Tema 7 4to 3unidad by Edwin Cueva

Escuela de Talentos

TEMA 6: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO II Ecuaciones de Segundo Grado II

Naturaleza de Raíces Propiedades de las Raíces

Formación de la Ecuación

suma

se debe tener

depende  = b2 - 4ac Discriminante Suma = S si

product o

>0

=0

<0

>0

Raíces reales diferentes

Raíces iguales

Raíces complejas y conjugadas

Raíces reales

x 1  x2

x1 = x2

Producto = P

Diferencia

donde x2 – Sx + P = 0

x1 = m + ni x2 = m – ni m; n  R además:

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Observaciones

Raíces Simétricas u Opuestas

Raíces Recíprocas o Inversas

Ecuaciones Cuadráticas Equivalentes

si las ecuaciones

Una raíz es: x1 = m, la otra es: x2 = -m

Una raíz es: x1 = m, la

ax2 + bx + c = 0 ; a  0

otra es:

mx2 + nx + p = 0 ; m  0

se cumple se cumple

tienen

x1x2 = 1

Las mismas raíces o soluciones

x1 + x2 = 0

se cumple

EJERCICIOS RESUELTOS 1.

x

Ejemplo: En la ecuación x2 + 6x + 5 = 0 Calculemos el DISCRIMINANTE:

De x1 

 = b2 – 4ac

 6  16 2(1)

donde: 6  4 6  4  1; x2   5 2 2

es decir C.S. = {-1; -5} ¡raíces reales y diferentes!

 = (6)2 – 4(1)(5)  = 16, es decir  > 0 Por

x

b  2a

fórmula

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General:

Ejemplo: En la ecuación

Ejemplo: Indicar la suma y producto de raíces de: x2 + 5x + 3 = 0

x2 – 14x + 49 = 0

Solución: Calculamos el DISCRIMINANTE:

Identificamos: a = 1; b = 5; c = 3

 = b2 – 4ac

b a

Entonces: S    suma de raíces

 = (-14)2 – 4(1)(49)  = 196 – 196

S

 = 0, entonces las raíces son reales e iguales.

Comprobemos: La ecuación dada también se

Ejemplo:

5  5 1

P

c  producto de raíces a

P

3 3 1

Formar la ecuación de

escribe así:

segundo grado si se tienen las raíces x1 = 2; x2 = -3.

(x - 7)2 = 0 ó (x - 7)(x - 7) = 0

Solución:

Igualando cada factor a CERO:

Sabemos:

x–7=0



x1 = 7

S = x1 + x2 = 2 – 3 = -1 P = x1x2 = (2)(-3) = -6

x–7=0



x2 = 7

entonces de la ecuación:

entonces: C.S. = {7; 7} 3.

x2 – Sx + P = 0

Ejemplo: En la ecuación x2 – 6x + 25 = 0 Los coeficientes son: a = 1; b = -6; c = 25 El DISCRIMINANTE es:  = b2 – 4ac  = (-6)2 – 4(1)(25)  = -64, es decir  < 0 Lo que significa que las raíces no son reales, sino COMPLEJAS Y CONJUGADAS.

x2 – (-1)x + (-6) = 0 x2 + x – 6 = 0 Ecuación de 2º Grado 6.

Ejemplo:

Hallar las raíces de la

ecuación e indicar que tipo de raíces tiene: x2 – 100 = 0

Solución: Factorizand o (x + 10) (x - 10) = 0 x = -10 x = 10 Son simétricos

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EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Indicar la suma y producto de raíces de cada una de las ecuaciones:

Rpta.: _______________

c) x2 + 5x + 2 = 0 Rpta.: _______________

a) x + 2x + 1 = 0 b) x2 + x + 1 = 0

d) x2 – 1 = 0

c) 5x2 + 2x + 3 = 0 d) 7x2 + 2x – 1 = 0

Rpta.: _______________

e) 3x2 – 2x + 5 = 0 f) x2 + 8x + 9 = 0 2.

e) x2 – x + 1 = 0

Indicar de que naturaleza son las raíces de las ecuaciones siguientes: a) x2 + 2x + 1 = 0 Rpta.: _______________

Rpta.: _______________

5x2 + 3x + 1 = 0 Rpta.: _____________

b) x2 + 1 = 0

g) 7x2 + 4x – 2 = 0 Rpta.: _______________

Si: x1 y x2 son las raíces de la ecuación: x2 + 5x + 1 = 0 Indicar el valor de: E = (x1 + x2)2 – 2x1x2 a) 20

b) 21

d) 24

e) 25

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c) 23

Hallar “m”, si la suma de raíces de la ecuación es 10. (m - 2)x2 – (m + 5)x + 8 = 0 a) 25

b) 25/9

d) 1/4 5.

c) 9/25 e) N.A.

Hallar “m”, si la suma de raíces de la ecuación es 10. (m - 2)x2 – (m + 5)x + 8 = 0 a) 25

b) 25/9

d) 1/4

e) N.A

c) 9/25

10. Si la ecuación: x2 + 3x + 6k – 1 = 0 no tiene solución real, entonces se cumple:

Dada la ecuación: 9x2 + 5x + 1 = 0 con raíces “x1” y “x2”; calcular “k”.

d) k 

Si: 3(x1x2)k-4 = 1

a) 9/2

b) 7/2

d) 4

e) 9

c) 5/2

En la ecuación 3x2 + 2ax + a2 – 6 = 0, ¿para qué valor de “a” las raíces serán iguales? (Raíz doble) a) ±1

b) ±2

d) ±4

e) N.A.

c) ±3

Si una de las raíces de la ecuación: x2 + (a + 3)x + a + 2 = 0 es (-6), entonces la otra raíz es: a) -2

b) -1

d) -4

e) N.A.

c) -3

5 24 25 k 4

a) k 

13 24

b) k 

e) N.A.

11. Indique los valores de k si en la ecuación: x2 – (k + 2)x + k + 1 = 0 su discriminante es igual a la suma de sus raíces. a) 1 ; 2

b) -2 ; ½

d) -1/2 ; 1

c) 2 ; -1

e) -2 ; -1

12. Formar las ecuaciones de 2º grado a partir de las raíces x1 y x2. a) x1 = 3 ; x2 = 1 Rpta.: _______________ b) x1 = 5 ; x2 = -2 Rpta.: _______________ c) x1 = -3 ; x2 = -4 Rpta.: _______________

Si la ecuación: (b + 5)x2 + 3bx + b = 0

d) x1 = -2 ; x2 = 2 Rpta.: _______________

presenta raíces iguales. Hallar: “b”

e) x1  3 ; x2  2 3 Rpta.: _______________

a) 0

b) -2

d) 8

e) 6

c) 4

13 24

x1  2  3 ; x2  2  3

Rpta.: _______________ 13. Sean las ecuaciones equivalentes: x2 + ax + 15 = 0 ……….. (I) 3x2 + 2x + b = 0 ……….. (II)

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x2 + kx + 2x – k2 + 4 = 0 sea igual al producto de las mismas. (k < 0)

Indicar: “a . b” a) 45/3

b) 30

c) 35

d) 2/3

e) 25/3

14. Calcular “a/b”, si las ecuaciones: 2ax2 – (8b - 3)x + 18 = 0

a) -3

b) -2

c) 0

d) -1

e) N.A.

x2 + (b + 5)x + 6 = 0 son equivalentes mismas raíces). a)

1 6

d) 

9 2

(tienen

las

b) 

3 2

1 2

e) 

2 9

c) 

16. Hallar el valor de “k” en la ecuación: (k - 1)x2 – 5x + 3k – 7 = 0 para que una de las raíces de la ecuación sea la inversa multiplicativa de la otra.

15. Hallar el valor de “k” que hace la suma de las raíces de la ecuación:

EJERCICIOS ADICIONALES 1.

a) x2 + 3x + 1 = 0 1=0

d) 2x2 + 5x +

b) x2 + 5x + 2 = 0 +6=0

e) x2 + 7x 4.

e) 5x2 + 2x

a) 4/3

b) -4/3

d) -1/3

e) -3/4

1

c) 1/3

Sea x1 y x2 raíces de la ecuación: x2 + 2ax + a2 = 0 (x1  x2 )2  2x1x2 3x1x2

a) 4

b) -2

d) 2

e) 1

c) 3

b) x + x + 2 = 0 0

f) x – 25 =

c) x2 + 5x + 1 = 0 =0

g) x2 + 3x

d) x2 – 7x + 2 = 0 +1=0

h) 3x2 – 7x

Siendo x1 y x2 son las raíces de la ecuación: x2 + 4x + 1 = 0

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e) 6

Indicar:

Indicar de que naturaleza son las raíces de las ecuaciones siguientes:

d) 4

c) 3

Indicar el valor de: A   1 2   3x1x2 

Indicar la suma y producto de raíces de cada una de las ecuaciones:

a) x2 – ax + 1 = 0 +1=0

b) 2

x x 

c) 3x2 + 4x + 1 = 0

a) 1

Hallar “k”, si la suma de raíces de la ecuación es 20. (k - 3)x2 – (k + 4)x + 30 = 0

64 3

67 9

64 19

e) 

19 64

Indicar el valor de “m” si el producto de raíces es igual a la suma de las mismas en la ecuación: (m + 4)x2 – 2mx + 3m + 1 = 0 a) 1/2

b) -2/3

d) 1/3

e) -1/2

c) 2/3

Hallar “m”, si la ecuación presenta raíz doble. x2 – (m + 1)x + 25 = 0 a) 1

b) 2

d) 9

e) 10

c) 3

Hallar “m”, si la suma de raíces de la ecuación es 8. (m + 2)x2 – (7m + 6)x + 4m + 5 = 0 a) -1

b) -2

d) -10

e) -12

c) -6

Hallar “m”, si el producto de raíces es 16. (m + 1)x2 – (m + 5)x + 10m + 4 = 0 a) -1

b) -2

d) -4

e) -10

c) -3

b) 2

d) 4

e) 6

c) 3

11. Dadas las ecuaciones: mx2 + 5x + 10 = 0 ………..(I) 2x2 + nx + 2 = 0 ………..(II)

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Indicar el valor de: E = m + n a) 10

b) -10

d) 11

e) 3

c) -11

12. Indicar el valor de “p” si una de las raíces es la inversa multiplicativa de la otra. (p + 2)x2 – 3x + 2p + 1 = 0 a) -1

b) 1

d) 3

e) 4

c) 2

13. Hallar “a” si la ecuación presenta raíces simétricas: x2 + (a – 2)x + a2 + b=0 Siendo: b > 5 a) 1

b) 3

d) -1

e) 2

c) 4

14. Sea la ecuación: 5x2 – 2x + 3 = 0 Donde: “x1” y “x2” son sus raíces Calcular: M = (1 + x1) (1 + x2)

10. Hallar “m”, si la ecuación tiene por raíz a la unidad, m > 0. 4x2 – 4x + m2 – m – 2 = 0 a) 1

Equivalentes (tienen las mismas raíces)

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

15. Formar las ecuaciones de 2º Grado a partir de las raíces dadas x1 y x2. a) x1 = -2

x2 = -1

b) x1 = 3

x2 = 4

c) x1 = 5

x2 = 3

d) x1 =  2

x2 = 3

e) x1 = 3

x2 =  3

Si: S < P; son números consecutivos.

¡Reto con Talento! 1.

Hallar “k” en función de “a”.

Hallar el valor de “a” de modo que las raíces de la ecuación: x2  (a  3)x 

a2 1  0 4

se difieren

en 5.

a) 5/3

b) 7/3 c) 10/3

d) 5/6

e) 20/3

b) 2a

d) 3a

c) a

3a 2

Los límites hacia los que tienden las raíces de la ecuación: (a - 2)x2 – (7a - 2)x + 6a = 0

Indicar la suma de las raíces que cuando “a” crece indefinidamente.

verifican la ecuación: x2  6x  9  4 x2  6x  6

a) –a

a) 12

b) 16

d) 18

e) 13

c) 15

Formar la ecuación de segundo

a) 1 y 6

b) 2 y 3

d) 2 y 6

e) N.A.

2n  1 2n  3  Siendo:  ;  el conjunto  n 1

grado, si tiene por raíces:

a) 2x – Mx + 2 = 0

n1 

solución de la ecuación cuadrática

M  M2  1 2

en “x”: d)

ax2 + 2bx + 4c = 0

–

2Mx + 2 = 0 b) 2x2 – 4Mx + 2 = 0

c) 1 y 3

Calcular el valor de: L 

e) 2x2 – Mx

(a  0) b2  4 ac

( a  b  c)2

+1=0 c) 2x2 – 2Mx + 1 = 0 4.

Sean “S” y “P” la suma y el

Sabiendo que x1  x2 son las raíces de la ecuación: x2 – 5x + 1 = 0

producto de raíces de la ecuación 2

de incógnita “x”: (k - a)(x – x) = -(k + a)

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Reducir: N 

x12  x22 x14  x12  x22  x2 4