Algebra Relacional

Instituto Superior Dr. Bernardo Housay Capilla del Monte - Córdoba Álgebra 1er Año Tecnicatura Superior en Análisis de Sistemas Profesor Ing. Edmundo Kinast

Unidad 3 Teoría de Conjuntos Álgebra Relacional

Álgebra 1er año - Profesor Ing. Edmundo Kinast – Unidad 3 – Teoría de Conjuntos – Álgebra Relacional

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Teoría de Conjuntos El concepto de conjunto es intuitivo y se podría definir como una "agrupación bien definida de objetos no repetidos y no ordenados"; así, se puede hablar de un conjunto de personas, ciudades, lentes, lápices o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa. Un conjunto está bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto. El conjunto de los lápices azules está bien definido, porque a la vista de un lápiz se puede saber si es azul o no. El conjunto de las personas altas no está bien definido, porque a la vista de una persona, no siempre se podrá decir si es alta o no, o puede haber distintas personas, que opinen si esa persona es alta o no lo es. En el siglo XIX, según Frege, los elementos de un conjunto se definían sólo por tal o cual propiedad. Actualmente la teoría de conjuntos está bien definida por el sistema ZFC (Axiomas de Zermelo-Fraenkel): 1. Un conjunto es una reunión de objetos que cumplen con cierta propiedad (llamados los elementos de ese conjunto) y que, por tanto, queda definido por tal propiedad.

2. Un conjunto es una sola entidad matemática, de modo que puede a su vez ser contenido por otro conjunto.

3. Dos conjuntos que tengan los mismos elementos son iguales. Así, puede decirse que un conjunto está determinado por sus elementos.

Sin embargo, sigue siendo célebre la definición que publicó Cantor.

Se entiende por conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o nuestro pensamiento.

Diagrama de Venn que muestra un conjunto A contenido en otro conjunto U y su complemento

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Notación Usualmente los conjuntos se representan con una letra mayúscula: A, B, K,...

Llamaremos elemento, a cada uno de los objetos que forman parte de un conjunto, estos elementos tienen carácter individual, tienen cualidades que nos permiten diferenciarlos, y cada uno de ellos es único, no habiendo elementos duplicados o repetidos. Los representaremos con una letra minúscula: a, b, k,...

De esta manera, si común escribir:

es un conjunto, y

todos sus elementos, es

para definir a tal conjunto Esta notación empleada para definir al conjunto extensión.

.

se llama notación por

Para representar que un elemento pertenece a un conjunto A, escribimos (léase "x en A", "x pertenece a A" o bien "x es un elemento de A"). La negación de

se escribe

(léase

no pertenece a

).

El conjunto universal, que siempre representaremos con la letra U (u mayúscula), es el conjunto de todas las cosas sobre las que estemos tratando.

Así, si hablamos de números enteros entonces U es el conjunto de los números enteros, si hablamos de ciudades, U es el conjunto de todas las ciudades, este conjunto universal puede mencionarse explícitamente, o en la mayoría de los casos se da por supuesto dado el contexto que estemos tratando, pero siempre es necesario demostrar la existencia de dicho conjunto previamente.

Existe además, un único conjunto que no tiene elementos al que se le llama conjunto vacío y que se denota por . Es decir:

La característica importante de este conjunto es que satisface todos los elementos posibles que no están contenidos en él, es decir .

Por otro lado, si todos los elementos

de un conjunto A satisfacen alguna

propiedad, misma que pueda ser expresada como una proposición , con la indeterminada , usamos la notación por comprensión, y se puede definir:

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Álgebra 1er año - Profesor Ing. Edmundo Kinast – Unidad 3 – Teoría de Conjuntos – Álgebra Relacional Lo anterior se lee "A es el conjunto de elementos x, que cumplen la propiedad p(x)". El símbolo ":" se lee "que cumplen la propiedad" o "tal que"; este símbolo puede ser remplazado por una barra .

Por ejemplo, el conjunto

donde el símbolo

puede definirse por:

representa al conjunto de los números naturales.

Igualdad entre conjuntos. Subconjuntos y Superconjuntos.

Igualdad de conjuntos Dos conjuntos y se dicen iguales, lo que se escribe si constan de los mismos elementos. Es decir, si y solo si todo elemento de A está también contenido en B y todo elemento de B está contenido en A. En símbolos:

Subconjuntos y Superconjuntos

Diagrama de Venn que muestra Un conjunto se dice que es subconjunto de otro , si cada elemento de es también elemento de , es decir, cuando se verifique: , sea cual sea el elemento

. En tal caso, se escribe

.

Cabe señalar que, por definición, no se excluye la posibilidad de que si , se cumpla . Si tiene por lo menos un elemento que no pertenezca al conjunto , pero si todo elemento de es elemento de , entonces decimos que es un subconjunto propio de , lo que se representa por . En otras palabras, 15/03/2011 19:37:00

si y sólo si

,y

. Así, el Página 5 de 22

Álgebra 1er año - Profesor Ing. Edmundo Kinast – Unidad 3 – Teoría de Conjuntos – Álgebra Relacional conjunto vacío es subconjunto propio de todo conjunto (excepto de sí mismo), y todo conjunto A es subconjunto impropio de sí mismo.

Si

es un subconjunto de , lo que se escribe

, decimos también que . Así pues

es un superconjunto de

, y también que: , significando

que

es superconjunto propio de

.

Por el principio de identidad, es siempre cierto , para todo elemento , por lo que todo conjunto es subconjunto (y también superconjunto) de sí mismo.

Vemos que pues

es una relación de orden sobre un conjunto

(

es reflexiva)

(

es antisimétrica)

(

es transitiva)

de conjuntos,

Operaciones con conjuntos Sean

y

dos conjuntos.

Unión

Diagrama de Venn que ilustra Para cada par de conjuntos A y B existe un conjunto Unión de los dos, que se denota como el cual contiene todos los elementos de A y de B. De manera más general, para cada conjunto S existe otro conjunto denotado como 15/03/2011 19:37:00

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Álgebra 1er año - Profesor Ing. Edmundo Kinast – Unidad 3 – Teoría de Conjuntos – Álgebra Relacional de manera que sus elementos son todos los De esta manera es el caso especial donde

tales que .

.

Es claro que el hecho de que un elemento x pertenezca a es condición necesaria y suficiente para afirmar que x es un elemento de A o al menos de B. Es decir

Ejemplos: si tenemos los conjuntos

Entonces

Intersección ∩

Diagrama de Venn que ilustra Los elementos comunes a y forman un conjunto denominado intersección de y , representado por . Es decir, es el conjunto que contiene a todos los elementos de A que al mismo tiempo están en B: .

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Álgebra 1er año - Profesor Ing. Edmundo Kinast – Unidad 3 – Teoría de Conjuntos – Álgebra Relacional Si dos conjuntos y son tales que que son conjuntos disjuntos.

Es claro que el hecho de que para afirmar que y

, entonces

y

se dice

es condición necesaria y suficiente . Es decir

Ejemplos: si tenemos los conjuntos

Entonces:

Particiones Dado un conjunto A y una serie de subconjuntos Ai, se dice que Ai son particiones de A cuando la unión de todas es el conjunto A, y la intersección de todas es el conjunto vacío. Es decir, que los subconjuntos Ai, forman parte del conjunto más grande denotado A.

Diferencia

Diagrama de Venn que muestra A − B

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Diagrama de Venn que muestra B − A Los elementos de un conjunto que no se encuentran en otro conjunto forman otro conjunto llamado diferencia de y , representado por Es decir:

, .

. o dicho de otra manera:

Algunas personas prefieren denotar la diferencia de

y

como

.

Una propiedad interesante de la diferencia es que

eso es porque

Ejemplos: Sin importar cual conjunto A elija usted, siempre se cumple

Complemento El complemento de un conjunto A, es el conjunto de los elementos que pertenecen a algún conjunto U pero no pertenecen a A, que lo representaremos por 15/03/2011 19:37:00

. Es decir Página 9 de 22

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El conjunto complemento siempre lo es respecto al conjunto universal que estamos tratando, esto es, si hablamos de números enteros, y definimos el conjunto de los números pares, el conjunto complemento de los números pares, es el formado por los números no pares. Si estamos hablando de personas, y definimos el conjunto de las personas rubias, el conjunto complementario es el de las personas no rubias.

En vista de que

y

, entonces

, de manera que

Pero también

de modo que

Diferencia simétrica Los elementos de dos conjuntos A y B, a excepción de aquellos elementos que se encuentran en el área de intersección de dichos conjuntos, se define la diferencia simétrica.

Los elementos de dos conjuntos A, B y C, a excepción de aquellos elementos que se encuentran en el área de intersección de dichos conjuntos.

Álgebra de conjuntos Sean A, B, y C conjuntos cualesquiera y U un conjunto tal que y entonces: 15/03/2011 19:37:00

,

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Elemento neutro de la unión Elemento neutro de la intersección Propiedad conmutativa de la intersección Propiedad conmutativa de la unión Propiedad de Involución.

Propiedad asociativa de la intersección Propiedad asociativa de la unión Propiedad distributiva de la intersección Propiedad distributiva de la unión

Producto cartesiano de conjuntos o producto cruz Un par ordenado de números mismo si y solo si .

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es tal si los pares

y

son uno

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Álgebra 1er año - Profesor Ing. Edmundo Kinast – Unidad 3 – Teoría de Conjuntos – Álgebra Relacional Dados dos conjuntos y , definimos al conjunto producto ( o producto cartesiano) de y (en ese orden), representado por , como el conjunto

Ejemplo Sean

y

. Así,

Ya que el producto cartesiano está formado de pares ordenados (donde el orden de los componentes importa), resulta

Cuantificadores Los cuantificadores sirven para indicar cuantos elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad. Tales cuantificadores son: El cuantificador universal, representado por (para todo). Este cuantificador se emplea para afirmar que todos los elementos de un conjunto cumplen con determinada propiedad. Se escribe:

El cuantificador existencial se usa para indicar que al menos un elemento de un conjunto cumple con una propiedad. Se escribe: .

Se definen

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Álgebra y Cálculo Relacional El álgebra relacional es un conjunto de operaciones que describen paso a paso como computar una respuesta sobre las relaciones, tal y como éstas son definidas en el modelo relacional. Denominada de tipo procedimental, a diferencia del Cálculo relacional que es de tipo declarativo.

Describe el aspecto de la manipulación de datos. Estas operaciones se usan como una representación intermedia de una consulta a una base de datos y, debido a sus propiedades algebraicas, sirven para obtener una versión más optimizada y eficiente de dicha consulta.

Tuplas Una tupla se define como una función finita que asocia unívocamente los nombres de los atributos de una relación con los valores de una instanciación de la misma. En términos simplistas, es una fila de una tabla relacional.

Unión Compatible Una unión es compatible entre dos relaciones R, S, si ellas poseen el mismo grado y el dominio del mismo elemento de la relación R es el mismo que el iesimo elemento de la relación S.

Grado (Aridad) Número de atributos.

Las Operaciones Básicas Cada operador del álgebra acepta una o dos relaciones y retorna una relación como resultado. σ y Π son operadores unarios, el resto de los operadores son binarios. Las operaciones básicas del álgebra relacional son:

Selección (σ) Permite seleccionar un subconjunto de tuplas de una relación (R), todas aquellas que cumplan la(s) condición(es) P, esto es:

Ejemplo:

Selecciona todas las tuplas que contengan Gómez como apellido en la relación Alumnos.

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Álgebra 1er año - Profesor Ing. Edmundo Kinast – Unidad 3 – Teoría de Conjuntos – Álgebra Relacional Una condición puede ser una combinación booleana, donde se pueden usar operadores como: , combinándolos con operadores .

Proyección (Π) Permite extraer columnas (atributos) de una relación, dando como resultado un subconjunto vertical de atributos de la relación, esto es:

donde

son atributos de la relación R .

Ejemplo:

Selecciona los atributos Apellido, Semestre y NumeroControl de la relación Alumnos, mostrados como un subconjunto de la relación Alumnos

Producto Cartesiano (x) El producto cartesiano de dos relaciones se escribe como:

y entrega una relación, cuyo esquema corresponde a una combinación de todas las tuplas de R con cada una de las tuplas de S, y sus atributos corresponden a los de R seguidos por los de S. Ejemplo:

Muestra una nueva relación, cuyo esquema contiene cada una de las tuplas de la relación Alumnos junto con las tuplas de la relación Maestros, mostrando primero los atributos de la relación Alumnos seguidos por las tuplas de la relación Maestros.

Unión ( ) La operación retorna el conjunto de tuplas que están en R, o en S, o en ambas. R y S deben ser uniones compatibles.

Diferencia (-) La diferencia de dos relaciones, R y S denotada por: entrega todas aquellas tuplas que están en R, pero no en S. R y S deben ser uniones compatibles.

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Álgebra 1er año - Profesor Ing. Edmundo Kinast – Unidad 3 – Teoría de Conjuntos – Álgebra Relacional Estas operaciones son fundamentales en el sentido en que (1) todas las demás operaciones pueden ser expresadas como una combinación de éstas y (2) ninguna de estas operaciones pueden ser omitidas sin que con ello se pierda información.

Las Operaciones No Básicas Entre los operadores no básicos tenemos:

Reunión natural (

) (Natural Join)

La operación Reunión natural en el álgebra relacional es la que permite reconstruir las tablas originales previas al proceso de normalización. Consiste en combinar las proyección, selección y producto cartesiano en una sola operación, donde la condición θ es la igualdad Clave Primaria = Clave Externa (o Foranea), y la proyección elimina la columna duplicada (clave externa).

Expresada en las operaciones básicas, queda

Una reunión theta (θ-Join) de dos relaciones es equivalente a:

donde la condición θ es libre.

Si la condición θ es una igualdad se denomina EquiJoin.

La operación R * S es equivalente a realizar el θ-Join con la condición de igualdad entre los atributos de igual nombre y luego proyectar eliminando el nombre repetido.

Ejemplo: Para la siguiente base de datos relacional: FEDERACION (NOMBRE#, DIRECCION, TELEFONO) MIEMBRO (DNI#, NOMBRE_M, TITULACION) COMPOSICION (NOMBRE#, DNI#, CARGO, FECHA_INICIO) Se pide dar respuesta algebraica a las siguientes consultas: 1 2 3

Obtener el nombre de los presidentes de federación.

Obtener la dirección de aquellas federaciones que tienen gerente.

Obtener las federaciones que no tienen asesor técnico.

SOLUCIÓN: 1.

NOMBRE_M

(

CARGO = 'PRESIDENTE'

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(COMPOSICION) * MIEMBRO)

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2.

3.

DIRECCION

(

CARGO='GERENTE' (COMPOSICION)

(FEDERACION) (COMPOSICION) NOMBRE#

NOMBRE#

(

* FEDERACION)

CARGO='ASESOR TECNICO'

División (/) Supongamos que tenemos dos relaciones A(x, y) y B(y) donde el dominio de y en A y B, es el mismo.

El operador división A / B retorna todos los distintos valores de x tales que para todo valor y en B existe una tupla (x,y) en A. Ejemplo: Para siguiente base de datos relacional: FEDERACION (NOMBRE#, DIRECCION, TELEFONO) MIEMBRO (DNI#, NOMBRE_M, TITULACION) COMPOSICION (NOMBRE#, DNI#, CARGO, FECHA_INICIO) Se pide dar respuesta algebraica a la siguiente consulta: Obtener las federaciones que tienen todos los cargos.

SOLUCIÓN: NOMBRE#,CARGO

(COMPOSICION)

CARGO

(COMPOSICION)

Intersección (∩) La intersección de dos relaciones se puede especificar en función de otros operadores básicos:

La intersección, como en Teoría de Conjuntos, corresponde al conjunto de todas las tuplas que están en R y en S, siendo R y S uniones compatibles.

Ejemplo: Para siguiente base de datos relacional: FEDERACION (NOMBRE#, DIRECCION, TELEFONO) MIEMBRO (DNI#, NOMBRE_M, TITULACION) COMPOSICION (NOMBRE#, DNI#, CARGO, FECHA_INICIO) Se pide dar respuesta algebraica a la siguiente consulta: Obtener las federaciones que tienen asesor técnico y psicólogo.

SOLUCIÓN:

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NOMBRE# (

CARGO='ASESOR TECNICO' (COMPOSICION))

NOMBRE# (

CARGO='PSICOLOGO' (COMPOSICION))

Agrupación (Ģ) Permite agrupar conjuntos de valores en función de un campo determinado y hacer operaciones con otros campos.

Por ejemplo: Ģ sum(puntos) as Total Equipo (PARTIDOS).

Ejemplos Suponga las relaciones o tablas: Alumno ID NOMBRE CIUDAD

EDAD

01 Pedro

Santiago

14

11 Juan

Buenos Aires 18

21 Diego

Lima

12

31 Rosita

Concepción

15

41 Manuel

Lima

17

Apoderado ID

NOMBRE FONO ID_ALUMNO

054 Víctor

654644 21

457 José

454654 11

354 María

997455 31

444 Paz

747423 01 Curso

COD NOMBRE

FECHA_INICIO DURACION VALOR

01142 Sicología

13-01

15

3.000

02145 Biología

15-02

12

2.500

03547 Matemáticas 01-03

30

4.000

04578 Música

05-04

10

1.500

05478 Física

20-04

15

3.200

Inscrito ID ID_AL COD 1 01

05478

2 01

02145

3 11

03547

4 21

02145

5 41

03547

Mostrar los nombres de los alumnos y su apoderado

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Álgebra 1er año - Profesor Ing. Edmundo Kinast – Unidad 3 – Teoría de Conjuntos – Álgebra Relacional Primero, realizaremos una combinación entre alumnos y apoderados (pues necesitamos saber a que alumno le corresponde tal apoderado). La combinación realizará un producto cartesiano, es decir, para cada tupla de alumnos (todas las filas de alumnos) hará una mezcla con cada una tupla de apoderados y seleccionará aquellas nuevas tuplas en que alumnos.id sea igual a apoderados.id_alumno, esto es: ID (alumno)

NOMBRE (alumno)

CIUDAD

EDAD

ID (apoderado)

NOMBRE (apoderado)

FONO ID_ALUMNO

01

Pedro

Santiago

14

054

Víctor

654644 21

01

Pedro

Santiago

14

457

José

454654 11

01

Pedro

Santiago

14

354

María

997455 31

01

Pedro

Santiago

14

444

Paz

747423 01

11

Juan

Buenos Aires

18

054

Víctor

654644 21

11

Juan

Buenos Aires

18

457

José

454654 11

11

Juan

Buenos Aires

18

354

María

997455 31

11

Juan

Buenos Aires

18

444

Paz

747423 01

21

Diego

Lima

12

054

Víctor

654644 21

21

Diego

Lima

12

457

José

454654 11

21

Diego

Lima

12

354

María

997455 31

21

Diego

Lima

12

444

Paz

747423 01

31

Rosita

Concepción 15

054

Víctor

654644 21

31

Rosita

Concepción 15

457

José

454654 11

31

Rosita

Concepción 15

354

María

997455 31

31

Rosita

Concepción 15

444

Paz

747423 01

41

Manuel

Lima

17

054

Víctor

654644 21

41

Manuel

Lima

17

457

José

454654 11

41

Manuel

Lima

17

354

María

997455 31

41

Manuel

Lima

17

444

Paz

747423 01

Por tanto, el resultado final de la combinación es: Alumnos ⊲⊳Alumnos.ID = Apoderados.ID_ALUMNO Apoderados ID (alumno)

NOMBRE (alumno)

CIUDAD

EDAD

ID (apoderado)

NOMBRE (apoderado)

FONO ID_ALUMNO

01

Pedro

Santiago

14

444

Paz

747423 01

11

Juan

Buenos Aires

18

457

José

454654 11

21

Diego

Lima

12

054

Víctor

654644 21

31

Rosita

Concepción 15

354

María

997455 31

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Álgebra 1er año - Profesor Ing. Edmundo Kinast – Unidad 3 – Teoría de Conjuntos – Álgebra Relacional Ahora, aquí debemos mostrar solo el nombre del alumno y el nombre del apoderado, esto lo hacemos con un Proyect o Proyección, donde la tabla final sería: ΠAlumnos.NOMBRE,Apoderados.NOMBRE NOMBRE (alumno) NOMBRE (apoderado) Pedro

Paz

Juan

José

Diego

Víctor

Rosita

María

Resumiendo en un solo paso: Alumnos ⊲⊳Alumnos.ID = Apoderados.ID_ALUMNO Apoderados

Se lee: Proyecta los nombre de alumnos y nombre de apoderados de los alumnos cuyo ID sea el mismo que el ID_ALUMNO de los apoderados.

Mostrar el nombre de los alumnos inscritos y el nombre de los cursos que tomaron Comenzaremos con una combinación entre los inscritos y los cursos para obtener el nombre de los cursos:

Lo que nos da la tabla: Resultado 1 ID ID_AL COD (inscritos) COD (cursos) NOMBRE

FECHA_INICIO DURACION VALOR

1

01

05478

05478

Física

20-04

15

3.200

2

01

02145

02145

Biología

15-02

12

2.500

3

11

03547

03547

Matemáticas

01-03

30

4.000

4

21

02145

02145

Biología

15-02

12

2.500

5

41

03547

03547

Matemáticas

01-03

30

4.000

Como podemos observar, la combinación solo nos entrega las combinaciones entre Inscritos y Cursos en que COD sea igual entre los inscritos y el curso correspondiente.

Ahora necesitamos los nombres de los alumnos inscritos. Al resultado anterior (Resultado 1) aplicaremos una nueva combinación comparando los ID de los alumnos para colocar el nombre adecuado con el estudiante adecuado:

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Álgebra 1er año - Profesor Ing. Edmundo Kinast – Unidad 3 – Teoría de Conjuntos – Álgebra Relacional Resultado 1

Resultado 1.ID_AL = Alumnos.ID

Alumnos

O escrito todo junto: Inscritos Inscritos.COD = Cursos.CODCursos La tabla de este nuevo resultado sería:

Resultado 1.ID_AL = Alumnos.ID

Alumnos.

Resultado 2 ID COD COD ID_ NOMBRE (inscri (inscrit (curs AL (curso) to) os) os)

NOMB ID FECHA_ DURACI VAL RE CIUD ED (alum INICIO ON OR (alumn AD AD no) o)

1

01

05478

0547 Física 8

20-04

15

3.200 01

Pedro

Santia 14 go

2

01

02145

0214 Biología 5

15-02

12

2.500 01

Pedro

Santia 14 go

3

11

03547

0354 Matemática 01-03 7 s

30

4.000 11

Juan

Bueno s 18 Aires

4

21

02145

0214 Biología 5

15-02

12

2.500 21

Diego

Lima

12

5

41

03547

0354 Matemática 01-03 7 s

30

4.000 41

Manue Lima l

17

Finalmente con una Proyección mostraremos el nombre del alumno y el curso inscrito: ΠResultado2.NOMBRE (alumno),Resultado2.NOMBRE (curso) Resultado 2 Donde la tabla final sería: Tabla final NOMBRE (alumno) NOMBRE (curso) Pedro

Física

Pedro

Biología

Juan

Matemáticas

Diego

Biología

Manuel

Matemáticas

La expresión completa sería: Inscritos 'Inscritos.COD = Cursos.CODCursos 'Resultado1.ID_AL = Alumnos.ID Alumnos Mostrar los nombres y precios de los cursos inscritos con valor menor a 3.000

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Cursos Lo que nos entregaría la tabla:

Resultado final NOMBRE VALOR Biología

2.500

Música

1.500

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Álgebra 1er año - Profesor Ing. Edmundo Kinast – Unidad 3 – Teoría de Conjuntos – Álgebra Relacional Índice Teoría de Conjuntos ........................................................................................... 3 Notación.......................................................................................................... 4 Igualdad entre conjuntos. Subconjuntos y Superconjuntos. ........................... 5 Igualdad de conjuntos ................................................................................. 5 Subconjuntos y Superconjuntos .................................................................. 5 Operaciones con conjuntos ............................................................................ 6 Unión ....................................................................................................... 6 Intersección ∩ ............................................................................................. 7 Particiones .................................................................................................. 8 Diferencia .................................................................................................... 8 Complemento .............................................................................................. 9 Diferencia simétrica ................................................................................... 10 Álgebra de conjuntos .................................................................................... 10 Producto cartesiano de conjuntos o producto cruz.................................... 11 Cuantificadores ......................................................................................... 12 Álgebra y Cálculo Relacional ............................................................................ 13 Tuplas ........................................................................................................... 13 Unión Compatible ......................................................................................... 13 Grado (Aridad) .............................................................................................. 13 Las Operaciones Básicas ............................................................................. 13 Selección (σ) ............................................................................................. 13 Proyección (Π) .......................................................................................... 14 Producto Cartesiano (x) ............................................................................ 14 Unión ( ) .................................................................................................. 14 Diferencia (-) ............................................................................................. 14 Las Operaciones No Básicas........................................................................ 15 Reunión natural ( ) (Natural Join) ........................................................... 15 División (/) ................................................................................................. 16 Intersección (∩) ......................................................................................... 16 Agrupación (Ģ) .......................................................................................... 17 Ejemplos ................................................................................................... 17

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