Tema 1 5to

TEMA 1: LEYES DE EXPONENTES Son definiciones y teoremas que estudian a los exponentes

a

través

de

operaciones

3.

de

Exponente Negativo

x n 

potenciación y radicación.

 n

a =P

a: base, a  R n: exponente n  Z P: potencia P  R

Ejm.: 

4 = 16,

x

; ;  x  R – {0}  n  Z

n

la base es

______________

la potencia

1

3 2  -3



(-4)



1   2

2

3



1 9

=

4



Sabías que: El cero es uno de los mayores aportes de los hindús y se difundió en Europa a partir del Siglo XII

el exponente es ______________ ______________

TEOREMAS I)

Sabías que: Rene Descartes creo la Notación de los Exponentes para la potenciación.

BASES IGUALES 1.

Multiplicación m

n

Ejm.:

1.



2 .2 =2



x



3 .3 =



x

Exponente Natural

xn  x . x . .......... ......x 

;xRnZ

m+n

a .a =a

DEFINICIONES

+

n veces

4

n+4

2

n

4

=x .x

4

a+c

6

3

=

Ejm.:

2.

5



b =b.b.b.b.b



1   2



(-3) =

4

2.

am Ejm.: 

; xR–{0} 

Ejm.:  

0

4 =1 0

(-3) = 1

 am  n ;  a  0

an

Exponente Cero 0

División



3

x =1

+

Ejm.:

POTENCIACIÓN

2

1

0

-2 = 

0

(-2) =

1

34 32

 32

x x 3  55 53



xx

x3



2x-1

x

=

II) EXPONENTES IGUALES 3.

2 22 4 2    2  9 3 3



Multiplicación n

n

x4



a . b = (ab)

3

n

3    5



Ejm.:

4.

4 4 4



x y z = (xyz)



(2b) = 2 . b

3

3

4

III) EXPONENTE DE EXPONENTE

3

([a] ) 

m n P

2 2 2



m n p =



(3x) =

4

División

an

a n    bn  b 

; b0

Ejm.: 

x3

x    3 y y



24

2 3

 a mnp

6



(3 ) = 3 = 729



x



{(2 ) } =



x

2.2.5

2 2 5

= {(x ) }

2 3 4

2.3.5

=

3

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1.

2.

3.

Reducir: M 

152 . 25 . 49

4.

352 . 452

a)

1 3

b)

d)

1 5

e) 5

Simplificar: N 

1 2

c)

M

1 9

d) 1/2

e) 1/5

5. c) 1/3

d) 4

e) 5

54

63

e) x

c) 3

2

57

c) x

51

Simplificar:

2

Calcular: F  32

b) 2

b) x

1    1  2 N 

31 258

a) 1

x . x3 . x5 . x 7 .......x37

60

d) x

2n  4

b) 3

x 4 . x6 . x8 . x10 ........x 40

a) x

2n  4  2n 3

a) 2

Efectuar:

1

1    1  3   

3

a) 287

b) 281

d) 123

e) 435

1

1    1  4  

1

4

c) 235

6.

Halle el exponente final de “x”. "b" veces

a bc

(x )

. (x

 ) . x ac . x ac ......x ac

12.

bc a

7.

b) 1

d) 3

e) 4

Si: x x

x

c) 2

13.

b) 1/2

2

e)

Si: ba  5  a b 

4

1 2

b) 32

d) 35

e) 33

14.

50

b) 7

41

e) 1

A

E

 ED

b) B

d) D

e) E

Reducir: E 

c) C

xm  n  mn  x2m 2n xm  n  mn  x2mn

2(m+n-mn)

b) x m+n-mn

c) x

e) No se puede  5    n

n Si: n = 1/9. Hallar: E  n 2 

a) 243

b) 81

d) 1

e) 729

c) 1/81

c) 34 15.

 7 60   Calcular: E  72 . 7 50 . 49  42   77   

d) 7

a) A

d) x

2

a) 30

a) 6

E

Conociendo que: CD  A ; CB

a) 1

c) 4

a 1 Calcular: R  ab

9.

e) 24

c) 15

Reducir: S  AB

x xx  x

a) 2

8.

d) 20

2

Calcular: P  x

d)

b) 21

E CD

(( x3a )b )c

a) 0

a) 18

54

c) 7

55

Calcular: P 

2a  2 . 4 a  2b 8a 2 . 16b  2

a) 1

b) 2

c) 4

d) 1/2

e) 1/4

Ejercicios complementarios 10.

n

m

Si: 2 = 3 ; reducir: L

11.

52 . 2n  2n 1  32 . 2n 3m  3  22 . 3m 1

a) 3/4

b) 4/3

d) 2/9

e) 7/5

Si: x 

1.

36 . 102 . 27 64 . 5

c) 6/5

1 3 x

Hallar el valor de:  1    x  1   x   W  x     x    

Reducir: T 

2.

 1 x   x   1   x      x    

3

a) 6

b) 9

d) 15

e) 5

Simplificar: E 

c) 3

2n 3  2n 2  2n 1 2n 2

a) 1/2

b) 3/2

d) 4/5

e) 7/6

c) 5/2

3.

4.

9 4

Calcular: A  27 a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

b) x

10

e) x

1

7.

10.

1

b) 20 e) 32

 ( 1)2003 11.

c) 25

e) 5

x

34

y

Si: 3 = 7 ; reducir: 3x 1  7 y 1  3x

7 y  7 . 3x  3 . 7 y

a) 0

b) 1

d) 3

e) 4

c) 2

b

Si: ab = b = 2 ab

a) 16

b) 16a

( ab )c  a (ba )b  c

d) 4a

e) 8a

b) b/a

d) a/b

e) 1

36

35

(ba a b ) c

a) 1/ab

c) 5

Hallar el equivalente de: E  abab

c) ab

12.

Si se cumple que: 2 22

Calcular: M  22

22

c) 4

+ 1024 = 1024a

 ((22 ) 4 ) 0.5 a

x

Si: x = 3 x 1

a) 3

b) 9

d) 1/3

e) 81

Si: ba  5

a b 



13.

1 2

b) a

d) -16

e) -4a 1 x

x-1

b) 27

-1

e)

d) 3

a) 10

b) 20

d) 30

e) 35

a) 96

b) 6

d) 48

e) 56

c) 25

14.

c) 3/2

2

2

Si: x = 2 entonces: S  x x  x x  x x

b) 6

c) a

Si: x x  31 entonces x x a) 3

b 1

a) 81

2

a) 1

c) 27

Calcular:   ba

15.

31

C

1    1  2 

d) 30

Calcular: R  x x

8.

b) 5

9

a) 15

Simplificar: T 

30

d) 5

c) 2x

  2

3

 5 36   Calcular: L  54 . 530 . 29  4   25    a) 5

Simplificar: 1    1  3 A 

6.

c) 3

x . x3 . x5 . x 7 . x9

5

d) x

9.

x2 . x 4 . x6 . x8 . x10

Efectuar: M 

a) x

5.

21

x

es igual a:

c) 12 4

Calcular: A 

3

es equivalente a:

-1

c) 3

3

4 x  3  4 x  2  4 x 1

22x 1  22x 2  22x 3

-1/3

2

d) 2x (3)

e) 21  x

RADICACIÓN

n

Ejm.:

n: es el índice; n  N  n  2

a b

a: es el radicando b: es la raíz enésima

3

(27)2 / 3  (  27 )2  (3)2  9



25

-3/2



64

4/3

=

=

TEOREMAS

Ejm.: 

3



I)

125  5 ,

el índice es

______________

RAÍZ

DE

UNA

INDICADA

el radicando ______________

n

la raíz cúbica ______________



4.

 x  y  yn  x

; nN  n2



(x  R, además, cuando n es par, x  0)

3

2.3 

3

5 .

4

8 .

3 4

 

25  5  52  25

3

3



16  2 

5.

3



; n0

Ejm.: 1 /2

4



1/3

=

1/4

=



27



81

2

81 3

10 2x 3

1 n (x) n  x

n

y

2.

3

3

32 

n n

x y

;

y0

Ejm.:

 8  2 

4

x .

25 

y





3

n x 

2

n

II) RAÍZ DE UNA DIVISIÓN

Ejm.: 

xy 

Ejm.:

DEFINICIONES

n

MULTIPLICACIÓN

3

2 16

3

81 3  27  3 3





III) RAÍZ DE RAÍZ

4 2

m n p



6. m n n (x) n  ( x )m  xm

 ; n0

 5

4 5 6 3

2 

120

3  5 4

1 024 

x 

2

m.n.p

x



CASOS ESPECIALES 

m

xr .

n

ys .

p

zt 

m. n. p

3

x2

3

x2 

x x x 



xr.n.p . y s.p . zt

3

x2

m

xa 

n

xb 

p

xc 

x2 

5

x4 

6

x7 

x

x

mnp

x(an b)p  c

Ejm.: Ejm.: 



S a b c m

x

a n

x

b p



x

c



m. n.p

x

3

x 

( an  b)p  c

Ejm.:

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

16.

Reducir: N 

a)

12

d) a 17.

M

18.

3 2

a

a 47

4

a3 .

a5 c) a3

46/12

b) a

11

e) a

3 4

7  22 .

24

a

7

7 2 

a) 0

b) 1

d) 4

e) N.A.

3

24

72

73 8

73

c) 2

21.

b) 1

d) 3

e) 4

Calcular: I  3

d) 2

3

3

b)

2

72a  21

1

c) 2

23 3

3

27

5

240

8

c)

3

4

e) 1

45 factores

  

3

a b

4

22

2

c) 3

e) 5

a b

a) 0

a)

b) 2 a b

e) 2

7

12 Reducir: R  a 1  2 a

Calcular: S 

d) 7

c) 3,5



a

d) 4

b) 10

3  1   3  3 20. Calcular: T  64  ( 32) 5     

47

3 24

a) 1

12 11

Reducir:

a) 1

19.

.

22. Efectuar: A 

72b

x .

3

x . x .......... x    44 factores

7 a b

6

3

x .......... x



x 3 x 1

6

b) x

-4

e) x

a) x

d) x

9

d) x

c) x

e)

-7

29. Simplificar: P  23. Calcular: S  n

ab

7  n  3 n b) 3

d) 1/7

e) 1/3

a) 1

b) x

d) 3x

e) 0

E

2

n

xn  1

n

a) 0,2

b) 0,4

d) 0,8

e) 1,4 6 56 56

a) 1

20

c) 0,6

6

d) n

6 56

c) 2x

20

x2n 3 ....... x19n 20

20

b) n +1

56

– 20

c)

n20  20 n20

e) 1

6

16.

c) 3

Reducir: R 

4 .

4

5

4

4 .

3

20

4 .

4 4

e) 6

a

26. Si: a = a + 1 a

a Calcular el valor de: E  a ( a  1)( a 1)

a a+1

e) a

17.

-a

b

  a b x     b x  

b) 2x

d) –x

e) x/4

6

x.

b) 0

d) 1/4

e) 1

   

c) x/2

12

x.

20

15

5 3

5 5

b) 2

d) 1

e) 3

19.

x .......... ... c) 2/x 7

Reducir: N  b

5

6

60

5 .

60

c) 0

1  3b 1  3 b

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

Calcular: P 

52

10

a) 4

a

18.

c) 4

Reducir:

c) a

a) x

28. Reducir: W  x .

b) 1/2

M

1 1 1   a b ab

 a b x Reducir: N    ax 

a) 2

a-1

b) a

d) a

a) 1/x

xc  a

Ejercicios complementarios

b) 2

27. Sabiendo que:

ac

n

n

xn  2

a) n

a) a

xbc .

30. Indique el exponente final de “x” al reducir:

2

5

bc

c) 21

2 10n  6n 24. Simplificar: T  n 2 2 25n  15n

d)

x a b .

7n  3n

a) 7

25. Reducir: R 

x

22 . (1 1)

c) 3

2y x y

x y

 (1 1)

1 1x  y

2x x y

5

a) 7

b) 10

d) 22

e) 21

c) 13 a) 1

b) 5

d) 20. Calcular: Q 

21.

3

1

642

1

 83

a) 4

b) 6

d) 2

e) 8

3

4

Calcular: S  ( x2

d) x

2

 162

c) 1 a

26. Sabiendo que: a = 2

5

x3

3 4 5

x4 ) (

2

a) 1/x

b) 1/x

2

e)

Calcule: N 

x)

c) x

a 1

2 a a (a a  a )a

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

k 27. Reducir: M  (9  3    48 radicales



8

x .

8

8

x .......... x .

8

x

3 3 3 x . x .......... x x 10 xx.    96 radicales

2

a) x d) x

3

23. Calcular: E  20

e) x

20

2

k 12

a) 1

b) 0,3

d) 0,037

e) 0,012

k .  27   

k4  1 ) 3

c) 0,1

28. Dar el equivalente de: 5

E

3

b) x 4

c) 3

x

22. Efectuar:

F

5 5

e)

5

c) 1/5

c) x

x .

5 8

x .

8 11

x .......

5

a) x d)

20

3

b)

6

x

e)

320  220

29. Hallar: H  n a) 6

b) 1/6

d) 4

e) 5

50

a) 0,9

b) 0,1

d) 0,01

e) 100

n

25. Calcular el valor de: R 

4

5

5.

5 4

4

x

4

4n

2

b) n

c) 2

e) 1

M

d) n

5

5

8

n nn

n

n nn  n

.

n

a) n 4

x

30. Efectuar: c) 10

5

n 2

d) 1/2

2 2 2 52n 1  45(25)n 24. Calcular: T  n 2n2 1

4

3

2n 1

c) 1 a) 2

c)

x

b) n 0

e) n

2

n n nn  n nn  1 

  n

c)

n

n