Escuela de Talentos
0
TEMA 3: LOGARITMOS +
x > 0 a R - {1}
CONCEPTO Se denomina logaritmo de un número real positivo, al exponente a que se debe elevar una
Ejemplos:
base positiva y distinta de la unidad, para obtener
1. 3
una potencia igual al número propuesto.
Log 5 3
5
2. 8Log89 9
Entonces: LogbN =
2
N = b
3. (x 1)
Log 5 2 ( x 1)
5
xR
DEFINICIÓN = Logaritmo R
Log N LogN 10
b = base
Este tipo de log aritmos se llaman log aritmos decimales
b>0 ; b1 N = número al cual se le toma logaritmo. N>0
Ejemplos: 1. Log100 Log 102 x
Ejemplos:
10
;
por que: 25 = 5
Log1/39 = -2
;
por que: 9 = (1/3)
Log31 = 0
;
por que: 1 = 3º
x
x=2
2
Log525 = 2
2
10 = 10
-2
2. Log1000 Log
10
103 x
3
10 = 10
x
x=3
IDENTIDAD FUNDAMENTAL De la definición tenemos:
= LogbN …………(1)
Tenemos que:
b = N ………………(2)
LnN loge N
Este tipo de log aritmo se conoce como log aritmo natural de N
Este sistema fue implementado por Neper cuya base es e 2.718…
Reemplazando: (1) en (2) LogN b N
b
Identidad Fundamental
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1
Ejemplos:
1. Ln e Loge e x
1
x
e =e
,
x=1
d) Logx(a/b) = Logxa - Logxb
+
(a, b, x R
Ejemplo 5
2. Lne = 5
Log10
6
3. Lne = 6
3 = Log103 - Log102 2
= 0,47 - 0,3 = 0,17 e) Log m Nn a
Debemos saber: Log2 0.3
Log10 = 1
Log3 0.47
Log5 0.69
n Loga N m
(n R; m R; N > 0)
Propiedad del Sombrero
Ejemplo PROPIEDADES
a) Log 1 0 b
Ejemplo Log31 = 0
1)
Log 3 32 5
2 Log 3 5 3
2)
Log 4 23 3
3 Log 2 3 4
3)
Log
32 2Log 3
4)
Log
21
51
32
5
1 Log 2 3 2
b) Log b 1 b
f)
b
Ejemplo Log33 = 1
1 Loga b Log a
;
log55 = 1
c) Logxab = Logxa + Logxb
Propiedad Inversa +
(a, b, x R )
Ejemplo Log106 = Log102 + Log103 = 0,3 + 0,47 = 0,77
Ejemplo 1)
1 Log 2 3 Log 3 2
2)
1 Log 2 6 Log 6 2
PROPIEDADES COMPLEMENTARIAS
g) Log a b
Logx a
Logx b
Ejemplo 1 Log 3 5
Log 8 5
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Log 3 8
2
Ejemplo Ejemplo 2
Co log
27
2 Log 5 2 3 3 Log 27 3 Log 3 Log 3 2 2 2 Log
Log 25
23
8
2 9
52
=
3 Log
1
27 3
Log
33
31
1 Log 3 3 3
1 3
Log3 5
j) Antilogaritmo
h) Regla de Cadena
Anti log aritmo N bN b
Logba . Logcb . Logdc = Logda
Ejemplo Ejemplo
Log35 . Log23 . Log252 = Log255 = Log 2 5 5
Antilog38 = 3
1 1 = Log 5 5 2 2
8
Además: i) Cologaritmo Se
define
cologaritmo
de
un
número
Ejemplo 1
al
logaritmo del inverso multiplicativo de dicho
3
número es decir:
Log 5 3
Log 3 3 51 5
5
CologbN = Logb(1/N) = -LogbN
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Log 4 7 =
BLOQUE I
a) 7
1.
b) 34
Log 5 4
Determina los siguientes logaritmos.
=
a) Log10 = b) Log
3 = 2
c) 7
Log 2 5 5
c) Log39 =
d) 34
d) Log36 =
2.
3Log 3 7 =
Aplicando
la
determinar
el
identidad valor
de
fundamental las
expresiones:
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3.
=
Determinar el valor de: E = Log10 + Log1000 + 1
siguientes a) 3
b) 2
d) 5
e) 6
c) 4
3
d) 4
4.
e) 5
Determinar el valor de: 4
A = Log10 + Logee5 + Ine
5.
a) 1
b) 2
d) 3
e) 10
c) 5
Hallar “x” en cada uno de los siguientes logaritmos:
BLOQUE II
1.
a) Logx25 = 2 b) Logx36 = 2 c) Logx25 =
6.
Log6
Si: E
7.
2.
Hallar: “E ”
b) 1
d) 3
e) 4
a) 1
b) 2
d) 0
e) 4
c) 2
3.
Indicar el valor de:
Si: L = Log2(Log2256)
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
8.
b) 2
d) -1
e) 4
75 50 32 G Log Log Log 16 81 243
c) 0
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
Si: Log2 = 0,3
4.
Log3 = 0,4
Calcular: E
9.
b) 4,3
d) 4,9
e) 5,3
c) 4,7
5.
Indicar el valor de: a) Log327 = b) Log
2
8=
c) Log
53 =
d) Log
3=
52
3
c) 3
1 Log 31 2 Log 2 3
Hallar el valor de: E = Log39 + Log24 + Log6 a) 1,4
c) 3
Simplificar:
4 2 3 A Log Log Log 2 2 23 2 4 a) 1
c) 3
Hallar:
Log2 Log3
a) 0
1 Calcular: Log 0,3 9
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
Reducir: (Log23 + Log25) . Log152 a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
6.
Calcular: M Log
7.
Calcular: M Log
8.
Indicar el valor de:
2
64
3
c) 3
3 2
3
10. Hallar “x” en: Log 3 5
x Log100 5
E Log a) 1
b) 2
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c) 3
31 / 2
27 Log
1
32 3
4
9.
a) 4/3
b) 5/2
d) 3/2
e) 4/5
c) 1/2
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
b-1
b) b
ab
e) a
a) b
Log (Log10 Lne ) Reducir: 3 3
5.
J 3 5
10. El valor de “x” en la ecuación:
a) 18
b) 20
d) 30
e) 25
c) 10
6.
b) 1
d) 8
e) 0
a) 0,5
b) 1
d) 2
e) -1/2
a) -1/4
b) 4
d) 1/2
e) -8
2
3
a) (x + 1)(x + 2)
c) -5
c) -4
7.
b)
(x 1)( x 3) 3
c)
(x 1)( x 2) 2
x+1
d) 1 e)
(x 1)( x 1) 2
Calcular:
1 3 50 Log
Log
0, 4 5
0,32
2 2 5
Calcular:
37 3 3 Log Log Log 2 23 2 74 2 92 a) 4
b) 1
d) 5
e) 0
c) 2
8.
a) 5/6
b) 1/3
d) 1/6
e) 5/3
-1
LogN = (LogN10)
A Log 5 2
Log 2 5
Log 7 2
………………………….. (
)
II) Ln10 = 1 ………………………………………………. (
)
a) 1
b) 2
)
d) 4
e) 5
2
III) Logbb = 2 …………………………………………. ( Reducir: Log 3 M Log 16 4 8
a) 2/3
b) 3/2
d) 2
e) 1
c) 1/2
Luego de reducir: b R Log a a a
Log 5 7
Log 8 5
c) 3
Si: Log35 = a; Log32 = b Hallar: “Log3(2,7)” en función de “a” y “b”
(Log 3) 1 2
a a Log b b b
9.
c) 1/2
Reducir:
Indicar si es verdadero (V) o falso (F): I)
4.
c) -1
Calcular:
BLOQUE III
3.
1 Log 10
E = lne + lne + lne + …… + lne
12. Calcular: Log16Log8 2 2
2.
1
a) 2
11. Calcular: 3Log(2x) + 2Logx = Log1/4
1.
1 Log 5 7
1 1 Log(16) Log(8) 1 2 3
es:
1-b
Calcular:
UNMSM - 87 Log(x)
c) b
a-1
d) a c) 3
1-a
a
ab 2
b) 3 + a – b
d) 3 – a – b
e) a – b - 3
a)
c)
Se obtiene:
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5
ab 3
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 1.
Calcular los siguientes logaritmos:
d) 25/8
a) Log864 =
9.
b) Log232 = c) Log927 = d) Log
8
e) Log
2.
3.
2=
1 3
Hallar “x” en: Log
25
b) 125
d) 1/5
e) 1 1
23
5.
c) 25
Log 3
b) 9 2
c) 1
e) 27 49 1 Log7 5 7
Reducir: Log7 5 Log7 a) 0
b) 1
d) -1
e) 3
e) 8
a) 5
b) 2
d) 5/3
e) 2/5
11. Hallar: E (3
c) 3/2
Log 5 Log 9 3 3
)
a) 27
b) 45
d) 25
e) 9
c) 15
1
9 3
b) 2 e) 18
Reducir: A Log
9
a) 1 d) -1
a) 0,025
b) 0,25
d) -4
e) -2
c) 5
a) 4
b) 5
d) 7
e) 6 y 5
c) 6
2 14. Halle “x” de: 10Log (x x) 20
Hallar: “E”
a) 1 d) 9
c) 3
a) 4
b) 3
d) 5
e) 4 y 5
c) 2
15. Resolver: Log(x - 1) + Log(x - 2) = 2
3 Log 2 16
1 2
b) 2 e) 0
a) 1 d) -2
b) 0 e) -3
c) 3
c) 3
Log 5 2
Simplificar: 32 a) 81
b) 243
d) 1/3
8.
d) 7
c) 4
13. Hallar “x” de: Logx(x + 30) = 2 c) 2
9
7.
b) 3
12. El logaritmo de 0,0625 en base 2 es:
E Log 3 Log
6.
a) 1
2
a) 3
4.
x2 2
a) 5
d) 3
Log (x 2) 3 5
Hallar “x” en: 3
10. Calcular el logaritmo de 243 en base 27.
3=
Reducir: Log
e) 8/25
e) 3
Hallar “x” en: Log
2 52
a) 1/8
c) 9
6
84 8 x
b) 3/8
Escuela de Talentos
c) 16/5
6