Tema 4 5to

TEMA 3: CONJUNTOS CONJUNTOS RELACIÓN DE PERTENENCIA Un elemento pertenece () a un conjunto si

NOCIÓN

forma

Entenderemos como conjunto a la reunión, de

integrantes

homogéneos

que reciben el

dicho

anotada.

La relación de pertenencia vincula cada

nombre de

elemento con el conjunto, más no vincula

elemento del conjunto.

elementos o conjuntos entre sí.

Ejm:

DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO

P = {a, b, c, … , x, y, z}

A. Extensión o forma tabular Se enuncia todos los elementos válidos para conjuntos con escasa cantidad de numerosos

(o

bP

P

mP

1P

5P

elementos o para aquellos que siendo excesivamente

agregado de

un conjunto si no cumple con la condición

o

heterogéneos con posibilidades reales o abstractas,

o es

conjunto. Un elemento no pertenece () a

agrupación, agregado, clase, colección o familia

parte

hasta

infinitos) poseen una cierta ley de RELACIÓN DE INCLUSIÓN

formación la cual resulta evidente.

Se dice que A esta incluido en el conjunto B cuando todo elemento “A” pertenece a “B” la

B. Comprensión o forma constructiva

inclusión se simboliza por:

Se enuncia a sus elementos por medio de una propiedad o cualidad común a

ABxAxB

ellos y que le es valida únicamente a estos.

También puede decirse que A es parte de, es contenido en, es subconjunto de conjunto

Ejemplos: A.

B. Se puede denotar también por B  A que se

Determinar el conjunto de las cinco Determinar

el

conjunto

de

“A”

incluye,

contiene

superconjunto del conjunto A.

vocales B.

lee

los

Ejm:

números impares (+) menores que

M = {Tener}

16.

N = {Perros} P = {Mamíferos}

Por extensión: A = {a, e, i, o, u}

Entonces: M  N  P  N  P

B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} Por comprensión: A = {x/x es una vocal} B = {x/x es un número impar < 16}

1

o

es

CONJUNTO NULO O VACÍO Un

conjunto

que

EJERCICIOS DE APLICACIÓN no

posee

elementos

se

1.

denomina conjunto vacío, también se le llama

Colocar el valor de verdad a cada proposición si: A = {2; 3; {1}; {2, 1}}

conjunto nulo.

 A

Se le denota comúnmente por:  ó { }.

3 A

Convencionalmente el conjunto vacío es un

 1A

subconjunto de cualquier otro conjunto.

 {1}  A  {3}  A  A

CONJUNTO UNITARIO Es el conjunto que consta de un solo elemento, al

conjunto

unitario

también

se

le

llama

SINGLETON.

2.

a) FVFFVV

b) FFVVFF

d) FVFVFV

e) VVFVFV

c) FFFVVV

¿Cuántos subconjuntos tiene A = {1, {1}, 1, }?

CONJUNTO UNIVERSAL Es un conjunto de referencia para el marco de una situación particular, es posible elegirlo de

3.

acuerdo a lo que se trata.

a) 16

b) 15

d) 4

e) 32

¿Cuántos

c) 8

subconjuntos

tiene

el

siguiente

conjunto?

A = {x2/x  Z; -9 < 2x – 1 < 11}

CONJUNTO DISJUNTOS Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen elementos

comunes,

también

se

les

llama

4.

conjuntos excluyentes.

a) 10

b) 12

c) 15

d) 18

e) 23

Calcular la suma de los elementos del conjunto A. A = {x/x  N; 10 < 3x + 2 < 18}

CONJUNTO POTENCIA Se llama así al que está formado por todos los subconjuntos de un conjunto dado. conjunto

“A”

cuyo

número

de

Dado un

5.

elementos

a) 10

b) 12

c) 15

d) 18

e) 23

Colocar el valor de verdad a cada proposición si: A = {8; 3; {2}; {1, 3}}

(cardinal) es n(A), el cardinal de su conjunto potencia P(A) será aquella potencia de 2 cuyo

3A

(

)

8A

(

)

exponente es n(A)

2A

(

)

 3  {1, 3} (

)

 {3}  A

(

)

4A

)

n[P(A)] = 2n(A) 6.

(

Si el conjunto A tiene 2 elementos. ¿Cuántos subconjunto propios tendrá P(A)?

SUBCONJUNTO PROPIO Es aquel que siendo subconjunto de un conjunto

a) 3

b) 7

d) 31

e) 15

c) 8

dado no es igual a este. Para un conjunto a de 7.

cardinal n(A) tenemos:

Determine por extensión el conjunto: A = {x-1/ x  N, 4 x < 9}

# de subconjuntos propios de A = 2n(A) - 1

a) {0, 1} 2

b) {0, 1, 2}

c) {-1, 0}

d) {-1, 0, 1} 8.

e) {0,2}

Dado el conjunto:

a) { }

b) {0}

d) {2}

e) {0, 1}

c) {1}

B = {x+3/x  Z, x2 < 9} 15. Dados los conjuntos:

9.

Calcule la suma de los elementos del conjunto

A = {( x -3)  Z/ 16  x2  625}

“B”

B = {(2y - 1)  Z/ 2 

a) 12

b) 15

d) 9

e) 18

Hallar: n(A) + n(B)

c) 3

Determine por extensión el siguiente conjunto: T = {x/x =

b) {3, 4}

d) {0, 3, 4}

e) {0,4}

1. c) {0, 3}

A = {a + b; a + 2b – 2; 10} 2.

es un conjunto unitario 2

Dar el valor de a + b . a) 16

b) 80

d) 58

e) 52

c) 68

3.

A = {x/x  Z; -7 < 4x + 1 < 21} b) 63

d) 15

e) 31

c) 16

A = {4a + 3b; 23}

4.

B = {3a + 7b; 41} son unitarios.

Hallar: a + b b) 4

d) 7

e) 9

c) 5

5.

A = {a + b; b + c; a + c; 6} Calcular: a x b x c b) 6

d) 18

e) 27

c) 9

5x  1  N}

6.

3

b) 12 e) -12

c) -10

Sabiendo que el siguiente conjunto es unitario.

M = {aa + b; 2a + b; 9} Hallar: a . b b) 4 e) 12

c) 6

Sean los conjuntos iguales: A = {a3 + 2; 20} B = {29; b5 – 4a} 2 Hallar: a + b2 b) 12 e) 20

c) 13

Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: M = {2; 3; {5}; {8; 10}} I. n(M) = 5 IV. {2, {5}} M II. {3}  M V. {8; 10}  M III. {{5}}  M b) VFVFV e) FFVVV

c) VFVVF

Dado el conjunto: A = {; 5; 4; {4}} ¿Qué proposiciones son falsas?

I.   A IV.   A II. {4}  A V. {5}  A III. {5, 4}  A a) Solo IV d) Solo IV y V

14. Determinar por extensión el siguiente conjunto: A = {x2 – 3x + 2/ 1  x < 3 

A = {a2 + 9; b + 2} B = {-9; 10} Si se sabe que A = B. Calcular a – b

a) FFFVV d) FFVVF

13. Si el siguiente conjunto es unitario:

a) 3

c) 17

Dados:

a) 10 d) 18

12. Sabiendo que los conjuntos:

a) 2

e) N.A.

a) 8 d) 10

11. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene:

a) 64

b) 14

d) 23

a) 9 d) -9

10. Sabiendo que el conjunto:

2

a) 12

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS

x3 ; x  N} 12 x

a) {3}

3y  2  7}

b) Solo II e) N.A.

c) Solo V

Calcular la suma de los elementos del conjunto B.

B = {x2/ x  Z, -5 < x < 3} a) 40 d) 32 7.

b) 30 e) 25

b) -20 e) 10

El conjunto subconjuntos. conjunto A?

a) 13 d) 42

b) 2 e) N.A.

a) 1  B d) 9  B

c) 3

¿Cuántas elementos tiene el conjunto potencia del conjunto A? A = {x/x es una cifra del número 3575} a) 2 d) 13

b) 12 e) 16

c) 15

10. Si el conjunto A tiene 1024 subconjunto. ¿Cuántos elementos tiene A? a) 6 d) 10 11.

b) 8 e) N.A.

c) 9

Si: A = B

A = {3a+2 ; 81} B = {3b+2 + 2; 27} Hallar: a . b a) 1 d) 4

12. ¿Cuántos vacíos?

b) 2 e) N.A. de

los

c) 3

siguientes

conjuntos

son

A = {x  N/ x + 1 = 0} B = {x  Z/ 3x + 1 = 0} C = {x  Q/ x2 - 7 = 0} D = {x  R/ x4 + 4 = 0} a) 1 d) F.D.

b) 2 e) Todos

13. Señalar verdadero o falso: I. =0 ( II. 2  {3, 4, 2} ( III. {5, 6}  {3, 4} ( IV. {1, 3}  {1, 3, 2} ( V. {2}  {{2}, 3} (

b) 15 e) N.A.

c) 23

15. Si: B = {2x -1 / x  N  1 < x < 7} entonces no es cierto que:

c) 12

potencia de A tiene 512 ¿Cuántos elementos tiene el

a) 4 d) 8 9.

14. Dado el conjunto: A = {x  Z / -5  x  -2} Hallar la suma de los elementos.

Sean los conjuntos iguales: A = {a2 + 1; 12} B = {a – b; 17} ¿Cuál puede ser el valor de a + b? a) -12 d) 4

8.

c) 35

c) 3

) ) ) ) ) 4

b) 5  B e) N.A.

c) 7  B

OPERACIONES CON CONJUNTOS C.

Debemos tener en cuenta los siguientes gráficos:

A.

DIFERENCIA A - B = {x/x  A  x  B}

UNIÓN O REUNIÓN

A

A  B = {x/x  A  x  B} A

B

B

A-B A

Cuando los conjuntos tienen algo en

B

común.

A

B

A–B B A

Cuando los conjuntos no tienen nada en común.

A-B

B A

B - A = {x/x  B  x  A} A

B

Cuando un conjunto incluye a otro.

B.

INTERSECCIÓN

B-A

A  B = {x/x  A  x  B}

A

A

B

B

A

B

B–A B A

B

B-A

A

5

II. CONMUTATIVA

D.

DIFERENCIA SIMÉTRICA

AB=BA AB=BA

A  B = (A - B)  (B - A) = (A  B) – (A  B) A

AB=BA

B

III. ELEMENTOS NEUTROS AU=U AU=A A=A

A

A=

B

IV. COMPLEMENTO A  A’ = U A  A’ = 

B

(A’)’ = A

A

V.

DIFERENCIA DE CONJUNTOS A – B = A’  B’

E.

A – B = B’ - A’

COMPLEMENTO

VI. LEYES DE MORGAN (A  B)’ = A’  B’ (A  B)’ = A’  B’ A

VII. ASOCIATIVAS (A  B)  C = A  (B  C) (A  B)  C = A  (B  C)

PROPIEDADES

(A  B)  C = A  (B  C)

 (A’) = A

 (A  B)’ = A’  B’

 U’ = 

 (A  B)’ = A’  B’

VIII. DISTRIBUTIVAS

 ’ = U

A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

LEYES Y PROPIEDADES DEL ÁLGEBRA DE CONJUNTOS I.

IX.

IDEMPOTENCIA

SI A y B SON DISJUNTOS AB= A–B=A

AA=A

B–A=B

AA=A

AB=AB 6

X.

ABSORCIÓN III.

A

A  (A  B) = A

B

C

U

A  (A  B) = A

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 16. Si: U = {x/x  N  0  x  9}

20. Sean

(A  B)’ = {0, 6, 9}

A = {1, 5, 7, 8, 9} B = {1, 5, 8, 9}

A  B = {1, 2, 7}

C = {1, 8}

A – B = {3, 5}

D = {1, 9, 7}

¿Cuál es la suma de los elementos de (B - A)? a) 10

b) 11

d) 13

e) 14

Hallar:

c) 12

17. Si: A  B =  y además n [P(A  B)] = 256

(A  C) – (B  D)

a) {8}

b) {9}

d) {9, 7}

e) {9, 8}

c) {7, 8}

21. Para dos conjuntos A y B se tiene que:

n(A) – n(B) = 1

A  B = {x/x  Z / 2  x  8}

n[A  B] = 3

A  B = {5}

Hallar: n(B)

A – B = {4, 6, 7}

a) 3

b) 5

d) 8

e) 4

Hallar la suma de los elementos de B.

c) 7

18. Determinar: E = (A - B)  (B - C)

a) 31

b) 12

d) 15

e) N.A.

c) 18

Si: A = {x/x  N / x es divisor de 12} B = {x/x es un número natural / x es divisor

22. Sean

de 18}

B = {2, 4, 6, 8, 10}

C = {x/x  N / x es divisor de 16}

C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Hallar:

Dar como respuesta n(E) a) 1

b) 0

d) 3

e) N.A.

E = [A  (B  C)’]  (A’ – B’) Siendo:

c) 2

U = {x/x  N x < 12}

19. En los diagramas mostrados como se puede expresar lo sombreado.

I.

A = {1, 3, 5, 7, 9}

a) {9, 11}

b) {9, 10, 11}

d) {8, 10, 11}

e) N.A.

c) {8, 9, 10}

23. Sean los conjuntos: A

B

A = {x/x  Z, x2 < 400}

U

B = {x/x  Z, -2 < x + 1 < 400} Determinar el cardinal del conjunto: L = (A - B)  B

II.

A

B

U

a) 20

b) 21

d) 38

e) 41

24. Se conoce que: 1. (A  B  C)’ = {1, 8, 12} 2. (A  C) = {2, 3, 4, 5, 6, 10, 11} 7

c) 40

3. (A  B) = {2, 3, 4, 5, 7, 9} C = {3; a – 1; c2 + 3}

4. (A  C) = {5}

Donde: a, b y c  Z 5. (B  C) = 

Hallar: n[P [(A  C)  (B  C)]]

6. B’ = {1, 2, 5, 6, 8, 10, 11, 12} Calcular la suma de los elementos de:

a) 4

b) 3

D = (B  C) – A

d) 16

e) 32

a) 30

b) 35

d) 43

e) 47

c) 41

29. Si:

c) 8

U = {1, 2, 3, 4, 5} A  B = {1, 2, 3, 4} A  B = {1, 3}

25. Dado el conjunto universal “U” y los conjuntos

A – B = {2}

“A”, “B” y “C” sabiendo además:

Luego el conjunto B es:

1. A  C = {7} 2. (A  B  C)’ = {2, 10}

a) {1, 2}

b) {2}

3. B’ = {2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11}

d) {1, 3, 4}

e) {3, 5}

c) {1, 2, 3}

4. A  C = {1, 3, 5, 6, 7, 9, 11} 5. A  B = {1, 4, 5, 6, 7, 8, 11}

30. Siendo:

6. B  C = 

A = {1, b, c, d, e} B = {a, b, d} C = {c, e, b}

Calcular: “2n(A) + n(B)” Hallar el cardinal del conjunto 26. Se tiene dos conjuntos A y B tales que:

M = [(A  B) - C]  ( A  B)

1. n(A) – n(B) = 3 2. n[P(A  B)] = 2048

a) 0

b) 1

3. n[P(A  B)] = 16

d) 3

e) 4

c) 2

4. n(B’) = 9 ¿Cuántos subconjuntos tiene A’?

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS a) 8

b) 16

d) 128

e) 32

c) 64 1.

A

27. Si: C – B = {7, 5, 6}

n(A’) = 10

C – A = {7, 9, 10}

n(B’) = 5

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

n(U) = 17

B = {2, 3, 4, 8, 9, 10}

n[(A  B)’] = 13

C = {4, 5, 6, 7, 9, 10} ¿Cuántos

Siendo A y B dos subconjuntos del conjunto universal U se sabe que:

B

elementos

C hay

en

la

Hallar: n(A  B) + n(A  B) parte

sombreada? a) 3

b) 4

d) 6

e) 2

c) 5

2.

a) 14

b) 15

d) 17

e) 19

Si:

c) 16

M = {1, 2, 3, 5} N = {2, 3, 4, 5, 6} P = {0, 1, 2, 3}

28. Si “A”, “B” y “C” tienen 1, 2, 3 elementos

Diga cual de las siguientes igualdades es

respectivamente:

correcta:

A = {a + b; 7; b + c2}

a)

B = {a; c2; b + 1; (b + 2)} 8

M  (N  P) = (M  N)  P

3.

b)

P  (M  N) = (M  N)  (M  P)

c)

(M  N)  (M  P) = M  (N  P)

d)

M  (N  P) = (M  N)  (M  P)

e)

N.A.

Si:

7.

¿Qué operación representa la zona sombreada? a) b) c) d) e)

U = {x/x  N  0  x  9} (A  B) ‘ = {0, 6, 9}

U

(B  C) – (A - B) (C - B)  (B - A) (C - A)  (B - C) (B - C)  (A  C) (B - A)  (C - A)

A

B

C

(A  B) = {1, 2, 7} (A - B) = {5, 3} ¿Cuál es la suma de los elementos B – A?

4.

a) 12

b) 18

d) 10

e) 20

El

siguiente

grafico

8.

c) 15

indica

cantidades

de

la expresión?

(E - F)’  (G’ - E)

9.

F 6

7 4

5

9 6

3

5.

b) 17

d) 24

e) 30

6.

b) 3 e) N.A.

c) 20

b) 43 e) 39

b) {2, 3} e) {2}

c) {1, 2, 3}

10. Si:

A = {a + b; 12; 2a – 2b + 4} Es un conjunto unitario y B = {x/x  N, b < x < a} C = { x/x  N, a – 3 < x < 3b - 2} ¿Cuántos subconjuntos tiene: “(B  C)  A”? a) 8 d) 3

b) 16 e) 32

c) 4

11. Con la siguiente información: U = {x/x  Z, -4 < x  5} A  B = {2, 3} (A  B)’ = {-3, 1} A’ = {-1, 0, 1, -3} Hallar cuantos subconjuntos tiene: A  B

c) 5

Hallar la suma de elementos de A  B siendo: A = {x + 1/ x  N, 5  x < 10} x1 B={  N / x  N, 6 < x  20} 3 a) 36 d) 34

c) 6

Dados los conjuntos: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} A = {x-1 / x  N, 2  x  6} B = {x/x  N, 2  x  5} C = {x  N / (x - 1) (x - 2) (x-6) = 0} Hallar: [(B  C)’ – (A  B  C)]’ a)  d) {4}

Dados los conjuntos: A = {4, 5, 8, 9, 10} B = {5, 6, 7, 8, 9} C = {2, 3, 4, 5, 6} Hallar el cardinal de: (A  C)  (B - A) a) 4 d) 6

b) 5 e) 8

8

G

a) 8

U = {x/x  N, 0 < x < 15} A = {x2 + x + 2/ x  N; 2  x < 6} B = {2x + x / x  N; 1  x < 5} Hallar el cardinal de (A  B)’ a) 4 d) 9

elementos por zona. ¿Cuántos elementos tendrá

E

Si:

a) 8 d) 2

c) 45

b) 4 e) 32

c) 16

12. Dados los conjuntos A y B se conocen: n(A) – n(B) = 2 n(A - B) = n(A’) n[P(A’)] = 128 n[U] = 20 Hallar n[P(B - A)] 9

a) 16 d) 4

b) 8 e) N.A.

c) 32

13. Dados los conjuntos: U = {x/x  Z, 2  x < 13} A = {2, 5, 6, 7} B = {x/x  A  x < 5} C = {x/x  A  x < 10} Hallar cuantos subconjuntos tiene: [(A - B)’  (C - B)’]’ a) 1 d) 8

b) 2 e) 16

c) 4

14. Si: U = {x/x  N, 1 < x < 12} A = {x/x  N, x2 = 3x + 10} B = {x/x  N, (x + 5) (x - 4) (x - 2) = 0} Hallar: n(A  B)’ a) 5 d) 8

b) 6 e) 4

c) 7

15. En el siguiente gráfico se muestran las cantidades de elemento por zonas, hallar la cantidad de elementos de: E = [(A  B) – (C  D)]  [(C - B)  [(D - A)] B

A C 2

2

D 3

4

4

3

a) 6 d) 7

b) 8 e) N.A.

c) 9

10