Tema 4 by Sergio C.Espinosa

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TEMA 4: DIVISIBILIDAD 1. DIVISIBILIDAD EN ℕ.

Sean dos números naturales , ∈ ℕ, con ≠ 0. Diremos que es divisible por que es divisor de , o también que es múltiplo de , si existe un número natural que = . Esto quiere decir que la división del primero por el segundo es exacta: 0

Veamos algunos ejemplos: • •

,o tal

6 es divisible por 3, ya que 6: 3 = 2. También decimos que 6 es múltiplo de 3, o que 3 es divisor de 6. 8 es divisible entre 2, ya que 8: 2 = 4. Luego 8 es múltiplo de 2, o lo que es lo mismo: 2 es divisor de 8.

En ℕ podemos considerar la relación binaria de divisibilidad: ≠ 0 “es divisible” por , o “divide” a si la división : es exacta (su resto es cero), y se representará | . Esta relación es de orden, esto es, verifica las propiedades siguientes: 1. Reflexiva: ∀ ∈ ℕ,

≠0∶ |

2. Antisimétrica: ∀ ,

∈ ℕ, ,

En efecto: para cualquier número natural , se verifica: ≠0 ∶ | ∧ | ⇒

En efecto: Si | ⇒ = , para algún algún ∈ ℕ. Por lo tanto, tendremos: Pero entonces: =

= 1, y por tanto:

3. Transitiva: ∀ , , ∈ ℕ, ,

En efecto: Si | ⇒ algún ∈ ℕ. Por lo tanto:

= .

≠ 0 ∶ | ∧ | ⇒ | =

· 1.

∈ ℕ. Igualmente, si | ⇒

⟹

, para algún

∈ ℕ. Igualmente, si | ⇒

⟹ |

, para

Análogamente, se puede definir la relación siguiente: dados y dos números naturales, con ≠ 0, diremos que “es múltiplo de” si es divisor de . Es decir, son relaciones inversas: María Fernanda Ayllón Blanco…………………………Área Didáctica de la Matemática ESCUELA UNIVERSITARIA DIOCESANA DE MAGISTERIO “LA INMACULADA” · Carretera de Murcia s/n · 18010 GRANADA Tels.: 958 205 861 – 958 205 501 / Fax: 958 287 469 · www.eulainmaculada.com · email: magisterio@eulainmaculada.com

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Por ejemplo, es lo mismo decir: pues 8 = 4 × 2.

= ⟺ | 8 = 2 ⟺ 2|8

Propiedades de la relación “ser múltiplo de”:

1. Todo número natural es múltiplo del 1:

∀ ∈ℕ∶

2. El 0 es múltiplo de todo número natural (distinto del propio cero): En efecto, siempre tenemos: 0 =

∀ ∈ℕ∶0= · 0.

3. Todo número es múltiplo de sí mismo:

En efecto, siempre tenemos:

∀ ∈ℕ∶ =

· 1.

4. Si varios números naturales son múltiplos de otro dado, su suma también los es: , , ,⋯ = ⟹

+ +⋯" =

5. Dados dos números naturales, múltiplos de otro, su diferencia también es múltiplo de ese mismo número: ,

= ,

> ⟹

− "=

6. Si un número es múltiplo de otro , entonces los múltiplos del primero lo son también del segundo. Esta propiedad se puede enunciar de otra manera: definimos el conjunto de los múltiplos de un número: %

" = & · , ∀ ∈ ℕ'

Entonces, esta propiedad establece que si Ejemplo: % 5" = &0,5, 10, 15, 20, … '

= ⇒ %

" ⊂ % ".

María Fernanda Ayllón Blanco…………………………Área Didáctica de la Matemática ESCUELA UNIVERSITARIA DIOCESANA DE MAGISTERIO “LA INMACULADA” · Carretera de Murcia s/n · 18010 GRANADA Tels.: 958 205 861 – 958 205 501 / Fax: 958 287 469 · www.eulainmaculada.com · email: magisterio@eulainmaculada.com

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Propiedades de la relación “ser divisor de”:

1. El 1 es divisor de cualquier número natural:

∀ ∈ ℕ ∶ 1|

2. El 0 no es divisor de ningún número natural.

3. Todo número natural no nulo es divisor de sí mismo: ∀ ∈ℕ∶ |

4. Todo número natural que divide a varios números, es divisor también de su suma: %| , %| , %| , ⋯ ⟹ %|

+ +⋯"

5. Todo número natural que divide a dos números, divide a su diferencia: ∀ , , % ∈ ℕ,

> ,

%| ,

%| ⟹ %|

− "

6. Todo número natural que divide a otro, divide a sus múltiplos: ∀ , %,

∈ ℕ, %| ⟹ %|

7. Sean a, b y c tres números naturales. Se verifica: | ⟹

Se define el conjunto de los divisores de un número:

Ejemplo:

" = & ∈ ℕ,

20" = & ∈ ℕ,

≠ 0 | ∃ ∈ ℕ tal que =

≠ 0 | ∃ ∈ ℕ tal que 20 =

· '

· ' = &1, 2, 4, 5, 10,20'

2. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD. a) Divisibilidad por 2:

El conjunto formado por los múltiplos de 2 es:

2ℕ = &0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, … '

Son los números pares: la cifra de las unidades siempre es 2, 4, 6, 8 o 0. Luego los números divisibles por 2 acaban en 0 o en cifra par. María Fernanda Ayllón Blanco…………………………Área Didáctica de la Matemática ESCUELA UNIVERSITARIA DIOCESANA DE MAGISTERIO “LA INMACULADA” · Carretera de Murcia s/n · 18010 GRANADA Tels.: 958 205 861 – 958 205 501 / Fax: 958 287 469 · www.eulainmaculada.com · email: magisterio@eulainmaculada.com

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Ejemplos: 6, 54, 72, 80 ADSCRITA A LA UNIVERSIDAD DE GRANADA

b) Divisibilidad por 3:

El conjunto formado por los múltiplos de 3 es:

3ℕ = &0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, … '

Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es 3 o múltiplo de 3. Ejemplos: 15 → 1 + 5 = 6 → Sí

37 → 3 + 7 = 10 → No 36 → 3 + 6 = 9 → Sí

87 → 8 + 7 = 15 → Sí

1 + 5 = 6"

c) Divisibilidad por 5:

El conjunto formado por los múltiplos de 5 es:

5ℕ = &0, 5, 10, 15, 20, 25, … '

Un número es múltiplo de 5 si acaba en 0 ó 5. d) Divisibilidad por 4:

Un número es divisible entre 4 si sus dos últimas cifras son 00 o un múltiplo de 4.

Ejemplos:

1000

428 ⟶ 28 = 4

453 → 53 ≠ 4

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e) Divisibilidad por 25:

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Un número es divisible por 25 si sus dos últimas cifras son 00, 25, 50 ó 75. Es decir, 00 ó múltiplo de 25. Ejemplos:

875 → 75 = 25 → Sí

685 → 85 ≠ 25 → No

f) Divisibilidad por 9:

Un número es divisible entre 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.

Ejemplos:

234 → 2 + 3 + 4 = 9 → Sí

752 → 7 + 5 + 2 = 14 ≠ 9 → No

g) Divisibilidad por 8:

Sea un número = 0 múltiplo de 8). Ejemplo:

. Será múltiplo de 8 si

+ 2 + 4 + 8 = 8 (es

184 → 4 + 2 · 8 + 4 · 1 = 24 = 8

32021 → 1 + 2 · 2 + 4 · 0 + 8 ∙ 2 = 21 ≠ 8 h) Divisibilidad por 11:

Sea un número = 0 … Sumamos las cifras que ocupan el lugar impar, y la llamamos 2. Sumamos las cifras que ocupan el lugar par, y la llamamos 3. Entonces, será múltiplo de 11 si 2 − 3 = 0 ó 11.

Ejemplo:

4708

2 = 7 + 8 = 15 3 =4+0=4

2 − 3 = 15 − 4 = 11 = 11

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82709

2 = 9 + 7 + 8 = 24 3 =0+2=2

i) Divisibilidad por 7 (en ℤ):

Sea un ú% 56 = 7ℎ90

+3 +2 "−

2 − 3 = 24 − 2 = 22 = 11

será divisible entre 7 si se verifica:

+ 3 + 20" + 9 + 3ℎ + 27" = 7

Por tanto, dependiendo del número de dígitos, habrá que ir multiplicando cada tres cifras, empezando por las de las unidades, por la terna (1, 3, 2) que de manera alternada van sumando y restando. Ejemplos:

40353607 → 7 + 3 · 0 + 6 · 2" − 3 + 3 · 5 + 2 · 3" + 0 + 3 · 4" = 19 − 24 + 12 = 7 5764801 → 1 + 3 · 0 + 8 · 2" − 4 + 3 · 6 + 2 · 7" + 5 = 17 − 36 + 5 = −14

3. NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS. Número primo: el aquel número que solamente es divisible por sí mismo y por la unidad. Por ejemplo: 2, 3, 5, 7, 11, …. Hay que notar que el 1 no se considera número primo. Número compuesto: aquel que no es primo: 4, 6, 8, 9, …

Si n es un número compuesto, se puede descomponer en un producto de factores primos: donde , , , … son primos.

: ; <

⋯

Criba de Eratóstenes:

La criba de Eratóstenes es un método que nos permite obtener todos los números primos inferiores a uno dado. Para ello se procede de la siguiente manera:

En primer lugar se escriben todos los números de forma ordenada desde el 1 hasta el número dado. Seguidamente se tachan desde el primer número primo, que es el 2, todos sus múltiplos a partir de 2= es decir, a partir de 4. Se observa que el siguiente número que aparece sin tachar es el 3. Pues bien, repetimos el procedimiento anterior: a partir de éste María Fernanda Ayllón Blanco…………………………Área Didáctica de la Matemática

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se tachan todos los múltiplos de 3 desde su cuadrado, es decir desde 3= = 9. Este proceso se repite de forma sucesiva hasta que lleguemos al máximo número sin tachar tal que su cuadrado sea mayor que le número dado. ADSCRITA A LA UNIVERSIDAD DE GRANADA

Por ejemplo:

Si queremos averiguar los números primos que hay hasta el 100, tan sólo tendríamos que tachar los múltiplos de los números 2, 3, 5 y 7 y pararíamos ahí, ya que el siguiente número primo es 11 y su cuadrado supera al 100 11= = 121 > 100".

11 12 13 14 15 16 17 18 19

21 22 23 24 25 26 27 28 29

31 32 33 34 35 36 37 38 39

41 42 43 44 45 46 47 48 49

51 52 53 54 55 56 57 58 59

61 62 63 64 65 66 67 68 69

71 72 73 74 75 76 77 78 79

81 82 83 84 85 86 87 88 89

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 Tabla 1. Números primos menores que >??, obtenidos mediante la criba de Eratóstenes.

Sin embargo, hay ocasiones en que utilizar la criba es de Eratóstenes es muy engorroso. Imaginemos que queremos averiguar si el número 367 es primo. Tendríamos que escribir 367 números y proceder como se ha explicado anteriormente. El proceso es demasiado largo. Una alternativa a la criba de Eratóstenes es la siguiente. Supongamos que queremos averiguar si un número es primo. Para ello seguiremos los siguientes pasos: María Fernanda Ayllón Blanco…………………………Área Didáctica de la Matemática ESCUELA UNIVERSITARIA DIOCESANA DE MAGISTERIO “LA INMACULADA” · Carretera de Murcia s/n · 18010 GRANADA Tels.: 958 205 861 – 958 205 501 / Fax: 958 287 469 · www.eulainmaculada.com · email: magisterio@eulainmaculada.com

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1) Calculamos √ . Este dato nos indicará hasta qué número primo A tenemos llegar, comprobando si es divisible por él. Es decir, averiguaremos si es divisible por todos los primos desde el 2 hasta aquel cuyo su cuadrado supere al número . Por tanto, si A= > , entonces sabemos que éste será el último número primo por el que tendremos que dividir para ver si es compuesto o primo. 2) Supongamos que A > 11. Esto no evita que comprobemos si es divisible por 2, 3, 5, 7, 11 ya que podría ser divisible por alguno de ellos, y en este caso sería un número compuesto. Si no es divisible por los primos desde el 2 hasta el 11, continuaremos con el siguiente paso. 3) Se escoge el número primo siguiente a 11, que es 13. Si 13 es el número A que cumple esto, sabemos que es el último número primo por el que dividimos . Si la división es exacta entonces diremos que es un número compuesto y si no es exacta, podremos afirmar que es el número dado es un número primo. Si por el contrario su cuadrado no supera al número dado, A= ≯ , entonces se escogerá el siguiente número, que es 17 y se procederá de igual manera que con el 13.

Ejemplo: Consideremos el número 367. ¿Es primo? En primer lugar, calculamos el número primo A hasta el que tenemos que llegar en la comprobación de la división. Como √367 = 19,2, vemos que tenemos que llegar hasta el siguiente número primo mayor que 19,2, esto es: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. Por lo tanto, comprobamos que: • • • • • • • • •

2 ∤ 367 3 ∤ 367 5 ∤ 367 7 ∤ 367

11 ∤ 367 13 ∤ 367 17 ∤ 367 19 ∤ 367 23 ∤ 367

Advertencia: Como 23= > 367 se puede caer en la tentación de dividir 367 solamente entre 23, y ver si la división es exacta o no, para ver si es un número primo o compuesto. Esto nos podría llevar a una conclusión errónea, pues podría suceder que 367 fuese divisible por algunos de los números primos anteriores a 23, en cuyo caso sería compuesto. Por tanto, es conveniente, como se ha descrito en el ejemplo, comprobar la divisibilidad por todos los números primos desde el 2 hasta aquél cuyo cuadrado supere al número dado. María Fernanda Ayllón Blanco…………………………Área Didáctica de la Matemática ESCUELA UNIVERSITARIA DIOCESANA DE MAGISTERIO “LA INMACULADA” · Carretera de Murcia s/n · 18010 GRANADA Tels.: 958 205 861 – 958 205 501 / Fax: 958 287 469 · www.eulainmaculada.com · email: magisterio@eulainmaculada.com

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4. DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN FACTORES PRIMOS. Todo número compuesto se puede descomponer en producto de factores primos. Ejemplo:

360 180 90 E D 45 15 E 5 1

Luego: 360 = 2F · 3= · 5.

2 2 2 3 3 5

Número de divisores de un número A continuación, veamos un método para obtener todos los divisores de un número, no solamente los primos. En primer lugar, si dicho número es primo, entonces el número de sus divisores es 2: el 1 y él mismo. Por otro lado, si conocemos la descomposición en factores primos, de la forma: A = GH IJ KL ⋯

entonces el número de divisores es: MNOP A" =

+ 1"

+ 1" ⋯ Por ejemplo:

360 = 2F · 3= · 5 ⟹ MNOP 360" = 3 + 1" 2 + 1" 1 + 1" = 4 · 3 · 2 = 24

Esto es, 360 tiene 24 divisores.

Obtención de todos los divisores de un número compuesto Sea

= G H I J K L ⋯. Los divisores de

son los términos del producto:

1 + G + G = + G F +. . . +G H " 1 + I + I = + I F + ⋯ +I J " 1 + K + K = + K F +. . . +K L " ⋯

En el ejemplo 360 sería:

1 + 2 + 2= + 2F " 1 + 3 + 3= " 1 + 5" = 1 + 3 + 9 + 2 + 6 + 18 + 4 + 12 + 36 + 8 + 24 + 72" 1 + 5" = 1 + 3 + 9 + 2 + 6 + 18 + 4 + 12 + 36 + 8 + 24 + 72 + 5 + 15 + 45 + 10 + 30 + 90 + 20 + 60 + 180 + 40 + 120 + 360 Cada uno de los sumandos obtenidos es un divisor de 360.

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Otro método para hallar los divisores de un número compuesto: Se elabora una tabla y se empieza poniendo en la primera fila todas las potencias del primer divisor primo, G entre G R = 1 y G H . Seguidamente se colocan todos los productos de la primera fila por cada una de las potencias de I, entre I R = 1 y I J . Este proceso se repite hasta llegar a todos los productos de todas las filas anteriores por cada una de las potencias de K, entre K R = 1 y K L . S

1 1 I

⋯

IG =

⋯

IG H

TU S

I=G

I=G=

⋯

TV S

⋯

I=GH

⋯

IJG

IJ G=

⋯

IJ GH

KG =

⋯

KG H

WTS

KIG

KIG =

⋯

KIG H

WTU S

KI =

KI = G

KI = G =

⋯

KI = G H

⋯

WTV S

KI J

KI J G

KI J G =

⋯

KI J G H

WU S

K=G

K=G=

⋯

K=GH

WU TS

K=I

K = IG

K = IG =

⋯

K = IG H

⋯

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W U TV S

K=IJ

K=IJ G

K=IJ G=

⋯

K=IJ GH

W X TV S

K L I J

K L I J G

K L I J G =

⋯

K L I J G H

⋯

Tabla 2. Obtención de todos los divisores de un número compuesto.

En nuestro ejemplo: 360 = 2F · 3= · 5, entonces: 1

= 3:

A continuación, se multiplica esta fila por todas las potencias del siguiente factor primo, I, desde 1 hasta : 1

1 1

3 3

12 24

9 9 18 36 72

y se continúa hasta completar todos los factores primos: 1

12 18

1 1

12 18

5 5 10 15 20 30 40 45 60 90 120 180 360 Tabla 3: Divisores de YZ?

Ejemplos: •

60 1 2 3 4 5 6 10 12 15 20 30 60

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• •

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Suma de los divisores de un número compuesto: Dado un número natural A ∈ ℕ, descompuesto en factores primos en la forma: A = G H I J K L ⋯ Entonces la suma de los divisores de A es: G H\] − 1 I J\] − 1 K L\] − 1 [= · · · ⋯ G−1 I−1 K−1 Por ejemplo: hemos visto que 360 = 2F · 3= · 5, y que sus divisores son los calculados en la Tabla 3. Entonces: [ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 9 + 10 + 12 + 15 + 18 + 20 + 24 + 30 + 36 + 40 + 45 + 60 + 72 + 90 + 120 + 180 + 360 = 1170 Por otra parte: 26 24 2F\] − 1 3=\] − 1 5]\] − 1 2^ − 1 3F − 1 5= − 1 · · = · · = 15 · · = 15 · 13 · 6 2−1 3−1 5−1 1 2 4 2 4 = 1170

Producto de los divisores de un número compuesto: Dado un número natural A ∈ ℕ, descompuesto como: A = G H I J K L ⋯, entonces el producto de los divisores de A viene dado por: 3 = _A` donde

es el número de divisores de A.

Por ejemplo: 360 = 2F · 3= · 5, con los divisores de la Tabla 3. Entonces: [ = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 8 × 9 × 10 × 12 × 15 × 18 × 20 × 24 × 30 × 36 × 40 × 45 × 60 × 72 × 90 × 120 × 180 × 360 = 4738381338321620000000000000000 Por otra parte: _360=^ = 360=^/= = 360]= = 4738381338321620000000000000000

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5. MÁXIMO COMÚN DIVISOR. El Máximo Común Divisor (M.C.D.) de dos o más números es el mayor de los divisores comunes a dichos números. Lo podemos calcular de dos formas: 1ª Forma:

M. C. D. 60,320" -

Se calculan los divisores de .

Se toman los divisores comunes.

De entre ellos, se elige el mayor.

Por ejemplo: M. C. D. (60,320) -

Divisores de 60: (60) = &1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60'

Divisores de 320: (320) = &1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 32, 40, 64, 80, 160, 320'

Divisores comunes: (60) ∩ (320) = &1, 2, 4, 5 ,10, 20' -

M. C. D. (60,320) = 20

2ª Forma: -

Descomponemos

en factores primos.

- El M. C. D. es el producto de los factores comunes, elevados al menor exponente. Por ejemplo: = D60 = 2 · 3 · 5 g ⟹ M. C. D. (60,320) = 2= · 5 = 20 320 = 2f · 5

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Se dice que dos números son primos entre sí si su máximo común divisor es 1. ADSCRITA A LA UNIVERSIDAD DE GRANADA

Propiedades:

•

Dados dos números naturales

y , si llamamos h a su M. C. D., podremos escribir: =h

=h ′

donde ′ y ′ son primos entre sí, esto es: M. C. D.

′, ′" = 1

• Si dos números se multiplican o dividen por un tercero que es un divisor común, entonces el M. C. D. queda multiplicado o dividido por ese mismo número: M. C. D.

, "=D ⇒ M. C. D. k , l =

M. C. D. ( , )=D ⇒ M. C. D. ( · , · ) = h · n =R

Por ejemplo: M. C. D. (8,20) = 4, y M. C. D. m= , = o = 2

6. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO. El Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.) de dos o más números es el menor de los múltiplos comunes (distintos de cero) a dichos números. Lo podemos calcular de dos formas: 1ª Forma: M. C. M. ( , ) -

Se calculan los múltiplos de , p( ).

Se toman los múltiplos comunes.

De entre ellos, se elige el menor distinto de cero.

Por ejemplo: M. C. M. (12,36) -

Múltiplos de 12: p(12) = &0, 12, 24, 36, 48, ⋯ '

Múltiplos de 36:

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p(36) = &0, 36, 72, 108, ⋯ ' -

Divisores comunes: p(12) ∩ p(26) = &0, 36, ⋯ '

M. C. M. (12,26) = 36 2ª Forma:

Descomponemos

en factores primos.

El M. C. M. es el producto de los factores comunes, elevados al mayor exponente, y de los factores no comunes Por ejemplo: = D 12 = 2 · 3 g ⟹ M. C. M. (12,36) = 2= · 3= = 36 36 = 2= · 3=

Propiedades: • Si dos números se multiplican o dividen por un tercero, su mínimo común múltiplo queda multiplicado o dividido por ese mismo número: M. C. M. ( , ) = p ⟹ M. C. M. ( · , · ) = p · ⟹ M. C. M. ( · , · ) = p · M. C. M. ( , ) = p ⟹ M. C. M. k , l = •

Todo múltiplo común de dos números, también lo es de su M. C. M.

Teorema Fundamental de Divisibilidad: ∀ ,

∈ ℕ, donde su M. C. M. ( , ) = p y su M. C. D. ( , ) = h, se verifica que el

producto de ambos números es igual al producto de su máximo común divisor por su mínimo común múltiplo.

El producto del M. C. D. y del M. C. M. de dos números es igual al producto de dichos números: p·h =

Ejemplo: 45 = 3= · 5

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60 = 2= · 3 · 5 M. C. D. (45,60) = h = 3 · 5 = 15 M. C. M. (45,60) = p = 2= · 3= · 5 = 180 h · p = 15 × 180 = 2700 25 × 60 = 2700 Consecuencias: 1)

∀ , ∈ ℕ, donde su M. C. D. ( , ) = 1, es decir: si dos números son primos entre sí, entonces su p. x. p. es su producto: h = 1 ⟹ p =

2) Si dividimos el p. x. p. de dos números por cada uno de ellos, obtenemos otros dos números que son primos entre sí: i

⟹ M. C. D. ( i ,

]= ]=

Por ejemplo: M. C. M. (6, 12) = 12, luego M. C. D. m ^ , f o = M. C. D. (3, 2) = 1.