Recc 14

REVISTA ´ EL CLUB CUANTICO No 14, MARZO 2016

Editores: Marco Corgini Videla - Ingrid Torres Castillo http://elclubcuantico.blogspot.com

´Indice 1. EDITORIAL

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2. ALGUNOS COMENTARIOS SOBRE MODELAMIENTO ´ MATEMATICO Enrique Reyes Garc´ıa

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´ ´ 3. MECANICA CUANTICA, TEOR´IAS DE VARIABLES OCULTAS (TVO) Y OTRAS YERBAS Marco Corgini Videla

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3.1. Paradoja EPR y desigualdades de Bell

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3.2. Teor´ıa Bohmiana

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3.3. Un error con consecuencias

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3.4. Un giro inesperado

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3.5. ¿Ausencia de tensi´on ideol´ogica?

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3.6. Del ´algebra de matrices a la teor´ıa de operadores auto adjuntos

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3.7. La ecuaci´on de Schr¨odinger

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3.8. Probabilidades, Procesos Estoc´asticos y TVO

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3.9. Una digresi´on sobre el gato de Schr¨odinger y la incertidumbre

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3.10. Bohm revisitado

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3.11. Violaci´on de desigualdad de Bell en modelos cl´asicos con localidad

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3.12. Un par´entesis matem´atico

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3.13. Breve reflexi´on sobre indeterminismo y causalidad f´ısica

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3.14. Loopholes

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3.15. Comentarios Finales

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1.

EDITORIAL

Para RECC es un privilegio contar, en este n´ umero, con el valioso aporte del matem´atico Enrique Reyes Garc´ıa (Dr.), acad´emico del Departamento de Matem´atica y Ciencia de la Computaci´on de la Universidad de Santiago de Chile. Su aporte corresponde a la charla dictada en el Programa de Mag´ıster en Educaci´on Matem´atica de su universidad en diciembre de 2015.

En un estilo agudo y profundo nuestro invitado introducir´a al lector en un tema de absoluta relevancia en nuestra ´epoca, el del modelamiento matem´atico, pero desde un enfoque, culto, novedoso y rico en sugerencias.

La labor de un cient´ıfico no es s´olo disciplinaria sino tambi´en de reflexi´on profunda acerca del mundo que le rodea, desde toda perspectiva. El profesor Reyes consigue este prop´osito con notable habilidad.

El segundo art´ıculo se relaciona con las teor´ıas de variables ocultas, locales y no locales en mec´anica cu´antica. Recordemos que algunas referencias a la teor´ıa de De-Broglie Bohm han sido realizadas en otros n´ umeros de RECC. En esta oportunidad, en una breve rese˜ na, pondremos acento en el vibrante debate generado a partir del momento en que las variadas interpretaciones de la teor´ıa cu´antica surgen, incluidas las treguas moment´aneas, los olvidos inesperados y los resurgimientos necesarios de cuestiones no resueltas que reclaman urgente atenci´on.

Editores

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Dr. Enrique G. Reyes Departamento de Matem´atica y Ciencia de la Computaci´on, Universidad de Santiago de Chile. enrique.reyes@usach.cl ; e g reyes@yahoo.ca

2.

ALGUNOS COMENTARIOS SOBRE MODELAMIENTO ´ MATEMATICO Enrique Reyes Garc´ıa

El Director del Programa de Magister en Educaci´on Matem´atica me ha pedido que d´e una charla sobre “modelamiento matem´atico”1. Un tema dif´ıcil. ¿Qu´e es el modelamiento matem´atico? Cuando recib´ı el correo electr´onico del Prof. Samuel Navarro invit´andome a participar en esta jornada, lo primero que pens´e fue “pero... ¿Qu´e puedo decir?”

Por qu´e tanta duda, pensar´ıa alguien. El puede hablar de modelamiento de ascensores, o del uso de la geometr´ıa en la construcci´on de aviones, o de c´omo se modelan tsunamies, o ... . Efectivamente, uno puede dar ejemplos del uso e importancia de la matem´atica en la descripci´on de ciertos fen´omenos naturales y en el desarrollo de la 1Versi´ on

extendida de una conferencia dictada en el encuentro “Segunda Jornada de Matem´atica Educativa”, organizado por el Programa de Magister en Educaci´on Matem´atica de la Universidad de Santiago de Chile, 04 Diciembre 2015.

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tecnolog´ıa. S´ı, pero me pregunto si uno podr´ıa ser tambi´en un poco m´as ambicioso. ¿Ser´ıa posible aventurar una definici´on de lo que es el modelamiento matem´atico y dar un ejemplo que entusiasme y que me entusiasme? Afortunadamente he encontrado algunos trabajos de personas que han pensado profundamente este tema. Esto es lo que quiero –y puedo– compartir con ustedes.

La siguiente cita es de Gioseffo Zarlino, profesor de m´ usica de Vincenzo Galilei, el padre de Galileo Galilei: Toda ciencia matem´atica descansa en demostraci´on, y no en argumento y opini´on. Ciertos principios llamados premisas se suponen como dados, y se hace una demostraci´on que resuelve todo f´acil y claramente. Para llegar a tal demostraci´on uno tiene que encontrar medios de hacerla accesible a nuestro juicio. Los matem´aticos, entendiendo esto, fabricaron s´ımbolos, no separados de la materia salvo en escencia, pero distantes de ella. Estos eran los puntos, planos, s´olidos, n´ umeros, e innumerables otros caracteres, los cuales son dibujados en papel con ciertos colores, y ellos [los matem´aticos] usaron ´estos en lugar de las cosas simbolizadas.

Le Institutioni Harmoniche, 1558.

Como podemos observar, hace quinientos a˜ nos ya se discut´ıa sobre la naturaleza de los entes matem´aticos, y ya se hab´ıa argumentado que ´estos “vienen de la materia” pero son independientes de ella. Para usar conceptos m´as modernos de la Filosof´ıa de la Matem´atica, uno dir´ıa que Zarlino estaba expresando una “visi´on plat´onica” de la matem´atica: las entidades matem´aticas existen en alg´ un mundo de ideas, fuera de nosotros y de nuestros cerebros. Adem´as, creo que esta cita ya permite dar una definici´on aproximada de “modelar”. Simplemente significa hablar, argumentar, demostrar, inferir, usando s´ımbolos que vienen del mundo, pero que son distintos a las cosas del mundo. ¿Es esto u ´til? Bueno, dir´an ustedes, es cosa

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de ver los puentes o los tel´efonos celulares, o el hecho que el Apolo 11 le “apunt´o” a la luna. Por supuesto que tienen raz´on. Por inclinaci´on cient´ıfica, sin embargo, en vez de presentar algunas instancias de modelamiento que han sido u ´tiles para el desarrollo tecnologico, me concentrar´e en los esfuerzos para entender el mundo f´ısico por medio de la construcci´on de modelos. Cito a Stephen Hawking: Un conocido cient´ıfico (algunos dicen que fue Bertrand Russell) daba una vez una conferencia sobre astronom´ıa. En ella describ´ıa c´omo la Tierra giraba alrededor del Sol y c´omo ´este, a su vez, giraba alrededor del centro de una vasta colecci´on de estrellas conocida como nuestra galaxia. Al final de la charla, una simp´atica se˜ nora ya de edad se levant´o y le dijo desde el fondo de la sala: ((Lo que nos ha contado usted no son m´as que tonter´ıas. El mundo es en realidad una plataforma plana sustentada por el caparaz´on de una tortuga gigante)). El cient´ıfico sonri´o ampliamente antes de replicarle, ((¿y en qu´e se apoya la tortuga?)). ((Usted es muy inteligente, joven, muy inteligente -dijo la se˜ nora-. ¡Pero hay infinitas tortugas una debajo de otra!)).

La mayor parte de la gente encontrar´ıa bastante rid´ıcula la imagen de nuestro universo como una torre infinita de tortugas, pero ¿en qu´e nos basamos para creer que lo conocemos mejor? [...]

Es muy dif´ıcil construir una teor´ıa que describa el universo de una sola vez. En cambio, lo que hacemos es dividir el problema en pedazos e inventar algunas teor´ıas parciales. Cada una de estas teor´ıas describe y predice una clase limitada de observaciones, ignorando el efecto de otras cantidades, o represent´andolas por simple conjuntos de n´ umeros. Podr´ıa ser que esta manera de proceder estubiera absolutamente

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errada. Si todo en el universo est´a interconectado de una manera fundamental, puede ser imposible acercarse a una soluci´on investigando partes aisladas del problema. Sin embargo, es ciertamente la forma en que hemos avanzado en el pasado.

Hoy los cient´ıficos describen el universo en t´erminos de dos teor´ıas parciales b´asicas – Relatividad General y Mec´anica Cu´antica. Ellas son los dos mayores triunfos intelectuales de la primera mitad del Siglo XX. La teor´ıa de Relatividad General describe la fuerza de gravedad y la estructura del universo a gran escala. Mec´anica Cu´antica describe fen´omenos en escalas extremadamente peque˜ nas.

Una breve historia del tiempo, 1987.

La teor´ıa de la torre de tortugas no se ha comprobado nunca. La teor´ıa de la relatividad y la mec´anica cu´antica que menciona Hawking han sido comprobadas muchas, muchas veces. Destaco aqu´ı que estas dos teor´ıas son construcciones matem´aticas precisas y no posiciones pseudo-filos´oficas o modas o verdades reveladas. Como dir´ıa Zarlino, para desarrollarlas se han usado “ciertos principios llamados premisas” y “puntos, planos, s´olidos, n´ umeros, e innumerables otros caracteres”. Por otra parte, nuevamente en palabras de Hawking, es necesario tener en cuenta que: Cualquier teor´ıa f´ısica es siempre provisional, en el sentido que es s´olo una hip´otesis: uno jam´as puede probarla. No importa cu´antas veces los resultados de experimentos est´en de acuerdo con una teor´ıa, uno jam´as puede estar seguro que el experimento siguiente no la va a contradecir. Por otra parte, una teor´ıa se puede descartar de inmediato si uno encuentra una sola observaci´on que no est´e de acuerdo con las predicciones de la teor´ıa. Como el fil´osofo de la ciencia Karl Popper ha hecho notar, una buena teor´ıa se caracteriza por el hecho que hace un n´ umero de predicciones que pueden en principio ser probadas o

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refutadas por medio de observaciones. Cada vez que nuevos experimentos producen resultados de acuerdo con la teor´ıa, ´esta sobrevive y nuestra confianza en ella crece. Pero si alguna vez una observaci´on est´a en desacuerdo con ella, tenemos que abandonarla, o modificarla.

Una breve historia del tiempo, 1987.

Es un gran misterio que construcciones matem´aticas efectivamente pueden predecir resultados de experimentos realizados en el mundo real, pero eso es precisamente lo que sucede. Creo que esto diferencia fundamentalmente la ciencia moderna con la torre de tortugas que menciona Hawking. Al tener este car´acter predictivo, una teor´ıa exitosa puede ser usada para anticipar, para construir y para transformar.

Lamentablemente, las tortugas no tienen la misma capacidad.

Todo lo dicho hasta ahora puede resumirse en palabras de Roger Penrose: La intuici´on m´as importante que ha emergido de nuestro viaje de m´as de dos mil quinientos a˜ nos es que hay una profunda unidad entre ciertas a´reas de la matem´atica y el funcionamiento del mundo f´ısico. [...]

Esta idea de los antiguos griegos, que son las matem´aticas las que subyacen en el funcionamiento de la realidad f´ısica, nos ha servido extraordinariamente bien, y hemos llegado a una impresionante comprensi´on de las operaciones del universo en los niveles m´as profundos que conocemos.

El camino a la realidad, 2005.

Combinando las palabras de Zarlino, Hawking y Penrose, concluimos que modelar es explicitar la profunda conexi´on existente entre las matem´aticas y el mundo f´ısico.

Lo que queda por hacer ahora es dar un ejemplo de esta unidad.

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El tema que he escogido como ejemplo es la teor´ıa de las relaciones de equivalencia.

Les recuerdo que una relaci´on de equivalencia R en un conjunto A es un subconjunto del producto cartesiano A × A tal que 1. R es refleja, esto es, (a, a) ∈ R para todo elemento a de A. 2. R es sim´etrica, esto es, si (a, b) pertenece a R, entonces (b, a) pertenece a R. 3. R es transitiva, es decir, si (a, b) y (b, c) pertenecen a R entonces (a, c) pertenece a R. Ejemplos de relaciones de equivalencia hay much´ısimos. Una de ellas es la relaci´on de igualdad en cualquier conjunto A. Otra es “ser paralela o igual a” en el conjunto A de todas las lineas rectas del plano. Si R es una relaci´on de equivalencia sobre un conjunto A, la clase de equivalencia de un elemento a0 ∈ A es el conjunto a0 /R dado por a0 /R = {b ∈ A : (a0 , b) ∈ R} , es decir el conjunto de todos los elementos de A relacionados con a0 . As´ı por ejemplo, si consideramos la relaci´on “ser paralela o igual a” sobre el conjunto de lineas del plano, la clase de equivalencia del eje x es el conjunto de todas las lineas horizontales del plano.

Los primeros ejemplos que me interesa destacar est´an relacionados con los conjuntos de n´ umeros Z, Q y R. Supongamos que conocemos perfectamente bien qu´e es un n´ umero entero. ¿C´omo construimos el conjunto de n´ umeros racionales a partir de Z? Lo que usamos es el hecho observado desde ni˜ nos que la fracci´on 1 2 es lo mismo que la fracci´on

o que

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2 4 520 o que 1040 . La manera en que se formaliza la frase “es lo mismo” es diciendo

que estas fracciones indican una misma clase de equivalencia:

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Definimos una relaci´on de equivalencia R sobre Z × (Z \ {0}), el conjunto de todos los pares ordenados de n´ umeros enteros tales que el segundo es distinto de 0, por (n, m) R (p, q) (o, en una notaci´on un poquito m´as pedante, ((n, m), (p, q)) ∈ R) si y s´olo si nq = pm.

As´ı, los pares (1, 2), (4, 8), (n, 2n), est´an en la misma clase de equivalencia. ¡Esta clase de equivalencia es el n´ umero racional 1/2 ! De manera m´as rigurosa, el conjunto Q es el conjunto de todas las posibles clases de equivalencia de R, esto es, Q = {(n, m)/R : n, m ∈ Z, m 6= 0}.

En cursos sobre Fundamentos de la Matem´atica se explica que esta construcci´on tambi´en nos permite definir las operaciones y la noci´on de orden de Q. Esto no ser´a considerado aqui, pero s´ı notemos que cuando pensamos a Z como un subconjunto de Q, en realidad estamos usando una “incrustaci´on” de Z en Q: definimos la funci´on F : Z → Q como F (n) = (n, 1)/R. Entonces, el conjunto {F (n) : n ∈ Z} = {(n, 1)/R : n ∈ Z} es una copia de los enteros dentro de los racionales. Por esto se puede decir que “los n´ umeros enteros son los racionales cuyo denominador es 1”.

Pasemos a los n´ umeros reales. Nuevamente usamos relaciones de equivalencia para construirlos, pero esta vez la relaci´on no es entre pares de n´ umeros como en el caso de Q, sino que entre conjuntos infinitos de n´ umeros racionales.

Primero que nada, les recuerdo que una sucesi´on de Cauchy de n´ umeros racionales es una sucessi´on (an )n∈N tal que an ∈ Q para todo n y que satisface l´ım |an − am | = 0 ,

n,m→∞

es decir, los n´ umeros an se van “apretando” a medida que n crece. Por ejemplo, la sucesi´on dada por an = 1/n es de Cauchy, y tambi´en lo es an = (−1)n 1/n. Por

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otra parte, an = (−1)n no lo es. La propiedad que define una sucesi´on de Cauchy es importante por lo siguiente: si el l´ımite l´ım an

n→∞

existe en Q, entonces (an ) es una sucesi´on de Cauchy. La construcci´on de R se basa en la observaci´on que el rec´ıproco de esta propiedad no es cierto en Q: una sucesi´on puede ser de Cauchy y no tener l´ımite en Q. Un ejemplo famoso es la sucesi´on

n 1 an = 1 + . n Esta sucesi´on de n´ umeros racionales es de Cauchy, pero no tiene l´ımite en Q. En efecto, si estubi´eramos trabajando en R en vez de Q ver´ıamos que l´ım an = e, y es n→∞

bien sabido que e no es racional.

El an´alisis que acabo de resumir motiv´o a matem´aticos del Siglo XIX a definir los n´ umeros reales mediante sucesiones de Cauchy. Esto es, cada sucesi´on de Cauchy n de racionales que “debiera converger”, como la sucesi´on an = 1 + n1 , define ella misma el n´ umero (no racional) al que converge. Claro est´a, esta definici´on a´ un no est´a correcta. Por ejemplo, podemos ver f´acilmente que la sucesi´on n

5 1 + bn = 1 + n n tambi´en converge a e. ¿Cu´al de las dos sucesiones elegimos para definir e? La soluci´on, como antes, es usar una relaci´on de equivalencia: Sea CQ el conjunto de todas las sucesiones de Cauchy de Q. Definimos una relaci´on de equivalencia R en CQ como (an )n∈N R (bn )n∈N si y s´olo si l´ım |an − bn | = 0 . n n Por ejemplo, las sucesiones an = 1 + n1 y bn = 1 + n1 + n→∞

5 n

est´an relacionadas.

Los n´ umeros reales se definen como el conjunto de todas las clases de equivalencia

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de R, R = {(an )/R : (an ) ∈ CQ } .

Nuevamente puedo comentar que en cursos de Fundamentos de la Matem´atica se prueba que R es efectivamente una relaci´on de equivalencia y que esta construcci´on permite definir las operaciones aritm´eticas y el orden usual de R. Se demuestra tambi´en que Q est´a incrustado en R (es decir, como en el caso de Z y Q, hay una copia de Q en R) como un subconjunto denso, que R es un cuerpo ordenado que satisface el axioma del supremo, y que es completo, esto es, toda sucesi´on (an ) de n´ umeros reales que sea una sucesi´on de Cauchy (esto es l´ımn,m→∞ |an − am | = 0) no s´olo se va “apretando” a medida que n crece, sino que efectivamente tiene l´ımite en R. Muy bien, les pido ahora que realicemos un ejercicio de abstracci´on partiendo de los ejemplos anteriores. Hace un rato les mostr´e c´omo definir una sucesi´on de Cauchy en Q, y acabo de mencionar que lo mismo se puede hacer en R. En efecto, lo u ´nico que usamos en la definici´on de una sucesi´on de Cauchy fue el valor absoluto en Q y R. Lo podemos reemplazar por una noci´on apropiada de distancia en un conjunto m´as o menos arbitrario E. No lo har´e en detalle aqu´ı, pero les recuerdo que ´esta es una forma de motivar la estructura de “espacio m´etrico” (un conjunto provisto de una noci´on de distancia) que estoy seguro es algo con lo que se han encontrado en sus estudios de pedagog´ıa.

Consideremos entonces un espacio m´etrico E equipado con una distancia d : E × E → R. Por ejemplo, en el caso de R, la distancia es d(a, b) = |a − b|. Decimos que una sucesi´on (an )n∈N de puntos de E es una sucesi´on de Cauchy si l´ım d(an , am ) = 0 ,

n,m→∞

y decimos que (E, d) es completo si toda sucesi´on de Cauchy en E efectivamente tiene l´ımite en E. Lo que hemos visto anteriormente es que (Q, | |) no es un espacio

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m´etrico completo, pero (R, | |) s´ı lo es. Adem´as, hemos visto que para completar Q (esto es, “hacer” que toda sucesi´on de Cauchy tenga l´ımite) usamos una relaci´on de equivalencia en el conjunto CQ de sucesiones de Cauchy de Q. Bueno, lo mismo se puede hacer en general. La completaci´on de un espacio m´etrico E se define usando clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy en E, exactamente como antes. No me parece posible dar todos los detalles, pero creo que lo importante para esta charla es internalizar la idea que dado un espacio m´etrico (E, d) existe otro espacio m´etrico (E, d) que es completo, que contiene a E, y tal que toda sucesi´on de Cauchy en E tiene l´ımite en E. Esto nos lleva a la u ´ltima parte de esta exposici´on. Deseo mostrar una aplicaci´on espectacular de las ideas que acabo de comentar, pero para esto debo pedirles que me acompa˜ nen en un ejercicio m´as de abstracci´on. Deseo pedirles que consideren como un conjunto M a la totalidad de eventos del universo. Por ejemplo, la primera junta de gobierno sucedi´o en un lugar preciso a un tiempo fijo. Esto marca un evento.

El hundimiento del Titanic tuvo lugar en un punto fijo del Atl´antico en un momento dado. Es otro evento. La llegada del hombre a la luna, o este encuentro de profesores, son tambi´en eventos a los que se les puede asociar una posici´on y un tiempo. Ahora, a todo evento se le puede asignar una posici´on y un tiempo, pero claro, no podemos saber si en la nube de Magallanes viven hombrecitos verdes que asignan tiempos y posiciones de modo distinto al nuestro. Estas asignaciones son por necesidad algo local. El conjunto M de eventos, en que a cada evento le corresponde un n´ umero indicando tiempo y tres n´ umeros indicando posici´on, se llama espacio-tiempo.

Ahora vamos a construir un espacio m´etrico E usando este espacio-tiempo. Por cada evento p ∈ M (que ya tiene asignado cuatro n´ umeros, como acabamos de decir) hacemos pasar observadores equipados con instrumentos de medici´on de velocidades instant´aneas y un reloj. Lo importante es que las formas de medir de distintos observadores que pasen por p, van a ser en principio distintas. Por lo tanto podemos

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formar el conjunto de todas las posibles formas de medir velocidades, y podemos hacer esto para cada evento p. Este conjunto gigante es nuestro espacio E. Ciertamente los dos p´arrafos anteriores pueden re-escribirse de modo muy preciso: es lo que hace la teor´ıa de Relatividad General. La teor´ıa matem´atica que estudia objetos como el espacio-tiempo M se llama Geometr´ıa Diferencial, M es una “variedad Lorentziana” y el espacio E es un ejemplo de un “fibrado principal” construido sobre M , el fibrado de las bases ortonormales sobre M . Bien, lo que deseo hacer notar es que E ¡es un espacio m´etrico! Por lo tanto podemos estudiar sucesiones de Cauchy en E, y completar E tal como completamos Q para construir R. Hagamos esto. Formamos un nuevo espacio m´etrico E que contiene a E y tal que toda sucesi´on de Cauchy en E converge a un l´ımite en E. Se puede probar rigurosamente que, tal como E est´a construido sobre M , E est´a construido sobre un espacio M que est´a compuesto por M y un conjunto extra de puntos que llamaremos puntos l´ımites.

¿Qu´e interpretaci´on tienen estos puntos l´ımites? La respuesta es asombrosa. Estos puntos l´ımites que, repito, han sido construidos usando una relaci´on de equivalencia en un conjunto de sucesiones de Cauchy, tal como construimos R a partir de Q, indican una “frontera” del espacio-tiempo, un lugar singular fuera del espacio de eventos. Esta es una instancia de modelamiento que permite que nosotros, humanos, tengamos una visi´on, una imagen mental, de uno de los objetos m´as fascinantes del universo. ¡Es una modelaci´on matem´atica de un agujero negro!

Sin duda Gioseffo Zarlino, el profesor del padre de Galileo, estar´ıa feliz de ver c´omo, quinientos a˜ nos despu´es de su tiempo, los matem´aticos contin´ uan fabricando s´ımbolos y contin´ uan us´andolos en vez de las cosas simbolizadas.

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Agradecimientos: El autor agradece a Lorena Flores Dur´an sus comentarios y palabras de aliento. Ambos fueron fundamentales para el desarrollo de este trabajo. Este texto ha sido escrito con el apoyo del proyecto DICYT (USACH) C´odigo 041533RG.

Notas 1. La filosof´ıa del platonismo matem´atico que ha sido mencionada al comienzo de este trabajo est´a explicada magistralmente en el art´ıculo ¿Qu´e es el problema del continuo de Cantor? por Kurt G¨odel. Este trabajo aparece en las Obras Completas de K. G¨odel traducidas por J. Moster´ın, Alianza Editorial, 1981.

2. Adem´as de las obras de S. Hawking y R. Penrose citadas en el texto, el lector interesado en Relatividad General puede consultar Flat and Curved Space Times por G.F.R. Ellis y R. Williams (Oxford University Press, 1988; edici´on revisada 2000) o The Emperor’s New Mind por R. Penrose (Oxford University Press, 1989).

3. En el texto se usa la expresi´on “agujero negro” como sin´onimo de lo que los f´ısicos llaman una singularidad del espacio-tiempo. M´as coloquialmente, se denomina agujero negro a una regi´on acotada del espacio-tiempo en cuyo interior existe una singularidad. Las propiedades fisicas y geom´etricas de esta regi´on son realmente sorprendentes. Ellas est´an descritas en, por ejemplo, Black Holes and the Universe, por Igor Novikov (Cambridge University Press, 1990) y en el libro Una breve historia del tiempo de S. Hawking.

4. La idea de modelar agujeros negros (esto es, singularidades del espacio-tiempo) mediante sucesiones de Cauchy en el fibrado de bases ortonormales sobre espacio-tiempo, es de Bernd G. Schmidt (Institut f¨ ur Theoretische Physik Universit¨at Hamburg). El art´ıculo original es: B. G. Schmidt, A new definition of singular points in general relativity, General Relativity and Gravitation 1 (1971), 269–280.

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5. Existen propuestas de modelos para singularidades que son m´as sofisticadas que la de B. Schmidt. La m´as completa y satisfactoria parece ser la noci´on de “frontera causal del espacio-tiempo”. Esta frontera es discutida por J.L. Flores, J. Herrera y M. Sanchez. en el art´ıculo On the final definition of the causal boundary and its relation with the conformal boundary, Advances in Theoretical and Mathematical Physics 15 (2011), 991-1058.

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Marco Corgini Videla Ph.D. in Mathematics, http://mcv-mathphys.blogspot.cl/

3.

´ ´ MECANICA CUANTICA, TEOR´IAS DE VARIABLES OCULTAS (TVO) Y OTRAS YERBAS Marco Corgini Videla

3.1.

Paradoja EPR y desigualdades de Bell. La mec´anica cu´antica

(MC) fue catalogada por los f´ısicos Albert Einstein, Boris Podolsky y Nathan Rosen de “inconsistente”2, por cuanto violar´ıa principios relativistas b´asicos, de acuerdo a la denominada paradoja EPR (Einstein-Podolsky-Rosen).

Seg´ un ´esta, dadas dos part´ıculas cu´anticas id´enticas que se encuentren en un mismo estado denominado “entrelazado” (entaglement-entrelazamiento), cualquier cambio o perturbaci´on a la cual se encuentre sometida una de ellas ser´a comunicado en forma instant´anea a la otra, violando el principio de localidad de la f´ısica relativista que establece que toda informaci´on se transmite 2A.

Einstein, B. Podolski, N. Rosen. Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality be considered Complete. Phys. Rev. Vol. 47, 777-780, 1935

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a una velocidad menor o a lo sumo igual que la velocidad de la luz. En orden a evitar la introducci´on de la velocidad superlum´ınica (“superluminal” en ingl´es) o efecto instant´aneo a distancia, no local, Einstein, Podolsky y Rosen postularon la existencia de par´ametros deterministas microsc´opicos no considerados en la teor´ıa como causa de la correlaci´on entre las part´ıculas. En estricto rigor, en una “teor´ıa de variables ocultas” las mediciones son fundamentalmente deterministas, pero aparecen bajo una forma probabilista debido a que algunos de los grados de libertad del sistema no son exactamente conocidos. En una teor´ıa local, cambios en una part´ıcula no debiesen afectar las mediciones efectuadas sobre la otra.

El denominado “teorema de Bell”3, demostrado por John Bell en 1964, demostrar´ıa matem´aticamente la imposibilidad de que una teor´ıa determinista y local (l´ease la relatividad) pueda reproducir todos los resultados de la mec´anica cu´antica, resultando en ese sentido, “incompleta”. Se trata de una desigualdad que permite distinguir correlaciones cu´anticas de cl´asicas, en otras palabras las correlaciones entre las part´ıculas, determinadas por la mec´anica cu´antica, son incompatibles con una teor´ıa local de variables ocultas.

En 1982, el denominado “no-cloning theorem”, demostrado por William Wootters, Wojciech Zurek 4 y Dennis Dieks 5 determin´o que para que la informaci´on emitida desde un lugar llegue a otro como copia perfecta de la original es necesario que ´esta sea transmitida en forma cl´asica, a pesar de que en el caso cu´antico una copia parcial podr´ıa ser posible.

3J.

S. Bell. On the Einstein Podolski Rosen paradox. Physics 1, 195 (1964) K. Wootters, W.H. Zurek. Nature 299 (1982) 802 5D. Dieks. Phys. Lett. 92A (1982) 271 4W.

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En otras palabras, ninguna informaci´on u ´til, pues ser´a siempre aleatoria, puede ser trasmitida haciendo uso del entrelazamiento. Para que la informaci´on fuese completa, ´esta deber´ıa ser esencialmente cl´asica (no cu´antica), salvando as´ı el principio fundamental de la relatividad especial.

3.2.

Teor´ıa Bohmiana. La teor´ıa Bohmiana, de car´acter determinista y

de la cual ya mostramos algunos rasgos en n´ umeros anteriores de RECC6, 7, revive la teor´ıa de onda piloto de De-Broglie, dejando de lado, tal como acota el mismo Bell, un mundo constituido por medidas y aparatos, sustituy´endolo por el de uno descrito por una onda gu´ıa definida en un espacio multidimensional.

Recordemos que tanto el modelo de De-Broglie como el posterior de Bohm, consideran que las part´ıculas tienen sus propiedades bien definidas (velocidad, posici´on, etc.), siendo, adem´as, guiadas por una onda piloto capaz de dar cuenta de los fenomenos ondulatorios detectados, como en el caso del experimento de la doble rendija, en donde su transici´on produce un bien conocido efecto de interferencia.

La hoy denominada intrepretaci´on de De-Broglie-Bohm postula, a diferencia de la de Copenhague, que el concepto de trayectoria de part´ıculas posee la misma validez en mec´anica cu´antica que en su contraparte cl´asica.

3.3.

Un error con consecuencias. Una errada demostraci´on (1932) de-

bida a John von Neumann8, sorprendentemente aceptada por la comunidad cient´ıfica sin mayores objeciones, y que apuntaba al hecho que la mec´anica cu´antica resultaba l´ogicamente incompatible con las teor´ıas de variables ocultas, coronada con la notable declaraci´on del matem´atico: 6M.

Corgini. RECC No.1, 15-20, 2013 Corgini. RECC No 13, 29-31, 2015 8 J. von Neumann Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik, Berlin, Springer, 1932; Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, translated by R.T. Beyer, Princeton, Princeton University Press, 1955 7M.

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19

“We may still say that there is at present no occasion and no reason to speak of causality in nature-because no experiment indicates its presence, since the macroscopic are unsuitable in principle, and the only know theory which is compatible with our experiences relative to elementary processes, quantum mechanics, contradicts it.

To be sure, we are dealing with an age old way of thinking of all mankind, but not with a logical necessity (this follows from the fact that it was at all possible to build a statistical theory), and anyone who enters upon the subject without preconceived notions has no reason to adhere to it. Under such circumstances, it is sensible to sacrifice a reasonable physical theory for its sake,” literalmente borr´o del escenario, por un lapso bastante extenso, toda teor´ıa de variables ocultas. Esta rotunda declaraci´on del autor intenta ser atenuada con el p´arrafo: “The only formal theory existing at the present time which orders and summarised our experiences in this area in a half-way satisfactory manner, i.e., quantum mechanics, is in compelling logical contradiction with causality. Of course it would be an exaggeration to maintain that causality has thereby been done away with: quantum mechanics has, in its present form, several lacunae, and it may even be that it is false, although this latter possibility is highly unlikely, in the face of its startling capacity in the qualitative explanation of general problems,” sin embargo, adem´as de atribuir a la interpretaci´on ortodoxa de la teor´ıa atributos epist´emicos que no posee, este texto preludia el uso de un argumento al

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cual se ha apelado hasta nuestros d´ıas, recurrentemente, para eludir responder a preguntas esenciales: “la efectividad predictiva de la teor´ıa”.

Ser´a el mismo John Bell, en 1966, el que se˜ nale los errores en la demostraci´on de von Neumann9.

Recomiendo al lector la lectura del art´ıculo de Bell “Speakable and unspeakable in quantum mechanics”10. En ´el son discutidos en forma elegante y precisa los argumentos err´oneos que fundan la prueba de von Neumann, adem´as de analizar resultados de J.M. Jauch y C. Piron11 por una lado y A.M. Gleason12 por otro.

3.4.

Un giro inesperado. A la luz de las desigualdades de Bell, la teor´ıa

Bohmiana transitar´a de una teor´ıa de variables ocultas locales a una no-local, cuesti´on que Einstein rechaza.

Debemos aclarar, en este sentido, que la desigualdad s´olo establece l´ımites para las teor´ıas deterministas locales, no as´ı para las no locales, como es el caso de la onda gu´ıa de Bohm, en su renovada versi´on. As´ı, valores de posici´on y momento, por ejemplo, existir´ıan antes de la medida, cuesti´on que diluye el concepto de superposici´on de estados propuesto por los denominados miembros de la Escuela de Copenhague, descartando de plano la ambiguedad existencial del simp´atico pero desafortunado “gato de Schr¨odinger”sobre el cual agregar´e un peque˜ no comentario m´as adelante.

9J.S.

Bell. On the problem of hidden variables in quantum mechanics. Rev. Mod. Phys.

38:447–452, 1966 10John Bell. Speakable and unspeakable in quantum mechanics. Collected papers on quantum philosophy. Cambridge University Press, 1987 11 J. M. Jauch and C. Piron, Helv. Phys. Acta 36, 827 (1963).

12 A. M. Gleason, J. Math.& Mech. 6, 885 (1957)

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La teor´ıa Bohmiana recupera todos los resultados estad´ısticos de la mec´anica cu´antica no relativista, incluido el principio de incertidumbre. En esta concepci´on, las probabilidades reflejan nuestra ignorancia respecto de rasgos fundamentales del microsc´opico mundo de las part´ıculas elementales y los ´atomos, como la posici´on y el momento. En esta teor´ıa no hay espacio a la aleatoriedad intr´ınseca de los fen´omenos. Sin embargo, la revisi´on de ´esta, por parte de Bohm, como resultado de la formulaci´on del teorema de Bell (tr´ansito de teor´ıa de variables ocultas locales a una teor´ıa de variables no locales) supone la emergencia de varios problemas al tratar con mec´anica cu´antica relativista, cuesti´on que no abordaremos en este art´ıculo.

Respecto de las cr´ıticas poco cient´ıficas que recibi´o y sobre su desestimaci´on t´acita, Bell se˜ nala: “[. . . ] But why then had Born not told me of this “pilot wave”. If only to point out what was wrong with it? Why did Von Neumann not consider it? More extraordinarily, why did people go on producing “impossibility” proofs, after 1952, and as recently as 1978? When even Pauli, Rosenfeld, and Heisenberg, could produce no more devastating criticism of Bohm´s version than to brand it as “metaphysical” and “ideological”?

Why is the pilot wave picture ignored in text books? Should it not be taught, not as only way, but as an antidote against the prevailing complacency? To show that vagueness, subjectivity, and indeterminism, are not forced on us by experimental facts, but by deliberate theoretical choice?[. . . ]” 3.5.

13

¿Ausencia de tensi´ on ideol´ ogica? Si se acusa de metaf´ısica a la

propuesta de Bohm no lo es menos la ortodoxa interpretaci´on de Heisemberg, 13J.S.

Bell. On the Impossible Pilot Wave. Foundations of Physics. Vol. 12, No 10, 1982

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Bohr y Pauli. As´ı, la escuela de Copenhague, parte del grupo de cient´ıficos que generaron la teor´ıa cu´antica, tiene una deuda ideol´ogica con la filosof´ıa cl´asica alemana, en especial con Kant, con el positivismo, el neopositivismo y el empirismo extremo.

De esta forma, las posiciones de Bohm, Heisenberg, Pauli, Bohr, Einstein, Schr¨odinger, se quiera o no, son las de concepciones tributarias a filosof´ıas subyacentes o a veces previas a sus ´epocas. Esto no constituye una suerte de pecado original que el cient´ıfico deba evitar, sino un hecho de la causa que es necesario considerar al hacer el an´alisis de la historia de la ciencia y sus constructos.

Heisenberg declarar´a que cualquier imagen de primera clase que produzcamos del a´tomo es defectuosa, siendo todas sus cualidades derivadas: “Para el mundo de los a´tomos es. . . imposible una comprensi´on “de primera clase””.

Sugiere que es en el escenario de la f´ısica cl´asica desde donde surge la falsa idea de que es posible una comprensi´on objetiva del mundo14.

Quiz´as la posici´on m´as sorprendente, expresada en su obra “Writings on Physics and Philosophy”15, resulta ser la de Wolfgang Pauli (1900-1958), quien postulara el muy conocido “principio de exclusi´on” que lleva su nombre: “C. G. Jung ha comenzado, partiendo desde la psicolog´ıa del inconsciente, a descubrir el contenido psicol´ogico de los viejos textos alqu´ımicos y a revelar sus secretos a nuestro propio tiempo. Espero que alg´ un valioso material futuro sea tra´ıdo a la luz en este proceso, particularmente en referencia al rol de los pares de opuestos en la obra alqu´ımica. Tambi´en para la psicolog´ıa

14W.

Heisenberg. Physics and Philosophy. The Revolution in Modern Science. Penguin Books,

2000 15W.

Wolfgang Pauli. Writings on Physics and Philosophy, New York: Springer, 1994.

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del inconsciente, la alquimia constituye un contrapeso a la sobre espiritualizaci´on, teniendo la significaci´on de un encuentro de la psicolog´ıa con la materia y con el resto de la ciencia [. . . ] Seremos capaces de darnos cuenta, en un plano superior, el viejo sue˜ no alqu´ımico de la unidad psicofisiol´ogica, por la creaci´on de una base conceptual unificada para la comprensi´on cient´ıfica de lo f´ısico como tambi´en de lo ps´ıquico [. . . ] Con la filosof´ıa de Plat´on en mente, me gustar´ıa sugerir que el proceso de comprensi´on de la naturaleza, como tambi´en la felicidad que el hombre siente en comprender, esto es, la consciente realizaci´on de nuevo conocimiento, debiese ser interpretada como una correspondencia, una emergencia de congruencia de im´agenes internas pre existentes en la psiquis humana con objetos externos y sus comportamientos. El puente entre percepciones sensoriales por un lado y conceptos por otro, los cuales no pueden ser construidos por pura l´ogica, descansa, de acuerdo a esa concepci´on, sobre un orden c´osmico independiente de nuestra elecci´on –un orden distinto del mundo de los fen´omenos, abrazando tanto la psiquis como la physis, sujeto como tambi´en objeto”.

En este contexto, que lo propuesto por David Bohm no agregue nada nuevo a la teor´ıa cu´antica es, en mi opini´on, falso, y aquellas cuestiones que puedan ser consideradas como no refutables (nadie sabe si lo ser´an en el futuro) y por tanto metaf´ısicas, son compartidas por ambas interpretaciones, la de Bohm y la de la escuela de Copenhague, en igual medida.

3.6.

Del ´ algebra de matrices a la teor´ıa de operadores auto adjun-

tos. El formalismo matem´atico que subyace a la mec´anica cu´antica, elaborado

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24

por John von Neumann sobre la base de los trabajos de Born, Heisenberg, Jordan y Dirac, es el de la teor´ıa de operadores autoadjuntos definidos, en general, sobre un subespacio denso de un espacio de Hilbert (espacio de estados). A partir de un conjunto m´ınimo de axiomas, el mismo principio de incertidumbre emerge como su consecuencia inmediata. Esto hace a este constructo no solamente atractivo desde el punto de vista de la l´ogica, sino tambi´en desde una mirada est´etica. Esto puede inducir a considerarlo adecuado en la perspectiva del principio de parsimonia, sin embargo oculta el que aseveraciones realizadas por algunos de sus creadores terminan teniendo car´acter universal y afectan, por tanto, aspectos epistemol´ogicos y ontol´ogicos de la investigaci´on cient´ıfica.

3.7.

La ecuaci´ on de Schr¨ odinger. Si Heisenberg funda la teor´ıa cu´antica

sobre ´algebras de matrices, preocupado principalmente por resultados experimentales, Schr¨odinger, determina las mismas probabilidades de transici´on entre diferentes niveles discretos de energ´ıa, obtenidas por el primero, en base a la consideraci´on de una ecuaci´on determinista de ondas, cuya soluci´on permite obtener la evoluci´on en el tiempo del sistema.

La relaci´on de Schr¨odinger con la escuela de Copenhague no ser´a buena. ´ Este escribe: “I am indeed unaware of a genetic connection to Heisenberg[’s theory]. I knew of his theory, of course, but I felt discouraged, not to say repelled, by the methods of transcendental algebra, which appeared difficult to me, and by the lack of visualizability”16 16J¨ urgen

Renn. Schr¨ odinger and the Genesis of Wave Mechanics. Preprint 437, 2103. https://www.mpiwg-berlin.mpg.de/Preprints/P437.PDF, traducido de Schr¨odinger, E. (1926). Zur Einsteinschen Gastheorie. Physikalische Zeitschrift, 27, 95–101

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Desde la interpretaci´on ortodoxa, original de Heisenberg y Bohr, se cuestionar´a la real capacidad de la ecuaci´on de Schr¨odinger para describir la evoluci´on de un sistema mec´anico cu´antico, compuesto ahora, por el sistema bajo observaci´on y el “aparato mec´anico” mediante el cual es observado, entendido como un sistema acoplado al primero. Aqu´ı, la medici´on se ver´ıa afectada por el denominado “colapso” de la funci´on de onda, consistente en su descomposici´on –consecuencia de su interacci´on con el dispositivo– en m´ ultiples componentes (funciones propias). Esto significar´ıa la medici´on final de s´olo una de muchas historias posibles de la evoluci´on del sistema y no la de la informaci´on contenida en la funci´on de onda original.

A pesar de las diferencias generadas a partir de las formulaciones de la mec´anica cu´antica de Heisenberg-Bohr y la de Schr¨odinger, este u ´ltimo demostrar´a que ambos constructos matem´aticos son equivalentes.

Por otra parte, el ´exito de la interpretaci´on probabil´ıstica dada a la funci´on de onda por Max Born condujo, paulatinamente, a desestimar otras hip´otesis sobre su naturaleza.

Max Born distingue entre dos tipos diferentes de conjeturas en f´ısica: primero, presupuestos a los que llama ‘asunciones modelo’, es decir, aqu´ellas que pueden ser formuladas en t´erminos de objetos f´ısicos, aunque aquellos no sean accesibles a observaciones directas, por ejemplo, en f´ısica at´omica y cosmolog´ıa; y segundo, asunciones que tratan con conceptos, tales como: espacio y tiempo, continuidad, azar, causa y efecto, etc. A ´estas las denominar´a “asunciones metaf´ısicas’17 3.8.

Probabilidades, Procesos Estoc´ asticos y TVO. Es necesario ob-

servar en este punto que las conclusiones deducidas de las desigualdades de 17

Marco Corgini Videla. Ciencia y Realismo. M´ as all´ a del Insoportable Mito del Observador (Science and Realism. Beyond the unbearable myth of observer). Editorial Universidad de La Serena, 2015.I SBN 978-956-7393-96-1

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Bell se fundan en el uso de la teor´ıa de probabilidades cl´asicas. Sin embargo su generalizaci´on parece mostrar que una teor´ıa de variables ocultas puede ser absolutamente compatible con la mec´anica cu´antica. En este nuevo escenario, nuevas teor´ıas de variables ocultas locales en las cuales las desigualdades de Bell son violadas, podr´ıan permitir reproducir resultados de la MC. En este sentido, Stanley Gudder puntualiza18: “Einstein, Schr¨odinger, De Broglie y otros cre´ıan que la mec´anica cu´antica entregaba una descripci´on incompleta de la realidad.

Cre´ıan en la existencia de variables ocultas que, de ser conocidas, dar´ıan los valores exactos para observables y medidas resultantes. Las predicciones de la mec´anica cu´antica son probabilidades que son promedios sobre las variables ocultas. En un sentido, esos investigadores estaban en lo correcto. La raz´on por la cual fueron incapaces de convencer al resto de la comunidad de f´ısicos es que ellos no dieron la teor´ıa de probabilidades adecuada”(La traducci´on es m´ıa).

En esta misma direcci´on, el matem´atico italiano Luigi Accardi19 ha se˜ nalado que la aleatoriedad de la mec´anica cu´antica no es la de la mec´anica cl´asicacompatible con la de las urnas conteniendo bolitas de diferentes colores- sino la de los “camaleones”. En el caso cl´asico, el color de los objetos se encuentra predeterminado. As´ı, el retirar la bolita de la urna no influir´a en ´el. Muy por el contrario, el color de un camale´on extra´ıdo depender´a de su medio ambiente. M´as a´ un, la posibilidad de que el camale´on posea un gen mutante y sea imposible determinar esta caracter´ıstica, en t´erminos del medio, ser´ıa cierta.

En este sentido las probabilidades cl´asicas ser´ıan no contextuales, mientras 18S.P.

Gudder, On hidden variables theories. J. Math.Phys. 11, 431-436, 1970 L., Imafuku, K. and Regoli, M. (2002). On the EPR-chameleon experiment. Infin.

Dimens. Anal. Quantum Probab. Relat. Top. 5,1-20.

19Accardi,

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que aquellas que se sustentan en este camale´onico ejemplo si debieran serlo.

As´ı, Accardi y Regoli20 aseguran que el origen real de la desigualdad de Bell es la asunci´on de la aplicabilidad de la probabilidad cl´asica (Kolmogorov) a la mec´anica cu´antica.

3.9.

Una digresi´ on sobre el gato de Schr¨ odinger y la incertidumbre.

Perm´ıtaseme un peque˜ no comentario respecto del problema del gato encerrado en una caja, cuesti´on sard´onicamente propuesta por Erwin Schr¨odinger.

El estado superpuesto del gato como vivo-muerto dentro de esta suerte de urna, sin a´ un haber sido observado, resulta poco factible, incluso para la teor´ıa cu´antica-obviando que se trata de un objeto macrosc´opico- por cuanto la caja, que seguramente ha sido construida de un material impenetrable con objeto de evitar su huida -los gatos suelen ser inquietos e insumisos-, debiera restringir su acceso s´olo a un conjunto numerable de estados (funciones propias, tambi´en denominadas estados estacionarios del sistema), con valores de energ´ıa bien determinados (espectro discreto del operador de energ´ıa), los cuales s´olo ´ tendr´a posibilidad de abandonar por efecto de una intervenci´on externa. Esta es la situaci´on de una gran cantidad de entes f´ısicos, desde part´ıculas elementales a objetos microsc´opicos con estructura interna como; protones, neutrones, etc. De manera que la noci´on de incertidumbre, en la interpretaci´on de Copenhague, parece ser mucho menos dram´atica, en la pr´actica, de lo que esta posici´on propugna.

3.10.

Bohm revisitado. Existe un interesante fen´omeno macrosc´opico cu-

yas caracter´ısticas traen a nuestra mente la imagen de la part´ıcula guiada por 20Accardi,

L. and Regoli, M. (2000). Locality and Bell’s inequality. Preprint 399, Volterra Institute, University of Rome II. http://arXiv.org/abs/quant-ph/0007005.

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una onda piloto (droplet)21,22,23 de la teor´ıa Bohmiana. Se trata de una gota que rebota sobre la superficie de un fluido que vibra. En su rebote se genera, sobre ´este, una onda que la acompa˜ na y, bajo condiciones adecuadas, le permite realizar un paseo. Algunos cient´ıficos aseguran que estos sistemas (la gota y su onda) exhiben un comportamiento an´alogo al de las part´ıculas en mec´anica cu´antica. Por ejemplo, verificar´ıan caracter´ısticas tales como: efecto t´ unel, difracci´on, o´rbitas cu´anticas, atracci´on y repelencia mutua. Tanto la interacci´on de la gota con su medio circundante como su paseo, son dirigidos por ella y, sorprendentemente, el sistema muestra comportamientos similares a los verificados en los experimentos de ranura simple o doble ranura, como la interferencia ondulatoria.

Si bien se trata de una cuesti´on materializada a nivel macrosc´opico y, por lo tanto, sujeto a las reglas de la mec´anica cl´asica, es imposible dejar de reconocer que incita a considerar seriamente la propuesta de Bohm, por cuanto ´esta, al menos, desarrolla un relato explicativo sobre la naturaleza de fen´omenos cu´anticos menos difuso que la dada por la interpretaci´on de la escuela de Copenhague y, en alg´ un sentido, tiene un correlato cl´asico que la vuelve plausible.

3.11.

Violaci´ on de desigualdad de Bell en modelos cl´ asicos con

localidad. En un reciente art´ıculo Lous Vervoot24, propone un modelo para un experimento de Bell que incluye variables que describen un campo de fondo o medio circundante. Este campo imita la onda superficial que acompa˜ na a 21

Anand U. Oza, Rodolfo R. Rosales and John W. M. Bush. A trajectory equation for walking droplets:hydrodynamic pilot-wave theory. J. Fluid Mech. (2013), vol. 737, pp. 552-570 22John W. M. Bush, Anand U. Oza, and Jan Mol´ acek The wave-induced added mass of walking droplets J. Fluid Mech. (2014), vol. 755.R7, doi:10.1017/jfm.2014.459 23John W.M. Bush,Pilot-Wave Hydrodynamics Annu. Rev. Fluid Mech. 2015. 47:269–92 24Louis Vervoort No-Go Theorems Face Background-based Theories for Quantum Mechanics.

Foundations of Physics, Volume 46, Issue 4, pp 458-472, 2016

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los “droplets” en los experimentos de mec´anica de fluidos mencionados. El principal resultado de este trabajo es que este modelo, en forma general, viola la desigualdad de Bell, reproduciendo la estad´ıstica cu´antica, a´ un si ´esta se basa solamente sobre una din´amica local. Este comportamiento es atribuible al hecho que la independencia de medidas no se verifica en este caso. Puestos en el contexto de la teor´ıa cu´antica, los experimentos que Vervoot propone en su art´ıculo podr´ıan permitir demostrar que ciertos tipos de sistemas cl´asicos, para los cuales se verifica localidad, no satisfacen la desigualdad de Bell. Esto indicaria que esta situaci´on no es privativa de la mec´anica cu´antica, lo que pone una alerta sobre las conclusiones derivadas del teorema de Bell.

Respecto de la dualidad onda-part´ıcula, cuesti´on factual, existen otras interpretaciones que podr´ıan permitir romper esa oscuridad que algunos manifiestan existe respecto de conceptos como el de part´ıcula. As´ı, por ejemplo, Masao Nagasawa25 indica que una versi´on probabilista m´as general permitir´ıa resolver, incluso, la ambiguedad que subyace a la noci´on de part´ıcula en la versi´on tradicional de la mec´anica cu´antica. Nagasawa propone definir este ente f´ısico como un proceso estoc´astico (de Markov) Xt movi´endose en un espacio de fase dado. De esta forma, la teor´ıa cu´antica relativista como la no relativista se corresponder´ıa con la de procesos estoc´asticos de difusi´on (Markov), aunque cabe se˜ nalar que, en este caso, la mec´anica cu´antica ser´ıa, finalmente, una teor´ıa estad´ıstica. En cualquier caso, si nos conformamos con una explicaci´on tan ambigua como la de la dualidad onda-part´ıcula, deberemos conformarnos con suponer que estas u ´ltimas, en determinadas condiciones se manifestar´an como “materia” y, en otras, como puro “fen´omeno”, resignando as´ı toda posibilidad de entregar a la teor´ıa una ontolog´ıa firmemente fundada.

25M.

Nagasawa. Stochastic Processes in Quantum Physics. Monographs in Mathematics, Vol. 94, Birha¨ user, 2000

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30

En ese sentido, la interpretaci´on Bohmiana es al menos un intento por proponer mecanismos que den una explicaci´on plausible a una cuesti´on que ha quedado por lo menos “suspendida” o “postergada”, si se quiere, demasiado tiempo.

3.12.

Un par´ entesis matem´ atico. El formalismo matem´atico de la teor´ıa

Bohmiana es simple. Supone la sustituci´on de la funci´on de onda Ψ(r, t) en la ecuaci´on de Schr¨odinger por medio de la transformaci´on26 (Ψ, Ψ∗ ) → (ρ, S) dada por

Ψ(r, t) =

p ρ(r, t) exp(iS(r, t)/~),

donde ρ ≡ |Ψ|2 y S describe la variaci´on local de la fase cu´antica. En la interpretaci´on de Bohm, ρ representa la densidad de probabilidad de que el sistema se encuentre en una configuraci´on determinada.

De esta forma, haciendo uso de esta transformaci´on, la ecuaci´on de Schr¨odinger ∂Ψ ~2 2 =− ∇ Ψ + V Ψ, ∂t 2m donde V representa el potencial y m masa, se transforma en el sistema de i~

ecuaciones parciales siguiente:

∇S ∂ρ +∇· ρ = 0, ∂t m ∂S (∇S)2 ~2 ∇2 ρ1/2 + +V − = 0. ∂t 2m 2m ρ1/2 26Angel ´

S. Sanz, Particles, waves and trajectories: 210 years after Young’s experiment. Journal of Physics: Conference Series 504 (2014) 012028

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La primera ecuaci´on determina la din´amica del conjunto, previsto que la densidad de particulas del sistema se mantenga constante, mientras la segunda da cuenta de la evoluci´on temporal de S. As´ı, la ecuaci´on de Schr¨odinger puede ser interpretada como una ecuci´on de transporte.

Finalmente, identificando S con la acci´on cl´asica, se introduce el momento de Bohm y la ecuaci´on gu´ıa del moviminento como: p = ∇S, r˙ =

∇S , m

respectivamente.

Dado que esta aproximaci´on no es adecuada para describir evoluciones individuales, a veces se suele recurrir a una estrategia desarrollada por Erwin Madelung27 (1927), quien reformul´o la ecuaci´on de Schr¨odinger en t´erminos de la din´amica de fluidos.

Aunque ´este no resuelve el problema de la posici´on de las part´ıculas individuales a´ un es posible determinar la forma en que la probabilidad del conjunto fluye a trav´es del espacio de configuraci´on correspondiente. En este caso, la ecuaci´on de movimiento gu´ıa resulta innecesaria, por ser una consecuencia directa del hecho que la primera ecuaci´on es una de transporte, lo que permite establecer una analog´ıa directa con la din´amica de fluidos28.

3.13.

Breve reflexi´ on sobre indeterminismo y causalidad f´ısica. Ca-

be destacar que el t´ermino “indeterminismo” f´ısico no se refiere a la ausencia de “causa”, t´ermino este u ´ltimo, por lo dem´as ambiguo, cuesti´on que Karl Popper se˜ nala, sino que a la imposibilidad de recurrir al determinismo mecanicista decimon´onico para acceder a la contingencia de nuestro mundo. Ya hice referencia en otro art´ıculo29 a la forma en que Jackes Monod describe el azar en su libro “Azar y Necesidad”: 27E.

Madelung. Quantentheorie in hydrodynamischer Form, Z. Phys. A 40 (1927) 322-326.

S. Sanz. Ib´ıd.

29 Marco Corgini Videla. Ib´ ıd 28Angel, ´

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“La primera secuencia completa de una prote´ına globular fue descrita en 1952 por Sanger. Esto fue a la vez una revelaci´on y una decepci´on. En esta secuencia en la que se sab´ıa definir la estructura, o sea las propiedades electivas de una prote´ına funcional (la insulina), ninguna regularidad, ninguna singularidad, ninguna restricci´on se revelaba. Aunque, sin embargo, se puede esperar que, a medida que se acumulen documentos de este tipo, algunas leyes generales de ensamblaje, as´ı como ciertas correlaciones funcionales, se har´ıan m´as claras. Se conocen hoy en d´ıa centenares de secuencias, correspondientes a distintas prote´ınas, extra´ıdas de los organismos m´as diversos. De estas secuencias, y de su comparaci´on sistem´atica ayudada por los modernos medios de an´alisis y de c´alculo, se puede hoy deducir la ley general: la del azar. Para ser precisos: estas estructuras est´an al azar en el sentido que, conociendo exactamente el orden de 199 residuos en una prote´ına que comprende 200, es imposible formular ninguna regla, te´orica o emp´ırica, que permita prever la naturaleza del u ´nico residuo no identificado a´ un en el an´alisis”. Pero esto no significa que no haya habido regularidades y causas f´ısicas que coadyuvaran a la materializaci´on de este resultado (el que el residuo n´ umero 200 de una prote´ına sea de un cierto tipo determinado).

Es probable que haya acontecimientos imposibles de correlacionar directamente con otros, y por lo tanto no nos permitan detectar regularidad alguna que permita explicar alg´ un hecho contingente, a pesar de que la influencia exista, sin embargo, eliminar la causalidad, a priori, existiendo argumentos

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plausibles que respaden su presencia, aunque sean de car´acter te´orico, cons´ tituye m´as bien una acci´on automutilante. Este parece haber sido el destino de la interpretaci´on Bohmiana de la mec´anica cu´antica, respecto de su s´ımil ortoxo.

3.14.

Loopholes. El 2015 fue publicado un art´ıculo relativo a un experi-

mento sobre entrelazamiento cu´antico, en la revista Nature, cuyo abstract es el siguiente: “For more than 80 years, the counterintuitive predictions of quantum theory have stimulated debate about the nature of reality. In his seminal work, John Bell proved that no theory of nature that obeys locality and realism can reproduce all the predictions of quantum theory. Bell showed that in any local realist theory the correlations between distant measurements satisfy an inequality and, moreover, that this inequality can be violated according to quantum theory. This provided a recipe for experimental tests of the fundamental principles underlying the laws of nature. In the past decades, numerous ingenious Bell inequality tests have been reported. However, because of experimental limitations, all experiments to date required additional assumptions to obtain a contradiction with local realism, resulting in loopholes. Here we report on a Bell experiment that is free of any such additional assumption and thus directly tests the principles underlying Bell’s inequality. We employ an event-ready scheme that enables the generation of high-fidelity entanglement between distant electron spins. Efficient spin readout avoids the fair sampling assumption (detection loophole), while the use of fast

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random basis selection and readout combined with a spatial separation of 1.3 km ensure the required locality conditions. We perform 245 trials testing the CHSH-Bell inequality 18S ≤ 2 and find S = 2,420,20. A null hypothesis test yields a probability of p = 0,039 that a local-realist model for space-like separated sites produces data with a violation at least as large as observed, even when allowing for memory15, 19 in the devices.

This result rules out large classes of local realist theories, and paves the way for implementing device-independent quantumsecure communication and randomness certification”30.

En breves palabras, sus autores afirman que, finalmente, a trav´es del experimento comunicado, se cierra un ciclo que parte desde la formulaci´on de la mec´anica cu´antica, atravesando por el establecimiento de las desigualdades de Bell (hoy son varias, adhiri´endose nuevos apellidos) y m´ ultiples experiencias cient´ıficas elaboradas con el prop´osito de probar, sin lugar a dudas, el entrelazamiento cu´antico, como fen´omeno privativo de la teor´ıa, intentando descartar toda posibilidad de existencia de transmisi´on de informaci´on de car´acter cl´asico, con una seguridad estad´ıstica aceptable y dentro de los est´andares exigidos por la comunidad cient´ıfica.

Debo se˜ nalar que la pasadas d´ecadas han estado, efectivamente, plagadas de experimentos de diversa naturaleza destinados al mismo prop´osito, rodeados de un mismo fervor ansioso que finalmente decae cuando al siguiente mes, despu´es de cada declaraci´on de triunfo, alguien hace presente que existe una “laguna” o “loophole” en el experimento que todav´ıa abre la posibilidad de transmisi´on cl´asica de informaci´on.

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Hensen et al.Experimental loophole-free violation of a Bell inequality using entangled electron spins separated by 1.3 km. Nature 526, 682–686 (29 October 2015) doi:10.1038/nature15759

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Sin embargo, si otra vez ´este no fuera el caso, creo que valdr´ıa la pena comenzar a preguntarse seriamente si se trata s´olo de un asunto de sigmas m´as o sigmas menos, a la vista de objeciones que parecen atendibles (por ejemplo un err´oneo uso de probabilidades cl´asicas en las desigualdades de Bell). En cualquier caso, este hecho no afectar´ıa en absoluto, en mi opini´on, el desarrollo de notables a´reas del conocimiento vinculados al estudio de este fen´omeno, pero permitir´ıa aclarar cuestiones fundamentales de la teor´ıa, que siguen y seguir´an permaneciendo oscuras si no se las aborda.

3.15.

Comentarios Finales. Richard Feynman coment´o en su libro “QED

The strange theory of light and matter”, lo siguiente: “What I am going to tell you about is what we teach our physics students in the third or fourth year of graduate school—and you think I’m going to explain it to you so you can understand it?

No, you are not going to be able to understand it. Why, then, am I going to bother you with all this? Why are you going to sit here all this time, when you won’t be able to understand what I say? It is my task to convince you not to turn away because you don’t understand. You see, my physics students don’t understand it either. That is because I don’t understand it. Nobody does.”31 De alguna manera, la ciencia avanza de esta forma. Sin embargo, el ahogo de la pregunta “¿por qu´e tal fen´omeno se manifiesta o materializa de tal o cual manera?”por medio de la sentencia “¡porque la naturaleza es as´ı !”, que m´as de alguna vez se ha usado para dar cuenta de aquello que, al menos condicionalmente, no podemos explicar a trav´es de mecanismos, azarosos o nocuesti´on que hoy parece estar transfom´andose en un recurso ret´orico habitual31

R. P. Feynman. QED The strange theory of light and matter. Princeton Science Library (1988)

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no implica que la ciencia deba resignar su responsabilidad de intentar dilucidar aqu´ello que subyace a los fen´omenos que estudia y que a´ un no queda satisfactoriamente explicado .

Parece bastante natural que dos modelos matem´aticos diferentes de alg´ un aspecto de la realidad coincidan en sus resultados en la medida de que se ocupan de un mismo fen´omeno. Esto es lo que hoy d´ıa ha pasado a llamarse “infradeterminaci´on emp´ırica de las teor´ıas”, es decir, los fen´omenos son explicables por m´as de una teor´ıa. Pero no intentar dirimir la controversia asociada a las diferencias explicativas, cuando las haya y sean de fondo, me parece un error que a la larga se transformar´a en una carga mortal para la misma ciencia.

La estrategia consistente en fundar una teor´ıa sobre un conjunto finito de axiomas resulta ser punto de partida eficiente para construir relatos que permitan dar coherencia explicativa a las regularidades que observamos. A pesar de esto, resultar´ıa inconveniente identificar en un sentido universal esos postulados con las uniformidades detectadas o conjeturadas, pues a´ un cuando pueden estar basados en la experiencia, poseen un car´acter condicional y por lo tanto provisional.

En ese sentido, algunas de las teor´ıas de variables ocultas, como la de DeBroglie - Bohm, no parece que deban ser desatendidas.

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Figura 1. Ouρoβoρoς

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