2a
74 º
4n
25a 16º
45 º
a
7a
n
a
24a
30 º
3
B
a 53º
5a
3a
75 º
A
C
4a
37º
4a
15º
H
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
a)
24, 12 2 , 5
b)
5, 10,
c)
16, 6 2 , 5
d) 6 2 , 5, 18
2
e) 3 2 , 12, 5
NIVEL 1 B
2. Calcular “x”
1. Calcular “x”, en cada caso.
a
a) 127º 53º
x
20
45º
6
a+b
c) 45º d) 40º e) 30º
x
c
b) 135º
º A
xº
º b
D
x 30º 10 10
3. Calcular “x”
7. Dado el triángulo ABC isósceles (AB = BC) se toma
B
un punto de la prolongación de AC y se traza las
16
a) 16
distancias hacia los lados iguales del triángulo
C
b) 20
isósceles, calcular la altura. Trazada de uno de los
c) 12
vértices de los ángulos iguales. Si dicho punto
x
d) 15 e) 5
53º
4. Calcular “x”; L 1
dista de los lados iguales 8 y 3. Respectivamente.
º º
A
L2 son mediatrices de AB y BC
respectivamente.
a) 11
b) 8
d) 4
e) 3
8. Calcular “x”. Si : AB = 6 , AH = 2 B
B
a) 10º
a) 2
70º
b) 4
b) 20º
xº
L1
c) 30º
c) 5
x
c) 6
L2
º º
d) 8
d) 40º
e) 3
e) 50º P
A
A
5. Calcular “AC”, si PQ = 6
M
e) 48
L1
L2
son mediatrices
Si : m∢BOA = m∢COD, Calcular :
b) 3 d) 24
gráfico
de
BD y AC , respectivamente. B
c) 12
C
H
C
Q
9. En el
a) 6
D
a)
N P
b)
Q C
A
L2
1
AB CD
B
C
3
L1
1 2
c) 3
A
d) 1
0
e) 2
D
NIVEL 2 6. Si: AB = BC; Calcular “AH” Si; además : PQ = 4 y PR = 6
10. En el gráfico, HBMN es un cuadrado y AB = a, calcule HP. B
B
M
a) 6 b) 4
P
c) 2
H
d) 10 e) 12
Q A
37º/2
R P
A
C
a) b) c)
H
a 10 2 a 1 30 10 a 10 3
N
C
d) a 13 e)
a 10 5
13
NIVEL 3 11. Según la figura; BQ
MN
Ejercicios Complementarios
Si : BQ = AN, MN = a y QN = b Calcule “AC” B
a) a+b
1. Calcular “x” xº
º
b) 2a+b
M
c) 2b+a d) 2b–a e) 2a–b
º
º
A
N
Q
12. En la figura AC = CD = DE y BM = MC. Además si : BE = 20 y MQ = 6. Calcule “x” a)
2
Q
53º
c)
M
2
xº
37º
d)
2
A
15º
C
D
E
13. En la región exterior y relativa a BC , de un triángulo ABC, se construye un triángulo equilátero BCP. Si : m∢BAC = 60º, AB = 10 y AC = 30. Calcule la suma de las distancias de “P” a
AB y AC . a) 40 3
b) 20 3
d) 18 3
c) 15 3
e) 10 3
14. En un triángulo ABC, se traza la mediana BM , luego se traza la perpendicular AH a BM , si : AH = 16m y HM = 15m. Calcule “HC” a) 30m d) 34
b) 31 e) 17
c) 16
15. De la figura mostrada. Calcular “x” Si : AD = CD (Sugerencia : Prop. Cuadrilátero cóncavo). a) 10º b) 5º
2xº
c) 15º e) 18º
2xº
xº A
D
a)
3
d) 120º + 2º e) 120º - 3º
b)
2
c)
6
d)
5
e)
10
B
º A
C
Q
x
P º
C
3. Calcular “x” a)
12
b)
6 2
c)
3 2
d)
4
e)
3
B M 6 x 45º
A
C
N
4. Determine “x”; AB = 4, AD = 8 y CD = 3 a)
115
b)
135
c)
127
d)
143
e)
153
a)
18
b)
9
c)
3
d)
6
e)
12
C
B xº
º º
A
5. Calcular “x”
B
d) 30º
a) 120º - º b) 120º + º c) 120º - 2º
2. Calcular “x” ; AC = 16 , AB = 10
45º
b)
e)
B
37º
º
C
D
B
º
º N
x E 3 A
M
º P
C
14
NIVEL 2
NIVEL 3 11. Calcular “x” ; Si : AB = BC = AD
6. Calcular “BN”. Si : AF = 5, BC = 17. ( MN : Mediatriz de AC ). B
a)
16
b)
12
c)
8
d)
6
e)
3
d) 122º
F
8
c)
10
d)
13
e)
26
3
b)
4
c)
6
d)
8
e)
10
C
M
M
N
A
P
N
8
B
5
5
30º A
D
F
x
9. Si : AB = BC , AP = 2 , BM = 8 y CQ = 4 Calcular “PQ” B a)
10
b)
6
c)
8
d)
12
e)
5
A
M
Q
10. Si : AB = 10, BC = 8, BP = 1 Calcular : “MP”
b)
4
c)
6
d)
7
e)
8
B
a)
1
b)
2
c)
1,5
d)
0,5
e)
2,5
E
A
º º
D H
C
13. Del gráfico, AP = 3 y CQ = 4 Calcular : AC a)
5
b)
6
c)
5 2
d)
7
e)
8
C 45º
A
P
Q
B
a)
3
b)
6
c)
12
d)
6 2
e)
3 2
B
D
º
45º
45º A
6 2
H
C
15. En un cuadrado ABCD de lado 4m, sobre AB, BC y CD , se toman los puntos P, Q y R.
C
2
12. Del gráfico, calcular “DH”. Si : BE = 2
14. Del gráfico, calcular “DH”
C
P
a)
A D
8. Del gráfico, Calcular “x” a)
96º
e) 142º
B
b)
xº
c) 132º
N
7. Calcular el perímetro de la región triangular MNP; AB = 6, BC = 8 y AC = 12 6
C
60º
b) 112º
A
a)
B
a) 120º
Respectivamente. Tal que : PQ = QR = y m∢PQR = 90º.
M
Si : AP = 1, RD = 3. Calcular la m∢QDC.
P
a) 37º d) 30º B
b) 45º e) 60º
c) 53º
A
15