Tema 1

TEMA 1: CONJUNTO DE LOS NĂšMEROS REALES INTRODUCCIĂ“N El conjunto formado por los nĂşmeros racionales y los irracionales se llama conjunto de nĂşmeros reales y se designa por R. Con los nĂşmeros reales podemos realizar las mismas operaciones que hacĂ­amos con los nĂşmeros racionales: sumar, restar, multiplicar y dividir (salvo por el cero) y se siguen manteniendo las mismas propiedades.

TambiĂŠn podemos extraer raĂ­ces de cualquier Ă­ndice (salvo raĂ­ces de Ă­ndice par de nĂşmeros negativos) y el resultado sigue siendo un nĂşmero real. Eso no ocurrĂ­a con los nĂşmeros racionales.

CLASIFICACION DE LOS NĂšMEROS

NĂšMEROS RACIONALES E IRRACIONALES Los nĂşmeros racionales son los que se pueden poner como cociente de dos nĂşmeros enteros. Su expresiĂłn decimal es exacta o periĂłdica.

NĂşmeros irracionales son los no racionales, es decir, los que no pueden obtenerse como cociente de dos nĂşmeros enteros. Su expresiĂłn decimal es infinita no periĂłdica.

Hay infinitos nĂşmeros irracionales, algunos de los cuales son especialmente interesantes. Veamos algunos: - La diagonal del cuadrado de lado 1: √2 - Si p no es cuadrado perfecto, √đ?‘? es irracional.

- En general, si p es un nĂşmero entero y đ?‘›âˆšđ?‘? no es un nĂşmero entero (es decir, p no es una potencia n- ĂŠsima), entonces đ?‘›âˆšđ?‘? es irracional.

PASAR DE FRACCIĂ“N A DECIMAL Para obtener la expresiĂłn decimal de una fracciĂłn, se efectĂşa la divisiĂłn del numerador entre el denominador.

FRACCIÓN GENERATRIZ Todo decimal periódico puede expresarse en forma de fracción que llamaremos fracción generatriz del decimal en cuestión. En estos casos no es necesario aplicar la fórmula sino que resulta mås sencillo proceder de la siguiente manera: 

Decimal exacto.- Se divide por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales hay.



Decimal periĂłdico puro.- En el numerador se escribe la diferencia entre la parte entera seguida del periodo y la parte entera, en el denominador tantos nueves como cifras tiene el periodo.



Decimal periĂłdico mixto.- En el numerador se escribe la parte entera seguida de las cifras hasta acabar el primer periodo menos la parte entera seguida de las cifras hasta comenzar el periodo, en el denominador tantos nueves como cifras tiene el periodo seguidos de tantos ceros como cifras hay entre la coma y el comienzo del periodo.

Ejercicios de aplicaciĂłn: 1. Clasifica los siguientes nĂşmeros como racionales o irracionales: 5

3

- 2 ; √8 ; √8 ; 0,34 ;

đ?œ‹ 2

2. Hallar la fracciĂłn generatriz de: A) 71,52 B) 853,11 C) 4,9368 D) 2,375 E) 43,6 F) 4,36

LA RECTA REAL Todo número real queda representado por un punto de la recta y, recíprocamente, a todo punto de la recta le corresponde un número real. Observa en el gráfico como asignar un punto de la recta a un número irracional como π, mediante una sucesión de intervalos encajados.

Esto permite definir una relación de orden en el conjunto de los números reales:  Dados dos números reales, a y b, diremos que a es menor que b, a < b, si al representarlos a está a la izquierda de b.  También podemos decir que los números a la derecha del cero son los positivos y los de la izquierda son los negativos, y a es menor que b si la diferencia b – a es positiva.

Para designar algunos tramos de la recta real, existe una nomenclatura especial:

Ejercicios de aplicación: 1. Representar en la recta numérica los siguientes números: 2 ; 3

5 ; 7

7 ; 4

√2;

√10;

√26

2. Escriba como intervalo el conjunto definido sobre la recta real:

3. Representa en la recta real cada uno de los siguientes intervalos y semirrectas:

4. Escribe en forma de intervalo o semirrecta y representa en la recta real los números que cumplen la desigualdad indicada en cada caso:

5. Representa en una misma recta las semirrectas: Hallar 6. Representa en la recta real:

VALOR ABSOLUTO Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo.

Ejercicios de aplicación: 1. Resolver y representar gráficamente lo siguiente: a) l x l ≤ 3 b) l x l ˃ 3 c) l x - 6 l ≤ 7 d) l 5 - x l ≤ l 3 +x l e) 3 l 2x-9 l ˃ 27 e) l 2x + 6 l + 9 ≤ 7