Prof. Edwin Cueva
TEMA 3: LOGARITMOS 2. 8Log89 9
CONCEPTO Se denomina logaritmo de un número real
3. (x2 1)
positivo, al exponente a que se debe elevar una base positiva y distinta de la unidad, para obtener
Log 5 2 ( x 1)
5
xR
una potencia igual al número propuesto.
Este sistema fue implementado por Briggs, cuya base es 10.
Entonces: LogbN =
N = b
Log N LogN 10
Este tipo de log aritmos se llaman log aritmos decimales
DEFINICIÓN = Logaritmo R b = base
Ejemplos:
b>0 ; b1
1. Log100 Log 102 x 10
N = número al cual se le toma logaritmo.
2
10 = 10
x
x=2
N>0
Ejemplos:
2. Log1000 Log
10
103 x
3
10 = 10 x=3
2
Log525 = 2
;
por que: 25 = 5
Log1/39 = -2
;
por que: 9 = (1/3)
Log31 = 0
;
-2
Este sistema fue implementado por Neper cuya base es e 2.718…
LnN loge N
por que: 1 = 3º
x
Este tipo de log aritmo se conoce como log aritmo natural de N
IDENTIDAD FUNDAMENTAL De la definición tenemos:
Ejemplos:
= LogbN …………(1)
1. Ln e Loge e x
Tenemos que:
b = N ………………(2)
1
Reemplazando: (1) en (2) 5
LogN b N
b
2. Lne = 5 6
Identidad Fundamental
3. Lne = 6
+
x > 0 a R - {1}
Debemos saber:
Ejemplos: Log 5 3
1. 3
5 1
x
e =e
Log2 0.3
Log10 = 1
Log3 0.47
Log5 0.69
,
x=1
Prof. Edwin Cueva e) Log m Nn a
PROPIEDADES
n Loga N m
Propiedad del Sombrero
a) Log 1 0 b
Ejemplo 1)
Log 3 32 5
2 Log 3 5 3
Log31 = 0
2)
Log 4 23 3
3 Log 2 3 4
b) Log b 1
3)
Log
32 2Log 3
4)
Log
21
Ejemplo
b
Ejemplo Log33 = 1
(n R; m R; N > 0)
;
51
32
5
1 Log 2 3 2
log55 = 1
c) Logxab = Logxa + Logxb
+
(a, b, x R )
f)
1 Loga b Log a b
Propiedad Inversa
Ejemplo Log106 = Log102 + Log103 = 0,3 + 0,47 = 0,77 d) Logx(a/b) = Logxa - Logxb
Ejemplo 1)
+
(a, b, x R
1 Log 2 3 Log 3 2
2)
Ejemplo
1 Log 2 6 Log 6 2
3 Log10 = Log103 - Log102 2
= 0,47 - 0,3 = 0,17
PROPIEDADES COMPLEMENTARIAS
g) Log a b
Logx a
Logx b
Ejemplo 1 Log 3 5
Log 8
Log 3 8
5
Ejemplo 2 2 Log 5 2 8 3 3 Log 27 3 Log 3 Log 3 2 2 2 Log 25
2
Log
23
52
Prof. Edwin Cueva
2 9
Ejemplo
Log3 5
Co log
27
= h) Regla de Cadena
3 Log
1
27 3
Log
33
31
1 Log 3 3 3
1 3
Logba . Logcb . Logdc = Logda j) Antilogaritmo
Ejemplo Log35 . Log23 . Log252 = Log255 = Log 2 5
Anti log aritmo N bN
5
b
1 1 = Log 5 5 2 2
Ejemplo
i) Cologaritmo Se
define
cologaritmo
de
un
número
Antilog38 = 3
al
8
logaritmo del inverso multiplicativo de dicho número es decir:
Además:
CologbN = Logb(1/N) = -LogbN
Ejemplo 1 3
Log 5 3
Log 3 3 51 5
5
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
BLOQUE I 1.
Determina los siguientes logaritmos.
c) 7
Log 2 5 5
a) Log10 = b) Log
d) 34
3 = 2
3.
c) Log39 =
E = Log10 + Log1000 + 1
Aplicando
la
determinar
el
identidad valor
de
fundamental las
siguientes
expresiones:
a) 7
4.
a) 3
b) 2
d) 5
e) 6
Log 5 4
c) 4
Determinar el valor de: 4
A = Log10 + Logee5 + Ine
Log 4 7 =
b) 34
=
Determinar el valor de:
d) Log36 = 2.
3Log 3 7 =
=
a) 1 3
b) 2
c) 5
Prof. Edwin Cueva d) 3 5.
e) 10
Hallar “x” en cada uno de los siguientes
BLOQUE II
logaritmos:
1. a) Logx25 = 2 b) Logx36 = 2 c) Logx25 = 6.
Hallar: “E ” Si: E
7.
2.
Log6 b) 1
d) 3
e) 4
c) 2
Indicar el valor de:
3.
4 2 3 A Log Log Log 2 2 23 2 4
8.
a) 1
b) 2
d) -1
e) 4
c) 0
d) 0
e) 4
c) 3
Si: L = Log2(Log2256)
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
Simplificar:
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
Si: Log2 = 0,3 4.
Hallar el valor de: E = Log39 + Log24 + Log6 a) 1,4
b) 4,3
d) 4,9
e) 5,3
Calcular: E
1 Log 31 2 Log 2 3
c) 4,7
5.
Indicar el valor de:
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
a) 1
b) 2
b) Log
d) 4
e) 5
2
8=
c) Log
53 =
d) Log
3=
3
6.
Calcular: M Log
7.
Calcular: M Log
8.
Indicar el valor de:
3
Log 3 5
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
E Log
3 2
3
31 / 2
c) 3
9.
4
c) 3
2
64
Hallar “x” en:
x Log100 5
c) 3
Reducir: (Log23 + Log25) . Log152
a) Log327 =
52
10.
b) 2
75 50 32 G Log Log Log 16 81 243
Log3 = 0,4
9.
a) 1
Hallar:
Log2 Log3
a) 0
1 Calcular: Log 0,3 9
27 Log
a) 4/3
b) 5/2
d) 3/2
e) 4/5
Log (Log10 Lne ) Reducir: 3 3
1
32 3
c) 1/2
Prof. Edwin Cueva a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3 5.
Calcular:
UNMSM - 87 10.
J 3 5
El valor de “x” en la ecuación: Log(x)
a) 18
b) 20
d) 30
e) 25
c) 10 6.
12.
a) 2
b) 1
d) 8
e) 0
a) 0,5
b) 1
d) 2
e) -1/2
2
c) -5
8
a) -1/4
b) 4
d) 1/2
e) -8
c) -4 7.
b)
(x 1)( x 3) 3
c)
(x 1)( x 2) 2
a) 4
b) 1
c) 2
d) 5
e) 0
-1
LogN = (LogN10)
8.
………………………….. (
)
II) Ln10 = 1 ………………………………………………. (
)
III) Logbb = 2 …………………………………………. (
1 3 50 Log
b) 1/3
d) 1/6
e) 5/3
Reducir:
9.
a) 2/3
b) 3/2
d) 2
e) 1 a
Se obtiene: b-1
b) b
ab
e) a
d) a
1-a
c) 1/2
d) 4
e) 5
Log 5 7
Log 8 5
c) 3
Si: Log35 = a; Log32 = b Hallar: “Log3(2,7)” en función de “a” y “b”
Luego de reducir:
a) b
Log 7 2
b) 2
c) 1/2
a a b Log b b
Log 2 5
a) 1
ab 2
b) 3 + a – b
d) 3 – a – b
e) a – b - 3
a)
b R Log a a a
2 2 5
Reducir:
2
)
(x 1)( x 1) 2
0,32
a) 5/6
A Log 5
(Log 3) 1 2 Log 3 M Log 16 4 8
4.
e)
Indicar si es verdadero (V) o falso (F):
2
3.
d) 1
0, 4 5
37 3 3 Log Log Log 2 23 2 74 2 92
x+1
Calcular:
Calcular:
I)
3
a) (x + 1)(x + 2)
Calcular: Log Log 2 2 16
c) -1
E = lne + lne + lne + …… + lne
Log
2.
1 Log 10
Calcular:
Calcular: 3Log(2x) + 2Logx = Log1/4
BLOQUE III 1.
1
1 1 Log(16) Log(8) 1 2 3
es:
11.
1 Log 5 7
c) b
1-b
a-1
5
c)
ab 3
Prof. Edwin Cueva
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 1.
Calcular los siguientes logaritmos:
8.
a) Log864 = b) Log232 = c) Log927 = d) Log
8
e) Log
2.
3.
2=
1 3
9.
3=
Hallar “x” en: Log
25
a) 5
b) 125
d) 1/5
e) 1 1
Reducir: Log
23
d) 3
5.
10. c) 25
Log 3
11.
2
a) 3
4.
x2 2
b) 9 2
c) 1
e) 27
Reducir: Log7 5 Log7 a) 0
b) 1
d) -1
e) 3
c) 2 13.
Hallar: “E”
E Log 3 Log 9
a) 1 d) 9 6.
1
9 3
b) 2 e) 18
Reducir: A Log
9
a) 1 d) -1 7.
12.
49 1 Log7 5 7
c) 3
3 Log 2 16
b) 2 e) 0
14.
1 2
15.
c) 3
Simplificar: 3
d) 1/3
b) 243 e) 3
2 52
c) 9
6
6
84 8 x
a) 1/8
b) 3/8
d) 25/8
e) 8/25
c) 16/5
Log (x 2) 3 5
Hallar “x” en: 3 a) 1
b) 3
d) 7
e) 8
c) 4
Calcular el logaritmo de 243 en base 27. a) 5
b) 2
d) 5/3
e) 2/5
Hallar: E (3
c) 3/2
Log 5 Log 9 3 3
)
a) 27
b) 45
d) 25
e) 9
c) 15
El logaritmo de 0,0625 en base 2 es: a) 0,025
b) 0,25
d) -4
e) -2
c) 5
Hallar “x” de: Logx(x + 30) = 2 a) 4
b) 5
d) 7
e) 6 y 5
c) 6
2 Halle “x” de: 10Log (x x) 20
a) 4
b) 3
d) 5
e) 4 y 5
c) 2
Resolver: Log(x - 1) + Log(x - 2) = 2 a) 1 d) -2
Log 5 2 2
a) 81
Hallar “x” en: Log
b) 0 e) -3
c) 3