Tema 3 2tri 4to

Escuela de Talentos

0

TEMA 3: TEORÍA DE ECUACIONES Teoría de Ecuaciones una Igualdad es Una relación de comparación que se establece entre dos expresiones el cual nos indica que tienen el mismo valor.

A  B        

1er miembro

2do miembro

Clases de Igualdad

Absolutas Incondicionales

Relativas Condicionales

es

es

Aquella que se verifica para todos los

Aquella que se verifica para ciertos

valores asignados a sus incógnitas.

valores

2

2

Ejm.: (x + 1) = x + 2x + 1 la igualdad se verifica para cualquier valor real de “x”

particulares

que

se

les

atribuye a sus incógnitas.

Ejm.: 2x + 1 = x + 7 se verifica sólo si: x = 6 2(6) + 1 = 6 + 7

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1

Ecuaciones es Una igualdad condicional que queda satisfecha sólo para algunos valores asignados a sus variables.

Así:

5x  3 

x  25, 3

queda satisfecha sólo

cuando: x = 6.

Conceptos Fundamentales

Solución o Raíz

Conjunto Solución

son

es el

Aquellos

valores

que

asumen las incógnitas las cuales

verifican

satisfacen

una

Conjunto

formado

por

todas las soluciones.

o

deter-

así

minada ecuación. ecuación: 3

3

2

Entonces

Para: x = 1  -4 = -4 Para: x = 2  -12 = -12 Para: x = 3  -18 = -18 las

raíces

2

Son: x = 1; x = 2; x = 3

2

x – 5x = x – 11x + 6

Luego

2

x – 5x = x – 11x + 6

Dada la ecuación:

el

Ecuaciones

Ecuación

Equivalentes

es

dos

Efectuar en ellas todas

Ecuaciones son equivalen-

las

nece-

tes si todas las soluciones

sarias para obtener sus

operaciones

de la primera ecuación son

soluciones.

también soluciones de la segunda

Como las soluciones de la así

Resolución de una

para

soluciones son:

así

forma sucesivamente en otras equivalentes. hasta

Las ecuaciones: x 2x   14; 5x  36  2x 2 3

son equivalentes puesto

C.S. = {1; 2; 3}

o

Conseguirlo que ella sea

que ambas ecuaciones se

sencilla y permita hallar

verifican solamente para:

el valor de la incógnita.

x = 12

x = 1; x = 2; x = 3

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e

inversamamente.

Conseguirlo se le trans-

conjunto

solución (C.S.) es:

ecuación

2

Ecuación de Primer Grado Forma General ax + b = 0

Análisis de sus Raíces

Teoremas

Forma General

Forma General

a  0  b R  x  

b a

solución única (compatible determinada)

si a = 0  b = 0  0x = 0

Cancelación

si

si

 a+b=ca=c–b  ab = c  a =

“x” admite cualquier solución (compatible indeterminada)

Transposición



c b

a = c  a = bc b

 a + c = b + c  a = b, si: c  R  ac = bc  a = b, si: c  0 

a b   a = b, si: c  0 c c

si a = 0  b  0  0x = -b No existe ningún valor “x” que multiplicado por cero da como resultado –b.

(Incompatible o absurdar)

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3

3. Resolver: x  x  5  7

Ejercicios Resueltos 1. Resolver:

Resolución:

2x 3x 9x    40 3 5 15

x5  7x Elevando al cuadrado miembro a miembro:

x5

Resolución:

2

 (7  x)2  x  5  49  14x  x2 2

Multiplicando ambos miembros por el M.C.M. de

x – 15x + 44 = 0

los denominadores: 15

x

-11

x

-4

 2x   3x   9x  15   15   15   15(40) 3 5      15 

Verificando en la ecuación original:

5(2x) + 3(3x) = 9x + 600

x  x5  7

10x + 9x = 9x + 600 eliminando 9x: 10x = 600  x = 60

2. Resolver:

presente

que

11  11  5  7  11 + 4 = 7 (Falso)

Si: x = 4

4 45  7

 4+3=7

 La única solución es: x = 4

4. Resolver: (x - 2)(x - 4) = 5x(x – 4)

el

denominador

es

diferente de cero.

Es decir: x – 3  0  x  3 …(1) Reduciendo la ecuación:

Si: x = 11

(Verdadero)

1 1 1  x3 x3

Resolución: Tener

Donde: x = 11  x = 4

1 x3 1  x3 x3

Cancelando (x – 3): 1 + x – 3 = 1 x = 3 … (2) De (1) y (2) se observa una contradicción.

Concluimos: la ecuación no tiene solución o es

Resolución: Llevando 5x(x - 4) al 1er miembro: (x - 2)(x - 4) – 5x(x - 4) = 0 Extraemos el factor común (x – 4): (x - 4)[(x - 2) – 5x] = 0 x – 4 = 0  (x – 2) – 5x = 0 Despejando para c/u se tiene: x=4

x = -1/2

Entonces tiene dos soluciones.

incompatible.

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4

EJERCICIOS DE APLICACÍON

1.

Resolver: 7(x - 18) = 3(x - 14) a) 20 d) 23

2.

b) 21 e) 24

3.

Resolver: a) 1 d) 4

5.

Resolver: a) 1 d) 4

7.

Resolver: a) 60 d) -61

9.

b) 2 e) 6

c) 3

b) 2 e) 8

c) 3

5x  5 3 x1

Resolver:

b) 4 e) 1

c) 120

c) 3

10x  3 3x  1   x2 3 5

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x  2 12  x 5x  36   1 3 2 4 c) 3

5x  2 x  8 x  14   2 3 4 2

b) 2 e) 6

12. Resolver:

c) 3

2x  5 5x  3 2  2  0 3 4 3 b) 2 e) 6

c) 3

13. Se han vendido 1/3; 1/4 y 1/6 de una pieza de paño, de la cual quedan todavía 15 metros.

Búsquese la longitud de la pieza. a) 40 m d) 120

b) 60 e) 160

c) 80

14. Repartirse 100 soles entre 3 personas, de manera que la primera reciba 5 soles más que la segunda, y que ésta reciba 10 soles más que la tercera. ¿Cuánto recibe la tercera persona?

c) 3

x x x x     x  17 2 3 4 5

b) 61 e) 62

a) 1 d) 4

24 13

c) 

b) 2 e) 8

a) 1 d) 4

x x1   x2 2 7

b) 2 e) 6

a) 1 d) 6

11. Resolver:

Resolver: 4(x - 3) – 7(x - 4) = 6 - x a) 5 d) 2

8.

c) 3

x x   11 2 3

b) 100 e) 162

b)

10. Resolver:

7x 9x 5  8 Resolver: 8 10

a) 110 d) 160

6.

b) 2 e) 12

Resolver: x  a) 1 d) 4

4.

c) 22

Resolver: 7(x - 3) = 9(x + 1) – 38 a) 1 d) 4

24 13 21 e) 13

23 11 26 d) 13 a) 

a) S/. 20 d) 25

15. Resolver: c) -60 a) a – b 2

d) a + b

b) 22 e) 50

c) 24

a a b b 1    1    1 b x a x 2

b) a + b 2

2

e) a – b

c) a –ab+b 2

5

2

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS

1.

Resolver: 5x + 50 = 4x + 56 a) 1 d) 5

2.

b) 2 e) 6

3.

Resolver:

b) 60 e) 68

b) 12 e) 16

a) 1 d) 36

5.

Resolver: 2x  a) 1 d) 4

6.

b) 12 e) 40

Resolver:

8.

b) 2 e) 6

a) 12 d) 24

9.

b) 18 e) 28

c) 22

Repartirse 90 dólares entre 3 personas, de manera que la tercera reciba 5 dólares menos que la segunda y ésta 10 dólares más que la primera. ¿Cuánto recibe la segunda? a) $35 d) 10

19  2x 2x  11  2 2

x4 x4 3x  1   2 3 5 15

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Dividir el número 46 en 2 partes tales, que 1/7 de una, más 1/3 de la otra sumen 10.

Hallar o indicar la mayor de las partes.

c) 13

c) 18

c) 3

Resolver:

c) 62

x 3x 5x    15 Resolver: 2 4 6

b) 2 e) 7

7.

3x  16 5  x 3

a) 11 d) 14

4.

c) 4

4x Resolver: 36  8 9

a) 1 d) 63

a) 1 d) 6

10. Resolver: c) 3 a) 4 d) 10

b) 30 e) 60

c) 20

5 1  7 x 1  8 x      4 6  3 6  5 7  9 b) 5 e) 12

c) 6

5x  7 2x  7   3x  14 2 3

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6

SISTEMAS DE ECUACIONES Es un conjunto de ecuaciones que verifican para una sola solución común.

Clasificación Compatible

Incompatible

Tiene solución

No tiene solución llamado también absurda.

Determinado

Indeterminado

Tiene una cantidad limitada de soluciones

Tiene una cantidad ilimitada de soluciones

Ejemplo:

Ejemplo: x+y=2 x+y=5 No se cumple para ningún valor de x e y.

Ejemplo:

3x – y = 3

x+2=2

x+y=1

2x + 2y = 4

Solo se cumple cuando: x = 1; y=0

Se cumple para: x=1

y=1

x=2

y=0

x=3

y = -1

x = -1

y=3





Propiedades a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2

Compatible

Incompatible

Determinado

Indeterminado

se cumple

se cumple

a1

b  1 a2 b2

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se cumple a1

b c  1  1 a2 b2 c2

a1

b c  1  1 a2 b2 c2

7

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1.

2.

3.

Resolver: x+y=5 x – y = 7 Indicar: 3x + y a) 18 d) 20

b) 19 e) 5

Resolver: x+y=8 x – y = 10

Indicar el valor de “y”

a) 9 d) 1

b) 8 e) -1

c) 17

Resolver: 3x + 2y = 5

b) 2 e) -1

Resolver: 5x + 7y = 17 2x + y = 5

Indicar: 3x + 6y

a) 3 d) 12

b) 6 e) -2

7.

c) 3

2x + 3y = 5 a) 2 d) 1

b) 5 e) 0

c) 3

8.

c) 8

Resolver: 17x + 2y = 36 x + y = 3 Hallar: x - y a) 0 d) -1

x Indicar el valor de: E  y

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6.

c) 18

Resolver: 2x + y = 3 y + x = 2 Indicar: E = x - y a) 1 d) 0

4.

5.

b) 1 e) 4

c) 2

Resolver: 4 2  6 m n 3 2  5 m n e indicar “m + n” a) 0 b) -1 d) 2 e) -2 Resolver: 5x  2y  1 ………..(1) 3

c) 1

8

2x  y 2 de y/x

 1 ………..(2)

a) 1 d) 2

9.

e indicar el valor

b) 1/2 e) 3

3 5 3 d) 4

a)

c) 1/3

b) 2 e) 5

a) 1 – 2b

c) 3

d)

(3m + 1)x + my = 2 12x + 3y = 1 Indicar lo correcto: b) m  1 e) m  -2

c)

ba ab

e) N.A.

1  2b b

b) ab e)

1  2b ab

3 x3  y2  4 4 x  3  2 y  2  12

c) m  3

a) 1 d) -2

(a + 1)x + (b + 2)y = 12 2x + 3y = 4 Indicar: “a + b” b) 5 e) 3

4 5

14. Resolver:

11. Sea el sistema indeterminado:

a) 2 d) 12

c)

2abx + by = 1 ax + y = 2 Indicar el valor de “x”

10. Sea el sistema compatible determinado:

a) m  2 d) m  -1

4 5

13. Resolver:

Sea el sistema incompatible: (n + 3)x + ny = 1 5x + 2y = 2 Indicar: “n + 2” a) 1 d) 4

b)

Indicar: “x - y”

b) -1 e) 2

c) 0

15. Si el sistema: mx + ny = 3 3x + 2y = 1 tiene infinitas soluciones. mn Indicar el valor de: E  3

c) 7

12. Resolver:

3 1  7 x1 y 1

a) 3 d) -1

1 1   13 Indicar el valor de “x” x1 y 1

b) 9 e) -3

c) 1

a) 1 d) -1

b) 2 e) 5

c) 3

Resolver: 7x + 3y = 20 5x + 2y = 14

Indicar: “x/y”

a) 2 d) 3

b) 4 e) -1

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS

1.

Resolver: x–y=7 x + y = 11 Indicar el valor de “y” a) 9 d) 11

2.

c) 1

Resolver: 3x + y = -1 x – y = 5 Indicar el valor de “y” a) 4 d) 1

3.

b) 2 e) 7

4.

Resolver: 4y + x = 5 3y + 2x = 5

b) 2 e) -4

5. c) 3

Indicar el valor de “x”

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Resolver: 3  2y  5 x1 3 y4 x1 a) 1 d) 2

c) 1

Indicar el valor de “x” b) -1 e) 0

c) 3

9

6.

Resolver: 4 5  9 a b 7 8   15 a b Indicar: “a + b” a) 1 d) 2

7.

a) 3/4 d) 1/3 b) 0 e) 3

c) -1

Resolver: xy ……………..(II) 2 5 2x  3y  1 ……………..(II) 5 x Indicar: y a) 14/3 d) 1/3

8.

5x + 3y = 8 ……..(2) Indicar el valor de “a”

b) 7/3 e) 4/5

Sea el sistema incompatible: (a + 2)x + 2y = 7 ……..(1)

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9.

b) 3/5 e) 3

c) 4/3

Sea el sistema incompatible: (m + 1)x + ny = 5 2x + 3y = 8 Indicar el valor de: “3m – 2n” a) 3 d) -5

b) 5 e) -1

c) -3

10. Sea el sistema compatible determinado: c) 4/3

2x + 3ay = 7 3x + y = 8 Indicar el valor que “a” no puede tomar: a) 5/4 d) 3/9

b) 2/7 e) 9/3

c) 2/9

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