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TEMA 5: FACTORIZACION II CRITERIO DEL ASPA DOBLE Se emplea para factorizar polinomios que tienen la
Factorizar:
siguiente forma general.
2
2
x + 5xy + 4y + 2x + 5y + 1 2
2
Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F ro
1 ) Se trazan dos aspas simples entre los términos 2
2
5x
3y
2
3x
y
7
Verificaciones:
2
Ax Cy Cy F.
1ra Aspa : xy + 4xy = 5xy
do
2 ) Se traza un aspa grande entre los extremos 2
Ax F.
2da Aspa : 4y + y
= 5y
3ra Aspa : x + x
= 2x
ro
3 ) Se verifican las aspas simples y el aspa grande. Tomamos los factores en forma horizontal.
to
4 ) Se toman los factores en forma horizontal.
(x + 4y + 1) (x + y + 1)
Factorizar: 2
CRITERIO DEL ASPA DOBLE
2
15x + 14xy + 3y + 41x + 23y + 14 Descomponiendo
los
términos
en
forma
conveniente.
ESPECIAL Se utiliza para factorizar polinomios de 4to
2
2
15x + 14xy + 3y + 41x + 23y + 14 5x
3y
2
3x
y
7
Grado de la forma general: 4
3
2
Ax + Bx + Cx + Dx + E
ro
Verificaciones:
1 ) Se aplica un aspa simple en los términos
1ra Aspa : 5xy + 9xy =
14xy
2da Aspa : 21y + 2y
=
23y
3ra Aspa : 35x + 6x
=
41x
4
extremos Ax E. do
2
2 ) El resultado se resta del término central Cx . ro
3 ) Expresar la diferencia en dos factores y Tomamos los factores en forma horizontal. (5x + 3y + 2)(3x + y + 7)
colocarlos debajo del termino central. to
4 ) Luego se aplican dos aspas simples y se toman horizontalmente.
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1
CRITERIO DE LOS DIVISORES
Factorizar: 4
5x
+ 22xy
3
+ 21x
2
+ 16x + 6
2
5x
+3
Este método se emplea para factorizar
2
+2
polinomios de una sola variable y que admiten
x
factores de primer grado.
Verificaciones: 2
BINOMIOS
2
Factorizar: 3
2
P(x) = x + 6x + 3x – 10
2
10x + 3x = 13x 2
2
Entonces: 21x – 13x = 8x
2
Calculamos los posibles ceros: ±(1, 2, 5, 10) son
2
Se descompone 8x en dos factores (2x)(4x)
todos los divisores del término independiente con signo ±.
que se ubican bajo el término central: Empezamos con los valores mas pequeños,
2
5x
+2x
+3
tomando solo los valores que eliminan al
2
+4x
+2
polinomio.
x
Tomamos los factores en forma horizontal. 2
4
Si el polinomio se anula para x = 1 entonces un 3
- 13x
2
+ 7x + 6x - 8
2
4
2
-2
3x 2x
Verificaciones: 2
2
R = P(1) = 0
Factorizar: 6x
3
R = P(1) = 1 + 6(1) + 3(1) – 10
2
(5x + 2x + 3) (x + 4x + 2)
Para: x = 1
2
factor será (x - 1). P(x) = (x - 1) Q(x) ………….() 3º
1º
2º
Calculamos Q(x) por Ruffini. 2
-6x + 8x = 2x 2
1 2
2
1
Entonces: 7x – 2x = 5x
1 2
Se descompone 5x en dos factores (-5x)(-x) que se ubican bajo el término central: 4
6x
3
- 13x
2
-5x
4
2
-x
-2
2x
2
3
-10
1
7
+10
7
10
0
2
Q(x) = x + 7x + 10 x
5
x
2
+ 7x + 6x - 8
2
3x
6
Reemplazando en () P(x) = (x - 1) (x + 5) (x + 2)
2
(3x – 5x + 4) (2x – x - 2)
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2
EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1.
Factorizar:
4
2
F(x, y) = 3x + 7xy + 2y + 11x + 7y + 6 Entonces un factor primo es: a) 3x + 2y + 1 b) x + 3y + 2 c) 3x + 2y + 2
2.
3.
4.
9.
4
a) 2y d) -5
a) -3 d) 3
b) 2x e) 3x
c) -y
10. Factorizar:
Factorizar:
b) -2 e) 0
c) 2
3
F(x; y) = (x + 3y) + 2(x - 3) + 3(2y - 3) La suma de sus factores primos es:
F(x) = x (x - 4) + (2x + 7) (2x - 7) La suma de los términos lineales de sus factores primos es:
a) 2x + 6y + 3 b) 2x + 6y + 2 c) 2x + 10y + 2
a) 4x d) 0
2
d) 2x + 5y - 14 e) 2x + 10y - 1
Factorizar: F(x; y) = (3x - y)(x – 4y) + 5x(y + 2) – 8y + 3 La suma de coeficientes de un factor primo es: b) -1 e) 2
Factorizar:
c) 3
Factorizar:
2
2
b) 4x + 5y e) 4x – 2y + 3
4
3
c) 4x – 5y
2
d) x + 3x + 4
2
2
e) x + 3x + 3
2
b) x + 2x + 2 2
c) x + 2x + 4
2
2
2
d) 2x + 5x + 4
2
e) 2x + x + 2
a) 2x + 3x + 1 b) 2x + 2x + 3
a) 3x + 2 d) 3x + 4
3
c) 2x
2
b) 3x – 2 e) 3x + 5
3
c) 2x - 1
2
F(x) = x – 5x – 2x + 24 La suma de los términos independientes de sus factores primos es:
13. Factorizar:
b) -10 e) 2
c) -5
3
F(x) = 2x + 7x2 + 7x + 2 Indicar uno de sus factores lineales. a) x + 3 d) 2x – 1
14. Factorizar:
F(x) = (x + 2x)(x – x) + 7x + 3 La suma de sus factores primos es:
b) -2x e) -4x
F(x) = x + 2x – 5x - 6 La suma de factores primos lineales es:
a) -11 d) 11
2
a) x + 3x – 4
Factorizar:
11. Factorizar:
12. Factorizar:
F(x) = x + 5x + 13x + 17x + 12 Uno de sus factores primos es:
b) x – 1 e) x - 2
c) 2x + 1
2
F(x) = 2(x + 1)(x – x + 1) – x(5x - 1) El coeficiente principal de uno de sus factores primos es:
2
2
8.
Factorizar:
c) -3
F(x) = x + 1 – 3x(x + 1)(x - 1) La suma de coeficientes de uno de sus factores primos es:
a) x + 2y + 3 d) 4x + 2y + 3
7.
b) -1 e) 2
Factorizar: F(x; y) = 3x(x - y) – 2y(x + y) + 7(2x + y) - 5 El término de un factor primo es:
F(x; y) = 4x – 13xy + 10y + 12x – 15y Señalar un factor primo:
6.
a) 0 d) 3
d) x + 2y + 3 e) x + y + 6
a) -2 d) 1
5.
3
F(x) = x – 5x + 16x + 8 El coeficiente del termino lineal de uno de sus factores primos es:
2
c) 2x + x + 4 Factorizar:
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2
a) -2 d) 3
b) 2 e) -3
c) -1
15. Factorizar:
3
F(x) = x(x + 1)(x - 1) + 2 – 2x El factor primo que mas se repite es: a) x + 2 d) x – 1
b) x – 2 e) x + 3
4
3
2
2x – 7x + 3(x – x - 1) a) 5x + 6 d) 4x
c) x + 1 9.
b) 4x – 1 e) 5x
c) 3x - 2
Dar la suma de factores lineales de: 4
3
2
2x – 13x – 3(x – x - 2)
Ejercicios Complementarios I. 1.
Método del aspa doble: Factorizar: 2
a) No tiene d) 3x + 1
b) 2x – 3 e) 3x - 1
10. Indicar un factor primo de: 4
2
b) 6x + 17xy + 5y + 19x + 28y + 15 2
2
c) 10x + xy – 2y + 17x – 5y + 3 2.
d) 2x + 3y + 1 e) 3x + 2y + 2
2
2
3
2
3
2
3
2
b) x + 7x + 15x + 12
2
a) 3x – 2y – z b) 3x – 2y – 2z c) x – y – 2z
d) x – 2y + z e) 3x - y + z
2
2
(x + y) + (x + 2z) + 2z(x + 2y) + xy a) 2x + 2y + z b) 2x + y + z c) 2x + 2y + z
d) x + y + 2z e) x + y + z
3
2
b) 2x + 3
2
e) 3x - 2
d) 3x + 5x -3
3
e) x + 1
3
2
2
Indicar un coeficiente de un factor primo de: 4
a) 5 d) -5
b) 6 e) 7
b) 4x + 7 e) 2x - 3
c) 4x - 5
2
15. Indicar la suma de factores primos de: 3
2
3x – 2x – 5x + 4
c) 4
Indique la suma de coeficientes de un factor primo de: 4
a) 4x + 1 d) 4x – 7
2
3(2x - 1) + 11x(x + x + 1)
7.
c) 3x - 1
2x – 7x + 9
c) 2x + 3x + 2x + 14x + 3 6.
2
b) x – 2x + 4
14. Dar la suma de factores primos de:
2
3
2
3x + 7x – 10x - 4
b) x + 11x + 33x + 26x + 6 4
c) 2x - 3
13. Indicar un factor primo de:
d) x + 2x – 4
2
2
6x + x – 9x - 9
2
a) x + 8x + 19x + 14x + 3 3
12. Indicar un factor primo de:
a) x – 2
Método del aspa doble especial: Factorizar: 3
c) x – 3x – 16x - 12
a) 3x – 5x + 3
Indicar un factor primo de:
4
III. Método de los divisores binómicos: 11. Factorizar: a) x + 2x – 8x - 21
Dar un factor primo de:
4
e) 2x + 6x - 3
2
c) 4x + 6x - 3
3x + 2y – 2z – 5xy – 5xz + 3yz
II. 5.
2
2
a) 3x + 3y + 1 b) 3x – 3y + 2 c) 2x – 2y + 1
4.
2
d) 2x – 6x - 3
b) 4x – 4x + 3
6(x – y ) + 7(x - y) + 2(3y + 1)
3.
2
a) 4x + 6x + 3 2
Indicar un factor primo de: 2
2
16x – 12x + 9
2
a) 2x + 7xy + 6y + 11x + 19y + 15 2
c) 3x - 3
a) 4x + 4 d) 5x + 4
b) 4x – 3 e) 5x + 2
c) 4x + 3
2
3(x + x + 2) + x (7x + 2) a) 6 d) 5 8.
b) 8 e) 9
c) 7
Indicar la suma de factores primos de:
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4