LaTuaMatematica_Geometria_A

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A. Calvi G. Panzera S. Morone

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CORSO DI MATEMATICA PER LA SCUOLA SECONDARIA DI PRIMO GRADO

di Anna Calvi, Gabriella Panzera, Simona Morone

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© 2010 ELi - La Spiga Via Soperga, 2 Milano Tel. 022157240 info@laspigamodern.com ELi Via Brecce – Loreto Tel. 071750701 info@elionline.com

Redazione Niccolò Terzi

Guida per l'insegnante ISBN 978-88-468-2796-8

Geometria 1 ISBN 978-88-468-2793-7

Art director Marco Mercatali Responsabile di produzione Francesco Capitano

Copertina Adami Design

Aritmetica 1 + Geometria 1 + I linguaggi della Matematica + cd rom ISBN 978-88-468-2816-3

Disponibili anche separatamente Aritmetica 1 + I linguaggi della Matematica + cd rom ISBN 978-88-468-2790-6

Coordinamento editoriale Beatrice Loreti

Progetto grafico e impaginazione Alberto Sangiorgi

Stampato in Italia presso Grafiche Flaminia - Foligno 10.83.068.0

La casa editrice ringrazia Sara Gentili, Stefania Senigagliesi e Francesco Tramannoni per il contributo fornito nella revisione degli esercizi del corso La tua matematica.

Tutti i diritti riservati. È vietata la riproduzione totale o parziale così come la sua trasmissione sotto qualsiasi forma o con qualsiasi mezzo senza l’autorizzazione scritta della casa editrice.

La casa editrice La Spiga e l’ambiente La casa editrice La Spiga usa carta certificata FSC per tutte le sue pubblicazioni. È un’importante scelta etica, poiché vogliamo investire nel futuro di chi sceglie ed utilizza i nostri libri sia con la qualità dei nostri prodotti sia con l’attenzione all’ambiente che ci circonda.

Un piccolo gesto che per noi ha un forte significato simbolico.

Il marchio FSC certifica che la carta usata per la realizzazione dei volumi ha una provenienza controllata e che le foreste sono state sottratte alla distruzione e gestite in modo corretto.

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PRESENTAZIONE ■ Struttura del corso In ottemperanza alle “Indicazioni per il Curricolo” emanate dal Ministero della Pubblica Istruzione nel 2007, il corso è stato strutturato in: due tomi di aritmetica e due di geometria per il biennio; un tomo di algebra e uno di geometria per la classe terza; un volume valido per tutto il triennio con quei contenuti a valenza trasversale quali: gli insiemi; le operazioni binarie e le strutture algebriche; le relazioni; gli strumenti di calcolo, l’approssimazione, la notazione esponenziale e standard, l’ordine di grandezza; i grafici; elementi di statistica; cenni di logica; elementi di calcolo delle probabilità.

Ciascun tomo del corso LA TUA MATEMATICA si compone di SEZIONI, che comprendono, a loro volta, le LEZIONI necessarie alla trattazione completa di ciascuna tematica.

Ogni lezione si apre con l’indicazione di: PREREQUISITI necessari ad affrontare i contenuti proposti; OBIETTIVI da conseguire; CONTENUTI in essa trattati.

La trattazione della teoria adotta un linguaggio rigorosamente scientifico, ma viene sempre proposta in modo semplice e comprensibile da parte di tutti gli alunni; le definizioni e le regole sono graficamente evidenziate non solo per ragioni estetiche, ma soprattutto per favorire quegli alunni che prediligono lo stile cognitivo di tipo visivo.

Al termine dell’esposizione di un contenuto vengono svolti per intero e commentati uno o più esercizi esemplificativi e significativi del concetto da apprendere (ESEMPIO).

Al fine di permettere agli alunni una verifica immediata dell’avvenuta comprensione, agli esempi seguono gli STOPANDGO, batterie di esercizi di rapida esecuzione, da svolgere in classe autonomamente o dietro la guida dell’insegnante; proprio per questo motivo, data anche la loro semplicità, si è deciso di riportare solamente i risultati di quelli più elaborati.

Le grandi tematiche si concludono spesso con schede storiche, denominate STORIA&MATEMATICA. Molti degli argomenti trattati sono arricchiti da GIOCHI, CURIOSITÀ, APPROFONDIMENTI ed “escursioni” in altri ambiti disciplinari (ILSALTADISCIPLINA), non solo per evidenziare l’aspetto ludico della materia ma, soprattutto, per far comprendere ai ragazzi che, nel quotidiano, si usano di frequente concetti matematici; la matematica, infatti, non è una disciplina astratta e avulsa da tutte le altre, ma concorre alla formazione globale di ciascun alunno. Inoltre, essa ben si presta all’inter- e transdisciplinarità delle sezioni.

Ogni lezione si conclude con la sezione dedicata agli ESERCIZI, sempre presentati secondo una gradualità crescente di difficoltà. Il numero di esercizi è particolarmente elevato, per consentire all’insegnante la più ampia scelta possibile.

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Al termine di ciascuna batteria di esercizi sono presenti: ■ una VERIFICA formativa sull’argomento trattato, che ha lo scopo di avere un CONOSCENZE riscontro immediato sull’avvenuto apprendimento delle ABILITÀ e delle da parte degli alunni; ■ una verifica di RECUPERO, qualora si sia riscontrata la necessità di rivedere con la classe (o parte di essa) alcuni argomenti considerati nel corso della lezione; ■ due schede di VERIFICA SOMMATIVA su tutti gli argomenti affrontati nella sezione (fatta eccezione per il volume I linguaggi della matematica): la prima più facile e la seconda relativamente più complessa, per consentire di adeguare la prova ai diversi livelli di apprendimento degli alunni.

Al termine di ogni tomo del corso (fatta eccezione per il volume I linguaggi della matematica) sono state inoltre inserite alcune schede di POTENZIAMENTO, suddivise secondo le sezioni, per evidenziare, nonché gratificare, i casi di eccellenza.

I risultati delle verifiche formative, di recupero, sommative e delle schede di potenziamento si trovano tra le pagine 313 e 317 del presente volume.

Al termine dei voluni di Aritmetica e di Algebra si trovano le tavole numeriche (numeri primi minori di 10 000; quadrati, cubi, radici quadrate e cubiche e scomposizione in fattori).

Al termine del volume di Algebra è presente una sezione dedicata ai TEMI D’ESAME, esercizi destinati alla verifica dell’acquisizione dei contenuti affrontati nel corso della classe terza e, quindi, preparatori per l’Esame di Stato.

Al termine del volume Geometria 1 è presente un’appendice, con relativi esercizi, dedicata all’applicativo Cabri-géomètre II, software che facilita l’apprendimento dei concetti fondamentali legati alla geometria piana.

Il corso LA TUA MATEMATICA è inoltre corredato di: ■ un CD-ROM interattivo, così articolato: • esercizi da svolgere, svolti e guidati, suddivisi per sezione • una sezione di giochi e curiosità matematiche • una selezione di simulazioni della Prova Nazionale ■ una esaustiva presentazione del corso, unitamente a tutte le necessarie

indicazioni metodologiche e al materiale appositamente predisposto per essere fotocopiato e sottoposto agli alunni si trova nella guida per l’insegnante.

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INDICE SEZIONE A Le basi della geometria 1 Enti fondamentali Il punto La linea La superficie Figure geometriche STORIA&MATEMATICA ■ Le origini della geometria LEZIONE

1 2 3 4

ESERCIZI VERIFICA RECUPERO 2 Rette, semirette, segmenti 1 Rette 2 Semirette 3 Segmenti

LEZIONE

■ Confronto di segmenti ■ Operazioni con i segmenti ■ Lunghezza di un segmento ■ Punto medio di un segmento ■ Distanza tra due punti CURIOSITÀ - I NUMERI SI SCRIVONO CON I SEGMENTI GIOCO CON I SEGMENTI - LA LUMACA SCALATRICE ESERCIZI VERIFICA RECUPERO

SEZIONE B Poligoni, equivalenze, isometrie 8 8 9 10 11 14 15 19 21 22 22 23 24 25 26 27 27 27 29 29 30 35 37

5 I poligoni 1 Poligoni

LEZIONE

■ Poligoni convessi ■ Poligoni concavi ■ Poligoni intrecciati 2 Angoli di un poligono 3 Diagonali e lati di un poligono APPROFONDIMENTO

■ I numeri possono essere dei poligoni ESERCIZI VERIFICA RECUPERO 6 Equivalenza di figure piane 1 Equivalenza di figure piane

LEZIONE

■ Poligoni congruenti ■ Poligoni equiscomponibili ■ Poligoni isoperimetrici ■ …e i non poligoni?

3 Piano e angoli

I punti e le rette sul piano L’angolo Confronto di angoli Operazioni con gli angoli ■ Addizione ■ Sottrazione ■ Angoli complementari, supplementari, esplementari ■ Multipli e sottomultipli 5 Misurazione di angoli 1 2 3 4

38 38 39 43 44 44 45 45 46 46

APPROFONDIMENTO

■ …non esistono solo i gradi sessagesimali ■ Gli Egizi e l’angolo retto ESERCIZI VERIFICA RECUPERO LEZIONE

4 Rette parallele e perpendicolari

1 Rette parallele e perpendicolari

■ Asse di un segmento ■ Distanza tra punto e retta ■ Proiezione ■ Distanza tra due rette parallele ■ Rette parallele tagliate da una trasversale

48 48 54 66 69 70 70 72 72 73 73 74

APPROFONDIMENTO

■ Per costruire una casa…

ESERCIZI VERIFICA RECUPERO VERIFICA SOMMATIVA 1 VERIFICA SOMMATIVA 2

76 80 86 89 90 92

102 103 106 108 109 109 110 110 111 112

APPROFONDIMENTO

■ 64 è uguale a 65!

ESERCIZI VERIFICA RECUPERO 7 Le isometrie 1 Traslazione 2 Rotazione 3 Simmetria

LEZIONE LEZIONE

96 96 97 97 98 99 100

■ Simmetria centrale ■ Figure geometriche dotate di centro di simmetria ■ Simmetria assiale o ribaltamento ■ Figure geometriche dotate di asse di simmetria 4 Composizione di isometrie ■ Prodotto di traslazioni ■ Prodotto di rotazioni ■ Prodotto di simmetrie centrali ■ Prodotto di simmetrie assiali

114 115 129 133 135 136 138 141 141 142 145 147 149 149 151 154 156

APPROFONDIMENTO: alcune isometrie sul piano cartesiano

■ Traslazione ■ Simmetria centrale ■ Simmetria assiale ESERCIZI VERIFICA RECUPERO VERIFICA SOMMATIVA 1 VERIFICA SOMMATIVA 2

159 160 160 165 189 195 196 198

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INDICE SEZIONE C Triangoli e quadrilateri 8 I triangoli 1 I triangoli

LEZIONE

■ Triangolo isoscele ■ Triangolo equilatero ■ Triangolo rettangolo 2 Punti notevoli di un triangolo ■ Altezze ➠ Ortocentro ■ Mediane ➠ Baricentro ■ Bisettrici ➠ Incentro ■ Assi ➠ Circocentro ■ I punti notevoli nel triangolo isoscele ■ I punti notevoli nel triangolo equilatero 3 Criteri di congruenza ■ 1° criterio di congruenza ■ 2° criterio di congruenza ■ 3° criterio di congruenza 4 Area di un triangolo ■ Formula di Erone

202 202 206 206 206 209 209 209 210 211 212 212 214 214 214 215 216 220

APPROFONDIMENTO

■ Il triangolo nella vita quotidiana ESERCIZI VERIFICA RECUPERO

221 222 231 234

APPENDICE: CABRI-GÉOMÈTRE II

Geometria con Cabri ■ L’avvio del programma ■ La finestra di Cabri ■ La barra degli strumenti STRUMENTI CONNESSI ALLE FUNZIONI DEL PUNTATORE STRUMENTI CONNESSI ALLE FUNZIONI DEI PUNTI STRUMENTI CONNESSI ALLA RETTA E AI POLIGONI STRUMENTI CONNESSI ALLA CIRCONFERENZA E ALLE CONICHE STRUMENTI CONNESSI ALLE COSTRUZIONI STRUMENTI CONNESSI ALLE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE STRUMENTI CONNESSI ALLE MACRO STRUMENTI CONNESSI ALLA VERIFICA DELLE PROPRIETÀ STRUMENTI CONNESSI ALLA MISURAZIONE STRUMENTI CONNESSI ALLE ETICHETTE E ALLA SIMULAZIONE DI MOVIMENTO I COMANDI CONNESSI ALLA VISUALIZZAZIONE E AL PIANO CARTESIANO

■ Modificare le impostazioni PROVA TU! ESERCIZI

9 I quadrilateri 1 I quadrilateri

■ Deltoide ■ Trapezio ■ Parallelogramma ■ Rettangolo ■ Rombo ■ Quadrato 2 Area dei quadrilateri ■ Rettangolo ■ Parallelogramma ■ Quadrato ■ Rombo ■ Trapezio ■ Deltoide

236 236 237 238 239 240 240 241 243 243 245 246 247 250 252

APPROFONDIMENTO

■ Area di un poligono qualsiasi ■ I quadrilateri nella vita quotidiana ■ Un gioco ■ Quadro riassuntivo ESERCIZI VERIFICA RECUPERO VERIFICA SOMMATIVA 1 VERIFICA SOMMATIVA 2

254 257 257 258 259 276 278 280 282

290 290 290 291 297

POTENZIAMENTO A LEZIONI 1-2-3-4 B LEZIONI 5-6-7 SEZIONE C LEZIONI 8-9 RISULTATI VERIFICA-RECUPERO-VER. SOMMATIVE SEZIONE A LEZIONI 1-2-3-4 SEZIONE B LEZIONI 5-6-7 SEZIONE C LEZIONI 8-9 RISULTATI POTENZIAMENTO SEZIONE A LEZIONI 1-2-3-4 SEZIONE B LEZIONI 5-6-7 SEZIONE C LEZIONI 8-9 SEZIONE

LEZIONE

285 285 286 286 286 287 287 288 288 289 289 289 289

SEZIONE

306 309 311 313 313 314 316 316 317

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SEZIONE

A

GEOMETRIA 1

Le basi della geometria In questa sezione conoscerai tutti quegli elementi che permettono di costruire una figura.

punto

geometria

linea

rette, semirette, segmenti

superficie

angoli

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LEZIONE

1 Enti fondamentali PREREQUISITI • Possedere il concetto intuitivo di forma dei corpi

CONTENUTI • Enti fondamentali

OBIETTIVI • Conoscere il concetto relativo agli enti geometrici fondamentali • Saper rappresentare graficamente gli enti geometrici fondamentali • Conoscere il concetto di congruenza • Conoscere e usare la simbologia specifica

Se osserviamo tutto ciò che ci circonda, possiamo concludere che in natura vi è una grande varietà di forme. L’uomo ha così tratto dalla natura i “modelli”, cioè quelle figure schematiche che ha disegnato e alle quali sono state attribuite proprietà e definizioni. La geometria è la disciplina matematica che studia tali proprietà, tra cui abbiamo la forma, le dimensioni, l’estensione, lo spazio occupato e gli spostamenti.

1 Il punto Se consideriamo un granello di sabbia su un tavolo, oppure una delle tante stelle dell’universo, possiamo ritenerli “punti”. Tali oggetti hanno delle dimensioni, ma esse sono trascurabili rispetto all’ambiente in cui sono posti.

In geometria, invece, il punto geometrico viene considerato privo di dimensioni, è quindi un concetto primitivo al quale non si può dare una definizione; possiamo comunque caratterizzare il punto come segue.

DEFINIZIONE

Il punto è un ente geometrico fondamentale privo di dimensioni; di esso può essere considerata solo la posizione.

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Enti fondamentali

LEZIONE 1

È evidente, comunque, che in pratica se disegniamo con una matita un punto su un foglio, esso ha delle dimensioni e quindi rappresenta solo in modo approssimativo il concetto che noi abbiamo di punto geometrico.

Per contraddistinguere i vari punti, si pone accanto a ciascuno di essi una lettera maiuscola del nostro alfabeto: abbiamo perciò il punto A, il punto P, il punto Q, ecc.

P A

•

•

Q

•

Se due punti coincidono, si utilizzano due lettere e si scrive:

•

P

Q

(P coincide con Q)

2 La linea Se facciamo scorrere la punta della matita su un foglio, otteniamo una “linea”, essendo la punta della matita un “punto”. La linea geometrica, come del resto il punto geometrico, è un’astrazione teorica di una realtà che in generale la rappresenta solo in maniera approssimativa.

DEFINIZIONE

La linea è un insieme infinito di punti; essa possiede una sola dimensione: la lunghezza.

Per indicare le linee, si utilizzano le lettere minuscole dell’alfabeto. Una linea può essere aperta, chiusa o intrecciata. a

b

linea aperta

c

linea chiusa

d

linea intrecciata aperta

linea intrecciata chiusa

Un punto può appartenere o meno ad una linea; in simboli scriviamo: A

A∈c B∉c

B c

Due linee si intersecano quando hanno uno o più punti in comune: d

B

A

b C c

d ∩ c = {A}

D

a ∩ b = {B, C, D}

9

a

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Le basi della geometria

SEZIONE A

Gli infiniti punti che costituiscono una linea possono essere disposti in modo tale che la linea cambi direzione, oppure in modo tale che la linea mantenga sempre la stessa direzione: in questo caso abbiamo una linea retta.

DEFINIZIONE

Una linea retta, o semplicemente una retta, è una linea che mantiene sempre la stessa direzione.

c b a

d

3 La superficie Un foglio del tuo quaderno, un vetro, un foglio di pellicola per alimenti costituiscono degli esempi di “superfice”: essi hanno tutti, però, un certo spessore, e rappresentano quindi in maniera solo approssimativa il concetto astratto di superficie geometrica.

La superficie geometrica deve invece essere considerata priva di spessore; per indicarla, si usano le lettere minuscole dell’alfabeto greco: α = alfa DEFINIZIONE

β = beta

γ = gamma

δ = delta

π = pi greco λ = lambda

La superficie è un insieme infinito di linee; essa possiede due dimensioni: la lunghezza e la larghezza.

Le superfici possono essere curve, costituite da un insieme infinito di linee curve; oppure possono essere piane, costituite da un insieme infinito di linee rette.

DEFINIZIONE

Il piano è un insieme infinito di rette.

α superficie curva

superficie piana

Nella figura il piano è rappresentato come una figura limitata, ma va in realtà pensato come privo di contorno e quindi illimitato.

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Enti fondamentali

LEZIONE 1

4 Figure geometriche Se consideriamo un insieme di punti geometrici, otteniamo una figura geometrica.

Una figura geometrica i cui punti giacciono tutti sullo stesso piano α si definisce figura piana; essa rappresenta una porzione di superficie piana, è caratterizzata da due dimensioni (lunghezza e larghezza) ed è limitata da una linea chiusa che ne costituisce il contorno.

DEFINIZIONE

Due figure geometriche piane si dicono congruenti (o uguali, o isometriche) se si possono sovrapporre; i punti sovrapposti si dicono corrispondenti od omologhi.

Se si ottiene la sovrapposizione con un semplice “slittamento” della figura sul piano, si parla di figure direttamente congruenti; se la sovrapposizione è ottenuta con un “ribaltamento” (associato, eventualmente, anche a uno slittamento), si parla di figure inversamente congruenti.

In figura sono rappresentati esempi di figure direttamente (F) e inversamente (G) congruenti.

D

A

R

C'

C

S

R'

G

G'

S'

D' F

F' B

A'

B'

Figure direttamente congruenti

T

T'

Figure inversamente congruenti

F e F', G e G ' sono figure geometriche congruenti: i punti A e A', B e B', C e C', D e D', e R e R', S e S', T e T ' sono punti omologhi.

DEFINIZIONE

Punti, linee e superfici sono tutti contenuti nello spazio, che è il quarto ente geometrico fondamentale ed è dotato di tre dimensioni: lunghezza, altezza e larghezza.

Una figura geometrica i cui punti non giacciono tutti sullo stesso piano α si definisce figura solida o semplicemente solido; esso rappresenta una porzione di spazio, è caratterizzato da tre dimensioni (lunghezza, larghezza e spessore, o altezza) ed è limitato da porzioni di superficie piana e/o curva che ne costituiscono il contorno.

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Le basi della geometria

SEZIONE A

NOTA

Tutti gli oggetti che ci circondano sono esempi di figure solide; anche un foglio di carta, che noi solitamente assumiamo come rappresentazione di una porzione di superficie, in realtà possiede uno spessore, e quindi è un solido.

ENTI FONDAMENTALI DELLA GEOMETRIA punto

è privo di dimensioni

linea

insieme infinito di punti: può essere curva o retta, ed è dotata di una dimensione

superficie

insieme infinito di linee: può essere curva o piana, ed è dotata di due dimensioni

spazio

costituito dagli infiniti punti, linee e superfici: è dotato di tre dimensioni

STOPANDGO

Indica i seguenti enti geometrici fondamentali con le lettere appropriate.

1

• • •

2

• •

•

Dati i seguenti oggetti, indica quali enti geometrici suggeriscono.

3

Una stella nel cielo ........................................................................................

L’autostrada vista da un aereo .........................................................................

Il tavolo.......................................................................................................

Il filo di un gomitolo .....................................................................................

4

La lavagna ....................................................................................................

Una bolla di sapone .......................................................................................

Un granello di sabbia .....................................................................................

Il filo dell’aquilone ........................................................................................

5

Il pallone .....................................................................................................

Un foglio del tuo quaderno .............................................................................

I fili dell’alta tensione....................................................................................

La punta di uno spillo ....................................................................................

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Enti fondamentali

LEZIONE 1

6

Disegna una linea curva aperta.

7

Disegna una linea curva chiusa.

8

Disegna una linea intrecciata.

9

Disegna una linea retta.

10 Delle seguenti figure geometriche indica (colorandole in rosso) quelle direttamente congruenti e (colorandole in blu) quelle inversamente congruenti.

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Le basi della geometria

SEZIONE A

STORIA&MATEMATICA

■ Le origini della geometria

La geometria è lo studio delle forme, che sono ovunque intorno a noi, o più precisamente è lo studio delle proprietà delle fi fig gure. Essa nasce come scienza pratica destinata alla misurazione dei terreni, come indica la parola stessa (dal greco geo = terra, metron = misura). Sembra che questa scienza abbia avuto origine in Egitto e sia nata per la necessità di rinnovare le misure dei campi inondati periodicamente dalle acque del Nilo che cancellavano i confini delle singole proprietà.

Lo storico greco Erodoto (485-424 a.C.), che si documentava sugli avvenimenti storici, visitando l’Egitto scrisse testualmente: «L’Egitto è un dono del Nilo». È evidente che si riferiva alle periodiche inondazioni del fiume che fertilizzavano il terreno.

I matematici greci, tra i quali Apollonio (262-190 a.C.), affermavano che lo studio della geometria ebbe inizio in Egitto, durante la civiltà faraonica. Gli incaricati dello stato effettuavano le misurazioni, sia per ripristinare i confini dopo le inondazioni sia allo scopo di determinare il “debito”, cioè le tasse, verso le casse del faraone; tali incaricati si servivano nelle misurazioni di corde che recavano nodi equidistanti: venivano pertanto chiamati “tenditori di corde”.

La storia dice che Sesostri I, re d’Egitto della XIX dinastia (che è forse da identificare con Ramsete II), divise tra i propri sudditi le terre coltivabili, dando a ciascuno di essi un appezzamento di terreno di forma quadrata: il problema della costruzione del quadrato portò alla scoperta del metodo per costruire l’angolo retto.

La geometria, col progredire della civiltà, acquistò un ruolo sempre più importante: fin dai tempi antichi, astronomi, ingegneri e architetti se ne servirono per studiare il cielo e per costruire ponti, strade, palazzi.

Nelle rovine della città di Babilonia gli archeologi hanno trovato tavole di pietra recanti figure geometriche con problemi risolti: è certo che i Babilonesi sapevano già trovare l’area di un rettangolo. Però sia gli Egizi sia i Babilonesi pervenivano al risultato solo dopo prove pratiche, poiché la loro geometria aveva solo carattere pratico. Dovettero trascorrere molti secoli prima che la geometria diventasse scienza pura, prima cioè che si giungesse, col ragionamento puramente teorico, a scoprire per via deduttiva le proposizioni geometriche.

Anche i Cinesi e gli Indiani conoscevano la geometria e la risoluzione di alcuni problemi, forse ancora prima dei Babilonesi e degli Egizi. Esistono documenti che mostrano come in Cina si conoscessero le regole per trovare l’area dei triangoli e dei cerchi e come si sapessero calcolare i volumi dei solidi già prima del 1000 a.C. La geometria, comunque, ebbe un grande impulso tra il 600 e il 300 a.C. a opera dei Greci e in particolare di Euclide (III secolo a.C.), Pitagora (circa 575-495 a.C.) e Talete (circa 624-547 a.C.). I Greci, infatti, dettero una sistemazione logica alle regole fino ad allora usate in pratica: la geometria acquistò una sua fisionomia svincolata da questioni di ordine pratico e assunse un carattere più astratto. Con i Greci essa cessò di avere come scopo principale la misurazione dei terreni ed ebbe una tendenza sempre più spiccata a divenire scienza pura, lasciando ad altre discipline, come l’astronomia, l’agrimensura e la topografia, le applicazioni di carattere pratico.

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Frontespizio di un’edizione del 1558 degli Elementi di Euclide in cui il cui il matematico alessandrino viene confuso con Euclide di Megara.

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LEZIONE

1 Enti fondamentali ESERCIZI 1

Scrivi sul tuo quaderno gli elementi caratterizzanti gli enti geometrici a punto, b linea e c superficie.

2

Quante linee passano per un punto B?

3

Disegna cinque punti e indicali in modo appropriato.

4

5

11

Disegna sul tuo quaderno due linee chiuse, due aperte, due rette, due intrecciate aperte e due intrecciate chiuse e indicale in modo appropriato.

Rappresenta i punti A e B che appartengono alla linea a.

6

Rappresenta un punto C che non appartenga a una linea c.

7

Disegna una linea aperta b e una linea chiusa d.

8

Scrivi tre modelli concreti di punto geometrico.

9

Indica due modelli concreti per una superficie piana.

10

Indica tre modelli concreti per una superficie curva.

Osserva le figure e trova gli insiemi indicati. r s B

S

A

R b

a r

∩ s = {………}

a

∩ b = {………}

15

U

a

T c b

a ∩ b = {………} a ∩ c = {………} c ∩ b = {………}

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Le basi della geometria

SEZIONE A

12

14

Osserva la figura e indica se le affermazioni che seguono sono vere V o false F .

a

B

b

G

D

a S K

B E

E

C a V F b V F c V F d V F e V F f

V F

g V F

H

A

R

A

Osserva la figura e indica se le affermazioni che seguono sono vere V o false F .

A∈a B∉b R∈a S∉b a ∩ b = {R, K} E∉a R∉b

a V F b V F c V F d V F e V F f

V F

g V F

15

F

A∉a D∈a E∈a C∉a H∈a G∈a D∉a

13

Disegna una linea aperta a e una linea chiusa b e fissa tre punti su ognuna di esse. In quante parti viene divisa ogni linea?

16

Data la linea t, disegna tre punti A, B, C tali che A ∉ t, B ∈ t, C ∈ t.

Dati tre punti distinti C, D, E, è possibile disegnare due linee a e b distinte e tali che a ∩ b = {C, D, E}?

Classifica le seguenti linee.

17

...................

...................

...................

18

...................

...................

...................

16

...................

...................

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Enti fondamentali

LEZIONE 1 ESERCIZI

19

Disegna tre punti distinti A, B, C. Quante linee è possibile farvi passare?

20

Se a e b sono linee qualsiasi, quanti elementi può avere l’insieme a ∩ b?

21

Vero V o falso F ? a V F b V F c V F d V F e V F f V F

Una linea è un insieme finito di punti.

Una superficie è un insieme infinito di punti.

Una linea chiusa contiene infiniti punti.

Una superficie è un piano.

A un piano appartengono infiniti punti.

Un piano è una superficie.

22

Scrivi la definizione di figura geometrica: .............................................................. .............................................................. ..............................................................

23

Scrivi la definizione di figura geometrica piana: .............................................................. .............................................................. ..............................................................

24

Scrivi la definizione di figura geometrica solida: .............................................................. .............................................................. ..............................................................

25

Tra le seguenti figure individua quelle congruenti.

26

Colora in verde le figure direttamente congruenti e in blu quelle inversamente congruenti.

Date le seguenti figure, disegna di ciascuna una direttamente congruente e una inversamente congruente.

27

17

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Le basi della geometria

SEZIONE A

28

Le figure F ed F' sono congruenti; scrivi gli omologhi dei punti dati.

29

B

D

A

Y

I

P

C

V

R

L

Z E

F

H

T

S

Q

K

G

O

A: ...........

B: ...........

C: ...........

D: ...........

E: ...........

F:............

G: ...........

H: ...........

I:............

Y:............

Indica sulle figure T' e S', congruenti alle figure T e S, gli omologhi dei punti dati.

30

D

•

•

E

B

•

C• T

•B

T'

•

E

S

• A

A•

•D • C

S'

31

Disegna sul tuo quaderno, a tuo piacere, due figure congruenti.

32

Disegna sul tuo quaderno, a tuo piacere, due figure direttamente congruenti.

33

Disegna sul tuo quaderno, a tuo piacere, due figure inversamente congruenti.

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LEZIONE

1

VERIFICA risultati a pag. 313

CONOSCENZE

ABILITÀ

1

Quali sono gli enti geometrici fondamentali? ................................................................. ................................................................. .................................................................

2

Una linea può essere: ................................................................. ................................................................. .................................................................

3

4

5

6

Una superficie può essere: ................................................................. ................................................................. .................................................................

Due figure sono congruenti se: ................................................................. ................................................................. .................................................................

7

In quali oggetti materiali si può identificare un punto geometrico? Indicane tre. ................................................................. ................................................................. .................................................................

8

In quali oggetti materiali si può identificare una linea geometrica? Indicane tre. ................................................................. ................................................................. .................................................................

9

In quali oggetti materiali si può identificare una retta? Indicane tre. ................................................................. ................................................................. .................................................................

10

In quali oggetti materiali si può identificare una superficie geometrica? Indicane tre. ................................................................. ................................................................. .................................................................

11

In quali oggetti materiali si può identificare un piano? Indicane tre. ................................................................. ................................................................. .................................................................

Due figure sono direttamente congruenti se: ................................................................. ................................................................. .................................................................

Due figure sono inversamente congruenti se: ................................................................. ................................................................. .................................................................

Sotto ciascuna di queste linee scrivi se si tratta di linee curve, rette, aperte, chiuse o intrecciate.

12

a

...................

b

...................

c

...................

19

d

...................

e

...................

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VERIFICA risultati a pag. 313 Data la seguente figura, disegnane una direttamente congruente e una inversamente congruente.

13

Le figure F ed F' sono congruenti; scrivi gli omologhi dei punti dati.

14

A: A

C

R

K

B E G

U

D F

B: .........................

C:..........................

D: .........................

E:..........................

F:..........................

G:..........................

S

O

Z V

Indica sulle figure T' e S', congruenti alle figure T e S, gli omologhi dei punti dati.

15

D

• T

C•

• A

•B

A

T'

•

•

S

B

•

E

20

C

•

S'

•D

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LEZIONE

1 1

RECUPERO Scrivi il nome degli enti rappresentati.

A

•

Îą b

a

2

Disegna un punto, una linea curva aperta, una linea spezzata, un piano.

3

Scrivi il nome delle linee rappresentate.

4

Disegna nello spazio sottostante un piano Îą, un punto P appartenente al piano e un punto Q non appartenente al piano.

5

Disegna nello spazio sottostante due linee che si intersecano nel punto V.

6

Disegna nello spazio sottostante una linea e tre punti A, B, C che appartengono alla linea.

21

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LEZIONE

2 Rette, semirette, segmenti PREREQUISITI • Conoscere gli enti geometrici fondamentali • Conoscere le unità di misura delle lunghezze • Saper misurare le lunghezze

CONTENUTI • Rette, semirette, segmenti

OBIETTIVI • Conoscere le caratteristiche di rette, semirette, segmenti • Saper confrontare segmenti • Saper eseguire operazioni con segmenti • Conoscere la terminologia specifica

1 Rette Abbiamo già visto che, quando una linea mantiene sempre la stessa direzione, prende il nome di linea retta, o semplicemente retta.

Anche la retta, quindi, è un ente geometrico primitivo e perciò di essa non si può dare una vera definizione; ma alla domanda: «che cos’è una retta?» possiamo fornire la seguente risposta intuitiva.

DEFINIZIONE

Una retta è una linea che mantiene sempre la stessa direzione.

Concretamente può essere rappresentata dal segno lasciato da una matita che scorre lungo il bordo di una riga.

Una retta, come tutte le linee, viene identificata da una lettera minuscola del nostro alfabeto. a In generale, degli enti geometrici fondamentali non è possibile dare una definizione precisa. Per essi è però possibile introdurre degli assiomi, che sono affermazioni considerate vere in maniera evidente e che non possono essere dimostrate (ciò che le distingue dagli altri teoremi e proprietà che incontreremo).

22

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Rette, semirette, segmenti

LEZIONE 2

Vediamo i primi assiomi riguardanti le rette.

Dato un punto A, possiamo tracciare per esso 1, 2, 3, tante, tantissime rette che non si possono contare.

ASSIOMA

Per un punto dato passano infinite rette. c

b

d

a A

e

Le infinite rette che concorrono in un punto formano un fascio (o stella) di rette e il punto prende il nome di centro del fascio.

Se invece fissiamo due punti A e B, possiamo affermare che per essi è possibile disegnare una sola retta.

ASSIOMA

Per due punti distinti passa una sola retta; due punti distinti individuano una e una sola retta. r B A

Due rette aventi un solo punto in comune sono dette rette incidenti, mentre due rette aventi due (o piĂš) punti in comune sono necessariamente coincidenti.

Si può anche affermare che i punti di una retta sono allineati. t D C B A

2 Semirette Se consideriamo una retta r e fissiamo su di essa un punto A, otteniamo due parti della retta, ognuna delle quali si definisce semiretta di origine A ed è formata da infiniti punti.

A r

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Le basi della geometria

SEZIONE A

DEFINIZIONE

Una semiretta è ciascuna delle due parti in cui una retta rimane divisa da un suo punto; è ancora un insieme infinito di punti. Ogni semiretta ha un inizio (origine) ma non ha una fine.

La retta a cui appartiene una semiretta è detta retta sostegno della semiretta stessa.

Per individuare una semiretta adeguatamente, basta avere l’origine A e un suo qualunque altro punto.

La semiretta di origine A diretta verso destra è la semiretta AB e quella diretta verso sinistra è la semiretta AC. C

A

B

3 Segmenti Consideriamo una retta r e fissiamo su di essa due punti C e D distinti; la retta risulta divisa in tre parti: • la semiretta di origine C, illimitata verso destra; • la semiretta di origine D, illimitata verso sinistra; • la parte compresa tra C e D, detta segmento. r

D

C

D e C sono gli estremi del segmento CD; ogni altro punto situato tra C e D è detto interno al segmento.

DEFINIZIONE

Si dice segmento la parte di retta limitata da due punti, detti estremi del segmento.

La retta a cui appartiene il segmento si definisce retta sostegno del segmento stesso.

Osserva e ricorda che il segmento, pur essendo una figura limitata, è un insieme infinito di punti geometrici e, poiché essi non hanno dimensione, tra gli estremi possiamo immaginarne quanti ne vogliamo.

Vediamo ora alcune definizioni riguardanti i segmenti.

DEFINIZIONE

Due segmenti aventi un solo estremo in comune si dicono consecutivi.

A

AB consecutivo di AC B

C

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Rette, semirette, segmenti

LEZIONE 2

Più segmenti consecutivi formano una spezzata.

B

AB, BC, CD, DE sono i lati

C D

A

E

A, B, C, D, E sono i vertici

della spezzata

Una spezzata può essere: E

D

B

aperta

intrecciata aperta

C

A

A

P

chiusa

N

Q

R

D

D

C

B

B

intrecciata chiusa

M A

DEFINIZIONE

C

Due segmenti consecutivi che giacciono sulla stessa retta si dicono adiacenti.

C

AB adiacente a BC LM adiacente a MN

B

A

L

DEFINIZIONE

N

Due segmenti si dicono sovrapposti se tutti i punti di uno appartengono all’altro.

A C

DEFINIZIONE

M

B

D

Due segmenti sovrapposti sono coincidenti se tutti i punti del primo appartengono al secondo e viceversa.

A C

B D

■ Confronto di segmenti

Se prendiamo due segmenti AB e CD e li sovrapponiamo in modo che i punti C e A vengano a coincidere, si possono verificare tre casi.

25

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Le basi della geometria

SEZIONE A

1) A e C, B e D coincidono: i segmenti sono congruenti.

A C

B D

AB = CD

2) B cade internamente a CD: i segmenti sono diversi e AB è minore di CD. B

A C

D

AB < CD

3) B cade esternamente a CD: i segmenti sono diversi e AB è maggiore di CD. D

A C

AB > CD

B

■ Operazioni con i segmenti

Se abbiamo due segmenti adiacenti AB e BC, la loro somma è il segmento AC. A

B

C

AB + BC = AC

Se due segmenti AB e CD non sono adiacenti, trasportiamo il primo sul prolungamento del secondo, in modo che due estremi coincidano; in tal modo otteniamo due segmenti adiacenti.

D C A

CD = BE AB + CD = AE

B

E

Se abbiamo due segmenti AB e CD, con AB > CD, e vogliamo trovarne la differenza, dobbiamo sovrapporre i due segmenti: troveremo, così, la differenza cercata.

D C

E

A

B

A

B

CD = AE AB – CD = EB

Consideriamo un segmento AB e poi costruiamo il suo doppio, il suo triplo, ecc.

I segmenti così ottenuti si dicono multipli di AB secondo il numero 2, 3…

Si dice multiplo di un segmento dato la somma di un certo numero di segmenti conguenti a quello dato.

A C E

B

CD = 2 AB D

EF = 3 AB F

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Rette, semirette, segmenti

LEZIONE 2

Il segmento AB, che è contenuto 2 volte in CD e 3 volte in EF, è rispettivamente sottomultiplo di CD secondo il numero 2, e di EF secondo il numero 3; quindi si dice che AB è la metà di CD ed è la terza parte di EF, cioè:

AB =

1 CD 2

AB =

1 EF 3

■ Lunghezza di un segmento DEFINIZIONE

La lunghezza di un segmento è l’estensione lineare del segmento stesso.

Misurare una lunghezza significa trovare quante volte un segmento preso come unità di misura sta nel segmento considerato.

Le unità di lunghezza sono date dai multipli e sottomultipli del metro.

In generale quando ci si riferisce alla misura __ di un segmento AB, si usa un tratto orizzontale posto sulle lettere degli estremi: AB .

Nel seguito non metteremo tale tratto, essendo chiaro dal contesto se si parla del segmento o della sua misura.

■ Punto medio di un segmento

Dato un segmento AB, consideriamo un punto M interno a esso e tale che AM = MB; questo punto si definisce punto medio.

DEFINIZIONE

Il punto medio di un segmento è quel punto che divide il segmento in due parti congruenti.

A

M

B

AM = MB

M = punto medio

Come puoi osservare, abbiamo indicato graficamente l’uguaglianza di due segmenti mediante uno stesso simbolo grafico posto sugli stessi.

■ Distanza tra due punti

Dati due punti qualsiasi A e B, è detta distanza tra A e B la lunghezza del segmento che unisce i due punti, o, in altre parole, è la lunghezza della linea più breve che unisce A a B.

AB = distanza tra A e B A

B

Spesso il termine distanza è usato per indicare anche il segmento stesso di estremi A e B. 27

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Le basi della geometria

SEZIONE A

STOPANDGO

1

Vero V o falso F ? a V F b V F c V F d V F e V F f

V F

g V F h V F i

V F V F m V F l

Per un punto passano molte rette.

Per due punti passano due rette.

Una semiretta ha un’origine, ma non ha una fine.

Un segmento è una retta limitata da due punti.

Un segmento è la parte di retta limitata da due punti, detti estremi del segmento.

Due segmenti che hanno un solo punto in comune si dicono consecutivi.

Due segmenti che giacciono sulla stessa retta si dicono adiacenti.

Due segmenti consecutivi che giacciono sulla stessa retta si dicono adiacenti.

Due segmenti sovrapposti hanno alcuni punti coincidenti.

Se il segmento AB è maggiore del segmento CD possiamo dire che AB è multiplo di CD. Il punto medio di un segmento lo divide a metà.

2

Disegna due segmenti consecutivi.

3

Disegna due segmenti adiacenti.

4

Disegna due segmenti sovrapposti.

5

Disegna due segmenti coincidenti.

6

Disegna la spezzata aperta di lati AB, BC, CD, DE.

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Rette, semirette, segmenti

LEZIONE 2

7

Disegna la spezzata chiusa di vertici A, B, C.

8

Disegna la spezzata intrecciata aperta di lati RS, ST, TV, VZ.

9

Disegna la spezzata intrecciata chiusa di vertici A, B, C, D.

10 Dato il segmento AB, disegna il suo multiplo secondo 3 e il suo multiplo secondo 4.

A•

•B

11 Dato il segmento AB, disegna il segmento CD che sia la sua terza parte e il segmento EF = 1 CD. 2 A• •B

CURIOSITÀ - I NUMERI SI SCRIVONO CON I SEGMENTI

Se osservi il display di una calcolatrice tascabile o quello di un orologio digitale, puoi notare che ogni casella ha sette “bastoncini” così disposti: .

Combinando l’accensione, con l’attivazione di circuiti elettrici, di tali bastoncini si possono scrivere tutte le dieci cifre del sistema decimale e, di conseguenza, tutti i numeri che vuoi.

Il numero delle combinazioni possibili è .

GIOCO CON I SEGMENTI - LA LUMACA SCALATRICE

Una lumaca deve salire in cima a un muro alto 7 metri, per passare così da un orto ad un altro.

Per fare ciò sceglie la via più breve, cioè la direzione verticale, ma mentre di giorno sale tre metri di notte scivola in giù di due metri, così progredisce di un metro al giorno. In quanti giorni la luma[5 giorni] ca arriverà in cima al muro? (Attento all’inganno…)

29

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LEZIONE

X 2 Rette, semirette, segmenti ESERCIZI 1

Disegna una retta r e fissa su di essa due punti distinti A e B. In quante e quali parti rimane divisa la retta?

2

Disegna due semirette aventi la stessa origine O e la stessa retta sostegno. A che cosa danno origine?

3

Disegna due semirette aventi la stessa origine A ma con sostegno diverso.

4

5

Su una retta si possono collocare infiniti segmenti. h V F Due segmenti consecutivi sono anche adiacenti. i V F La distanza tra due punti è il segmento che li unisce. l V F Due segmenti adiacenti sono sempre consecutivi. g V F

9

Prendi su una retta t due punti distinti A e B. Quante semirette appartenenti a t e con origine in A e B puoi disegnare?

Indica i segmenti presenti nella seguente figura.

S

A

R

Segna cinque punti distinti su una retta; quanti segmenti puoi trovare aventi per estremi due punti qualsiasi di quelli dati?

C D

6

7

8

Dopo aver fissato su una retta r quattro punti distinti A, B, C, D, trova gli insiemi AC ∩ BD, AB ∩ CD e AD ∩ BC.

B

T

10

Disegna un fascio di rette di centro C.

Disegna su una retta quattro punti. Quanti sono i segmenti di retta che hai così determinato?

Elencali.

11

Disegna due semirette opposte: che cosa ottieni?

12

Disegna due segmenti consecutivi.

Vero V o falso F ?

13

Disegna 4 segmenti a due a due consecutivi.

14

Disegna due segmenti adiacenti.

15

Disegna due segmenti sovrapposti.

16

Disegna due segmenti coincidenti.

17

Disegna la distanza tra il punto A e il punto B.

18

Disegna su una retta tre punti A, B e C in modo che AC sia lungo 18 cm e AB sia la metà di BC. Quanto misurano AB e BC? [6 cm; 12 cm]

a V F b V F c V F d V F e V F f

V F

Un punto può essere origine di infinite rette.

Un punto può essere origine di infinite semirette.

Una semiretta è un sottoinsieme della retta.

In un segmento c’è un numero finito di punti.

Una retta è un insieme infinito di punti.

Due rette non coincidenti possono avere due punti in comune.

30