LaTuaMatematica_Aritmetica1

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A. Calvi G. Panzera S. Morone

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CORSO DI MATEMATICA PER LA SCUOLA SECONDARIA DI PRIMO GRADO

di Anna Calvi, Gabriella Panzera, Simona Morone

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© 2010 ELi - La Spiga Via Soperga, 2 Milano Tel. 022157240 info@laspigamodern.com ELi Via Brecce – Loreto Tel. 071750701 info@elionline.com

Redazione Niccolò Terzi

Guida per l’insegnante ISBN 978-88-468-2796-8

Geometria 1 ISBN 978-88-468-2793-7

Art director Marco Mercatali Responsabile di produzione Francesco Capitano

Copertina Adami Design

Aritmetica 1 + Geometria 1 + I linguaggi della Matematica + cd rom ISBN 978-88-468-2816-3

Disponibili anche separatamente Aritmetica 1 + I linguaggi della Matematica + cd rom ISBN 978-88-468-2790-6

Coordinamento editoriale Beatrice Loreti

Progetto grafico e impaginazione Alberto Sangiorgi

Stampato in Italia presso Grafiche Flaminia - Foligno 10.83.065.0

La casa editrice ringrazia Sara Gentili, Stefania Senigagliesi e Francesco Tramannoni per il contributo fornito nella revisione degli esercizi del corso La tua matematica.

Tutti i diritti riservati. È vietata la riproduzione totale o parziale così come la sua trasmissione sotto qualsiasi forma o con qualsiasi mezzo senza l’autorizzazione scritta della casa editrice.

La casa editrice La Spiga e l’ambiente La casa editrice La Spiga usa carta certificata FSC per tutte le sue pubblicazioni. È un’importante scelta etica, poiché vogliamo investire nel futuro di chi sceglie ed utilizza i nostri libri sia con la qualità dei nostri prodotti sia con l’attenzione all’ambiente che ci circonda.

Un piccolo gesto che per noi ha un forte significato simbolico.

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PRESENTAZIONE ■ Struttura del corso In ottemperanza alle “Indicazioni per il Curricolo” emanate dal Ministero della Pubblica Istruzione nel 2007, il corso è stato strutturato in: due tomi di aritmetica e due di geometria per il biennio; un tomo di algebra e uno di geometria per la classe terza; un volume valido per tutto il triennio con quei contenuti a valenza trasversale quali: gli insiemi; le operazioni binarie e le strutture algebriche; le relazioni; gli strumenti di calcolo, l’approssimazione, la notazione esponenziale e standard, l’ordine di grandezza; i grafici; elementi di statistica; cenni di logica; elementi di calcolo delle probabilità.

Ciascun tomo del corso LA TUA MATEMATICA si compone di SEZIONI, che comprendono, a loro volta, le LEZIONI necessarie alla trattazione completa di ciascuna tematica.

Ogni lezione si apre con l’indicazione di: PREREQUISITI necessari ad affrontare i contenuti proposti; OBIETTIVI da conseguire; CONTENUTI in essa trattati.

La trattazione della teoria adotta un linguaggio rigorosamente scientifico, ma viene sempre proposta in modo semplice e comprensibile da parte di tutti gli alunni; le definizioni e le regole sono graficamente evidenziate non solo per ragioni estetiche, ma soprattutto per favorire quegli alunni che prediligono lo stile cognitivo di tipo visivo.

Al termine dell’esposizione di un contenuto vengono svolti per intero e commentati uno o più esercizi esemplificativi e significativi del concetto da apprendere (ESEMPIO).

Al fine di permettere agli alunni una verifica immediata dell’avvenuta comprensione, agli esempi seguono gli STOPANDGO, batterie di esercizi di rapida esecuzione, da svolgere in classe autonomamente o dietro la guida dell’insegnante; proprio per questo motivo, data anche la loro semplicità, si è deciso di riportare solamente i risultati di quelli più elaborati.

Le grandi tematiche si concludono spesso con schede storiche, denominate STORIA&MATEMATICA. Molti degli argomenti trattati sono arricchiti da GIOCHI, CURIOSITÀ, APPROFONDIMENTI ed “escursioni” in altri ambiti disciplinari (ILSALTADISCIPLINA), non solo per evidenziare l’aspetto ludico della materia ma, soprattutto, per far comprendere ai ragazzi che, nel quotidiano, si usano di frequente concetti matematici; la matematica, infatti, non è una disciplina astratta e avulsa da tutte le altre, ma concorre alla formazione globale di ciascun alunno. Inoltre, essa ben si presta all’inter- e transdisciplinarità delle sezioni.

Ogni lezione si conclude con la sezione dedicata agli ESERCIZI, sempre presentati secondo una gradualità crescente di difficoltà. Il numero di esercizi è particolarmente elevato, per consentire all’insegnante la più ampia scelta possibile.

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Al termine di ciascuna batteria di esercizi sono presenti: ■ una VERIFICA formativa sull’argomento trattato, che ha lo scopo di avere un CONOSCENZE riscontro immediato sull’avvenuto apprendimento delle ABILITÀ e delle da parte degli alunni; ■ una verifica di RECUPERO, qualora si sia riscontrata la necessità di rivedere con la classe (o parte di essa) alcuni argomenti considerati nel corso della lezione; ■ due schede di VERIFICA SOMMATIVA su tutti gli argomenti affrontati nella sezione (fatta eccezione per il volume I linguaggi della matematica): la prima più facile e la seconda relativamente più complessa, per consentire di adeguare la prova ai diversi livelli di apprendimento degli alunni.

Al termine di ogni tomo del corso (fatta eccezione per il volume I linguaggi della matematica) sono state inoltre inserite alcune schede di POTENZIAMENTO, suddivise secondo le sezioni, per evidenziare, nonché gratificare, i casi di eccellenza.

I risultati delle verifiche formative, di recupero, sommative e delle schede di potenziamento si trovano tra le pagine 323 e 334 del presente volume.

Al termine dei voluni di Aritmetica e di Algebra si trovano le tavole numeriche (numeri primi minori di 10 000; quadrati, cubi, radici quadrate e cubiche e scomposizione in fattori).

Al termine del volume di Algebra è presente una sezione dedicata ai TEMI D’ESAME, esercizi destinati alla verifica dell’acquisizione dei contenuti affrontati nel corso della classe terza e, quindi, preparatori per l’Esame di Stato.

Al termine del volume Geometria 1 è presente un’appendice, con relativi esercizi, dedicata all’applicativo Cabri-géomètre II, software che facilita l’apprendimento dei concetti fondamentali legati alla geometria piana.

Il corso LA TUA MATEMATICA è inoltre corredato di: ■ un CD-ROM interattivo, così articolato: • esercizi da svolgere, svolti e guidati, suddivisi per sezione • una sezione di giochi e curiosità matematiche • una selezione di simulazioni della Prova Nazionale ■ una esaustiva presentazione del corso, unitamente a tutte le necessarie

indicazioni metodologiche e al materiale appositamente predisposto per essere fotocopiato e sottoposto agli alunni si trova nella guida per l’insegnante.

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INDICE SEZIONE A I numeri e le operazioni in N e Z LEZIONE

1 2 3 4

1 I numeri e la numerazione

Il sistema di numerazione decimale L’insieme N I numeri decimali Rappresentazione grafica dei numeri

LEZIONE

10 10 12 13 14

■ Espressioni letterali ■ Magia con le espressioni STORIA&MATEMATICA ■ Leonardo Fibonacci: un uomo poco conosciuto a cui l’Europa deve molto ESERCIZI VERIFICA RECUPERO

APPROFONDIMENTO

■ I numeri e la numerazione ■ Numeri sacri ■ Numeri perfetti ■ Numeri amicabili ■ La numerazione romana STORIA&MATEMATICA ■ L’abaco: un antenato della calcolatrice ESERCIZI VERIFICA RECUPERO 2 Le quattro operazioni 1 Addizione

LEZIONE

2

3 4

5

■ Le proprietà dell’addizione ■ L’algoritmo o addizione in colonna ■ 0 e 1 nell’addizione Sottrazione ■ Le proprietà della sottrazione ■ L’algoritmo o sottrazione in colonna ■ 0 e 1 nella sottrazione L’insieme Z Moltiplicazione ■ Le proprietà della moltiplicazione ■ L’algoritmo di moltiplicazione in colonna ■ Moltiplicazione per 10, 100, 1000…

■ 0 e 1 nella moltiplicazione Divisione ■ Le proprietà della divisione ■ L’algoritmo della divisione ■ Divisione per 10, 100, 1000…

■ Divisione di un prodotto per un numero ■ 0 e 1 nella divisione

16 17 17 17 18 19 20 26 27 28 28 29 31 31 33 33 34 34 36 38 39 40 41 41 43 44 45 45 46 46

APPROFONDIMENTO

■ Moltiplicazione e divisione in Z 6 Tabella riassuntiva sulle operazioni

: ILS LTA DISCIPLINA A Da “Attraverso lo specchio” di Lewis Carroll STORIA&MATEMATICA ■ Antiche tecniche di calcolo: la moltiplicazione ESERCIZI VERIFICA RECUPERO

3 Le espressioni

64

APPROFONDIMENTO

47 49 50 51 52 62 63

4 Le potenze 1 Elevamento a potenza 2 Proprietà delle potenze 3 0 e 1 nell’elevamento a potenza

LEZIONE

4 Potenze di numeri decimali

■ Uso delle tavole Espressioni con potenze Potenze a base 10 Notazione scientifica Ordine di grandezza di un numero 9 Operazioni inverse dell’elevamento a potenza ■ Estrazione di radice ■ Logaritmo CURIOSITÀ - QUADRATI PERFETTI 5 6 7 8

ESERCIZI VERIFICA RECUPERO VERIFICA SOMMATIVA 1 VERIFICA SOMMATIVA 2

66 68

69 70 76 77 78 78 79 81 82 83 84 85 85 86 87 87 89 89 90 101 103 104 105

SEZIONE B L’applicazione di numeri e operazioni 5 Le grandezze ■ Misura di una grandezza ■ Misure di lunghezza ■ Misure di superficie ■ Misure di volume ■ Misure di capacità ■ Misure di peso ■ Peso specifico ■ Operazioni con grandezze

LEZIONE

108 109 111 111 112 113 114 115 117

APPROFONDIMENTO

■ Altre unità di misura: le unità di misura inglesi ■ Le misure antiche ■ Le unità di misura regionali italiane STORIA&MATEMATICA ■ Storia dell’unità di misura ESERCIZI VERIFICA RECUPERO

118 118 119 119 120 128 129

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INDICE 6 I problemi 1 Come si legge e come si imposta un problema

LEZIONE

■ Problemi da risolvere con espressioni aritmetiche ■ Problemi da risolvere con il metodo grafico ■ I problemi che non sono problemi

130 130 135 136 139

: ILS LTA DISCIPLINA A Chimica ESERCIZI VERIFICA RECUPERO VERIFICA SOMMATIVA 1 VERIFICA SOMMATIVA 2

APPROFONDIMENTO

■ Problemi da risolvere con diagrammi di flusso ■ Problema aritmetico ■ Problema pratico ■ Problemi ESERCIZI VERIFICA RECUPERO VERIFICA SOMMATIVA 1 VERIFICA SOMMATIVA 2

140 141 142 142 144 152 153 154 155

SEZIONE C Le altre operazioni in N 7 La divisibilità 1 Multipli e sottomultipli 2 Criteri di divisibilità

LEZIONE

■ Criterio di divisibilità per 2 ■ Criterio di divisibilità per 3 ■ Criterio di divisibilità per 5 ■ Criterio di divisibilità per 11 ■ Criterio di divisibilità per 4 ■ Criterio di divisibilità per 9 ■ Criterio di divisibilità per 25 ■ Criterio di divisibilità per 10, 100, 1000…

3 Numeri primi e numeri composti ■ Metodo per stabilire se un numero è primo 4 Scomposizione in fattori primi ■ Criterio generale di divisibilità : ILS LTA DISCIPLINA A Lode ai numeri primi STORIA&MATEMATICA ■ Numeri primi ■ Eratostene ESERCIZI VERIFICA RECUPERO 8 MCD e mcm 1 Massimo Comun Divisore

LEZIONE

■ Rappresentazione grafica del MCD ■ Calcolo del MCD 2 minimo comune multiplo ■ Rappresentazione grafica del mcm ■ Calcolo del mcm 3 Problemi sul MCD e sul mcm

158 158 160 160 160 161 161 162 162 162 163 164 164 166 167

169 169 169 170 180 181 182 182 183 184 186 186 188 190

APPROFONDIMENTO

■ Calcolo di MCD e mcm con il metodo delle divisioni successive

192

193 194 200 201 202 203

SEZIONE D I numeri e le operazioni in Q+ 9 Le frazioni Unità frazionaria La frazione come operatore Classificazione delle frazioni Frazioni equivalenti Semplificazione di una frazione Riduzione di frazioni al denominatore comune Confronto di frazioni

LEZIONE

1 2 3 4 5 6 7

206 206 207 208 211 212 214 215

APPROFONDIMENTO

■ Le frazioni degli Egizi ■ Due indovinelli orientali per “capire” le frazioni ■ Frazioni paradossali ■ La matematica al servizio della musica ESERCIZI VERIFICA RECUPERO 10 Le operazioni e i problemi in Q+ 1 Addizione

LEZIONE

2

3 4 5 6

■ Addizione di frazioni con denominatore uguale ■ Addizione di frazioni con denominatore diverso Sottrazione ■ Sottrazione di frazioni con denominatore uguale ■ Sottrazione di frazioni con denominatore diverso Frazioni complementari Moltiplicazione Frazioni inverse o reciproche Divisione ■ Divisioni particolari Frazioni frazionarie Potenze Espressioni in Q+

7 8 9 10 Problemi

■ Problema diretto ■ Problema inverso ESERCIZI VERIFICA RECUPERO VERIFICA SOMMATIVA 1 VERIFICA SOMMATIVA 2

217 218 218 218 219 234 235 236 236 236 237 238 238 238 239 240 241 242 243 243 245 247 249 249 250 254 285 287 288 289

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SEZIONE E Le misure e le operazioni non decimali LEZIONE

1 2 3 4

11 Le misure non decimali

La misura del tempo La misura degli angoli Equivalenze nelle misure angolari e orarie Le operazioni con le misure angolari e orarie ■ Addizione ■ Sottrazione ■ Moltiplicazione ■ Divisione

292 292 293 294 295 295 296 296 296

APPROFONDIMENTO

■ Misure non decimali ESERCIZI VERIFICA RECUPERO 12 Il sistema binario 1 Il sistema binario

LEZIONE

■ Passaggio da sistema decimale a sistema binario ■ Passaggio da sistema binario a sistema decimale 2 Le quattro operazioni nel sistema binario ■ Addizione ■ Sottrazione ■ Moltiplicazione ■ Divisione

297 298 302 303 304 304 305 306 306 306 306 307 307

APPROFONDIMENTO

■ Sistemi di numerazione con base diversa da 2 e 10

307

ESERCIZI VERIFICA RECUPERO VERIFICA SOMMATIVA 1 VERIFICA SOMMATIVA 2 POTENZIAMENTO

308 310 311 312 313

A LEZIONI 1-2-3-4 B LEZIONI 5-6 SEZIONE C LEZIONI 7-8 SEZIONE D LEZIONI 9-10 SEZIONE E LEZIONI 11-12 RISULTATI VERIFICA-RECUPERO-VER. SOMMATIVE SEZIONE A LEZIONI 1-2-3-4 SEZIONE B LEZIONI 5-6 SEZIONE C LEZIONI 7-8 SEZIONE D LEZIONI 9-10 SEZIONE E LEZIONI 11-12 RISULTATI POTENZIAMENTO

316 318 319 320 322

SEZIONE SEZIONE

SEZIONE SEZIONE SEZIONE SEZIONE SEZIONE

A B C D E

LEZIONI LEZIONI LEZIONI LEZIONI LEZIONI

1-2-3-4 5-6 7-8 9-10 11-12

Tavole numeriche Numeri primi minori di 10 000 Quadrati, cubi, radici quadrate e cubiche Tavole numeriche e scomposizione in fattori

323 325 326 328 330 332 332 333 333 334 335 337

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SEZIONE

A

ARITMETICA 1

I numeri e le operazioni in N e Z In questa sezione imparerai a conoscere l’insieme N, l’insieme Z e le operazioni in essi possibili.

numeri e numerazione le quattro operazioni le potenze le espressioni

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LEZIONE

1 I numeri e la numerazione PREREQUISITI • Conoscere i simboli rappresentativi delle cifre

CONTENUTI • • • • •

I numeri La numerazione decimale L’insieme N I numeri decimali Rappresentazione grafica dei numeri

OBIETTIVI • Conoscere le caratteristiche della numerazione • Saper confrontare i numeri naturali e decimali

1 Il sistema di numerazione decimale L’uomo, anche quello primitivo, ha sempre avuto la necessità di contare per sapere quanti animali o quanti oggetti possedeva. Per fare ciò è ricorso a metodi rudimentali usando sassolini, tacche sui bastoni o usando le dita: associando ciascun oggetto da contare con una delle dita delle mani (o con una tacca, ecc.) poteva determinare se gli oggetti erano “tanti quante” le dita; senza saperlo l’uomo ha sempre usato il concetto di corrispondenza biunivoca tra insiemi equipotenti.

Il numero è ciò che identifica una quantità.

Col passare del tempo, le esigenze dell’uomo aumentavano sempre più, quindi il concetto “tanti quanti” non bastava più; fu necessario introdurre i sistemi di numerazione.

DEFINIZIONE

Un sistema di numerazione è formato da simboli, con i quali si rappresentano i numeri, e da regole, mediante le quali combinare i simboli per poter scrivere tutti i numeri.

Nel nostro sistema di numerazione, per comporre i numeri si usano dei simboli che si chiamano cifre e sono: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

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I numeri e la numerazione

LEZIONE 1

Le cifre Le cifre DEFINIZIONE

0 2 4 6 8 sono le cifre pari 1 3 5 7 9 sono le cifre dispari.

Un numero è pari se termina con una cifra pari; un numero è dispari se termina con una cifra dispari.

Il nostro attuale sistema di numerazione è detto decimale, poiché usa dieci cifre per comporre i numeri e perché dieci unità di un ordine formano una unità dell’ordine immediatamente superiore (nel linguaggio comune si usa dire “va di 10 in 10”) ed è posizionale, poiché il valore di una cifra dipende dalla posizione che occupa.

Ogni cifra ha un valore assoluto (quantità caratteristica della cifra) e un valore relativo (che dipende dalla posizione occupata dalla cifra). valore assoluto

valore relativo

{ {

due due

Il numero 22 è formato da cifre uguali e quindi con lo stesso valore assoluto, ma il 2 di sinistra indica 2 decine, cioè 20 unità, mentre il 2 di destra indica solo 2 unità.

22

due decine due unità

Vediamo ora le regole alla base della numerazione decimale.

1° Le cifre sono le unità del primo ordine.

L’USO DEI NUMERI L’uomo usa il numero in tre modi diversi: i numeri cardinali rispondono alla domanda quanti? Con essi si eseguono le quattro operazioni perché esprimono delle quantità.

I numeri ordinali rispondono alla domanda quale posto occupa? Con essi si fanno dei confronti per stabilire il maggiore o il minore.

I numeri identificatori rispondono alla domanda quale tra loro?

Consideriamo come esempio il numero 21: Il signor Luigi deve portare 21 bottiglie di vino al suo amico Paolo che è stato il ventunesimo estratto di una lotteria e per raggiungerlo prende il bus 21. Come vedi il numero è sempre 21 ma indica situazioni diverse: 21 bottiglie è un cardinale, ventunesimo è un ordinale e il 21 del bus è un identificatore.

dieci dieci dieci dieci

unità formano la decina (secondo ordine) decine formano il centinaio (terzo ordine) centinaia formano il migliaio, o unità di migliaia (quarto ordine) unità di migliaia formano le decine di migliaia (quinto ordine)

e così di seguito.

2° Gli ordini si raggruppano tre a tre e vanno a formare le classi.

Per la scrittura di un numero lo si deve scomporre, partendo da destra, in gruppi di tre cifre, cioè in classi, lasciando uno spazio fra ogni gruppo; lo stesso vale per la lettura del numero.

1a classe - s

2a classe - k

3a classe - M

4a classe - MLD

(classe delle unità)

(classe delle migliaia)

(classe dei milioni)

(classe dei miliardi)

unità semplici (u)

1° ordine

unità di migliaia (uk)

4° ordine

unità di milioni (uM)

7° ordine

unità di miliardi (uMLD)

decine semplici (da)

2° ordine

decine di migliaia (dak)

5° ordine

decine di milioni (daM)

8° ordine

decine 11° di miliardi (daMLD) ordine

centinaia semplici (h)

3° ordine

centinaia di migliaia (hk)

6° ordine

centinaia di milioni (hM)

9° ordine

centinaia di miliardi (hMLD)

11

10° ordine

12° ordine

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I numeri e le operazioni in N e Z

SEZIONE A

Ricordati sempre che 0 è una cifra speciale, la sua posizione è molto importante.

Osserva i numeri: 140

104

014

Nei primi due casi 0 ha valore, nel terzo no: viene quindi omesso.

ESEMPIO

437

1237 unità decine centinaia

unità decine centinaia migliaia

STOPANDGO

1

3

Indica, nei seguenti numeri, il valore di ogni cifra. a

107

b

12

c

342

d

1275

e

87 006

f

987 542

Evidenzia nei seguenti numeri la cifra delle centinaia. a

4 2

Nei seguenti numeri indica il valore della cifra 3. a

134

b

354

c

1283

d

1 300 000

437

b

1528

c

12 587 d 584 887

Considera i seguenti numeri e indica quante decine, centinaia, migliaia contiene ciascuno. a

937

b

432

c

24

d

8050

2 L’insieme N Possiamo ormai scrivere, conoscendo il sistema di numerazione decimale, tutti i numeri che vogliamo: basta aggiungere ogni volta una unità per ottenere un numero sempre più grande del precedente. Questa operazione è infinita, non troveremo mai il numero finale: abbiamo ottenuto i numeri naturali.

PROPRIETÀ

L’insieme N dei numeri naturali è un insieme infinito di numeri ed è formato dal sottoinsieme dei numeri pari NP e dal sottoinsieme dei numeri dispari ND. NP

N

ND N = NP ∪ ND

ESEMPIO

Con il simbolo N0 si indica l’insieme dei numeri naturali escluso lo zero.

Dati due numeri naturali, è sempre possibile il loro confronto in quanto possono essere uguali (=), diversi (≠), uno maggiore (>) o minore (<) dell’altro.

Consideriamo i numeri 17 e 28 e confrontiamoli: • 17 ≠ 28 • 17 < 28 • 28 > 17

17 diverso da 28 17 minore di 28 28 maggiore di 17 12

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I numeri e la numerazione

LEZIONE 1

REGOLA

Ogni numero naturale n è sempre minore del suo successivo (n + 1) ed è sempre maggiore del suo precedente (n – 1). Il numero 0 non ha precedente ed è quindi minore di qualunque altro numero naturale.

NOTA

Alcune volte si usano le espressioni maggiore o uguale a oppure minore o uguale a. Esse si traducono con i simboli ≥ o ≤ .

STOPANDGO

1

4

Vero V o falso F ?

54 è il precedente di 55.

10 è il successivo di 11.

27 è il precedente di 26. d V F 19 è il successivo di 18. e V F 1022 è il precedente di 1021. f V F 273 è il successivo di 274. a V F

a b

b V F c V F

2

5

Scrivi il successivo dei seguenti numeri.

45 → ……

107 → …… c 8177 → …… d 12 313 → ……

6

a

7

…… b …… c …… d …… a

→ → → →

8, 21, 5, 1003, 1300 110, 8, 38, 8012, 8102

Completa con i simboli > o <. a b c

Scrivi il precedente dei seguenti numeri.

8, 27, 3, 57, 108 112, 27, 8, 1090, 109

Scrivi in ordine decrescente le seguenti successioni di numeri. a b

b

3

Scrivi in ordine crescente le seguenti successioni di numeri.

27 … 29 153 … 154 3 … 7

d e f

31 …

19 51 …

48 1021 … 10 021

Scrivi in simboli le seguenti frasi.

Il numero a è maggiore o uguale a 7.

Il numero a è minore o uguale a 41.

Il costo x deve essere minore di € 30.

Una macchina produce al massimo a pezzi all’ora. e Aldo deve fare almeno 3 goal per vincere.

a b c d

18 315 8201 30 710

3 I numeri decimali Abbiamo detto che i numeri naturali vengono utilizzati per contare gli oggetti; nella vita pratica può però accadere di avere a che fare con pezzi o parti di oggetti: non ci capiterà di mangiare un’anguria intera, ne mangeremo una fetta, cioè una parte.

Da qui la necessità di usare dei numeri più piccoli dell’unità. Se consideriamo l’intero e lo dividiamo in dieci parti uguali, otteniamo dei “pezzetti”, ciascuno dei quali si chiama decimo.

Il decimo può essere diviso in dieci parti uguali, ciascuna delle quali corrisponde alla centesima parte dell’intero e quindi si chiama centesimo.

Il centesimo può poi essere diviso in dieci parti uguali, ciascuna delle quali corrisponde alla millesima parte dell’intero e quindi si chiama millesimo, e così via.

1 decimo si scrive 1 centesimo si scrive 1 millesimo si scrive

0,1.

0,01.

0,001.

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I numeri e le operazioni in N e Z

SEZIONE A

Come si può vedere, la scrittura di questi numeri, che si chiamano numeri decimali, comporta l’uso di una virgola, che ha il compito di separare le unità semplici dalle unità decimali.

Consideriamo, per esempio, il numero decimale 397,248, dove 397 è la parte intera e 248 la parte decimale: unità decine centinaia

397,248 millesimi centesimi decimi

Esso è composto da 3 centinaia semplici, 9 decine semplici, 7 unità semplici, 2 decimi, 4 centesimi, 8 millesimi e si legge: trecentonovantasette e duecentoquarantotto millesimi.

NOTA

Lo zero nei numeri decimali non cambia il valore del numero se è scritto a destra dell’ultima cifra decimale.

Le scritture 5,7, 5,70, 5,700 rappresentano lo stesso numero decimale, cioè 5 unità e 7 decimi, mentre le scritture 57, 570, 5700 rappresentano numeri diversi.

STOPANDGO

1

Nei seguenti numeri decimali indica la parte intera e la parte decimale.

3

Cancella gli zeri inutili nei seguenti numeri. a

a

2

32,71

b

5,07

c

0,507

d

In ciascuno dei seguenti numeri indica il valore della cifra 2. a

32,4

b

5,207

c

3,02 b 2,220 c 0,007 d 240,030 e 008,0080

132,05

0,025

4

In ciascuno dei seguenti numeri indica il valore della cifra 0. a

30

b

0,31

c

2,07

d

1207

4 Rappresentazione grafica dei numeri Consideriamo una semiretta di origine O e, a partire da O, consideriamo una successione di segmenti adiacenti e uguali tra loro: OA - AB - BC - CD - DE - EF, ecc.

O A B C D E F G H I L Se all’origine (O) facciamo coincidere il numero 0 e ai successivi estremi di ogni segmento, rispettivamente, i numeri naturali 1, 2, 3, 4, 5, ecc. otteniamo una rappresentazione grafica dei numeri naturali.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

u 14

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I numeri e la numerazione

LEZIONE 1

Ogni estremo di segmento è, quindi, l’immagine di un numero e, poiché la semiretta inizia con l’origine ma è poi illimitata, ciò ci permette di rappresentare gli infiniti numeri naturali.

PROPRIETÀ

L’insieme ordinato dei numeri naturali è in corrispondenza biunivoca con l’insieme dei punti che dividono una semiretta in segmenti adiacenti e uguali all’unità di misura. Tali punti sono l’immagine dei numeri naturali.

Osservando la rappresentazione grafica dei numeri, possiamo dire che il numero 4 indica che abbiamo contato 4 unità di misura, cioè quattro segmenti (numero cardinale), oppure che il 4 occupa il quarto posto (numero ordinale).

Per rappresentare un numero decimale, ad esempio 4,3, si fissa l’unità di misura e la si divide in 10 parti uguali per rappresentare così i decimi: u 0

1

2

4 4,3

3

5

STOPANDGO

1

Rappresenta sulla retta orientata i seguenti numeri: 7; 3; 5; 1; 4; 3,5; 2.

0

2

Scrivi i numeri corrispondenti ai punti A, B, C. a

0

1 A

b

0

B

1 B

c

C

A

0

C

2 A

B

C

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I numeri e le operazioni in N e Z

SEZIONE A

APPROFONDIMENTO

■ I numeri e la numerazione

Da studi compiuti sullo sviluppo della mente del bambino, da scoperte archeologiche e dallo studio di civiltà ancora primitive si è scoperto che il percorso del concetto di numero, per arrivare a essere quello che noi oggi conosciamo, è stato lungo e laborioso.

Gli strumenti di numerazione più antichi sono stati quasi certamente le parti del corpo, per esempio le dita, oppure oggetti, come conchiglie e palline di argilla, ma anche vere e proprie “calcolatrici” rudimentali. Sono state infatti ritrovate ossa di animali, risalenti a decine di migliaia di anni fa, incise con tacche tutte uguali, che si pensa potessero essere uno dei primi metodi per rappresentare graficamente i numeri.

Tutte le grandi civiltà umane come Egizi, Sumeri, Maya, Cinesi, Greci e Romani idearono particolari simboli per rappresentare i numeri e sistemi di numerazione più o meno complessi per eseguire i calcoli.

I numeri sono a volte considerati noiosi e privi di interesse, ma, anche se quasi non ce ne accorgiamo, essi fanno parte della nostra vita quotidiana.

Provate a immaginare di svolgere attività anche semplici e divertenti senza usare i numeri: chiamare un amico al telefono, scegliere il canale TV preferito, arrivare in orario a un appuntamento, trovare l’indirizzo di una persona sarebbero azioni impossibili senza conoscere il simbolo numerico e il suo significato.

Il numero non è un concetto innato nell’uomo: è una sua invenzione, dovuta all’esigenza di conoscere le quantità. Addirittura l’uomo primitivo (cacciatore, allevatore e agricoltore) non poté farne a meno per svolgere le sue attività e si diede da fare…

Tavola delle numerazioni antiche

Fu l’introduzione del numero zero e delle cifre arabe che semplificò la numerazione e i calcoli.

Le cifre chiamate arabe, in effetti, furono quasi certamente inventate dagli Indù, ma vennero pubblicate su testi da studiosi arabi e diffuse in Europa con questo nome.

Lo zero non esisteva negli antichi sistemi di numerazione. Furono probabilmente gli Indù e, conseguentemente, gli Arabi che diedero una

Quasi tutte le numerazioni antiche erano additive: per leggere i numeri bisognava sommare i valori dei singoli segni grafici.

Nella numerazione romana, per esempio, LXXXII corrisponde a 82: (L)50 + (X)10 + (X)10 + (X)10 + (I)1 + (I)1 = 82

Questo tipo di scrittura rendeva l’esecuzione delle operazioni estremamente complicata.

16

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I numeri e la numerazione

LEZIONE 1

forma grafica alla quantità nulla. Gli Arabi lo chiamarono “sifr”, vocabolo che venne tradotto in latino come “zephirus” e quindi “zero”.

L’introduzione in Europa dello zero e delle cifre arabe, che diedero vita al sistema di numerazione posizionale (i simboli acquistano valori differenti a seconda della posizione che occupano nel numero) oggi in uso, è dovuta a Leonardo Fibonacci (1170-1250). Il padre di Leonardo era un magistrato della colonia commerciale pisana in Algeria e fu proprio in questo paese che il giovane, studiando con un maestro musulmano, si rese conto che il sistema di numerazione più semplice ed efficace era quello indiano. Nel 1202 la pubblicazione del suo Liber Abaci cambiò e semplificò i calcoli degli Europei. Pensate che una cifra all’apparenza insignificante come lo zero, cambiò il destino della matematica!

Come avresti potuto riconoscere il diverso valore dei numeri 22, 202 e 2002 senza l’uso del simbolo 0?

Tre sono anche i re Magi, i mesi in una stagione, le tre Grazie, le teste di Cerbero (il cane guardiano degli Inferi).

Il 7 è sacro perché scandisce i giorni e i cicli della vita umana.

Sette volte sette e settanta volte sette sono espressioni bibliche che indicano un numero grandissimo.

Per gli Ebrei, la sacralità del sette era data dalla somma 6 + 1 per ricordare i 6 giorni della creazione del mondo e il numero 1 che simboleggia l’unicità di Dio. Sono 7 i colori dell’iride (rosso, arancione, giallo, verde, azzurro, indaco e violetto), i giorni della settimana, i re dell’antica Roma, i Sapienti (Savi) dell’antica Grecia, le stelle che compongono il Grande Carro ed il Piccolo Carro, i bracci del candelabro ebraico, i sacramenti religiosi e i vizi capitali.

■ Numeri perfetti

I numeri perfetti sono i numeri interi che risultano uguali alla somma dei propri divisori con esclusione del numero stesso.

Il primo numero perfetto è il 6, in quanto i suoi divisori sono 1, 2, 3, 6 e 1 + 2 + 3 = 6.

Il secondo è il 28, i cui divisori sono 1, 2, 4, 7, 14 e 28.

Prova a sommarli e otterrai 28!

I matematici per ora ne hanno identificati solo 47, ma, se è vero che i numeri sono infiniti, lo saranno anche i numeri perfetti?

■ Numeri sacri

La scuola Pitagorica affermava che la spiegazione dell’esistenza e del mutare delle cose è contenuta nei numeri: basta saperli leggere nel modo giusto.

Il 2 è sacro perché esprime la dualità della Natura: luce e buio, Sole e Luna, acqua e terra, maschile e femminile. Esso esprime inoltre le coppie di parti del nostro corpo (occhi, orecchie, braccia, gambe, mani, piedi, narici, labbra…) e due sono anche i tropici (Cancro e Capricorno), i poli (Nord e Sud) e gli emisferi terrestri (Australe e Boreale) Il 3 è un numero sacro poiché Dio creò la luce il terzo giorno. Esso inoltre rappresenta la perfezione, perché visualizza il triangolo, fonte di abbondanza e fertilità presso numerose civiltà antiche e simbolo della Trinità nella religione cristiana.

Nell’Induismo, le divinità sono raffigurate con la Trimurti (Brahma, Shiva e Visnù) e per gli antichi Romani gli dei più importanti erano tre: Giove, Giunone e Minerva.

■ Numeri amicabili

Dati due numeri, se la somma dei divisori propri (escluso cioè il numero stesso) del primo è uguale al secondo e, viceversa, la somma dei divisori propri del secondo è uguale al primo, questi sono detti amicabili.

I divisori propri di 220 sono 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 e la loro somma è 284.

I divisori propri di 284 sono 1, 2, 4, 71, 142 e la loro somma è 220. 220 e 284 sono per questo motivo due numeri amicabili.

17

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I numeri e le operazioni in N e Z

SEZIONE A

risultati a pag. 323

GIOCHIAMO CON I NUMERI

1

Disegna il simbolo mancante:

2

Quanti mesi arrivano a 28 giorni?

11

22

3

33

44

Una lumaca deve salire un muro di 5 metri. Di giorno sale di 3 metri, ma di notte scende di 2.

Dopo quanti giorni arriva in cima al muro?

4

In uno scavo archeologico nei pressi di Roma fu trovata una moneta. Essa era d’argento e portava incisa la data 41 a.C. È vero o falso?

66 77

88

■ La numerazione romana

Avviciniamoci a noi nel tempo e vediamo come i romani indicavano i numeri. Questo popolo scriveva i numeri per mezzo di lettere.

I simboli usati erano:

I ↓ 1

V ↓ 5

X ↓ 10

L ↓ 50

C ↓ 100

D ↓ 500

M ↓ 1000

La numerazione romana viene usata ancora oggi soprattutto per scrivere le date su targhe commemorative e per indicare i numeri ordinali; è quindi importante conoscere questo sistema di numerazione e le sue regole.

Il sistema di numerazione romana non è un sistema posizionale, in quanto ogni simbolo conserva sempre il suo valore assoluto, ma la posizione è comunque importante perché se i simboli sono scritti in ordine decrescente i loro valori si sommano (sistema additivo), se invece i simboli sono scritti in ordine crescente bisogna sottrarre dal valore più grande il valore più piccolo (sistema sottrattivo).

XI IX

ordine decrescente ordine crescente

→ →

X+I X–I

cioè cioè

10 + 1 → 10 – 1 →

11 9

Per comporre i numeri, bisogna seguire le seguenti regole. a

b c

I simboli I, X, C, M possono essere ripetuti al massimo tre volte; si sommano ad altri di valore maggiore o uguale se sono scritti alla loro destra; si sottraggono da altri di valore maggiore se scritti alla loro sinistra, ma con i seguenti limiti: I può essere sottratto solo da V e X; X può essere sottratto da L e C. I simboli V, L, D possono essere scritti solo una volta e non si sottraggono.

Un simbolo scritto tra due di valore maggiore viene sottratto da quello di destra e non sommato a quello di sinistra. Ad esempio: 18

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I numeri e la numerazione

LEZIONE 1

d

XIX

va interpretato come e non

X + IX XI + X

cioè cioè

10 + 9 11 + 10

→ →

19 21

CIV

va interpretato come e non

C + IV CI + V

cioè cioè

100 + 4 101 + 5

→ →

104 106

Uno o più simboli, sormontati da un tratto orizzontale, vengono moltiplicati per 1000; sormontati da due tratti orizzontali vengono moltiplicati per 1 000 000.

Vediamo alcuni esempi: 6 14 49 99 490 499 990 999 4000 750 6322 200 000 14 358 957

VI XIV XLIX (e non IL) XCIX (e non IC) CDXC (e non XD) CDXCIX (e non ID) CMXC (e non XM) CMXCIX (e non IM) IV MMDCCL VICCCXXII CC XIVCCCLVIIICMLVII

STORIA&MATEMATICA

■ L’abaco: un antenato della calcolatrice

I romani e altri popoli, per effettuare i calcoli più rapidamente, usavano uno strumento detto abaco che poteva consistere in tavole di pietra con scanalature in cui mettere i calculi, cioè dei sassolini, assicelle verticali su cui infilare anelli, bacchette cosparse di cera per poter incidere delle tacche.

M D L V In ogni caso, l’abaco aveva delle colonne corrispondenti ai vari ordini di unità C X I e nella numerazione a base 10 ogni colonna aveva il posto per soli nove oggetti, poiché dieci oggetti di una colonna formavano un ogAbaco romano che rappresenta dak uk h d u getto della colonna di ordine superiore.

Abaco a base 10 che rappresenta il numero 21 415.

19

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LEZIONE

1 I numeri e la numerazione ESERCIZI 1

Vero V o falso F ?

5 è una cifra più piccola della cifra 2.

75 è una cifra con due numeri.

57 è un numero con due cifre.

Le cifre sono infinite.

Con le cifre si possono comporre i numeri.

Le cifre coincidono con i primi dieci numeri.

Il mio libro ha una cifra di pagine pari a 245.

8

quarantotto novantacinque sessantasei ottantuno trentanove duecentoventinove quattrocentotré settecentoundici novecentoquattro

Indica se il simbolo 9 esprime una cifra C o un numero N .

9

trecentotrenta cinquecentodiciassette centonovantuno ottocentouno tremiladuecentoventi seimilasei novemilaquarantasette tremiladieci

a V F b V F c V F d V F e V F f

V F

g V F

2

a C N b C N c C N d C N e C N f

C N

g C N h C N i l

3

Scrivi in cifre i seguenti numeri.

C N C N

29 caramelle 9 matite 9 libri 900 spilli 359 francobolli 1 009 coriandoli 491 biglie 09 fogli 9 cioccolatini 49 farfalle

Scrivi il numero più piccolo e il più grande formati da tre cifre uguali.

4

Scrivi il numero più piccolo e il più grande formati da tre cifre diverse fra loro.

5

Scrivi il numero più piccolo e il più grande formati da quattro cifre uguali.

6

Scrivi il numero più piccolo e il più grande formati da quattro cifre diverse fra loro.

7

Scrivi il numero più piccolo e il più grande formati dalle cifre 1-3-5-8-9.

20

10

ventimilaquattrocentoquattro trentamilaquindici tredicimilacentodue ottantottomiladuecentocinque quarantamiladue cinquantaseimilasette

11

centodiciannovemilatrecentoquarantasei duecentomilacentodieci settecentoquattordicimilanovecentonove unmilionecinquecentodiciannovemila

12

ottomilasettecentoventi ventinovemilauno quattordicimilacinque centomilaquarantadue quattromilioniventisettemilaquindici quattromiliardiquindicimilioni ventiquattromilioniottocentoventimilasette novantanovemilanovecentonovanta settemiliardiquarantaduemilioniottocentomila

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I numeri e la numerazione

LEZIONE 1 ESERCIZI

Scrivi in lettere i seguenti numeri.

13

224 103

507 612

941 998

107 395

840 114

14

1021 7048

4705 8407

2900 6003

1901 9909

8400 1111

15

24 024 57 008

13 900 78 505

97 503 31 003

34 501 93 014

16

845 000 831 103 505 505 800 018 700 204 418 300

17

2 418 913 204 029 010

10 405 507 871 003 004

117 400 203 188 077 221

18

125 924 101 910

724 502 4 741 541

10 002 5 221 000

20

54 centinaia 2 decine 5 unità 27 decine 8 unità 41 migliaia 73 unità 8 decine di migliaia 8 migliaia 8 centinaia 8 decine 8 unità 21 migliaia 3 centinaia 5 decine 4 unità

21

95 migliaia 13 unità 6 centinaia di migliaia 8 centinaia 3 decine 4 decine di migliaia 14 unità 7 unità di milioni 1 decina di migliaia 9 migliaia 4 centinaia 25 unità 1 decina di milioni 1 decina di migliaia 1 decina

22

8 decine 3 unità 14 decine 7 unità 2 centinaia 5 unità 3 centinaia 4 decine 1 unità 3 centinaia di migliaia 1 unità 800 milioni 4 migliaia 15 unità 10 milioni 3 centinaia 4 decine 27 milioni 27 migliaia 13 centinaia 2 decine 8 unità 2 miliardi 14 migliaia 17 migliaia 4 decine 1 milione 1 migliaio 1 decina

Scrivi i seguenti numeri.

19

7 4 8 6 9

centinaia 4 decine 3 unità migliaia 2 centinaia 1 decina 4 unità migliaia 3 centinaia 3 decine 6 unità centinaia 4 unità migliaia 8 decine

Completa le seguenti tabelle.

23

a

a

4 classe

a

3 classe

a

2 classe

1 classe

12° 11° 10° 9° 8° 7° 6° 5° 4° 3° 2° 1° ordine ordine ordine ordine ordine ordine ordine ordine ordine ordine ordine ordine

3 7

8 7

4

4

1

9

9

5

6

5

4

6

9

5

7

5

9

5

6

8

7

5

8

4

1

8

3

9

3

21

2

4

4

3

4

1

5 2

4

Numero 30 956 024

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I numeri e le operazioni in N e Z

SEZIONE A

24

hM

daM

uM

hk

dak

4 7 5

8

8

5

3

6

1

3

3

4 9

25

hM

h

da

u

9

2

5

1

5

4

1

2

6

9

7

2

2

9

daM

uM

hk

2

5

uk

4 4

Numero 490 251

3 1

7

8

3

4

9

2

5

2

3

7

5

6

4

5

6

dak

uk

h

da

u

9

7

4

8

4 1

Numero 2 500 974 694 531 35 641 003 947 595 348 40 000 313 12 008 800 671 004 400 004 004 2 941 304

26

Qual è il valore posizionale della cifra 8 nei seguenti numeri?

2805 → 8 ...............................

48 → 8 ...............................

228 400 → 8 ...............................

285 → 8 ...............................

8500 → 8 ...............................

280 731 → 8 ...............................

844 535 → 8 ...............................

1 387 917 → 8 ...............................

Indica il valore posizionale di ciascuna cifra dei seguenti numeri.

27

45

28

571 948 947 531

765

291

2430

235 680 85 976

58 740

25 046

418 935 12 345

22

29

218 947 704 328

975 831 2 458 763

834 561 765 432

30

568 431 45 987 623

2 345 678 941 256

12 345 678 98 765 432

31

1,23 70,4

32

Scomponi i seguenti numeri nei diversi ordini.

1327 272 021 94 579 100 103 10 327 051 8 127 031 127

81 191 10,007

1000,425 825,37

125,0048 7,9242

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I numeri e la numerazione

LEZIONE 1 ESERCIZI

33

a b c d e

34

Qual è il numero formato da 10 cifre uguali a 1?

E il suo successivo?

Qual è il più piccolo numero di quattro cifre?

E il suo successivo?

Qual è il più piccolo numero di sette cifre?

E il suo precedente?

Qual è il più grande numero di tre cifre?

E il suo successivo?

Qual è il più grande numero di sei cifre?

E il suo precedente?

Un libro è formato da 289 pagine; nel numerarle quante volte è stata adoperata la cifra 7 per le unità? La cifra 9 per le decine? Per quali pagine è stata usata due volte la cifra 8? Per quali pagine è stata usata tre volte la stessa cifra?

Inserisci l’opportuno segno (> maggiore oppure < minore) tra i numeri delle seguenti coppie.

35

36

37

38

39

7 34 59 68 151 613 904 510 841 12 416 25 931 69 458 845 945 789 356 45 987 643

4 18 61 67

9 45 74 5

12 38 78 15

160 914 895 600 630

235 715 431 38 41

60 800 441 380 401

13 25 95 81

21 15 90 80

Disponi in ordine crescente i seguenti numeri.

40

58; 95; 431; 254; 3; 45; 744; 21; 945; 631; 12; 997

41

450; 45; 981; 744; 477; 447; 474; 121; 211; 958; 998; 215

42

431; 13; 918; 715; 29; 87; 780; 498; 565; 658; 930; 19; 910 Disponi in ordine decrescente i seguenti numeri.

43

330; 451; 18; 75; 57; 940; 13; 990; 158; 815; 721; 843

44

24; 240; 420; 402; 204; 741; 474; 913; 871; 784; 945; 581

45

6527; 4231; 415; 2431; 715; 914; 1321; 3211; 4312; 58; 271; 485 Scrivi i numeri cardinali corrispondenti ai seguenti ordinali.

12 410 25 934 70 530 845 951 789 358 45 987 642

46

Quarto; ottavo; quindicesimo; ventunesimo; primo; trentanovesimo; tredicesimo; settantatreesimo; centounesimo; trecentesimo; centocinquesimo.

47

Ventottesimo; millequattordicesimo; settecentonovesimo; nono; duemilaquattrocentoduesimo; ventimilaquattresimo; milleunesimo.

Scrivi i numeri ordinali corrispondenti ai seguenti cardinali.

Trova tutti i valori di x, sapendo che: a x ≤ 8 b 2 ≤ x ≤ 7 c 0 < x ≤ 5

48

50; 7; 25; 39; 86; 42; 61; 103; 108; 294; 6; 320.

49

451; 677; 222; 999; 130; 263; 491; 654; 236; 568; 390; 844.

50

1024; 2312; 9400; 3701; 517; 2928; 35 919; 40 003.

Trova il precedente e il successivo dei seguenti numeri. ………

12 ……… ………

48 ……… ………

109 ……… ……… 10 001 ……… ………

271 ……… ……… 481 005 ………

Scrivi i seguenti numeri decimali.

51

23

3 4 1 1 0 0

decine 2 unità 4 decimi 1 centesimo decine 0 unità 0 decimi 7 centesimi centinaio 6 decine 1 unità 4 decimi unità 3 decimi 0 centesimi 7 millesimi unità 9 decimi 5 centesimi unità 0 decimi 0 centesimi 2 millesimi

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I numeri e le operazioni in N e Z

SEZIONE A

52

56

9 unità 0 decimi 7 centesimi 4 decine 0 unità 3 decimi 0 centesimi 4 millesimi 6 unità 0 decimi 4 centesimi 8 millesimi 4 unità 3 decimi 0 centesimi 7 millesimi 1 centinaio 3 decine 4 unità 0 decimi 2 centesimi 1 millesimo 9 decine 5 unità 0 decimi 7 centesimi

Quanti decimi ci sono in 3 unità? E in 7 decine?

E in 5 centinaia?

54

Quanti centesimi ci sono in 4 decine e 2 unità?

E in 3 centinaia?

55

Quanti decimi ci sono in 5 centinaia?

E in 3 decine e 8 unità?

Completa la seguente tabella.

hk

dak

uk

h

1 5

2

9

3 4

da

u

5

9

7 2

9

3

7

4

5

3

8

3

decimi

1

1

5

57

53

centesimi

millesimi

Numero

4

3

1059,043

4 4

5 7

5

2

9

1 7

9

3

2

4

9

5

2

1

9

3

6

1

4

Nei numeri seguenti cancella gli zeri che è possibile sopprimere senza cambiare il valore dei numeri stessi.

0,058 0,570 1,047 2,420 20,4200 12,0508 3,040 2,004 5,700 15,001 13,010 100,40 0,0010 4,003 25,030 31,3004 3,401 204,400 2,003 4,0410 0,001 18,04100 1,300 70,050

61

Indica il valore posizionale di ciascuna cifra dei seguenti numeri.

58

59

0,38 59,304 3,458 12,879

4,51 124,3 71,625 1,506

0,5 2,45

0,8 2,4

0,06 6,971 12,7 3,50

0,6 6,97 12,07 3,05

25,3 4,38 2,49 8,09 13,3 2,3

25,31 4,3 2,94 8,1 13,03 2,29

6,07 0,05 4,31 8,1 1,7 4,51

6,5 0,004 4,13 8,01 1,71 4,15

62

0,06; 0,71; 0,45; 1,4; 1,045; 1,521; 1,02; 0,92; 1,41; 0,74

63

1,67; 1,6; 1,7; 0,2; 0,48; 0,205; 0,741; 0,984; 1,14; 1,9

64

0,04; 0,004; 1,04; 1,401; 1,410; 1,14; 1,104; 1,014; 1,4011; 0,404

43,205 38,007

0,04 5,75

9,83 3,518 4,35 9,08

Disponi in ordine crescente i seguenti numeri decimali.

78,43 243,607

Inserisci l’opportuno segno (> maggiore oppure < minore) tra i numeri decimali delle seguenti coppie.

60

9,38 3,51 4,3 9,71

1,12 5,751

24

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I numeri e la numerazione

LEZIONE 1 ESERCIZI

65

42,593456; 723,74321; 1224,7224; 0,10015; 0,027027; 0,003915; 1,000148; 0,000923.

75

151 168 205 438 397 500 541 605 709 845 901 990 630 421 915

Disponi in ordine decrescente i seguenti numeri decimali.

76

954 1689

1231 1690

1470 1848

1505 1964

66

4,01; 4,12; 4,21; 2,01; 2,10; 2,12; 1,22; 0,04; 4,001; 4,102.

77

2545 2109

3950 2009

3109 3748

1994 1555

67

0,007; 0,07; 0,7; 0,711; 0,117; 0,711; 0,171; 0,112; 0,1; 0,71.

78

4700 12 430

4900 25 651

3693 100 000

5431 350 350

68

2,48; 2,048; 2,408; 2,4; 2,804; 2,041; 2,084; 0,204; 2,04; 2,008.

79

64 950 795 324

240 500 834 752

318 957 948 56

69

123,132; 7214,002; 92 415,14156; 8234,01248; 1 001 001,1001; 93 458,934853; 0,0048; 0,0000015

80

399 999 843 000

645 000 725 041

945 970 931 300

70

Scrivi in cifre i seguenti numeri decimali. settecento unità e tredici centesimi sedicimilaquattro unità e settantadue millesimi novantasettemilaquattordici unità e dodici decimillesimi milletredici unità e centodue millesimi ottantadue millesimi milletredici centimillesimi

71

72

73

74

Scrivi nel sistema di numerazione decimale i seguenti numeri romani.

81

VIII XXIX

XII XXXVII

XIV LXVI

XXIV XLIX

82

LXXI XC

XCVI LXVII

LXXIV LXIX

LXXXI LV

83

CCXXII CCXCIII

CCCLV CCXLIX

CCXXVIII CCCXCIX

84

DCL DCCCLXXXIV

CDXXIX CMXCIX

DLV MVIII

85

DXLVI MCMXCIII

DLXXXVIII MMMDCCLXXXV

86

XX XIICDXC

XCDXXXII LIVDCLVI

VCCCXC CCL

87

XIVXCII DCDXIX

DLVI MMMIV

DXXXIVDXXXVI VDCCC

Scrivi con la numerazione romana i seguenti numeri.

88

CCCXVICMXXIX DCCX

10 65

7 49

5 22

89

MMMCCIVDCCLXXIV

6 20

9 92

14 45 87 91 78 43 104 110 118 150 164

Scrivi in cifre i seguenti numeri decimali. otto centinaia quattro decine e cinque decimi nove migliaia quattro unità e sette centesimi cinque centinaia di migliaia cinque decine e quattordici millesimi ventiquattro centinaia e ventiquattro millesimi Rappresenta su una retta orientata le seguenti successioni di numeri. a 8; 10; 15; 2 b 2,4; 3; 1,5; 4 c 1,8; 2,1; 2; 3,4

12 80

19 95

25 31 100 99

MDXIX VII

CCCXC CXI

51 CCDCXXDCCCLXXIX

25

DCCCDXCIX

MCMLIX MMIV

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LEZIONE

1

VERIFICA risultati a pag. 321 risultati a pag. 323

CONOSCENZE 1

7

Vero V o falso F ? a V F b V F c V F d V F e V F f

V F g V F h V F i V F

Un numero pari termina con cifra pari.

Il numero 43 è dispari.

Il simbolo > si legge minore.

Il simbolo ≥ si legge maggiore o uguale.

Il precedente di un numero a è a + 1.

L’insieme dei numeri pari è infinito.

L’insieme dei numeri dispari è un sottoinsieme di N. 31,75 > 32 7,001 < 7,01

2

4; 2,7; 3,1; 2; 1,5 8

71 = 312 = c 3180 = d 20 012 = a

Nel sistema di numerazione decimale si raggruppano le cifre per: a

dieci

b

due

c

Scrivi il valore delle cifre nei seguenti numeri. a b

Inserisci il simbolo >, < o = tra i seguenti numeri.

Un sistema di numerazione è posizionale se: a

si sommano tra di loro i valori dei singoli simboli. b le cifre assumono valore diverso a seconda della loro posizione. c le cifre assumono lo stesso valore qualunque sia la loro posizione. a

b c d e f g h

4

71,058 1 207 589

cinque 10

3

Scrivi in lettere i seguenti numeri scritti in cifre.

b

9

Individua la risposta esatta.

Scrivi in ordine crescente la seguente successione di numeri e rappresentala su una semiretta orientata.

I numeri 22, 8, 142, 207 440 sono pari o dispari? Giustifica la tua risposta.

i l m n

21 1050 45,04 58 12 367 7,2 0,1 5,2 1001 12,07 17,1 12 070

24 1051 46 57,9 12 367,04 7,02 0,10 5,19 1002 12,070 17,11 12 069

ABILITÀ 5

Scrivi l’antecedente del numero 8 e il successivo di 13.

6

Scrivi i numeri corrispondenti ai punti indicati sulla semiretta. u 0 A B C

D

E

F

26

0,5

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LEZIONE

1

RECUPERO risultati a pag. 321 risultati a pag. 323

1

2

Indica nei seguenti numeri il valore posizionale di ogni cifra. a

608

6 m c d u 0 m c d u 8 m c d u

b

1324

1 3 2 4

b

6

u

m c

d

u

m c

d

u

N1 =

6 migliaia 7 decine 8 unità

N2 =

Scrivi in ordine decrescente i seguenti numeri.

21

107

109

1

Scrivi in ordine crescente i seguenti numeri.

3

5

u

d

6 unità 0 decine 8 centinaia

7

4

d

m c

Scrivi i seguenti numeri, conoscendo il valore posizionale delle cifre che li compongono. a

3

m c

2,9

1,07

5

1,003

2

Inserisci l’opportuno simbolo < o > tra le coppie di numeri. a

13

5

b

107

1007

c

14

27

d

200

199

Scrivi il successivo dei seguenti numeri. a

Il successivo di 21 è

b

Il successivo di 101 è

c

Il successivo di 2 100 è

. . .

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LEZIONE

2 Le quattro operazioni PREREQUISITI

CONTENUTI

OBIETTIVI

• Proprietà e algoritmi delle quattro operazioni • 0 e 1 nelle quattro operazioni • L’insieme Z • Le quattro operazioni in Z

• Conoscere il sistema di numerazione decimale • Conoscere gli algoritmi più semplici delle quattro operazioni

• Consolidare la conoscenza degli algoritmi delle quattro operazioni • Conoscere e applicare le proprietà delle quattro operazioni

Alla scuola primaria hai imparato gli algoritmi, cioè le tecniche di calcolo, delle quattro operazioni. Ora, oltre al ripasso di tali tecniche, ne imparerai il significato e le proprietà.

1 Addizione Questa operazione è spontanea e intuitiva: se vogliamo infatti sapere quanto si ottiene da 3 + 2, basta aggiungere due unità al numero tre. Rappresentiamo l’operazione su una retta: 3

2 u

0

1

2

3

4

5

6

Come puoi osservare, abbiamo fissato l’unità di misura e abbiamo contato di seguito 3 unità e poi 2: abbiamo così raggiunto il numero 5. Se usiamo il simbolo + per rappresentare la parola aggiungere, possiamo scrivere in simboli: 3+2=5 DEFINIZIONE

L’addizione è l’operazione aritmetica che associa a due numeri, detti addendi, un terzo numero, detto somma, la quale si ottiene contando, di seguito al primo addendo, tante unità quante ne indica il secondo addendo.

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Le quattro operazioni

LEZIONE 2

Se si sommano due o più numeri naturali, la somma è sempre un numero naturale.

PROPRIETÀ

L’addizione è una operazione interna all’insieme N, cioè l’insieme dei naturali N è chiuso rispetto all’addizione.

■ Le proprietà dell’addizione PROPRIETÀ

Proprietà commutativa La somma di due o più numeri non cambia se si cambia l’ordine degli addendi. ∀a, b ∈ N a + b = b + a Usando la retta orientata eseguiamo le addizioni 4 + 2 e 2 + 4: 4

2

0

1 2

2

3

4 4

5

6

0

1

2

3

4

5

6

4+2=6

2+4=6

Come già sapevi, 4 + 2 o 2 + 4 danno sempre lo stesso risultato: 6.

Proviamo ancora con 2 + 1 + 3 e 3 + 1 + 2: 2 0

1

1

2

3 3

3 0

1

4

5 2

6

4

5

6

1 2

3

2+1+3=6

3+1+2=6

Quindi 2 + 1 + 3 = 3 + 1 + 2 = 6.

PROPRIETÀ

Proprietà associativa La somma di tre o più numeri non cambia se a due o più di essi si sostituisce la loro somma. ∀a, b, c ∈ N (a + b) + c = a + b + c Per eseguire l’addizione 2 + 8 + 7, possiamo procedere in più modi, associando gli addendi: 2+8+7=

sommiamo 2 + 8

10 + 7 = 17

2+8+7=

sommiamo 8 + 7

2 + 15 = 17

Quindi (2 + 8) + 7 = 2 + (8 + 7) = 2 + 8 + 7 = 17.

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I numeri e le operazioni in N e Z

SEZIONE A

ESEMPI

Le proprietà commutativa e associativa sono utili per il calcolo mentale; osserva gli esempi.

• 17 + 51 + 3 = 17 + 3 + 51 = 20 + 51 = 71

• 8 + 120 + 2 = 120 + 2 + 8 = 120 + 10 = 130

• 91 + 321 + 9 = 91 + 9 + 321 = 100 + 321 = 421

Come avrai notato, è più facile sommare a un numero 10, 100, 1 000 o i loro multipli.

• 2 + 21 + 8 + 9 =

associamo

2e8

• 124 + 8 + 6 + 2 =

associamo

124 e 6

PROPRIETÀ

21 e 9

10 + 30 = 40

8e2

130 + 10 = 140

Proprietà dissociativa La somma di due o più numeri non cambia se a uno o più numeri se ne sostituiscono altri la cui somma è pari al numero o ai numeri sostituiti.

Se dobbiamo eseguire la somma 17 + 5 + 3, possiamo procedere dissociando un numero nella somma di altri più convenienti: 17 + 5 + 3 = 10 + 7 + 5 + 3

Anche la proprietà dissociativa è utile per il calcolo mentale; osserva gli esempi.

ESEMPI

17 + 18 + 5 =

108 + 12 + 15 + 5 =

10 + 5 + 2 + 18 + 5 =

100 + 8 + 2 + 10 + 15 + 5 =

10 + 10 + 20 = 40

100 + 10 + 10 + 20 = 140

30