Tema 3 4to

TEMA 3: COCIENTES NOTABLES Son cocientes que provienen de divisiones exactos de la forma: xn  y n

xy Se pueden escribir en forma directa sin efectuar la operación indicada.

Ejemplo: Si se aplica el teorema del resto a las divisiones de (x7 ± y7)  (x8 ± y8) por (x ± y), se tiene:

xn  y n

II)

xn  y n xy

Ejemplo:

7

7

7

7

Divisor

7

x +y x -y 8

8

8

8

x +y x -y

Residuo

n

7

x+y

7

-y - y = -2y 8

8

7

8

+y + y = 2y 8

es exacto cuando n es par.

xn + yn  x - y

no es exacto (sea n par o impar).

n

x -y x-y

siempre es exacto (sea n par o impar).

Los coeficientes que resultaron exactos son los llamados cocientes notables.

xn  y n

I)

xy

xn  y n xy

 C.N.

; donde n es par o impar.

 xn 1  xn 2 y  xn 3y2  ..... xy n 2  yn 1

xy

; cuando n es par.

 xn 1  xn 2 y  xn 3y2  .... xy n 2  yn 1

Ejemplo: x4  y4 xy

IV)

xn  y n xy

 x3  x2 y  xy 2  y3

no es C.N.

Sea n par o impar.

OBSERVACIONES 1. El desarrollo del cociente notable tiene n términos.

2. El grado del cociente es n - 1. El cociente es un polinomio homogéneo.

3. Si el divisor es x - y todos los términos son positivos, mientras que si el divisor es x + y los términos tienen signos alternados.

4. Los exponentes de la 1ra variable (x) disminuyen de uno en uno y los exponentes de la 2da variable (y) van aumentando de uno en uno.

Ejemplo:

x5  y 5

xy

 C.N.

8

x -y x+y n

xn  y n

 x 4  x3  x2 y2  xy 3  y 4

+y - y = 0

es exacto cuando n es impar.

n

xy

-y + y = 0

Se deduce que x7 - y7 y x8 - y8 son divisibles entre x - y.

Lo anterior puede resumirse así: xn + yn  x + y

x5  y 5

xn  y n

III)

7

impar.

 xn 1  xn 2 y  xn 3y2  .... xy n 2  yn 1

xy

1ro.Para el divisor x + y

Dividendo

 C.N. ; cuando n es

xy

 x 4  x3y  x2 y2  xy 3  y 4

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Página 1

TÉRMINO GENERAL

d) 13

xn  y n

Si: x  y es un C.N. se puede calcular un término cualquiera, como:

Tk = (signo)xn-kyk-1

Ejemplo: El quinto término de

12

a

b ab

es:

es notable, hallar el número de términos.

da lugar a un C.N. si cumple:

r



q s

7. Efectuar:

 # de Tér min os

a) x6 + x d) x6 + 1

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Calcular “n” si el cociente: notable a) 1 d) 8

x

2n 1

x

n4

y y

b) 5 e) 10

n 3

n 5

;

es

c) 7

2. Hallar “m” para que expresión sea cociente notable:

a2m 3  b3m 3

8. Efectuar:

a) x9 - x d) x9 - 1

b) 5 e) Nunca es C.N.

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x10  x8  x6  x 4  x2  1 x 4  x2  1

b) x6 - x e) x

c) x6 - 1

x15  x12  x9  x6  x3  1 x6  x3  1

b) x9 + 1 e) x6

Calcular:

c) 6

a) 1 022 d) 1 025

c) x9 + x x8  1

xm  1

tiene 4 términos.

c) 9

b) 1 023 e) 1 026

c) 1 024

10. Indique el grado del décimo término del cociente notable: x38  y 57z19

x2  y3z

xm  1  y m

b) 5

c) x3y4

m9 + m8 + m7 + .......... + m + 1

3. ¿Cuántos términos posee el desarrollo del cociente notable: x13m 1  y8m  2

a) 2

b) -x2y2 e) -xy

9. Si el cociente notable:

a2m  3  b3m  5 a) 3 d) 7

c) x10y18

x  y2

a) x2y d) xy5

p

b) x8y9 e) xy9

x3  y12

Observación:

x y

c) 15

6. Calcular el segundo término en el desarrollo de:

T5 = a7 . b4

s

b) 10 e) 25

5. Hallar el tercer término en el siguiente cociente notable: xm  y 5m 8

a) x15y27 d) x7y6

T5 = (+) a12-5 . b5-1

r

( x )n  6  ( y )n  8

x2  y 9

12

n = 12, k = 5

xp  y q

x6n  3  y6n 22

4. Si el siguiente cociente:

a) 5 d) 20

El signo se colocara de acuerdo al caso que corresponda.

e) 28

a) 56

b) 60

c) 57

Página 2

d) 59

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS

e) 54

11. Calcular el grado del término central del desarrollo del cociente notable: x6m 3  y8m  3

1. Calcular el valor de “r”, sabiendo que el resultado de la siguiente división es un C.N. x18  y 63

x m 1  y m  1

a) 9 d) 15

b) 24 e) 18

x2  y r  3

c) 26

x

12. Indicar el cociente de dividir:

72

x

66

x

60

 ..... 1

x36  x33  x30  ..... 1

a) x36 + x33 + x30 + .......... + 1 b) x36 - x33 + x30 - .......... + 1

a) 6 d) 8

2. Hallar el valor de “m + 5”, si sabemos que al dividir resulta un C.N. a65  b78 a) 5 d) 2

d) x36 - x30 + x24 - .......... - 1 e) x36 + x35 + x34 + .......... + 1 13. Calcular “a + b” si se cumple que:

ab  1  111 a 1

b) 7 e) 6

x 70  ym  t

b) 13 e) 16

x7  yt

c) 14

14. Hallar el valor numérico del término 29 en el desarrollo del C.N. (x  3)36  x36 2x  3

a) 18 d) 13

c) 12

x2  y 4

b) 32 e) 256

20

c) 64

Calcular: r/t a) 2 d) 1/2

b) 4 e) 3

5. Calcular “m” sabiendo que el sexto termino del C.N. al que da lugar la división: a 4  b9

b)

5

e) 1

x 1

c) 1

a32  b72

x 1 1

usando C.N.

d)

b) 15 e) 20

xr  y t

15. Encontrar el vigésimo término que se obtiene al desarrollar: x2  2x

x 1

, es 12.

4. La siguiente división tiene como resultado un C.N.

para x = -1.

a) x - 1

c) 3

3. Calcular “m”, sabiendo que el grado respecto a y del término de lugar 7 en el C.N. correspondiente a la división:

(a, b  N)

a) 16 d) 128

c) 7

am  3  b6

c) x36 + x30 + x24 + .......... + 1

a) 12 d) 15

b) 5 e) 4

c)

10

x 1

a) 27 d) 45 6. En el cociente:

, es igual a: a8bm+5 b) 40 e) 50

c) 42

xn  ym x3  y 4

Se sabe que el desarrollo tiene 14 términos, el valor de (m + n) es: a) 56 d) 89

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b) 42 e) 98

c) 84

Página 3

7. El cociente que dio origen al siguiente desarrollo: x135 - x130 + x125 - ....... - x10 + x5 - 1

es:

x140  1

a)

5

x 1 140

x

d)

x140  1

x5  1

x

e)

c)

x 1 140

1

x140  1

5

b)

x5  1

1

x5  1

8. Calcular el valor numérico del término tercero del cociente de: 33 33 x

para x = 3. a) 327 d) 318

3

origina un cociente notable indicar el valor de “m”.

a) 3 d) 6

b) 4 c) 5 e) Más de una es correcto

13. Hallar el lugar que ocupa el término de grado absoluto 34 en el desarrollo del cociente notable:

x60  y30

3

3

x 4  y2

x 3

b) 39 e) 324

c) 312

a) 12 d) 15

b) 13 3n  9  y3n e)x10 x3  y 2

c) 14

9. Hallar el valor del cuarto término del desarrollo de: (x  y)18  (x  y)12

para:

( x  y)3  ( x  y)2

a) 16 d) 64

x  2 3 ; y  10

b) 24 e) 72

10. En el desarrollo del cociente notable:

c) 32 x a  yb x2  y 3

Hay un término cuyo grado es el doble del número de términos. ¿Qué lugar ocupa este término? a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

11. Al efectuar el desarrollo del siguiente cociente notable: x 4n  5  y 4n  6 se obtiene: xn  4  y n  5 a) x33 - x30y2 + x27y4 - x24y6 + .... - y22 b) x30 + x27y2 + x24y4 + x21y6 + .... + y20 c) x30 - x27y2 + x24y4 - x21y6 + .... - y20 d) x30 - x27y2 + x24y4 - x21y6 + .... + y20 e) x20 - x18y + x16y2 - x15y3 + .... + y10

12. Si la división:

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2 xm  7  y8m 13

14. Siendo el C.N.

Calcular el V.N. del termino central para x = 1; y = 2 a) 256 d) -128

b) -256 e) 1

c) 128

15. En el desarrollo de un C.N. se obtuvieron dos términos consecutivos: ... - x18y27 + x16y30 - ...

Hallar el número de términos del cociente. a) 16 d) 19

b) 15 e) 18

c) 14

x2  y 2

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