VERSO LE
PROVE NAZIONALI INVALSI
Liana Giampaoli • Maurizio Giampaoli
SCUOLA SECONDARIA DI SECONDO GRADO
Matematica LICEI SCIENTIFICI
Prove Computer Based: attraverso il codice personale stampato sulla seconda di copertina, tutte le prove del volume potranno essere svolte in maniera interattiva.
VERSO LE PROVE NAZIONALI INVALSI
Il volume contiene cinque simulazioni di prove INVALSI, la prima delle quali presenta dei suggerimenti per lo svolgimento. Le domande, in linea con le indicazioni ministeriali, sono relative ai seguenti argomenti: • Numeri • Spazio e figure • Relazioni e funzioni • Dati e previsioni I quesiti proposti spaziano su tutto il programma ministeriale dei cinque anni, con particolare attenzione al triennio e sono utili a sviluppare competenze di analisi e spirito critico. I quesiti infatti sono stati selezionati privilegiando quelli in grado di stimolare le abilità e non solo le conoscenze, con particolare riferimento alla realtà, richiamando gli argomenti studiati durante il percorso scolastico.
Edizione 2019
COMPUTER BASED
Liana GIAMPAOLI • Maurizio GIAMPAOLI
VERSO LE
PROVE NAZIONALI INVALSI
Scuola secondaria di Secondo Grado
Matematica
Matematica
LICEI SCIENTIFICI • Prove simulate strutturate secondo le indicazioni ministeriali • Una prova guidata con suggerimenti per la risoluzione
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LIBRO DIGITALE SCARICABILE
Edizione 2019
COMPUTER BASED
LIANA GIAMPAOLI • MAURIZIO GIAMPAOLI
VERSO LE PROVE NAZIONALI INVALSI Scuola secondaria di Secondo Grado
Matematica LICEI SCIENTIFICI
Indice La nostra proposta.......................................................................................................................................................................... 3
Prova 1 ................................................................................................................................................................................................ 4
Prova 2 .............................................................................................................................................................................................. 27
Prova 3 ............................................................................................................................................................................................. 43
Prova 4 ............................................................................................................................................................................................ 60
Prova 5 .............................................................................................................................................................................................. 79
PROVE DIGITALI: attraverso il codice personale stampato sulla seconda di copertina, tutte le prove del volume potranno essere svolte in maniera interattiva.
Liana Giampaoli, Maurizio Giampaoli VERSO LE PROVE NAZIONALI MATEMATICA Scuola secondaria di secondo grado – Licei scientifici Responsabile editoriale: Beatrice Loreti Responsabile di produzione: Francesco Capitano Progetto grafico e impaginazione: Carlo Mella Copertina: Curvilinee ©2019 Eli-La Spiga Edizioni Via Brecce – Loreto Tel. 071 750701 info@elilaspigaedizioni.it www.elilaspigaedizioni.it
2
Stampato in Italia presso Tecnostampa Pigini Group Printing Division – Loreto – Trevi 19.83.262.0 ISBN 978-88-468-3833-9 Le fotocopie non autorizzate sono illegali. Tutti i diritti riservati. È vietata la riproduzione totale o parziale così come la sua trasmissione sotto qualsiasi forma o con qualunque mezzo senza previa autorizzazione scritta da parte dell’editore.
Introduzione La nostra proposta In questo volume proponiamo una ricca raccolta di esercizi basati sugli argomenti svolti nel quinquennio delle scuole superiori e in linea con le simulazioni ministeriali pubblicate sul sito www.invalsi.it/areaprove. Si tratta di un testo operativo per la preparazione alla Prova Nazionale di Matematica nel Quinto anno della scuola superiore. I quesiti sono di vario tipo: a risposta multipla, a risposta aperta e a completamento, con una struttura simile a quella delle simulazioni ufficiali. STRUTTURA DEL LIBRO Il volume contiene cinque simulazioni di prove Invalsi, la prima delle quali prevede dei suggerimenti per lo svolgimento. Le domande, in linea con le indicazioni ministeriali, sono relative ai seguenti argomenti: • Numeri • Spazio e figure • Relazioni e funzioni • Dati e previsioni I tipi di quesiti proposti spaziano su tutto il programma ministeriale dei cinque anni, con particolare attenzione al triennio e sono utili a sviluppare competenze di analisi e spirito critico. I quesiti infatti sono stati selezionati privilegiando quelli in grado di stimolare le abilità e non solo le conoscenze, con particolare riferimento alla realtà, richiamando gli argomenti studiati durante il percorso scolastico. STRUTTURA DELLA PROVA Le prove di matematica sono costituite da quesiti di diverse categorie: • a risposta chiusa • a risposta aperta univoca • a risposta aperta • cloze I quesiti a risposta chiusa prevedono quattro alternative di risposte (una sola delle alternative corretta) o una serie di affermazioni a cui si risponde con una scelta V/F. I quesiti a risposta aperta univoca sono domande che richiedono il risultato di un calcolo algebrico o numerico veloce o la determinazione del valore di verità di determinate proposizioni o, ancora, di disegnare o indicare un elemento di una figura. I quesiti a risposta aperta possono richiedere semplici argomentazioni, giustificazioni, sequenze di calcoli. Vengono di solito considerate più risposte accettabili. I quesiti di tipo cloze richiedono il completamento di frasi, calcoli o espressioni. Le prove avranno delle differenze contenutistiche secondo l’ordine di scuola a cui si rivolgono. Infatti oltre alla necessaria continuità verticale che caratterizza tutte le prove dei gradi precedenti, sono stati previsti contenuti e competenze comuni, trasversali a tutti i percorsi scolari e una parte specifica per alcuni indirizzi. SOMMINISTRAZIONE DELLE PROVE Gli studenti hanno 120 minuti a disposizione per svolgere ogni singola simulazione. Durante la prova l’insegnante non può rispondere a eventuali chiarimenti e richieste di aiuto degli alunni, ma li inviterà a rileggere con attenzione i quesiti. 3
Prova 1 SECTION 1: READING 1.
Nella serie storica sono riportati i dati ISTAT dal 1970 al 2010 relativi agli occupati presenti per settore di attività:
OCCUPATI PRESENTI PER SETTORE DI ATTIVITÀ 14.000,0 12.000,0 10.000,0 8.000,0
PRIMARIO SECONDARIO
6.000,0
TERZIARIO
4.000,0 2.000,0 0,0 1970
1975
1980
1985
1990
1995
2000
2005
2010
Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni, riferita ai dati del diagramma, è vera (V) oppure falsa (F): V
F
a. Nel 1970 gli occupati nel settore secondario erano maggiori di quelli del settore primario
b. Il settore secondario ha avuto sempre meno occupati del settore terziario
c. Gli occupati del settore secondario sono sempre aumentati nel tempo
1. AIUTO Si deduce facilmente mediante una lettura attenta del grafico.
4
Prova 1 2.
Uno studente ha riportato nelle prime quattro verifiche di matematica i voti in centesimi riportati in tabella. Che voto deve prendere nella quinta verifica per raggiungere una media di 60 su 100? VERIFICA N.1 VERIFICA N.2 VERIFICA N.3 VERIFICA N.4 VERIFICA N.5 40
70
52
63
?
A. 60 B. 30 C. 75 D. 70 La varianza è _______________ 2. AIUTO Ricorda che la media aritmetica è la somma di tutti i valori divisa per il numero dei valori e la varianza è la media dei quadrati degli scarti dei singoli valori dalla loro media aritmetica.
3.
Il prezzo p che si paga per l’accesso a una palestra è di 30 euro per la tessera annuale più 2 euro per ogni ingresso. Se con n si indica il numero di ingressi, quale funzione esprime tale situazione? A. p = 30 + 2 B. p = 2n + p C. p = 30n + 2 D. p = 2n + 30 Se il prezzo pagato è di 46 euro, sono stati effettuati __________ ingressi. 3. AIUTO Per ottenere la funzione è sufficiente aggiungere al costo fisso il costo del singolo ingresso per il numero degli ingressi.
5
Prova 1 4.
Qual è la soluzione dell’equazione esponenziale 2x = –16 ? A. 4 B. –4 1 C. 4 D. Nessuna delle precedenti 4. AIUTO Ricorda che la funzione esponenziale è sempre positiva.
5.
Il raggio della Terra è circa di 0,6×104 km, mentre il raggio del Sole è circa 0,6×106 km. Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera (V) oppure falsa (F): V
F
a. Il rapporto tra i due raggi è 1
b. Il raggio del Sole è circa 100 volte il raggio della Terra
c. La differenza tra i due raggi è dell’ordine di 106
4 Ricordando che il volume di una sfera è πr3 calcola il volume di una sfera di raggio pari 3 a quello della Terra. Risposta __________ 5. AIUTO Applica le proprietà delle potenze.
6.
⎧ y = mx + q La soluzione del sistema ⎨ determina gli eventuali punti d’intersezione tra y = ax2 + bx + c ⎩ retta e parabola.
Sia ∆ il discriminante dell’equazione risolvente il sistema. Se ∆ > 0 sono ___________ Se ∆ = 0 sono ___________ Se ∆ < 0 sono ___________ 6
Prova 1 6. AIUTO Ricorda che nell’equazione di secondo grado se il delta è maggiore di zero si hanno due soluzioni reali e distinte.
7.
Un cubo è inscritto in una sfera di raggio r.
Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera (V) oppure falsa (F): V
F
a. La diagonale del cubo coincide con il raggio della sfera
b. Tutti i vertici del cubo sono punti della sfera
c. Il centro della sfera coincide con il punto medio della diagonale
Supponendo che il lato del cubo sia 3 cm il volume della sfera è _______________ 7. AIUTO Il volume della sfera si ricava attraverso la formula
4 3 πr . 3
7
Prova 1 8.
Per prendere il caffè da una macchina automatica è possibile acquistare una chiave ricaricabile al costo di 5 euro. In tal modo il prezzo di un singolo caffè, del costo di 80 centesimi, viene scontato del 10%. Il costo della chiave viene ammortizzato dopo n° __________ caffè. Se il cliente ha acquistato la chiave e dopo un mese ha speso 77 euro, quanti caffè ha consumato? Risposta __________ 8. AIUTO Devi trovare il minor numero di caffè che moltiplicati per l’importo risparmiato per ogni singolo caffè dia un cifra che riesca a coprire il prezzo della chiave.
9.
L’equazione sen2x =
1 2
0 ≤ x < 2π ha soluzioni:
5 A. x1 = π ; x2 = π 6 6 5 B. x1 = π ; x2 = π 12 12 C. x = ± π 3 D. x = ± π 6 9. AIUTO Ricorda che l’equazione elementare senx = p
10.
–1 < p < 1
L’equazione log(x + 1) + log(x – 1) = 0 ha soluzioni: A. x = ±1 B. x = ± 2 C. x = + 2 D. x = 0 10. AIUTO Ricorda la proprietà dei logaritmi logm + logn = logmn.
8
ha due soluzioni che differiscono di π.
Prova 1 11.
Osserva il grafico rappresentato nella seguente figura:
Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni, relative al grafico, è vera (V) oppure falsa (F): V
F
a. Si tratta di una proporzionalità diretta
b. L’ordinata all’origine è 1
c. Passa per il punto di coordinate (3; 6)
La retta ha coefficiente angolare pari a __________ L’angolo che la retta forma con l’asse delle ascisse è pari a __________ 11. AIUTO Ricorda che, dati due punti, il coefficiente angolare è dato dal rapporto tra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse, inoltre il coefficiente angolare è anche uguale alla tangente dell’angolo che la retta forma con l’asse delle ascisse.
9
Prova 1 12.
Associa a ciascun grafico della funzione il rispettivo grafico della derivata.
Funzione 1
Funzione 2
Funzione 3
Derivata 1
Derivata 2
Derivata 3
FUNZIONE
Funzione 1
Funzione 2
Funzione 3
DERIVATA
12. AIUTO Ricorda che per le funzioni polinomiali la funzione derivata è di un grado inferiore rispetto alla funzione di partenza.
10
Prova 1 13.
In una stanza di forma rettangolare di dimensioni AB = 12 cm, BC = 20 cm è collocato un tappeto circolare come rappresentato in figura. A
D
B
C
La superficie della parte non coperta dal tappeto è pari a _______________ 13. AIUTO Ricorda che l’area di un cerchio si calcola attraverso la formula πr 2.
14.
Calcola l’altezza di una torre sapendo che un osservatore posto nel punto E, ad una distanza di 50 m dal punto C, vede la punta della torre (D) secondo un angolo di 60° (CE ^D). D A
B
C
E
Risposta __________ 14. AIUTO Ricorda che in un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto tra l’altro cateto e la tangente dell’angolo opposto al cateto da trovare.
11
Prova 1 15.
Nel piano cartesiano sono disegnati i grafici di due funzioni f(x) e g(x).
Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni, relative al grafico, è vera (V) oppure falsa (F): V
F
a. La funzione f(x) è simmetrica della funzione g(x) rispetto all’asse delle ordinate
b. f(x) e g(x) hanno gli stessi zeri
c. f(1) > 0
f(x) = g(x) per x = __________ Per quali intervalli f(x) > g(x)? Risposta _______________ 15. AIUTO Si deduce facilmente mediante una lettura del grafico e ricordando che gli zeri di una funzione sono i punti di intersezione con l’asse delle ascisse.
12
Prova 1 16.
L’espressione log 3 3
3 a2 è equivalente a: b
A. 1 + 2 log3a – 1 log3b 3 3 3 B. 1 + 2 log3a + 1 log3b 3 3 3 C.
3
1 + 2log3 a – log3 b
D. Nessuna delle precedenti 16. AIUTO Applica le proprietà dei logaritmi logm + logn = logmn; logm – logn = log
17.
m ; logmn = nlogm. n
Completa la seguente tabella: EQUAZIONE
SOLUZIONE
2x5 + 6x = 0 –2x6 = 0 2x4 – 32 = 0
17. AIUTO Per risolvere la prima equazione è sufficiente applicare un raccoglimento a fattor comune e applicare la legge di annullamento del prodotto, la seconda equazione è monomia e nella terza equazione basta isolare l’incognita e calcolare la radice quarta ricordando che, trattandosi di indice pari, le soluzioni sono opposte.
13
Prova 1 18.
Il grafico della funzione y = |x + 1| è: A.
B.
C.
18. AIUTO Ricorda che il valore assoluto di un numero è sempre positivo ed eventualmente nullo dove si annulla l’argomento.
14
Prova 1 19.
Una sola delle seguenti affermazioni relative alla prima relazione fondamentale della goniometria è vera: A. cos15° + sen15° = 1 B. cos215° + sen215° = 1 C. cos215° – sen215° = 1 D. Nessuna delle precedenti La prima relazione fondamentale della goniometria riferita ad un angolo α è: ____________________________________________________________________________ 19. AIUTO Considera una circonferenza goniometrica (raggio unitario), su di essa prendi un punto P a cui corrisponde un angolo α e applica il teorema di Pitagora.
20.
Due circonferenze di raggi r e r′ con r < r′ sono tangenti esternamente:
A B
Quale delle seguenti affermazioni è vera? A. d(A, B) < r + r′ B. d(A, B) = r + r′ C. d(A, B) > r + r′ D. Non si può stabilire nulla sulla distanza tra i centri 20. AIUTO Si deduce facilmente dal disegno.
15
Prova 1 21.
Osserva il grafico della funzione y = f(x) rappresentato in figura e completa:
lim f(x) = _________
x→+∞
lim f(x) = 1+ x→___ lim f(x) = +∞ x→___ lim f(x) = _________ x→–1 +
21. AIUTO Si deduce facilmente mediante un’attenta lettura del grafico.
16
Prova 1 22.
Sapendo che AC ≅ CE il numero reale rappresentato dal punto G nella seguente costruzione geometrica è _________
22. AIUTO AF ≅ AG perché raggi di una circonferenza e AC è la diagonale del quadrato che puoi trovare applicando il teorema di Pitagora.
23.
Date le funzioni f(x) = 2x + 5 e g(x) = x2 una sola delle seguenti affermazioni è falsa: A. f (g(x)) = 2x2 + 5 2 B. g( f(x)) = (2x + 5)
C. f (g(x)) = g( f(x)) D. f (g(x)) ≠ g( f(x))
23. AIUTO Ricorda che la composizione di due funzioni non gode della proprietà commutativa.
24.
In figura è rappresentato lo schema a blocchi di un programma.
INIZIA
➡
A:=1
➡
A:=A+2
➡
A:=A.2
➡
scrivi A
Quale delle seguenti sequenze può produrre? 17
Prova 1 A. 1, 3, 6, 6, 8, 16, 16, ... B. 6, 16, 36, 76, ... C. 1, 3, 6, 8, 16, ... D. 6, 12, 18, 24, ... 24. AIUTO Ricorda che fanno parte della sequenza solo i numeri prodotti dal comando SCRIVI A.
25.
Si vuole recintare il perimetro di un terreno formata dal quadrato AGEF e dal rettangolo 1 GBCD. Se si indica con x la misura del lato AB, sapendo che AG = GB e che CB = 2GB 2 l’espressione che esprime il perimetro in funzione di x è: __________________ D
F
A
C
E
G
B
25. AIUTO Esprimi tutti i lati in funzione di x.
18
Prova 1 26.
In figura è rappresentato l’istogramma relativo alla rilevazione delle altezze di un campione di studenti di una scuola. I dati sono stati raggruppati in classi.
RILEVAZIONE ALTEZZE STUDENTI 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
150
160
165 168 altezza (cm)
180
Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni, relative al grafico, è vera (V) oppure falsa (F): V
F
a. Ci sono 5 studenti con altezza compresa tra 150 cm e 160 cm
b. In un istogramma la frequenza di una classe di dati si ricava dall’area del rettangolo relativo a quella classe
c. In un istogramma la frequenza di una classe di dati si ricava dalla base del rettangolo relativo a quella classe
Il numero di studenti appartenenti al campione preso in considerazione è __________ 26. AIUTO Si deduce facilmente mediante una lettura attenta del grafico, ricordando che se le classi non hanno tutte la stessa ampiezza la frequenza non coincide con l’altezza del rettangolo ma...
19
Prova 1 27.
Dato il triangolo in figura, indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera (V) oppure falsa (F): γ a
b
α c
a. c =
V
F
senγ . a c
senγ . senα c
senβ . senγ b
b. senα = c. a =
β
27. AIUTO Ricorda che in triangolo i lati sono proporzionali ai seni degli angoli opposti.
28.
20
Osserva il grafico in figura e individua l’equazione della retta che lo rappresenta: