La Tua Matematica - Linguaggi by ELI Publishing

00 Triennale 2010 v.2

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A. Calvi G. Panzera S. Morone

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CORSO DI MATEMATICA PER LA SCUOLA SECONDARIA DI PRIMO GRADO

di Anna Calvi, Gabriella Panzera, Simona Morone

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Redazione Niccolò Terzi

Guida per l'insegnante ISBN 978-88-468-2796-8

Geometria 1 ISBN 978-88-468-2793-7

Art director Marco Mercatali Responsabile di produzione Francesco Capitano

Copertina Adami Design

Aritmetica 1 + Geometria 1 + I linguaggi della Matematica + cd rom ISBN 978-88-468-2816-3

Disponibili anche separatamente Aritmetica 1 + I linguaggi della Matematica + cd rom ISBN 978-88-468-2790-6

Coordinamento editoriale Beatrice Loreti

Progetto grafico e impaginazione Alberto Sangiorgi

Stampato in Italia presso Grafiche Flaminia - Foligno 10.83.071.0

La casa editrice ringrazia Sara Gentili, Stefania Senigagliesi e Francesco Tramannoni per il contributo fornito nella revisione degli esercizi del corso La tua matematica.

La casa editrice La Spiga e l’ambiente La casa editrice La Spiga usa carta certificata FSC per tutte le sue pubblicazioni. È un’importante scelta etica, poiché vogliamo investire nel futuro di chi sceglie ed utilizza i nostri libri sia con la qualità dei nostri prodotti sia con l’attenzione all’ambiente che ci circonda. Un piccolo gesto che per noi ha un forte significato simbolico. Il marchio FSC certifica che la carta usata per la realizzazione dei volumi ha una provenienza controllata e che le foreste sono state sottratte alla distruzione e gestite in modo corretto.

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PRESENTAZIONE ■ Struttura del corso In ottemperanza alle “Indicazioni per il Curricolo” emanate dal Ministero della Pubblica Istruzione nel 2007, il corso è stato strutturato in: due tomi di aritmetica e due di geometria per il biennio; un tomo di algebra e uno di geometria per la classe terza; un volume valido per tutto il triennio con quei contenuti a valenza trasversale quali: gli insiemi; le operazioni binarie e le strutture algebriche; le relazioni; gli strumenti di calcolo, l’approssimazione, la notazione esponenziale e standard, l’ordine di grandezza; i grafici; elementi di statistica; cenni di logica; elementi di calcolo delle probabilità.

Ciascun tomo del corso LA TUA MATEMATICA si compone di SEZIONI, che comprendono, a loro volta, le LEZIONI necessarie alla trattazione completa di ciascuna tematica. Ogni lezione si apre con l’indicazione di: PREREQUISITI necessari ad affrontare i contenuti proposti; OBIETTIVI da conseguire; CONTENUTI in essa trattati. La trattazione della teoria adotta un linguaggio rigorosamente scientifico, ma viene sempre proposta in modo semplice e comprensibile da parte di tutti gli alunni; le definizioni e le regole sono graficamente evidenziate non solo per ragioni estetiche, ma soprattutto per favorire quegli alunni che prediligono lo stile cognitivo di tipo visivo. Al termine dell’esposizione di un contenuto vengono svolti per intero e commentati uno o più esercizi esemplificativi e significativi del concetto da apprendere (ESEMPIO). Al fine di permettere agli alunni una verifica immediata dell’avvenuta comprensione, agli esempi seguono gli STOPANDGO, batterie di esercizi di rapida esecuzione, da svolgere in classe autonomamente o dietro la guida dell’insegnante; proprio per questo motivo, data anche la loro semplicità, si è deciso di riportare solamente i risultati di quelli più elaborati. Le grandi tematiche si concludono spesso con schede storiche, denominate STORIA&MATEMATICA. Molti degli argomenti trattati sono arricchiti da GIOCHI, CURIOSITÀ, APPROFONDIMENTI ed “escursioni” in altri ambiti disciplinari (ILSALTADISCIPLINA), non solo per evidenziare l’aspetto ludico della materia ma, soprattutto, per far comprendere ai ragazzi che, nel quotidiano, si usano di frequente concetti matematici; la matematica, infatti, non è una disciplina astratta e avulsa da tutte le altre, ma concorre alla formazione globale di ciascun alunno. Inoltre, essa ben si presta all’inter- e transdisciplinarità delle sezioni.

Ogni lezione si conclude con la sezione dedicata agli ESERCIZI, sempre presentati secondo una gradualità crescente di difficoltà. Il numero di esercizi è particolarmente elevato, per consentire all’insegnante la più ampia scelta possibile.

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Al termine di ciascuna batteria di esercizi sono presenti: ■ una VERIFICA formativa sull’argomento trattato, che ha lo scopo di avere un CONOSCENZE riscontro immediato sull’avvenuto apprendimento delle ABILITÀ e delle da parte degli alunni; ■ una verifica di RECUPERO, qualora si sia riscontrata la necessità di rivedere con la classe (o parte di essa) alcuni argomenti considerati nel corso della lezione; ■ due schede di VERIFICA SOMMATIVA su tutti gli argomenti affrontati nella sezione (fatta eccezione per il volume I linguaggi della matematica): la prima più facile e la seconda relativamente più complessa, per consentire di adeguare la prova ai diversi livelli di apprendimento degli alunni.

Al termine di ogni tomo del corso (fatta eccezione per il volume I linguaggi della matematica) sono state inoltre inserite alcune schede di POTENZIAMENTO, suddivise secondo le sezioni, per evidenziare, nonché gratificare, i casi di eccellenza. I risultati delle verifiche formative e di recupero si trovano tra le pagine 174 e 175 del presente volume.

Al termine dei voluni di Aritmetica e di Algebra si trovano le tavole numeriche (numeri primi minori di 10 000; quadrati, cubi, radici quadrate e cubiche e scomposizione in fattori). Al termine del volume di Algebra è presente una sezione dedicata ai TEMI D’ESAME, esercizi destinati alla verifica dell’acquisizione dei contenuti affrontati nel corso della classe terza e, quindi, preparatori per l’Esame di Stato. Al termine del volume Geometria 1 è presente un’appendice, con relativi esercizi, dedicata all’applicativo Cabri-géomètre II, software che facilita l’apprendimento dei concetti fondamentali legati alla geometria piana. Il corso LA TUA MATEMATICA è inoltre corredato di: ■ un CD-ROM interattivo, così articolato: • esercizi da svolgere, svolti e guidati, suddivisi per sezione • una sezione di giochi e curiosità matematiche • una selezione di simulazioni della Prova Nazionale ■ una esaustiva presentazione del corso, unitamente a tutte le necessarie

indicazioni metodologiche e al materiale appositamente predisposto per essere fotocopiato e sottoposto agli alunni si trova nella guida per l’insegnante.

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INDICE SEZIONE A Verso l’algebra moderna e astratta 1 Gli insiemi 1 Rappresentazione di un insieme

8 9 ■ Rappresentazione tabulare o per elencazione 9 ■ Rappresentazione per caratteristica 9 ■ Rappresentazione grafica o con diagramma di Eulero-Venn 9 ■ Insiemi uguali e insiemi diversi 9 ■ Insiemi disgiunti 10 ■ Sottoinsiemi e insieme delle parti 10 2 Operazioni con gli insiemi 11 ■ Intersezione 11 ■ Unione 12 ■ Differenza 12 3 Corrispondenza fra gli insiemi 13 4 Insiemi equipotenti 15

LEZIONE

APPROFONDIMENTO

■ Il prodotto cartesiano tra due insiemi STORIA&MATEMATICA ■ Breve storia dell’insiemistica ESERCIZI VERIFICA RECUPERO 2 Le operazioni binarie e le strutture algebriche 1 Le operazioni binarie 2 Le strutture

LEZIONE

■ Legge di composizione interna ■ Rappresentazione di una legge di composizione 3 Proprietà delle leggi di composizione ■ Proprietà commutativa ■ Proprietà associativa ■ Elemento neutro ■ Elemento simmetrico 4 Strutture algebriche particolari ESERCIZI VERIFICA RECUPERO 3 Le relazioni Relazione tra due insiemi Dominio e codominio Relazione inversa Rappresentazione grafica di una relazione

LEZIONE

1 2 3 4

16 17 18 27 28 29 29 30 30 31 32 32 33 33 34 36 39 42 43 44 44 44 45 46

5 Proprietà delle relazioni

■ Proprietà riflessiva ■ Proprietà simmetrica ■ Proprietà transitiva ■ Proprietà antisimmetrica ■ Proprietà antiriflessiva 6 Relazione di equivalenza 7 Relazione d’ordine ESERCIZI VERIFICA RECUPERO

47 47 47 47 48 48 50 51 52 58 59

SEZIONE B Verso altri linguaggi LEZIONE

1 2 3 4

4 Gli strumenti di calcolo, l’approssimazione,

l’ordine di grandezza, la notazione esponenziale e standard Gli strumenti di calcolo L’approssimazione e l’arrotondamento L’ordine di grandezza di un numero La notazione esponenziale di un numero ■ La notazione scientifica o notazione standard di un numero ESERCIZI VERIFICA RECUPERO

5 I grafici Diagrammi cartesiani Istogrammi Ideogrammi Areogrammi STORIA&MATEMATICA ■ Cartesio LEZIONE

1 2 3 4

ESERCIZI VERIFICA RECUPERO

62 62 70 74 75 75 77 81 82 83 83 87 89 90 92 93 110 112

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INDICE 6 Elementi di statistica 1 Statistica 2 Le fasi dell’indagine statistica

LEZIONE

■

La determinazione precisa del carattere che si vuole analizzare ■ b La progettazione dello strumento per la raccolta di dati ■ c La raccolta dei dati ■ d La trascrizione dei dati ■ e L’elaborazione dei dati 3 I valori medi ■ f La rappresentazione dei dati 4 La curva di Gauss

113 113 115

LEZIONE

8 Elementi di calcolo delle probabilità 1 Eventi casuali

115 115 116 116 117 118 123 126 128 134 136

2 3

ESERCIZI VERIFICA RECUPERO

■ Probabilità di un evento casuale ■ Probabilità di un evento contrario Frequenza e legge empirica del caso Probabilità totale: eventi incompatibili ed eventi compatibili ■ Probabilità totale di eventi incompatibili ■ Probabilità totale di eventi compatibili Probabilità composta: eventi indipendenti ed eventi dipendenti ■ Probabilità composta di eventi indipendenti ■ Probabilità composta di eventi dipendenti Rappresentazione grafica della probabilità: tabelle a doppia entrata e grafi ad albero

151 151 152 154 155 156 156 157 158 158 159 160

APPROFONDIMENTO 7 Cenni di logica 1 Proposizioni logiche o enunciati 2 I connettivi logici

LEZIONE

■ Tabelle di verità dei connettivi logici ■ Connettivo NON “—” ■ Connettivo E “∧” ■ Connettivo O (vel) “∨” . ■ Connettivo O… O… (aut) “∨”

137 137 139 140 140 140 141 142

APPROFONDIMENTO

■ I circuiti elettrici ESERCIZI VERIFICA RECUPERO

144 146 149 150

■ La genetica

162 164 172 173

ESERCIZI VERIFICA RECUPERO RISULTATI VERIFICA-RECUPERO SEZIONE A LEZIONI SEZIONE B LEZIONI

1-2-3 4-5-6-7-8

174 174

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SEZIONE

LINGUAGGI

Verso lâ&#x20AC;&#x2122;algebra moderna e astratta In questa sezione imparerai a conoscere e operare con gli insiemi. Conoscerai inoltre il significato e le proprietĂ delle strutture algebriche e inizierai a familiarizzare con le relazioni che si possono stabilire tra due insiemi.

insiemi

strutture algebriche

relazioni e funzioni

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LEZIONE

1 Gli insiemi PREREQUISITI • • • •

Saper leggere un testo Comprendere un testo Individuare le informazioni Comprendere le richieste

CONTENUTI • • • • • •

Rappresentazione di insiemi Sottoinsiemi Simboli Operazioni con gli insiemi Corrispondenza tra insiemi Prodotto cartesiano

OBIETTIVI • Saper tradurre il linguaggio insiemistico in linguaggio verbale e viceversa

Se, considerando una collezione qualsiasi di oggetti, sappiamo distinguerli chiaramente e siamo in grado di stabilire, con esattezza, se uno di essi appartiene o no a tale collezione, allora essa costituisce un insieme. Gli oggetti, le persone, gli animali che formano l’insieme sono detti elementi dell’insieme. Per esempio, gli alunni di una classe, i libri della biblioteca comunale costituiscono degli insiemi, poiché in entrambi i casi sappiamo distinguere se un alunno frequenti o no la classe e se un libro appartenga o no alla biblioteca. Non sono insiemi matematici: i ragazzi belli della tua classe, i libri interessanti della biblioteca, ecc. DEFINIZIONE definizione

Un insieme è costituito da persone, animali, oggetti, detti elementi, che devono essere ben distinti e tali da consentire di stabilire, con esattezza, se appartengono all’insieme stesso.

Per indicare gli insiemi si usano le lettere maiuscole A, B, C…, per indicare gli elementi di un insieme si usano le lettere minuscole a, b, c… Un insieme può essere finito se contiene un numero finito di elementi, infinito se contiene un numero infinito di elementi, vuoto (indicato mediante il simbolo ∅) se non contiene elementi. Se a è un elemento dell’insieme A si scrive a ∈ A ; se b non è un elemento di A si scrive b ∉ A . 8

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Gli insiemi

LEZIONE 1

1 Rappresentazione di un insieme Vediamo ora come si possono rappresentare gli insiemi.

■ Rappresentazione tabulare o per elencazione Si elencano tra due parentesi graffe tutti gli elementi dell’insieme, senza ripetizione, separati da una virgola o da un punto e virgola, facendo precedere tale scrittura da una lettera maiuscola che indica l’insieme. Per esempio, l’insieme A delle quattro stagioni si può rappresentare così: A = {primavera, estate, autunno, inverno}. L’insieme B delle lettere della parola cavallo sarà: B = {c, a, v, l, o}.

■ Rappresentazione per caratteristica In questo caso, entro parentesi graffe, si enuncia la proprietà caratteristica goduta da tutti gli elementi dell’insieme. Così l’esempio delle quattro stagioni diventa: A = {le stagioni dell’anno solare} oppure A = {a|a è una stagione dell’anno solare}, che si legge “A è l’insieme di tutti gli elementi a tali che ogni a è una stagione dell’anno solare”.

■ Rappresentazione grafica o con diagramma di Eulero-Venn Consiste nel racchiudere entro una linea chiusa (che può assumere qualsiasi forma) tutti gli elementi dell’insieme. Osserva come viene rappresentato l’insieme A delle quattro stagioni.

A • primavera

• estate

• inverno • autunno

Vediamo ora alcune deﬁnizioni relative agli insiemi.

■ Insiemi uguali e insiemi diversi Consideriamo i due seguenti insiemi: A = {lettere della parola rosa} B = {lettere della parola raso}

A = {r, o, s, a} B = {r, a, s, o}

Come puoi facilmente osservare, gli elementi dell’insieme A e quelli dell’insieme B sono identici, quindi i due insiemi si dicono uguali e si scrive: A = B . DEFINIZIONE

Due insiemi dati A e B si dicono uguali quando contengono gli stessi elementi.

Se due insiemi non sono uguali, cioè non sono formati dagli stessi elementi, si dicono diversi o disuguali e si scrive: A ≠ B . ESEMPIO

A = {1, 2, 3, 4}

B = {2, 4, 6, 8}

sono due insiemi diversi, poiché solo alcuni elementi di A lo sono anche di B.

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Verso l’algebra moderna e astratta

SEZIONE A

■ Insiemi disgiunti

Osserviamo i due insiemi seguenti: A = {1, 2, 3} e B = {4, 5, 6}. Possiamo facilmente notare che nessun elemento dell’insieme A è presente in B e viceversa; in sintesi, i due insiemi A e B non hanno elementi in comune. DEFINIZIONE

Due insiemi A e B si dicono disgiunti se non hanno alcun elemento in comune.

È evidente, dunque, che insieme diverso e insieme disgiunto non sono sinonimi. STOPANDGO

3 2

È dato l’insieme A = {3, 6, 9, 12, 15}. Completa con il simbolo di appartenenza o non appartenenza. A; 4

A; 9

A; 7

A; 15

A = {o, n} B = {x⏐x è una lettera della parola nonno} C = {1, 2, 3, 4} D = {4, 3, 1}

Rappresenta per elencazione i seguenti insiemi: a b c

Quali dei seguenti insiemi sono uguali?

A = {a⏐a è una nota musicale} A = {a⏐a è un seme delle carte da gioco} A = {a⏐a è una lettera della parola albero}

Scrivi due insiemi A e B uguali.

■ Sottoinsiemi e insieme delle parti

Esaminiamo l’insieme A dei primi dieci numeri naturali che, come è noto, è formato da cinque numeri pari e cinque dispari. Consideriamo solo le cifre pari di A: esse formano, chiaramente, un insieme che chiamiamo B e che è sicuramente contenuto in A. DEFINIZIONE

Un insieme B si dice sottoinsieme proprio di un insieme A se ogni elemento di B è anche elemento di A, ma c’è almeno un elemento di A che non appartiene a B. Se tutti gli elementi di A sono anche elementi di B, o se B è l’insieme vuoto, B è detto sottoinsieme improprio di A.

A B

•1 •3

•9

•5

•7

Sono sottoinsiemi impropri di A l’insieme ∅ e l’insieme A stesso. •2 • 10

•4

•8

•6

Se l’insieme B è un sottoinsieme proprio dell’insieme A, si dice che B è incluso o contenuto in A e si scrive: B ⊂ A . In caso contrario, cioè se B non è sottoinsieme di A, si dice che B non è contenuto in A e si scrive: B ⊄ A .

Se B è un sottoinsieme (proprio o improprio) di A, si dice che B è contenuto o uguale ad A e si scrive B ⊆ A . Consideriamo l’insieme A = {1, 2, 3} e tutti i suoi sottoinsiemi propri e impropri: ∅; {1}; {2}; {3}; {1, 2};{1, 3}; {2, 3}; {1, 2, 3} 10

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Gli insiemi

LEZIONE 1

L’insieme formato da tutti i sottoinsiemi precedenti si chiama insieme delle parti e si indica con PA. DEFINIZIONI

L’insieme delle parti PA di un insieme A è l’insieme formato da tutti i sottoinsiemi propri e impropri di A. Se A1, A2… An sono sottoinsiemi di A, tali che: nessuno sia vuoto, siano a due a due disgiunti e l’unione dei sottoinsiemi sia tutto l’insieme A, allora A1, A2… An costituiscono una partizione di A.

STOPANDGO

Scrivi in simboli le possibili inclusioni che trovi nei seguenti diagrammi. C A B a X

B c

Z A

Stabilisci, tra le seguenti coppie di insiemi, per quali vale la relazione ⊂ o ⊆. a

A = {a⏐a è un italiano} B = {b⏐b è un veneziano}

A = {m, a} B = {lettere della parola mamma}

A = {i mammiferi} B = {gli animali}

2 Operazioni con gli insiemi Le principali operazioni con gli insiemi sono l’intersezione, l’unione e la differenza. Vediamo in cosa consistono. ■ Intersezione

Consideriamo l’insieme A, formato dalle lettere della parola mano, e l’insieme B, formato dalle lettere della parola cane. A = {m, a, n, o}

B = {c, a, n, e}

Puoi osservare che A e B non sono due insiemi uguali ma non sono neppure disgiunti, poiché le lettere a e n appartengono sia ad A che a B e possono formare, a loro volta, un nuovo insieme I = {a, n} che chiamiamo intersezione I e indichiamo con il simbolo ∩. I=A∩B

Se rappresentiamo graﬁcamente con diagrammi di Eulero-Venn, otteniamo:

•o •m

•c

•n •e

•a

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Verso l’algebra moderna e astratta

SEZIONE A

DEFINIZIONE

Si dice intersezione di due insiemi A e B l’insieme I costituito da tutti gli elementi che appartengono contemporaneamente ad A e B.

Due insiemi che hanno per intersezione un insieme vuoto sono disgiunti. A

B •a •b •c

•r •s •t

A∩B=∅

■ Unione

Riprendiamo gli insiemi A e B dell’esempio precedente: A = {m, a, n, o}

B = {c, a, n, e}

Formiamo un nuovo insieme C con tutti gli elementi di A e B, presi una sola volta. C = {m, a, n, o, c, e}

L’insieme così ottenuto è detto unione degli insiemi A e B e si indica con il simbolo ∪. C=A∪B

Se rappresentiamo graﬁcamente con diagrammi di Eulero-Venn, otteniamo: C

A •o •m

DEFINIZIONE

B •n •a

•c

C=A∪B

•e

Si dice unione di due insiemi dati A e B l’insieme C costituito dagli elementi di A e da quelli di B, presi una sola volta.

■ Differenza

Facendo riferimento agli insiemi A e B precedenti, possiamo eseguire un’altra operazione: consideriamo l’insieme D composto dagli elementi di A che non appartengono però a B, e cioè: D = {m, o} 12

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Gli insiemi

LEZIONE 1

L’insieme così formato è l’insieme differenza e si indica con – oppure /: D=A–B

D=A/B

oppure

e si legge “A meno B”.

Se passiamo alla rappresentazione graﬁca con diagrammi di Eulero-Venn, abbiamo: D

B •n •o •m

DEFINIZIONE

ESEMPIO

•a

•c •e

Si dice insieme differenza tra due insiemi A e B l’insieme D costituito dagli elementi che appartengono ad A ma non appartengono a B.

Se l’insieme B è contenuto nell’insieme A, la differenza A – B si chiama comple– mentare di B rispetto ad A e si indica con B oppure CAB.

Dati gli insiemi A = {x | 2 ≤ x ≤ 10} e B = {3, 4, 6}, determina CAB. A

Rappresentiamo graficamente gli insiemi:

•8 •2

Per definizione di insieme complementare abbiamo:

•3

•5 • 10

•4 •7

•6

•9

CAB = {2, 5, 7, 8, 9, 10} STOPANDGO

Colora in rosso l’unione dei due insiemi dati e in verde l’intersezione. A

Determina gli insiemi A ∪ B, A ∩ B, A – B, essendo: A = {x⏐x è un numero intero minore di 8} B = {x⏐x è un numero intero maggiore di 3 e minore di 10}

Determina gli insiemi A ∪ B, A ∩ B, A – B, essendo: A = {a, e, i, o, u} B = {s, e, t, a}

A B

3 Corrispondenza fra gli insiemi Considera gli insiemi A = {p, m} e B = {pino, matita, pane, papà, cane}. Puoi osservare che si possono mettere in relazione gli elementi di A con quelli di B, esprimendo tale relazione R con “…è la prima lettera di…”

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Verso l’algebra moderna e astratta

SEZIONE A

DEFINIZIONE

Dati due insiemi A e B non vuoti, si dice che tra essi è definita una relazione R se esiste una legge che associa elementi di A con elementi di B.

Una relazione si può rappresentare graficamente con un diagramma a freccia (forma sagittale), con una tabella a doppia entrata o con un reticolo (diagramma cartesiano). A

B B

• pino • papà • pane • matita • cane

p•

m•

cane papà pane matita pino

Diagramma sagittale B

A p m

pino •

matita

pane •

papà •

• • • •

cane

Reticolo

• Tabella a doppia entrata

Osservando il diagramma sagittale, si nota che da ogni elemento di A partono una o più frecce, ma un elemento di B non è associato a nessun elemento. DEFINIZIONE

Una relazione che a ogni elemento di A associa uno e un solo elemento di B, ma non viceversa, si chiama corrispondenza univoca o funzione di A in B.

ESEMPIO

Considera gli insiemi A = {3, 6, 9}, B = {1, 2, 3} e la relazione R “…è triplo di…”. Rappresentando graficamente si avrà: Diagramma sagittale

Tabella a doppia entrata

B 9•

•1

3•

•2

6•

•3

A 3 6 9

1 •

• •

Reticolo B

3 2 1

Osservando le rappresentazioni grafiche, si nota che ogni elemento di A è in corrispondenza con uno solo di B.

• • • 3

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Gli insiemi

LEZIONE 1

DEFINIZIONE

Una relazione che a ogni elemento di A associa uno e un solo elemento di B e tale che ogni elemento di B è associato a uno e un solo elemento di A si dice biunivoca.

STOPANDGO

Quali delle seguenti corrispondenze sono univoche e quali biunivoche? A • • • •

a• b• c•

1 2 3 4

•1 •3 •2

• Gina • Ida • Ada • Isa

Carlo • Pino • Piero •

B a• b• c•

B a• b• c• d•

•3

Rappresenta la corrispondenza y = 2x, dove x ∈ X = {1, 2, 3} e y ∈ Y = {2, 4, 5, 6} e stabilisci se è univoca o biunivoca. La corrispondenza è

……………………………

perché

…………………………………………………

4 Insiemi equipotenti Consideriamo gli insiemi A = {Novara, Padova, Rapallo, Taormina} e B = {Piemonte, Liguria, Veneto, Sicilia} e la corrispondenza “…è una città di…”. B

A Novara • Padova • Rapallo • Taormina •

• Veneto • Piemonte • Liguria • Sicilia

La corrispondenza tra A e B è biunivoca, perché ogni elemento di A ha un solo corrispondente in B e viceversa, come puoi vedere: A e B hanno lo stesso numero di elementi, cioè sono equipotenti. DEFINIZIONE

Due insiemi A e B sono equipotenti, cioè hanno lo stesso numero di elementi, se tra A e B esiste una corrispondenza biunivoca.

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Verso l’algebra moderna e astratta

SEZIONE A

STOPANDGO

Stabilisci se i seguenti insiemi sono equipotenti. 1

A = {le dita di una mano} B = {1, 2, 3, 4, 5}

A = {lettere della parola tazza} B = {m, n, o, p, q}

A = {r, a, n} B = {3, 4, 9}

A = {lettere della parola Anna} B = {lettere della parola pepe}

APPROFONDIMENTO

■ Il prodotto cartesiano tra due insiemi

Considera i due insiemi A = {2, 4, 6} e B = {a, e, i, o} e forma tutte le possibili coppie ordinate in cui il primo elemento appartiene all’insieme A e il secondo a B. Per facilitare la scrittura di tutte le coppie usiamo il reticolo per rappresentare gli insiemi A e B. B o i e a

• • • •

DEFINIZIONE

Ogni nodo • del reticolo individua una coppia ordinata; l’insieme di tutte le coppie ordinate è il prodotto cartesiano di A per B e si indica con A × B (si legge “A cartesiano B”). Dal grafico si ricava: A

A × B = {(2, a), (2, e), (2, i), (2, o), (4, a), (4, e), (4, i), (4, o), (6, a), (6, e), (6, i), (6, o)}

Dati due insiemi A e B, si dice prodotto cartesiano di A per B e si indica con A × B l’insieme di tutte le coppie ordinate aventi il primo elemento in A e il secondo in B. In simboli si scrive A × B = {(a, b)⏐a ∈ A e b ∈ B}.

Per rappresentare il prodotto cartesiano A × B, oltre al reticolo, si possono usare la tabella a doppia entrata o il diagramma sagittale. Vediamo ora una applicazione pratica del prodotto cartesiano. Andrea, Pietro, Carlo e Luca hanno organizzato un torneo di ping-pong. Sapendo che ogni ragazzo dovrà giocare con tutti gli altri una sola volta, prepara la tabella delle partite. Indicato con A l’insieme dei giocatori e con B l’insieme delle coppie ottenute, puoi dire che B coincide con A × A? Rappresentiamo sul reticolo il prodotto cartesiano A × A:

A L C P A

• • • •

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Gli insiemi

LEZIONE 1

I nodi arancioni • rappresentano le coppie possibili, mentre i nodi blu • rappresentano le coppie non ammesse, in quanto formate dallo stesso elemento (un giocatore non può gareggiare con se stesso). Le coppie possibili sono perciò le seguenti: (A, P) (P, A) (C, A) (L, A)

(A, C) (P, C) (C, P) (L, P)

(A, L) (P, L) (C, L) (L, C)

Ma (A, P) e (P, A) si equivalgono, poiché ogni ragazzo deve giocare una sola volta con tutti gli altri ragazzi, quindi l’insieme delle coppie cercate è: B = {(A, P), (A, C), (A, L), (P, C), (P, L), (C, L)}, possiamo quindi concludere che B ⊂ A × A. STOPANDGO

Dati gli insiemi A = {1, 2, 3} e B = {1, 3, 5, 7}, scrivi per elencazione e rappresenta nei tre modi possibili il prodotto cartesiano A × B.

Dati gli insiemi A = {a, b, c}, B = {c, e} e C = {b, d}, verifica che (A – C) × B = A × B – C × B.

STORIA&MATEMATICA

■ Breve storia dell’insiemistica

Verso la fine del XIX secolo, la matematica si era divisa in vari rami, ciascuno dei quali si differenziava dagli altri per metodi e linguaggi. Tutto ciò avveniva poiché mancava un elemento che unificasse tali rami. Ai primi del ’900, Georg Cantor elaborò la teoria degli insiemi: in essa si studiano aggregati di oggetti, indipendentemente dalla natura degli elementi che li costituiscono, dandone una rappresentazione grafica con i diagrammi di Eulero-Venn. Georg Cantor nacque a San Pietroburgo nel 1845. Insegnò all’università di Halle; la sua teoria, elaborata negli anni, fu ritenuta assurda da molti matematici dell’epoca. Questo lo fece ammalare di nervi, tanto che fu ricoverato in una clinica psichiatrica, dove morì nel 1918. Eulero, nato a Basilea nel 1707, è stato uno dei più illustri matematici di tutti i tempi. Introdusse fi. in matematica la teoria dei grafi Fu considerato un prodigioso calcolatore, tanto che alla sua morte si disse di lui: « egli cessò di vivere e di calcolare ». John Venn (Kingston upon Hull, 1834) fu lettore di logica e scienze morali all’università di Cambridge. Si occupò principalmente di logica e di teoria delle probabilità, ed è famoso soprattutto per il suo trattato Logica Simbolica, in cui introdusse i diagrammi di Eulero-Venn, che vengono utilizzati in molti settori della matematica, dalla teoria degli insiemi alla logica e alla teoria della probabilità. 17

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LEZIONE

1 Gli insiemi ESERCIZI 1

a b c d e f g h i l m

Indica con una crocetta le espressioni che non individuano un insieme. I tasti del pianoforte della sala di musica. Le parole del libro Cuore. Le alunne bionde della tua scuola. Le più importanti città della Lombardia. Le chiavi che usa il bidello della scuola. Le monete metalliche attualmente in uso in Italia. Le presentatrici simpatiche della TV. I ﬁori del giardino del sindaco della tua città. Le migliori marche di frigoriferi. Alcune sinfonie classiche. Le lettere della parola amicizia.

I primi otto numeri dispari.

Le stagioni dell’anno.

Le materie che si studiano in prima secondaria.

I mesi con trenta giorni.

Rappresenta con i diagrammi di Eulero-Venn i seguenti insiemi e verifica se le seguenti scritture sono vere V o false F . A = {x⏐x è capoluogo di provincia d’Italia} B = {x⏐x è capoluogo del Lazio} C = {x⏐x è capitale d’Italia}

Vero V o falso F ? a V F b V F c V F d V F e V F f V F g V F h V F

V F V F V F

La frase: “I ragazzi simpatici della tua classe” individua un insieme. La scrittura B ⊂ A indica che l’insieme B è un sottoinsieme proprio di A. I numeri naturali costituiscono l’insieme N che è un insieme finito. ⊂ è il simbolo di appartenenza. ∈ è il simbolo di inclusione. ∉ è il simbolo di non appartenenza. ⊄ è il simbolo di insieme vuoto. ∅ è il simbolo di non inclusione.

Dai la rappresentazione tabulare e quella graﬁca dei seguenti insiemi. 3

I nomi dei mesi dell’anno che contengono la vocale e.

I nomi delle dita della mano. Le lettere della parola scrivere.

Le lettere della parola aritmetica.

Le consonanti della parola anno.

Le consonanti che seguono la m e precedono la t.

a∈A p∉A i∈A

V F V F V F

m∈A f∉A z∈A

A A A

15 20 19

A A A

Dato l’insieme A = {a, b, c}, individua la caratteristica che lo descrive correttamente. a b c

Roma ⊂ C C∉A C⊂A

A è l’insieme dei primi venti numeri naturali; completa le seguenti relazioni con l’opportuno simbolo di appartenenza o non appartenenza. 5 3 29

16 5

V F V F V F

A è l’insieme delle lettere dell’alfabeto che precedono la lettera f. Quali delle seguenti relazioni sono vere V e quali false F ? V F V F V F

A⊂B Milano ⊂ C B∉A

È un insieme di lettere. È un insieme di tre lettere. È l’insieme delle prime tre lettere dell’alfabeto italiano.

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Gli insiemi

LEZIONE 1 ESERCIZI

Dato l’insieme B = {e, o}, individua la caratteristica che lo descrive correttamente. a b c

Scrivi la rappresentazione tabulare dell’insieme A individuato dalla seguente caratteristica: i numeri interi compresi tra 30 e 45 inclusi che puoi dividere per tre.

Considera l’insieme A che ha per elementi le sillabe e le vocali della parola tavolo. Dei seguenti elementi quali appartengono ad A? ta, l, la, m, a, i, lo, v, vo.

Scrivi per caratteristica i seguenti insiemi.

Considera l’insieme A = {13, 23, 33, 43, 53, 63}. Individua tra le seguenti caratteristiche quella che lo descrive correttamente. a b c

È l’insieme delle vocali della parola Sole. È un insieme di lettere. È l’insieme delle vocali.

I numeri compresi tra 12 e 64, multipli di tre. I numeri dispari inferiori a 64. I numeri interi compresi tra 12 e 64 che terminano con 3.

S = {lunedì, martedì, mercoledì, giovedì, venerdì, sabato, domenica} N = {do, re, mi, fa, sol, la, si} C = {Bari, Brindisi, Foggia, Lecce, Taranto} V = {a, e, i, o, u} F = {Po} A = {idrogeno, ossigeno} B = {primavera, estate, autunno, inverno} P = {Adamo, Eva} H= ∅ M = {m, a} R = {r, o, m, a} I = {b, a, m, i, n} G = {Castore, Polluce} D = {io, tu, egli, noi, voi, essi}

Trova la caratteristica dei seguenti insiemi. F = {7, 14, 28, 56, 112} A = {21, 28, 35, 42}

Scrivi la rappresentazione tabulare dei seguenti insiemi. A = {x⏐x è una lettera della parola vento} B = {x⏐x è una consonante della parola sentimento} C = {x⏐x è una sillaba della parola collina} D = {x⏐x è l’età di un tuo familiare} E = {x⏐x è la casa editrice di un tuo libro di testo} F = {x⏐x è una classe di vertebrati} G = {x⏐x è una vocale non ripetuta della parola ragazza}

a b c d

Vero V o falso F ?

3 9

gatto palla c Cervino d rosa e Sole

f g

4 V V V V V V

F F F F F F

4∈B 4∈E 9∈C 7∈E 4∈D 13 ∈ D

Completa con i simboli di appartenenza o di non appartenenza.

a b c d e f

g V h V i V l V m V n V

F F F F F F

l’insieme dei triangoli di quattro lati; l’insieme dei mesi di trenta giorni; l’insieme dei sauri che vivono oggi sulla Terra; l’insieme dei numeri pari inferiori a 1.

Tra gli insiemi seguenti indica quali sono vuoti:

8∈A 9∈A E=∅ 5∉D 70 ∉ C 2∈B

h i l m

quadrato Celentano pollice centro centro Vesuvio

{x⏐x è un felino} {x⏐x è uno strumento musicale} {x⏐x è un ﬁume d’Italia} {x⏐x è un ﬁore} {x⏐x è una stella del sistema solare} {x⏐x è un rettangolo} {x⏐x è un eroe del Risorgimento} {x⏐x è una tua mano} {x⏐x è un punto della circonferenza} {x⏐x è un punto del cerchio} {x⏐x è un vulcano attivo del Piemonte}

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Verso l’algebra moderna e astratta

SEZIONE A

A = {abitanti di Milano} B = {abitanti della Lombardia}

A = {vocali della parola odore} B = {vocali della parola desiderio}

A = {i gatti} B = {i felini}

A = {insetti} B = {zanzara, mosca}

A = {Ticino, Po, Mincio} B = {ﬁumi che sfociano nel mare Adriatico}

A = {4, 5, 7} B = {2, 3, 5, 6, 7}

A = {2, 3, 4} B = {1, 2, 3, 4}

A = {2, 4, 6} B = {0, 5, 10, 15}

A = {i naturali maggiori o uguali a 13 e minori di 20} B = {tutti i naturali minori di 7}

A = {lettere della parola maremma} B = {lettere della parola mare}

A = {le cifre di 1250} B = {le cifre di 375 120}

A = {consonanti della parola albero} B = {consonanti della parola libro}

Dato l’insieme C di città, determina il sottoinsieme A dei capoluoghi di provincia.

a b c

Le lettere della parola toro. Le lettere della parola fame. Le lettere della parola mamma.

Scrivi per elencazione i seguenti insiemi dati per caratteristica. a b c

Confronta gli insiemi A e B dati e veriﬁca se uno è sottoinsieme dell’altro.

Rappresenta mediante i diagrammi di EuleroVenn i seguenti insiemi.

L’insieme dei giorni della settimana. L’insieme delle dita della mano. L’insieme dei numeri interi minori di 12 e maggiori o uguali a 2.

Considera il segmento AB come sottoinsieme della retta r, e i punti R, S, Q. Completa con i simboli di appartenenza e di inclusione. r

RQ S A

AB AB r

S SR AB

QR r AB

A Q RB

QS BS QS

Rappresenta graficamente i due insiemi A e B dati e poi veriﬁca se A è uguale a B. 30

A = {m, n, p, q} B = {p, n, q, m}

C = {Torino, Gaeta, Verona, Lodi, Rimini, Catania, Assisi, Taormina, Latina, Alba, Chioggia, Sorrento, Venezia, Brindisi, Ventimiglia}.

A = {Sole, Luna} B = {Luna, Pavia}

A = {lettere della parola tosse} B = {lettere della parola sesto}

A = {a, n} B = {lettere della parola Anna}

A = {le cifre del numero 135} B = {i primi tre numeri naturali dispari}

A = {le cifre del numero 20} B = {le cifre del numero 2 000 000}

Tra i seguenti insiemi riconosci quelli uguali. {x⏐x è una vocale} {x⏐x è una lettera della parola mela} {x⏐x è un rettangolo} {Genova, Savona, Imperia, La Spezia} {x⏐x è una lettera della parola male} {x⏐x è un mese con meno di 30 giorni} {x⏐x è una lettera della parola allarme} {x⏐x è un mese che comincia per F} {x⏐x è una provincia della Liguria} {x⏐x è un parallelogramma con tutti gli angoli retti} M = {x⏐x è un articolo determinativo} A= B= C= D= E= F= G= H= I= L=

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Gli insiemi

LEZIONE 1 ESERCIZI

N= O= P= Q= R= 50

un cane con sei zampe} la, i, gli, le} una sinfonia di Beethoven} una vocale della parola emulazione}

g I F V

L’insieme degli alunni della tua classe che hanno più di 20 anni. h I F V L’insieme delle città della Lombardia. Confronta le seguenti coppie di insiemi e verifica se il primo è o no sottoinsieme del secondo.

Tra i seguenti insiemi riconosci quelli uguali. A= B= C= D= E= F=

{x⏐x è {il, lo, {x⏐x è {x⏐x è ∅

{x⏐x è una consonante} {x⏐x è una lettera della parola cane} {x⏐x è un triangolo rettangolo} {Italia, Spagna, Cina, Bolivia} {x⏐x è una lettera della parola cena} {x⏐x è un cavallo baio di tre anni}

Considera l’insieme dei componenti della tua famiglia. Trova, mediante i diagrammi di EuleroVenn, i sottoinsiemi aventi per elementi.

A è l’insieme delle consonanti della parola torta, B è l’insieme delle consonanti della parola tortellini.

A è l’insieme delle vocali della parola irto, B è l’insieme delle vocali della parola bello.

A è l’insieme degli scolari della prima e terza classe di una scuola elementare, B è l’insieme di tutti gli scolari della stessa scuola.

A è l’insieme degli alunni della tua classe. Quali delle seguenti espressioni deﬁniscono un sottoinsieme di A? Perché?

I tuoi genitori. b Le tue sorelle. c I maschi. d Le persone di età superiore ai 45 anni. a

Vero V o falso F ? a V F b V F c V F d V F e V F f

V F

g V F

h V F

I ragazzi del primo banco. Le ragazze bionde simpatiche. c I professori.

Si ha un insieme quando sono noti i suoi elementi. È necessario che esista una proprietà comune a tutti gli elementi di un insieme. {a, e, i, o, u} ≠ {a, u, o, i, e} {x⏐x è una lettera dell’alfabeto della parola mamma} = {m, a, m, m, a} {x⏐x è una lettera dell’alfabeto della parola anno} = {a, n, n, o} Un insieme si dice vuoto quando non si conoscono i suoi elementi. Tutti gli insiemi privi di elementi si indicano con lo stesso simbolo perché sono tutti uguali, sono cioè lo stesso insieme. Due insiemi A e B sono uguali quando tutti gli elementi di A sono elementi di B.

A è l’insieme dei nomi dei mesi dell’anno che contengono la lettera v. b B è l’insieme dei nomi dei giorni della settimana che cominciano con la lettera r. c C è l’insieme delle consonanti dell’alfabeto che precedono la lettera b. a

Il sottoinsieme B dei numeri divisibili per 2. Il sottoinsieme C dei numeri divisibili per 3. c Il sottoinsieme D dei numeri divisibili per 7. Si può dire che questi sottoinsiemi costituiscono una partizione di A? a

L’insieme dei fiumi d’Italia. L’insieme dei numeri interi maggiori di 10 000. V L’insieme degli insegnanti della scuola. V L’insieme delle vocali. V L’insieme dei numeri interi maggiori di 29 e minori di 30. V L’insieme delle capitali d’Italia.

a I F V b I F V c I F

f I F

Dato l’insieme A = {x ∈ N⏐1 ≤ x ≤ 42}, rappresenta graficamente i seguenti sottoinsiemi. b

Individua quali insiemi sono infiniti I , quali finiti F e quali vuoti V .

d I F e I F

Indica quali dei seguenti insiemi sono vuoti.

Scrivi la rappresentazione tabulare dell’insieme delle parti dell’insieme A = {1, 2, 3}. Da quanti elementi è formato PA? Indica quali dei seguenti insiemi sono vuoti.

A = {i mesi dell’anno che contengono la lettera v}

A = {le consonanti che precedono la lettera b}

A = {l’insieme dei tuoi compagni di classe il cui nome inizia con la lettera z}

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Verso l’algebra moderna e astratta

SEZIONE A

Esegui le seguenti operazioni sugli insiemi.

A = {i mammiferi che vivono nel mare}

A = {i mammiferi che depongono le uova}

Dati gli insiemi A = {a, b, c} e B = {a, b, m}, indica se le seguenti relazioni sono vere V o false F . a b c d e f

V V V V V V

F F F F F F

Dati gli insiemi A = {m, n, p, q, r} e B = {n, q, r}, indica se le seguenti relazioni sono vere V o false F . a V F b V F c V F

B⊂A a∈B m∉B A⊄B m∈B c∉B

A⊂B m∈A B⊂A

d V F e V F f V F

B • 12 •8 • 10

a b c d

Trova l’unione e l’intersezione tra A = {0, 2} e B = {1, 2, 3}.

Trova A ∪ B e A ∩ B, essendo: A = {0, 1} e B = {1, 0}.

Trova A ∪ B e A ∩ B, essendo: A = ∅ e B = {1, 2, 3}.

Dati gli insiemi A = {1, 3, 5, 7}, B = {3, 5, 6, 8}, C = {1, 5, 6, 8}, determina: A ∩ B; A ∩ C; B ∩ C; A ∩ B ∩ C.

Dati A = {1, 2, 3}, B = {3, 4} e C = {4, 5, 6}, trova i seguenti insiemi: A ∩ (B ∪ C); (A ∩ B) ∩ (A ∪ B); (B ∪ A) ∩ C; C ∩ (A ∩ B).

Sono dati gli insiemi A = {felini} e B = {uccelli}. Trova A ∩ B.

Esamina il seguente diagramma:

V V V V

F F F F

•1 •5 •3

B⊂A {1, 3} ⊂ A 5∈B {8, 10, 12} ⊂ A

B⊄A {1, 3} ⊂ B 3∉A h V F 3 ∉ B e V F f V F g V F

V V V V

F F F F

A⊄C C⊂A ∅⊂A C⊂A

C=D B=C A⊄D h V F A ⊂ C e V F f V F g V F

Dati gli insiemi A = {a, b, c}, B = {a, b} e C = {c}, quali delle seguenti relazioni sono vere V e quali false F ? a b c d

V V V V

F F F F

a∈A b∈B {a, b, c} ⊂ A B⊂A

B •1 •8 •7

Sono dati gli insiemi A = {a}, B = {b, c}, C = {a, b} e D = {a, b, d}. Quali delle seguenti relazioni sono vere V e quali false F ? a b c d

Dati A = {4, 0, 6, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 3}, trova: A∪B A∩B A−B B−A

Esamina il seguente diagramma e stabilisci quali relazioni sono vere V e quali false F . A

{m, n, p} ⊂ A {n, p} ⊄ B {n, r} ⊂ B

{a} ⊂ A {a, b} ⊄ A {a} ⊄ C h V F B ⊆ A e V F f V F g V F

•3 • 10 •5

Trova A ∩ B, A ∪ B, A − B, B − A. 79

A è l’insieme delle lettere della parola dado e B è l’insieme delle lettere della parola ridere. Trova A ∩ B e A ∪ B.

Considera gli insiemi A = {lettere della parola piano} e B = {lettere della parola cane}. Trova A ∪ B e A ∩ B.

Considera gli insiemi A = {numeri interi minori o uguali a 4} e B = {numeri pari compresi tra 1 e 10}. Trova A ∩ B.

Considera gli insiemi A = {tutti gli interi compresi tra 1 e 5} e B = {tutti gli interi compresi tra 6 e 10}. Trova A ∪ B e A ∩ B.

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Gli insiemi

LEZIONE 1 ESERCIZI

Dati gli insiemi A = {1, 3, 5} e B = {2, 5}, trova l’insieme A − B e veriﬁca che (A − B) ∩ B = ∅.

Considera gli insiemi A = {2, 8, 15, 17}, B = {2, 11, 13}, C = {7, 11, 20} e veriﬁca che A – B = (A ∪ C) − (B ∪ C).

Dati gli insiemi A = {a, b, c, d}, B = {c, d, g}, C = {g, b, p}, veriﬁca che (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).

Dati A = {a, b}, B = {c, d, e}, C = {c, e}, veriﬁca che (A ∪ B) – C = A ∪ (B – C).

Considera gli insiemi A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 4, 5}, C = {6, 7, 8}. Veriﬁca che A − B = (A ∪ C) − (B ∪ C).

Considera gli insiemi A = {anﬁbi} e B = {rettili}. Trova A ∪ B e A ∩ B.

Dati gli insiemi A = {abitanti di Padova} e B = {abitanti del Veneto}, trova A ∪ B e A ∩ B.

Dati gli insiemi A = {abitanti di Parigi} e B = {americani}, trova A ∪ B e A ∩ B.

A è l’insieme delle lettere della parola scrivere e B è l’insieme delle lettere della parola piovere. Trova l’unione di questi due insiemi.

L’insieme A è formato dai mesi dell’anno il cui nome contiene la consonante r e l’insieme B è formato dai mesi dell’anno il cui nome contiene la vocale o. Trova l’unione e l’intersezione dei due insiemi.

L’insieme A è formato dalle vocali della parola aiuola e l’insieme B è formato dalle consonanti della parola gioia. Verifica che A ∪ B = A e A ∩ B = B.

L’insieme A è formato dalle lettere della parola terra, l’insieme B è formato dalle lettere della parola madre e l’insieme C dalle vocali della parola giocare. Determina i seguenti insiemi. A ∩ (B ∪ C) (A ∩ C) ∪ B (A ∪ B) ∩ B A ∪ (A ∩ A) (A ∩ C) ∪ (B ∩ A) (A ∪ B) ∩ (C ∩ A)

100 Dati gli insiemi A = {p, r, a, v, w}, B = {q, a, w, t},

C = {a, q, z}, verifica che risulta (A ∪ B) ∪ C = (A ∪ (B ∪ C).

Dati gli insiemi A = {x ∈ N⏐è pari 3 < x ≤ 5}, B = {x ∈ N⏐x2 < 16}, C = {x ∈ N⏐2 < x ≤ 4}, D = {x ∈ Z⏐x2 = –36}:

101 Dati gli insiemi A = {1, 2, 5, 8}, B = {2, 3, 5},

C = {1, 5, 11}, determina (A ∪ B) ∩ C e (A ∩ B) ∪ C.

stabilisci se alcuni di essi sono sottoinsiemi di altri; b determina gli insiemi (B ∩ C) ∪ A e (C ∪ B) ∪ (A ∩ D); a

102 Vero V o falso F ? a V F b V F

[{3, 4}; {1, 2, 3, 4}] c

costruisci l’insieme delle parti di C. [PC = {∅, {3}, {4}, {3, 4}}]

A è l’insieme delle lettere della parola programma, B è l’insieme delle lettere della parola valanga. Trova l’intersezione di questi due insiemi. A è un insieme di cioccolatini e B è un insieme di caramelle. Qual è l’insieme intersezione?

c V F d V F e V F f V F g V F h V F i l m

Se A è un insieme e B un suo sottoinsieme pro[B] prio, qual è l’intersezione di A con B?

n o p

Qual è l’intersezione di un insieme A con se stesso? E qual è l’intersezione di un insieme con l’insieme vuoto? [A ; ∅]

q r s t

V V V V V V V V V V

F F F F F F F F F F

L’intersezione di due insiemi è un insieme. Quando due insiemi non hanno elementi in comune, non ha senso parlare della loro intersezione. A=B⇒A∩B=∅ B=∅⇒A∩B=∅ A ∩ B = ∅ ⇒ A e B disgiunti A∩B=A⇒B⊆A A ∩ B è sottoinsieme di A A ∩ B è sottoinsieme di B A∪B=A⇒A∩B=B A∩B=∅⇒A∪B=∅ A=∅⇒A∪A=∅ A∪B⊆A A∪B⊆B A=B⇒A−B=A A⊂B⇒B−A=∅ A⊂B⇒A−B=∅ A=∅⇒A−B=A A∩B=∅⇒A−B=B−A

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Verso l’algebra moderna e astratta

SEZIONE A

103 Scrivi la rappresentazione per caratteristica dell’in-

tersezione tra l’insieme delle vocali della parola villaggio e l’insieme delle vocali della parola limone. 104 Rappresenta, mediante i diagrammi di Eulero-

Venn, gli insiemi: A delle lettere della parola albore; B delle lettere della parola bionda; C delle consonanti della parola nuoto; D delle vocali della parola volare. Poi scrivi per elencazione i seguenti insiemi: A∩B A∩C A∩D A∩B∩C

r A M B N Determina gli insiemi: AM ∪ MB r ∪ AB AM ∩ BN r ∩ MB MB ∩ AN AB ∪ MN 110 Sono dati i seguenti insiemi:

M = {do, re, mi, fa, sol, la, si} R = {re, fa, sol, la, si} D = {do, mi, sol} L = {la}

Scrivi la rappresentazione tabulare degli insiemi: A ∩ B, B ∩ C, A ∩ C, (A ∩ C) ∩ D, A ∩ (B ∩ C). 106 Trova A ∩ B dopo aver rappresentato gli insiemi

A e B con un diagramma di Eulero-Venn. a A = {a, b, c} B = {c, d, f}

A = {n, m, p, q} B = {m, r, s, t}

Scrivi la rappresentazione tabulare degli insiemi: R∩L (D ∪ R) ∩ M R∩D (D ∩ L) ∪ R (M ∪ D) ∩ (D ∪ R) L ∪ (D ∩ R) (M ∩ L) ∪ R R ∩ (D ∩ R) M ∩ (D ∩ L) 111 Esamina il seguente diagramma e indica se le affermazioni sono vere V o false F .

A B

A = {numeri naturali minori o uguali a 5} B = {numeri naturali compresi tra 3 e 12}

A = {lettere della parola anonimo} B = {lettere della parola monito}

•1 •6 •7 •8

A = {divisori di 8} B = {divisori di 6}

A = {multipli di 2 inferiori a 19} B = {multipli di 4 inferiori a 20}

109 Considera la retta r e i punti A, M, B, N.

A delle vocali dell’alfabeto; B delle vocali della parola meridiano; C delle vocali della parola mito; D delle vocali della parola ruota.

A = {multipli di 2 compresi tra 1 e 19} B = {multipli di 3 compresi tra 5 e 10}

A e B con un diagramma di Eulero Venn. a A = {7, 14, 21, 28} B = {multipli di 3 inferiori a 10} b

105 Sono dati gli insiemi:

108 Trova A ∪ B dopo aver rappresentato gli insiemi

V F B⊂A V F 6∈A V F {1, 2, 3} ⊂ B

•2 •3 V F A∩B=A V F {1, 3} ⊂ A ∪ B

112 Considera i seguenti insiemi e veriﬁca quali affermazioni sono vere V e quali false F .

A = {5, 6, 7, 8, 9} B = {3, 4, 5, 6, 7}

A = {numeri naturali minori di 10} B = {numeri naturali maggiori di 5}

107 Sono dati i tre insiemi:

A = {7, 8, 9, 10, 11, 12, 19} B = {9, 10, 13, 14, 16, 17} C = {10, 11, 15, 16, 17, 18, 19, 20} Determina la rappresentazione tabulare degli insiemi (A ∩ B) ∩ (B ∩ C) e [(B ∩ C) ∩ B] ∩ A.

a b c d e f g

V V V V V V V

F F F F F F F

3∈A 5∉B 6∈A∩B 7,5 ∈ A A∩B=∅ {3, 4, 5, 6} ⊂ A {10, 11, 12, 13} ⊃ B

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Gli insiemi

LEZIONE 1 ESERCIZI

113 Dato l’insieme M = {1, 9, 11, 29, 50}, determina

124 Gli insiemi A = {2, 4, 6, 8} e B = {10, 20, 30, 40}

il sottoinsieme N formato dai numeri di M minori di 15 e il sottoinsieme P dei numeri di M maggiori di 15. Disegna la rappresentazione graﬁca dei sottoinsiemi: gli insiemi N e P esauriscono [sì…] l’insieme M? Perché?

sono equipotenti? Prova a disegnare il diagramma sagittale di una corrispondenza biunivoca tra [sì] di essi.

114 Sia H l’insieme degli animali che vivono nell’ac-

qua e K l’insieme dei mammiferi: esistono elementi che appartengono all’insieme V = H ∩ K? Conosci il nome di qualche animale appartenente all’insieme V? 115 Da quali elementi è formato l’insieme Z = M ∩ N dove

M è l’insieme dei numeri dispari e N = {2, 6, 8}? Come sono tra loro gli insiemi M ed N? Rappresentali graﬁcamente. 116 Siano P l’insieme dei numeri pari e D l’insieme dei

numeri dispari: quali sono gli elementi che formano l’insieme N = P ∪ D? E quelli dell’insieme Z = P ∩ D? 117 Sia A l’insieme dei vini italiani, B quello dei vini

prodotti sul lago di Garda e C quello dei vini prodotti in Sicilia. Scrivi la relazione tra A e B e tra A e C e fanne la rappresentazione graﬁca. Gli insiemi B e C esauriscono l’insieme A? Perché? 118 Dati gli insiemi A = {1, 2, 3} e B = {1, 4, 5}, trova

125 Dati gli insiemi A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 4, 5}

e C = {6, 7, 8}, verifica che risulta A – B = (A ∪ C) – (B ∪ C). 126 Dati gli insiemi E = {3, 4, 5}, A = {3, 4} e B = {4, 5},

verifica che risulta: E – (A ∩ B) = (E – A) ∪ (E – B) E – (A ∪ B) = (E – A) ∩ (E – B) 127 Dati gli insiemi A = {2, 8, 15, 17}, B = {2, 11} e

C = {7, 11, 20}, verifica che risulta: A – B = (A ∪ C) – (B ∪ C) 128 Dati gli insiemi A = {p, q, r, s}, B = {u, v, w},

C = {e, f, g, h}, A1 = {p, r}, B1 = {u}, C1 = {f, g, h}, verifica che risulta: (A ∪ B ∪ C) – (A1 ∪ B1 ∪ C1) = = (A – A1) ∪ (B – B1) ∪ (C – C1) 129 Determina l’insieme differenza tra A e B e speci-

fica quando si tratta di complementare. a A = lettera dell’alfabeto inglese} B = {x⏐x è una lettera dell’alfabeto italiano} b

A = {x⏐x è una materia di prima liceo psicopedagogico} B = {x⏐x è una materia di seconda liceo psicopedagogico}

A = {x⏐x è un punto del cerchio di centro O e raggio di 3 cm} B = {x⏐x è un punto del cerchio di centro O e raggio di 2 cm}

A = {x⏐x è un triangolo equilatero} B = {x⏐x è un triangolo rettangolo}

A = {x⏐x è un punto della retta r} B = {x⏐x è un punto del segmento MN che giace sulla retta r}

A = {x⏐x è un articolo maschile} B = {x⏐x è un articolo}

da quali elementi è formato l’insieme C = A ∪ B e dai la rappresentazione graﬁca degli insiemi. [C = {1, 2, 3, 4, 5}]

119 Sia A l’insieme degli abitanti maschi di un certo

paese e B l’insieme degli abitanti femmine dello stesso paese. Da quali elementi è formato l’insieme C = A ∪ B? 120 Sono dati gli insiemi A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 4}.

Determina gli elementi di: C = A − B, D = A ∩ B ∩ C, E = (A ∪ B) ∩ (B ∩ C). 121 Dato l’insieme A = {a, b, c, d}, distingui i sot-

toinsiemi propri da quelli impropri e trova l’insieme delle parti PA. 122 Trova un insieme equipotente ad A = {a, b, c}.

130 Dati gli insiemi A = {a, b, c, d}, B = {a, b, d} e

123 Gli insiemi A = {i colori del semaforo} e

B = {x⎥ x è una lettera della parola tre} sono equipotenti? A e B sono in corrispondenza univoca o biunivoca? [sì; biunivoca]

C = {b, c}, verifica che risulta: CA(B ∩ C) = CAB ∪ CAC CA(B ∪ C) = CAB ∩ CAC

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Verso l’algebra moderna e astratta

SEZIONE A

131 Dati i due insiemi A = {x⏐x è una lettera dell’al-

142 In un torneo di tennis i giocatori a e b, che costi-

fabeto} e B = {x⏐x è una vocale}, determina CAB, A ∩ CAB e B ∩ CAB.

tuiscono l’insieme A, devono incontrare singolarmente i giocatori c, d, e (insieme B). In quale modo i giocatori di A possono essere accoppiati con i giocatori di B? I due prodotti A × B e B × A hanno lo stesso significato? [Sì]

132 Dati i due insiemi A = {x⏐x è una lettera dell’alfa-

beto} e B = {x⏐x è una vocale}, determina A ∪ CAB e B ∪ CAB.

133 Rappresenta in tutti i modi possibili l’insieme

A × B nei seguenti casi: a A = {a, b, c} B = {r, s} b A = {m, n} B = {e} c A = {x, y, z, t} B=∅

143 Dati i due insiemi A = {2, 4, 6} e B = {1, 3, 5},

rappresenta il prodotto A × B e scrivi l’insieme delle coppie (x, y) che soddisfano la relazione x R y ⇔ x è minore di y. Come si chiama questo insieme? Si tratta di un sottoinsieme di A × B? 144 In un gruppo di 38 stranieri, 18 sono inglesi e 20

134 Individua A e B sapendo che

A × B = {(r, n), (r, e), (r, r), (r, o), (i, n), (i, e), (i, r), (i, o), (o, n), (o, e), (o, r), (o, o)}.

tedeschi. Di questi, 10 conoscono l’inglese. Quanti tra questi turisti non conoscono né l’inglese, né il tedesco? [0]

135 Anna, Paola, Carla, Laura e Teresa hanno organiz-

145 Sia dato l’insieme A = {2, 10, 15, 16, 18, 20}.

zato tra loro un torneo di tennis. Ciascuna dovrà giocare con tutte le altre. Prepara un quadro delle partite. L’insieme delle coppie ottenute coincide con A × A oppure è un suo sottoinsieme proprio? Qual è il suo complementare rispetto A × A?

[CAM = {2, 10, 16, 20}]

Quale è il complementare del sottoinsieme M di A contenente i multipli di 3?

146 In un palazzo di 30 famiglie, 20 trascorrono le

mina l’insieme prodotto A × B e danne poi la rappresentazione cartesiana.

vacanze al mare, 5 in montagna e 10 al lago. Di queste ultime 3 vanno anche al mare e 2 sia al mare che in montagna. Quante famiglie restano a casa? [2]

137 Dato l’insieme A = {1, 2, 3} determina la rappre-

147 In un gruppo di ragazzi, 15 praticano atletica

136 Dati gli insiemi A = {1, 2, 3} e B = {3, 4} deter-

sentazione cartesiana dell’insieme prodotto A × A. 138 Sia A × B = {(m, a), (m, b), (n, a), (n, b)}; scrivi

leggera, 12 praticano il tennis e 5 entrambi gli sport. Quanti sono i ragazzi del gruppo? Quanti praticano solo atletica? Quanti solo tennis?

gli elementi dell’insieme A e quelli dell’insieme B.

[22; 10; 7]

139 Dato A = {2, 3, 6}, rappresenta l’insieme A × A e,

148 Su una pista da sci ci sono 30 persone. Di queste

successivamente, il sottoinsieme di A × A formato dalle coppie (x, y) che soddisfano la relazione x R y ⇔ x è divisore di y.

140 È dato l’insieme A × B = {(1, a), (1, b), (1, c)}.

Determina A e B.

[A = {1}; B = {a, b, c}]

141 Le squadre della Lazio e dell’Inter (che formano un

insieme A) devono incontrare, ciascuna nel proprio campo, le squadre della Juventus, del Milan e della Roma (che formano un altro insieme B). Compila il calendario delle partite. I due prodotti A × B e B × A hanno lo stesso significato? [No, perché…]

14 hanno il cappello, 13 gli occhiali e 3 sia il cappello che gli occhiali. Ci sono persone che non hanno né il cappello né gli occhiali? Se sì, quanti? [sì; 6] 149 Tutti gli alunni della 3ª D portano una merenda

per l’intervallo. Sapendo che 15 di loro mangeranno un panino, 12 berranno un tè e 4 mangeranno un panino e berranno un tè, calcola il numero degli alunni della 3ª D. [23]

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LEZIONE

VERIFICA risultati a pag. 174

CONOSCENZE 1

Indica quali tra i seguenti gruppi possono definirsi insiemi. a I fiori belli di un giardino. b I libri di avventura di una biblioteca. c Gli animali di una fattoria. d I film di Totò. e I cani belli di una esposizione canina.

Completa con i simboli ∈ o ∉. A

B •1

•2

•3

•4

Un insieme è finito se: a è formato da pochi elementi. b è formato da un certo numero di elementi. c è formato da un numero non limitato di elementi.

a b c d e

Due insiemi sono equipotenti se: a sono in corrispondenza univoca. b sono in corrispondenza biunivoca. c esiste tra di essi una relazione.

f g h i l m

ABILITÀ

1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4

A A B A A A A A B A A B

∩B

∩B ∪B –B

∩B

Rappresenta per elencazione le dita della mano.

Rappresenta con un diagramma di Eulero-Venn l’insieme A = {a⏐a è un numero minore o uguale a 8}.

Dato l’insieme A = {0, 1, 2}, scrivi la rappresentazione tabulare dell’insieme delle parti PA.

Dato l’insieme A = {consonanti della parola parallelepipedo} scrivi la rappresentazione tabulare di A e dell’insieme delle parti PA.

Completa con i simboli ⊂ o ⊆.

Considera gli insiemi: A = {lettere della parola gatto} B = {lettere della parola cane} Scrivi la loro rappresentazione per elencazione. Determina poi gli insiemi A ∩ B, A ∪ B e A – B.

Considera gli insiemi: A = {x ∈ N⏐x ≤ 5} B = {x ∈ N⏐3 < x ≤ 12} Scrivi la loro rappresentazione per elencazione. Determina poi gli insiemi A ∩ B, A ∪ B, (A ∩ B) – B.

A = {a, b} B = {c, a, b} A B

A = {3, 6, 9} B = {6, 9, 3} A B

Sono dati gli insiemi A = {casa, penna, gomma} e B = {Gianni, Cesare, Paolo, Carla} e la corrispondenza “…inizia con la stessa lettera di…”. Stabilisci il tipo di corrispondenza e disegnane la rappresentazione sagittale.

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LEZIONE

RECUPERO risultati a pag. 174

Considera i seguenti insiemi.

A = {i colori dell'arcobaleno} B = {i numeri pari} C = {i tuoi compagni di classe}

A = {vocali della parola televisore} B = {vocali della parola riso} Determina gli insiemi:

Quali sono finiti e quali infiniti? a b

A ∪ B = {………………………} A ∩ B = {………………………}

L'insieme A = {1, 2, 3, 7} è rappresentato: 6

per elencazione. b per caratteristica. c graficamente. a

Osserva gli insiemi A e B e completa. A B

•1 •7

•

Osserva la figura e completa con i simboli adeguati. B •4 •2 •6 •

•

A = {……………}

B = {……………}

A ∪ B = {……………}

A ∩ B = {……………}

Considera i seguenti insiemi: A = {i primi tre numeri interi naturali pari} B = {x ∈ N⏐1 ≤ x ≤ 7} C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Osserva gli insiemi X e Y e completa. X •2 •7 •1 •8 •3 •4

•4 •3

Determina: Y a b c d e f

X = {…………………………} Y = {…………………………}

A∪B A∩B (A ∩ C) ∪ B (A ∩ B) ∩ C A–B B–A

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LEZIONE

2 Le operazioni binarie e le strutture algebriche PREREQUISITI • Sapere operare in N, Z, Q • Sapere operare con gli insiemi

CONTENUTI • Operazioni binarie • Strutture • Gruppi

OBIETTIVI • Saper operare con le strutture • Riconoscere le proprietà di una struttura • Riconoscere un gruppo

1 Le operazioni binarie Le quattro operazioni aritmetiche sono operazioni o leggi di composizione binarie, poiché a una coppia ordinata di numeri corrisponde un terzo numero che si chiama risultato dell’operazione. Il risultato può esistere o non esistere: ciò dipende dall’insieme in cui si opera. Nell’insieme N le operazioni di addizione e moltiplicazione sono sempre possibili, perché se si addizionano tra loro due numeri naturali si ottiene sempre un numero naturale e se si moltiplicano due numeri naturali si ottiene ancora un numero naturale; per la sottrazione e la divisione, invece, non sempre il risultato ottenuto è un numero naturale. PROPRIETÀ

L’insieme N è chiuso rispetto ad addizione e moltiplicazione, che sono operazioni in esso interne.

Nella matematica classica la parola operazione di solito è riferita solo alle quattro operazioni aritmetiche, quindi si usa la locuzione legge di composizione, più generica, che indica qualunque tipo di operazione binaria. Per le leggi di composizione diverse da addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione in generale non vi sono simboli particolari, ma è uso servirsi di simboli quali ∗, Δ, ⊥. Questi simboli possono assumere significato diverso a seconda del loro utilizzo. 29

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Verso l’algebra moderna e astratta

SEZIONE A

Ad esempio, nella legge di composizione a ∗ b = 3a + 2b, il simbolo ∗ indica l’operazione che fa corrispondere alla coppia ordinata di elementi (a, b) la somma del triplo del primo elemento con il doppio del secondo. In generale, possiamo dire che: DEFINIZIONE

Le operazioni binarie o, meglio, le leggi di composizione, si rappresentano graficamente con una tabella a doppia entrata.

ESEMPIO

∗ a b

a a b

Si dice operazione binaria o legge di composizione in un insieme dato qualunque legge che fa corrispondere a una coppia ordinata di elementi dell’insieme un terzo elemento, non necessariamente dell’insieme stesso, chiamato risultato dell’operazione.

b b a

Dalla tabella si può ricavare l’insieme su cui si sta lavorando, cioè A = {a, b}. Si può affermare che l’operazione binaria ∗ dà come risultati sempre elementi che appartengono all’insieme A, quindi l’insieme A è chiuso rispetto alla legge di composizione ∗. Dalla tabella si possono ricavare le coppie ordinate su cui si opera e i relativi risultati: a∗a=a a∗b=b b∗a=b b∗b=a

2 Le strutture La parola struttura deriva dal verbo latino che significa costruire, e come in ogni costruzione bisogna disporre di opportune regole o istruzioni di montaggio. Si dice che un insieme I è dotato di una struttura se in esso è definito un legame di qualche tipo tra i suoi elementi. ■ Legge di composizione interna

Come abbiamo anticipato, la moltiplicazione o l’addizione nell’insieme dei numeri naturali sono due leggi di composizione; inoltre, operando in N, il prodotto o la somma di due numeri naturali dà sempre un numero naturale: si resta, cioè, nell’insieme considerato. Le leggi di composizione che godono di questa proprietà sono particolarmente importanti in matematica. DEFINIZIONE

Dato un insieme I e una legge di composizione ∗, si dice che ∗ è una legge di composizione interna quando a ciascuna coppia di elementi di I associa un terzo elemento che appartiene anch’esso ad I e si dice che I è chiuso rispetto alla legge di composizione ∗. 30

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Le operazioni binarie e le strutture algebriche

LEZIONE 2

Per indicare che su I è definita una legge di composizione interna ∗ si scrive: ∀a, b ∈ I a ∗ b = c ∈ I e si legge: “qualunque siano gli elementi a, b dell’insieme I, a composto b è uguale a c, con c appartenente ad I”. L’insieme I è chiuso rispetto a ∗. DEFINIZIONE

Se in un insieme I è definita una legge di composizione interna ∗, si dice che l’insieme I è dotato di struttura algebrica e si scrive (I, ∗).

ESEMPI

• Nell’insieme dei numeri naturali la legge a ∗ b = a + 2b è legge di composizione interna? Dobbiamo verificare se ∀a, b ∈ N, a ∗ b = a + 2b = c ∈ N. La legge a ∗ b = a + 2b significa che ad ogni coppia di numeri naturali si deve associare la somma del primo numero e il doppio del secondo, quindi sicuramente c ∈ N e a ∗ b è legge di composizione interna. • Nell’insieme A = {1, 2, 3}, la moltiplicazione è una legge di composizione interna? E nell’insieme B = {–1, 0, +1}? Consideriamo l’insieme A = {1, 2, 3} e verifichiamo se ∀a, b ∈ A, a · b = c ∈ A. Se si moltiplicano due valori di A non sempre si ottiene un elemento di A: infatti 2 · 3 = 6 ∉ A. Quindi la moltiplicazione non è legge di composizione interna per l’insieme A. Consideriamo l’insieme B = {–1, 0, +1}: dobbiamo verificare se ∀a, b ∈ B, a · b = c ∈ B. Se moltiplichiamo due elementi di B otteniamo sempre un elemento di B, quindi la moltiplicazione in questo caso è legge di composizione interna.

■ Rappresentazione di una legge di composizione

Una legge di composizione interna si può rappresentare con una tabella a doppia entrata; consideriamo l’esempio precedente e compiliamo la relativa tabella. A = {1, 2, 3} con a ∗ b = a · b ∗ 1 2 3

1 1 2 3

2 2 4 6

3 3 6 9

Si vede subito che ∗ non è una legge di composizione interna perché in tabella compaiono anche elementi diversi da quelli della prima riga e della prima colonna che sono gli elementi dell’insieme A.

B = {–1, 0, +1} con a ∗ b = a · b ∗ –1 –1 1 0 0 1 –1

0 +1 0 –1 0 0 0 1

In questo caso ∗ è una legge di composizione interna perché tutti gli elementi della tabella sono elementi dell’insieme B.

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Verso l’algebra moderna e astratta

SEZIONE A

STOPANDGO

Sono dati i seguenti insiemi: A = {numeri pari}, B = {numeri dispari}, Z = {interi relativi}, R = {numeri reali}. a Verifica se la somma è legge di composizione interna per A, B, Z, R. [sì; no; sì; sì] b Verifica se la moltiplicazione è legge di composizione interna per A, B, Z, R. [sì; sì; sì; sì] c Verifica se la divisione è legge di composizione interna per A, B, Z, R. [no; no; no; no]

Osserva le seguenti tabelle di composizione e stabilisci quali rappresentano leggi di composizione interna. ∗ a b

a a a

⊥ x y z

b a b

x x x x

y 0 x 0

Δ 0 1 3

z y y x

0 0 1 0

1 3 0 0

3 3 1 0

[∗∗; Δ]

Nell’insieme dei naturali N è data la legge di composizione a Δ b = a · b + 1. Stabilisci se la legge data è di composizione interna. [sì]

Nell’insieme A = {–2, –1, 0, 1, 2} è definita la legge a ∗ b = 2a + b. Rappresentala con una tabella a doppia entrata e stabilisci se è una legge di composizione interna. [no]

3 Proprietà delle leggi di composizione Le leggi di composizione interna possono godere di alcune proprietà. ■ Proprietà commutativa DEFINIZIONE

ESEMPI

Nella struttura algebrica (I, ∗) la legge di composizione interna ∗ è commutativa se per ogni a, b ∈ I si ha a ∗ b = b ∗ a . Per accertarsi velocemente se una struttura algebrica gode della proprietà commutativa, basta verificare in tabella che gli elementi simmetrici rispetto alla diagonale principale siano uguali.

• Le strutture (N, +) e (N, ·) godono della proprietà commutativa poiché le operazioni di addizione e moltiplicazione sono commutative. • Consideriamo l’insieme A = {–1, 0, +1} e la legge di composizione a ∗ b = a · b: la struttura (A, ∗) gode della proprietà commutativa? Compiliamo la tabella di composizione: ∗ –1 –1 +1 0 0 +1 –1

0 +1 0 –1 0 0 0 +1

Osservando la tabella, notiamo che tutti gli elementi appartengono all’insieme dato A, quindi ∗ è una legge di composizione interna. Tracciamo la diagonale principale della tabella: 32

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Le operazioni binarie e le strutture algebriche

LEZIONE 2

∗ –1 –1 +1 0 0 +1 –1

0 +1 0 –1 0 0 0 +1

possiamo osservare che gli elementi disposti in posizione simmetrica rispetto alla diagonale principale sono uguali, quindi (A, ∗) è una struttura che gode della proprietà commutativa. ■ Proprietà associativa DEFINIZIONE

Nella struttura algebrica (I, ∗) la legge di composizione interna ∗ è associativa se per ogni a, b, c ∈ I, si ha (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) . Per accertarsi che una legge di composizione è associativa, è necessario verificare la proprietà per ogni terna di elementi (procedimento piuttosto elaborato, se il numero degli elementi dell’insieme è elevato).

ESEMPIO

Le strutture (Z, +) e (Q, ·) godono della proprietà associativa, poiché essa vale per addizione e moltiplicazione.

■ Elemento neutro DEFINIZIONE

Nella struttura algebrica (I, ∗) si dice che l’elemento u dell’insieme I è elemento neutro se per ogni a ∈ I si ha a ∗ u = u ∗ a = a . L’elemento neutro, se esiste, è unico. Per trovare l’elemento neutro di una struttura algebrica basta compilare la tabella di composizione e cercare, se esistono, la riga e la colonna che sono ordinatamente uguali alla linea e alla colonna principali; dove si incrociano si trova l’elemento neutro.

ESEMPI

• Le strutture (Z, +), (N, +) hanno come elemento neutro 0. • Le strutture (Z, ·), (N, ·), (Q, ·) hanno per elemento neutro 1. • La legge di composizione ∗ sull’insieme A = {–1, –2, –3} è definita dalla seguente tabella:

∗ –1 –2 –3

–1 –3 –1 –2

–2 –1 –2 –3

–3 –2 –3 –1

(A, ∗) ha un elemento neutro? Cerchiamo la linea –1, –2, –3 e la colonna –1, –2, –3: esse si incrociano nell’elemento –2, che è l’elemento neutro della struttura (A, ∗). 33

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Verso l’algebra moderna e astratta

SEZIONE A

■ Elemento simmetrico DEFINIZIONE

Se una struttura algebrica (I, ∗) ammette l’elemento neutro u, si dice che due elementi qualsiasi a e a' appartenenti entrambi all’insieme I sono simmetrici se a ∗ a' = a' ∗ a = u . Si dice che (I, ∗) gode della proprietà dell’elemento simmetrico se ogni a ∈ I ammette il suo simmetrico. Se la legge di composizione è associativa, il simmetrico, se esiste, è unico e ogni elemento dotato di simmetrico si dice simmetrizzabile. Osservando la tabella di composizione si vede se un elemento ammette un simmetrico controllando se, nella riga e nella colonna dell’elemento considerato, compare l’elemento neutro u nella stessa posizione.

ESEMPIO

Data la legge di composizione ∗ definita dalla tabella seguente, troviamo gli elementi simmetrizzabili. ∗ a b c d

a a b c d

b b c d a

c c d a b

d d a d c

Si vede subito che la legge di composizione è interna, poiché in tabella compaiono solo gli elementi a, b, c, d. Inoltre, essa è commutativa. L’elemento neutro è a; la prima riga e la prima colonna (rispettivamente uguali alla riga e colonna principali) si incontrano, infatti, in a. Ogni riga e ogni colonna contengono una sola volta l’elemento neutro a (nella stessa posizione), quindi ogni elemento ammette simmetrico, infatti si ha: a∗a=a

b∗d=d∗b=a

c∗c=a

Allora gli elementi a, b, c, d hanno per simmetrici gli elementi a, d, c, b.

In generale, per studiare una legge di composizione ∗ data su un insieme I è necessario: a b c d e

verificare verificare verificare verificare verificare

se se se se se

∗ è legge di composizione interna; ∗ è commutativa; ∗ è associativa; esiste l’elemento neutro u; ci sono elementi simmetrizzabili.

ESEMPIO

Studiamo la legge di composizione nell’insieme A = {a, b, c} così definita:

∗ a b c

a c c a

b a c b

c a b c 34

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Le operazioni binarie e le strutture algebriche

LEZIONE 2

∗ è una legge di composizione interna, perché in tabella ci sono solo gli elementi di A.

La legge non è commutativa, perché gli elementi simmetrici rispetto alla diagonale principale non sono tutti uguali (a ∗ b = a ≠ c = b ∗ a).

Verifichiamo se la legge è associativa. Proviamo con la terna a, b, c: (a ∗ b) ∗ c = a ∗ c = a a ∗ (b ∗ c) = a ∗ b = a

allora (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)

Proviamo con la terna a, a, b: (a ∗ a) ∗ b = c ∗ b = b a ∗ (a ∗ b) = a ∗ a = c

allora (a ∗ a) ∗ b ≠ a ∗ (a ∗ b), quindi ∗ non è associativa.

Verifichiamo se esiste l’elemento neutro u. Osservando la tabella si vede che la riga a, b, c e la colonna a, b, c si incontrano nell’elemento c, che è perciò l’elemento neutro.

Verifichiamo se ogni elemento di A è simmetrizzabile. Dalla tabella ricaviamo: a∗a=c b ∗ a = c ma a ∗ b = a c∗c=c

a è simmetrico di a; quindi b non è simmetrizzabile; c è il simmetrico di c.

STOPANDGO

Δ a b c d 2

Nell’insieme A = {a, b, c, d} è definita la legge di composizione Δ data nella tabella seguente; studia la struttura (A, Δ). a a b c a

b b d a c

c c a d b

d d c b a

1 1 2 3 4

2 2 3 4 1

3 3 4 1 2

4 4 1 2 3

∗ 1 2 3

1 2 1 3

2 3 2 5

3 1 4 6 [∗ non è legge di composizione interna]

䉺 0 1 2

0 0 0 0

1 0 1 2

2 0 2 2

[interna; né commutativa né associativa; no elemento neutro]

Studia l’operazione ⊗ definita in tabella: ⊗ 1 2 3 4

Studia le strutture ∗, 䉺, le cui leggi di composizione sono date dalle seguenti tabelle:

[interna, commutativa e associativa; u = 1; tutti gli elementi sono simmetrizzabili]

[interna; commutativa; associativa; u = 1]

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Verso l’algebra moderna e astratta

SEZIONE A

4 Strutture algebriche particolari Vediamo ora di classificare e studiare alcune strutture algebriche. DEFINIZIONI

Se in una struttura algebrica (I, ∗) la legge di composizione interna ∗ è associativa, allora (I, ∗) si chiama semigruppo. Se ha anche l’elemento neutro è un monoide. Se la legge di composizione interna ∗ è anche commutativa, il semigruppo (monoide) si dice commutativo o abeliano.

ESEMPI

• L’addizione e la moltiplicazione sono leggi di composizione interna associativa sull’insieme N; esse hanno 0 e 1 come elementi neutri. • Le strutture (N, +) e (N, ·) sono monoidi abeliani, perché per entrambe vale la proprietà commutativa. • La moltiplicazione è una legge di composizione interna sull’insieme Q dei razionali, è associativa e commutativa, e 1 è l’elemento neutro, quindi (Q, ·) è un monoide abeliano. DEFINIZIONE

Una struttura (I, ∗) si dice gruppo se sono verificate le seguenti condizioni: a I è dotato della legge di composizione interna ∗; b ∗ è associativa; c esiste l’elemento neutro; d ogni elemento di I è simmetrizzabile. Se la legge di composizione interna ∗ è anche commutativa, il gruppo è commutativo o abeliano.

ESEMPI

• La struttura (Z, +) è un gruppo, perché su Z l’addizione è una legge di composizione interna associativa, in cui l’elemento neutro è lo 0 e in cui ogni elemento è simmetrizzabile (i numeri interi opposti sono tra loro simmetrici). • Consideriamo la moltiplicazione e l’insieme dei numeri razionali positivi privati dello zero Q+, cioè la struttura (Q+, ·): - la moltiplicazione è una legge di composizione interna; - la legge è associativa; - esiste l’elemento neutro (1) poiché qualunque numero razionale positivo moltiplicato per 1 dà come risultato il numero razionale stesso; - ogni numero razionale ammette un simmetrico (in questo caso è l’inverso), quindi (Q+, ·) è un gruppo. • Consideriamo l’insieme A = {e, a, b, c} e la legge di composizione ⊗ definita in tabella: ⊗

e a b c

e e a b c

a a e c b

b b c a e

c c b e a 36

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Le operazioni binarie e le strutture algebriche

LEZIONE 2

- ⊗ è una legge di composizione interna, perché in tabella compaiono solo elementi dell’insieme A. - Verifichiamo se ⊗ è una legge associativa, cioè se per ogni x, y, z ∈ A si ha (x ⊗ y) ⊗ z = x ⊗ (y ⊗ z). Proviamo con la terna e, a, b: (e ⊗ a) ⊗ b = e ⊗ (a ⊗ b) a⊗b=e⊗c c=c Proviamo con la terna c, e, b: (c ⊗ e) ⊗ b = c ⊗ (e ⊗ b) c⊗b=c⊗b e=e Proviamo con la terna a, b, c: (a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c) c⊗c=a⊗e a=a Procedendo in questo modo si verifica che la legge è associativa. - Verifichiamo se esiste l’elemento neutro: in tabella la riga e, a, b, c e la colonna e, a, b, c (rispettivamente uguali alla riga e alla colonna principali) si intersecano nell’elemento e che è l’elemento neutro cercato. - Verifichiamo se ogni elemento è simmetrizzabile: in tabella osserviamo che l’elemento neutro e compare una sola volta in ogni riga e colonna, quindi ogni elemento è simmetrizzabile: e⊗e=e a⊗a=e b⊗c=e c⊗b=e

e è il simmetrico di e a è il simmetrico di a c è simmetrico di b b è il simmetrico di c

Se tracciamo la diagonale principale, osserviamo che gli elementi disposti in posizione simmetrica sono uguali, quindi la legge è commutativa. La struttura (A, ⊗) è perciò un gruppo abeliano. • Consideriamo l’insieme A = {a, b, c} e la legge ⊥, definita dalla seguente tabella: ⊥ a b c

a a b c

b b b c

c c c c

- ⊥ è una legge di composizione interna. - Verifichiamo se ⊥ è associativa. Proviamo con la terna a, a, b: (a ⊥ a) ⊥ b = a ⊥ (a ⊥ b) a⊥b=a⊥b b=b Proviamo con la terna b, a, c: (b ⊥ a) ⊥ c = b ⊥ (a ⊥ c) b⊥c=b⊥c c=c 37

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Verso l’algebra moderna e astratta

SEZIONE A

Proviamo con la terna c, a, b: (c ⊥ a) ⊥ b = c ⊥ (a ⊥ b) c⊥b=c⊥b c=c

e così via: la legge è associativa.

- Verifichiamo l’esistenza dell’elemento neutro. Dalla tabella deduciamo che a è l’elemento neutro. - Non tutti gli elementi sono simmetrizzabili, infatti solo a ⊥ a = a. In tabella si può vedere come l’elemento neutro compaia solo nella prima riga e nella prima colonna, cioè quelle corrispondenti ad a. - La legge di composizione ⊥ è commutativa, infatti gli elementi in posizione simmetrica rispetto alla diagonale principale sono uguali. Si può allora concludere che la struttura (A, ⊥) è un monoide abeliano. STOPANDGO

Verifica che la struttura (N, +) non è un gruppo.

Verifica che la struttura (Z, ·) non è un gruppo.

Dato l’insieme A = {a, b, c} e le leggi di composizione Δ e ∗ definite dalle tabelle seguenti, studia le strutture (A, Δ) e (A, ∗). Δ a b c

a a a a

b b b b

c c c c

∗ a b c

a b c a

b c a b

c a b c

[Δ: semigruppo; ∗: gruppo abeliano]

Verifica se la struttura (A, :) definita sull’insieme A = {–1; +1} è un gruppo.

Verifica se la struttura (A, ·) definita sull’insieme A = {–1, 0, +1} è un gruppo.

[no]

Verifica se la struttura (P, ·), dove P è l’insieme dei numeri pari, è un gruppo.

[no]

Verifica se le strutture (A, Δ), (A, ⊗), (A, ∗) sono gruppi sull’insieme A = {a, b, c, d} rispetto alle leggi così definite: Δ a b c d

a a b c d

b c d b c d a d c b a d c b a

⊗ a b c d

a a b c d

b b c d a

c c d a b

d d a b c

∗ a b c d

a a b c d

b b a d c

c c d a b

[sì]

d d c b a

[Δ: non è un gruppo; ⊗ : gruppo abeliano; ∗: gruppo abeliano]

NOTA

Se un insieme A, rispetto a una legge di composizione, costituisce una struttura algebrica e gode di una certa proprietà, allora questa proprietà vale per ogni altro insieme che ha la stessa struttura algebrica indipendentemente dalla natura degli elementi. 38

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LEZIONE

2 Le operazioni binarie e le strutture algebriche ESERCIZI 1

a V F b V F c V F d V F e V F f V F g V F h V F i l

V F V F

m V F n V F o V F p V F

Alla coppia ordinata (1, 7) l’addizione fa corrispondere il numero 8. (10, 2) → 12 si legge ”alla coppia ordinata (10, 2) corrisponde il numero 12”. L’addizione è sempre possibile per ogni insieme considerato. L’insieme N è chiuso rispetto all’addizione. L’insieme N è chiuso rispetto alla divisione. L’insieme Z è chiuso rispetto alla sottrazione. L’insieme Z non è chiuso rispetto alla divisione. La moltiplicazione non è una operazione binaria sempre possibile. La divisione è sempre possibile in Q. La sottrazione è un’operazione binaria sempre possibile in Q. La scrittura (B, ⊗) indica che nell’insieme B è definita una legge di composizione ⊗. Nell’insieme N 0 è elemento neutro per la moltiplicazione. Nell’insieme N 1 è elemento neutro per l’addizione. In Z, N, Q 0 è sempre elemento neutro per l’addizione.

0 0 0 0 0

1 0 1 2 3

2 0 2 4 6

3 0 3 6 9

Completa la seguente tabella dove il simbolo ∗ indica l’operazione che associa a ogni coppia ordinata di numeri il triplo del loro prodotto. ∗ 1 2 3 2 4 5

a b a b c

b a a a d

c c d a c

d c c d a

Determina il risultato delle seguenti operazioni: a∗b = d∗a = d∗c = (a ∗ c) ∗ (a ∗ a) = (a ∗ a) ∗ c = 5

a∗c = d∗d = b∗a = b ∗ (d ∗ c) =

Osserva la tabella definita nell’insieme A = {1, 2, 3} con la legge di composizione così definita: ∗ 1 2 3

1 1 1 1

2 2 4 3

3 0 2 1

L’insieme A è chiuso rispetto alla legge di composizione ∗? [no]

[a Δ b = a · b]

Osserva la seguente tabella che rappresenta la legge di composizione ∗ sull’insieme A = {a, b, c, d}:

∗ a b c d

Osserva la tabella e determina quale operazione è definita dalla legge di composizione Δ. Δ 0 1 2 3

Vero V o falso F ?

L’operazione ∗ definita nell’insieme A = {a, b, c} è rappresentata con la seguente tabella a doppia entrata: ∗ a b c

a c a b

b a b c

c b c a

L’insieme A è chiuso rispetto alla operazione ∗? Esiste l’elemento neutro? [sì; u = b]

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Verso l’algebra moderna e astratta

SEZIONE A

Completa la seguente tabella nella quale il simbolo ∗ associa a ogni coppia ordinata di numeri il loro prodotto aumentato di 2. ∗ 0 1 2 3

0 2 2 2 2

1 2 3 4 5

Nell’insieme A = {2, 3, 4}, la moltiplicazione è una legge di composizione interna? E nell’insieme B = {–2, 0, +2}? [no; no]

2 3 2 2 4 5

La legge di composizione ∗ sull’insieme A è definita dalla seguente tabella: ∗ a b c

8 11

Su quale insieme è definita la legge di composizione ∗? La legge ∗ è interna? [A = {0, 1, 2, 3}; no]

a c a b

b a b c

c b c a

Trova, se esiste, l’elemento neutro. 8

Osserva le seguenti tabelle di composizione e stabilisci se le operazioni ⊥ e ⊗ sono commutative. ⊥ a b c

a b c b

b c b a

c b a a

⊗ • ■ ×

• • ■ ×

■ ■ • •

× × × ■

Completa le seguenti tabelle in modo che le operazioni ∗ definite siano commutative. ∗ 1 2 3 4 1 3 1 4 2 1 3 2 2 1 4 5 3 1

Nell’insieme Z dei numeri relativi la sottrazione è una legge di composizione interna? Considera l’insieme I = {3x con x ∈ N}. Le operazioni di addizione e moltiplicazione sono leggi di composizione interna su I?

Siano a e b due numeri naturali qualsiasi; considera la legge a ⊗ b = (a + b) : 4. Verifica se ⊗ è una legge di composizione interna. [no]

Sull’insieme A = {0, 1, 2}, l’addizione è una legge di composizione interna? [no]

Nell’insieme N dei numeri naturali la legge a ∗ b = a + 2b è una legge di composizione interna? [sì]

Data la struttura ∗ con la seguente tabella di composizione, verifica se: a è commutativa, b è associativa e se c esiste l’elemento neutro. ∗ a b c

a a a c

b a b c

c c c a [ a sì; b sì; c u = b]

[sì]

Considera l’insieme A = {T, P, I} dove T sono i Torinesi, P i Piemontesi e I gli Italiani, studia la struttura (A, ∩) essendo ∩ l’intersezione tra insiemi. [legge di composizione interna; commutativa, associativa; u = I]

∗ • ⊥ ▲ • • ⊥ ⊥ ⊥ ▲ • • ▲

[sì]

Studia la struttura (B, ∗) definita sull’insieme B = {4, 8, 12, 24} dove la legge ∗ è l’operazione di mcm. [legge di composizione interna; commutativa; u = 4]

[sì; no]

[u = b]

Nell’insieme N la legge che associa a una coppia di numeri il loro MCD è una legge di composizione interna? [sì]

È dato l’insieme A = {a, b, c} e la legge di composizione ∗ definita in tabella: ∗ a b c

a a b c

b b c a

c c a b

Verifica se le seguenti uguaglianze sono vere: (a ∗ b) ∗ c = a (b ∗ c) ∗ (a ∗ c) = c

a ∗ (b ∗ c) = a a ∗ [b ∗ (c ∗ a)] = a [tutte vere]

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Le operazioni binarie e le strutture algebriche

LEZIONE 2 ESERCIZI

Verifica che dato l’insieme B = {–1, +1} la struttura algebrica (B, ·) è un gruppo commutativo.

Verifica che l’insieme A = {a, b, c, d} è un gruppo rispetto alla legge Δ così definita: Δ a b c d

a a b c d

b b a d c

c c d a b

Completa la seguente tabella sapendo che l’elemento neutro è z. ∗ x y x y x y z x z y

d d c b a

La legge di composizione ∗ è interna? È commutativa? Ogni elemento è simmetrizzabile? Giustifica le tue risposte. [sì; no; no]

Verifica se le strutture, le cui leggi di composizione sono date dalle seguenti tabelle, sono dei gruppi. Quali di essi sono abeliani? 24

Δ a b c d

a a b c d

b b a d c

c c d b a

d d c a b

⊗ 1 2 3 4

1 1 2 3 4

2 2 3 4 1

3 3 4 1 2

∗ x y z

4 4 1 2 3

∗ x y z

x y y x x y z z

⊗ 3 1 1/ 3

z z z z

3 3 3 1

1 1/3 3 1 1 1/3 1/ 1/ 3 3

⊗ 1 2 3 4

1 1 2 3 4

2 2 1 4 3

3 3 4 2 1

4 4 3 1 2

∗ a b c d e

a a b c d e

b b c d e a

c c d e a b

z z x

[A = {x, y, z}; u = y; sì]

[non sono gruppi]

x y z x y y

Verifica se esiste l’elemento neutro. Identifica l’insieme A su cui è definita la legge ∗ e verifica se la struttura (A, ∗) è un gruppo.

[entrambi gruppi abeliani]

Completa la seguente tabella sapendo che la legge ∗ è commutativa.

d d e a b c

Studia le strutture le cui leggi di composizione sono date dalle seguenti tabelle. ⊗ 0 1 2

e e a b c d

0 0 1 2

1 1 2 0

∗ 1 2 3 4

2 2 0 1

1 1 2 3 4

2 2 1 4 3

3 3 4 1 2

4 4 3 2 1

[entrambi gruppi abeliani]

33 27

Considera l’insieme T delle traslazioni applicabili a una figura piana e il loro prodotto ⊗. Verifica che la struttura (T, ⊗) è un gruppo abeliano.

Studia le strutture le cui leggi di composizione sono date dalle seguenti tabelle. Δ m n p q

Considera l’insieme R delle rotazioni di centro O applicabili a una figura piana e il loro prodotto ⊗. Verifica che la struttura (R, ⊗) è un gruppo abeliano.

m m n p q

n n p q m

p p q m n

q q m n q

⊥ a b c d

a a b c d

b b d a c

c c a d b

d d c b a

[entrambi gruppi abeliani]

Considera l’insieme S di tutte le simmetrie centrali applicabili a una figura piana e il loro prodotto ⊗. Verifica che (S, ⊗) non è una struttura algebrica.

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LEZIONE

VERIFICA risultati a pag. 174

CONOSCENZE 1

Quando un insieme I è dotato di struttura algebrica?

Dai la definizione di legge di composizione interna.

Siano N, D, P gli insiemi dei numeri naturali, dei naturali dispari e dei naturali pari. Verifica se l’operazione di intersezione definito sull’insieme A = {∅, N, D, P} è una legge di composizione interna.

Sull’insieme A = {a, b, c} sono definite le seguenti leggi di composizione:

Quando una legge di composizione è interna?

Cosa è una struttura algebrica?

⊗ a b c

Definisci l’elemento neutro di una struttura algebrica.

Calcola le seguenti espressioni:

Quando un elemento è simmetrizzabile?

Cosa è un gruppo abeliano?

∗ a b c

c a b c

(a ⊗ b) ∗ c =

b ∗ (c ⊗ a) =

a a b c

b b c b

c c b a

[(a ⊗ c) ⊗ b] ∗ (b ∗ a) = (c ⊗ c) ∗ b =

Verifica se la struttura (A; +) definita sull’insieme A = {–9, –6, –3, 0, +3, +6, +9} è un gruppo.

Studia la struttura (E, ⊗) la cui legge di composizione è definita in tabella.

Quando una struttura algebrica è un gruppo?

Nell’insieme Z dei numeri relativi la sottrazione è una legge di composizione interna?

Considera l’insieme I = {2x con x ∈ N}. Le operazioni di addizione e moltiplicazione sono leggi di composizione interna su I?

⊗ a b c

Siano a e b due numeri naturali qualsiasi; considera la legge a ⊗ b = (a + b) : 2. Verifica se ⊗ è una legge di composizione interna.

Sull’insieme A = {3, 5, 7}, l’addizione è una legge di composizione interna?

a a a a

b a b c

c a c c

Determina poi l’insieme E.

b c b b

ABILITÀ

a b c a

Verifica se l’insieme A = {a, b, c} è un gruppo rispetto alla legge definita in tabella. ∗ a b c

a c a b

b a b c

c b c a

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LEZIONE

RECUPERO risultati a pag. 174

Determina il risultato delle seguenti operazioni.

Vero V o falso F ?

–1 ∗ –1 =

Alla coppia ordinata (1, 2), l’addizione fa corrispondere il numero 3. b V F Alla coppia ordinata (–1, 2), la moltiplicazione fa corrispondere il numero 2. c V F L’operazione di addizione è una operazione binaria interna per qualunque insieme su cui si operi. d V F L’insieme Z è chiuso rispetto all’addizione. a V F

–1 ∗ –2 = –2 ∗ 1 = 1 ∗ –1 =

5 2

Dato l’insieme A = {2, 3} e la legge di composizione a ∗ b = a + b, scrivi la tabella di composizione.

Una operazione sull’insieme A = {0, 1, 2 } è assegnata mediante la seguente tabella: ⊥ 0 1 2

0 1 0 2

1 0 1 2

2 2 2 1

Completa le seguenti proposizioni. 3

È data la tabella che rappresenta la legge di composizione ⊗: ⊗ 1 2 3

1 1 1 0

2 1 2 0

3 3 0 1

L’operazione ⊥ è ……………… nell’insieme A. L’elemento neutro è ………… La legge di composizione ⊥ è commutativa? …… perché ………………………………………… Determina il risultato delle seguenti operazioni.

⊗ è una legge di composizione interna? Su quale insieme A è definita la legge di composizione?

1⊥1⊥2= 0 ⊥ (1 ⊥ 2) = (1 ⊥ 0) ⊥ 2 = (2 ⊥ 2) ⊥ (1 ⊥ 0) =

Dato l’insieme A = {–1, –2, +1} e la legge di composizione a ∗ b = 2a + b, rappresenta la legge di composizione con una tabella a doppia entrata. ∗ –1 –2 1 –1 –2 1 La legge ∗ è di composizione interna?

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LEZIONE

3 Le relazioni PREREQUISITI • • • •

CONTENUTI

• Le relazioni Conoscere gli insiemi Saper operare con gli insiemi • Le proprietà delle relazioni Saper operare nel piano cartesiano • Relazioni di equivalenza Conoscere il concetto di coppia ordinata

OBIETTIVI • Sapere cosa è una relazione • Saper riconoscere le proprietà di una relazione • Riconoscere una relazione di equivalenza

1 Relazione tra due insiemi

ESEMPIO

Dati due insiemi (non vuoti) A e B, si dice che è definita una relazione o corrispondenza tra A e B se è dato un criterio che permette di formare un insieme R i cui elementi sono coppie ordinate aventi come primo elemento un elemento di A e come secondo elemento un elemento di B, cioè se esiste una legge che associa elementi di A con elementi di B, e si scrive a R b dove a ∈ A, b ∈ B. L’elemento b si dice immagine di a nella relazione R.

Dati due insiemi A = {4, 6, 8} e B = {2, 3, 4}, è data la seguente relazione che lega A con B: a R b ⇔ a = 2b con a ∈ A, b ∈ B Allora:

2 è l’immagine di 4 3 è l’immagine di 6 4 è l’immagine di 8

Ricordiamo la definizione di prodotto cartesiano di due insiemi A e B: A × B = {(a, b) | a ∈ A e b ∈ B} Poiché una relazione R è formata da coppie (a, b) ∈ A × B, possiamo dire che una relazione è un sottoinsieme R ⊆ A × B . 44

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Le relazioni

LEZIONE 3

2 Dominio e codominio Si dice dominio di una relazione R tra A e B e si indica con D l’insieme degli elementi di A che hanno almeno una immagine in B. Si dice codominio di una relazione R tra A e B e si indica con C l’insieme degli elementi di B che sono immagine di almeno un elemento di A. ESEMPIO

Sono dati gli insiemi A = {0, 1, 2, 3} e B = {2, 3, 4, 5, 6} e la relazione tra A e B così definita: a R b ⇔ a + 1 = b. Se

a a a a

= = = =

0 1 2 3

b b b b

= = = =

0 1 2 3

+ + + +

1 1 1 1

= = = =

1 2 3 4

∉ ∈ ∈ ∈

B B B B

Il dominio è D = {1, 2, 3}, il codominio è C = {2, 3, 4}.

3 Relazione inversa Data una relazione R tra A e B, si dice relazione inversa e si indica con R–1 la relazione tra B e A che si ottiene invertendo l’ordine degli elementi delle coppie (a, b) di R, quindi sarà: a R b allora b R–1 a dove a ∈ A e b ∈ B. ESEMPIO

Sono dati due insiemi A = {1, 2, 3} e B = {2, 4, 6} e la relazione R tra A e B così definita: a R b ⇔ a = b . Determiniamo la relazione inversa R–1. 2 La relazione R è data dall’insieme delle coppie ordinate definite da a = b , cioè: 2 R = {(1, 2), (2, 4), (3, 6)} Per determinare la relazione inversa R–1, cioè l’insieme delle sue coppie ordinate, basta cambiare l’ordine degli elementi: R–1 = {(2, 1), (4, 2), (6, 3)} Si può allora scrivere b R–1 a ⇔ b = 2a. STOPANDGO

Considera gli insiemi A = {2, 10, 15, 24} e B = {1, 2, 3, 5} e la relazione tra A e B così definita: a R b ⇔ a è multiplo di b. Determina le coppie della relazione R. Scrivi la relazione inversa R–1 e determina le coppie di R–1.

Nell’insieme A = {2, 3, 4, 6, 8} è definita la relazione: a R b ⇔ a è divisore di b, con a, b ∈ A. Determina le coppie della relazione R. Scrivi la relazione inversa R–1 e determina le coppie di R–1.

Considera gli insiemi A = {1, 2, 3, 4} e ⎧⎪ 3 5 8 24 ⎪⎫ B = ⎨ , , , ⎬ e la relazione tra A e B così ⎩⎪⎪ 4 6 3 3 ⎭⎪⎪

Considera gli insiemi A = {4, 5, 6, 7, 8, 9} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e la relazione tra A e B così definita: a R b ⇔ a è quadrato di b. Determina le coppie di R, il dominio e il codominio.

definita: a R b ⇔ a è minore di b. Determina le coppie della relazione R. Scrivi la relazione inversa R–1 e determina le coppie di R–1.

[D = {4, 9}; C = {2, 3}]

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Verso l’algebra moderna e astratta

SEZIONE A

4 Rappresentazione grafica di una relazione

ESEMPIO

Per rappresentare una relazione R tra due insiemi A e B possiamo usare: • la rappresentazione sagittale; • la tabella a doppia entrata; • il reticolo, o diagramma cartesiano.

Dati gli insiemi A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5, 6} è definita la seguente relazione tra A e B: aRb⇔a=b–2 Determiniamo le coppie della relazione R e rappresentiamola graficamente. La relazione R è individuata dall’insieme R = {(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6)}. ■ Rappresentazione sagittale A

B •3

1•

•4

2•

3•

•5 •6

4•

■ Tabella a doppia entrata

B 1 2 3 4

3 •

■ Diagramma cartesiano

• • •

B 6 5 4 3

• • • • 1

STOPANDGO

Tra gli insiemi A = {2, 3, 5, 7} e B = {27, 49, 25, 40} è definita la relazione: a R b ⇔ a è divisore di b. Determina le coppie della relazione R e rappresentala graficamente con una tabella a doppia entrata e con un diagramma sagittale.

Tra gli insiemi A = {Roma, Parigi, Madrid, Firenze, Siviglia} e B = {Francia, Spagna, Italia} è definita la relazione: a R b ⇔ a è una città di b. Determina le coppie della relazione R e rappresentala graficamente con un diagramma sagittale e con un diagramma cartesiano.

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Le relazioni

LEZIONE 3

5 Proprietà delle relazioni Una relazione R definita su un solo insieme A può soddisfare determinate proprietà: vediamole. ■ Proprietà riflessiva DEFINIZIONE definizione

Una relazione R definita in un insieme non vuoto A è riflessiva se, per ogni a ∈ A, esso è in relazione con se stesso. ∀a ∈ A a R a

Nella rappresentazione grafica della relazione R si ha: A a

A il reticolo contiene tutti i punti della diagonale principale

cappio ■ Proprietà simmetrica DEFINIZIONE

Una relazione R definita su un insieme non vuoto A è simmetrica se, per ogni a, b ∈ A, si ha che: se a R b allora b R a. ∀a, b ∈ A a R b ⇒ b R a

Nella rappresentazione grafica della relazione R si ha: a A

c’è la freccia in un senso e nell’altro

nel reticolo ogni punto ha il suo simmetrico rispetto alla diagonale principale

■ Proprietà transitiva DEFINIZIONE

Una relazione R definita su un insieme non vuoto A è transitiva se, per ogni a, b, c ∈ A, si ha che: se a R b e b R c allora a R c. ∀a, b, c ∈ A a R b ∧ b R c ⇒ a R c 47

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Verso l’algebra moderna e astratta

SEZIONE A

Nella rappresentazione grafica della relazione R si ha: b

tra due elementi è sempre possibile seguire la “scorciatoia”.

a c

■ Proprietà antisimmetrica DEFINIZIONE

Una relazione R definita su un insieme non vuoto A è antisimmetrica se, considerati in A due qualsiasi elementi a e b, si ha che: se a ≠ b e a R b allora b R a. ∀a, b ∈ A a ≠ b ∧ a R b ⇒ b R a

Nella rappresentazione grafica della relazione R si ha: A

b A

la freccia è solo in un senso

nel reticolo non ci sono punti simmetrici rispetto alla diagonale principale

■ Proprietà antiriflessiva DEFINIZIONE

Una relazione R definita su un insieme non vuoto A è antiriflessiva se, per ogni a ∈ A, esso non è in relazione con se stesso. ∀a ∈ A a R a

Nella rappresentazione grafica della relazione R si avrà:

non c’è il cappio

sulla diagonale principale non ci sono punti

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Le relazioni

LEZIONE 3

ESEMPI

• Nell’insieme A = {1, 2, 3} è definita la relazione a R b ⇔ a + b è un numero pari. Determina le proprietà di R. R = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (3, 3)} rappresentiamo graficamente: A

2 3 2 1

La relazione è riflessiva, simmetrica e transitiva. • Determina le proprietà della relazione R rappresentata in figura: a

b d c

La relazione R è: riflessiva, perché tutti gli elementi hanno il cappio; simmetrica, perché ciascuna freccia in un senso ha la corrispondente nel senso opposto; transitiva, perché date due frecce consecutive c’è sempre la “scorciatoia”.

STOPANDGO

Determina le proprietà delle seguenti relazioni. 1

1 4

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Verso l’algebra moderna e astratta

SEZIONE A

c b a

d c b a

a b c

1 simmetrica, antiriflessiva 3 riflessiva, antisimmetrica 5 antiriflessiva, simmetrica

a b c

2 riflessiva, antisimmetrica 4 riflessiva, simmetrica, transitiva

6 Relazione di equivalenza Una relazione R definita su un insieme A non vuoto è una relazione di equivalenza se gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva. Se sull’insieme A è definita una relazione di equivalenza R, allora per ogni a ∈ A è possibile costruire una classe di equivalenza: [a]R = {b ∈ A⏐a R b}

Quindi una classe di equivalenza è un sottoinsieme di A formato da elementi tutti in relazione (o, come si dice, equivalenti) tra loro.

ESEMPI

Data una relazione di equivalenza R, definita su un insieme non vuoto A, si dice insieme quoziente dell’insieme A rispetto alla relazione R l’insieme i cui elementi sono le classi di equivalenza ottenute. L’insieme quoziente si indica con A/R.

• Verifica che nell’insieme dei poligoni P la relazione p R q ⇔ “p ha lo stesso numero di lati di q” è una relazione di equivalenza. La relazione data è: riflessiva, infatti ogni poligono è in relazione con sé stesso; simmetrica, infatti se un poligono p ha lo stesso numero di lati del poligono q, sicuramente il poligono q ha lo stesso numero di lati del poligono p; transitiva, infatti se il poligono p ha lo stesso numero di lati del poligono q e q ha lo stesso numero di lati di t, allora il poligono p ha lo stesso numero di lati del poligono t. La relazione R è perciò di equivalenza. ⎧⎪ 3 5 9 7 12 8 1 1 11 ⎫⎪ • È dato l’insieme A = ⎪⎨ , , 7, , , , 8, , , , ⎪⎬ e la relazione R così definita: ⎪⎪⎩ 4 7 4 4 7 7 ⎪⎭⎪ 4 4 7 a R b ⇔ a ha lo stesso denominatore di b. La relazione R è: 50

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Le relazioni

LEZIONE 3

riflessiva, perché a R a; simmetrica, perché se a R b allora b R a; transitiva, perché se a R b e b R c allora a R c. La relazione R è di equivalenza e le classi di equivalenza sono gli insiemi: ⎪⎧ 3 9 7 8 1 ⎪⎫ C1 = ⎪⎨ , , , , ⎪⎬ ⎪⎪⎩ 4 4 4 4 4 ⎪⎭⎪

⎪⎧ 5 12 11 C2 = ⎪⎨ , , , ⎪⎪⎩ 7 7 7

1 ⎪⎫⎪ ⎬ 7 ⎪⎪⎭

C3 = {7, 8}.

L’insieme quoziente è A/R = {C1 , C2 , C3 }

7 Relazione d’ordine Una relazione R definita su un insieme A non vuoto è una relazione di ordine largo se gode delle proprietà: • riflessiva • antisimmetrica • transitiva Una relazione R definita su un insieme A non vuoto è una relazione di ordine stretto se gode delle proprietà: • antiriflessiva • antisimmetrica • transitiva ESEMPI

• È dato l’insieme A = {x ∈ N | x ≥ 1} e la relazione R così definita: aRb⇔a>b Studiamo le proprietà della relazione e verifichiamo se è relazione d’ordine. La relazione R è: antiriflessiva, infatti nessun numero naturale è maggiore di se stesso; antisimmetrica, infatti se a > b non può essere b > a; transitiva, infatti se a > b e b > c sicuramente a > c. La relazione è di ordine stretto.

• È dato l’insieme A = {x ∈ N | x ≥ 1} e la relazione R così definita: a R b ⇔ a è multiplo di b. La relazione R è: riflessiva, infatti ogni numero naturale è multiplo di se stesso secondo 1; antisimmetrica, se a è multiplo di b non può essere b multiplo di a se a è diverso da b; transitiva, infatti se a è multiplo di b e b è multiplo di c, sicuramente a è multiplo di c. La relazione è di ordine largo. 51

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LEZIONE

3 Le relazioni ESERCIZI 1

Vero V o falso F ?

x + y = numero pari

x + y = numero dispari

x è divisore di y

[{(0, 0), (0, 2), (0, 4), (2, 0), (2, 2), (2, 4)}] a V F

b V F

c V F

d V F e V F f

V F

g V F h V F

V F

m V F n V F

Se due insiemi A e B sono legati da una proprietà, si dice che è data una relazione binaria tra A e B. Una relazione binaria si può rappresentare graficamente con un diagramma a freccia, con un reticolo o con una tabella a doppia entrata. Una relazione R definita in un insieme A non vuoto è riflessiva se per ogni x e y ∈ A si ha x R y. La scrittura xRy∧yRz⇒xRz,∀ x,y,z rappresenta la proprietà transitiva. Una relazione che lega un elemento a se stesso è simmetrica. Una relazione R è di equivalenza se è riflessiva, simmetrica, transitiva. Una relazione R di equivalenza è anche una relazione d’ordine. Si dice dominio di una relazione tra A e B l’insieme degli elementi di A che sono in relazione con almeno un elemento di B. Si dice codominio di una relazione tra A e B l’insieme degli elementi di B che sono corrispondenti di almeno un elemento di A. Data una relazione R tra A e B la relazione inversa o reciproca si indica con R–1 ed è una relazione tra B e A. Una funzione è necessariamente una corrispondenza univoca. Una corrispondenza nella quale ad ogni elemento ne corrispondono due non è una funzione.

Dati gli insiemi A = {0, 1, 2} e B = {0, 2, 4}, scrivi e rappresenta graficamente mediante un diagramma cartesiano o sagittale l’insieme delle coppie (x, y), con x ∈ A, y ∈ B, determinate dalle seguenti relazioni tra A e B: a b

x=y x+y=4

[{(1, 0), (1, 2), (1, 4)}] [{(1, 0), (1, 2), (1, 4), (2, 0), (2, 2), (2, 4)}]

x x h y i x f g

∅] e y sono entrambi dispari [∅ ∅] +y=7 [∅ = 2x [{(0, 0), (1, 2), (2, 4)}] = 1 y [{(0, 0), (1, 4)}]

Sono dati gli insiemi A = {2, 3, 6, 7, 9, 15} e B = {1, 2, 3, 4, 5}; determina le coppie (x, y) con x ∈ A ed y ∈ B per le quali risulta x = 3y. Rappresenta la relazione con un diagramma cartesiano.

Dati gli insiemi A = {3, 4, 5, 6} e B = {1, 2, 3}, rappresenta le seguenti relazioni in forma tabulare e cartesiana, determinandone il dominio D e codominio C. a

R1 = {(x, y) | x ∈ A, y ∈ B, x > y}

R2 = {(x, y) | x ∈ A, y ∈ B, x doppio di y}

R3 = {(x, y) | x ∈ A, y ∈ B, x multiplo di y}

R4 = {(x, y) | x ∈ A, y ∈ B, x divisore di y}

[D1 = {3, 4, 5, 6}; C1 = {1, 2, 3}] [D2 = {4, 6}; C2 = {2, 3}]

[D3 = {3, 4, 5, 6}; C3 = {1, 2, 3}] [D4 = {3}; C4 = {3}]

Determina per quali tra le seguenti coppie vale la relazione R così definita: (a : b) R (c : d) ⇔ a · d = b · c. a c e

(3 : 4) e (3 : 1) (3 : 4) e (6 : 8) (1 : 2) e (2 : 1)

b d f

(0 : 4) e (1 : 4) (2 : 3) e (3 : 4) (–3 : 2) e (3 : 2) [c]

[{(0, 0), (2, 2)}] [{(0, 4), (2, 2)}]

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Le relazioni

LEZIONE 3 ESERCIZI

Rappresenta con un diagramma sagittale ciascuna delle seguenti relazioni. 6

“Essere nato prima” nell’insieme A = {Pitagora, Cartesio, Giulio Cesare}.

“Essere più veloce” nell’insieme A = {ghepardo, tartaruga, cane}.

Sull’insieme A = {Anna, Franco, Maria, Ada, Mauro, Mara} è data la relazione R così definita: x R y ⇔ x ha la stessa lettera iniziale di y. Rappresenta R con un diagramma sagittale, una tabella a doppia entrata e un diagramma cartesiano.

Considera gli insiemi A = {2, 3, 4, 5} e B = {4, 12, 16, 20, 25} e la relazione R tra A e B così definita: a R b ⇔ b è quadrato di a. Determina: a la rappresentazione sagittale di R b dominio e codominio di R c la rappresentazione tabulare della R–1 e una sua rappresentazione grafica.

Per ciascuno dei seguenti sottoinsiemi di N disegna il diagramma sagittale della relazione “è multiplo di”. 8 9

{2, 8, 24, 3, 12}

[D = {2, 4, 5}; C = {4, 16, 25}; R–1 = {(4, 2); (16, 4); (25, 5)}]

{10, 90, 27, 4, 9} Per ciascuno dei seguenti sottoinsiemi di N disegna il diagramma sagittale della relazione “è divisore di”.

{4, 12, 18, 36}

{7, 3, 84, 168}

Dati gli insiemi A = {x ∈ N | x è divisore di 12} e B = {y ∈ N | 3 ≤ y < 10} determina e rappresenta le seguenti relazioni: a b c

Data la relazione R = {(0, 0), (1, 1), (2, 8), (3, 27)} sottoinsieme del prodotto cartesiano A × B con A = {a ∈ N | 0 ≤ a ≤ 5} e B {b ∈ N | 0 ≤ b ≤ 30}, determina di tale relazione: a dominio e codominio [D = {0, 1, 2, 3} ; C = {0, 1, 8, 27}] b c

[R = {(a, b) ∈ A × B | y = x3}]

R1 = {(x, y) ∈ A × B | x + y è pari} R2 = {(x, y) ∈ A × B | y è multiplo di x} R3 = {(x, y) ∈ A × B | y supera x di 2}

il grafico cartesiano la rappresentazione mediante caratteristica.

Considera la relazione R da Q a Q così definita: a R b ⇔ a · b = 20; sapendo che il dominio di R è D = {1/2, 1, 2, 3, 4, 5}, determina il suo codominio. [{40, 20, 10, 20/3, 5, 4}]

Dati gli insiemi A = {1, 3} e B = {–5, –7, 2} considera la relazione R tra A e B così definita: a R b ⇔ a + b = –4. Determina il dominio e il codominio di R.

[D = {1, 3}; C = {–7, –5}]

[D = {5, 4, 3, 0, –3, –4, –5}; C = {5, 4, 3, 0, –3, –4, –5}]

Dati gli insiemi A = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 6, 9} e B = {–2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} e le seguenti relazioni tra A e B: a R b ⇔ b è la metà di a a S b ⇔ b è il successivo di a Determina per ciascuna di esse: - la rappresentazione sagittale, tabulare, cartesiana - il dominio e il codominio - le relazioni inverse a

[ a D = {–2, 0, 2, 6}; C = {–1, 0, 1, 3}; a R–1 b ⇔ a è la metà di b b D = {–3, –2, –1, 0, 1, 2}; C = {–2, –1, 0, 1, 2, 3}; b S–1 a ⇔ a è il precedente di b]

In Z sia R la relazione così definita: x R y ⇔ x2 + y2 = 25; dopo aver scritto la rappresentazione tabulare, determina: a dominio e codominio di R

il grafico cartesiano.

Dati i due insiemi A = {3, 9, 10, 12} e B = {5, 6, 11, 24}, siano R1 e R2 le relazioni tra A e B così definite: x R1 y ⇔ x e y sono primi tra loro; x R2 y ⇔ x è la metà di y. Scrivi per elencazione i seguenti insiemi: R" = R1 ∩ R2 R' = R1 ∪ R2 [R' = {(3, 5), (3, 11), ( 9, 5), (9, 11), (10, 11), (12, 5), (12, 11), (3, 6), (12, 24)}; R" = ∅]

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Verso l’algebra moderna e astratta

SEZIONE A

Dato l’insieme A = {2, 3, 5, 11, 4, 18} scrivi la rappresentazione tabulare delle relazioni: a R così definita: x R y ⇔ y supera x di 2 1 1 b R così definita: x R y ⇔ il doppio di x 2 2 addizionato a y dà come risultato 10. [R1 = {(2, 4), (3, 5)}; R2 = {(3, 4), (4, 2)}]

Considera la relazione R tra A = {7, 8, 21, 26} e B = {9, 13, 38} così definita: a R b ⇔ esiste un divisore di a diverso da 1 che è anche divisore di b; determina: a la rappresentazione tabulare di R b dominio e codominio di R. [D = {8, 21, 26}; C = {38, 9, 13}]

Di quali proprietà godono le relazioni sotto rappresentate? 23

S a

b b

c c [R: riflessiva, antisimmetrica; S: simmetrica, antiriflessiva; P: riflessiva, simmetrica, transitiva]

S a

b a

e c

d [R: riflessiva, simmetrica, transitiva; S: antisimmetrica, riflessiva; P: antiriflessiva, antisimmetrica]

P a

a b

[R: riflessiva, antisimmetrica; S: simmetrica; P: antiriflessiva, simmetrica]

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Le relazioni

LEZIONE 3 ESERCIZI

P c

a b a b

[R: riflessiva, simmetrica; S: riflessiva; P: riflessiva, simmetrica, transitiva]

P a

d b c

b c

[R: simmetrica; S: riflessiva, simmetrica, transitiva; P: riflessiva, simmetrica, transitiva]

S a

P a

c [R: riflessiva, simmetrica, transitiva; S: riflessiva, antisimmetrica; P: antisimmetrica, antiriflessiva]

P a

a d b

c c [R: riflessiva, simmetrica, transitiva; S: riflessiva, antisimmetrica, transitiva; P: antiriflessiva, transitiva]

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Verso l’algebra moderna e astratta

SEZIONE A

Di quali proprietà godono le seguenti relazioni? a

a R1 b ⇔ a è il doppio di b, definita in N.

Nell’insieme delle rette: essere perpendicolari. Nell’insieme dei numeri naturali: essere maggiore. c Nell’insieme dei numeri interi: non avere divisori comuni. d Nell’insieme dei numeri naturali: essere maggiore o uguale. a b

[antisimmetrica] b

a R2 b ⇔ a divide b, definita in N. [riflessiva, antisimmetrica, transitiva]

a R3 b ⇔ a è padre di b, definita nell’insieme delle persone. [antiriflessiva, antisimmetrica] d a R b ⇔ a è fratello di b, definita nell’insieme 4 delle persone. [simmetrica, transitiva, antiriflessiva] e x R y ⇔ x è diverso da y, definita in N. 5 c

[simmetrica, antiriflessiva] f

Quali delle seguenti relazioni sono simmetriche?

[a, c]

x R6 y ⇔ x e y hanno prodotto positivo o nullo, definita nell’insieme A = {–2, –1, 0, 1, 2}.

Quali delle seguenti relazioni sono transitive? a

[riflessiva, simmetrica] g

x R7 y ⇔ x è minore di y, definita in N.

[antiriflessiva, antisimmetrica, transitiva] c

Quali delle seguenti relazioni, definite in N, sono transitive? a x è minore di y b x non è minore di y c x è il doppio di y d x è uguale a y

d e f

[a, b, d] g

Quali delle seguenti relazioni sono riflessive? h a b c d e f

Nell’insieme delle figure solide: avere uguale volume. Nell’insieme delle persone: essere nati nello stesso anno. Nell’insieme delle frazioni ridotte ai minimi termini: avere lo stesso denominatore. Nell’insieme dei numeri interi: non avere divisori comuni. Nell’insieme dei numeri naturali: essere maggiore o uguale. Nell’insieme dei numeri interi: essere di segno diverso. [a, b, c, e]

[a, c, f, g, h]

b c d e

a R b ⇔ a è il marito di b, definita in un insieme di persone. a R b ⇔ a è più vecchio di b, definita in un insieme di persone. a R b ⇔ a non è più vecchio di b, definita in un insieme di persone. a R b ⇔ a è minore di b, definita nell’insieme N. a R b ⇔ a non è minore di b, definita nell’insieme N. [c, e]

Quali delle seguenti relazioni, definite nell’insieme delle rette del piano, sono simmetriche? Quali riflessive? a b

Quali delle seguenti relazioni sono riflessive? a

Nell’insieme delle figure solide: avere uguale volume. Nell’insieme delle rette del piano: essere perpendicolari. Nell’insieme delle persone: essere nati nello stesso comune. Nell’insieme dei medicinali: essere efficaci per almeno una stessa malattia. Nell’insieme dei numeri razionali: avere almeno una cifra uguale. Nell’insieme delle frazioni ridotte ai minimi termini: avere lo stesso denominatore. Nell’insieme delle figure geometriche piane: avere la stessa area. Nell’insieme delle matite colorate: essere dello stesso colore. Nell’insieme dei numeri interi: non avere divisori comuni.

a R b ⇔ a è perpendicolare a b. [simmetrica] a R b ⇔ a interseca b. [riflessiva, simmetrica]

Indica se la relazione R = {(a, a), (a, b), (b, a), (c, b), (b, c)} definita in A = {a, b, c} è simmetrica. Quali coppie le mancano per essere riflessiva? [sì; (b, b), (c, c)]

La relazione di inclusione stretta A ⊂ B è riflessiva? È simmetrica? E la relazione A ⊆ B è transitiva? [no, no, sì]

La relazione di parallelismo fra rette di un piano è riflessiva? È simmetrica? È transitiva? [sì, sì, sì]

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Le relazioni

LEZIONE 3 ESERCIZI

Studia le proprietà delle seguenti relazioni. 40

Nell’insieme I delle rette di un piano la relazione a R b ⇔ “a ha punti in comune con b” è una rela[no] zione d’equivalenza?

[antisimmetrica]

Nell’insieme dei nati in Italia: a è in relazione con b se e solo se a è nato nello stesso comune di b.

Nell’insieme N la relazione x R y ⇔ “x è primo con [no] y” è una relazione d’equivalenza?

Verifica che nell’insieme I di tutti i triangoli di un piano la relazione x R y ⇔ “x e y hanno uguale perimetro” è una relazione di equivalenza.

Verifica che nell’insieme Z la relazione a R b ⇔ “a – b è multiplo di 3” è una relazione di equivalenza.

Sia A = {a, b, c} un insieme di persone. La relazione a R b ⇔ “a e b sono nate nello stesso anno” è una relazione di equivalenza? Qual è l’in[sì; … ] sieme quoziente?

Nell’insieme dei numeri razionali: a è in relazione con b se e solo se a è diverso da b. [simmetrica]

La relazione di parallelismo definita in un insieme A di rette di un piano è una relazione di equivalenza? [sì]

Nell’insieme dei numeri razionali positivi: a è in relazione con b se e solo se il loro prodotto è minore di 1. [simmetrica]

La relazione di perpendicolarità definita in un insieme A di rette di un piano è una relazione di equivalenza? [no]

La relazione a R b ⇔ “a divide b” definita nell’insieme N dei numeri naturali è una relazione di equivalenza?

Nell’insieme dei numeri razionali: a è in relazione con b se e solo se a è il triplo di b.

[riflessiva, simmetrica, transitiva]

Nell’insieme dei numeri naturali: a è in relazione con b se e solo se a è divisore di b. [riflessiva, antisimmetrica, transitiva]

Nell’insieme delle rette dello spazio tridimensionale: a è in relazione con b se e solo se a ha almeno un punto in comune con b. [riflessiva, simmetrica]

Nell’insieme dei numeri naturali: a è in relazione con b se e solo se a è il quadrato di b. [antisimmetrica]

Nell’insieme dei numeri naturali maggiori di 1: a è in relazione con b se e solo se a2 > b.

[no]

[riflessiva]

61 48

Nell’insieme dei poligoni del piano: a è in relazione con b se e solo se ha lo stesso numero di vertici. [riflessiva, simmetrica, transitiva]

Nell’insieme dei numeri razionali: x è in relazione con y se e solo se il loro prodotto è un numero [simmetrica] intero.

Nell’insieme N × N: (a; b) è in relazione con (c; d) se e solo se a + d = b + c.

Verifica se le seguenti sono relazioni d’ordine. 62

Nell’insieme delle automobili: avere un motore non meno potente. [no]

Nell’insieme N: avere un numero minore di cifre. [no]

[riflessiva, simmetrica, transitiva]

Nell’insieme N0 = N – {0}: x è in relazione con y se e solo se x è multiplo di y.

Nell’insieme degli ufficiali di una caserma: essere di grado superiore. [sì]

Nell’insieme delle frazioni: essere maggiore o uguale. [sì]

Stabilisci se la relazione a R b ⇔ “a precede in ordine alfabetico b”, definita nell’insieme dei nomi [no] italiani, è una relazione di ordine largo.

[riflessiva, antisimmetrica, transitiva]

La relazione a R b ⇔ “a ha gli stessi genitori di b” è una relazione di equivalenza? [sì]

Verifica che nell’insieme di tutte le circonferenze di un piano, la relazione c R d ⇔ “c e d sono concentriche” è una relazione di equivalenza.

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LEZIONE

VERIFICA risultati a pag. 174 5

CONOSCENZE 1

Vero V o falso F ? a V F b V F

c V F d V F

e V F

V F

g V F

h V F

V F

Determina le proprietà di ciascuna delle relazioni sotto rappresentate.

Il dominio è l’insieme di tutti gli elementi dell’insieme di partenza. b Il codominio è l’insieme degli elementi dell’insieme di arrivo che sono l’immaa d gine di almeno un elemento dell’insiea e me di partenza. f ∀a, b ∈ A, a R b ⇔ b R a esprime la proprietà simmetrica. d e Esistono relazioni che godono contemporaneamente delle proprietà simmetri1 2 1 2 ca e antisimmetrica. Esistono relazioni che godono contemporaneamente della proprietà riflessi3 va, simmetrica e transitiva. 3 Una relazione di ordine stretto gode delle proprietà transitiva, antiriflessiva, antisimmetrica. Dati gli insiemi A = {2, 5, 7} e B = {3, 6, 8} g h e la relazione a R b ⇔ a è maggiore di b, il dominio è D = {5, 7}. Dati gli insiemi A = {2, 5, 7} e B = {3, 6, 8} c e la relazione a R b ⇔ a è maggiore di c b, il codominio è C = {6, 8}. b b Se R è la relazione a R b ⇔ a è padre a a di b, la relazione inversa è b R–1a ⇔ b è figlio di a. a b c a b c

b a c

3 4

c b a a

ABILITÀ 2

Sono dati gli insiemi A = {3, 4, 6, 9} e B = {1, 2, 3, 4} e la relazione a R b ⇔ a = 3b dove a ∈ A e b ∈ B. Dopo aver determinato le coppie della relazione R, rappresentala graficamente e determina dominio, codominio e la relazione inversa.

Dati gli insiemi A = {1, 2, 3, 5} e B = {1, 4, 10} e la relazione a R b ⇔ a è divisore di b, determina dominio, codominio e rappresentala graficamente.

⎧ 2 3 3 1 4 9 20 15 ⎫ Nell’insieme A = ⎨ , , , , , , , , ⎬ ⎩ 5 7 6 2 10 18 50 35 ⎭ considera la relazione a R b ⇔ a = b. Verifica che R è una relazione di equivalenza. Studia le seguenti relazioni. a

A = {x ∈ Z | –2 < x < 2} xRy⇔x–y<0

A = {x | x è lettera della parola pavone} x R y ⇔ x segue y

Individua la relazione sotto rappresentata e determina il dominio e il codominio. A

•0

–1 • 0•

2• 7•

B •1

•3 •4

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LEZIONE

RECUPERO risultati a pag. 174

Dati gli insiemi A = {6, 7, 9, 10, 12, 15} e B = {10, 12, 15, 18} scrivi le coppie ordinate dalla relazione a R b ⇔ a = b – 3.

Osserva le seguenti relazioni e studiane le proprietà.

Scrivi la definizione di dominio e codominio di una relazione R.

Scrivi la definizione di relazione inversa di una relazione R tra due insiemi A e B.

Come si può rappresentare una relazione R tra due insiemi A e B?

Utilizzando gli appropriati simboli scrivi le proprietà riflessiva, simmetrica, transitiva, antisimmetrica, antiriflessiva di una relazione R definita in un insieme A.

3 c

3 1

2 3

Considera nell’insieme A = {10, 20, 30} la relazione R così definita: a R b ⇔ a è minore di b. Verifica che è una relazione di ordine stretto.

Scrivi la definizione di relazione tra due insiemi A e B.

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SEZIONE

LINGUAGGI

Verso altri linguaggi In questa sezione imparerai nuovi linguaggi della matematica, utili anche nella vita di tutti i giorni.

grafici

elementi di statistica strumenti di calcolo

cenni di logica

elementi di calcolo delle probabilitĂ

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Gli strumenti di calcolo, l’approssimazione, l’ordine di grandezza, la notazione 4 esponenziale e standard

LEZIONE

PREREQUISITI • Saper operare con le potenze

CONTENUTI • • • •

Strumenti di calcolo Approssimazione Ordine di grandezza Notazione esponenziale e standard

OBIETTIVI • Saper utilizzare la calcolatrice con consapevolezza • Saper approssimare e arrotondare un numero • Saper esprimere numeri particolarmente grandi o piccoli • Saper inquadrare un numero nel suo ordine di grandezza

1 Gli strumenti di calcolo Il primo strumento di calcolo che l’uomo abbia utilizzato è rappresentato sicuramente dalle sue dita: anche oggi i bambini “contano sulle dita” ma, indubbiamente, quando i calcoli si fanno più complessi le dita non bastano più… La tecnologia ci è venuta in grande aiuto e attualmente abbiamo a disposizione dei mezzi che ci aiutano enormemente nell’esecuzione di conti difficili o comunque laboriosi. La macchina, che ormai è consentito usare anche a scuola, è la calcolatrice (o calcolatore) tascabile; l’utilizzo di questo strumento non è negativo in se stesso, ma lo diventa se ci lasciamo rendere “schiavi” dalla macchina. È quindi importante imparare ad usare la calcolatrice in modo ragionato e corretto e non dimenticare mai che la nostra mente pensa, decide e dà ordini allo strumento, il quale deve solo “eseguire”. In ogni calcolatrice si può distinguere: • il blocco di ingresso, cioè la tastiera; • il blocco di elaborazione, cioè la zona interna della macchina dove vengono eseguite le operazioni e dove vengono immagazzinati i dati (memorie); • il blocco di uscita, cioè il visore o display sul quale compaiono le varie fasi delle operazioni. 62

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Gli strumenti di calcolo, l’approssimazione, l’ordine di grandezza, la notazione esponenziale e standard

LEZIONE 4

Schematizzando, abbiamo: INGRESSO

➠

ELABORAZIONE E MEMORIA

➠

USCITA

Per comunicare con la macchina, però, è necessario il linguaggio, cioè l’insieme dei simboli mediante i quali l’utente comunica con la macchina; nella calcolatrice il linguaggio è costituito dalle cifre e dalle operazioni che la calcolatrice può eseguire e che sono indicate sulla tastiera. Esistono in commercio diversi tipi di calcolatrice tascabile; noi prenderemo in considerazione i due tipi più usati: • la calcolatrice semplice, che esegue le quattro operazioni aritmetiche e l’estrazione della radice quadrata di un numero; • la calcolatrice scientifica, che esegue le operazioni aritmetiche e altre più complesse. Consideriamo una calcolatrice semplice. Prima di analizzare l’uso del calcolatore tascabile, premettiamo che ogni macchina ha la sua portata o capacità, cioè può scrivere sul display fino a un certo numero di cifre. In questi tipi di calcolatrice è, generalmente, di otto cifre: il numero massimo che può essere scritto è 99 999 999. Se, operando, si supera la portata della macchina, sul visore appare il segno di errore E, oppure il visore lampeggia. Vediamo ora alcuni tasti fondamentali presenti in ogni calcolatrice e il loro uso. ON tasto di accensione della macchina tasto di spegnimento (in alcune calcolatrici manca perché si spengono autoOFF maticamente in caso di inutilizzo prolungato)

–

tasto che cancella l’ultimo numero introdotto in macchina

simboli delle quattro operazioni

simbolo di uguaglianza

simbolo della virgola per i numeri decimali

tasto per il calcolo della percentuale di una quantità

+/– tasto per il cambio del segno di un numero (utile nei calcoli algebrici) M+ M– tasto per immagazzinare un numero in memoria con il segno + o con il segno – MR tasto per richiamare il contenuto della memoria MC tasto per cancellare il contenuto della memoria x2

tasto per calcolare il quadrato di un numero (tasto non sempre presente) tasto per estrarre la radice quadrata di un numero

tasto per calcolare l’inverso di un numero 63

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Verso altri linguaggi

SEZIONE B

Vediamo ora la sequenza di lavoro, ossia in che modo devono essere premuti i tasti della calcolatrice per eseguire le operazioni. Immissione di un numero intero: 24 Digitiamo: 2

sul visore appare 24

Immissione di un numero decimale: 143,58 Digitiamo: 1

sul visore appare 143.58

Esecuzione di una somma: 18 + 35 + 7 Digitiamo: 1

sul visore appare 60

Esecuzione di una sottrazione: 56 – 27 Digitiamo: 5

–

sul visore appare 29

Esecuzione di una sottrazione: 36 – 49 Digitiamo: 3

–

sul visore appare –13

come puoi notare, la calcolatrice opera anche con i numeri relativi. Esecuzione di una sottrazione: 8 – 1 – 3 Digitiamo: 8

–

sul visore appare 4

Esecuzione di una moltiplicazione: 3 × 24 Digitiamo: 3

sul visore appare 72

Esecuzione di una moltiplicazione: 51 × 33 × 102 Digitiamo: 5

sul visore appare 171666

Esecuzione di una divisione: 12 : 4 Digitiamo: 1

sul visore appare 3

in questo caso il risultato è un numero intero. Esecuzione di una divisione: 72 : 4 : 3 Digitiamo: 7

anche in questo caso il risultato è un numero intero. 64

sul visore appare 6

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Gli strumenti di calcolo, l’approssimazione, l’ordine di grandezza, la notazione esponenziale e standard

LEZIONE 4

Esecuzione di una divisione: 37 : 20 Digitiamo: 3

sul visore appare 1.85

in questo caso il risultato è un numero decimale limitato. Esecuzione di una divisione: 427 : 99 Digitiamo: 4

sul visore appare 4.313131313 — in questo caso il risultato è un numero decimale periodico, 4,31 Come puoi osservare, si possono eseguire addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni successivamente usando il tasto = una sola volta, ma, poiché la calcolatrice opera su due termini alla volta, si possono vedere i risultati parziali man mano che si opera. Quindi, se si vuole sapere il risultato di 18 + 35 o di 8 – 1 o 51 × 33 o 72 : 4 e poi continuare l’operazione, basta osservare cosa appare sul visore dopo aver battuto il secondo + o il secondo – o il secondo × o il secondo ÷ . Calcolo del quadrato di un numero: 32 Digitiamo: 3

sul visore appare 9

se il tasto x2 non fosse presente, si può procedere come segue:

sul visore appare 9

Il procedimento è analogo se il numero da elevare al quadrato è un numero decimale. Calcolo della radice quadrata di un numero: Digitiamo: 1

sul visore appare 4

Calcolo della radice quadrata di un numero decimale: Digitiamo: 3

35,07

sul visore appare 5.921992908

Calcolo del valore percentuale: 6% di 150 Digitiamo: 1

6 %

sul visore appare 9

Calcolo del valore percentuale: 3,5% di 150 Digitiamo: 1

5 %

sul visore appare 5.25

Calcolo del valore percentuale: 7% di 32,5 Digitiamo: 3

7 % 65

sul visore appare 2.275

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Verso altri linguaggi

SEZIONE B

Calcolo di un valore scontato di una percentuale Un paio di scarpe del costo di € 90 è scontato del 30%. Quanto costeranno le scarpe? Digitiamo: 9

–

0 %

sul visore appare 63

Calcolo di un valore maggiorato di una percentuale Pagando in ritardo una tassa, viene applicata una mora del 7%. Trova quanto si deve pagare in totale su una tassa di € 50. Digitiamo: 5

7 %

sul visore appare 53.5

Operazioni con i numeri relativi: –3 + 7 – 24 Per impostare i numeri negativi sul calcolatore basta premere il tasto +/– . Digitiamo: 3 +/– +

–

sul visore appare –20.

Eseguire una sequenza di operazioni Alcune calcolatrici, oltre ad eseguire tutte le operazioni precedentemente illustrate, sono in grado di eseguire più operazioni in sequenza, osservando le regole fondamentali di priorità algebrica (AOS = Algebric Operation Sequence, cioè la regola delle precedenze) stabilite dai matematici di tutto il mondo per eseguire una successione di operazioni. Siccome non tutte le calcolatrici operano seguendo le regole AOS, è necessario leggere sempre attentamente le istruzioni e verificare quale metodo operativo viene usato dalla macchina.

ESEMPIO

MACCHINA CHE OPERA SEGUENDO LE REGOLE AOS

MACCHINA CHE OPERA NON SEGUENDO LE REGOLE AOS

Dobbiamo eseguire 12 + 3 × 5 =

sul visore appare 27

= +

sul visore appare 27

Dobbiamo eseguire 21 – 50 : 5 =

–

sul visore appare 11

= M– CE 2

sul visore appare 11

Dobbiamo eseguire 7 – 32 + 2 =

–

3 x2 +

sul visore appare 0

–

= +/– +

sul visore appare 0

Dobbiamo eseguire 5 –

9×2=

sul visore appare –1

Dobbiamo eseguire –6 × 16 : 2 =

6 +/– ×

sul visore appare –12

sul visore appare –12 66

6 +/– =

+ MR =

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Gli strumenti di calcolo, l’approssimazione, l’ordine di grandezza, la notazione esponenziale e standard

LEZIONE 4

Risoluzione di un’espressione: (45 + 7) : 2 Per risolvere le espressioni può essere necessario servirsi del tasto che memorizza i dati anche per quelle calcolatrici che seguono le regole AOS. Digitiamo: 4

= ÷

sul visore appare 26

In questo caso non è necessario l’uso della memoria. Risoluzione di un’espressione: 24 : (6 + 2) Digitiamo: 6

= M+ CE 2

÷ MR =

sul visore appare 3

I tasti M+ M– si possono utilizzare anche nell’applicazione del teorema di Pitagora. ESEMPI

• I cateti di un triangolo rettangolo misurano 12 cm e 16 cm. Calcoliamo la misura dell’ipotenusa. Applicando il teorema di Pitagora, si ha misura dell’ipotenusa. La sequenza è:

2 x2 M+ 1

122 + 162 = 144 + 256 = 400 = 20 , che rappresenta la

6 x2 M+ MR

sul visore appare 20, che è la misura dell’ipotenusa. Se la calcolatrice non ha il tasto x2 il procedimento è il seguente:

= M+ 1

= M+ MR

sul visore appare 20, che è la misura dell’ipotenusa. • L’ipotenusa e un cateto di un triangolo rettangolo misurano rispettivamente 10 cm e 8 cm. Calcoliamo la misura dell’altro cateto. Applicando il teorema di Pitagora, si ha misura dell’altro cateto. La sequenza è:

102 − 82 = 100 − 64 = 36 = 6 , che rappresenta la

0 x2 M+ 8 x2 M– MR

sul visore appare 6, che è la misura dell’altro cateto. Se la calcolatrice non ha il tasto x2 il procedimento è il seguente:

= M+ 8

= M– MR

sul visore appare 6, che è la misura dell’ipotenusa. 67

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SEZIONE B

Analizziamo ora brevemente l’utilizzo di una calcolatrice scientifica.

SGRAUZTECH®

SGR64

3.141592654 ON /CE 1/x

OFF

sin

hyp FSE d /c

x2 –1

sin (

yx cos

–1

cos

2nd

tan–1

mPr

tan

nCr

10x

)

log

DEG

DGR

ab/c

°'"

+/–

EXP

DRG

←

–

M–

M+

Osservando la figura a fianco, si può subito notare che in una calcolatrice scientifica compaiono tutti i tasti di una normale calcolatrice e altri tasti con diciture doppie o triple, in quanto svolgono più funzioni. Un tasto importante è quello denotato con 2 : serve per passare alla funzione scritta in piccolo sopra a un tasto. Per esempio, il tasto y permette di calcolare qualsiasi potenza di qualunque numero, mentre premendo 2 si può calcolare la radice di indice qualsiasi di qualunque numero.

Le calcolatrici scientifiche si presentano in diversi modelli ed eseguono varie operazioni; noi ci limiteremo ad illustrare i tasti più importanti: 2nd

tasto che permette di calcolare l’inverso di una funzione;

1/x

tasto che permette di calcolare il quadrato di un numero;

tasto che permette di calcolare la radice quadrata di un numero; x

sin–1

cos–1

tan–1

sin cos tan

10x

log

tasto che permette di calcolare qualsiasi potenza di qualunque numero; tasti che permettono di calcolare il valore delle funzioni trigonometriche di un angolo (seno, coseno, tangente). tasto che permette di calcolare il logaritmo decimale di un numero;

tasto che permette di calcolare il logaritmo naturale di un numero;

EXP

tasto che permette di scrivere un numero in notazione esponenziale;

d /c

ab/c

tasto che permette di operare con le frazioni. Per uno studente di scuola secondaria di primo grado non è necessario l’uso di una calcolatrice scientifica: di seguito troverai degli esempi per l’uso di alcuni tasti. In ogni caso, prima di usare una calcolatrice, è bene leggere attentamente le istruzioni d’uso. 68

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Gli strumenti di calcolo, l’approssimazione, l’ordine di grandezza, la notazione esponenziale e standard

LEZIONE 4

Esecuzione del quadrato di un numero: 242 Digitiamo:

4 x2

sul visore appare 576

Esecuzione della radice quadrata di un numero:

1024

Digitiamo:

sul visore appare 32

Esecuzione della potenza di un numero: 35 Digitiamo:

3 yx 5

sul visore appare 243

Esecuzione della radice di un numero:

128

Digitiamo:

8 2ND yx 7

sul visore appare 2

A questo punto non dovresti avere più dubbi sull’uso della calcolatrice tascabile, ma, proprio perché non ci sono più misteri e sei sicuro del mezzo, riteniamo doveroso darti un piccolo consiglio. La macchina, eseguendo calcoli complicati in breve tempo, è un ottimo aiuto, ma ricorda che è pur sempre uno strumento privo di capacità critica e pertanto devi sempre farne un uso ragionato. Non dimenticare che anche la calcolatrice può sbagliare, per esempio quando le pile si stanno scaricando, o quando si pigia erroneamente un tasto; perciò bisogna sempre osservare il risultato ottenuto e valutarlo. Per fare ciò, è necessario avere una buona padronanza dei calcoli scritti e degli ordini di grandezza. Non bisogna, insomma, essere schiavi della calcolatrice e tantomeno fidarsi ciecamente della macchina: se eseguendo 12 × 71 ottieni 1 200 000 qualche cosa non va! Ti conviene ripetere l’operazione.

STOPANDGO

Risolvi le seguenti espressioni utilizzando solo la calcolatrice tascabile. 1

567 – 235 – 189 + 326 – 25 + 38 – 195 – – 174 – 93 = [20]

2 + (13 – 7) – (15 – 13) =

15 – (18 : 3) : 2 + 5 =

8+2·6–4·5=

[0]

25 + 2 ⋅ 9 – 2 ⋅ 4

[3]

(32 + 4) : 4 + 23 – 5 =

[6] [17]

[27]

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Verso altri linguaggi

SEZIONE B

Risolvi i seguenti problemi sul teorema di Pitagora utilizzando la calcolatrice. 7

Calcola la misura dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo i cui cateti misurano rispettivamente 27 cm e 36 cm. [45 cm]

Calcola il perimetro di un triangolo rettangolo i cui cateti misurano rispettivamente 15 cm e 36 cm.

10 Calcola il perimetro di un triangolo rettangolo in cui l’area è di 96 cm2 e il cateto minore misura 12 cm. [48 cm]

[90 cm]

Calcola l’area di un triangolo rettangolo in cui l’ipotenusa e il cateto maggiore misurano rispettivamente 41 cm e 40 cm. [180 cm2]

2 L’approssimazione e l’arrotondamento Quando eseguiamo una divisione non esatta potremmo trovarci nelle condizioni di avere un risultato con molte cifre decimali e, anche se abbiamo eseguito i conti con la calcolatrice, non è conveniente riportare tutte le cifre decimali, anche perché abbiamo visto che comunque la calcolatrice non sempre è in grado di riportare sul visore tutte le cifre decimali del quoziente. Nella stessa situazione ci ritroviamo quando estraiamo la radice quadrata di un numero che non sia un quadrato perfetto. È dunque necessario operare una scelta fondamentale: decidere quante cifre decimali tenere in considerazione per proseguire nei calcoli; “eliminare” un certo numero di cifre, però, significa perdere in precisione, e quindi dobbiamo cercare di utilizzare numeri “comodi” senza allontanarci troppo dal risultato preciso: per questo motivo dobbiamo imparare ad approssimare. MODI DI DIRE

Approssimare significa avvicinarsi.

L’approssimazione può essere effettuata per difetto o per eccesso. DEFINIZIONE

Approssimare per difetto significa avvicinarsi rimanendo più piccoli del valore da approssimare. Approssimare per eccesso significa avvicinarsi diventando più grandi del valore da approssimare.

Consideriamo il numero decimale 7,367321 (non importa se è il risultato di una divisione o dell’estrazione di una radice); possiamo scrivere che: 7,367320 < 7,367321 < 7,367330 Il valore 7,36732 si dice approssimato per difetto a meno di un centimillesimo; il valore 7,36733 si dice approssimato per eccesso a meno di un centimillesimo. Considerando 7,36732 possiamo scrivere che: 7,36730 < 7,36732 < 7,36740 Il valore 7,3673 si dice approssimato per difetto a meno di un decimillesimo; il valore 7,3674 si dice approssimato per eccesso a meno di un decimillesimo. 70

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Gli strumenti di calcolo, l’approssimazione, l’ordine di grandezza, la notazione esponenziale e standard

LEZIONE 4

Considerando 7,3673 possiamo scrivere che: 7,3670 < 7,3673 < 7,3680 Il valore 7,367 si dice approssimato per difetto a meno di un millesimo; il valore 7,368 si dice approssimato per eccesso a meno di un millesimo. Considerando 7,367 possiamo scrivere che: 7,360 < 7,367 < 7,370 Il valore 7,36 si dice approssimato per difetto a meno di un centesimo; il valore 7,37 si dice approssimato per eccesso a meno di un centesimo. Considerando 7,36 possiamo scrivere che: 7,30 < 7,36 < 7,40 Il valore 7,3 si dice approssimato per difetto a meno di un decimo; il valore 7,4 si dice approssimato per eccesso a meno di un decimo. Considerando 7,3 possiamo scrivere che: 7 < 7,3 < 8 Il valore 7 si dice approssimato per difetto a meno di un’unità; il valore 8 si dice approssimato per eccesso a meno di un’unità. Riepiloghiamo quanto detto in una tabella. 7,367321 approssimazione per difetto

approssimazione per eccesso

a meno di

1 100000

7,36732

7,36733

a meno di

1 10000

7,3673

7,3674

a meno di

1 1000

7,367

7,368

a meno di

1 100

7,36

7,37

a meno di

1 10

7,3

7,4

a meno di 1

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SEZIONE B

Osservando il numero di partenza e le successive approssimazioni, possiamo ricavare le seguenti regole pratiche. REGOLA PRATICA

Per approssimare un numero per difetto a meno di un’unità, a meno di un decimo, a meno di un centesimo, ecc., è sufficiente considerare quel numero fino alla cifra dell’ordine richiesto.

L’approssimazione per difetto prende anche il nome di troncamento, infatti il numero viene troncato (cioè tagliato via) dopo la cifra dell’ordine considerato.

ESEMPIO

13,592564

approssimazione per difetto

REGOLA PRATICA

{

a meno di un centesimo = 13,59 a meno di un centimillesimo = 13,59256 a meno di un’unità =13

Per approssimare un numero per eccesso a meno di un’unità, a meno di un decimo, a meno di un centesimo, ecc., è sufficiente aumentare di un’unità l’ultima cifra della corrispondente approssimazione per difetto.

ESEMPIO

Dato il numero 42,6183, calcoliamo le sue approssimazioni per difetto e per eccesso. Approssimazione

Per difetto

Per eccesso

a meno di

1 1000

42,618

42,619

a meno di

1 100

42,61

42,62

a meno di

1 10

42,6

42,7

a meno di 1

Quando si esegue un’approssimazione, si eliminano una o più cifre decimali e quindi si perde in precisione. Per limitare al massimo questa perdita di precisione, in alcuni casi è preferibile approssimare per difetto e in altri approssimare per eccesso, proprio per avvicinarsi il più possibile al numero di partenza. Questo tipo di approssimazione “meditata” prende il nome di arrotondamento. MODI DI DIRE

Arrotondare significa approssimare per difetto o per eccesso in modo da conservare la maggior precisione possibile.

Vediamo, con un esempio, come eseguire l’arrotondamento.

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LEZIONE 4

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Gli strumenti di calcolo, l’approssimazione, l’ordine di grandezza, la notazione esponenziale e standard

Consideriamo il numero 25,41637; possiamo dire che: 25,41630 < 25,41637 < 25,41640 L’approssimazione per difetto è 25,4163; L’approssimazione per eccesso è 25,4164. Il numero di partenza 25,41637 è più vicino a 25,41640 che non a 25,41630, perciò il suo arrotondamento coincide con il valore approssimato per eccesso, cioè 25,4164. Proponiamoci di arrotondare il nostro numero a meno di un millesimo: l’approssimazione per difetto è 25,416; l’approssimazione per eccesso è 25,417. Arrotondamento = 25,416. L’arrotondamento è coinciso con l’approssimazione per difetto, perché è il valore più vicino al reale. Nella pratica, per decidere se scegliere l’approssimazione per difetto o per eccesso si segue la seguente regola pratica: REGOLA PRATICA

Per arrotondare un numero a meno di un’unità, a meno di un decimo, a meno di un centesimo, ecc., si guarda la cifra successiva all’ordine considerato: se questa è 0, 1, 2, 3, 4, si approssima per difetto, se invece è 5, 6, 7, 8, 9 si approssima per eccesso.

ESEMPIO

Arrotondiamo i seguenti numeri a meno di un millesimo. Numero Approssimazione per difetto Approssimazione per eccesso 0,45721 0,457 0,458 23,782689 23,782 23,783 4,896534 4,896 4,897 51,124383 51,124 51,125

STOPANDGO

Approssima per difetto a meno di un centesimo i seguenti numeri. 9,45332 25,65599 12,3964756 87,43322

Approssima per difetto a meno di un millesimo i seguenti numeri. 2,34867 34,57322 987,3452 0,38465

Approssima per eccesso a meno di un decimo i seguenti numeri. 4,563 92,395 24,593 32,485765

Approssima per eccesso a meno di un centesimo i seguenti numeri. 7,4856 243,58744 58,4398 0,38576

Arrotondamento 0,457 23,783 4,897 51,124

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SEZIONE B

Arrotonda a meno di un millesimo i seguenti numeri. 1,65993 76,54333 124,53333 3,29237

Completa la seguente tabella. Ordine di approssimazione 1 — 100 1 — 10 1 ––– 1000 1 — 100 1 ––––– 10000 1 — 10

Numero

Approssimazione per difetto

Approssimazione per eccesso

Arrotondamento

37,5432 5,786 98,76219 0,2782 9,389763 11,1726

3 L’ordine di grandezza di un numero Ogni numero intero è sempre compreso tra due potenze di 10, per esempio: 10 < 38 < 100 100 < 756 < 1000 1000 < 4923 < 10000

cioè cioè cioè

101 < 38 < 102 102 < 756 < 103 103 < 4923 < 104

Consideriamo la potenza di 10 più vicina al numero dato. DEFINIZIONE

Si definisce ordine di grandezza di un numero la potenza di 10 più vicina al numero stesso.

Dai nostri esempi deduciamo quindi che, essendo 38 più vicino a 101 che non a 102, l’ordine di grandezza di 38 è 101. Con analogo ragionamento, l’ordine di grandezza di 756 è 103 e l’ordine di grandezza di 4923 è 103. Nella pratica è spesso più utile conoscere l’ordine di grandezza di un numero piuttosto che il numero preciso, specialmente se si tratta di numeri particolarmente grandi. ESEMPI

• La distanza media tra la Terra e la Luna è di 348360 km, quindi l’ordine di grandezza della distanza Terra–Luna è 105. • La distanza media tra la Terra e il Sole è di 149500000 km, quindi l’ordine di grandezza della distanza Terra–Sole è 108. • La distanza tra Milano e Napoli è di 810 km, quindi l’ordine di grandezza della distanza Milano–Napoli è 103.

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Gli strumenti di calcolo, l’approssimazione, l’ordine di grandezza, la notazione esponenziale e standard

LEZIONE 4

STOPANDGO

Completa la seguente tabella. Numero

Potenze di 10 fra cui è compreso

1587 872 163442 47899 18222 8955 2

1000 < 1587 < 10000

Ordine di grandezza 4

10 < 1587 < 10

103

Indica l’ordine di grandezza dei seguenti numeri. 38465 8765 645920

4 La notazione esponenziale di un numero Sempre parlando di numeri molto grandi, è spesso utile utilizzare una particolare scrittura che permetta di “risparmiare tempo e spazio”. Consideriamo il numero 1600000: possiamo pensarlo come prodotto di 16 · 100000, che equivale a 16 · 105 : questa scrittura prende il nome di notazione esponenziale del numero. REGOLA PRATICA

Per scrivere un numero con la notazione esponenziale si scrive la parte del numero fino all’ultima cifra non nulla e la si moltiplica per la potenza di 10 avente come esponente il numero pari alla quantità di zeri che seguono tale cifra nel numero dato.

ESEMPI

⇒ 265 000 ⇒ 106 700 8 090 000 000 ⇒

265 · 103 1067 · 102 809 · 107

■ La notazione scientifica o notazione standard di un numero

Un numero scritto in notazione scientifica, o notazione standard, è un numero espresso come prodotto di un numero compreso tra 1 e 10 per un’opportuna potenza di 10. REGOLA PRATICA

Per scrivere un numero maggiore di 1 in notazione scientifica si sposta la virgola dopo la prima cifra e si moltiplica per la potenza di 10 con esponente uguale al numero di posti saltati dalla virgola e di segno positivo.

ESEMPI

34 200 63 894 000 847 634

⇒ ⇒ ⇒

3,42 · 104 6,3894 · 107 8,47634 · 105 75

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SEZIONE B

Come puoi vedere, la notazione scientifica o notazione standard di un numero è un particolare tipo di notazione esponenziale. La notazione scientifica torna utile anche quando si devono esprimere numeri particolarmente piccoli. Consideriamo il numero 0,000034: possiamo pensarlo come quoziente di 3,4 : 100 000 1

o anche 3,4 · 1001000 , che equivale a 3,4 · 105 , ma la frazione può essere scritta come potenza ad esponente negativo, cioè 10–5, quindi il nostro numero può essere scritto 3,4 · 10–5, che corrisponde alla notazione scientifica di 0,000034. Per scrivere un numero compreso tra 0 e 1 con la notazione scientifica, possiamo seguire la seguente regola pratica. REGOLA PRATICA

Per scrivere un numero minore di 1 con la notazione scientifica si sposta la virgola dopo la prima cifra non nulla e si moltiplica per la potenza di 10 con esponente uguale al numero di posti saltati dalla virgola e di segno negativo.

ESEMPI

0,00267 0,00000051 0,00009812

⇒ ⇒ ⇒

2,67 · 10–3 5,1 · 10–7 9,812 · 10–5

STOPANDGO

Indica se i seguenti numeri sono scritti con notazione esponenziale E o con notazione standard S . 54 · 103 E S 4,5 · 108 E S 2 653 · 10 E S 324 · 107 E S 5 2,78 · 10 E S 97 · 102 E S 6 1,897 · 10 E S 1,4352 · 109 E S

Scrivi con notazione esponenziale i seguenti numeri. 12 500 87 000 000 2 324 000 2 000 000 54 300 9 370 000

Scrivi con notazione scientifica i seguenti numeri. 38 576 7 546 333 264 962 7 649 555 2749 374 536 495 800

980 500 000

342 000 7 600 000

3659 5 353 388

345 77 667

Completa la seguente tabella. Numero 35 867 000 5 729 000 000

Notazione esponenziale

Notazione scientifica

899 · 108 6 470 000 000 7,5 · 103 9 100 000 000 7,744 · 106 78 200 000 190 56 · 107

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Gli strumenti di calcolo, l’approssimazione, l’ordine di grandezza, la notazione 4 esponenziale e standard

LEZIONE

ESERCIZI Risolvi, con la calcolatrice tascabile, le seguenti espressioni. 1

Risolvi i seguenti problemi sul teorema di Pitagora utilizzando la calcolatrice tascabile (riporta le prime tre cifre decimali visualizzate).

1235 + 5764 + 8452 – 15 389 + 376 – 417 + 719 =

Calcola la lunghezza dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo in cui i cateti sono lunghi rispetti[26,925 cm] vamente 14 cm e 23 cm.

[6294]

148 726 – 98 574 – 34 879 –3427 + 54 768 – – 61 890 = [4724]

Calcola la lunghezza del cateto maggiore di un triangolo rettangolo in cui l’ipotenusa è lunga [40,890 cm] 49 cm e il cateto minore 27 cm.

Calcola la lunghezza del perimetro di un triangolo rettangolo in cui i cateti sono lunghi rispettivamente 35 cm e 45 cm. [137,008 cm]

Calcola la lunghezza del perimetro di un triangolo rettangolo in cui un cateto è lungo 40 cm e l’ipotenusa 64 cm. [153,959 cm]

In un triangolo rettangolo la somma dei cateti è di 72 cm e uno è doppio dell’altro; calcola la lunghezza del perimetro del triangolo. [125,665 cm]

In un triangolo rettangolo la somma dei cateti è di 98 cm e il maggiore supera il minore di 20 cm; calcola la lunghezza del perimetro del triangolo.

[740]

2372 – 1789 + 23 457 – 15 789 + 2398 – 4355 =

12 657 + 45 368 + 290 – 34 587 – 19 786 + 4321 = [8263]

3674 – 2976 + 467 – 1098 + 37 689 –28 465 – – 4531 = [4760]

35 + 17 · 7 – 102 + 24 =

[76]

47 + 105 : 3 – 51 =

[31]

27 + 16 · 23 – 15 · 13 - 53 · 2 =

[94]

45 · 5 – 208 : 4 + 23 – 128 =

[68]

[168,724 cm]

L’area di un triangolo rettangolo è di 270 cm2 e il cateto maggiore è lungo 45 cm; calcola la lunghezza dell’ipotenusa. [46,572 cm]

Calcola l’area di un triangolo rettangolo in cui l’ipotenusa è lunga 84 cm e il cateto maggiore 72 cm. [1557,598 cm2]

In un triangolo rettangolo l’ipotenusa e il cateto minore sono lunghi rispettivamente 89,044 cm e 48 cm; calcola la lunghezza del perimetro e l’area del triangolo. [212,042 cm; 1799,973 cm2]

In un triangolo rettangolo l’area è di 475 cm2 e il cateto minore è lungo 25 cm. Calcola la lunghezza del perimetro del triangolo. [108,486 cm]

87 + 75 · 3 – 12 – 288 : 6 – 720 : 8 - 81 · 2 = [0]

72 + 54 · 3 + 684 : 12 – 22 · 6 =

43 · 4 – 55 · 3 + 63 : 12 – 24 =

[136] [9]

3 – 169 + 4 · 18 – 220 : 5 =

[42]

(3 + 5 + 7) · 4 – (11 + 8) · 3 =

[3]

12 + (7 + 4) · 13 – 7 · 3 =

[8]

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SEZIONE B

Completa le seguenti tabelle sull’approssimazione. 26

Approssimazione

12,74523

3,22611

5,29874

0,19283

Per difetto Per eccesso

0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 27

Approssimazione

0,9273659

15,8111722

9,7199993

18,1928374

Per difetto Per eccesso

0,01 0,001 0,1 0,0001 1 0,000001 28

Approssima per difetto a meno di un centesimo i seguenti numeri. 3,784 78,112 0,222 9,943 12,298

Approssima per eccesso a meno di un decimo i seguenti numeri. 6,3487 2,7782 9,2622 5,2827 0,0237

Approssima per difetto a meno di un decimo i seguenti numeri. 12,677 87,221 5,788 16,379 3,556

Approssima per eccesso a meno di un millesimo i seguenti numeri. 7,7667 8,3343 12,3442 5,8992 0,4332

Approssima per difetto a meno di un millesimo i seguenti numeri. 1,1876 4,2789 5,8796 9,2424 6,6754

Approssima per eccesso a meno di un decimo i seguenti numeri. 12,3481 2,77449 3,3993 0,4176 5,7816

Approssima per difetto a meno di un decimillesimo i seguenti numeri. 0,03843 8,88888 2,39338 1,76398 3,22553

Approssima per eccesso a meno di un’unità i seguenti numeri. 64,567 98,320 0,542 9,298 2,591

Completa le seguenti tabelle sull’arrotondamento. 36

Appross.

2,922288 Difetto

Eccesso

0,291837 Arrotond.

Difetto

Eccesso

12,383347 Arrotond.

Difetto

Eccesso

Arrotond.

0,1 0,01 0,001 0,0001 37

Appross.

0,398273 Difetto

Eccesso

7,293771 Arrotond.

Difetto

0,001 0,01 0,0001 0,1

Eccesso

3,585235 Arrotond.

Difetto

Eccesso

Arrotond.

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Gli strumenti di calcolo, l’approssimazione, l’ordine di grandezza, la notazione esponenziale e standard

LEZIONE 4 ESERCIZI

Pagina 79

N° da arrotondare 2,8956543 32,454545 0,9113841 8,9999999 5,6281135

N° da arrotondare 0,4591223 3,9288342 7,4993318 2,5159525 19,458521

0,1

0,01

Approssimazione 0,001

0,0001

0,00001

0,000001

Approssimazione 0,1

0,0001

0,001

Arrotonda a meno di un decimo i seguenti numeri. 2,4857 89,1742 2,4598 0,1783

Arrotonda a meno di un’unità i seguenti numeri. 32,749 0,253 2,283 27,119

Arrotonda a meno di un millesimo i seguenti numeri. 0,03498 7,38382 9,29785 3,88225

Arrotonda a meno di un centesimo i seguenti numeri. 3,77689 0,02389 1,19375 17,17171

Completa le seguenti tabelle indicando l’ordine di grandezza dei numeri dati. 44

Numero 7823 23 789 624 278 865 45 698 3690

Potenze di 10 fra cui è compreso

Ordine di grandezza

Numero 38 473 983 744 874 299 112 11 732 3 322 229 5 493 929 402

Potenze di 10 fra cui è compreso

Ordine di grandezza

Indica l’ordine di grandezza dei seguenti numeri. 46

664 477 17 282 975 239 378 562

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

……………… ……………… ……………… ……………… ………………

2 675 449 876 7 659 877 767 945 546 565 356 675 342 85 534 322

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

……………… ……………… ……………… ……………… ………………

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SEZIONE B

Scrivi in notazione esponenziale i seguenti numeri. 48

374 000 98 000 000 12 000 000 6 459 800 76 880 000 34 000 000 000

= = = = = =

......................... ......................... ......................... ......................... ......................... .........................

6 000 000 543 000 745 600 000 23 000 000 000 800 000 000 000 34 120 000

= = = = = =

......................... ......................... ......................... ......................... ......................... .........................

Scrivi per esteso i seguenti numeri dati in forma esponenziale. 50

12 · 102 354 · 104 45 · 105 6745 · 105 8 · 107 38 · 109

= = = = = =

......................... ......................... ......................... ......................... ......................... .........................

2 · 104 34 · 107 895 · 103 587 · 106 43 · 105 4 · 108

= = = = = =

......................... ......................... ......................... ......................... ......................... .........................

Scrivi per esteso i seguenti numeri dati in notazione standard. 55

1,78 · 103 3,37 · 102 4,5 · 104 6,56 · 106 6,79 · 105 3,46 · 108

= = = = = =

......................... ......................... ......................... ......................... ......................... .........................

2,5 · 105 3,34 · 106 8,23 · 104 5,32 · 103 4,13 · 109 6,89 · 102

= = = = = =

......................... ......................... ......................... ......................... ......................... .........................

7,5 · 10–3 4,69 · 10–4 4,86 · 10–7 1,345 · 10–2 9,456 · 10–5 3,5796 · 10–6

= = = = = =

......................... ......................... ......................... ......................... ......................... .........................

Completa le seguenti tabelle relative alla notazione esponenziale e alla notazione scientifica. 58

Numero 576 770 000 348 000 000 4 543 000 67 540 127 600 000 5 640 000

Notazione esp. Notazione scient.

Numero

Notazione esp. Notazione scient. 76 · 104 345 · 102 1698 · 105 5 · 107 1387 · 103 36 578 · 106

Numero

Notazione esp. Notazione scient. 4,56 · 105 2,7 · 107 9,567 · 104 2,45 · 106 8,4 · 103 6,2345 · 108

Scrivi in notazione standard i seguenti numeri. 52

8743 9 567 000 189 256 743 289 76 000 34 700 000

= = = = = =

......................... ......................... ......................... ......................... ......................... .........................

6 870 000 578 500 732 487 000 2 777 666 000 8 467 600 3400

= = = = = =

......................... ......................... ......................... ......................... ......................... .........................

0,0087 0,00000000007 0,0000075 0,0000654 0,003 0,065

= = = = = =

......................... ......................... ......................... ......................... .........................

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LEZIONE

VERIFICA risultati a pag. 174 ABILITÀ

Risolvi i seguenti problemi sul teorema di Pitagora utilizzando la calcolatrice tascabile.

Risolvi, con la calcolatrice tascabile, le seguenti espressioni. 1

3458 + 16 739 + 36 543 – 56 487 – 176 =

32 · 7 – 21 · 4 + 102 – 24 =

35 + 24 · (13 – 8) · 7 – 24 · 7 =

142 + 37 · 3 – 304 : 19 – 17 · 5 =

82 + 576 − 15 ⋅ 5 =

Completa la seguente tabella sull’approssimazione. Approssimazione

In un triangolo rettangolo l’ipotenusa è lunga 55 cm e il cateto maggiore 44 cm. Calcola il perimetro e l’area del triangolo.

In un triangolo rettangolo la somma del cateto minore e dell’ipotenusa è di 100 cm e l’ipotenusa supera di 10 cm il quadruplo del cateto. Calcola il perimetro e l’area del triangolo.

34,78532

1,28226

0,98227

2,92761

Per difetto Per eccesso

0,01 0,0001 0,1 0,001 9

Completa la seguente tabella sull’arrotondamento. Appross.

0,76229 Difetto

Eccesso

8,22722 Arrotond.

Difetto

Eccesso

35,27539 Arrotond.

Difetto

Eccesso

0,1 0,001 0,01 0,0001 10

Indica l’ordine di grandezza dei seguenti numeri. a c

664 477 ⇒ ……………… 975 ⇒ ………………

b d

17 282 ⇒ ……………… 239 ⇒ ………………

Completa la seguente tabella relativa alla notazione esponenziale e alla notazione scientifica. Numero 65 390 000

Notazione esponenziale

Notazione scientifica

54 · 105 2,3987 · 107 7,534 · 104 769 · 103 92 735 000 000

Arrotond.

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LEZIONE

RECUPERO risultati a pag. 174 Risolvi, con la calcolatrice tascabile, le seguenti espressioni.

3648 + 2876 – 4976 – 347 =

45 · 6 - 31 · 3 + 235 – 356 =

18 + 36 · (143 – 124) – 26 · 11 =

92 + 16 · 7 – 19 · 5 =

Risolvi i seguenti problemi sul teorema di Pitagora utilizzando la calcolatrice tascabile. 5

In un triangolo rettangolo l’ipotenusa è lunga 65 cm e il cateto minore 32 cm. Calcola il perimetro del triangolo.

In un triangolo rettangolo l’ipotenusa e il cateto maggiore sono lunghi rispettivamente 52 cm e 48 cm. Calcola il perimetro e l’area del triangolo.

Completa le seguenti tabelle sull’approssimazione. 7

Approssimazione

2,4598

0,4532

3,6499

14,1183

Per difetto Per eccesso

0,1 0,01 0,001 8

Appross.

9,4537 Difetto

Eccesso

8,2725 Arrotond.

Difetto

Eccesso

0,9384 Arrotond.

Difetto

Eccesso

0,1 0,01 0,001 9

Completa la seguente tabella relativa all’ordine di grandezza di un numero. Numero 569 45 922 298 8456 874 403

Potenze di 10 fra cui è compreso

Ordine di grandezza

Completa la seguente tabella relativa alla notazione esponenziale e alla notazione scientifica. Numero 4 758 000 756 400 720 000 000 29 400 3 700 000

Notazione esponenziale

Notazione scientifica

Arrotond.

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LEZIONE

5 I grafici PREREQUISITI • Saper rappresentare i numeri sulla retta orientata • Saper eseguire le operazioni

CONTENUTI • Le rappresentazioni grafiche: - istogrammi - ideogrammi - areogrammi - diagrammi cartesiani

OBIETTIVI • Saper leggere un grafico • Saper rappresentare una situazione con il grafico adeguato

Tutte le volte che si studia un particolare fenomeno o problema, si compiono osservazioni, rilevazioni, calcoli a volte complicati e quindi di difﬁcile comprensione immediata. Le rappresentazioni graﬁche costituiscono il modo più semplice per descrivere la situazione, facendo capire rapidamente il problema con un solo “colpo d’occhio”. Le rappresentazioni che adesso prenderemo in esame sono: i diagrammi cartesiani, gli istogrammi, gli ideogrammi e gli areogrammi.

1 Diagrammi cartesiani Sono graﬁci molto adatti per rappresentare l’andamento di una grandezza che dipende da un’altra, come le ore del giorno e la temperatura, il guadagno di un’azienda e i mesi dell’anno, il consumo del petrolio e gli anni, cioè sono utili per rappresentare due grandezze legate da una relazione. Essi furono ideati da un matematico francese, Cartesio (1596-1650), dal quale presero il nome. Si tracciano due rette perpendicolari, una orizzontale, detta asse delle ascisse (x), e una verticale, detta asse delle ordinate (y), che si incontrano in un punto (O), detto origine, e poi si ﬁssa una unità di misura (u), che può essere il quadretto o 83

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SEZIONE B

il centimetro, la quale rappresenterà una quantità, da noi stabilita, della grandezza che stiamo rappresentando. Tale unità di misura deve essere sempre deﬁnita. A volte, per ottenere una rappresentazione migliore, è necessario usare unità di misura diverse per i due assi delle ascisse e delle ordinate. Il piano viene così diviso dalle due rette in quattro parti uguali, dette quadranti, che si susseguono in senso antiorario. y (ordinate)

2° quadrante

1° quadrante

O 3° quadrante

x (ascisse) 4° quadrante

Se ricordiamo ora quanto visto in precedenza, possiamo dire che a ogni punto dell’asse delle ascisse corrisponde un numero e ciascun numero ha una immagine geometrica sulla retta. Dato un punto P, possiamo tracciare le rette passanti per P e parallele ai due assi, che li intersecano nelle immagini di P sugli assi. A tali immagini corrispondono l’ascissa del punto P (quella sull’asse delle x) e l’ordinata del punto P (quella sull’asse delle y). Per rappresentare sul piano cartesiano un punto P di ascissa x e ordinata y, si tracciano le parallele agli assi partendo dalla ascissa e dalla ordinata di P; l’intersezione si dice immagine del punto P o rappresentazione cartesiana. I numeri che rappresentano l’ascissa e l’ordinata si chiamano coordinate cartesiane: il primo rappresenta sempre l’ascissa di P, il secondo l’ordinata. Per esempio, rappresentiamo il punto P = (2; 3). Fissiamo il quadrante, o piano cartesiano, e l’unità di misura u, poi prendiamo due quadretti sulle ascisse e tre sulle ordinate. Quindi P = (2; 3) si legge: punto P di coordinate 2 e 3. Si può scrivere anche nella forma P(2; 3). y

4 3 2 1

P(2; 3)

1 2 3 4 5 6

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I grafici

LEZIONE 5

Si può facilmente vedere, su un graﬁco cartesiano, che tutti i punti appartenenti all’asse delle ascisse hanno ordinata nulla e tutti i punti appartenenti all’asse delle ordinate hanno ascissa nulla. L’origine ha entrambe le coordinate nulle. y O = (0; 0) P = (x; 0) punto dell’asse x Q = (0; y) punto dell’asse y

4 3 2 1 O

1 2 3 4

Possiamo allargare il discorso ai quattro quadranti e operare in Z. y

+3 +2 +1 –3 –2 –1 –1

O +1 +2 +3

–2 –3

Possiamo ad esempio rappresentare il punto P(–2; 3) che si trova nel secondo quadrante. y

P(–2; 3) +3

•

–2

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SEZIONE B

ESEMPI

• Rappresentiamo sul piano cartesiano il poligono di vertici A(–4; –3), B(–4; 2), C(2; 2), D(2; –3) e troviamo la lunghezza del contorno. Fissiamo l’unità di misura (u = 1 quadretto) e rappresentiamo i vertici: u

–4

–3

Abbiamo ottenuto un rettangolo; contiamo i quadretti: 6 + 5 + 6 + 5 = 22 quadretti, cioè la misura del contorno.

• Nella tabella seguente è rappresentata la temperatura massima di una città nell’ultima settimana del mese di marzo. Data

Temperatura (°C)

Mettiamo la data sull’asse delle ascisse e la temperatura sull’asse delle ordinate. Osservando i valori delle temperature, notiamo che la minima è 10 °C e la massima è 19 °C; quindi prendiamo come unità di misura per le ordinate il quadretto, mentre, per una graﬁca migliore, prendiamo due quadretti come unità di misura per le ascisse. y ux

18 17 16 15 14 13 12 11 10

Come puoi vedere, non abbiamo messo sull’asse delle ordinate tutte le temperature a partire da 0 °C e sull’asse delle ascisse tutti i giorni del mese a partire dal 1° marzo, ma abbiamo “tagliato gli assi” per evitare di rendere il graﬁco troppo grande. 86

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I grafici

LEZIONE 5

STOPANDGO

Nella seguente tabella trovi il numero dei giorni di pioggia rilevati nell’anno 2009 in alcune città. Città

Milano

Londra

Roma

Parigi

Napoli

Atene

N°giorni

Rappresenta i dati con un diagramma cartesiano.

Rappresenta i seguenti punti sul piano cartesiano. A(–2; 3), B(–2; 5), C(5; 5), D(5; 3), E(3; 3), F(3; 2), G(0; 2), H(0; 3) Trova la misura del contorno del poligono ABCDEFGH.

Ricava dal grafico le coordinate dei vertici del poligono ABCDEF.

y A

u F

E O

A( B( C( D( E( F(

; ; ; ; ; ;

) ) ) ) ) )

x D

2 Istogrammi Gli istogrammi, o ortogrammi, sono grafici a colonne (o a strisce) che permettono di rappresentare, mediante rettangoli di uguale base ma di altezze diverse (o viceversa) i consumi, le produzioni, la natalità, ecc. Anche per questi grafici si deve fissare una unità di misura. ESEMPI

• Rappresentiamo con un istogramma l’altezza sul livello del mare di alcune città italiane.

L’Aquila Perugia Volterra Trento Bolzano

720 490 530 190 260

m m m m m

sul sul sul sul sul

livello livello livello livello livello

del del del del del

mare mare mare mare mare

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SEZIONE B

y 800 700

100 m

600 500 400 300 200 100

L’Aquila

Perugia

Volterra

Trento

Bolzano

• Rappresentiamo le lunghezze di alcuni ﬁumi con un ortogramma. Fiume

Lunghezza

652 km

Senna

776 km

100 km Reno Tamigi Senna

Tamigi

336 km

Reno

1326 km

Po 100

200

300

400

500

600

700

800

900 1000 1100 1200 1300 1400

STOPANDGO

Rappresenta con un istogramma le seguenti situazioni. 1

Da un’indagine nella città di Napoli effettuata tra le 9 e le 10 del mattino nella via Aldo Moro si è rilevato che sono transitati i seguenti mezzi:

Tipo

45 moto, 35 furgoni, 5 biciclette, 30 motocarri, 10 camion, 120 auto. 2

Nel 2009 la produzione di rifiuti in Svizzera è stata la seguente:

speciali tossici urbani

Quantità in milioni di t 3000 800 2500

Le distanze tra alcune città sono le seguenti: 4 Roma-Firenze Genova-Milano Venezia-Ferrara Roma-Napoli

280 145 115 220

km km km km

Il numero di figli di tre famiglie è il seguente: Famiglia Guanzi Sorpresi Bonzelli

Figli 3 1 5

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I grafici

LEZIONE 5

3 Ideogrammi Un altro metodo di rappresentazione graﬁca molto usato, soprattutto su quotidiani e giornali in genere, è l’ideogramma, poiché il disegno fornisce un’idea immediata di ciò che si rappresenta. Si prende un’immagine del prodotto da rappresentare e si assegna un valore numerico, cioè si indica l’unità di misura.

ESEMPI

• Nel 2008 la produzione del grano in alcuni paesi, che ne sono i principali produttori, è stata la seguente, in migliaia di tonnellate: USA

70 500

Cina

29 000

Russia

71 000

Francia

14 000

Italia

10 000

Poiché si parla di grano, risulta spontaneo utilizzare, come ideogramma, la spiga dati, rappresenterà 10 000 migliaia di tonnellate; quindi avremo:

che, visti i

USA Cina Russia Francia Italia

• Nella seguente tabella sono riportati i consumi bimestrali di energia elettrica, in chilowattora, di una azienda. Bimestre 1° 2° 3° 4° 5° 6° Consumo 6700 5500 4800 2500 4600 6000 Prendiamo come ideogramma la lampadina chilowattora: 1°

BIMESTRE

2°

BIMESTRE

3°

BIMESTRE

4°

BIMESTRE

5°

BIMESTRE

6°

BIMESTRE

, con la convenzione che equivalga a 1000

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SEZIONE B

NOTA

Da un ideogramma si può rilevare immediatamente l’andamento generico di un evento; i dati non sono esatti come quelli riportati dalla tabella ma approssimati, risulta infatti difficile nel disegno rappresentare quantità diverse dell’intero o dalla metà.

STOPANDGO

Rappresenta la seguenti situazioni con un ideogramma. 1

Il numero di visitatori di una pinacoteca, negli ultimi cinque anni, è stato il seguente. Anno 2005 2006 2007 2008 2009 N° visitatori 800 1100 900 1300 1500

La quantità di fragole prodotte da una azienda agricola specializzata, negli ultimi cinque anni, è stata la seguente. Anno kg prodotti

2005 35 000

2006 28 000

2007 30 000

2008 38 000

2009 40 000

Sono state intervistate sei famiglie sul consumo di tazzine di caffè in un mese e si sono ottenuti i seguenti dati. Famiglia Tazze di caffè

1 50

2 60

3 35

4 24

5 45

6 20

4 Areogrammi In un areogramma, detto anche diagramma circolare o diagramma a torta, si mette in evidenza come un totale venga diviso, in spicchi, tra le sue componenti. È molto usato nelle rilevazioni statistiche o quando si vogliono evidenziare i risultati delle elezioni politiche o le percentuali dei vari componenti di un oggetto, di una assemblea, ecc. Per costruire un areogramma bisogna trovare le ampiezze di ogni settore o spicchio. ESEMPI

• In Italia le superﬁci occupate dalle aziende agricole, ripartite secondo le diverse zone altimetriche, sono: 30% in montagna, 45% in collina e 25% in pianura. Rappresentiamo il totale delle superfici delle aziende agricole con un cerchio, che deve essere suddiviso in parti. L’intero cerchio corrisponde a 360°; quindi, dividendo il totale delle superfici, 30 + 45 + 25 = 100, per 360° troviamo a quanto corrisponde 1°. 100 : 360° ≅ 0,278 approssimato per eccesso Dividendo ora il numero che rappresenta ogni percentuale per 0,278, otteniamo l’ampiezza delle parti cercate. 90

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I grafici

LEZIONE 5

30 : 0,278 ≅ 108° 45 : 0,278 ≅ 162°

25 : 0,278 ≅ 90°

Disegnamo ora il cerchio, con raggio a piacere, e con il goniometro lo dividiamo nelle tre parti ampie rispettivamente 108°, 162° e 90°. pianura 25% collina 45% montagna 30%

• In un liceo, nel 2009, su 600 alunni 180 sono stati promossi a giugno, 55 respinti e il resto ha avuto almeno un debito. Promossi Respinti Debito

180 55 365

Totale

600

Procediamo come nell’esempio precedente. 600 : 360° ≅ 1,67 180 : 1,67 ≅ 108° 55 : 1,67 ≅ 33° 365 : 1,67 ≅ 219° Il grafico sarà: debito promossi

respinti NOTA

Poiché i risultati delle divisioni sono approssimati, il totale delle ampiezze delle parti in generale può non essere uguale a 360°.

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SEZIONE B

STOPANDGO

Una famiglia ha un’entrata mensile di € 2500; spende mensilmente € 800 per il vitto, € 950 per la casa, per l’abbigliamento € 300 e per spese varie € 450. Rappresenta i dati con un areogramma.

Da una indagine effettuata in una scuola secondaria, risulta che 350 ragazzi praticano come sport il calcio, 770 il basket, 200 altri sport e 180 nessuno sport. Rappresenta i dati con un grafico.

Nella seguente tabella sono riportati i dati relativi ai prodotti italiani maggiormente esportati. Prodotti

Quantità (t)

pasta

653 000

pomodori

190 000

parmigiano

115 000

olio d’oliva

139 000

Rappresenta i dati con un areogramma. STORIA&MATEMATICA

■ Cartesio

L’introduzione di un sistema di coordinate nel piano o nello spazio si deve a Cartesio: ecco perché si parla di sistema cartesiano ortogonale. Con Cartesio l’algebra e la geometria si fondono e danno luogo alla geometria analitica. Ma chi era Cartesio e quando visse? Il suo vero nome era René Descartes, nacque nel 1596 in Francia e morì a Stoccolma nel 1650. Di nobile famiglia, studiò dai gesuiti e, dopo aver conseguito il Baccalaureato, intraprese la carriera militare. Passò poi al servizio di Massimiliano di Baviera; dopo una crisi intellettuale lasciò l’esercito e si dedicò solo agli studi matematici che erano sempre stati la sua passione principale. Viaggiò molto, soprattutto in Italia, Francia, Olanda e Germania. Nel 1649 accolse finalmente l’invito della regina Cristina di Svezia, che da tempo lo voleva nelle sue Università perché aveva capito l’immenso genio di Cartesio. A Stoccolma rimase però pochi mesi,poiché morì di polmonite poco dopo il suo arrivo in Svezia. Descartes ebbe notevole importanza anche come filosofo. Con l’applicazione del metodo scientifico e del ragionamento matematico applicato alle più svariate discipline, Descartes contribuì più di ogni altro ad aprire le strade alla moderna scienza. Un’applicazione quotidiana della geometria analitica si può vedere negli Stati Uniti d’America. In tutte le città d’Europa, le strade urbane sono denominate con il nome di illustri personaggi o sono associate a date importanti della storia del paese: tutto ciò è molto bello, ma uno straniero che non conosce la lingua del paese fatica a trovare un indirizzo. Negli USA è sufficiente conoscere i numeri (sono un linguaggio universale) per arrivare a destinazione. Ad esempio, la città di New York è stata costruita con le strade che si intersecano tra di loro formando angoli retti. Le vie da Nord a Sud si chiamano Avenue, quelle da Ovest a Est si dicono Street. I due differenti vocaboli indicano uno le ascisse e l’altro le ordinate del reticolo cartesiano corrispondente alle vie della città. La numerazione ha origine da una via centrale, Broadway, che non ha numero poiché è l’ordinata zero ed è l’unica via indicata con un nome. Un turista, per raggiungere la sua méta partendo da Broadway, deve semplicemente seguire la numerazione della strade. 92

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LEZIONE

5 I grafici ESERCIZI Su un sistema cartesiano ortogonale rappresenta i seguenti punti, dopo aver ﬁssato una opportuna unità di misura. 1

A(0; 4), B(5; 3), C(3; 12), D(4; 0)

M 4; 4

(3 1 )

(

P 0; 5 3

(

N 3; 2

A(3; 2 000 000) B(1; 1 500 000) C(3; 4 000 000)

A(150; 150 000) B(200; 250 000) C(75; 100 000)

)

(3 3)

)

Rappresenta, dopo aver assunto le opportune unità di misura, i seguenti punti su un piano cartesiano.

Q 2; 2

Veriﬁca che i seguenti punti sono allineati. A(1; 0), B(4; 3), C(2; 1), D(3; 2) Trova le coordinate dei punti dati sul piano cartesiano.

u B

A(.....; .....) B(.....; .....) C(.....; .....) D(.....; .....)

A O

y u C A(.....; .....) B(.....; .....) C(.....; .....) D(.....; .....)

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SEZIONE B

1u 2 A(.....; .....) B(.....; .....) C(.....; .....) D(.....; .....)

A(.....; .....) B(.....; .....) C(.....; .....) D(.....; .....)

u y

A(.....; .....) B(.....; .....) C(.....; .....) D(.....; .....) E(.....; .....) F(.....; .....) G(.....; .....) H(.....; .....)

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I grafici

LEZIONE 5 ESERCIZI

Congiungi ABCDEFGHILMNKPQRSTA, poi AXY, poi TVZ, poi LW e inﬁne A’, B’, C’, D’. A(8; 4) G(4; 9) K(3; 9) V(5; 2) A’(5; 7)

B(11; 7) H(4; 11) P(2; 7) Z(4; 2) B’(5; 6)

C(9; 7) I(3; 12) Q(2; 6) W(2; 11) C’(6; 5)

D(7; 8) L(2; 12) R(3; 5) X(7; 2) D’(9; 6)

E(5; 8) M(0; 11) S(4; 5) Y(6; 2)

u y

F(3; 7) N(3; 11) T(6; 4)

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SEZIONE B

Rappresenta sul piano cartesiano i seguenti punti, usando come unitĂ di misura due quadretti. A(6; 11) G(5; 3) S(6; 9)

B(6; 7) H(7; 3) P(8; 11)

C(5; 8) I(9; 5) Q(10; 10)

D(4; 8) L(9; 7) R(8; 9)

E(3; 7) M(8; 8)

Congiungi ora ABCDEFGHILMNB e SPQRS.

u y

F(3; 5) N(7; 8)

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I grafici

LEZIONE 5 ESERCIZI

Rappresenta sul piano cartesiano i seguenti punti, usando come unità di misura due quadretti. A(8; 2) F(4; 1) M(7; 4) R(6; 7)

B(8; 3) G(7; 1) N(6; 3) S(6; 4)

C(9; 3) H(5; 2) V(6; 2) T(5,5; 8)

D(9; 2) I(5; 3) P(5; 4) U(5,5; 7)

E(3; 2) L(4; 4) Q(5; 7)

Congiungi ora ABCDEFGA, poi HILMNV, poi PQRS e inﬁne TU. Otterrai, così, un oggetto molto utile in circostanze particolari nelle quali tutti ci siamo trovati.

u y

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Verso altri linguaggi

SEZIONE B

Rappresenta sul piano cartesiano i punti che seguono, poi unisci ABC, DEFGHI, LMN, TP, QRS e inďŹ ne SA'B'C'D'E'F'G'H'I'L'M'N'O'P'Q'R'S'S. Metti un punto nero in (12,5; 6) e annerisci il punto L'. A(6; 3) B(2; 3) C(2; 8) D(3; 3) E(3; 7) F(4; 8) G(6; 8) H(7; 7)

I(7; 6) L(1; 7) M(5; 12) N(9; 7) T(8; 8) P(8; 6) Q(8; 3,5) R(8; 3)

S(7; 3) A'(7; 2) B'(6; 2) C'(6; 5) D'(5; 6) E'(5; 7) F'(7; 6) G'(10; 6)

H'(12; 7) I'(13; 7) L'(14; 6) M'(13,5; 4,5) N'(13; 5) O'(12; 5) P'(11; 4) Q'(11; 2) R'(10; 2) S'(10; 4)

u y

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I grafici

LEZIONE 5 ESERCIZI

Rappresenta sul piano cartesiano i seguenti punti e poi unisci ABCDEFGHILMND, SP, QR e metti un punto nero in (6; 4,5) e in (7; 4). A(0; 1) E(7; 4) I(5; 5) S(2; 5)

B(1; 2) F(6; 5) L(4; 6) P(3; 4)

C(0; 3) G(6; 6) M(2; 6) Q(4; 5)

D(1; 4) H(5; 6) N(1; 5) R(5; 4)

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SEZIONE B

Rappresenta sul piano cartesiano i seguenti punti e poi unisci ABCDEFGHILMNK, PQR, SN; unisci con una curva KAP e RS. Unisci inďŹ ne NTUN e NVZN. A(13; 9) E(16; 7) I(17; 11) K(14; 10) S(13,5; 10,5)

B(17; 9) F(18; 8) L(16; 12) P(12; 10) T(12; 12)

C(17; 8) G(18; 9) M(15; 12) Q(12; 11) U(13; 13)

D(15; 7) H(17; 10) N(14; 11) R(12,5; 10,5) V(14; 13) Z(15; 13)

100

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I grafici

LEZIONE 5 ESERCIZI

Rappresenta su un piano cartesiano i punti A, B, C, D, congiungili in ordine alfabetico e veriﬁca che si tratta di un trapezio rettangolo.

A(1; 2) B(6; 2) C(4; 6) D(1; 6)

Congiungi in ordine alfabetico i seguenti punti dopo averli rappresentati sugli assi cartesiani (unità di misura: 1 quadretto = 2 m2).

2 m2

A(5; 1) B(7; 1) C(7; 5) D(5; 5) E(5; 7) F(2; 7) G(2; 3) H(5; 3)

La ﬁgura ottenuta rappresenta la pianta di un ufﬁcio, che si vuole rimodernare posando della moquette che costa € 37,50 al m2. Quale sarà la spesa totale se la posa in opera costerà € 125? [€ 1625]

Rappresenta sul piano cartesiano xOy i punti A(6; 0), B(3; 2), C(6; 4), D(9; 2). Congiungili in ordine alfabetico e trova l’area del poligono ottenuto. Rappresenta sul piano cartesiano xOy i punti A(3; 0), B(8; 0), C(8; 4), D(3; 4). Congiungili in ordine alfabetico e trova il perimetro e l’area del poligono ottenuto.

101

[12]

[18; 20]

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SEZIONE B

Rappresenta sul piano cartesiano xOy i seguenti punti e poi congiungili in ordine alfabetico: cosa ottieni? 21

Il parallelogramma ABCD ha la base AB coincidente con l’asse delle ascisse. Sapendo che D(4; 4), A(0; 0) e C(8; 4), trova le coordinate del punto B. [B(4; 0)]

A(1; 3), B(5; 8), C(7; 4), D(12; 5) [spezzata]

A(2; 3), B(8; 3), C(5; 7)

Di un trapezio rettangolo ABCD si conoscono i vertici A(0; 2), B(0; 7), C(5; 11). Trova le coordinate di D.

[triangolo isoscele]

A(0; 0), B(5; 0), C(5; 5), D(0; 5)

[D(5; 2)]

35 [quadrato]

A(3; 0), B(3; 4), C(13; 4), D(13; 0)

Sono dati due punti A(6; 2) e B(8; 2). Costruisci su AB un rettangolo ABCD di altezza pari a 5 unità di misura e trova le coordinate di C e D. [C(8; 7) D(6; 7)]

[rettangolo]

36 25

A(3; 1), B(5; 2), C(3; 3), D(1; 2) [rombo]

[D(1; 2)]

I punti A(4; 1), B(8; 3), C(4; 5) sono tre vertici consecutivi di un rombo. Ricava sul grafico le coordinate del quarto vertice D. [D(0; 3)] Rappresenta sul piano cartesiano i punti A(4; 1), B(6; 5), C(1; 3), D(9; 3). Congiungi A con B e C con D e verifica che si ottengono due segmenti incidenti in un punto P. Ricava dal grafico le sue coordinate. [P(5; 3)] È dato il rettangolo di vertici A(8; 1), B(8; 5), C(2; 5), D(2; 1). Trova le coordinate del punto P di intersezione delle diagonali. [P(5; 3)]

I punti A(8; 3), B(8; 8), C(3; 8) rappresentano i tre vertici di un quadrato ABCD. Trova le coordinate del punto D. [D(3; 3)]

È dato un rettangolo di vertici A(3; 0), B(3; 4), C(13; 4), D(13; 0). Trova le coordinate del punto P di intersezione delle diagonali. [P(8; 2)]

Trova le coordinate del vertice A che forma un rombo con i punti B(11; 4), C(6; 6), D(1; 4). [A(6; 2)]

A(3; 1), B(5; 2) e C(3; 3) sono i tre vertici consecutivi di un rombo. Calcola le coordinate del quarto vertice D.

È dato il trapezio isoscele ABCD. Sapendo che la base maggiore è AB e che A(3; 2), B(10; 2), che l’altezza è di 3 unità di misura e che la base minore CD è di 5 unità di misura, trova le coordinate di C e D. [C(9; 5) D(4; 5)]

102

Nel triangolo rettangolo ABC sono dati B(2; 1) e C(0; 3). Trova le coordinate del punto A, vertice dell’angolo retto situato sull’asse delle ordinate. [A(0; 1)]

Del triangolo isoscele ABC, di base AC, si conoscono le coordinate dei punti A(2; 1) e C(6; 1). Trova le coordinate del vertice B, sapendo che l’altezza è pari a 5 unità di misura. [B(4; 6)]

Rappresenta graﬁcamente, secondo i dati della seguente tabella, l’allungamento subito da una molla rispetto ai pesi applicati.

Allungamento (cm)

Pesi (g)

1,5

4,5

7,5

10,5

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I grafici

LEZIONE 5 ESERCIZI

Una concessionaria di auto ha venduto in ogni bimestre le seguenti quantità di auto: Periodo

N° auto

Mese

N° visitatori

gennaio-febbraio

gennaio

1800

marzo-aprile

febbraio

650

maggio-giugno

marzo

700

luglio-agosto

aprile

1200

settembre-ottobre

maggio

1500

novembre-dicembre

giugno

2000

Rappresenta i dati graﬁcamente. 41

Rappresenta i dati graﬁcamente. 43

Il signor Rossi ha registrato con il suo barometro nella giornata del 10 marzo dello scorso anno, a ore diverse, la pressione atmosferica e ha riportato i seguenti valori: Ora

Pressione (mmHg)

760

765

758

768

775

760

La popolazione scolastica di una scuola ha subito negli anni 1999-2009 i seguenti incrementi annuali: Anno 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009

Rappresenta i dati graﬁcamente.

In un museo, nei primi sei mesi dell’anno 2009, si sono registrati i seguenti dati:

Incrementi popolazione scolastica 30 35 24 41 22 20 19 24 31 18 15

Rappresenta i dati graﬁcamente.

Rappresenta graficamente, secondo i dati della tabella, la temperatura di un paziente nell’arco di una giornata. Ora

Temperatura in °C

36,5

37,5

36,7

Rappresenta graficamente l’andamento delle nascite registrate in una città lombarda negli anni 2004-2008, i cui dati sono forniti dalla seguente tabella. Anno

2004

2005

2006

2007

2008

Nascite

160

148

190

210

150

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Verso altri linguaggi

SEZIONE B

Rappresenta graficamente secondo i dati della tabella le temperature massime registrate in una città italiana negli ultimi 7 giorni del mese di maggio. Giorno

Temperatura in °C

Il grafico rappresenta la quantità di merce venduta da una ditta nel corso di un anno: osserva e completa la tabella seguente, indicando la quantità di merce venduta per ogni mese.

merce (t)

100 95 90 85 80 75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5

mese

G F M A M G L A S O N D E E A P A I U G E T O I N B R R G U G O T T V C

Mese

gen

feb

Quantità (t)

mar

apr

mag

giu

lug

ago

set

ott

nov 60

La vendita maggiore è stata registrata nel mese di ……………… La vendita minore è stata registrata nel mese di ……………… c Ci sono mesi in cui si è venduta la stessa quantità di merce? ………………

104

dic

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I grafici

LEZIONE 5 ESERCIZI

Rappresenta graficamente, secondo i dati della tabella, la temperatura di un paziente nell’arco di una giornata e completa le frasi. Ora

Temperatura in °C

37,5

38,2

38,5

39,5

39,8

38,2

37,5

37,2

La temperatura più alta è ……………… Tra le 6 e le 12 tende a ……………… c Tra le 12 e le 16 tende a ……………… d Tra le 16 e le 22 tende a ……………… a

Rappresenta con un istogramma le altitudini dei seguenti monti, dopo aver assunto un’opportuna unità di misura. Monte

Altitudine

Nella tabella seguente sono registrati i dati relativi agli alunni che frequentano le scuole superiori in una città italiana. Rappresenta i dati con un istogramma.

Monte Rosa

4633 m

Istituto

Ararat

5165 m

Liceo classico

100

8612 m

Liceo scientifico

459

Everest

8848 m

Istituto commerciale

358

Istituto tecnico

300

Liceo linguistico

150

Istituti professionali

257

Rappresenta con un istogramma le seguenti distanze stradali. Percorso

N° alunni

Distanza (km)

Milano-Firenze

320 km

Milano-Como

50 km

Milano-Roma

580 km

Milano-Napoli

770 km

Milano-Verona

165 km

Milano-Genova

145 km

Nella seguente tabella sono riportati i dati relativi alle velocità massime raggiunte dagli alunni di una scuola in alcuni sport. Rappresenta i dati con un istogramma. Velocità (km/h)

nuoto

equitazione

pattinaggio

atletica

ciclismo

Anno

N° decessi

1985

1986

268

1987

563

1988

857

1989

1407

1990

1947

Rappresenta i dati con un istogramma. 54

Sport

La seguente tabella riporta il numero di decessi per AIDS, in Italia, negli anni dal 1985 al 1990.

Osserva la seguente tabella relativa ai luoghi di villeggiatura degli alunni della classe 3ª A. Luogo di villeggiatura

Ragazzi

monti

mare

altro

Rappresenta i dati con un istogramma.

105

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SEZIONE B

Durante una gara scolastica di salto in lungo si sono registrati i seguenti risultati massimi. Allievo Gianni Filippo Sandro Giuseppe Livio Franco

Lunghezza salto 6,2 m 5,6 m 5,8 m 6m 7m 6,5 m

Tipo veicolo

Frequenza

moto

camion

auto

Rappresenta i dati con un istogramma. 57

In una città, in una certa via, il trafﬁco rilevato tra le ore 10 e le ore 12 del mattino è stato il seguente.

120

furgoni

biciclette

Rappresenta i dati con un istogramma.

Il seguente istogramma rappresenta gli acquisti mensili fatti dalla signora Maria per rifornire la sua dispensa.

1 scatola Pelati

Pasta

Biscotti

Marmellata

Riso

Osserva attentamente e poi rispondi alle seguenti domande: a quante scatole di merce sono state acquistate in tutto? b quante scatole di ogni singola merce sono state acquistate? 58

Da un’indagine fatta in una scuola secondaria risulta che gli alunni della classe 1ª D si recano a scuola con mezzi diversi. 10 7 4

vanno a scuola in vanno a scuola in vanno a scuola a

bicicletta auto piedi

Una ditta che produce scarpe ha esportato negli USA, negli ultimi tre anni, le seguenti quantità di paia di scarpe. 2007 2008 2009

Rappresenta i dati con un ideogramma.

esportate esportate esportate

12 000 9500 11 000

Rappresenta i dati con un ideogramma.

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I grafici

LEZIONE 5 ESERCIZI

Da un’indagine fatta su 15 ragazzi è risultato che 9 giocano a calcio, 3 a tennis e i rimanenti si dedicano alla pallacanestro. Illustra la situazione con un ideogramma.

Regione

La tabella che segue riporta il numero di decessi per overdose in Italia, negli anni che vanno dal 1985 al 1990. Anno

N° decessi

1985

242

1986

292

1987

543

1988

809

1989

973

1990

1152

N° uova

lunedì

martedì

mercoledì

giovedì

venerdì

sabato

domenica 63

4 300 000

Lombardia

1 700 000

Veneto

9 300 000

Toscana

3 900 000

Lazio

3 200 000

Puglia

11 000 000

In un’azienda agricola si alleva bestiame. Osserva la tabella e rappresenta i dati con un istogramma.

N° unità allevate 900 1100 850

Il grafico seguente si riferisce alla produzione di vino di quattro aziende agricole dell’Oltrepo pavese. Osserva e rispondi alle domande. ( = 10 000 ettolitri). LA VINOSA LA BODEGUITA DEL VINO VINUM ULTRAPADANUM VENI VIDI VINI

Quali sono le aziende maggiori produttrici di vino? b Quanti ettolitri ha prodotto ciascuna azienda? a

In una città gli alunni della scuola primaria sono 750, quelli della scuola secondaria sono 830 e quelli delle scuole superiori sono 1050. Dopo aver adottato un’opportuna unità di misura, rappresenta con un ideogramma. In un’azienda agricola, negli anni 2004-2009, la produzione di patate è stata la seguente. Anno 2004 2005 2006 2007 2008

Piemonte

Bestiame bovini suini ovini

Il signor Pippo è un contadino che ogni mattina raccoglie le uova nel pollaio. Osserva la tabella e rappresenta i dati con un ideogramma. Giorni

Produzione (q)

Assumendo un’opportuna unità di misura, rappresenta i dati con un ideogramma.

Rappresenta i dati con un istogramma. 62

La produzione di uva in alcune regioni italiane è stata, nell’anno 2005, la seguente:

Produzione (kg) 1200 1000 1500 2000 1800

L’ideogramma seguente rappresenta il numero di aerei decollati in un anno da alcuni aeroporti italiani. Osserva e rispondi alle domande. ( = 20 000 decolli) TORINO CASELLE MILANO MALPENSA ROMA FIUMICINO NAPOLI CAPODICHINO PALERMO FALCONE-BORSELLINO a b c d e

Rappresenta i dati con un ideogramma.

107

Qual è l’aeroporto con maggior traffico? Qual è quello con il traffico minore? Quanti sono stati i decolli da Milano? Quanti sono stati i decolli da Roma? Quanti sono stati i decolli da Napoli?

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SEZIONE B

Osserva il seguente graﬁco, che illustra il mezzo di trasporto usato dagli alunni di un istituto tecnico di una città italiana, poi rispondi alle domande. ciclomotore

In 100 g di mais sono contenuti 12 g di acqua, 9,5 g di proteine, 4 g di lipidi e 75,5 g di glucidi. Rappresenta i dati con un diagramma circolare.

Nel 2004, in Italia, si sono prodotte 968 000 tonnellate di insaccati, secondo la tabella seguente.

mezzi pubblici

Tipo insaccato salame prosciutto crudo mortadella prosciutto cotto altri insaccati

auto

Che tipo di graﬁco è? Qual è il mezzo di trasporto più usato? c Qual è il mezzo di trasporto meno usato? d Si può dire che molti alunni vanno a scuola in auto?

Quantità 104 000 t 170 000 t 194 000 t 300 000 t 200 000 t

Rappresenta i dati con un graﬁco a torta.

In Italia, ogni anno, il 57% di tutti i riﬁuti domestici accumulati viene collocato nelle discariche, il 16% viene incenerito in appositi impianti e il 27% viene recuperato con la raccolta differenziata. Rappresenta i dati con un graﬁco a torta.

Da una rilevazione effettuata in una certa zona risulta che il lavoro è distribuito come indicato in tabella:

In una città italiana il consumo di energia è distribuito come indicato in tabella. Attività agricoltura industria terziario

% consumi 13% 50% 37%

Settore agricoltura industria altre attività

Rappresenta i dati con un diagramma circolare. 71

Il territorio italiano è suddiviso come indicato in tabella. Tipo territorio pianura collina montagna

Rappresenta la situazione con un diagramma circolare.

% 23% 42% 35%

Gli alunni che frequentano le classi prima, seconda e terza in una scuola secondaria sono rispettivamente 126, 114 e 60. Trova in percentuale gli alunni delle tre classi e rappresenta i dati con un areogramma.

Nella seguente tabella sono riportate le fonti di emissione di anidride carbonica con le rispettive percentuali.

Rappresenta i dati con un aerogramma. 72

Nel 2007, in Italia, si sono prodotti 860 000 quintali di funghi. Nella tabella sono riportate le quattro regioni maggiori produttrici. Regione Veneto Piemonte Lazio Emilia Romagna

Occupati 35 000 63 000 42 000

% produzione 60% 11% 8% 9%

Trova le quantità, in quintali, prodotte da tali regioni e rappresenta con un graﬁco a torta la produzione totale.

Settore trasporti produzione di elettricità uffici e abitazioni industria agricoltura

% emissioni 30% 28% 20% 18% 4%

Rappresenta i dati con un graﬁco a torta.

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I grafici

LEZIONE 5 ESERCIZI

Un’indagine sui tipi di giornali letti dagli alunni di una classe ha dato i seguenti risultati. Tipo di letture fumetti quotidiani rotocalchi riviste sportive riviste scientifiche

Settore agricoltura industria altre attività

Rappresenta con un diagramma la seguente tabella che mostra le velocità orbitali dei pianeti nel nostro sistema solare. Pianeta Mercurio Venere Terra Marte Giove Saturno Urano Nettuno Plutone

Altezza (m) 381 319 300 290 283 259 241

Da una rilevazione effettuata in una zona risulta che le forze di lavoro risultano distribuite nel modo seguente.

Occupati (in migliaia) 70 126 84

Ora 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Rappresenta con un areogramma la distribuzione della produzione di riso nel mondo nel 1970. Regione Europa Russia Nord e Centro America Sud America Asia Africa Oceania

Migliaia di tonnellate 1200 360 4500 7700 140 000 6000 250

Velocità (km/s) circa 48 circa 35 circa 30 circa 24 circa 13 circa 10 circa 7 circa 5 circa 5

Rappresenta graﬁcamente la temperatura di un ammalato misurata a ore diverse della giornata.

Calcola le percentuali riferite alle forze complessive di lavoro e rappresenta con un areogramma [25%; 45%; 30%] la distribuzione. 82

Percentuale 45% 20% 15% 8% 12%

Rappresenta tale distribuzione con un areogramma.

Rappresenta con un istogramma la seguente tabella che mostra le altezze dei sette tra i più alti ediﬁci del mondo. Edificio Empire State Building Chrysler Building Tour Eiffel Wall Street Building Bank of Manhattan R.C.A. Building, Rockfeller C. Woolworth Building

La distribuzione del suolo di una data zona è la seguente. Tipo suolo seminativo prati e pascoli boschi frutteti improduttivo

Quantità 12 7 4 8 5

Rappresenta graﬁcamente questa situazione con un istogramma e con un ideogramma. 80

Temperatura (°C) 39 38 37,5 38,2 38,5 39 38,3 37,6 37,5 37

Un’inchiesta condotta su 50 ragazzi ha rilevato la seguente situazione: 24 9 3 14

cioè cioè cioè cioè

il il il il

48% 18% 6% 28%

predilige la musica rock predilige la musica elettronica predilige la musica punk predilige la musica pop

Rappresenta la situazione con un grafico.

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LEZIONE

VERIFICA risultati a pag. 175 5

CONOSCENZE 1

Vero V o falso F ? a V F b V F c V F d V F e V F f

V F

In un grafico cartesiano la retta orizzontale è l’asse delle ascisse. Sul piano cartesiano le ordinate si trovano sulla retta verticale. In un istogramma i dati vengono rappresentati su un cerchio. Nel diagramma cartesiano i dati si rappresentano con dei punti. Nell’ideogramma i dati sono rappresentati da figure. Nelle rappresentazioni grafiche l’unità di misura è indispensabile.

Anno 1300 1700 1900 2000 6

Rappresenta con il grafico che ritieni opportuno le seguenti situazioni. I dati, arrotondati ed espressi in migliaia di quintali, rappresentano la produzione di cereali in Italia nel 2003. Cereale frumento orzo avena riso granoturco

Quantità (hl) 370 400 300 500 650

Lo sport praticato da un gruppo di ragazzi è rappresentato con il seguente grafico. =1

Migliaia di q 100 000 16 000 4000 15 000 75 000

SPORT

FREQUENZA

calcio

Rappresenta sul piano cartesiano i punti A(2; 5), B(–4; 6), C(–5; –9), D(7; 2).

I dati della tabella rappresentano le temperature registrate in diverse ore della giornata in una città europea. Ora 8 9 11 14 15 17

Tasso 10 12 38 75

I dati della seguente tabella sono relativi alla produzione di vino di un’azienda dell’Oltrepo pavese. Anno 1999 2000 2001 2002 2003

ABILITÀ

I dati della tabella rappresentano il tasso di urbanizzazione in Europa in secoli diversi.

Temperatura (°C) 12 13 16 18 18 16

nuoto tennis

Rispondi. Di quale rappresentazione grafica si tratta? .................................................................. Dal grafico sei in grado di ricavare il numero dei ragazzi intervistati?....................................... Quanti ragazzi praticano il nuoto? ................... Quanti il calcio?............................................ Quale è lo sport più praticato? ........................

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VERIFICA risultati a pag. 175 8

Il seguente istogramma riporta i dati relativi all’indagine svolta a fine anno su un campione di alunni delle classi terze di alcune scuole sulle scelte scolastiche per il prossimo anno scolastico. 100 alunni

Liceo classico

Liceo scientifico

Istituto tecnico

Istituto Liceo Corso commerciale linguistico professionale

Quanti ragazzi abbiamo intervistato? ................................................................... Quanti si sono iscritti al liceo scientifico?............................................................ Quanti hanno scelto un corso professionale? ........................................................ 9

Negli ospedali vengono rilevate periodicamente, nel corso della giornata, le temperature dei degenti. Il seguente grafico rappresenta la situazione di un malato.

temperatura (°C) 40 39 38 37 36 7

ora

A quale ora si è rilevata la temperatura più bassa? ................................................ A quale ora la più alta? ..................................................................................... Quale temperatura si è registrata alle ore 15? ....................................................... E alle 19? ........................................................................................................ Tra le 7 e le 11 si è avuto un aumento di temperatura?.......................................... Tra le 15 e le 19 la temperatura del malato è aumentata o diminuita?......................

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LEZIONE

5 1

RECUPERO Rappresenta con un grafico a colonne (istogramma) il consumo mensile di latte di sei famiglie i cui dati sono riportati nella seguente tabella. Famiglia Consumo di latte in litri

Gueppi 60

Bini 40

Sulli 50

Garnisci 35

Romuli 25

Rinni 10

10 litri

famiglia Gueppi

famiglia Bini

famiglia Sulli

famiglia Garnisci

famiglia Romuli

famiglia Rinni

Rappresenta graficamente la variazione di temperatura di un malato riportata nella seguente tabella. Ora Temperatura (째C)

12 37,5

14 37,5

16 38

18 39

19 39

22 38,5

temperatura (째C)

ora

112

24 37,5

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LEZIONE

6 Elementi di statistica PREREQUISITI • Saper ordinare i dati • Saper classificare oggetti • Saper operare in N e Q

CONTENUTI • • • • •

Cos’è un’indagine statistica I dati di un’indagine statistica Frequenza assoluta e relativa Rappresentazione grafica dei dati I valori medi (media aritmetica, moda, mediana)

OBIETTIVI • Conoscere le tappe per una corretta indagine statistica • Saper classificare i dati • Conoscere e applicare il concetto di frequenza assoluta e relativa • Saper rappresentare con un adeguato grafico i dati • Calcolo dei valori medi: media aritmetica, moda, mediana

1 Statistica Apparentemente la statistica può sembrare una scienza modernissima che fa uso dei più sofisticati calcolatori elettronici per elaborare i dati raccolti; in realtà la statistica, che è la scienza che studia, descrivendo e interpretando, i fenomeni collettivi per mezzo di metodi matematici, è una scienza antichissima: era già in uso presso i Babilonesi e gli Egizi che rilevavano il numero degli abitanti, le attività produttive, ecc. I Vangeli ci parlano di censimento all’epoca della nascita di Gesù. Nei vari periodi storici la rilevazione di dati riguardanti la popolazione è stata eseguita, non sempre con costanza e sistematicità, per motivi di varia natura, dal politico al culturale; solo in epoca più recente tutte le nazioni hanno adottato la pratica sistematica del censimento: in Italia ciò avviene dal 1861 con cadenza decennale. Il termine statistica deriva proprio dalla parola Stato, perché in passato (e in parte anche oggi) è proprio lo Stato che organizza la rilevazione di dati riguardanti elementi e fenomeni che lo caratterizzano. DEFINIZIONE

Si dice fenomeno collettivo un fatto sociale, economico, naturale, ecc. che può essere osservato e misurato, direttamente o indirettamente, ed è formato da fenomeni singoli. 113

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Verso altri linguaggi

SEZIONE B

Ad esempio, la morte di un individuo costituisce un fenomeno singolo, mentre la morte di molti individui in una località o in un periodo costituisce un fenomeno collettivo e il suo studio permette di conoscerne le cause, di prevederne l’andamento futuro ed eventualmente fare opera di prevenzione. L’insieme di tutti gli elementi che hanno un carattere comune e che costituisce l’oggetto dell’indagine statistica prende il nome di popolazione statistica o universo statistico, mentre ciascuno degli elementi che costituisce la popolazione prende il nome di unità statistica. Il carattere che viene studiato può essere di tipo qualitativo e quantitativo. Sono caratteri qualitativi quelli espressi da una qualità e non da un valore numerico: la professione, la cittadinanza, il sesso, la classe frequentata, ecc. Sono caratteri quantitativi quelli espressi da numeri: la statura, il peso, il numero di dipendenti, ecc. I caratteri quantitativi possono essere a loro volta classificati come continui o discreti. Sono continui quei caratteri che possono assumere tutti gli infiniti valori compresi in un determinato intervallo, per esempio la temperatura esterna di una giornata: se è passata da un minimo di 10 gradi a un massimo di 24 gradi, ha toccato ovviamente tutti i valori compresi tra questi due estremi. Sono discreti quei caratteri che assumono per lo più valori interi: per esempio il numero di figli, il numero di dipendenti, il numero di abitanti di una certa località: non è possibile avere 2 figli e un quarto, oppure per un’azienda non è possibile avere 54,385 dipendenti. Un’indagine statistica può essere svolta analizzando tutti gli elementi che costituiscono la popolazione e allora si parla di rilevazione completa, oppure è possibile analizzare solo una parte della popolazione e allora di parla di rilevazione parziale o per campione. Vediamo di confrontare vantaggi e svantaggi di questi tipi di rilevazione. • La rilevazione completa è sicuramente più attendibile, ma proprio perché investe un gran numero di elementi è onerosa, sia per la raccolta sia per l’elaborazione dei dati. Sono rilevazioni complete tutte quelle relative alle situazioni anagrafiche (nascite, morti, immigrazione, emigrazione, ecc.), ma le più note sono i censimenti della popolazione, dell’agricoltura, dell’industria, ecc. • La rilevazione per campione è decisamente più snella nella sua realizzazione, ma proprio perché investe solo una parte della popolazione, cioè un campione, può non essere perfettamente rispondente alla realtà. A questo punto è necessario fare alcune considerazioni proprio sul campione che deve essere rappresentativo della popolazione. Innanzi tutto, il campione deve essere sufficientemente ampio rispetto alla popolazione: un campione di 100 persone non può certo essere rappresentativo di tutta la popolazione italiana. In secondo luogo, il campione non deve essere “viziato”, cioè non deve essere costituito da elementi appartenenti a una singola categoria.

114

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Elementi di statistica

LEZIONE 6

• Volendo conoscere quanta polenta mangiano gli italiani, sarebbe un errore intervistare solo la popolazione bergamasca: trattandosi di un piatto tipico di quella zona, sarà consumato dalla maggior parte delle persone intervistate, ma la situazione sarebbe stravolta se venisse intervistata la popolazione palermitana. • Se volessimo conoscere qual è il numero delle persone con diploma di scuola superiore nella fascia di età tra i 10 e i 30 anni e intervistassimo le persone che escono da un’aula universitaria, troveremo che nessuno ne è sprovvisto; se proponessimo la stessa intervista all’uscita di una scuola secondaria, otterremmo sicuramente un risultato di segno opposto. In entrambi i casi ci troviamo di fronte a un vizio di campione.

2 Le fasi dell’indagine statistica Un’indagine statistica viene svolta seguendo fasi ben precise: a la determinazione precisa del carattere che si vuole analizzare; b la progettazione dello strumento per la raccolta dei dati; c la raccolta dei dati; d la trascrizione dei dati; e l’elaborazione dei dati; f la rappresentazione dei dati. Esaminiamo ora ciascuna di queste fasi. ■

La determinazione precisa del carattere che si vuole analizzare

È indispensabile essere molto chiari quando si specifica il carattere che si vuole prendere in considerazione, onde evitare che elementi fasulli inquinino i risultati. • Per effettuare un’indagine statistica sul consumo di bibite nei mesi caldi, occorrerà specificare bene quali sono i mesi definiti caldi e quindi fissarli, per esempio, in giugno, luglio e agosto, per non correre il rischio che qualche intervistato includa, magari, anche settembre. ■

La progettazione dello strumento per la raccolta dei dati

Lo strumento più usato per la raccolta dei dati è il questionario, che deve contenere domande chiare e ben formulate, in modo che le risposte non siano ambigue; inoltre le domande non devono essere faziose, cioè non devono indurre una risposta guidata. Per esempio, se vogliamo sapere se piace di più il gelato alla crema o quello al cioccolato, è scorretto porre la domanda in questi termini: « Vero che ti piace di più il gelato alla crema che quello al cioccolato? », perché l’intervistato sarà indotto ad accettare la risposta già insita nella domanda. Il questionario può contenere domande a risposta aperta o a risposta chiusa (dette anche a scelta multipla). Le prime danno maggior libertà all’intervistato, ma potrebbero creare qualche difficoltà nell’elaborazione.

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SEZIONE B

• Quale frutto ti piace di più? La risposta è aperta, si corre il rischio di trovare qualche strana risposta relativa a qualche frutto esotico pressoché sconosciuto. • Quale frutto ti piace di più fra quelli elencati? ■ mela

■ pera

■ uva

■ banana

■ anguria

(L’elenco può essere ampliato quanto si desidera.) La risposta è chiusa. In questo modo, se è vero che si pone un vincolo alla risposta, è altrettanto vero che già in partenza si saprà entro quali tipi di frutta potrà variare la risposta. ■

La raccolta dei dati

Per raccogliere i dati, occorre innanzi tutto stabilire se si intende effettuare una rilevazione completa o per campione; in quest’ultimo caso si deve scegliere un campione che sia qualitativamente e quantitativamente rappresentativo della popolazione statistica. Occorre poi provvedere alla distribuzione dei questionari, che dovranno essere compilati con cura, e al loro ritiro. ■

La trascrizione dei dati

Una volta raccolti i questionari, si passa allo spoglio degli stessi e alla trascrizione in apposite tabelle dei dati rilevati. Per semplificare e accelerare queste operazioni, si usano dei particolari tabulati. Proponiamo un semplicissimo questionario a 120 bambini di una scuola primaria per conoscere qual è il gusto di gelato preferito. • Fra i seguenti gusti di gelato segna con una crocetta quello che preferisci: ■ panna ■ mirtilli

■ cioccolato ■ pistacchio

■ fragola ■ torroncino

■ limone

Raccolti i questionari, si predispone una tabella di spoglio in cui sono elencati i vari gusti di gelato: ogni volta che si rileva il gusto, si pone un trattino al lato del gusto indicato; i trattini vengono disegnati in modo da costruire un quadratino barrato e ciò perché così si raggruppano i trattini 5 a 5, il che evita di creare confusione quando i trattini diventano molti. Volendo, a fianco dei trattini si può aggiungere una colonna in cui si riporta il numero corrispondente ai trattini disegnati (tabella 1). tabella 1

Panna Cioccolato Fragola Limone Mirtilli Pistacchio Torroncino

24 32 15 18 9 15 7

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Elementi di statistica

LEZIONE 6

I gruppi di 5 scelte possono essere disegnati, anziché col quadratino barrato, anche con la seguente grafica: |||| . Quando il rilevamento si riferisce a un numero molto grande di elementi, si usa una tabella di questo tipo (tabella 2): 10

tabella 2

Panna

////////////////////////

Cioccolato

////////////////////////////////

Fragola

///////////////

Limone

//////////////////

Mirtilli

/////////

Pistacchio

///////////////

Torroncino

///////

9 15 7

Quando il dato rilevato riguarda, per esempio, il peso, l’altezza o caratteri similari, si usa spesso riunirli in classi di intervallo per non disperdere eccessivamente la significatività dei dati. Così, per esempio, l’altezza dei 25 alunni di una classe prima secondaria potrebbe essere così tabulata (tabella 3): tabella 3

< 130 131-135 136-140 141-145 146-150 > 151 ■

1 6 8 5 3 2

L’elaborazione dei dati

È la fase finale e permette di valutare globalmente il fenomeno osservato. Per la valutazione si confrontano i vari dati statistici per ricavare altri valori più sintetici e quindi valori significativi e atti a dedurre le regolarità, cioè le leggi che regolano il fenomeno osservato. L’elaborazione dei dati ha inizio con il calcolo della frequenza: si conta quante volte un dato statistico si è presentato. DEFINIZIONE

Si chiama frequenza assoluta di un dato statistico il numero di volte che questo dato si è presentato nella rilevazione. Si chiama frequenza relativa di un dato statistico il rapporto tra il numero che esprime la frequenza assoluta e il numero totale delle rilevazioni e si può esprimere in frazione o in percentuale.

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SEZIONE B

Riferendoci al questionario precedente e ai dati rilevati (tabella 1) possiamo ricavare i valori delle frequenze assolute e relative (tabella 4). tabella 4

Gusto

Frequenza assoluta

Frequenza relativa

Panna

24 : 120 = 20%

Cioccolato

32 : 120 = 26,7%

Fragola

15 : 120 = 12,5%

Limone

18 : 120 = 15%

Mirtilli

9 : 120 = 7,5%

Pistacchio

15 : 120 = 12,5%

Torroncino

7 : 120 = 5,8%

120

100%

Totale

STOPANDGO

Lancia un dado 50 volte e riporta in una tabella il numero delle volte in cui si è presentata una faccia. Calcola poi la frequenza assoluta e relativa di ogni numero uscito.

Prendi l’orario settimanale delle lezioni della tua classe e calcola la frequenza assoluta e quella relativa delle ore di lezione di ogni materia.

In un albergo della riviera romagnola è stata fatta una inchiesta per sapere il numero di persone costituenti i vari nuclei familiari che hanno frequentato l’albergo nel mese di luglio. Ecco i dati in base al registro dell’albergo: 3 4 1 5 4 2 3 3 2 3 4 3 2 2 2 3 2 1 4 3 4 5 4 3 3 2 5 3 2 4 5 3 3 2 3 3 3 3 4 4 Trascrivi adeguatamente i dati, trova la frequenza assoluta e relativa.

3 I valori medi I valori significativi capaci di riassumere e sintetizzare i dati di una indagine statistica sono i valori medi. DEFINIZIONE

Data una successione ordinata di valori, si dice valore medio quel valore che si trova tra il valore minimo e il valore massimo della successione.

I valori medi più significativi sono la moda, la mediana e la media. Esaminando nella tabella di tabella 4 i valori della frequenza e della frequenza relativa, possiamo mettere subito in evidenza che il gelato al cioccolato si presenta con maggior frequenza rispetto agli altri: ciò costituisce la moda. DEFINIZIONE

Nell’insieme di dati statistici la moda è il dato che si presenta con maggior frequenza. 118

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Elementi di statistica

LEZIONE 6

L’esempio dei gusti di un gelato si riferisce a un carattere qualitativo, cioè non numerico, e la sua elaborazione, con le conoscenze a nostra disposizione, deve fermarsi qui; se abbiamo invece a che fare con caratteri quantitativi, e quindi numerici, l’analisi dei risultati è più ampia in quanto l’analisi statistica, oltre a prendere in considerazione le frequenze, esamina anche la distribuzione dei dati utilizzando degli indici, che prendono il nome di misure della tendenza centrale: la moda (che abbiamo già incontrato anche per i dati qualitativi), la mediana e la media; oltre a questi abbiamo l’intervallo di variabilità che ci dà indicazioni sull’ampiezza del campo di valori. Spieghiamo in cosa consistono tali misure, basandoci sul seguente esempio, i cui dati sono stati raccolti in una tabella e si riferiscono al numero di scarpe portato da 25 tra ragazzi e ragazze di 12 anni. Osservando la tabella 5, possiamo vedere che il numero più piccolo è il 35, mentre il più grande è il 41, quindi tutti gli altri valori sono compresi tra questi. tabella 5

tabella 6

N°

Nome

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Chiara Roberta Francesca Paolo Maria Marta Luisa Carlo Giovanni Luca Anna Stefano Nicola

Misura

N°

Nome

35 35 36 36 36 36 37 37 37 37 37 37 37

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Irene Sandra Alessandro Lucia Samanta Loretta Paola Romano Niccolò Alberto Ivano Antonio

Misura

Frequenza

Frequenza %

35 36 37 38 39 40 41

2 4 7 5 3 3 1

8% 16% 28% 20% 12% 12% 4%

Misura 38 38 38 38 38 39 39 39 40 40 40 41

Osservando la tabella 6, possiamo dire che la moda è il numero 37, perché si presenta con maggior frequenza. Ritorniamo alla tabella 5, che vediamo essere già ordinata dal valore più piccolo al più grande, e andiamo a cercare quale valore occupa la posizione centrale: è il 37 e prende il nome di mediana. Per trovare qual è la posizione centrale di una sequenza di dati, si applica la seguente regola: 119

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SEZIONE B

posizione centrale =

n+1 2 , dove n è il numero delle unità statistiche.

Nel nostro esempio abbiamo 25 unità statistiche, quindi: posizione centrale =

25 + 1 = 13 2

e la tredicesima posizione è occupata dal n° 37, che rappresenta la mediana. Come ci dovremmo comportare nel caso la sequenza di dati fosse costituita da un numero pari di unità statistiche? Se avessimo una sequenza di 40 dati, usando la stessa formula avremmo = 20,5; ovviamente nessun valore occupa la posizione tra la ventesima e la ventunesima; si calcola quindi la semisomma dei valori della ventesima (che precede 20,5) e della ventunesima (che segue 20,5) posizione. DEFINIZIONE

In un insieme ordinato, in ordine crescente o decrescente, di dati statistici la mediana è il dato che occupa la posizione centrale o la semisomma dei due dati che occupano la posizione centrale.

ESEMPIO

Calcoliamo il valore della mediana delle seguenti successioni di numeri. a

2 15 17 4 15 5 7 11 8

54 24 31 67 45 24 39 41 60 59

Disponiamo in ordine crescente le successioni date: a

2 4 5 7 8 11 15 15 17 poiché i valori dati sono in numero dispari (sono 9) la mediana è il termine centrale, cioè 8.

24 24 31 39 41 45 54 59 60 67 poiché i valori dati sono in numero pari (sono 10) la mediana è la semisomma dei due termini 41 + 45 86 = = 43 . centrali, cioè 2 2

Un’altra misura della tendenza centrale dei dati di una indagine è la media aritmetica. DEFINIZIONE

La media aritmetica di n dati è il quoziente tra la somma di tutti i dati e il numero x + x2 + x3 + … + xn totale n, cioè x– = 1 n

La scrittura x– si legge “x soprassegnato” ed è il simbolo del valore medio. Dalla tabella 5 ricaviamo: 35 + 35 + 36 + 36 + 36 + 36 + 37 + 37 + 37 + 37 + 37 + 37 + 37 + 38 + 38 + x– = 2 + 38 + 38 + 38 + 39 + 39 + 39 + 40 + 40 + 40 + 41 2

120

x– = 37,6

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Elementi di statistica

LEZIONE 6

Come si può vedere, la scrittura di questo calcolo può essere molto lunga, ma è possibile sostituire alle somme dei dati uguali il prodotto di ciascun dato per la sua frequenza: in questo modo si tiene conto di quante volte si ripete ciascun valore nella sequenza, cioè si “pesano” i dati e così la media prende il nome di media ponderata. Indicando con x1, x2, x3 … xn gli n valori ottenuti nell’indagine e con f1, f2, f3 … fn le corrispondenti frequenze, la media ponderata è espressa dalla formula: –x = x1 · f1 + x2 · f2 + x3 · f3 + … + xn · fn P N

Dove N = f1 + f2 + … + fn è il numero totale di unità statistiche. Dalla tabella 6 ricaviamo: –x = 35 · 2 + 36 · 4 + 37 · 7 + 38 · 5 + 39 · 3 + 40 · 3 + 41 · 1 = 941 = 37,6 P 25 25 ESEMPI

• Calcoliamo la media aritmetica del seguente gruppo di numeri: 27 3 9 15 12 10 11 15 4 1 Osservando che la successione è formata da 10 numeri e ricordando la definizione di media aritmetica, otteniamo: –x = 27 + 3 + 9 + 15 + 12 + 10 + 11 + 15 + 4 + 1 = 107 = 10,7 10 10 • In tabella sono riportate le retribuzioni mensili dei dipendenti di una azienda che produce materiale elettrico. Calcoliamo la retribuzione media. Retribuzione mensile (€)

900

1050

1150

1300

1750

N° persone

In questo caso quasi tutte le retribuzioni hanno una frequenza o “peso”, quindi si può ricorrere alla media ponderata per calcolare la retribuzione media cercata, dopo aver osservato in tabella che il numero totale dei dipendenti è 20. –x = 900 · 10 + 1050 · 4 + 1150 · 3 + 1300 · 2 + 1750 · 1 P 20 –x = P

9000 + 4200 + 3450 + 2600 + 1750 20

21 000 = 1050 20

Vediamo ora di dare un’interpretazione a ciascuna delle misure di tendenza centrale che abbiamo considerato. La moda

indica qual è il numero di scarpe più comune fra le persone esaminate, nel nostro caso il 37. La mediana indica che la metà dei ragazzi ha un numero di scarpe inferiore al valore della mediana e metà un numero di scarpe superiore. La media indica quale sarebbe il numero di scarpe di ciascuno se tutti avessero lo stesso numero. 121

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SEZIONE B

Molto importante è valutare anche l’intervallo di variabilità (che per altro non è una misura di tendenza centrale, bensì una misura di dispersione). DEFINIZIONE

Si dice intervallo di variabilità la differenza tra il valore massimo e quello minimo ottenuti nell’indagine.

Confrontiamo la tabella del gruppo di ragazzi che abbiamo già esaminato con quella di un nuovo gruppo, composto anch’esso da 25 ragazzi. tabella 7

tabella 8

Misura

Frequenza

Misura

Frequenza

35 36 37 38 39

2 4 7 5 3

35 36 37 38 39

0 3 10 5 7

40 41

3 1

40 41

0 0

Proviamo a calcolare le misure di tendenza centrale: moda (7) = 37 mediana (7) = 37 media (7) = 37,6

moda (8) = 37 mediana (8) = 37 media (8) = 37,6

Fin qui le due distribuzioni sembrano uguali, in quanto caratterizzate dalle stesse misure di tendenza centrale, ma l’intervallo di variabilità le diversifica nettamente: Intervallo di variabilità (7) = 41 – 35 = 6 Intervallo di variabilità (8) = 39 – 36 = 3 Questo significa che tra i ragazzi della tabella 7 vi sono soggetti con piedi molto piccoli e ragazzi con piedi molto grandi che si discostano molto dai valori medi, mentre tra i ragazzi della tabella 8 vi sono solo piedi di misura intermedia. STOPANDGO

Sono stati pesati i libri in adozione in una classe terza secondaria e si sono ottenuti i seguenti risultati espressi in grammi: 1200 950 1300 800 1000 1300 1250

950 1300 1200 1200 1300

1350 1300

Sistema i dati in una tabella con le relative frequenze. Calcola i valori medi. [media = 1171,42 g; moda = 1300 g; mediana = 1225 g]

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Elementi di statistica

LEZIONE 6

■

La rappresentazione dei dati

Anche per quanto riguarda la rappresentazione grafica dei dati occorre distinguere tra dati non numerici, cioè qualitativi, e dati numerici, cioè quantitativi. Dati non numerici I dati raccolti in una tabella di frequenza già danno delle informazioni, ma se i dati sono molto numerosi la lettura di una tabella potrebbe creare confusione; si preferisce allora visualizzare la situazione con dei grafici. Le rappresentazioni più usate sono gli ideogrammi, gli ortogrammi, gli areogrammi e i cartogrammi. Di questi metodi rappresentativi si è già parlato e quindi ci limiteremo qui a illustrarne alcuni esempi. Possiamo riprendere la tabella relativa all’indagine sui gusti di gelato e su di essa costruire i vari tipi di rappresentazioni possibili. tabella 9

Gusto Panna Cioccolato Fragola Limone Mirtilli Pistacchio Torroncino Totale

Frequenza

Frequenza %

24 32 15 18 9 15 7 148

20% 26,7% 12,5% 15% 7,5% 12,5% 5,8% 100%

L’ideogramma corrispondente è il seguente.

= 5 unità statistiche panna cioccolato fragola limone mirtilli pistacchio torroncino

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Verso altri linguaggi

SEZIONE B

Dagli stessi dati della

tabella 9 otteniamo

i seguenti grafici.

Ortogramma frequenza 35 30 25 20 15 10

torroncino

pistacchio

mirtilli

limone

fragola

panna

cioccolato

Un ortogramma puĂ˛ essere utilizzato anche per confrontare due distribuzioni; ad esempio quelle studiate nelle tabelle 7 e 8 e relative al numero di scarpe di due gruppi di ragazzi.

tabella 7

frequenza

tabella 8

12 10 8 6 4 2 0

124

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Elementi di statistica

LEZIONE 6

Areogramma cioccolato panna 26,7%

20%

fragola limone

5,8%

mirtilli

12,5%

12,5% pistacchio 15%

7,5% torroncino

Per illustrare un cartogramma dobbiamo prendere in considerazione un esempio diverso, in quanto il cartogramma viene utilizzato per rappresentare l’andamento di un fenomeno in relazione a diverse località. Rappresentiamo ad esempio il numero di persone (in %) che seguono un certo programma televisivo nelle diverse regioni italiane.

dallo 0 all’ 1,4% dall’ 1,5 al 2,9% 3 al 6% dal 6,1 al 10% dal oltre il 10%

Dati numerici Per rappresentare i dati numerici si utilizzano gli istogrammi e ancora i diagrammi a barre. Vediamoli con i dati della tabella già esaminata e relativa all’altezza di 25 alunni di una classe prima secondaria. Altezza raggruppata in classi ≤ 130 131-135 136-140 141-145 146-150 ≥ 151

Frequenza 1 6 8 5 3 2

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Verso altri linguaggi

SEZIONE B

L’istogramma corrispondente è il seguente.

frequenza 8 7 6 5 4 3 2

151

146 - 150

141 - 145

136 - 140

131 - 135

130

altezza

L’istogramma è del tutto simile a un ortogramma e spesso i due termini sono intercambiabili: di solito il termine istogramma viene usato per i dati quantitativi, raggruppati in classi di frequenza e rappresentati mediante rettangoli tra loro contigui e di larghezza che può essere variabile; il termine ortogramma viene invece preferito per i dati qualitativi. Dall’immagine dell’istogramma spicca la classe modale, cioè la classe a cui si riferisce la moda della distribuzione, in quanto è il rettangolo più alto (rappresenta la frequenza maggiore). Congiungendo i punti medi della base superiore dei rettangoli, si ottiene una curva che prende il nome di poligonale delle frequenze.

4 La curva di Gauss Tutte le indagini statistiche che abbiamo considerato come esempi, pur essendo reali, non sono significative perché sono state condotte su campioni molto esigui. Se l’indagine viene condotta sulla popolazione o comunque su un campione molto vasto, la distribuzione delle frequenze in alcuni casi tende ad assumere delle caratteristiche particolari: a b

le misure della tendenza centrale, media, moda e mediana, coincidono; la poligonale delle frequenze è una curva simmetrica rispetto alle misure della tendenza centrale. 126

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Elementi di statistica

LEZIONE 6

Questo tipo di distribuzione ha la rappresentazione grafica che ricorda la forma di una campana; prende il nome di distribuzione normale e la sua poligonale delle frequenze si chiama curva di Gauss.

frequenze

Distribuzione normale Curva di Gauss

Moda

55 Media

Mediana

45 40 35 30 25 20 15 10 5 A

STOPANDGO

Nel seguente grafico è riportata la frequenza dei punteggi ottenuti nel lancio di due dadi. frequenza

In una fattoria la produzione mensile di uova è stata la seguente: Mese G F M A M G L A S O N D Uova 18 12 10 12 14 9 12 17 20 12 17 13

Rappresenta i dati con un grafico e poi determina la moda. [moda: settembre]

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

a b c d e

punteggio

Di che tipo di grafico si tratta? Quanti lanci si sono effettuati? Scrivi le frequenze relative ai vari punteggi. Qual è la moda? Qual è la mediana?

Le professioni di un campione di individui di età variabile tra i 30 e i 60 anni ha dato i seguenti risultati: OPERAI .............32

PROFESSIONISTI ......21

IMPIEGATI..........12

INSEGNANTI ............3

......10 ATTIVITÀ....14

DISOCCUPATI ...........8

AGRICOLTORI ALTRE

[ a ortogramma; b 42; c 3, 2, 6, 8, 4, 5, 1, 6, 3, 3, 1; d 5; e 6]

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Ordina in una tabella di frequenza i dati che poi rappresenterai con un grafico. Trova i valori medi che ritieni più significativi. [moda: operaio]

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LEZIONE

6 Elementi di statistica ESERCIZI 1

b V F

Indica con una crocetta se le seguenti affermazioni si riferiscono a fenomeni collettivi C o a fenomeni singoli S .

c V F a C S b C S c C S d C S e C S f C S g C S h C S

Tre componenti della famiglia del signor Verdi sono morti a 90 anni. Gli abitanti di una cittadina russa hanno una vita media di circa 90 anni. I ragazzi della 3ª B hanno già contratto tutti la varicella. Quasi tutti gli italiani hanno in casa più di un televisore. Mia sorella ha già contratto l’influenza. La signora Rossi ha cinque figli. Le donne lombarde hanno in media meno di due figli ciascuna. Oggi l’età media al matrimonio è di 27 anni per gli uomini e di 26 per le donne.

d V F e V F f

g V F

h V F

Sono state svolte delle indagini statistiche circa le seguenti variabili: indica per ciascuna se si tratta di caratteri qualitativi Q o quantitativi q . 4 a Q q b Q q c Q q d Q q e Q q f Q q g Q q h Q q

Il peso dei ragazzi di 20 anni. Il gusto di gelato preferito dai ragazzi di 13 anni. Il cantante più amato. L’altezza delle ragazze di 18 anni. Il numero dei morti nel 1994 a Milano. Il genere di film più gradito dalle persone cinquantenni. Le caramelle mangiate in un giorno da un bambino di 4 anni. Il piatto mangiato più volentieri dai bambini di una scuola dell’infanzia.

V F

Tutte le unità statistiche con un determinato carattere costituiscono una popolazione statistica. L’essere più alti o più bassi di 1,50 m è un carattere quantitativo. Il numero di mele mangiate in un giorno è un carattere qualitativo. L’altezza di una persona è un carattere discreto. La temperatura esterna di una località è un carattere continuo. Quando si analizzano tutte le unità statistiche si ha una rilevazione a campione vasto. Quando una rilevazione interessa solo una parte di elementi si tratta di una rilevazione per campione. Il campione deve essere rappresentato da almeno metà della popolazione. Il campione deve essere scelto accuratamente affinché non risulti viziato.

Riscrivi le fasi di un’indagine statistica, qui date in ordine sparso, nella loro esatta sequenza. a b c d e f

La progettazione dello strumento per la raccolta dei dati. La raccolta dei dati. La determinazione precisa del carattere che si vuole analizzare. L’elaborazione dei dati. La trascrizione dei dati. La rappresentazione dei dati.

Stendi un questionario per rilevare le caratteristiche fisiche dei tuoi compagni di classe.

Stendi un questionario per conoscere le abitudini alimentari dei tuoi compagni (limita l’indagine al pranzo).

Vero V o falso F ? a V F

La statistica si occupa solo di fenomeni collettivi.

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Elementi di statistica

LEZIONE 6 ESERCIZI

Per effettuare un’indagine sui programmi televisivi più seguiti, viene scelto come campione il gruppo di ragazzi frequentanti una classe prima secondaria. Secondo te è un campione rappresentativo della popolazione? Quale campione avresti scelto tu?

Compila una tabella di frequenza derivandola dalla seguente tabella di spoglio. Sport preferito

Volendo prevedere i risultati di un’elezione politica, vengono sorteggiate, dall’elenco telefonico della città di Udine, 50 persone da intervistare. È un campione corretto? Esponi le tue considerazioni e la tua proposta alternativa.

Tabella di spoglio

Nuoto Calcio Pallacanestro Pallavolo Equitazione Nessuno

Compila una tabella di frequenza derivandola dalla seguente tabella di spoglio. Programmi televisivi più seguiti

Tabella di spoglio

Film Notiziari Giochi a quiz Calcio Documentari Altri sport Programmi politici

Compila una tabella di frequenza derivandola dalla seguente tabella di spoglio relativa all’altezza di 130 ragazzi di 15 anni. Altezza (raggruppata in classi)

Tabella di spoglio 10

140 141 - 145 146 -150 151 - 155 156 - 160 161

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SEZIONE B

Riferendoti all’esercizio 9, calcola la frequenza percentuale dei dati riportati in tabella.

Riferendoti all’esercizio 10, calcola la frequenza percentuale dei dati riportati in tabella.

Riferendoti all’esercizio 11, calcola la frequenza percentuale dei dati riportati in tabella.

Considera i tuoi compagni di classe: calcola la frequenza e la frequenza percentuale relativa all’iniziale dei loro cognomi.

Considera i tuoi compagni di classe: calcola la frequenza e la frequenza percentuale relativa all’iniziale dei loro nomi di battesimo e al numero di lettere di ciascun nome.

Considera i tuoi compagni di classe e svolgi un’indagine riguardante il numero dei figli di ciascuna famiglia; calcola la frequenza, la frequenza percentuale, la moda e la media.

Calcola la media aritmetica dei numeri dei seguenti gruppi. a b c d e

[86,4] 85; 76; 93; 82; 96 4; 15; 19; 21; 25; 34; 82; 88 [36] –8; –6; –4; –1; 0; 2; 5; 20 [1] –23; –10; –5; –4; –2; 1; 7; 11; 12; 13 [0] –18; –15; –2; 3; 5; 9; 18; 29; 41 [7,7]

Calcola la media aritmetica dei seguenti numeri, ognuno dei quali compare con la frequenza indicata in tabella. Numero

Frequenza

[8,25]

Calcola la media aritmetica dei numeri riportati nella seguente tabella con le frequenze rispettive. Valori

–20

–14

–2

Frequenze

[0,075]

Calcola la media aritmetica dei voti ottenuti in 7 materie, con le relative frequenze. Voto

Frequenze

4 [7,25]

I prezzi di vendita e le quantità vendute di una merce, nel corso dei primi 8 mesi dell’anno, sono quelli indicati dalla seguente tabella. Determina il prezzo medio di vendita. Mese

Quantità vendute (t)

Prezzo vendita (€/t)

Gennaio

15,8

13,00

Febbraio

16,2

12,50

Marzo

15,8

12,80

Aprile

15,1

13,20

Maggio

14,9

13,50

Giugno

14,50

Luglio

15,00

Agosto

16,5

16,00 [~13,83 €/t]

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Elementi di statistica

LEZIONE 6 ESERCIZI

Dati i seguenti gruppi di numeri, calcola l’intervallo di variabilità, la media, la moda e la mediana.

In 5 sezioni della 5ª classe di una scuola secondaria il numero di allievi è stato il seguente: Sezione

N° allievi

Indica il numero medio di allievi per sezione. [24] 24

Nel triennio 2007-2009 il numero di carri e la quantità di merce trasportata da Trenitalia risulta dalla seguente tabella.

Anni

Merce trasportata (migliaia di t)

2007

3000

58 000

2008

2700

61 000

2009

2804

54 600

2; 4; 8; 9; 15; 22; 30 4; 5; 12; 18; 20; 24; 28

[9] [18]

–2; 0; 1; 5; 7; 12; 14 b 8; 9; 1; 3; 7; 10; 12; 16

[5] [8,5]

5; 0; 23; 4; 7; 12; 9 b 3; 7; 2; 10; 9; 8; 15

14; 24; 9; 12; 10; 16 b 6; 9; 2; 4; 8; 5; 7; 3; 15

a b

36 a

[13] [6]

5; 9; 6; 5; 4; 5; 10; 9; 5; 4; 2; 9; 5 1; 6; 9; 7; 1; 1; 3; 5; 1; 1; 1; 5; 6

7; 2; 7; 5; 6; 6; 1; 4; 3; 5; 7; 6; 3 b 12; 21; 30; 12; 10; 18; 12; 13; 20; 10 a

100; 200; 120; 130; 100; 120; 100; 150 250; 100; 120; 250; 100; 150; 250; 100

64; 80; 120; 100; 75; 64; 120; 80 b 110; 20; 80; 110; 100; 120; 60; 130 a

a b

[7] [8]

2; 1; 5; 6; 1; 7; 7; 2; 1; 6; 7; 7; 2 b 8; 6; 8; 5; 12; 4; 8; 6; 4; 1; 6; 8; 12

Calcola la mediana delle seguenti successioni di numeri.

3; 6; 3; 5; 3; 8; 5; 4; 6 4; 4; 4; 43; 5; 3; 4; 4; 4; 4; 7; 5; 3; 7

Determina il carico medio per carro nel periodo indicato. [20,41 t/carro]

a b

N° carri (migliaia)

2; 5; 4; 7; 9; 6; 3; 4; 9 b 6; 4; 9; 5; 9; 4; 3; 4; 2 a

100; 90; 110; 100; 85; 60; 100; 135 200; 80; 75; 90; 200; 210; 60; 70; 200

110; 100; 70; 90; 120; 110; 100; 80; 130 b 600; 450; 600; 550; 350; 300; 600; 1 000 a

a b

200; 320; 540; 200; 700; 320; 500; 200 300; 310; 400; 400; 300; 550; 300; 220

Un automobilista effettua un percorso in tre tappe rispettivamente di 30 km, 55 km e 20 km. Quale è il chilometraggio medio per tappa? [35 km]

Un negoziante vende 4 chili di fragole a € 3,50 il kg, 2 chili di fragole a € 5 il kg e 6 chili di fragole a € 2 il kg. Qual è il prezzo medio di vendita di quelle fragole? [€ 3,00]

Le temperature rilevate a Milano in una giornata di luglio sono state le seguenti:

Ora

Temperatura (°C)

Calcola la temperatura media della giornata e l’intervallo di variabilità della temperatura (detta anche escursione termica). [19,84 °C; 17 °C]

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SEZIONE B

Il volo Alitalia di mezzogiorno che collega Roma a New York vede, nei diversi giorni della settimana, la seguente affluenza di passeggeri. Lunedì Martedì Mercoledì Giovedì Venerdì Sabato Domenica

238 185 247 142 190 213 173

Rappresenta i dati dell’esercizio precedente con un ideogramma.

Rappresenta i dati dell’esercizio 44 con un ortogramma.

Rappresenta i dati dell’esercizio 45 con un istogramma.

La seguente tabella riporta approssimativamente il numero di abitanti delle regioni italiane.

A quale giorno corrisponde la moda? Qual è il [mercoledì; 198] numero medio di passeggeri? 43

Piemonte Valle d’Aosta Lombardia Trentino-Alto Adige Veneto Friuli-Venezia Giulia Liguria Emilia-Romagna Toscana Umbria Marche Lazio Abruzzo Molise Campania Puglia Basilicata Calabria Sicilia Sardegna

Riferendoti all’esercizio precedente, calcola la frequenza relativa di passeggeri di ciascuna giornata. [17,15%; 13,33%; 17,80%; 10,23%; 13,69%; 15,35%; 12,46%]

Il direttore di un albergo di una località di mare vuole effettuare un’indagine statistica relativa alla durata della permanenza dei suoi clienti; a questo scopo, compila la seguente tabella. N° giorni di permanenza

N° clienti

3 7 14 21

Calcola la popolazione media regionale.

4 214 700 119 500 9 032 000 940 000 4 528 000 1 184 000 1 572 000 3 983 000 3 498 000 826 000 1 470 000 5 112 000 1 262 500 320 600 5 702 000 4 021 000 597 800 2 011 000 4 969 000 1 632 000

Compila una tabella con la frequenza e la frequenza percentuale. Determina la moda e la media dei giorni di permanenza.

Rappresenta i dati dell’esercizio precedente con un istogramma.

[moda = 7; media = 13,329]

Rappresenta i dati dell’esercizio 49 con un cartogramma raggruppando opportunamente i dati.

I 25 alunni di una classe 3ª secondaria hanno effettuato le seguenti scelte circa gli studi superiori.

In un bar si ha il seguente consumo settimanale di alcolici (espresso in bicchieri). A quale giorno corrisponde la moda? Qual è il numero medio di bicchieri serviti in una settimana? Lunedì Martedì Mercoledì Giovedì Venerdì Sabato Domenica

Liceo Ist. tecnico Ist. magistrale Ist. professionale Lavoro

24 0 33 37 54 66 45

6 9 1 7 2

Rappresenta questi dati con un ortogramma e, successivamente, con un areogramma. [sabato; 37]

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Elementi di statistica

LEZIONE 6 ESERCIZI

Sono state intervistate 100 persone per conoscere quali sono gli hobby preferiti. Sono stati raccolti i seguenti dati. Hobby

Alla visita medica i ragazzi di una classe hanno fatto registrare i seguenti pesi. 50 39 44

Tabella di spoglio

A B

51 54 38

34 49 41

38 44 52

35 35 43

49 52 41

50 44 45

38 48 44

Calcola moda, media e mediana dopo aver compilato una tabella di frequenza e aver indicato [44; 44,08; 44; 20] l’intervallo di variabilità.

C D E

Compila una tabella con la frequenza e la frequenza percentuale e poi rappresenta i dati ottenuti prima con un diagramma a barre e successivamente con un areogramma. 54

Rappresenta i dati dell’esercizio precedente con un diagramma a barre; si tratta di una distribuzione normale? Giustifica la risposta.

Un autobus di linea trasporta nelle singole corse di un giorno i seguenti numeri di passeggeri.

Sono state intervistate 90 mamme a cui sono state rivolte le seguenti domande. a Quanti figli ha? b A che età si è sposata? c Prevede di avere altri figli? Le risposte sono state così tabulate. N° di figli 0 1 2 3 ≥4

N° di mamme 7 25 40 13 5

Età al matrimonio ≤ 20 21-25 26-30 31-35 ≥ 36

N° di mamme 11 28 35 10 6

Previsione altri figli sì no non so

N° di mamme 34 42 14

CORSA

1ª

2ª

3ª

4ª

5ª

6ª

7ª

8ª

9ª 10ª

PASSEGGERI

55 75 80 110 100 90 70 120 100 100 Qual è la moda? Qual è il numero medio di passeggeri? [100; 90] 60

Sono state intervistate 50 persone ed è risultata la seguente tabella sulle loro rispettive professioni. operai 10 commercianti 4 artigiani 6 disoccupati 7 a b

impiegati professionisti insegnanti altre attività

14 4 2 3

Rappresenta con un istogramma i dati rilevati. Qual è la moda?

Durante un allenamento un ciclista fa registrare le seguenti velocità medie (in km/h) in tratti di uguale lunghezza del suo percorso.

Calcola la moda relativa alle tre tabelle.

35, 30, 38, 30, 34, 29, 42, 38, 30, 32, 28

Rappresenta con un istogramma i dati delle tre tabelle dell’esercizio precedente dopo aver calcolato le frequenze percentuali.

Calcola la moda, la mediana, la media e l’intervallo di variabilità. [30; 32; 33,27; 14]

Rappresenta con un areogramma i dati delle tre tabelle dell’esercizio 54 dopo aver calcolato le frequenze percentuali.

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LEZIONE

VERIFICA risultati a pag. 175

CONOSCENZE

Indica la risposta esatta. 1

La popolazione statistica è: a tutti gli abitanti di una città. b un insieme di elementi. c un insieme di elementi con una caratteristica comune. Ogni elemento di una popolazione statistica si chiama: a unità statistica. b elemento statistico. c insieme statistico. Un carattere si dice qualitativo quando: a è espresso con un numero. b è espresso con una operazione. c è espresso con una frase. Un carattere si dice quantitativo quando: a è espresso con un numero. b è espresso con una frase. c è espresso con una operazione.

Scrivi la definizione di frequenza assoluta.

Scrivi la definizione di frequenza relativa.

Scrivi la definizione di campione.

Scrivi la definizione di moda.

Scrivi la definizione di mediana.

Scrivi la definizione di media.

Scrivi tutte le fasi necessarie per svolgere adeguatamente una indagine statistica.

ABILITÀ

I dati statistici sono: a le informazioni ricavate nell’indagine. b le persone che effettuano l’indagine. c le persone interessate all’indagine.

Da una indagine effettuata su un campione di ragazzi che frequentano una palestra sono emersi i seguenti dati: 23 hanno i capelli neri 60 hanno i capelli castani 15 hanno i capelli biondi 2 hanno i capelli rossi.

La rilevazione dei dati è: a la raccolta dei dati. b lo spoglio dei dati. c la rappresentazione grafica. Un campione è: a il modo per indicare la popolazione statistica. b la parte di popolazione che non partecipa all’indagine. c la parte della popolazione che è l’oggetto dell’indagine. La frequenza assoluta è: a il numero di volte con cui un dato si presenta. b il numero totale dei dati. c il rapporto tra il numero di volte con cui un dato si presenta e il numero totale dei dati.

134

Rappresenta questa situazione con un grafico e poi trova i valori medi più significativi.

In un giorno di luglio si sono registrate in 6 città le seguenti temperature: MILANO PADOVA GENOVA TORINO FOGGIA ASSISI

MAX MAX MAX MAX MAX MAX

23 24 24 22 23 22

°C °C °C °C °C °C

MIN MIN MIN MIN MIN MIN

16 16 13 16 12 17

°C °C °C °C °C °C

Calcola la media aritmetica delle temperature massime e di quelle minime.

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VERIFICA risultati a pag. 175 18

Un commerciante acquista tre partite della stessa merce alle seguenti condizioni:

Nel seguente grafico è rappresentata la composizione di 1000 litri di aria. 1% altri gas

13 quintali a € 730 16 quintali a € 695 21 quintali a € 635

21% ossigeno

Calcola il prezzo medio di acquisto.

78% azoto

In un gruppo di 16 ragazzi le stature sono distribuite come segue: 2 hanno la statura di 163 cm 3 “ 165 cm 4 “ 168 cm 5 “ 169 cm 1 ha la statura di 171 cm 1 “ 172 cm

Che tipo di rappresentazione è stata utilizzata? Completa la seguente tabella: Elemento

Percentuale

Litri

ossigeno Calcola i valori medi e rappresenta i dati con un grafico.

azoto altri gas

Nel seguente grafico sono rappresentati i giorni di assenza degli alunni di una sezione registrati nel corso dell’anno scolastico. N° alunni

0 1 2

4 5

6 7

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Che tipo di grafico è stato utilizzato? Compila una tabella con le frequenze assolute e relative. c Trova i valori medi che ritieni significativi.

135

N° assenze

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LEZIONE

RECUPERO risultati a pag. 175

Scrivi la definizione di media aritmetica.

Scrivi la formula della media aritmetica ponderata di n dati x1, …, xn con frequenza f1, …, fn.

La seguente tabella illustra il consumo di acqua minerale in alcune nazioni in un determinato periodo di tempo; osserva i dati e rispondi alle domande che seguono (▲ = 10 000 litri).

▲▲▲▲▲ ▲▲▲▲ ▲▲▲▲▲▲▲ ▲▲▲▲

Italia 3

Spagna

Scrivi la definizione di moda.

Francia Germania

Scrivi la definizione di mediana. a

Scrivi il nome dei seguenti grafici.

b c d e

8 a

........................

In quale nazione si registra il consumo minore di acqua? Quanti litri si consumano in Italia? Quanti litri si consumano in Spagna? Quanti litri si consumano in Francia? Quanti litri si consumano in Germania?

Determina la media aritmetica dei seguenti numeri. 36 24 12 18 25 38 40 27 30 28

1 2 3 4

........................

✶✶✶✶ ✶✶✶ ✶✶✶✶✶✶✶ ✶✶✶✶✶

........................

Un’indagine sul colore preferito da un campione di ragazzi ha fornito i dati della tabella sottostante: rappresenta la situazione con un grafico. Rosso Blu Verde Giallo Altri

Determina la moda dei seguenti numeri.

Determina la mediana dei seguenti numeri. 12 10 13 11 15 14

×××× ××× ×××××× ×××× ×××

Determina la mediana dei seguenti numeri. 24 26 27 24 25

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LEZIONE

7 Cenni di logica PREREQUISITI

CONTENUTI

• Proposizioni semplici • Conoscere le operazioni tra insiemi • Conoscere le proprietà delle operazioni • Proposizioni composte • Connettivi logici • Tautologie e contraddizioni • Proposizioni equivalenti • Circuiti elettrici

OBIETTIVI • Comprendere il concetto di proposizione • Acquisire padronanza nelle operazioni logiche • Calcolare il valore di verità di una espressione logica • Saper applicare la logica delle proposizioni ai circuiti elettrici

1 Proposizioni logiche o enunciati La logica è un ramo della matematica e si occupa dello studio della correttezza del ragionamento. Un ragionamento viene condotto normalmente per mezzo di parole che, legate tra loro, costituiscono delle proposizioni, le quali a loro volta formano i discorsi. Molto spesso capita che il signiﬁcato di una proposizione sia diverso nella mente di chi lo trasmette rispetto a quello nella mente di chi lo riceve: questo perché il linguaggio comune (usato nella trasmissione delle proposizioni) può presentare delle ambiguità. Per evitare l’insorgere di ambiguità, in matematica non tutte le proposizioni sono accettabili. Inoltre i discorsi, cioè i ragionamenti, devono seguire regole molto precise che ne garantiscono il rigore. Nel linguaggio comune possiamo deﬁnire una proposizione come una frase composta almeno dal soggetto e dal predicato; nel linguaggio matematico, invece, occorre richiedere qualcosa in più. DEFINIZIONE

Si deﬁnisce proposizione logica (o enunciato) un’espressione linguistica di cui si possa dire con certezza se è vera o falsa. Si dice anche che una proposizione logica può assumere due valori di verità: vero (V) o falso (F). 137

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SEZIONE B

ESEMPIO

Le seguenti frasi sono degli enunciati? 1) 2) 3) 4) 5) 6)

Roma è la capitale d’Italia. L’Arno bagna Firenze. Un triangolo equilatero ha tre lati uguali. 5 è multiplo di 2. Il Sole ruota intorno alla Terra. Il Po è più lungo del Nilo.

Delle prime tre frasi possiamo dire con certezza che sono vere, le restanti sono sicuramente false, quindi sono tutte degli enunciati.

Consideriamo ora le due proposizioni: oggi piove

domani pioverà

Apparentemente si assomigliano ma, mentre della prima possiamo dire con certezza se sia vera o falsa, della seconda non possiamo dire nulla con certezza: la prima è un enunciato, la seconda è solo una proposizione del linguaggio comune. Sono proposizioni del linguaggio comune e non possono essere considerate enunciati le proposizioni imperative, esclamative e interrogative. Gli enunciati possono essere di due tipi: elementari (o semplici) e composti. DEFINIZIONE

ESEMPIO

Si dicono enunciati elementari quegli enunciati che non possono essere scomposti in altri più semplici.

Gli enunciati elementari si indicano con una lettera minuscola.

Sono semplici i seguenti enunciati: p: 5 è un numero primo

DEFINIZIONE

q: 7 è un numero pari

r: Milano è in Lombardia.

Si dicono enunciati composti quegli enunciati formati da due o più enunciati elementari collegati da particolari operatori, detti connettivi logici.

ESEMPIO

Sono composti i seguenti enunciati: “Il triangolo è ottusangolo e isoscele” composto dagli enunciati semplici “Il triangolo è ottusangolo” e “Il triangolo è isoscele”. “14 è pari o dispari” composto dagli enunciati “14 è pari” e “14 è dispari”.

Gli enunciati composti si indicano con le lettere degli enunciati semplici collegati da simboli particolari che introdurremo nel prossimo paragrafo. 138

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Cenni di logica

LEZIONE 7

STOPANDGO

Tra le seguenti frasi semplici indica quelle che sono proposizioni logiche. 24 è una potenza. c Tutti i quadrati sono dei parallelogrammi. e Voglio andare al mare. g Tutti i numeri pari sono divisibili per 2.

Non uscire di casa! Ogni parallelogramma è un quadrato. f Che noia eseguire i compiti… h Vieni al cinema con me?

Tra i seguenti enunciati indica quelli composti. a c

Sara è più alta di Luisa. Paolo gioca a tennis e a pallavolo.

b d

100 è divisibile per 2 e per 5. Carlos e Luca giocano a basket.

Indica gli enunciati semplici che compongono i seguenti enunciati composti. Carlo mangia sempre pesche e uva. Maria ama lavorare a maglia e ricamare. e I gatti sono felini e carnivori.

Il papà legge il giornale o guarda la televisione. Roma è la capitale d’Italia e il capoluogo di provincia della regione Lazio.

2 I connettivi logici Abbiamo già detto che gli enunciati composti sono formati da più enunciati semplici legati tra loro da operatori, detti connettivi logici. Connettivo

Simbolo

Operazione svolta dal connettivo

non

−

negazione

∧

congiunzione

o (vel)

disgiunzione inclusiva

o… o… (aut)

∨ . ∨

disgiunzione esclusiva

se ... allora

→

implicazione materiale

se e solo se

↔

doppia implicazione materiale

Gli ultimi due connettivi logici richiedono capacità di ragionamento logico astratto piuttosto complesse, per cui non verranno presi in considerazione. Ci limiteremo a trattare i connettivi di più facile comprensione. ESEMPIO

L’enunciato “Susanna suona il piano e gioca a pallavolo” è un enunciato composto da due enunciati semplici: p: Susanna suona il piano

q: Susanna gioca a pallavolo

L’enunciato composto si scrive p ∧ q e si legge “Susanna suona il piano e gioca a pallavolo”.

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Verso altri linguaggi

SEZIONE B

■ Tabelle di verità dei connettivi logici

Partendo dal presupposto che si deve conoscere il valore di verità (vero o falso) dell’enunciato elementare, è possibile stabilire il valore di verità della proposizione composta e costruire uno schema, che prende il nome di tabella di verità. ■ Connettivo NON “ — ”

Il connettivo non opera su un solo enunciato e ne produce la negazione. Se p è l’enunciato, la sua negazione è — p (si legge “non p”). Ovviamente se p è vero, — p è falso. Ricorda poi che in logica una doppia negazione afferma, quindi la tabella di verità è la seguente. p

ESEMPIO

— Dato l’enunciato p: Paola è italiana, scrivi gli enunciati — p e p. — p : Paola non è italiana. — p : Non è vero che Paola non è italiana (quindi Paola è italiana).

ESEMPIO

Occorre prestare molta attenzione quando si compone la negazione di un enunciato, per non incorrere in gravi errori di logica.

Considera l’enunciato q: Tutti gli alunni sono minorenni. La sua negazione è: q—: Non tutti gli alunni sono minorenni (si ammette la presenza di minorenni e di maggiorenni). Non è corretta, invece, la seguente proposizione: q—: Tutti gli alunni non sono minorenni (si esclude la presenza di alunni minorenni).

∧” ■ Connettivo E “∧

Il connettivo e opera su due enunciati elementari e ne produce la congiunzione, dando luogo a un enunciato composto che è vero solo se risultano veri entrambi gli enunciati elementari che lo compongono. La tabella di verità è la seguente. p

p∧q

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Cenni di logica

LEZIONE 7

ESEMPIO

Dati gli enunciati: p: Paola ha la macchina. q: Paola ha il motorino. Componendoli con il connettivo ∧ (e) si ottiene: p ∧ q: Paola ha la macchina e il motorino. p

p∧q

L’enunciato composto è vero se sono veri entrambi gli enunciati semplici che lo compongono, cioè se Paola ha sia la macchina che il motorino.

■ Connettivo O (vel) “ ∨ ”

Il connettivo o (vel) opera su due enunciati elementari e ne produce la disgiunzione inclusiva, dando luogo a un enunciato composto. Ad esempio:

p: Laura è italiana q: Laura è europea

}

p ∨ q: Laura è italiana o europea (si legge p vel q).

L’enunciato composto mediante la disgiunzione inclusiva è sempre vero tranne nel caso in cui entrambi gli enunciati componenti siano falsi. La tabella di verità è la seguente. p

p∨q

ESEMPIO

Considera gli enunciati: p: Maria parla tedesco q: Maria parla francese Componendoli con il connettivo ∨ (vel) si ottiene: p ∨ q: Maria parla francese o tedesco 141

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Verso altri linguaggi

SEZIONE B

p∨q

L’enunciato composto è falso solo se entrambi gli enunciati semplici che lo compongono sono falsi, in questo caso se Maria non parla né francese né tedesco.

. ■ Connettivo O… O… (aut) “ ∨ ”

Il connettivo o… o… (aut) opera su due enunciati elementari e ne produce la disgiunzione esclusiva, dando luogo a un enunciato composto. Ad esempio: p: Marco è vivo q: Marco è morto

}

. p ∨ q: Marco è o vivo o morto (si legge p aut q).

L’enunciato composto mediante la disgiunzione esclusiva è vero se è vero solo uno degli enunciati semplici che lo compongono. La tabella di verità è la seguente: .

p∨q

ESEMPIO

Considera gli enunciati: p: Carlo gioca a calcio q: Carlo gioca a basket p

p ∨. q

}

Componendoli con il connettivo ∨ (aut) si ottiene:

p ∨ q: Carlo gioca o a calcio o a basket

L’enunciato composto è vero solo se Carlo pratica solo uno sport tra calcio e basket, è falso se pratica entrambi gli sport o se non ne pratica nessuno dei due.

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Cenni di logica

LEZIONE 7

Ricordando le tabelle di verità dei connettivi logici si possono ricavare i valori di verità di una proposizione composta. Due proposizioni composte formate dalle stesse proposizioni p, q, … sono logicamente equivalenti se possiedono lo stesso valore di verità indipendentemente dai valori di verità delle componenti. Se una proposizione composta è sempre vera, indipendentemente dai valori di verità delle componenti, prende il nome di tautologia; se è sempre falsa, indipendentemente dai valori di verità delle sue componenti, prende il nome di contraddizione. ESEMPIO

—— Costruiamo la tabella di verità della seguente proposizione composta: (p ∨ q ) ∧ p. La tabella va composta con le singole componenti della proposizione composta, dopo aver attribuito a p e q tutti i valori di verità possibili. p

p∨q

—— p∨q

(—— p ∨q) ∧p

Osservando l’ultima colonna, cioè quella della proposizione da studiare, si può affermare che la proposizione composta è una contraddizione.

STOPANDGO

Considera le seguenti proposizioni semplici e forma le proposizioni composte usando il connettivo ∧ (e). p: q: b p: q: c p: q: a

p: q: c p: q:

Maria legge Simone scrive 4 è un quadrato perfetto 2 è un numero dispari il Sole è una stella il Sole appartiene al sistema solare

10 è divisibile per 2 10 è divisibile per 3 Giulia mangia carne Giulia mangia verdura

Completa le seguenti tabelle di verità. 4

Scrivi la negazione dei seguenti enunciati. p: 2 è un numero primo q: Pitagora è vivo c r: tutti i bambini nuotano

p–

q– p– ∨ q p ∧ q– p– ∨ q– p ∧ q–

Considera le seguenti proposizioni semplici e forma le proposizioni composte usando il connettivo ∨ (vel). a

p: Gigi mangia q: Gigi studia

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p–

q–

. p– ∨ q= p ∨ q–

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Verso altri linguaggi

SEZIONE B

APPROFONDIMENTO

■ I circuiti elettrici

Consideriamo un circuito elettrico formato da una pila (generatore), una lampadina e un interruttore. L’interruttore può essere aperto (e quindi non lascia passare corrente) oppure può essere chiuso (e quindi lascia passare corrente). interruttore T chiuso

interruttore T aperto

spenta, non passa corrente

accesa, passa corrente

Il passaggio di corrente è messo in evidenza dall’accensione della lampadina. Indichiamo con il simbolo “1” la chiusura di un interruttore (e quindi il passaggio di corrente) e con il simbolo “0” l’apertura di un interruttore (e quindi il non passaggio di corrente). Prendiamo ora in considerazione l’enunciato elementare p: “Passa corrente”. Abbiamo allora le seguenti corrispondenze: 0 → interruttore aperto → non passa corrente → p è F 1 → interruttore chiuso → passa corrente →pèV Costruiamo ora un circuito costituito da una pila, una lampadina e da due interruttori in serie, come rappresentato in figura. p

La lampadina si accende, ovviamente, quando le arriva corrente; come devono essere posizionati gli interruttori afﬁnché ciò avvenga? Il passaggio di corrente nella lampadina avviene solo quando entrambi gli interruttori sono chiusi. Se scriviamo in una tabella le possibili combinazioni dei due interruttori, otteniamo il seguente risultato. p

p∧q

Ricordando che 0 → F e 1 → V, la tabella ottenuta corrisponde a quella della congiunzione logica. 144

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Cenni di logica

LEZIONE 7

REGOLA

Un collegamento in serie obbedisce all’operazione di congiunzione logica “e” ∧.

Costruiamo ora un circuito costituito da una pila, una lampadina e da due interruttori in parallelo, come rappresentato nella seguente figura. p

Anche in questo caso la lampadina si accende quando le arriva corrente. Il passaggio di corrente nella lampadina può avvenire o grazie alla chiusura del solo interruttore p o grazie alla chiusura del solo interruttore q o, ancora, grazie alla chiusura di entrambi gli interruttori. Usando le notazioni precedenti, otteniamo le seguenti combinazioni per i due interruttori. p

p∨q

In questo caso, la tabella ottenuta corrisponde all’operazione logica di disgiunzione inclusiva tra gli enunciati p e q. REGOLA

Un collegamento in parallelo obbedisce all’operazione logica di disgiunzione inclusiva “o” ∨.

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LEZIONE

7 Cenni di logica ESERCIZI 1

Vero V o falso F ? a V F b V F c V F d V F

e V F f V F g V F h V F i l

V F V F

Una proposizione è logica quando posso dire con certezza se è vera o falsa. Se una proposizione è vera, la sua negazione può essere falsa. Un circuito in parallelo rappresenta la disgiunzione “o”. La congiunzione logica “e” viene rappresentata nei circuiti elettrici con gli interruttori in serie. . Il simbolo di congiunzione è ∨ . Il simbolo di congiunzione è ∨. L’implicazione materiale si indica con →. Due proposizioni sono logicamente equivalenti se hanno gli stessi valori di verità. “Oggi piove” è una proposizione logica. “Gigi è antipatico” è una proposizione logica.

a b c d e f

b c d e f

Parigi è in Francia. 7 + 4 = 28 45 è multiplo di 4. d V F Il Tevere è un lago. e V F 11 è un numero primo. f V F Il sole nasce a Ovest.

b c d e f g h i l

Indica se i seguenti enunciati sono semplici S o composti C . Marco parla due lingue. Paolo beve e mangia un panino. Se la penna non scrive allora bisogna cambiarla. d S C La balena è un pesce e un mammifero. e S C La radio è accesa. f S C L’ultima lettera dell’alfabeto è la Z. a S C

Oggi c’è il sole. Forse domani pioverà. 13 è un numero dispari. Roma è la capitale d’Italia. 0 è minore di 7. Paolo è simpatico.

b S C c S C

Stabilisci quali delle seguenti frasi sono proposizioni logiche. a

Stabilisci il valore di verità dei seguenti enunciati. a V F

Stabilisci quali delle seguenti frasi sono proposizioni logiche. a

Il numero 10 è divisibile per 3. Attenzione, il semaforo è rosso! Il Tevere è un fiume. Il numero 10 è divisibile per 2. È cominciata la partita? Il mio amico è simpatico.

b V F c V F

6 2

Stabilisci quali delle seguenti frasi sono proposizioni logiche.

Completa la seguente tabella. Proposizione

Il parallelogramma ABCD ha quattro lati. Verona è capoluogo di provincia. Vincendo al lotto si diventa milionari. Domani pioverà. 3 è minore di 5. 10 è maggiore di 20. Sbagliando si impara. 20 è divisibile per 7. 10 è un numero primo. I figli sono simili ai genitori.

SÌ NO

Il Po è il fiume più lungo d’Italia 13 è un numero primo 12 è divisibile per 5 Francesca è una bella ragazza La Terra è una stella Socrate è un uomo Novara è una città inglese

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Cenni di logica

LEZIONE 7 ESERCIZI

Scrivi la proposizione p ∧ q che si ottiene da ogni coppia di proposizioni semplici. p: q: b p: q: c p: q: d p: q: a

b c d e

Il rettangolo è equiangolo e ha le diagonali uguali. Il Po è un fiume e bagna Pavia. Il pastore tedesco è un cane e fa la guardia. 11 è numero primo e pari. Il triangolo ABC è isoscele o rettangolo.

Calcola il valore di verità di (p ∧ q) ∨ q– supponendo p vero e q vero. Siano p e q le proposizioni: p: “oggi piove”, q: “domani è Natale”. Delle proposizioni: p– , q– , p ∨ q, p ∧ q, p– ∨ q– determina il valore di verità, sapendo che p è vera e q è falsa.

p∨q b p ∧ q

p– ∧ q p– ∨ q

p ∨ q ∨ p–; p– ∧ q– ∧ (p ∨. q); (p ∨ q) ∧ (p– ∨ q)

p ∨ q– e p– ∧ q

Considera le seguenti proposizioni semplici: p: 5 è un numero primo q: il trapezio ABCD ha tre lati r: 5 + 3 = 53 s: a è una vocale Determina poi il valore di verità delle seguenti proposizioni composte. a

p∧r

p∨s

. q ∨r

q∨r

q∨s

– s ∧p

—— p∧q ∨q

(p– ∨ q–) ∧ q

Costruisci le tavole di verità delle seguenti proposizioni composte e verifica se ci sono tautologie o contraddizioni. ——

(p ∧ q) ∨ q–

(p ∨ q ) ∧ p

(p– ∧ q) ∨ q

(p ∨ q–) ∧ q–

(p ∧ q–) ∨ p

(p ∨ q ) ∧ (p ∧ p–)

(p ∧ q) ∧ (p– ∧ q–)

——

[tautologie: e ; contraddizioni: b , f , g ]

Scrivi le proposizioni logiche corrispondenti ai seguenti circuiti elettrici. 19

Verifica se le seguenti proposizioni sono equivalenti.

[sì]

(p ∧ q ) ∧ (p ∨ q)

—— – a p ∧ (p ∧ q ) e p ∧ (p ∧ q )

(p ∧ q) ∨ (p– ∧ q–) = (p ∨ q–) ∧ (p– ∨ q)

Dimostra che la proposizione (p ∧ q) ∧ q– è sempre falsa per qualunque valore di verità assunto da p e q.

——

Costruisci le tavole di verità delle seguenti proposizioni composte. p– ∧ q; p ∨ q–;

[sì]

Dimostra che la proposizione (p ∨ q) ∨ q– è sempre vera per qualunque valore di verità assunto da p e q.

p ∧ q– p ∨ q–

p ∧ (p ∨ q) = p

Date le proposizioni (entrambe vere) p: “Filippo è un architetto” e q: “Carla è un’insegnante”, determina il valore di verità delle seguenti proposizioni composte. a

Scrivi le proposizioni semplici che formano le seguenti proposizioni composte. a

Lia è bionda Lia porta gli occhiali Mario ha la macchina Mario ha il motorino il rombo è equilatero il rombo ha le diagonali perpendicolari 40 è divisibile per 4 40 è divisibile per 5

r s

[sì] [no] [[(p ∧ q ∧ r) ∨ t] ∧ s]

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SEZIONE B

Disegna il circuito che rappresenta le seguenti proposizioni logiche.

r 25

p ∧ (q ∨ r)

p ∨ (q ∧ r)

(p ∨ q) ∧ (r ∨ s)

p ∨ (q ∧ r ∧ s)

s [p ∧ q ∧ r ∧ s]

p r

[p ∧ (q ∨ r) ∧ s]

p s

r q

[(p ∨ q) ∧ r ∧ s]

r t

[(p ∨ q) ∧ (r ∨ s) ∧ t]

q p r

[p ∧ [q ∨ (r ∧ s)]]

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LEZIONE

VERIFICA risultati a pag. 175

CONOSCENZE 1

Stabilisci quali delle seguenti frasi sono proposizioni logiche. a b c d e f

ABILITÀ 4

3 è un numero pari. L’anno 2004 è stato bisestile. Il cioccolato è più buono delle caramelle. Cipro è un’isola. Gigi è bellissimo. Che ora è?

14 è la metà di 28. 10 è uguale al quadrato di 3 più 1. Il prosciutto di Parma è buono. d V F 4 diviso 0 dà 0. e V F b è una vocale. f V F Il MCD di 8 e 12 è uguale a 24. a V F

b V F c V F

Completa le seguenti frasi in modo da ottenere proposizioni vere. L’Italia è ................................................ Il ............................................. è Natale. c Ogni triangolo ha .................................... d Il cubo di 2 è ......................................... a

Attribuisci il valore di verità alle seguenti proposizioni nei casi in cui si possono considerare logiche.

Data la proposizione composta: “5 è soluzione di x2 – 25 = 0 e il MCD di 12 e 18 è uguale a 6”, determina: le proposizioni semplici p e q e i relativi valori di verità; b il valore di verità di p ∧ q. a

Completa le seguenti frasi in modo che non risultino delle proposizioni logiche. Domani ……………………………………… Paolo è ……………………………………… c La pasta è .................................. del riso.

Scrivi la tabella di verità delle seguenti proposizioni (nelle tabelle c e d scegli tu i passaggi intermedi). —— – – a (p ∧ q ) ∨ (p ∧ q )

—— – b ((p ∧ q ) ∧ p) ∧ q )

q– ∧ (p– ∨ q)

((p– ∨ q) ∧ p) ∨ q–

p V V F F

q V F V F

p–

q–

p V V F F

q V F V F

q–

p V V F F

q V F V F

q– ∧ (p– ∨ q)

p V V F F

q V F V F

((p– ∨ q) ∧ p) ∨ q–

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p∧q

p—— ∧q

p– ∧ q–

(p—— ∧ q) ∧ p

(p—— ∧ q ) ∨ (p– ∧ q–)

((p—— ∧ q ) ∧ p) ∧ q–

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LEZIONE

RECUPERO risultati a pag. 175

Stabilisci quali delle seguenti frasi sono proposizioni logiche.

Osserva il circuito seguente e completa. p

Oggi piove. Perché non studi? c Il quadrilatero ABCD ha tre lati. d Quanti soldi hai speso? e 7 è un numero dispari. a

Scrivi una proposizione vera e una falsa. a

Gli interruttori sono disposti in ……………

L’interruttore p è …………… , l’interruttore q è …………………

La proposizione logica che rappresenta il circuito è ………………………

q: 6

Osserva il circuito seguente e completa.

Date le proposizioni p: “il triangolo ABC ha tre lati” e q: “3 è un numero pari”, determina il valore di verità delle seguenti proposizioni composte. a

p∧q

p∨q

p– ∧ q

p ∧ q–

q– ∨ p–

Compila la tabella di verità delle seguenti proposizioni composte. a

(p ∨ q–) ∧ (q ∧ p)

(p ∨ q) ∧ q–

150

Gli interruttori sono disposti in ……………

L’interruttore p è …………… , l’interruttore q è ………………………, l’interruttore r è …………… quindi …………… passaggio di corrente.

La proposizione logica che rappresenta il circuito è ………………………

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LEZIONE

8 Elementi di calcolo delle probabilità PREREQUISITI

CONTENUTI

• Eventi certi ed aleatori • Conoscere l’insieme Q • Probabilità di un evento • Saper operare nell’insieme Q • Saper lavorare con le tabelle a doppia • Probabilità composta entrata • Saper costruire i diagrammi ad albero

OBIETTIVI • Capire se un evento è aleatorio • Conoscere il concetto di probabilità • Saper applicare il concetto di probabilità in una situazione problematica

Un ramo particolare della matematica è costituito dal calcolo delle probabilità, che si è sviluppato a partire dal XVII secolo. Esso è nato partendo dallo studio di giochi di azzardo (dadi, roulette, carte) ed è in seguito stato applicato ad altri campi, come la biologia, l’ingegneria e la genetica.

1 Eventi casuali Nella vita quotidiana vi sono avvenimenti che si verificano con certezza (dopo il 31 dicembre segue sempre il 1° gennaio), altri che non si verificano mai, come l’uscita del sette lanciando un dado, e altri ancora che sono possibili ma non certi. Compito del calcolo delle probabilità è di determinare la probabilità che un avvenimento ha di verificarsi. Quando si parla di avvenimenti (in matematica normalmente definiti eventi) occorre innanzi tutto distinguere quelli il cui verificarsi ha una causa, conosciuta o meno, da quelli il cui verificarsi dipende solo ed esclusivamente dal caso. Facciamo qualche esempio. • Che la nazionale di calcio vinca la partita dipende dalla preparazione e dalla bravura dei giocatori. • Che la temperatura esterna possa raggiungere i 30 °C dipende dalla stagione. 151

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Verso altri linguaggi

SEZIONE B

• Che un alunno sia promosso dipende dalle sue capacità e dal suo impegno. • Che la carta pescata da un mazzo di carte da briscola sia un asso di fiori dipende solo dal caso. • Che alla roulette esca il numero 35 dipende solo dal caso. • Che da un sacchetto contenente palline differenti tra loro solo per il colore rosso o bianco venga estratta una pallina bianca dipende solo dal caso. DEFINIZIONE

Un evento è detto casuale o aleatorio quando il suo verificarsi dipende unicamente dal caso.

Un tipico esempio di evento casuale è l’uscita di uno dei sei numeri possibili nel lancio di un dado: in latino la parola dado si traduce con il vocabolo alea e per questo motivo un evento casuale è detto anche evento aleatorio.

ESEMPIO

Individuiamo gli eventi certi C , impossibili I , probabili P . a b c d e

Estrarre il numero 45 nel gioco della tombola ..................................................................................... P Ottenere testa nel lancio di una moneta ................................................................................................. P Ottenere il numero 12 nel lancio di un dado ........................................................................................ I Estrarre una pallina rossa da un sacchetto contenente 10 palline rosse e 10 verdi ..... P Ottenere due numeri la cui somma sia maggiore di 1 nel lancio di due dadi .................. C

STOPANDGO

Indica quali delle seguenti proposizioni indicano eventi casuali: Tra due giorni sarà Pasqua. c Nel lancio di una moneta esce testa. e Nel gioco del lotto esce il numero 40.

Domani pioverà. Per un lavoro si riceve un compenso. f Dal sacchetto della tombola viene estratto il 90.

Indica se i seguenti eventi sono certi C , impossibili I o probabili P . a C

I I I d C I b C c C

P P P P

Ottenere un numero primo nel lancio di un dado. Estrarre un numero di tre cifre dal sacchetto della tombola. Estrarre una carta di seme rosso da un mazzo di 40 carte. Vincere il primo premio in una lotteria avendo comprato tutti i biglietti.

Scrivi tre eventi certi, tre probabili e tre impossibili.

■ Probabilità di un evento casuale

Consideriamo il lancio di un dado. Quale probabilità abbiamo che si presenti la faccia con il numero 5? • Tutti i casi che si possono presentare (nel nostro caso 6) si dicono casi possibili. • Tutti i casi che si presentano secondo le aspettative (nel nostro caso 1 e precisamente la faccia “5”) si dicono casi favorevoli. 152

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Elementi di calcolo delle probabilità

LEZIONE 8

• Tutti i casi che non si presentano secondo le aspettative (nel nostro caso 5 e precisamente le facce “1”, “2”, “3”, “4”, “6”) si dicono casi contrari. Ne consegue che: casi favorevoli DEFINIZIONE

casi contrari

casi possibili

La probabilità matematica P di un evento casuale E è il rapporto tra il numero dei f casi favorevoli f e il numero dei casi possibili n, cioè PE = n .

Questa definizione è valida nell’ipotesi che i casi possibili siano tutti ugualmente probabili. Consideriamo il rapporto che ci dà il valore della probabilità: • poiché il numero dei casi favorevoli è minore del numero di casi possibili, il valore del rapporto è minore di 1; • se il numero dei casi favorevoli è nullo, il valore del rapporto è 0 e non essendoci casi favorevoli si dice che l’evento non può verificarsi (è impossibile); • se il numero dei casi favorevoli è uguale al numero dei casi possibili, il valore del rapporto è uguale a 1 e si dice che l’evento si verificherà sicuramente (è certo). PROPRIETÀ

La probabilità di un evento impossibile è 0, la probabilità di un evento certo è 1, la probabilità PE di un evento qualsiasi è sempre un numero compreso tra 0 e 1, cioè 0 ≤ PE ≤ 1.

ESEMPIO

Da un’urna contenente 6 palline blu e 3 palline rosse se ne estrae una. Calcoliamo la probabilità che la pallina estratta sia: a b c a

rossa colorata bianca i casi possibili sono 9 i casi favorevoli sono 3

→

Prossa =

i casi possibili sono 9 i casi favorevoli sono 9

→

Pcolorata =

i casi possibili sono 9 i casi favorevoli sono 0 (non ci sono palline bianche)

→

Pbianca =

153

3 1 = 9 3

9 =1 9

0 =0 9

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SEZIONE B

STOPANDGO

In una busta ci sono le 23 fotografie degli alunni di una classe formata da 10 maschi e 13 femmine; qual è la probabilità che, prendendo una foto a caso, sia di una femmina?

In un sacchetto ci sono 40 cioccolatini della stessa forma: 6 sono al latte, 15 fondenti e i rimanenti sono farciti. Prendendo un cioccolatino a caso, qual è la probabilità che sia al latte? Quale la probabilità che sia farcito? Quale la probabilità che sia fondente?

Scrivi su dei foglietti le lettere della parola tabarro e supponi di pescarne uno a caso. Quanti sono i casi favorevoli all’estrazione della lettera a? Quanti quelli favorevoli all’estrazione della lettera b? Calcola poi la probabilità che venga estratta una vocale.

■ Probabilità di un evento contrario

Abbiamo già visto che si definiscono casi contrari quelli che non si presentano secondo le aspettative. Ogni evento ammette il suo contrario, che viene detto anche complementare. ESEMPIO

Calcoliamo la probabilità di estrarre da un mazzo di carte da briscola una carta di quadri. n° casi possibili n° casi favorevoli

= 40 = 10

→

Pquadri =

10 1 = 40 4

L’evento contrario corrisponde all’estrazione di una carta non di quadri: n° casi possibili n° casi favorevoli

= 40 = 30

→

Pnon quadri =

30 3 = 40 4

Confrontando i due risultati, possiamo mettere in evidenza che i due rapporti sono complementari, infatti: 1 3 + =1 4 4

TEOREMA

La probabilità dell’evento contrario è uguale al complementare della probabilità dell’evento dato.

ESEMPIO

Calcoliamo la probabilità che, lanciando un dado, non esca la faccia 3. P3 =

1 6

Pnon 3 = 1 –

1 5 = 6 6

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Elementi di calcolo delle probabilità

LEZIONE 8

STOPANDGO

Hai 60 cubetti uguali di cui 35 gialli, 5 rossi, 10 neri, 8 bianchi e 2 verdi. Calcola la probabilità di estrarre: a b c d e f g h

un un un un un un un un

cubetto cubetto cubetto cubetto cubetto cubetto cubetto cubetto

giallo rosso nero bianco verde non giallo né rosso né nero né rosso né verde né bianco

Qual è la probabilità che nel lancio di un dado esca il numero 1? Quale la probabilità che non esca il 5?

In un distributore ci sono 70 caramelle al limone, 50 all’arancia, 30 alla menta. Estraendone una a caso, calcola la probabilità che sia: al limone alla menta c all’arancio d non alla menta a

La probabilità di un evento E è 3/5; qual è la probabilità del suo complementare? Qual è la probabilità che l’evento E non si verifichi?

Esprimi le probabilità trovate anche in percentuale.

2 Frequenza e legge empirica del caso La probabilità è un calcolo teorico, ma nella pratica che cosa succede? 1 Consideriamo il lancio di una moneta: la probabilità che si presenti testa è 2 . Se effettuiamo una serie di 10 lanci, difficilmente otterremo 5 volte testa: dovremmo quindi smentire la validità della definizione di probabilità? No, dobbiamo solo introdurre un nuovo concetto: quello di frequenza. DEFINIZIONE

Si deﬁnisce frequenza relativa FE di un evento E il rapporto tra il numero delle volte in cui l’evento si è verificato e il numero delle prove effettuate, cioè: n° dei successi FE = n° delle prove effettuate

Se nel corso dei nostri 10 lanci di moneta si è presentata 6 volte testa e 4 volte croce, abbiamo: Ftesta =

6 3 4 2 = ; Fcroce = = . 10 5 10 5

Come si può vedere, il valore della frequenza non coincide con il valore della probabilità; vediamo cosa succede se si aumenta il numero delle prove effettuate. N° di volte in cui si è presentata testa

N° di volte in cui si è presentata croce

6/10 = 0,6

4/10 = 0,4

100

57/100 = 0,57

43/100 = 0,43

1000

561

439

561/1000 = 0,561

439/1000 = 0,439

10 000

5358

4642

5358/10 000 = 0,5358 4642/10 000 = 0,4642

N° di prove

155

Frequenza testa

Frequenza croce

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Verso altri linguaggi

SEZIONE B

Come si può vedere dalla tabella, la frequenza dei due eventi si discosta parecchio dalla probabilità matematica quando vengono effettuate poche prove, ma tende ad avvicinarsi sempre più alla probabilità man mano che il numero di prove aumenta. Questo comportamento è noto come legge empirica del caso o legge dei grandi numeri per qualsiasi evento casuale. LEGGE EMPIRICA DEL CASO

Effettuando un numero elevato di prove, sempre nelle medesime condizioni, la frequenza di un evento casuale ha un valore quasi uguale al valore teorico della probabilità dell’evento; il valore della frequenza si avvicina tanto più al valore della probabilità quanto più elevato è il numero di prove effettuate.

3 Probabilità totale: eventi incompatibili ed eventi compatibili Consideriamo le due seguenti situazioni: • evento A: estrazione da un mazzo di carte da briscola di un re; • evento B: estrazione da un mazzo di carte da briscola di un cinque. Il verificarsi dell’evento A esclude il verificarsi dell’evento B, cioè i due eventi non possono verificarsi contemporaneamente e perciò si dicono eventi incompatibili; si può concludere che o si verifica A o si verifica B. La disgiunzione o è usata con il significato esclusivo. Consideriamo ora le due situazioni seguenti: • evento C: estrazione da un mazzo di carte da briscola di un quattro; • evento D: estrazione da un mazzo di carte da briscola di una carta di cuori. Il verificarsi dell’evento C non esclude il verificarsi dell’evento D (potrebbe essere estratto proprio il quattro di cuori), cioè i due eventi possono verificarsi contemporaneamente e perciò si dicono eventi compatibili; si può concludere che si può verificare sia C che D. Vediamo ora con degli esempi come si calcola la probabilità totale, cioè la probabilità che si verifichi uno o l’altro di due eventi, sia in caso siano incompatibili, sia in caso siano compatibili. ■ Probabilità totale di eventi incompatibili

Calcoliamo la probabilità di estrarre da un’urna, contenente 10 palline rosse, 8 palline verdi e 7 palline nere, una pallina rossa oppure una nera. Osserviamo che l’estrazione di una pallina rossa è un evento incompatibile con l’estrazione di una pallina nera. I casi possibili sono 10 + 8 + 7 = 25. I casi favorevoli sono dati dal numero delle palline rosse e anche dal numero delle palline nere, cioè 10 + 7 = 17, quindi: 17 Prossa o nera = 25 156

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Elementi di calcolo delle probabilità

LEZIONE 8

Allo stesso risultato possiamo pervenire anche se sommiamo le singole probabilità dei due eventi incompatibili, infatti: Prossa = REGOLA

10 25

Pnera =

7 25

Prossa o nera =

10 7 17 + = 25 25 25

La probabilità totale di due o più eventi incompatibili è data dalla somma delle singole probabilità: PA o B = PA + PB . ■ Probabilità totale di eventi compatibili

Calcoliamo la probabilità di estrarre da un mazzo di carte da briscola un asso o una carta di fiori. Osserviamo che l’estrazione di un asso è un evento compatibile con l’estrazione di una carta di fiori, infatti se si estrae l’asso di fiori i due eventi si verificano contemporaneamente. I casi possibili sono 40. I casi favorevoli sono dati dal numero degli assi (4) e anche dal numero delle carte di fiori, escludendo però l’asso in quanto già considerato (9); o, che è lo stesso, dal numero delle carte di fiori (10) e anche dal numero degli assi, escludendo però quello di fiori perché già considerato (3), cioè in tutto 13; perciò: Passo o carta di fiori =

13 40

Allo stesso risultato possiamo pervenire anche sommando le singole probabilità e sottratto la probabilità che i due eventi si verifichino contemporaneamente; infatti: 4 40

Pcarta di fiori =

Passo o carta di fiori =

4 10 1 13 + – = 40 40 40 40

Passo =

REGOLA

10 40

Passo di fiori =

1 40

La probabilità totale di due eventi compatibili è data dalla somma delle singole probabilità diminuita della probabilità che si veriﬁchino contemporaneamente: PC o D = PC + PD – PC e D .

STOPANDGO

Indica quali tra le seguenti coppie di eventi sono compatibili e quali incompatibili. a

Nel gioco della tombola: A: esce un numero multiplo di 3; B: esce un numero multiplo di 12. Nel lancio di un dado: A esce un numero pari; B: esce il numero 3.

157

In un mazzo di 40 carte: A: esce il sette di quadri; B: esce una carta di fiori.

[ a compatibili, b incompatibili, c incompatibili]

Considera l’estrazione di una carta da un mazzo di 40 carte e scrivi a tre eventi compatibili e b tre eventi incompatibili.

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SEZIONE B

4 Probabilità composta: eventi indipendenti ed eventi dipendenti Consideriamo le due seguenti situazioni: • evento A: estrazione da un’urna, contenente 5 palline rosse e 7 bianche, di una pallina bianca; • evento B: estrazione da un’altra urna, contenente 8 palline rosse e 6 bianche, di una pallina bianca. Il verificarsi dell’evento A non ha alcuna influenza sul verificarsi dell’evento B e perciò i due eventi si dicono eventi indipendenti. Consideriamo ora le due situazioni seguenti: • evento C: estrazione da un’urna, contenente 12 palline verdi e 8 palline gialle, di una pallina verde; • evento D: estrazione dalla stessa urna di una seconda pallina verde senza reintrodurre la pallina precedentemente estratta. Una volta estratta una pallina, il numero di casi possibili diminuisce di un’unità e il numero di casi favorevoli dipende dal colore della prima pallina estratta. Quindi il verificarsi dell’evento C condiziona il verificarsi dell’evento D e perciò i due eventi si dicono eventi dipendenti. Vediamo ora con degli esempi come si calcola la probabilità composta, cioè la probabilità che si verifichino entrambi gli eventi, sia in caso siano indipendenti, sia in caso siano dipendenti. ■ Probabilità composta di eventi indipendenti

Lanciamo una moneta 2 volte e calcoliamo la probabilità che in entrambi i casi si presenti la faccia testa. Visualizziamo quanto richiesto dal problema con un grafico. ncio

o nci ° la

1°

lan c

2° la

2° lan cio

ncio 2° la

2° lan cio

➟ ➟ ➟ ➟

I due eventi sono chiaramente indipendenti, perché la faccia che si presenta al primo lancio non influenza il risultato del secondo lancio.

Al primo lancio si può presentare la faccia testa oppure la faccia croce; in ciascuno dei due casi, al secondo lancio si può ancora presentare o la faccia testa o la faccia croce. I casi possibili sono 4, i casi favorevoli (testa e testa) sono 1, quindi la probabilità è: 1 PT e T = 4 158

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Elementi di calcolo delle probabilità

LEZIONE 8

Allo stesso risultato possiamo pervenire anche moltiplicando le probabilità dei singoli eventi; infatti: 1 ⎪⎫ 1o lancio : PT = ⎪⎪ 2⎪ 1 ⋅ 1 = 1 = P ⎬ T eT 1⎪ 2 2 4 2o lancio : PT = ⎪⎪ 2 ⎪⎪⎭ REGOLA

La probabilità composta di due eventi indipendenti è data dal prodotto delle singole probabilità: PA e B = PA · PB .

NOTA

Il problema che abbiamo appena considerato contempla due lanci di una moneta, ma la situazione sarebbe la stessa se avessimo lanciato contemporaneamente due monete. Analogamente, l’estrazione di palline da due urne corrisponde a due estrazioni successive dalla stessa urna rimettendo nell’urna la prima pallina estratta.

■ Probabilità composta di eventi dipendenti

Consideriamo la seguente situazione: un’urna contiene 12 palline bianche, 5 rosse e 8 verdi; si effettua una prima estrazione e poi una seconda senza rimettere nell’urna la prima pallina estratta. Calcoliamo la probabilità che entrambe le palline estratte siano verdi. Alla prima estrazione i casi possibili sono 25 e i casi favorevoli sono 8, perciò la probabilità di estrarre una pallina verde è: P1ª verde =

8 25

Alla seconda estrazione i casi possibili sono ridotti a 24 (ricorda che non è stata reinserita la pallina estratta) e, nell’ipotesi che la prima pallina estratta sia proprio verde, i casi favorevoli sono 7; la probabilità che la seconda pallina estratta sia verde è quindi: P2ª verde =

7 24

La regola della probabilità composta afferma che: Pverde e verde = REGOLA

8 7 7 · = 25 24 75

La probabilità composta di due eventi dipendenti è data dal prodotto delle singole probabilità calcolate nell’ipotesi che gli eventi precedenti si siano veriﬁcati: PC e D = PC · PD/C (dove con PD/C abbiamo indicato la probabilità condizionata del secondo evento nell’ipotesi che si sia veriﬁcato il primo).

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SEZIONE B

STOPANDGO

Indica quali tra le seguenti coppie di eventi sono dipendenti e quali indipendenti.

Considera un’urna con 10 palline rosse, 7 gialle e 3 bianche. Calcola la probabilità di estrarre due palline rosse:

In due mazzi di 40 carte: A: estrarre un re dal primo mazzo; B: estrarre un due di cuori dal secondo. b Nel gioco della tombola: A: estrarre un numero minore di 10; B: successivamente estrarre un numero primo. c In un mazzo di 40 carte: A: estrarre una figura; B: successivamente estrarre una carta di fiori (la prima carta estratta non viene reinserita). a

a b

nel caso in cui la prima venga reinserita; nel caso in cui la prima non venga reinserita.

[

1 ; b 4

9 38

]

[ a indipendenti, b dipendenti, c dipendenti]

5 Rappresentazione grafica della probabilità: tabelle a doppia entrata e grafi ad albero Molto spesso è utile e vantaggioso schematizzare la risoluzione dei problemi sulla probabilità con rappresentazioni grafiche e precisamente con tabelle a doppia entrata o con grafi ad albero. Vediamone l’uso risolvendo alcuni problemi. Problema 1 Calcola la probabilità che lanciando due monete (o lanciando due volte una moneta) si presentino: a due testa; b due croce; c una testa e una croce. Costruiamo una tabella a doppia entrata in cui indichiamo i casi possibili della prima moneta (o del primo lancio) in riga e i casi possibili della seconda moneta (o del secondo lancio) in colonna. 1° lancio 1° moneta

2° lancio 2° moneta

Completiamo a incastro la tabella: da essa ricaviamo che i casi possibili sono quattro e siamo in grado di rispondere alle domande proposte:

PT e T =

1 4

PC e C =

1 4

In questo caso occorre precisare se vogliamo un ordine fisso di composizione oppure se vogliamo semplicemente due facce diverse; infatti: PT e C =

1 4

PC e T =

1 4 160

Pdue facce diverse =

2 1 = 4 2

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Elementi di calcolo delle probabilità

LEZIONE 8

Lo stesso problema può essere visualizzato con un grafo ad albero.

1 a moneta (o lancio) T

2a moneta (o lancio) T

➟ ➟

➟ ➟ T

Come si vede, si perviene a uno schema finale dal significato del tutto analogo a quello ottenuto con la tabella e anche i valori della probabilità sono i medesimi. Problema 2 Si lanci un dado per due volte e si calcoli la probabilità che al primo lancio si presenti la faccia 5 e al secondo una faccia pari. Vediamo sia la rappresentazione con la tabella sia quella con il grafo ad albero. 1 2 3 4 5

1 6 1

2° lancio 1° lancio

11 12 13 14 15 16

21 22 23 24 25 26

31 32 33 34 35 36

41 42 43 44 45 46

51 52 53 54 55 56

61 62 63 64 65 66

2 3 4 5

2 6 1

2 3 4 5

3 6 1

2 3 4 5

4 6 1

2 3 4 5

5 6 1

2 3 4 5

6 6

I casi possibili sono 36, i casi favorevoli sono 3 (quelli evidenziati) perciò la probabilità è P5 e pari =

3 1 = . 36 12

In questo caso è molto più agile la rappresentazione con tabella a doppia entrata. 161

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SEZIONE B

STOPANDGO

un asso una figura c un asso o una figura d né un asso né una figura a

Da un mazzo di 40 carte si estrae a caso una carta; calcola la probabilità di estrarre:

[1/10] [3/10] [2/5] [3/5]

a c d e f

rossa non rossa rossa o gialla né rossa né gialla rossa o gialla o nera né rossa né bianca né nera

[3/20]

Sapendo che un evento B è certo e che PA = 5/7, quale è la probabilità che gli eventi A e B si verifichino contemporaneamente?

[5/7]

In un sacchetto ci sono 20 palline di cui 5 nere, 4 bianche 6 gialle e 5 rosse. Calcola la probabilità che, estraendo una pallina a caso, esca una pallina:

Siano A e B due eventi indipendenti con PA = 1/4 e PB = 3/5. Qual è la probabilità che i due eventi si verifichino contemporaneamente?

[1/4] [3/4] 11 [ /20] [9/20] [4/5] 3 [ /10]

Luigi e Alessandro giocano lanciando due dadi e dopo ogni lancio fanno il prodotto dei numeri ottenuti. Se il prodotto è pari vince Luigi, se è dispari vince Alessandro. Chi dei due amici ha la maggior probabilità di vincere? Si può dire che questo gioco è equo, cioè Luigi e Alessandro hanno la stessa probabilità di vincita? [Luigi; no]

APPROFONDIMENTO

■ La genetica

Il calcolo delle probabilità viene applicato per prevedere quali caratteri avrà un essere vivente conoscendo i caratteri corrispondenti presenti nei genitori. La scienza che si occupa della trasmissione dei caratteri, cioè dell’ereditarietà, è la genetica, il cui padre fondatore è stato l’abate cecoslovacco Gregor Mendel (1822-1884). La trasmissione dei caratteri ereditari è dovuta a coppie di frammenti di cromosomi che prendono il nome di geni. I due geni che codificano un carattere sono uno di origine paterna e uno di origine materna e si chiamano alleli. Se un individuo presenta nelle sue cellule i due alleli, codificatori di un carattere, uguali, l’individuo si definisce omozigote per quel carattere; se un individuo presenta nelle sue cellule i due alleli, codificatori di un carattere, diversi, l’individuo si dice eterozigote per quel carattere. Gregor Mendel

Se un carattere si manifesta sia nel caso venga codificato da alleli uguali sia nel caso venga codificato da alleli diversi si dice carattere dominante; se un carattere si manifesta solo se codificato da alleli uguali si dice carattere recessivo. Considerando delle piante di pisello odoroso (le piante usate da Mendel per i suoi esperimenti) si possono avere piante con semi gialli e piante con semi verdi: il carattere seme giallo è dominante sul carattere seme verde. 162

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Elementi di calcolo delle probabilità

LEZIONE 8

Si usa indicare gli alleli del carattere dominante con una lettera maiuscola e gli alleli del corrispondente recessivo con la stessa lettera, ma in carattere minuscolo: quindi G per indicare il colore giallo e g per indicare il colore verde. In base alla definizione di carattere dominante potremo dire che: • il carattere giallo sarà codificato dalla coppia di alleli GG oppure dalla coppia di alleli Gg; • il carattere verde sarà codificato dalla coppia di alleli gg. Il carattere che noi vediamo è detto anche il fenotipo. La costituzione genetica che determina un fenotipo costituisce il genotipo, quindi: • al fenotipo giallo corrispondono i due genotipi possibili GG e Gg; • al fenotipo verde corrisponde il genotipo gg. A questo punto possiamo calcolare la probabilità di ottenere una pianta di piselli verdi incrociando due piante gialle eterozigoti. L’incrocio viene indicato così: Gg · Gg. Ciascuno dei due genitori produrrà gameti (cellule riproduttrici) con l’allele G e gameti con l’allele g. Costruiamo una tabella a doppia entrata che ci permetta di ottenere le possibili combinazioni degli alleli dello zigote (cellula derivante dalla fecondazione). Gameti

possibili genotipi dello zigote

I piselli verdi hanno genotipo gg, perciò: Pgg =

1 4

Nei piselli il colore del seme giallo è dominante sul colore del seme verde, ma esistono caratteri che si comportano in modo diverso. Nei fiori conosciuti col nome “bella di notte” i due caratteri fiore rosso e fiore bianco non sono tra loro né dominanti né recessivi e si definiscono codominanti. Se indichiamo con R l’allele per il carattere rosso e con B l’allele per il carattere bianco, avremo la seguente situazione: al genotipo RR al genotipo BB al genotipo RB

corrisponde il fenotipo fiore rosso; corrisponde il fenotipo fiore bianco; corrisponde il fenotipo fiore rosa.

Il rosa è appunto un carattere intermedio tra il bianco e il rosso.

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LEZIONE

8 Elementi di calcolo delle probabilità ESERCIZI 1

Indica con una crocetta quali dei seguenti eventi sono casuali.

Vero V o falso F ? a V F

a b c d e f g h

Estrarre una carta di picche da un mazzo di 40 carte. Domani compirò 30 anni. Andando a pescare nel fiume abboccherà una balena. Da un’urna contenente 10 palline rosse e 15 bianche estrarre una pallina verde. Lanciando un dado si presenterà la faccia con il numero 6. Un bimbo di 4 anni frequenta la scuola dell’infanzia. Un bimbo di 8 anni frequenta la scuola primaria. Lanciando una moneta si presenterà la faccia testa.

b V F c V F d V F e V F f

g V F

h V F

Indica tra i seguenti eventi casuali quali sono impossibili I , quali probabili P e quali certi C . 4

Estrazione di un fante da un mazzo di carte. C Estrazione di una pallina blu da un’urna contenente 10 palline verdi e 5 palline gialle. C Esibizione dei documenti a una frontiera internazionale. C Lanciando un dado che si presenti la faccia con un numero pari oppure dispari. C Lanciando una moneta che non si presenti né testa né croce. C Lanciando due dadi si ottenga per somma delle facce un numero minore di 2. C Estrazione di un jolly da un mazzo di carte da briscola. C Estrazione di una pallina colorata da un’urna contenente 3 palline rosse e una bianca.

a I P C b I P

c I P d I P

e I P f I P

g I P h I P

164

V F

Vincere il primo premio di una lotteria è un evento certo. Estrarre una carta rossa o nera da un mazzo di carte è un evento probabile. La probabilità di un evento probabile è minore di 1. La probabilità di un evento impossibile è uguale a 0. La probabilità di un evento certo è maggiore di 1. La probabilità di un evento casuale e del suo contrario non possono assumere valori uguali. L’estrazione di una pallina verde da un’urna contenente palline verdi e blu è un evento probabile. La probabilità di un evento certo può essere uguale a 4/3.

Da un mazzo di 40 carte se ne estrae una a caso; calcola la probabilità che essa sia: un 5 b un 4 nero c una figura d una donna a

[1/10] [1/20] [3/10] [1/10]

Giorgio ha a disposizione delle cannucce colorate; sapendo che 3 sono rosse, 4 blu, 6 gialle e 2 verdi, calcola la probabilità di prenderne, a occhi bendati: una b una c una d una a

blu gialla verde bianca

[4/15] [2/5] [2/15] [0]

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Elementi di calcolo delle probabilità

LEZIONE 8 ESERCIZI

In un’urna vi sono 10 palline bianche, 8 blu, 16 viola e 15 rosse; calcola la probabilità di estrarre: 1 b 1 c 1 d 1 a

pallina pallina pallina pallina

bianca blu viola rossa

un fante b un fante rosso c una carta di cuori d una carta rossa 8

b c d e

una figura rossa un re nero un asso una carta superiore al 7 un jolly

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

Un’urna contiene 5 gettoni rossi, 8 gettoni blu e 7 verdi; calcola la probabilità di estrarre: un b un c un d un a

[1/10] [1/20] [1/4] [1/2]

Avendo a disposizione un mazzo di 54 carte (compresi i due jolly), calcola la probabilità di estrarre: a

[10/49] [8/49] 16 [ /49] [15/49]

Avendo a disposizione un mazzo di 40 carte, calcola la probabilità di estrarre: a

gettone gettone gettone gettone

un re b una carta non di cuori c una carta che non sia una figura d una carta che non sia un re 14

1/ 9 1/ 27 2/ 27 4/ 9 1/ 27

minore di 30 b dispari c divisibile per 7 d pari e maggiore di 70

1 1 c 1 d 1 b

pallina pallina pallina pallina

bianca nera blu colorata

una figura l’asso di cuori c un due d una carta di fiori e una figura di quadri

] [ ] [ ] [1]

Viene lanciato un dado: calcola la probabilità che esca: il 5 b un numero maggiore di 3 c un numero minore o uguale a 6 d un numero dispari a

[

[1/6] [1/2] [1] [1/2]

Calcola la probabilità che, lanciando un dado, esca: il numero 2 b un numero pari c un numero maggiore di 4 d un numero divisibile per 3 a

[1/6] [1/2] [1/3] [1/3] 165

[3/10] [1/40] [1/10] [1/4] 3 [ /40]

Un’urna contiene 15 palline bianche, 8 nere e 7 rosse; trova la probabilità che, estraendone una a caso, essa sia: bianca b nera c non bianca a

[29/90] [1/2] [2/15] [1/9]

Calcola la probabilità che, estraendo una carta da un mazzo da 40, essa sia: a

3/ 10 1/ 5 1/ 2

[1/10] [3/4] 7 [ /10] [9/10]

Un’urna contiene i primi 90 numeri; calcola la probabilità che, estraendone uno a caso, esso sia: a

[7/20] [3/4] 13 [ /20] [3/5]

Avendo a disposizione un mazzo di 40 carte, calcola la probabilità di estrarre: a

Un’urna contiene 15 palline bianche, 10 nere e 25 blu; calcola la probabilità di estrarre: a

verde non rosso non verde non blu

[ ] ] [ ]

1/ 2 4/ 15 1/ 2

[

Due vasi uguali contengono 30 caramelle amare il primo, 10 caramelle amare e 20 dolci il secondo. Filippo, non distinguendo né i vasi né le caramelle (tutte uguali fra loro), estrae a caso una caramella da uno dei vasi; trova la probabilità che essa sia dolce. [1/3]

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SEZIONE B

Lanciando una moneta 10 volte, si è ottenuto 7 volte testa. Calcola la frequenza dell’evento croce.

[3/10]

Dato un mazzo di 40 carte, calcola la probabilità di estrarre: una carta di fiori o una carta di picche [1/2] b un re o un 7 [1/5] 3 c una donna o un 5 rosso [ /20] d un re nero o un fante rosso [1/10] a

Lanciando una moneta 50 volte, si è ottenuto croce per 20 volte. Calcola la frequenza dell’evento croce. [2/5]

Lanciando un dado 40 volte si sono avuti i seguenti esiti:

15 volte la faccia 2 4 volte la faccia 6 2 volte la faccia 1 10 volte la faccia 3 6 volte la faccia 5

Un’urna contiene 12 palline bianche, 8 rosse e 10 nere; trova la probabilità che, estraendo 3 palline (e rimettendo sempre la pallina estratta nell’urna), esse siano: a b c d

Calcola la frequenza di uscita del 2. [3/8] b Calcola la frequenza di uscita del 4. [0] c Calcola la frequenza di uscita di un numero dispari. [9/20]

Avendo a disposizione un mazzo di 40 carte, considera i seguenti eventi: a b c d e f

estrazione estrazione estrazione estrazione estrazione estrazione

di di di di di di

f g h

una carta rossa una carta nera una carta di fiori un re una donna di cuori un asso

tutte bianche bianca, nera, rossa nell’ordine una bianca, una nera e una rossa le prime due bianche e la terza rossa due bianche e una rossa tutte dello stesso colore tutte di colore diverso nessuna bianca

Un’urna contiene 20 palline bianche, 25 rosse e 35 nere; trova la probabilità che, estraendo a caso una pallina, essa sia: o bianca o nera b o bianca o rossa c o rossa o nera d né bianca né nera a

Indica quali coppie di eventi sono compatibili e quali sono incompatibili.

[8/125] [8/225] [16/75] [16/375] [16/125] [3/25] 16 [ /75] [27/125]

[11/16] [9/16] [3/4] 5 [ /16]

Un’urna contiene 25 palline bianche, 7 palline rosse e 8 palline blu. Calcola la probabilità di estrarre: una pallina rossa o una pallina blu [3/8] b una pallina bianca o una pallina rossa [4/5] c una pallina bianca o una pallina blu [33/40] a

Considera i seguenti eventi relativi al gioco del lotto: a b c d e f g h

uscita uscita uscita uscita uscita uscita uscita uscita

di un numero pari del numero 21 di un numero divisibile per 3 di un numero maggiore di 40 di un numero minore di 50 del numero 90 di un numero divisibile per 8 di un numero dispari

Lanciando un dado, calcola la probabilità che esca: il 5 o il 3 il 6 o un numero dispari c il 2 o un numero maggiore di 4

Indica quali coppie di eventi sono compatibili e quali sono incompatibili.

166

[1/3] [2/3] [1/2]

In un’urna ci sono palline numerate da 1 a 30. Calcola la probabilità di estrarre: un numero divisibile per 5 un numero pari c un numero pari maggiore di 15

[1/5] [1/2] 4 [ /15]

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Elementi di calcolo delle probabilità

LEZIONE 8 ESERCIZI

Un’urna contiene 6 palline bianche, 9 nere e 5 rosse. Si estrae una pallina a caso; trova la probabilità che questa sia: o bianca o nera b bianca o rossa c rossa o nera a

un numero pari o divisibile per 5 [3/5] 31 b un numero divisibile per 4 o per 7 [ /90] c un numero minore di 50 o multiplo di 10 a

[ ] ] [ ]

3/ 4 11/ 20 7/ 10

[

[3/5]

38 30

Calcola la probabilità che, lanciando due dadi: i due valori siano uguali la differenza tra i due valori sia 4 c i due numeri siano entrambi pari d un numero sia il doppio dell’altro a

c d e

a b c d e

lo 0 o il 36 [2/37] 18 il 17 o un numero dispari [ /37] un numero dispari o il 36 [19/37] lo 0 o il 5 o un numero maggiore di 30 [8/37] il 5 o il 6 o il 18 [3/37]

un numero divisibile per 4 o per 6 b un numero pari o divisibile per 7 c un numero < 11 o divisibile per 3 40

Determina la probabilità che, estraendo una carta da un mazzo da 40, essa sia un asso o un tre o una figura. [1/2] In una cerimonia intervengono 6 persone, ognuna delle quali stringe la mano a tutte le altre. Una sola stretta di mano verrà, a caso, fotografata; trova la probabilità che ha una persona di venir ritratta.

Calcola la probabilità che, estraendo una carta da un mazzo di 40 carte, esca: un fante o una carta di cuori un asso o una carta rossa c un re o una carta superiore al 5

[13/40] [11/20] [1/2] 167

[13/20] [13/40] [19/40]

Da un sacchetto contenente 40 gettoni numerati da 1 a 40 ne viene estratto uno: calcola la probabilità che rechi: a

[13/40] [23/40] [1/2]

Calcola la probabilità che al gioco del lotto esca: un numero pari o divisibile per 15 [8/15] b un numero maggiore di 60 o divisibile per 6 [4/9] 14 c un numero divisibile per 5 o per 7 [ /45] a

Calcola la probabilità che venga estratta una pallina rossa o azzurra da un’urna che contiene 20 palline rosse, 7 gialle, 3 verdi e 10 azzurre. [3/4]

[1/3]

una carta rossa o una figura una figura nera o una carta di picche c una carta di fiori o una figura

il numero 1 o il numero 90 [1/45] il numero 45 o un numero pari [23/45] un numero < 11 o un numero > 80 [2/9] un numero dispari o il 50 o il 70 o il 90 [8/15] un numero maggiore di 70 [2/9]

Calcola la probabilità che al gioco della roulette francese esca:

Calcola la probabilità che, estraendo una carta da un mazzo di 40 carte, essa sia:

[1/6] [1/9] [1/4] [1/6]

Calcola la probabilità che al gioco del lotto esca: a

Calcola la probabilità che al gioco del lotto esca:

Lanciando 5 volte una moneta, calcola la probabilità che escano:

[1/32] [1/32] [1/32]

5 testa 2 testa e 3 croce nell’ordine dato c 4 testa e 1 croce

Lanciando due volte un dado, calcola la probabilità che al primo lancio esca il 6 e al secondo il 4.

[1/36]

Lanciando due volte un dado, calcola la probabilità che al primo lancio esca il 5 e al secondo lancio un numero pari. [1/12]

Un’urna contiene 5 palline rosse, 8 verdi e 7 gialle; si compiono tre estrazioni successive rimettendo nell’urna la pallina estratta. Calcola la probabilità che escano: 3 palline rosse b 1 gialla, 1 verde, 1 verde nell’ordine a

[

1/ 64 7/ 125

[

] ]

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Verso altri linguaggi

SEZIONE B

Da un mazzo di 40 carte si estraggono in successione due carte reinserendo nel mazzo la prima carta estratta; calcola la probabilità che siano:

Riferendoti all’esercizio precedente, calcola la probabilità che siano:

[2/21] [5/21]

entrambe verdi b la prima verde e la seconda bianca a

[ ] [3/100] 1/ 4

due carte rosse un 5 e una figura nell’ordine c la prima non una figura e la seconda non un asso

[

63/ 100

]

Lanciando contemporaneamente due monete, qual è la probabilità che escano due teste? [1/4]

Un’urna contiene 5 palline gialle, 6 rosse e 9 blu; si estraggono contemporaneamente 3 palline: qual è la probabilità che siano: a b

Lanciando contemporaneamente un dado e una moneta, qual è la probabilità che si presenti testa e un numero pari? [1/4]

Da un’urna contenente 20 palline rosse, 10 nere e 30 verdi si estraggono tre palline rimettendo nell’urna la pallina precedentemente estratta; calcola la probabilità che siano:

tutte gialle b la prima gialla, la seconda blu e la terza rossa 56

[

tutte nere tutte rosse c tutte verdi

] ] [ ]

Riferendoti all’esercizio precedente, calcola la probabilità che siano:

le prime due blu e la terza gialla b la prima gialla e le altre due rosse 57

Da un mazzo di 54 carte (compresi i 2 jolly) si estraggono successivamente quattro carte, rimettendo ogni volta nel mazzo la carta estratta. Calcola la probabilità di estrarre 4 re.

[16/531 441]

Da un mazzo di 40 carte si estraggono successivamente 3 carte, rimettendo nel mazzo ogni volta la carta estratta. Calcola la probabilità che la prima carta sia di cuori, la seconda sia il 7 di quadri e la terza sia di seme nero. [1/320] Da un’urna contenente 10 palline bianche e 5 palline verdi si estraggono successivamente 2 palline senza reintrodurre la pallina estratta. Calcola la probabilità che siano: a b

entrambe bianche la prima bianca e la seconda verde

[ ] ]

3/ 7 5/ 21

[

168

[

1/ 19 5/ 228

[

] ]

rossa, blu, rossa nell’ordine blu, gialla, gialla, nell’ordine

[3/76] [1/38]

Da un mazzo di 40 carte si estraggono successivamente 3 carte senza reintrodurre la carta estratta nel mazzo. Calcola la probabilità che siano: 3 assi b 3 figure a

[3/76]

Riferendoti all’esercizio n. 54, calcola la probabilità che siano:

[1/114]

Riferendoti all’esercizio n. 54, calcola la probabilità che siano: a

[1/36] [1/18] 1 [ /108]

rossa, verde e nera nell’ordine rossa, rossa e verde nell’ordine c nera, nera e rossa nell’ordine

[

Riferendoti all’esercizio precedente, calcola la probabilità che siano: a

1/ 216 1/ 27 1/ 8

[1/57] [7/95]

tutte rosse tutte blu

[1/2470] [11/494]

Riferendoti all’esercizio precedente, calcola la probabilità che siano: una donna, un asso rosso, un 5 nero nell’ordine [1/3705] b nell’ordine un re, una donna rossa, un 3 a

[2/3705]

In un’urna sono contenute palline numerate da 1 a 20. Qual è la probabilità che estraendo una pallina il suo numero sia divisibile per 4 o per 5?

[8/20]

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Elementi di calcolo delle probabilità

LEZIONE 8 ESERCIZI

a b

entrambe nere entrambe verdi

[

15/ 496 105/ 496

[

] ]

[48/385]

tutte verdi c due rosse e 1 verde senza tener conto dell’ordine.

Da un’urna contenente 15 palline verdi, 11 palline bianche e 6 palline nere se ne estraggono contemporaneamente due; calcola la probabilità che siano:

[108/595]

Illustra la situazione con un grafo ad albero. 69

Riferendoti all’esercizio precedente, calcola la probabilità che siano:

[4/119]

tutte rosse b due rosse e una blu senza tener conto dell’ordine. a

a b

la prima verde e la seconda nera la prima bianca e la seconda verde

il 10 e il 20, in ordine b entrambi pari c il primo pari e il secondo dispari

divisibile per 5 b divisibile per 4 c divisibile per 3

[1/8100] [1/4] [1/4]

[7/36] [1/4] [1/3]

Riferendoti all’esercizio n. 68, calcola la probabilità che siano: tutte dello stesso colore b la prima rossa, la seconda verde e la terza rossa. a

gialla o nera blu c blu o nera

[3/5] [2/5] [3/4]

Da un’urna contenente 5 palline blu, 18 palline verdi e 12 palline rosse se ne estraggono successivamente tre senza reintrodurre le palline estratte. Calcola la probabilità che esse siano: a

tutte blu

[2/1309] 169

[36/595]

Riferendoti all’esercizio n. 68, calcola la probabilità che siano: a b

le prime due verdi e la terza non verde

[51/385] [8/1309]

le prime due blu e la terza rossa.

Illustra la situazione con un grafo ad albero. 72

Riferendoti all’esercizio n. 68, calcola la probabilità che siano: tutte di colore diverso b la prima blu, la seconda verde, la terza non blu. a

Un’urna contiene 8 palline blu, 5 gialle, 7 nere. Si estrae una pallina a caso; trova la probabilità che questa sia: a

[1046/6545]

Illustra la situazione con un grafo ad albero.

La probabilità di contrarre l’influenza è P = Quanti individui non si ammaleranno in una scuola con 900 alunni? [675]

Calcola la probabilità che il primo estratto di una ruota del lotto sia pari o appartenente alla terza decina. [5/9]

[6/119]

Illustra la situazione con un grafo ad albero.

25/ 100 .

] ]

Considera il punteggio che si può ottenere nel lancio di due dadi e trova la probabilità che esso sia: a

[

Da un’urna contenente i primi 90 numeri interi ne vengono estratti successivamente 2 (con reimmissione); trova la probabilità che essi siano: a

[

45/ 496 165/ 992

[216/1309] [87/1309]

Illustra la situazione con un grafo ad albero. 73

Lanciando due dadi contemporaneamente, calcola la probabilità che si presentino: facce uguali b facce la cui somma sia minore di 6. a

[ ] ]

1/ 6 5/ 18

[

Illustra la situazione con una tabella a doppia entrata.

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SEZIONE B

Riferendoti all’esercizio precedente, calcola la probabilità che: a b

[5/36] [1/4]

la somma delle facce sia 8 entrambe le facce siano dispari.

Illustra la situazione con una tabella a doppia entrata. 75

la somma delle facce sia dispari [1/2] la faccia di un dado sia doppia dell’altra. [1/6]

Illustra la situazione con una tabella a doppia entrata.

Una rivista ha 25 pagine; calcola la probabilità che, aprendo due volte la rivista, si presenti:

Riferendoti all’esercizio n. 73, calcola la probabilità che:

Una classe è formata da 5 studenti di Roma, 10 di Frascati e 10 di Latina. Tra tali studenti ne vengono sorteggiati 4 per partecipare ad un concorso; calcola la probabilità che i quattro sorteggiati siano: a b

Da un’urna contenente 5 palline gialle, 7 rosse, 8 verdi e 10 blu si estraggono successivamente due palline senza reintrodurre la prima pallina estratta. Calcola la probabilità che:

[1/625] [1/25]

la stessa pagina 23 la stessa pagina

tutti di Latina i primi due di Frascati, gli altri di Roma

[21/1 265] [3/506]

Roberta vuole farsi una collana; ha a disposizione 10 perle bianche, 8 verdi, 5 rosse e 7 blu che si trovano in un sacchetto non trasparente. Roberta prende le perle senza guardare; calcola la probabilità che: le prime 3 siano bianche b la prima sia bianca, la seconda sia verde e la terza sia rossa c siano una bianca, una verde e una rossa

[6/203]

a b

siano entrambe dello stesso colore siano di colore diverso.

[104/435] [331/435]

Illustra la situazione con un grafo ad albero. 77

Riferendoti all’esercizio precedente, calcola la probabilità che siano: la prima gialla e la seconda blu la prima rossa e la seconda verde c la prima blu e la seconda rossa

[

5/ 87 28/ 435 7/ 87

[

] ] ]

Nel reparto maternità di un ospedale sono nati nella stessa giornata 5 femminucce e 3 maschietti e vengono portati in un locale dove ci sono 12 culle disponibili. Un’infermiera entra e si dirige a caso verso una culla; calcola la probabilità che ha di trovarsi davanti a: un maschietto una femminuccia c una culla vuota d un neonato a

[ ] [ ] [ ] [ ] 1/ 4 5/ 12 1/ 3 2/ 3

[20/203]

Una scatola contiene 8 lampadine funzionanti e 3 bruciate; calcola la probabilità che, prelevando a caso tre lampadine dalla scatola, ci si ritrovi con: una sola lampadina funzionante una sola lampadina guasta c tre lampadine guaste d tre lampadine funzionanti a

Illustra la situazione con un grafo ad albero.

[10/609]

[

8/ 55 28/ 55 1/ 165 56/ 165

[

[ [

] ] ] ]

Illustra le varie situazioni con un grafo ad albero. 83

La talassemia è una malattia ereditaria a carattere recessivo. Indicando con TT il genotipo di un individuo sano, con Tt il genotipo di un individuo portatore sano e con tt il genotipo di un individuo talassemico, calcola la probabilità: che due genitori portatori sani abbiano un figlio sano b che due genitori portatori sani abbiano un figlio portatore sano. a

[1/4] [1/2]

Illustra le situazioni con tabelle a doppia entrata.

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Elementi di calcolo delle probabilità

LEZIONE 8 ESERCIZI

Con riferimento all’esercizio precedente, calcola la probabilità:

che un genitore portatore sano e uno malato abbiano un figlio portatore sano [1/2] b che un genitore portatore sano e uno sano abbiano un figlio malato [0] a

L’emofilia è una malattia ereditaria legata al sesso (è un carattere portato dal cromosoma X). Indicando con: XX XXE XEXE XY XEY

una donna sana, una donna portatrice sana una donna malata un uomo sano un uomo malato

Il gruppo sanguigno A è dominante sul gruppo 0 come pure il gruppo B, mentre i gruppi A e B sono tra loro codominanti. Tenendo presenti le seguenti relazioni tra genotipo e fenotipo: AA fenotipo A → genotipo A0 fenotipo B → genotipo

BB B0

fenotipo 0 → genotipo

fenotipo AB → genotipo

calcola la probabilità che: a due genitori di gruppo A abbiano un figlio di gruppo 0, considerando tutti i casi possibili;

[AO × AO: 1/4; 0 negli altri casi]

calcola la probabilità che: a una portatrice sana e un uomo malato abbiano un figlio maschio malato [1/4] b la stessa coppia abbia una figlia femmina malata. [1/4] Illustra la situazione con una tabella a doppia entrata.

171

due genitori, uno B e l’altro A, abbiano un figlio 0, considerando tutti i casi possibili.

[AO × BO: 1/4; 0 negli altri casi]

Illustra le situazioni con tabelle a doppia entrata. 87

Calcola la probabilità che una coppia di sposi, avendo deciso di avere tre figli, abbiano due maschi e una femmina senza tener conto dell’ordine di nascita. Illustra la situazione con un grafo ad albero. [3/8]

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LEZIONE

VERIFICA risultati a pag. 175

CONOSCENZE

ABILITÀ

Indica la risposta esatta. 1

Un evento si dice casuale se: a è certo b è impossibile c è probabile

Si dice probabilità di un evento: a la frequenza dell’evento b il rapporto tra i casi possibili e quelli favorevoli c il rapporto tra i casi favorevoli e quelli possibili

Due eventi sono compatibili se: a si escudono l’un l’altro b l’uno non esclude l’altro c si verificano con certezza

Due eventi sono dipendenti se: a il primo influenza il secondo b il primo non influenza il secondo c il verificarsi del primo assicura il verificarsi dell’altro

Due eventi incompatibili sono complementari se: a la somma delle loro probabilità è maggiore di 1 b la somma delle loro probabilità è minore di 1 c la somma delle loro probabilità è uguale di 1

Due eventi sono indipendenti se: a il primo influenza il secondo b si verificano entrambi c il primo non influenza il secondo Due eventi sono incompatibili se: a si escludono a vicenda b non si escudono a vicenda c sono entrambi impossibili

172

Per ciascuno dei seguenti eventi scrivi il valore della probabilità: a evento certo ..................... b una su due possibilità ..................... c due su cinque possibilità ..................... d evento impossibile ..................... e due casi favorevoli su otto ..................... f riuscita sicura .....................

Sia PE la probabilità di un evento e PF la probabilità del suo complementare. Completa le seguenti scritture. a Se P = 3/ allora P = … E F 5 b P + P = … E F c P = 1 – … E d P = 1 – … F e P =… EoF f P = … EeF g Se l’evento E ha 17 casi favorevoli e 40 possibili, F avrà …… casi favorevoli e …… casi possibili.

Si lanciano due dadi; compila una tabella a doppia entrata e determina: a il numero dei casi possibili b la probabilità che esca una coppia di numeri pari c la probabilità che non esca una coppia di numeri pari d la probabilità che la somma dei due numeri sia uguale a 5 e la probabilità che il prodotto dei numeri sia dispari

Da un mazzo di 40 carte si estrae a caso una carta; calcola la probabilità che: a sia un asso b non sia un asso di seme rosso c sia una figura d sia una figura o una carta di fiori

Nel gioco della tombola calcola la probabilità che esca: a un numero dispari b un numero della seconda decina c un numero dispari maggiore di 50 d un numero divisibile per 5 e un numero che non sia multiplo di 10.

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VERIFICA risultati a pag. 175 13

Ho due contenitori: il primo contiene 15 caramelle alla violetta e 5 alla menta, il secondo contiene 16 caramelle alla violetta e 8 alla menta. Vorrei mangiare una caramella alla violetta: da quale dei due contenitori è meglio estrarre la caramella?

Per ciascuna coppia di eventi scrivi se sono compatibili o incompatibili. a b

In una classe formata da 10 maschi e 10 femmine vengono sorteggiati 3 alunni. Calcola la probabilità che siano:

c d e

a b c d

tutti maschi tutte femmine due maschi e una femmina due femmine e un maschio

Nel lancio di un dado ottenere il 3 o un numero primo. Nel lancio di due dadi ottenere come punteggio 4 o un divisore di 8. Estrarre una pallina nera o blu da un’urna. Da un mazzo di 40 carte estrarre un fante di seme rosso o una carta di fiori. Estrarre come primo numero nel gioco del lotto il 20 o un multiplo di 5.

RECUPERO risultati a pag. 175 1

Indica tra i seguenti eventi casuali quali sono impossibili I , quali probabili P e quali certi C . Pescare un jolly da un mazzo di 40 carte. C Nel gioco della tombola estrarre il numero 11. C Nel gioco della tombola estrarre un numero minore di 91. C Ottenere 6 nel lancio di un dado. C Estrarre una pallina nera da un’urna contenente 10 palline bianche.

a b c d e f g

a I P C b I P c I P d I P e I P

Nel lancio di un dado indica la probabilità che esca: a b c d e

un numero pari un numero maggiore di 1 e minore di 5 un multiplo di 2 il numero 7 il numero 4

173

Considera un mazzo di 40 carte e calcola la probabilità che la carta estratta sia:

un fante un re di seme rosso una carta di picche una figura un sette il tre di cuori l’asso di quadri

In un sacchetto ci sono 5 palline verdi e 7 rosse. Determina la probabilità che: a b c d

la pallina estratta sia verde la pallina estratta sia rossa la pallina estratta sia bianca se estraggo due palline, senza rimettere la prima nel sacchetto, la prima sia verde e la seconda sia rossa

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RISULTATI VERIFICA - RECUPERO SEZIONE LEZIONE 1

3 6 7

9 10

11 12

Gli insiemi

VERIFICA 1 b; c ; d 2

A pag. 27

no; –3; –4; –3; 1 interna; 1; sì; esistono i simmetrici rispetto alla diagonale principale; 2; 2; 2; 0

b LEZIONE 3

A ∩ B = {a}; A ∪ B = {g, a, t, o, c, n, e}; A – B = {g, t, o} A ∩ B = {4, 5}; A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}; A ∩ B – B = ∅ a ∈; b ∉; c ∉; d ∈; e ∈; f ∈; g ∉; h ∉; i ∈; l ∉; m ∉; n ∉ PA = {∅, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {1, 2, 3}} A = {p, r, l, d} PA = {{p}, {r}, {l}, {d}, {p, r}, {p, l}, {p, d}, {r, l}, {r, d}, {l, d}, {p, r, l}, {p, l, d}, {r, l, d}, {p, r, l, d}, ∅} a A ⊂ B; b A ⊆ B univoca

RECUPERO pag. 28 1 Finiti: A, C. Infinito: B 2 a elencazione 3 a 4 ∈ B b 6 ∈ B c 2 ∈ B d 10 ∉ B 4 X = {1, 2, 3, 4} Y = {7, 8} 5 a A ∪ B = {e, i, o} b A ∩ B = {i, o} 6 a A = {1, 7, 9, 5, 4, 3}; b B = {4, 3}; c A ∪ B = A; d A∩B=B 7 a A ∪ B = B; b A ∩ B = A; c (A ∩ C) ∪ B = B; d (A ∩ B) ∩ C = A; e A – B = Ø; f B – A = {1, 3, 5, 7}

Le relazioni

VERIFICA 1 2 3 4 5

a F

pag. 58 b V

c V

d F

e V

f V

Le operazioni binarie e le strutture algebriche

RECUPERO 1 2

a V

pag. 43 b F

c F

d V

∗ 2 3 2 4 5 3 5 6 No; A = {1, 2, 3}

i V

RECUPERO pag. 59 1 (7, 10); (9, 12); (12, 15); (15, 18) 2 a riflessiva, simmetrica, transitiva; b antisimmetrica; c riflessiva, simmetrica, transitiva; d riflessiva, antisimmetrica; e antisimmetrica; f antiriflessiva, simmetrica; g riflessiva, antisimmetrica h simmetrica; i antiriflessiva, simmetrica

LEZIONE 4 LEZIONE 2

h F

1 D = {3, 6, 9}; C = {1, 2, 3}; a R–1 a ⇔ b a 3 D = {1, 2, 5}; C = {1, 4, 10} a R b ⇔ a = b – 1; D = {–1, 0, 2}; C = {0, 1, 3} a riflessiva, simmetrica; b simmetrica c antisimmetrica; d simmetrica, transitiva, riflessiva e simmetrica, antiriflessiva; f simmetrica, antiriflessiva; g antiriflessiva, simmetrica; e simmetrica; i riflessiva a relazione d’ordine stretto b relazione d’ordine stretto

SEZIONE

VERIFICA pag. 42 9 sì 10 sì 11 no 12 no 13 sì 14 a a; b b; c b; d b 15 no 16 legge di composizione interna associativa con u = b E = {a, b, c} 17 sì

g V

Gli strumenti di calcolo, l’approssimazione, l’ordine di grandezza, la notazione esponenziale e standard

VERIFICA 1 77 2 218 3 707 4 152 5 13 6 132 cm; 726 cm2 7 180 cm; 720 cm2 10 a 106; b 104; c 103; d 102

pag. 81

RECUPERO 1 1201 2 56 3 416 4 109 5 153,577 cm 6 120 cm; 480 cm2

pag. 82

174

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LEZIONI 1-8

LEZIONE 5

VERIFICA 1 7 8 9

a V

pag. 110 b V

c F

d V

e V

f V

18 19 20

Elementi di statistica

VERIFICA

ideogramma; sì; 6; 11; calcio 3550; 650; 700 15; 7 e 19; 36,5 °C; 39 °C; no; aumentata

LEZIONE 6

RECUPERO 1 a; c; e 3 a F b V c F d V e V

I grafici

pag. 134

moda: capelli castani temperatura max media: 23 °C; temperatura minima media: 15 °C prezzo medio = € 678,90 media = 167,56 cm; moda = 169 cm; mediana = 168 cm areogramma; ossigeno = 210 litri; azoto = 780 litri; altri gas = 10 litri a istogramma; c media = ˜ 10,5; moda = 10; mediana = 10

RECUPERO pag. 136 5 istogramma; diagramma cartesiano; areogramma; ideogramma 7 a Spagna e Germania; b 50 000 litri; c 40 000 litri; d 70 000 litri; e 40 000 litri 8 media = 27,8 9 moda = 6 10 mediana = 12,5 11 mediana = 25

LEZIONE 7

10 11 12 13

a V

a a b c d

b V

c F

d F

1; b 1/2; c 2/5; d 0; e 2/8 = 1/4; f 1 2 a / ; b 1; c P ; d P ; e 1; f 0; g 23; 40 F E 5 a 36; b 1/ ; c 3/ ; d 1/ ; e 1/ 4 4 9 4 a 1/ ; b 19/ ; c 3/ ; d 19/ 10 20 10 40 a 1/ ; b 1/ ; c 2/ ; d 1/ ; e 9/ 2 9 9 5 10 Dal primo contenitore a 1/ ; b 1/ ; c 3/ ; d 3/ 8 8 8 8 a compatibili; b compatibili; c incompatibili; d incompatibili; e compatibili

RECUPERO 1 a I ; b P; c C; 2 a 1/ ; b 1/ ; c 2 2 3 a 1/ ; b 1/ ; 10 20 g 1/ 40 4 a 5/ ; b 7/ ; 12 12

pag. 149 e F

p: 5 è soluzione di x2 – 25 = 0; V b V MCD(12, 18) = 6; V FVVV FVFF FFFV VVFV

175

pag. 172

Cenni di logica

VERIFICA 1 a; b; d

Elementi di calcolo delle probabilità

VERIFICA

p q a b V V V F V F F V F V F F F F F F a parallelo; b aperto, aperto; c p ∨ q a serie; b aperto, aperto, aperto, non c’è; c p ∧ q ∧ r

LEZIONE 8

pag. 150

pag. 173 d P; e I 1/ ; d 0; e 1/ 2 6 c 1/ ; d 3/ ; e 1/ ; f 1/ ; 4 10 10 40 c

0; d 35/132

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