TEMA 1: LEYES DE EXPONENTES Son definiciones y teoremas que estudian a los exponentes
a
través
de
operaciones
3.
de
Exponente Negativo
x n
potenciación y radicación.
n
a =P
a: base, a R n: exponente n Z P: potencia P R
Ejm.:
4 = 16,
x
; ; x R – {0} n Z
n
la base es
______________
la potencia
1
3 2 -3
(-4)
1 2
2
3
1 9
=
4
Sabías que: El cero es uno de los mayores aportes de los hindús y se difundió en Europa a partir del Siglo XII
el exponente es ______________ ______________
TEOREMAS I)
Sabías que: Rene Descartes creo la Notación de los Exponentes para la potenciación.
BASES IGUALES 1.
Multiplicación m
n
Ejm.:
1.
2 .2 =2
x
3 .3 =
x
Exponente Natural
xn x . x . .......... ......x
;xRnZ
m+n
a .a =a
DEFINICIONES
+
n veces
4
n+4
2
n
4
=x .x
4
a+c
6
3
=
Ejm.:
2.
5
b =b.b.b.b.b
1 2
(-3) =
4
2.
am Ejm.:
; xR–{0}
Ejm.:
0
4 =1 0
(-3) = 1
am n ; a 0
an
Exponente Cero 0
División
3
x =1
+
Ejm.:
POTENCIACIÓN
2
1
0
-2 =
0
(-2) =
1
34 32
32
x x 3 55 53
xx
x3
2x-1
x
=
II) EXPONENTES IGUALES 3.
2 22 4 2 2 9 3 3
Multiplicación n
n
x4
a . b = (ab)
3
n
3 5
Ejm.:
4.
4 4 4
x y z = (xyz)
(2b) = 2 . b
3
3
4
III) EXPONENTE DE EXPONENTE
3
([a] )
m n P
2 2 2
m n p =
(3x) =
4
División
an
a n bn b
; b0
Ejm.:
x3
x 3 y y
24
2 3
a mnp
6
(3 ) = 3 = 729
x
{(2 ) } =
x
2.2.5
2 2 5
= {(x ) }
2 3 4
2.3.5
=
3
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1.
2.
3.
Reducir: M
152 . 25 . 49
4.
352 . 452
a)
1 3
b)
d)
1 5
e) 5
Simplificar: N
1 2
c)
M
1 9
d) 1/2
e) 1/5
5. c) 1/3
d) 4
e) 5
54
63
e) x
c) 3
2
57
c) x
51
Simplificar:
2
Calcular: F 32
b) 2
b) x
1 1 2 N
31 258
a) 1
x . x3 . x5 . x 7 .......x37
60
d) x
2n 4
b) 3
x 4 . x6 . x8 . x10 ........x 40
a) x
2n 4 2n 3
a) 2
Efectuar:
1
1 1 3
3
a) 287
b) 281
d) 123
e) 435
1
1 1 4
1
4
c) 235
6.
Halle el exponente final de “x”. "b" veces
a bc
(x )
. (x
) . x ac . x ac ......x ac
12.
bc a
7.
b) 1
d) 3
e) 4
Si: x x
x
c) 2
13.
b) 1/2
2
e)
Si: ba 5 a b
4
1 2
b) 32
d) 35
e) 33
14.
50
b) 7
41
e) 1
A
E
ED
b) B
d) D
e) E
Reducir: E
c) C
xm n mn x2m 2n xm n mn x2mn
2(m+n-mn)
b) x m+n-mn
c) x
e) No se puede 5 n
n Si: n = 1/9. Hallar: E n 2
a) 243
b) 81
d) 1
e) 729
c) 1/81
c) 34 15.
7 60 Calcular: E 72 . 7 50 . 49 42 77
d) 7
a) A
d) x
2
a) 30
a) 6
E
Conociendo que: CD A ; CB
a) 1
c) 4
a 1 Calcular: R ab
9.
e) 24
c) 15
Reducir: S AB
x xx x
a) 2
8.
d) 20
2
Calcular: P x
d)
b) 21
E CD
(( x3a )b )c
a) 0
a) 18
54
c) 7
55
Calcular: P
2a 2 . 4 a 2b 8a 2 . 16b 2
a) 1
b) 2
c) 4
d) 1/2
e) 1/4
Ejercicios complementarios 10.
n
m
Si: 2 = 3 ; reducir: L
11.
52 . 2n 2n 1 32 . 2n 3m 3 22 . 3m 1
a) 3/4
b) 4/3
d) 2/9
e) 7/5
Si: x
1.
36 . 102 . 27 64 . 5
c) 6/5
1 3 x
Hallar el valor de: 1 x 1 x W x x
Reducir: T
2.
1 x x 1 x x
3
a) 6
b) 9
d) 15
e) 5
Simplificar: E
c) 3
2n 3 2n 2 2n 1 2n 2
a) 1/2
b) 3/2
d) 4/5
e) 7/6
c) 5/2
3.
4.
9 4
Calcular: A 27 a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
b) x
10
e) x
1
7.
10.
1
b) 20 e) 32
( 1)2003 11.
c) 25
e) 5
x
34
y
Si: 3 = 7 ; reducir: 3x 1 7 y 1 3x
7 y 7 . 3x 3 . 7 y
a) 0
b) 1
d) 3
e) 4
c) 2
b
Si: ab = b = 2 ab
a) 16
b) 16a
( ab )c a (ba )b c
d) 4a
e) 8a
b) b/a
d) a/b
e) 1
36
35
(ba a b ) c
a) 1/ab
c) 5
Hallar el equivalente de: E abab
c) ab
12.
Si se cumple que: 2 22
Calcular: M 22
22
c) 4
+ 1024 = 1024a
((22 ) 4 ) 0.5 a
x
Si: x = 3 x 1
a) 3
b) 9
d) 1/3
e) 81
Si: ba 5
a b
13.
1 2
b) a
d) -16
e) -4a 1 x
x-1
b) 27
-1
e)
d) 3
a) 10
b) 20
d) 30
e) 35
a) 96
b) 6
d) 48
e) 56
c) 25
14.
c) 3/2
2
2
Si: x = 2 entonces: S x x x x x x
b) 6
c) a
Si: x x 31 entonces x x a) 3
b 1
a) 81
2
a) 1
c) 27
Calcular: ba
15.
31
C
1 1 2
d) 30
Calcular: R x x
8.
b) 5
9
a) 15
Simplificar: T
30
d) 5
c) 2x
2
3
5 36 Calcular: L 54 . 530 . 29 4 25 a) 5
Simplificar: 1 1 3 A
6.
c) 3
x . x3 . x5 . x 7 . x9
5
d) x
9.
x2 . x 4 . x6 . x8 . x10
Efectuar: M
a) x
5.
21
x
es igual a:
c) 12 4
Calcular: A
3
es equivalente a:
-1
c) 3
3
4 x 3 4 x 2 4 x 1
22x 1 22x 2 22x 3
-1/3
2
d) 2x (3)
e) 21 x
RADICACIÓN
n
Ejm.:
n: es el índice; n N n 2
a b
a: es el radicando b: es la raíz enésima
3
(27)2 / 3 ( 27 )2 (3)2 9
25
-3/2
64
4/3
=
=
TEOREMAS
Ejm.:
3
I)
125 5 ,
el índice es
______________
RAÍZ
DE
UNA
INDICADA
el radicando ______________
n
la raíz cúbica ______________
4.
x y yn x
; nN n2
(x R, además, cuando n es par, x 0)
3
2.3
3
5 .
4
8 .
3 4
25 5 52 25
3
3
16 2
5.
3
; n0
Ejm.: 1 /2
4
1/3
=
1/4
=
27
81
2
81 3
10 2x 3
1 n (x) n x
n
y
2.
3
3
32
n n
x y
;
y0
Ejm.:
8 2
4
x .
25
y
3
n x
2
n
II) RAÍZ DE UNA DIVISIÓN
Ejm.:
xy
Ejm.:
DEFINICIONES
n
MULTIPLICACIÓN
3
2 16
3
81 3 27 3 3
III) RAÍZ DE RAÍZ
4 2
m n p
6. m n n (x) n ( x )m xm
; n0
5
4 5 6 3
2
120
3 5 4
1 024
x
2
m.n.p
x
CASOS ESPECIALES
m
xr .
n
ys .
p
zt
m. n. p
3
x2
3
x2
x x x
xr.n.p . y s.p . zt
3
x2
m
xa
n
xb
p
xc
x2
5
x4
6
x7
x
x
mnp
x(an b)p c
Ejm.: Ejm.:
S a b c m
x
a n
x
b p
x
c
m. n.p
x
3
x
( an b)p c
Ejm.:
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
16.
Reducir: N
a)
12
d) a 17. M
18.
3 2
a
a 47
4
a3 .
a5 c) a3
46/12
b) a
11
e) a
3 4
7 22 .
24
a
7
7 2
a) 0
b) 1
d) 4
e) N.A.
3
24
72
73 8
73
c) 2
21.
b) 1
d) 3
e) 4
Calcular: I 3
d) 2
3
3
b)
2
72a 21
1
c) 2
23 3
3
27
5
240
8
c)
3
4
e) 1
45 factores
3
a b
4
22
2
c) 3
e) 5
a b
a) 0
a)
b) 2 a b
e) 2
7
12 Reducir: R a 1 2 a
Calcular: S
d) 7
c) 3,5
a
d) 4
b) 10
3 1 3 3 20. Calcular: T 64 ( 32) 5
47
3 24
a) 1
12 11
Reducir:
a) 1
19.
.
22. Efectuar: A
72b
x .
3
x . x .......... x 44 factores
7 a b
6
3
x .......... x
x 3 x 1
6
b) x
-4
e) x
a) x
d) x
9
d) x
c) x
e)
-7
29. Simplificar: P 23. Calcular: S n
ab
7 n 3 n b) 3
d) 1/7
e) 1/3
a) 1
b) x
d) 3x
e) 0
E
2
n
xn 1
n
a) 0,2
b) 0,4
d) 0,8
e) 1,4 6 56 56
a) 1
20
c) 0,6
6
d) n
6 56
c) 2x
20
x2n 3 ....... x19n 20
20
b) n +1
56
– 20
c)
n20 20 n20
e) 1
6
16.
c) 3
Reducir: R
4 .
4
5
4
4 .
3
20
4 .
4 4
e) 6
a
26. Si: a = a + 1 a
a Calcular el valor de: E a ( a 1)( a 1)
a a+1
e) a
17.
-a
b
a b x b x
b) 2x
d) –x
e) x/4
6
x.
b) 0
d) 1/4
e) 1
c) x/2
12
x.
20
15
5 3
5 5
b) 2
d) 1
e) 3
19.
x .......... ... c) 2/x 7
Reducir: N b
5
6
60
5 .
60
c) 0
1 3b 1 3 b
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
Calcular: P
52
10
a) 4
a
18.
c) 4
Reducir:
c) a
a) x
28. Reducir: W x .
b) 1/2
M
1 1 1 a b ab
a b x Reducir: N ax
a) 2
a-1
b) a
d) a
a) 1/x
xc a
Ejercicios complementarios
b) 2
27. Sabiendo que:
ac
n
n
xn 2
a) n
a) a
xbc .
30. Indique el exponente final de “x” al reducir:
2
5
bc
c) 21
2 10n 6n 24. Simplificar: T n 2 2 25n 15n
d)
x a b .
7n 3n
a) 7
25. Reducir: R
x
22 . (1 1)
c) 3
2y x y
x y
(1 1)
1 1x y
2x x y
5
a) 7
b) 10
d) 22
e) 21
c) 13 a) 1
b) 5
d) 20. Calcular: Q
21.
3
1
642
1
83
a) 4
b) 6
d) 2
e) 8
3
4
Calcular: S ( x2
d) x
2
162
c) 1 a
26. Sabiendo que: a = 2
5
x3
3 4 5
x4 ) (
2
a) 1/x
b) 1/x
2
e)
Calcule: N
x)
c) x
a 1
2 a a (a a a )a
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
k 27. Reducir: M (9 3 48 radicales
8
x .
8
8
x .......... x .
8
x
3 3 3 x . x .......... x x 10 xx. 96 radicales
2
a) x d) x
3
23. Calcular: E 20
e) x
20
2
k 12
a) 1
b) 0,3
d) 0,037
e) 0,012
k . 27
k4 1 ) 3
c) 0,1
28. Dar el equivalente de: 5
E
3
b) x 4
c) 3
x
22. Efectuar:
F
5 5
e)
5
c) 1/5
c) x
x .
5 8
x .
8 11
x .......
5
a) x d)
20
3
b)
6
x
e)
320 220
29. Hallar: H n a) 6
b) 1/6
d) 4
e) 5
50
a) 0,9
b) 0,1
d) 0,01
e) 100
n
25. Calcular el valor de: R
4
5
5.
5 4
4
x
4
4n
2
b) n
c) 2
e) 1
M
d) n
5
5
8
n nn
n
n nn n
.
n
a) n 4
x
30. Efectuar: c) 10
5
n 2
d) 1/2
2 2 2 52n 1 45(25)n 24. Calcular: T n 2n2 1
4
3
2n 1
c) 1 a) 2
c)
x
b) n 0
e) n
2
n n nn n nn 1
n
c)
n
n