Θεματα 2015

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α΄ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΙΣΑΜΟΥ Παρασκευή 12 Ιουνίου 2015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ

ΘΕΜΑ Α Α1. Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή ή Λάθος α. (α>β και β<γ)

 α<γ

β. x    x   ή x   γ. Τρεις αριθμοί α,β,γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν ισχύει β=α+γ

δ. Έστω χ1 , χ2 οι ρίζες της εξίσωσης αχ2+βχ+γ=0 ,α  0 . και S το άθροισμα των ριζών αυτών, τότε: S= χ1+χ2= β/α

ε. Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α’ ισχύει: Ρ(Α’)=1+Ρ(Α)

(10 μ.)

Α2. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ισχύει: Ρ(ΑUΒ) =Ρ(Α)+Ρ(Β)

(15 μ.)

ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση

f ( x) 

9 x x 2

B1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης

(9 μ.)

B2. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης

διέρχεται από το σημείο Α(5,2/3)

(8 μ.)

B3. Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της

συνάρτησης με τον άξονα y’y

(8 μ.)

ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η εξίσωση

x 2  2(  1) x  (2  1)  0,   

Γ1. Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα Δ της εξίσωσης είναι:

  8  8

Γ2. Για ποιες τιμές του άνισες ρίζες;

(8 μ.)



η εξίσωση έχει δύο πραγματικές και (9 μ.)

Γ3. Για λ=-1, να λύσετε την ανίσωση

x 2  2(  1) x  (2  1)  0,   

(8 μ.)

ΘΕΜΑ Δ Δ1. Σε μία αμφιθεατρική αίθουσα με 20 σειρές καθισμάτων, το πλήθος των καθισμάτων κάθε σειράς σχηματίζει αριθμητική πρόοδο. Η 1η σειρά έχει 16 καθίσματα, ενώ η 7η σειρά, έχει28 καθίσματα. Δ1. Πόσα καθίσματα έχει η 20η σειρά;

(8 μ.)

Δ2. Πόσα καθίσματα υπάρχουν από τη 4η έως και την 10η σειρά;

(8 μ.)

Δ3. Αν στη 1η σειρά υπάρχουν 6 κενά καθίσματα, στη 2η σειρά

υπάρχουν 9 κενά καθίσματα, στη 3η σειρά υπάρχουν 12 κενά καθίσματα κ.λ.π. , τότε από ποια σειρά και μετά θα είναι όλα τα καθίσματα άδεια; ( 9 μ.)

Η Διευθύντρια

Οι εισηγητές

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ

ΤΑΞΗ: Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΙΣΑΜΟΥ

ΣΧΟΛ.ΕΤΟΣ: 2014-2015

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν ως Σωστές ή Λάθος: α. Δύο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες αν και μόνο αν τα αποστήματα τους είναι ίσα. β. Αν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από Τρίτη σχηματίζουν τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες ίσες. γ. Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της. δ. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο μία γωνία του ισούται με 30ο , τότε η προσκείμενη στη γωνία αυτή κάθετη πλευρά είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας και αντίστροφα. ε. Οι διαγώνιοι τραπεζίου είναι ίσες.

(μονάδες 10)

Α2. Να αποδείξετε ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου που άγονται από σημείο εκτός αυτού είναι ίσα μεταξύ τους. (μονάδες 15) ΘΕΜΑ Β Δίνεται το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Παίρνουμε τα σημεία Δ, Ε στις ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα, ώστε ΑΔ=ΑΕ. Β1. Να δείξετε ότι ΔΓ=ΒΕ

(μονάδες 13)

Β2. Αν επιπλέον Μ είναι μέσο του ΒΓ, να δείξετε ότι ΜΔ=ΜΕ (μονάδες 12)

ΘΕΜΑ Γ Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Από το μέσο Ε της ΑΔ φέρνουμε κάθετη στη ΒΕ η οποία τέμνει τη ΓΔ στο Ζ και την προέκταση της ΒΑ στο Η. Να αποδείξετε ότι: Γ1. ΗΕ=ΕΖ

(μονάδες 8)

Γ2. το τρίγωνο ΒΗΖ είναι ισοσκελές

(μονάδες 8)

Γ3. ΒΖ=ΔΖ+ΔΓ

(μονάδες 9)

ΘΕΜΑ Δ Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α=90ο ) με ˆ =30ο . Στο εξωτερικό του τριγώνου ΑΒΓ, κατασκευάζουμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΒΓΔ. Οι προεκτάσεις των πλευρών του ΔΒ, ΓΑ τέμνονται στο Ε. Να αποδείξετε ότι: Δ1. ΑΒ // ΓΔ

(μονάδες 8)

Δ2. ΑΕ=ΑΓ

(μονάδες 9)

Δ3. ΒΓ+ΒΕ = 4ΑΒ

(μονάδες 8)

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β΄ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΙΣΑΜΟΥ Δευτέρα 8 Ιουνίου 2015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα από τον αριθμό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.

1. Αν α>0 και α  1 ,τότε για κάθε θ1,θ2>0 ισχύει: logα(θ1θ2)= logαθ1+ logαθ2.

2. Η συνάρτηση f(x)=αχ με α>1 είναι γνησίως αύξουσα.

3. Για κάθε πραγματικό αριθμό χ ισχύει ημ2χ+συν2χ=0        4. Το σύστημα        

αν D  0 είναι αδύνατο

5. Αν το πολυώνυμο P (x) έχει ρίζα το ρ, ισχύει Ρ (ρ) = ρ. Μονάδες 10 Α2.Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυώνυμου Ρ(χ) με το χ-ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυώνυμου για χ=ρ είναι δηλαδή υ=Ρ(ρ) μονάδες 15 ΘΕΜΑ Β Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(χ)=χ3-αχ2+βχ+2 Β1. Να βρεθούν τα α,β αν το πολυώνυμο έχει παράγοντα το χ-1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(χ) με το χ+1 είναι ίσο με 4 Μονάδες 10 Β2. Να λυθεί η εξίσωση Ρ(χ)=0 Β3.Να λυθεί η ανίσωση Ρ(χ)≤0

Μονάδες 9 Μονάδες 6

ΘΕΜΑ Γ

 1 1   Γ1. Να αποδείξετε ότι 1    

Γ2. Να λύσετε την εξίσωση

Μονάδες 13

 1 2   1    2

Μονάδες 12

ΘΕΜΑ Δ

Δίνονται οι συναρτήσεις και

3  3 f ( x)  ln  3 1

g ( x)  ln 3  ln(3  1)

Δ1. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f και g . Δ2. Να λυθεί η εξίσωση

f ( x)  g ( x)

Μονάδες 12 Μονάδες 13

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ

ΤΑΞΗ: Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΙΣΑΜΟΥ

ΣΧΟΛ.ΕΤΟΣ: 2014-2015

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν ως Σωστές ή Λάθος: α. Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες τους ίσες μία προς μία, τότε είναι όμοια. β. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η ισοδυναμία: α2<β2+γ2, αν και μόνο αν Â>90ο γ. Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου ισούται με το γινόμενο των πλευρών του. δ. Το μήκος L κύκλου ακτίνας R, δίνεται από τη σχέση L=πR ε. Η κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου με ν πλευρές δίνεται από  τη σχέση : ων= 360



(μονάδες 10)

Α2. Αν τετράγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας R, να αποδείξετε ότι για την πλευρά του λ4 ισχύει: λ4=R 2 (μονάδες 15) ΘΕΜΑ Β Σε τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε β=4, γ=6, Â=60ο . Β1. Να δείξετε ότι α=2 7

(μονάδες 6)

Β2. Να βρεθεί το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες του. (μονάδες 6 Β3. Να υπολογίσετε τη διάμεσο μα .

(μονάδες 7)

Β4. Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου.

(μονάδες 6)

ΘΕΜΑ Γ

Σε κύκλο (Ο, 2) θεωρούμε τα διαδοχικά σημεία Α, Β, Γ, ώστε ΑΒ=λ6 και ΒΓ=λ3 . Αν Μ το μέσο της ΒΓ και Δ το σημείο που τέμνει η προέκταση της ΑΜ τον κύκλο τότε Να αποδείξετε ότι: Γ1. Να αποδείξετε ότι Bˆ =90ο (μονάδες 5) Γ2. Να αποδείξετε ότι ΑΜ= 7

(μονάδες10)

Γ3. Να υπολογίσετε τη ΜΔ

(μονάδες 10)

ΘΕΜΑ Δ Με διάμετρο την πλευρά ΒΓ=4 ισόπλευρου τριγώνου ΑΒΓ, γράφουμε ημικύκλιο που τέμνει τις πλευρές ΑΒ, ΑΓ του τριγώνου στα σημεία Δ, Ε αντίστοιχα. 

Δ1. Να βρείτε το μήκος του τόξου  (μονάδες 8) Δ2. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του κυκλικού τομέα (Ο. ΒΔ) (με επίκεντρη γωνία την ˆ ). (μονάδες 8) Δ3. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου κυκλικού τμήματος. (μονάδες 9)

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β΄ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΙΣΑΜΟΥ Τετάρτη 3 Ιουνίου 2015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α Α1.Να γράψετε στη κόλα σας τον αριθμό κάθε μιας από της παρακάτω προτάσεις και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση

















1. Αν για τα διανύσματα α και β ισχύει α // β τότε α · β = α · β 2. Αν οι ευθείες ε1,ε2 έχουν συντελεστές διευθύνσεως λ1,λ2 αντιστοίχως τότε

ε1//ε2  λ1=λ2

3. Η εξίσωση Αχ+Βψ+Γ =0 παριστάνει ευθεία μόνο αν Α≠0 και Β≠0 4. Η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής χ2=2pψ στο σημείο της Α(χ1,ψ1) είναι ψψ1=p(χ+χ1).

5. Η εξίσωση χ2+ψ2+ Αχ+Βψ+Γ=0

παριστάνει κύκλο αν Α2+Β2+4Γ>0

Μονάδες 10

A2. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου χ2+ψ2=ρ2 στο σημείο του Μ(χ1,ψ1 ) είναι χχ1+ψψ1= ρ2 Μονάδες 15 ΘΕΜΑ Β Αν για τα διανύσματα

,

και Β1.Να αποδείξετε ότι · =3 Β2. Να βρείτε την γωνία των

και

ισχύουν

,

Μονάδες 7 Μονάδες 10

,

Β3. Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο

,

( + )·

Μονάδες 8

ΘΕΜΑ Γ Δίδεται η παραβολή (c) με εξίσωση ψ2=12χ και το σημείο Μ(-1,0) από το Μ φέρουμε δυο εφαπτόμενες ε1,ε2 στην παραβολή και Α,Β τα σημεία επαφής τον ε1, ε2 με την (c) αντίστοιχα. Γ1.Να βρεθούν οι συντεταμένες των Α και Β καθώς και οι εξισώσεις των εφαπτόμενων ε1 και ε2. Μονάδες 15 Γ2.Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΜΑΕ είναι ισόπλευρο οπου Ε η εστία της παραβολής. Μονάδες 10

ΘΕΜΑ Δ Δίδεται η εξίσωση χ2+ψ2-4χ+2ψ+Γ=0 (1) ΓͼR Δ1. Για ποιες τιμές του Γ η (1) παριστάνει κύκλο Μονάδες 7 Δ2. Για ποιες τιμές του Γ α. Ο άξονας ψ΄ψ εφάπτεται του κύκλου Μονάδες 5 β. Ο άξονας ψ΄ψ τέμνει τον κύκλο σε δυο σημεία. Μονάδες 5 Δ3.Για την μεγαλύτερη ακέραια τιμή του Γ που θα βρείτε στο ερώτημα Δ2 β να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΚ οπου Κ το κέντρο του κύκλου και Α,Β τα σημεία τομής του κύκλου με τον άξονα ψ΄ψ Μονάδες 8

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΙΣΑΜΟΥ Δευτέρα 15 Ιουνίου 2015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α1.Να αποδείξετε οτι για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα ενδεχόμενα Α, Β

ισχύει: Ρ(ΑUΒ)=Ρ(Α)+P(B)

μονάδες 10

Α2. Πότε μια συνάρτηση είναι συνεχής σένα σημείο χ0 του πεδίου ορισμού της μονάδες 5 Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα από τον αριθμό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.

1. Πάντοτε ένα μεγαλύτερο δείγμα δίνει πιο αξιόπιστα αποτελέσματα από ένα μικρότερο 2. Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α΄ ισχύει: Ρ(Α΄)=1-Ρ(Α) 3. f1+f2+f3+…+fν=1 , όπου f1,f2,…,fv σχετικές συχνότητες 4. Αν f(x)=συνx τότε f΄(x) =ημx 5. Αν f(x)=lnx τότε f΄(x) =1/x Μονάδες 10

χ>0

ΘΕΜΑ Β 3 2 Έστω η συνάρτηση f ( x)  2  3  12  8

Β1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f

Μονάδες 5

Β2. Να βρεθεί η παράγωγος της f

Μονάδες 10

Β3. Να βρείτε τη μονοτονία της f Β4. Να βρείτε τα ακρότατα της

Μονάδες 5. Μονάδες 5

ΘΕΜΑ Γ χi

νi

απουσίες

μαθητές

0

5

10

fi

Νi

νi·xi

0.10 0,20

20

30

30 Σύνολο

Η μεταβλητή xi του παραπάνω πίνακα δείχνει τον αριθμό των απουσιών που έκαναν οι μαθητές της Γ τάξης του Γ.Λ. Κισάμου κατά τη διάρκεια της τελευταίας εβδομάδας του σχολικού έτους. Γ1. Να συμπληρωθεί ο παραπάνω πίνακας. Γ2. Πόσοι μαθητές έχουν το πολύ 20 απουσίες Γ3. Να βρεθεί η μέση τιμή των απουσιών

Μονάδες 12 Μονάδες 5 Μονάδες 8

ΘΕΜΑ Δ Ρίχνουμε δύο αμερόληπτα ζάρια , ένα άσπρο κι ένα μαύρο. Να βρεθεί η πιθανότητα των παρακάτω ενδεχομένων. Δ1. Το άθροισμα των ενδείξεων να είναι μεγαλύτερο ή ίσο του εννιά. Δ2. Οι ενδείξεις των δύο ζαριών να είναι ίδιες (δηλ. να φέρουμε διπλές). Δ3. Η ένδειξη του άσπρου ζαριού να είναι μεγαλύτερη από αυτή του μαύρου. Δ4. Να φέρουμε άσσο και τρία Δ5. Η διαφορά των ενδείξεων των δύο ζαριών να είναι τουλάχιστον έξι. (μονάδες 5 -5-5-5-5)

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΙΣΑΜΟΥ Τετάρτη 3 Ιουνίου 2015 ΜΑΘΗΜΑ: Μαθηματικά θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης

ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι για κάθε

z    i

όπου

z ∈ ℂ ισχύει ότι z  z  2a

,   R

μον.10

Α2. Πότε μια συνάρτηση f ονομάζεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; μον.5 Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα από το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. μον.10 α. Αν οι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο x 0 τότε και η f·g είναι παραγωγίσιμη στο x 0 και ισχύει ότι : (f·g)´(x 0 ) = f´(x 0 )·g´(x 0 ) β. lim x 0

x x

=0

γ. Αν μια συνάρτηση f είναι : συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α,β) τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ  (α,β) τέτοιο ώστε: f ( ) 

δ. Αν

f (  )  f (a)  

z ∈ ℂ τότε ισχύει: z  z   z

ε. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο χ 0 τότε είναι συνεχής στο σημείο αυτό

ΘΕΜΑ Β Β1. Να βρείτε σε ποια γραμμή βρίσκονται οι εικόνες των μιγαδικών

z

,

όταν ισχύει:

Β2. Να βρεθεί ο

z  1  z  3i

z αν η εικόνα του

μον. 10 κινείται στην

ευθεία ε: x+3y=-4 και ισχύει επίσης ότι

z 4

μον. 15

ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση f(x)= x 3 -12x-1 με x∈

ℜ

Γ 1 . Να βρείτε την πρώτη και τη δεύτερη παράγωγο της f

μον.5 Γ 2 . Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα . μον.10 Γ 3 . Να μελετήσετε την f ως προς τα κοίλα και τα σημεία καμπής μον.10

ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση f(x)=

{

3x 3  e  2.......... ...x  1 x 2  e x ................. ....x  1

Δ1. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο x0  1 μον.10

Δ2. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f( x )=0 έχει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα (  1,2 )

μον.15