TEMA 3: COCIENTES NOTABLES Son cocientes que provienen de divisiones exactos de la forma: xn y n
xy Se pueden escribir en forma directa sin efectuar la operación indicada. Ejemplo: Si se aplica el teorema del resto a las divisiones de (x7 ± y7) (x8 ± y8) por (x ± y), se tiene:
xn y n
II)
xn y n xy
Ejemplo:
7
7
7
7
Divisor
7
x +y x -y 8
8
8
8
x +y x -y
Residuo
n
7
x+y
7
-y - y = -2y 8
8
7
8
+y + y = 2y 8
es exacto cuando n es par.
xn + yn x - y
no es exacto (sea n par o impar).
n
x -y x-y
siempre es exacto (sea n par o impar).
Los coeficientes que resultaron exactos son los llamados cocientes notables.
xn y n
I)
xy
xn y n xy
C.N.
; donde n es par o impar.
xn 1 xn 2 y xn 3y2 ..... xy n 2 yn 1
xy
; cuando n es par.
xn 1 xn 2 y xn 3y2 .... xy n 2 yn 1
Ejemplo: x4 y4 xy
IV)
xn y n xy
x3 x2 y xy 2 y3
no es C.N.
Sea n par o impar.
OBSERVACIONES 1. El desarrollo del cociente notable tiene n términos. 2. El grado del cociente es n - 1. El cociente es un polinomio homogéneo. 3. Si el divisor es x - y todos los términos son positivos, mientras que si el divisor es x + y los términos tienen signos alternados. 4. Los exponentes de la 1ra variable (x) disminuyen de uno en uno y los exponentes de la 2da variable (y) van aumentando de uno en uno.
Ejemplo:
x5 y 5
xy
C.N.
8
x -y x+y n
xn y n
x 4 x3 x2 y2 xy 3 y 4
+y - y = 0
es exacto cuando n es impar.
n
xy
-y + y = 0
Se deduce que x7 - y7 y x8 - y8 son divisibles entre x - y. Lo anterior puede resumirse así: xn + yn x + y
x5 y 5
xn y n
III)
7
impar.
xn 1 xn 2 y xn 3y2 .... xy n 2 yn 1
xy
1ro.Para el divisor x + y
Dividendo
C.N. ; cuando n es
xy
x 4 x3y x2 y2 xy 3 y 4
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Página 1
TÉRMINO GENERAL
d) 13
xn y n
Si: x y es un C.N. se puede calcular un término cualquiera, como:
Tk = (signo)xn-kyk-1
Ejemplo: El quinto término de
12
a
b ab
es:
es notable, hallar el número de términos.
da lugar a un C.N. si cumple:
r
q s
7. Efectuar:
# de Tér min os
a) x6 + x d) x6 + 1
EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Calcular “n” si el cociente: notable a) 1 d) 8
x
2n 1
x
n4
y y
b) 5 e) 10
n 3
n 5
;
es
c) 7
2. Hallar “m” para que expresión sea cociente notable:
a2m 3 b3m 3
8. Efectuar:
a) x9 - x d) x9 - 1
b) 5 e) Nunca es C.N.
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x10 x8 x6 x 4 x2 1 x 4 x2 1
b) x6 - x e) x
c) x6 - 1
x15 x12 x9 x6 x3 1 x6 x3 1
b) x9 + 1 e) x6
Calcular:
c) 6
a) 1 022 d) 1 025
c) x9 + x x8 1
xm 1
tiene 4 términos.
c) 9
b) 1 023 e) 1 026
c) 1 024
10. Indique el grado del décimo término del cociente notable: x38 y 57z19
x2 y3z
xm 1 y m
b) 5
c) x3y4
m9 + m8 + m7 + .......... + m + 1
3. ¿Cuántos términos posee el desarrollo del cociente notable: x13m 1 y8m 2
a) 2
b) -x2y2 e) -xy
9. Si el cociente notable:
a2m 3 b3m 5 a) 3 d) 7
c) x10y18
x y2
a) x2y d) xy5
p
b) x8y9 e) xy9
x3 y12
Observación:
x y
c) 15
6. Calcular el segundo término en el desarrollo de:
T5 = a7 . b4
s
b) 10 e) 25
5. Hallar el tercer término en el siguiente cociente notable: xm y 5m 8
a) x15y27 d) x7y6
T5 = (+) a12-5 . b5-1
r
( x )n 6 ( y )n 8
x2 y 9
12
n = 12, k = 5
xp y q
x6n 3 y6n 22
4. Si el siguiente cociente:
a) 5 d) 20
El signo se colocara de acuerdo al caso que corresponda.
e) 28
a) 56
b) 60
c) 57
Página 2
d) 59
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
e) 54
11. Calcular el grado del término central del desarrollo del cociente notable: x6m 3 y8m 3
1. Calcular el valor de “r”, sabiendo que el resultado de la siguiente división es un C.N. x18 y 63
x m 1 y m 1
a) 9 d) 15
b) 24 e) 18
x2 y r 3
c) 26
x
12. Indicar el cociente de dividir:
72
x
66
x
60
..... 1
x36 x33 x30 ..... 1
a) x36 + x33 + x30 + .......... + 1 b) x36 - x33 + x30 - .......... + 1
a) 6 d) 8
2. Hallar el valor de “m + 5”, si sabemos que al dividir resulta un C.N. a65 b78 a) 5 d) 2
d) x36 - x30 + x24 - .......... - 1 e) x36 + x35 + x34 + .......... + 1 13. Calcular “a + b” si se cumple que:
ab 1 111 a 1
b) 7 e) 6
x 70 ym t
b) 13 e) 16
x7 yt
c) 14
14. Hallar el valor numérico del término 29 en el desarrollo del C.N. (x 3)36 x36 2x 3
a) 18 d) 13
c) 12
x2 y 4
b) 32 e) 256
20
c) 64
Calcular: r/t a) 2 d) 1/2
b) 4 e) 3
5. Calcular “m” sabiendo que el sexto termino del C.N. al que da lugar la división: a 4 b9
b)
5
e) 1
x 1
c) 1
a32 b72
x 1 1
usando C.N.
d)
b) 15 e) 20
xr y t
15. Encontrar el vigésimo término que se obtiene al desarrollar: x2 2x
x 1
, es 12.
4. La siguiente división tiene como resultado un C.N.
para x = -1.
a) x - 1
c) 3
3. Calcular “m”, sabiendo que el grado respecto a y del término de lugar 7 en el C.N. correspondiente a la división:
(a, b N)
a) 16 d) 128
c) 7
am 3 b6
c) x36 + x30 + x24 + .......... + 1
a) 12 d) 15
b) 5 e) 4
c)
10
x 1
a) 27 d) 45 6. En el cociente:
, es igual a: a8bm+5 b) 40 e) 50
c) 42
xn ym x3 y 4
Se sabe que el desarrollo tiene 14 términos, el valor de (m + n) es: a) 56 d) 89
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b) 42 e) 98
c) 84
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7. El cociente que dio origen al siguiente desarrollo: x135 - x130 + x125 - ....... - x10 + x5 - 1
es:
x140 1
a)
5
x 1 140
x
d)
x140 1
x5 1
x
e)
c)
x 1 140
1
x140 1
5
b)
x5 1
1
x5 1
8. Calcular el valor numérico del término tercero del cociente de: 33 33 x
para x = 3. a) 327 d) 318
3
origina un cociente notable indicar el valor de “m”.
a) 3 d) 6
b) 4 c) 5 e) Más de una es correcto
13. Hallar el lugar que ocupa el término de grado absoluto 34 en el desarrollo del cociente notable:
x60 y30
3
3
x 4 y2
x 3
b) 39 e) 324
c) 312
a) 12 d) 15
b) 13 3n 9 y3n e)x10 x3 y 2
c) 14
9. Hallar el valor del cuarto término del desarrollo de: (x y)18 (x y)12
para:
( x y)3 ( x y)2
a) 16 d) 64
x 2 3 ; y 10
b) 24 e) 72
10. En el desarrollo del cociente notable:
c) 32 x a yb x2 y 3
Hay un término cuyo grado es el doble del número de términos. ¿Qué lugar ocupa este término? a) 2 d) 5
b) 3 e) 6
c) 4
11. Al efectuar el desarrollo del siguiente cociente notable: x 4n 5 y 4n 6 se obtiene: xn 4 y n 5 a) x33 - x30y2 + x27y4 - x24y6 + .... - y22 b) x30 + x27y2 + x24y4 + x21y6 + .... + y20 c) x30 - x27y2 + x24y4 - x21y6 + .... - y20 d) x30 - x27y2 + x24y4 - x21y6 + .... + y20 e) x20 - x18y + x16y2 - x15y3 + .... + y10
12. Si la división:
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2 xm 7 y8m 13
14. Siendo el C.N.
Calcular el V.N. del termino central para x = 1; y = 2 a) 256 d) -128
b) -256 e) 1
c) 128
15. En el desarrollo de un C.N. se obtuvieron dos términos consecutivos: ... - x18y27 + x16y30 - ... Hallar el número de términos del cociente. a) 16 d) 19
b) 15 e) 18
c) 14
x2 y 2
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