Sistemas Numéricos

Instituto de Educación Superior Dr. Bernardo Housay Capilla del Monte - Córdoba Álgebra 1er Año Tecnicatura Superior en Análisis de Sistemas de Información Profesor Ing. Edmundo Kinast Sistemas Numéricos

Álgebra 1er año – Profesor: Ing. Edmundo Kinast

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SISTEMAS NUMÉRICOS. .................................................................................................................. 4 NUMERACIÓN BINARIA. ...................................................................................................................... 4 Historia. ........................................................................................................................................ 4 Operaciones con números binarios ................................................................................................ 6 CONVERSIÓN ENTRE BINARIO Y DECIMAL, BINARIO Y OCTAL, Y BINARIO Y HEXADECIMAL ..................... 7 Otros Sistemas Numéricos ............................................................................................................. 9 Binario a octal .............................................................................................................................. 9 Octal a binario ............................................................................................................................ 10 Tabla de conversión entre decimal, binario, hexadecimal y octal.................................................. 11 EJERCICIOS: ..................................................................................................................................... 11

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Sistemas Numéricos.

Numeración Binaria.

Historia.

El antiguo matemático hindú Pingala presentó la primera descripción que se conoce de un sistema de numeración binario en el siglo tercero antes de nuestra era, lo cual coincidió con su descubrimiento del concepto del número cero.

Una serie completa de 8 trigramas y 64 hexagramas, análogos a 3 bit y números binarios de 6 bit, eran conocidos en la antigua china en el texto clásico del I Ching. Series similares de combinaciones binarias también han sido utilizados en sistemas de adivinación tradicionales africanos como el Ifá, así como en la geomancia medieval occidental.

Un arreglo binario ordenado de los hexagramas del I Ching, representando la secuencia decimal de 0 a 63, y un método para generar el mismo, fue desarrollado por el erudito y filósofo Chino Shao Yong en el siglo XI. Sin embargo, no hay ninguna prueba de que Shao entendió el cómputo binario.

En 1605 Francis Bacon habló de un sistema por el cual las letras del alfabeto podrían reducirse a secuencias de dígitos binarios, los cuales podrían ser codificados como variaciones apenas visibles en la fuente de cualquier texto arbitrario.

El sistema binario moderno fue documentado en su totalidad por Leibniz, en el siglo diecisiete, en su artículo "Explication de l'Arithmétique Binaire". En él se mencionan los símbolos binarios usados por matemáticos chinos. Leibniz usó el 0 y el 1, al igual que el sistema de numeración binario actual.

En 1854, el matemático británico George Boole, publicó un artículo que marcó un antes y un después, detallando un sistema de lógica que terminaría denominándose Álgebra de Boole. Dicho sistema desempeñaría un papel fundamental en el desarrollo del sistema binario actual, particularmente en el desarrollo de circuitos electrónicos.

En 1937, Claude Shannon realizó su tesis doctoral en el MIT, en la cual implementaba el Álgebra de Boole y aritmética binaria utilizando relés y conmutadores por primera vez en la historia. Titulada Un Análisis Simbólico de Circuitos Conmutadores y Relés, la tesis de Shannon básicamente fundó el diseño práctico de circuitos digitales.

En noviembre de 1937, George Stibitz, trabajando por aquel entonces en los Laboratorios Bell, construyó un ordenador basado en relés - al cual apodó "Modelo K" (porque lo construyó en una cocina, en inglés "kitchen"- que utilizaba la suma binaria para realizar los cálculos. Los Laboratorios Bell autorizaron un completo programa de investigación a finales de 1938, con Stibitz al mando. El 8 de enero de 1940 terminaron el diseño de una Calculadora de Números Complejos, la cual era capaz de realizar cálculos con números complejos. En una demostración en la conferencia de la Sociedad 4 de 14

Álgebra 1er año – Profesor: Ing. Edmundo Kinast Americana de Matemáticas, el 11 de septiembre de 1940, Stibitz logró enviar comandos de manera remota a la Calculadora de Números Complejos a través de la línea telefónica mediante un teletipo. Fue la primera máquina computadora utilizada de manera remota a través de la línea de teléfono.

Algunos participantes de la conferencia que presenciaron la demostración fueron John Von Neumann, John Mauchly y Norbert Wiener, el cual escribió acerca de dicho suceso en sus diferentes tipos de memorias en la cual alcanzó diferentes logros.

Representación Un número binario puede ser representado por cualquier secuencia de bits (dígitos binarios), que a su vez pueden ser representados por cualquier mecanismo capaz de estar en dos estados mutuamente exclusivos. Las secuencias siguientes de símbolos podrían ser interpretadas todas como el mismo valor binario numérico: 1010011010 |-|--||-|xoxooxxoxo ynynnyynyn

El valor numérico representado en cada caso depende del valor asignado a cada símbolo. En un ordenador, los valores numéricos pueden ser representados por dos voltajes diferentes y también se pueden usar polaridades magnéticas sobre un disco magnético.

De acuerdo con la representación acostumbrada de cifras que usan números árabes, los números binarios comúnmente son escritos usando los símbolos 0 y 1. Cuando son escritos, los números binarios son a menudo subindicados, prefijados o sufijados para indicar su base, o la raíz. Las notaciones siguientes son equivalentes: * 100101 binario (declaración explícita de formato) * 100101b (un sufijo que indica formato binario) * 100101B (un sufijo que indica formato binario) * bin 100101 (un prefijo que indica formato binario) * 1001012 (un subíndice que indica base 2 (binaria) notación) * %100101 (un prefijo que indica formato binario) * 0b100101 (un prefijo que indica formato binario, común en lenguajes de programación) Por lo tanto podemos decir que el sistema binario o sistema de numeración en base 2 es también un sistema de numeración posicional igual que el decimal, pero sólo utiliza dos símbolos, el “0” y el “1”. Por lo tanto para poder representar mayor número de información al tener menos símbolos tendremos que utilizar más cifras: Bit 0ó1

Cuarteto Número formado por 4 bits

Byte 8 bits

Kilobyte 1024 bytes 5 de 14

Megabyte 1024 kilobytes

Gigabyte 1025 megabytes

Álgebra 1er año – Profesor: Ing. Edmundo Kinast Un número en el sistema binario es por lo tanto una secuencia de bits, así por ejemplo:

11101001 2

es un número en base 2 y representa el número:

1*27 1*26 1*25 0*24 1*23 0*22 0*21 1*20 128 64 32 0 8 0 0 1 233

Operaciones con números binarios Suma de números Binarios Las posibles combinaciones al sumar dos bits son: *0+0= 0 *0+1= 1 *1+0= 1 * 1 + 1 = 10 +

1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0

Se puede convertir la operación binaria a una operación decimal resolver la decimal y del resultado de la operación decimal se convierte a un resultado (número) binario.

Operamos como en el sistema decimal: comenzamos a sumar desde la derecha, en nuestro ejemplo, 1 + 1 = 10, entonces escribimos 0 en la fila del resultado y llevamos 1 (este "1" se llama acarreo o arrastre). A continuación se suma el acarreo a la siguiente columna: 1 + 0 + 0 = 1, y seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en decimal).

Resta de números binarios El algoritmo de la resta en binario es el mismo que en el sistema decimal. Pero conviene repasar la operación de restar en decimal para comprender la operación binaria, que es más sencilla. Los términos que intervienen en la resta se llaman minuendo, sustraendo y diferencia.

Las restas básicas 0-0, 1-0 y 1-1 son evidentes: *0-0=0 *1-0=1 *1-1=0 * 0 - 1 = no cabe o se pide prestado al próximo.

La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de la posición siguiente: 10 - 1 = 1 y me llevo 1, lo que equivale a decir en decimal, 2 - 1 = 1. Esa unidad prestada debe devolverse, 6 de 14

Álgebra 1er año – Profesor: Ing. Edmundo Kinast sumándola, a la posición siguiente. Veamos algunos ejemplos: Restamos 17 - 10 = 7

-

1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1

Restamos 217 - 171 = 46 -

1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0

Conversión entre binario y decimal, binario y octal, y binario y hexadecimal Binario a decimal Para realizar la conversión de binario a decimal, realice lo siguiente: 1. Inicie por el lado derecho del número en binario, cada número multiplíquelo por 2 y elévelo a la potencia consecutiva (comenzando por la potencia 0).

2. Después de realizar cada una de las multiplicaciones, sume todas y el número resultante será el equivalente al sistema decimal.

Ejemplos: * 110101 (binario) = 53 (decimal). Proceso: 1*(2) elevado a (0)=1 0*(2) elevado a (1)=0 1*(2) elevado a (2)=4 0*(2) elevado a (3)=0 1*(2) elevado a (4)=16 1*(2) elevado a (5)=32 La suma es: 53 * 10010111 (binario) = 151 (decimal). Proceso: 1*(2) elevado a (0)=1 1*(2) elevado a (1)=2 1*(2) elevado a (2)=4 0*(2) elevado a (3)=0 1*(2) elevado a (4)=16 0*(2) elevado a (5)=0 0*(2) elevado a (6)=0 1*(2) elevado a (7)=128 La suma es: 151 * 110111 (binario) = 55 (decimal). Proceso: 1*(2) elevado a (0)=1 1*(2) elevado a (1)=2 7 de 14

Álgebra 1er año – Profesor: Ing. Edmundo Kinast 1*(2) elevado a (2)=4 0*(2) elevado a (3)=0 1*(2) elevado a (4)=16 1*(2) elevado a (5)=32 La suma es: 55 También se puede optar por utilizar los valores que presenta cada posición del número binario a ser transformado, comenzando de derecha a izquierda, y sumando los valores de las posiciones que tienen un 1.

Por ejemplo: el número binario 1010010 corresponde en decimal al 82 se puede representar de la siguiente manera: 64 1

32 0

16 1

8 0

4 0

2 1

1 0

Entonces se suman los números 2, 16 y 64: 2 +16 64 ---82

Decimal a binario Se divide el número decimal entre 2 cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2 y así sucesivamente. Una vez llegados al 1 indivisible se cuentan el último cociente, es decir el uno final (todo número binario excepto el 0 empieza por uno), seguido de los residuos de las divisiones subsiguientes. Del más reciente hasta el primero que resultó. Este número será el binario que buscamos. A continuación se puede ver un ejemplo con el número decimal 100 pasado a binario.

División 100 2 50 2 25 2 12 2 62 32

Cociente Resto 50 0 25 0 12 6 3

1 0 0

1

1

100 2 00 50 2 10 25 2 0 05 12 2 1 0 62

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Álgebra 1er año – Profesor: Ing. Edmundo Kinast 0 32 11     Así se lee

Otros Sistemas Numéricos Así como vimos los sistemas numéricos Decimales (base 10) y Binarios (base 2), hay otros sistemas posibles que son usados frecuentemente en el ambiente informático. Estos son el sistema Octal (base 8) y el Hexadecimal (base 16).

El sistema Octal tiene como base 8 símbolos y usando los mismos que usamos en el sistema decimal, nos queda: 0,1,2,3,4,5,6 y7.

El sistema Hexadecimal contiene 16 símbolos compuestos por los primeros 10 del sistema Decimal, y a continuación las letras mayúsculas de A a F, quedando: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F.

Binario a octal Para realizar la conversión de binario a octal, realice lo siguiente: 1. Agrupe la cantidad binaria en grupos de 3 en 3 iniciando por el lado derecho. Si al terminar de agrupar no completa 3 dígitos, entonces agregue ceros a la izquierda.

2. Posteriormente vea el valor que corresponde de acuerdo a la tabla: Octal 0 1 Binario 000 001

2 010

3 011

4 100

5 101

6 110

7 111

3. La cantidad correspondiente en octal se agrupa de derecha a izquierda.

Ejemplos: * 110111 (binario) = 67 (octal). Proceso: 111 = 7 110 = 6 Agrupe de derecha a izquierda: 67 * 11001111 (binario) = 317 (octal). Proceso: 111 = 7 001 = 1 11 entonces agregue un cero, con lo que se obtiene 011 = 3 Agrupe de derecha a izquierda: 317 * 1000011 (binario) = 103 (octal). Proceso: 011 = 3 000 = 0 9 de 14

Álgebra 1er año – Profesor: Ing. Edmundo Kinast 1 entonces agregue 001 = 1 Agrupe de derecha a izquierda: 103.

Octal a binario Cada dígito octal se lo convierte en su binario equivalente de 3 bits y se juntan en el mismo orden. Ejemplo: * 247 (octal) = 010100111 (binario). El 2 en binario es 10, pero en binario de 3 bits es Oc(2) = B(010); el Oc(4) = B(100) y el Oc(7) = (111), luego el número en binario será 010100111.

Binario a hexadecimal Para realizar la conversión de binario a hexadecimal, realice lo siguiente: 1. Agrupe la cantidad binaria en grupos de 4 en 4 iniciando por el lado derecho. Si al terminar de agrupar no completa 4 dígitos, entonces agregue ceros a la izquierda.

2. Posteriormente vea el valor que corresponde de acuerdo a la tabla: Bin 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 Hexa 0 1 2 3 4 5 6 7

Bin 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 Hexa 8 9 A B C D E F 3. La cantidad correspondiente en hexadecimal se agrupa de derecha a izquierda.

Ejemplos: * 110111010 (binario) = 1BA (hexadecimal). Proceso: 1010 = A 1011 = B 1 entonces agregue 0001 = 1 Agrupe de derecha a izquierda: 1BA * 11011110101 (binario) = 6F5 (hexadecimal). Proceso: 0101 = 5 1111 = F 110 entonces agregue 0110 = 6 Agrupe de derecha a izquierda: 6F5

Hexadecimal a binario 10 de 14

Álgebra 1er año – Profesor: Ing. Edmundo Kinast Ídem que para pasar de hexadecimal a binario, solo que se remplaza por el equivalente de 4 bits, como de octal a binario.

Tabla de conversión entre decimal, binario, hexadecimal y octal Decimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Binario 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

Hexadecimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Octal 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17

Ejercicios:

Para realizar los siguientes ejercicios, utilizar los métodos aprendidos y expresar todos los pasos efectuados en forma explícita. La calculadora científica usarla solo para verificar. Estos ejercicios comprenden el Trabajo Práctico Nº 1.

1. Realizar las siguientes conversiones de decimal a binario: a. 128 b. 253 c. 451 d. 327 e. 256 f. 713 g. 1024 h. 3425 11 de 14

Álgebra 1er año – Profesor: Ing. Edmundo Kinast 2. Realizar las siguientes conversiones de binario a decimal: a. 110100101 b. 1101111010 c. 1001000 d. 100110111110 e. 1001111111 f. 10001101 g. 100101111100 h. 101000101 1. Realizar las siguientes conversiones de decimal a octal: a. 128 b. 253 c. 451 d. 327 e. 256 f. 713 g. 1024 h. 3425 2. Realizar las siguientes conversiones de binario a octal: a. 110100101 b. 1101111010 c. 1001000 d. 100110111110 e. 1001111111 f. 10001101 g. 100101111100 h. 101000101 3. Realizar las siguientes conversiones de octal a decimal: a. 127 b. 34 c. 1372 d. 1563 e. 4260 f. 3214 g. 67 h. 174 4. Realizar las siguientes conversiones de octal a binario: 12 de 14

Álgebra 1er año – Profesor: Ing. Edmundo Kinast a. 127 b. 34 c. 1372 d. 1563 e. 4260 f. 3214 g. 67 h. 174 5. Realizar las siguientes conversiones de binario a hexadecimal: a. 110100101 b. 1101111010 c. 1001000 d. 100110111110 e. 1001111111 f. 10001101 g. 100101111100 h. 101000101 6. Realizar las siguientes conversiones de hexadecimal a binario: a. 5FF b. 1F8 c. 4A7F d. 28C9 e. 17DF f. FF00 g. 5ACF 7. Realizar las siguientes conversiones de hexadecimal a decimal: a. 5FF b. 1F8 c. 4A7F d. 28C9 e. 17DF f. FF00 g. 5ACF 8. Realizar las siguientes conversiones de decimal a hexadecimal: a. 128 b. 253 c. 451 d. 327 e. 256 f. 713 g. 1024 h. 3425 13 de 14

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