TEMA 4: FACTORIZACION I 1.
2
x (4x
Factor Algebraico
2
+ 5); donde sus factores 2
primos son: “x” y “4x + 5”
Sean F y P dos polinomios de grados positivos. Decimos que F es factor algebraico de P si y sólo si P es divisible por F, es decir P F es
Factorizar: 2
exacta.
2
2
3
a x – ax – 2a y + 2axy + x – 2xy Veamos que no existe factor común
2.
alguno
Factor Primo
a
simple
vista,
entonces
tendremos que agrupar apropiadamente:
Sean F y P dos polinomios de grados positivos.
2
2
2
3
2
Decimos que F es un factor primo de P si y
a x – 2a y – ax + 2axy + x – 2x y
sólo si F es polinomio irreductible y factor
a (x – 2y) – ax(x - 2y) + x (x – 2y)
algebraico de P.
(x – 2y) (a – ax + x )
2
2
2
FACTORIZACIÓN
2.
2
criterio del aspa simple Se utiliza para factorizar a polinomios de la
Es la transformación de un polinomio en la
siguiente forma general:
multiplicación indicada de sus factores primos (o potencias de sus factores primos).
Ax
Ejemplo:
2 3
4
2
5
2n
n m
6
o
P(x, y) = 2x y (x - 5) (x – x + 1) (y - 2) tiene 5 factores primos: 4 lineales
2m
+ Bx y + Cy
Ax
2n
m, n N n
+ Bx + C
: x ; y ; (x - 5) ; (y - 2) 2
1 cuadrático : (x – x + 1) Ejemplo:
Criterios para factorizar Existen diversos
criterios
2
x
para factorizar
polinomios, entre ellos tenemos:
1.
+
5x
+
6
x
3
3x
x
2
2x
(+)
5x
FACTOR COMÚN – AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS
(x + 3) (x + 2)
Se buscan factores comunes que pueden ser monomios o polinomios. En caso de no haber
PROCEDIMIENTO
algún
En los extremos del aspa se colocan los factores que multiplicados en sentido vertical deben reproducir los términos encerrados en los círculos punteados. Además la suma de los productos en aspa debe reproducir el término central; si es así los factores serán tomados en forma horizontal.
factor
común,
se
agrupará
convenientemente tratando de que aparezca algún factor común. Ejemplo:
4
2
2
Factorizar: 4x + 5x notamos que x es un factor común. 1
Ejemplo:
Ejemplo: 2
x
-
8x
+
x
-5
x
-3
3
2
Factorizar: x + x – x – 1
15
2
2
x (x + 1) – (x + 1) = (x + 1)(x - 1) (x + 1)(x + 1)(x - 1) 3
2
2
x + x – x – 1 (x + 1) (x - 1)
2
x – 8x + 15 = (x - 5)(x - 3)
4
2
Factorizar: x + 2x + 9
Hacemos por conveniencia que:
3.
criterio de las identidades
2
2
2
2x = 6x – 4x
En este caso utilizaremos las equivalencias algebraicas en sentido inverso al de los productos notables.
entonces: 4
2
x + 6x + 9 – 4x 2
(x
+ 3)
2
2
2
– 4x
(x
2
+ 3)
2
– (2x)
diferencia de cuadrados. 2
2
(x + 2x + 3) (x – 2x + 3)
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1.
Factorizar:
d) 2b + c 4
2 3
3 2
e) a – b + c
4
A(m, n) = mn – 5m n + 4m n – 20m n; 5.
dar el número de factores primos:
Factorizar: 2
2
2
2
2
2
K(x, y) = (9x – 4y )x + 25y (4y – 9x );
2.
a) 2
b) 3
d) 5
e) 6
c) 4
indicando el número de factores primos:
Factorizar: 5 5
6 4
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
7 3
F(x, y) = x y – 2x y + x y ; 6.
indicar un factor primo:
2
2
Factorizar: M(x) = x – b + 2ax + a
2
Dar un factor primo:
3.
a) x + y
b) x – y
d) x + 2y
e) x
c) x – 2y
5
a) x + a
d) x + b
b) x + a – b
e) x + a – 2b
c) x – a + b
Factorizar: L(a, b, c, x) = a(x - 1) – b(1 - x) + cx – c;
7.
dar un factor primo:
Factorizar: 2
M(a, b) = a + 2a + ab + b + 1;
4.
a) x + 1
b) a + b – c
d) x – 2
e) a – b + 2c
c) a + b + c
dar un factor primo:
Factorizar: 3 2
3 2
3 2
5
R(a, b, c) = a b + b c – a b – b ;
a) a + 2
b) a + 1
d) a + b – 1
e) 2a + 1
dar un factor primo: 8. a) b + c
b) a + b
2
2
Factorizar: 14
c) a – ab + b
P(x) = x 2
2
– x – 6x – 9;
c) a - 1
2
indicando la suma de factores primos: 14. 7
7
a) 2x – 6
b) 2x
7
d) x + x 9.
Factorizar:
c) 2x + 6
4
2
P(a) = 35a – 61a + 25;
e) 2x + 7
indicando el número de factores primos:
Factorizar: 2
2
P(x, y) = 6x – 31xy – 30y ;
a) 1
b) 2
d) 4
e) 8
c) 3
indique la suma de coeficientes de uno de los 15.
factores primos:
Factorizar y dar como respuesta el número de factores de:
10.
a) 7
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
32
P(x) = x
Factorizar: 4
2
M(x) = (x - 1) + (x - 1) – 6; dar la suma de coeficientes de un factor
b) -2
d) 6
e) -4
b) 6
d) 8
e) 11
c) 10
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
primo: a) 1
a) 4
-1
1.
c) 5
Factorizar: 7 7
13
M(a, b) = 64a b – ab ; dar un factor primo:
11.
Factorizar: P(a, b, c) = (a + b + c) (a – b + c) – (a + b)(a - b);
a) a
dar un factor primo.
b) b 2
d) 4a + 2ab – b
a) a
b) c
d) 2a + b
e) a + c
2
2
c) 2a - 3b
e) a + b
3
c) 2a - c 2.
Factorizar: 5
4 2
3 3
P(x, y) = x y + 2x y + x y ; 12.
Factorizar: 2
2
2
indicar un factor primo:
3
P(a, b, c) = a(a + bc) + c(a + b ) – b ; e indique un factor: 2
2
a) a + b + c
b) a + b
d) a – b + c
e) a + bc
2
c) b + c
2
a) x + y
b) x – y
d) x + 2y
e) x – 3y
c) x – 2y
2
3.
Factorizar: 2
13.
M(x, y) = 12(x - y) + 7(x - y) – 12;
Factorizar: 4
dar el número de factores primos.
2
P(x) = (x + 1) – 5(x + 1) + 4; indicando un factor primo: a) x + 3
b) x + 5
d) x + 10
e) x + 8
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
c) x + 7 4.
Factorizar: 2
2
2
2
M(x, y) = ab(x – y ) + xy(a – b ); dar un término de un factor primo. 3
dar un factor primo: a) ay
b) –ax
d) b 5.
c) -by
2
e) a + b
F(a, b) = a
6
– 64b
6
2
m
n
m
n
indicando el número de
10.
m
n
a
b
b) x - y
d) x + y - z
factores primos.
6.
a) x + y
p
a
c) x + y
b
e) x - y
Factorizar: 6
2
M(x) = x – x – 8x – 16;
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
dar el número de factores primos.
c) 3
Factorizar: 2
2
M(x, y) = (3x + y) – (3y - x) ;
11.
a) 6
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
Factorizar:
dar el número de factores primos:
R(m) = 3
2m+2
–3
m+1
– 30;
dar el número de factores primos.
7.
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3 b) 2
d) 4
e) 5
3
2
2
12.
3
Factorizar: 2
P(a,b,c) = (a + b)(a + b + c + 4) – 2c + 5c + 3;
dar un factor primo:
dar la suma de coeficientes de un factor 2
2
a) x + y
b) x + y
d) 2x + y
e) x – 2y
primo.
c) x + 2y
2
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
Factorizar: 4
2 2
4
13.
P(x, y) = 25x – 109x y + 36y ;
Factorizar: P(x, y) e indicar un factor primo: 4
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
2
c) 3
a) 2x + y 2
14.
M(x,y,z) = x
m b
2
d) 5x + 3y
Factorizar: m+a
a n
n b
p a
2 2
4
P(x,y) = 10x + 7x y – 12y
indicando el número de factores primos:
9.
c) 3
Factorizar: M(x, y) = x – 2x y + xy – 2y ;
8.
a) 1
p b
2
b) 2x + 3y 2
2
2
2
2
c) 5x – 2y
2
e) 2x – y
Hallar el término independiente de uno de los factores que:
+x y +x y +y y +z x +z y
(x + 1)(x - 3)(x + 4)(x - 6) + 38
15.
a) 2
b) -5
d) 5
e) 1
¿Cuántos
factores
c) 3
cuadráticos
tiene
siguiente binomio? 8
P(x) = x - 1
4
a) 0
b) 1
d) 3
e) 4
c) 2
el