Escuela de Talentos
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TEMA 7: TRIÁNGULOS Y LÍNEAS NOTABLES
DEFINICION DE TRIÁNGULO Es la figura geométrica formada al unir tres
-
puntos no colineales mediante segmentos. B
Medida de los ángulos internos : , , . Medida de los ángulos externos : x, y, z. Perímetro de la región triangular ABC (2p∆ABC)
2p∆ABC = a + b + c -
Elementos :
Notación :
Vértices : A, B y C
Triángulo :
Lados : AB, BC y AC
ABC ; ∆ABC
REGIONES DETERMINADAS RESPECTO AL TRIÁNGULO.
(P∆ABC) =
B
Región exterior
abc 2
PROPIEDADES FUNDAMENTALES DEL TRIÁNGULO. TEOREMA 1 En todo triángulo la suma de las medidas de sus
Región Interior
relativa a AB
Semiperímetro de la región triangular ABC(P∆ABC)
C
A
ángulos interiores es igual a 180º.
Región exterior relativa a BC
C
A
C
Región exterior relativa a AC
En la figura se indican las regiones que se han determinado respecto al triángulo ABC.
A
C
En el ∆ABC, se cumple: + + = 180º
ÁNGULO DETERMINADO RESPECTO AL TRIÁNGULO. B
Y
TEOREMA 2 En todo triángulo la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de dos ángulos interiores no adyacentes a él. B
a
c
º
C
A
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x
º
b
C
2
En el ∆ABC, se cumple:
x=+
TEOREMA 3 En todo triángulo la suma de las medidas de los ángulos exteriores tomados uno por vértice es igual a 360º.
B
PROPIEDADES ADICIONALES
B
y
x=++
D
x
A
x
C
A
C
z
En la figura se cumple:
En el ∆ABD, se cumple: x + y + z = 360º
C
B
TEOREMA 4
x
En todo triángulo de un lado es mayor que la longitud se le opone al ángulo de mayor medida y viceversa (propiedad correspondencia).
+=x+y
O y
B A
a
c
A
En la figura ∆AOB y ∆COD presentan un ángulo interior opuesto por el vértice. Se cumple:
C
C
x
b
En el ∆ABC, si: a > b Entonces: >
D
B
x + y = +
TEOREMA 5
En todo triángulo de un lado es mayor que la diferencia de las longitudes de los otros dos y menor que la suma de las mismas (propiedad de existencia).
y
A
D
En la figura se cumple:
B
B a
c
p < PA + PB + PC < 2p P C
A b
A
C
En el ∆ABC: a > b > c En la figura, P es el semiperimetro del ∆ABC.
Se cumple: b–c<a<b+c
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Líneas Notables
BISECTRIZ Se asocia dos tipos de bisectrices al triangulo.
MEDIATRIZ Es la recta perpendicular a un lado en su punto medio.
L E
M
A
B
Siendo:
L
de
se cumple:
AB
mediatriz
EA = BE
ALTURA PROPIEDAD EN EL TRIÁNGULO ISÓSCELES
B
Perpendicular que une un vértice y un punto del lado opuesto o de su prolongación.
ºº BH A
H
C
Altura Mediana Bisectriz Segmento de mediatriz
Propiedades asociadas a las líneas notables 1.- Angulo formado por una bisectriz interior y otra exterior
2.- Angulo formado por las bisectrices interiores.
3.- Angulo formado por las bisectrices exteriores.
4.- Angulo formado por una bisectriz y una altura que parten en de un mismo vértice.
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a)
15º
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
b)
20º
c)
30º
(Propiedades Básicas y Clasificación)
d)
45º
e)
60º
NIVEL 1 1.
2.
3.
4.
Calcular “x”, si : AD = BD BE = EC a)
30º
b)
10º
c)
18º
d)
72º
e)
36º
Si: el ∢ABC es agudo
Además: L1
B
2xº
xº
A
D
E
C
Calcular “x” a)
110º
b)
130
c)
100
d)
120
e)
150
Calcular el menor valor entero de “x”
a)
46º
b)
47º
c)
44º
d)
98º
e)
89º
L2
L1 º
º º
A
º E xº L2
B
C 120°
5. x +20º
X°
Calcular “x”
Determinar el menor ángulo interno de un triángulo, sabiendo que las medidas de los ángulos externos forman una progresión aritmética de razón 30º. a) 15º d) 90º
b) 30º e) 120º
En la figura : L1
L2
c) 60º
xº
2º
º NIVEL 2 6.
En un triángulo ABC, isósceles que se muestra (AB = BC) y se sabe que el triángulo PQR es equilátero. Calcular “x”. B
a)
50º
b)
55º
c)
60º
d)
65º
e)
70º
70º
Q
P 50º A
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xº R
7.
B
Si: AB = BC, Calcular “”
80º
a)
100º
b)
140º
c)
130º
d)
120º
e)
150º
L1
P
A C
º
O
L2 Q
C
5
8.
9.
Calcular “x” Si: AD = AR ; AP = DR a)
15º
b)
30º
c)
45º
d)
75º
e)
60º
ubicado en el tercer vértice. Hallar la medida de un ángulo interno del triángulo.
D A
a) 30º d) 75º
P
R
NIVEL 3 11. Del gráfico, calcular ”x” 40º
b)
70º
c)
60º
d)
50º
e)
55º
º
º
110º
b)
280º
c)
220º
d)
240º
e)
320º
d)
45º
e)
50º
zº º º
º º
B
10º
b)
15º
c)
30º
d)
35º
e)
37º
A’
Q
L’ xº
10º
b)
20º
c)
40º
C
A C
S 45º
a) 45º + º d) 90º + 2º
A
b) 90º + º
M
P
N
B
e) 90º +
3º
c) 90º +
A’’ º 2
2
15. En un triángulo equilátero ABC. Se ubica “M” en AC , desde el cual se traza MN perpendicular a
13. Del gráfico, calcular “x” a)
xº º
Calcule la medida del ángulo que determinan AA' y la bisectriz interior del ángulo de vértice A’’.
xº
º
Calcular “x”
40º
º
14. En la figura, el ∆ABC, gira mantenido un lado en la recta “L”, si A’ y A’’, son las posiciones de A.
º
40º
a)
12. En la figura : AP = PS y BM = BN
a)
c) 60º
10. De la figura, calcule “x + z”
Si la diferencia de las medidas de 2 ángulos exteriores de un triángulo es igual al complemento de la medida del ángulo interior
a)
b) 45º e) 90º
º
60º
º 100º
AB . (“N” es AB ). Luego se ubica en “P” en la
región exterior y relativa a BC , tal que :
NP BC = S y m∢BNS = m∢NMP. Calcular la
m∢NPM: º º
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xº
º º
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Líneas notables NIVEL 1 NIVEL 2
1. En la figura; calcular “x” a)
108º
b)
54º
c)
72º
d)
36º
e)
44º
6. En la figura, calcule “x” º
xº
a) 10º
º
b) 20º
55º
b)
60º
c)
45º
d)
40º
e)
10º
º º
d) 35º
72º
100º
b)
120º
c)
130º
d)
150º
e)
170º
100º
b)
80º
c)
125º
d)
150º
e)
250º
xº
B
85º
b)
75º
c)
70º
d)
65º
e)
60º
º 2º
xº
a) 35º
80º
30º
b) 30º
bº
aº
aº
bº A
c) 15º
º º
d) 10º
C
º
º
º
e) 20º 8. En la figura AB
CD ; Calcule “x” A
a) 125º
100º
º
º
B
º+10º
b) 155º
60º
º
º
70º
xº
c) 115º
60º
D
º
e) 20º
100º
xº
C
d) 100º
º
º º
40º
9. Del gráfico, calcule “x” ; xº º º
º º
a) 52º º º
170º
b) 48º
xº º
c) 44º d) 42º
º
e) 40º
5. Calcular “x” a)
º º
7. En la figura, calcule “x”
4. Calcular “x” a)
70º
º
e) 45º
3. Calcular “x” a)
º
c) 65º
2. Calcular “x” a)
xº º
60º
º
º
º
º 20º
º
º º
10. Del gráfico, calcular “x”
º
º º
a) 110º xº 80º
b) 90º c) 70º d) 20º e) 10º
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40º
º º º
xº º
º º+º º
7
b) 100º NIVEL 3
c) 120º d) 130º
11. En el gráfico, AB = BC Calcule “x” a)
45º
b)
120º
c)
60º
d)
70º
e)
37º
e) N.A. xº
14. Calcular “x”; si es un valor entero máximo.
C
A
º
º º 2º
2º
a) 3
B
b) 7
12. Determine “x”, Si : L1
L2 son mediatrices de
AB y BC .
75º
L1
2º C
15. Según el gráfico, calcular el valor “x”
xº
c) 20º
2
a) 110º
d) 36º
b) 120º P
A
Q
C
e) 95º
xº
a) 90º
º
xº
c) 130º d) 150º
13. Calcular “x”
3
x
d) 9
A L2
P
7
c) 8 e) 10
B
b) 15º
e) 45º
B y C; respectivamente.
º
B
a) 30º
BP y CP son bisectrices exteriores de los ángulos
150º
º 2º
º º
º
xº
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