Tema 3 5to

Prof. Edwin Cueva

TEMA 3: LOGARITMOS 2. 8Log89  9

CONCEPTO Se denomina logaritmo de un número real

3. (x2  1)

positivo, al exponente a que se debe elevar una base positiva y distinta de la unidad, para obtener

Log 5 2 ( x 1)

5

xR

una potencia igual al número propuesto.

Este sistema fue implementado por Briggs, cuya base es 10.

Entonces: LogbN = 

 N = b

Log N  LogN 10 

Este tipo de log aritmos se llaman log aritmos decimales

DEFINICIÓN  = Logaritmo R b = base

Ejemplos:

b>0 ; b1

1. Log100  Log 102  x 10

N = número al cual se le toma logaritmo.



2

10 = 10

x

x=2

N>0

Ejemplos:

2. Log1000  Log

10

103  x



3

10 = 10 x=3

2

 Log525 = 2

;

por que: 25 = 5

 Log1/39 = -2

;

por que: 9 = (1/3)

 Log31 = 0

;

-2

Este sistema fue implementado por Neper cuya base es e  2.718…

LnN  loge N  

por que: 1 = 3º

x

Este tipo de log aritmo se conoce como log aritmo natural de N

IDENTIDAD FUNDAMENTAL De la definición tenemos:

Ejemplos:

 = LogbN …………(1)

1. Ln e  Loge e  x



Tenemos que:

b = N ………………(2)



1

Reemplazando: (1) en (2) 5

LogN b N

b

2. Lne = 5 6

Identidad Fundamental

3. Lne = 6

+

 x > 0  a  R - {1}

Debemos saber:

Ejemplos: Log 5 3

1. 3

5 1

x

e =e

Log2  0.3

Log10 = 1

Log3  0.47

Log5  0.69

,

x=1

Prof. Edwin Cueva e) Log m Nn  a

PROPIEDADES

n Loga N m

Propiedad del Sombrero

a) Log 1  0 b

Ejemplo 1)

Log 3 32  5

2 Log 3 5 3

Log31 = 0

2)

Log 4 23  3

3 Log 2 3 4

b) Log b  1

3)

Log

32  2Log 3

4)

Log

21 

Ejemplo

b

Ejemplo Log33 = 1

(n  R; m  R; N > 0)

;

51

32

5

1 Log 2 3 2

log55 = 1

c) Logxab = Logxa + Logxb

+

(a, b, x  R )

f)

1  Loga b Log a b

Propiedad Inversa

Ejemplo Log106 = Log102 + Log103 = 0,3 + 0,47 = 0,77 d) Logx(a/b) = Logxa - Logxb

Ejemplo 1)

+

(a, b, x  R

1  Log 2 3 Log 3 2

2)

Ejemplo

1  Log 2 6 Log 6 2

3 Log10 = Log103 - Log102 2

= 0,47 - 0,3 = 0,17

PROPIEDADES COMPLEMENTARIAS

g) Log a  b

Logx a

Logx b

Ejemplo 1 Log 3 5

Log 8

 Log 3 8

5

Ejemplo 2 2 Log 5 2 8   3 3 Log 27 3 Log 3 Log 3 2 2 2 Log 25

2

Log

23

52

Prof. Edwin Cueva 

2 9

Ejemplo

Log3 5

Co log

27

=  h) Regla de Cadena

3  Log

1

27  3 

 Log

33

31 

1 Log 3 3 3

1 3

Logba . Logcb . Logdc = Logda j) Antilogaritmo

Ejemplo Log35 . Log23 . Log252 = Log255 = Log 2 5

Anti log aritmo N  bN

5

b

1 1 = Log 5  5 2 2

Ejemplo

i) Cologaritmo Se

define

cologaritmo

de

un

número

Antilog38 = 3

al

8

logaritmo del inverso multiplicativo de dicho número es decir:

Además:

CologbN = Logb(1/N) = -LogbN

Ejemplo 1 3

Log 5 3

Log 3 3  51  5

 5

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

BLOQUE I 1.

Determina los siguientes logaritmos.

c) 7

Log 2 5 5

a) Log10 = b) Log

d) 34

3 = 2

3.

c) Log39 =

E = Log10 + Log1000 + 1

Aplicando

la

determinar

el

identidad valor

de

fundamental las

siguientes

expresiones:

a) 7

4.

a) 3

b) 2

d) 5

e) 6

Log 5 4

c) 4

Determinar el valor de: 4

A = Log10 + Logee5 + Ine

Log 4 7 =

b) 34

=

Determinar el valor de:

d) Log36 = 2.

3Log 3 7 =

=

a) 1 3

b) 2

c) 5

Prof. Edwin Cueva d) 3 5.

e) 10

Hallar “x” en cada uno de los siguientes

BLOQUE II

logaritmos:

1. a) Logx25 = 2 b) Logx36 = 2 c) Logx25 = 6.

Hallar: “E ” Si: E 

7.

2.

Log6 b) 1

d) 3

e) 4

c) 2

Indicar el valor de:

3.

4 2 3 A  Log    Log    Log   2 2  23 2 4 

8.

a) 1

b) 2

d) -1

e) 4

c) 0

d) 0

e) 4

c) 3

Si: L = Log2(Log2256)

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

Simplificar:

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

Si: Log2 = 0,3 4.

Hallar el valor de: E = Log39 + Log24 + Log6 a) 1,4

b) 4,3

d) 4,9

e) 5,3

Calcular: E 

1  Log 31 2 Log 2 3

c) 4,7

5.

Indicar el valor de:

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

a) 1

b) 2

b) Log

d) 4

e) 5

2

8=

c) Log

53 =

d) Log

3=

3

6.

Calcular: M  Log

7.

Calcular: M  Log

8.

Indicar el valor de:

3

Log 3 5

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

E  Log

3 2

3

31 / 2

c) 3

9.

4

c) 3

2

64

Hallar “x” en:

x  Log100  5

c) 3

Reducir: (Log23 + Log25) . Log152

a) Log327 =

52

10.

b) 2

 75   50   32  G  Log   Log   Log   16   81   243 

Log3 = 0,4

9.

a) 1

Hallar:

Log2  Log3

a) 0

1 Calcular: Log    0,3  9 

27  Log

a) 4/3

b) 5/2

d) 3/2

e) 4/5

Log (Log10 Lne ) Reducir: 3 3

1

32 3

c) 1/2

Prof. Edwin Cueva a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3 5.

Calcular:

UNMSM - 87 10.

J 3 5

El valor de “x” en la ecuación: Log(x) 

a) 18

b) 20

d) 30

e) 25

c) 10 6.

12.

a) 2

b) 1

d) 8

e) 0

a) 0,5

b) 1

d) 2

e) -1/2

2

c) -5

8

a) -1/4

b) 4

d) 1/2

e) -8

c) -4 7.

b)

(x  1)( x  3) 3

c)

(x  1)( x  2) 2

a) 4

b) 1

c) 2

d) 5

e) 0

-1

LogN = (LogN10)

8.

………………………….. (

)

II) Ln10 = 1 ………………………………………………. (

)

III) Logbb = 2 …………………………………………. (

1 3 50  Log

b) 1/3

d) 1/6

e) 5/3

Reducir:

9.

a) 2/3

b) 3/2

d) 2

e) 1 a

Se obtiene: b-1

b) b

ab

e) a

d) a

1-a

c) 1/2

d) 4

e) 5

Log 5 7

Log 8 5

c) 3

Si: Log35 = a; Log32 = b Hallar: “Log3(2,7)” en función de “a” y “b”

Luego de reducir:

a) b

Log 7 2

b) 2

c) 1/2

 a   a b  Log b   b   

Log 2 5

a) 1

ab 2

b) 3 + a – b

d) 3 – a – b

e) a – b - 3

a)

b  R   Log a a    a  

2 2 5

Reducir:

2

)

(x  1)( x  1) 2

0,32

a) 5/6

A  Log 5

(Log 3) 1 2 Log 3 M  Log 16 4 8

4.

e)

Indicar si es verdadero (V) o falso (F):

2

3.

d) 1

0, 4 5

 37   3   3  Log   Log   Log  2  23  2  74  2  92 

x+1

Calcular:

Calcular:

I)

3

a) (x + 1)(x + 2)

Calcular: Log Log 2 2 16

c) -1

E = lne + lne + lne + …… + lne

Log

2.

 1   Log   10

Calcular:

Calcular: 3Log(2x) + 2Logx = Log1/4

BLOQUE III 1.

1



1 1 Log(16)  Log(8)  1 2 3

es:

11.

1 Log 5 7

c) b

1-b

a-1

5

c)

ab 3

Prof. Edwin Cueva

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 1.

Calcular los siguientes logaritmos:

8.

a) Log864 = b) Log232 = c) Log927 = d) Log

8

e) Log

2.

3.

2=

1 3

9.

3=

Hallar “x” en: Log

25

a) 5

b) 125

d) 1/5

e) 1 1

Reducir: Log

23

d) 3

5.

10. c) 25

 Log 3

11.

2

a) 3

4.

x2  2

b) 9 2

c) 1

e) 27

Reducir: Log7 5  Log7 a) 0

b) 1

d) -1

e) 3

c) 2 13.

Hallar: “E”

E  Log 3  Log 9

a) 1 d) 9 6.

1

9 3

b) 2 e) 18

Reducir: A  Log

9

a) 1 d) -1 7.

12.

49 1  Log7 5 7

c) 3

3  Log 2  16

b) 2 e) 0

14.

1 2

15.

c) 3

Simplificar: 3

d) 1/3

b) 243 e) 3

2 52

c) 9

6

6

84 8  x

a) 1/8

b) 3/8

d) 25/8

e) 8/25

c) 16/5

Log (x 2) 3 5

Hallar “x” en: 3 a) 1

b) 3

d) 7

e) 8

c) 4

Calcular el logaritmo de 243 en base 27. a) 5

b) 2

d) 5/3

e) 2/5

Hallar: E  (3

c) 3/2

Log 5 Log 9 3 3

)

a) 27

b) 45

d) 25

e) 9

c) 15

El logaritmo de 0,0625 en base 2 es: a) 0,025

b) 0,25

d) -4

e) -2

c) 5

Hallar “x” de: Logx(x + 30) = 2 a) 4

b) 5

d) 7

e) 6 y 5

c) 6

2 Halle “x” de: 10Log (x  x)  20

a) 4

b) 3

d) 5

e) 4 y 5

c) 2

Resolver: Log(x - 1) + Log(x - 2) = 2 a) 1 d) -2

Log 5 2 2

a) 81

Hallar “x” en: Log

b) 0 e) -3

c) 3