Tema 1 by Sergio C.Espinosa

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TEMA 1: Sistemas de numeración

1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN Una vez construido el conjunto de los números naturales cuyos elementos son infinitos y distintos entre sí, surge la necesidad de utilizar infinitas palabras y símbolos para representarlos. Ante esto, se busca un conjunto finito de palabras y símbolos con una serie de reglas que permitan la utilización de dichos números con facilidad y precisión. Se llama sistema de numeración al conjunto de reglas y convenios que utilizamos para nombrar y escribir los números empleando la menor cantidad posible de palabras y símbolos (Nortes, 1993). En la actualidad el sistema de numeración más utilizado es el decimal, es decir, el que está compuesto por diez dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9; con los cuales somos capaces de escribir cualquier cantidad por muy grande que sea, tan sólo habrá que combinar de manera adecuada los dígitos. De hecho, según como combinemos las cifras tendremos un número u otro, p.e., 12 ó 21, tiene significados distintos, pues al no coincidir la posición de las cifras tengo cantidades distintas. Sin embargo, no es el único sistema de numeración que se utiliza actualmente, el sistema binario, formado únicamente por dos dígitos: 0 y 1, se utiliza en informática para programar; el sistema sexagesimal, 0, 1, 2, 3, …….60, es el utilizado para la hora, es decir, sesenta segundos son un minuto y sesenta minutos una hora. Pero, ¿cuáles son las reglas de un sistema de numeración?: 1. Un sistema de numeración se basa en hacer agrupaciones, es decir, si el sistema de numeración es el decimal haremos agrupaciones de diez en diez, si es el binario, haremos agrupaciones de dos en dos, si es el sexagesimal haremos agrupaciones de sesenta en sesenta, etc. María Fernanda Ayllón Blanco………………………Área Didáctica de la Matemática ESCUELA UNIVERSITARIA DIOCESANA DE MAGISTERIO “LA INMACULADA” · Carretera de Murcia s/n · 18010 GRANADA Tels.: 958 205 861 – 958 205 501 / Fax: 958 287 469 · www.eulainmaculada.com · email: magisterio@eulainmaculada.com

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2. Para indicar las agrupaciones que hacemos nos referiremos a la base en la que estamos trabajando. Es decir, si hacemos agrupaciones de tres en tres, diremos que estamos en un sistema de numeración de base 3, si hacemos grupos de 5 nuestro sistema de numeración es de base 5. La base la denotamos con la letra n. Ejemplo: n = 4, mi sistema de numeración es de base 4, haré grupos de 4 elementos y los dígitos que podré utilizar serán 0, 1, 2 y 3. 3. Cuando estoy en sistema de numeración de base n el número de dígitos que utilizaremos son exactamente n, irán desde 0, 1, 2, …(n – 1). Ejemplo: si n = 6, entonces los dígitos son 0, 1, 2, 3, 4 y 5. 4. Tener de base n = 10, significa que cada diez unidades de un orden determinado constituyen una unidad de orden superior. Si tengo n =3, diremos que cada tres unidades de un orden inferior pasarán a ser una unidad de orden superior. Por tanto, cada vez que tenga un grupo de n unidades formaré una unidad nueva que las engloba. 5. El valor relativo de una cifra depende del lugar que ocupa en el número. Ejemplo: la cifra 6 no tiene el mismo valor en el número 167 ó 76. Analicemos cómo utilizamos el sistema decimal. Utilizamos diez dígitos, 0, 1, …., 9. Vamos a hacer agrupaciones de diez en diez elementos, de manera que si tengo diez elementos están quedarán incluidos en un grupo que formará una unidad de orden superior, cuando tengamos diez elementos de esta unidad de orden superior pasaremos a otra superior a ella, y así sucesivamente. Habremos formado unidades, decenas, centenas, etc. Un número dado en base decimal lo podemos descomponer en sus unidades, es decir, 1254 = 1000 + 200 + 50 + 4 = 1 x 103 + 2 x 102 + 5 x 10 + 4. Cuando trabajemos en otra base procederemos igual que en base 10. Supongamos que vamos a trabajar en base 2, esto quiere decir que tan sólo podré hacer grupos cuando tenga dos elementos, cada vez que haga un grupo de dos elementos de igual naturaleza obtendré un grupo que los incluya, y así sucesivamente.

María Fernanda Ayllón Blanco………………………Área Didáctica de la Matemática ESCUELA UNIVERSITARIA DIOCESANA DE MAGISTERIO “LA INMACULADA” · Carretera de Murcia s/n · 18010 GRANADA Tels.: 958 205 861 – 958 205 501 / Fax: 958 287 469 · www.eulainmaculada.com · email: magisterio@eulainmaculada.com

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Esto en clase se puede plantear como un juego, por ejemplo: le diremos a los niños que cada vez que tengan dos lápices la maestra les dará un estuche para guardarlos, cuando tengan dos estuches les proporcionará una mochila para que los guarden, cuando tengamos dos mochilas, una carretilla para llevarlas, y así sucesivamente, nos podemos ir inventando cosas que puedan contener a lo anterior; de manera que si un niño tiene una mochila sabremos que dentro de ella hay dos estuches y dentro de cada estuche hay dos lápices en cada uno, por tanto, en un mochila habrá cuatro lápices. Numéricamente escribiremos la cantidad de carretillas, mochilas, estuches y lápices. Así, si tengo 9 lápices haré las siguientes agrupaciones: 4 grupos de dos lápices y 1 suelto, luego tendrá 4 estuches y un lápiz, haré de nuevo dos grupos de dos estuches, luego tendré dos mochilas y un lápiz, obtengo otro grupo de dos mochilas, luego tengo una carretilla y un lápiz. Escribiremos 1 carretilla, 0 mochilas, 0 estuches y 1 lápiz, es decir, 1001. (la unidad más pequeña es el lápiz, y se empieza a escribir como en base diez a la derecha unidades, luego decenas, etc.) Veamos una representación en base 2 y vayamos escribiendo las cantidades:

***

** **

100

Si no tengo ningún lápiz utilizaré el cero para representarlo, si tengo un lápiz lo represento con el 1, si tengo dos lápices ya podré ganar un estuche, lo representaré como 10 (un estuche y cero lápices fuera del estuche); si tengo 3 lápices, dos de ellos estarán en un estuche y uno fuera, luego lo escribiré como 11 (un estuche con dos lápices dentro y un lápiz fuera del estuche); si tengo cuatro lápices, obtendré dos estuches con dos lápices cada estuche y al tener dos estuches ganaré una mochila que los guardará, por tanto escribiré 100 (una mochila, cero estuches fuera de la mochila y cero lápices fuera de mochila y estuche), y así sucesivamente, el cinco lo escribiré como 101, (una mochila, cero estuches, un lápiz)

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1 0 100(4) 110(6) 1000(8)

11(3) 101(5) 111(7) 1001(9)

……………. Vemos que todos los números los expresamos en función de unos y ceros, puesto que estamos en base 2. En la tabla aparecen entre paréntesis superíndices que equivalen a los valores en base 10. Así, 9 en base diez se representa en base dos como 1001, es decir, hago cuatro grupos de dos (cuatro estuches) y me sobra un lápiz, con ellos hago dos grupos de dos (dos mochilas) y esas dos mochilas las meto en una carretilla, luego tengo una carretilla y un lápiz. En este caso las unidades sería “cmel”, donde c = carretilla, m = mochila, e = estuche y l = lápiz. Si estuviéramos en base 3, tendríamos que utilizar 3 dígitos, 0, 1 y 2 y tendríamos que ir haciendo grupos de 3 elementos. Así, si no tengo ningún lápiz utilizaré el cero para representarlo, si tengo un lápiz lo represento con el 1, si tengo dos lápices el 2, cuando tenga tres lápices ya podré ganar un estuche, lo representaré como 10 (un estuche y cero lápices fuera del estuche); si tengo 4 lápices, tres de ellos estarán en un estuche y uno fuera, luego lo escribiré como 11 (un estuche con tres lápices dentro y un lápiz fuera del estuche); si tengo cinco lápices, obtendré un estuche con tres lápices y dos lápices fuera del estuche, si tengo 6 lápices obtendré dos estuches con tres lápices cada uno, y así sucesivamente, ganaré una mochila cuando tenga tres estuches con tres lápices dentro, y escribiré 100 (una mochila, cero estuches fuera de la mochila y cero lápices fuera de mochila y estuche). Un dato curioso es darse cuenta que en todos los sistemas de numeración 10 equivale a la base en la que se está trabajando, ya que es cuando se realiza el primer grupo, y las siguientes potencias de 10, es decir, 100, 1000, 10000, etc. Corresponden a las potencias de la base. Si estoy en base 2, el 10 equivale en base diez a dos (tengo dos lápices), el 100 es en base diez el cuatro, 22 (tengo una mochila que contiene dos estuches con dos lápices, luego cuatro lápices en total), el 1000 es el ocho (23) en base diez. Como se puede María Fernanda Ayllón Blanco………………………Área Didáctica de la Matemática ESCUELA UNIVERSITARIA DIOCESANA DE MAGISTERIO “LA INMACULADA” · Carretera de Murcia s/n · 18010 GRANADA Tels.: 958 205 861 – 958 205 501 / Fax: 958 287 469 · www.eulainmaculada.com · email: magisterio@eulainmaculada.com

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observar hay tantos ceros como exponente tiene la potencia, en el ocho el exponente es 3 y escribimos 1000. Cuando escribimos un número que no está en base diez, lo indicamos de esta manera: 34(5) leemos “tres cuatro en base cinco” o “treinta y cuatro en base cinco”. 1.1.Transformación de números en base no decimal a base 10. Supongamos que nos dan el número 12(4), sabemos que está escrito en base cuatro, es decir, las agrupaciones se han hecho de cuatro elementos en cuatro. Sigamos utilizando el ejemplo de los estuches y los lápices, en este caso tenemos dos lápices y un estuche, el cuál contiene cuatro lápices, luego tengo (1 x 4) + 2 = 6 lápices en total, esta es la cantidad que le corresponde en base diez, luego 12(4) = 6. Si tuviésemos 1032 (5), tenemos dos lápices, tres estuches con cinco lápices cada uno, cero mochilas y una carretilla que contiene cinco mochilas que tienen dentro cinco estuches con cinco lápices cada uno. Por tanto en total tendrá: (1 x 53) + (0 x 52) + (3 x 5) + 2 = 142 lápices, luego 1032 (5) = 142. Hemos escrito 53 porque cada carretilla tiene 5 mochilas, 5 estuches y dentro 5 lápices, es decir tres cincos. Igual pasa con 52. Nos damos cuenta que los dígitos del número dado acompañan a las potencias de la base, ejemplos:    

1032 (5) = (2 x 50) + (3 x 5) + (0 x 52) + (1 x 53) = 142 12(4) = (2x 40)+ (1 x 4) = 2 + 4 = 6. 10101(2) = (1 x 20) + (0 x 2) + (1 x 22) + (0 x 23) + (1 x 24) = 21 11001(2) = 1 × 24 + 1 × 23 + 0 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 = 2510 1.2. Transformación de números en base 10 a otra no decimal.

Veamos primero como transformar números escritos en base decimal a base binaria. Partamos de un caso concreto por ejemplo, cómo se escribe 17 en base dos. María Fernanda Ayllón Blanco………………………Área Didáctica de la Matemática ESCUELA UNIVERSITARIA DIOCESANA DE MAGISTERIO “LA INMACULADA” · Carretera de Murcia s/n · 18010 GRANADA Tels.: 958 205 861 – 958 205 501 / Fax: 958 287 469 · www.eulainmaculada.com · email: magisterio@eulainmaculada.com

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Tenemos que ir haciendo grupos de dos para ello, la operación que utilizamos es la división. Utilicemos el argumento del ejemplo de los lápices y los estuches. Si tengo 17 lápices haré 8 grupos de dos, y me sobra 1, es decir tengo, 8 estuches y 1 lápiz. Puedo seguir dividiendo, es decir haciendo grupos de dos con los estuches obtenidos, formando cuatro mochilas con dos estuches cada una, con las cuatro mochilas vuelvo a agrupar y obtengo dos carretillas y no me sobra ninguna mochila, por último con las dos carretillas hago un nuevo grupo de dos, gano por ejemplo, un armario para guardarlas.. Recopilemos lo que tenemos a la vista: 1 armario, ninguna carretilla, cero mochilas, cero estuches y un lápiz. Esto lo escribimos como: 17 = 10001(2). Las operaciones realizadas son:

Con el número dado en base diez, vamos dividiendo entre dos sucesivamente hasta que no podamos más, es decir, que obtengamos un cociente más pequeño que el divisor. Se escribe el último cociente y todos los restos obtenidos de derecha a izquierda. Otro ejemplo: Calculemos cómo se escribe en base dos el 20.

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Primero dividimos 20 entre 2; esto es igual a 10 y el resto 0; luego seguimos dividiendo el cociente que le queda (10) entre 2, que da como resultado 5 con resto 0; nuevamente este valor lo dividimos entre 2, lo que da como resultado 5 con resto 0; 5 lo dividimos entre 2; lo que nos da como resultado 2 con resto 1; al final 2 se divide entre 2 quedando como cociente final 1 y resto 0. Para escribir el número 20 en base 2, copia el último cociente 1 seguido de los restos de las divisiones anteriores (10100). Por tanto, para transformar números de base 10 o decimal a base 2 o sistema binario, se dividen sucesivamente para 2 los números propuestos hasta que el cociente sea 1; luego, se copia el cociente 1 seguido de los restos de las divisiones anteriores. Otro ejemplo: Pasemos el número 100 a base binaria. 100 |_2 0 50 |_2 0 25 |_2 --> 100 => 1100100(2) 1 12 |_2 0 6 |_2 0 3 |_2 1 1 Si queremos transformar un número escrito en base 10 a base 3, tendremos que realizar el mismo procedimiento que el utilizado con la base binaria, con la salvedad de que las divisiones se realizarán entre 3, hasta llegar a un cociente inferior a tres. A continuación escribiremos el último cociente seguido de todos los restos de las divisiones anteriores. Este procedimiento es común para pasar un número de base diez a otra base no decimal, se va dividiendo dicho número entre la base en la que se quiere escribir dicho número, de forma sucesiva hasta que el cociente obtenido sea menor que la base en la que se va a María Fernanda Ayllón Blanco………………………Área Didáctica de la Matemática ESCUELA UNIVERSITARIA DIOCESANA DE MAGISTERIO “LA INMACULADA” · Carretera de Murcia s/n · 18010 GRANADA Tels.: 958 205 861 – 958 205 501 / Fax: 958 287 469 · www.eulainmaculada.com · email: magisterio@eulainmaculada.com

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transformar el número, escribiendo como hemos indicado anteriormente en este orden los números, el último cociente seguido de todos los restos obtenidos en las divisiones realizadas empezando por el último hasta llegar al primero. CONCLUSIONES del sistema binario: El sistema de base 2 o sistema binario es un sistema de numeración que utiliza solo dos dígitos: el 0 y el 1. Para transformar números de base 2 a base 10, se multiplican los dígitos dados por los números 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, etc según el caso (es decir, las potencias de dos, 20, 21, ; 22, 23, 24, 25,, etc.) y al final se suman los productos obtenidos. Para transformar números de base 10 a base 2, se divide sucesivamente entre 2 los números propuestos hasta que el cociente sea 1; luego se copia el cociente 1 seguido de los restos de las divisiones anteriores. CONCLUSIONES PARA CUALQUIER SISTEMA DE NUMERACIÓN: El sistema de base n es un sistema de numeración que utiliza los dígitos: el 0, 1, 2, 3, 4, …. , (n – 2), (n-1). Para transformar números de base n a base 10, se multiplican los dígitos dados por los números las potencias de la base, n0, n1, n2, n3, n4, n5,, etc. y al final se suman los productos obtenidos. Para transformar números de base 10 a base n, se divide sucesivamente entre n los números propuestos hasta que el cociente sea más pequeño que n; luego se copia el cociente 1 seguido de los restos de las divisiones anteriores. 1.3. Transformación de números en base no decimal a otra no decimal. María Fernanda Ayllón Blanco………………………Área Didáctica de la Matemática ESCUELA UNIVERSITARIA DIOCESANA DE MAGISTERIO “LA INMACULADA” · Carretera de Murcia s/n · 18010 GRANADA Tels.: 958 205 861 – 958 205 501 / Fax: 958 287 469 · www.eulainmaculada.com · email: magisterio@eulainmaculada.com

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Para transformar un número escrito en base no decimal en otra no decimal, hemos de realizar dos pasos: 1. Transformamos el número dado en base no decimal a base decimal. 2. Transformamos el número obtenido en base 10 a la base no decimal. Ejemplo: dado el número 2748 escríbelo en base 7 2748 = 2 x 82 + 7 x 81 + 4 x 80 = 188 188 |7 48 -----6 26 |7 5 -----3 Luego, 2748 = 188 = 356(7) Otro ejemplo: Dado el número 3251(6) escríbelo en base 2. Seguiremos los pasos explicados anteriormente: 1. El número dado en base 6 lo pasamos a base 10. 2. El número obtenido en base 10 lo pasamos a base 2. 3251 (6) = (1 x 60) + (5 x 6) + (2 x 62) + (3 x 63) = 751 751 |2 ------15 375 |2 11 17 -----1 15 187 |2 1 07 ----1 93 |2 13 ---1 46 |2 06 --0 23 |2 03 ----1 11 |2 1 ---María Fernanda Ayllón Blanco………………………Área Didáctica de la Matemática ESCUELA UNIVERSITARIA DIOCESANA DE MAGISTERIO “LA INMACULADA” · Carretera de Murcia s/n · 18010 GRANADA Tels.: 958 205 861 – 958 205 501 / Fax: 958 287 469 · www.eulainmaculada.com · email: magisterio@eulainmaculada.com

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5 |2 1 ---2 |2 0 ----1

3251 (6) = 751 = 1011101111(2) 2.OPERACIONES DECIMALES.

SISTEMAS

NUMERACIÓN

A continuación vamos a aprender a realizar operaciones entre números que no están escritos en base diez. La mecánica que se sigue es la misma que la utilizada en base decimal. Un dato importante es que los números que intervengan en las operaciones que realicemos han de estar escritos en la misma base. Si no fuese así, los pasaríamos a una base común. Nota: en la documentación adicional de este tema encontrarás detallado el proceso que se sigue para enseñar las cuatro operaciones básicas en base decimal. Es interesante que lo leas puesto que te ayudará a entender los pasos que se siguen en las operaciones realizadas en bases no decimales. a. La suma en sistemas de numeración no decimales. Sumar en una base no decimal es igual de sencillo que en base decimal. El procedimiento que utilizaremos es idéntico. El algoritmo que utilizamos en base diez consiste en que cada vez que tengamos un conjunto de diez elementos o más formaremos un grupo de diez elementos que pasarán a una unidad de orden superior. Es decir, si sumo 17 + 9, procedemos de la siguiente forma: 7 + 9 son 16 luego hago un grupo de diez y me sobran seis unidades, por tanto, escribo un seis debajo y sumo el grupo obtenido de diez elementos con el 1 de las decenas, donde tenemos que 1 + 1 son dos, por tanto, 17 + 9 = 26 11 2374 +338 2712 María Fernanda Ayllón Blanco………………………Área Didáctica de la Matemática ESCUELA UNIVERSITARIA DIOCESANA DE MAGISTERIO “LA INMACULADA” · Carretera de Murcia s/n · 18010 GRANADA Tels.: 958 205 861 – 958 205 501 / Fax: 958 287 469 · www.eulainmaculada.com · email: magisterio@eulainmaculada.com

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Tomemos otro ejemplo, 8 + 7. Vamos a representarlo gráficamente para ver el procedimiento mediante el cuál pasamos de unidades de orden inferior a otras de orden superior. Imaginemos que estamos en una clase de infantil y les vamos a explicar a los alumnos en qué consiste la actividad de sumar. Como aún no conocen el concepto de unidades, decenas, etc. Utilizaremos por ejemplo puntos que serán las unidades, y vasos que representarán a las decenas. Les diremos que cada vez que tengamos diez puntos los podremos meter dentro de un vaso. Por tanto, el vaso será una unidad de orden superior al caramelo. Colocamos el material sobre la mesa de la siguiente forma: * * * * * * * * * * * * * * * Trazamos una línea debajo para juntar y se cuentan. Como los alumnos ya saben que cada diez elementos forman una decena, los meten en un vaso colocándolos a la izquierda, en el lugar de los vasos. La suma queda así sobre la mesa: * * * * * * * * * * * * * * * *

* * * *

El objetivo de manipular estas sencillas sumas es el de insistir en la estructura del sistema de numeración. No es lo mismo que los alumnos comprueben experimentalmente que al unir ocho unidades con siete obtenemos una decena y cinco unidades, que evitar la experiencia para memorizar aquello de “que me llevo una”. ¿Una qué?

Luego 8 + 7 = 15, es decir, un vaso y puntos fuera del vaso. Pues bien, sumar por ejemplo en base 2 consistirá en proceder de igual manera que en base 10 salvo, que pasaremos a una unidad de grado superior en el momento que podamos hacer grupos de dos elementos. Así, su sumo en base dos 1(2) + 1(2) = 10(2) pues decimos: María Fernanda Ayllón Blanco………………………Área Didáctica de la Matemática ESCUELA UNIVERSITARIA DIOCESANA DE MAGISTERIO “LA INMACULADA” · Carretera de Murcia s/n · 18010 GRANADA Tels.: 958 205 861 – 958 205 501 / Fax: 958 287 469 · www.eulainmaculada.com · email: magisterio@eulainmaculada.com

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uno más uno dos pero como con dos elementos hago un grupo y no me sobra nada, pongo un cero y el grupo me lo llevo a la cifra siguiente, como no hay más cifras, pongo el uno delante. 1 1(2) + 1(2) 1 0(2) Ejemplo: Suma de números Binarios Las posibles combinaciones al sumar dos bits son    

0+0=0 0+1=1 1+0=1 1 + 1 = 10

1111 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1(2) + 1 1 0 1 0 1 0 1(2) --------------------10 0 0 0 0 1 0 1 0(2)

nota: los números en rojo corresponden a los grupos obtenidos al sumar dos elementos en la cifra anterior.

Operamos como en el sistema decimal: comenzamos a sumar desde la derecha, en nuestro ejemplo, 1 + 1 = 10, entonces escribimos 0 y "llevamos" 1. Se suma este 1 a la siguiente columna: 1 + 0 + 0 = 1, y seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en decimal). Ejemplo: Suma de números en base cuatro: 11 3 3 3(4) + 1 1(4) 10 1 0(4)

1111 3 2 2 3 3(4) + 1 3 2 1(4) 10 0 2 2 0

Por tanto, para sumar dos números de varias cifras en una base cualquiera, se suman las unidades del mismo orden empezando por las unidades de 1º orden pudiendo ocurrir dos cosas:

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

si la suma es superior a la base en la que están escritos los números, se harán todos los grupos posibles de tantos elementos como indique la base, las unidades sobrantes serán las que escribiremos como cifra llevándonos tantos grupos como hayamos hecho a sumarlos con las cifras de orden siguiente, si la suma no supera la base en la que se está realizando la operación pondremos sencillamente el número obtenido,

siguiendo con el mismo proceso con las unidades de 2º orden, 3º orden y así sucesivamente. b. La resta en sistemas de numeración no decimales. La resta necesita ser trabajada sistemáticamente simbolizándola con el mismo esquema metodológico que la suma (vasos decenas, puntos unidades), inmediatamente después de la asimilación del esquema operatorio aditivo y con números menores de 10, para después trabajar con números mayores. Veamos el ejemplo, sustraer 46 de 52: Descomponemos el minuendo extrayendo una de las cinco decenas y aportándosela a las unidades, con lo que sólo quedarán cuatro decenas, pero tendremos doce unidades. Así podremos restar seis unidades a doce unidades y cuatro decenas a cuatro decenas: 4 10 5 2 - 4 6 0

El algoritmo de la resta, en un sistema no decimal, es el mismo que en el sistema decimal. Pero conviene repasar la operación de restar en decimal para comprender la operación binaria, que es más sencilla. Los términos que intervienen en la resta se llaman minuendo, sustraendo y diferencia. El algoritmo que utilizamos en los sistemas decimales es idéntico que al decimal. Tendremos en cuenta: María Fernanda Ayllón Blanco………………………Área Didáctica de la Matemática ESCUELA UNIVERSITARIA DIOCESANA DE MAGISTERIO “LA INMACULADA” · Carretera de Murcia s/n · 18010 GRANADA Tels.: 958 205 861 – 958 205 501 / Fax: 958 287 469 · www.eulainmaculada.com · email: magisterio@eulainmaculada.com

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1. La cantidad mayor es la que resta a la menor. 2. Colocamos las cantidades correctamente, de forma que si en base diez ponemos unidades estén debajo de las unidades, decenas con decenas, y así sucesivamente, en una base no decimal hacemos de forma similar. 3. Si la cifra del minuendo es mayor que la del sustraendo la resta no tiene complicación, se efectúa igual que en base 10. 4. Si la cifra del minuendo es menor que la del sustraendo haremos igual que en base 10, pediremos prestada una unidad superior para pasarle un grupo a la inferior, con la salvedad que a la unidad inferior no se transformará en “10 + algo”, sino en “el número de la base + algo”. Ejemplo: hagamos la resta 52 – 46 en base 7 4 7 5 2(7) - 4 6(7) 0

3(7)

Como el dos es menor que seis, el cinco le presta una unidad a la unidad inferior (disminuyendo por tanto el cinco a cuatro). Al estar en base siete, obtenemos un grupo siempre que tenga siete elementos. Por tanto, 2 no se convierte en 12 sino que se convierte en 7 + 2 = 9, al cual ya le podemos restar 6. Veamos cómo razonamos en base dos. Las restas básicas 0-0, 1-0 y 1-1 son evidentes:   

0-0=0 1-0=1 1-1=0

La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de la posición siguiente, sólo que esa unidad no contiene diez elementos sino dos por estar en base binaria luego tengo, 2 - 1 = 1 . Esa unidad prestada debe devolverse o bien compensando en la cifra siguiente del sustraendo o disminuyendo en una unidad la cifra que te la ha prestado. Ejemplo: María Fernanda Ayllón Blanco………………………Área Didáctica de la Matemática ESCUELA UNIVERSITARIA DIOCESANA DE MAGISTERIO “LA INMACULADA” · Carretera de Murcia s/n · 18010 GRANADA Tels.: 958 205 861 – 958 205 501 / Fax: 958 287 469 · www.eulainmaculada.com · email: magisterio@eulainmaculada.com

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0 2 1 0 1(2) 1 0(2) 0 1 1(2) Veamos algunos ejemplos más:

10001(2) -01010(2) -----00111(2)

11011001(2) -10101011(2) ----------00101110(2)

c. La multiplicación en sistemas de numeración no decimales. a) Multiplicación de un número de una cifra por otro de una cifra. Para multiplicar dos números de un solo dígito, hago la multiplicación en base diez y después la pasa a la base dada. Ejemplo: 3(5) x 4(5) = 12 = 22(5) b) Multiplicación de un número de una cifra por otro de varias cifras. Sea a un número de una cifra y b un número de varias cifras. Para multiplicar a por b, procedemos: se multiplica a por la cifra de las unidades de 1º orden de b, si el producto es una unidad de 1º orden, se escribe como cifra, pero si el producto es una unidad de 2º orden, se escribe solamente la cifra de las unidades de 1º orden del producto, y al producto de a por la cifra de las unidades de 2º orden de b se le suma la cifra de las unidades de 2º orden del producto anterior, y así sucesivamente. Ejemplo: multiplicamos 122 por 2 en base 4. 1 1 1 2 2(4) X 2(4) 3

0(4)

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c) Multiplicación de un número de varias cifras por otro de varias cifras. Para multiplicar un número de varios dígitos por otro de más de una cifra, procedemos como en el apartado b), pero repetiremos el producto en varios casos primero multiplicando las unidades de 1º orden, después las de 2º, y así sucesivamente para finalmente sumar en la base en que se esté realizando la operación el resultado de las cifras que hemos multiplicado. Ejemplo: 1 1 1 1 1 2 2(4) X 3 2(4) 1 0

3 3

1 1

1 0(4) 2(4) 3

0(4)

d. La división decimales.

sistemas

numeración

Con la operación de la división utilizamos las tres operaciones aritméticas anteriores. El algoritmo que utilizamos para realizar divisiones en bases no decimales es igual al utilizado en base diez. Nosotros vamos a realizar la operación de la división paso a paso para evitar equivocaciones en las cuentas. Uno de los métodos más sencillos para dividir es hacer la tabla del divisor de la división, es decir, si estoy dividiendo 125 en base 7 entre 31 en base 7, calcularé la tabla del 31 en base 7: 31 por 1, por 2, por 3, …hasta 31 por 6. En el cociente pondré los números que más se aproximen a la cifra del dividendo y haré la resta la base dada. Ejemplo: 12516(7) |31(7) ------

31(7) x 0(7) = 0(7)

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-123(7) ----21(7) 0 216 215 1

305(7)

31(7) 31(7) 31(7) 31(7) 31(7) 31(7)

x x x x x x

1(7) = 31(7) 2(7) = 62(7) 3(7) = 123(7) 4(7) = 154(7) 5(7) = 215(7) 6(7)= 246(7)

Tengo un número en el dividendo que lo vamos a dividir por un número de dos cifras por tanto, cogería las dos primeras cifras del dividendo para dividirlas por el divisor. Puesto que 12 entre 31 no cabe, entonces cojo tres cifras del dividendo y decimos 125 entre 31, pero como vamos a razonar es de la siguiente forma, buscamos un número en la tabla del 31 que al multiplicarlo por 31más se aproxime a 125 y ese es el 3 x 31 que da 123, lo escribimos y efectuamos la resta en base 7 y bajamos la cifra siguiente. Obtenemos el 21, el número que al multiplicarlo por 31 más se aproxima a 21 es el cero pues el resto de los números multiplicados por 31 se pasan, colocamos 0 en el cociente y restamos para a continuación bajar la cifra siguiente y proceder del mismo modo hasta terminar la división. Ejemplo: 32001(5) |31 (5) ------31(5) 1012(5) ----10(5) 0 100 - 31 141 -112 24

31(5) 31(5) 31(5) 31(5) 31(5)

x x x x x

0(5) 1(5) 2(5) 3(5) 4(5)

= = = = =

0(5) 1(5) 112(5) 143(5) 224(5)

Nota: es importante fijarse en que si estamos realizando una operación en base 5, por ejemplo, no puedo utilizar números superiores a 4, es decir, si aparece un 5 o un 6, etc. Quiere decir que nos hemos equivocado al operar pues los únicos dígitos válidos en esta base son 0, 1, 2,3 y 4.

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Por tanto, en base n sólo aparecerán dígitos del 0 al (n – 1) tanto al escribir los números como al operar con ellos, si no fuese así, hemos hecho mal algo. 3. EVOLUCIÓN HISTÓRICA Antes de que surgieran los números el hombre se las ingenió para contar, utilizando para ello objetos como piedras, palitos de madera, nudos de cuerdas, o simplemente los dedos. Más adelante comenzaron a aparecer los símbolos gráficos como señales para contar, por ejemplo marcas en una vara o simplemente trazos específicos sobre la arena. Pero fue en Mesopotamia alrededor del año 4.000 a. C. donde aparecen los primeros vestigios de los números que consistieron en grabados de señales en formas de cuñas sobre pequeños tableros de arcilla empleando para ello un palito aguzado. De aquí el nombre de escritura cuneiforme. Este sistema de numeración fue adoptado más tarde, aunque con símbolos gráficos diferentes, por los griegos y romanos. Los griegos emplearon simplemente las letras de su alfabeto, mientras que los romanos además de las letras utilizaron algunos símbolos. Las cifras que hoy utilizamos tienen su origen en las culturas hindú y árabe. Quién colocó al conjunto de los números naturales sobre lo que comenzaba a ser una base sólida, fue Dedekind. Éste los derivó de una serie de postulados (lo que implicaba que la existencia del conjunto de números naturales se daba por cierta), que después precisó Peano dentro de una lógica de segundo orden, resultando así los famosos cinco postulados que llevan su nombre. Frege fue superior a ambos, demostrando la existencia del sistema de números naturales partiendo de principios más fuertes. Lamentablemente la teoría de Frege perdió, por así decirlo, su credibilidad y hubo que buscar un nuevo método. Fue Zermelo quien demostró la existencia del conjunto de números naturales, dentro de su teoría de conjuntos y principalmente mediante el uso del axioma de infinitud que, con una modificación de este hecha por Fraenkel, permite construir el conjunto de números naturales como ordinales según von Neumann. (Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_natural