Escuela de Talentos
0
TEMA 1: LEYES DE EXPONENTES Son definiciones y teoremas que estudian a los exponentes
a
través
de
operaciones
2.
0
de
x =1
potenciación y radicación.
n
a: base, a R
3.
n: exponente n Z
0
4 =1
(-3) = 1
-2 =
0
0
(-2) =
Exponente Negativo
x n
1 x
; ; x R – {0} n Z
n
+
Ejm.:
Ejm.: 2
4 = 16,
la base es
______________
el exponente es ______________ la potencia
______________
Sabías que: Rene Descartes creo la Notación de los Exponentes para la potenciación.
Exponente Natural
xn x . x . .......... ......x
;xRnZ
n veces
3 2
(-4)
1 2
-3
1
2
3
1 9
=
4
Sabías que: El cero es uno de los mayores aportes de los hindús y se difundió en Europa a partir del Siglo XII
DEFINICIONES 1.
0
P: potencia P R
; xR–{0}
Ejm.:
POTENCIACIÓN
a =P
Exponente Cero
+
TEOREMAS I)
BASES IGUALES 1.
Multiplicación
Ejm.:
m
n
m+n
a .a =a 5
b =b.b.b.b.b
1 2
(-3) =
4
3
Escuela de Talentos
Ejm.: 4
2
2 .2 =2
x
3 .3 =
n+4 4
n
6 4
=x .x 3
1
2.
a+c
x
an
a n b b
=
am
am n ; a 0
an
32
53
x 3 y y
32
x4
xx
x3
2x-1
24
3
3 5
x
3
2 22 4 2 2 9 3 3
x x 3 55
x3
Ejm.: 34
III) EXPONENTE DE EXPONENTE
=
([a] )
m n P
II) EXPONENTES IGUALES 3.
Multiplicación n
n
a . b = (ab)
4 4 4
x y z = (xyz)
(2b) = 2 . b
m n p =
(3x) =
3
3
2 3
a mnp
6
(3 ) = 3 = 729
x
{(2 ) } =
x
n
Ejm.:
4.
; b0
Ejm.:
División
n
4
3
2.2.5
2 2 5
= {(x ) }
2 3 4
2.3.5
=
2 2 2 4
División
EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1.
2.
Reducir: M
152 . 25 . 49 352 . 452
a)
1 3
b)
d)
1 5
e) 5
Simplificar: N
1 2
3. c)
1 9
2n 4 2n 3
4.
2n 4
a) 2
b) 3
d) 1/2
e) 1/5
Escuela de Talentos
c) 1/3
1 83
Calcular: F 3225 a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
Efectuar: M
x 4 . x6 . x8 . x10 ........x 40 x . x3 . x5 . x 7 .......x37
2
60
b) x
54
63
e) x
a) x
d) x 5.
L
1
2
1 1 3
1
3
a) 287
b) 281
d) 123
e) 435
1 1 4
1
11.
4
(( x3a )b )c
b) 1
d) 3
e) 4 x
a) 2
2
8.
9.
10.
4
a) 18
b) 21
d) 20
e) 24 E
a) A
b) B
d) D
e) E
14.
e) 33
c) 34
15.
7 60 Calcular: E 72 . 7 50 . 49 42 77 50
b) 7
41
e) 1
54
Reducir: E
d) x
ba 1
d) 35
1 x x 1 x x
c) 15
A
Conociendo que: CD A ; CB
a) 1
1 2
b) 32
n
1 3 x
c) 7
E
ED
xm n mn x2mn
55
b) x m+n-mn
c) C
xm n mn x2m 2n
c) 4
2
a) 30
d) 7
Si: x
Reducir: S A
13.
Si: ba 5 a b
a) 6
e) 7/5
x xx
e)
Calcular: R a
d) 2/9
c) 6/5
DE BC
c) 2
b) 1/2
d)
12.
2
Calcular: P x x
b) 4/3
1 x 1 x W x x
"b" veces
a) 0
a) 3/4
c) 235
Halle el exponente final de “x”.
Si: x x
3m 3 22 . 3m 1
Hallar el valor de:
(x a )bc . (xbc ) a . x ac . x ac ......x ac
7.
52 . 2n 2n 1 32 . 2n
51
Simplificar: 1 1 2 N
6.
57
c) x
2(m+n-mn)
c) x
e) No se puede
5 n Si: n = 1/9. Hallar: E n 2 n
a) 243
b) 81
d) 1
e) 729
Calcular: P
c) 1/81
2a 2 . 4 a 2b 8a 2 . 16b 2
a) 1
b) 2
d) 1/2
e) 1/4
c) 4
m
Si: 2 = 3 ; reducir:
Escuela de Talentos
3
Ejercicios complementarios 1.
2.
3.
4.
Reducir: T
36 . 102 . 27
b) 9
d) 15
e) 5
b) 3/2
d) 4/5
e) 7/6
b) 2
d) 4
e) 5
3
b) x
10
e) x
7
.x
c) 2x
11.
1 1 2
d) 30
e) 32
Simplificar: T
1
( 1)2003
c) 25
b) b/a e) 1
x
34
c) 5
36
35
y
Si: 3 = 7 ; reducir: 3x 1 7 y 1 3x
7 y 7 . 3x 3 . 7 y
a) 0
b) 1
d) 3
e) 4
c) 2
b
Si: ab = b = 2
a) 16
b) 16a
d) 4a
e) 8a
Si se cumple que: 2
13.
x 1
22
c) 4
+ 1024 = 1024a
((22 ) 4 ) 0.5 a 2
a) 1
b) a
d) -16
e) -4a
c) a
1 x
Si: x x 31 entonces x x a) 3
b) 9
e) 5
22
c) ab
x
a) 3
31
Calcular: M 22
Si: x = 3 Calcular: R x x
12.
( ab )c a (ba )b c
d) a/b
b) 5
ab
(ba a b ) c
a) 1/ab
30
Hallar el equivalente de: E abab
2
b) 20
c) 25
5 36 Calcular: L 54 . 530 . 29 4 25
C
9
9
a) 15
e) 35
c) 3
Simplificar: 1
b) 20
d) 30
a) 5
10.
5
5
1 2
a b
a) 10
d) 5
x.x .x .x
3
7.
c) 5/2
x2 . x 4 . x6 . x8 . x10
1 1 3 A
6.
9.
21
a) 1
a) x
5.
c) 3
a) 1/2
Calcular: A 27
Si: ba 5
b 1
2n 2
9 4
e) 81
Calcular: ba
2n 3 2n 2 2n 1
Simplificar: E
d) x
8.
64 . 5
a) 6
Efectuar: M
d) 1/3
x-1
b) 27
-1
e)
d) 3
3
-1
es equivalente a: c) 3
-1/3
3
c) 27
Escuela de Talentos
4
RADICACIÓN
n
25
-3/2
64
4/3
=
=
n: es el índice; n N n 2
a b
a: es el radicando
TEOREMAS
b: es la raíz enésima
I)
RAÍZ
DE
UNA
MULTIPLICACIÓN
INDICADA Ejm.:
3
n
125 5 ,
el índice es
______________
xy
n
x .
n
y
Ejm.:
el radicando ______________
la raíz cúbica ______________
DEFINICIONES
3
2.3
3
5 .
4
8 .
3 4
3
2.
3
3
25 32
4. n
x y yn x
; nN n2
II) RAÍZ DE UNA DIVISIÓN n x
(x R, además, cuando n es par, x 0)
y
4
3
2
25 5 5 25
3
n
8 2
3
3
1 n n (x) x
; n0
3
2x
16 2
5.
81
10
y0
3
2 16
III) RAÍZ DE RAÍZ m n p
41 / 2
27
81
1/3
1/4
2
4 2
=
4 5 6 3
=
n
(x) n ( x )m
n
xm
; n0
120
x
m.n.p
x
2
3 1 024
CASOS ESPECIALES
Ejm.:
2
5 4
6.
;
y
81 3 27 3 3
3
Ejm.:
m
x
Ejm.:
Ejm.: 2
n
m
xr .
n
ys .
p
zt
m. n. p
xr.n.p . y s.p . zt
3
(27)2 / 3 ( 27 )2 (3)2 9
Escuela de Talentos
5
m
xa
n
xb
p
xc
x2
5
x4
6
x7
x
x
Ejm.:
S a b c m
x
a n
x
b p
x
c
x
( an b)p c
Ejm.: 3
x2
3
x2
3
x(an b)p c
Ejm.:
m. n.p
mnp
3
x
x2
x x x
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1.
Reducir: N
3 2
a
.
4
a3 .
a5
5. a)
12
d) a
2. M
3.
a 47
c) a3
46/12
b) a
11
e) a
12 11
a
47
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
Reducir: 3 4
7 22 .
24
73
24
7 2
a) 0
b) 1
d) 4
e) N.A.
3
24
72
73 8
73
6.
Calcular: I
3
a)
c) 2
3
2
d) 2
3
b)
b) 2
d) 4
e) 5 a b
Calcular: S
a) 1
b) 10
d) 7
e) 2
3
27
5
240
3
8
c)
3
4
45 factores
3
Efectuar: A
c) 3
72a 21 a b
23
e) 1
2
1 2a Reducir: R a 1 2 a
a) 1
4
22
7
7.
4.
1
3 1 3 3 Calcular: T 64 ( 32) 5
a b
3
3
x .......... x
x . x .......... x
x 3 x 1
44 factores
72b
6
b) x
-4
e) x
a) x
7 a b
d) x c) 3,5
Escuela de Talentos
x .
8.
Calcular: S n
9
c) x
-7
7n 3n
7 n 3 n
6
9.
a) 7
b) 3
c) 21
d) 1/7
e) 1/3
15. Indique el exponente final de “x” al reducir:
n2
E
n2
2 10 6 Simplificar: T n 2 2 25n 15n
n
xn 1
n
20
b) 0,4
d) 0,8
e) 1,4
10. Reducir: R
6 56 56
6
20
b) n +1
– 20
c)
n20 20 n20
e) 1
Ejercicios complementarios
56
b) 2
5
d) n
6 56
a) 1 d)
c) 0,6
x2n 3 ....... x19n 20
20
a) n a) 0,2
n
n
xn 2
c) 3
1.
6
Reducir: R
4 .
4
5
4
4 .
3
20
4 .
4 4
e) 6
11. Si: aa = a + 1 a
a Calcular el valor de: E a ( a 1)( a 1)
a
b) a
a+1
e) a
a) a
d) a
12. Sabiendo que:
2.
b
a b x b x
e) x/4
x.
a) 1/x
b) 0
d) x
e) ab
15
5 3
5 5
52
10
12
b) x
d) 3x
e) 0
x.
20
3.
x .......... ...
4.
c) 2/x x bc
a) 4
b) 2
d) 1
e) 3
a
c) x/2
x a b .
a) 1
xbc .
ac
xc a
5.
c) 4
Reducir:
-a
d) –x
14. Simplificar: P
e) 1
c) a
b) 2x
6
d) 1/4
a-1
a) x
13. Reducir: W x .
b) 1/2
M
1 1 1 a b ab
a b x Reducir: N ax
a) 2
Reducir: N b
d) 4
e) 5
22 . (1 1)
60
c) 0
a) 7
b) 10
d) 22
e) 21
1
642
c) 3
2y x y
x y
3
5 .
1 3 b
b) 2
Calcular: Q
5
60
1 3b
a) 1
Calcular: P
6
(1 1)
2x x y
1 1x y
c) 13
1
83
2
162
c) 2x
Escuela de Talentos
a) 4
b) 6
c) 1
7
5
d) 2
6.
3
2 4
Calcular: S ( x
7.
3 5
x
3 4 5
x4 ) (
2
a) 1/x d) x
11. Sabiendo que: aa = 2
e) 8
b) 1/x
2
e)
x)
c) x
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
48 radicales
8
x .
8
8
x .......... x .
3
8
x
3
3
x . x .......... x x 10 xx. 96 radicales
e) x
Calcular: E
20
20
2
d) 0,037
e) 0,012
5
E
c) x
d)
20
3
e) 5
6
x
e)
c) 1 a) 2
k4 1 ) 3
c) 0,1
x .
8 11
x .......
50
a) 0,9
b) 0,1
d) 0,01
e) 100
10. Calcular el valor de: R
b) 5
4 4
5.
5 4
4
4
3
x
x
4
4n
2
b) n
c) 2
e) 1
15. Efectuar: M
5
d) n
n nn
n
n nn n
.
n
a) n 5
n 2
n
c) 10
5
c)
x
2n 1
d) 1/2
2 2 2 52n 1 45(25)n Calcular: T n 2n2 1
e)
5 8
b)
320 220
d) 4
5
x .
a) x
b) 1/6
d)
k . 27
5
a) 6
a) 1
b) 0,3
14. Hallar: H n
9.
k 12
a) 1
3
b) x 4
c) 3
13. Dar el equivalente de:
2
a) x
8.
a 1
2 a a (a a a )a
k 12. Reducir: M (9 3
d) x
3
x
Efectuar:
F
Calcule: N
b) n 0
e) n
n n nn n nn 1
n
c)
n
n
2
5
c) 1/5
5 5
Escuela de Talentos
8