Recc 13 by elclubcuantico

REVISTA Â´ EL CLUB CUANTICO No 13, NOVIEMBRE 2015

Editores: Marco Corgini Videla - Ingrid Torres Castillo http://elclubcuantico.blogspot.com

´Indice 1. EDITORIAL

2. IN MEMORIAM RECUERDO DE JORGE SALGADO SANHUEZA Francisco Roco Godoy

´ 3. EL CAMPO MAGNETICO DE LA TIERRA Y SUS ENIGMAS Jorge Oyarz´ un Mu˜ noz

3.1. Introducci´on

3.2. Naturaleza del Campo Magn´etico

3.3.

La Columna de Inversiones del CMT

3.4. Connotaciones Biol´ogicas del CMT y sus Inversiones

3.5. El CMT, la Exploraci´on Minera y la Detecci´on de Submarinos 3.6. Conclusiones

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4. RICHARD FEYNMAN Y LAS TEOR´IAS F´ISICAS. ´ EXTRACTO DE SU DISCURSO DE RECEPCION DEL PREMIO NOBEL Editors

˜ 5. A CIEN ANOS DEL DESARROLLO DE LA TEOR´IA LA RELATIVIDAD Editores

6. SOME WORDS ABOUT THERMODYNAMIC LIMIT IN EQUILIBRIUM STATISTICAL MECHANICS Editors 6.1. Introduction

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6.2. BEC. Macroscopic or microscopic phenomenom?

6.3. Some mathematical tools: Laplace principle

6.4. The Curie-Weiss model

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EDITORIAL

Está claro que un conjunto de axiomas, finito además, es un punto de partida para construir un relato que nos permita dar coherencia explicativa, no sólo lógica sino también matemática, a las regularidades que observamos en la naturaleza. Sólo ese hecho hace imposible que identifiquemos esos postulados con las uniformidades detectadas o conjeturadas, por cuanto éstos, que bien pueden estar basados en la experiencia, poseen un carácter condicional y por lo tanto provisional. Por ejemplo, la ley de inercia Newtoniana resulta ser una idealización, pues en la práctica, todos los objetos del mundo interaccionan con campos gravitacionales, a´ un débilmente, de lo cual se concluye que no hay cuerpos libres de fuerzas externas. En este sentido, identificar nuestras teor´ıas con la realidad del mundo, en un sentido de correspondencia biun´ıvoca, resulta erróneo. As´ı, tales axiomas, principios o postulados, sobre todo cuando se los establece en un contexto de universalidad, quedan siempre bajo escrutinio. Por otra parte, resultar´ıa, por decir lo menos, arbitrario, inferir a partir de esa ausencia de correspondencia absoluta, que las teor´ıas cient´ıficas no reflejan más que nuestras personales percepciones del mundo y nada dicen de lo que éste es. La ciencia emp´ırico racional es una actividad que se ha vuelto altamente compleja, tanto en su desarrollo teórico como práctico. Sólo la persistencia y discusión permanente de asuntos tales como la “demarcación” y la “infradeterminación” (constructos teóricos, a veces de distinta naturaleza, permiten analizar un mismo fenómeno), dan cuenta de este hecho, a´ un cuando actualmente estos problemas suelen ser de más interés para la filosof´ıa que para la misma ciencia. Esta u ´ltima cuestión no representa en absoluto una debilidad del operar cient´ıfico, pero refleja una caracter´ıstica de esta

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actividad que merece ser analizada en su mérito desde la vereda de la misma ciencia. RECC 13 tratará tangencialmente este problema. El art´ıculo No. 4, de t´ıtulo “Richard Feynman y las teor´ıas f´ısicas. Extracto de su discurso de recepción del premio nobel”, incorpora una selección de pasajes de su conocida alocución (1965), con el propósito de abordar el tema con mayor profundidad en próximos n´ umeros, espec´ıficamente en lo que se refiere a la relación f´ısica-matemáticas. En este mismo sentido, hemos incorporado el art´ıculo (No. 6) “Some words about thermodynamic limit in statistical mechanics”. As´ı, que ciertas variables, por ejemplo en un modelo matemático, por considerarse no influyentes en el comportamiento de cierto fenómeno, se consideren, para todo efecto práctico, constantes o prescindibles, es práctica natural y necesaria en ciencia. Esta es la denominada cláusula de “Ceteris Paribus” –siendo las demás cosas igual– incorporada en forma natural a toda ciencia. La f´ısica Lisa Randall menciona en su obra “Warped Passages. Unraveling the mysteries of the universe’s hidden dimensions”

un elemento que resulta primordial en toda ciencia: la

separación de lo importante de lo accesorio. “Los cient´ıficos a menudo promedian o ignoran (por lo general conscientemente) procesos f´ısicos que ocurren a escalas inconmensurablemente peque˜ nas cuando formulan las teor´ıas que fundan sus cálculos. Las leyes de Newton trabajan a distancia y velocidades que él pod´ıa observar. No necesitó los detalles de la relatividad general para hacer predicciones exitosas. Cuando los biólogos estudian una célula no necesitan saber acerca de quarks dentro del protón” (La traducción es m´ıa). Randall. Warped Passages. Unraveling the Mysteries of the Universe´s Hidden Dimensions. Harper Perennial, 2006. 1L.

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Por otro lado, a 100 a˜ nos de la formulación de la teor´ıa de la relatividad de Albert Einstein nos ha parecido oportuno celebrar, con la inclusión de un breve art´ıculo (No. 5), una obra que tan profundos cambios produjo en nuestra percepción del mundo. Hemos optado por incluir algunos at´ıculos en inglés. La razón principal es que muchas de las descargas de n´ umeros y visitas (sobre 5.500 a la fecha) a nuestra página son realizadas desde pa´ıses con lenguas diferentes a la nuestra y para satisfacer una expresa petición de lectores interesados en art´ıculos que rozan cuestiones técnicas, principlamente en temas de matemáticas, sin tener conocimientos de espa˜ nol. Nuestro cient´ıfico invitado en esta edición es el Dr. Jorge Oyarz´ un Mu˜ noz, académico del Departamento de Minas de la Universidad de La Serena, quien participara en el programa radial “El Club Cuántico”que desarrolla esta institución a través de su emisora, para conversar sobre geolog´ıa (t´ıtulo: “sobre geolog´ıa y algo más”)2. El profesor Oyarz´ un, con profundidad, sin dejar de ser accesible y ameno, aborda, en su contribución (art´ıculo No.4), el tema “El campo magnérico de la tierra y sus enigmas”. Finalmente, como homenaje, ante el repentino y lamentable fallecimiento del Dr. Jorge Salgado Sanhueza, académico de dilatada trayectoria universitaria, miembro del Departamento de Educación de la Universidad de La Serena y quien fuera además uno de nuestros colaboradores3, en reconocimiento a su labor y al afecto que generó en quienes le rodearon, incluimos en este n´ umero las palabras que expresara el Dr. Francisco Roco Godoy a su memoria en el acto recordatorio organizado 2https://www.youtube.com/watch?v=7yKsJLFDhyQ 3

J. Salgado. El problema de observador y las apor´ıas del conocimiento RECC 5, 28 (2015). https://drive.google.com/file/d/0B-_ a2ioZ7JVpVjItWW9kcTVYQ00/edit?pli=1

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por sus colegas y amigos el d´ıa 2 de diciembre de 2015. Nuestro agradecimiento al profesor Francisco Roco por su generosa contribuci´on.

Marco Corgini Videla

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Dr. Jorge Salgado Sanhueza Acad´emico Departamento de Educaci´on ´ Area de Filosof´ıa Universidad de La Serena

IN MEMORIAM

RECUERDO DE JORGE SALGADO SANHUEZA Francisco Roco Godoy Hoy es 28 de noviembre, en la sobremesa del almuerzo sabatino, en la tranquilidad de mi casa, escribo estas palabras. Son casi las tres de la tarde. Sigo mentalmente la misa de réquiem de Jorge en Concepción, con la esperanza de que esté en un error, de que sea presa del enga˜ no de un genio maligno. Converso contigo, como tantas veces, sobre la maravilla del pensamiento, capaz de transitar por el espacio, proyectarse en el tiempo, adentrarse en la materia, construir ficciones, mentir, inventar mundos metaf´ısicos. En esto discrepamos siempre –y ahora de nuevo. Para ti hay un sustento real del cual da cuenta la razón. El arte no es la metaf´ısica de la vida ni el substrato de la filosof´ıa, como yo creo. T´ u lo tienes muy claro, por eso has procurado no confundir los oficios de poeta y filósofo.

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Quizá te lleven rumbo a Coronel, al cementerio (lo le´ı en el correo de la Universidad). Son tus pagos. Me contaste que cuando jubilaras volver´ıas a Concepción, con los tuyos. Los extra˜ nabas como al clima y a la vegetación del sur. Nunca te acostumbraste del todo a las volubilidades del tiempo de estos lados. Pero ¿por qué te llevan? Siempre decidiste ir, incluso a porf´ıa, donde quer´ıas. ¿Qué ha pasado? Dónde ha ido aquello que te animaba, que te hac´ıa querer, so˜ nar, pensar, trabajar. Fuiste un laborioso infatigable. Cuando las necesidades arreciaban –tus cuatro hijos coincidieron en la universidad, como los m´ıos- y hubo que ponerle el hombro sin descanso, no claudicaste. Y como si fuera poco, concluiste el post grado postergado tantas veces por distintas razones. ¿Qué se hizo aquella voluntariosa voluntad? ¿Ha vuelto al topos uranos platónico, a la ciudad de Dios agustiniana o a la nada fundamental heideggeriana, o a otra zona insospechada de la que no llegamos a conversar? Prometo que en el próximo encuentro del área de filosof´ıa (que de nuevo toca en mi casa) volveremos sobre el tema. En ese encuentro –igual a los anteriores, medido no en horas, sino en cent´ımetros c´ ubicos-, hablaremos de ello, sin temor al rid´ıculo, en la confianza de la iniciación com´ un en la filosof´ıa, descontaminados de lo pol´ıticamente correcto y de lo convencionalmente aceptado; no te librarás de nosotros, te interrogaremos y escucharemos lo nuevo que haya que contar. Te advierto que reiremos jocosamente –una vez más- recordando tu ceremonia de recepción al a´rea hace a˜ nos, en aquel lugar y en aquella compa˜ n´ıa que un caballero debiera olvidar. Pero t´ u sabes, yo nunca lo he sido; además, te confieso por más esfuerzo que hago más vivo resurge ese pasado. En esa zona oscura y dionis´ıaca, a la hora que los gallos cantaban, aunque no los o´ımos, preocupados porque se te cerraban los ojos, nos tranquilizabas diciendo “no se preocupen, lo escucho todo”.

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Es probable que en este momento tu familia –esposa, hijos, nietos, nueras, yernos: el frondoso a´rbol que plantaste- regrese sin consuelo porque has quedado en la soledad del camposanto. Sabemos por oficio que all´ı no hay soledad ninguna. En la dimensión de las cosas, el ser alcanza la más completa plenitud, nada le falta y nada le sobra, es lo que es. Ser y nada son lo mismo. A quienes falta tu presencia es a nosotros. Una desconsoladora y sombr´ıa nada comienza a invadir nuestra conciencia: No podremos volver a compartir el mundo com´ un que nos unió: el golpe de estado, la esencia del mal, el modus tollens, el tercero excluido, el mundial del 62, la filosof´ıa de Hartmann, el curso de lógica de Rivano. . . Ojalá el santo patrono de los encantados de la vida, Federico Nietzsche, en quien he depositado mi fe, esté en lo cierto y sea ver´ıdico “el eterno retorno de lo mismo” y haya otra posible vuelta. Si no es as´ı, al menos démosle crédito a la incuestionada sabidur´ıa socrática para quien morir consiste en dos cosas: dormir profundamente, sin sue˜ no ni sobresalto alguno; o bien transitar a otro lugar donde están los que nos antecedieron. . . Donde quieras que seas, compa˜ nero Jorge Salgado, filósofo y poeta, descansa en paz.

Francisco Roco Godoy

Le´ıdo en el Claustro del Departamento de Educaci´on, en homenaje al Dr. Jorge Salgado. Mi´ercoles 2 de diciembre de 2015

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Jorge Oyarzún Muñoz Geólogo, U.Ch. Dr. Geoqu´ımica y Dr. de Estado en Cs., Univ. Paris Prof. Titular Depto. Ing. Minas Universidad de La Serena

´ EL CAMPO MAGNETICO DE LA TIERRA Y SUS ENIGMAS ´ n Mun ˜ oz Jorge Oyarzu

El campo magnético no es una exclusividad de la Tierra. También J´ upiter posee un campo de enorme magnitud e intensidad, e igualmente lo tienen Saturno, Urano y Neptuno. Millones de a˜ nos antes que el ser humano inventara la br´ ujula, el campo magnético terrestre ya era utilizado por otras especies biológicas para orientarse, por ejemplo, por las aves migratorias, y desde el siglo 18 con Mesmer, ha sido relacionado con perturbaciones o beneficios para la salud humana. La detección de sus anomal´ıas ha jugado un rol principal en la exploración de yacimientos metálicos as´ı como en la guerra antisubmarina. Por otra parte, el campo magnético genera la llamada magnetosfera, que protege la superficie de la Tierra de las part´ıculas con carga eléctrica emitidas

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por el Sol, excepto durante las cortas etapas de inversión de polaridad, cuya distribución cronológica sigue siendo un enigma cient´ıfico. Estas inversiones y su registro paleo magnético en las dorsales y placas oceánicas, entregaron una información clave para descubrir y datar la expansión de los fondos oceánicos, base directa de la teor´ıa de las placas tectónicas.

La magnetosfera (en azul) que nos protege de la radiaci´on c´osmica y part´ıculas cargadas que bombardean la Tierra

3.1.

Introducci´ on. Nuestra relaci´on con el campo magn´etico terres-

tre (CMT) data al menos de mil a˜ nos, con el invento de la br´ ujula. Su estudio cient´ıfico se inició con los trabajos del médico Guilbert, alrededor del a˜ no 1600, continuó en 1750 con Michel, que determinó que la atracción de los polos disminuye con el cuadrado de la distancia y se consolidó en 1840 con el modelo matemático de Gauss (Moen, 2004). En 1850 se descubrió la relación entre las perturbaciones de la actividad solar y su efecto en el CMT, las que se explicaron posteriormente por el descubrimiento de Oersted (1820) de que una corriente eléctrica induce un campo magnético. Dicho descubrimiento está en la base de los modelos propuestos para explicar el CMT, como el presentado

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por Larmor en 1919 (Moen, 2004). Estos modelos se han basado y han realimentado a la vez los de la estructura interna de la Tierra, basados en información geológica y geof´ısica s´ısmica. En términos simplificados, nuestro planeta presenta una estructura interna caracterizada por la existencia (desde el interior hacia el exterior) de un n´ ucleo r´ıgido de hierro de unos 1200 km de radio, rodeado por un n´ ucleo externo de baja rigidez, por un manto silicatado y finalmente por la corteza oceánica o continental.

Estructura interna de la Tierra. Adaptada de DESY (2013) Si el n´ ucleo externo contiene electrones libres y si su velocidad de rotación es algo diferente de la del interno, ambos n´ ucleos pueden configurar un electroimán. Este modelo implica complejidades aun no resueltas, pero permite prever un comportamiento inestable que implicar´ıa inversiones de su polaridad. Aunque la declinación magnética y sus cambios en el espacio y en el tiempo fueron conocidas casi desde el invento de la br´ ujula, la primera inversión de polaridad se descubrió recién en 1929. Ello fue logrado por el japonés Matuyama , quien detectó la inversión actualmente datada entre 2.58 y 0.78 millones de a˜ nos (Ma). En este caso, se trata de un magnetismo adquirido, como el de un imán, por el efecto del campo magnético terrestre sobre la

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magnetita y otros minerales de alta susceptibilidad magnética en el ´ momento de su cristalización. Este es también el tipo de magnetismo que presentan las rocas superficiales de Marte y de la Luna.

3.2.

Naturaleza del Campo Magn´ etico. La f´ısica moderna re-

conoce cuatro interacciones o fuerzas fundamentales: la gravitatoria, la electromagnética, la nuclear fuerte y la nuclear débil. La electromagnética incluye la fuerza electrostática entre cargas en reposo y la producida por el efecto combinado de las fuerzas eléctrica y magnética que act´ uan entre cargas que se mueven una respecto a la otra. En el segundo caso se generan campos magnéticos como el de la Tierra. A diferencia del campo gravitacional, el magnético se caracteriza por su bipolaridad, que se expresa en l´ıneas de fuerza cerradas que unen los dos polos.

Simulación por computador del campo magnético de la Tierra en un per´ıodo de intensidad normal. Glatzmaier et al. (1995), Glatzmaier (2013), figura tomada de Wikipedia (2015) La principal causa del magnetismo radica en el movimiento de los electrones en torno al n´ ucleo, a lo que se agrega el esp´ın (“rotación” en torno a su eje) de los electrones. Aunque el esp´ın de los protones no

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contribuye al magnetismo, tiende a “alinearse” en presencia de campos magnéticos, lo cual se utiliza en la elaboración de magnetómetros. Normalmente, la orientación desordenada de los átomos anula su efecto magnético, lo que no ocurre cuando ellos presentan grados de alineamiento en dominios microscópicos, como ocurre en el caso de los imanes naturales o inducidos.

3.3.

La Columna de Inversiones del CMT. El descubrimiento

de Matuyama impulsó el interés por el relevamiento de información geomagnética y geocronológica. Ello implicaba la toma de muestras orientadas en secuencias de rocas volcánicas efusivas en distintos continentes, las que retienen la polaridad magnética existente en el momento que cristalizan. Dichas muestras son luego sometidas en laboratorio a determinaciones magnetométricas y dataciones radiométricas. Con esa información, obtenida laboriosa y metódicamente, en muchos casos a costa de enfrentar penurias y riesgos, se elaboró una columna de inversiones del CMT, cuyo valor geológico ulterior no se sospechaba aun. ´ Este se reveló a principios de los 1960’s, cuando dicha columna permitió interpretar y datar las fajas simétricas de polaridad alternada, recién descubiertas en torno a las dorsales del centro de los océanos, y establecer as´ı la expansión de los fondos oceánicos, elemento central de la Tectónica de Placas. La columna de inversiones del CMT plantea el problema del por qué ha habido largos per´ıodos de polaridad estable, como el registrado entre los 120 y 83 Ma, en contraste con otros cuando las inversiones ocurrieron cada cientos de miles de a˜ nos o menos; este es el caso de las 184 inversiones de los u ´ltimos 83 Ma (Conde y Kent, 1995), o de las 23 inversiones de los u ´ltimos 5 Ma). En comparación, el campo magnético

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Columna de inversiones del campo magnético para el Mesozoico y Cenozoico (´ ultimos 170 Ma) mostrada aqu´ı horizontalmente del sol muestra inversiones frecuentes y regulares cada 10 a 20 a˜ nos, y durante éstas el campo magnético crece en lugar de debilitarse como sucede en el caso del CMT. Aunque el CMT se ha debilitado progresivamente en el curso de los u ´ltimos 160 a˜ nos (para los que se cuenta con mediciones confiables), no se estima probable una inversión de polaridad cercana. Al respecto, se considera que durante una inversión el CMT puede llegar a sólo un 5 % de su intensidad normal, lo cual podr´ıa tener efectos biológicos por la falta de protección respecto al “viento solar”, en el curso de los 100 a˜ nos que se estima dura el proceso de inversión (Sanders, 2014).

3.4.

Connotaciones Biol´ ogicas del CMT y sus Inversiones.

El CMT se relaciona con la vida a través de dos aspectos principales. El primero es el uso de cristales de magnetita por algunas especies de bacterias, que los utilizan para distinguir entre la zona aeróbica superior oxigenada de los cuerpos de agua de la inferior reductora. Ello es crucial para las bacterias aeróbicas (que usan el ox´ıgeno presente en la zona superior) y para las anaeróbicas, adaptadas a la zona inferior

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reductora, y se logra a trav´es del sentido de las l´ıneas de fuerza, distinto en ambos hemisferios de la Tierra.

Cristales de magnetita (F e3 O4 ) formados por procesos de biomineralizaci´on en la bacteria Magnetospirillum gryphyswaldense (Sandbian, 2015)

Igualmente, algunas especies de aves migratorias presentan microcristales de magnetita en su cerebro, los que junto con la luz parecen desempe˜ nar un rol importante en sus viajes migratorios (Wiltschko et al 1994). El CMT desempe˜ na una función importante en la deflexión del flujo de part´ıculas con carga eléctrica y efecto ionizante procedentes del sol (electrones, protones y part´ıculas alfa), de manera que ejerce una función de protección sobre el material genético de las especies biológicas (Moen. 2004). Este hecho ha llevado a algunos investigadores como Crain (1971) y Hays (1971) a postular que el debilitamiento del CMT durante las inversiones puede haber sido responsable de la extinción de algunas especies, pero se carece de evidencias estad´ısticas sólidas a este respecto. El efecto del CMT sobre las part´ıculas procedentes del sol es responsable de las llamadas auroras boreales y australes (Mullard Space Science Laboratory, 2015): las luces del norte y del sur que a menudo

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´ se pueden ver en la noche cerca de los c´ırculos Artico y Antártico. Las auroras son causadas por la colisión de las part´ıculas, aceleradas por la magnetosfera, con la estratósfera, a altitudes entre 100 y 200 km. También han sido materia de discusión las perturbaciones locales del campo magnético generadas por las l´ıneas de transmisión de corriente de alta tensión, por sus posibles efectos sobre la salud humana. Por el contrario, el uso de campos magnéticos controlados ha sido considerado como un factor positivo en el tratamiento de algunas dolencias y se ha utilizado en Rusia para favorecer la recuperación de pacientes en etapa post operatoria.

Las im´agenes desde el espacio nos muestran que las auroras forman o´valos gigantescos centrados en los polos magn´eticos de la Tierra (UCL Department of Space & Climate Physics, 2015)

3.5.

El CMT, la Exploraci´ on Minera y la Detecci´ on de Sub-

marinos. La presencia de anomal´ıas del CMT permite diversas aplicaciones prácticas, como la detección de yacimientos metálicos con magnetita (F e3 O4 ) o pirrotina (F eS), la de contaminantes enterrados en barriles de acero y la de submarinos navegando a profundidad moderada. En todos estos casos se utiliza la distorsión de CMT producida por

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la atracción de las l´ıneas de fuerza ejercida por materiales de alta permeabilidad magnética. La magnetometr´ıa de exploración de yacimientos metal´ıferos (Oyarzun, 2011) se basa en la detección de la presencia significativa de minerales magnéticos, tales como magnetita o pirrotina en cuerpos mineralizados. Se aprovecha el efecto de atracción que los cuerpos geológicos que poseen alta permeabilidad magnética ejercen sobre las l´ıneas de fuerza del campo magnético total. La magnetometr´ıa se puede realizar en tierra o aeroportada.

Magnetómetros de exploración aerotransportados. Tomada de Oyarzun (2011) La aplicación a detección de submarinos surgió de la adaptación del magnetómetro de exploración discriminador de flujo, desarrollado en los 1930’s por V. Vacquier, que permite determinar tanto la intensidad de la anomal´ıa como la orientación de sus l´ıneas de fuerza. Su aplicación en conjunto con el sonar por las fuerzas antisubmarinas de EEUU y Japón (tecnolog´ıa MAD) permitió detectar submarinos desde buques y aviones. Esta tecnolog´ıa fue también u ´til en la detección de submarinos con casco de titanio (como eran los submarinos soviéticos de ataque de la Clase Alfa), debido a la presencia de acero en sus componentes internos.

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Huella magn´etica de un submarino (nT: nano Teslas). William E. Boeing Departament of Aeronautics & Astronautics (2014)

3.6.

Conclusiones. El Campo Magn´etico Terrestre tiene una im-

portancia crucial para la vida en nuestro planeta: no sólo permite la orientación de las aves para sus desplazamientos migratorios o la orientación entre un punto y otro, sino que la magnetosfera nos mantiene protegidos de la radiación cósmica. En este sentido, un problema principal para una eventual colonización de Marte en un futuro lejano, radicar´ıa en que Marte no ofrece protección alguna contra ella. Entre los temas de investigación de mayor interés planteados por el Campo Magnético Terrestre (CMT) está el de los posibles factores geológicos o externos que puedan explicar las grandes diferencias observadas entre las frecuencias de cambio de polaridad. También es importante dilucidar sus efectos biológicos en materias como su interacción con las grandes l´ıneas transmisoras de energ´ıa eléctrica. Pese a que el magnetismo y el CMT han sido objetos de abundantes estudios, quedan a´ un muchos aspectos por aclarar y seguramente por descubrir, incluidas nuevas aplicaciones prácticas.

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Referencias [1]. DESY (2013) X-rays reveal inner structure of the Earth’s ancient magma ocean: First look into magma at deep mantle conditions. Deutsches Elektronen-Synchrotron. A Research Centre of the Helmholtz Association. http://www.desy.de/information__services/press/press_releases/ 2013/pr_071113/index_eng.html [2].Dormy, E (2006) The origin of the Earth’s magnetic field: Fundamental or environmental research? Europhysics News 37: 22-25. [3]. ESA (2013) Earth’s magnetic field. European Space Agency. http://www.esa.int/spaceinimages/Images/2013/11/Earth_s_magnetic_ field [4].Glatzmaier, Gary A., Roberts, Paul H. (1995). A three-dimensional self-consistent computer simulation of a geomagnetic field reversal. Nature 377: 203–209. Glatzmaier, G. (2013) The Geodynamo. University of California Santa Cruz. Retrieved 20 October 2013. [5]. Mullard Space Science Laboratory (2015) The Magnetosphere and the Aurora. UCL Department of Space & Climate Physics, http://www.ucl.ac.uk/mssl/space-plasma-physics/plasma-science/ aurora [6]. Oyarzun, R. y Lillo, J. (2011). Introducci´on a la Geolog´ıa de Minas. Ediciones GEMM - Aula2puntonet, 180 pp. [7]. Sandbian (2015) Biomineralization. Geology from Sweden. https://sandbian.wordpress.com/articles-papers/biomineralization/ [8].Sanders, R (2014) Earth’s magnetic field could flip within a human lifetime. University of California, News Center, Berkeley,

http://news.berkeley.edu/2014/10/14/earths-magnetic-field-could-flip-within-a-h

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[9].Wikipedia (2015) Earth’s magnetic field. https://en.wikipedia.org/wiki/Earth’s_magnetic_field. [10].William E. Boeing Departament of Aeronautics & Astronautics (2014) Autonomous airborne geomagnetic surveying and target identification. University of Washington, College of Engineering, https://www.aa.washington.edu/research/afsl/strategic/probabilistic. html

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Richard Feynman Nobel Prize in Physics 1965

RICHARD FEYNMAN Y LAS TEOR´IAS F´ISICAS. ´ EXTRACTO DE SU DISCURSO DE RECEPCION DEL PREMIO NOBEL Editors

[. . . ] The fact that electrodynamics can be written in so many ways the differential equations of Maxwell, various minimum principles with fields, minimum principles without fields, all different kinds of ways, was something I knew, but I have never understood. It always seems odd to me that the fundamental laws of physics, when discovered, can appear in so many different forms that are not apparently identical at first, but, with a little mathematical fiddling you can show the relationship. An example of that is the Schr¨odinger equation and the Heisenberg formulation of quantum mechanics. I don’t know why this is - it remains a mystery, but it was something I learned from experience. There is always another way to say the same thing that doesn’t look at all like the way you said it before. I don’t know what the reason for this is. I think it is somehow a representation of the simplicity of nature. A

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thing like the inverse square law is just right to be represented by the solution of Poisson’s equation, which, therefore, is a very different way to say the same thing that doesn’t look at all like the way you said it before. I don’t know what it means, that nature chooses these curious forms, but maybe that is a way of defining simplicity. Perhaps a thing is simple if you can describe it fully in several different ways without immediately knowing that you are describing the same thing. We are struck by the very large number of different physical viewpoints and widely different mathematical formulations that are all equivalent to one another. The method used here, of reasoning in physical terms, therefore, appears to be extremely inefficient. On looking back over the work, I can only feel a kind of regret for the enormous amount of physical reasoning and mathematically re-expression which ends by merely re-expressing what was previously known, although in a form which is much more efficient for the calculation of specific problems. Would it not have been much easier to simply work entirely in the mathematical framework to elaborate a more efficient expression? This would certainly seem to be the case, but it must be remarked that although the problem actually solved was only such a reformulation, the problem originally tackled was the (possibly still unsolved) problem of avoidance of the infinities of the usual theory. Therefore, a new theory was sought, not just a modification of the old. Although the quest was unsuccessful, we should look at the question of the value of physical ideas in developing a new theory [. . . ] Many different physical ideas can describe the same physical reality. Thus, classical electrodynamics can be described by a field view, or an action at a distance view, etc. Originally, Maxwell filled space with idler wheels, and Faraday with

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fields lines, but somehow the Maxwell equations themselves are pristine and independent of the elaboration of words attempting a physical description. The only true physical description is that describing the experimental meaning of the quantities in the equation - or better, the way the equations are to be used in describing experimental observations. This being the case perhaps the best way to proceed is to try to guess equations, and disregard physical models or descriptions. For example, McCullough guessed the correct equations for light propagation in a crystal long before his colleagues using elastic models could make head or tail of the phenomena, or again, Dirac obtained his equation for the description of the electron by an almost purely mathematical proposition. A simple physical view by which all the contents of this equation can be seen is still lacking [...] Therefore, I think equation guessing might be the best method to proceed to obtain the laws for the part of physics which is presently unknown. Yet, when I was much younger, I tried this equation guessing and I have seen many students try this, but it is very easy to go off in wildly incorrect and impossible directions. I think the problem is not to find the best or most efficient method to proceed to a discovery, but to find any method at all. Physical reasoning does help some people to generate suggestions as to how the unknown may be related to the known. Theories of the known, which are described by different physical ideas may be equivalent in all their predictions and are hence scientifically indistinguishable. However, they are not psychologically identical when trying to move from that base into the unknown. For different views suggest different kinds of modifications which might be made and hence are not equivalent in the hypotheses one generates from them in ones attempt to understand what is not yet understood.

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I, therefore, think that a good theoretical physicist today might find it useful to have a wide range of physical viewpoints and mathematical expressions of the same theory (for example, of quantum electrodynamics) available to him. This may be asking too much of one man. Then new students should as a class have this. If every individual student follows the same current fashion in expressing and thinking about electrodynamics or field theory, then the variety of hypotheses being generated to understand strong interactions, say, is limited. Perhaps rightly so, for possibly the chance is high that the truth lies in the fashionable direction. But, on the off-chance that it is in another direction - a direction obvious from an unfashionable view of field theory who will find it? Only someone who has sacrificed himself by teaching himself quantum electrodynamics from a peculiar and unusual point of view; one.

Richard Feynman Referencias http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1965/ feynman-lecture.html

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˜ A CIEN ANOS DEL DESARROLLO DE LA TEOR´IA LA RELATIVIDAD Editores

A principios del siglo XX, el experimento de Michelson y Morley, realizado a fines del siglo XIX, condujo a Albert Einstein a concluir que la velocidad de la luz deb´ıa ser un invariante frente a cambios de sistemas de referencia (independiente de la situación del observador). Más a´ un, Einstein detectó que las ecuaciones electromagnéticas postuladas por Maxwell resultaban invariantes frente a cambios de sistemas de referencias, siempre que los tiempos medidos en cada uno de ellos no fuesen coincidentes. En este escenario, concluye que no hay sistemas de referencia privilegiados y que el experimento de Michelson y Morley muestra que la velocidad de la luz en el vac´ıo es constante, cualquiera sea la situación en que nos encontremos para medirla, descartando de paso, de un plumazo, la existencia del hipotético éter. Lo anterior indicaba que el uso de sistemas de referencia galileanos para describir la cinemática y dinámica de los cuerpos f´ısicos en el contexto de la mecánica de Newton resultaba contradictorio, por cuanto, de acuerdo a la teor´ıa, la velocidad de la luz deb´ıa variar en el caso de mediciones realizadas por observadores ubicados en distintos sistemas, cuestión que claramente no se cumpl´ıa. La nueva propuesta planteada no anuló la teor´ıa de Newton, sino que restringió su validez a fenómenos f´ısicos que ocurren a velocidades muy inferiores a la de la luz. Einstein fundará su teor´ıa, la “relatividad especial”, no sobre transformaciones galileanas, sino sobre “lorentzianas”. Esto permitirá pasar

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de un sistema de referencia a otro, manteniendo la constancia de la velocidad de la luz. En 1915, el f´ısico declarará “las leyes generales de la naturaleza, tienen que expresarse por ecuaciones que sean válidas en todos los sistemas de coordenadas, esto es que sean covariantes respecto a cualquier sustitución, generalmente covariante”. Una sorprendente implicancia de lo afirmado por Einstein en su relatividad especial es que si corremos, por ejemplo, por un camino recto al encuentro de un objeto que se desplaza por el mismo sendero hacia nosotros con rapidez lum´ınica, no lo veremos moverse a una velocidad igual a la de la luz menos la nuestra, que es lo que prescribe la mecánica clásica, sino que lo veremos venir, a pesar de lo veloces que seamos, a 300.000 kilómetros por hora. Esto indica además que el tiempo no es invariante (contracción del tiempo), sino que depende del movimiento del sistema de referencia en que nos encontremos, o sea, de la velocidad a la que nos movemos. Otra conclusión inmediata de su propuesta es el aumento de la masa para cuerpos desplazándose a velocidades cercanas a las de la luz, fenómeno imperceptible en el caso de sistemas moviéndose a velocidades muy inferiores a la lum´ınica, donde la mecánica de Newton resulta ser una buena aproximación de lo que realmente ocurre. Finalmente, Einstein demostró que materia y energ´ıa se relacionan a través de su célebre fórmula, que indica que la segunda es igual al producto de la masa multiplicada por el cuadrado de la velocidad de la luz. En esta teor´ıa, espacio y tiempo se encuentran ligados indisolublemente, a diferencia de la independencia entre uno y otro postulada por la mecánica clásica. Las tres coordenadas temporales de la mecánica

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de Newton ser´ıan ahora insuficientes para describir la realidad. Fue necesario introducir una cuarta coordenada, el tiempo. Es decir, nos encontramos ante una realidad de cuatro dimensiones. Como ya no trabajamos en el espacio f´ısico de tres dimensiones de la mecánica newtoniana, sino en uno de cuatro, donde una de las coordenadas es temporal, no resulta posible medir la distancia entre dos puntos o sucesos de este nuevo espacio de la manera usual. La cuestión será resuelta por el matemático alemán Hermann Minkowski, en 1907 –Universidad de Göttinhem–, quien propondrá un espacio de cuatro dimensiones –denominado hoy de Minkoswski– dotado de una geometr´ıa que incorpora en forma natural las transformaciones de Lorentz. Este espacio, provisto de las tres coordenadas usuales, más la coordenada temporal, será denominado “espacio de sucesos”, siendo sus elementos o puntos los “sucesos”. A diferencia de la teor´ıa de Newton, en la relatividad especial de Einstein no hay simultaneidad de sucesos. Esto implica una fuerte localidad, es decir, hay un l´ımite de velocidad para la transmisión de información desde un punto a otro del espacio. La teor´ıa de la relatividad especial o “relatividad restringida” explicaba ahora perfectamente el electromagnetismo, pero qué suced´ıa con la gravitación. Si el espacio-tiempo, en ausencia de masa, se comporta como un espacio de Minkoswski, qué suceder´ıa en su presencia, esto es, existiendo fuerzas gravitacionales. Durante la segunda década del siglo XX, Einstein, con ayuda del matemático h´ ungaro Marcel Grossman, dar´ıa respuesta a dicho problema. Postuló que el espacio tiempo es en realidad curvo, comportándose como uno de Minkowski al no existir masa presente (en el vac´ıo) y como un espacio de Riemann al contenerla.

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En el primer caso, cualquier part´ıcula desplazándose lo hará en l´ınea recta, y en el segundo, seguirá una geodésica (aquella curva que cubre la menor distancia entre dos puntos –no necesariamente una l´ınea recta–), determinada por la manera en que la masa presente deforma el espacio. As´ı surge la “teor´ıa general de la relatividad”, publicada en 1915. En ésta Einstein establece, a través de una ecuación, la relación existente entre la geometr´ıa del espacio-tiempo y la distribución de masa y energ´ıa presente en él. Dicha ecuación, conocida como “ecuación de Einstein” (en realidad un sistema de diez ecuaciones), pudo ser resuelta en ciertos casos particulares. Alguno de los éxitos inmediatos de la teor´ıa fue dar cuenta del valor exacto del corrimiento del perihelio de Mercurio, observado por los astrónomos de la época y no explicado por la mecánica de Newton y la determinación exacta de la desviación de la luz debida a efectos gravitacionales. Efectivamente, Einstein predijo a partir de sus resultados la alteración en su curso que deb´ıa sufrir un haz de luz al pasar cerca del sol, efecto comprobado a través de un célebre experimento realizado por el astrónomo inglés Arthur Eddington a fines de la primera guerra mundial, durante un eclipse solar. Una de las pocas soluciones exactas con significado f´ısico de la ecuación de Einstein fue la entregada por el astrónomo alemán Karl Schwarzschild (publicada en 1916), al considerar el problema de la deformación del espacio-tiempo debida a la presencia de un cuerpo esférico de masa M y radio arbitrario. Para este problema, era posible obtener una solución exacta. El mayor interés de este resultado consistió en que si el radio del cuerpo de masa M era inferior a una magnitud denominada “radio de Schwarzschild”, la luz emitida desde cualquier punto dentro de la

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esfera dada no alcanzar´ıa dicho radio, quedando confinada para siempre al interior de ´esta. Esto, con el tiempo, condujo a postular la existencia de lo que hoy d´ıa conocemos como “agujeros negros”, resultado del colapso gravitacional de estrellas supermasivas (gigantes rojas). Referencias 1. M. Corgini. Paseo Cu´antico por los senderos de Sha-I-Zinda. Editorial Universidad de La Serena, 2012.

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SOME WORDS ABOUT THERMODYNAMIC LIMIT IN EQUILIBRIUM STATISTICAL MECHANICS Editors

6.1.

Introduction. In classical and quantum equilibrium statistical

mechanics, phase transitions (PT) are associated to the non analyticity (singularities) of thermodynamic functions in the so-called thermodynamic limit, consisting in that the density of particles remains constant while both the number of particles and the volume of the region enclosing them tend to infinity in a suitable way. This limit, whose introduction was suggested by H. Kramer in 1934 [1], was applied by Lars Onsager in 1944 for exactly solving the two dimensional Ising Model [2]. This approach has been extensively used for studying, among others, superfluid, superconducting and ferroelectric phase transitions. On this conception lies the basis not only of the Landau theory of continuous phase transitions, but also the Lee-Yang and renormalization theories, including all mean field strategies developed during decades. The rigorous mathematical approach, initially developed by van Hove, in 1949 [3] and N.N. Bogolubov in 1946 [4], received further impulse from works of many mathematicians and physicists during sixties and seventies of the last century. In this sense, the Ehrenfest classification of phase transitions (1933) [5], based on the lowest order of some derivative of the free energy presenting discontinuities (first and second order PT), was extended or modified to include notions such as order parameter and broken symmetries (see for example [10-14]). Indeed, Pipard and Fisher suggested a similar classification to that given by Ehrenfest while Landau and Broute both proposed a theory of phase transitions based on the notion of order parameter and symmetry arguments. Thus, first order phase (or sudden transitions) and second order

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transitions were associated to discontinuities in the first and second derivatives of this function, respectively. However this categorization admits to be extended to high order phase transitions. In spite of the fact that far away from a small vicinity of a critical point, where fluctuations can be ignored, the so-called infinite equilibrium states (or KMS states in the quantum case) approximate fairly well both qualitatively and quantitatively the thermodynamic behavior of many real finite systems, the finite thermodynamic functions do not exhibit any discontinuity or singularity and in this sense phase changes cannot be derived from them. Moreover, this approach is unsatisfactory for the study of critical points, where subtle microscopic phenomena like fluctuations appear to contribute, facilitate or even produce phase transitions. However the renormalization group theory (RGP) has given fruitful phenomenological insight. This facts suggest that phase transitions in real finite systems may be driven by combined microscopic phenomena not necessarily related to discontinuities but possibly enhanced by them in the case of infinite systems. Moreover, in some cases, the theory appears to fail.

6.2.

BEC. Macroscopic or microscopic phenomenom? In the

article “¿iEs la condensación de Bose-Einstein de átomos confinados una trampa magnética una transición de fase”4 ( Is Bose-Einstein condensation of atoms confined in a magnetic trap a phase transition?, in english) and in ref. [16] we briefly analized some theoretical consequences derived from experiments with trapped bose gases in the framework of the theory of phase transitions. Let us remember some of the 4M.

Corgini. RECC 12, 21 (2015).https://drive.google.com/file/d/0B-_ a2ioZ7JVpVkRzTFEwZUFwcmM/view?pli=1

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discussed facts. In this scenario, the phenomenon of Bose Einstein Condensation (BEC), predicted by Einstein in 1925 [15], corresponds to a macroscopic occupation of a single quantum state (ground state) by a large number of identical bosons (particles whose states are represented by symmetric wave functions). BEC has been extensively studied, in the framework of quantum equilibrium statistical mechanics, as a kind of second order phase transition. The theory predicts that at low temperatures and large densities of particles, quantum effects should become essential for the macroscopic behavior of the system. Moreover, under suitable assumptions (homogeneous non interacting and weakly interacting Bose systems) displaying BEC, the mathematical formalism shows that a spontaneous symmetry breaking associated to local gauge transformations may occur. The development of highly sophisticated cooling techniques (laser cooling, vaporization) led to confirm, experimentally, in the case of diluted atomic gases trapped in magnetic or optical traps, the Einstein conjecture after 70 years (1995), for a finite number of atoms of certain type. Unlike all the previously mentioned theoretical many particle models, trapped gases are inhomogeneous and finite-sized systems. Even more, they can display low dimensional BEC, phenomenon prohibited for infinite Bose particle systems (Hohenberg theorem). Indeed, the number of atoms that can be put into the traps can not be considered macroscopic. As a consequence, the thermodynamic limit is never reached exactly. Thus, strictly speaking, in the context of this theory, such a behavior of trapped atoms is not a phase transition. Thus, W. Ketterle and N.J.

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van Drutten proved that the results obtained in finite size systems, in cases of certain dilute atomic gases, for some values of the critical parameters, such as chemical potential, temperature and condensate density, differ with those obtained in the thermodynamic limit. Moreover, they have shown that the occupation of states of low energies, for these parameters, in that limit, disappear [8,9]. However, we have to point out that this fact not necessarily contradicts the standard theory. We shall analize this problem in future issues. 6.3.

Some mathematical tools: Laplace principle. In the case

of the so called mean field models a considerable amount of mathematical strategies, such that, large deviations methods, approximating Hamiltonians methods, etc., have been developed for decades. Most of them are associated to a suitable diagonalizations of the corresponding energy operators (Hamiltonians) leading to more simple and mathematically tractable Hamiltonians. These approaches include strategies devoted to exactly determine the limit thermodynamic functions. Among them, a crucial role is played by the above mentioned large deviation method, based on the so called Laplace principle. The basic mathematical ideas about this principle are outlined below. Let G : I → R be a continuos and upper bounded function defined on an interval I, , i.e., G(x) ≤ M for some cosntant M for any x ∈ I. It is assumed that there exists α > 0 such that for large values of |x| , G(x) < −α|x|. Then, (1)

Z 1 ln( eN G(x) dx) = sup{G(x)}. l´ım N →∞ N x∈I I

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Let us sketch the proof of the above assertion. Let L be enough large, such that G(x) < â&#x2C6;&#x2019;Îą|x| for |x| â&#x2030;Ľ L y â&#x2C6;&#x2019;ÎąL < sup{G(x)}. Then, xâ&#x2C6;&#x2C6;I

eN G(x) dx â&#x2030;¤ 2L exp[N sup{G(x)}]+ xâ&#x2C6;&#x2C6;I I Z â&#x2C6;&#x17E; 2 eâ&#x2C6;&#x2019;ÎąN x dx < (2L + +2 ) exp[N sup{G(x)}]. ÎąN xâ&#x2C6;&#x2C6;I L

If N tends to infinity, Z 1 lÂ´Äąm [ ln( eN G(x) dx)] â&#x2030;¤ sup{G(x)}. N â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; N xâ&#x2C6;&#x2C6;I I On the other hand, let M = supxâ&#x2C6;&#x2C6;I {G(x)} and > 0 arbitrarily small. From the continuity of G it follows that there exist x0 â&#x2C6;&#x2C6; I y Î´ > 0 such that if si |x â&#x2C6;&#x2019; x0 | < Î´, se tiene G(x) > M â&#x2C6;&#x2019; . Thus, Z Z N G(x) eN G(x) dx > Î´eN (M â&#x2C6;&#x2019; ) dx, e dx > I

(x0 â&#x2C6;&#x2019;Î´,x0 +Î´)â&#x2C6;ŠI

such that Z 1 1 ln eN G(x) dx > M â&#x2C6;&#x2019; + lnÎ´. N N I Taking the limit N â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x17E; we get Z 1 lÂ´Äąm Â´Äąnf[ ln( eN G(x) dx) â&#x2030;Ľ M â&#x2C6;&#x2019; . N â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; N I Being > 0 an arbitrary real number, we get: Z 1 lÂ´Äąm Â´Äąnf[ ln( eN G(x) dx) â&#x2030;Ľ sup{G(x)}. N â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; N xâ&#x2C6;&#x2C6;I I In this way, the proof is finished. Thus, if f (x) is a continuous function taking a maximun at x0 and the integral Z IN =

â&#x2C6;&#x17E;

eN f (x) dx

exists, then (2)

lÂ´Äąm N â&#x2C6;&#x2019;1 ln IN = f (x0 ).

N â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

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A more simple version of this strategy has been widely used for studying models of classical spins systems (Ising models). Let us examine an application of this approach. 6.4.

The Curie-Weiss model. The model of Curie-Weiss consists

of N spins si = ±1, i = 1, 2, .. with interaction between neighbors and coupling constant J > 0. H represents a external field coupled to this system. The energy of each spins configuration {s} = {s1 , .., sN } is given by J E({s}) = − N

si sj − H

N X

si .

i=1

1≤i<j<N

As it has to be pointed out in a previous article, all thermnodynamic properties can be obtained from the free energy f (β, H) defined as: 1 ln ZN (β, H), N →∞ βN

f (β, H) ≡ − l´ım where ZN (β, H) ≡

e−βE({s}) is the finite partition function.

{s}

In this caseZN (β, H) can be written as 1/2 −K/2

ZN (β, H) = (KN/2π)

eN f (m) dm,

where f (m) = −Km2 /2 + ln 2 cosh(Km + B) y K = βJ, B = βH. For N enough large this integral can be asymptotically calculated by using the Laplace method. Therefore, in the limit N → ∞ we obtain, −βf (β, H) = m´ax f (m). |m|<∞

By differentiating f (m) with respect to m it is posible to get the well known classical mean field equation m = tanh(Km + B). Indeed, m is the order parameter used for determining the phenomenom of magnetization in the system.

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The role of order parameters in the theory of phase transitions and their relation with breakdown of symmetries will be discussed in other opportunity. References [1] Max Dresden, H.A. Kramers. Between Tradition and Revolution. Springer-Verlag, 1987 [2] L. Onsager, Crystal Statistics. I. A Two-Dimensional Model with an Order-Disorder Transition. Phys. Rev. 65, 117 (1944). [3] L. van Hove, Quelques properties generales de l0 integrale de configuration d0 un systeme de particules avec interaction. Physyca 15, 951 (1949) [4] N. N. Bogoliubov, Problems of Dynamical Theory in Statistical Physics. Gostekhizdat, Moscow, 1946 [in Russian] [5] P. Ehrenfest,Phasenrecumwandlungen im u ¨blichen und erweiteren Sinn, classifiziert nach den entsprechenden Singularit¨aten des thermodynamishen Potentials. Proc.Kon. Akad. Akad. Wetenschap, Amsterdam, 36, 147 (1933) [6] J.M. Vogels, K. Xu, C. Raman, J.R. Abo-Shaeer, W. Ketterle,Experimetal observation of the Bogolubov transformation for a Bose Einstein condensed gas. Physical review letters 88 (6), 060402 (2001) [7] N.N. Bogolubov, On Superfuidity. J. Phys. (USSR) 11, 23 (1947) [8] F. Dalfovo, S. Giorgini, L. P. Pitaevskii, S. Stringari, Theory of Bose-Einstein Condensation in Trapped Gases. Rev. Mod. Phys.71, 463, (1999) [9] Ph. W. Courteille, V S. Bagnato, V. I. Yukalov, Bose-Einstein condensation of trapped atomic gases. Laser Physics, 11, 6 (2001)

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[10] F. London, On the Bose-Einstein Condensation. Phys. Rev. 54, 947 (1938) [11]. L. Landau, On the theory of phase transitions. Zh. Eksp. Teor. Fiz. 7, 19-32, (1937) [12] A.B. Pippard,Elements of Classical Thermodynamics. Cambridge Univ. Press. (1957) [13] M. E. Fisher, The nature of critical points. Lectures in Theoretical Physics, vol 7. Ed. W. E. Brittin. University of Colorado Press, Boulder, 1965 [14] R.H. Brout, Phase Transitions. Benjamin. New York, 1965 [15] A. Einstein,Quantentheorie des einatomigen idealen gases. Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften. I, 3-14 (1925) [16] M. Corgini, Some comments on thermodynamic limit in quantum phase transitions theory. Preprint 2015.

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Figura 1. Ouρoβoρoς