Postit 1, matematica e scienze - Selezione di pagine by ELI Publishing

0420 POSTIT_1mate_cop_POSTIT_matem_cop 22/03/18 15:40 Pagina 1

Principato

PosTiT 1

Inserto per una consultazione facilitata delle regole e dei concetti irrinunciabili di matematica, geometria e scienze.

Matematica e scienze per il ripasso e il consolidamento

Rita Poletti

MEMO1

Matematica e scienze per le vacanze

Scuola Secondaria di I° grado

Prova tu

LIBRO CON

Per tenersi in allenamento

POSTIT 2 con Memo 2 pp. 144 (120 + 24) CODICE 13106K ISBN 978-88-416-5118-6

Esercitazioni di consolidamento delle conoscenze.

Prove di valutazione costruite secondo le indicazioni ministeriali.

PosTiT Matematica e scienze per le vacanze

Giochi e quesiti matematici per verificare il raggiungimento dei traguardi di competenza.

POSTIT 2 con Memo 2 pp. 144 (120 + 24) CODICE 13106W ISBN 978-88-416-341-3

PER L’INSEGNANTE • POSTIT 1 Soluzioni • POSTIT 2 Soluzioni

▶SCARICA L’ SU

CLICCANDO IN WWW.PRINCIPATO.IT

L’App librARsi - Realtà Aumentata

▶ACCEDI AI CONTENUTI DIGITALI INTEGRATIVI IN WWW.PRINCIPATO.IT CLICCANDO SU CONTENUTI DIGITALI

ti permette di accedere in modo semplice e rapido ai contenuti multimediali direttamente da smartphone e tablet: 1. scarica l’App gratuita 2. inquadra la pagina del libro con 3. guarda l’oggetto multmediale

L’accesso all’eBook+ e ai contenuti digitali che integrano il libro di testo è riservato all’utente registrato che ha inserito i relativi codici contrassegno e seriale. La registrazione di tali codici e il conseguente download implicano la conoscenza e l’accettazione delle condizioni di licenza, accessibili su www.principato.it. I codici possono essere attivati una sola volta: l’utenza e la connessa licenza di utilizzo non sono trasferibili a terzi.

Matematica e scienze per le vacanze

Rita Poletti POSTIT 1 con Memo 1 pp. 144 (120 + 24) CODICE 13105W ISBN 978-88-6706-340-6

Gioca con le tue competenze

Una mappa concettuale e una sintesi dei più importanti argomenti di scienze con Realtà Aumentata

Principato

Esercitazioni invalsi

Il succo dei concetti

PosTiT

Rita Poletti POSTIT 1 con Memo 1 pp. 144 (120 + 24) CODICE 13105K ISBN 978-88-416-5117-9

Esercizi e problemi per verificare l’apprendimento dei contenuti teorici.

Rita Poletti

L’inserto

ISBN 978-88-416-5117-9

13105K

Questo volume sprovvisto del talloncino a fronte (o altrimenti contrassegnato) è da considerarsi copia SAGGIO – CAMPIONE GRATUITO fuori commercio (vendita ed altri atti di disposizione vietati: art. 17 c. 2 L. 633/1941). Esente da I.V.A. (D.P.R. 26-10-1972 n. 633, art. 2 c. 3 lett. D). Esente da bolla di accompagnamento (D.P.R. 6-10-1978 n. 627, art. 4 n. 6)

POSTIT 1 con MEMO 1 Prezzo al pubblico

€ 8,50

(IVA 4% inclusa)

di veloce consultazione con i concetti irrinunciabili e gli argomenti più importanti in carattere ad alta leggibilità

1 13

K 9 05 1 1 7IT O 11 5 ST EM 16 PO M -4 n 8 co 8-8 97 N B IS

MEMO costituisce uno strumento

Didattica inclusiva

Realtà aumentata

Coordinamento editoriale: Marco Mauri Coordinamento redazionale e revisione scientifica: Marinella Torri Redazione: Martina Mirabella Progetto grafico e copertina: Giuseppina Vailati Canta Ricerca iconografica: Martina Mirabella Impaginazione: Bluedit - Torino Disegni: Bluedit - Torino, Daniele Gianni Immagine di copertina: ICP Online Contenuti digitali Progettazione: Marco Mauri, Giovanna Moraglia Realizzazione: Alberto Vailati Canta Referenze iconografiche: ICP Online / Shutterstock Tutte le altre immagini provengono dall’Archivio Principato.

Per le riproduzioni di testi e immagini appartenenti a terzi, inserite in quest’opera, l’editore è a disposizione degli aventi diritto non potuti reperire, nonché per eventuali non volute omissioni e/o errori di attribuzione nei riferimenti.

ISBN 978-88-416-5117-9 POSTIT 1 + inserto ISBN 978-88-6706-340-6 POSTIT 1 + inserto Solo versione digitale Prima edizione: marzo 2018 Ristampe 2023 2022 VI V

2021 IV

2020 III

2019 II

2018 I

Printed in Italy © 2018 - Proprietà letteraria riservata. È vietata la riproduzione, anche parziale, con qualsiasi mezzo effettuata, compresa la fotocopia, anche ad uso interno o didattico, non autorizzata. Le fotocopie per uso personale del lettore possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall’art. 68, commi 4 e 5, della legge 22 aprile 1941 n. 633. Le riproduzioni per finalità di carattere professionale, economico o commerciale o comunque per uso diverso da quello personale, possono essere effettuate a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da CLEARedi (Centro licenze e autorizzazioni per le riproduzioni editoriali), corso di Porta Romana 108, 20122 Milano, e-mail autorizzazioni@clearedi.org e sito web www.clearedi.org. L’editore fornisce – per il tramite dei testi scolastici da esso pubblicati e attraverso i relativi supporti o nei siti www.principato.it e www.europassedizioni.it – materiali e link a siti di terze parti esclusivamente per fini didattici o perché indicati e consigliati da altri siti istituzionali. Pertanto l’editore non è responsabile, neppure indirettamente, del contenuto e delle immagini riprodotte su tali siti in data successiva a quella della pubblicazione, dopo aver controllato la correttezza degli indirizzi web ai quali si rimanda.

Casa Editrice G. Principato S.p.A. Via G.B. Fauché 10 - 20154 Milano siti web: http://www.principato. ithttp://www.europassedizioni.it e-mail: info@principato.it La casa editrice attua procedure idonee ad assicurare la qualità nel processo di progettazione, realizzazione e distribuzione dei prodotti editoriali.La realizzazione di un libro scolastico è infatti un’attività complessa che comporta controlli di varia natura. È pertanto possibile che, dopo la pubblicazione, siano riscontrabili errori e imprecisioni. La casa editrice ringrazia fin da ora chi vorrà segnalarli a: Servizio clienti Principato e-mail: info@principato.it

Stampa: Vincenzo Bona (TO)

na ma

sett i

L’addizione e le sue proprietà

L’operazione che a due numeri naturali associa il numero naturale ottenuto contando di seguito al primo tante unità quante indicate dal secondo.

I termini si chiamano addendi, il risultato somma.

Come si chiamano i suoi termini?

Che cos’è?

L ’A DDI Z I O N E Quali sono le sue proprietà?

Ha un elemento neutro?

Commutativa 3 + 12 = 12 + 3 = 15 Associativa 7 + 3 + 9 = 10 + 9 = 19 Dissociativa 27 + 13 = 20 + 7 + 3 + 10

6 © Casa Editrice G. Principato

lo 0 14 + 0 = 0 + 14 = 14

Prova tu 1 Calcola la somma e scegli la risposta corretta. a. 24 + 16 =

pari / dispari

c. 14 + 19 =

pari / dispari

b. 13 + 21 =

pari / dispari

d. 18 + 0 =

pari / dispari

2 Riconosci le proprietà applicate.

a. 18 + 1 + 12 + 9 = 18 + 12 + 9 + 1 b. 26 + 14 = 20 + 6 + 4 + 10 c. 32 + 18 = 30 + 10 + 10 3 0 o 1? Qual è il numero da inserire per rendere vere le uguaglianze seguenti?

= 70

c. 33 + 15 + 11 +

b. 23 + 22 + 35 +

= 80

d. 44 + 36+ 130 +

= 60 = 210

MATEMATICA

a. 35 + 16 + 18 +

4 Completa seguendo le indicazioni.

64 + + 339

31 + 1000 220 +

500

69 +

100 + 880

107 +

5 Applica alle seguenti addizioni le proprietà indicate e calcola la somma. a. 12 + 8 = b. 21 + 29 = c. 4 + 6 + 7 + 23 =

commutativa

dissociativa

associativa

6 Indica il criterio utilizzato per scrivere le seguenti successioni e determina i tre ter mini successivi. a. 4, 5, 7, 10, 14, 19 b. 6, 10, 14, 18, 22, 26 c. 7, 9, 13, 21, 37

7 © Casa Editrice G. Principato

na ma

sett i

La sottrazione e le sue proprietà

È l’operazione con la quale, data una coppia ordinata di numeri, è possibile determinarne un terzo che, addizionato al secondo, dà come somma il primo.

I termini della sottrazione si chiamano rispettivamente minuendo e sottraendo, il risultato dell’operazione è la differenza.

Come si chiamano i suoi termini?

Che cos’è?

LA L A SSO OTTTTR RAAZZIIO ONNEE Quali sono le sue proprietà?

Ha casi particolari?

Invariantiva: se si aggiunge o toglie lo stesso numero sia al minuendo sia al sottraendo la differenza non cambia. 37 – 12 = 25 (37 + 8) – (12 + 8) = 45 – 20 = 25 (37 – 2) – (12 – 2) = 35 – 10 = 25

RDA CO

Se il sottraendo è 0 la differenza è uguale al minuendo. 19 – 0 = 19 Se minuendo e sottraendo sono uguali la differenza è zero. 11 – 11 = 0

La sottrazione è l’operazione inversa dell’addizione 26 – 16 = 10 10 + 16 = 26 Se sottrai 1 ad un numero ottieni il precedente 24 è precedente di 25

Se aggiungi 1 ad un numero ottieni il successivo 30 è successivo di 29 8 © Casa Editrice G. Principato

Prova tu 1 L’uguaglianza 132 – 82 = 140 – 90 esprime la proprietà: a. commutativa.

c. invariantiva.

b. associativa.

d. dissociativa.

2 Il numero che completa l’uguaglianza 44 – ….. = 10 è?

a. 54

b. 44

c. 10

d. 34

3 0 o 1? Qual è il numero da inserire per rendere vere le uguaglianze seguenti?

a. 45 – 25 + 8 –

c. 56 – 22 + 8 –

= 28

b. 25 + 14 – 29 –

= 41

d. 112 + 28 – 57 –

= 10

= 82

4 Completa seguendo le indicazioni.

MATEMATICA

697

149 – – 99

– 31

100

288 –

– 98

B 134 –

– 999 +3

–5

–3

+10

5 Inserisci nella tabella i numeri precedenti e successivi a quelli dati. precedente numero

111

239

301

477

599

1111

successivo 6 Calcola.

a. 24 + 18 – 30 + 6 – 15 =

b. 112 + 38 – 99 + 11 – 60 =

[3]

c. (20 + 8) +( 48 – 34) – (22 – 18) – (24 – 16) =

[2]

[30]

9 © Casa Editrice G. Principato

na ma

sett i

La moltiplicazione e le sue proprietà

È l’operazione che a due numeri ne associa un terzo, ottenuto addizionando il primo tante volte quante indicate nel secondo.

I termini della moltiplicazione si chiamano fattori, il risultato è il prodotto.

Che cos’è?

Come si chiamano i suoi termini?

LA Z IIO L A MOL M O LTTIIPPLLIIC CAAZ ONNEE

Ha un elemento neutro?

Commutativa: cambiando l’ordine dei fattori il prodotto non cambia. 5 • 4 = 20 = 4 • 5 Associativa: sostituendo a due o più fattori il loro prodotto il risultato finale dell’operazione non cambia. 2 • 5 • 7 = 70 = 10 • 7 Dissociativa: il risultato dell’operazione non cambia se si scrive un fattore come prodotto di due o più numeri. 28 • 5 = 140 = 7 • 4 • 5 Distributiva rispetto all’addizione: la moltiplicazione di un numero per una addizione è uguale alla somma dei prodotti del numero per ciascuno degli addendi. 6 • (4 + 3) = 42 = 6 • 4 + 6 • 3 Distributiva rispetto alla sottrazione: la moltiplicazione di un numero per una sottrazione è uguale alla differenza tra i prodotti del numero per il minuendo e per il sottraendo. 10 • (7 – 3) = 40 = 10 • 7 – 10 • 3

Il numero 1 è l’elemento neutro. • 6 1 = 1 • 6 = 6

RDA CO

Quali sono le sue proprietà?

Il numero 0 è l’elemento annullatore della moltiplicazione. Vale la legge di annullamento di un prodotto: il prodotto di due o più numeri è nullo se e solo se è nullo uno dei fattori.

Prova tu 1 La seguente uguaglianza 15 9 = 3 5 9 esprime la proprietà: •

•

a. associativa.

c. dissociativa.

b. commutativa.

d. distributiva.

2 Nella moltiplicazione 6 9 = 9 6 è stata applicata la proprietà: •

•

a. associativa.

c. commutativa.

b. dissociativa.

d. distributiva.

3 Quale numero rende vere le seguenti uguaglianze? a. 11 2 – 11 •

c. 9

+ 12 = 12

•

–9

•

4 Completa le seguenti tabelle inserendo nelle caselle i prodotti delle moltiplicazioni righe-colonne. 11

•

MATEMATICA

b. 24

= 11

•

240

5 Applica alle seguenti moltiplicazioni la proprietà indicata e calcola il prodotto. a. 15 24 =

dissociativa

b. 13 (7 + 11) =

distributiva

c. 25 19 =

commutativa

•

6 Calcola. a. 6 5 + 9 8 – 25 2 – 2 15 = •

•

b. 11 5 + 9 3 – 8 4 – 5 8 + 7 1 = •

•

c. 25 – (7 3 – 3 5 + 8) + 4 (6 4 – 17) – 6 5 = •

•

[22]

•

[17]

[9]

11 © Casa Editrice G. Principato

na ma

sett i

La divisione e le sue proprietà

È l’operazione che, considerata una coppia di numeri, di cui il secondo diverso da zero, consente di determinarne un terzo che, moltiplicato per il secondo, dà come risultato il primo.

Come si chiamano i suoi termini?

Che operazione è?

Quali sono le sue proprietà?

L A DI V I S I ON E

Invariantiva: il quoziente di una divisione non cambia se si moltiplicano o dividono dividendo e divisore per uno stesso numero diverso da 0. 110 : 22 = (110 : 11) : (22 : 11) = 10 : 2 = 5 125 : 25 = (125 • 2) : (25 • 2) = 250 : 50 = 5

RDA CO

La divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione. Se devi dividere un numero per 10, 100, 1000 per la proprietà invariantiva basta togliere uno, due, tre zeri.

Il primo numero è il dividendo il secondo il divisore, il risultato è il quoziente.

Se il divisore è 0 la divisione è impossibile. 45 : 0 impossibile Se dividendo e divisore sono entrambi uguali a 0 il quoziente è indeterminato. 0 : 0 indeterminato

Ha casi particolari?

Se il dividendo è 0 e il divisore un numero qualunque diverso da 0 il quoziente è 0. 0 : 23 = 0 Se il divisore è 1 il quoziente è uguale al dividendo. 19 : 1 = 19

Se dividendo e divisore sono uguali il quoziente è 1. 16 : 16 = 1 © Casa Editrice G. Principato

Prova tu 1 Quale delle seguenti divisioni ha quoziente 0? a. 134 : 134

c. 0 : 456

b. 238 : 0

d. 0 : 0

2 Quali delle seguenti uguaglianze si ottengono applicando la proprietà invariantiva alla divisione 84 : 12 = 7 a. 84 : 7 = 12

c. (84 – 2) : (12 – 2) = 7 – 2

b. 420 : 60 = 7

d. (84 : 4) : (12 : 4) = 7

a. 455

c. 9

b. 91 000

d. 91

4 Completa le seguenti tabelle inserendo nelle caselle i quozienti delle divisioni ri ghe-colonne.

144

MATEMATICA

3 Qual è il risultato della divisione 455 000 : 5000?

5 6 7 8 90

5 Esegui le seguenti divisioni. a. 15 500 : 100 =

d. 200 000 : 10 000 =

b. 3 600 000: 400 000 = c. 7200 : 900 =

e. 5 000 000: 1 000 000 =

f. 620 000 : 3100 =

6 Calcola. a. (8 + 3) (8 – 3) : (8 – 3) + (2 8 + 3) (8 – 2 3) : (3 – 1) – 7 (3 + 1) =

[2]

b. (3 5 + 1) : 8 + 5 5 : [8 2 – (5 2 + 1)] – 4 9 : (4 2 + 1) =

[3]

c. {80 : 40 + 2 [3 + 5 (5 + 4 2) : (5 2 + 3)] : 8} : (36 : 9) =

[1]

•

13 © Casa Editrice G. Principato

na ma

sett i

per tenersi in

ALLENAMENTO Completa le seguenti tabelle.

numero

109

59 19

successivo 7

numero

111

precedente successivo 2

Applica alle seguenti operazioni le proprietà indicate e calcola il risultato.

a. Commutativa

11 + 8 =

b. Associativa

14 + 6 + 11 + 9 =

c. Dissociativa

33 + 27 =

12 15 =

d. Invariantiva

15 – 11 =

225 : 25 =

e. Distributiva

3 (15 – 8) =

8 9 = •

•

4 5 11 =

(24 + 6) 5 = •

Riconosci le proprietà applicate.

a. 33 + 29 + 11 + 7 = 40 + 40

b. 550 : 5,5 = 1100 : 11

c. 15 4 – 7 4 = 8 4

•

d. 111 8 = 100 8 + 10 8 + 8 •

•

Trova il numero che rende vere le seguenti uguaglianze.

+ 11 = 15

+ 14 = 14

+ 7 = 8

+ 0 = 10

– 5 = 0

– 0 = 56

– 1 = 29

– 11 = 30

•

f. g. h. 144 :

14 = 14 •

11 = 121

: 9 = 81 = 12

•

0=0

•

10 = 900

: 17 = 0 122 :

= 122

14 © Casa Editrice G. Principato

Inserisci l’operazione e il numero mancante per verificare le seguenti uguaglianze. Nel caso indica le possibili alternative.

a. 15

= 8

e. 7

= 21

i. 25

b. 24

= 48

f. 63

= 9

l. 70

= 14

g. 90

= 102

m. 63

= 13

h. 6,5

= 26

n. 540

= 5,4

c. 6

= 18

d. 1200 6

= 12

Stabilisci se le seguenti uguaglianze sono vere o false.

a. 25 + 5 = 5 + 25

e. 25 – 5 = 5 – 25

b. 6 12 = 12 6

f. 6 : 12 = 12 : 6

c. 54 11 = 540 + 54

d. 48 : 6 = 30 : 6 + 18 : 6

g. 540 : 11 = 540 : 10 – 54 h. 48 6 = 30 6 + 18 6 V

•

Correggi gli errori e calcola il risultato.

MATEMATICA

•

a. 6 8 – 5 4 + 16 : 4 = 6 3 4 + 4 •

•

b. 0 : 9 + 27 : 27 + 36 0 = 9 + 1 + 36 •

c. 18 – 10 : 2 + 4 + 6 5 = 8 : 2 + 10 5 •

•

d. 10 + 5 + 15 : 15 – 15 : 15 = 30 : 15 – 15 8

Risolvi le espressioni.

a. 10 + (3 2 + 7 1) : 13 – 2 3 – 2 2 =

[1]

b. [5 + (36 : 6 : 2 + 2 4) 2] : (2 4 + 1) =

[3]

c. 3 + [(12 : 6 2 + 5) 5 – (30 : 10 3 + 1)] : 7 =

[8]

•

Risolvi le espressioni.

a. 48 : [8 : 4 2 + (27 : 9 3 + 1) 2 – (24 : 12 + 10)] =

[4]

b. {[12 4 : (10 – 4) + 9 8 : 6] : [16 : 8 (12 – 7)]} (24 : 6) – 8 =

[0]

•

c. {[6 5 + (8 4 – 5) (3 3 – 8) – (3 4 + 8)] – 3 11} + [8 – (2 4 + 3 4 – 3 5)] = •

•

Risolvi le espressioni.

a. {4 5 : 5 + [(10 – 2 2) : 3 + 2 (9 : 9)] : (3 – 8 : 8)} : {[6 – (3 : 3 6) : 2] •

•

(7 : 7 2)} =

[1]

•

b. {[24 2 : (5 2 – 4) + (60 – 12) : 4] : [16 : 8 (12 – 7)]} (20 : 5) – 7 = •

•

[1]

•

c. [(3 5) : (7 0 + 1) – 2] 3 + {5 [3 + 14 : (3 5 – 8)] + (2 4 + 1) (9 – 4 2)} •

•

[7]

•

2 – 12 8 =

•

[11]

•

15 © Casa Editrice G. Principato

na ma

sett i

Gli enti geometrici fondamentali

La scienza che studia la forma e la dimensione degli oggetti.

Si costruisce a partire da elementi che si chiamano enti fondamentali, affermazioni intuitive, gli assiomi, e affermazioni dimostrabili, i teoremi.

Che cos’è?

Come si costruisce?

L A G E OM E T R I A LA Lo spazio, infinito, continuo, illimitato. È caratterizzato da tre dimensioni. Ha come modello l’ambiente che ti circonda.

Quali sono i suoi enti fondamentali?

La retta, insieme infinito, continuo e illimitato di punti. Ha una sola dimensione e si identifica con una lettera minuscola dell’alfabeto. Ha come modello la traccia ottenuta seguendo con la matita il bordo del righello.

Il punto, privo di dimensioni. Indica la posizione nello spazio e si identifica con una lettera maiuscola dell’alfabeto. Ha come modello il segno lasciato dalla punta di una matita.

Il piano, insieme infinito, continuo e illimitato di rette. Ha due dimensioni e si identifica con una lettera minuscola dell’alfabeto greco. Ha come modello il foglio o la lavagna.

16 © Casa Editrice G. Principato

Prova tu 1 Su una cartina in scala devi misurare la distanza tra due punti. Che cosi usi per indi carli in modo che il tuo risultato sia il più corretto possibile? a. Delle puntine colorate.

b. Dei pennarelli a punta grossa.

c. Degli spilli. d. Dei pennarelli a punta fine.

2 Nella foto individui diverse linee rette. Qual è il modello più veritiero? a. La striscia centrale della strada. b. Il bordo della strada. c. La linea dell’orizzonte.

3 L’astronauta Paolo Nespoli si trova sulla stazione Stazione Spaziale Internazionale (ISS). Qual è il miglior modello di spazio che vede? a. Lo spazio interno all’ISS.

c. La Terra.

b. Lo spazio interplanetario.

d. Le stelle.

4 Riconosci nella figura gli enti geometri ci fondamentali e denominali in modo corretto.

5 Matita e righello sono strumenti della geometria. Per fare pratica usali per unire i punti in ordine alfabetico. Che cosa apparirà?

I H

MATEMATICA

d. Uno dei bordi della foto.

D G

17 © Casa Editrice G. Principato

na ma

sett i

Rette e linee Aperte Chiuse

Rette

LE L LII NE N EE N E L P I AN A NO S O N O

Intrecciate aperte

RDA CO

Intrecciate chiuse

Per le rette valgono i seguenti assiomi: per un punto passano infinite rette, che costituiscono un fascio di rette; per due punti passa una e una sola retta; per tre punti non allineati passano tre rette, se i punti sono allineati la retta che li congiunge è unica. © Casa Editrice G. Principato

Prova tu 1 Riconosci quale tra queste linee non è intrecciata.

2 Quante rette disegni per tre punti? a. Sempre tre.

c. Tre se i punti non sono allineati.

b. Sempre una.

d. Una se i punti non sono allineati.

a. Per essi passa una sola retta.

c. Per essi passano infinite linee.

b. Per essi passano infinite rette.

d. Per essi passa una retta e infinite linee.

4 Individua le caratteristiche delle linee geometriche seguenti.

MATEMATICA

3 Nel piano sono disegnati due punti. Quale delle seguenti affermazioni è falsa?

5 Disegna nello spazio sottostante: una linea aperta, un fascio di rette, una linea in trecciata chiuse e una linea chiusa.

19 © Casa Editrice G. Principato

na ma

sett i

Il piano cartesiano

È un piano geometrico strutturato con un sistema di riferimento formato da una retta orizzontale orientata da sinistra a destra e da una retta verticale orientata verso l’alto.

La retta orizzontale si chiama asse delle ascisse o asse x. La retta verticale si chiama asse delle ordinate o asse y. Gli assi dividono il piano in quattro quadranti e di solito è presente una griglia centimetrata. y

asse delle ordinate

II quadrante

I quadrante

+3 +2 +1

asse delle ascisse

0 –7

–6

–5

–4

–3

–2

0 +1

–1

III quadrante

IV quadrante

–2 –3

Quali sono le sue caratteristiche?

Che cos’è?

I L P I A N O C A R T E S I AN O Come si rappresentano i punti?

Con una coppia ordinata di numeri che rappresentano rispettivamente l’ascissa e l’ordinata del punto.

y +5

B (–2, 5)

A (3, 3)

+3 +2 +1 0 –4

–3

–2

0 +1

–1

C (–1, –2)

–2

20 © Casa Editrice G. Principato

D (7, –2)

+9 +10 +11 +12

Prova tu 1 La coppia di numeri (5, 6) nel piano cartesiano individua: a. una linea.

b. un numero.

c. un punto.

d. un asse.

2 Un punto sull’asse delle ordinate ha per ascissa: a. un numero b. un numero c. 0 d. a volte un numero positivo, positivo. negativo. a volte un numero negativo. 3 Un punto nel terzo quadrante ha: a. ascissa e ordinata positive. b. ascissa e ordinata negative. c. ascissa positiva e ordinata negativa.

4 Un piano geometrico è dotato di riferimento cartesiano centimetrato. Rappresenta su di esso i punti A(2, 2) B(8, 4) C(5, 8) D(4, –2), congiungili in ordine alfabetico, unendo anche D con A e specifica se la linea che hai ottenuto è intrecciata oppure no. 5 Ricava dal disegno le coordinate della seguente figura, rappresentata in un piano cartesiano con unità di misura il centimetro.

MATEMATICA

d. ascissa negativa e ordinata positiva.

y +10 +9

+8 +7

+6 +5

+4 +3

+2 +1 0 –5

–4

–3 –2 –1

0 –1

+9 +10 +11 +12

–2 –3

6 In un piano cartesiano con unità di misura il centimetro rappresenta i punti A(4, –2) B(6, –2) C(6, 3) D(9, 3) E(9, 5) F(1, 5) G(1, 3) H(4, 3). Uniscili in ordine alfabetico, congiungendo anche H con A. Se hai svolto il compito in modo corretto otterrai la lettera T.

21 © Casa Editrice G. Principato

na ma

sett i

per tenersi in

ALLENAMENTO Denomina come indicato gli elementi della seguente figura.

– il piano a – la retta r – il punto C – la linea b

Disegna in un piano cartesiano con unità di misura il centimetro i punti A(1, 3) e B(3, 7). Quante rette passanti per questi due punti puoi disegnare? In un sistema di riferimento cartesiano con unità di misura il centimetro sono dati i punti A(1, 3) B(5, 3) C(7, 3). Come sono? Quante sono le rette che passano per i tre punti?

Nella figura sono nascoste due rette, una linea aperta, una linea chiusa e una linea intrecciata aperta. Identificale con colori diversi.

In un sistema di riferimento cartesiano con unità di misura il centimetro disegna le figure seguenti:

– il triangolo di vertici

A(–1, –2)

B(5, –2)

C(7, 7)

– il rettangolo di vertici

A(2, 0)

B(8, 0)

C(8, 5)

D(2, 5)

– il trapezio di vertici

O(0, 0)

A(9, 0)

B(7, 6)

C(3, 6)

22 © Casa Editrice G. Principato

Esercitazioni

INVALSI

1 Una successione di numeri è costruita in modo che fissato un qualunque numero, il successivo sia il doppio più uno. Se il primo numero è 2, il sesto numero della successione è: a. 12

b. 64

c. 5

2 In un sistema di riferimen to con una griglia quadret tata il punto P, partenza di un percorso, si trova 5 quadretti a nord e 3 quadretti a est rispetto all’origine. Osserva la seguente figura.

d. 95

N +10 +9 +8

MATEMATICA

+7 +6

+5 +4 +3 +2 +1 0 –6

–5

–4

–3

–2

–1

0 +1

–1

+9 +10 +11 +12

–2 –3

Il punto P è posizionato in modo corretto?

sì

Se ti sposti di 2 quadretti a est e di 6 quadretti a sud quali sono le coordinate del nuovo punto, rispetto all’origine?

a. (2, 6)

b. (6, 2)

c. (5, –1)

d. (–1, 5)

3 Il risultato approssimato dell’operazione 3,95 …. 10,01 è 39,54. L’operazione che è stata eseguita è:

a. una addizione.

c. una divisione.

b. una sottrazione.

d. una moltiplicazione.

23 © Casa Editrice G. Principato

na ma

sett i

La cellula

È l’unità di base dei viventi.

Microscopio

Con quale strumento può essere osservata?

Come si definisce?

LA CELLULA

Come può essere?

Procariote

Eucariote

Come si riproduce?

Come si riproduce? Quali strutture hanno in comune?

Per scissione binaria.

Per mitosi. • •

La cellula procariote non ha il nucleo che contiene il DNA.

Membrana cellulare Citoplasma

In che cosa sono diverse?

24 © Casa Editrice G. Principato

La cellula eucariote ha il nucleo e numerosi organuli.

il succo dei

concetti

esploriamo la cellula eucariote

Le cellule eucariote possono costituire un organismo unicellulare oppure costituire, insieme ad altre cellule, un organismo pluricellulare complesso, vegetale o animale. membrana plasmatica

ribosomi

la cellula e assicura gli scambi con l’esterno. Nelle cellule vegetali, oltre alla membrana, è presente la parete cellulare di cellulosa.

● Il citoplasma contiene tutti gli organuli indispensabili per la sopravvivenza della cellula: – i mitocondri sono responsabili della respirazione cellulare, necessaria per apparato convertire gli zuccheri in energia; di Golgi – i ribosomi sintetizzano le proteine; – il reticolo endoplasmatico si occupa del trasporto delle sostanze all’interno reticolo della cellula; endoplasmatico mitocondrio – i lisosomi distruggono strutture danneggiate; – l’apparato di Golgi, è l’organulo dove si accumulano le proteine. apparato di Golgi

nucleo

reticolo endoplasmatico

parete cellulare vacuolo

mitocondrio cloroplasto lisosoma

nucleo

vacuolo lisosoma

SCIENZE

● La membrana plasmatica riveste e protegge

● Nel citoplasma delle cellule vegetali sono presenti i vacuoli, organuli di grandi dimensioni, dove si raccolgono sostanze di riserva. Il citoplasma delle cellule vegetali contiene i cloroplasti, gli organuli dove avviene la fotosintesi. ● Il nucleo è il centro di controllo di tutte le

funzioni della cellula. Contiene la cromatina, una sostanza formata da proteine e DNA, dove è contenuto il patrimonio genetico. Ha un ruolo fondamentale nella riproduzione della cellula.

Rispondi alle domande. a. Quali sono le differenze tra cellule procariote ed eucariote? b. Quali sono le differenze tra cellule animali e vegetali? c. Quale funzione svolgono i mitocondri? d. Come è fatto il nucleo e che funzioni ha? e. Come si riproducono le cellule?

25 © Casa Editrice G. Principato

na ma

sett i

I problemi È un quesito che a partire da alcune informazioni, i dati, chiede di pervenire alla risposta ad una precisa serie di domande.

Che cos’è?

UN PRO BL OB LE M A

Di tipo elementare che si risolve con una precisa sequenza di operazioni aritmetiche per esempio spesa + guadagno = ricavo

Come può essere?

Con somma e differenza che si risolve con le regole: (somma + differenza) : 2 = quantità maggiore (somma – differenza) : 2 = quantità minore

26 © Casa Editrice G. Principato

Di tipo grafico dove la soluzione richiede di indicare con un simbolo per esempio una quantità non nota.

Problemi di tipo elementare Un cartolaio spende 306 € per acquistare 360 quaderni. Se vende 175 quaderni a 1 € ciascuno, a quanto dovrà rivendere ognuno dei rimanenti se vuole guadagnare 72,5 €? Tralasciamo la stesura dei dati e vediamo la sequenza delle operazioni risolutive (306 + 72,5) € = 378,5 € ricavo totale (378,5 – 175) € = 203,5 € ricavo quaderni rimasti (360 – 175) € = 185 quaderni rimasti (203,5 : 185) = 1,10 € ricavo unitario

Per capire come si arriva alle formule risolutive consideriamo il seguente esempio. Due sacchetti contengono complessivamente 14 palline e il primo ne contiene due in più del secondo. Quante palline ci sono in ciascun sacchetto? Osserva i disegni.

1° sacchetto

2° sacchetto

somma

differenza

Come vedi somma – differenza corrisponde al doppio delle palline contenute nel secondo sacchetto, mentre somma + differenza è il doppio delle palline del primo sacchetto. Da qui le regole. Vediamo un esempio:

Giulia ha due anni più di Matilde e insieme hanno 26 anni, qual è la loro età? (26 – 2) : 2 = 12 età di Matilde (12 + 2) = 14 età di Giulia

MATEMATICA

Problemi con somma e differenza

Problemi di tipo grafico Tre scatoloni contengono complessivamente 58 libri. Il primo contiene 3 libri in più del doppio del secondo e il terzo 1 libro in più del triplo del primo. Quanti libri contiene ciascuno scatolone? e possiamo Non abbiamo informazioni sul secondo scatolone che indichiamo con schematizzare i dati nel seguente modo: = libri del secondo scatolone + 3 = libri del primo scatolone +3

+ 3 + 1 = libri del terzo scatolone

Quindi: 58 =

+3+ 1°

+ 2°

+3+1

3° scatolone

[58 – (3 + 3 + 3 +3 + 1)] = 45 corrispondenti a 9 45 : 9 = 5 =

= libri del secondo scatolone

5 2 + 3 = 13 libri del primo scatolone •

13 3 + 1 = 40 libri del terzo scatolone •

27 © Casa Editrice G. Principato

Prova tu 1 Una cassetta di pesche pesa 5,5 kg e il contenitore pesa 450 g. Le pesche pesano: a. 5,95 kg

b. 5,05 kg

c. 550 g

d. 1 kg

2 La differenza di due numeri è 48 e la loro somma 98. I due numeri sono:

a. 98 e 48

b. 50 e 48

c. 146 e 98

d. 25 e 73

3 Due persone si dividono la somma di 660 € in modo che il primo abbia il doppio dei soldi del secondo. La seconda persona riceve? a. 330 €

b. 110 €

c. 220 €

d. 440 €

4 Un acquisto viene pagato con quattro versamenti di 1000 €, 750 €, 1600 € e 450 €. Qual era l’importo totale dell’acquisto? [3800 €] 5 Un grande magazzino acquista 4 casse di bicchieri. Ogni cassa contiene 40 scatole da 12 bicchieri ciascuna, spendendo complessivamente 4320 €. A quanto viene ri[3 €] venduto ogni bicchiere se il guadagno è stato di 1440 €? 6 Per comprare 5 magliette e due paia di jeans ho speso 200 €, mentre per comprare 3 paia di jeans e 2 magliette ho speso 124 €. Quanto costano rispettivamente una maglietta e un paio di jeans? [32 € e 20 €]

Gioca con le tue

competenze

In uno scatolone ci sono dei tubi che contengono ciascuno 4 palline da tennis. Approfittando di un'offerta speciale puoi acquistare 4 tubi spendendo 20 €. Quanti tubi ci sono nello scatolone se si contano 156 palline? a. 30 tubi. b. 39 tubi. c. 11 tubi. d. 9 tubi + 2 palline

28 © Casa Editrice G. Principato

na ma

sett i

per tenersi in

ALLENAMENTO

Problemi di tipo elementare

La spesa per l’acquisto di una partita di merce è di 784 €. Se vengono rivenduti con un guadagno di 156 €, quale somma si ricava? [940 €] Una cassa di frutta pesa 27 kg. Sapendo che la tara è di 5 kg e che prima della vendita si scartano 4 kg di frutta perché deteriorata, quanti kg di frutta sono disponibili per la vendita? [18 kg] Un negozio guadagna 40 € dalla vendita di due abiti. Sapendo che per il primo abito si sono spesi 65 € e per il secondo 95 €, qual è stato il ricavo complessivo? [200 €]

Da un contenitore della capacità di 250 si tolgono prima 76 , poi 95 e per [17 ] ultimo 62 . Quanti litri rimangono nel contenitore?

Due telai producono ciascuno 65 m di tessuto al giorno. In 30 giorni il primo rimane fermo 4 giorni e il secondo 6 giorni. Quanti metri di tessuto sono prodotti complessivamente? [3250 €]

Tre fatture di 495,5 €, 290 € e 576,5 € sono saldate con un bonifico di 800 € e con un assegno. Calcola l’importo dell’assegno. [562 €]

Un libraio ha ritirato dalla casa editrice 250 testi di storia e scienze. Sapendo che quelli di storia sono 95 e costano 23,40 € e quelli di scienze costano 13,90 €, quanto ha speso? [4377,5 €]

Tre condotti confluiscono in una stessa cisterna. Il primo versa nella cisterna 23 al minuto, il secondo 25 e il terzo 22,5 . Quanta acqua viene versata in 5 ore e 30 minuti? [23 265 ]

MATEMATICA

Se pago una bolletta con una banconota da 100 € e ricevo come resto una ban conota da 20 €, due da 5 €, 4 monete da 1 €, 3 da 50 centesimi e 4 da 20 centesimi, quale importo ho pagato? [63,70 €]

Problemi con somma e differenza 10 11 12 13

La somma di due numeri è 154 e la loro differenza è 68. Determina i due numeri. [111; 43]

Due casse pesano complessivamente 380 kg. Sapendo che la prima contiene 40 kg in più della seconda, calcola il peso di ciascuna cassa. [210 kg; 170 kg]

Una fune lunga 96 m viene divisa in due parti tali che la prima è inferiore alla seconda di 24 m. Calcola la lunghezza di ciascuna parte. [36 m; 60 m]

Per comprare pesche e albicocche, si spendono complessivamente 6,70 €. Sapen do che le albicocche costano 1,50 € in più, quanto ho speso per le pesche? [2,60 €]

29 © Casa Editrice G. Principato

na ma

sett i

2 14 15

Una camicia e un paio di jeans costano 95 €. Sapendo che i jeans costano 25 € in più, quanto ho speso per ciascun vestito? [35 €; 60 €]

Padre e figlio hanno insieme 66 anni e il figlio è nato quando il padre aveva 30 anni. Quali sono le loro età? [18; 48]

Due quadri costano complessivamente 650 € e la differenza di spesa tra i due è di 150 €. Se il primo viene venduto a 450 €, a quanto si deve rivendere il secondo per guadagnare 35 € in più? [335 €]

Una ditta acquista due casse di materiale spendendo complessivamente 765 €. Se la seconda contiene 110 kg in più della prima, e la differenza di spesa è di 165 €, qual è il peso di ciascuna cassa e il costo al kg del materiale? [310 kg; 200 kg; 1,5 €]

La capacità di due contenitori differisce di 38 . Sapendo che sono stati pagati rispettivamente 624 € e 377 €, calcola la capacità di ciascuno di essi e il costo al litro dell’olio che contengono. [96 ; 58 ; 6,5 €]

Problemi di tipo grafico 19

Una eredità viene divisa tra tre persone in modo che la prima riceva il doppio della seconda e la seconda il triplo della terza. Se la seconda eredita 45 000 €, quanto ricevono gli altri due? [90 000 €; 15 000 €] Il peso di quattro casse è tale che la prima e la seconda siano rispettivamente il triplo e il quadruplo della terza, mentre la quarta è doppia della seconda. Se la terza [18 kg; 24 kg; 48 kg] cassa pesa 6 kg, quanto pesano le altre? In un cortile ci sono pulcini, tacchini e galline. I pulcini sono il triplo delle galline e queste sono il doppio dei tacchini. Se i tacchini sono 10, quanti animali ci sono in tutto nel cortile? [90]

Due contenitori hanno capacità complessiva di 80 . Se il primo ha capacità tripla del secondo, qual è la capacità di ogni contenitore? [20 ; 60 ]

Padre e figlio hanno insieme 44 anni. Se il padre ha il triplo degli anni del figlio, qual è la loro età? [33; 11]

Una penna costa il quadruplo di una gomma e la differenza di spesa tra i due oggetti è di 0,75 €. Se acquisto dieci penne e due gomme, quanto spendo? [10,5 €]

Un filo di ferro lungo 162 m viene diviso in tre parti tali che ognuna superi di 2 m il doppio della precedente. Quanto è lunga ogni parte? [22 m; 46 m; 94 m]

Tre persone dividono la somma di 2600 € in modo che il primo abbia 240 € in più del doppio del secondo e il terzo 160 € in meno del triplo del primo. Calcola la somma che spetta a ognuno. [200 €; 640 €; 1760 €]

Se al doppio di un numero aggiungo il triplo di un altro ottengo 88. Se al qua druplo del primo aggiungo il quintuplo del secondo ottengo 156. Quali sono i due numeri? [14; 20]

30 © Casa Editrice G. Principato

Esercitazioni

INVALSI

1 Luca ha 4 pacchetti: il primo pesa 310 g, il secondo 0,5 kg, il terzo 1,1 kg, il quarto 120 g. Quanto pesano complessivamente i 4 pacchetti?

a. 333,5 g

b. 431,6 g

c. 1040 g

d. 2030 g

2 La mamma al supermercato acquista 1 kg di pane, una confezione di patatine sur gelate da 750 g, 4 bistecche da 80 g l’una, 3 kg di arance e 1 kg di mele. Quale tra i seguenti è il peso complessivo dei suoi acquisti? a. 5,83 kg

b. 11,3 kg

c. 6070 g

d. 583 g

3 Quale operazione traduce il problema sottrai da 19 il doppio di 6 quindi addiziona 1?

a. 19 – (6 2 + 1)

c. 19 – 6 2 + 1

b. (19 – 6) 2 +1

d. (19 – 6 ) (2 + 1)

•

MATEMATICA

•

4 Il prosciutto crudo dal mio salumiere costa 28 € al kg. Quanto spendo per comprarne 250 g?

a. 2,50 €

b. 2,80 €

c. 4 €

d. 7 €

5 La mamma ha strappato lo scontrino del supermercato. Quanto ha speso per le arance?

a. 17,5 €

b. 6,15 €

c. 2,8 €

d. 5,55 €

ARANCE PASTA

3,35 DETERSIVO 2,75 BANANE 1,25 ------------TOTALE 10,15 EURO

31 © Casa Editrice G. Principato

na ma

sett i

I segmenti

Sono parti di retta delimitate da due punti detti estremi. semiretta di origine B

semiretta di origine A

Sono consecutivi se hanno un estremo in comune. B

Sono adiacenti P se hanno un estremo Q in comune e appartengono segmenti alla stessa adiacenti retta.

B segmento AB

Che cosa sono?

Come possono essere disposti?

II SSEEGGM MEENNTTII Sono soggetti a operazioni?

Possiedono proprietà?

Possono essere sommati o sottratti e hanno multipli e sottomultipli. A C

D AB-CD AB:5

B AB+CD

Il punto medio divide un segmento in due parti congruenti.

3CD

32 © Casa Editrice G. Principato

Prova tu 1 Due segmenti consecutivi hanno: a. un estremo in comune.

c. la stessa lunghezza.

b. un estremo in comune e

d. due estremi in comune.

appartengono alla stessa retta. 2 Il punto medio di un segmento: a. è un estremo del segmento.

c. lo divide in tre parti.

b. lo divide in due parti congruenti.

d. lo raddoppia.

a. 3 cm

c. 36 cm

b. 27 cm

d. 18 cm

4 Due segmenti misurano rispettivamente 35 cm e 27 cm. Calcola la lunghezza del segmento somma e quella del segmento differenza. [62 cm; 8 cm] 5 In un sistema di riferimento cartesiano con unità di misura il centimetro, disegna e congiungi i seguenti punti: A(–4, –2) B(2, 4) C(6, 4). Quanti segmenti ottieni? Di che tipo sono? [due segmenti consecutivi]

MATEMATICA

3 Un segmento è triplo dell’altro. Se il segmento minore misura 9 cm, l’altro misura?

6 Sono dati tre segmenti tali che il primo misura 12 cm, il secondo è doppio del primo, il terzo è la terza parte del secondo. Calcola la lunghezza della somma dei tre segmenti.

[44 cm]

7 La somma di due segmenti misura 55 cm e uno di essi è quadruplo dell’altro. Calcola la misura di ciascun segmento. [11 cm; 44 cm] 8 Ricordando che una spezzata è un insieme di segmenti consecutivi, calcola la lun ghezza delle spezzate delle seguenti figure in base all’unità di misura indicata.

2 cm

8 cm

5 cm

20 cm

15 cm

10 cm

33 © Casa Editrice G. Principato

na ma

sett i

per tenersi in

ALLENAMENTO Riconosci nella seguente figura i segmenti consecutivi. D B

C F

I N

M R

O P

Riconosci nella seguente figura i segmenti adiacenti.

P Q

Disegna tre segmenti consecutivi.

Disegna due segmenti adiacenti.

Individua il punto medio dei seguenti segmenti.

34 © Casa Editrice G. Principato

In un sistema di riferimento cartesiano con unità di misura il centimetro sono dati i seguenti punti: A(2, 1) B(3, –2) C(7, 4). Verifica che siano gli estremi di segmenti consecutivi.

Verifica che in un sistema di riferimento cartesiano i segmenti, che hanno come unità di misura il centimetro, con estremi i punti A(3, –3) B(7, –3) C(11, –3) siano adiacenti. In un sistema di riferimento cartesiano con unità di misura il centimetro, disegna il segmento con estremi i punti A(1, 4) e B(7, 4) e il segmento con estremi i punti C(0, –1) e D(4, –6), determina le coordinate dei loro punti medi e congiungili.

In un sistema di riferimento car tesiano con unità di misura il centimetro disegna i segmenti che hanno per estremi i punti dati e determina la loro reciproca posizione. Determina quindi le coordinate del punto medio di ciascun segmento e misura la lunghezza del segmento che li congiunge.

a. A(–5, –2)

B(2, 5)

C(5, 5)

b. A(–3, 3)

B(2, 3)

C(8, 3)

c. A(–2, 3)

B(–2, –3)

C(6, –3)

d. A(–3, 3)

B(2, 3)

C(5, 3)

Il segmento AB misura 32 cm e il segmento BC è la sua quarta parte. Calcola la lunghezza della somma dei due segmenti. La somma di tre segmenti misura 108 cm. Sapendo che il primo misura 35 cm e il secondo lo supera di 12 cm, calcola la lunghezza di ciascun segmento. La differenza di due segmenti misura 24 cm. Calcola la lunghezza di ciascuno sapendo che sono uno il quadruplo dell’altro. La somma di due segmenti misura 54 cm e la loro differenza è di 20 cm. Calcola la lunghezza di ciascun segmento. [37 cm; 17 cm] La somma di tre segmenti misura 104 cm. Calcola la lunghezza di ciascun segmento sapendo che il secondo è triplo del primo e il terzo è triplo del [18 cm; 24 cm; 72 cm] secondo.

MATEMATICA

Due segmenti misurano rispettivamente 34 cm e 26 cm. Calcola la lunghezza del segmento somma e del segmento differenza. La somma di due segmenti misura 58 cm e uno di essi è lungo 24 cm. Calcola la misura dell’altro segmento.

35 © Casa Editrice G. Principato

na ma

sett i

Quando la cellula è una sola Decompositori

Sono formati da una sola cellula che compie tutte le funzioni vitali.

Fotosintetici

Parassiti

Come sono suddivisi in base al modo di nutrirsi?

Che caratteristiche presentano?

GLI O RGA NISMI OR AN U N I C E L L U L AR I Come può essere la loro cellula?

Procariote

Quali sono?

Archeobatteri

Eucariote

Muffe d’acqua

Quali sono?

Protofiti

Protozoi

Eubatteri Funghi mucillaginosi 36 © Casa Editrice G. Principato

Gli archeobatteri sono in grado di sopravvivere in condizioni estreme, con temperature molto alte o molto basse oppure in acque molto salate o con concentrazioni elevatissime di particolari elementi come lo zolfo.

concetti

archeobatteri in vetrina

Gli eubatteri sono comunemente chiamati batteri. Questi organismi sono classificati in base alla forma della loro cellula (bacilli, cocchi, vibrioni, spirilli), al loro metabolismo (aerobi o anaerobi) e in base al modo di nutrirsi (azotofissatori, decompositori, parassiti, fotosintetici).

I protofiti sono gli antenati delle piante, sono autotrofi e vivono in mare o nelle acque dolci. Vi appartengono euglene, diatomee e dinoflagellati.

I protozoi sono gli antenati degli animali, sono classificati in base al modo di muoversi (flagellati, sarcodici, sporozoi, ciliati).

SCIENZE

il succo dei

I funghi mucillaginosi e le muffe d’acqua sono decompositori e si nutrono di materia organica. Rispondi alle domande. a. Che cosa sono gli organismi unicellulari? b. Quali caratteristiche hanno gli archeobatteri? c. Quali sono le forme che possono assumere i batteri? d. Quali organismi unicellulari sono antenati delle piante? e. Quali organismi unicellulari sono antenati degli animali?

37 © Casa Editrice G. Principato

na ma

sett i

Le potenze esponente 5

Sono moltiplicazioni di fattori tutti uguali.

2 = 32

base

potenza

Come si scrivono?

Che cosa sono?

LE POTENZE Quali sono le loro proprietà?

Riguardano il prodotto, il quoziente, la potenza di potenza.

RDA CO

Hanno casi particolari?

Se l’esponente è 1 la potenza è uguale alla base 91 = 9 • Se la base è 1 la potenza è 1 qualunque sia l’esponente 1234 = 1 • Se l’esponente è 0 la potenza è 1 con qualunque base 560 = 1 • Se la base è 0 la potenza è 0 Attenzione! 00 non ha significato. •

Il prodotto di due potenze con la stessa base è una potenza con la stessa base ed esponente uguale alla somma degli esponenti. am • an = am+n Il prodotto di due potenze con lo stesso esponente è una potenza con lo stesso esponente e base uguale al prodotto delle basi. an • bn = (a • b)n Il quoziente di due potenze con la stessa base è una potenza con la stessa base ed esponente uguale alla differenza degli esponenti. am : an = am–n Il quoziente di due potenze con lo stesso esponente è una potenza con lo stesso esponente e base uguale al quoziente delle basi. an : bn = (a : b)n La potenza di potenza ha la stessa base ed esponente uguale al prodotto degli esponenti. (an)m = an∙m © Casa Editrice G. Principato

Prova tu 1 Qual è la potenza che completa l’uguaglianza 54 …. = 512 •

a. 8

b. 516

c. 58

d. 53

2 Una potenza con base 7 ed esponente 0 vale: a. 0

b. 7

c. 1

d. non esiste

3 Qual è il risultato dell’operazione 87 : 85? a. 2

b. 8

c. 812

d. 82

potenza

base

esponente

valore

potenza

111

base

esponente

valore

MATEMATICA

4 Completa la seguente tabella.

5 Stabilisci se le seguenti uguaglianze sono vere o false. V

b. 63 = 6 + 6 + 6

c. 33 = 3

a. 54 = 5

•

4 3

•

d. 50 = 5

Gioca con le tue 6 Completa i seguenti calcoli. a. 2 + 5 = 3

b. 42

•

45 =

c. 910 : 97 = d. 32 – 23 = e. 75

•

35 =

f. 208 : 58 =

competenze

Il matematico Augustus de Morgan morto nel 1871, a chi gli chiedeva la sua data di nascita rispondeva dicendo che aveva x anni nell’anno x2. Quando è nato il matematico? a. 1806 b. 1848 c. 1849

39 © Casa Editrice G. Principato

na ma

sett i

per tenersi in

ALLENAMENTO Scrivi le seguenti operazioni sotto forma di potenza.

a. 4 4 4 4 4 4 = •

•

b. 5 5 5 5 = •

•

c. 2 2 2 = •

•

d. 3 3 = •

Scegli per ogni potenza il risultato corretto.

a. 34 =

A. 12

B. 7

C. 81

b. 25 =

A. 32

B. 10

C. 7

c. 5 =

A. 10

B. 7

C. 25

A. 1

B. 12

C. 0

A. 19

B. 0

C. 1

d. 120 = e. 0 3

Scrivi le seguenti operazioni sotto forma di un’unica potenza.

a. 24 25 =

•

b. 1112 : 119 = 4

•

e. (43)5 =

d. 78 : 77=

f. (76)0 =

Completa le seguenti uguaglianze.

a. 22 2 = b. 34 3 32 = •

f. 43 42 40 =

•

e. (72)3 =

•

d. 325 : 165 =

•

g. 71 73 75 =

•

c. 44 : 42 : 4 =

c. 55 52 =

•

h. 68 : 67 : 6 = i. 35 : 34 32 = •

l. (113)0 =

Correggi gli eventuali errori.

a. 32 34 = 38

e. 43 4 = 44

i. 3 32 33 = 36

b. 58 : 56 = 52

f. 74 : 73 = 77

l. 63 : 6 = 63

c. (32)4 = 36

g. (50)3 = 53

m. (45)0 = 1

d. 23 33 = 53

h. 155 : 55 = 35

n. 184 : 94 = 94

•

Inserisci l’esponente mancante.

a. 32 3... = 35

d. 6... : 65 = 62

b. 7 7... 74 = 78

e. (3... )4 = 324

c. 63 6... : 65 = 6

f. 5... : 52 54 = 56

•

40 © Casa Editrice G. Principato

•

Inserisci l’esponente mancante.

a. (28 25 : 2...)2 : 210 22 : 2 = 25 •

•

b. (57 : 54)2 54 : (5...)5 = 1 •

c. (311 3...)2 : [(32)3]4 = 9 •

d. {(23 22)2 : [(22)4 2...]}2 = 1 •

•

e. [(22 72)3 : 144 : 72]... : 23 = 32 •

Risolvi le seguenti espressioni applicando le proprietà delle potenze.

a. [(53 52)4 : 59]4 : [(56 54)2 : (54 58)]4 = •

•

b. [(33 3)2 (35)2]2 : [(38)2 : (33 3 32)]3 = •

•

c. {[(32 34 : 32)2 : (32 33)]2 : [(32)3 : 34] : 33}2 =

[9]

d. 25 : {[(2 26 : 24)2 : (22 23)]2 [(29 23 : 210)2]3 : [(22)3]2}2 =

[2]

e. {[(73 72) : 74]2 [(72)3]4} : [(75)2]2 : 75 + 20 =

[8]

•

Risolvi le seguenti espressioni applicando le proprietà delle potenze.

a. {[(85 84) : 8]3 : 85} : {[(83 82)3 : (85 84)]2 : 83}2 = •

•

b. [(58 : 56 52)3 : (56 : 53)3] {[(453 : 93)2 (158 : 38)] : [(52)3]2} : 52 = •

•

c. {[(23)4 85]2 : 230}1 : {230 : [88 : (23)5 : 23]3}2 =

[1]

d. {[92 93 : (92 92) 92 9 95 : (32)4]3 : [(32)2]6}3 : {[(32)2]2}2 =

[9]

e. {[(24 : 23)2 (27 : 2 23 : 22)4]2 [(243 : 83)2 (272 : 92)3]5}2 : {[(64)2]5}3 =

[1]

•

Risolvi applicando le proprietà delle potenze dove possibile.

a. 25 : 23 + 6 8 : (32 2 – 2) + 2 52 – 24 : (32 – 1) – 11 22 =

[11]

b. 22 + 5 (3 23 – 26 : 22 + 1) – (33 – 3 22 + 1) : 23 – 25 =

[15]

•

c. 2

•

(3 – 2 : 2 ) : (3 – 1) – 3 2

•

5 : (4 – 1) + 3 = 2

[5]

d. [(52 – 22) : (5 + 2) – 2]4 3 22 + [(52 – 32) : 42 + 2]3 : 32 = •

[15]

•

e. [14 : 7 2 – 2 (3 – 6)] : {2 – [(2 – 7) + (2 +1)]} = 2

•

MATEMATICA

•

[2]

Risolvi applicando le proprietà delle potenze dove possibile.

a. [26 : 13 22 – 2 (23 – 5)]4 : [23 – [(23 – 7)3 – (33 – 2 32 – 22)]3 = •

•

[2]

b. [(32 + 52) + 26 – 34] + [(13 + 53 – 34) + 23] + [32 – 23 + 52 – 42] – 17 4 =

[12]

c. {[(70 + 22) (32 + 1) + (72 – 7) : 6 – 22 32]2 : (6 22 – 3)}1 + 1 =

[22]

•

d. {3 – [5 : (6 : 12 + 2) + (3 + 4 )] : [(2 – 2 ) 3 – 2 : 2 – 5]} : 7= 2

•

e. 102 – {24 + 3 – [3 22 + (7 + 5 – 32) – (24 – 23 – 4)] + (11 – 5)} – 92 = 5 •

[7] [5]

41 © Casa Editrice G. Principato

na ma

sett i

Le potenze di 10

Come somma delle cifre significative, ciascuna moltiplicata per la potenza di 10 corrispondente all’ordine. 1568 = 1 103 + 5 102 + 6 10 + 8 100 •

•

450 000 000 = 4,5 108 •

134,67 = 1 10 + 3 10 + 4 10 + 6 10–1 + 7 10–2 2

•

La scrittura del numero con la prima delle cifre significative e la potenza di 10 pari al numero di cifre che la segue o la precede.

0,0000000000008 = 8 10–13 •

•

Come si scrive un numero in forma polinomiale?

Che cos’è la notazione scientifica?

L E P OT LE O TE N Z E DI 10 A cosa servono?

Che cosa sono? Che cos’è l’ordine di grandezza?

Per scrivere i numeri in forma polinomiale o con la notazione scientifica e per esprimere l’ordine di grandezza.

Sono potenze con base 10.

La potenza di 10 più vicina al numero che si considera. 450 000 000 = 4,5 108 l’ordine di grandezza è 108 0,0000000000008 = 8 10–13 l’ordine di grandezza è 10–12 •

•

42 © Casa Editrice G. Principato

Le unità di misura unità di misura

simbolo

metro

massa

kilogrammo

tempo

secondo

intensità di corrente elettrica

ampere

kelvin

candela

mole

mol

lunghezza

temperatura intensità luminosa quantità di sostanza

Quelle definite nel Sistema Internazionale.

Sono unità adatte a esprimere mediante numeri particolari caratteristiche.

Quali sono quelle fondamentali?

Che cosa sono?

L E UN LE U NI T À DI M I S U R A Con multipli e sottomultipli.

Come si opera con esse?

prefisso

MATEMATICA

grendezze fondamentali

simbolo

moltiplica l’unità fondamentale per

tera

1 000 000 000 000 = 1012

giga

1 000 000 000 = 109

mega

1 000 000 = 106

kilo

1000 = 103

etto

100 = 102

deca

unità di sostanza

deci

0,1 = 10–1

centi

0,01 = 10–2

milli

0,001 = 10–3

micro

0,000001 = 10–6

nano

0,000000001 = 10–9

pico

0,000000000001 = 10–12 © Casa Editrice G. Principato

Prova tu 1 A quale numero corrisponde 107? a. un milione.

b. 10 milioni.

c. 100 milioni.

d. un miliardo.

2 Qual è la notazione scientifica di 9 000 000 000 000? a. 1013

b. 9 1013

c. 9 1012

•

d. 1012

3 A che cosa corrisponde un nanometro? a. 0,001 m

b. 10–6 m

c. 0,000000001 m

d. 109 m

4 Scrivi in forma polinomiale i seguenti numeri. a. 4356 =

MATEMATICA

b. 3006 = c. 10 050 = d. 4,000009 = 5 Scrivi utilizzando la notazione scientifica i seguenti numeri. a. 590 000 000 = b. 700 000 000 000 =

Gioca con le tue

c. 0,000000006 = d. 0,000005006 = 6 Completa le seguenti equivalenze. a. 4,65 m =

b. 8,47 km =

d. 756 dag =

e. 98 l = 0,98

= 3140 dg

g. 3,14 m =

h. 423 dam =

i. 5,74 kg =

l. 0,57 kg =

m. 416

La distanza che separa la Terra dal Sole è pari a 149 600 000 km. Come scriveresti questa distanza in notazione scientifica?

dam

c. 3,62 hg =

f. 31,4

competenze

= 4,16 hl

n. 45 m = 0,045 o. 8 m3 = 8 000 p. 6 dag = 600

44 © Casa Editrice G. Principato

na ma

sett i

per tenersi in

ALLENAMENTO Correggi gli eventuali errori.

a. 4369 = 4 + 6 10 + 3 102 + 9 103 •

•

b. 5678 = 5 103 + 6 102 + 7 101 + 8 100 •

•

c. 10 040 = 1 104 4 10 •

•

d. 3004 = 3 103 + 4 •

e. 200 = 2 103 •

f. 123 009 = 9 + 3 103 + 2 102 + 1 10 •

•

Verifica se la scrittura in forma polinomiale corrisponde al numero dato.

a. 3 103 + 4 102 + 6 101 + 1 100 = 3461 •

•

MATEMATICA

•

b. 5 103 + 4 104 = 4500 •

•

c. 1 10 + 6 102 + 8 103 + 9 104 = 1689 •

•

d. 1 103 + 2 102 = 1002 •

•

e. 5 104 + 6 102 + 8 100 = 56008 •

•

f. 6 10 + 5 102 + 7 103 = 7560 •

•

Scrivi in forma polinomiale i seguenti numeri.

a. 3748 = b. 2 000 005 = c. 1 200 004 = d. 57 890 = e. 7 600 001 = f. 100 010 001 = 4

Scrivi il numero corrispondente alle seguenti forme polinomiali.

a. 4 105 + 7 104 + 5 103 + 1 10 + 6 100 = •

•

b. 9 105 + 2 102 + 3 101 + 8 100 = •

•

c. 7 107 + 6 104 + 2 103 + 1 102 + 4 100 = •

•

Correggi gli eventuali errori.

a. 75 000 =7,5 103

d. 9 500 000 = 9,5 106

g. 180 000 = 18 105

b. 0,0000003 = 3 10–8

e. 0,00000007 = 7 10–8

h. 0,0002 = 2 104

c. 800 000 = 8 10–6

f. 9 000 000 = 9 106

i. 0,000006 = 6 10–6

•

45 © Casa Editrice G. Principato

na ma

sett i

3 6

Scrivi i seguenti numeri utilizzando la notazione scientifica.

a. 700 000 000 = b. 0,0000002 =

Determina l’ordine di grandezza dei seguenti numeri.

d. 6 200 000 =

b. 528 000 000 =

c. 0,000007 =

b. 5,2 kg = c. 4 dl =

e. 61 000 000 000 =

e. 8500 cg =

i. 9000 cl =

cm mg l

Utilizzando l’unità fondamentale, riscrivi le seguenti misure espresse con i prefissi del SI.

e. 7,6 Gg =

c. 56 μg =

f. 0,75 Mg = Esprimi le seguenti misure con gli opportuni prefissi del SI.

a. 4 104 m = •

d. 3 108 g = •

b. 6 1011 hm =

e. 7 107 km =

c. 8 10–12 m =

f. 9 10–14 g =

•

Completa la seguente serie di uguaglianze.

a. 567 m =

mm =

km =

b. 9,756 hg =

dg =

dag =

c. 56,54 dal =

ml =

hl =

h. 6 hg =

b. 120 pm =

g. 0,06 km =

hm dag

f. 3 dal =

d. 9,6 mm =

h. 0,0003 = i. 0,000000012 =

d. 80 000 mm =

f. 0,0000098 =

a. 8,96 Tm =

g. 234 000 000 =

Completa le seguenti equivalenze.

a. 76 dam =

f. 0,0005 =

a. 130 000 =

e. 940 000 000 =

c. 0,00000000006 = 7

d. 870 000 000 000 =

dm kg dl

Esegui i seguenti calcoli esprimendo il risultato nell’unità di misura indicata.

a. 0,75 dam + 125 cm + 0,07 hm + 34,6 m + 93 dm = b. 57 hg + 789 mg + 67 g + 0,034 kg + 1290 cg = c. 56,7 hl + 789 ml + 6578 cl + 0,09 dal + 35 l =

46 © Casa Editrice G. Principato

m g l

[59,65] [5814,689] [5772,469]

Esercitazioni

INVALSI

1 Il valore di 33 è: a. 9

b. 6

2 Il prodotto di 2 a. 27

•

c. 27

d. 81

c. 2

d. 28

24 è:

b. 26

a. 718

b. 72

c. 76

d. 16

4 In un gioco d’azzardo la posta viene raddoppiata ogni volta. Se la prima puntata vale 10 centesimi, quanto vale la posta dopo 8 partite?

MATEMATICA

3 Il risultato di 712 : 76 è:

5 Il numero formato da 3 decine, 2 decimi e 4 millesimi è: a. 30,204

b. 40 230

c. 20,34

d. 32,04

6 A quanto equivalgono 1000 dg? a. 1 dag

b. 1 hg

c. 1 kg

d. 10 kg

7 Quale unità di misura useresti per stabilire il peso di un’albicocca? a. Decigrammi

b. Grammi

c. Ettogrammi

d. Kilogrammi

47 © Casa Editrice G. Principato

na ma

sett i

Gli angoli Concavi se contengono i prolungamenti dei due lati; convessi se non li contengono.

Che cosa sono?

Un angolo è ciascuna delle parti di piano delimitata da due semirette con l’origine in comune.

Ci sono casi particolari?

GLI A NGOLI AN

Come possono essere?

Sono consecutivi se hanno il vertice e un lato in comune; sono adiacenti se hanno il vertice e un lato in comune e gli altri due sono uno sul prolungamento dell’altro; sono opposti al vertice se hanno il vertice in comune e per lati due semirette opposte.

a. a. a. a.

angoli consecutivi

b. b. b. b.

c. c. c. c.

angoli adiacenti

L’angolo giro ha per lati due semirette coincidenti; l’angolo piatto ha per lati due semirette opposte; l’angolo retto è metà dell’angolo piatto.

360° 360° 360° angolo giro

180° 180° 180° angolo piatto

48 © Casa Editrice G. Principato

90° 90° 90° angolo retto

angoli opposti al vertice

Prova tu 1 Scegli l’alternativa corretta. a. I lati di un angolo sono due semirette / segmenti. b. Un angolo convesso contiene / non contiene i prolungamenti dei lati. c. Un angolo giro ha per lati due semirette opposte / coincidenti. d. Due rette incidenti formano due coppie di angoli consecutivi / opposti al vertice. 2 L’angolo della figura seguente è: a. retto. b. piatto. c. giro.

3 Quale delle seguenti figure rappresenta correttamente due angoli adiacenti?

b. b.

MATEMATICA

d. concavo.

4 Specifica per ciascuna delle seguenti figure se gli angoli disegnati sono consecutivi, adiacenti oppure opposti al vertice.

49 © Casa Editrice G. Principato

na ma

sett i

Angoli: misura e operazioni

Con il goniometro, utilizzando come unità di misura il grado e i suoi sottomultipli: primi e secondi.

L’angolo giro misura 360°, l’angolo piatto 180°, l’angolo retto 90°. Un angolo acuto ha ampiezza minore di 90°, un angolo ottuso ha ampiezza compresa tra 90° e 180°.

Qual è la misura degli angoli particolari?

Come si misurano?

G L I AN A NG O L I Quali operazioni sono possibili?

Esistono casi particolari?

Addizioni, sottrazioni, multipli e sottomultipli.

Angoli complementari che hanno per somma un angolo retto, angoli supplementari che hanno per somma un angolo piatto, angoli esplementari che hanno per somma un angolo giro.

38° 48' 24'' + 54° 23' 47'' = 38° 54°

48' 23'

24'' 47''

+ =

92° 71' 71'' + 1' – 60'' 92° 72' + 1° – 60'

11''

93°

11''

12'

119° 72'

120° 12' 34'' – 58° 24' 13'' = 61° 48' 21'' 232° 25' 55'' : 5 =

36° 32' 36° 32'

26'' 3 = 26'' 3 =

1 08°

78''

96'

120° 12' 34'' – 58° 24' 13'' =

•

2 32° 25' 55'' : 5 = 46° 29' 11'' 32° 2° 120 145'

50 © Casa Editrice G. Principato

Prova tu 1 Un grado corrisponde a: a. 10 primi.

b. 60 primi.

c. 60 secondi.

d. 100 secondi.

2 La somma di due angoli è 90°. Gli angoli sono: a. consecutivi.

b. complementari.

c. supplementari.

d. esplementari.

3 Due angoli supplementari sono uno il quintuplo dell’altro. Uno di essi misura: a. 120°

b. 30°

c. 60°

d. 90°

MATEMATICA

4 Nelle figure seguenti individua e colora in rosso e blu gli angoli complementari, in giallo e arancione gli angoli supplementari, in verde e rosa gli angoli esplementari.

5 Disegna nello spazio sottostante gli angoli indicati. angolo retto

angolo giro

angolo acuto

angolo piatto

angolo concavo

angolo ottuso

B 6 Osserva la figura e scegli l’alternativa corretta. ^B è un angolo acuto / ottuso. a. L’angolo AO

^B misura 55° / 125°. b. L’angolo AO

O © Casa Editrice G. Principato

na ma

sett i

per tenersi in

Disegna un angolo acuto, un angolo ottuso, un angolo concavo e un angolo convesso.

Disegna due angoli opposti al vertice, due angoli consecutivi e due angoli adiacenti.

Disegna due angoli complementari, due angoli supplementari e due angoli esplementari.

Completa la seguente tabella.

ALLENAMENTO

b = 2a

g=a+b

12°

42°

20°

55°

35°

90°

b = 2a

g=a+b

Esegui le seguenti operazioni con misure dell’ampiezza gli angoli.

a. 20° 13’ 24” + 22° 32’ 27” =

[42° 45’ 51”]

c. 19° 25’ 24” 2 =

[38° 50’ 48”]

b. 135° 55’ 48” – 120° 34’ 18” =

[15° 21’ 30”]

d. 224° 44’ 48” : 4 =

[56° 11’ 12”]

•

52 © Casa Editrice G. Principato

Riduci in forma normale l’ampiezza dei seguenti angoli.

a. 165° 235’ 247”

b. 357° 243’ 258”

c. 110° 146’ 137”

d. 88° 154’ 324”

[168° 59’ 7”; 1° 7’ 18”; 112° 28’ 17”; 90° 39’ 24”] 7

Esegui le seguenti operazioni con le misure dell’ampiezza degli angoli.

a. 21° 36’ 16” + 32° 37’ 44” =

[54° 14’]

b. 92° 29’ 18” – 23° 42’ 38” =

[68° 46’ 40”]

c. 30° 32’ 26” 3 =

•

d. 135° 45’ 55” : 5 = 8

[91° 37’ 18”]

[27° 9’ 11”]

Completa la seguente tabella.

angolo

complementare

supplementare

esplementare

23° 108° 212° 9

Completa la seguente tabella.

angolo

complementare

supplementare

MATEMATICA

38°

esplementare

22° 15’ 43° 36” 54° 24’ 46” 178° 12’ 45” 10

Risolvi i seguenti problemi con le misure di angoli.

a. Tre angoli hanno ampiezze tali che ciascuno supera il precedente di 40°. Sapendo che il secondo misura 103° 30’ 15” calcola il complementare del più piccolo e l’esplementare della somma dei tre angoli. [26° 29’ 45”; 49° 29’ 15”] b. La somma di tre angoli è un angolo giro. Calcola l’ampiezza di ciascuno di essi sapendo che il primo è triplo del secondo e il secondo è doppio del terzo. [240°; 80°; 40°] c. Due angoli complementari differiscono di 34° 23’ 24”. Calcola l’ampiezza di ciascun angolo. [62° 11’ 42”; 27° 48’ 18”] d. La somma di due angoli misura 114° 24’ 44” e la loro differenza è 26° 16’ 36”. Calcola l’ampiezza di ciascun angolo.

[70° 20’ 40”; 44° 4’ 4”]

53 © Casa Editrice G. Principato

na ma

sett i

Organismi

particolari

Le alghe sono organismi autotrofi coloniali; le colonie sono formate da moltissime cellule indipendenti.

Quali sono le loro caratteristiche?

Tutte le alghe svolgono la fotosintesi per produrre i nutrienti di cui hanno bisogno, ma non sono piante.

AL A LG H E E FUNGHI

I funghi sono organismi etorotrofi, ma non sono animali.

Come si nutrono?

I funghi ricavano il loro nutrimento da altri organismi e possono essere saprofiti, parassiti o simbionti.

Come sono classificati?

Alghe verdi che vivono fino a 40 m di profondità.

Alghe brune e alghe rosse che vivono in profondità dove penetra poca luce.

54 © Casa Editrice G. Principato

Funghi pluricellulari Funghi unicellulari

il succo dei

concetti

i funghi

I funghi saprofiti ricavano il loro nutrimento dalla decomposizione di resti vegetali (foglie, rami, tronchi) e animali morti.

I funghi a cappello, quelli che conosciamo di più, sono formati da cellule disposte in lunghi filamenti, le ife, che formano il micelio nel terreno e il corpo fruttifero (formato da gambo e cappello) che spunta all’esterno.

I funghi parassiti si nutrono del materiale contenuto nelle cellule di altri organismi.

SCIENZE

I funghi simbionti vivono in stretta associazione con altri organismi. I licheni per esempio sono un’associazione di un’alga e un fungo: il fungo procura acqua e sali minerali all’alga che, a sua volta, fornisce i prodotti della fotosintesi.

Le muffe sono funghi pluricellulari parassiti. Si formano sugli alimenti, ma possono anche attaccare l’uomo provocando le malattie note come micosi. Esistono però anche muffe utili, sfruttate per la fabbricazione di formaggi, come, ad esempio il gorgonzola.

I lieviti sono funghi unicellulari che ricavano energia soprattutto da zuccheri e amidi; vengono utilizzati per la fermentazione di vino o birra e per la lievitazione del pane.

Rispondi alle domande. a. Come si classificano le alghe? b. In base al modo di procurarsi nutrimento, come si classificano i funghi? c. Che cosa sono i licheni? d. Come sono fatti i funghi a cappello? e. Le muffe sono sempre dannose? f. Come vengono utilizzati i lieviti? © Casa Editrice G. Principato

na ma

sett i

Divisibilità

Quando dati due numeri naturali a e b, esiste un numero naturale n tale che a = b n

Quando dati due numeri naturali a e b, la divisione a : b ha un quoziente esatto.

28 è multiplo di 7 secondo 4 perché 4 7 = 28

40 è divisibile per 8 perché 40 : 8 = 5

Quando hanno multipli?

Quando sono divisibili?

•

I NUMERI Quando sono primi?

Quali sono i casi particolari

Quando sono divisibili soltanto per se stessi e per 1.

RDA CO

• 0

è multiplo di qualunque numero; • ogni numero è divisibile per 1; • ogni numero è divisibile per se stesso; • tutti i multipli di un numero dato sono divisibili per quel numero; • 1 non è considerato un numero primo; • 2 è un numero primo.

Un numero è divisibile per 2 se la sua cifra delle unità è pari, cioè 0, 2, 4, 6, 8. Un numero è divisibile per 3 se la somma delle cifre che lo compongono è multipla di 3. Un numero è divisibile per 5 se la cifra delle unità è 0 o 5. Un numero è divisibile per 7 se la differenza tra il numero privato della cifra delle unità e il doppio di tale cifra è 0 o un multiplo di 7. Un numero è divisibile per 11 se la differenza tra la somma delle cifre di posto pari e quella delle cifre di posto dispari è 0 o 11. © Casa Editrice G. Principato

Prova tu 1 Quale tra i seguenti numeri non è multiplo di 3? a. 36

b. 144

c. 233

d. 393

2 Quale tra i seguenti numeri non è multiplo di 5? a. 210

b. 356

c. 420

d. 800

3 Quale tra seguenti numeri è divisibile per 11? a. 63

b. 909

c. 242

d. 711

4 Quale tra i seguenti è un numero primo? b. 207

c. 2017

d. 3249

MATEMATICA

a. 91

5 Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false. V F a. 0 è multiplo di qualunque numero. b. 1 è divisore di qualunque numero.

c. 1 è numero primo.

d. 2 non è un numero primo.

e. Tutti i numeri pari sono divisibili per 2.

6 Individua quali tra i seguenti numeri sono divisibili per 3. 857

459

474

852

373

1653

3039

4906

4326

5384

6007

7 Individua quali tra i seguenti numeri sono divisibili per 5. 30

147

240

343

364

550

1097

2870

3564

5695

8 Individua quali tra i seguenti numeri sono divisibili per 11. 1353

3436

4345

4752

5203

6688

7887

8034

8206

9174

9 Completa i seguenti numeri in modo che siano divisibili per 7. 14

135

123

10 Completa i seguenti numeri in modo che siano divisibili per 11. 61

2856

506

135

8503

386

813

98158

57 © Casa Editrice G. Principato

na ma

sett i

per tenersi in

ALLENAMENTO Segui le indicazioni e scrivi i multipli dei seguenti numeri.

a. 5 multipli di 3 b. 6 multipli di 2 c. 4 multipli di 7 d. 3 multipli di 11 e. 2 multipli di 13 2 82 3

244

638

2107

3448

7165

8400

9603

875

945

3027

4327

5384

8310

9702

620

742

985

1295

3006

4060

5501

7420

10 105

1485

1750

2115

2926

3960

4511

6435

9229

654

Completa i seguenti numeri in modo che siano divisibili per 3.

Completa i seguenti numeri in modo che siano divisibili per 7.

Completa i seguenti numeri in modo che siano divisibili per 11.

663

707

1320

Completa i seguenti numeri in modo che siano divisibili per 2.

01 8

638

Sottolinea tra i seguenti numeri quelli divisibili per 11.

459

305

542

Sottolinea tra i seguenti numeri quelli divisibili per 5.

134

321

343

Sottolinea tra i seguenti numeri quelli divisibili per 3.

60 5

116

123 4

Sottolinea tra i seguenti numeri quelli divisibili per 2.

405

110

58 © Casa Editrice G. Principato

078

Rispondi ai seguenti quesiti.

a. Scrivi quattro numeri di quattro cifre

c. Scrivi cinque numeri di quattro cifre

divisibili sia per 2 sia per 3.

divisibili sia per 5 sia per 11.

b. Scrivi quattro numeri di quattro cifre

d. Scrivi cinque numeri di sei cifre divisibili

divisibili sia per 2 sia per 7.

Sottolinea quali tra i seguenti sono numeri primi.

contemporaneamente per 2, 3, 11.

MATEMATICA

103

111

241

451

1010

1101

1337

Scrivi accanto ad ogni numero almeno due suoi divisori.

a. 118

d. 135

g. 40

b. 164

e. 172

h. 81

c. 100

f. 112

Per ciascuno dei seguenti numeri individua e scrivi due suoi divisori 13 che siano anche numeri primi.

a. 521

d. 144

b. 580

e. 111

h. 242

c. 576

f. 900

59 © Casa Editrice G. Principato

na ma

sett i

La fattorizzazione L A FAT LA F ATT O R I Z Z A Z I O N E A che cosa serve?

Che cos’è? È la scomposizione di un numero come prodotto di fattori primi o potenze di numeri primi. 1456 2 1728 2 quindi 1456 = 24 1364 2 1182 2 1191 7 1113 13 1111

•

Per calcolare il Massimo Comun Divisore (MCD) e il minimo comune multiplo (mcm) di due o più numeri.

Che cos’è mcm?

Che cos’è MCD? Il maggiore tra i divisori comuni di due o più numeri.

Il minore tra i multipli comuni di due o più numeri.

Come si calcola? Si considerano le fattorizzazioni dei numeri e si prendono i prodotti dei fattori comuni con l’esponente più basso. 350 = 2 • 52 • 7 112 = 24 • 7 MCD (350, 112) = 2 • 7 = 14

Come si calcola? Si considerano le fattorizzazioni dei numeri e si prendono fattori comuni con il massimo esponente e i fattori non comuni. 90 = 2 • 5 • 32 96 = 25 • 3 mcm (90, 96) = 25 • 32 • 5 = 1440

60 © Casa Editrice G. Principato

Prova tu 1 La fattorizzazione corretta di 2304 è: a. 482

b. 122 42

•

c. 44 32

d. 28 32

c. 8

d. 192

c. 450

d. 180

•

2 Il MCD (80, 112) è: a. 16

b. 560

3 Il mcm (75, 90) è: a. 15

b. 150

405 5 81

504

618 2

252 2

126

702 2

103

117

MATEMATICA

4 Completa le seguenti fattorizzazioni.

5 Completa la fattorizzazione dei seguenti numeri e calcola il MCD. 270 2 5

360 2 5

•

750

•

2 5 •

270 = 2 3... 5 •

•

360 = 2... 3... 5

750 = 2 3 5...

•

MCD (270, 360, 750) =

6 Completa la fattorizzazione dei seguenti numeri e calcola il mcm. 396 2

243 3

2 99

1210

121

396 = 2... 3... 11 •

•

243 = 3...

1210 = 2 5 11...

mcm (396, 243, 1210) =

•

61 © Casa Editrice G. Principato

na ma

sett i

per tenersi in

105

120

1914

2925

3060

•

4543

11 440

9405

•

d. 2000 = 23 53 •

16 170

b. 32, 72

19 250

20 475

25 480

39 000

c. 54, 90

d. 72, 45

Scomponi in fattori primi le seguenti coppie di numeri e calcola il MCD.

b. 240, 180

c. 105, 140

Determina il MCD dei seguenti gruppi di numeri.

a. 648, 912 8

7290

Scrivi i divisori delle coppie di numeri dati e determina il loro MCD.

a. 144, 256 7

5088

Scomponi in fattori primi i seguenti numeri.

•

a. 48, 60

4032

•

b. 378 = 2 32 7

560

c. 1540 = 22 5 7 11

•

3674

324

Verifica se le scomposizioni in fattori primi dei seguenti numeri sono corrette.

a. 135 = 34 5

169

Scomponi in fattori primi i seguenti numeri.

858 3

Scomponi in fattori primi i seguenti numeri.

ALLENAMENTO

b. 852, 1420

c. 1750, 8250

Determina il MCD dei seguenti gruppi di numeri.

a. 880, 825, 1485

b. 1080, 1560, 1200

62 © Casa Editrice G. Principato

c. 4410, 2520, 31 500

Scrivi i multipli delle seguenti coppie di numeri e individua il loro mcm.

a. 15, 45

b. 20, 25

b. 220, 154

b. 810, 450

b. 152, 171, 114

c. 630, 420, 1050

Considera le seguenti fattorizzazioni e determina il MCD e il mcm dei numeri corrispondenti ad esse.

a. 24 32 5 e 2 3 54 •

c. 576, 1440

Calcola il mcm dei seguenti gruppi di numeri.

a. 45, 160, 240 13

c. 306, 408

Calcola il mcm dei seguenti gruppi di numeri.

a. 704, 528 12

d. 54, 72

Scomponi in fattori primi le seguenti coppie di numeri e calcola il loro mcm.

a. 120, 180 11

c. 24, 32

•

MATEMATICA

b. 3 72 114 e 32 72 112 •

•

Calcola MCD e mcm dei seguenti gruppi di numeri.

a. 396, 484, 990

b. 1584, 3312, 4048

c. 3388, 2772, 7623

Risolvi i problemi che seguono utilizzando MDC e mcm. a. Dal capolinea partono ogni 10 minuti i bus della linea 1, ogni 8 minuti quelli della linea 2 e ogni 12 minuti quelli della linea 3. Se alle 9 partono contemporaneamente i bus delle tre linee, dopo quanto tempo ripartiranno di nuovo contemporaneamente? [Dopo 2 ore]

b. Si devono suddividere tre stoffe lunghe rispettivamente 600 m, 405 m e 480 m in tagli uguali della massima lunghezza possibile. Qual è la lunghezza di ogni taglio e quanti se ne ricavano da ogni pezza? [15 m; 40, 27, 32 tagli] c. Un pasticcere ha 120 caramelle, 180 cioccolatini e 160 boeri. Vuole confezionare delle scatole assortite che contengano lo stesso numero di dolci di ciascun tipo e che questo sia il più alto possibile: quante scatole può confezionare? Come è composta ogni scatola? [20 scatole; 6 caramelle, 9 cioccolatini, 8 boeri] d. Tre insegne si accendono contemporaneamente in un dato istante. Se la prima si accende ogni 24 secondi, la seconda ogni 36 secondi e la terza ogni 54 secondi, dopo quanto tempo si accenderanno di nuovo contemporaneamente? [Dopo 3 minuti e 36 secondi]

63 © Casa Editrice G. Principato

na ma

sett i

Rette perpendicolari e parallele

Due rette sono incidenti sono quando hanno un punto in comune.

Due rette sono perpendicolari quando sono rette incidenti che formano quattro angoli retti.

90°

Quando sono perpendicolari?

Quando sono incidenti?

LE RETTE Che angoli formano con una trasversale?

Quando sono parallele?

Due rette sono parallele quando non hanno punti in comune e mantengono sempre la stessa distanza l’una dall’altra. Si chiama distanza di un punto da una retta il segmento perpendicolare condotto dal punto alla retta.

angoli alterni interni congruenti: 3 = 6 e 4 = 5 angoli alterni esterni congruenti: 1 = 8 e 2 = 7 angoli corrispondenti congruenti: 1 = 5, 3 = 7, 2 = 6, 4 = 8 angoli coniugati interni supplementari: 3 e 5, 4 e 6 angoli coniugati esterni supplementari: 1 e 7, 2 e 8

1 3 5 7

6 8

64 © Casa Editrice G. Principato

2 4

Prova tu 1 Quale tra le seguenti figure rappresenta una coppia di rette parallele?

a. a.

b. b.

c.c.

d.d.

a. congruente.

c. supplementare.

b. complementare.

d. non esiste.

3 Quale tra le seguenti figure rappresenta in modo corretto la proiezione del segmento AB sulla retta r? a.

B A

A B’

A’

B’

A’

B’

B’ r

A’

MATEMATICA

2 Uno degli angoli formati da due rette parallele tagliate da un trasversale misura 65°. Il suo corrispondente è:

A’

4 Osserva la figura e disegna una retta paralle la alla retta s e una retta perpendicolare alla retta t passanti per A. Disegna poi una retta incidente a r, s, t. r

A t

5 Colora tutti gli angoli congruenti a quello evidenziato in figura e, aiutandoti con i numeri, specifica il loro nome.

1 3 5 7

2 4

6 8

65 © Casa Editrice G. Principato

na ma

sett i

per tenersi in

ALLENAMENTO

Nella figura è disegnato l’asse del segmento AB (la perpendicolare al segmento passante per il punto medio). Congiungi il punto P con gli estremi: che cosa osservi? La proprietà è verificata anche per gli altri punti dell’asse?

Per quale di questi punti è stata disegnata in modo corretto la distanza dalla retta r? A

r D

B’

•P

D’ A

A’

•

C’

Traccia le distanze del punto P dalle rette date in ciascuna delle due figure seguenti. b P

P r

t s c

Tra i punti assegnati quale si tro va alla distanza maggiore dalla retta r? E quale si trova alla distanza minore dalla retta s?

A C F

66 © Casa Editrice G. Principato

D F

In un sistema di riferimento cartesiano con unità di misura il centimetro disegna la retta passante per i punti A(3, 2) e B(6, 2) e determina la distanza del punto P(1, 5) da essa. In un sistema di riferimento con unità di misura il centimetro è dato il punto A(5, 3). Determina la sua proiezione rispettivamente sull’asse x e sull’asse y e scrivi le coordinate delle due proiezioni. In un sistema di riferimento cartesiano con unità di misura il centimetro un segmento ha per estremi A(–3, 1) e B(7, 7).

a. Determina la proiezione del segmento sull’asse x e scrivi le coordinate dei suoi estremi.

b. Determina la proiezione del segmento sull’asse y

e scrivi le coordinate dei suoi estremi. 8

Uno degli angoli formati da due rette parallele tagliate da una trasversale ha ampiezza di 108°. Determina l’ampiezza dell’angolo alterno interno e del coniugato esterno dell’angolo dato, dopo avere stabilito la sua possibile posizione.

MATEMATICA

Uno degli angoli formati da due rette parallele tagliate da una trasversale ha ampiezza di 65° 27''. Determina l’ampiezza dell’angolo coniugato interno, del corrispondente e dell’alterno esterno dell’angolo dato dopo avere stabilito la sua possibile posizione. In base alle indicazioni date determina l’ampiezza di tutti gli angoli formati dalle rette disegnate nella seguente figura.

59° 90°

67 © Casa Editrice G. Principato

na ma

sett i

Le piante LLEE PPIIAN ANTTEE Come si suddividono?

Che cosa sono?

Sono organismi eucarioti pluricellulari autotrofi.

Quali sostanze usano per produrre i nutrimenti?

L’acqua, i sali minerali e l’anidride carbonica sono trasformati in glucosio attraverso la fotosintesi che è attivata dalla luce del Sole.

Quali sono le particolarità delle briofite?

Hanno il corpo a tallo, privo di tessuti specializzati. 68 © Casa Editrice G. Principato

Si dividono in briofite e tracheofite.

Quali sono le particolarità delle tracheofite?

Hanno il corpo a cormo formato da tessuti e organi specializzati: radice, fusto e foglie.

il succo dei

concetti

l’evoluzione delle piante

Le briofite sono piante terrestri molto primitive e di piccole dimensioni; vivono in ambienti umidi perché hanno bisogno dell’acqua per riprodursi. Comprendono i muschi e le epatiche.

Le spermatofite si riproducono mediante semi. Comprendono le gimnosperme e le angiosperme. Le gimnosperme hanno semi nudi, protetti da strutture legnose chiamate pigne o coni. Le gimnosperme più diffuse sono le conifere, che comprendono pini, abeti, larici e cipressi.

SCIENZE

Le tracheofite si dividono in pteridofite e spermatofite. Le pteridofite comprendono piante primitive come felci, licopodi ed equiseti, e sono le prime piante ad avere radice, fusto e foglie. Dipendono ancora dall’acqua per la riproduzione, che avviene mediante spore.

Le angiosperme producono semi racchiusi all’interno del frutto, una struttura che serve a nutrire il seme nella prima fase di sviluppo di una nuova pianta. Il seme deriva dall’ovulo fecondato che si sviluppa nell’ovario del fiore.

Rispondi alle domande. a. Quali sono le caratteristiche delle piante? b. Che tipo di piante sono le felci? c. Quali sono le caratteristiche comuni delle tracheofite? d. Descrivi brevemente le gimnosperme. e. Descrivi brevemente le angiosperme.

69 © Casa Editrice G. Principato

na ma

sett i

Le frazioni

La frazione è una scrittura matematica formata da due termini numerici rispettivamente il numeratore e il denominatore, separati da una linea, la linea di frazione.

Che cos’è?

3 5

numeratore linea di frazione denominatore

Come si rappresenta?

L A F R AZ A ZI O N E

Qual è la sua funzione?

Applicata ad una grandezza la divide in tante parti quante sono indicate dal denominatore e ne considera tante quante indicate dal numeratore. La frazione seguente si legge tre quinti. 3 5

3 5

RDA CO

Unità frazionaria: è una frazione con numeratore 1 e denominatore un qualunque numero naturale. Applicata ad una grandezza rappresenta una delle n parti in cui essa è divisa. © Casa Editrice G. Principato

Prova tu 1 Quale delle seguenti scritture matematiche esprime la frazione “nove mezzi”? a. 9,2 b. 92 c. 2 d. 9 9 2 2 La seguente figura rappresenta un intero.

MATEMATICA

Quale delle seguenti figure non rappresenta l’operatore frazionario 1 applicato alla figura 2 considerata?

3 Qual è la frazione corrispondente alla parte colorata della seguente figura? a. 9 10

b. 11 24

c. 5 12

d. 11 13

4 Considera una figura a tua scelta e rappresenta le frazioni seguenti. 2 5 5 1 8 3 4 9 5 7 5 Considera una figura a tua scelta e rappresenta le seguenti unità frazionarie. 1 1 1 1 1 3 5 6 8 10

71 © Casa Editrice G. Principato

na ma

sett i

Le frazioni improprie, proprie e apparenti Che cosa fa?

Quando ha minore del 3 5 7 , , 4 11 13

il numeratore denominatore. sono frazioni proprie.

Se viene applicata a una qualunque grandezza ne determina una minore.

Quando è propria?

L A F R AZ A ZI O N E Quando è impropria?

Quando è apparente?

Quando ha il numeratore maggiore del denominatore. 8 9 15 sono frazioni , , 3 8 7 improprie.

Quando ha il numeratore uguale o multiplo del denominatore. 6 12 15 sono frazioni , , 6 3 5 apparenti.

Che cosa fa?

Se viene applicata a una qualunque grandezza ne ottiene una maggiore.

Operando su una qualunque grandezza dà luogo ad interi.

72 © Casa Editrice G. Principato

Prova tu 1 Quale tra le seguenti non è una frazione propria? a. 5 b. 7 c. 12 d. 5 9 12 5 20 2 Quale tra le seguenti frazioni apparenti corrisponde a 4? 10 a. b. 20 c. 36 d. 24 5 4 6 6

MATEMATICA

7 12 15 , , . 3 Disegna un rettangolo di 12 quadretti e colora le frazioni 12 12 12

4 Tra le seguenti frazioni riconosci quelle proprie, quelle improprie e quelle apparenti. 1 7 16 12 8 4 2 36 3 28 14 16 48 30 3 8 13 6 7 24 7 18 4 7 16 24 23 15 5 Scrivi un numero che renda proprie le seguenti frazioni. 5 7 8 9 3 11 10 4

6 Scrivi un numero che renda improprie le seguenti frazioni. 12 11 10 2 5 7 9 3

73 © Casa Editrice G. Principato

na ma

sett i

Riduzione ai minimi termini e allo stesso denominatore

Quando numeratore e denominatore sono numeri primi tra loro. 25 è ridotta ai minimi termini 54 perché MCD(25, 54) = 1

Quando è ridotta ai minimi termini?

Dividendo numeratore e denominatore per il loro MCD. La frazione che si ottiene è equivalente a quella data. 32 non è ridotta ai minimi 48 termini perché MCD(32, 48) = 16 32 2 e quindi = 48 3

Come si semplifica?

L A F R AZ A ZI O N E Come si confronta con un’altra frazione?

Vanno ridotte entrambe ai minimi termini prima di confrontarle quindi:

se le due frazioni hanno lo stesso denominatore è maggiore quella con numeratore maggiore. 4 6 Date le frazioni e , 7 7 6 4 > . si ha 7 7 74

se una delle due frazioni è propria, si ha che la frazione propria è sempre minore di una frazione impropria o apparente. 3 8 Date propria, impropria 5 7 3 8 < si ha: 5 7 se le due frazioni hanno denominatori diversi per poterle confrontare occorre determinare due frazioni equivalenti a quelle date che abbiano lo stesso denominatore. 3 6 Per confrontare e : 5 7 3 21 6 30 = e = 5 35 7 35 3 6 < poiché 21 < 30 quindi 5 7

Prova tu 3 corrisponde alla riduzione ai minimi termini di: 1 La frazione 4 a. 324 b. 84 c. 144 d. 108 432 126 216 126 7 2 Quale frazione è equivalente a ? 9 280 84 a. b. c. 105 240 108 30

d. 360 810

3 Quale delle seguenti disuguaglianze è corretta? 6 9 a. b. 11 < 11 c. 5 > 11 > 8 4 9 10 6 13

d. 2640 4400

e. 1008 1176

f. 2592 3168

3 5 Scrivi cinque frazioni equivalenti a . 7

6 Confronta le seguenti frazioni. 2 5 a. 1 b. 7 c. 3 2 3 4 6 5

1 8

1 2

2 3

d. 3 4

5 18

e. 7 2

1 16

Gioca con le tue

1 32 1 64

1 4

5 9

f. 5 6

4 9

competenze

L’occhio di Horus, per gli Egizi simbolo di buona salute, prosperità e potere è formato da parti che, come indicato nella figura, nella vita reale venivano usate per rappresentare le frazioni. È corretto affermare che l’occhio rappresenta l’intero?

MATEMATICA

4 Semplifica le frazioni date. a. 125 b. 294 c. 595 75 378 476

d. 11 < 13 4 3

na ma

sett i

per tenersi in

ALLENAMENTO Rappresenta con le figure che ritieni più opportune le seguenti frazioni.

3 4

1 2

5 8

7 6

11 5

15 4

Calcola i risultati applicando i seguenti operatori frazionari. a. 3 di 120 € c. 4 di 80 pagine e. 5 al giorno 4 5 6

b. 2 di 60 kg 3

10 a. 25

60 a. 96

6 a. 252 396

d. 5 di ora 12

Scrivi 5 frazioni proprie, 5 frazioni improprie e 5 frazioni apparenti.

Riduci ai minimi termini le seguenti frazioni mediante divisioni successive.

b. 36 24

c. 72 40

d. 80 24

e. 80 48

Riduci ai minimi termini le seguenti frazioni mediante divisioni successive.

b. 48 80

c. 120 75

d. 630 840

e. 816 600

Riduci ai minimi termini le seguenti frazioni mediante la scomposizione in fattori primi di numeratore e denominatore.

b. 288 480

c. 1200 1800

d. 448 1008

76 © Casa Editrice G. Principato

e. 2925 5265

Riduci ai minimi termini le seguenti frazioni mediante la scomposizione in fattori primi di numeratore e denominatore.

a. 1960 1176

b. 2592 1188

c. 1536 576

d. 2262 1014

Individua tra le seguenti frazioni quelle equivalenti a

a. 36 84

b. 36 63

c. 33 77

d. 27 21

e. 27 63

f. 33 56

e. 2304 2640 3 . 7

g. 123 147

Completa le frazioni per rispettare l’uguaglianza. a. 3 = c. 5 = e. 7 = g. 12 = 18 32 48 35 2 8 12 15

i. 35 = 4 7

b. 56 = 45 72

l. 84 = 60 126

d. 13 = 90 18

f. 90 = 12 144

h. 125 = 36 225

Trasforma le seguenti frazioni in altre equivalenti con denominatore 24.

a. 3 8

b. 5 12

c. 1 3

d. 17 4

e. 13 8

Riduci allo stesso denominatore i seguenti gruppi di frazioni.

a. 5 , 7 8 12

b. 3 , 1 , 2 5 10 15

c. 4 , 7 , 5 9 12 3

d. 1 , 5 , 11 4 8 6

e. 25 , 11 , 10 15 30 18

MATEMATICA

Riduci allo stesso denominatore i seguenti gruppi di frazioni. a. 1 , 10, 36 b. 4 , 27 , 20 c. 16 , 22 , 7 d. 20 , 7 , 6 e. 12 , 33 , 50 6 36 54 15 36 50 36 24 18 54 36 27 15 90 60

a. 5 < 3 2 2

Stabilisci se le seguenti disuguaglianze sono vere o false.

b. 1 > 1 5 15 14

5 12 15

e. 5 > 6 10 12

g. 7 < 7 8 5

d. 3 < 3 13 12

f. 2 < 3 7 21

h. 3 > 6 15 36

Disponi in ordine crescente le seguenti frazioni.

3 4

c. 3 > 1 8 8

7 6

15 20

1 5

1 2

6 18

Inserisci delle frazioni che rendano vere le seguenti disuguaglianze.

< 5 < 3

< 1 < 2

< 7 < 5

< 4 < 5

< 1 < 8

< 11 < 12

77 © Casa Editrice G. Principato

na ma

sett i

Rappresentazioni grafiche

Sono rappresentazioni che visualizzano in modo semplice situazioni matematiche.

TRENTINO ALTO-ADIGE

PIEMONTE

VENETO

EMILIA ROMAGNA

Che cosa sono? = 200 000 tonnellate

Ideogramma Quali sono i più comuni?

I GRA F I C I

montagna collina

34%

51%

pianura

A che cosa servono?

15%

Areogramma numero dei comuni

Servono per visualizzare una serie di dati numerici o l’andamento di due variabili, una dipendente dall’altra.

1800

fino a 500

1600

501-1000

1400

1001-2000

1200

2001-3000

1000

3001-5000

800 600

temperatura (°C )

400 200

38 36 34 32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10

numero di abitanti

Diagramma a colonne o istogramma. temperature minime

lun

temperature massime

mar

mer

gio

ven

sab

Grafico cartesiano

dom

Prova tu 1 La tabella seguente rappresenta il numero di mele vendute in un negozio nel corso di una settimana domenica

martedì

mercoledì

giovedì

venerdì

sabato

Domenica

L’ideogramma rappresenta i dati utilizzando il simbolo per rappresentare le mele vendute. È corretto? In caso contrario spiega perché.

Mercoledì Giovedì Venerdì Sabato

1000 900 800

a. Mercoledì il negozio ha incassato

700

più di 800 €?

600 500 400

b. Giovedì ha incassato più del

300

doppio di martedì?

200

c. In quali giorni l’incasso è stato

100

minore di 900 €?

0 lunedì martedì mercoledì giovedì venerdì

sabato

3 Il grafico cartesiano rappresenta la variazione dell’altezza dei maschi in relazione all’età.

altezza (cm)

incasso in euro

2 Il diagramma a colonne rappresenta gli incassi registrati da un negozio in una setti mana. Osserva il grafico e rispondi.

MATEMATICA

Martedì

180 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

a. Qual è la variabile dipendente? b. Qual è la variabile indipendente? c. Sono rappresentate sul grafico in modo 0

10 12 14 16 18 20

età

corretto?

79 © Casa Editrice G. Principato

na ma

sett i

per tenersi in

ALLENAMENTO

Il simbolo rappresenta 10 giorni in cui la pioggia ha superato 1 mm di altezza in una città italiana negli anni indicati. Osserva l’ideogramma e ricava il numero dei giorni in cui la pioggia ha superato 1 mm.

1987 1988 1989 1990

Ricava dal seguente ideogramma i dati relativi alla produzione rappresentata, tenendo conto della quantità corrispondente al simbolo utilizzato.

= 3000 t di legname Russia Norvegia Islanda Danimarca Spagna

Nella tabella seguente sono riportati i dati, in tonnellate, relativi alla pesca in cinque paesi europei. Rappresentali con un ideogramma, scegliendo una opportuna unità di misura.

nazione

Islanda

Norvegia

Danimarca

Russia

Spagna

pescato

164 000

307 000

139 000

321 000

131 000

80 © Casa Editrice G. Principato

Il grafico rappresenta i dati relativi alla quantità di pioggia, in mm, caduta in una settimana.

90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 lunedì

martedì

mercoledì

giovedì

venerdì

sabato

giorno

lunedì

martedì

mercoledì

giovedì

venerdì

sabato

domenica

mm di pioggia

––––

Il grafico rappresenta i dati relativi ad alcune produzioni agricole, in milioni di tonnellate, di alcuni paesi europei. Ricava dal grafico la tabella dei valori e rispondi. 40

produzione (.106 t)

35 30

MATEMATICA

Dal grafico è stata ricavata la seguente tabella. Trova gli errori.

25 20 15 10

Russia

Germania Ucraina

0 frumento

orzo

patate

a. Quale tra i paesi considerati è il maggior produttore delle colture considerate? b. Qual è il minor produttore di patate? 6

La tabella visua lizza la bilancia agroalimentare di alcuni paesi. Traduci i dati in un diagramma a colonne.

Italia

Francia

Spagna

Germania

frumento

274

116

mais

233

patate

120

105

123

vino

81 © Casa Editrice G. Principato

na ma

sett i

Il seguente grafico rappresenta l’andamento della temperatura di un paziente ricoverato in una struttura ospedaliera nell’arco di una giornata. Osserva il grafico e rispondi.

a. La temperatura più alta è stata registrata alle ore 17? b. Dalle 15 in poi la temperatura è risultata più alta che nelle ore precedenti? c. In quali momenti della giornata si è registrata la stessa temperatura? 8

37,5 37 36,5 36

F 35,5

gen

feb

mar

mag

giu

temperatura –0,2

5,1

10,3 12,1 19,3

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ora

La seguente tabella raccoglie i dati relativi alla temperatura media registrata in una città della Pianura Padana nel corso dell’anno. Rappresenta i dati con un grafico cartesiano.

mese

38,5

temperatura (°C)

apr

lug

ago

set

ott

nov

dic

24,3 23,2

14,2

6,6

2,4

L’areogramma che segue rappresenta la distribuzione del territorio della Campania. Sapendo che il giallo rappresenta la collina, il verde la pianura e il marrone la montagna ricava i corrispondenti dati percentuali.

collina: pianura: montagna:

collina pianura montagna

Le percentuali che seguono corrispondono ai principali sali minerali che si ottengono dall’evaporazione di un kilogrammo di acqua di mare. Approssima i dati in modo opportuno e costruisci il relativo areogramma.

cloruro di sodio

cloruro di magnesio

solfato di magnesio

solfato di calcio

solfato di potassio

77,76%

10,88%

4,74%

3,95%

2,67%

82 © Casa Editrice G. Principato

Esercitazioni

INVALSI

1 Il grafico riporta la distribuzione degli alunni delle tre sezioni di una scuola seconda ria di primo grado. distribuzione alunni

sezione A

sezione B classe 1

classe 2

sezione C classe 3

Quale tra le seguenti affermazioni è falsa? a. Gli iscritti sono meno di 200. b. In totale, gli iscritti alla classe 2 sono 70. c. Il numero di iscritti alla sezione C è maggiore rispetto a quelli della sezione A. d. Le classi con il maggior numero di alunni sono le prime.

2 Osserva il grafico. Qual è la percen tuale di persone del gruppo esaminato, che ha i capelli biondi? altro rossi

mori

MATEMATICA

30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

3 In un areogramma a quadretti sono rappresentate le percentuali relative agli sport praticati dai 25 alunni di una classe. Se i ragazzi che giocano a basket sono rappresentati con 12 quadretti significa che:

castani biondi basket

a. 50% b. 10% c. 25% d. Non si può determinare

a. 12 ragazzi giocano a basket. 1 . b. i ragazzi che giocano a basket sono 12 c. i ragazzi che giocano a basket sono il 12%. d. la differenza tra 25 e 12 rappresenta i ragazzi che giocano a basket.

83 © Casa Editrice G. Principato

na ma

sett i

I poligoni

i lati: sono i segmenti che formano il poligono; D i vertici: sono gli estremi dei segmenti; la diagonale: è il segmento che congiunge due vertici; gli angoli interni: sono quelli E angolo interno compresi tra due segmenti; gli angoli esterni: sono compresi A tra un lato e il prolungamento lato di quello consecutivo. È la parte di piano delimitata da una spezzata chiusa almeno da tre segmenti.

Che cos’è? La somma degli angoli interni si ottiene moltiplicando 180° per il numero dei lati meno due. In simboli: 180° • (n – 2) dove n è il numero dei lati del poligono.

RDA CO

diagonale

angolo esterno B

Da quali elementi è caratterizzato?

UN POLIGONO Come può essere? Quali sono le sue proprietà?

La somma degli angoli esterni è sempre 360°.

Convesso se la retta a cui appartiene un qualunque lato non lo attraversa; concavo in caso contrario.

Ogni lato è sempre minore della somma di tutti gli altri.

Un poligono di tre lati si chiama triangolo. Se il numero di lati è maggiore osserva la seguente tabella. poligono

vertice

numero lati

poligono

numero lati

quadrilatero

ottagono

pentagono

ennagono

esagono

decagono

dodecagono

ettagono

Prova tu 1 Quale tra le seguenti combinazioni non può rappresentare l’ampiezza degli angoli di un quadrilatero? a. 90° 90° 90° 90°

c. 135°

45°

b. 120°

d. 110°

110°

70°

60°

150°

30°

2 Quante sono le diagonali uscenti da uno stesso vertice di un esagono? a. 6

b. 5

c. 4

d. 3

3 La somma degli angoli interni di un pentagono misura: a. 540°

b. 360°

c. 720°

d. 900°

4 La somma degli angoli esterni di un poligono:

MATEMATICA

a. dipende dal poligono. b. è 180° moltiplicato per il numero dei lati. c. è 180° moltiplicato per il numero dei lati meno due. d. è sempre un angolo giro. 5 Individua nella figura seguente i poligoni concavi e quelli convessi.

6 Calcola la misura degli angoli mancanti nei seguenti poligoni, tenendo presente che gli angoli contrassegnati nello stesso modo sono congruenti. 170° 130°

142°

140°

130° 58°

60°

7 Osserva i gruppi di numeri dati ed evidenzia quelli che possono rappresentare le mi sure dei lati di un poligono. a. 23, 34, 28, 18

c. 15, 4, 6, 4

e. 9, 9, 9, 13, 13, 13

b. 7, 18, 25, 9, 12

d. 6, 6, 10, 10, 35

f. 12, 3, 4, 5

85 © Casa Editrice G. Principato

na ma

sett i

per tenersi in

ALLENAMENTO

Verifica quali gruppi di numeri non possono rappresentare l’ampiezza degli angoli di un poligono.

a. 90, 120, 150, 80 b. 60, 80, 90, 50, 130 c. 108, 150, 80, 100, 102 d. 90, 80, 110, 80 2

Disegna in un sistema di riferimento cartesiano i poligoni che hanno per vertici i punti assegnati, denominali e indica se sono concavi o convessi.

a. A(2, 3)

B(7, 3)

C(3, 6)

D(8, 6)

b. A(–1, –1)

B(3, –1)

C(4, 2)

D(3, 6)

E(3, 3)

In un quadrilatero un lato misura 36 cm, il secondo lato è la terza parte del primo, gli altri due sono congruenti e hanno ciascuno lunghezza uguale alla metà della lunghezza del primo lato. Calcola il perimetro. [84 cm] In un esagono il lato AB è 18 cm, BC è doppio di AB, CD e DE sono congruenti e sono lunghi ciascuno 16 cm, EF è triplo di CD, FA è triplo di AB. Calcola il perimetro. [188 cm] Il lato AB di un quadrilatero misura 18 cm, BC è doppio di AB meno 6 cm, CD [105 cm] supera AB di 4 cm; AD supera BC di 5 cm. Calcola il perimetro. Il perimetro di un pentagono misura 280 cm e tre dei lati sono lunghi rispettivamente 74 cm, 40 cm e 46 cm. Sapendo che gli altri due sono uno il triplo dell’altro, calcola la loro lunghezza. [30 cm; 90 cm] In un pentagono il perimetro misura 88 cm, il lato DE misura 20 cm, AB supera DE di 9 cm, AE è congruente a BC ed è pari alla differenza tra AB e DE. Calcola la lunghezza di ciascun lato. [EC,BC = 9 cm; AB =29 cm; DC = 21 cm] In un esagono l’angolo A ha ampiezza di 84°, l’angolo B è doppio di A, l’angolo C supera A di 44°l’angolo D supera di 42° la metà di A e l’angolo E supera di 72° la terza parte di A. Calcola l’ampiezza dell’angolo mancante. [156°] In un pentagono due angoli hanno ampiezza 132°12’24’’ e 96°6’30’’ e gli altri tre sono congruenti tra loro. Calcola l’ampiezza degli angoli incogniti. [103° 53’ 42”]

86 © Casa Editrice G. Principato

Esercitazioni

INVALSI

1 Come si chiama il poligono raffigurato? a. Esagono. b. Ettagono. c. Ottagono. d. Ennagono. Se conosci la misura di un solo lato puoi calcolare il perimetro?

sì

MATEMATICA

2 Quale dei segmenti disegnati non è una diagonale del poligono? B

a. AC

b. BH

c. CE

d. DB

3 Il poligono in figura è:

12 cm

a. concavo con 2p = 40 cm. 8 cm

b. convesso con 2p = 40 cm.

c. concavo con perimetro che non si può determinare.

d. concavo con 2p = 48 cm. A

87 © Casa Editrice G. Principato

na ma

sett i

Le spermatofite

I fiori contengono gli organi riproduttori maschili e femminili. Dopo la fecondazione il fiore si trasforma in frutto per contenere e proteggere i semi, che daranno origine a una nuova pianta.

Come si dividono?

A che cosa servono fiori, frutti e semi?

L E SSP P E R MA TO F I T E

In gimnosperme e angiosperme.

Da quali strutture sono caratterizzate?

Radice

Quali funzioni svolge?

Fissa la pianta al terreno e assorbe acqua e sali minerali.

Fusto

Foglie

Quali funzioni svolge?

Quali funzioni svolgono?

Sorregge rami e foglie e contiene i vasi di trasporto.

Tre funzioni fondamentali: la fotosintesi, la respirazione, la traspirazione.

88 © Casa Editrice G. Principato

il succo dei

concetti

la fotosintesi

La radice è formata da diverse parti e contiene i vasi legnosi che trasportano l’acqua e i sali minerali assorbiti, e i vasi cribrosi, che trasportano le sostanze nutritive prodotte dalle foglie verso le diverse parti della pianta.

luce

La fotosintesi è il processo che combina la linfa grezza, costituita da acqua e sali minerali, con l’anidride carbonica dell’aria, e per mezzo dell’energia solare la trasforma in ossigeno e glucosio, che forma la linfa elaborata.

ossigeno

linfa grezza

linfa elaborata

acqua e sali minerali

anidride carbonica

La respirazione è l’insieme delle reazioni che portano il glucosio a combinarsi con l’ossigeno, formando acqua e anidride carbonica e liberando l’energia necessaria allo svolgimento delle funzioni vitali della pianta. L’anidride carbonica prodotta viene immessa nell’atmosfera. La traspirazione è l’eliminazione sotto forma di vapore acqueo dell’acqua non utilizzata nella fotosintesi, attraverso gli stomi delle foglie.

Il fusto può essere pieno o cavo, legnoso o erbaceo. Da esso si dipartono rami e foglie. Si può modificare per immagazzinare sostanze di riserva. In esso scorrono i vasi legnosi e quelli cribrosi.

midollo

corteccia libro

cambio

SCIENZE

La foglia ha una struttura complessa e contiene i cloroplasti, organuli cellulari che svolgono la fotosintesi.

Rispondi alle domande.

a. Quali sono le parti fondamentali della pianta? b. Quali funzioni svolgono le radici? c. Che cosa scorre nei vasi legnosi? E nei vasi cribrosi? d. A che cosa serve la fotosintesi e dove avviene? e. Che cosa succede al fiore dopo la fecondazione?

legno

89 © Casa Editrice G. Principato

na ma

sett i

Operazioni

con le frazioni

Addizione Se due o più frazioni hanno lo stesso denominatore si sommano i numeratori.

Sottrazione Se due o più frazioni hanno lo stesso denominatore si sottraggono i numeratori.

5 11 16 + = 9 9 9

7 5 2 1 – = = 4 4 4 2

Se hanno denominatore diverso prima si riducono allo stesso denominatore e poi si sommano.

Se hanno denominatore diverso prima si riducono allo stesso denominatore e poi si sottraggono.

3 7 37 9 + 28 + = = 4 3 12 12

11 2 25 33 – 8 – = = 4 3 12 12

LE FRA ZIONI AZ Quali operazioni consentono? Moltiplicazione Si moltiplicano i numeratori e i denominatori delle frazioni semplificando quando è possibile 3 4

•

5 15 = 7 28

RDA CO

12 3 • 15 3 9 = 25 5 16 4 20

Divisione Si moltiplica la prima frazione per l’inverso della seconda frazione. 15 3 • 8 2 15 25 6 : = = 4 1 255 4 8 5

Si chiama numero misto la somma di un numero intero e di una frazione. 3 13 6 13 = + 1 = 2 + 5 5 7 7 La frazione complementare è la differenza tra l’intero e la frazione data. 9 4 1–9 13 – 9 = = = 13 © Casa13 3 13 Editrice G. Principato

Prova tu 1 La differenza tra due frazioni con lo stesso denominatore si ottiene: a. addizionando i numeratori. b. moltiplicando i numeratori. c. dividendo i numeratori. d. sottraendo i numeratori. 2 La divisione di due frazioni: a. è il prodotto della prima per l’inverso della seconda. b. si esegue dividendo i numeratori. c. si esegue dividendo i denominatori.

17 riscritta come numero misto è: 3 La frazione 4

1 + 17 4

b. 4 +

1 4

c. 5 –

1 4

d. 4 –

1 4

4 Controlla i procedimenti eseguiti nel calcolo delle seguenti addizioni e sottrazioni e correggi quelli sbagliati. a. 1 + 1 = 1 + 1 = 2 3 4 3+4 7

d. 17 + 3 = 17 + 3 = 7 12 2 12 6

b. 3 + 3 = 6 + 21 = 27 7 2 14 14

e. 12 – 2 = 12 – 2 = 10 3 3 3

c. 7 + 2 = 7 + 2 = 9 8 5 40 40

f. 49 – 5 = 49 – 25 = 3 40 8 40 5

MATEMATICA

d. è il prodotto della seconda frazione per l’inverso della prima.

La parte colorata delle seguenti figure rappresenta alcune frazioni. Quali sono le loro complementari? Quale parte della figura rappresentano?

91 © Casa Editrice G. Principato

na ma

sett i

per tenersi in

ALLENAMENTO

Esegui le seguenti addizioni e sottrazioni. 1 5 1 2 a. 3 + 7 = + + = = 8 8 2 2 5 5

3 7 + = 10 10

b. 7 + 3 = 12 12

2 5 + = 13 13

4 5 + = 11 11

4 2 + = 7 7

c. 11 – 3 = 7 7

7 3 – = 5 5

5 2 – = 9 9

5 4 – = 3 3

d. 7 – 5 = 4 4

13 5 – = 11 11

13 7 – = 6 6

15 1 – = 8 8

Esegui i seguenti calcoli.

1 1 7 5 +1+ – – = 2 3 6 3

a. 1 +

[0]

‡ ˆ

b. 3 + 2 + 3 – 1 + 3 – 7 = 20 3 5 2 4 6

1 2

c. 2 +

2 1 1 7 – 5 = + + + 5 9 45 15 3

d. 1 +

7 4 1 4 3 + –3– – = + 2 3 2 15 5

‡ ˆ 4 3

[2]

‡ ˆ

1 3 1 1 1 1 + – – –1– = + e. 1 + 3 4 12 2 3 6 3

Esegui i seguenti calcoli.

2 3

1 7 = 4 12

2 31 = 3 24

–

1 2 = 3 9

j f

a. 2 – 1 – 4 – 3 + 2 + 1 + 1 – 6 = 2 5 10 6 5 2 10

j f

b. 3 – 1 + 2 – 1 + 1 + 1 + 2 + 1 – 1 = 5 12 3 2 3 5

j f

c. 5 + 3 – 1 – 1 + 1 + 3 – 1 + 1 + 3 = 5 2 4 2 20

j f

d. 10 + 11 – 3 + 1 – 4 – 5 – 1 – 1 = 20 3 4 5

j f

e. 1 + 1 + 1 – 1 – 1 – 1 – 1 – 1 + 1 = 3 4 3 4 2 3

–

Risolvi le seguenti espressioni con addizione e sottrazione.

f f

7 33 = 8 8

‡ ˆ 23 30

‡ ˆ 13 5

‡ ˆ 11 2

‡ ˆ 11 3

‡ ˆ 11 6

Esegui le seguenti moltiplicazioni e divisioni, semplificando se è possibile. a. 1 1 = c. 11 1 = e. 1 7 = g. 1 : 1 = i. 7 : 3 = m. 5 : 2 = 2 3 12 2 2 3 2 3 8 5 7 21 •

b. 3 5

•

7 = 2

•

d. 1 3

•

5 = 2

•

f. 4 3

1 = 5

•

h. 5 : 1 = 4 3

l. 3 : 3 = 8 4

n. 4 : 16 = 3 5

Esegui le seguenti operazioni. a. 85 70 = b. 44 12 = c. 45 66 = 21 34 60 11 77 54

d. 144 27 = e. 11 6 81 48 3 22

f. 25 : 50 = 17 51

i. 8 : 7 = 19 38

•

g. 68 : 17 = h. 13 : 52 = 33 11 4 3

•

4 = 5

l. 22 : 77 = 15 35

Completa le seguenti operazioni.

•

2 3

20 8 = 17 3

•

c. 39 : 25

a. 7 – 2 : 34 – 1 + 3 : 21 = 10 15 45 4 2 8

13 3 = 27 2

j f

‡ ˆ 1 12

b. 1 + 11 – 1 : 19 – 1 + 5 : 1 : 1 : 4 = 3 7 7 4 3 5

Risolvi le espressioni.

f f

j f

‡ ˆ 16 15

c. 1 – 1 : 13 – 7 – 7 + 2 + 11 : 1 + 2 = 6 10 15 20 15 12 5

j f

d. 3 + 5 + 2 : 1 + 5 – 1 + 2 – 5 = 4 12 3 6 4 3 12 9

Risolvi le espressioni.

j f

[0]

‡ ˆ 1 2

j f

a. 5 + 3 + 1 – 1 : 1 + 2 – 2 + 7 – 1 : 1 – 1 = 6 4 3 4 3 15 10 3 2

‡

b. 2 + 1 – 4 – 1 – 1 3 3 2

‡

jˆ f

jˆ

a. 5 – 3 4

•

b. 1 – 3 2

•

c. 1 + 1 2

•

2 1 + 3 4

1+ 1 2

•

‡f

‡

1 1 1 + – 3 4 2 •

‡ ˆ 1 2

‡ ˆ

j ‡

15 2

jˆ f

1+ 1 : 1+ 1 : 4 – 1 + 2 – 1 : 1– 7 : 7 4 7 7 2 8 8

[0]

3 1 1 3 + + + : = 5 2 4 2

Risolvi le espressioni.

1 1 1 = : 1– – : 1– 2 3 3

c. 2 + 1 : 1 + 5 – 2 + 2 5 3 2 3 10

j f •

5 10 7 + – 3 9 2

5 2 1 1 + + + 6 5 10 3 •

5 7

j f •

MATEMATICA

32 a. 18

•

ˆª f

3 5 7 + – 10 4 50

4 1 : 1– – = 7 3

•

3– 7 – 1 4 2

•

5 3 + 1+ 2 4

j f

[1]

•

2 1 + = 7 6

•

2 3

•

4 9

ˆª

‡ ˆ 11 12

‡ ˆ 11 6

na ma

sett i

Potenze di frazioni

Elevando a potenza numeratore e denominatore della frazione.

f j3

3 27 = 2 8

Se l’esponente è 1 la potenza è uguale alla base. Se l’esponente è 0 la potenza è 1. Se l’esponente è negativo la potenza è uguale alla potenza inversa con esponente positivo.

f j–2 f j2 5 6

6 36 = 5 25

Quali sono i casi particolari?

Come si risolvono?

L E P O TE N Z E DI F R AZ A ZI O N I Quali sono le proprietà? Moltiplicazione Se la base è la stessa si sommano gli esponenti.

f j3 f j4 f j7 5 2

•

5 = 2

f j4 f j4 f j4

•

3 = 5

ƒ‡f j2ˆ 3ª4 2 5

5 2

Se l’esponente è lo stesso si moltiplicano le basi. 2 3

Potenza di potenza Si moltiplicano gli esponenti.

2 5

f j24 2 5

Divisione Se la base è la stessa si sottraggono gli esponenti.

f j12 f j9 f j3 3 4

3 = 4

3 4

Se l’esponente è lo stesso si dividono le basi. f j3 f j3 f j3 5 5 7 : = 4 7 4

Prova tu 1 Quale delle seguenti potenze non è calcolata in modo corretto? f j2 f j2 2 3 9 3 9 3 3 a. b. c. 2 = d. 3 = 6 = = 2 2 2 4 2 4 4 8 2 Qual è l’esponente che rende vera l’uguaglianza? 6 7

a. 5.

b. 12.

•

6 7

c. 8.

f j10 6 7

d. 0.

3 Quale delle seguenti uguaglianze è corretta? f j–3 f j2 –2 1 5 4 3 8 1 a. b. c. d. 7 = 25 = = =4 2 4 25 2 27 2 49 4 Correggi gli errori nello svolgimento delle seguenti potenze. f j2 f j3 f j2 f j3 f j6 f j f j f j2 3 9 3 9 3 3 3 7 12 7 6 7 a. b. c. d. = = = = : 4 4 5 15 2 2 2 6 6 6 •

5 Calcola le seguenti potenze. f j8 f j5 3 3 a. = : 2 2

f j f j2 f j3

b. 1 2

•

c. 8 3

•

1 2

•

f j4 f j4 f j4

1 2 : : 24 = 4 3

f j4 ‡f j2 f j3ˆ 2 f j12

d. 5 7

MATEMATICA

f j2 f j....

5 7

•

5 7

6 Svolgi i seguenti esercizi applicando le proprietà delle potenze. j ˆ ª ‡f j ˆ ƒ‡f 2 4 5 13 3 3 3 a. = : 4 4 b. c.

‡f j3 f j2ˆ 5 ‡ 2 2 : 5 5

‡f j4ˆ 3 7 2

•

7 : 2

2 : 5

•

f j2ˆ 2 2 5

ƒf j2 ‡f j3 f j2ˆ 2 f j8ª3 7 2

•

7 2

•

7 2

na ma

sett i

per tenersi in

ALLENAMENTO Calcola le seguenti potenze.

f j3

a. 1 = 2

f j

4 b. 2 = 5

f j2

c. 9 = 2 2

f j3

d. 3 = 4

5 e. 3 = 2

f. 4 = 3

f j

f j3

g. 5 = 6

2 h. 11 = 13

f j

f j2

l. 1 = 7 m.

f j3

i. 3 = 4

f j2

f j

Vero o falso?

5 3 a. 3 = 3 5 5

f j0

9 = 10

f j

4 4 e. 2 = 2 7 7

f. 1 3

1 34

f j4

22 = 5 5

c. 1 4

1 = 2 4

g. 1 3

3 33

d. 3 7

34 = 4 7

h. 2 3

8 15

f j4

a. 5 4

b. 3 2

•

4 a.

3 2

f j2 + ....

3 = 2

‡f j2ˆ 3 ‡f j2ˆ 3 f j2 2 3

b. 1 2

•

2 3

d. 3 2

f j....

3 = 2

f j f j4

7 e. 5 : 5 4 4

f j6 f j.... f j2

2 2 = : 3 3

•

2 3

f j....

f j2

16 = 81

c. 2 5

d. 1 3

f j2

= =

4 9

2 3

f j.... 3 11

f j2 2

f j7 – ....

5 = 4

Completa inserendo il termine mancante.

f j5

2 3

f j4

f j3

f j2 f j5

f j3

Completa lo svolgimento delle seguenti potenze.

f j2

f j3

1 n. 100 = 49

b. 2 5

f j2

3 = 11

4 = 81

f j.... 5 4

f j....

g. 2 3

h. 1 3

f j....

32 243

Scrivi il risultato delle operazioni sotto forma di un’unica potenza.

f j3 f j4

a. 1 2

•

b. 3 5

•

1 2

f j6 f j4

3 5

= =

9 2

•

9 2

•

11 4

•

‡f j8ˆ 4 2 3

1 9

•

3 2

f j2 f j5

e. 2 7

f. 1 6

2 7

•

f j2 f j

1 = 6

•

f j4 f j f j2

c. 2 3

•

2 3

•

2 3

3 8

f j4 f j3 f j0

d. 3 8

•

3 8

•

f j f j4

7 c. 6 : 6 5 5

‡f j5ˆ 2 3 2

f j12 f j0

e. 3 2

‡f j5ˆ 3 7 8

3 2

Scrivi il risultato delle operazioni sotto forma di un’unica potenza.

ƒ‡f j2ˆ 2ª3 1 2

f j8 f j10

c. 3 : 3 4 4

ƒ‡f j8ˆ 2ª0 3 5

f j6 f j10

e. 5 : 5 3 3 f.

ƒ‡f j2ˆ 0ª4 2 7

Stabilisci se le seguenti uguaglianze sono corrette, in caso contrario correggile.

f j2 f j3 1 5

•

‡f j2ˆ1 7 11

10 a.

f j9 f j9

a. 5 2 b.

11 4

•

f j10 f j2

a. 1 : 1 8 8 b.

5 2

Scrivi il risultato delle operazioni sotto forma di un’unica potenza.

a. 1 9

d. 3 2

•

f j2 f j0

f j2 f j3 f j4

b. 11 4

c. 5 2

Scrivi il risultato delle operazioni sotto forma di un’unica potenza.

f j2 f j5 f j3

a. 9 2

f j6 f j3

MATEMATICA

f j5

1 = 2

f j2

‡f j4ˆ0 3 8

= 1

f j3 f j3

7 = 11

d. 3 5

•

5 4

f j3

3 = 4

f j3 f j3

e. 3 5

2 3

•

3 8

•

2 3

•

3 8

•

2 3

•

‡f j4 f j3 f j2ˆ ‡f j5 f j3ˆ 3 8

3 8

•

3 8

•

2 5

f j6 3 2

f j5 5 3

‡ ˆ 2 3

5 2

f j5 f j5

f. 2 3

Risolvi i calcoli applicando le proprietà delle potenze.

‡f j3 f j4 f jˆ ‡f j2 f j5ˆ

•

‡ ˆ 3 8

na ma

sett i

6 11

Risolvi i calcoli applicando le proprietà delle potenze dove possibile.

a. 5 – 1 2 2 b. 1 – 1 2

‡

c. 1 2

ƒ‡f j2

•

2 5

•

2 5

•

f j3ˆ 2 ‡f j3 2 5

2 5

ƒ‡f j3 f j2ˆ4 ‡f j6 f j3 2 3

•

2 3

•

f j3ˆ3 ‡f j2 1 2

1 2

•

1 2

2 3

f j2ˆ2 1 2

•

2 3

•

‡f j4

2 3 + 5

•

5 3

2 2 + 3

1 – 2 + 2

•

5 3

3 5

2 5

•

a. 3 + 5 – 7 4 2 6

j f •

2 1– 2 + 2– 4 5 5

j2 f •

f j

3 5

•

Risolvi le seguenti espressioni.

‡f j4 f j3

‡f j2 f j3 2 5

ˆ0ª 2 5

•

3 5

•

ˆ0

j f j f j f

3 2

[0]

[1]

‡ ˆ

1 5 2 + – – 1 = 4 6 3

f j

2 2 2 2 b. 1 – 1 + 1 – 1 – 1 : 5 + 3 – 1 + 2 : 2 – 3 2 3 2 3 2 2 3 9 2 36

ˆ0ª

j f

•

7 20

‡ ˆ

8 = 3

2 15

2 3 2 3 3 2 c. 1 – 1 : 1 – 3 : 1 – 4 : 5 + 1 + 1 : 1 – 1 : 9 = 3 3 5 5 2 2 4

13 a. b. c.

‡f

3+ 2 5

‡f

1+ 1 2

j2 j

•

4 3 – 1– 8 17

•

1 1 – 2+ 2 2

f j f

j f

2 1+ 1 + 1 : 2– 1 2 2 6

14 a.

Risolvi le seguenti espressioni.

•

j2ˆ f

j f

ˆ f

1 23 1 1 + : 2– – 3 6 2 4

jˆ ‡f j3 3 2

•

1+ 2 3

•

j ƒ

1 2

•

1– 1 5

j2 f

•

4 5 + 32 4

d. 2

•

2 7 1 1 : +1+ + 3– 5 3 30 10

‡

‡f j2 f

3– 4 3

•

j2 f

j f

•

1 53 1 5 + – : 1+ 2 9 7

1 1 – 2 3

•

jˆ ‡

j2 ‡f •

f j2ˆ ‡f j2 f j2ˆ 3 5

‡ ˆ

•

: 3

‡ ˆ

2 2 – 1 = 3

16 3

f j f j f j2 ˆ j f j2 ª

•

1– 1 2

j f

jˆ f

1 – 1– 10

•

2 + 2 =

[3]

‡ ˆ

2 1 = : – 5 20

j2ˆª f j2 :

1 7 3 – : 1– 2 15 10

12 3

56 7 8 – 9 72 63

4 9

2 1 4 1 2 2 – : : 5 3 3 5

•

ˆ f

2 2 b. 1 + 2 : 1 – 1 – 1 + 2 + 5 : 2 + 2 3 3 2 6

c. 1 – 1 2 3

2 2 1 + 1 – 32 : 2 + 1 – 1 2 2 2 5

‡

[9]

4 2 4 – 1– : 4– : = 5 10

Risolvi le seguenti espressioni.

ƒ‡f f

1– 3 5

•

‡ ˆ

2 3

j2 ˆª f •

•

7 20

1 + 4 = 41

[1]

‡ ˆ 1 6

[1]

Esercitazioni

INVALSI

1 16 : 2 4) : ? 1 Qual è il risultato dell’espressione (2 + 3 3 •

b. 11 19

d. 7 8

c. 2

15 2 Quale proprietà è stata applicata nell’operazione 2

a. Commutativa.

b. Associativa.

•

c. Dissociativa.

23 ? 3 Qual è il valore della potenza 3

a. 8 27

b. 27 8

c. 8 3

d. 6 3

32 15 = 45 2

•

4 9

•

8 ? 5

d. Distributiva.

MATEMATICA

a. 1 2

13 15 + ? 4 Qual è il risultato di 2 2 8 a. 1 2

15 b. 1 2

c. 5 6

d. 4 15

5 Qual è l’esponente che rende vera l’uguaglianza: ƒ‡f j2ˆ 4ª5 ƒ‡f j4ˆ 10ª.... 2 2 =1 : 3 3

a. 0.

b. 1.

c. 2.

d. non esiste.

na ma

sett i

I triangoli La somma dei suoi angoli interni è sempre 180°; la somma degli angoli esterni è 360°.

È la parte di piano delimitata da una spezzata chiusa di tre lati. C

+ + =180° Ogni lato è minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza.

Quali sono le sue proprietà?

Che cos’è?

I L T R I AN A NG O L O Come si classifica rispetto ai lati?

Come si classifica rispetto agli angoli?

Scaleno se ha i lati di lunghezza diversa; isoscele se ha due lati congruenti; equilatero se ha tutti i lati congruenti.

Acutangolo se ha tutti gli angoli acuti; rettangolo se ha un angolo retto; ottusangolo se ha un angolo ottuso.

Tria ottus

Triangolo scaleno

Triangolo scaleno Triangolo isoscele

Triangolo equilatero

Triangolo isoscele Triangolo isoscele Triangolo acutangolo

TriangoloTriangolo equilatero acutangolo Triangolo equilatero Triangolo rettangolo

Triangolo rettangolo Triangolo ottusangolo

Prova tu 1 Quale tra le seguenti terne non può rappresentare la misura dei lati di un triangolo? a. 8

b. 8

9 10

c. 23

8 18

33 43

d. 54 60

2 Quale tra le seguenti terne rappresenta l’ampiezza degli angoli di un triangolo? a. 90 45 55

b. 36 44 110

c. 46 54 80

d. 55 55 90

3 Un triangolo con due lati congruenti è: a. equilatero.

b. scaleno.

c. non esiste.

d. isoscele.

4 Se un triangolo ha un angolo ottuso gli altri due: c. sono uno retto e uno acuto.

b. sono acuti.

d. sono uno ottuso e uno acuto.

5 Classifica i seguenti triangoli rispetto ai lati.

6 Classifica i seguenti triangoli rispetto agli angoli.

MATEMATICA

a. sono ottusi.

7 In un sistema di riferimento cartesiano con unità di misura il centimetro, disegna i triangoli che hanno per vertici i punti dati e classificali rispetto ai lati e agli angoli. a. A(1, 1) B(7, 1) C(4, 6). b. A(–8, 1) B(–3, 1) C(2, 6).

c. A(–1, 1) B(3, 1) C(–1, 6). d. A(–1, 1) B(10, 5) C(–1, 9).

na ma

sett i

Punti notevoli La mediana relativa ad un lato di un triangolo è il segmento che congiunge un vertice con il punto medio del lato opposto. Le mediane di un triangolo si incontrano in un punto che si chiama baricentro. Il baricentro divide ciascuna mediana in due parti, una doppia dell’altra. C

L’altezza relativa ad un lato di un triangolo è la perpendicolare al lato passante per il vertice opposto. Le altezze di un triangolo si incontrano in un punto che si chiama ortocentro. C 0

Che cos’è l’altezza?

Che cos’è la meridiana?

II PUNTI PUNTI NOTEVOLI NOTEVOLI DI DI UN UN TRIANGOLO TRIANGOLO Che cos’è la bisettrice?

Che cos’è l’asse?

La bisettrice dell’angolo interno di un triangolo è la semiretta che divide l’angolo in due parti congruenti. Le bisettrici degli angoli di un triangolo si incontrano in un punto che si chiama incentro. L’incentro è equidistante dai lati del triangolo. C

L’asse di un lato di un triangolo è la retta perpendicolare al lato passante per il suo punto medio. Gli assi di un triangolo si incontrano in un punto che si chiama circocentro. Il circocentro è equidistante dai vertici del triangolo. C

I 102

P A

Prova tu 1 Traccia le altezze del triangolo in figu ra e individua l’ortocentro.

3 Traccia le bisettrici degli angoli interni del triangolo isoscele della seguente figura. Qual è la particolarità della bisettrice dell’angolo al vertice?

2 Traccia le mediane del triangolo ret tangolo, verifica le proprietà del baricentro e verifica che la mediana relativa all’ipotenusa sia metà dell’ipotenusa stessa.

4 Il triangolo rappresentato in figura è particolare. Perché? Traccia gli assi dei lati del triangolo e verifica le proprietà del punto di incontro. Se consideri gli altri punti notevoli che cosa osservi? C

MATEMATICA

Che cosa osservi?

Quanti triangoli sono nascosti in questa figura?

na ma

sett i

per tenersi in

ALLENAMENTO

Individua quali, tra le seguenti terne, possono rappresentare le misure, in cm, dei lati di un triangolo.

a. 65 45 70

c. 40 40 40

e. 65 42 74

b. 55 55 90

d. 22 22 66

f. 37 44 99

Completa le seguenti terne in modo che i numeri, in cm, possano rappresentare le misure dei lati di un triangolo.

a. 72 52

c. 38 42

b. 90 45

d. 62

c. 105 45

b. 60 60

d. 25 25

Completa le seguenti terne in modo che i numeri considerati possano rappresentare le ampiezze, in gradi, degli angoli interni di un triangolo.

a. 32 87

e. 72

e. 56 52 f. 55 70

Completa la seguente tabella, disegnando negli spazi i triangoli richiesti.

triangolo

acutangolo

rettangolo

scaleno

isoscele

equilatero

ottusangolo

Il numero dato rappresenta l’ampiezza di un angolo di un triangolo; completa la tabella con le misure dell’ampiezza degli altri angoli, in modo tale che il triangolo abbia le caratteristiche richieste.

triangolo

acutangolo isoscele

75°

acutangolo

56°

rettangolo

22°

ottusangolo

48°

ottusangolo isoscele

33°

rettangolo isoscele

45°

In un sistema di riferimento cartesiano con unità di misura il centimetro, disegna il triangolo che ha per vertici i punti A(–3, 0) B(4, 0) C(–3, 7) e verifica che sia rettangolo e isoscele.

In un sistema di riferimento cartesiano con unità di misura il centimetro, i vertici di un triangolo sono i punti A(2, –3) B(2, 5) C(–4, 5). Disegna il triangolo e classificalo rispetto ai lati e agli angoli. [Triangolo rettangolo]

9 10

MATEMATICA

Un triangolo isoscele la base misura 24 cm e il lato la supera di 8 cm. Calcola il perimetro del triangolo. [88 cm] Calcola il perimetro di un triangolo equilatero con il lato di 21 cm. [63 cm]

Il perimetro di un triangolo misura 154 cm e due lati sono lunghi rispettivamente 37 cm e 53 cm. Calcola la lunghezza del terzo lato. [64 cm]

11 12

Calcola la misura del lato di un triangolo equilatero con il perimetro di 354 cm. [118 cm] Calcola il perimetro di un triangolo ABC sapendo che il lato AB misura 15 cm, BC supera AB di 3 cm e il lato AC supera BC di 4 cm. [55 cm] Sono dati i segmenti AB = 20 cm, CD inferiore di 4 cm rispetto ad AB, EF inferiore di 6 cm rispetto a CD. Determina se è possibile costruire un triangolo con i segmenti dati e calcola il suo perimetro. [46 cm]

na ma

sett i

6 14

Il perimetro di un triangolo isoscele misura 261 cm e la somma di due dei suoi lati è 183 cm. Un triangolo isoscele ha la base congruente al terzo lato del triangolo e il lato la supera di 51 cm. Calcola il perimetro del secondo triangolo. [336 cm]

Il perimetro di un triangolo isoscele misura 108 cm e la base è inferiore di 6 cm rispetto a ciascuno dei lati. Calcola la misura dei lati del triangolo. [base 32 cm; lato 38 cm]

Di un triangolo si sa che ogni lato è inferiore al precedente di 6 cm e il perimetro misura 144 cm. Calcola il perimetro di un triangolo equilatero che ha il lato congruente al lato minore del primo triangolo. [126 cm]

Uno dei lati congruenti di un triangolo isoscele è triplo della base. Sapendo che il perimetro misura 147 cm, calcola il perimetro di un triangolo equilatero con il lato congruente alla base del triangolo isoscele. [63 cm]

In un sistema di riferimento cartesiano con unità di misura il cm, un triangolo ha per vertici A(–2, –2) B(6, –2) C(–2, 4). Ricava dal grafico le lunghezze dei lati, classifica il triangolo e calcola il perimetro. Traccia la mediana relativa al lato maggiore e verifica che sia la sua metà. Di un triangolo si sa che il lato AB misura 28 cm, il lato BC è 25 cm e il perimetro misura 78 cm. Calcola il lato mancante e classifica il triangolo. Sapendo che uno degli angoli adiacenti al lato AB misura 56°, calcola la misura degli altri angoli e classifica il triangolo anche rispetto agli angoli. [25 cm; 68°; isoscele acutangolo]

Di un triangolo si sa che AB + BC = 54 cm, AB – BC = 20 cm, il perimetro misura 80 cm e due degli angoli esterni hanno ampiezza rispettiva di 110° 45’ e 108° 56”. Calcola la misura dei lati e degli angoli interni del triangolo e classificalo. [26 cm; 69° 15’; 71° 59’ 4”; 38° 45’ 56” acutangolo scaleno]

Un triangolo ha l’angolo β di 24°23’32” e il lato AB supera ciascuno degli altri due di 15 cm. Sapendo che il perimetro misura 105 cm, calcola la misura dei lati e degli angoli mancanti. [Triangolo isoscele 30 cm; 131° 12’ 56”] Nel triangolo ABC l’angolo a ha ampiezza pari a 38° e l’angolo β pari a 86°. Traccia la bisettrice dell’angolo g e determina l’ampiezza degli angoli dei due triangoli che si formano. [38°, 28°, 114°; 86°, 28°, 66°] L’angolo al vertice di un triangolo isoscele ha ampiezza di 124° 35’ 34”. Traccia l’altezza relativa ad uno dei lati congruenti e calcola l’ampiezza degli angoli dei due triangoli che si formano. [90°, 55° 24’ 26”, 34° 35’ 34”; 90°, 27° 42’ 13”, 62° 17’ 47”]

Esercitazioni

INVALSI

1 Quale tra i seguenti è un triangolo isoscele ottusangolo?

a. A b. B c. C

2 Qual è l’altezza relativa al lato BC del seguente triangolo? A H

a. AE

MATEMATICA

d. D

b. AG

c. BH d. BF E

3 Che cosa rappresenta il punto P del seguente triangolo? B

a. Ortocentro. b. Baricentro. P

c. Incentro. d. Circocentro.

na ma

sett i

Gli animali G L I AN I M A L I

Che cosa sono?

Come si suddividono?

Sono organismi pluricellulari eterotrofi con cellule organizzate in tessuti e organi.

Si suddividono in invertebrati e vertebrati.

Quali sono gli invertebrati?

Quali funzioni li contraddistinguono?

• • • • • •

Sostegno e movimento Nutrizione e digestione Respirazione Circolazione ed escrezione Riproduzione Coordinamento e controllo

• • • • • •

Poriferi Celenterati Vermi Molluschi Artropodi Echinodermi

Quali classi appartengono ai vertebrati?

• • • • •

Pesci Anfibi Rettili Uccelli Mammiferi

concetti

La locomozione è la capacità degli animali di muoversi. Il movimento è reso possibile dal sistema muscolare e da quello scheletrico. Gli invertebrati sono privi di scheletro interno, ma hanno strutture di sostegno sostitutive come l’esoscheletro o la conchiglia. I vertebrati, invece, possiedono uno scheletro interno chiamato endoscheletro.

anatomia di un pesce osseo

La respirazione è il processo che permette agli animali di ricavare energia dalla reazione di combustione del cibo digerito grazie all’ossigeno che viene introdotto nell’organismo per mezzo di trachee, branchie o polmoni. erbivoro

Gli animali possono essere erbivori, carnivori, o onnivori in base al tipo di nutrizione. Attraverso la digestione il cibo viene ridotto in molecole che possono essere assorbite SISTEMA NERVOSO e utilizzate dalle cellule raccoglie stimoli e elabora risposte del corpo. carnivoro

La riproduzione può essere asessuata o sessuata, che avviene quando sono presenti le APPARATO cellule riproduttive dei due sessi. DIGERENTE Laglifecondazione, può avvenire demolisce alimenti e assorbe le sostanse nutritive all’interno del corpo della femmina oppure esternamente ad esso. SISTEMA SCHELETRICO sostiene e protegge

Il sistema circolatorio, più o meno complesso, ha la funzione APPARATO diESCRETORE trasportare le elimina le sostanze sostanze all’interno di rifiuto dell’organismo. L’apparato escretore provvede all’eliminazione delle sostanze di rifiuto. SISTEMA CIRCOLATORIO trasporta ossigeno e sostanze nutritive

SISTEMA MUSCOLARE permette il movimento

SCIENZE

il succo dei

onnivoro

Il sistema nervoso ha il compito di controllare e coordinare uomo tutte le attività donna dell’organismo, raccogliere le informazioni provenienti dall’esterno e dall’interno dell’organismo, rielaborarle APPARATO e inviare risposte adeguate RIPRODUTTORE genera cellule riproduttive, agli protegge organi. e nutre l’embrione Rispondi alle domande. a. Che cos’è un animale? b. Qual è la differenza tra vertebrati e invertebrati? c. Quali funzioni contraddistinguono gli animali? d. Che cos’è la respirazione? e. Di che cosa si occupa il sistema nervoso? APPARATO

IMMUNITARIO difende da agenti estranei e da malattie

uomo

donna

109

na ma

sett i

I problemi con le frazioni

Sono problemi che hanno operatori frazionari nei dati.

Di tipo diretto, inverso, e con somma e differenza.

Quali sono i tipi fondamentali?

Che cosa sono?

II PPRROB OBLLEEM MII C E RRAAT T OR CO ONN O OPPE ORII FFRRAZ AZIIO ONNAARRII Come si risolvono? Un problema diretto si risolve dividendo la grandezza data per il denominatore e moltiplicando il risultato ottenuto per il numeratore. 3 Ho letto di un libro 4 di 160 pagine. Quante pagine ho letto? (160 : 4) • 3 = 120 pagine lette

Un problema inverso si risolve dividendo la grandezza data per il numeratore e moltiplicando il risultato ottenuto per il denominatore. 2 Ho percorso del percorso, 7 cioè 12 km. Di quanti km era il percorso? (12 : 2) • 7 = 42 km percorso

I problemi con somma e differenza si risolvono dividendo la grandezza data per la somma o la differenza tra denominatore e numeratore della frazione. 7 Dei 40 libri di uno scaffale quelli di storia sono 3 di quelli di geografia.

110

Quanti sono i libri di ciascun tipo? (40 : 10) = 4 4 • 7 = 28 libri di storia 4 • 3 = 12 libri di geografia © Casa Editrice G. Principato

Prova tu 5 di una corda di 60 m corrispondono a: 1 I 6 a. 72 m b. 50 m c. 10 m

d. 66 m

3 della capacità di un contenitore sono 15 , la sua capacità totale è: 2 Se i 5 a. 9 b. 75 c. 25 d. 45

5 dell’altro, il numero più piccolo è: 3 Se la somma di due numeri è 160 e il maggiore è 3 a. 100 b. 60 c. 96 d. 20 3 di acqua. 4 Da un contenitore con la capacità di 150 sono stati prelevati 5 Quanti litri sono stati tolti? Quanti litri rimangono nel contenitore?

Il problema è di tipo (150 : 5) 3 •

(150 –

)

<l =

litri tolti litri rimasti

3 di un libro cioè 36 pagine. Quante pagine ha il libro? 5 Ho letto 8 Il problema è di tipo , quindi devi applicare a 36 l’operatore frazio-

nario (36 :

)

MATEMATICA

= 96 pagine del libro

•

3 del secondo. Calcola i due numeri. 6 La somma di due numeri è 56 e il primo è 5 (56 : ) =

(

•

(

•

3) =

1° numero

) = 35

7 del secondo. 7 La differenza di due numeri è 24 e il primo è 3 Determina i due numeri.

(

: 4) =

(

•

7) = 42

(

•

3) =

1° numero

1 3 e poi della parte rimasta. 8 Una fune è lunga 50 m. Se ne tagliano prima 5 8 Quanti metri sono stati tagliati ogni volta? Quanti metri rimangono dopo ogni taglio?

(50 : 5) m = 10 m

metri tagliati la 1° volta

(

metri rimasti

– 10) m =

(40 : (

)

= )m=

metri tagliati la 2° volta metri rimasti

na ma

sett i

per tenersi in

ALLENAMENTO

Problemi di aritmetica 1

5 di un tratto 9 autostradale lungo 126 km. Quanti km sono stati asfaltati? Quanti km mancano? [70 m; 56 m] Sono stati asfaltati

Gli alunni di una scuola secon3 daria di primo grado sono 720. Se 5 degli alunni frequentano la prima e 1 la seconda, quanti sono gli alunni del4 la prima, della seconda e della terza? [432; 180; 108] 18 di una somma corrispondo35 no a 648 €. Qual è il valore dell’intera [1260 €] somma?

In una sezione elettorale le don13 degli uomini. ne rappresentano i 11 Sapendo che la differenza tra gli elettori dei due sessi è di 32 unità, calcola quanti sono gli uomini e quante sono le donne. [208; 176] La somma di 320 € viene divi3 sa tra tre persone. La prima riceve i 8 della somma, gli altri due dividono in parti uguali il rimanente. Quanto riceve ciascuno? [120 €; 100 €; 100 €]

Da una botte di vino vengono 17 della sua catolti 255 che sono i 25 pacità e il rimanente viene suddiviso in cinque damigiane uguali. Qual è la [24 ] capacità di ognuna di esse?

Padre e figlio hanno insieme 42 anni. Calcola l’età di ognuno sapendo 1 degli anni del padre. che il figlio ha 6 [6 e 36 anni]

La somma di 2560 € viene divisa tra tre persone. Alla prima spettano i 3 5 , alla seconda i della parte rimasta. 8 8 Quanto riceve il terzo? [600 €] Un terreno viene diviso in tre lotti. Se i primi due sono rispettivamente 3 1 e dell’intero terreno e il terzo è 4 24 pari a 1000 m2, qual è l’estensione del terreno e quella dei primi due lotti? [4800 m2; 3600 m2; 200 m2]

Una eredità di 96 000 € viene divi sa tra quattro persone. Alla prima van5 2 , alla seconda i del rimanenno i 12 7 3 di ciò che resta dopo te, alla terza 5 le prime due divisioni. Qual è la somma di denaro che riceve la quarta persona? [16 000 €]

Nella sezione letteraria di una 3 dei libri sono di narrativa, biblioteca 5 1 sono di letteratura e i rimanenti 288 7 sono raccolte di poesia. Calcola il numero di libri di narrativa e di letteratura. [672; 160]

3 di un de25 10 del rimaposito e successivamente 33 nente dispongo ancora di 17 480 €. A quanto ammontava il mio deposito iniziale? [28 500 €]

Dopo aver prelevato

2 In un centro benessere degli 5 5 della parte ospiti fanno cure termali, 9 rimanente praticano fitness e gli ultimi 60 fanno cure elioterapiche. Quante sono le persone presenti? Quante fanno cure termali o fitness? [225; 90; 75] I partecipanti ad una gita si fer 2 prendono il cafmano in un bar. I 9 3 dei rimanenti mangiano il gefè, 14 lato, alcuni bevono succo di frutta e i 13 rimanenti 26, che corrispondono a 36 del totale mangiano un panino. Quanti sono i partecipanti alla gita? Quanti consumano caffè, gelato e succo di frutta? [72; 16; 12; 18]

Il segmento AB misura 72 cm. Determina la lunghezza dei segmenti CD e EF sapendo che sono rispettiva5 3 e di AB. [40 cm; 54 cm] mente 9 4 L’angolo a ha ampiezza di 75°. Calcola l’ampiezza dell’angolo b con7 gruente a di a e classifica i due angoli. 5 [105°; a acuto; b ottuso] Un angolo di un triangolo misura 2 del primo. Deter69° e il secondo è 3 mina l’ampiezza degli angoli e classifica il triangolo. [46°; 65°; acutangolo]

In un triangolo isoscele un lato 6 di esso. misura 30 cm e la base è 5 Calcola il perimetro del triangolo. [96 cm] La lunghezza della somma di tre segmenti è 96 cm e i primi due sono 1 1 e di tale somma. rispettivamente 3 4 Calcola la lunghezza del terzo segmento. [40 cm] L’angolo a misura 56° e l’angolo 3 di a. Calcola l’ampiezza dell’an8 golo supplementare della loro somma e quella dell’angolo complementare della loro differenza. [103°; 55°]

b è

Problemi di geometria 15

La somma dei cateti di un triangolo rettangolo misura 63 cm ed essi 3 dell’altro. Sapendo che sono uno i 4 5 del cateto minore call’ipotenusa è 3 cola il perimetro del triangolo. [108 cm]

MATEMATICA

Il perimetro di un triangolo isoscele misura 76 cm e un lato è con7 della base. Calcola la migruente a 5 sura di ciascun lato del triangolo. [28 cm; 28 cm; 20 cm]

La somma di due segmenti mi 5 sura 44 cm e il primo segmento è del 6 secondo. Calcola la lunghezza di ognuno dei due segmenti. [20 cm; 24 cm]

Il perimetro di un triangolo iso scele misura 144 cm e ciascuno dei lati 13 della base. Determina congruenti è 10 il perimetro di un triangolo equilatero che ha il lato congruente alla base del triangolo isoscele. [120 cm]

na ma

sett i

I quadrilateri

Il quadrato è un poligono regolare: ha i lati congruenti, paralleli a due a due; ha tutti gli angoli retti; ha le diagonali congruenti e perpendicolari tra loro; ha le bisettrici degli angoli che si tagliano scambievolmente a metà.

I POLIG O NNII CON C ON 4 L A TI

C 90° 0

Il rettangolo ha: D C i lati opposti paralleli e congruenti; 0 tutti gli angoli retti; A B le diagonali congruenti che si tagliano scambievolmente a metà e lo dividono in due triangoli rettangoli congruenti. D

Il parallelogramma ha: i lati opposti paralleli e congruenti; gli angoli opposti congruenti; gli angoli adiacenti a ciascun lato supplementari; le diagonali che si tagliano scambievolmente A a metà e lo dividono in due triangoli congruenti. Il trapezio ha solo due lati paralleli che vengono comunemente chiamati basi, e gli altri lati sono obliqui.

C 0 B

A Il rombo ha: i lati tutti congruenti tra loro paralleli a due a due; gli angoli opposti congruenti; D le diagonali perpendicolari, che si tagliano scambievolmente a metà e sono le bisettrici degli angoli. 114 © Casa Editrice G. Principato

B C

0 A

Prova tu 1 Il perimetro di un quadrato misura 128 cm. Il suo lato misura: a. 64 cm

b. 32 cm

c. 16 cm

d. non si può calcolare

2 Le due dimensioni di un rettangolo misurano 26 cm e 14 cm. Il suo perimetro misura: a. 40 cm

b. 52 cm

c. 28 cm

d. 80 cm

3 Il lato di un parallelogramma misura 18 cm e la base è il suo triplo. Il perimetro misura: b. 48 cm

c. 72 cm

4 Calcola il perimetro di un quadrato con il lato di 19 cm.

d. 144 cm

[76 cm]

5 La base di un rettangolo è lunga 34 cm e l’altezza misura 16 cm. Calcola il perimetro. [100 cm] 6 Determina il perimetro di un parallelogramma sapendo che il lato misura 24 cm e la base è la sua metà. [72 cm] 7 In un rombo un lato è di 23 cm. Calcola il perimetro. 8

[92 cm]

MATEMATICA

a. 24 cm

Calcola il perimetro di un trapezio isoscele con la base maggiore di 38 cm, la base minore di 22 cm e ciascun lato di 15 cm. [90 cm]

Gioca con le tue

competenze

Matteo e il suo amico Giulio tagliano due cartoncini uguali formando tutti e due dei pezzi rettangolari: quelli di Matteo hanno il perimetro di 80 cm, quelli di Giulio hanno il perimetro di 130 cm. Quali erano le dimensioni iniziali dei due cartoncini e come sono stati tagliati?

[[

na ma

sett i

per tenersi in

ALLENAMENTO

Problemi con il quadrato 1 2

Problemi con il rettangolo

Un quadrato ha il lato di 16 cm. Calcola il suo perimetro. [64 cm] Osserva il quadrato rappresentato nel piano cartesiano con unità di misura il centimetro. Ricava dal grafico la lunghezza del lato e calcola il perimetro. [20 cm]

+10 +9

1 cm

Un rettangolo ha la base di 20 cm e l’altezza di 15 cm. Calcola il perimetro. [70 cm]

Le dimensioni di un rettangolo sono 34 cm e 16 cm. Determina il perimetro. [100 cm]

Osserva il rettangolo rappresen tato nel piano cartesiano con unità di misura il centimetro. Ricava dal grafico la lunghezza dei lati e calcola il perimetro. [32 cm]

+8 +7 +6 +5

+10

+1 -2 -1 0 -1

1 cm

+6 +5

+1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10+11

-2

-3

+2 +1

In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale con unità di misura il centimetro, un quadrilatero ha per vertici i punti A(–1, –1) B(7, –1) C(7, 7) D(–1, 7). Verifica che sia un quadrato, ricava dal grafico la lunghezza del lato e calcola il perimetro. [32 cm]

Un quadrato ha il lato di 35 cm. Un secondo quadrato ha il lato con4 di quello del primo. gruente ai 5 Calcola il perimetro di entrambi. [140 cm; 112 cm]

-2 -1 0 -1

+1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10+11

-2 -3

In un sistema di riferimen to cartesiano ortogonale con unità di misura il centimetro, un quadrilatero ha per vertici i punti A(–3, 0) B(7, 0) C(7, 5) D(–3, 5). Verifica che sia un rettangolo e calcola il perimetro. [30 cm]

Problemi con il rombo

La base e il lato di un paralle logramma misurano rispettivamente 34 cm e 22 cm. Calcola il perimetro del quadrilatero. [112 cm] Il perimetro di un parallelogram ma misura 128 cm e la base misura 42 cm. Calcola la misura del lato. [22 cm]

Il lato di un rombo è 30 cm. Cal cola il perimetro. [120 cm]

Il perimetro di un rombo misura 84 cm. Calcola la lunghezza del lato. [21 cm]

Un rombo e un rettangolo sono isoperimetrici. Sapendo che la base del 5 di rettangolo è 32 cm e l’altezza è 8 essa, calcola la lunghezza del lato del rombo. [26 cm]

Il perimetro di un rettangolo è 7 dell’altezza. Cal120 cm e la base è 3 cola il perimetro di un rombo con il lato congruente all’altezza del rettangolo. [72 cm]

Il lato di un parallelogramma è 11 di 24 cm e la base è di esso. Deter8 mina il perimetro del quadrilatero. [114 cm] 3 Il lato di un parallelogramma è 12 5 della base e la loro differenza è di 12 cm. Calcola il perimetro. [96 cm]

Problemi con il trapezio 17

Riconosci i seguenti trapezi e calcola il loro perimetro. 36 cm

20 cm

30 cm

32 cm

56 cm

24 cm

30 cm

24 cm

50 cm

20 cm

MATEMATICA

Problemi con il parallelogramma

25 cm

45 cm

[scaleno 144 cm; isoscele 128 cm; rettangolo 120 cm] 18

In un trapezio la base maggiore misura 60 cm e supera la base minore di 2 3 12 cm. Sapendo che i lati obliqui sono rispettivamente e della base maggiore, 5 5 calcola il perimetro del trapezio. [168 cm]

In un trapezio isoscele la somma delle basi è 136 cm e la loro differenza 40 cm. 13 della base minore determina il perimetro del Sapendo che ciascun lato obliquo è 12 trapezio. [240 cm]

Calcola il perimetro di un trapezio rettangolo sapendo che la base maggiore è 3 11 della base maggiore, la base minore è dell’altezza e il lato 128 cm, l’altezza è 4 12 13 della base minore. [416 cm] obliquo è 11 5 In un trapezio rettangolo la base maggiore è della minore e la loro somma 21 3 1 è 96 cm. Sapendo che l’altezza è metà della base minore e il lato obliquo misura 2 della base maggiore, calcola il perimetro. [144 cm]

na ma

sett i

Gli invertebrati sono animali senza colonna vertebrale; i vertebrati, invece, possiedono la colonna vertebrale, che gli ha permesso di compiere un’importante balzo evolutivo.

Gli invertebrati e i vertebrati I poriferi sono animali acquatici con il corpo molle a forma di sacco perforato da moltissimi pori.

I celenterati si presentano in due forme: polipo e medusa. Il loro nome deriva dalla cavità interna che possiedono, il celenteron. I coralli sono i celenterati che creano la barriera corallina.

INVERTEBRATI

VERTEBRATI

I pesci sono animali solo acquatici. Possono avere uno scheletro osseo, come i salmoni, o uno scheletro cartilagineo, come gli squali. Si muovono grazie alle pinne e respirano con le branchie.

Rispondi alle domande. a. Che cos’è il celenteron? b. Da che cosa è fatto lo scheletro degli artropodi? c. Quali sono i vertebrati esclusivamente marini?

118

d. Qual è la particolarità del corpo dei rettili? e. Di quali arti sono la trasformazione le ali degli uccelli? f. Da che cosa deriva il termine “mammiferi”? © Casa Editrice G. Principato

Gli anfibi sono vertebrati che trascorrono la prima parte della loro vita nell’acqua respirando con le branchie ma da adulti possono vivere anche sulla terraferma respirando con i polmoni e attraverso la pelle.

concetti

un insetto sotto la lente

Gli artropodi hanno il corpo coperto da un esoscheletro di chitina, diviso in capo, torace e addome. Il loro nome deriva dalle appendici articolate che possiedono. Agli artropodi appartengono aracnidi, insetti e crostacei.

I vermi possono avere il corpo piatto come nel caso dei platelminti, cilindrico come nel caso dei nematodi, oppure avere il corpo diviso in metameri come negli anellidi.

Gli echinodermi hanno il corpo protetto da piastre calcaree nelle quali sono inseriti aculei e spine. Vi appartengono stelle marine e ricci di mare.

I molluschi hanno il corpo molle spesso protetto da una conchiglia. I molluschi si dividono in gasteropodi come le chiocciole, cefalopodi come le seppie e in bivalvi come le vongole.

I rettili sono vertebrati solo terrestri e respirano con i polmoni. Hanno il corpo ricoperto da un guscio corneo come nel caso delle tartarughe, oppure da squame o placche.

Gli uccelli sono specializzati nel volo perché gli arti superiori si sono modificati in ali. Hanno un corpo molto leggero con ossa cave e il corpo è ricoperto da penne e piume che aiutano il volo e mantengono costante la temperatura del corpo.

SCIENZE

il succo dei

I mammiferi sono chiamati così perché allattano i piccoli per mezzo delle ghiandole mammarie. Hanno il corpo ricoperto di peli e mantengono costante la temperatura corporea. Si dividono in monotremi come l’ornitorinco, marsupiali, come il canguro, e placentati come gli esseri umani.

Soluzioni Gioca con le tue

competenze

p. 28 39 tubi p. 39 1806 p. 44 1,5 • 108 p. 75 no p. 115 I cartoncini misurano 60 x 10 e sono stati tagliati da Matteo in senso verticale e da Giulio in senso orizzontale p. 91 4 e 9 rappresentano la parte bianca 9 16 p. 103 In totale sono 56 triangoli

Rispondi alle domande p. 25 a. La cellula eucariote è caratterizzata da un nucleo che contiene il DNA e contiene numerosi organuli; la cellula procariote non ha un nucleo. b. Le cellule vegetali contengono i cloroplasti, gli organuli dove avviene la fotosintesi. c. I mitocondri sono responsabili della respirazione cellulare. d. Il nucleo contiene la cromatina che contiene il materiale genetico. È il centro di controllo delle funzioni della cellula. e. La cellula eucariote si riproduce per mitosi, la cellula procariote per scissione binaria. Rispondi alle domande p. 37 a. Gli organismi unicellulari sono formati da una sola cellula che svolge tutte le funzioni vitali. b. Gli archeobatteri sono batteri capaci di sopravvivere in condizioni ambientali estreme. c. Possono essere cocchi, spirilli, bacilli o vibrioni. d. I protofiti. e. I protozoi. Rispondi alle domande p. 55 a. Si classificano in alghe verdi, alghe brune e alghe rosse. b. I funghi si classificano in saprofiti, parassiti o simbionti. c. I licheni sono funghi che vivono in stretta associazione con un’alga. d. I funghi a cappello hanno lunghi filamenti che formano il micelio che si trova nel terreno, mentre il corpo fruttifero si trova all’esterno del terreno. e. No, infatti vengono utilizzate dall’uomo per la fabbricazione di formaggi. f. I lieviti vengono utilizzati nei processi di fermentazione, come la fermentazione del vino, e nei processi di lievitazione.

Rispondi alle domande p. 69 a. Sono organismi pluricellulari autotrofi. b. Le felci sono pteridofite. c. Sono le prime piante ad avere radice, fusto e foglie. d. Le gimnosperme hanno il seme nudo perché è protetto solo da strutture legnose. e. Le angiosperme hanno il seme protetto all’interno del frutto. Rispondi alle domande p. 89 a. Radice, fusto e foglie. b. Le radici assorbono dal terreno l’acqua e i sali minerali. c. I vasi cribrosi trasportano acqua e sali minerali, i vasi legnosi trasportano le sostanze nutritive prodotte con la fotosintesi. d. La fotosintesi trasforma la linfa grezza in linfa elaborata; avviene nelle foglie. e. Il fiore si trasforma in frutto per proteggere i semi della futura nuova pianta. Rispondi alle domande p. 109 a. È un organismo pluricellulare eterotrofo. b. I vertebrati hanno uno scheletro interno che, invece, non hanno gli invertebrati. c. Gli animali si nutrono, si muovono, respirano e si riproducono. d. È il processo che permette di ricavare energia dal cibo digerito. e. Il sistema nervoso controlla e coordina le attività dell’organismo e lo relaziona con l’ambiente esterno. Rispondi alle domande p. 119 a. Il celenteron è la cavità interna dei celenterati. b. È costituito da chitina. c. I pesci. d. Hanno il corpo ricoperto da squame, placche o da un guscio corneo. e. Degli arti superiori. f. Dalle ghiandole mammarie che producono il latte.

Rita Poletti

it ca incl

iva

Didat

O M E M

I problemi con somma e differenza Le potenze MCD e mcm Le operazioni con le frazioni I problemi con le frazioni Il piano cartesiano La cellula Le funzioni della foglia

I problemi con somma e differenza

I problemi che hanno come dati la somma e la differenza di due quantità si risolvono con le regole: (somma + differenza) : 2 = quantità maggiore (somma – differenza) : 2 = quantità minore

(1 quadretto = 1 cm)

FISSA L’IDEA…

primo segmento

Ð Osserva i due segmenti rappresentati

primo segmento secondo segmento

su carta quadrettata e ricava le loro misure.

secondo segmento segmento differenza

I due segmenti misurano 6 cm e 4 cm, la loro differenza è perciò di 2 cm.

segmento differenza

Disegna la somma dei due segmenti e calcola la loro lunghezza. Affianca ad essa il segmento differenza e determina la lunghezza del segmento ottenuto.

segmento somma segmento somma somma + differenza somma + differenza

Come vedi il segmento somma misura 10 cm e il segmento somma + differenza misura 12 cm, quindi il doppio del primo segmento. Da qui la regola. Ricorda che se determini la quantità maggiore per trovare l’altra puoi seguire queste regole: somma –quantità maggiore oppure quantità maggiore –differenza Se, invece, determini la quantità minore con la regola (somma – differenza) : 2 devi eseguire una delle due operazioni seguenti per ricavare la quantità maggiore: somma –quantità minore oppure quantità minore + differenza Visualizziamo in un altro modo lo stesso tipo di problema.

Ð Due sacchetti contengono insieme 14 palline e il primo ne ha due in più del secondo. Quante palline contiene ciascun sacchetto?

Osserva i disegni: se dalla somma togli le due palline di differenza ottieni il doppio delle palline contenute nel secondo sacchetto, mentre se le aggiungi ricavi il doppio di quelle contenute nel primo. Questo ribadisce la validità delle regole considerate.

1o sacchetto

2o sacchetto

somma

differenza

I dati possono essere di tipo numerico.

Ð La somma di due numeri è 76 e la loro differenza è 14. Calcola i due numeri. Applichiamo la seconda regola (76 – 14) : 2 = 31 numero minore, e quindi 31 + 14 = 45 numero maggiore.

Ð La somma di due numeri è 80 e uno supera l’altro di 18. Calcola i due

numeri. (80 – 18) : 2 = 31 è il numero minore; 80 – 31 = 49 è il numero maggiore.

Ð La somma di due numeri è 120 e uno è inferiore all’altro di 4 decine.

Calcola i due numeri. La differenza tra i due numeri è 40 e dalle regole i numeri risultano essere 80 e 40.

I dati possono essere grandezze aritmetiche.

Ð Marta ha tre anni più di Michela. Sapendo che insieme hanno 35 anni qual è l’età di ciascuna? I tre anni in più rappresentano la differenza; le ragazze hanno 19 e 16 anni.

Ð Un nastro lungo 126 cm viene diviso in due parti tali che la prima

è inferiore alla seconda di 24 cm. Quanto misurano i due pezzi? 24 cm è la differenza tra le due parti di nastro; dalle regole si ricavano le lunghezze che corrispondono a 51 cm e 75 cm.

I dati possono essere enti geometrici o dimensione di figure.

Ð La somma di due segmenti misura 24 cm e uno supera l’altro di 10 cm. Calcola la lunghezza dei due segmenti. 10 cm è la differenza, quindi applicando la regola:

24 + 10 = 34 cm : 2 = 17 cm primo segmento 17 – 10 = 7 cm secondo segmento

Ð La somma di due angoli è 224˚° e la loro differenza è 56˚°.° Calcola l’ampiezza di ciascun angolo. Applicando la regola ricaviamo che il primo angolo è pari a 140°, il secondo a 84°.

Ð La somma delle dimensioni di un rettangolo è 54 cm e la loro differenza è 30 cm. Calcola la lunghezza di ciascuna di esse. Il lato lungo misura 42 cm, quello corto 12 cm.

Attenzione! In alcuni casi il testo può essere più complesso, ma riconducibile al tipo di problema che stiamo considerando.

Ð In un triangolo un lato misura 28 cm, la differenza tra gli altri due è 4 cm e il perimetro misura 90 cm. Calcola la lunghezza dei lati incogniti. Sottraendo dal perimetro 28 cm, la misura del lato conosciuto si ricava 62 cm, misura che rappresenta la somma dei lati incogniti. A questo punto si possono applicare le regole e ricavare le lunghezze richieste 33 cm e 29 cm.

Le potenze

La potenza è una scrittura matematica costituita da una base e da un esponente, per esempio 24 dove 2 è la base e 4 l’esponente e ha come significato la moltiplicazione di tanti fattori uguali alla base quanti sono indicati dall’esponente. 24 = 2 • 2 • 2 • 2

FISSA L’IDEA…

La potenza 23 = 2 • 2 • 2 = 8 Non corrisponde quindi alla moltiplicazione di base per esponente: 23 non è 2 • 3 = 6 Inoltre, scambiando base e esponente il risultato della potenza cambia: 23 = 8

32 = 9

Se in una espressione compaiono delle potenze, esse hanno la precedenza rispetto ad addizioni e sottrazioni perché sono, in realtà, delle moltiplicazioni: 23 + 32 – 42 = 8 + 9 – 16 = 1 La base di una potenza può essere un numero qualunque, per esempio un numero razionale, in questo caso è necessario fare attenzione alla scrittura della potenza.

FISSA L’IDEA…

Se devi indicare la potenza di una frazione, essa deve essere racchiusa entro una parentesi.

f j2

3 3 3 9 = • = 5 5 5 25

Se la scrittura si presenta senza parentesi significa che l’esponente è attribuito solo al numeratore della frazione. 72 7 • 7 49 = = 9 9 9 Se l’esponente compare a denominatore è solo questo termine che deve essere elevato a potenza. 6 6 6 = = 2 5 5•5 25

Tutte le proprietà che seguono, considerate in termini di numeri naturali, sono valide per qualunque insieme numerico in cui siano espresse sia le basi delle potenze sia gli esponenti.

RELAZIONI D’ORDINE A parità di base è maggiore la potenza con esponente maggiore. 25 > 23 A parità di esponente è maggiore la potenza con base maggiore. 74 > 34 Se le basi e gli esponenti sono diversi è necessario calcolare le potenze per stabilire la relazione d’ordine.

FISSA L’IDEA…

Ð Se l’esponente aumenta, aumentano i fattori nello svolgimento della potenza: 23 = 2 • 2 • 2 = 8

25 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 32

Ð Se la base è maggiore, è maggiore il valore del prodotto: 34 = 3 • 3 • 3 • 3 = 81 Confrontiamo 25 e 34:

74 = 7 • 7 • 7 • 7 = 2401

25 = 32 e 34 = 81 quindi 34 > 25

PROPRIETÀ DELLA MOLTIPLICAZIONE Il prodotto di due o più potenze con la stessa base è una potenza con la stessa base che ha per esponente la somma degli esponenti. am • an = am+n Il prodotto di due o più potenze con lo stesso esponente è una potenza con lo stesso esponente che ha per base il prodotto delle basi. an • bn = (a • b)n

FISSA L’IDEA…

Ð Considera 2

• 25 e svolgi le potenze:

(2 • 2 • 2) • (2 • 2 • 2 • 2 • 2) = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 28 per la proprietà associativa della moltiplicazione.

Ð Considera 3

• 52 e svolgi le potenze: (3 • 3) • (5 • 5) = 3 • 5 • 3 • 5 = (3 • 5)2

per la proprietà commutativa della moltiplicazione.

Le potenze

PROPRIETÀ DELLA DIVISIONE Il quoziente di due potenze con la stessa base è una potenza con la stessa base ed esponente uguale alla differenza degli esponenti. am : an = am –n

FISSA L’IDEA…

Ð Considera 3

: 34 e svolgi le potenze:

(3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3) : (3 • 3 • 3 • 3) = (3 : 3) • (3 : 3) • (3 : 3) • (3 : 3) • 3 • 3 = 32 per la proprietà invariantiva della divisione. Se le potenze hanno lo stesso esponente e la stessa base, dallo svolgimento si ottiene il quoziente di due numeri uguali, quindi 1, dall’applicazione della proprietà una potenza con esponente zero. 54 : 54 = 625 : 625 = 1 = 54 – 4 = 50 Da qui l’importante regola: qualunque potenza con esponente 0 è uguale a 1. L’esponente del divisore può essere maggiore di quello del dividendo e in base alla regola si ottiene una potenza con esponente negativo. Qual è il suo significato? 26 : 29 = 2–3 Applicando la proprietà invariantiva 1 : 23 è, per definizione di frazione: 1 1 = 8 23 La potenza con esponente negativo di un numero intero è una frazione con numeratore 1 e denominatore uguale alla potenza con esponente positivo del numero considerato. Se la base delle potenze è un numero razionale, in base alla proprietà del quoziente di potenze e alla proprietà invariantiva della divisione si ha:

f j8 f j10 f j–2 3 3 : 5 5

3 = 5

f j2

3 =1: 5

f j

f j2

5 2 5 =1• = 3

La potenza con esponente negativo di una frazione è uguale alla potenza con esponente positivo della frazione inversa.

Il quoziente di due potenze con lo stesso esponente è una potenza con lo stesso esponente e base uguale al quoziente delle basi. an : bn = (a : b)n

FISSA L’IDEA…

Ð Considera 24

: 125, svolgi le potenze e applica la proprietà invariantiva:

(24 • 24 • 24 • 24 • 24) : (12 • 12 • 12 • 12 • 12) = = (24 : 12) • (24 : 12) • (24 : 12) • (24 : 12) • (24 : 12) = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 25

POTENZA DI POTENZA La potenza di una potenza ha la stessa base ed esponente uguale al prodotto degli esponenti (an)m = an • m

FISSA L’IDEA…

Ð Considera (2 )

2 3

e svolgi la potenza esterna, ottieni: 22 • 22 • 22

Svolgi ora le potenze rimaste (2 • 2) • (2 • 2) • (2 • 2) = 26 per la proprietà associativa dalla moltiplicazione.

L’operazione di potenza presenta alcuni casi particolari: • se la base è 1 la potenza è sempre 1, perché si tratta di un prodotto con fattori unitari; • se l’esponente è 1 la potenza è uguale alla base; • se la base è 0 il valore della potenza è 0 qualunque sia l’esponente, perché si considera un prodotto con tutti i fattori uguali a 0; • ricorda che la scrittura 00 è priva di significato.

FISSA L’IDEA…

15 = 1 • 1 • 1 • 1 • 1 = 1 e non 1 • 5 = 5 291 = 29 e non 1

MCD e mcm

Si definisce MCD, Massimo Comun Divisore, di due o più numeri il maggiore tra i divisori comuni. Se due numeri non hanno divisori comuni si dice che sono primi tra loro e il loro MCD è 1.

FISSA L’IDEA…

Per individuare MCD il metodo più semplice è scomporre in fattori primi i numeri, osservare le fattorizzazioni e prendere in considerazione i fattori comuni con l’esponente più basso. Dati 476 = 22 • 7 • 17 e 1496 = 22 • 11 • 17 si ha: MCD(476, 1496) = 22 • 17 = 68

QUANDO SI USA IL MCD Per eseguire divisioni “complesse”. Considera per esempio 2166 : 114 e scomponi entrambi i numeri in fattori primi:

2166 2 1083 3 361 19 19 19 1

114 2 57 3 19 19 1

MCD(2166, 114) = 2 • 3 • 19 puoi visualizzarlo eliminando i fattori comuni nelle due scomposizioni. Per la proprietà invariantiva 2166 : 114 = (2 • 3 • 19 • 19) : (2 • 3 • 19) = 19 : 1 = 19 Nel caso i due numeri non siano divisibili è comunque possibile semplificare la divisione. Considera 6480 : 576.

6480 2 • 5 648 2 324 2 162 2 81 3 27 3 9 3 3 3 1

576 288 144 72 36 18 9 3 1

2 2 2 2 2 2 3 3

Dividendo entrambi per il loro MCD (dato dal prodotto dei fattori evidenziati) l’operazione si riduce a 45 : 4 = 11,25

Per ridurre ai minimi termini una frazione. Ridurre ai minimi termini una frazione significa trasformarla in un’altra equivalente in cui numeratore e denominatore sono primi tra loro. Per fare questa operazione è sufficiente dividere i termini della frazione per il loro MCD e scrivere la frazione formata dai due quozienti. Considera per esempio 1848 , dividendo i termini per il loro MCD che è 462 si 2310 ottiene la frazione equivalente 4 . 5

Per risolvere alcuni particolari problemi. In un’officina tre trafilati di alluminio lunghi rispettivamente 14,4 m, 18 m e 25,2 m devono essere tagliati in parti uguali, della massima lunghezza possibile. Quanto è lunga ogni parte? Quante parti si ottengono? Per risolvere il problema devi considerare il MCD delle lunghezze. Se le trasformi in dm, in modo da renderle intere ottieni che ogni parte misura 36 dm e dividendo ciascuna misura per MCD le parti risultano in tutto 16.

mcm

Si definisce mcm, minimo comune multiplo, di due o più numeri il più piccolo dei loro multipli comuni.

FISSA L’IDEA…

Per individuare il mcm si utilizza la scomposizione in fattori primi dei numeri dati e si considerano tutti i fattori comuni e non comuni ottenuti, quelli comuni con l’esponente più alto. Dati per esempio 450 e 810 si ha 450 = 2 • 32 • 52 e 810 = 2 • 34 • 5 perciò il mcm è dato da 2 • 34 • 52 = 4050 Se consideri 81 = 34 e 64 = 26 che non hanno fattori comuni il loro mcm è 34 • 26.

QUANDO SI USA IL mcm Per confrontare tra loro le frazioni. Quando devi confrontare tra loro delle frazioni o eseguire operazioni di addizione e sottrazione tra esse è necessario che abbiano lo stesso denominatore. Per determinarlo è sufficiente calcolare il mcm tra i denominatori delle frazioni assegnate. Per esempio date 13 , 7 , 2 il loro denominatore comune è mcm (15, 9, 3) = 45. 15 9 3

Per risolvere problemi particolari.

Ð Tre fornitori scaricano presso un supermercato rispettivamente ogni 15

giorni, 12 giorni e 20 giorni. Se hanno scaricato insieme il 1 marzo, quando scaricheranno di nuovo contemporaneamente? Devi calcolare mcm tra 15, 12 e 20 e ottieni 60 giorni, che rappresenta l’intervallo di tempo che intercorre tra due rifornimenti contemporanei. La risposta al problema è perciò il 30 aprile. © Casa Editrice G. Principato

Le operazioni con le frazioni

RELAZIONI D’ORDINE Per confrontare fra loro due frazioni è necessario trasformarle in due frazioni equivalenti che abbiano lo stesso denominatore. A questo punto è maggiore quella con numeratore maggiore.

FISSA L’IDEA…

Per confrontare 3 e 4 è necessario che abbiano lo stesso denominatore, cioè 20, che 4 5 è mcm tra 4 e 5. A questo punto le frazioni equivalenti si ottengono dividendo 20 per ciascun denominatore e moltiplicando il numeratore per il quoziente ottenuto. 20 : 4 = 5 • 3 = 15

3 = 15 4 20

20 : 5 = 4 • 4 = 16

4 = 16 5 20

Quindi 4 > 3 perché 16 > 15 5 4 20 20 Ricordando che la frazione ha anche significato di quoziente tra numeratore e denominatore è anche possibile stabilire la relazione d’ordine confrontando tali quozienti, anche quando le operazioni sono più complesse. 4 : 5 = 0,8

3 : 4 = 0,75 da cui la relazione precedente.

ADDIZIONE E SOTTRAZIONE DI FRAZIONI Per sommare o sottrarre due o più frazioni è necessario trasformarle in frazioni equivalenti con lo stesso denominatore, quindi sommare o sottrarre i numeratori.

FISSA L’IDEA…

Se le frazioni hanno già lo stesso denominatore basta sommare o sottrarre i numeratori. Le operazioni di addizione e sottrazione possono anche essere in serie, in questo caso vanno eseguite nell’ordine in cui si presentano. 5 8 13 + = 5+8 = 7 7 7 7

13 7 13 – 7 6 3 – = – = 4 4 4 2 4

7 11 4 9 8 15 + – + – = 7 + 11 – 4 + 9 – 8 = 18 – 4 + 9 – 8 = 14 + 9 – 8 = 23 – 8 = 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 Attenzione! È sempre necessario ridurre ai minimi termini il risultato delle operazioni, per semplificare i calcoli successivi.

Se le frazioni hanno denominatori diversi è necessario considerare le frazioni equivalenti. Attenzione! Non è possibile eseguire un’addizione sommando numeratori e denominatori. 3 5 19 + = 9 + 10 = 4 6 12 12

è corretto

11 3 55 – 18 37 è corretto – = = 6 5 30 30

3 5 8 è sbagliato + = 3+5 = 4 6 4+6 10 11 3 11 – 3 8 è sbagliato – = = 6 5 1 6–5

Attenzione! È scorretto anche il seguente procedimento: 3 5 8 + = 3+5 = 4 6 12 12

MOLTIPLICAZIONI DI FRAZIONI Per moltiplicare due o più frazioni si moltiplicano tra loro i numeratori e i denominatori. Prima di eseguire il calcolo se è possibile si semplifica “in croce” tra il numeratore di una frazione e il denominatore dell’altra. È sempre possibile la normale riduzione ai minimi termini tra numeratore e denominatore della stessa frazione.

FISSA L’IDEA… 1

Considera 12 • 28 e semplifica in croce 12 • 28 = 4 35 5 36 3 15 35 36 Attenzione! Una volta eseguita la semplificazione i numeratori devono essere moltiplicati tra loro e la stessa operazione va eseguita per i denominatori. Non è possibile eseguire la semplificazione tra i numeratori o tra i denominatori delle frazioni. 5

L’operazione 25 • 15 = 15 non è corretta. 16 2 8 1 2

DIVISIONI DI FRAZIONI Per dividere due frazioni si moltiplica la prima per l’inversa della seconda.

FISSA L’IDEA… 5

La divisione 15 : 21 equivale alla moltiplicazione 15 • 28 = 10 14 1 21 7 7 14 28 Attenzione! La prima frazione rimane sempre inalterata. 15 21 14 • 21 è sbagliato, così come 15 21 14 • 28 : = : = 14 28 15 28 14 28 15 21

Le operazioni con le frazioni

Se il dividendo è un numero intero, va semplificato con il denominatore della frazione inversa, perché corrisponde a una frazione con denominatore 1. 1

15 : 45 = 15 • 8 = 8 8 1 45 3 3 Se il divisore è una unità frazionaria, la frazione inversa è un numero intero e si semplifica con il denominatore della prima frazione. 15 : 1 15 • 28 4 60 = = 7 28 7 1 1 In una serie di divisioni si capovolgono tutte le frazioni successive alla prima. 7 : 18 : 6 7 35 • 5 = • 3 35 5 3 18 6 Attenzione! Per le operazioni con le frazioni valgono tutte le proprietà delle operazioni con i numeri interi. In particolare le proprietà commutativa, associativa e dissociativa per addizione e moltiplicazione; la proprietà invariantiva per sottrazione e divisione. Nel calcolo frazionario vale, inoltre, la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione e alla sottrazione.

Per le potenze di numeri razionali valgono tutte le proprietà delle potenze dei numeri interi. Ne ricordiamo solo alcune essenziali:

f j2

3 3 3 9 = • = 5 5 5 25

f j–2 f j0 f j2 3 5

72 7 • 7 49 = = 9 9 9

6 6 6 = = 52 5•5 25

f j

f j2

3 : 3 5 2 5 = = per le regole del calcolo frazionario 1 • = 5 5 3 3

La potenza con esponente negativo di una frazione è la potenza con lo stesso esponente, ma positivo, della frazione inversa. Anche per le espressioni con le frazioni, si seguono le stesse regole del calcolo con numeri interi: prima si eseguono le potenze, applicando le proprietà dove possibile, poi divisioni e moltiplicazioni nell’ordine in cui si presentano, infine addizioni e sottrazioni nell’ordine in cui si presentano. Se l’esponente compare al termine di una qualunque parentesi, prima devono essere completati i calcoli all’interno della parentesi stessa e poi va effettuata l’operazione di potenza.

I problemi con le frazioni

PROBLEMI DI TIPO DIRETTO La frazione è un operatore che divide una grandezza in tante parti quante sono indicate dal numeratore e ne considera tante quante sono indicate dal numeratore. Un problema di tipo diretto non è altro che l’applicazione di un operatore frazionario ad una grandezza di tipo aritmetico o geometrico.

FISSA L’IDEA…

3 di un libro di 225 pagine. Quante pagine ho letto? 5 Considera graficamente l’operatore frazionario:

Ð Ho letto i

L’operatore frazionario divide la grandezza, cioè le pagine totali del libro, in 5 parti e ne considera 3. In termini numerici si scrive nel seguente modo: 225 : 5 = 45 • 3 = 135 pagine lette

Ð La distanza tra due città è 240 km e ne ho percorsi i Quanti km mi mancano? Considera l’operatore frazionario:

3. 8

I kilometri percorsi sono tre delle otto parti in cui è divisa la distanza; i kilometri mancanti corrispondono alle 5 parti rimanenti. Il problema si risolve applicando in modo diretto la frazione complementare a quella data. Attenzione! La frazione complementare è la differenza tra l’intero e la frazione data. In termini numerici: 240 : 8 = 30 • 5 = 150 km mancanti Consideriamo problemi di tipo geometrico. Ð Sono dati il segmento AB lungo 35 cm e il segmento CD congruente a 47 di AB. Quanto misura la somma dei due segmenti? A

35 cm

Aiutandoti con la quadrettatura ricavi: 35 : 7 • 4 = 20 cm CD (35 + 20) cm = 55 cm AB + CD

I problemi con le frazioni

Ð La base di un rettangolo misura 24 cm e l’altezza è il perimetro.

3 di essa. Calcola 8

Osserva il rettangolo, disegnato in relazione all’operatore da applicare. Poiché l’altezza è data da (24 : 8 • 3) cm = 9 cm, il perimetro è (24 + 9) • 2 cm = 66 cm

PROBLEMI DI TIPO INVERSO Nei problemi di tipo inverso il dato numerico corrisponde all’operatore frazionario applicato. Si risolvono considerando la frazione inversa.

FISSA L’IDEA…

Ð In una sala cinematografica sono presenti 84 spettatori che rappresentano i 45 dei posti disponibili. Qual è la capienza della sala?

Considera l’operatore frazionario:

Gli 84 spettatori presenti, sono 4 delle 5 parti in cui è diviso l’intero, cioè la capienza della sala. Per ricavare il dato richiesto l’operazione da eseguire è: 84 : 4 = 21 • 5 = 105 capienza della sala che significa applicare a 84 l’operatore 5 , frazione inversa della frazione data. 4

Ð La base di un rettangolo misura 27 cm ed è il perimetro.

9 dell’altezza. Calcola 7 D

Osserva il rettangolo disegnato in base all’operatore frazionario e applica la frazione inversa. (27 : 9) • 7 cm = 21 cm lunghezza BC (27 + 21) • 2 = 96 cm 2p A

27 cm

PROBLEMI CON SOMMA E DIFFERENZA Sono problemi nei quali sono presenti un operatore frazionario e la somma o la differenza delle grandezze considerate. Si risolvono dividendo il dato numerico rispettivamente per la somma o la differenza dei termini della frazione.

FISSA L’IDEA…

Ð La somma di due segmenti misura 42 cm e il primo è Calcola la lunghezza dei due segmenti.

3 del secondo. 4

Rappresenta i due segmenti in base all’operatore frazionario e considera la loro somma.

D F

I 42 cm della somma corrispondono a 7 = (3 + 4) parti. Perciò: 42 : 7 cm = 6 cm lunghezza di una parte 3 • 6 cm = 18 cm AB 4 • 6 cm = 24 cm CD

Ð Il perimetro di un triangolo isoscele misura

147 cm e la base è 1 del lato. 3

Il perimetro è la somma delle parti che compongono il perimetro, cioè 7 cm. Perciò: 147 : 7 = 21 cm 21 • 3 = 63 cm

una parte = AB BC = AC

I problemi con le frazioni

Ð La base di un rettangolo supera l’altezza di 8 cm ed è il perimetro del rettangolo.

7 di essa. Calcola 5

Osserva la figura disegnata sulla base dell’operatore frazionario.

8 cm, differenza tra base e altezza corrisponde a 2 parti, cioè alla differenza tra 7 e 5, quindi: 8 : 2 = 4 cm 4 • 5 cm = 20 cm 4 • 7 cm = 28 cm (28 + 20) • 2 = 96 cm

una parte lunghezza BC lunghezza AB 2p

Ð Una collana è formata da 99 perle e quelle bianche sono Quante sono le perle di ciascun colore?

5 di quelle blu. 6

Il numero totale corrisponde a 11 parti, quindi: 99 : 11 = 9 9 • 5 = 45 9 • 6 = 54

una parte perle bianche perle blu

13 delle spese. Sapendo che il guadagno è 11 di 128 €, calcola le spese e l’incasso.

Ð L’incasso di un bar corrisponde ai

Ricordando la relazione tra spesa, guadagno e ricavo, il guadagno in questo caso corrisponde a 2 parti, cioè alla differenza tra 13 e 11: 128 : 2 = 64 € 11 • 64 € = 704 € 13 • 64 € = 832 €

una parte spesa guadagno

Il piano cartesiano

Il piano cartesiano è un piano geometrico strutturato con un sistema di riferimento ortogonale costituito da due rette: la prima, orizzontale e orientata da sinistra a destra, viene chiamata asse delle ascisse o asse x, la seconda, verticale e orientata dal basso verso l’alto, si chiama asse delle ordinate o asse y. Il piano geometrico è suddiviso dalle due rette perpendicolari in quattro spazi, detti quadranti che si numerano in senso antiorario a partire da quello in alto a destra. Solitamente l’unità di misura che si considera è il centimetro. y

asse delle ordinate

II quadrante

I quadrante

+3 +2 +1 0

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

asse delle ascisse 0 +1

–1

III quadrante

IV quadrante

–2 –3

Sul piano cartesiano è possibile disegnare qualunque ente geometrico.

PUNTO

Un punto è caratterizzato da una coppia ordinata di numeri, le sue coordinate, che rappresentano rispettivamente l’ascissa del punto, da individuare sull’asse x, e la sua ordinata, da individuare sull’asse y. In particolare: • un punto del • un punto del • un punto del • un punto del

primo quadrante ha coordinate positive; secondo quadrante ha ascissa negativa e ordinata positiva; terzo quadrante ha coordinate negative; quarto quadrante ha ascissa positiva e ordinata negativa. y +5

B (–2, 5)

A (3, 3)

+3 +2 +1 0 –4

–3

–2

0 +1

–1

C (–2, –2)

–2

+9 +10 +11 +12

D (5, –2)

Il piano cartesiano

SEGMENTO

Un segmento è individuato dalle coordinate dei suoi estremi. Nella figura sono disegnati due segmenti adiacenti AB e BC, e due segmenti consecutivi DE e EF.

y 9 8 7 6

D=(6, 5)

F=(12, 5)

4 3 2 1

E=(10, 2) A=(1, 1)

-4 -3 -2 -1 0

B=(6, 1)

C=(9, 1)

9 10 11 12 13 14 15

POLIGONO

Un poligono è individuato dalle coordinate dei suoi vertici. Nella figura sono disegnati un pentagono concavo e un rettangolo.

y 9 8

I=(9, 9)

H=(14, 9)

D=(2, 8)

7 C=(7, 5)

6 5 4

E=(4, 3)

3 2 1 -2 -1 0

A=(1, 1) 1

B=(7, 1) 3

F=(9, 1) 8

G=(14, 1)

9 10 11 12 13 14 15 16 17

RETTA Una retta è individuata assegnando due suoi punti. In particolare: • una retta parallela all’asse x è l’insieme dei punti che hanno la stessa ordinata; • una retta parallela all’asse y è l’insieme dei punti che hanno la stessa ascissa; • la bisettrice del primo e terzo quadrante è l’insieme dei punti che hanno ascissa e ordinata uguale; • la bisettrice del secondo e quarto quadrante è l’insieme dei punti che hanno ascissa e ordinata opposte (stesso numero, uno con il segno + e l’altro con il segno –)

y E=(4, 6)

6 5 I=(-4, 4)

4 3

C=(-5, 2)

2 1

0 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 H=(-3, -3)

-2

D=(11, 2)

A=(2, 1) G=(1, 1) 1

-3 J=(2, -2)

F=(4, -2)

9 10 11 12 13

B=(8, -3)

La cellula

La cellula è l’unità fondamentale dei viventi. Animali e vegetali hanno in comune alcune strutture fondamentali: la membrana plasmatica, il citoplasma, che contiene diversi tipi di organuli, e il nucleo.

Flagelli Sono sottilissimi filamenti che permettono alla cellula di spostarsi.

Membrana plasmatica Separa e protegge la cellula, con tutto il suo contenuto, dall'ambiente circostante.

Nucleo È un corpuscolo sferico separato dal citoplasma della membrana nucleare. Contiene uno o più nucleoli, piccoli corpi sferici in cui si svolgono importanti reazioni chimiche, e una massa granulosa, la cromatina.

Apparato del Golgi È formato da un insieme di tubuli e vescicole dove si accumulano le proteine.

Reticolo endoplasmatico È un organulo costituito da numerose membrane ripiegate a formare una serie di tubuli e sacche appiattite; ha la funzione di trasportare sostanze all’interno del citoplasma.

Centrioli Sono organuli di forma cilindrica che hanno un’importante funzione durante la divisione cellulare.

Ribosomi Sintetizzano le proteine.

Vacuoli Sono organuli che contengono acqua e sostanze di riserva. Mitocondri Sono organuli a forma di fagiolo dove avviene la respirazione cellulare, necessaria per fornire energia alle cellule.

Lisosoma Sono organuli che contengono sostanze in grado di distruggere strutture cellulari danneggiate e non più utilizzabili.

Nelle cellule vegetali è presente un ulteriore rivestimento esterno, la parete cellulare. Nel citoplasma si rileva la presenza dei cloroplasti responsabili della fotosintesi clorofilliana e di vacuoli di dimensioni maggiori.

Apparato di Golgi

Nucleo Reticolo endoplasmatico

Parete cellulare È un involucro solido e rigido che delimita la cellula vegetale e la collega alle altre vicine.

Mitocondrio

Vacuolo

Cloroplasti Sono organuli delimitati da una doppia membrana. Contengono delle vescicole nelle quali si accumula la clorofilla, il pigmento che permette la reazione di fotosintesi.

Lisosoma

Cellula vegetale e cloroplasti

Le funzioni della foglia

Le foglie sono organi delle piante molto importanti perché vi avvengono funzioni fondamentali: la fotosintesi, la respirazione e la traspirazione. Generalmente sono piatte e sottili, in modo da esporre alla luce solare i cloroplasti, organuli cellulari responsabili della fotosintesi. Vista al microscopio, la foglia presenta diversi strati di cellule sovrapposti:

Nervature Sottili canali che percorrono tutta la foglia; sono le ramificazioni dei vasi legnosi e cribrosi.

Epidermide superiore Ampia superficie fogliare che favorisce il processo di fotosintesi; è coperta da una cuticola cerosa che la rende impermeabile.

Tessuto a palizzata È ricco di cloroplasti ed è formato da cellule allungate disposte una accanto all’altra.

Tessuto lacunoso È costituito da cellule di forma irregolare e presenta molti spazi vuoti in cui circola aria e acqua.

Epidermide inferiore È la parte inferiore della foglia di colore verde chiaro.

Stomi Piccole aperture che consentono alla foglia di effettuare scambi gassosi con l’esterno.

La fotosintesi L’acqua e i sali minerali sono assorbiti dal terreno attraverso le radici e arrivano alle foglie sotto forma di linfa grezza. Qui i cloroplasti catturano l’energia solare e innescano una reazione chimica tra l’acqua e l’anidride carbonica assorbita dall’atmosfera attraverso gli stomi. Si formano uno zucchero, il glucosio, e ossigeno. Il glucosio è la base del nutrimento della pianta e, insieme all’acqua, forma la linfa elaborata che viene portata a tutte le cellule della pianta; l’ossigeno, è restituito all’atmosfera attraverso gli stomi.

La luce fornisce l’energia necessaria per innescare la reazione di fotosintesi.

H O

+ energia

6 H2O acqua

6 CO2 anidride carbonica

C C6H12O6 glucosio

6 O2 ossigeno

La respirazione La respirazione è il processo che permette alla pianta di utilizzare il glucosio, attraverso una reazione chimica detta di combustione che avviene in presenza di ossigeno. Grazie a questa reazione la pianta “brucia” la molecola di glucosio e produce l’energia che serve alle sue funzioni vitali. Le sostanze di rifiuto, formate da acqua sotto forma di vapore acqueo e anidride carbonica, vengono immesse nell’atmosfera attraverso gli stomi. La respirazione avviene durante tutto l’arco della giornata, anche se in presenza di luce prevale la fotosintesi.

C C

H C

+ 6

6 6

+ 6

energia

C C6H12O6 glucosio

6 O6 ossigeno

6 CO2 anidride carbonica

6 H 2O acqua

La traspirazione U01 F011

L’acqua che non viene utilizzata nella formazione della linfa elaborata viene eliminata sotto forma di vapore acqueo attraverso gli stomi. Questo processo, detto traspirazione, varia a seconda delle condizioni climatiche. Quando la temperatura si alza le cellule di guardia, che delimitano gli stomi e ne controllano l’apertura e chiusura, si aprono e permettono un aumento della traspirazione; quando, invece, l’acqua all’interno della pianta è poca gli stomi si chiudono. In climi sfavorevoli le piante hanno adottato tecniche particolari per limitare la traspirazione, come per esempio foglie trasformate in spine tipiche delle piante dei climi aridi, o foglie aghiformi nei climi freddi per evitare il congelamento dell’acqua all’interno delle foglie. © Casa Editrice G. Principato

Stampa: Grafiche Ortolan - Opera (MI)