Problemi
C o l l a n a d i tes a ca ra ere m o n o g rafi co, p e r l a co st r u z i o n e d i u n p e rco rs o fo r m a vo o rga n i co, a p p ro fo n d i to e a l co nte m p o e s s e n z i a l e , c h e co n s e nta a l l ’ i n s e g n a nte l a ver i fi ca d e l l e co n o s c e n ze e d e l l e co m p ete n ze a c q u i s i te d a g l i a l u n n i . U n s u s s i d i o co m p l eto p e r l a S c u o l a P r i m a r i a , c h e s i s n o d a a l l ’ i nter n o d i d i ffe re n a m b i d i s c i p l i n a r i, i nteg ra b i l i f ra l o ro, e c h e ved e c i a s c u n co nte n u to m o n o g rafi co svi l u p p a rs i s u due livelli : u n o p e r l e c l a s s i 1 ª - 2 ª - 3 ª e l ’a l t ro p e r l e c l a s s i 4 ª - 5 ª .
• strumen per la programmazione con obie vi differenzia per classe • approfondimen e spun di lavoro supplementari per arricchire e diversificare il lavoro con gli alunni • schede opera ve fotocopiabili per sviluppare le competenze dell’alunno a raverso un percorso graduale e diversificato • schede di verifica fotocopiabili • griglie finali per la rilevazione del raggiungimento degli obie vi
Proposte opera ve graduali e diversificate, ineren :
L’AREA LINGUISTICA lingua italiana, anche per stranieri e alunni con difficoltà
L’AREA MATEMATICO SCIENTIFICA matema ca, scienze, tecnologia, informa ca
L’AREA STORICO GEOGRAFICO SOCIALE storia, geografia, ci adinanza e cos tuzione
L’AREA ESPRESSIVA musica e motoria, arte e immagine, teatro
LE 97
9,90 euro
M
ON
PR O OB GR AF L E 88 IE -4 MI 4 a SPIG 68 -5 a -2 A 77 08
8-
Questo volume sprovvisto del talloncino a fianco è da considerarsi campione gratuito fuori commercio.
Classi 4-5
PER IL DOCENTE
RISORSE E STRUMENTI PER L’INSEGNANTE A R E A M AT E M AT I C O S C I E N T I F I C A
Problemi Classi
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INDICE Introduzione Risolvere problemi: perché e come …………………………………………………………………………… 3 Presentazione del percorso …………………………………………………………………………………… 4 Tabella degli obiettivi …………………………………………………………………………………………… 5 Il problema – Schede operative ………………………………………………………………………………… 6 Ipotesi di lavoro per l’insegnante – Risolvere problemi con le espressioni ……………………………… 17 Il problema con le espressioni – Scheda operativa ………………………………………………………… 20 Il problema con le frazioni – Schede operative ……………………………………………………………… 21 Ipotesi di lavoro per l’insegnante – Le misure ……………………………………………………………… 25 Il problema con le misure – Schede operative ……………………………………………………………… 26 Ipotesi di lavoro per l’insegnante – Peso lordo, peso netto, tara ………………………………………… 29 Peso lordo, peso netto, tara – Schede operative …………………………………………………………… 30 Ipotesi di lavoro per l’insegnante – La compravendita – Il mercatino dell’usato ………………………… 32 Il problema sulla compravendita – Schede operative ……………………………………………………… 34 Il problema sul costo – Scheda operativa …………………………………………………………………… 36 Ipotesi di lavoro per l’insegnante – Perimetro e area ……………………………………………………… 37 Il problema di geometria – Schede operative………………………………………………………………… 38 Risolvere problemi – Schede operative ……………………………………………………………………… 41 Il problema con le frazioni – Schede operative ……………………………………………………………… 49 Le percentuali – Scheda operativa …………………………………………………………………………… 51 Lo sconto– Scheda operativa …………………………………………………………………………………… 52 L’interesse – Scheda operativa ………………………………………………………………………………… 53 Le misure – Schede operative ………………………………………………………………………………… 54 Ipotesi di lavoro per l’insegnante – Le misure di tempo …………………………………………………… 56 Le misure – Schede operative ………………………………………………………………………………… 57 Peso lordo, peso netto, tara – Schede operative …………………………………………………………… 60 La compravendita – Schede operative ………………………………………………………………………… 62 Il problema di geometria – Schede operative………………………………………………………………… 64 I problemi complessi – Scheda operativa …………………………………………………………………… 69 I problemi con più soluzioni – Schede operative …………………………………………………………… 70 I problemi di logica – Scheda operativa ……………………………………………………………………… 72 I problemi misti – Scheda operativa …………………………………………………………………………… 73 Verifiche finali …………………………………………………………………………………………………… 74 Griglia per la rilevazione del raggiungimento degli obiettivi …………………………………………… 80
LE MONOGRAFIE SPIGA Problemi 4-5 Testi: Marilena Cappelletti, Angelo De Gianni Coordinamento redazionale: Mafalda Brancaccio Progetto grafico: Sergio Elisei Impaginazione: Esseci – Milano Illustrazioni: Luca De Santis, Lucia Mongioj Copertina: Valentina Mazzarini Stampa Tecnostampa – Recanati 10.83.134.0 Tutti i diritti riservati © 2010 ELI • LA SPIGA via Soperga, 2 – Milano Tel. 02 2157240 info@laspigamodern.com
La casa editrice LA SPIGA e lʼambiente La casa editrice LA SPIGA usa carta certificata FSC per tutte le sue pubblicazioni. È unʼimportante scelta etica, poiché vogliamo investire nel futuro di chi sceglie ed utilizza i nostri libri sia con la qualità dei nostri prodotti sia con lʼattenzione allʼambiente che ci circonda. Un piccolo gesto che per noi ha un forte significato simbolico. Il marchio FSC certifica che la carta usata per la realizzazione dei volumi ha una provenienza controllata e che le foreste sono state sottratte alla distruzione e gestite in modo corretto.
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Introduzione
Risolvere problemi: perché e come Risolvere problemi è un’attività che nella scuola viene proposta regolarmente per due differenti ragioni: 1. come puro esercizio per applicare e consolidare concetti; 2. come attività di ricerca, cioè come strumento per rielaborare conoscenze. Nel primo caso, abusando di questo tipo di proposta, si corre il rischio di non ottenere altro che un’applicazione meccanica di tecniche e concetti, che non porta a sviluppare una reale capacità di riflessione. Soprattutto se non ci si preoccupa di diversificare spesso le proposte, sia nel testo sia nella formulazione delle domande. Nel secondo caso, il meno diffuso, si dà la possibilità ai bambini di una maggiore riflessione sulle informazioni che il testo offre e sulle relazioni esistenti tra loro, piuttosto che sul calcolo e sulla soluzione più o meno immediata. In entrambi i casi, comunque, non si può prescindere dal testo e dalla sua comprensione, che è la difficoltà maggiore che si incontra nella risoluzione dei problemi. È quindi assolutamente prioritario porre attenzione alla forma del testo del problema, che deve essere formulato nella maniera più chiara possibile e vicina alla forma di comunicazione più comune agli alunni. Anche la presenza di un solo vocabolo che non appartiene al lessico comune può rendere oscuro il testo del problema e quindi inficiarne la comprensione e conseguentemente la soluzione. Inoltre, il testo deve essere espresso in modo circostanziato, così da non creare nell’alunno dubbi su ciò che richiede e di conseguenza sul percorso da seguire. Capita spesso di trovarsi davanti a testi che non sono chiari e che quindi mettono l’alunno in difficoltà. Una corretta analisi del testo deve portare a individuare le tre parti del problema, in modo da avere ben chiara la struttura logico-linguistica da decodificare. A questo livello, un’altra difficoltà che si presenta all’alunno dinanzi a un problema è che non è sempre possibile ricorrere a una rappresentazione pratica della situazione contestuale e quindi gli si chiede una simulazione sulla base di una descrizione puramente verbale, e l’effettuazione di operazioni ipotetico-deduttive senza l’uso di manipolazione o rappresentazione grafica e, a volte, relative a contesti lontani dal proprio campo esperienziale. Un aiuto in questo passaggio può venire dal ricorso a rappresentazioni come grafici, tabelle, schematizzazioni, che possono aiutare l’alunno ad analizzare significativamente alcune situazioni. I problemi, comunque, devono rimanere “questioni autentiche e significative, legate spesso alla vita quotidiana e non solo esercizi a carattere ripetitivo o quesiti ai quali rispondere semplicemente ricordando una definizione o una regola”. All’interno della classe, sotto la guida dell’insegnante, l’alunno impara ad affrontare situazioni problematiche, a individuare ciò che è esplicito e ciò che va cercato, a trovare strategie risolutive anche diversificate, possibilmente in un confronto proficuo tra pari.
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Introduzione
Presentazione del percorso Gli alunni, all’inizio della classe quarta della Scuola Primaria, sanno già che per risolvere un problema aritmetico devono mettere in gioco tutte le loro conoscenze e abilità: concentrazione, lettura e comprensione, analisi delle informazioni, individuazione delle relazioni esistenti all’interno dei dati del problema, capacità di calcolo, immaginazione, intuizione del percorso risolutivo. Il possesso di questo bagaglio permette al bambino di affrontare un ”problema” con un atteggiamento positivo, in quanto lo percepisce come qualcosa che può risolvere avendo gli elementi per farlo. Ai docenti è affidato il compito di creare un clima di fiducia, di far nascere sempre negli alunni la curiosità per qualcosa da andare a risolvere e il desiderio di trovare la via per giungere alla soluzione. Insomma, il problema come scoperta di sé, delle proprie conoscenze, come un piacere per lo sviluppo delle proprie capacità, come percorso di crescita non solo cognitiva ma anche psicologica. Per arrivare a queste conquiste, il problema va affrontato nel modo più consono e con un approccio iniziale che non punti subito alla soluzione, ma tenga conto degli elementi di cui esso è composto – testo, dati, domanda – e che faccia della comprensione del testo la prima e più importante attività da affrontare con serietà e attenzione. La presente monografia parte proprio da queste convinzioni e quindi riserva il giusto spazio ad attività graduate per capire il testo, per analizzare i dati, per individuare la domanda, per stabilire le relazioni fra i dati e per costruire la procedura che porta alla soluzione. Si è data importanza anche alla rappresentazione schematica del problema, cioè al diagramma, per consentire di visualizzare il procedimento risolutivo. Da questo si è passati all’uso delle espressioni e delle parentesi, che aiutano a costruire mentalmente il percorso logico da seguire. Per mantenere vivo l’interesse degli alunni, le attività proposte hanno le seguenti caratteristiche: • sono varie e non ripetitive; • sono graduali e quindi offrono al bambino qualcosa di già conosciuto, ma anche qualcosa sempre nuovo da scoprire; • sono coinvolgenti e stimolanti. Il volume si presenta suddiviso in due sezioni distinte: una per la classe quarta (da pagina 6 a pagina 40) e una per la classe quinta (da pagina 41 a pagina 73), cui seguono pagine di verifiche finali. All’interno della monografia, oltre a problemi sulle quattro operazioni, si propongono pagine con ipotesi di lavoro per l’insegnante, percorsi di analisi e soluzione dei problemi, tabelle con obiettivi e attività, una griglia finale per la valutazione degli apprendimenti.
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Introduzione
Obiettivi
Attività
Pagine di riferimento cl. 4ª cl. 5ª 41-43
Analizzare il testo di un problema e risolverlo.
Analisi di testi di problemi e individuazione della procedura per risolverlo.
Individuare e analizzare i dati in un problema.
Analisi dei dati in situazioni rappresentate con disegni e con testi.
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Formulare testi di problemi partendo dai dati.
Utilizzo di dati analizzati per costruire testi di problemi.
9
Individuare in un problema i dati mancanti.
Analisi di situazioni problematiche e individuazione di dati mancanti.
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44
Individuare in un problema i dati inutili.
Analisi di situazioni problematiche e individuazione di dati inutili.
11
44
Individuare in un problema i dati nascosti.
Analisi di situazioni problematiche e individuazione di dati nascosti.
12
44
Scrivere il testo di un problema partendo da un’immagine.
Analisi di una situazione illustrata e uso degli elementi forniti per formulare il testo di un problema.
13
Scrivere il testo di un problema partendo da un diagramma.
Analisi di un diagramma e uso degli elementi forniti per formulare il testo di un problema.
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Individuare la domanda giusta per risolvere un problema.
Analisi di situazioni problematiche e individuazione della domanda utile alla sua soluzione.
15
Scrivere il testo di un problema sulla base della domanda data.
Comprensione di una domanda e formulazione di un testo adatto.
15
Riflettere sulla domanda intermedia di un problema.
Analisi del testo di un problema e scoperta della domanda intermedia.
16
42
Risolvere problemi utilizzando le espressioni.
Analisi del testo di un problema e impostazione della sua soluzione attraverso un’espressione.
17-18 19-20
48
Risolvere problemi calcolando la frazione di un numero.
Applicazione del calcolo della frazione di un numero per risolvere problemi.
21-22 23-24
49
Risolvere problemi calcolando l’intero partendo da una frazione.
Applicazione del calcolo della frazione per conoscere l’intero.
Risolvere problemi usando le unità di misura.
Uso delle unità di misura per risolvere problemi.
Risolvere problemi usando le equivalenze. Risolvere problemi su peso lordo, peso netto e tara. Risolvere problemi sulla compravendita.
Applicazione delle regole relative alla compravendita per risolvere problemi.
Risolvere problemi su costo unitario e costo totale.
Applicazione delle regole relative a costo unitario e totale per risolvere problemi.
Risolvere problemi con le misure di tempo.
Analisi di situazioni sulla misurazione del tempo.
Risolvere problemi di spazio, tempo, velocità.
Applicazione delle regole relative a spazio, tempo, velocità per risolvere problemi.
Risolvere problemi relativi al calcolo del perimetro e dell’area di figure geometriche semplici.
Applicazione delle regole relative al perimetro e all’area per risolvere problemi.
Comprendere la procedura per risolvere problemi con domande intermedie e applicarla.
Analisi e applicazione della procedura adatta per risolvere problemi con più domande intermedie.
Risolvere problemi.
Ricerca di strategie adatte per risolvere problemi.
Risolvere problemi calcolando la percentuale.
Applicazione delle regole relative al calcolo della percentuale.
51
Risolvere problemi calcolando lo sconto.
Applicazione delle regole relative al calcolo dello sconto.
52
Risolvere problemi calcolando l’interesse.
Applicazione delle regole relative al calcolo dell’interesse.
53
Operare con tabelle per risolvere problemi con più soluzioni.
Applicazione di strategie adatte per risolvere problemi con più soluzioni.
Risolvere problemi geometrici.
Applicazione delle regole relative al perimetro e all’area per risolvere problemi geometrici.
64-65-66 67-68
Risolvere problemi complessi.
Applicazione di procedure adatte per risolvere problemi complessi.
69
Risolvere problemi con più soluzioni.
Scoperta di strategie utili alla soluzione di problemi con più soluzioni.
Risolvere problemi di logica.
Scoperta di strategie utili alla soluzione di problemi di logica.
6-7
47
50 25-26-27-28
55
Uso delle equivalenze per risolvere problemi.
26-27-28
54-55
Applicazione delle regole relative a peso lordo, peso netto e tara per risolvere problemi.
29-30-31
60-61
32-33 34-35
62-63
36 56-57-58 59 37-38 39-40 45 46-73
70-71 72
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scheda
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Il problema
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Nome __________________________ Classe _______ Data ____________
IL PROBLEMA La famiglia Biondini va in pizzeria per festeggiare i 40 anni della signora Rita e consuma 4 pizze, che costano € 6,00 l’una, € 10,00 per le bibite e € 3,00 per i caffè. Quanto spende in tutto, avendo consumato anche il dolce? Per risolvere un problema è necessario: • leggere attentamente il testo; • sottolineare quello che si vuole sapere; • individuare dati e informazioni utili; • eliminare eventuali dati superflui; • inserire eventuali dati mancanti; • scoprire gli eventuali dati nascosti; • stabilire le relazioni tra i dati per risolverlo; • eseguire le operazioni; • scrivere la risposta. Analizza il testo del problema: rispondi.
Che cosa ha consumato la famiglia Biondini? _____________________________________ _______________________________________________________________________________ Che cosa ha speso per le pizze? Puoi saperlo? _______ Come? _____________________ Che cosa ha speso per le bibite? __________________________ Che cosa ha speso per i caffè? ____________________________ Che cosa ha speso per il dolce? ___________________ È un dato ___________________ 40 è un dato utile? _____ Perché? _______________________________________________ Questo problema si può risolvere? _____ Perché? _________________________________ Riscrivi il testo del problema in modo da poterlo risolvere.
___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________
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Operazioni
Diagramma
Risposta ____________________________________
O.A.: analizzare il testo di un problema e risolverlo.
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Il problema
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Nome __________________________ Classe _______ Data ____________
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PROBLEMI Dopo aver analizzato attentamente i testi, risolvi i problemi sul quaderno, anche con il diagramma.
La classe 4ª B va a teatro. Un biglietto d‘ingresso costa € 6,00. Quanto si spende in tutto se gli alunni della classe sono 25? Il cinema Odeon ha 208 posti a sedere. Alla prima di un film di Brad Pitt sono presenti 145 spettatori. Quanti posti restano vuoti? Filippo entra in un negozio di articoli sportivi e compera un paio di sci che costano € 128,00. Quando esce, dopo aver pagato, in tasca gli sono rimasti € 72,00. Quanto aveva Filippo prima? Il signor Enzo ama dipingere e va in un negozio a comperare 7 tele, per le quali spende € 84,00 e un pennello che costa € 6,00. Quanto spende per ogni tela? Per la visita al museo i 19 alunni di 4ª C spendono € 216,00 per il trasporto con il bus e € 4,00 a testa per il biglietto d’ingresso. Quanto spendono per gli ingressi? Quanto spendono in tutto? Al supermercato la mamma compera 4 paia di calze per Fabio, che costano € 7,00 l’uno. Quanto spende per le calze? Quanto ha di resto se paga con un biglietto da € 100,00? Una ditta di 15 operai confeziona 68 camicie al giorno. Quante camicie confeziona in una settimana? Le camicie confezionate vengono distribuite in 14 negozi diversi. Quante camicie in ogni negozio? Il nonno vuole fare un regalo al suo amico Felice e compera una pipa che costa € 58,00 e 3 pacchetti di tabacco che costano € 6,00 l’uno. Quanto spende in tutto il nonno per il regalo al suo amico? O.A.: analizzare il testo di un problema e risolverlo.
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Il problema
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Nome __________________________ Classe _______ Data ____________
ANALISI DEI DATI Osserva le situazioni e individua i dati.
€ 4,00: _______________________________________ € 18,00: ______________________________________ €107,00: _____________________________________
€ 6,00: _______________________________________ ______ : _______________________________________ Leggi il testo del problema e individua i dati.
Dal panettiere la mamma compera 4 confezioni di latte, che costano € 2,00 l’una, un pacco di biscotti che costa € 3,00 e una bottiglia d’olio che costa € 7,00. Quanto spende in tutto la mamma?
______ : ___________________________________ ______ : ___________________________________ ______ : ___________________________________ ______ : ___________________________________
Un signore compera 3 damigiane, che contengono ognuna 26 litri di ______ : ___________________________________ vino. Quanti litri di vino compera? ______ : ___________________________________ A casa travasa il vino in bottiglie che ______ : ___________________________________ contengono ognuna 2 litri. Quante bottiglie riempie?
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O.A.: individuare e analizzare i dati in un problema.
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Il problema
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Nome __________________________ Classe _______ Data ____________
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DAI DATI AL TESTO Partendo dai dati, scrivi il testo di un problema e risolvilo.
126: barattoli di pelati rimasti
Operazioni
Diagramma
Operazioni
Diagramma
Operazioni
Diagramma
200: barattoli di pelati comperati _____________________________ _____________________________ _____________________________ _____________________________ _____________________________
16: passeggeri pendolari 7: turisti stranieri € 3,00: costo del biglietto _____________________________ _____________________________ _____________________________ _____________________________ _____________________________
€ 128,00: soldi nel salvadanaio € 47,00: soldi avuti in regalo 7: libri acquistati _____________________________ _____________________________ _____________________________ _____________________________ _____________________________
O.A.: formulare testi di problemi partendo dai dati.
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Il problema
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Nome __________________________ Classe _______ Data ____________
QUALCOSA MANCA Inserisci i dati mancanti, poi risolvi i problemi.
La zia di Fausto compera al nipote una racchetta da tennis che costa € 58,00 e una confezione di palline. Quanto spende in tutto?
Operazioni
Diagramma
Dati _____ : ______________________ _____ : ______________________ Risposta ______________________________________________________________________ Durante una partita di basket, la squadra di Peter realizza 39 canestri nel primo tempo e 38 nel secondo. Quanti canestri segna in tutto? Quanti ne ha segnati in più della squadra avversaria?
Operazioni
Diagramma
Dati _____ : ______________________ _____ : ______________________ _____ : ______________________ Risposta ______________________________________________________________________ Nella classe di Marika, sono stati raccolti € 130,00 per una visita al museo e € 206,00 per il trasporto in bus. Quanto ha portato ogni alunno?
Operazioni
Diagramma
Dati _____ : ______________________ _____ : ______________________ _____ : ______________________ Risposta ______________________________________________________________________
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O.A.: individuare in un problema i dati mancanti.
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Nome __________________________ Classe _______ Data ____________
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QUALCOSA DI TROPPO Individua e cerchia il dato che non serve, poi risolvi i problemi.
Una sarta ha comperato 24 scatole di bottoni, ognuna delle quali ne contiene 18. Ogni scatola costa € 2,50. Quanto ha speso in tutto la sarta?
Operazioni
Diagramma
Dati _____ : ______________________ _____ : ______________________ Risposta ______________________________________________________________________ Un pasticciere prepara 130 biscotti al cioccolato e 125 alla vaniglia, che sistema in 15 vassoi. Ogni biscotto costa € 0,50. Quanti biscotti sistema in ogni vassoio?
Operazioni
Diagramma
Dati _____ : ______________________ _____ : ______________________ Risposta ______________________________________________________________________ Una squadra di calcio acquista 12 palloni che costano € 7,50 l’uno e 24 magliette che costano in tutto € 156,00. Quanto si spende in tutto?
Operazioni
Diagramma
Dati _____ : ______________________ _____ : ______________________ Risposta ______________________________________________________________________ O.A.: individuare in un problema i dati inutili.
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Il problema
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Nome __________________________ Classe _______ Data ____________
I DATI NASCOSTI Scopri i dati nascosti e risolvi i problemi.
Il signor Daniele lavora in uno studio di architettura e guadagna al mese â‚Ź 1950,00. Quanto guadagna al giorno?
Operazioni
Diagramma
Dati _____ : ______________________ _____ : ______________________ Risposta ______________________________________________________________________ In un salumificio si producono 3 dozzine di salami al giorno. Quanti salami si producono in una settimana?
Operazioni
Diagramma
Dati _____ : ______________________ _____ : ______________________ Risposta ______________________________________________________________________ Jordan costruisce un puzzle formato da 500 tessere. Ne sistema prima la quarta parte. Quante tessere deve ancora sistemare per realizzare il puzzle?
Operazioni
Diagramma
Dati _____ : ______________________ _____ : ______________________ Risposta ______________________________________________________________________
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O.A.: individuare in un problema i dati nascosti.
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Nome __________________________ Classe _______ Data ____________
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DALLE IMMAGINI AL TESTO Osserva i disegni e, per ognuno, scrivi il testo di un problema, poi risolvilo sul quaderno.
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COMPRO TUTTO! _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________
_________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________
_________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ O.A.: scrivere il testo di un problema partendo da un’immagine.
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Il problema
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Nome __________________________ Classe _______ Data ____________
DAL DIAGRAMMA AL TESTO Per ogni diagramma, inventa il testo di un problema, quindi completa.
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154 –
+
:
_____________________________________ _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________
_____________________________________ _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________
x
–
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_____________________________________ _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________
O.A.: scrivere il testo di un problema partendo da un diagramma.