Tema 6 5to 2unidad

Escuela de Talentos

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TEMA 6: PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA

Escuela de Talentos

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EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Escuela de Talentos

3

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4

SEMEJANZA DE TRIร NGULOS I.

DEFINICIร N Dos triรกngulos se llaman semejantes cuando tienen sus รกngulos respectivamente congruentes y los lados homรณlogos proporcionales.

Los lados homรณlogos son los opuestos a รกngulos congruentes y la razรณn de semejanza es la relaciรณn entre dos lados homรณlogos.

Dos triรกngulos semejantes ABC y A1 B1 C1 satisfacen condiciones siguientes:

Teorema 1 (AA) Primer criterio.- Si dos triรกngulos tienen dos รกngulos ordenadamente congruentes, entonces son semejantes.

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5

Teorema 2 (LAL) Segundo criterio.- Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos lados proporcionales y congruentes el ángulo comprendido entre ellas.

Teorema 3 (LLL) Tercer criterio.- Dos triángulos son semejantes cuando tienen proporcionales sus tres lados.

NOTA:  Teorema del Incentro

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 Teorema de Menelao

6

 Teorema de Ceva 4. Hallar “AB” ; BE = 4 y EC = 12 B

a) 4





b) 12

E

c) 6 d) 8

A

C

D

e) 10

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Hallar: “ED” ; ED

AC

5. Hallar “AB” ; BC = 7

; BD = 8 ; 3BE = 4EC

B

a) 7

B



b) 14

a) 8 b) 4

D

c) 3

 A

c) 10

E

A

C

d) 8



C

e) 9

d) 7

6. Hallar “x” ; AB = 3BC

e) 6 2. Calcular “x” ; AB

DE

B

; DG = 6 ; GC = 9

a) 15

 

B

b) 10

a) 5 E

b) 10

c) 5

c) 7

d) 20

d) 8



A

B

C x

A

x

D

G

5

e) 1

C

7. Hallar “x”

e) 4



3. Hallar “x” ;

AB = 12 ; AC = 16 ; BC = 14



a) 5





B

b) 10

a) 3

c) 15

D

b) 6

x

d) 8

A



2

x

d) 20



c) 4

3

C

e) 8

e) 10

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7

8. Hallar “AD” ; DC = 8 y

BC BD

7



12. Hallar “BQ” ; QD = 5 ; CP = 3PD ABCD : Paralelogramo

3

B



B

C



a) 5

a) 5 A

b) 6

C

D 

c) 7

b) 10 Q



D

d) 4

P

c) 15 d) 20

e) 8

D

A

e) 25

9. Calcular “BD” ; AB = 9 y BC = 4

13. Hallar “NC” ; MN // AB ; BN = 4 ; 6AB = 7MN

B

a) 4



b) 5

B a) 8



b) 12

N

c) 6 c) 16



d) 7

A

C

D

d) 20

A

e) 9

C

M

e) 24 10. Calcular “MN” ; AC = 60 ; 2NC = 3BN ; MN

AC

14. Hallar “AD” ; BE = 3 y 3AM = 4MC

B a) 12

E

B

C

a) 6

b) 24

M

N

d) 48

A

M

b) 3

c) 36

c) 9

C

D

A

d) 12

e) 60

e) 15

11. Hallar “AB” ; AD = 2 ; DC = 6 a) 1

15. Calcular “PQ” ; PQ AB 3BQ = 2QC ; PC = 18

b) 2

a) 6

B

c) 3

Q

b) 12



 

c) 10

d) 4 e) 5

B

 A

D

C

d) 15

A

P

C

e) 2

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8

16. Hallar “x” x

20. Hallar “x”

a) 1

2

B

a) 10

b) 2

5a

4

c) 3

b) 8

d) 4

c) 6

e) 5

d) 4

  a D

C

A

2

x

e) 2 17. Hallar “x – y”

21. Hallar “x”  

a) 6

 

a) 10





5a

3a

b) 5

b) 6 y

x

c) 4

x

1

2

c) 4

24

d) 7

d) 3

e) 3

e) 5

18. Hallar “BC”; MB = 2 ; AM = 6

22. Hallar “AB” ; BC = 8

a) 1 b) 2

b) 9

c) 3



a) 8

 

M

A

C

C

A

d) 16

e) 5

e) 18

19. Hallar “x” ; BC = 6

23. Hallar “x” 

d) 24

a) 1



b) 2

4



A

c) 3

C 2a

e) 30

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4a

 8

b) 12 c) 18



x

B x



5a

c) 10

d) 4

a) 6



B

B



a

d) 4 e) 12

9

24. Hallar “BC” ; BC MN ; MN = 8 ; 3AM = 4BM B a) 4

M

b) 6 c) 8

A

C

N

d) 10 e) 14 25. Calcular “x” a) 8



b) 2

X



c) 5

3

5

d) 24 e) 21

26. En el paralelogramo. Hallar : AP PC = 8 y AD = 3BQ B

Q

C

a) 8 P

b) 12 c) 16 d) 15

A

D

e) 24

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