Instituto Superior Dr. Bernardo Houssay Capilla del Monte - Córdoba Álgebra 1er Año Tecnicatura Superior en Análisis de Sistemas Profesor Ing. Edmundo Kinast
Unidad 2 Funciones Cuadráticas
Álgebra 1er año 2012 - Profesor Ing. Edmundo Kinast – Unidad 2 – Funciones Cuadráticas
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Álgebra 1er año 2012 - Profesor Ing. Edmundo Kinast – Unidad 2 – Funciones Cuadráticas Función Cuadrática Ecuación Explícita de la Recta ax 2 bx c , siendo a, b, c,
A la función polinómica de segundo grado f ( x) números reales y a
0 , se la denomina función cuadrática. Los términos de la
función reciben los siguientes nombres:
ax 2 Término cuadrático bx Término lineal
Término independiente
c
La representación gráfica de la función cuadrática es una parábola. 1) Funciones de la forma y
ax 2
Como vimos en la Unidad 1 todas las funciones del tipo x 2 por ser potencias pares, al elevarse al cuadrado tanto los valores positivos de x como los negativos se obtiene un valor positivo de y. De este modo la tabla de valores queda como sigue:
y
x2
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 9 4 1 0 1 4 9
y
x -3 -2 -1 0 1 2 3
1 2 x 2 y 4,5 2 0,5 0 0,5 2 4,5
y=x²
y 9
y=12 x²
8 7 6 5 4 3 2 1
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
-2 -3 -4
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-5 -6
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x
Álgebra 1er año 2012 - Profesor Ing. Edmundo Kinast – Unidad 2 – Funciones Cuadráticas Forma de la parábola:
a
0
la parábola “va” hacia arriba
a
0
la parábola “va” hacia abajo
0 |a| 1
la parábola de “abre”
|a| 1
la parábola se “cierra”
2) Funciones de la forma y
ax 2 c
y=x²+2 y=x²
y 9 8
y= x²-3
7 6 5 4 3 2 1
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
-2 -3 -4 -5
Posición de la parábola:
-6 -7
c
0
La gráfica se desplaza hacia arriba
c
0
La gráfica se desplaza hacia abajo
-8
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Álgebra 1er año 2012 - Profesor Ing. Edmundo Kinast – Unidad 2 – Funciones Cuadráticas 3) Funciones de la forma y
x2 x a 1; b 1 x y -3 6 -2 2 -1 0 -0,5 -0,25 0 0 1 2 2 6 y
y a
x2 2x 1; b 2 x y -2 8 -1 3 0 0 1 -1 2 0 3 3 4 8
ax 2 bx
Posición de la parábola: Si a y b tienen el mismo signo, la gráfica se desplaza hacia la izquierda. Si a y b tienen distinto signo, la gráfica se desplaza hacia la derecha.
y 9
y= x²+x
y= x²-2x
8 7 6 5 4 3 2 1
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
-2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
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x
Álgebra 1er año 2012 - Profesor Ing. Edmundo Kinast – Unidad 2 – Funciones Cuadráticas Raíces de la parábola. Son los puntos de intersección de la gráfica y el eje x, vale decir que f ( x) 0 .
b
x1 ; x2
b 2 4ac 2a
Vértice de la parábola. xv
x1
x2 2
Las coordenadas del vértice son:
ó xv
V
b 2a
yv
f ( xv )
( xv ; f ( xv ))
Eje de simetría. Es la recta que tiene por ecuación x
xv
Ordenada al origen. Es el punto de intersección de la gráfica con el eje y, vale decir que f (0) c . f ( x)
x2
2x 3
a 1 b
2 c
3
Raíces:
b
x1 ; x2
b 2 4ac 2a
x1
2 4 1 2
x2
2 4 2
2
4 4.1( 3) 2.1
2
4 12 2
2
16 2
2 4 2
3
Vértice: xv
b 2a
yv
f ( xv )
2 2.1
xv
( 1) 2
1
2( 1) 3
yv
4
Eje de simetría: x
1 Ordenada al origen: (0; 3) Punto simétrico: ( 2; 3)
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Álgebra 1er año 2012 - Profesor Ing. Edmundo Kinast – Unidad 2 – Funciones Cuadráticas Gráfica de la parábola. Para representar la gráfica de la parábola, f ( x) ax 2 bx c , se deben calcular los elementos de la misma y luego representarla, algunos valores se calcularon en la página anterior, vamos a completar la tabla: f ( x) x -4 -3 -2 -1 0 1 2
x2
2x 3 Y 5 0 -3 -4 -3 0 5
Eje de simetría
y 9
y= x²+2x-3
8 7
y= x²+2x-3
6 5 4 3
Raíz x=-3
Raíz x=1
2 1
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
-2 -3
Punto simétrico (-2;-3) Vértice (-1;-4)
-4 -5
Ordenada al origen (-1;-4)
-6 -7 -8
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Álgebra 1er año 2012 - Profesor Ing. Edmundo Kinast – Unidad 2 – Funciones Cuadráticas
Ejercicios: 1. Escribir V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda. a. La gráfica de y x 2 n con n>0 es la gráfica de y x 2 desplazada hacia arriba. b. La gráfica de y x 2 rx con r>0 es la gráfica de y x 2 desplazada hacia la izquierda. c. La gráfica de y x 2 m con m<0 es la gráfica de y x 2 desplazada hacia abajo. d. La gráfica de y x 2 tx con t<0 es la gráfica de y x 2 desplazada hacia la izquierda.
2. Completar las siguientes oraciones correspondientes a la ecuación y 3x 2 x 2 a. b. c. d. e.
Los coeficientes de los términos de la función son: a= El vértice de la parábola es el punto: El eje de simetría de la parábola es la recta: La ordenada al origen de la función es el punto: x2 Las raíces de la función son x1
, b=
, c=
3. Completar el siguiente cuadro: Función
y
x2
y
2x2
y
2
x
a
b
c
Raíces
Vértice
Eje de Simetría
Ordenada al origen
2 4x 1 4x 5
4. Realizar el gráfico aproximado de las siguientes funciones: a. y b. y c. y d. y
x2
x 2
5 2 2 3x 12 x 12 1 2 7 x x 5 2 2 2 x2
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