Tema 4 5to by Edwin Cueva

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TEMA 1: PROPOSICIONES LÓGICAS Enunciado.- Es toda frase u oración que se utiliza en nuestro lenguaje PROPOSICIÓN.- Es todo enunciado, respecto de la cual se puede decir si es verdadera (V) o falsa (F) Notación Por lo general, a las proposiciones se las representa por las letras del alfabeto desde la letra p, es decir, p, q, r, s, t,... etc. Así, por ejemplo, podemos citar las siguientes proposiciones y su valor de verdad: Proposición

i) ¿Eres estudiante de matemática?( j) 15 < 13 k) Ponga atención

) ( ) ( )

ENUNCIADOS ABIERTOS.- son aquellos enunciados que constan de variables. Se convierte en una proposición cuando se le asigna un valor específico a la variable". Ejemplos:

a) p: x es la capital del Perú

q: Rímac es el distrito de la provincia de Lima (V) r: El número 15 es divisible por 3. (V) s: El perro es un ave. (F) t: Todos los triángulos tienen cuatro lados (F) u: ¿Qué día es hoy? No es una proposición p: ¡Viva el Perú 1!

Sí x: Lima, Quito… Para p (Lima): Lima es la capital del Perú es verdadero (V) Para p (Quito): Quito es la capital del Perú es falso (F) b) q: y + 4 = 11 , y es número natural Y: 0; 1; 2; 3; 4;….. Para q (1): 1+ 4 = 11 , es falso (F) q (7): 8+4 = 11 , es verdadero (V)

EXPRESIONES NO PROPOSICIONALES

Practicamos

a) ¡Levántate temprano! b) ¿Has entendido lo que es una proposición? c) ¡Estudia esta lección! d) ¿Cuál es tu nombre l? e) Prohibido pasar f) Borra el pizarrón No son proposiciones por no poder ser evaluadas como verdaderas ni falsas. Las exclamaciones, órdenes ni las preguntas son proposiciones Resolvemos

I.-Indique cual (es) de los siguientes enunciados son proposiciones: a) 5 + 7 = 16 - 4 ( ) b) ¡Estudie lógica proposicional! ( ) c) Los hombres no pueden vivir sin oxigeno ( ) d) 3 x 6 = 15 + 1 y 4 - 2  23 x 5 ( ) e) ¿El silencio es fundamental para estudiar? ( ) f) 20 -18 = 2 ( ) g) Breña es un distrito de la provincia de Lima ( ) h) Un lápiz no es un cuaderno ( )

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Determine cuales de los siguientes enunciados son enunciados abiertos y para que valores de la variable las proposiciones son verdaderas y falsas a) b) c) d) e) f) g) h)

x es hermano de y 28 < 15 El es arquitecto Tenga calma ,no se impaciente 9x + 3 = 12 , x  R x es Ingeniero y Juan es Matemático 3x – 8 > 15 , x  R

x + y  15 , x,y i) 2x + 5 > 11, x  R j) 3x + 7 = 11, x  N l)

R

x es un animal CLASE DE PROPOSICIONES

A) Proposición Simple o Atómicas.- Son aquellas proposiciones que constan de un solo enunciado proposicional . Por ejemplo, sea la proposición

p: 3 + 6 = 9

OPERACIONES PROPOSICIONALES

B) Proposición Compuesta o molecular.- Son aquellas proposiciones que constan de dos o más proposiciones simples. Ejemplo: r: Pitágoras era griego p

era geómetra q

Encontramos dos enunciados. El primero (p) nos afirma que Pitágoras era griego y el segundo (q) que Pitágoras era geómetra. Ejemplo: p: Juan es profesor o Manuel es arquitecto Donde podemos observar que la proposición p, se divide en dos proposiciones simples: r: Juan es profesor y s : Manuel es arquitecto Es decir , p : r o s

Definiremos las operaciones entre proposiciones en el sentido siguiente: dadas dos o más proposiciones, de las que se conoce los valores veritativos, se trata de caracterizar la proposición resultante a través de su valor de verdad. A tal efecto, estudiaremos a continuación el uso y significado de los diferentes conectivos lógicos mencionados arriba: 1.-NEGACIÓN Dada una proposición p, se denomina la negación de p a otra proposición denotada por ~p (se lee "no p") que le asigna el valor veritativo opuesto al de p. Por ejemplo: P : Diego estudia matemática ~p: Diego no estudia matemática Por lo que nos resulta sencillo construir su tabla de verdad:

CONECTIVOS LÓGICOS.proposiciones simples

Enlazan

A partir de proporciones simples es posible generar otras, simples o compuestas. Es decir que se puede operar con proposiciones, y para ello se utilizan ciertos símbolos llamados conectivos lógicos

Se trata de una operación unitaria, pues a partir de una proposición se obtiene otra, que es su negación. Ejemplo. La negación de p: todos los alumnos estudian matemática es ~p: no todos los alumnos estudian matemática o bien: ~p: no es cierto que todos los alumnos estudian matemática ~p: hay alumnos que no estudian matemática 2.-CONJUNCIÓN Dadas dos proposiciones p y q, se denomina conjunción de estas proposiciones a la proposición p  q (se lee "p y q") Ejemplo. Sea la declaración i) 5 es un número impar y 6 es un número par  p q

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Vemos que está compuesta de dos proposiciones a las que llamaremos p y q, que son p: 5 es un número impar q: 6 es un número par y por ser ambas verdaderas, la conjunción de ellas (que no es sino la declaración i) es verdadera.

Ejemplo2 Si p: Hace frío en Invierno , y q: Napoleón invadió Lima p  q: Hace frío en invierno o Napoleón invadió Lima Por ser al menos una de las proposiciones verdadera la conjunción es verdadera 4.-IMPLICACIÓN O CONDICIONAL

Tabla de verdad p

p  q

V V F F

V F V F

V F F F

La tabla que define esta operación, establece que la conjunción es verdadera sólo si lo son las dos proposiciones componentes. En todo otro caso, es falsa. Ejemplo 2: Si p: 3 es menor que 7 q: Todo número par es múltiplo de dos Entonces: p  q: 3 es menor que 7 y todo número par es múltiplo de dos Por ser ambas verdaderas la conjunción de ellas es verdadera 3.-DISYUNCIÓN Dadas dos proposiciones p y q, la disyunción de las proposiciones p y q es la proposición p  q, se lee” p o q “ Ejemplo 1. Tiro las cosas viejas o que no me sirven El sentido de la disyunción compuesta por p y q (p: tiro las cosas viejas, q: tiro las cosas que no me sirven) es incluyente, pues si tiro algo viejo, y que además no me sirve, la disyunción es V. La disyunción o es utilizada en sentido excluyente, ya que la verdad de la disyunción se da en el caso de que al menos una de las proposiciones sea verdadera Tabla de verdad p

p  q

V V F F

V F V F

V V V F

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Implicación de las proposiciones p y q es proposición p  q (si p entonces q). proposición p se llama antecedente, y proposición q se llama consecuente de implicación o condicional. Ejemplo.

la La la la

Supongamos la implicación i) Si apruebo, ENTONCES te presto el libro p



La implicación proposiciones

q está

compuesta

las

p: apruebo q: te presto el libro Nos interesa conocer la verdad o falsedad de la implicación i), en relación a la verdad o falsedad de las proposiciones p y q. El enunciado puede pensarse como un compromiso, condicionado por p, y podemos asociar su verdad al cumplimiento del compromiso. Es evidente que si p es F, es decir si no apruebo el examen, quedo liberado del compromiso y preste o no el apunte la implicación es verdadera. Si p es verdadera, es decir si apruebo el examen, y no presto el libro, el compromiso no se cumple y la proposición i) es falsa. Si p y q son verdaderas, entonces la proposición i) es verdadera pues el compromiso se cumple. Tabla de verdad p

p  q

V V F F

V F V F

V F V V

La tabla nos muestra que la implicación sólo es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.

5.-DOBLE IMPLICACIÓN O BICONDICIONAL

proposición p  q (se lee "p o q en sentido excluyente") cuya tabla de valores de verdad es:

Doble implicación de las proposiciones p y q es la proposición p  q (se lee "p si y sólo si q") Ejemplo 1: p: Karina ingresa a la universidad q: Karina estudia mucho Entonces: p  q: Karina ingresa a la universidad si y sólo si estudia mucho. Ejemplo 2: Sea i) a = b si y sólo si a² = b² El enunciado proposiciones:

está

compuesto

por

p  q

V V F F

V F V F

F V V F

La verdad de p  q está caracterizada por la verdad de una y sólo una de las proposiciones componentes.

las Ejemplo. Sea

p: a = b q: a² = b² La falsedad de esta doble implicación pq está caracterizada por la falsedad de una y sólo una de las proposiciones componentes. Tabla de verdad p

p  q

V V F F

V F V F

V F F V

i) o vamos a Lima o vamos a Ica

Queda claro que sólo podremos ir a uno de los dos lugares, y sólo a uno. Es decir que el enunciado i) es verdadero sólo si vamos a una de las dos ciudades. En caso de ir a ambas, o de no ir a ninguna, el enunciado es Falso.

TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN Y CONTINGENCIA

La doble implicación o bicondicional sólo es verdadera si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad. La doble implicación puede definirse como la conjunción de una implicación y su recíproca. De este modo, la tabla de valores de verdad de p  q puede obtenerse mediante la tabla de (p  q)  (q  p), como vemos: p

pq

qp

(p  q)  (q  p)

V V F F

V F V F

V F V V

V V F V

V F F V

Al conjunto de proposiciones, conectivos lógicos y símbolos de agrupación lo denominamos fórmula lógica. Por ejemplo: ~ {(p  q)  (s  t)} Tautología Si al evaluar una fórmula lógica, resulta que todos los valores de verdad resultantes son siempre V para cualquier combinación de sus valores veritativos, decimos que dicha fórmula es una Tautología o Ley lógica. Ejemplo. Si analizamos la proposición t: p  ~p realizando su tabla de verdad: p

p  ~p

V F

F V

V V

6.- DIFERENCIA SIMÉTRICA Diferencias simétricas o disyunción en sentido excluyente de las proposiciones p y q es la

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Vemos que para cualquier combinación de las proposiciones p y su negación ~p, la proposición

t: p  ~p es siempre verdadera. Entonces, la proposición t es una tautología.

Ejemplo. Analicemos ahora la fórmula lógica {(p  q)  p}  q p

pq

qp

{(pq)p}q

V V F F

V F V F

V F V V

V F F F

V V V V

En este caso comprobamos también que independientemente de la combinación de valores de verdad de las proposiciones p y q, el resultado de la fórmula lógica es siempre V. Decimos, aquí también, que esta fórmula es una tautología o ley lógica. Contradicción Si al estudiar una fórmula lógica, a diferencia de los ejemplos anteriores resulta que para cualquier valor de verdad de las proposiciones intervinientes el resultado de dicha fórmula es siempre falso, decimos que dicha fórmula es una Contradicción. Ejemplo Analicemos la fórmula lógica p  ~p p

p  ~p

V F

F V

F F

Contingencia Encontramos que la fórmula es siempre falsa, es entonces una Contradicción. Si una proposición no es una tautología ni una contradicción (es decir que contiene al menos un valor V y otro F) es una contingencia.

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EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1.-Halle el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a).- Lima es la capital del Perú y Bolivia se encuentra ubicada en América del Sur. b).-Si 2 > 1 , entonces 3 > 2 ó 21 < 5 c).- 24 es un número par y 42 es un número impar d) Si Bolivia limita con el Perú , entonces Perú limita con Chile. 2.- Formalice las siguientes proposiciones a).- Si ella no viene entonces nos vamos al cine. b)- Si trabajas y estudias te preparas mejor para el futuro.

c) Ser bachiller o titulado en Ciclo Superior y tener 18 años cumplidos son condiciones para poder ejercer la docencia. d).- Si dominas las asignaturas y te relacionas bien con todas las personas del colegio entonces no has perdido el tiempo". e)- Si tengo muchos exámenes que corregir y he descansado un poco al mediodía, trabajo hasta las doce de la noche. Pero hoy no trabajo hasta las doce. Por tanto, será que no he descansado al mediodía. f) Si te cuesta entender las cosas, pero te esfuerzas diariamente, seguro que no suspendes. g).-Estudio Álgebra si y solo si estudio Física, o si no estudio Física entonces estudio Aritmética. h) Roxana estudia o trabaja, pero si no estudia entonces trabaja. En consecuencia, Roxana no trabaja hoy no es lunes.

4.- Clasifique como tautología, contradicción y contingencia. Los siguientes esquemas moleculares: a) [(pΛ q) → q ] v p b) (p→q) v p c) p→(pΛq)

d) ~ (p v q) Λ p e) [ (p → ~ q) Λ p ] → ~ q f) ~p v ~ ( p v q )

5.- Si p y q son proposiciones falsa y verdadera respectivamente, halle el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) p V ( p → q ) b) ( p V q ) → p

c) p Λ ( p→ q ) d) (p V q ) ↔ [ p Λ ( p→ q ) ]

5.- Si p=V, q= V, r= F. Halle el valor de verdad de los siguientes esquemas moleculares: a) (p Λ q) → (~ p V r) c) p Λ q → r e) ( p ↔ ~q ) → r b) ~r Λ [p →( r V q ) ] d) )[(pΛ q) → (q Λ r )] ↔ ~p f) (~ p V q ) →(~r Λ q ) 6.- a) Si la proposición p → (~p V q ) es falso , determine el valor de verdad de : ~ (p V q ) b) Si la proposición ( p Λ q ) → ( q→r ) , es falsa determine el valor de : p V r

7. Formaliza los siguientes razonamientos. ¿Son tautologías, contradicciones o Indeterminaciones (contingencias)? a).Si tengo razón, entonces estoy loco. Pero si estoy loco, entonces tengo razón. Por tanto, no estoy loco. b).Si tengo razón, entonces estoy loco. Pero si estoy loco, entonces tengo razón. Por tanto, no tengo razón. c.)A menos que me equivoque, estoy loco. Pero si estoy loco, tengo que estar Equivocado. Por tanto, estoy equivocado. d).Si tengo razón, entonces tú estás loco. Si yo estoy loco, no tengo razón. Si Tú eres un loco, tengo razón. Por tanto, no estamos los dos locos al mismo Tiempo. e) Si la prima de Mayra no quiere cenar, entonces come su empanada. Si come su empanada, no le dan torta. La prima de Mayra no quiere cenar y se retira de la mesa. Por lo tanto no le dan torta.

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EJERCICIOS DE TABLAS DE VERDAD Y FORMALIZACIÓN MÁS TABLAS DE VERDAD Construya la tabla de verdad de las siguientes fórmulas. Indique qué fórmulas son tautológicas, cuáles contradictorias y cuáles indeterminadas. 1.

Jaime se come el polo o se le derretirá; no se derrite el polo; por tanto, Jaime se come el polo.

Juan partirá para Japón, si María se queda en Venecia. Rosa viajará a Luxemburgo o Juan no partirá para Japón. O María no se queda en Venecia o Rosa no viajará a Luxemburgo. Por consiguiente, María no se queda en Venecia.

3. Si la Luna es mayor que la Tierra, la Tierra es mayor que el Sol. Júpiter es mayor que Plutón, si la Tierra es mayor que el Sol. Por tanto, si la Luna es mayor que la Tierra, Júpiter es mayor que Plutón. 4. Cuando viajo me mareo. Siempre que me mareo, me entra un hambre atroz. Así pues, siempre que me entra un hambre atroz, viajo. 5. O el amor es ciego y los hombres no son conscientes del hecho de que el amor es ciego, o el amor es ciego y las mujeres sacan ventaja de ello. Si los hombres no son conscientes de que el amor es ciego, entonces el amor no es ciego. En conclusión, las mujeres sacan ventaja de ello. 6.

Si Guillermo estudia, obtiene buenas notas. Si no estudia, lo pasa bien en el colegio. Si no saca buenas notas, no lo pasa bien en el colegio. Así pues, Guillermo obtiene buenas notas.

7. Cuando Eduardo no juega al baloncesto, juega al tenis; cuando juega al tenis, juega al fútbol; no juega al fútbol. Por tanto, Eduardo juega al baloncesto. 8. Si la tormenta continúa o anochece, nos quedaremos a cenar o a dormir; si nos quedamos a cenar o a dormir no iremos mañana al concierto; por consiguiente, iremos mañana al concierto.

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