Tema 2 4to by Edwin Cueva

TEMA 2: PRODUCTOS NOTABLES Son los resultados de multiplicar dos o más

4(p  q)r

N

polinomios, en forma directa sin necesidad de

(p  q)r

aplicar la propiedad distributiva.

N=2

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO 2

(a + b)  a + 2ab + b (a - b)  a - 2ab + b

DIFERENCIA DE CUADRADOS 2

(a + b) (a - b) = a – b

COROLARIO: IDENTIDADES DE LEGENDRE 2

(a + b) + (a - b) = 2(a + b ) 2

 4



(x + 3) (x - 3) =



(x + 4) (4 - x) =



(x + 5) (x - 5) =



(m + n + p) (m + n - p) =

(a + b ) – (a - b) = 4ab Ejm.: 

Observación: 2

(x + y)

(x + 3) + (x - 3) =

 x2 + y2

Siendo x, y no nulos. 

(x + 2) – (x - 2) =



(2x + y) + (2x - y) =



( 3  2 )2  ( 3  2 )2 

Calcular: 446 . 444 – 447 . 443

Sol. Haciendo: x = 445 La operación se convierte en:

Importante: (x - y)

(x + 1)(x - 1) – (x + 2)(x - 2)

 (y - x)2

Aplicando productos notables:

Desarrollando: 2

x – 2xy + y

x – 1 – (x - 4)

 y2 – 2yx + x2

Reduciendo términos semejantes: -1 + 4 = 3

Reducir: N

(p  q  r)2  (p  q  r)2

PRODUCTOS

(p  q) r

DOS

BINOMIOS

TÉRMINO COMÚN

Sol.

(x + a)(x + b)  x + (a + b)x + ab

Por Legendre: 2

(p + q + r) – (p + q - r) = 4 (p + q)r 1

CON





(x + 3) (x + 4)



(x - 4) (x – 5) 



(x + 2) (x - 4)



(x + 5) (x - 3) 

Entonces : 2

(x - 1) (x +2) (x - 3) (x + 4x) (x + 1) (x - 1) (x + 2) (x - 3) (x + 4) x



MULTIPLICANDO EN FORMA CONVENIENTE 2

(x + x)(x + x - 2)(x + x - 12)

Si: 2

Reemplazando:

x + x – 3 = 0. Calcule: 2

(3) (3 - 2) (3 - 12) = -27

(x - 1) (x + 2) (x - 3) (x + 4x)

DESARROLLO DE UN TRINOMIO AL CUADRADO

Sol.: 2

(a + b + c) = a + b + c + 2ab + 2ac + 2bc

De: x + x – 3 = 0  x + x = 3 

(x + y + 3)

 __________________________

____________________________________



 __________________________

(a + b - 2)

____________________________________

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1.

Efectuar: 2

P

E = (x + 2y) – (x – 2y) – 4xy

a) xy

b) 3xy

d) 6xy

e) 9xy

( 2  1)( 2  1)

a) 3 d) 6

c) 4xy 5.

b) 4 e) 7

Efectuar:

a) x

d) x a) 0

b) a

d) 2ab

e) ab

c) b 6.

Si:

N  ( 5  24  5  24 )

a) a) 6

b) 8

d) 12

e) 14

c) 10

Efectuar:

7. 2

c) x

e) 1

1 1 4   x y xy

Calcular: E 

El valor de:

b) n

c) 5

R = (x + n)(x - n)(x + n )(x + n )(x + n ) + n

Reducir: R = (a + b) – (b - a) + (a – 2b) – a – 4b

( 5  1)( 5  1)  ( 3  1)( 3  1)

x8 2 x  3y

x2  y2 xy b)



xy

x4 2

e) 1

Luego de efectuar:



(x  y)2 x2 c)

xy 2

E = (x + 1)(x + 2) + (x + 3)(x + 4) – 2x(x +

13.

P

Se obtiene:

a) 15

b) 14

d) 12

e) 11

d) n

14.

A = (x + x + 4)(x + x + 5) – (x + x + 3)(x + x + 6)

b) 0  A  1 c) 9.

d) 3

Calcular:

10.

27c  d

Si:

x+y

+ 10

x-y

x+y

+ 100

x-y

m2  (m  a)2  (m  b)2  (m  c)2 m2  a2  b2  c2

a) a + b + c

b) 1

d) abc

e) -1

b) m - 2n

e) m - n

a) m + 2n

c) a + b + c

d) m + n

c) m - n

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS

Hallar el valor numérico de: 1.

Para: x = 2 000

Efectuar: 2

3 2

2 2

R = (3x – 2y ) + (3y + 2x ) – 13(x – y )

a) 2001

b) 2002

d) 2004

e) 2005

c) 2003

3 3

b) -12x y

2 3

e) 1

a) 12x y d) 26y

Si: (x + y) = 4xy

Calcular el valor de:

a) x/2

b) x

d) x/3

e) 5 + x/2

c) 0

Efectuar: 2

N  x2000  y2000 

E = (x + y - 2) + (x + y + 3) – 2(x + y) - 13

xy xy

a) -4(x + y)

b) 6(x + y)

d) -4

c) 2x 3.

e) x

c) 2(x + y)

Efectuar: 3

12.

Calcular: T = 100

E  (x  4)( x  2)  1

11.

3( a  b)

b) 2

Si: m = 2a + 2b + 2c

E

e) 1 2

e) A es impar 15.

c) m

Si: (a + b + c + d) = 4(a + b)(c + d)

a) 1

A7  3

m m  m3  n6

b) n

d) A + 1 = 5

A 1  3

m m  m3  n6 .

Calcular: S 

Indicar lo correcto: a)

a) m

c) 13

Luego de efectuar: 2

Efectuar:

S  (2x5  3y3 )2  (3y3  2x5 )2  (2 4  2 )2

Reducir: 2

a) 36

b) -36

d) -30

e) -48

 (2 4  2 )2  24x5 y3

(x + 1)(x - 2)(x + 3)(x + 6) – [(x + 4x) – 9x(x + 4)]

5 3

a) 24x y

c) 30

5 3

d) 16 – 24x y 4. 3

5 3

b) 16

c) 24x y + 16 2 3

e) 12x y + 8

Si: x + y = 5; xy = 2; x > y

Hallar:

Q = (3x + y)(9x – 3xy + y ) + (2x - y)(4x + 2xy + y )

T  x2  y2  x  y  17 a) 2y a)

b) 3

d) 21

b) 19x 3

c)  17

d) 19x – 2y

c) 35x

e) 1

e) -21 2

11.

Efectuar: 2

Si: x + y = 2; x + y = 3; x > y

E = (x - 7)(x + 11) – (x + 3)(x - 3)(x + 13)

Hallar: 4

P=x–y+x +y -8

a) 40 2

a) 8

b) 2 2

d) -4

e) N.A.

d) 30x

2 12.

Efectuar:

3 4

Si: P(x, y) = 9x + 7mx y + 2x y + 25y

Sea un trinomio cuadrado perfecto.

a) 2

b) 4

d) 8

e) 10

c) 6

13.

b) 15

d) 2x

a) 2

b) -2

d) -6x

e) 6x + 2

c) 6x

Efectuar: 4

E  (x  4)(4  x)  ( x  1)( x  1)( x  1) 2

E = (x - 3) – x(x - 6)(x - 4)(x - 2) – 10x(x - 6) + 9

Efectuar:

a) x

T = (x + x + 3)(x + x + 2) – (x + x + 1)(x + x + 4)

Hallar “m” m  Z. 6

c) -22x

e) 40x

b) -40

c) 0

14.

a) 15

b) -72

d) 72

e) 90

Si:

e) 2

c) -90

a +b +c =2 (a + b + c)(1 + ab + bc + ca) = 32

Calcule: N = a + b + c 8.

Efectuar:

S  (x  y  3 )( x  y  3 )  (x  y  3 )( x  y  3 )

a) 4xy

b) 6

d) 4xy – 6

e) xy

b) 16

d) 64

e) 2

15.

x1  y 1  R  x   y   x  1    y 1

a) 4ac

b) -4ac

c) 2b 2

Para:

x

y

e) 2(a + b + c ) a) 1

Efectuar: d) 4

Hallar el valor numérico de:

Efectuar:

d) –b

c) 2(x + y )

T = (a + b - c) (a – b – c) + (a + b + c) (-a + b - c)

10.

a) 4

e) 5

5 3 3 2 3 2 5 3 b) 2

c) 3

CUBO DE UN BINOMIO

Despejando: 3



(a + b)

 a + 3a b + 3ab + b

(a + b)

(a - b)

SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS

Forma Abreviada

2 2

(a + b) (a – ab + b ) = a + b

 a3 - 3a2b + 3ab2 + b3

(a - b) (a + ab + b ) = a – b

Forma Desarrollada

 

P=1

 a3 + b2b + 3ab2 + b3 



P(P + 3) = 4

Forma Desarrollada

 

P + 3P = 4

 (x + 1) (x2 – x + 1) 

 a3 – b3 – 3ab(a – b)

 (x + 3) (x2 – 3x + 9) 

Forma Abreviada

 ( 3  1) ( 9  3  1)   (2x - 3) (4x2 + 6x + 9) 

Ejm.:

 Si: x + y = 6 xy = 7 3

Hallar: N = x + y

IDENTIDAD DE ARGAND

(x + xy + y ) (x – xy + y )  x + x y + y

Sol.: Recordando el producto notable. 3

Caso Particular:

(x + x + 1) (x – x + 1)  x + x + 1

(x + y) = x + y + 3xy(x + y) Reemplazando: 3

CUBO DE UN TRINOMIO

6 = x + y + 3(7)(6)

 (a + b + c)3  a3 + b3 + c3 + 3(a + b) (a + c)(b + c)

Despejando: 3

x + y = 6 – 3(7)(6)

 (a + b + c)3  a3 + b3 + c3 + 3(a + b + c)

x + y = 90

(ab + bc + ac) – 3abc

Ejm.:

 Si: x3 

4

IGUALDADES CONDICIONALES

1 Calcular: P  x  x

Si: a + b + c = 0 Se cumple:

Sol.:

 -2(ab + ac + bc)

 3abc

a +b +c

Recordando:

a +b +c

1 3 1 1   1  3  x    x  3  3(x)    x   x x x      x

Reemplazando: 3

P = 4 – 3(P)

Si quieres saber más entonces

aplica

 Si: a2 + b2 + c2  ab + ac + bc

Donde: a, b, c  R

ingenio.

Se demuestra que: a=b=c Caso Especial: Si: 2

a + b + c + ….. n = 0 Será posible si: a = b = c = ……… = n = 0

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 16.

Si:

a+b=5

20. Efectuar: 3

ab = 2 3

Calcular: a + b

17.

R( 7

b) 64

d) 81

e) 95

c) 78

a) R + 1 = 0 d) R + 1 = 3

1 5 x

21.

E  x3  x2 

a) 133

b) 121

d) 76

e) 98



Si: x 

25)  3

c) R  N

e) R – 1 = 7

2 1 

2 1

a) 10

b) 12

d) 16

e) 18

c) 14

22. Calcular el valor numérico de: 2

A = (a - b)[(a + b) + 2ab + (a - b) ] + 2b

Efectuar:

Si: Q 

a) 2

b) 4

d) 16

e) 12

a) x

b) 2

d) 54

e) 27

c) 2x

23. Si:

Reducir: 2

b) 18

d) 54

e) 27

a

b

c) 2x

c) 8

c 0

2 1

abc Entonces el valor de L    3  

(x + 3)(x – 3x + 9) + (x + 3x + 9)(x - 3) a) x

4 y b

3 3

P = (x + 1)(x – x + 1) – (x - 1)(x + x + 1)

35 

Hallar: M = x + 3x + 8

c) 89

19.

b) 2  R < 3

Calcular:

18.

5 ) ( 49 

Indique lo correcto:

a) 83

Si: x 

abc

a) (abc)

d) 3 abc

e) abc

es:

c) (abc)

24. Si:

x=a–b

30. Reducir:

y=b-c

F = (a + b - c) + (a – b + c) + 6a(a + b - c)(a – b + c)

z=c-a Calcular:  x2  y2  z2   M  x3  y3  z3   

a) -6

b) 3/4

d) 3/2

e) 1

a) 8a

  xyz    xy  xz  yz   

b) 8b

c) 8c

e) 0

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS

c) -2/3

d) 3abc

25. Sabiendo que: a; b; c  R 2

16.

Si:

x–y=3

(a - b) + (b - c) + (a - c) = 0

xy = 5

Calcular:

Hallar: E = x – y

a5  b5  c5 M4 ( a  b  c)5 a) 1

b) 3

d) 2

e) 1/2

a) 18

b) -18

d) 72

e) 27

c) 1/3 17.

Si:

x+y=2 2

x +y =3 ; x>y

26. Simplificar:

Hallar: E = x – y

(x  y)3  ( y  z)3  (z  x)3

E

c) -72

(x  y)( y  z)( x  z)

a) -3

b) 3

d) -1

e) 0

c) 1

27. Si: x = 1 y además x  1

18.

Calcular:

a) 5

b) 3

d) -3

c) -5

7 2 2

Simplificar: 3

E

x x

x6  1

a) 1

b) 2

d) -1/2

e) -2

28. Siendo x; y

 R que verifican:

c) 1/2 19.

b) b

d) 0

e) 3abc

e) 6

N  ( 5  1)( 25 

Calcular: xy

d) 5

c) c

c) 4

Calcular:

x + y + 10 = 6x + 2y

b) 3

a) a

a) 2

M = (a + b + c) – 3(a + b)(a + b + c)c – (a + b)

a) 0

b) 1

d) 3

e) 4

5  1)  4 c) 2

20. Multiplicar: 3

29. Sabiendo que: x + y = xy

P = (4x – 2x + 1)(2x + 1)

Calcular:

P

xy(x6  y6 )  2x 4 y 4  (2  xy)

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

b) 8x – 1

e) N.A.

a) 8x + 1 d) 9x -1

c) 3

c) 8x + 1

21.

Si: x + y = -z

26. Siendo: x + 4y + 9z = 0

Simplificar:

Según ello reducir: K

x 3  y 3  z3 xyz

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

22. Siendo:

xy 

N

c) 3

100 

x2  y2  1 

d) 31

e) 23abc

S = (x - y) – (x + y) b) 88

d) -100

e) -88

2 3 



(3z  x)2 xz

22 abc

2 3

Calcular:

Calcular el valor de:

a) 44

b) -36

27. Si: x 

(2y  3z)2



a) 42

10  1

(x  2y)2

R  x3  3x

c) 50

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

28. Si: (a + b) + 1 = (a + 1) (b + 1)

23. Hallar el valor numérico de:

Calcular:

( a  b)2  (b  c)2  (a  c)2 M 12

E

Si se sabe que:

ab  bc  3 a) 0

b) 1/5

d) 3/5

e) 4/3

c) 3/2

a2  1

d) 3

e) 4

b) 2

d) 3

e) 1

c) -1

-1

b

N = x – (x + x + 1)(x + x + 1)

a2  1

b2  1

a, b  R b) 1

a) 1/2

Calcular:

b2  1

a) 0

b3  b2

29. Si: 2x = 2 – x

24. Si: ab = 1. El valor de: Sa

a3  a2

c) 2

a) -1

b) 1

d) -2

e) 3

30. Si:

c) 2

a+b+c=1 2

a +b +c =2 25. Si se sabe que: 2

a +b +c =3 2

x + y + z = xy + xz + yz

Calcular: a + b + c

Calcular el valor de: M9

(x  y  z)10

a) 3/4

b) 5/2

d) 17/4

e) 25/6

a) 4

b) 3

d) 5

e) 2

y

z

c) 1

c) 2/5