ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΙΣΑΜΟΥ Τετάρτη 5 Ιουνίου 2013 ΜΑΘΗΜΑ: Μαθηματικά και στοιχεία Στατιστικής ΘΕΜΑ Α Α1.Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα
ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει ότι Ρ(Α ∪ Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β) μον. 10 Α2. Να διατυπώσετε τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας μον. 7 Α3. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις
α. Ισχύει ότι (ημx)΄= . . . .
μον. 2
β. Αν Α΄ το συμπληρωματικό ενδεχόμενο του Α (όπου Α ένα οποιοδήποτε ενδεχόμενο Α ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει ότι Ρ(Α΄)= . . . . . . . . . μον. 2 γ. Η σχετική συχνότητα fi μιας τιμής xi με συχνότητα ν , ενός δείγματος μεγέθους ν είναι ίση με fi= . . . . . μον. 2 i
δ. Για τη μέση τιμή x ενός δείγματος ν παρατηρήσεων με τιμές t1,t2, . . . ,tν ισχύει ότι x = . . . . . . μον 2
ΘΕΜΑ Β Ο παρακάτω πίνακας περιέχει στοιχεία που αφορούν τον αριθμό ημερών που απουσίασαν οι μαθητές της Γ τάξης κατά τη διάρκεια της τελευταίας εβδομάδας του σχολικού έτους (xi: αριθμός ημερών , νi: αριθμός μαθητών) χi νi fi Nι Fi 0 5 0,1 1 0,2 2 35 3 Σύνολο /////////// ///////////
Β1. Να αποδείξετε ότι το σύνολο των μαθητών είναι ν= 50 μον. 5 Β2. Να συμπληρώσετε στην κόλλα σας τον παραπάνω πίνακα μον. 12 Β3. Πόσοι μαθητές έχουν τουλάχιστον 2 απουσίες; μον. 4 Β4. Πόσοι μαθητές έχουν το πολύ 2 απουσίες; μον. 4 ΘΕΜΑ Γ 1 Δίνεται η συνάρτηση f(x)= 3 x3+x2-3x , x ∈ R Γ1. Να βρείτε την f΄(x) μον 8 Γ2. Να λύσετε την εξίσωση f΄(x)=0 μον 5 Γ3. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης f. μον 12 ΘΕΜΑ Δ Έστω Α,Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. 1 1 με Ρ(Α-Β)= 2 , Ρ(Β-Α)= 5 και Ρ(Α)=2Ρ(Β) 6
3
1
Δ1. Να αποδείξετε ότι Ρ(Α)= 10 ,Ρ(Β)= 10 και Ρ(Α ∩ Β)= 10 μον 9 Δ2. Να υπολογίσετε την πιθανότητα Ρ(Α ∪ Β) μον 6 Δ3. Να υπολογίσετε την πιθανότητα του ενδεχομένου να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α, Β μον 5 Δ4. Να υπολογίσετε την πιθανότητα του ενδεχομένου να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα Α, Β μον 5
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΙΣΑΜΟΥ Πέμπτη 30 Μαΐου 2013 ΜΑΘΗΜΑ: Μαθηματικά θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης
ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι
z1 + z 2 = z1 + z 2
Μον. 10 Α2. Τι ονομάζεται μέτρο ενός μιγαδικού αριθμού z=x+yi Μον. 3 Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα από το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.
α. Ισχύει ότι (ημx)’=-συνx β.
lim x →0
ηµx x
=0
Μον. 3 Μον. 3
γ. Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση είναι συνεχής στο R Μον. 3 δ. Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z= x0+y0i z −z =ρ , ρ>0 είναι κύκλος με κέντρο Κ(x0,y0) και ακτίνα ρ
με
0
ε. Κάθε συνεχής συνάρτηση σε κλειστό διάστημα [α, β] παρουσιάζει μέγιστη και ελάχιστη τιμή.
ΘΕΜΑ Β
Μον. 3
Β1. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει z −2 +2i =2 είναι ο κύκλος με εξίσωση (x-2)2+(y+2)2=4 μον. 8 Β2. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει w −(1 −i ) = w −(−1 +i) είναι η ευθεία ε: y=x μον. 8 Β3. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης
z −w
μον. 9
ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ln(4-x2)
α) Να βρείτε τo πεδίο ορισμού της f
Μον. 5
β) Να δικαιολογήσετε γιατί η f είναι παραγωγίσιμη και να αποδείξετε ότι f΄(χ)=
− 2x 4 − x2
Μον. 6
γ) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της f
Μον. 7
δ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f
Μον. 7
Μονάδες 10
ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση f(x)=αημx+5συνx+2γx+5 με γ>0 και α+γπ+5<0
Δ1. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει τουλάχιστον δύο ρίζες στο (0,π) Μον. 15 Δ2. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ ∈ (0,π) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της f στο (ξ,f(ξ)) να είναι παράλληλη στον άξονα χ΄χ
Μον. 10
ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β΄ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΙΣΑΜΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 3 ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση κύκλου με κέντρο Κ(x0,y0) και ακτίνα ρ είναι C:(x-x0)2+(y-y0)2=ρ2 (μον 10) Α2.
Τι ονομάζεται έλλειψη με εστίες δύο σημεία Ε, Ε’ (μον 7)
Α3. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά , ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις. (μον 8) α. Αν δύο ευθείες ε1,ε2 έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ1,λ2 τότε ισχύει η ισοδυναμία ε 1 ⊥ ε 2 ⇔ . . . . . . β. Έστω η ευθεία ε:Αx+Βy+Γ=0 και το σημείο Μ(x0,y0). Η απόσταση του σημείου Μ από την ευθεία ε δίνεται από τη σχέση:
d ( M 0 , ε) =
.................
γ. Η εκκεντρότητα της έλλειψης C:
x2 y2 + =1 α2 β2
(α>β) είναι ε
=.... δ. Οι ασύμπτωτες της υπερβολής C:
x2 y2 − =1 α2 β2
είναι οι:
ε1:y= . . . . . και ε2:y= . . . . . ΘΕΜΑ Β Δίνονται η κορυφή Γ(5,3) και οι εξισώσεις δύο πλευρών ε1:y= x και ε2:y=1 ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ Β1. Να βρείτε τις άλλες τρεις κορυφές του ΑΒΓΔ.
(9 μον)
Β2. Να βρείτε τις εξισώσεις των δύο άλλων πλευρών του. (8 μον) Β3. Να υπολογίσετε το εμβαδό του ΑΒΓΔ.
(8 μον)
ΘΕΜΑ Γ Να αποδείξετε ότι 3ν>ν για κάθε θετικό ακέραιο ν
(μον 25) ΘΕΜΑ Δ Έστω η εξίσωση Cλ:x2+y2-2λx+2(λ+2)y+4λ+4=0, λ ∈ R Δ1. Να αποδείξετε ότι για κάθε λ ≠ 0, η εξίσωση παριστάνει κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. (μον 9) Δ2. Για λ=-2 να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης με εστίες τα σημεία στα οποία ο κύκλος C τέμνει τον άξονα y΄y και μήκος μικρού άξονα (2β) ίσο με τη διάμετρο του κύκλου.
(μον 8) Δ3. Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων, εστίες στον άξονα y΄y , ασύμπτωτη 1 ε: y= 2 x και εστιακή απόσταση ίση με το μήκος του μεγάλου άξονα της έλλειψης. (μον 8)
ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΙΣΑΜΟΥ ΤΡΙΤΗ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Να εγγράψετε σε κύκλο (Ο,R) ένα ισόπλευρο τρίγωνο και να αποδείξετε ότι η πλευρά του είναι λ3 = R 3 . Ποια η σχέση της ακτίνας R του κύκλου με το απόστημα α3 του εγγεγραμμένου τριγώνου μον 10 Α2. Να γράψετε τους τύπους που δίδουν το εμβαδόν ορθογωνίου, τραπεζίου, τετραγώνου και κύκλου μον 7 A3. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις μον 8 (i) Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 0 ) ισχύει ΓΒ2=………….. (ii)
Σε κανονικό εξάγωνο ισχύει λ6=…….και α6=…… ............ ...
(iii)
Αν μα η διάμεσος τριγώνου ΑΒΓ τότε µα2
(iv)
Το εμβαδόν ενός κυκλικού τομέα μ μοιρών και ακτίνας R είναι……………………
=
ΘΕΜΑ Β Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με β=5cm γ=3cm και μα= Να υπολογίσετε Β1. το μήκος της πλευράς α Β2. το μέτρο της γωνίας Α Β3. το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ Β4. το μήκος της προβολής της διαμέσου μα στην πλευρά α ΘΕΜΑ Γ
19 2
cm
μον 7 μον6 μον 6 μον 6
Ένα τετράγωνο ΑΒΓΔ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο,9cm). Προεκτείνουμε την ΔΓ κατά τμήμα ΓΡ=ΔΓ, αν η ΑΡ τέμνει τον κύκλο στο σημείο Μ να υπολογιστούν. Γ1. η πλευρά του τετραγώνου μον 7 Γ2. Το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΡΑ μον 9 Γ3. Το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΡΜ μον9
ΘΕΜΑ Δ Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α. Έστω Κ,Λ,Μ τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ αντίστοιχα. Κατασκευάζουμε τα ημικύκλια με διαμέτρους ΑΚ, ΑΛ στο εξωτερικό του τριγώνου ΑΒΓ. Στη συνέχεια κατασκευάζουμε τους κυκλικούς τομείς ΒΚΜ και ΓΛΜ με κέντρα Β,Γ και ακτίνες α/2 στο εσωτερικό του τριγώνου ΑΒΓ. Δ1.Να υπολογίσετε σε συνάρτηση του α το μήκος της «καρδιάς» που ορίζεται από τα τόξα ΑΚ , ΑΛ, ΚΜ, ΛΜ. μον 12 Δ2. Να υπολογίσετε σε συνάρτηση του α το εμβαδόν της «καρδιάς» μον 13
Ο Διευθυντής
Οι καθηγητές