Tema 3 4to by Edwin Cueva

Escuela de Talentos

TEMA 3: COCIENTES NOTABLES Son cocientes que provienen de divisiones exactos de la forma: xn  y n

Ejemplo:

xy

x5  y 5

Se pueden escribir en forma directa sin efectuar la operación indicada. Ejemplo: Si se aplica el teorema del resto a las divisiones de 7 (x ± y7)  (x8 ± y8) por (x ± y), se tiene:

xy

Dividendo 7

xy

x +y x -y

-y - y = -2y 8

+y - y = 0

xn  y n

III)

xy

xn  y n xy

 C.N.

; cuando n es par.

 xn 1  xn 2 y  xn 3y2  .... xy n 2  yn 1

es exacto cuando n es impar. es exacto cuando n es par.

x +y x-y

no es exacto (sea n par o impar).

xn - yn  x - y

siempre es exacto (sea n par o impar).

x -y x+y

Los coeficientes que resultaron exactos son los llamados cocientes notables. n

x y xy

xy

 x 4  x3  x2 y2  xy 3  y 4

xn  y n

xy

+y + y = 2y

x5  y 5

Se deduce que x7 - y7 y x8 - y8 son divisibles entre x - y. Lo anterior puede resumirse así: xn + yn  x + y

 xn 1  xn 2 y  xn 3y2  .... xy n 2  yn 1

Ejemplo:

-y + y = 0 x+y

impar.

Residuo 7

x +y

 C.N. ; cuando n es

xy xn  y n

Divisor

x -y

xn  y n

II)

1ro.Para el divisor x + y

 x 4  x3y  x2 y2  xy 3  y 4

Ejemplo: x4  y4 xy

IV)

xn  y n xy

 x3  x2 y  xy 2  y3

no es C.N.

Sea n par o impar.

 C.N.

; donde n es par o impar.

 xn 1  xn 2 y  xn 3y2  ..... xy n 2  yn 1

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OBSERVACIONES

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. El desarrollo del cociente notable tiene n términos. 2. El grado del cociente es n - 1. El cociente es un polinomio homogéneo. 3. Si el divisor es x - y todos los términos son positivos, mientras que si el divisor es x + y los términos tienen signos alternados. 4. Los exponentes de la 1ra variable (x) disminuyen de uno en uno y los exponentes de la 2da variable (y) van aumentando de uno en uno.

Calcular “n” si el cociente: ; es notable

a) 1 d) 8 2.

x2n 1  yn  3 xn  4  y n  5

b) 5 e) 10

c) 7

Hallar “m” para que expresión sea cociente notable:

a2m 3  b3m 3

a2m  3  b3m  5 a) 3 d) 7

TÉRMINO GENERAL

xn  y n xy

Si: es un C.N. se puede calcular un término cualquiera, como:

Tk = (signo)xn-kyk-1 El signo se colocara de acuerdo al caso que corresponda. Ejemplo: El quinto término de

a12  b12 ab

es:

b) 5 e) Nunca es C.N.

¿Cuántos términos posee el desarrollo del cociente notable: x13m 1  y8m  2 xm  1  y m

a) 2 d) 13 4.

T5 = (+) a12-5 . b5-1 T5 = a7 . b4

b) 5 e) 28

Si el cociente:

c) 9 x6n  3  y6n 22 ( x )n  6  ( y )n  8

es notable, hallar el número de términos. a) 5 d) 20

n = 12, k = 5

c) 6

b) 10 e) 25

c) 15

Hallar el tercer término en el siguiente cociente xm  y 5m  8 notable: x2  y 9

Observación:

xp  y q xr  y s

da lugar a un C.N. si cumple:

a) x15y27 d) x7y6 6.

p r



q s

b) x8y9 e) xy9

c) x10y18

Calcular el segundo término en el desarrollo de: x3  y12

 # de Tér min os

x  y2

a) x2y d) xy5

b) -x2y2 e) -xy

c) x3y4

x10  x8  x6  x 4  x2  1 x 4  x2  1

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Efectuar:

(a, b  N)

a) x + x d) x6 + 1 8.

b) x - x e) x

Efectuar:

c) x - 1

x15  x12  x9  x6  x3  1 x6  x3  1

a) x9 - x d) x9 - 1 9.

b) x9 + 1 e) x6

Si el cociente términos.

c) x9 + x 8

x 1

notable: tiene 4

xm  1

m9 + m8 + m7 + .......... + m + 1

10.

b) 1 023 e) 1 026

11.

b) 60 e) 54

c) 57

b) 24 e) 18

12. Indicar el cociente de dividir:

c) 26 x 72  x66  x60  ..... 1 x36  x33  x30  ..... 1

a) x36 + x33 + x30 + .......... + 1 36

b) x

-x

a) 16 d) 128

e) x

x 1 1

usando C.N.

x 1

e) 1

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 16. Calcular el valor de “r”, sabiendo que el resultado de la siguiente división es un C.N. x2  y r  3

a) 6 d) 8

- .......... + 1

c) 7

am  3  b6

a) 5 d) 2

b) 7 e) 6

c) 3

x 70  ym  t x7  yt

+ .......... + 1

13. Calcular “a + b” si se cumple que:

b) 5 e) 4

17. Hallar el valor de “m + 5”, si sabemos que al dividir a65  b78 resulta un C.N.

d) x36 - x30 + x24 - .......... - 1 35

c) 64

18. Calcular “m”, sabiendo que el grado respecto a y del término de lugar 7 en el C.N. correspondiente a la división:

c) x36 + x30 + x24 + .......... + 1 36

b) 32 e) 256

x18  y 63

Calcular el grado del término central del desarrollo del x6m 3  y8m  3 cociente notable: x m 1  y m  1

a) 9 d) 15

2x  3

para x = -1.

a) x - 1

x2  y3z a) 56 d) 59

c) 14

14. Hallar el valor numérico del término 29 en el desarrollo del C.N. (x  3)36  x36

c) 1 024

Indique el grado del décimo término x38  y 57z19 cociente notable:

del

b) 13 e) 16

15. Encontrar el vigésimo término que se obtiene al desarrollar: x2  2x

Calcular:

a) 1 022 d) 1 025

a) 12 d) 15

a 1  111 a 1

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a) 18 d) 13

b) 15 e) 20

, es 12. c) 12

19. La siguiente división tiene como resultado un xr  y t

Calcular: r/t a) 2 d) 1/2 20. En

b) 4 e) 3 el

c) 1

xn  ym

cociente:

x3  y 4

Se sabe que el desarrollo tiene 14 términos, el valor de (m + n) es: a) 56 d) 89

b) 42 e) 98

21. El cociente desarrollo:

c) 84

que

dio

origen

x140  1

x140  1

x 1 140

140

1

x5  1

x 1 1

a) 327 d) 318

( x  y)

 ( x  y)

del

cuarto

término

28.

x3n  9  y3n

el C.N.

x3  y 2

del

x  2 3 ; y  10

b) 24 e) 72

En el desarrollo cociente notable:

c) 32

del

x a  yb x2  y 3

Hay un término cuyo grado es el doble del número de términos. ¿Qué lugar ocupa este término? a) 2

Siendo

c) 14

Calcular el V.N. del termino central para x = 1; y = 2 para:

( x  y)  ( x  y)2

24.

c) 312

b) 13 e) 10

a) 16 d) 64

b) 4 c) 5 e) Más de una es correcto

x 4  y2 a) 12 d) 15

b) 39 e) 324

23. Hallar el valor desarrollo de:

división:

3

x  33

para x = 3.

x2  y 2

x60  y30

22. Calcular el valor numérico del término tercero del cociente 33 33 de: x

2 xm  7  y8m 13

27. Hallar el lugar que ocupa el término de grado absoluto 34 en el desarrollo del cociente notable:

x5  1

origina un cociente notable indicar el valor de “m”.

a) 3 d) 6

x140  1

a) x33 - x30y2 + x27y4 - x24y6 + .... - y22 b) x30 + x27y2 + x24y4 + x21y6 + .... + y20 c) x30 - x27y2 + x24y4 - x21y6 + .... - y20 d) x30 - x27y2 + x24y4 - x21y6 + .... + y20 e) x20 - x18y + x16y2 - x15y3 + .... + y10

26. Si

x135 - x130 + x125 - ....... - x10 + x5 - 1

es:

e) 6

25. Al efectuar el desarrollo del siguiente cociente notable: x 4n  5  y 4n  6 se obtiene: xn  4  y n  5

x2  y 4

C.N.

d) 5

b) 3

a) 256 d) -128

b) -256 e) 1

c) 128

29. En el desarrollo de un C.N. se obtuvieron dos términos consecutivos: ... - x18y27 + x16y30 - ... Hallar el número de términos del cociente. a) 16 b) 15 c) 14 d) 19 e) 18

c) 4

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