Escuela de Talentos
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TEMA 6: PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA
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EJERCICIOS DE APLICACIÓN
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SEMEJANZA DE TRIร NGULOS I.
DEFINICIร N Dos triรกngulos se llaman semejantes cuando tienen sus รกngulos respectivamente congruentes y los lados homรณlogos proporcionales. Los lados homรณlogos son los opuestos a รกngulos congruentes y la razรณn de semejanza es la relaciรณn entre dos lados homรณlogos. Dos triรกngulos semejantes ABC y A1 B1 C1 satisfacen condiciones siguientes:
Teorema 1 (AA) Primer criterio.- Si dos triรกngulos tienen dos รกngulos ordenadamente congruentes, entonces son semejantes.
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Teorema 2 (LAL) Segundo criterio.- Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos lados proporcionales y congruentes el ángulo comprendido entre ellas.
Teorema 3 (LLL) Tercer criterio.- Dos triángulos son semejantes cuando tienen proporcionales sus tres lados.
NOTA: Teorema del Incentro
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Teorema de Menelao
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Teorema de Ceva 4. Hallar “AB” ; BE = 4 y EC = 12 B
a) 4
b) 12
E
c) 6 d) 8
A
C
D
e) 10
EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Hallar: “ED” ; ED
AC
5. Hallar “AB” ; BC = 7
; BD = 8 ; 3BE = 4EC
B
a) 7
B
b) 14
a) 8 b) 4
D
c) 3
A
c) 10
E
A
C
d) 8
C
e) 9
d) 7
6. Hallar “x” ; AB = 3BC
e) 6 2. Calcular “x” ; AB
DE
B
; DG = 6 ; GC = 9
a) 15
B
b) 10
a) 5 E
b) 10
c) 5
c) 7
d) 20
d) 8
A
B
C x
A
x
D
G
5
e) 1
C
7. Hallar “x”
e) 4
3. Hallar “x” ;
AB = 12 ; AC = 16 ; BC = 14
a) 5
B
b) 10
a) 3
c) 15
D
b) 6
x
d) 8
A
2
x
d) 20
c) 4
3
C
e) 8
e) 10
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7
8. Hallar “AD” ; DC = 8 y
BC BD
7
12. Hallar “BQ” ; QD = 5 ; CP = 3PD ABCD : Paralelogramo
3
B
B
C
a) 5
a) 5 A
b) 6
C
D
c) 7
b) 10 Q
D
d) 4
P
c) 15 d) 20
e) 8
D
A
e) 25
9. Calcular “BD” ; AB = 9 y BC = 4
13. Hallar “NC” ; MN // AB ; BN = 4 ; 6AB = 7MN
B
a) 4
b) 5
B a) 8
b) 12
N
c) 6 c) 16
d) 7
A
C
D
d) 20
A
e) 9
C
M
e) 24 10. Calcular “MN” ; AC = 60 ; 2NC = 3BN ; MN
AC
14. Hallar “AD” ; BE = 3 y 3AM = 4MC
B a) 12
E
B
C
a) 6
b) 24
M
N
d) 48
A
M
b) 3
c) 36
c) 9
C
D
A
d) 12
e) 60
e) 15
11. Hallar “AB” ; AD = 2 ; DC = 6 a) 1
15. Calcular “PQ” ; PQ AB 3BQ = 2QC ; PC = 18
b) 2
a) 6
B
c) 3
Q
b) 12
c) 10
d) 4 e) 5
B
A
D
C
d) 15
A
P
C
e) 2
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8
16. Hallar “x” x
20. Hallar “x”
a) 1
2
B
a) 10
b) 2
5a
4
c) 3
b) 8
d) 4
c) 6
e) 5
d) 4
a D
C
A
2
x
e) 2 17. Hallar “x – y”
21. Hallar “x”
a) 6
a) 10
5a
3a
b) 5
b) 6 y
x
c) 4
x
1
2
c) 4
24
d) 7
d) 3
e) 3
e) 5
18. Hallar “BC”; MB = 2 ; AM = 6
22. Hallar “AB” ; BC = 8
a) 1 b) 2
b) 9
c) 3
a) 8
M
A
C
C
A
d) 16
e) 5
e) 18
19. Hallar “x” ; BC = 6
23. Hallar “x”
d) 24
a) 1
b) 2
4
A
c) 3
C 2a
e) 30
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4a
8
b) 12 c) 18
x
B x
5a
c) 10
d) 4
a) 6
B
B
a
d) 4 e) 12
9
24. Hallar “BC” ; BC MN ; MN = 8 ; 3AM = 4BM B a) 4
M
b) 6 c) 8
A
C
N
d) 10 e) 14 25. Calcular “x” a) 8
b) 2
X
c) 5
3
5
d) 24 e) 21
26. En el paralelogramo. Hallar : AP PC = 8 y AD = 3BQ B
Q
C
a) 8 P
b) 12 c) 16 d) 15
A
D
e) 24
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