RECC 10

REVISTA ´ EL CLUB CU ANTICO ´ ´ No ESPECIAL-MECANICA CUANTICA– No 10, MARZO 2015

Editores: Marco Corgini Videla - Ingrid Torres Castillo http://elclubcuantico.blogspot.com

´Indice 1. EDITORIAL

2

´ 2. VALENTINA STACK Y LA MUSICA

5

´ ´ 3. MECANICA CUANTICA

8

´ 4. POSTULADOS BASICOS

18

5. PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE ´ Y CUANTIZACION

21

5.1. Derivaci´on del Principio de Incertidumbre

21

5.2. Primera Cuantizaci´on

22

5.3. Segunda Cuantizaci´on

23

6. LA TEOR´IA BOHMIANA

29

2

´ EL CLUB CUANTICO

1.

EDITORIAL

La edici´on No 10 de esta revista digital, a solicitud de algunos de nuestros lectores, abordar´a aspectos de la Teor´ıa Cu´antica, en un contexto muy b´asico. Entre los requerimientos realizados estuvo el considerar un bosquejo del formalismo matem´atico subyacente.

Obviamente ´esta es una revista de divulgaci´on y opini´on. No pretendemos que se transforme en un documento t´ecnico. Por eso, para el lector interesado y con alg´ un conocimiento de matem´aticas y en especial de an´alisis funcional hemos incluido un cap´ıtulo que contiene alg´ un detalle que puede ser interesante en el sentido de lo se˜ nalado. As´ı, revisaremos los postulados fundamentales, los conceptos matem´aticos considerados y algunas de sus consecuencias inmediatas. Ahondaremos en algunos de ellos en otra oportunidad.

Por otro lado, este n´ umero estar´a dedicado a la memoria de la Sra. Valentina Stack, quien por treinta a˜ nos realiz´o la programaci´on de m´ usica cl´asica (conciertos, ´opera, ballet, etc.) de Radio Universitaria (Universidad de La Serena-Chile).

De una profunda sensibilidad art´ıstica realiz´o comentarios, rese˜ nas y estudios cr´ıticos de muchas de las actividades art´ısticas que durante d´ecadas se realizaron en la regi´on, no s´olo a trav´es de la mencionada instituci´on, sino tambi´en en numerosos medios de comunicaci´on, entre otros el Diario el D´ıa.

El acad´emico Oscar Silva del Departamento de Educaci´on de la Universidad de La Serena la recuerda as´ı: “Conocimos a Do˜ na Valentina all´a por los a˜ nos 84. A˜ nos dif´ıciles, tanto en la dimensi´on social como

´ NUMERO 10, MARZO 2015

3

econ´omica, fue un encuentro muy c´alido y con un hermoso trasfondo musical, lleno de un permanente aprendizaje de elementos culturales que flu´ıan m´agicamente de su eterna sabidur´ıa.

Muchos almuerzos compartidos quedar´an en el mantel de los recuerdos y en ellos aparec´ıan sus historias, sus recuerdos y sus quehaceres cotidianos. Particularmente nos hablaba de unas variadas figuras (monos) que ella elaboraba representando a los personajes de su respeto y admiraci´on.

Evidentemente, la Radioemisora Universitaria fue el lar donde compartimos momentos de trabajo y entretenci´on y en cuyos espacios estar´a siempre su imagen y recuerdo”.

Junto con otros funcionarios de Radio Universitaria (ULS) fue distinguida durante la celebraci´on de los cincuenta a˜ nos de la emisora el a˜ no 2013.

En cada programaci´on dise˜ nada por la Sra. Valentina, en las pausas entre obras musicales, en la elecci´on de autores e int´erpretes-orquestas y directores-, encontramos el tenue pero inconfundible sello de su dise˜ no, una preparaci´on y cuidada organizaci´on de la audici´on, destinada a que muchos de nosotros, lejanos y a veces ajenos, compartieramos momentos u ´nicos, eternos.

La Sra. Valentina Stack falleci´o el 18 de febrero de este a˜ no y lo hizo como vivi´o, con orgullo, independencia y sobre todo sensibilidad.

Trasciende su figura pues est´a en el recuerdo de quienes la conocimos.

Estar´a presente en cada concierto que escuchemos y en todo acto que desarrollemos en defensa y desarrollo de la cultura.

4

´ EL CLUB CUANTICO

Su aporte invaluable en beneficio del arte, no s´olo regional, sino tambi´en nacional merece nuestro agradecimiento eterno. Siempre estar´a en nuestra memoria.

En este n´ umero, incluimos las palabras que la music´ologa y acad´emica de la Universidad de La Serena, Lina Barrientos Pacheco, dirige a la Sra. Valentina.

Comit´e Editorial

´ NUMERO 10, MARZO 2015

5

Valentina Stack

2.

´ VALENTINA STACK Y LA MUSICA

Una peque˜ na gran mujer, agradecida por la educaci´on que le dieron sus padres, entre ello hacerla estudiar piano desde peque˜ na, as´ı se fue familiarizando con la m´ usica cl´asica occidental europea, comprendiendo sus estructuras compositivas y estilos interpretativos. Enamorada de Bach, Mozart y Beethoven de entre otros tantos compositores que tambi´en admiraba y apreciaba, pero particularmente Juan Sebasti´an Bach fue su preferido por una experiencia m´ıstica que tuvo a fines de los a˜ nos ochenta, en un Viernes de Semana Santa, mientras escuchaba en la soledad de su casa una grabaci´on de la Pasi´on seg´ un San Juan, hecho significativo que le hizo cambiar algunos aspectos de su modo de vida.

6

´ EL CLUB CUANTICO

Fue autodidacta, le´ıa, apreciaba el arte pict´orico, escuchaba m´ usica, buscaba compartir con la intelectualidad serenense. Frecuentaba inauguraciones de exposiciones de arte y conversaba con los artistas, haci´endoles comentarios cr´ıticos de sus obras; tambi´en asist´ıa a todo concierto que era ofrecido en la ciudad y de similar manera, despu´es comentaba entre m´ usicos y acad´emicos la propia apreciaci´on de la interpretaci´on, siendo en ocasiones, cr´ıticas bastante fuertes referidas a la fidelidad de los estilos, limpieza de la ejecuci´on, organizaci´on del programa de concierto, incluso si la vestimenta usada por los int´erpretes era pertinente para el tipo de m´ usica que estaba interpretando. Estos comentarios le valieron ser conocida como Cr´ıtica de Arte, m´as a´ un cuando fue columnista del Diario El D´ıa y comenz´o a publicarlos, trayendo de la mano, un respeto temeroso por parte de los m´ usicos, especialmente los del Departamento de M´ usica de la Universidad de La Serena, hacia Valentina Stack.

Enrique von Baer, siendo Vicerrector Acad´emico, por protocolo y por gusto personal, asist´ıa permanentemente a los conciertos, al finalizar ´estos escuchaba con aprecio los valiosos comentarios de Valentina, valor´o sus conocimientos, entonces fue que la invit´o a hacerse cargo de la programaci´on de m´ usica cl´asica de la Radio de la Universidad de La Serena, trabajo que realiz´o por m´as de 30 a˜ nos. A sus 80 a˜ nos, sub´ıa y bajaba caminando la Colina El Pino, ubicaci´on de la Radio ULS. Lo hac´ıa desde su departamento emplazado en las cercan´ıas de la calle Cisternas.

Conoc´ı a Valentina a fines del a˜ no 1984, a˜ no en que llegu´e a vivir a La Serena, en nuestros ocasionales encuentros siempre tuvimos largas conversaciones sobre arte y m´ usica cl´asica, de similar manera como las

´ NUMERO 10, MARZO 2015

7

tuvo con la mayor´ıa de mis colegas m´ usicos. Estas palabras son para recordarla, recordar y agradecer el aporte al desarrollo de la m´ usica cl´asica que ella hizo a la ciudad de La Serena y a la Regi´on de Coquimbo.

Mis saludos cordiales estimada Valentina Stack, dese´andote una buena jornada en tu otro estado, con gratitud por lo compartido.

Lina Barrientos Pacheco Music´ologa/Etnomusic´ologa Departamento de M´usica Universidad de La Serena

´ EL CLUB CUANTICO

8

3.

´ ´ MECANICA CUANTICA

En f´ısica, junto con la formulaci´on de la teor´ıa de la relatividad (especial y general), el hito m´as importante del siglo pasado es el desarrollo de la mec´anica cu´antica como modelo del mundo de las part´ıculas elementales (micromundo).

La teor´ıa de la relatividad general est´a asociada al estudio del campo gravitatorio (la fuerza de gravedad) como fen´omeno macrosc´opico y uno de sus resultados m´as significativos es que la presencia de la masa de los cuerpos modifica la estructura del espacio-tiempo que los contiene, curv´andolo.

De esta forma, la geometr´ıa se transforma en elemento esencial, estructural del universo en que habitamos.

Por otro lado, la mec´anica cu´antica es un modelo fenomenol´ogico, principalmente matem´atico, de la realidad del mundo a escalas muy peque˜ nas.

Aqu´ı, las part´ıculas se comportan como corp´ usculos y tambi´en como ondas (cada funci´on de onda representa un estado posible para la part´ıcula), dependiendo de la situaci´on objetiva o experimental a la que se enfrenten, lo que hace que su din´amica sea radicalmente diferente a la que describe la mec´anica cl´asica en el caso de fen´omenos de mayor escala (macrosc´opicos).

Si a nivel macrosc´opico la posici´on y la velocidad de un objeto pueden ser medidas en general con bastante precisi´on, en forma simult´anea, a nivel cu´antico, s´olo podemos conocer el valor probable de que una

´ NUMERO 10, MARZO 2015

9

part´ıcula se localice en una regi´on determinada del espacio o que tenga una velocidad dada. M´as a´ un, si conocemos su posici´on con bastante exactitud, tendremos una gran incertidumbre en su velocidad y viceversa. Es lo que se conoce como el “principio de incertidumbre de Heisenberg”, pilar de la teor´ıa cu´antica.

Por otro lado, el llamado principio de exclusi´on de Pauli (Wolfgang Pauli, 1900-1958. F´ısico austr´ıaco.) elimina la posibilidad de que dos electrones se encuentren en el mismo estado cu´antico. Esto se traduce en el hecho que los estados asociados a estas part´ıculas queden representados por funciones de onda antisim´etricas. A entidades f´ısicas con estas caracter´ısticas se les denomina “fermiones”.

A aquellas part´ıculas a las cuales les est´a permitido encontrarse simult´aneamente en un estado determinado, sin importar su n´ umero, se les llama “bosones”, siendo las funciones de onda asociadas de tipo sim´etricas.

Bajo condiciones adecuadas, cuando se trata de sistemas de muchas part´ıculas libres o interaccionando a nivel cu´antico, ese comportamiento “especial” (corp´ usculo-onda) puede traducirse, en el caso de los bosones, en manifestaciones macrosc´opicas observables, como es la superfluidez de ciertos tipos de helio, fen´omeno vinculado a su tendencia a asimilarse a un determinado estado –el fundamental o de m´as baja energ´ıa (ground state) en el sistema– a muy bajas temperaturas (“condensaci´on de Bose-Einstein” o CBE).

En el caso de la superconductividad de algunos materiales, dos electrones se juntan para formar los denominados pares de Cooper, los cuales se comportan como bosones.

10

´ EL CLUB CUANTICO

Por otro parte, la f´ısica nuclear o productos tecnol´ogicos como el microscopio electr´onico, basado en el denominado “efecto t´ unel”, se sustentan en los principios de la mec´anica cu´antica.

Esta teor´ıa se sustenta en uno de los sistemas axiom´aticos m´as bellos y sorprendentes. Soportada matem´aticamente en el “an´alisis funcional” y la “teor´ıa de operadores”, da cuenta de la naturaleza corpuscular y ondulatoria de las part´ıculas at´omicas y elementales.

En general, las teor´ıas f´ısicas cl´asicas debieran, a nivel de escala microsc´opica (a partir de la escala at´omica), tener un correlato cu´antico.

El proceso que permite transitar desde lo macrosc´opico a lo microsc´opico se denomina “cuantizaci´on”, siendo uno de los criterios de consisten´ cia el denominado “l´ımite cl´asico”. Este establece que si partimos de la teor´ıa cl´asica A y el proceso de cuantizaci´on nos conduce a la teor´ıa cu´antica q(A), el denominado “l´ımite cl´asico” debe hacer posible el tr´ansito desde q(A) a A. La teor´ıa electromagn´etica cu´antica es, en este sentido, consistente, pues el paso al l´ımite mencionado conduce efectivamente a la teor´ıa de Maxwell cl´asica.

Sin embargo, en tal paso al l´ımite cl´asico pueden presentarse correcciones que nos son perceptibles en nuestro mundo macrosc´opico habitual, en donde los efectos relativistas tampoco son sensibles.

El formalismo denominado “primera cuantizaci´on”, en el caso de sistemas con escaso n´ umero de part´ıculas, consiste b´asicamente en sustituir las variables de posici´on y momento en las funciones cl´asicas, que

´ NUMERO 10, MARZO 2015

11

representan energ´ıas tambi´en cl´asicas, por ciertos “operadores adecuados” -“autoadjuntos”- representativos de lo que se denominar´a “observables f´ısicos”, definidos sobre un espacio matem´atico abstracto, cuyos elementos describen los “estados posibles” a los cuales puede acceder el sistema (“espacio de Hilbert”). En este caso, dicho formalismo permite determinar el valor “esperado” o “esperanza estad´ıstica” de que cualquiera de los observables f´ısicos de inter´es en el sistema se encuentre en un estado admisible. As´ı, si en mec´anica cl´asica la energ´ıa toma un valor espec´ıfico dado, medible con exactitud razonable, en el caso de la mec´anica cu´antica el conjunto de las mediciones de la energ´ıa como observable es un valor estad´ıstico, que depender´a del estado al cual el sistema se encuentra asociado.

En este caso, dos observables f´ısicos se dir´an incompatibles si no son simult´aneamente determinables, tal como sucede en el caso de la posici´on y el momento descritos. Esto se traduce en que los operadores autoadjuntos que los representan no conmutan entre s´ı, a diferencia de las variables cl´asicas representativas de la mec´anica de Newton. La sorprendente consecuencia de esto y del formalismo matem´atico descrito es que el principio de incertidumbre puede ser derivado, matem´aticamente, en forma inmediata como consecuencia de tales hechos.

Sin embargo, en la naturaleza los procesos cu´anticos, inherentes a procesos que se desarrollan a niveles at´omicos y subat´omicos, involucran ´ la intervenci´on de un n´ umero variable de part´ıculas. Este es el caso de las distintas interacciones en la naturaleza.

Recordemos que en el caso de un campo cl´asico (electromagn´etico, gravitacional), la intensidad con que ´este interacciona con objetos bajo su radio de acci´on depende del punto del espacio donde ´estos se

12

´ EL CLUB CUANTICO

encuentren. En otras palabras, la intensidad del campo toma un valor determinado en cada punto del espacio, siendo su variaci´on, de un punto a otro, de car´acter continuo.

En la “teor´ıa cu´antica de campos” que describe procesos de interacci´on de ´estos con part´ıculas a nivel cu´antico, la transmisi´on de fuerzas queda mediada por la creaci´on y absorci´on permanente de part´ıculas virtuales denominadas “portadoras de fuerza” y su intensidad determinada por la densidad de las mismas en el espacio. Por este motivo, el formalismo matem´atico a trav´es del cual es posible describir tales procesos es la denominada “segunda cuantizaci´on”, fundada en la introducci´on de los denominados operadores de creaci´on y aniquilaci´on de part´ıculas, definidos sobre el llamado espacio de Fock -que representa sistemas de un n´ umero indeterminado de part´ıculas- en t´erminos de los cuales deben ser expresadas las ecuaciones de campo respectivas.

Cabe se˜ nalar que la mec´anica cu´antica sirve para describir no s´olo las interacciones electromagn´eticas, sino adem´as las denominadas interacciones “fuertes”, responsables de las fuerzas nucleares, y las “d´ebiles”, asociadas al decaimiento radioactivo.

En todos estos sentidos, este modelo es tremendamente exitoso. M´as a´ un, la f´ısica de part´ıculas te´orica y experimentalmente ha dado cuenta de la existencia de la mayor´ıa de las part´ıculas elementales que median o que hacen posible dichas interacciones.

En este contexto, la pregunta que surge en forma natural es: qu´e pasa con la gravedad a niveles microsc´opicos. Si, por ejemplo, la interacci´on electromagn´etica cl´asica (campo electromagn´etico) entre part´ıculas admite una versi´on a nivel microsc´opico (cu´antico) y ´esta es facilitada

´ NUMERO 10, MARZO 2015

13

por otra part´ıcula, en este caso un fot´on (part´ıcula de luz), por qu´e no puede suceder lo mismo con la gravedad. ¿Existe una part´ıcula que medie en la interacci´on gravitatoria a nivel cu´antico, es decir, a escalas muy peque˜ nas?.

El hecho de que tanto el campo electromagn´etico cl´asico como otros campos conocidos pudiesen ser “cuantizados” condujo a suponer que el campo gravitacional debiera admitir una formalizaci´on similar. La part´ıcula asociada a la fuerza gravitacional es el denominado “gravit´on”, sin embargo, su existencia f´ısica resulta t´ecnicamente imposible de demostrar actualmente. El escenario se complica a´ un m´as debido a que, en la pr´actica, todos los intentos por cuantizar la gravedad han resultado vanos por motivos diversos.

Despu´es de un largo per´ıodo de esfuerzos infructuosos por tratar de conseguir la requerida conciliaci´on entre mec´anica cu´antica y relatividad general –“cuantizaci´on de la gravedad”– surge, entre otros intentos, la denominada “teor´ıa de cuerdas”, como tentativa de fusionar las dos primeras en una sola visi´on unificada de la realidad. Eminentemente matem´atico, este modelo cuenta con f´erreos defensores y detractores ac´errimos. A pesar de que en esta propuesta el gravit´on emerge en forma natural, las principales cr´ıticas apuntan a su complejidad y a la introducci´on de elementos (las part´ıculas ser´ıan modos vibracionales de cuerdas) cuya existencia es de imposible verificaci´on experimental (al menos por ahora), incluida la introducci´on de una multiplicidad de nuevas dimensiones a nivel microsc´opico.

La cuantizaci´on de la gravedad, probablemente, seguir´a siendo un problema abierto por mucho tiempo, pero estamos seguros de que la b´ usqueda

14

´ EL CLUB CUANTICO

de soluci´on al problema generar´a muchos descubrimientos, tanto te´oricos (f´ısicos y matem´aticos) como tecnol´ogicos (aceleradores de part´ıculas m´as poderosos, m´etodos observacionales indirectos principalmente astron´omicos, etc.).

Ahondaremos un poco m´as sobre estos temas en las siguientes secciones.

En ciencia, es condici´on necesaria y suficiente el que las preguntas que se planteen y las respuestas generadas se encuentren en concordancia con la realidad, si lo que se pretende es explicarla. A diferencia de otras a´reas de la actividad humana, aqu´ı el dogma est´a prohibido, lo que no descarta, por supuesto, la pasi´on.

En el caso del anhelo -muy leg´ıtimo por lo dem´as- por integrar diferentes teor´ıas, distintas perspectivas respecto de la estructura del universo, hay que reconocer que queda un horizonte muy amplio por escudri˜ nar y muchas herramientas te´oricas y t´ecnicas por desarrollar. Eso hace espeluznante esta aventura.

Cabe se˜ nalar que a pesar de los logros evidentes de la mec´anica cu´antica, entre los cuales se cuenta la predicci´on de la existencia y comportamiento de part´ıculas a nivel at´omico y subat´omico, aqu´ellas que determinan la estructura fina del universo, esta teor´ıa no se encuentra exenta de objeciones.

Recordando a G¨odel, la mec´anica cu´antica fue catalogada por los f´ısicos Albert Einstein, Boris Podolsky y Nathan Rosen de “inconsistente” [54], por cuanto violar´ıa principios relativistas b´asicos, de acuerdo a la denominada paradoja EPR (Einstein-Podolsky-Rosen). Seg´ un ´esta, dadas dos part´ıculas cu´anticas id´enticas que se encuentren en un mismo estado denominado “entrelazado” (entaglement-entrelazamiento),

´ NUMERO 10, MARZO 2015

15

cualquier cambio o perturbaci´on a la cual se encuentre sometida una de ellas ser´a comunicado en forma instant´anea a la otra, violando el principio de localidad de la f´ısica relativista que establece que toda informaci´on se transmite a una velocidad menor o a lo sumo igual que la velocidad de la luz. En orden a evitar la introducci´on de la velocidad superlum´ınica (“superluminal” en ingl´es) o efecto instant´aneo a distancia, no local, Einstein, Podolsky y Rosen postularon la existencia de par´ametros deterministas microsc´opicos no considerados en la teor´ıa como causa de la correlaci´on entre las part´ıculas. En estricto rigor, en una “teor´ıa de variables ocultas” las mediciones son fundamentalmente deterministas, pero aparecen bajo una forma probabilista debido a que algunos de los grados de libertad del sistema no son exactamente conocidos. En una teor´ıa local, cambios en una part´ıcula no debiesen afectar las mediciones efectuadas sobre la otra.

La respuesta fue el famoso “teorema de Bell” 1, demostrado por John Bell en 1964, que demuestra matem´aticamente que ninguna teor´ıa determinista y local (l´ease la relatividad) puede reproducir todos los resultados de la mec´anica cu´antica (por lo tanto, resulta “incompleta” respecto de esta u ´ltima). En la pr´actica, Bell establece una desigualdad que permite distinguir correlaciones cu´anticas de cl´asicas. En lo esencial, demuestra que las correlaciones entre las part´ıculas, determinadas por la mec´anica cu´antica, son incompatibles con una teor´ıa local de variables ocultas.

En 1982, el denominado “no-cloning theorem” demostrado por William Wootters, Wojciech Zurek2 y Dennis Dieks3 determin´o que para que la 1J.

S. Bell. On the Einstein Podolski Rosen paradox. Physics 1, 195 (1964) K. Wootters, W.H. Zurek. Nature 299 (1982) 802 3D. Dieks. Phys. Lett. 92A (1982) 271 2W.

´ EL CLUB CUANTICO

16

informaci´on emitida desde un lugar llegue a otro como copia perfecta de la original es necesario que ´esta sea esencialmente transmitida en forma cl´asica, a pesar de que en el caso cu´antico una copia parcial podr´ıa ser posible.

En otras palabras, ninguna informaci´on u ´til, pues ser´a siempre aleatoria, puede ser trasmitida haciendo uso del entrelazamiento. Para que la informaci´on fuese completa, ´esta deber´ıa ser esencialmente cl´asica (no cu´antica), salvando as´ı el principio fundamental de la relatividad especial.

Einstein trat´o hasta sus u ´ltimos d´ıas de dise˜ nar una teor´ıa unificada de todas las interacciones existentes que no considerar´a a la mec´anica cu´antica, a la cual en realidad nunca acept´o.

Resulta esclarecedor el comentario de Pauli en una rese˜ na a una de las tantas tentativas realizadas por Einstein en pos de la ansiada unificaci´on: “La siempre f´ertil inventiva [de Einstein], as´ı como su tenaz energ´ıa en la persecuci´on [de la unificaci´on] nos garantizan, en a˜ nos recientes, un promedio de una nueva teor´ıa por a˜ no [...] es interesante psicol´ogicamente que la teor´ıa del momento es, por un tiempo, considerada por el autor como la “soluci´on definitiva”” 4.

Sin embargo, cabe destacar que la electrodin´amica cu´antica ha incorporado exitosamente a la relatividad especial, tambi´en denominada relatividad restringida.

Ninguna de estas situaciones ni limitaciones disminuye en lo m´as m´ınimo el poder de las ciencias matem´aticas y naturales para introducirse en forma exitosa en la aventura de develar la naturaleza de las cosas, 4W.

Pauli, Naturw., 20, 186, 1932

´ NUMERO 10, MARZO 2015

17

basadas en el razonamiento sustentado en observaci´on y experimentaci´on.

Dejan en claro, entre otros asuntos, la necesidad de que las preguntas que el intelecto humano 0se plantea se encuentren en concordancia con la realidad, si lo que se pretende es explicarla.

Cabe se˜ nalar que Edmund Husserl, en su obra “La Crisis de las Ciencias Europeas y la Fenomenolog´ıa Trascendental. Una Introducci´on a la Filosof´ıa Fenomenol´ogica”5, introduce una cr´ıtica importante respecto de la carencia de instrumentos para acceder a la subjetividad humana, declarando que “las cuestiones que excluye (la ciencia) son precisamente las m´as candentes para unos seres sometidos, en esta ´epoca desventurada (guerra), a mutaciones decisivas: las cuestiones relativas al sentido y sin sentido de esta entera existencia humana”.

No obstante establece, por ejemplo, en el caso de la f´ısica que: “Representada por un Newton o por un Planck o un Einstein, o por quien en el futuro haya de hacerlo, la f´ısica fue siempre y siempre ser´a una ciencia exacta. Y seguir´a si´endolo aunque acaben por tener raz´on quienes opinan que no es deseable ni posible acceder a una configuraci´on absolutamente u ´ltima del tipo de construcci´on del sistema te´orico global”.

Hoy las diferentes ciencias naturales comienzan a integrarse en un todo sist´emico. Nuevos referentes y perspectivas m´as integradoras, guardando la rigurosidad del m´etodo inicial, emergen.

Referencias [1] Marco Corgini Videla. Paseo Cu´antico. Por los senderos de Shah-iZinda. Editorial Universidad de La Serena, 2012.

5E.

Husserl. La Crisis de las Ciencias Europeas y la Fenomenolog´ıa Trascendental. Una Introducci´ on a la Filosof´ıa Fenomenol´ogica. Editorial Cr´ıtica. Barcelona, 1991

´ EL CLUB CUANTICO

18

4.

´ POSTULADOS BASICOS

El f´ısico alem´an Werner Heisenberg (1901-1976), uno de los creadores de la teor´ıa cu´antica y representante junto con el dan´es Niels Bohr (1885-1962) y otros cient´ıficos destacados de la denominada Escuela de Copenhague, pone en cuesti´on la viabilidad del conocimiento objetivo de la realidad, colocando el ´enfasis en la representaci´on: “El espacio de la f´ısica moderna s´olo puede simbolizarse, por el momento, mediante una ecuaci´on diferencial parcial dentro de un espacio pluridimensional abstracto. . . Para el ´atomo de la f´ısica moderna, todas las cualidades son cualidades derivadas, pues directamente no posee cualidad alguna; esto quiere decir que cualquier clase de imagen que nuestra imaginamci´on pueda trazarse del ´atomo es eo ipso, defectuosa. Para el mundo de los ´atomos es. . . imposible una comprensi´on “de primera clase””6.

La interpretaci´on de Copenhague, en lo esencial considera: 1) El principio de incertidumbre de Heisenberg (1927); 2) La identificaci´on del vector de “estado” (la funci´on de onda o vector del espacio de Hilbert respectivo) con el de “conocimiento” del sistema; 3) La interpretaci´on estad´ıstica desarrollada por el f´ısico alem´an Max Born (1882-1970) en 1926. Aqu´ı, el cuadrado del m´odulo de la funci´on de onda representa la probabilidad de encontrar la part´ıcula en una regi´on determinada; 4) El principio de complementariedad de Niels Bohr (1928) de acuerdo al cual el tanto la descripci´on ondulatorio como la corpuscular son necesarias para describir la materia a nivel at´omico; 5) El positivismo de Heisenberg expresado en el rechazo a las discusiones de “significado”

6Heisenberg,

Zur Geschichte und Wege physikalischen Naturerkl¨arung (1932) (Wandlunger, p. 43)

´ NUMERO 10, MARZO 2015

19

o “realidad”, centr´andose en el an´alisis de los denominados “observables”.

Casi en la misma ´epoca en que Werner Heisenberg postula por medio de su mec´anica matricial el principio de incertidumbre, el f´ısico, tambi´en alem´an, Erwin Schr¨odinger (1887-1961) desarrolla una ecuaci´on determinista (1926) que permite dar cuenta de la evoluci´on de un paquete de ondas, representante de un sistema mec´anico cu´antico –depositario de toda la informaci´on, f´ısicamente relevante, asociada a ´este. Las condiciones de borde, la forma de las interacciones de las part´ıculas entre s´ı, etc., dan cuenta, completamente, del espectro de energ´ıas accesibles al sistema.

A pesar de las profundas diferencias generadas a partir de las formulaciones de la mec´anica cu´antica de Heisenberg-Bohr y la de Schr¨odinger, se demuestra, finalmente, que ambas son equivalentes.

Sin embargo, desde la interpretaci´on original de Copenhague, se cuestionar´a la real capacidad de la ecuaci´on de Schr¨odinger para describir la evoluci´on de un sistema mec´anico cu´antico, compuesto, ahora, por el sistema bajo observaci´on y el “aparato mec´anico” mediante el cual es observado, entendido como un sistema acoplado al primero. Aqu´ı, la medici´on se ver´ıa afectada por el denominado “colapso” de la funci´on de onda, consistente en su descomposici´on -consecuencia de su interacci´on con el dispositivo- en m´ ultiples componente (funciones propias).

Esto significar´ıa la medici´on final de s´olo una de muchas historias posibles de la evoluci´on del sistema y no la de la informaci´on contenida en la funci´on de onda original.

20

´ EL CLUB CUANTICO

Por otra parte, la interpretaci´on probabil´ıstica dada a la funci´on de onda por Max Born permiti´o abandonar la concepci´on de la misma como objeto material, dando a la teor´ıa un car´acter m´as realista.

El formalismo, fundado en el an´alisis funcional y la teor´ıa de operadores, que hoy nos es tan familiar, es resultado, precisamente, de esta concepci´on. Desde el punto de vista matem´atico, los tres postulados fundamentales de la teor´ıa son: 1. Los estados de un sistema cu´antico est´an definidos por elementos de un espacio de Hilbert H. 2. Los observables f´ısicos quedan representados por un a´lgebra de operadores autoadjuntos actuando sobre H o sobre un subconjunto densamente definido sobre ´el. 3. La energ´ıa del sistema se encuentra representada por un operador autoadjunto H. 4. La evoluci´on del sistema viene dada por la acci´on del operador e−iHt sobre los estados del sistema, es decir, el sistema evoluciona en un tiempo t desde el estado ϕ al estado ψ, del siguiente modo ψ = e−iHt ϕ.

De estos axiomas b´asicos veremos, en el pr´oximo cap´ıtulo, que el mismo principio de incertidumbre puede ser derivado.

Referencias [1] Marco Corgini Videla. Ciencia y Realismo. M´as All´a del Inspoportable Mito del Observador. Por aparecer, 2015.

´ NUMERO 10, MARZO 2015

5.

21

PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE ´ Y CUANTIZACION

5.1.

Derivaci´ on del Principio de Incertidumbre. Con supuestos

tan b´asicos, como los vistos en el cap´ıtulo anterior, es posible definir el valor esperado D E ˆ = ϕ, Xϕ ˆ Eϕ (X) ˆ el cual es un de las medidas f´ısicas realizadas sobre un observable X, operador autoadjunto definido sobre un subespacio denso de H, donde h.i es el producto interno asociado sobre dicho espacio vectorial y ϕ es el estado en el cual se encuentra el sistema.

Consecuentemente la dispersi´on de las medidas para un observable ˆ es: f´ısico arbitrario X ˆ := Eϕ (X ˆ − Eϕ (X)) ˆ 2 = Eϕ (X ˆ 2 ) − E2 (X) ˆ σϕ2 (X) ϕ ˆ B ˆ dos observables con el mismo dominio de Teorema 5.1. Sean A, ˆ B] ˆ = AˆB ˆ− definici´on en H, que no conmutan entre s´ı, es decir: [A, ˆ Aˆ 6= 0, entonces, B ˆ B])|. ˆ ˆ ϕ (B) ˆ ≥ 1 |Eϕ ([A, σϕ (A)σ 2 Para el lector no familiarizado con este formalismo digamos que en la desigualdad anterior, la no conmutaci´on de ambos operadores implica que el t´ermino a la derecha de ´esta es no nulo y positivo. Por lo tanto si obtenemos medidas de un observable dado muy precisas, es decir, de desviaci´on est´andar peque˜ na, la desigualdad s´olo quedar´a satisfecha si las medidas asociadas al otro observable poseen una gran dispersi´on

´ EL CLUB CUANTICO

22

respecto de su valor esperado, es decir, poco o nada sabemos sobre ´el. En otras palabras, el teorema anterior da cuenta, precisamente, del principio de incertidumbre.

5.2.

Primera Cuantizaci´ on. Consideremos un part´ıcula movi´en-

dose en el eje real.

En el caso cl´asico p y q representan, respectivamente, las variables de momentum y posici´on que sirven para describir la din´amica del sistema.

Ambas son determinables, en forma simult´anea, con alta certeza.

El tr´ansito a la situaci´on cu´antica consiste en la sustituci´on de dichas ˆ dados como variables por los siguientes operadores: p → Pˆ , q → Q, ˆ = x y cumpliendo la regla de conmutaci´on [Q, ˆ Pˆ ] = Pˆ = −i~ d , Q dx

ˆ Pˆ − Pˆ Q ˆ = i~.

Q ´ Estos satisfacen las usuales condiciones de autoadjunticidad Pˆ = P ∗ ˆ = Q∗ (Q∗ adjunto de Q), respectivamente, para (P ∗ adjunto de P ) y, Q todo estado ϕ ∈ S del sistema, donde ϕ ∈ S ⊂ H ≡ L2 (R) y |ϕ|2 = ϕϕ¯ representa la densidad de probabilidad de encontrar la part´ıcula en una regi´on dada de la recta.

Tales observables asociados al momentum y la posici´on de la part´ıcula son, obviamente, denominados operadores de momentum y posici´on.

D E En este caso, de acuerdo al formalismo, se tiene: Eϕ (Pˆ ) = ϕ, Pˆ ϕ = D E R R d ˆ ˆ ϕ{−i~ dx }ϕdx, ¯ Eϕ (Q) = ϕ, Qϕ = R ϕxϕdx. ¯ R As´ı, la siguiente desigualdad:

ˆ ≥~ σϕ (Pˆ )σϕ (Q) 2

´ NUMERO 10, MARZO 2015

23

expresa el principio de incertidumbre, en el sentido de lo que el Teorema 4.1 establece para tales observables.

El principio de incertidumbre se satisface para una gran cantidad de observables. Por ejemplo, para el esp´ın de dos fotones Los operadores de esp´ın (en las direcciones de los ejes ortogonales x, y, z se repressentan por las siguientes matrices:

0 1 ~ , Sˆy = Sˆx = 2 1 0

1 0 ~ ˆ Sz = 2 0 −1

~ 2

0 −i i 0

,

y los estados posibles, por los vectores:

1 0 ϕ+,z = , ϕ−,z = : Vectores propios de Sˆz 0 1

1 1 ~ ~ ϕ+,x = √2 , ϕ−,x = √2 : Vectores propios de Sˆx 1 −1 Sˆx y Sˆz no conmutan:

[Sˆx , Sˆz ] = −i~Sˆy 6= 0 Las relaci´on de incertidumbre toma, entonces, la siguiente forma: 1 σϕ (Sˆx )σϕ (Sˆz ) ≥ |Eϕ ([Sˆx , Sˆz ])| > 0.

2

5.3.

Segunda Cuantizaci´ on. Recordemos que hay procesos de in-

teracci´on que involucran creaci´on y absorci´on permanente de part´ıculas virtuales y/o reales. Como ya comentamos en la tercera secci´on, el formalismo matem´atico a trav´es del cual es posible describirlos es el de la denominada “segunda cuantizaci´on”, fundada en la introducci´on de los llamados operadores de creaci´on y aniquilaci´on de part´ıculas, definidos

´ EL CLUB CUANTICO

24

sobre el llamado espacio de Fock -representante de sistemas con un n´ umero infinito de part´ıculas.

Sea Λl ⊂ Rd un cubo de volumen finito defiinido como: Λl = {x = (x1 , .., xd ) ∈ Rd : 0 < x1 < l, .., 0 < xd < l}, y sea Hl = L2 (Λl ).

Hl es el espacio de Hilbert de las funciones cuadrado integrables sobre la regi´on definida por eol cubo.

Sea S l = −4 un operador autoadjunto ( 4-Laplaciano) sobre Hl con espectro discreto 0 = l−2 E0 < l−2 E1 ≤ l−2 E2 ≤ ... y funciones propias normalizadas {φk } satisfaciendo 1 − 4φk (x) = l−2 Ek φk (x) , 2 bajo condiciones de frontera adecuadas.

En este caso, {φk } constituye una base de L2 (Λl ) y representa un conjunto de estados posibles para un sistema constituido por una part´ıcula confinada en Λl , con energ´ıas {l−2 Ek } y operador de energ´ıa liibre S l .

Consideremos ahora un sistema de N -part´ıculas encerradas en la regi´on Λl . Un estado del sistema queda representado por una funci´on ψ(x1 , ..., xN ) ∈ L2 (ΛN l ) construida a partir del conjunto de funciones (N )

{ΨK } donde

(N )

ΨK (x1 , ..., xN ) = ⊗N j=1 φkj (xj ),

´ NUMERO 10, MARZO 2015

25

´ y K = {k1 , k2 , ..., kN }. Este constituye una base ortonormal en el espal cio de Hilbert H(N ),l = ⊗N i=1 H dotado del producto escalar h· , ·iH(N ),l

dado por: (N ) hΨK

,

(N ) ΨL iHN,l

N Y = hφkj , φlj iL2 (Λl ) , j=1

siendo h· , ·iL2 (Λl ) el producto interno usual definido sobre L2 (Λl ) = Hl . Cada uno de estos productos internos induce las correspondientes normas que denotaremos por || · ||Hl y || · ||H(N ),l en el caso de Hl y H(N ),l respectivamente.

Se define el espacio de Fock F(Hl ) como: (N ),l F(Hl ) = ⊕∞ .

N =0 H

El producto interno y la norma sobre F(Hl ) quedan dados por las expresiones:

hΨ, ΦiF = Ψ(0) Φ(0) +

X hΨ(J) , Φ(J) iH(J),l , J=1

||Φ||F = |Φ(0) |2 +

X

||Φ(J) ||H(J),l

J=1

siendo Φ = (Φ(0) , Φ(1) , ..., Φ(J) , ...) con Φ(J) ∈ H(J),l , J ∈ N. Por comodidad se har´a eventualmente, uso de la notaci´on F en lugar de F(Hl ).

Sea φ ∈ H unitario. Se definen los operadores ˆb† (φ) : H(N ),l → H(N +1),l y ˆb(φ) : H(N ),l → H(N −1),l por ˆb† (φ)Ψ(N ) {k1 ,..,kN } =

√

N + 1φ ⊗ φ1 ⊗ · · ⊗φN ,

y ˆb(φ)Ψ(N ) {k1 ,..,kN } =

√ N hφ, φ1 iH φ2 ⊗ · · ⊗φN ,

´ EL CLUB CUANTICO

26 (N )

siendo Ψ{k1 ,..,kN } = φ1 ⊗ · · ⊗φN . Es f´acil demostrar que ambos operadores son no acotados con respecto a la norma de operadores definidos sobre subespacios de F(Hl ) dada por la expresi´on ˆ = ||A||

Ψ∈F (Hl );||Ψ||

(N ),l

Sea HB

ˆ F. ||AΨ||

sup F =1

el subespacio de H(N ),l consistente de funciones sim´etricas

(sistema de Bose).

(N ),l

Las funciones en HB

pueden ser escritas usando la base ortonormal

(N )

{ΨB,K } de funciones sim´etricas generadas a partir de ´esta de acuerdo a 1 X (N ) P ΨB,K (x1 , ..., xN ), N ! P ∈σ

(N )

(SBN ΨB,K )(x1 , .., xN ) =

N

donde SBN representa el operador de simetrizaci´on y σN es el grupo de permutaciones de N elementos, es decir, si P ∈ σN se tiene P Ψ(N ) (x1 , ..., xN ) = ψ (N ) (xp1 , ..., xpN ).

En otras palabras (N ) [SBN ΨB,K (x1 , ..., xN )]

N 1 X Y P [ φkj (xj )]. = N! p j=1

(N )

(N )

M´as a´ un {ΨB,K (x1 , ..., xN } forma una base ortonormal de HB,l .

El conjunto {|NK i} donde s |NK i =

Q

N! (N ) ΨB,{k1 ,..,kN } σ Nkσ !

constituye la as´ı llamada base n´ umero de ocupaciones la cual es un (N ),l

conjunto completo de funciones propias en HB

.

´ NUMERO 10, MARZO 2015

27

0,l N Siendo HB ≡ C y SB = ⊕∞ onico FB (Hl ) N =0 SB el espacio de Fock Bos´

se define como: (1)

(N ),l

FB (Hl ) = SB (F(Hl )) = ⊕∞ N =0 HB

.

Usando los operadores ˆb† (φ) y ˆb(φ) antes introducidos es posible definir (N ),l

sobre FB (Hl ) los operadores a ˆ† (φj ) : HB (N −1),l

HB

(N +1),l

→ HB

(N ),l

, a(φj ) : HB

→

( operadores de Bose de creaci´on y aniquilaci´on de part´ıculas

), donde los φj pertenecen a una base ortonormal de Hl , de la siguiente forma: a ˆ† (φj ) = SB b† (φj )SB , a ˆ(φj ) = SB b(φj )SB .

Estos operadores satisfacen las reglas de conmutaci´on

(2) a ˆ(φi ) , a ˆ† (φj ) = a ˆ(φi )ˆ a† (φj ) − a ˆ† (φj )ˆ a(φi ) = hφi , φj iHl δi,j .

Se definen adem´as los operadores ˆ= n ˆ (φi ) = a ˆ† (φi )ˆ a(φi ), N

(3)

X

n ˆ (φj ).

j≥1

El primero se denomina operador de n´ umero asociado al estado φi y el segundo es el operador de n´ umero total para el cual se tiene que, (4)

ˆ Ψ(N ) (x1 , ..., xN ) = N Ψ(N ) (x1 , ..., xN ).

N K K

En lo que sigue adoptaremos la notaci´on a ˆ†i , a ˆi , n ˆ i por a ˆ† (φi ), a ˆ(φi ), n ˆ (φi ), respectivamente.

Los Hamiltonianos u operadores de energ´ıa de los sistemas a considerar, escritos en t´erminos de los operadores anteriormente definidos (segunda cuantizaci´on), tienen la forma (5)

ˆl = H ˆ0 + H ˆ I. H l l

ˆ 0 representa el operador de energ´ıa del sistema libre definido sobre H l FB (Hl ). Este se construye a partir de Sl = −4 de la forma usual, es

´ EL CLUB CUANTICO

28

decir, ˆ l0 = H

(6)

X

λl (j)ˆ a†j a ˆj ,

j≥1 −2

donde λl (j) = l (Ej − E1 ).

Referencias [1] Marco Corgini Videla. Sistemas de Bose. Grandes Desv´ıos y Hamiltonianos Aproximativos. Monograf´ıa de Investigaci´on. Editorial Universidad de La Serena, 2013 (curso para estudiantes dictado durante el Congreso de Matem´aticas Capricornio 2013. ULS-Chile).

´ NUMERO 10, MARZO 2015

6.

29

LA TEOR´IA BOHMIANA

David Bohm, en su obra “Causalidad y Chance”, de 1957, se˜ nala que el esquema matem´atico y f´ısico general que ofrece la Mec´anica Cu´antica no parece acomodarse muy bien a la noci´on de que la materia tiene nuevos tipos de propiedades conectadas con la estructura de las part´ıculas elementales, involucrando, entre otros aspectos, ecuaciones puramente lineales para la ecuaci´on de onda en un espacio de configuraci´on; observables obtenidos de operadores lineales y una interpretaci´on puramente probabilista de la funci´on de onda. Considera que este esquema implica, desde el punto de vista matem´atico, restringir las opciones de correcci´on de este constructo s´olo a la eliminaci´on de las contribuciones de corta distancia que conducen a infinitos en ella (remoci´on, operadores locales, matrices S, etc.), procedimientos inconducentes, en su opini´on, a la obtenci´on de lo que denomina, una teor´ıa consistente7.

Por otro lado, para Bohm, “[. . . ] la renuncia a la causalidad en la interpretaci´on usual de la mec´anica cu´antica no debe ser vista simplemente s´olo como el resultado de nuestra discapacidad para medir los valores precisos de las variables que debieran entrar en la expresi´on de las leyes causales a nivel at´omico, m´as bien debiese ser visto como un reflejo de que tales leyes no existen”. Deja claro, asimismo, que la posici´on de Copenhague no es otra sino la del empirismo extremo: “El desarrollo de la interpretaci´on usual de la teor´ıa cu´antica parece haber estado guiado en gran medida por el principio de no postular la posible existencia de entidades que ahora no pueden ser observadas. Este principio, que deriva de un punto de vista filos´ofico general conocido en el siglo XIX como 7D.

Bohm. Causality and Chance in Modern Physics. Routledge & Kegan Paul Ltd. 1957

´ EL CLUB CUANTICO

30

“positivismo o empirismo” representa una limitaci´on extraf´ısica sobre los tipos posibles de teor´ıas que decidamos tomar en consideraci´on. La palabra “extraf´ısica” se utiliza aqu´ı a prop´osito, puesto que no podemos deducir en modo alguno, ya sea de los datos experimentales de la f´ısica o de su formulaci´on matem´atica, que necesariamente nos ser´a siempre imposible observar entidades cuya existencia no puede ser ahora observada. Ahora bien, no hay ninguna raz´on por la que un principio general extraf´ısico deba ser evitado necesariamente, puesto que tales principios podr´ıan concebiblemente servir como hip´otesis de trabajo u ´tiles. Sin embargo no puede decirse que el principio extraf´ısico concreto antes descrito sea una buena hip´otesis de trabajo. Pues la historia de la investigaci´on cient´ıfica est´a llena de ejemplos en los que fue muy fruct´ıfero suponer que ciertos objetos o elementos podr´ıan ser reales, mucho antes de que se conocieran procedimientos que permitir´ıan observarlos directamente. La teor´ıa at´omica es precisamente uno de estos ejemplos”8.

Bohm ofrecer´a una interpretaci´on alternativa de la teor´ıa cu´antica, denominada com´ unmente teor´ıa de Broglie-Bohm (o teor´ıa de la onda gu´ıa u onda piloto), por cuanto se funda en el concepto de onda gu´ıa introducida por el f´ısico franc´es Louis de Broglie en 1927. En lo esencial, esta propuesta asume la existencia de una funci´on de onda para el universo completo, soluci´on de la correspondiente ecuaci´on de Schr¨odinger.

De acuerdo a esta concepci´on, el colapso de la funci´on de onda de subsistemas, caracter´ıstico de la interpretaci´on de Copenhague, es s´olo de 8D.

Bohm. Una Interpretaci´on Sugerida de la Teor´ıa Cu´antica en T´erminos de Variables Ocultas, art´ıculo traducido en: S. Hawking. Los sue˜ nos de los que est´ a hecha la materia. Cr´ıtica, Barcelona, 2011. Art´ıculo original en ingl´es: D. Bohm. A Suggested Interpretation of the Quantum Theory in Terms of Hidden Variables. Phys. Rev. Lett. 85, 2 (1952).

´ NUMERO 10, MARZO 2015

31

car´acter aparente, por cuanto la funci´on asociada al universo no lo sufre. Se trata de una teor´ıa determinista que considera variables ocultas para dar cuenta de los fen´omenos aparentemente paradojales de la mec´anica cu´antica. Parte siendo una teor´ıa local, pero, a la luz de los resultados de John Bell, es modificada, admiti´endose la no-localidad.

Bell dir´a que “[la teor´ıa de Broglie-Bohm] no requiere, en su formulaci´on, una definici´on vaga del mundo en “sistema” y “aparatos” ni de la historia en “medidas” y “no medidas”. Aplica al mundo completo y no s´olo a los idealizados procedimientos de laboratorio. En efecto, la teor´ıa de “de Broglie–Bohm” es penetrante donde lo usual es difuso, y general donde lo usual es especial [. . . ] Que la onda gu´ıa [Bohmiana], en el caso general, se propaga, no en el espacio tridimensional ordinario, sino en un espacio de configuraciones multidimensional, es el origen de la notoria “no localidad” de la mec´anica cu´antica. Es un m´erito de la versi´on de [Louis] de Broglie-Bohm llamar la atenci´on sobre esto tan expl´ıcitamente que no puede ser ignorado” 9. Los comentarios y nombres dentro de los par´entesis cuadrados fueron incluidos por m´ı).

Esta teor´ıa, resuelve el problema de la aleatoriedad de la medida debida al colapso de la funci´on de onda, al menos desde un punto de vista formal. Sin embargo ha sufrido fuertes cr´ıticas que analizaremos en otro n´ umero.

Referencias [1] Marco Corgini Videla. Ciencia y Realismo. M´as All´a del Inspoportable Mito del Observador. Por aparecer, 2015.

9J.

S. Bell, Alain Aspect. de Broglie Bohm, delayed-choice double-slit experiment, and density matrix. pp. 111-116 en J. S. Bell. Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics. Collected Papers on Quantum Philosophy. Second Edition.

Cambridge University Press, 2004

32

´ EL CLUB CUANTICO

´ EL CLUB CUANTICO www.youtube.com/elclubcuantico www.goear.com/elclubcuantico www.twitter.com/elclubcuantico Figura 1. Ouρoβoρoς

@Derechos Reservados 2015