Funciones Lineales

Instituto Superior Dr. Bernardo Houssay Capilla del Monte - Córdoba Álgebra 1er Año Tecnicatura Superior en Análisis de Sistemas Profesor Ing. Edmundo Kinast

Unidad 2 Funciones Lineales

Álgebra 1er año 2012 - Profesor Ing. Edmundo Kinast – Unidad 2 – Funciones Lineales

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Álgebra 1er año 2012 - Profesor Ing. Edmundo Kinast – Unidad 2 – Funciones Lineales Funciones Lineales Ecuación Explícita de la Recta Teniendo en cuenta que en la función polinómica de 1er grado f(x) = ax + b, siendo a y b números reales, se denomina pendiente al valor a y ordenada al origen al valor b. Representar gráficamente los siguientes grupos de funciones. En cada grupo hacer lo siguiente: Escribir cuales son los valores de a y b.

Representar cada grupo en el mismo gráfico indicando a que función corresponde cada recta.

Confeccionar la tabla para valores de x e y con x 0 y 1 Mencionar que tienen de particular cada grupo en los ejercicios 1 y 2

Ejercicio 1 a) y

2x 3

b) y

2x 1

c) y

2x 2

d) y

2x

Ejercicio 2 a) y

2x 3

b) y

x 3

c) y

3x 3

d) y

x 3

Ejercicio 3 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones, representarlo gráficamente, y marcar en el gráfico los valores de a, b y de x1 e y1 donde las rectas se cruzan. a) y

x 4

b) y

2x 2

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Álgebra 1er año 2012 - Profesor Ing. Edmundo Kinast – Unidad 2 – Funciones Lineales Ejercicio 4 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones, representarlo gráficamente, y marcar en el gráfico los valores de a, b y de x1 e y1 donde las rectas se cruzan. a) y

x 2

b) y 3x 2

Ejercicio 5 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones, representarlo gráficamente, y marcar en el gráfico los valores de a, b y de x1 e y1 donde las rectas se cruzan. a) y

2

b) y 3x 2

Ejercicio 6 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones, representarlo gráficamente, y marcar en el gráfico los valores de a, b y de x1 e y1 donde las rectas se cruzan. a) y

x 2

b) y 3x 2

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Álgebra 1er año 2012 - Profesor Ing. Edmundo Kinast – Unidad 2 – Funciones Lineales Ecuación Segmentaria de la Recta x y 1 representa una recta en forma m n segmentaria. Los denominadores m y m representan a la abscisa y a la

Toda ecuación de la forma

y

n

x m

ordenada al origen, respectivamente.

Dada la recta y 3x 2 , para pasar de la ecuación explícita a la segmentaria se procede de la siguiente manera:

y 3 x 2  3x y

2 

3x

y 2

x y 1  2 2 3

2 3 x  2 2

y 1 2

2 2 y n 3 Para representar gráficamente la función en forma segmentaria, se determinan sobre los ejes las intersecciones con la recta y luego se traza la misma.

Es decir que m

x y 1 , para pasar de la ecuación segmentaria a la explícita se 2 3 procede de la siguiente manera:

Dada la recta

x 2

a

y 3

1 

y 3

1

x  y 2

3(1

x )  y 2

3

3 x . Donde la pendiente es 2

3 y la ordenada al origen es b 3 2

Ejercicios.

1) Hallar la ecuación segmentaria de cada una de las siguientes rectas explícitas:

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Álgebra 1er año 2012 - Profesor Ing. Edmundo Kinast – Unidad 2 – Funciones Lineales a) y

2x 4 1 b) y x 3 2 2 1 c) y x 3 2 d) y 3x 2 2) Hallar la ecuación explícita de cada una de las siguientes rectas segmentarias: x 2 x b) 1 3 x c) 5 2 x d) 4

a)

y 5

1

y 1 2

y 1 4 y 3

1

1

3) Escribir las ecuaciones explícita y segmentaria de cada una de las siguientes rectas: a)

y 8 7 6 5 4 3 2 1

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

-2 -3 -4 -5 -6 -7 -8

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y

b)

8 7 6 5 4 3 2 1

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

2

3

4

5

6

7

8

x

-2 -3 -4 -5 -6 -7 -8

y

c)

8 7 6 5 4 3 2 1

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

-1

1

-2 -3 -4 -5 -6 -7 -8

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Álgebra 1er año 2012 - Profesor Ing. Edmundo Kinast – Unidad 2 – Funciones Lineales d)

y 8 7 6 5 4 3 2 1

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

-2 -3 -4 -5 -6 -7 -8

Ecuación de una Recta, Dadas la Pendiente y un Punto de la Misma Fórmula para hallar la ecuación de una recta, dada su pendiente a y un punto perteneciente a la misma ( x1 , y1 ) : y

y1

a ( x x1 )

La ecuación explícita de una recta cuya pendiente es 2 y pasa por el punto (1;3) es:

y 3 2( x 1)  y 3 2 x 2  y

2x 2 3 

y

2x 1

Ecuación de una Recta, Dados dos Puntos de la Misma La fórmula para hallar la ecuación de una recta, dados dos puntos pertenecientes a ella ( x1 ; y1 ) y ( x2 ; y2 ) es:

y y1 y2 y1

x x1 x2 x1

La ecuación explícita de una recta que pasa por los puntos (2;1) y (5;3) es:

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Álgebra 1er año 2012 - Profesor Ing. Edmundo Kinast – Unidad 2 – Funciones Lineales y 1 3 1

y

x 2 y 1  5 2 2

2 4 x 1  y 3 3

x 2 x 2  y 1 2( )  y 1 3 3

2 4 3 x  y 3 3

2 4  x 3 3

2 1 x 3 3

Ejercicios:

1) Hallar las ecuaciones de las siguientes rectas dadas sus pendientes y un punto por el que pasan:

a) a=2 (3;5) b) a=1 (1;3) c) a=3 (2;1) d) a=-2 (1;3)

2) Hallar las ecuaciones de las siguientes rectas dados dos puntos de las mismas:

a) (3;5) (1;3) b) (2;1) (1;3) c) (2;2) (4;1) d) (1;3) (5;2)

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Instalación de un negocio de venta de empanadas.

El siguiente ejercicio pretende mostrar los elementos a tener en cuenta para la instalación de un negocio, en este caso de venta de empanadas, y la aplicación de la ecuación general de la recta.

Se tienen en cuenta dos factores los Costos y los Ingresos.

Costos: Para el cálculo de los costos de operación del negocio se deben analizar dos elementos a saber: Los que tienen que ver directamente con el producto a vender. Es decir todo lo que necesito para fabricar las empanadas, llamados Costos Directos, como ser: o Carne o Cebollas o Tapas de empanadas o Condimentos o Huevos o Aceite o Gas (la parte que tiene injerencia en la fabricación) o Etc. Los que tiene que ver con la operación del negocio y que son independientes de la cantidad de empanadas que venda, llamados Costos Indirectos o Fijos, Como ser: o Alquiler o Monotributo o Electricidad (EPEC) o Impuestos municipales (Habilitación, etc.) o Honorarios contador o Elementos de limpieza o Honorarios personal de limpieza o Gas (la parte que tiene injerencia en el funcionamiento Ej: Calefacción) o Etc. Los costos se reflejarán en una ecuación que tendrá la siguiente forma:

Costos CostosVariables.Cantidad .Unidades CostosFijos Que como puede verse tiene el mismo aspecto que la ecuación general de la recta y a.x b . Donde podemos ver las siguientes equivalencias: Ordenada al origen b = CostosFijos Pendiente a = CostosVariables Variable independiente x = Cantidad .Unidades Variable dependiente y = Costos

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Álgebra 1er año 2012 - Profesor Ing. Edmundo Kinast – Unidad 2 – Funciones Lineales Cálculo de los Costos Fijos: Para el cálculo de los costos fijos se deberán sumar los valores de todos los elementos que se consideren en pesos, Alquiler, Monotributo, Electricidad, etc. Se deberá tener en cuenta que algunos de estos ítems son mensuales, otros bimestrales, etc. Hay que encontrar el valor mensual de cada uno, por ejemplo: Si la factura de EPEC es bimestral y tiene un valor de $ 200, el valor mensual equivalente es de $ 100. Y así se procede con todos los ítems y finalmente se suman. Supongamos que nuestra cuenta nos da un resultado final de CostosFijos $2800 .

Cálculo de Costos Variable: Los Costos Variables llevan ese nombre pues a diferencia de los Costo Fijos, estos dependen de la cantidad fabricada/vendida. Cuanto mayor sea la cantidad de empanadas que fabrique más materia prima tengo que comprar, de allí que se llame variable.

Aquí tenemos que sumar el costo de todos los elementos para fabricar una cantidad dada de empanadas, por ejemplo tomar 2 Kgr. de carne y todos los demás elementos para fabricar las empanadas. Asumiendo que se puedan fabricar 6 docenas de empanadas, al sumar los costos de todos los elementos y dividirlos por 72 (6 docenas) obtenemos el costo por empanada. Supongamos que es de $ 1 por unidad. Entonces CostosVariables 1 $ Unidad .

Resultando entonces la ecuación de la recta de Costos en: Costos 1 $

Unidad

.Cantidad .Unidades $2800

Ingresos: Ahora debemos proceder al cálculo de los ingresos que se obtendrán de la venta de las empanadas. Este caso es mucho más sencillo. Los ingresos por venta dependen simplemente de la cantidad vendida y del precio de venta, es decir:

Ingresos = Precio de Venta.Cantidad.Unidades

Que como podemos ver tiene la estructura de una recta que pasa por el origen y donde:

ax ,

y Ingresos a Precio de Venta x Cantidad .Unidades

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Álgebra 1er año 2012 - Profesor Ing. Edmundo Kinast – Unidad 2 – Funciones Lineales Ahora ya estamos casi en condiciones de graficar las dos rectas solo nos faltan dos elementos: 1. El Precio de Venta que lo vamos a definir nosotros de acuerdo al mercado, si lo fijamos muy alto nadie nos va a comprar, si es muy bajo vamos a ganar muy poco y no sobreviviremos. Supongamos que elegimos un Precio de Venta = $ 2,50.

2. La Cantidad Vendida va a depender del mercado, es decir cuantas empanadas venderemos.

Entonces nuestros ingresos quedan así: Ingresos

2,50 $

Unidad

.Cantidad .Unidades

Ahora tenemos un sistema conformado por dos ecuaciones, los Costos y los Ingresos.

Son dos rectas que sabemos que se van a cortar en algún punto dependiendo de la Cantidad Vendida, así: Costos 1 $ Ingresos

.Cantidad .Unidades $2800 Unidad 2,50 $ .Cantidad .Unidades Unidad

El punto donde se cortan ambas rectas es donde los Costos y los Ingresos se equilibran, en ese único punto Costos Ingresos , entonces allí se cumple que: 1$

Unidad

.Cantidad .Unidades $2800

2,50 $

Unidad

.Cantidad .Unidades

De donde se obtiene despejando: $2800

2,50 $

Unidad

.Cantidad .Unidades 1 $

Unidad

.Cantidad .Unidades

$2800 1,50 $

.Cantidad .Unidades Unidad $2800 Cantidad $1,50 Cantidad 1867empanadas

Esto significa que la cantidad mínima de venta mensual de empanadas es de 1867. Si no vendemos esto no cubrimos los costos mensuales. Recién a partir de este valor comenzamos a ganar dinero a razón de $ 1,50 por empanada.

En la página siguiente podemos ver ambas rectas graficadas.

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$ Ingresos

10000

na nci

a

9000

Costos

Ga

8000

7000

6000

5000

Pé

3000

rdi da

4000

2000

1000

1000 1867

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2000

3000

4000

Cantidad

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Álgebra 1er año 2012 - Profesor Ing. Edmundo Kinast – Unidad 2 – Funciones Lineales Corolarios: De observar el gráfico resultante, y de los valores obtenidos podemos sacar varias conclusiones, a saber: 1. El punto de equilibrio de este negocio pasa por las 1867 empanadas, lo que equivale aproximadamente a 156 docenas. Recién a partir de este punto comenzamos a ganar dinero a razón de $ 1,50 por empanada. Antes de este valor estamos trabajando a pérdida.

2. Si queremos reducir este número a un valor menor para empezar a ganar dinero antes, tenemos tres opciones: a. Bajar los costos fijos (la ordenada al origen). b. Bajar el costo de la empanada, costo variable, (la pendiente de la recta de costos). c. Aumentar el precio de la empanada (la pendiente de la recta de ingresos).

3. Bajar los Costos Fijos. Al hacer esto lo que sucede es que la recta de costos tiene una ordenada al origen menor, es decir “arranca” más abajo en el gráfico y por lo tanto corta a la recta de Ingresos antes, es decir con una cantidad menor (un valor menor de x). Para bajar los costos debemos trabajar en los elementos de costo asociados y ver como se pueden reducir. Por ejemplo, si trabajamos en un local propio no tenemos que pagar alquiler disminuyendo de este modo en forma considerable el costo fijo.

4. Bajar los Costos Variables. Para bajar este costo tenemos que poder bajar el costo de fabricar cada empanada y podemos hacerlo de diversas maneras y cada una tiene sus consecuencias. a. Podemos poner menor cantidad de relleno en cada empanada (bajamos la calidad). b. Podemos poner ingredientes más económicos (bajamos la calidad). c. Podemos buscar otros proveedores que tengan mejores precios para la misma calidad.

5. Aumentar el Precio de la Empanada. Esto lo que logrará es aumentar la pendiente de la recta de Ingresos con lo que el punto de cruce se correrá a la izquierda.

Como vemos son varios los factores sobre los que se puede trabajar para mejorar el rendimiento del negocio.

No se tuvieron en cuenta aquí los gastos iniciales de instalación, ni la amortización correspondiente.

El análisis realizado, sirve como marco general. Podemos analizar por ejemplo un emprendimiento de fabricación de ladrillos en bloques de cemento. Las empanadas son reemplazadas por bloques y todas las otras consideraciones son las mismas en lo referente a costos fijos, variables, o ingresos.

Este análisis, como toda modelización no es exacto, pero nos da una aproximación muy buena sobre los posibles resultados, sin haber invertido nada más que nuestro tiempo y un poco de esfuerzo, no se hizo ninguna inversión para encontrarnos luego en un fracaso comercial.

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