Escuela de Talentos
1
TEMA 2: PRODUCTOS NOTABLES
Son los resultados de multiplicar dos o más polinomios, en forma directa sin necesidad de aplicar la propiedad distributiva.
Reducir: (p q r)2 (p q r)2
N
(p q) r
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO 2
2
2
2
2
2
(a + b) a + 2ab + b (a - b) a - 2ab + b
Sol. Por Legendre: 2
N
COROLARIO: IDENTIDADES DE LEGENDRE 2
2
4(p q)r (p q)r
4
N=2 2
2
(a + b) + (a - b) = 2(a + b ) 2
2
(p + q + r) – (p + q - r) = 4 (p + q)r
DIFERENCIA DE CUADRADOS
2
(a + b ) – (a - b) = 4ab
2
(a + b) (a - b) = a – b
2
Ejm.:
2
2
2
2
(x + 3) + (x - 3) =
(x + 3) (x - 3) =
(x + 4) (4 - x) =
(x + 5) (x - 5) =
(m + n + p) (m + n - p) =
(x + 2) – (x - 2) = 2
2
2
2
(2x + y) + (2x - y) =
( 3 2 )2 ( 3 2 )2 Observación: (x + y) Importante: (x - y)
2
x – 2xy + y
2
x2 + y2
Siendo x, y no nulos.
(y - x)2
Desarrollando: 2
2
Calcular: 2
2
y – 2yx + x
446 . 444 – 447 . 443
Sol. Haciendo: x = 445
Escuela de Talentos
2
La operación se convierte en: (x + 1)(x - 1) – (x + 2)(x - 2)
Entonces : 2
2
(x - 1) (x +2) (x - 3) (x + 4x) Aplicando productos notables: 2
(x + 1) (x - 1) (x + 2) (x - 3) (x + 4) x
2
x – 1 – (x - 4) Reduciendo términos semejantes:
MULTIPLICANDO EN FORMA CONVENIENTE 2
-1 + 4 = 3
2
2
(x + x)(x + x - 2)(x + x - 12) Reemplazando:
PRODUCTOS
DE
DOS
BINOMIOS
CON
(3) (3 - 2) (3 - 12) = -27
TÉRMINO COMÚN DESARROLLO DE UN TRINOMIO AL CUADRADO 2
(x + a)(x + b) x + (a + b)x + ab
(x + 3) (x + 4)
(x - 4) (x – 5)
(x + 2) (x - 4) 2
2
2
2
2
(x + y + 3)
__________________________
____________________________________
2
(x + 5) (x - 3)
2
(a + b + c) = a + b + c + 2ab + 2ac + 2bc
2
(a + b - 2)
__________________________
____________________________________
Si: 2
x + x – 3 = 0. Calcule: 2
2
(x - 1) (x + 2) (x - 3) (x + 4x)
Sol.: 2
2
De: x + x – 3 = 0 x + x = 3
Escuela de Talentos
3
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1.
Efectuar: 2
b) 14
d) 12
e) 11
a) xy
b) 3xy
d) 6xy
e) 9xy
8.
Luego de efectuar: 2
2
2
2
b) a
d) 2ab
e) ab
2
2
d) A + 1 = 5
A 1 3
b) 0 A 1
2
c) a) 0
2
Indicar lo correcto: a)
R = (a + b) – (b - a) + (a – 2b) – a – 4b
2
A = (x + x + 4)(x + x + 5) – (x + x + 3)(x + x + 6)
c) 4xy
Reducir: 2
c) 13
2
E = (x + 2y) – (x – 2y) – 4xy
2.
a) 15
3
e) A es impar
A7 3
c) b
9.
Si: m = 2a + 2b + 2c Calcular:
3.
El valor de:
E
N ( 5 24 5 24 )2
4.
a) 6
b) 8
d) 12
e) 14
Efectuar: P
a) a + b + c
b) 1
d) abc
e) -1
Efectuar:
2
4
4
8
2
2
Para: x = 2 000
c) 5
2
2
c) a + b + c
E (x 4)( x 2) 1
( 2 1)( 2 1)
b) 4 e) 7
m2 a2 b2 c2
10. Hallar el valor numérico de:
( 5 1)( 5 1) ( 3 1)( 3 1)
a) 3 d) 6
5.
c) 10
m2 (m a)2 (m b)2 (m c)2
8
a) 2001
b) 2002
d) 2004
e) 2005
c) 2003
16
R = (x + n)(x - n)(x + n )(x + n )(x + n ) + n 12
16
a) x
b) n
16
d) x
6.
Si:
16
+n
d)
7.
c) x
e) 1
11. Si: (x + y)2 = 4xy Calcular el valor de:
N x2000 y2000
1 1 4 x y xy
Calcular: E
a)
16
x8 2 x 3y
2
x2 y2 xy
b)
xy xy
(x y)2 2
x
x4 2
c)
xy 2
e) 1
Luego de efectuar: E = (x + 1)(x + 2) + (x + 3)(x + 4) – 2x(x + 5)
a) x/2
b) x
d) x/3
e) 5 + x/2
xy xy c) 2x
12. Reducir: 2
2
(x + 1)(x - 2)(x + 3)(x + 6) – [(x + 4x) – 9x(x + 4)] a) 36
b) -36
d) -30
e) -48
c) 30
Se obtiene:
13. Efectuar:
Escuela de Talentos
4
P
3
a) m d) n
3
m m m3 n6 .
a)
2
b) n
2
T x2 y2 x y 17
m m m3 n6
c) m
e) 1
5.
14. Si: (a + b + c + d)2 = 4(a + b)(c + d) Calcular: S
3( a b)
d) 3
e)
3
x+y
10
2x
+ 10
x-y
2
Hallar: 4
4
P=x–y+x +y -8
c)
3
3
2
6. 10
2
Si: x + y = 2; x + y = 3; x > y
27
b) 2
c) 17
e) -21
c d
a) 1
15. Si:
b) 3
17
d) 21
a) 8
b) 2 2
d) -4
e) N.A.
2
Hallar “m” m Z. 6
=m
c)
3 4
3 4
Si: P(x, y) = 9x + 7mx y + 2x y + 25y
8
Sea un trinomio cuadrado perfecto.
=n
Calcular: T = 100
x+y
+ 100
x-y
2
b) m - 2n
2
2
e) m - n
a) m + 2n d) m + n
2
c) m - n
7.
a) 2
b) 4
d) 8
e) 10
c) 6
Efectuar:
E (x 4)(4 x) ( x 1)( x 1)( x 1)
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
2
a) x
b) 15
d) 2x
1.
2
c) 0
e) 2
Efectuar: 2
3 2
3
2 2
4
6
R = (3x – 2y ) + (3y + 2x ) – 13(x – y )
8.
Efectuar:
S (x y 3 )( x y 3 ) (x y 3 )( x y 3 ) 3 3
2 3
b) -12x y
6
e) 1
a) 12x y d) 26y
2.
c) 0 a) 4xy
b) 6
d) 4xy – 6
e) xy
2
2
c) 2(x + y )
Efectuar: 2
2
2
E = (x + y - 2) + (x + y + 3) – 2(x + y) - 13
9.
Efectuar: T = (a + b - c) (a – b – c) + (a + b + c) (-a + b - c)
3.
a) -4(x + y)
b) 6(x + y)
d) -4
e) x
c) 2(x + y)
2
a) 4ac d) –b
Efectuar:
S (2x5 3y3 )2 (3y3 2x5 )2 (2 3
3
3
4 2 )2
(2 4 2 )2 24x5 y3 5 3 5 3
d) 16 – 24x y
4.
2 3
Si: x + y = 5; xy = 2; x > y Hallar:
Escuela de Talentos
2
2
e) 2(a + b + c )
2
c) 24x y + 16
e) 12x y + 8
2
2
2
2
2
Q = (3x + y)(9x – 3xy + y ) + (2x - y)(4x + 2xy + y ) 5 3
b) 16
2
c) 2b
10. Efectuar:
3
a) 24x y
b) -4ac
a) 2y
3
b) 19x 3
3
d) 19x – 2y
3
c) 35x
3
e) 1
11. Efectuar: 2
2
2
E = (x - 7)(x + 11) – (x + 3)(x - 3)(x + 13)
5
2
14. Si: a) 40
b) -40 2
d) 30x
c) -22x
12. Efectuar: 2
2
2
T = (x + x + 3)(x + x + 2) – (x + x + 1)(x + x + 4) a) 2
b) -2
d) -6x
e) 6x + 2
c) 6x
4
E = (x - 3) – x(x - 6)(x - 4)(x - 2) – 10x(x - 6) + 9 b) -72
d) 72
e) 90
d) 4
e) 5
(a + b + c)(1 + ab + bc + ca) = 32
a) 4
b) 16
d) 64
e) 2
Para:
3
3 2 3 2
y
c) -90
5 3 b) 2
3
3
(a + b)
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Forma Desarrollada
a3 + b3 + 3ab(a + b)
3
(a - b)
a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 Forma Desarrollada
3
(a - b)
3
Ejm.:
Si: x3
1
4
x3
Calcular: P x
Forma Abreviada
c) 3
x + y = 90
32
5 3
x
CUBO DE UN BINOMIO (a + b)
3
15. Hallar el valor numérico de:
a) 1
c)
x1 y 1 R x y x1 y 1
13. Efectuar:
a) 15
2
Calcule: N = a + b + c
e) 40x
2
2
a +b +c =2
2
a3 – b3 – 3ab(a – b)
1 x
Sol.: Recordando:
1 3 1 1 1 3 x x 3 3(x) x x x x x Reemplazando: 3
P = 4 – 3(P)
Forma Abreviada Despejando:
Ejm.:
3
P + 3P = 4
Si: x + y = 6
2
P(P + 3) = 4
xy = 7 3
Hallar: N = x + y
P=1
3
SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS
Sol.: Recordando el producto notable. 3
3
3
(x + y) = x + y + 3xy(x + y)
2
3
3
2
2
3
3
(a - b) (a + ab + b ) = a – b
Reemplazando: 3
3
3
6 = x + y + 3(7)(6) Despejando: 3
2
(a + b) (a – ab + b ) = a + b
3
3
x + y = 6 – 3(7)(6)
Escuela de Talentos
(x + 1) (x2 – x + 1) (x + 3) (x2 – 3x + 9)
6
3
3
3
( 3 1) ( 9 3 1)
Si: a2 + b2 + c2 ab + ac + bc
2
(2x - 3) (4x + 6x + 9)
Donde: a, b, c R Se demuestra que:
IDENTIDAD DE ARGAND 2
2
2
a=b=c 2
4
2 2
(x + xy + y ) (x – xy + y ) x + x y + y
4
Caso Particular: 2
2
4
Caso Especial: Si:
2
(x + x + 1) (x – x + 1) x + x + 1
2
2
2
2
a + b + c + ….. n = 0 CUBO DE UN TRINOMIO 3
3
3
Será posible si:
3
(a + b + c) a + b + c + 3(a + b) (a + c)(b + c) a = b = c = ……… = n = 0
(a + b + c)3 a3 + b3 + c3 + 3(a + b + c) (ab + bc + ac) – 3abc
IGUALDADES CONDICIONALES Si: a + b + c = 0 Se cumple: 2
2
2
-2(ab + ac + bc)
3
3
3
3abc
a +b +c a +b +c
Si quieres saber más entonces
aplica
tu
ingenio.
Escuela de Talentos
7
EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1.
Si:
a+b=5 ab = 2 3
Calcular: a + b
2.
3
Si: Q 3
a) 83
b) 64
d) 81
e) 95
c) 78
8.
4 y b
3 3
2 1
a) 2
b) 4
d) 16
e) 12
Si:
3
a
3
b
3
c) 8
c 0
abc Entonces el valor de L 3
1 Si: x 5 x
Calcular:
E x3 x2
a) 133
b) 121
d) 76
e) 98
1
x2
2
1
x3 c) 89
9.
3
b)
d) 3 abc
e) abc
Si:
es:
3
abc
a) (abc)
3
c) (abc)
x=a–b y=b-c z=c-a
3.
Calcular:
Efectuar: 2
x2 y2 z2 M x3 y3 z3
2
P = (x + 1)(x – x + 1) – (x - 1)(x + x + 1) 3
4.
a) x
b) 2
d) 54
e) 27
3
c) 2x
Reducir: 2
2
(x + 3)(x – 3x + 9) + (x + 3x + 9)(x - 3)
5.
a) x
3
b) 18
d) 54
e) 27 3
3
3
5 ) ( 49
a) R + 1 = 0
3
35
3
b) 2 R < 3
2
d) R + 1 = 3
e) 1
Si: x
3
10. Sabiendo que: a; b; c R 2
3
25) 3
c) R N
a) 1
b) 3
d) 2
e) 1/2
3
b) 12
d) 16
e) 18
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(x y)3 ( y z)3 (z x)3 (x y)( y z)( x z)
a) -3
b) 3
d) -1
e) 0
E 2
c) 1
Calcular:
Calcular el valor numérico de: 2
c) 1/3
12. Si: x3 = 1 y además x 1
c) 14
A = (a - b)[(a + b) + 2ab + (a - b) ] + 2b
2
11. Simplificar: E
2 1
a) 10
2
(a - b) + (b - c) + (a - c) = 0
e) R – 1 = 7
2 1
c) -2/3
a5 b5 c5 M4 ( a b c)5
Hallar: M = x + 3x + 8
7.
b) 3/4
d) 3/2
Calcular:
3
c) 2x
Indique lo correcto:
6.
a) -6
Efectuar:
R( 7
xyz xy xz yz
x8 x 4 x6 1
3
24
a) 1
b) 2
d) -1/2
e) -2
c) 1/2
4.
Calcular: 3
2
3
N ( 5 1)( 25
13. Siendo x; y R que verifican:
3
5 1) 4
2
x + y + 10 = 6x + 2y Calcular: xy a) 2
b) 3
d) 5
e) 6
a) 0
b) 1
d) 3
e) 4
c) 4
5.
Multiplicar: 6
3
c) 2
3
3
P = (4x – 2x + 1)(2x + 1)
3
14. Sabiendo que: x + y = xy Calcular:
P
3
xy(x6 y6 ) 2x 4 y 4 (2 xy)
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
3
b) 8x – 1
3
9
e) N.A.
a) 8x + 1 d) 9x -1
c) 3
6.
Si: x + y = -z Simplificar:
15. Reducir: 3
3
F = (a + b - c) + (a – b + c) + 6a(a + b - c)(a – b + c) a) 8a
3
b) 8b
d) 3abc
3
c) 8c
Si:
K
e) 0
7.
x–y=3
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
xy
Siendo:
3
b) -18
d) 72
e) 27
c) -72
8.
x+y=2
3
a) 44
b) 88
d) -100
e) -88
10
3
M
3
4
c) 50
Hallar el valor numérico de:
2
Hallar: E = x – y
( a b)2 (b c)2 (a c)2 12
Si se sabe que:
a) 5
b) 3
d) -3
e)
ab bc 3
c) -5
7 2 2
Simplificar: 3
3
M = (a + b + c) – 3(a + b)(a + b + c)c – (a + b)
9.
a) 0
b) 1/5
d) 3/5
e) 4/3
3
a) a
b) b
d) 0
e) 3abc
Escuela de Talentos
c) c
c) 3/2
Si: ab = 1. El valor de: Sa
3
10 1
4
x +y =3 ; x>y
3.
3
100
S = (x - y) – (x + y)
3
a) 18
2
3
c) 3
Calcular el valor de:
Hallar: E = x – y
Si:
xyz
x2 y2 1
xy = 5
2.
x 3 y 3 z3
3
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
1.
9
c) 8x + 1
3
b2 1 2
a 1
b
a2 1
b2 1
a, b R
9
d) -2 a) 0
b) 1
d) 3
e) 4
e) 3
c) 2
15. Si:
a+b+c=1 2
2
2
3
3
3
a +b +c =2
10. Si se sabe que: 2
2
a +b +c =3
2
x + y + z = xy + xz + yz
4
Calcular el valor de: M9
(x y z)10 10
10
x
y
a) 4
b) 3
d) 5
e) 2
4
Calcular: a + b + c
10
z
4
a) 3/4
b) 5/2
d) 17/4
e) 25/6
c) 2/5
c) 1
11. Siendo: x + 4y + 9z = 0 Según ello reducir: N
(x 2y)2 xy
(2y 3z)2 yz
a) 42
b) -36
d) 31
e) 23abc
12. Si: x
3
2 3
3
(3z x)2 xz
c)
22 abc
2 3
Calcular:
R x3 3x a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
13. Si: (a + b)2 + 1 = (a + 1) (b + 1) Calcular: E
a3 a2
b3 b2
a) 1/2
b) 2
d) 3
e) 1
c) -1
14. Si: 2x-1 = 2 – x Calcular: 9
4
2
6
3
N = x – (x + x + 1)(x + x + 1) a) -1
b) 1
Escuela de Talentos
c) 2
10