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TEMA 5: CONGRUENCIA DE TRIANGULOS
Primer Caso (L.A.L)
PROPIEDADES DE LA BISECTRIZ
A
º
º
bisectriz de AOB se cumple
P B
PA = PB
º
PROPIEDADES DE LA MEDIATRIZ
º
L
E
Siendo:
º
º
L
mediatriz de
AB se cumple: M
A
EA = BE
B
Tercer Caso (L.L.L)
PROPIEDAD EN EL TRIÁNGULO ISÓSCELES
B
º º
Altura Mediana Bisectriz Segmento de mediatriz
BH
OA = OB
Segundo Caso (A.L.A)
la
OP
º º
O
Siendo
A
Cuarto Caso (A.L.LM)
C
PROPIEDAD DE LA BASE MEDIA
º
H
B
º
M
A
Si: M es punto medio de AB y MN // AC Se cumple:
N
C
BN = NC 1
Si: E y F son puntos medios. Se cumple:
53º Q
P
37º
4a
F
E
=
5a
3a
b
b
R
2b
PROPIEDAD DE LA MEDIANA TRIÁNGULO RECTÁNGULO
EN
EL k
k
B Si: BM es mediana relativa a AC. Se cumple: M
A
C
3k
37º/2
76
n
BM =
n
14º
53º/2
74 7a º
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES
4n
25a 16º 24a
45º a
a
a
60 º
B
2a a
a
45 º
a
30 º
A
75
15º
H
C
4a
2
EJERCICIOS DE APLICACIÓN 4. Calcular “x”; L 1
NIVEL 1
L2 son mediatrices de AB y BC
respectivamente.
1. Calcular “x”, en cada caso.
b) 20º c) 30º
53º
B
a) 10º
x
20
70º xº
L1
L2
d) 40º
6
e) 50º
45º
P
A
C
Q
x
5. Calcular “AC”, si PQ = 6 x
B
a) 6 b) 3
30º
c) 12
10
M
d) 24 a)
24, 12 2 , 5
b)
5, 10,
c)
16, 6 2 , 5
e) 48
d) 6 2 , 5, 18
2
e) 3 2 , 12, 5
N P
Q C
A
NIVEL 2
6. Si: AB = BC; Calcular “AH”
B
2. Calcular “x”
c
b) 135º
a+b
c) 45º d) 40º e) 30º
º A
b) 20 c) 12 d) 15 e) 5
B
a) 6 b) 4 c) 2
xº
º b
3. Calcular “x” a) 16
Si; además : PQ = 4 y PR = 6
a
a) 127º
H
d) 10 D
e) 12
Q A
R C
P
7. Dado el triángulo ABC isósceles (AB = BC) se toma
B
un punto de la prolongación de AC y se traza las
16
distancias hacia los lados iguales del triángulo
C
isósceles, calcular la altura. Trazada de uno de los vértices de los ángulos iguales. Si dicho punto dista
x 53º
º º
de los lados iguales 8 y 3. Respectivamente. A
a) 11
b) 8
d) 4
e) 3
c) 5
3
8. Calcular “x”.
NIVEL 3
Si : AB = 6 , AH = 2 B
11. Según la figura; BQ
a) 2 b) 4
x
c) 6 e) 3
Si : BQ = AN, MN = a y QN = b Calcule “AC”
D
B
a) a+b
º º
d) 8 A
C
H
9. En el gráfico L 1
L2 son mediatrices de BD y AC
, respectivamente. Si : m∢BOA = m∢COD, Calcular :
a) b)
L2
1
CD
B
d) 2b–a e) 2a–b
C
d) 1
º
A
Q
N
C
BE = 20 y MQ = 6. Calcule “x”
L1
a)
c) 3
M
c) 2b+a
12. En la figura AC = CD = DE y BM = MC. Además si :
1 A
º
b) 2a+b
AB
3 2
MN
b) 0
c)
D
e) 2
10.
En el gráfico, HBMN es un cuadrado y AB = a, calcule HP.
d) e)
B
37º
45º 2
Q
53º
M
2
xº
37º 2 15º
A
C
D
E
M
B
13. En la región exterior y relativa a BC , de un triángulo ABC, se construye un triángulo equilátero
P
BCP. Si : m∢BAC = 60º, AB = 10 y AC = 30. Calcule la suma de las distancias de “P” a AB y AC .
37º/2 A
a) b) c)
H
a 10 2 a 1 30 10 a 10 3
C
N
d) a 13 e)
a 10 5
a) 40 3
b) 20 3
d) 18 3
e) 10 3
c) 15 3
14. En un triángulo ABC, se traza la mediana BM , luego se traza la perpendicular AH a BM , si :
AH = 16m
y HM = 15m. Calcule “HC” a) 30m d) 34
b) 31 e) 17
c) 16
4
15. De la figura mostrada.
4. Determine “x”; AB = 4, AD = 8 y CD = 3
Calcular “x” Si : AD = CD (Sugerencia : Prop. Cuadrilátero cóncavo). B
a) 10º b) 5º
2xº
c) 15º d) 30º e) 18º
2xº
xº
115
b)
135
c)
127
d)
143
e)
153
xº
º º
A
5. Calcular “x”
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
a)
18
b)
9
c)
3
d)
6
e)
12
C
B
D
B
C
D
A
a)
º
º
N
x E
º
3 A
M
P
C
1. Calcular “x” xº NIVEL 2 º
6. Calcular “BN”. Si : AF = 5, BC = 17.
º
( MN : Mediatriz de AC ). a) 120º - º b) 120º + º c) 120º - 2º
B
d) 120º + 2º e) 120º - 3º
2. Calcular “x” ; AC = 16 , AB = 10 a)
3
b)
2
c)
6
d)
5
e)
10
B
12
b)
6 2
c)
3 2
d)
4
e)
3
16
b)
12
c)
8
d)
6
e)
3
N F
A x
P º A
º
C
M
7. Calcular el perímetro de la región triangular MNP;
Q
AB = 6, BC = 8 y AC = 12 C
3. Calcular “x” a)
a)
B M 6
B
a)
6
b)
8
c)
10
d)
13
e)
26
M
A
N
P
N
x A
45º
N
C
5
8. Del gráfico, Calcular “x” a)
3
b)
4
c)
6
d)
8
e)
10
10.
Si : AB = 10, BC = 8, BP = 1 Calcular : “MP”
B
C 8
5
5
30º A
D
F
x
a)
2
b)
4
c)
6
d)
7
e)
8
M P
9. Si : AB = BC , AP = 2 , BM = 8 y CQ = 4 Calcular “PQ” a)
10
b)
6
c)
8
d)
12
e)
5
A
B
B
C
NIVEL 3
11.
A
Calcular “x” ; Si : AB = BC = AD B
a) 120º P
M
Q
C
60º
b) 112º
xº
c) 132º d) 122º
96º
e) 142º
A D
12.
Del gráfico, calcular “DH”. Si : BE = 2 B
a)
1
b)
2
c)
1,5
d)
0,5
e)
2,5
E
A
º º
D H
C
6