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TEMA 8: FÓRMULA GENERAL DE CONVERSIÓN Es la relación que existe entre los números de grados sexagesimales (S), grados centesimales (C), y el número de radianes (R) que contiene un ángulo trigonométrico. En el gráfico tenemos:
Sº Cg Recordar:
180º = 200g = rad
Entonces:
S C R 180 200
R rad
…………. Fórmula General
De donde podemos establecer las siguientes consideraciones:
1
3
2
S C 9 10
S
180R
C
200R
Observación:
De
1
S C K 9 10
S 9K 20R K C 10K
Muchas veces conviene utilizar dicha observación por ejemplo:
Reducir: E
2S C 2(9K) 10K 8K E CS 10K 9K K
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E8
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SISTEMA
NÚMERO DE GRADO
NÚMERO DE MINUTO
NÚMERO DE SEGUNDO
Sexagesimal
S
60 S
3 600 S
Centesimal
C
100 C
10 000 C
APLICACIONES
1.
Expresar en Radianes: 3S – 2C = 7 Reemplazando: S
180R
3 .
200R
180R 200R 2 . 7
140R = 7
2.
C
20R = 1
R=
1 20
Expresar en radianes si se cumple: C – S = 4 200R 180R 4
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20R 4
5R 1
R=
5
3
EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Determine un ángulo en radianes si se cumple: S C 7 6 5
a)
rad 5
b)
rad 10
c)
rad 20
2 rad 3
d)
e)
rad 15
2. Siendo “S” y “C” lo conocido para un ángulo no nulo simplificar: S C 5S 2C 1 CS CS
E
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
3. Siendo S y C lo conocido simplificar: E
2C S 40R 2S C 30R
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
4. Simplificar siendo S, C, R lo convencional. 3C 2S 10R 0,1S 8R
E
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
5. Expresar en radianes si: C2 S2 2
2
C S
a) 17
R 181
b) 18
c) 21
d) 19
e) 20
6. Determine un ángulo en radianes si se cumple: S C xx 4 C S xx 2
a)
rad 45
b)
rad 6
c)
rad 16
d)
rad 60
e)
rad 10
e)
40
7. Señale el ángulo en radianes si se cumple: 5 5 5 S 1 C 1 20R 1 3 9 10
a)
rad 20
b)
10
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c)
5
d)
4
4
8. Si al doble del número de grados sexagesimales le adicionamos el número de grados centesimales del mismo ángulo resulta 80 determine la medida del ángulo en el sistema radial. a)
rad 3
b)
5
c)
7
9
d)
e)
10
9. El doble del número de grados sexagesimales de un ángulo disminuido en su número de grados centesimales es 8 como es 3 a 4. Calcular la medida radial del ángulo que cumple dicha condición. a)
3 rad 20
b)
3 40
c)
3 50
3 80
d)
e)
3 1 00
10. Si a y b son dos números reales positivos hallar el máximo número de radianes de un ángulo que satisface la siguiente igualdad: CS
( a b)2 ( a b)2
( a b)2 ( a b)2
Si: S y C son lo conocido. a)
380
b)
1 90
c)
19
d)
1 90
e)
380
11. Determine la medida circular de un ángulo que verifica: 1 1 1 C . " n" tér min os 1 1 1 .......... R R1 R 2 S
a)
(n 1) rad 10
12. Si: S
S S
b)
S
S
n 10
C
S
c) C C
C
C
n 9
d)
n1 9
e) 9n
; Hallar el número de radianes de dicho ángulo. C
Si: (S y C son lo conocido) a)
441 3600
b)
551 3600
c)
361 3600
d)
641 3600
e)
241 3600
13. Si definimos {n} = n + 3 Indique la medida circular de un ángulo que cumpla las condiciones siguientes: {S} = m + 4; {C} = 2m + 1; siendo S y C lo convencional para dicho ángulo.
a)
rad 40
b)
rad 80
c)
rad 10
d)
rad 20
e)
rad 30
14. Si: S y C son el número de grados sexagesimales y centesimales de un mismo ángulo además:
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CS XS C CS 3
Calcule el valor de “X” para que dicho ángulo mida 0,125 rad. a) 1/5
b) 2/5
c) 3/5
d) 4/5
e) 1
15. Se crea un nuevo sistema de medición angular “R” tal que su unidad (1R) es la 240 ava parte del ángulo de una vuelta. Exprese en el sistema “R” un ángulo que mide a) 27R
b) 30R
c) 32R
rad . 4
d) 36R
e) 40R
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 1. Determine un ángulo en radianes si se cumple: S C 2,3 12 25
a)
rad 5
b)
10
c)
15
d)
20
e)
30
rad 5
e)
rad 6
2. Hallar un ángulo en radianes si se cumple: CS
a)
rad 2
b)
3C 2S 15R
3. Calcule el valor de: a) 3
rad 3
b) 4
c)
R
rad 4
SC 10
d)
; Siendo S, C y R lo conocido: c) 5
d) 6
e) 7
4. Determine un ángulo en radianes si se cumple: S
a)
a 1 b
rad 5
C
a 1 b
b)
rad 10
c)
rad 20
d)
rad 25
e)
rad 50
5. Si la diferencia de las inversas de la medida de un ángulo en grados sexagesimales y centesimales es igual a 1 determine la medida circular de dicho ángulo.
a)
rad 90
b)
1 80
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c)
900
d)
1 800
e)
9000
6
6. Halle la medida circular de un ángulo si su número de grados sexagesimales aumentado con el doble de su número de grados centesimales es igual a 145. a)
rad 3
4
b)
c)
5
d)
6
e)
7
7. Sabiendo que la diferencia de los cuadrados de los números de grados centesimales y sexagesimales de un ángulo, es al producto de dichos números; como 38 veces su número de radianes es a 135. Señale la medida radial del ángulo. a)
rad 4
b)
rad 2
c) rad
d)
3 rad 2
e)
3 rad 4
8. Si la media aritmética de los números de grados sexagesimales y centesimales de un ángulo es 19 veces el cuadrado de su media geométrica. ¿Cuánto mide el ángulo en el sistema inglés? a) 1’
b) 3’
c) 5’
d) 3”
e) 5”
9. Si la diferencia entre el triple del número de grados centesimales de un ángulo y el doble del número de grados sexagesimales de otro ángulo es 12. Calcular la medida del mayor ángulo expresado en radianes sabiendo que son complementarios. a)
rad 10
b)
3 rad 10
c)
3 rad 5
d)
rad 5
e)
rad 20
10. Determinar la medida circular de un ángulo si se sabe que la suma de la tercera parte de su número de minutos sexagesimales y la cien ava parte de su número de segundos centesimales es 590. a) 11. Si:
rad 10
b)
rad 20
c)
rad 30
d)
rad 40
e)
rad 50
S 13 C 2 x2n 2 3
Hallar el valor de M = 4x + n; siendo x, n enteros (x > n) además S, C son lo conocido. a) 10
b) 15
c) 19
d) 16
e) 17
12. Señale la medida circular de un ángulo que verifique: 2n 1 1 1 1 1 1 ...... C S S 1 S 2 "n" tér min os
Siendo S y C lo convencional para un mismo ángulo. a)
n 1 80
b)
n 200
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c)
n 225
d)
n 1 35
e)
n 31 5
7
13. Señale la medida circular del ángulo cuyos números de grados sexagesimales y centesimales se expresan como: S = 1 + 3 + 5 + 7 + ……… C = 2 + 4 + 6 + 8 + ……… teniendo ambos igual cantidad de sumandos: a)
3 rad 20
b)
7 rad 20
c)
9 rad 10
d)
9 rad 20
e)
5 rad 23
14. Siendo el número de radianes de un ángulo positivo, verifica la igualdad: 8.
3.
11
Hallar: . Si: a)
32 9
b)
9 64
c)
9 32
d)
9 16
e)
64 9
15. Si: S, C y R son lo conocido y además se cumple: C S C S
19 6 10 R
Calcular la medida del ángulo en el sistema radial. a) 2
b)
3
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c)
d)
4
e)
2
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