Recc 17

REVISTA ´ EL CLUB CUANTICO No 17, DICIEMBRE 2016

Editores: Marco Corgini Videla - Ingrid Torres Castillo

http://elclubcuantico.blogspot.com

´Indice 1. EDITORIAL ´ 2. CONDENSACION DE BOSE EINSTEIN Y RUPTURA DE SIMETR´IAS 2.1. Modelo de Bose de part´ıculas interactuantes 2.2. El gas ideal de bosones 2.3. Simetr´ıas y leyes de conservaci´on ´ DEBIL ´ 3. GAS DE BOSONES CON INTERACCION Y SUPERFLUIDEZ 4. EL TEOREMA DE HOHENBERG ´ CONDENSA 5. LA LUZ TAMBIEN 6. DE KALUZA-KLEIN A LA TEOR´IA DE CUERDAS 7. CURSO DE VERANO: FUNDAMENTOS ´ ´ ´ MATEMATICOS DE LA MECANICA CUANTICA

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1.

EDITORIAL

Est´a claro que toda mirada filos´ofica es una mirada hist´orica, en permanente cambio, profundamente influida y construida a partir de su circunstancia, fundada y sustentada sobre sus propios medios, t´ecnicos e ideol´ogicos. Toda concepci´on global, completa, totalizadora, oculta siempre intencionalidad y perspectiva.

En matem´aticas, los constructos l´ogicos se fundan en reglas impuestas que no constituyen realidades en s´ı tal cual imaginara Pit´agoras.

Qu´e queda entonces para nuestras elaboraciones menos afortunadas en materia de rigurosidad l´ogica y de corroboraci´on experimental.

En este sentido, tanto la metaf´ısica como tambi´en la ontolog´ıa, ya sean consideradas como una unidad o separadas, son atrapadas, como toda aspiraci´on humana de acceder a la realidad, por los modos y estilos en que el ser humano consigue parcialmente aprehenderla, es decir, de la forma en que la “conoce” y por supuesto de sus limitaciones naturales. Se trata de creaciones emergidas de condiciones hist´oricas espec´ıficas y aunque evolucionan, no lo hacen en forma independiente de su entorno, siendo su desarrollo indisoluble de su origen.

Hoy d´ıa la frase de Hegel “todo lo racional es real y todo lo real es racional” resulta insostenible, a´ un cuando debo aclarar que el fil´osofo la usa en un sentido hist´orico y por lo tanto abuso de ella pero para aclarar lo siguiente: No hay ning´ un motivo para suponer que todo aquello que elucubramos o suponemos s´olo con el uso de nuestro raciocinio acerca de la realidad f´ısica sea “verdadero”, al menos en un sentido demostrable, emp´ırico, en el ´ambito de nuestra ciencia. En la elaboraci´on l´ogica absoluta, desprovista de otra mirada que no sea la del discurso articulado, siempre habr´a mucho de juego constructivo,

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de pitagorismo exacerbado. Quiz´as por este motivo Jorge Luis Borges, el gran creador de mundos surrealistas, definir´ıa a la metaf´ısica, y no en un sentido peyorativo, como una rama de la literatura fant´astica.

En este sentido, las especulaciones respecto de la realidad, basadas s´olo en la l´ogica, el discurso o el mito, tienen gran probabilidad de conducirnos a construcciones indecidibles destinadas a formar parte finalmente del amplio inventario de los no´ umenos, las categor´ıas art´ısticas o los caminos de la fe. No es tampoco menor el riesgo que se corre de antropomorfizar el mundo, una tendencia por lo dem´as muy humana. La decisi´on final es personal.

Tenemos leg´ıtimo derecho a razonar y suponer acerca de la naturaleza de las cosas, pero no es razonable imponer al mundo real nuestras concepciones a priori, si a lo que honestamente aspiramos es tener un cierto nivel de conocimiento de ´el.

Es el mundo el que determina las reglas, y el que dictamina la veracidad de nuestros supuestos y proposiciones, a trav´es del examen riguroso obtenido de la experimentaci´on, la observaci´on u otro mecanismo adecuado. En otras palabras, entre nuestras concepciones, nuestras suposiciones y la realidad debe existir un correlato que siempre debe ser puesto a prueba y sometido a un escrutinio m´as all´a de lo puramente l´ogico e ideol´ogico.

La mayor´ıa de las veces nuestros “modelos” del mundo son referencias construidas sobre la experiencia inmediata o la llamada intuici´on, elementos que, al menos hoy d´ıa, est´an muy distantes de ser instrumentos viables para acceder al conocimiento de lo que es actualmente la “Physis”. M´as a´ un cuando conceptos tales como “causa” y “azar”, a un nivel muy general, han perdido la rigidez de anta˜ no.

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Es probable que haya preguntas incontestables, algunas correctamente planteadas y otras probablemente absurdas e incompatibles con la realidad externa. Qui´en sabe.

En este n´ umero hemos incluido, para los lectores amantes de las matem´aticas y la f´ısica, un par de cortos temas acerca de rupturas de simetr´ıas continuas y transiciones de fase. Para situarse en el contexto matem´atico adecuado (secciones 2-4) recomendamos leer en uno de nuestros n´ umeros previos un art´ıculo1 que considera nociones fundamentales de sistemas de part´ıculas de Bose. Todas estas materias fueron tratadas en el cursillo “Fundamentos Matem´aticos de la Mec´anica Cu´antica”, actividad desarrollada por el Departamento de Matem´aticas de la Universidad de La Serena (Chile), en el per´ıodo comprendido entre el 03 y el 12 de enero de 2016. Debemos se˜ nalar que se trata de presentaciones referidas a textos hist´oricos y al caso de la denominada “textbook condensation”. En este sentido, algunos de los desarrollos matem´aticos se sustentan, a veces, sobre supuestos heur´ısticos. Por ejemplo, en el caso del gas d´ebil de bosones2 la condensaci´on es simplemete asumida sin que medie prueba de este hecho. Por otro lado, la equivalencia entre condensaci´on bos´onica y ruptura de la simetr´ıa continua U(1), fue demostrada con la necesaria rigurosidad matem´atica s´olo durante las dos u ´ltimas decadas. Nos referiremos a dicho tema en n´ umeros siguientes.

Dedicaremos tambi´en unas breves palabras al mencionado cursillo, el cual fue transmitido en vivo (online via streaming). Por otra parte, una breve rese˜ na hist´orica acerca de los principales hitos extendidos entre la teor´ıa de Kaluza-Klein, introductora de dimensiones extras 1M. Corgini. ¿ Es la condensaci´ on de Bose-Einstein de ´atomos encerrdos en una trampa magn´etica una transici´ on de fase? RECC 12, pp.21-36, 2015.

2N.N. Bogolubov. On the theory of superfuidity. J. Phys. (USSR) 11, 23 (1947)

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en nuestras teor´ıas del universo, hasta el concepto de cuerdas y supersimetr´ıas ha sido considerada en la secci´on 7. Finalmente, hemos incluido un par de art´ıculos relativos a la interacci´on de fotones y condesados at´omicos y a la posibilidad de obtener condensados fot´onicos en trampas o´pticas y magn´eticas.

Marco Corgini Videla

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2.

´ DE BOSE EINSTEIN Y CONDENSACION RUPTURA DE SIMETR´IAS

2.1. Modelo de Bose de part´ıculas interactuantes. El operador de energ´ıa que caracteriza un sistema confinado en una regi´on Λ ⊂ R3 de volumen V = l3 con interacciones entre pares de ´estas, representado por un potencial V (x, y), es el siguiente: ˆl = H

X p∈Λl ∗

λl (p)ˆ a†p a ˆp +

X

Vb (q)ˆ a†p a ˆ†p0 a ˆp+q a ˆp0 −q .

p,p0 ,q∈Λ∗l

En este caso, Vb (q) es la transformada de Fourier de dicho potencial y λl (p) = p2 /2 para p 6= 0, λl (p) > λl (0) ≥ 0 y Λ∗l = {p = (..., pα , ...) ∈ Rd : pα = 2πnα /l, nα = 0, ±1, ±2, . . . , α = 1, 2, . . . , d}.

Recordemos que (ver [2]), a ˆ†p , a ˆp son operadores de creaci´on y aniquilaci´on de part´ıculas, definidos sobre el espacio de Fock FB , satisfaciendo las reglas de conmutaci´on:

( [ˆ ap , a ˆ†q ] = a ˆp a ˆ†q − a ˆ†q a ˆp = δp,q =

1 if p = q 0 if p 6= q

Aqu´ı, n ˆp = a ˆ†p a ˆp representa el operador de n´ umero asociado al modo p.

Adem´as se definen: ˆ0 = H l

X p∈Λ∗l

λl (p)ˆ np : Operador de energ´ıa libre.

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X

ˆI = H l

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Vb (q)ˆ a†p a ˆ†p0 a ˆp+q a ˆp0 −q : Operador de interacci´on,

p,p0 ,q∈Λ∗l

ˆ= N

X

n ˆ p : Operador n´ umero total de part´ıculas,

p∈Λ∗l

h·i = TrFB (Hl ) [e

ˆ l (µ) −β H

−1 ˆ ] TrFB (Hl ) [ · e−β Hl (µ) ]: Estado de Gibbs.

2.2. El gas ideal de bosones. En el caso del gas ideal de bosones, para µ < λl (0), se tiene, Y X ˆ 0 (µ) −β H l TrFB (Hl ) [e ]= e−β(λl (p)−µ)np = p∈Λ∗l {np }

Y = (1 − e−β(λl (p)−µ) )−1 . p

De esto se obtiene la siguiente expresi´on para la presi´on a volumen finito del gas ideal: 1 X (id) pl (β, µ) = − ln(1 − e−β(λl (p)−µ) ). βV ∗ p∈Λl

Este resultado conduce a hˆ np iHˆ 0 (µ) =

1

. eβ(λl (p)−µ) − 1 Lo anterior permite determinar la siguiente relaci´on: 1 X (id) (id) ρl (µ) = ρ0,l (β, µ) + hˆ nj iHˆ 0 (µ) , l V ∗ l

p∈Λl \{0}

(id)

(id)

donde ρl (µ), ρ0,l (β, µ) representan la densidad total de part´ıculas y la densidad de part´ıculas asociados al nivel de energ´ıa m´ınima a potencial qu´ımico µ y volumen finito V respectivamente.

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Tomando una sucesi´on {µl } tal que µl → 0− , en el l´ımite termodin´amico (cuando V → ∞) se obtiene: (id)

ρ(id) (0) = ρ0 (β, 0) + ρ(id) c (β), donde se asume que ρ(id) c (β)

1 = l´ım V →∞ V

1

X p∈Λ∗l \{0}

eβλl (p) − 1

< ∞.

Por lo tanto (id)

ρ0 (β, 0) = ρ(id) (0) − ρ(id) c (β).

Claramente ρ(id) (0) es independiente del par´ametro β mientras que (id) ρc (β) es una funci´on decreciente del mismo. Por lo tanto la condici´on de condensaci´on (ocupaci´on macrosc´opica del estado fundamental) (id)

ρ0 (β, 0) > 0,

se satisface para valores de β estrictamente mayores que un valor cr´ıti(id) co βc , el cual es soluci´on u ´nica de la ecuaci´on ρ(id) (0) = ρc (β). Cabe destacar que la condensaci´on en este modelo, s´olo es posible si d ≥ 3.

2.3. Simetr´ıas y leyes de conservaci´ on. En 1918, Emmy Noether, estableci´o la conexi´on existente entre simetr´ıas continuas y leyes de conservaci´on en la naturaleza. De acuerdo a Noether, “Si un sistema tiene una simetr´ıa continua, entonces hay cantidades asociadas cuyos valores se conservan en el tiempo”. Por ejemplo, la invariancia frente a traslaciones conserva el momento lineal, la invariancia del tiempo conduce a la conservaci´on de la energ´ıa y la invariancia respecto a la rotaci´on en torno a un eje dado conserva el momento angular.

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Entre las simetr´ıas discretas asociadas a sistemas cu´anticos se encuentran, entre otras, la paridad, la conjugaci´on de carga y la reversi´on del tiempo. La primera tiene importancia en el estudio de part´ıculas y sus respectivas antipart´ıculas, tales como electrones y positrones, especialmente en el an´alisis de ecuaciones din´amicas (como la de Dirac) y consiste en el cambio de todos los signos de las cargas el´ectricas en las funciones u operadores que describen la din´amica del sistema.

Si se satisface la condici´on ˆ l (µ)] = 0, [O, H siendo ˆ

ˆ

O(t) = e−itHl (µ) OeitHl (µ) , se demuestra que dO(t) i ˆ l (µ)] = 0. = − [O, H dt ~ ˆ , en la relaci´on anterior, es decir el n´ Si O = N umero total de part´ıcuˆ l (µ) resulta ser invalas es una cantidad conservada en el sistema, H riante bajo las transformaciones de gauge asociadas al grupo U (1), dadas por a ˆp → eiϕ a ˆp , a ˆ†p → e−iϕ a ˆ†p , lo cual conduce a las siguiente regla de selecci´on::

†

a ˆp1 · ·ˆ a†pr a ˆq1 · ·ˆ aqs Hˆ (µ) = 0, si r 6= s. l

En particular,

† a ˆp Hˆ (µ) = hˆ ap iHˆ l (µ) = 0. l

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Por otro lado, la invarianza frente a traslaciones est´a asociada a la conservaci´on del momentum total en el sistema cuyo operador asociado es el siguiente: X P= pˆ a†p a ˆp . p∈Λl

En este caso:

†

ˆ l (µ), P] = 0 ⇒ a [H ˆp1 · ·ˆ a†pr a ˆq1 · ·ˆ aqs Hˆ (µ) = 0, si p1 +...+pr 6= q1 +...+ps . l

Se introduce el t´ermino √

V ν(eiθ a ˆ†0 + e−iθ a ˆ0 ),

ˆ l (µ) con objeto de romper la ν > 0, θ ∈ [0, 2π) en el Hamiltoniano H simetr´ıa, de la siguiente forma: ˆ l,ν (µ) = H ˆ l (µ) − H

√

V ν(eiθ a ˆ†0 + e−iθ a ˆ0 ).

Esto conduce a:

† ˆ, H ˆ l,ν (µ)] 6= 0 ⇒ | a [N ˆp Hˆ

l,ν (µ)

| = | hˆ ap iHˆ l,ν (µ) | = V ηl,ν 6= 0.

M´as a´ un, la condensaci´on bos´onica se encuentra directamente relacionada con la ruptura de la simetr´ıa en el siguiente sentido, ( l´ım+ l´ım ηl2 =

ν→0 V →∞

ρ0 = 6 0 if β ≥ βc 0 if β < βc

Consideremos como ejemplo simple el Hamlitoniano libre perturbado, ˆ l,ν (µ) = H ˆ l0 (µ) − H

√

V ν(eiθ a ˆ†0 + e−iθ a ˆ0 ).

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Aplicaremos a este operador las siguientes transformaciones, √ ν √ ν a ˆ0 = − eiθ V + ˆb0 , a ˆ†0 = − e−iθ V + ˆb†0 µ µ En este caso:

X p2 ν 2V † 0 † ˆ ˆ ˆ Hl = −µb0 b0 + −µ a ˆp a ˆp + .

2 µ ∗ p∈Λl \{0}

Se asume que:

ν µ = −√ . ρ0,l

Claramente: D E ˆb† 0

ˆ 0 (µ) H l,ν

D E = ˆb0

ˆ 0 (µ) H l,ν

= 0.

Adem´as: D E ˆb† ˆb0 0

ˆ 0 (µ) H l,ν

hˆ np iHˆ 0

l,ν (µ)

=

exp β

ν √ ρ0

−1

−1

−1

p2 ν −1 , = exp β √ + ρ0 2

luego:

1 ρl = ρ0,l + V

X

exp β

p∈Λl ∗ \{0}

ν p2 + √ ρ0 2

−1 −1 .

En el l´ımite termodin´amico obtenemos:

1 ρ = ρ0 + (2π)3

−1 Z ν p2 exp β √ + −1 d3 p. ρ0 2

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Por otro lado, *

ˆb† ˆb0 0 V

+

* =

ˆ 0 (µ) H l,ν

a ˆ†0 √ √ − ρ0,l e−iθ V

1 = l´ım V →∞ V De esto sigue que:

exp β

!

ν √ ρ0,l

a ˆ √ √0 − ρ0,l eiθ V

+ ˆ 0 (µ) H l,ν

−1

−1

= 0.

+ * † E D 1 a ˆ √ − ρ0,l e−iθ √0 l´ım ( a ˆ†0 a ˆ0 0 ˆ (µ) V →∞ V H V Hˆ 0 (µ) l,ν l,ν

a ˆ0 √ − ρ0,l eiθ √ + ρl ) = 0.

0 (µ) V Hˆ l,ν Despu´es de algunas manipulaciones matem´aticas se concluye que:

* +

†

a ˆ ρ0 = l´ım

√0 V →∞

V Hˆ 0

l,ν

2

.

(µ)

Haciendo tender ν → 0 en la expresi´on anterior se obtiene el resultado conocido para la condensaci´on del sistema libre.

Referencias

[1] N.N. Bogolubov. Quasi-Averages in Problems of Statistical Mechanics, in N.N. Bogolubov, Jr., Quantum Mechanics: selected Works of N. N. Bogolubov. World Scientific Publishing, 2015.

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[2] M. Corgini. ¿Es la condensaci´on de Bose-Einstein de ´atomos encerrdos en una trampa magn´etica una transici´on de fase? RECC 12, pp.21-36, 2015.

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3.

´ DEBIL ´ GAS DE BOSONES CON INTERACCION Y SUPERFLUIDEZ

El denominado Gas de Bose d´ebilmente interactuante queda determinado por la condici´on V (x, y) = gδ(x, y). De esta forma el Hamiltoniano del sistema est´a dado por la expresi´on:

ˆl = H

X p2 g a ˆ†p a ˆp + 2 2V ∗

p∈Λl

X

ˆp+q a ˆp0 −q . a ˆ†p a ˆ†p0 a

p,p0 ,q∈Λ∗l

Aqu´ı, como en las secciones anteriores, hemos considerado la masa m de las part´ıculas y la constante de Planck ~ iguales a uno.

De acuerdo a la propuesta de N.N. Bogoliubov [1], en 1947, el n´ umero de part´ıculas promedio en el estado fundamental es muy grande ( 1023 ) en el caso del 4 He, l´ıquido, y tambi´en para gases alcalinos (105 ) a bajas temperaturas. En este sentido se considera que los operadores de creaci´on y aniquilaci´on, bajo esas condiciones, se comportan como √ n´ umeros, es decir conmutan y pueden ser sustituidos por V n0 , donde N y n0 representan el n´ umero de part´ıculas en el sistema y el n´ umero de part´ıculas en el estado fundamental, respectivamente. Lo anterior, asociado a consideraciones respecto del tr´ansito de part´ıculas entre el condensado y la fase no condensada, conducen a un nuevo operador de energ´ıa:

ˆl = H

gN 2 X p2 gN X † gN X † † † a ˆ a ˆp + a ˆp a ˆp + a ˆp a ˆ−p + a ˆp a ˆ−p + .

2 p V 2V 2V ∗ ∗ ∗

p∈Λl

p∈Λl

p∈Λl

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Es necesario seË&#x153; nalar que el an´alisis que sigue tiene relaci´on con el comportamiento microsc´opico del sistema y que en este caso se ha asumido a priori la existencia del condensado.

Usando las denominadas transformaciones can´onicas (transformaciones unitarias que preservan las relaciones de conmutaci´on bos´onicas) de Bogoliubov: Ë&#x2020;â&#x20AC; â&#x2C6;&#x2019;p = upË&#x2020;bâ&#x20AC; â&#x2C6;&#x2019;p â&#x2C6;&#x2019; vpË&#x2020;bp , a Ë&#x2020;p = upË&#x2020;bp â&#x2C6;&#x2019; vpË&#x2020;bâ&#x20AC; â&#x2C6;&#x2019;p , a con vp2 â&#x2C6;&#x2019; u2p = 1 y definiendo N n0 , Ď 0 = , V V Ë&#x2020; l puede ser escrito en t´erminos de los nuevos operadores, los cuaH les representan excitaciones elementales, algunas veces denominadas Cuasipart´Ĺculas. En este caso: Ď =

Ë&#x2020;l = H

X

l (p)Ë&#x2020;bâ&#x20AC; pË&#x2020;bp + 2Ξl (p)vp2 â&#x2C6;&#x2019; gn2up vp

pâ&#x2C6;&#x2C6;Î&#x203A;l â&#x2C6;&#x2014;

donde el espectro de excitaciones elementales est´a dado por: s l (p) =

p2 2

p2 + 2Ď 0 g , â&#x2C6;&#x20AC;p â&#x2C6;&#x2C6; Î&#x203A;â&#x2C6;&#x2014;l 2

y p2 Ξl (p) = + gĎ 0 , â&#x2C6;&#x20AC;p â&#x2C6;&#x2C6; Î&#x203A;â&#x2C6;&#x2014;l 2

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Por otra parte ( l (p) â&#x2030;&#x2C6; donde s =

â&#x2C6;&#x161;

â&#x2C6;&#x161; s||p|| si ||p|| 2gĎ , â&#x2C6;&#x161; p2 si ||p||

2gĎ .

2

Ď .

Este resultado corresponde, como se mencion´o anteriormente a un sistema microsc´opico o bien mesosc´opico (aproximaci´on en conjunto can´onico). En el an´alisis macrosc´opico (sistema gran can´onico) Ď debe ser sustituido por Ď 0 en las u ´ltimas expresiones.

Fue el f´Ĺsico ruso Lev Landau quien propuso inicialmente que este tipo de espectro conduce a superfluidez, es decir a la ausencia de disipaci´on en este tipo de sistemas.

Referencias [1] N.N. Bogolubov. On the theory of superfuidity. J. Phys. (USSR) 11, 23 (1947)

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4.

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EL TEOREMA DE HOHENBERG

Una conocida desigualdad debida a N. N. Bogoliubov, permiti´o, en 1967, a Hohenberg probar que para sistemas de part´ıculas (estad´ısticas de Bose o Fermi), a temperaturas finitas, en una o dos dimensiones quedan excluidos los o´rdenes de largo alcance.

La desigualdad es la siguiente, 1 h{A, A∗ }iΓ h[C ∗ , [βΓ, C]]iΓ ≥ |h[C, A]iΓ |2 , 2 En general, ´esta permite obtener una cota inferior para las fluctuaciones de un operador A en t´erminos de otro operador C (C ∗ es su adjunto), ambos arbitrarios, donde {A∗ , A} es el anticonmutador de los operadores que contiene, es decir {A∗ , A} = A∗ A + AA∗ , [C, A] es el conmutador usual y [C ∗ , [βΓ, C]] es el doble conmutador. Γ es el Hamiltonano del sistema y h·iΓ , representa el estado de Gibbs asociado a ´el.

Bosquejaremos aqu´ı, brevemente, la demostraci´on de ausencia de ruptura de simetr´ıa para sistemas de Bose en una y dos dimensiones dada por Hohenberg.

Sea Λ∗l = {p = (p1 , p2 , · · · , pd ) ∈ Rd } el conjunto de funciones de onda compatibles con condiciones de borde peri´odicas, tal que, ||p|| ≤ pc , para un sistema de part´ıculas de Bose confinadas en una regi´on Λ ⊂ Rd , de volumen V. En el contexto de la noci´on de cuasi promedios (quasiaverage notion), el operador de energ´ıa de un sistema de part´ıculas interactuantes est´a dada por, ˆ l,ν = H

X p2 1 a ˆ†p a ˆp + 2 2V ∗

p∈Λl

X p,p0 ,q∈Λ∗l

Uˆ (q)ˆ a†p+q a ˆ†p0 −q a ˆp a ˆp0

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√ − V ν(e−iϕ a ˆ†0 + eiϕ a ˆ0 ), con Uˆ (q) = Uˆ (−q), incluyendo un t´ermino que rompe la simetr´ıa con respecto al grupo U (1) del sistema.

X a ˆ†p a ˆp−q . Ademas, notemos que, Sea A = a ˆq and C = ρˆq = p

ρˆ∗q = ρˆ−q =

X

a ˆ†p a ˆp+q .

p

Usando las siguientes identidades, ˆ l,µ (µ), C]] = β N ˆ q2 , [A, C] = a {A∗ , A} = 2ˆ nq + 1, [C ∗ , [β H ˆ†0 en la desigualdad de Bogoliubov, se obtiene,

hˆ nq iHˆ l,ν

| hˆ a0 iHˆ l,ν |2 ηl2 1 1 ≥ D E − , for q 6= 0, − = 2 2 βρ q 2 2 ˆ l β N q ˆ l,ν H

donde

a

ˆ0

ηl = √

,

V Hˆ l,ν

lo que conduce a, 2

1 1X 1X ηl − hˆ nq iHˆ l,ν ≥ .

V V βρl q2 2 q6=0

q6=0

Si η = l´ım ηl , tomando ν → 0 despu´es de pasar al l´ımite termoV →∞

din´amico, concluimos con la siguiente desigualdad,

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1 Ď â&#x2C6;&#x2019; Ď 0 â&#x2030;Ľ l´Ĺm+ â&#x2020;&#x2019;0 (2Ď&#x20AC;)d

Z <||q||<pc

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Ρ2 1 â&#x2C6;&#x2019; dq, Î˛Ď q2 2

donde dq = dq1 dq2 ¡ ¡ ¡ dqd , and q2 = q ¡ q, y â&#x20AC;&#x153; ¡ â&#x20AC;? es el producto euclideano usual.

En este caso, es f´acil ver que,

Z l´Ĺm+

â&#x2020;&#x2019;0

dq = 2 q <||q||<â&#x2C6;&#x17E;

(

â&#x2C6;&#x17E; if d = 1, 2 < â&#x2C6;&#x17E; if d â&#x2030;Ľ 3

As´Ĺ, la divergencia infrarroja, dada por q12 no puede ser eliminada en una y dos dimensiones. Por lo tanto, ya que la densidad de part´Ĺculas es constante, la u ´ltima desigualdad se verifica s´olo si Ρ = 0, es decir.,en ausencia de ruptura de simetr´Ĺa.

Referencias [1] P. C. Hohenberg, Existence of Long Range Order in One and Two Dimensions. Phys. Rev. 158:383 (1967).

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5.

´ CONDENSA LA LUZ TAMBIEN

Uno de los resultados m´as impactantes obtenidos en temas relacionados a la CBE ha sido la disminuci´on significativa de la velocidad de la luz, que se sabe constante en el vac´ıo, en un proceso que consiste en hacerla atravesar un condensado de a´tomos de sodio, fen´omeno producido experimentalmente en laboratorios en la Universidad de Harvard.

Este resultado podr´ıa tener un impacto enorme en teor´ıa de informaci´on cu´antica, espec´ıficamente si nuestro inter´es es almacenarla.

El experimento fue realizado en 1998 por un equipo liderado por la investigadora danesa Lene Vestergaard Hau en la Universidad de Harvard, logrando disminuir la velocidad de la luz a 17 metros por segundo. El resultado fue comentado en la prestigiosa revista “Nature” el mismo a˜ no [1].

Sin embargo, hay un fen´omeno tanto o m´as sorprendente que ´este.

En general, se supone que es imposible para un gas de fotones condensar, por cuanto para que esto suceda, al aumentar o disminuir la temperatura, el n´ umero de ´estos debiera mantenerse constante. En la pr´actica habitual esto no ocurre, pues al disminuir la temperatura los fotones tienden a desaparecer por absorci´on en las paredes del lugar de confinamiento, en lugar de agruparse en el estado fundamental, tal como algunos gases at´omicos. Siendo dicha conservaci´on necesaria para la producci´on de condensado, se supon´ıa que el fen´omeno no podr´ıa verificarse en el caso fot´onico No obstante el a˜ no 2010, en un experimento realizado en la Universidad de Bonn, fue inducido un proceso de termalizaci´on que permiti´o conservar el n´ umero de fotones en confinamiento con la consecuente formaci´on de un condensado fot´onico en dos dimensiones [96]:

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“[. . . ] En esta experiencia se usaron espejos altamente reflectantes entre los cuales se mantuvo “rebotando”, una y otra vez, un haz de luz.

Entre ellas se dispuso mol´eculas de pigmento disueltas contra las cuales en forma peri´odica colisionaban los fotones. En estos choques, las mol´eculas absorb´ıan las part´ıculas de luz para luego “escupirlas”. Durante el proceso de colisiones los fotones asumieron la temperatura del fluido. . . sin producirse p´erdidas en el proceso. La segunda etapa consisti´o en incrementar el n´ umero de fotones entre los espejos excitando la soluci´on pigmentada. Esto permiti´o concentrar las part´ıculas de luz emitidas m´as fr´ıas tan fuertemente que terminaron condensando en un “s´ uper fot´on”. . . Si bien, dicha s´ uper part´ıcula de luz comparte algunas caracter´ısticas con el laser, posee ventajas evidentes respecto de ´este. . . no somos capaces hoy d´ıa de producir l´aseres que generen ondas muy cortas de luz, es decir en el rango de UV o de rayos X [. . . ] Con un condensado fot´onico de Bose-Einstein esto debiera ser posible” (declaraciones de Martin Weitz, miembro del equipo que realiz´o la experiencia)3.

Referencias [1] L. Vestergaard Hau, S. E. Harris, Z. Dutton, C. H. Behroozi. Light speed reduction to 17 metres per second in an ultracold atomic gas.

Nature 397, 594-598, (1998).

[2] J. Klaers, J. Schmitt, F. Vewinger, M. Weitz. Bose-Einstein condensation of photons in an optical microcavity. Nature, 468,545–548, 2010.

3La traducci´ on es de RECC

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6.

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DE KALUZA-KLEIN A LA TEOR´IA DE CUERDAS

Durante los a˜ nos veinte surge una teor´ıa debida al f´ısico polaco Theodor Kaluza [1], en un intento por unificar las interacciones gravitatorias y electromagn´eticas a trav´es de la consideraci´on de una nueva dimensi´on espacial. La misma suscit´o un gran inter´es entre f´ısicos de la ´epoca, incluido Albert Einstein. La nueva dimensi´on implicaba la inclusi´on de ciertos t´erminos adicionales en el denominado “tensor sim´etrico”, caracter´ıstico de la relatividad general, lo que implica la introducci´on de un “vector” de car´acter indefinido. Si bien los c´alculos conduc´ıan a expresiones que conten´ıan t´erminos similares a aqu´ellos asociados a la denominada fuerza de Lorentz de una part´ıcula cargada, caracter´ıstica del electromagnetismo, la estrategia de Kaluza fallaba en que uno de ´estos no era de car´acter tensorial, reflejando una inconsistencia importante de la estrategia. Por otro lado, algunos de los resultados parec´ıan sugerir como razonable la existencia de un v´ınculo entre gravitaci´on y electromagnetismo en este contexto.

No fue sino hasta 1926 en que el f´ısico sueco Oskar Klein resuelve el problema [2], modificando el trabajo de Theodor Kaluza, dando un sentido “tensorial” a sus resultados. Dos razones importantes transformaron al ahora denominado vector de Kaluza-Klein en un buen candidato para representar el campo electromagn´etico. La primera ten´ıa relaci´on con el hecho de que la llamada “geod´esica cuadridimensional de Klein” –aunque personalmente prefiero el adjetivo tetradimensional– reproduc´ıa el t´ermino de la fuerza de Lorentz asociada al campo electromagn´etico. La segunda era que el elemento infinitesimal de l´ınea resultaba invariante bajo ciertas transformaciones (“gauge”) para las

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cuales el potencial cuadridimensional electromagn´etico resulta tambi´en invariante.

Por otro lado, las ecuaciones del campo gravitacional de Einstein, son derivables de un “principio variacional” consistente en la minimizaci´on de la respectiva acci´on. Matem´aticamente, se obtienen de resolver un problema de extremos, bajo el supuesto de que la acci´on asociada al sistema es estacionaria respecto de variaciones de sus variables. En este contexto, ¿qu´e suceder´ıa con esta nueva estrategia?. El resultado fue sorprendente, la acci´on de cinco dimensiones conduc´ıa a la acci´on gravitacional cuadridimensional para el campo gravitatorio y el electromagn´etico, previsto que la quinta dimensi´on espacial fuese cil´ındrica (compactificada). Con esto se evitaba el surgimiento de infinitos indeseados en los c´alculos.

De esa forma, se identific´o la quinta dimensi´on con una coordenada angular de per´ıodo dependiente del radio del cilindro.

Se supuso adicionalmente que dicho radio era del orden de 10−30 cm., magnitud muy cercana a la longitud de Planck (10−33 cm.), siendo as´ı la quinta dimensi´on inobservable para cualquier humano. Esto significa que adem´as del tiempo y las tres dimensiones conocidas –que cualquier ciudadano com´ un reduce a largo, ancho y alto–, existir´ıa una adicional, no representable por experiencia o intuici´on alguna. De esta forma, de acuerdo a la teor´ıa de Kaluza-Klein, nuestra realidad se encontrar´ıa constituida por las cuatro dimensiones ya conocidas (una de ellas el tiempo) y una “compactificada”, enrollada sobre s´ı misma (en un c´ırculo de radio “r” de dimensiones ´ınfimas), que no percibir´ıamos en la vida cotidiana, ya que la misma se encuentra “escondida” en un micromundo por ahora inaccesible.

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As´ı, a nivel de las cuatro dimensiones no enrolladas, la quinta se manifestar´ıa como una simetr´ıa local (transformaciones de gauge).

Con el tiempo, al no permitir realizar predicciones f´ısicas, la teor´ıa perdi´o inter´es y fue paulatinamente dejada de lado como candidata a “teor´ıa del campo unificado”, modelo que debiera establecer el v´ınculo entre los cuatro campos asociados a las interacciones conocidas.

En 1950, Wolfgang Pauli intent´o aplicar sin ´exito este formalismo, en seis dimensiones, para unificar las interacciones fuertes y d´ebiles.

Fue s´olo en los a˜ nos setenta, con la aparici´on de la mencionada anteriormente teor´ıa de cuerdas, que los supuestos asociados a la existencia de dimensiones adicionales y la misma teor´ıa de Kaluza-Klein recobraron fuerza.

De hecho en sus inicios, la teor´ıa de cuerdas supon´ıa la existencia de 26 dimensiones e inclu´ıa s´olo el estudio de bosones, sin embargo, desarrollos posteriores, asociados al concepto de supersimetr´ıa, redujeron ese n´ umero a 10, aunque quedaba sin resolver un problema de unicidad de la teor´ıa. Finalmente el a˜ no 1995, el f´ısico y matem´atico estadounidense Edward Witten propuso que tal situaci´on pod´ıa ser resuelta agregando una dimensi´on m´as (en total 11).

Dada la alta energ´ıa necesaria para detectar las dimensiones extra, tambi´en compactificadas, se hace poco probable la verificaci´on experimental de su existencia. Tales dimensiones deber´ıan verse, al igual que en el caso de le teor´ıa de Kaluza-Klein, como simetr´ıas locales del tipo gauge mencionado.

Recordemos que, en lo esencial, la teor´ıa de cuerdas postula que a muy altas energ´ıas las part´ıculas conocidas corresponden en realidad a modos vibracionales de objetos denominados “cuerdas”.

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Uno de los soportes de este modelo es que predice la existencia del esquivo gravit´on, bos´on de esp´ın 2 y supuesta masa nula (¿o posee masa? [3]?), que mediar´ıa las interacciones gravitacionales.

En esta teor´ıa, la part´ıcula se asocia a las denominadas “cuerdas cerradas” mientras las conocidas corresponden a modos de “cuerdas abiertas”.

Por otro lado, el formalismo matem´atico subyacente permite resolver el denominado “problema de divergencias o infinitos” en las “integrales de caminos” (Richard Feynman) –destinadas ´estas a describir la transici´on o evoluci´on probable de sistemas cu´anticos entre diferentes estados (teor´ıa cu´antica de campos)–, efecto indeseado atribuible al hecho de suponer una naturaleza puntual para las part´ıculas elementales. En otras palabras, en el caso de la gravedad, la formulaci´on de la teor´ıa cu´antica de campos no funciona, por cuanto el problema de los infinitos o divergencias no es solucionable. T´ecnicamente hablando, la teor´ıa es “no renormalizable”.

En este caso, la denominada “teor´ıa de cuerdas supersim´etrica”, extensi´on de la teor´ıa de cuerdas original, entrega resultados finitos. ´ Esta establece la existencia, a muy altas energ´ıas, de una r´eplica, una compa˜ nera supersim´etrica, asociada a cada part´ıcula observable y cuyo valor de masa debiera ser inversamente proporcional al radio del c´ırculo en que se encuentran curvadas las dimensiones extras. Dado que dichos radios son extremadamente peque˜ nos, la masa de tales part´ıculas ser´ıa enorme. Desafortunadamente, estas part´ıculas ser´ıan detectables s´olo a muy altas energ´ıas, actualmente no reproducibles experimentalmente.

En el contexto de las supersimetr´ıas, en el caso de la f´ısica de part´ıculas elementales, el denominado “modelo superest´andar” fundado en la

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teor´ıa de grupos, representa una extensi´on del est´andar que pretende explicar algunos de los aspectos no aclarados por ´el.

Sin desmedro de lo anterior, aqu´ı el concepto de supersimetr´ıa ha tenido como objeto principal el avanzar hacia una teor´ıa unificada de tres de las cuatro interacciones fundamentales, la electromagn´etica y la nuclear d´ebil (fuerza electrod´ebil) con la nuclear fuerte. Esta teor´ıa es la denominada “Susy-Gut” (“Super Symmetry and Grand Unified Theory”).

An´alogo al caso de la teor´ıa de cuerdas, el modelo superest´andar establece la existencia, para cada part´ıcula conocida, de una compa˜ nera supersim´etrica, con las mismas caracter´ısticas de la primera –por ejemplo, masa y carga el´ectrica– salvo una, el “esp´ın”, que nos entrega informaci´on respecto de la forma en que la part´ıcula se comporta bajo transformaciones tales como rotaciones y otras simetr´ıas asociadas al llamado “grupo de Poincar´e”. Asume adem´as que el hecho de que tales objetos f´ısicos sean inobservables a las energ´ıas actualmente asequibles, es un indicio importante a favor de la “ruptura” de tal simetr´ıa, la cual tendr´ıa como causa una diferencia notable entre las magnitudes de las masas de las part´ıculas conocidas y las de sus compa˜ neras supersim´etricas (mucho mayores). Si recordamos que de acuerdo a una muy famosa ecuaci´on debida a Einstein, la energ´ıa es proporcional a la masa, siendo la constante de proporcionalidad la velocidad de la luz al cuadrado, resulta razonable suponer que a altas energ´ıas la materializaci´on de una part´ıcula, no presente a las energ´ıas habituales en nuestro cosmos, deber´ıa estar asociada a una masa de gran magnitud. En este sentido, la supersimetr´ıa ser´ıa una simetr´ıa “a medias” o, en t´erminos m´as elegantes, “no exacta”. El modelo predice

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la existencia del gravit´on y su compa˜ nero supersim´etrico, el gravitino, del glu´on y el gluonino, etc.

Es necesario precisar que aqu´ı el concepto de supersimetr´ıa se encuentra fuertemente asociado al de esp´ın (un n´ umero racional), caracter´ıstica com´ un a todas las part´ıculas conocidas en la naturaleza que, ya sabemos, se clasifican en fermiones y bosones. Los primeros tienen esp´ın fraccionario y los segundos entero. Por ejemplo, un electr´on (fermi´on) tiene esp´ın ½ y un fot´on (bos´on) posee esp´ın 1. La teor´ıa del modelo est´andar supersim´etrico establece que sistemas de bosones pueden ser “mapeados” en sistemas de fermiones y viceversa [4]. Se trata entonces de una simetr´ıa del tipo “bos´on-fermi´on”. En este caso, el mencionado fotino, compa˜ nero masivo, supersim´etrico del fot´on, es un fermi´on de esp´ın ½.

Finalmente, a diferencia de la teor´ıa de cuerdas, se ha propuesto la denominada teor´ıa de “gravedad cu´antica de lazos”, donde son innecesarias las dimensiones extra y no introduce modificaciones a los principios de las teor´ıas relativistas y cu´anticas ya verificadas experimen´ talmente. Esta no considera al espacio-tiempo como una estructura suave (variedad), sino como constituida por elementos discretos donde la unidad b´asica de longitud es la de Planck (por eso, actualmente, no resulta posible demostrar o refutar la validez de este modelo).

A pesar de que ha presentado resultados auspiciosos en el a´mbito del c´alculo de la entrop´ıa de agujeros negros en astrof´ısica y en su contexto la singularidad inicial asociada al Big-Bang no es un punto especial, hecho que tiene como consecuencia lo que se denomina el “gran rebote” o “big bounce”, no es posible recuperar la relatividad general a partir del l´ımite cl´asico, lo que la hace en ese sentido, al menos por ahora, inconsistente.

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Referencias [1] T. Kaluza. On the Unification problema of Physics. Sitz. Ber. Preuss. Akad. Wiss. (1921), 966.

[2] O.Klein. Quantum Theory and Five Dimensional Relativity. Zeit.f.Physik, 37 (1926) 895.

[3] K. Koyama, G. Niz, and G. Tasinato. Can the graviton have a mass? Int. J. Mod. Phys. D 20, 2803 (2011) [4] G. Benfatto, V. Mastropietro, P. Falco Massless Sine-Gordon and Massive Thirring Models: proof of the Coleman’s equivalence. Comm.

Math. Phys. 285, 2, 713-762 (2009).

[5] M. Corgini. Paseo cu´antico. Por los senderos de Sha-i-Zinda. Editorial Universidad de La Serena, 2013.

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7. CURSO DE VERANO: FUNDAMENTOS ´ ´ ´ MATEMATICOS DE LA MECANICA CUANTICA El curso de verano “Fundamentos Matem´aticos de la Mec´anica Cu´antica”, fue dictado por el Dr. Marco Corgini, junto a los acad´emicos del Departamento de Matem´aticas de la Universidad de La Serena, Dr. H´ector Torres Apablaza y Mg. Eliana Bustamante D´ıaz.

Esta iniciativa fue parte de las actividades del proyecto “Fortalecimiento de la plataforma inform´atica del Departamento de Matem´aticas de la Universidad de La Serena y refuerzo de la docencia de pregrado y postgrado”, financiado por la Facultad de Ciencias de la ULS.

El cursillo se desarroll´o desde el 3 al 12 de enero de 2017, en doble jornada, contemplando los siguientes contenidos: Introducci´on hist´orica.

T´opicos de ´algebra lineal; Espacios de Hilbert. Introducci´on a la teor´ıa de operadores auto-adjuntos (teorema espectral); Principios b´asicos de la teor´ıa cu´antica. Primera cuantizaci´on. Derivaci´on del principio de incertidumbre. La ecuaci´on de Schr¨odinger. Ejemplos; M´etodos de segunda cuantizaci´on. Introducci´on a la mec´anica estad´ıstica de sistemas de part´ıculas (Sistemas de Fermi y de Bose); Introducci´on a la

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teor´ıa de transiciones de fase. Fen´omenos cr´ıticos, cl´asicos y cu´anticos; Superconductividad, superfluidez, condensaci´on de Bose-Einstein y rupturas de simetr´ıas; Paradoja EPR, entrelazamiento cu´antico y desigualdades de Bell; T´opicos de mec´anica cu´antica relativista; y Las ecuaciones de Klein Gordon y de Dirac. ´ PR0GRAMA CURSO FUNDAMENTOS MATEMATICOS ´ ´ DE LA MECANICA CUANTICA Todos los v´ıdeos de las clases se encuentran disponibles en el Canal Digital del Departamento de Matem´aticas de la ULS, DMATV: https://www.youtube.com/user/matematicasuls 1. 03/01/2017 “CHARLA INAUGURAL”.

Clase 1. 1 “ESPACIOS VECTORIALES Y PRODUCTOS INTERNOS”. ´ FINITAClase 1.2 “ESPACIOS VECTORIALES DE DIMENSION ´ MATRICES SIMETRICASTEOREMA ESPECTRAL”.

2. 04/01/2017 ´ Clase 2.1 “ESPACIOS METRICOS Y NORMADOS”.

Clase 2.2 “ESPACIOS NORMADOS, OPERADORES LINEALES”.

Clase 2.3 “ESPACIOS DE HILBERT, OPERADORES ADJUN´ TOS, OPERADORES SIMETRICOS, OPERADORES AUTO´ ADJUNTOS-NOCIONES BASICAS”.

3. 05/01/2017 Clase 3.1 “OPERADORES ACOTADOS, NO ACOTADOS. NO´ CIONES BASICAS”.

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´ Clase 3.2 “AXIOMAS DE LA TEOR´IA CUANTICA. DERIVA´ MATEMATICA ´ CION DEL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE”. ´ A LOS METODOS ´ Clase 3.3 “INTRODUCCION DE LA SE´ GUNDA CUANTIZACION”.

4. 06/01/2017 ´ DE SCHRODINGER ¨ Clase 4.1 “ECUACION (pozo de potencial ´ A LOS METODOS ´ infinito), INTRODUCCION DE SEGUNDA ´ CUANTIZACION”. ´ ´ Clase 4.2 “METODOS DE SEGUNDA CUANTIZACION” (continuaci´on).

5. 09/01/2017 ´ ´ SISClase 5.1 ”METODOS DE SEGUNDA CUANTIZACION. ´ TEMAS DE BOSE. FUNCIONES TERMODINAMICAS, L´IMI´ TE TERMODINAMICO”. ´ REGLAS DE SELECClase 5.2 “LEYES DE CONSERVACION, ´ Y RUPTURAS DE SIMETR´IAS CONTINUAS EN SISCION TEMAS DE BOSE”. ´ DE DIRAC”.

Clase 5.3 “LA ECUACION 6. 10/01/2017 ´ REGLAS DE SELECClase 6.1 “LEYES DE CONSERVACION, ´ Y RUPTURAS DE SIMETR´IAS CONTINUAS”.

CION ´ Clase 6.2 “GAS DEBILMENTE INTERACTUANTE DE PART´ICULAS Y SUPERFLUIDEZ”. ´ Clase 6.3 “GAS DE BOSE DEBILMENTE INTERACTUAN´ AL TE, SUPERFLUIDEZ (continuaci´on) E INTRODUCCION ´ METODO DE HAMILTONIANOS APROXIMATIVOS”.

7. 11/01/2017

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´ Clase 7.1 “EL PRINCIPIO DE LAPLACE Y EL METODO DE GRANDES DESV´IOS”. ´ Clase 7.2 “SISTEMAS DE BOSE: METODOS DE HAMILTONIANOS APROXIMATIVOS Y DE GRANDES DESV´IOS”. ´ ´ Clase 7.3 “ANALISIS NUMERICO PARA LEYES DE CON´ SERVACION”.

8. 12/01/2017 ´ Clase 8.1 “GASES DE BOSE EN TRAMPAS MAGNETICAS”.

Clase 8.2 “SUPERCONDUCTIVIDAD-MODELO BCS”. ´ Clase 8.3 “ALGO SOBRE EFECTO TUNEL”.

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Figura 1. Ouρoβoρoς

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