Sotto il sole - Matematica 1 by ELI Publishing

Sotto il Sole MATEMATICA

Sotto il sole Matematica è un progetto in due volumi per il lavoro estivo, che propone un efficace ripasso di argomenti di aritmetica e geometria. La parte operativa è sempre preceduta da una breve sintesi di teoria, per agevolare il lavoro autonomo. Quesiti stile Invalsi sono presenti in tutte le unità e, in forma guidata, anche alla fine del volume. Chiudono il libro divertenti pagine di Olimpiadi di Matematica.

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Mario Gatti • Patrizia Manera

Sotto il Sole

Mario Gatti Patrizia Manera

Sotto il Sole QUADERNO OPERATIVO DI

MATEMATICA PER IL RIPASSO ESTIVO

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Marco Colombo Giovanni Lucchetti

Sotto il Sole QUADERNO OPERATIVO DI

MATEMATICA PER IL RIPASSO ESTIVO

Sotto il sole è un progetto in due volumi per il lavoro estivo, che propone un efﬁcace e divertente ripasso di argomenti di aritmetica e geometria. La parte operativa è sempre preceduta da una breve sintesi di teoria, per agevolare il lavoro autonomo. Quesiti stile Invalsi sono presenti in tutte le unità e, in forma guidata, anche alla ﬁne del volume. Chiudono il libro delle divertenti attività tratte dalle Olimpiadi di Matematica.

Sotto il sole. Vol. 1 Di Mario Gatti e Patrizia Manera

Responsabile editoriale: Beatrice Loreti Art director: Marco Mercatali Responsabile di produzione: Francesco Capitano Progetto graﬁco, copertina, impaginazione: Foto: Shutterstock; Archivio La Spiga Edizioni © 2018 Eli – La Spiga Via Brecce – Loreto tel. 071 750 701 info@laspigaedizioni.it www.elilaspigaedizioni.it Stampato in Italia presso Tecnostampa - Pigini Group Printing Division Loreto - Trevi 18.83.233.0 ISBN 978-88-468-3734-9 Le fotocopie non autorizzate sono illegali. Tutti i diritti riservati. È vietata la riproduzione totale o parziale così come la sua trasmissione sotto qualsiasi forma o con qualunque mezzo senza previa autorizzazione scritta da parte dell’editore.

Indice ARITMETICA

GEOMETRIA

Unità 1 • Numeri naturali

Unità 5 • Elementi di Geometria

TEORIA ESERCIZI TEST Stile invalsi

.................................................................... 4 .................................................................... 9 ................................................................. 15

Unità 2 • Potenze TEORIA ESERCIZI TEST Stile invalsi

................................................................. 18 ................................................................. 22 ................................................................. 26

................................................................. 30 ................................................................. 35 ................................................................. 39

Unità 4 • Frazioni TEORIA ESERCIZI TEST Stile invalsi

................................................................. 42 ................................................................. 46 ................................................................. 50

APPENDICE

................................................................. 59 ................................................................. 64

Unità 6 • Parallelismo

Unità 3 • Divisibilita` TEORIA ESERCIZI TEST Stile invalsi

................................................................. 54

e perpendicolarita`

TEORIA ESERCIZI TEST Stile invalsi

................................................................. 66 ................................................................. 69 ................................................................. 74

Unità 7 • Triangoli TEORIA ESERCIZI TEST Stile invalsi

................................................................. 76 ................................................................. 80 ................................................................. 84

Unità 8 • Quadrilateri TEORIA ESERCIZI TEST Stile invalsi

................................................................. 86 ................................................................. 89 ................................................................. 95

Quesiti Invalsi di riepilogo ............. 97 Olimpiadi di Matematica .............. 126

Aritmetic

Unità 1

Numeri naturali

TEORIA 1 Che cosa contiene e come si rappresenta l’insieme dei numeri naturali? L’insieme dei numeri naturali contiene infiniti numeri composti dalle dieci cifre del sistema numerico decimale (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). L’insieme si rappresenta graficamente con una semiretta (Fig. 1).

Figura 1

0 1 2 3 4 5 6 7 u

2 Come si esegue il confronto tra numeri naturali? Consideriamo una generica coppia di numeri naturali a e b e la semiretta di Figura 1. Il numero a è maggiore di b, cioè a > b, se a è posizionato alla destra di b (a segue b). Il numero a è minore di b, cioè a < b, se a è posizionato alla sinistra di b (a precede b). Il numero a è uguale a b, cioè a = b, se a coincide con b. Il numero a è diverso da b, cioè a ≠ b, se a è posizionato in un punto diverso da quello di b.

3 Che cos’è un’operazione e quando è interna a un insieme numerico? Un’operazione “O” è una qualsiasi elaborazione tra numeri di un insieme numerico che produce un unico numero chiamato risultato. Se l’operazione “O” produce come risultato un numero che appartiene all’insieme numerico si dice che l’operazione è interna all’insieme.

ESEMPIO L’addizione tra due numeri naturali è un’operazione interna all’insieme dei numeri naturali. Infatti qualsiasi somma è ancora un numero naturale (invitiamo a verificare).

In che cosa consiste l’operazione di addizione tra numeri naturali? L’addizione è l’operazione mediante la quale, dati due o più numeri naturali chiamati addendi, si calcola un terzo numero naturale chiamato somma, contando di seguito al primo addendo tante unità quante sono le unità del secondo addendo e così via. Il simbolo dell’addizione è + (si legge “più”). Nell’addizione a + b = c i termini a e b sono gli addendi, c è la somma.

Aritmetica

Unità 1

TEORIA

Numeri naturali

5 Quali sono le proprietà dell’addizione? L’addizione è commutativa: la somma non cambia se si commuta l’ordine degli addendi; per esempio a + b = b + a.

ESEMPIO 2+8=8+2

L’addizione è associativa: la somma non cambia se si sostituiscono due o più addendi con la loro somma; per esempio a + b + c = a + d sostituendo b + c = d.

ESEMPIO 2 + 8 + 6 = 10 + 6 sostituendo gli addendi 2 e 8 con la loro somma 10.

L’addizione è dissociativa: la somma non cambia se un addendo è dissociato in addendi la cui somma è uguale all’addendo dissociato; per esempio a + b = a + c + d sostituendo b = c + d.

ESEMPIO 22 + 35 = 22 + 30 + 5 dove l’addendo 35 è dissociato negli addendi 30 e 5 con somma 35.

6 Qual è l’elemento neutro dell’addizione? L’elemento neutro dell’addizione è il numero naturale 0; infatti a + 0 = 0 + a = a.

7 In che cosa consiste l’operazione di sottrazione tra numeri naturali? La sottrazione è l’operazione mediante la quale, dati due numeri naturali, si calcola un terzo numero naturale chiamato differenza, che addizionato al numero minore dei due, chiamato sottraendo, dà il maggiore, chiamato minuendo. Il simbolo della sottrazione è – (si legge “meno”). Nella sottrazione a − b = c, il termine a è il minuendo, il termine b è il sottraendo e c è la differenza.

8 Quali sono le proprietà della sottrazione? La sottrazione è invariantiva: la differenza tra due numeri non cambia se a entrambi si addiziona o si sottrae uno stesso numero, cioè a − b = (a + c) − (b + c) oppure a − b = (a − c) − (b − c).

ESEMPIO 56 – 34 = (56 + 6) – (34 + 6) dove l’addizione al minuendo 56 e al sottraendo 34 del medesimo addendo 6 non cambia la differenza di 22.

Aritmetica

Numeri naturali

TEORIA

Unità 1

9 In che cosa consiste l’operazione di moltiplicazione tra numeri naturali? La moltiplicazione è l’operazione mediante la quale, dati due numeri naturali chiamati fattori, si calcola un terzo numero naturale chiamato prodotto, ottenuto addizionando tanti addendi uguali al primo fattore quanti ne indica il secondo fattore. Il simbolo della moltiplicazione è · (si legge “per”). Nella moltiplicazione a · b = c i termini a è b sono i fattori e il termine c è il prodotto.

10 Quali sono le proprietà della moltiplicazione? La moltiplicazione è commutativa: il prodotto non cambia se si commuta l’ordine dei fattori; per esempio a · b = b · a.

ESEMPIO 2·8=8·2 dove entrambe le moltiplicazioni danno il medesimo prodotto di 16.

La moltiplicazione è associativa: il prodotto non cambia se si sostituiscono due o più fattori con il loro prodotto; per esempio a · b · c = a · d sostituendo b · c = d.

ESEMPIO 3 · 2 · 5 = 3 · 10 dove i fattori 2 e 5 sono sostituiti dal loro prodotto 10.

La moltiplicazione è dissociativa: il prodotto non cambia se un fattore è sostituito con fattori il cui prodotto è uguale al fattore sostituito; per esempio a · b = a · c · d sostituendo b = c · d.

ESEMPIO 2 · 30 = 2 · 10 · 3 dove il fattore 30 è dissociato nei fattori 10 e 3, il cui prodotto è 30.

La moltiplicazione è distributiva. La moltiplicazione di un numero per un’addizione è uguale alla somma delle moltiplicazioni con fattori il numero e ogni singolo addendo; per esempio a · (b + c) = (a · b) + (a · c). La moltiplicazione di un numero per una sottrazione è uguale alla differenza delle moltiplicazioni con fattori il numero e il minuendo, e il numero e il sottraendo; per esempio a · (b − c) = (a · b) − (a · c).

ESEMPIO 4 · (10 + 2) = (4 · 10) + (4 · 2) dove la distribuzione del fattore 4 per gli addendi 10 e 2 non comporta variazione del risultato dell’operazione composta da una moltiplicazione e un’addizione.

11 Qual è l’elemento neutro della moltiplicazione? L’elemento neutro della moltiplicazione è il numero naturale 1, infatti a · 1 = 1 · a = a.

Aritmetica

Unità 1

TEORIA

Numeri naturali

12 In che cosa consiste l’operazione di divisione tra due numeri naturali? La divisione è l’operazione mediante la quale, dati due numeri naturali chiamati dividendo e divisore, si calcola un terzo numero naturale chiamato quoziente, che moltiplicato per il divisore dà come risultato il dividendo. Il simbolo della divisione è : (si legge “diviso”). Nella divisione a : b = c il termine a è il dividendo, il termine b è il divisore, il termine c è il quoziente.

13 Che cosa comporta se dividendo e/o divisore assumono valore 0? La divisione a : 0 è priva di significato (o impossibile). La divisione 0 : 0 ha quoziente indeterminato (un qualsiasi numero può essere moltiplicato per 0 e dare come prodotto 0). La divisione 0 : a ha per quoziente il numero naturale 0.

14 Che cosa comporta se dividendo e divisore sono lo stesso numero? La divisione a : a ha per quoziente il numero naturale 1.

15 Quali sono le proprietà della divisione? La divisione è invariantiva: il quoziente non cambia se il dividendo e il divisore si dividono o si moltiplicano per un medesimo numero, cioè a : b = (a : c) : (b : c) oppure a : b = (a · c) : (b · c).

ESEMPIO 20 : 4 = (20 : 2) : (4 : 2) dove, dividendo per 2 sia il dividendo 20 che il divisore 4, il quoziente 5 non cambia.

La divisione è distributiva. La divisione di un’addizione per un numero è uguale alla somma delle divisioni che hanno come dividendo il singolo addendo e come divisore il numero; per esempio (a + b) : c = (a : c) + (b : c). La divisione di una sottrazione per un numero è uguale alla differenza delle divisioni che hanno come dividendo il minuendo e il sottraendo, e come divisore il numero; cioè (a − b) : c = (a : c) − (b : c).

ESEMPIO (30 + 8) : 2 = (30 : 2) + (8 : 2) dove la distribuzione del divisore 2 per gli addendi 30 e 8 non comporta variazione del risultato dell’operazione.

16 Che cos’è un’espressione aritmetica? Un’espressione aritmetica è un insieme di due o più numeri separati da simboli di operazione ed eventualmente racchiusi tra parentesi. Le parentesi possono essere graffe, quadre o tonde e sono sempre in coppia (se si apre una parentesi, poi bisogna chiuderla). La risoluzione di un’espressione aritmetica consiste nello svolgere tutte le operazioni indicate secondo un ordine prestabilito e nell’ottenere un unico numero chiamato risultato dell’espressione.

Aritmetica

Numeri naturali

TEORIA

Unità 1

17 Come si risolve un’espressione aritmetica senza parentesi? Si eseguono prima le moltiplicazioni e le divisioni, una dopo l’altra nell’ordine in cui sono scritte. Si eseguono poi le addizioni e le sottrazioni, una dopo l’altra nell’ordine in cui sono scritte.

ESEMPIO 25 + 12 : 4 – 3 · 5 Prima si risolvono le moltiplicazioni e le divisioni; avremo quindi 25 + 3 – 15. Poi si procede nel calcolo nell’ordine con cui sono scritte le varie operazioni: in questo caso prima l’addizione e poi la sottrazione. Il risultato dell’espressione è 13.

18 Come si risolve un’espressione aritmetica con parentesi? Si eseguono prima le operazioni in parentesi tonda, rispettando le regole indicate per le espressioni senza parentesi. Si eseguono poi le operazioni in parentesi quadra, rispettando le regole indicate per le espressioni senza parentesi. Si eseguono infine le operazioni in parentesi graffa, rispettando le regole indicate per le espressioni senza parentesi. Una volta eseguite tutte le operazioni all’interno di una parentesi, questa si deve eliminare.

ESEMPIO {(10 – 25 : 5) · 6 – [6 + (18 – 14) : 2] + 8} : 10 Innanzitutto si risolvono le operazioni in parentesi tonda dando la precedenza alle moltiplicazioni e alle divisioni, quindi {(10 – 5) · 6 – [6 + 4 : 2] + 8} : 10 e poi {5 · 6 – [6 + 4 : 2] + 8} : 10 A questo punto si risolvono le operazioni in parentesi quadra dando la precedenza alle moltiplicazioni e alle divisioni, quindi {5 · 6 – [6 + 2] + 8} : 10 e poi {5 · 6 – 8 + 8} : 10 Infine si risolvono le operazioni in parentesi graffa dando la precedenza alle moltiplicazioni e alle divisioni, quindi {30 – 8 + 8} : 10 poi {22 + 8} : 10 e infine 30 : 10 = 3 Il risultato dell’espressione è 3.

Aritmetic

ESERCIZI

Unità 1

ADDIZIONE E SOTTRAZIONE 1

Determina la proprietà applicata al primo membro dell’uguaglianza e calcola la relativa operazione. a) 36 + 28 = 28 + 36 .....................................................; ................

c) 10 + 22 + 8 = 10 + 20 + 2 + 8 .....................................................; ................

b) 4 + 3 + 6 + 7 = 10 + 10 .....................................................; ................

d) 58 – 27 = (58 + 3) – (27 + 3) .....................................................; ................

2 Applica la proprietà commutativa e calcola l’addizione. esempio:

dato 45 + 25 scriviamo 25 + 45 = 70

a) 27 + 13 = ................................... = ................. b) 79 + 31 = ................................... = .................

3 Applica la proprietà associativa e calcola l’addizione. esempio:

dato 12 + 34 + 8 + 6 scriviamo (12 + 8) + (34 + 6) = 20 + 40 = 60

a) 17 + 11 + 3 + 9 = .......................................................... = ................................... = ............... b) 5 + 43 + 7 + 15 = .......................................................... = ................................... = ...............

4 Applica la proprietà dissociativa e calcola l’addizione. esempio:

dato 127 + 13 scriviamo 120 + 7 + 10 + 3 = 140

a) 246 + 14 = .......................................................... = ............... b) 149 + 21 = .......................................................... = ...............

5 Applica la proprietà invariantiva e calcola la sottrazione. esempio:

dato 56 – 24 scriviamo (56 + 6) – (24 + 6) = 62 – 30 = 32

a) 92 – 19 = .......................................................... = ................................... = ............... b) 234 – 18 = .......................................................... = ................................... = ...............

6 Applica la proprietà invariantiva e calcola la sottrazione. esempio:

dato 97 – 34 scriviamo (97 − 4) − (34 − 4) = 93 − 30 = 63

a) 78 – 22 = .......................................................... = ................................... = ............... b) 189 – 53 = .......................................................... = ................................... = ...............

7 Quale operazione non ha risultato nell’insieme dei numeri naturali? a) 22 + 14

b) 25 – 33

c) 29 – 24

d) 47 + 10

Aritmetica

ESERCIZI

Numeri naturali

Unità 1

8 Completa l’operazione. a) 30 + .................. = 73 b)

..................

+ 43 = 83

c) 25 – .................. = 14 d)

..................

– 51 = 38

9 Se aggiungo 54 a un numero n ottengo 85. Qual è il numero n? ................................... 10 Se tolgo 45 da un numero n ottengo 22. Qual è il numero n? ................................... 11 Quale numero devo aggiungere a 47 per ottenere 78? ................................... 12 Quale numero devo togliere da 98 per ottenere 34? ................................... 13 Inserisci i simboli di maggiore, minore e uguale tra le coppie di addizioni. a) (235 + 795) .......................... (235 + 794)

c) (488 + 123) .......................... (487 + 122)

b) (267 + 278) .......................... (266 + 279)

d) (858 + 200) .......................... (859 + 199)

14 Inserisci i simboli di maggiore, minore e uguale tra le coppie di sottrazioni. a) (115 − 24) .......................... (115 − 23)

c) (590 − 365) .......................... (592 − 364)

b) (444 − 267) .......................... (445 − 268)

d) (522 − 487) .......................... (520 − 485)

MOLTIPLICAZIONE E DIVISIONE

15 Determina la proprietà applicata al primo membro dell’uguaglianza e calcola la relativa operazione. a) 21 · 3 · 7 = 3 · 21 · 7 .......................................................; .................

b) 8 · 5 · 2 = 8 · 10 .......................................................; .................

c) 7 · 12 · 5 = 7 · 3 · 4 · 5 .......................................................; .................

d) (20 + 2) · 5 = 20 · 5 + 2 · 5 .......................................................; ................. e) 12 : 4 = (12 · 2) : (4 · 2) .......................................................; .................

Aritmetica

Unità 1

ESERCIZI

Numeri naturali

16 Applica la proprietà commutativa e calcola la moltiplicazione. esempio:

dato 12 · 5 scriviamo 5 · 12 = 60

a) 15 · 20 = .................................................. = ............

b) 13 · 9 =

..................................................

= ............

17 Applica la proprietà associativa e calcola la moltiplicazione. esempio:

dato 2 · 5 · 32 scriviamo (2 · 5) · 32 = 320

a) 15 · 2 · 9 =

..................................................

= ............

b) 7 · 10 · 8 =

............................................

= ............

.................................................

= ............

18 Applica la proprietà dissociativa e calcola la moltiplicazione. esempio:

dato 25 · 12 scriviamo 25 · 4 · 3 = 300

a) 50 · 18 =

..................................................

= ............

b) 35 · 16 =

19 Applica la proprietà distributiva e calcola la moltiplicazione. esempio:

dato 15 · (10 + 2) scriviamo = 15 · 10 + 15 · 2 = 180

a) 32 · (10 + 3) = ........................................................ = ................ b) 19 · (20 + 2) = ........................................................ = ................

20 Applica la proprietà invariantiva rispetto alla moltiplicazione e calcola la divisione. esempio:

dato 75 : 15 scriviamo (75 · 2) : (15 · 2) = 150 : 30 = 5

a) 135 : 45 = .................................................................. = ................................... = ............ b) 144 : 36 = .................................................................. = ................................... = ............

21 Applica la proprietà invariantiva rispetto alla divisione e calcola la divisione. esempio:

dato 120 : 40 scriviamo (120 : 10) : (40 : 10) = (12 : 4) = 3

a) 180 : 15 = .................................................................. = ................................... = ............ b) 525 : 75 = .................................................................. = ................................... = ............

22 Calcola la moltiplicazione. a) 124 · 0 = ...................................

c) 136 · 1 = ...................................

b) 0 · 89 = ...................................

d) 21 · 100 = ...................................

e) 163 · 10 = ...................................

23 Calcola la divisione. a) 35 : 0 = ...................................

c) 0 : 17 = ...................................

e) 23 : 23 = ...................................

b) 0 : 0 = ...................................

d) 234 : 1 = ...................................

f) 7800 : 100 = ...............................

Aritmetica

ESERCIZI

Numeri naturali

Unità 1

24 Quale delle seguenti operazioni non ha risultato nell’insieme dei numeri naturali? a) 32 · 134

b) 25 : 5

c) 7 · 81

d) 62 : 3

25 Completa l’operazione. a) 25 · .................. = 75 b)

..................

c) 255 : .................. = 15

· 31 = 713

..................

: 51 = 24

26 Se moltiplico 14 per un numero n ottengo 112. Qual è il numero n? ...................................

27 Quale numero devo moltiplicare per 25 per ottenere 1625? ...................................

28 Se divido 483 per un numero n ottengo 23. Qual è il numero n? ...................................

29 Se divido un numero n per 74 ottengo 15. Qual è il numero n? ...................................

ESPRESSIONI ARITMETICHE 30 Calcolare le seguenti espressioni aritmetiche facilitate. a) 25 − (18 − 6) − (9 − 5) 25 − ............ − ............ ...................................

b) 7+ [(17 + 6) − (15 − 6)] + 10 − 3 7 + [............ − ............] + 10 − 3 7 + ............ + 10 − 3 ...................................

c) 25 + (12 − 45 : 9) 25 + (12 − ............) 25 + ............ ...................................

Aritmetica

Unità 1

ESERCIZI

Numeri naturali

d) 54 − [5 + 2 · (3 + 6 · 2) + 7] : 6 + 42 : 7 − 23 54 − [5 + 2 · (3 + ............) + 7] : 6 + 42 : 7 − 23 54 − [5 + 2 · ............ + 7] : 6 + 42 : 7 − 23 54 − [5 + ............ + 7] : 6 + 42 : 7 − 23 54 − ............ : 6 + 42 : 7 − 23 54 − ............ + ............ − 23 ...................................

e) {2 · [3 + (15 – 27 : 9)] – 2} : 7 {2 · [3 + (15 – ............ )] – 2} : 7 {2 · [3 + ............] – 2} : 7 {2 · ............ – 2} : 7 {............ – 2} : 7 ............ : 7 ...................................

31 Calcolare le seguenti espressioni aritmetiche. a) (13 · 3 + 45) : 21 + (12 − 16 : 4) : 2 + 7 .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................................................................................................

b) 3 · 5 · 7 : [(16 − 2 · 3) : 5 + (5 · 3 + 3 · 4) : 9] – 5 · 4 .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................................................................................................

Aritmetica

Numeri naturali

ESERCIZI

Unità 1

c) {50 – [5 · 3 – 3 · (19 − 36 : 2) + 2 · 4 – 2 · (18 : 2)] – 47} · 5 .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................................................................................................

d) {[(6 · 4 + 1) : 5 + 3 · 2] · 12 + 64 : 8} : {7 · [35 – 3 · (15 · 2 – 19)]} .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................................................................................................

e) {[(27 : 3 · 8 + 10) – (35 : 7 + 12)] · (56 : 7 – 4)} – 8 – (50 · 4 + 8) .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................................................................................................

f) {[(27 · 4 + 20 – 1 – 90 : 9) : 3 + 7] · 5 + 2} : 8 + (2 · 49 – 21 · 4) – 2 · 20 .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................................................................................................

Aritmetic

TEST Stile invalsi

Unità 1

1 Un’operazione si dice aperta rispetto a un insieme numerico quando: a) b) c) d)

l’operazione si può eseguire solo tra gli elementi dell’insieme. l’operazione non si può eseguire tra gli elementi dell’insieme. i risultati delle operazioni sugli elementi dell’insieme appartengono all’insieme. i risultati delle operazioni sugli elementi dell’insieme non appartengono all’insieme.

2 Quale proprietà è stata applicata? 8 · 2 · 7 = 16 · 7 ...................................................................................................................................................................

3 Quale proprietà è stata applicata? 8 · (3 + 2) = (8 · 3) + (8 · 2) ...................................................................................................................................................................

4 Quale proprietà è stata applicata? 10 : 4 = (10 · 2) : (4 · 2) ...................................................................................................................................................................

5 Quale proprietà è stata applicata? 8 + 11 + 5 = 8 + 10 + 1 + 5 ...................................................................................................................................................................

6 Quale proprietà è stata applicata? 16 − 9 = (16 − 5) − (9 − 5) ...................................................................................................................................................................

Aritmetica

TEST Stile invalsi

Numeri naturali

Unità 1

7 L’elemento neutro della moltiplicazione è: a) 0

b) 1

c) 10

d) non esiste

8 Quale delle seguenti uguaglianze è vera? a) 2 + 3 · 7 = 5 · 7

c) 24 + 8 : 2 = 24 + 4

b) 16 · 4 + 2 = 16 + 8

d) (5 + 4) · 3 = 5 + 4 · 3

9 Quale delle seguenti uguaglianze è vera? a) 10 − 5 = (10 : 5) − (5 : 5)

c) 10 − 5 = (10 + 2) − (5 − 2)

b) 10 − 5 = (10 − 2) − (5 − 2)

d) 10 − 5 = (10 · 2) − (5 · 2)

10 Quale delle seguenti espressioni ha come risultato 1? a) 5 · 0 + 4

b) 6 · 2 − 8 : 4

c) 8 − 14 : 2

d) 5 + 16 : 8

11 Usando nell’ordine dato e una sola volta i numeri 48, 10 e 3 costruisci l’espressione che dia come risultato 18. .................................................................................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................................................................................................

12 Usando nell’ordine dato e una sola volta i numeri 20, 13 e 2 costruisci l’espressione che dia come risultato 14. .................................................................................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................................................................................................

13 Usando nell’ordine dato e una sola volta i numeri 10, 14 e 4 costruisci l’espressione che dia come risultato 6. .................................................................................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................................................................................................

Aritmetica

Unità 1

TEST Stile invalsi

Numeri naturali

14 Nelle seguenti successioni di numeri individua la regola che stabilisce il numero successivo e completa. a) 3, 5, 8, 12, ............

b) 3, 6, 18, 72, ............

c) 3, 5, 9, 17, ............

d) 1, 4, 13, 40, ............

15 Al numero 1 si applica per quattro volte questo ciclo di operazioni: si triplica e si sottrae 1. Quale numero risulterà alla fine? a) 42

b) 41

c) 40

d) 44

16 Nell’insieme dei numeri naturali, la sequenza numerica 3, 10, 16, 21, 25 si può continuare con: a) nessun numero

b) 28

c) 27

d) 29

17 Nell’insieme dei numeri naturali, la sequenza numerica 7, 6, 4, 1 si può continuare con: a) nessun numero

b) 0

c) 3

d) 4

18 Nell’insieme dei numeri naturali, la sequenza numerica 120, 115, 105, 90, 70, 45 si può continuare con: a) 15

b) 20

c) 25

d) 30

19 Quale delle seguenti relazioni risulta sempre falsa per una qualunque coppia di numeri a e b appartenenti all’insieme ? a) a + b > 0

b) a : b > 0

c) a − b < 0

d) a · b < 0

20 In uno scatolone ci sono già 12 palline; se 5 bambini portano 2 palline ciascuno, quante palline ci saranno nello scatolone? a) 2 + 12 · 5

b) 2 · 5 + 12

c) 12 · 2 + 5

d) 12 + 5 + 2

Unità 2

Aritmetic

Potenze

TEORIA 1 Che cos’è la potenza di un numero? La potenza p del numero b elevato al numero e si indica come p = be. Il numero b è chiamato base della potenza; il numero e, che indica quante volte occorre moltiplicare per se stessa la base b, è definito esponente (o grado) della potenza.

ESEMPIO Data la base b = 3 e l’esponente e = 4, la potenza p è il prodotto della moltiplicazione 3 · 3 · 3 · 3 = 34 = 81, e si legge 3 elevato a 4 o anche tre alla quarta.

2 Come si calcola il prodotto di potenze con la stessa base? Il prodotto di due potenze con la stessa base a è uguale alla potenza con base a e con esponente la somma degli esponenti, cioè am · an = a(m+n). La regola si estende a un numero qualsiasi di potenze-fattori.

ESEMPIO Il prodotto 123 · 122 è composto da due potenze-fattori con la medesima base 12; quindi 123 · 122 = 12(3+2), cioè 125.

3 Come si calcola il quoziente di potenze con la stessa base? Il quoziente di due potenze con la stessa base a è uguale alla potenza con base a e con esponente la differenza degli esponenti, cioè am : an = a(m–n). Se l’esponente della potenzadividendo è minore di quello della potenza-divisore, la potenza-quoziente ha esponente negativo. Se l’esponente della potenza-dividendo è uguale a quello della potenza-divisore, la potenzaquoziente ha esponente zero.

ESEMPIO Caso con m > n, 87 : 85 = 8(7–5) = 82. Caso con n > m, 53 : 57 = 5(3–7) = 5–4. Caso con m = n, 65 : 65 = 6(5–5) = 60.

4 Come si calcola il prodotto di potenze con lo stesso esponente? Il prodotto di due potenze con lo stesso esponente m è uguale alla potenza che ha per esponente m e per base il prodotto delle basi, cioè am · bm = (a · b)m. La regola si estende a un numero qualsiasi di potenze-fattori.

ESEMPIO Il prodotto 25 · 35 è composto da due potenze con il medesimo esponente 5; quindi 25 · 35 = (2 · 3)5, cioè 65.

Aritmetica

Unità 2

TEORIA

Potenze

5 Come si calcola il quoziente di potenze con lo stesso esponente? Il quoziente di due potenze con lo stesso esponente m è uguale alla potenza che ha per esponente m e per base il quoziente delle basi, cioè am : bm = (a : b)m.

ESEMPIO Il quoziente 153 : 53 è composto da due potenze con il medesimo esponente 3; quindi 153 : 53 = (15 : 5)3, cioè 33.

6 Come si calcola la potenza di una potenza? La potenza di una potenza è uguale alla potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti, cioè (am)n = a(m·n).

ESEMPIO La potenza di potenza (93)5 comporta 93·5 = 915; infatti, il prodotto tra i due esponenti è uguale a 15.

7 Qual è la potenza di un numero con esponente uguale a 1 e a 0? Un qualsiasi numero a elevato a 1 dà come risultato il numero stesso, cioè a1 = a. Un qualsiasi numero a diverso da 0 elevato a 0 dà come risultato 1, cioè a0 = 1.

8 Qual è la potenza quando la base è uguale a 1 e a 0? Un qualsiasi numero m messo a esponente di 1 dà come risultato 1, cioè 1m = 1. Un qualsiasi numero m diverso da 0 messo a esponente di 0 dà come risultato 0, cioè 0n = 0.

9 Qual è la potenza quando base ed esponente sono entrambi uguali a 0? Non è possibile determinare il risultato della potenza 00 e dunque tale potenza è priva di significato.

10 Come si calcolano (rapidamente) le potenze con base 10? Per calcolare il valore delle potenze con base 10 ed esponente m si fa seguire al numero 1 un numero m di zeri.

ESEMPIO La potenza di base 10, 104, avendo esponente 4, ha il numero 1 seguito da quattro zeri, cioè 104 = 10000.

11 In che cosa consiste la notazione esponenziale in base 10? Esistono numeri che possono essere rappresentati come prodotti tra un numero e una potenza di base 10. In questi casi si sfrutta la notazione esponenziale in base 10, che consiste nel prodotto tra un numero a e una potenza di base 10 con l’esponente m. La notazione si scrive come a · 10m.

ESEMPIO Il numero 60000, che non è altro che la moltiplicazione 6 ∙ 10000, può essere rappresentato con la notazione esponenziale 6 · 104.

Aritmetica

Potenze

TEORIA

Unità 2

12 In che cosa consiste la notazione standard? La notazione standard (o notazione scientifica) sfrutta la notazione esponenziale. Consiste nel prodotto di una potenza di 10 per un numero decimale, in cui la parte intera è costituita da una sola cifra diversa da 0.

ESEMPIO Il numero 23500 non è altro che la moltiplicazione 2,35 ∙ 10000. Può quindi essere rappresentato con la notazione standard 2,35 ∙ 104, dove 2,35 è il numero decimale e 104 è la potenza di 10.

13 Perché è utile la notazione standard? La notazione standard consente di rappresentare valori molto grandi e molto piccoli che s’incontrano nello studio delle scienze.

ESEMPIO La massa della Terra è mT = 5.980.000.000.000.000.000.000.000 kg, un numero di ben 25 cifre; in notazione scientifica il valore si esprime più “comodamente” come mT = 5,98 ∙ 1024 kg.

14 Che cos’è l’ordine di grandezza? L’ordine di grandezza di un numero è la potenza di 10 il cui valore si avvicina maggiormente al numero stesso.

ESEMPIO Il numero 78000 è compreso tra 10000 = 104 e 100000 = 105, ma avvicinandosi di più a 105 si sceglie tale potenza come ordine di grandezza del numero 78000.

15 Come si risolve un’espressione aritmetica con potenze? Si risolve come una qualsiasi espressione aritmetica, facendo però attenzione a svolgere per prime le potenze all’interno delle parentesi tonde; inoltre, se la parentesi tonda è la base di una potenza, prima di eliminarla, bisogna elevare a potenza il numero all’interno della parentesi.

ESEMPIO {(10 – 52 : 5) · 6 – [6 + (18 – 14)2 : 2] + 32} : 5 Si risolve la potenza contenuta nella prima parentesi tonda. {(10 – 25 : 5) · 6 – [6 + (18 – 14)2 : 2] + 32} : 5 Si risolve la divisione contenuta nella prima parentesi tonda. {(10 – 5) · 6 – [6 + (18 – 14)2 : 2] + 32} : 5 Si svolgono i calcoli contenuti nelle parentesi tonde in modo da eliminarle. {5 · 6 – [6 + 42 : 2] + 32} : 5

Aritmetica

Unità 2

TEORIA

Potenze

Si passa alla parentesi quadra, risolvendo prima la potenza in essa contenuta. {5 · 6 – [6 + 16 : 2] + 32} : 5 Si risolve la divisione contenuta nella parentesi quadra. {5 · 6 – [6 + 8] + 32} : 5 Si risolve la parentesi quadra in modo da eliminarla. {5 · 6 – 14 + 32} : 5 Si passa alla parentesi graffa, risolvendo prima la potenza in essa contenuta. {5 · 6 – 14 + 9} : 5 Si risolve la moltiplicazione contenuta nelle parentesi graffa. {30 – 14 + 9} : 5 Infine, si risolve la parentesi graffa in modo da eliminarla. 25 : 5 Il risultato dell’espressione è dunque 5.

Aritmetic

ESERCIZI

Unità 2 OPERAZIONI CON POTENZE

1 Rappresenta le seguenti moltiplicazioni secondo la notazione delle potenze. esempio:

dato 5 ∙ 5 scriviamo 52

a) 6 ∙ 6 ..............................

b) 4 ∙ 4 ∙ 4 ..............................

c) 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3

d) 13 ∙ 13 ∙ 13 ∙ 13

..............................

2 Sviluppa le seguenti potenze in moltiplicazioni e calcola il relativo prodotto. esempio:

dato 23 sviluppiamo in 2 ∙ 2 ∙ 2 e calcoliamo il prodotto, cioè 8

a) 82

c) 25

.........................................................................................

b) 53

.........................................................................................

d) 34

.........................................................................................

3 Calcola le seguenti potenze in cui compare 0 e/o 1. a) 15

d) 05

.........................................................................................

b) 00

.........................................................................................

e) 151

.........................................................................................

c) 120 .........................................................................................

4 Sostituisci all’esponente ✘ il valore che verifica le seguenti uguaglianze. esempio:

dato 3x = 9, il valore a esponente che verifica l’uguaglianza è x = 2, infatti 32 = 3 ∙ 3 = 9

a) 2x = 8 ......................................................................................... x

b) 10 = 100 .........................................................................................

c) 9x = 1 .........................................................................................

d) 7x = 7 .........................................................................................

5 Sostituisci alla base ✘ il valore che verifica le seguenti uguaglianze. esempio:

dato x3 = 8, il valore alla base che verifica l’uguaglianza è x = 2, infatti 23 = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8

a) x2 = 25 ......................................................................................... 4

b) x = 16 .........................................................................................

c) x7 = 0 .........................................................................................

d) x1 = 15 .........................................................................................

Aritmetica

ESERCIZI

Unità 2

Potenze

4 2 6 Individua il prodotto corretto della moltiplicazione tra potenze con medesima base, 8 · 8 .

a) 82

b) 646

c) 86

d) 648

7 Individua il prodotto corretto della moltiplicazione tra potenze con medesimo esponente, 154 · 24. a) 308

b) 174

c) 158

d) 304

13 10 8 Individua il quoziente corretto della divisione tra potenze con medesima base, 5 : 5 .

a) 53

b) 13

c) 523

d) 123

4 4 9 Individua il quoziente corretto della divisione tra potenze con medesimo esponente, 16 : 4 .

a) 41

b) 544

c) 44

d) 40

10 Calcola le seguenti moltiplicazioni e divisioni con potenze. a) 64 ∙ 65

c) 2711 : 911

…………………………………………................ 5

…………………………………………................

b) 11 : 11

d) 68 ∙ 58

…………………………………………................

11 Calcola le seguenti moltiplicazioni e divisioni con potenze. a) 74 : 73

c) 22 ∙ 24

…………………………………………................ 5

…………………………………………................

b) 28 : 14

d) 52 ∙ 32

…………………………………………................

Aritmetica

ESERCIZI

Potenze

Unità 2

12 Calcola le seguenti potenze di potenza. a) (22)3

c) {[(3)2]3}5

.........................................................................................

b) [(53)4]2

.........................................................................................

d) {[(45)2]2}3

.........................................................................................

POTENZE DI 10 4 13 A quale dei seguenti numeri equivale 10 ?

a) 1000

b) 10000

c) 4000

d) 40

14 Scrivi l’ordine di grandezza dei seguenti numeri. a) 300

c) 7978000 .........................................................................................

.........................................................................................

b) 12000

d) 6600

.........................................................................................

15 Scrivi in notazione esponenziale i seguenti numeri. a) 20000

c) 8700000

.........................................................................................

b) 4500

.........................................................................................

d) 700000

.........................................................................................

16 Scrivi in notazione standard i seguenti numeri. a) 2100 .........................................................................................

b) 68500 .........................................................................................

c) 9500000 .........................................................................................

d) 400000 .........................................................................................

17 Esegui i calcoli. esempio:

dato il prodotto 4 ∙ 105, lo sviluppiamo come 4 ∙ 100000, cioè 400000

a) 3 ∙ 104 …………………………………………………………………………………

b) 2 ∙ 102 …………………………………………………………………………………

Aritmetica

Unità 2

ESERCIZI

Potenze

ESPRESSIONI ARITMETICHE CON POTENZE 18 Calcola le seguenti espressioni aritmetiche con potenze. a) 72 + 62 : 18 – 42 – 33 .................................................................................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................................................................................................

b) 42 ∙ 42 : 4 + 25 : 22 – 85 : 83 .................................................................................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................................................................................................

c) (32 ∙ 3)5 : (37 : 34)3 : 34 .................................................................................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................................................................................................

d) [(35 : 32 + 13) : (27 : 24) + 32] : 7 + [(38 : 35 – 2) ∙ 22 – 23] : 23 .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................................................................................................

e) {32 ∙ 5 + 22 ∙ 32 ∙ (5 ∙ 3 – 32) ∙ [32 – 2 ∙ (2 ∙ 32 – 24)2] – 42 ∙ 32} : (62 + 3) .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................................................................................................

f) {[(45 ∙ 42)2 : 412]2 : [(44 ∙ 48 : 46)3 : (42)8]2 + [(3)5]2 ∙ 210 : (210 ∙ 310)}2 ∙ [(23 + 52) : 11] .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................................................................................................

Aritmetic

TEST Stile invalsi

Unità 2 3 1 Considera la potenza 5 e indica il suo valore.

a) 15 b) 125 c) 8 5 2 Considera la potenza 1 e indica il suo valore.

a) 5 b) 6 c) 1 0 3 Considera la potenza 8 e indica il suo valore.

a) 1 b) 0 c) 8 4 4 La potenza 4 equivale a:

a) b) c) d)

216 26 82 28

5 Qual è il valore da assegnare alla x nelle seguenti potenze? a) 2x = 16 .................................

b) 7x = 49 .................................

c) 10x = 1000 .................................

1 2

................................. 2 2 6 Il valore dell’espressione 3 + 5 è:

a) b) c) d)

82 152 84 34

3 0 7 Il valore dell’espressione (2 – 2) · 3 è:

a) b) c) d)

6 18 0 1

Aritmetica

Unità 2

TEST Stile invalsi

Potenze

8 Calcola il valore della seguente espressione. (23 + 24) : 23 ∙ 22 .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................................................................................................

9 Risolvi la seguente espressione. 100 – 2 ∙ (72 – 5 ∙ 9)2 – (22 ∙ 7 – 25)2 ∙ 5 – 24 .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. 5 2 10 Considera il prodotto 6 · 6 e indica la potenza corrispondente.

a) 67 b) 63 c) 610 3 3 11 Considera il prodotto 8 · 7 e indica la potenza corrispondente.

a) 569 b) 563 c) 566 12 9 12 Considera il quoziente 7 : 7 e indica la potenza corrispondente.

a) 721 b) 73 c) 13 4 4 13 Considera il quoziente 84 : 7 e indica la potenza corrispondente.

a) 124 b) 12 c) 125

Aritmetica

Potenze

TEST Stile invalsi

Unità 2

14 Quale delle seguenti uguaglianze è vera? a) b) c) d)

37 ∙ 34 = 311 37 ∙ 34 = 911 37 ∙ 34 = 928 37 ∙ 34 = 328

15 Quale delle seguenti uguaglianze è vera? a) b) c) d)

28 : 24 = 14 28 : 24 = 22 28 : 24 = 212 28 : 24 = 24

7 4 16 L’espressione 3 · 3 : 3 ha come risultato:

a) b) c) d)

327 311 310 326

17 Nelle seguenti uguaglianze introduci nella prima espressione le parentesi necessarie affinché ognuna di esse risulti uguale alla seconda. a) 100 : 2 + 32 – 6 ∙ 22 = 50 + 3 ∙ 4 ..................................................................................................................................................................................................................................

b) 100 : 2 + 32 – 6 ∙ 22 = 100 : 5 ∙ 4 ..................................................................................................................................................................................................................................

c) 100 : 2 + 32 – 6 ∙ 22 = 100 : 20 ..................................................................................................................................................................................................................................

Aritmetica

Unità 2

TEST Stile invalsi

Potenze

18 Quale affermazione è corretta? a) Il prodotto di potenze di ugual base è una potenza con la stessa base e avente per esponente il prodotto degli esponenti. b) Il prodotto di potenze di ugual base è una potenza con la stessa base e avente per esponente la somma degli esponenti. c) Il prodotto di potenze di ugual base è una potenza avente per esponente la somma degli esponenti. d) Il prodotto di potenze di ugual base è una potenza ottenuta dal prodotto delle basi. 3 4 19 Quale dei seguenti numeri è compreso tra 10 e 10 ?

a) 999

b) 9999

c) 99

d) 99999

20 Il numero 3500 può essere scritto come: a) b) c) d)

3,5100 3 ∙ 103 + 5 ∙ 102 3,5 ∙ 102 3 ∙ 103 ∙ 5 ∙ 102

Unità 3

Aritmetic

Divisibilità

TEORIA 1 Che cos’è un multiplo? Il multiplo q di un generico numero naturale n è quel numero ottenuto moltiplicando n per un qualsiasi numero naturale m (compreso n stesso), cioè q = n · m, e si legge q è multiplo di n.

ESEMPIO Il numero q = 35 è un multiplo del numero n = 7; in questo caso il numero moltiplicativo è m = 5, infatti 35 = 7 · 5.

2 Quali caratteristiche possiedono i multipli? Ogni numero possiede un numero infinito di multipli. Il numero 0 è multiplo di qualsiasi numero. Ogni numero è multiplo di se stesso.

3 Che cos’è un sottomultiplo o divisore? Il sottomultiplo o divisore s di un generico numero naturale p è quel numero che, se posto a divisore di p, nella divisione ottenuta dà come quoziente un numero naturale t senza resto, cioè p : s = t (senza resto). In questo caso si dice che s è sottomultiplo di p oppure, in modo equivalente, che s è divisore di p.

ESEMPIO La divisione 35 : 7 = 5 indica che il numero p = 35 è divisibile per il numero s = 7 perché il quoziente t = 5 è senza resto. In modo equivalente la divisione indica che 7 è divisore di 35.

4 Quali caratteristiche possiedono i divisori? I divisori di un numero sono in numero finito. Il numero 0 ammette come divisore qualunque numero naturale diverso da 0. Ogni numero naturale è divisore di se stesso e ha come divisore il numero 1.

5 In che cosa consiste analizzare la divisibilità di un numero? La divisibilità verifica se un numero possiede divisori e, in caso affermativo, individua quali e quanti sono. Esistono criteri di divisibilità che studiano la divisibilità di un numero in modo rapido (vedi i punti seguenti).

ESEMPIO I divisori di 12 sono i numeri 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Aritmetica

Unità 3

TEORIA

Divisibilità

6 Quando un numero è divisibile per 2? Un numero n è divisibile per 2 se è pari o, in modo equivalente, se l’ultima cifra è 0, 2, 4, 6, 8.

ESEMPIO Il numero 1256 è divisibile per 2 poiché è un numero pari o, in modo equivalente, perché l’ultima cifra è 6.

7 Quando un numero è divisibile per 3? Un numero n è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è divisibile per 3.

ESEMPIO Il numero 4503 è divisibile per 3 poiché la somma delle sue cifre è 12, che è divisibile per 3.

8 Quando un numero è divisibile per 4? Un numero n è divisibile per 4 se le ultime due cifre a destra formano un numero divisibile per 4.

ESEMPIO Il numero 5116 è divisibile per 4 poiché termina con 16, che è divisibile per 4.

9 Quando un numero è divisibile per 5? Un numero n è divisibile per 5 se termina con la cifra 0 o 5.

ESEMPIO Il numero 3465 è divisibile per 5 poiché l’ultima sua cifra è 5.

10 Quando un numero è divisibile per 9? Un numero n è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre è divisibile per 9.

ESEMPIO Il numero 7263 è divisibile per 9 poiché la somma delle sue cifre è 18, che è divisibile per 9.

11 Quando un numero è divisibile per 10 o per una potenza di 10? Un numero n è divisibile per 10 o per una potenza di 10 se termina con almeno tanti zeri quanti sono quelli contenuti nel divisore.

ESEMPIO Il numero 120 è divisibile per 10 poiché termina con uno zero. Il numero 4500 è divisibile per 10 e per 100 poiché termina con due zeri.

Aritmetica

Divisibilità

TEORIA

Unità 3

12 Quando un numero è divisibile per 11? Un numero n è divisibile per 11 se la differenza tra la somma delle cifre in posizione pari e la somma di quelle in posizione dispari (o viceversa) è un multiplo di 11 (la posizione dell’unità è dispari, quella delle decine è pari e così via).

ESEMPIO Il numero 7843 è divisibile per 11 poiché la differenza tra la somma delle cifre in posizione pari (4 + 7) e la somma di quelle in posizione dispari (3 + 8) è 0, che è un multiplo di 11.

13 Qual è la differenza tra numero primo e numero composto? Un numero n è primo se è divisibile solo per 1 e per se stesso; i numeri primi sono infiniti. Un numero n è composto se è divisibile per almeno un altro numero, oltre a esserlo per 1 e per se stesso.

ESEMPIO Il numero 17 è un numero primo perché è divisibile solo per 1 e per se stesso. Il numero 15 è un numero composto perché, oltre a essere divisibile per 1 e per se stesso, è divisibile anche per 3 e per 5.

14 Che cosa sono i fattori primi? I fattori primi di un numero n sono i numeri primi, se esistono, il cui prodotto è uguale a n.

ESEMPIO I fattori primi di 6 sono 2 e 3, infatti 6 = 2 · 3.

15 In che cosa consiste la scomposizione in fattori primi? La scomposizione in fattori primi (o fattorizzazione) trasforma un numero composto m in una moltiplicazione che ha come fattori solo numeri primi. Se un fattore primo si ripete, si scrive come potenza mettendo a esponente il numero di volte che si ripete.

ESEMPIO La scomposizione in fattori primi di 12 è 12 = 22 · 3. In questo caso si tratta di una scomposizione semplice. Nei casi più complessi si procede come nel seguente esempio. Si scomponga in fattori primi il numero 700. Si scrive 700 e si traccia a destra una riga verticale. Con i criteri di divisibilità si trova 700 | 2 il più piccolo numero primo per cui è divisibile 700, cioè 2, e lo si scrive a destra 350 | 2 della riga verticale. Il quoziente di 700 : 2, 350, viene quindi scritto sotto 700. Il 175 | 5 numero 350 è ancora divisibile per 2 e il quoziente è 175. Il numero 175, scritto 35 | 5 sotto 350, non è più divisibile per 2, né è divisibile per 3, ma è divisibile per 5, con 7 | 7 quoziente uguale a 35. Il numero 35 è ancora divisibile per 5 e il quoziente è 7. Il 1| numero 7 è un numero primo ed è divisibile solo per se stesso, con quoziente 1. A questo punto la scomposizione è terminata con 700 = 2 · 2 · 5 · 5 · 7 = 22 · 52 · 7.

Aritmetica

Unità 3

TEORIA

Divisibilità

16 Come la scomposizione in fattori primi individua la divisibilità tra due numeri? Un numero n è divisibile per il numero m secondo il seguente criterio generale di divisibilità: il numero n è divisibile per m se i fattori primi di m lo sono anche di n e gli esponenti dei fattori primi di m sono minori o uguali a quelli di n.

ESEMPIO Siano dati i seguenti numeri scomposti in fattori primi: 29400 = 23 · 3 · 52 · 72 e 2100 = 22 · 3 · 52 · 7. Il numero n = 29400 è divisibile per m = 2100 perché tutti i fattori primi di 2100 sono presenti nella fattorizzazione di 29400 con esponente minore o uguale.

17 Come la scomposizione in fattori primi consente di dividere rapidamente due numeri fra loro divisibili? Il quoziente di due numeri divisibili tra loro, n ed m, è il prodotto dei fattori primi di n presi ciascuno con esponente uguale alla differenza tra gli esponenti di n ed m. Gli eventuali fattori primi di n, che non compaiono tra quelli di m, mantengono il loro esponente nel prodotto finale.

ESEMPIO Sia data la divisione 1176 : 84. Si scompongono in fattori primi n = 1176 ed m = 84, quindi (23 · 3 · 72) : (22 · 3 · 7). Il quoziente si calcola prendendo i fattori primi di 1176 con esponente uguale alla differenza degli esponenti di 1176 e di 84, cioè 2(3–2) · 3(1–1) · 7(2–1) = 2 · 7, cioè 14.

18 Che cos’è il Massimo Comune Divisore? Il Massimo Comune Divisore (MCD) tra due o più numeri è il massimo tra i loro divisori comuni. Il MCD tra due o più numeri si calcola considerando i loro divisori comuni e, tra questi, scegliendo quello con valore massimo. Se due numeri non hanno divisori in comune, oltre al numero 1, si definiscono primi tra loro.

ESEMPIO Siano dati i numeri 16 e 40. I divisori del numero 16 sono: 1, 2, 4, 8, 16. I divisori del numero 40 sono: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40. Tra i divisori comuni (2, 4, 8) il maggiore è il MCD, che è 8.

19 Come si calcola il MCD tramite scomposizione in fattori primi? Dati due o più numeri, si scompongono in fattori primi e si calcola il prodotto dei fattori comuni presi una sola volta con esponente minore.

ESEMPIO Calcolare il MCD tra 2695 e 825. Si scompongono in fattori primi i due numeri: 2695 = 5 · 72 · 11 e 825 = 3 · 52 · 11. Quindi si moltiplicano i fattori comuni con esponente minore, cioè MCD = 5 · 11 = 55.

Aritmetica

Divisibilità

TEORIA

Unità 3

20 Che cos’è il minimo comune multiplo? Il minimo comune multiplo (mcm) tra due o più numeri è il minimo tra i loro multipli comuni. Il mcm tra due o più numeri si calcola considerando i multipli del numero maggiore e, per ciascun multiplo, si valuta se è anche multiplo degli altri numeri. Il più piccolo dei multipli ottenuti è il minimo comune multiplo.

ESEMPIO Siano dati i numeri 8 e 6. I multipli del numero 8 sono: 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, … I multipli del numero 6 sono: 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, … Il minore tra i multipli in comune è il mcm, che è 24.

21 Come si calcola il minimo comune multiplo tramite scomposizione in fattori primi? Dati due o più numeri, si scompongono in fattori primi e si calcola il prodotto dei fattori comuni e non comuni presi una sola volta con esponente maggiore.

ESEMPIO Calcolare il mcm tra 360 e 588. Si scompongono in fattori primi i due numeri: 360 = 23 · 32 · 5 e 588 = 22 · 3 · 72. Quindi si moltiplicano i fattori comuni e non comuni con esponente maggiore, cioè mcm = 23 · 32 · 5 · 72 = 17640.

Aritmetic

ESERCIZI

Unità 3

MULTIPLI E DIVISORI 1 Scrivi i multipli di 8 minori di 40. …………………………………………...............................................

2 Scrivi i multipli di 6 minori di 30. …………………………………………...............................................

3 Scrivi i sottomultipli o divisori di 15. …………………………………………...............................................

4 Scrivi i sottomultipli o divisori di 45. …………………………………………...............................................

5 Individua tra le seguenti affermazioni quella vera. a) 27 è sottomultiplo di 9

c) 5 è sottomultiplo di 70

b) 12 è multiplo di 36

d) 11 è multiplo di 55

6 Individua tra le seguenti affermazioni quella vera. a) 45 è divisibile per 8

c) 72 è divisibile per 7

b) 3 è divisore di 32

d) 8 è divisore di 96

7 Dati i numeri 5, 12, 20, 24, 36, 45, scrivi quelli a) divisibili per 2 …………………………………………...............................................

b) divisibili per 3 …………………………………………...............................................

c) divisibili per 5 …………………………………………...............................................

8 Dati i numeri 10, 15, 20, 32, 36, 40, scrivi quelli divisibili sia per 2 che per 5. …………………………………………...............................................

9 Dati i numeri 2, 4, 5, 7, 9, 10, 13, 15, scrivi quelli primi. …………………………………………...............................................

Aritmetica

ESERCIZI

Divisibilità

Unità 3

10 Dati i numeri 2, 3, 5, 6, 9, 10, 13, 14, scrivi quelli composti. …………………………………………...............................................

SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI 11 Individua la corretta scomposizione in fattori primi del numero 30. a) 10 · 3

b) 2 · 32

c) 2 · 3 · 5

d) 5 · 6

12 Individua la corretta scomposizione in fattori primi del numero 84. a) 4 · 3 · 7

b) 22 · 3 · 7

c) 2 · 32 · 7

d) 2 · 3 · 21

13 Scomponi in fattori primi i seguenti numeri. a) 126 …………………………………………..........................................

b) 504 …………………………………………..........................................

c) 1350 …………………………………………..........................................

d) 3224 …………………………………………..........................................

14 Con il criterio generale di divisibilità stabilisci se 6912 è divisibile per 72. …………………………………………....................................…………………………………………............................................................... …………………………………………....................................…………………………………………...............................................................

15 Con il criterio generale di divisibilità stabilisci se 2352 è divisibile per 22. …………………………………..............................................…………………………………………............................................................... …………………………………..............................................…………………………………………...............................................................

Aritmetica

Unità 3

ESERCIZI

Divisibilità

MASSIMO COMUNE DIVISORE (MCD) 16 Calcola il MCD dei numeri 36 e 90. …………………………………..............................................…………………………………………............................................................... …………………………………..............................................…………………………………………...............................................................

17 Calcola il MCD dei numeri 120, 108 e 72. …………………………………..............................................…………………………………………............................................................... …………………………………..............................................…………………………………………...............................................................

18 Calcola il MCD dei numeri 144, 168 e 96. …………………………………..............................................…………………………………………............................................................... …………………………………..............................................…………………………………………...............................................................

MINIMO COMUNE MULTIPLO (MCM) 19 Calcola il mcm dei numeri 18 e 20. …………………………………..............................................…………………………………………............................................................... …………………………………..............................................…………………………………………...............................................................

20 Calcola il mcm dei numeri 30 e 25. …………………………………..............................................…………………………………………............................................................... …………………………………..............................................…………………………………………...............................................................

21 Calcola il mcm dei numeri 27, 36 e 30. …………………………………..............................................…………………………………………............................................................... …………………………………..............................................…………………………………………...............................................................

22 Calcola il mcm dei numeri 636, 530 e 477. …………………………………..............................................…………………………………………............................................................... …………………………………..............................................…………………………………………...............................................................

Aritmetica

ESERCIZI

Divisibilità

Unità 3

23 Risolvi il seguente problema. suggerimento: ricorda

le definizioni di MCD e mcm.

Un fiorista ha a disposizione 84 rose e 60 fresie e vuole preparare dei mazzi misti in modo che ognuno abbia lo stesso numero di fiori. a) Quanti mazzi riuscirà a confezionare? …………………………………………....................................…………………………………………............................................................... …………………………………………..............................................………………………………............................................................... …………………………………………..............................................…………………………………...............................................................

b) Quante rose ci saranno in ciascun mazzo? …………………………………………..............................................…………………………………............................................................... …………………………………………..............................................…………………………………............................................................... …………………………………………..............................................……………………………………...........................................................

24 Risolvi il seguente problema. In una merceria ci sono tre pezze di stoffa lunghe 12, 18 e 30 metri. Il negoziante deve dividerle in parti uguali. Quale sarà la lunghezza massima di ogni parte? …………………………………………..............................................…………………………………............................................................... …………………………………………..............................................…………………………………............................................................... …………………………………………..............................................…………………………………...............................................................

25 Risolvi il seguente problema. Due stelle comete orbitano intorno al Sole: la prima ogni 42 anni e la seconda ogni 56 anni. Ogni quanti anni è possibile osservarle contemporaneamente? …………………………………………..............................................…………………………………............................................................... …………………………………………..............................................…………………………………............................................................... …………………………………………..............................................…………………………………...............................................................

Aritmetic

TEST Stile invalsi

Unità 3

1 Indica le domande con risposta affermativa. a) b) c) d)

Tutti i numeri divisibili per 3 sono dispari? Tutti i numeri divisibili per 6 sono pari? Tutti i numeri sono divisibili per 1? Tutti i numeri dispari sono divisibili per 3?

2 Indica le domande con risposta negativa. a) b) c) d)

Il numero 3 è un numero composto? Il numero 2 è un numero primo? Tutti i numeri sono divisibili per se stessi? Il numero 1 è multiplo di ogni numero?

3 Indica le domande con risposta affermativa. a) b) c) d)

Tutti i numeri dispari sono primi? Tutti i numeri primi sono dispari? Tutti i multipli di 4 sono anche multipli di 2? I numeri primi hanno solo due divisori?

4 Scrivi i divisori di 25. ……………………………....................................……

5 Scrivi i divisori di 18. ……………………………....................................……

6 Quali sono tutti e soli i numeri multipli sia di 6 sia di 10? a) Tutti i multipli di 2.

b) Tutti i multipli di 15.

c) Tutti i multipli di 30.

d) Tutti i multipli di 60.

2 7 Dato il prodotto 2 · 3 · 5 · 11, individua quali delle seguenti affermazioni sono vere.

a) Il risultato è un numero divisibile per 55. b) Il risultato è un numero divisibile per 26. c) Il risultato è un numero divisibile per 12.

8 I multipli di 12 sono multipli anche di 6? ……………………

9 I divisori di 8 sono anche divisori di 16? ……………………

Aritmetica

TEST Stile invalsi

Divisibilità

Unità 3

10 Nella frase “12 è divisibile per 3” l’espressione “è divisibile per” può essere sostituita, senza che il significato cambi, dall’espressione: a) b) c) d)

“è multiplo di” “è fattore di” “è sottomultiplo di” “è divisore di”

11 Se un numero naturale n è divisibile per i numeri x e y, allora a) b) c) d)

è sicuramente divisibile per il prodotto xy non è divisibile per il prodotto xy è divisibile per il prodotto xy solo se sono numeri primi è divisibile per il prodotto xy solo se sono primi tra loro

12 I numeri primi terminano con una delle seguenti cifre: a) 1, 2, 3, 5

b) 1, 3, 7, 9

c) 1, 3, 5, 7

d) 2, 4, 6, 8

13 Scrivi i numeri primi minori di 30. ……………………………....................................…….............................

14 Quale, tra le seguenti coppie di numeri, è formata da numeri primi tra loro? a) 32, 27

b) 12, 9

c) 14, 28

d) 5, 15

15 Tra numeri 12, 51, 32, 17, 15, 34, 16, 8, 102, individua: a) i numeri primi …………………………….........…….............................

b) i numeri multipli sia di 3 che di 2 …………………………….........…….............................

c) i numeri divisibili sia per 17 che per 3 …………………………….........…….............................

d) i numeri multipli sia di 2 che di 16 …………………………….........…….............................

16 Qual è la fattorizzazione in numeri primi di 60? a) 2 · 2 · 3 · 5

b) 6 · 5

c) 3 · 4 · 5

d) 2 · 3 · 3 · 5

Aritmetica

Unità 3

TEST Stile invalsi

Divisibilità

17 Qual è la corretta scomposizione in fattori primi del numero 36? a) 3 · (5 + 7)

b) 62

c) 32 · 4

d) 22 · 32

18 Qual è la corretta scomposizione in fattori primi del numero 2940? a) 2 · 3 · 5 · 72

b) 22 · 3 · 5 · 72

c) 2 · 32 · 5 · 72

d) 22 · 3 · 52 · 7

19 Scomponi in fattori primi il numero 168. ……………………………....................................……............................…………… ……………………………....................................……............................……………

20 Scomponi in fattori primi il numero 8580. ……………………………....................................……............................…………… ……………………………....................................……............................……………

21 Se un numero è multiplo di un altro, il loro mcm è: a) b) c) d)

l’unità il minore dei due il loro prodotto il maggiore dei due

22 Il MCD e il mcm tra i numeri 34, 36 e 42 sono: a) b) c) d)

6 e 53 3 e 84 3 e 126 2 e 4284

23 Risolvi il seguente problema. Due navi partono dal porto di Savona; una nave parte ogni 18 giorni e l’altra ogni 12. Se il 15 settembre sono partite insieme, in che giorno ripartiranno insieme? ……………………………....................................……............................…………………………….............................................................. ……………………………....................................……............................……………………………................................................................ ……………………………....................................……............................……………………………............................................................... ……………………………....................................……............................……………………………...............................................................

Unità 4

Aritmetic

Frazioni

TEORIA 1 Che cosa contiene l’insieme dei numeri razionali? L’insieme dei numeri razionali, indicato con il simbolo , è un ampliamento dell’insieme dei numeri naturali e contiene sia numeri naturali sia numeri decimali.

2 Perché occorre ampliare l’insieme dei numeri naturali a quello dei razionali? La divisione tra due numeri naturali nella quale il dividendo non è multiplo del divisore non è un’operazione permessa nell’insieme dei numeri naturali, in quanto il quoziente non è un numero naturale. Occorre quindi ampliare l’insieme aggiungendo i numeri decimali.

3 Che cos’è un numero decimale? Un numero decimale è un numero in cui compare una virgola, che separa la parte intera del numero (a sinistra della virgola) dalla parte decimale del numero (a destra della virgola).

ESEMPIO Il numero decimale 6,31 ha come parte intera 6 e come parte decimale 31.

4 Che cos’è una frazione? Una frazione è una possibile rappresentazione di un numero razionale che assume la forma n , nella quale n è chiamato numeratore ed m è chiamato denominatore; la linea separam trice è chiamata linea di frazione. Attenzione: una frazione ha senso solo se il denominatore è diverso da 0. Una frazione con numeratore e denominatore uguali a 0 è detta indeterminata. Ovviamente un qualsiasi numero naturale si può considerare una frazione che ha come denominatore il numero 1.

5 Che cos’è una frazione unitaria? Una frazione unitaria, o unità frazionaria, ha il numeratore sempre uguale a 1, cioè dove m è un numero naturale diverso da 0.

1 , m

6 Come la frazione si comporta da operatore? n che precede un numero naturale k assume la funzione di operatore; l’applicaziom n ne della frazione operatore è rappresentata nei seguenti due modi equivalenti: di k oppure m n · (k). Essa comporta come risultato un numero che si ottiene dividendo k per m e, quindi, m moltiplicando il quoziente ottenuto per n. La frazione

Aritmetica

Unità 4

TEORIA

Frazioni

ESEMPIO 3 al numero naturale 35. Si divide 35 per m = 5 e si moltiplica il 5 quoziente ottenuto per il numeratore n = 3; quindi (35 : 5) · 3 = 21.

Applicare l’operatore frazione

7 Quando una frazione è propria, impropria o apparente? Una frazione propria ha il numeratore minore del denominatore. Una frazione impropria ha il numeratore maggiore o uguale al denominatore. Una frazione apparente ha il numeratore multiplo del denominatore.

8 Quando due o più frazioni sono equivalenti? Due o più frazioni sono equivalenti se, applicandole come operatori allo stesso numero, danno lo stesso risultato. Attenzione: frazioni con numeratore e denominatore diversi possono rappresentare quantità uguali.

ESEMPIO 2 2 , l’applicazione (per esempio) al numero 100 comporta · (100) = 5 5 4 2 4 è equivalente a . L’applicazione della frazione operatore 40. Verifichiamo che la frazione 10 5 10 4 4 2 · (100) = 40. Le frazione è dunque equivalente alla frazione . al numero 100 comporta 10 10 5

Data la frazione operatore

9 Come si crea una frazione equivalente a una data? Si applica la seguente proprietà fondamentale o invariantiva delle frazioni: si moltiplicano o si dividono numeratore e denominatore della frazione data per uno stesso numero diverso da 0.

ESEMPIO 8 , si sceglie di dividere numeratore e denominatore per 2. 18 8:2 4 4 8 = . La frazione è equivalente a . Quindi: 18 : 2 9 9 18

Data la frazione

10 Che cosa significa ridurre ai minimi termini una frazione? Ridurre ai minimi termini una frazione significa trasformarla in un’altra frazione equivalente, con termini primi tra loro. Ricorda: due termini sono primi fra loro quando non è più possibile trovare divisori in comune.

11 Come si riduce ai minimi termini una frazione? Per ridurre ai minimi termini una frazione occorre dividere numeratore e denominatore per uno stesso comune divisore. Se esiste un divisore comune si dice che la frazione è riducibile. Viceversa si dice che è irriducibile o ridotta ai minimi termini.

Aritmetica

Frazioni

TEORIA

Unità 4

ESEMPIO 26 è riducibile poiché sia il numeratore che il denominatore sono divisibili per il nume39 26 : 13 2 2 = e è la frazione ridotta ai minimi termini. ro 13; quindi 39 : 13 3 3

La frazione

12 In che cosa consiste la riduzione a minimo comune denominatore (mcd) di due o più frazioni? Ridurre a minimo comune denominatore (mcd) due o più frazioni significa determinare frazioni ad esse equivalenti, che abbiano come unico denominatore il mcm dei denominatori.

13 Come si esegue la riduzione a mcd di due o più frazioni? Date due o più frazioni, si procede nel seguente modo: prima si riducono le frazioni ai minimi termini, quindi si determina il mcm tra i denominatori, che diventa il mcd. Poi, per ogni frazione, si divide il mcd per il denominatore della frazione e il risultato si moltiplica per il numeratore della frazione.

ESEMPIO 5 3 e . 6 8 1) Le frazioni sono ai minimi termini. 2) Il mcd tra i denominatori 6 e 8 è 24. 3) Si divide 24 per il denominatore 6 e il quoziente 4 si moltiplica per 5: si ottiene 20. 4) Si divide 24 per il denominatore 8 e il quoziente 3 si moltiplica per 3: si ottiene 9. 20 9 Le frazioni ridotte a mcd sono dunque: e . 24 24

Ridurre a mcd le frazioni

14 Come si stabilisce se una frazione è maggiore di un’altra? Se una frazione è propria e l’altra impropria, è maggiore quella impropria. Se le due frazioni hanno denominatori uguali, è maggiore quella che ha numeratore maggiore. Se le due frazioni hanno numeratori uguali, è maggiore quella che ha denominatore minore. Se le due frazioni hanno numeratori e denominatori diversi si riducono al mcd e quindi si confrontano le frazioni equivalenti ottenute.

15 Come si eseguono l’addizione e la sottrazione tra due frazioni? Si riducono le frazioni a mcd e si scrive la frazione somma, in cui il denominatore è il mcd e il numeratore è la somma dei rispettivi numeratori. Si riducono le frazioni a mcd e si scrive la frazione differenza, in cui il denominatore è il mcd e il numeratore è la differenza dei rispettivi numeratori.

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TEORIA

Unità 4

Frazioni

ESEMPIO 3 1 9 + 7 16 + = = 7 3 21 21

5 1 15 – 2 13 – = = 4 6 12 12

16 Come si eseguono la moltiplicazione e la divisione tra due frazioni? La frazione prodotto si ottiene moltiplicando fra loro i due numeratori e i due denominatori. Una frazione è detta inversa di un’altra frazione se il loro prodotto è uguale a 1. La frazione quoziente si ottiene moltiplicando la prima frazione per l’inverso della seconda.

ESEMPIO 3 7 3 · 7 21 · = = 5 4 5 · 4 20

12 7 12 3 36 : = · = 5 3 5 7 35

17 Come si esegue l’elevamento a potenza di una frazione? La potenza di una frazione è uguale alla frazione delle potenze del numeratore e del denominatore.

ESEMPIO 2 9

22 4 = 2 9 81

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ESERCIZI

Unità 4 NUMERI RAZIONALI

1 Rappresenta le frazioni suddividendo e colorando il rettangolo accanto. esempio:

2 dell’intero rettangolo: 3

a) i

3 dell’intero rettangolo: 4

b) i

7 dell’intero rettangolo: 6

2 Indica la frazione rappresentata dalla parte colorata. a)

……….........……

3 Calcola: a) i

3 di 36 4

…….............………

b) i

5 di 21 7

…….............………

c) gli

8 di 15 3

…….............………

4 Risolvi i seguenti problemi. a) Mario ha 30 figurine e decide di regalarne i

5 . Quante figurine regala? 6

b) Un cartolaio vende i

3 dei suoi 154 quaderni a 1,5 € l’uno. Quanto incassa? 7

3 c) Tre amici si dividono una somma di 360 € in modo tale che il primo prenda i e gli altri 5 due si dividano a metà il resto. Quanto prende ciascuno dei tre amici?

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ESERCIZI

Unità 4

Frazioni

CLASSIFICAZIONE DELLE FRAZIONI 3

9 12

5 Date le seguenti frazioni 5 , 6 , 3 , 7 , 2 , 9 , 5 , 13 , 7 , 10 , individua quelle: a) proprie ……………………………………………................................................................ b) improprie …………………………………………….......................................................... c) apparenti …………………………………………….......................................................... 3

6 Scrivi la frazione complementare di 5 . …….....................………

7 Individua le frazioni equivalenti a 5 . b) 8 10

a) 4 10

c) 20 50

d) 6 30

8 Completa le seguenti frazioni in modo che le uguaglianze siano tra frazioni equivalenti. a) 3 = 15 4 ......

b) 5 = ...... 13 39

c) 12 = ...... 5 25

d) 9 = 45 8 ......

c) 7 5

d) 14 10

9 La frazione 60 ridotta ai minimi termini è: b) 7 10

a) 14 5

10 Riduci ai minimi termini le seguenti frazioni. a) 28 36

…............……

b) 126 144

…............……

c) 2310 …............…… 420

d) 4680 …............…… 3900

11 Riduci allo stesso denominatore (mcd) le seguenti frazioni. a)

5 2 , 6 3

3 5 , 10 14

…............….........................................

…............….................................

3 5 7 , , 4 6 8

11 7 1 , , 20 30 60

…............…............................................

…............….................................

12 Confronta le seguenti frazioni inserendo il simbolo >, < o =. a)

2 9

....…

5 9

3 5

....…

3 7

....…

9 2

9 4

11 16

13 Confronta le seguenti frazioni inserendo il simbolo >, < o =. a)

4 5

....…

5 6

7 12

....…

5 8

8 15

....…

13 25

....…

18 8

....…

7 12

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ESERCIZI

Frazioni

Unità 4

OPERAZIONI TRA FRAZIONI 14 Calcola le seguenti operazioni con frazioni. 4 1 ...... + ...... + = = ...................................... 15 5 15 3 2 – b) ....................................................................... 4 5 12 21 · c) .................................................................... 7 36 a)

45 9 : .......................................................................... 8 2 3 2 f) ................................................................................. 3 e)

15 Calcola applicando le proprietà delle potenze. 4

1 1 : 2 2

3 5

10 3

……………………...........................…… 2

………….........................………………

c) d)

15 5 : 4 2 1 2

…………............................………………

2 3

………………….......................................………

16 Risolvi le seguenti espressioni. a) 7 4 9 1 8 5 : – + 5 3 20 6 5 16 7 : 5 7 : 5

1 + ....... 6

.......

–

.......

– ....... + ....... .......

Aritmetica

ESERCIZI

Unità 4

17 8

3 2

Frazioni

1 1 1 5 + : : 5 4 8 3

3 5

8 3 2 + 15 4 5

.................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................................................................................................

2 7 2 + + 1 3 6 7

45 1 5 24 5 7 : : + + 4 15 2 5 4 8

2 3

1 d) 2

10 3

5 2

2 7 2 + : 3 30 3

8 : 3

5 2

1 2

11 : 12

1 2

9 10

3 2

3 : 2

11 2

Aritmetic

TEST Stile invalsi

Unità 4 4

1 Quando operiamo su un intero angolo con la frazione 5 otteniamo un angolo: a) minore di quello di partenza b) maggiore di quello di partenza c) uguale a quello di partenza 3

2 Date le frazioni m e n – 2 , quali valori devono assumere m ed n perché esse perdano di significato? ……………………………....................................…….............................

3 Una frazione è indeterminata se: a) numeratore e denominatore sono uguali b) numeratore e denominatore sono entrambi nulli c) il numeratore è zero ma il denominatore è diverso da zero d) il denominatore è zero ma il numeratore è diverso da zero 9

4 Tra quali interi è compresa la frazione 4 ? a) Tra 9 e 10 b) Tra 2 e 3 c) Tra 0 e 1 d) Tra 4 e 9

5 Scrivi tutte le frazioni equivalenti a 5 con denominatore compreso tra 50 e 60. ……………………………....................................…….............................

6 Completa le seguenti uguaglianze in modo che siano vere. a) 3 = 15 2 ....

b) 0 = .... 2 30

c) 1 = .... 27

d) 21 = 3 35 ....

Aritmetica

Unità 4

TEST Stile invalsi

Frazioni

7 Quali delle seguenti espressioni sono vere? a) 5 +

3 8 = 10 10

4 3 è maggiore di 5 5 4 c) è compreso tra 4 e 5 5 1 1 d) il doppio di è 6 3 b)

8 Qual è la maggiore tra le seguenti frazioni? a)

3 4

b) 3 è: 4

9 Il doppio di a)

6 8

10 La terza parte di a)

3 4

11 La frazione

4 3

11 12

5 3

3 2

9 16

3 8

1 3

1 12

9 è: 12

1 4

5–5 è: 10

a) uguale a 0

b) uguale a

5 2

c) impossibile

d) uguale a

1 10

Aritmetica

TEST Stile invalsi

Frazioni

12 Quale delle seguenti uguaglianze è vera? a)

3 5 +2= 4 4

7 1 9 + = 8 4 8

3 5 8 + = 5 9 14

5 3 1 + = 10 6 2

13 Qual è l’operazione errata tra le seguenti? a)

4 1 :8= 3 6

16 4 5 : = 25 5 4

1 1 :3= 3 9

d) 3 :

1 =9 3

14 Siano n ed m due numeri naturali diversi da 0; quali delle seguenti scritture n

è uguale a a) n m

1 ? m

b) n mn

c) 1 mn

1 m·n

Unità 4

Aritmetica

Unità 4

TEST Stile invalsi

15 Il risultato dell’espressione a) 200 81

Frazioni

1 1 1 10 : + : è: 3 4 5 3

b) 10

c) 1 9

d) 2 9

16 Calcola il risultato della seguente espressione: 2

1 3 : 3 4

1 3

6 5

……………………………....................................……............................. ……………………………....................................……............................. ……………………………....................................…….............................

17 Indica l’operazione che risolve il seguente problema: calcolare i 4 di 150. a) 150 · c) 150 +

3 4

b) 150 :

3 4

d) 150 –

3 4

Geometria

Unità 5

Elementi di Geometria

TEORIA 1 Che cos’è un punto? Il punto è l’elemento-cellula della geometria ed è impossibile definirlo in modo formale. Generalmente i punti si indicano con una lettera maiuscola (A, B, C, …).

A Figura 1

2 Che cos’è una linea? La linea è un insieme infinito di punti tra loro adiacenti, che può assumere una qualsiasi forma, anche intersecandosi. Può essere aperta, se gli estremi non si toccano (Fig. 2a), o chiusa, se coincidono (Fig. 2b). La misura di una linea si chiama lunghezza.

Figura 2

3 Che cos’è una retta? La retta è una linea infinita, con i punti che la compongono allineati. Generalmente le rette si indicano con lettere minuscole (a, b, c, …). La lunghezza di una retta è un numero infinito; in altri termini, per una retta non esistono punti di inizio e fine.

a Figura 3

Geometria

Unità 5

TEORIA

Elementi di Geometria

4 Quando due rette sono incidenti? Due rette (a e b) sono incidenti quando s’intersecano in un punto (P). a b

Figura 4

5 Che cos’è una semiretta? La semiretta (q) è una linea infinita, con i punti che la compongono allineati, che inizia in un punto chiamato origine (O).

O Figura 5

6 Che cos’è un segmento? Un segmento è una porzione di retta (a) delimitata da due punti chiamati estremi (A e B). Generalmente i segmenti si indicano con le lettere degli estremi avvicinate (AB). La lunghezza di un segmento è un valore numerico finito.

B a

Figura 6

7 Quando due segmenti sono consecutivi? Due segmenti di lunghezza qualsiasi (AB e BC) sono consecutivi quando hanno un estremo (B) in comune. Due segmenti consecutivi appartengono a rette incidenti.

b A

C B

Figura 7

Geometria

TEORIA

Elementi di Geometria

Unità 5

8 Quando due segmenti sono adiacenti? Due segmenti di lunghezza qualsiasi (AB e BC) sono adiacenti quando sono consecutivi e appartengono a un’unica retta (k). A

C k

Figura 8

9 Qual è la distanza tra un punto esterno e la retta? È la lunghezza del segmento che ha per estremi il punto esterno (P) e il punto di intersezione con la retta (K). Il segmento (PK) appartiene alla retta (s) perpendicolare alla retta (t). P t K s

Figura 9

10 Che cos’è un angolo? Un angolo è ciascuna delle due parti illimitate di piano comprese tra due semirette (a e b) con l’origine in comune in un punto (O). La misura in gradi (simbolo °) di un angolo è chiamata ampiezza. Generalmente un angolo si indica con una lettera minuscola greca ( , , , … ). Le semirette sono chiamate lati dell’angolo, mentre il punto in comune è detto vertice. a β

Figura 10

11 Qual è la differenza tra angolo concavo e angolo convesso? Un angolo concavo ( ) contiene il prolungamento dei lati (prolungamento in rosso delle semirette a e b). Un angolo convesso ( ) non contiene il prolungamento dei lati. a O Figura 11

β b

Geometria

TEORIA

Unità 5

Elementi di Geometria

12 Quando due angoli sono consecutivi? Due angoli consecutivi ( e ) hanno il vertice (O) e un lato (k) in comune; i due lati non in comune (a e b) sono opposti al lato comune.

a α

Figura 12

13 Quando due angoli consecutivi sono adiacenti? Due angoli consecutivi ( e ) sono adiacenti quando i due lati non comuni (a e b) appartengono alla medesima retta (t). k

α a

Figura 13

14 Come si classificano gli angoli rispetto alla loro ampiezza? Un angolo con ampiezza di 90° è chiamato angolo retto (Fig. 14a). Un angolo con ampiezza di 180° è chiamato angolo piatto (Fig. 14b). Un angolo con ampiezza di 360° è chiamato angolo giro (Fig. 14c). a

c a 360°

180° a

90° O

Figura 14

Geometria

TEORIA

Elementi di Geometria

Unità 5

15 Come si classificano gli angoli rispetto alla somma delle loro ampiezze? Due angoli con la somma delle loro ampiezze pari a 90° sono fra loro complementari (Fig. 15a). Due angoli con la somma delle loro ampiezze pari a 180° sono fra loro supplementari (Fig. 15b). Due angoli con la somma delle loro ampiezze pari a 360° sono fra loro esplementari (Fig. 15c). b

a α + β = 90°

α + β = 180°

α + β = 360°

α β O

Figura 15

16 Qual è la differenza tra un angolo acuto e un angolo ottuso? Un angolo acuto ha ampiezza minore di 90° (Fig. 16a). Un angolo ottuso ha ampiezza maggiore di 90° (Fig. 16b). b

α > 90°

α < 90°

α Figura 16

17 Che cos’è la bisettrice di un angolo? La bisettrice di un angolo ( ) è la semiretta (b) che ha origine nel vertice (O) dell’angolo e ne divide l’ampiezza in due parti uguali.

2 2

Figura 17

Geometria

ESERCIZI

Unità 5

1 Individua l’affermazione corretta relativa alla linea l rappresentata in figura. a) I punti A e B appartengono alla linea l b) I punti B e D appartengono alla linea l c) I punti A e D appartengono alla linea l d) Solo il punto D appartiene alla linea l

2 Individua l’affermazione corretta relativa alle linee l ed m rappresentate in figura: a) due linee, l ed m, entrambe chiuse b) due linee, l ed m, entrambe aperte c) una linea l chiusa e una linea m aperta d) una linea l aperta e una linea m chiusa

m l

3 Disegna due rette r ed s che si intersecano nel punto P e poi disegna la retta t che interseca la retta r nel punto R e la retta s nel punto S.

4 Nel disegno sono raffigurate tre rette passanti per un punto P: sono le sole rette che possono essere disegnate? ………………............................................

5 Disegna due semirette r ed s aventi l’origine in comune e appartenenti alla stessa retta.

Geometria

ESERCIZI

Elementi di Geometria

Unità 5

6 Disegna due semirette r ed s aventi l’origine in comune ma non appartenenti alla stessa retta.

7 Disegna due semirette r ed s che non abbiano l’origine in comune ma che appartengano alla stessa retta.

8 La figura rappresenta: a) la retta AB b) il segmento AB c) la semiretta AB d) solo i punti AB

9 Disegna due segmenti aventi un estremo in comune ma che non appartengano alla stessa retta. Come si definiscono?

………………...........................................

10 Disegna due segmenti aventi un estremo in comune e che appartengano alla stessa retta. Come si definiscono? ………………............................................

Geometria

Unità 5

ESERCIZI

Elementi di Geometria

11 Nella seguente figura individua tutti i segmenti consecutivi al segmento AB. C

………………............................................ ………………............................................

………………............................................

12 La somma di due segmenti AB e CD misura 18 cm e AB è il doppio di CD. Quanto misurano i due segmenti? ………………............................................ ………………............................................

………………............................................

B D

13 La differenza tra i due segmenti AB e CD misura 12 cm e la loro somma misura 30 cm. Quanto misurano i due segmenti? (Se dalla somma dei due segmenti tolgo la loro differenza, i due segmenti diventano uguali; perciò per trovare AB…). ………………............................................ ………………............................................

………………............................................

B differenza = 12 cm

14 La somma di due segmenti è 40 cm e uno è il triplo dell’altro: calcola la misura dei due segmenti. ………………...........................................………………...........................................………………................................................................ ………………...........................................………………...........................................………………................................................................ ………………...........................................………………...........................................………………................................................................

15 La somma di due segmenti è 35 cm e la loro differenza misura 5 cm: calcola la misura dei due segmenti. ………………...........................................………………...........................................………………................................................................ ………………...........................................………………...........................................………………................................................................ ………………...........................................………………...........................................………………................................................................

Geometria

ESERCIZI

Elementi di Geometria

Unità 5

16 La somma di tre segmenti misura 70 cm; il primo è il doppio del secondo, il secondo è il doppio del terzo. Quanto misurano i tre segmenti? ………………...........................................………………...........................................………………................................................................. ………………...........................................………………...........................................………………................................................................. ………………...........................................………………...........................................……………….................................................................

17 Indica la lettera corrispondente all’angolo concavo nella seguente figura. ………………............................................

18 I due angoli in figura sono consecutivi? ………………............................................

19 I due angoli in figura sono adiacenti o consecutivi? ………………............................................

20 Data la seguente figura, indica: ˆ a) l’angolo consecutivo ad ab ………………........................................................................

ˆ b) l’angolo consecutivo a cd

………………........................................................................

ˆ c) gli angoli consecutivi a bc ………………........................................................................

ˆ d) l’angolo adiacente ad ab

………………........................................................................

Geometria

Unità 5

ESERCIZI

Elementi di Geometria

21 Dati i due angoli consecutivi in figura, indica se le seguenti affermazioni sono vere o false: ˆ è retto a) l’angolo ac ……………….........................................

ˆ b) la semiretta b è la bisettrice dell’angolo ac

c 30°

……………….........................................

ˆ e bc ˆ sono due angoli acuti c) ab

60°

……………….........................................

ˆ e bc ˆ sono due angoli supplementari d) ab ……………….........................................

22 Calcola l’ampiezza dell’angolo supplementare di un angolo ampio 40°. ………………................................………………...........................................………………...........................................................................

23 Calcola l’ampiezza dell’angolo complementare di un angolo ampio 57°. ………………................................………………...........................................………………...........................................................................

24 Calcola l’ampiezza dell’angolo esplementare di un angolo di 160°. ………………................................………………...........................................………………...........................................................................

25 Dati i due angoli in figura, la somma delle loro ampiezze determina un angolo: a) giro b) di 45° c) retto d) piatto

β α

26 Che cosa s’intende per bisettrice? a) Una retta che divide in due un segmento. b) Una figura geometrica con due lati. c) Una retta che separa in parti uguali il lato di un triangolo. d) Una semiretta che separa in due parti uguali un angolo.

27 Due angoli supplementari sono uno il quadruplo dell’altro. Quanto misura l’ampiezza di ciascun angolo? ………………...............................………………...........................................………………........................................................................... ………………...............................………………...........................................………………...........................................................................

Geometria

Unità 5

TEST Stile invalsi

1 Indica le affermazioni corrette. La bisettrice di un angolo retto divide l’angolo: a) in due angoli uno il doppio dell’altro b) in due angoli congruenti c) in due angoli supplementari d) in due angoli di 45°

2 Se un angolo misura 60°, quanto misura il suo supplementare? a) 300° b) 120° c) 30° d) Non esiste

3 Se un angolo misura 60°, quanto misura il suo complementare? a) 300° b) 120° c) 30° d) Non esiste

4 Se un angolo misura 60°, quanto misura il suo esplementare? a) 300° b) 120° c) 30° d) Non esiste

5 Quanto misura il supplementare del complementare di un angolo di 60°? a) 30° b) 120° c) 150° d) Non esiste

6 Quanto misura l’esplementare del supplementare di un angolo di 120°? a) 300° b) 180° c) 80° d) Non esiste

Geometria

Unità 5

TEST Stile invalsi

Elementi di Geometria

7 Due angoli acuti possono essere complementari? ………………………………

8 Un angolo acuto e uno ottuso possono essere complementari? ………………………………

ˆ sapendo che la semiretta b è la 9 Nella seguente figura, qual è l’ampiezza dell’angolo cd ˆ misura 55°. bisettrice dell’angolo aĉ e che l’angolo ab a) 55° b) 80° c) 70° d) 110°

10 Se si indica con 3n l’angolo esplementare di un angolo di 90°, quanto vale n? a) 40° b) 120° c) 60° d) 90°

Unità 6

Geometria

Parallelismo e perpendicolarità

TEORIA 1 Quando due rette sono incidenti? Due rette (a e b) sono incidenti quando s’incontrano in un solo punto (P). a b

Figura 1

2 Quando due rette sono fra loro parallele? Due rette (s e t) sono parallele (simbolo: //) quando non sono mai tra loro incidenti. I punti di una retta sono equidistanti dai punti della retta ad essa parallela. Se due rette parallele si sovrappongono, si dicono coincidenti.

s t Figura 2

3 Quante sono le rette parallele a una retta data e passanti per un punto? Data una retta s e un punto P esterno a essa, esiste una e una sola retta parallela a s e passante per P.

4 Quando due rette sono fra loro perpendicolari? Due rette (q e p) che si intersecano in un punto (P) sono fra loro perpendicolari (simbolo: ⊥) quando formano quattro angoli retti (90°).

90°

90° q

P 90° Figura 3

90° p

Geometria

Unità 6

TEORIA

Parallelismo e perpendicolarità

5 Che cos’è l’asse di un segmento? L’asse di un segmento (AB) è la retta perpendicolare (p) passante per il punto medio (M) del segmento, cioè per il punto del segmento equidistante dai due estremi.

Figura 4

6 Qual è la distanza tra un punto esterno e una retta? È la lunghezza del segmento (PK) perpendicolare alla retta (t) che collega il punto esterno (P) alla retta. Il punto d’intersezione (K) tra la retta (s) coincidente con il segmento (PK) e la retta (t) si chiama piede della perpendicolare. P t K s

Figura 5

7 Quali angoli formano due rette parallele intersecate da una retta incidente? Rispetto alla figura che segue, sono angoli: - corrispondenti, le coppie 1 e 5, 2 e 6, 4 e 8, 3 e 7; - coniugati interni, le coppie 4 e 5, 3 e 6; - coniugati esterni, le coppie 1 e 8, 2 e 7; - alterni interni, le coppie 4 e 6, 3 e 5; - alterni esterni, le coppie 1 e 7, 2 e 8. Congruenti sono le coppie di angoli corrispondenti e le coppie di angoli alterni. Supplementari sono le coppie di angoli coniugati.

1 4 5 8

3 6

a b

Figura 6

Geometria

TEORIA

Parallelismo e perpendicolarità

Unità 6

8 Che cos’è la proiezione ortogonale di un punto su una retta? Si chiama proiezione ortogonale (o perpendicolare) di un punto (P) su una retta (r) il piede della perpendicolare (P') condotta dal punto alla retta. P

r P'

Figura 7

9 Che cos’è la proiezione ortogonale di un segmento su una retta? La proiezione ortogonale di un segmento (AB) su una retta (r) è il segmento (A'B') che contiene le proiezioni ortogonali di tutti i punti del segmento. La proiezione può essere un segmento di lunghezza uguale o inferiore a quella del segmento dato. Inoltre, la proiezione si riduce a un punto se il segmento dato è perpendicolare alla retta.

A' Figura 8

Geometria

ESERCIZI

Unità 6

1 Due rette sono incidenti quando: a) non hanno punti in comune b) hanno tutti i punti in comune c) hanno un punto in comune d) hanno una coppia di punti in comune

2 Due rette sono parallele quando: a) non hanno punti in comune b) hanno tutti i punti in comune c) hanno un punto in comune d) hanno una coppia di punti in comune

3 Due rette sono perpendicolari quando: a) non hanno punti in comune b) hanno tutti i punti in comune c) hanno un punto in comune e formano quattro angoli retti d) hanno una coppia di punti in comune

4 Il simbolo di perpendicolarità è: b) >

a) //

d) <

c) ⊥

5 Quale coppia di rette in figura è formata da rette parallele? s r

r s

s a

.............................................................

6 Le rette r ed s in figura sono: a) coincidenti b) parallele c) perpendicolari d) incidenti

r s

Geometria

ESERCIZI

Parallelismo e perpendicolarità

7 Traccia la retta r passante per i punti A e B; traccia poi la retta s passante per i punti C e D. Le rette ottenute sono: A

a) coincidenti b) parallele c) perpendicolari d) incidenti

8 Indica le rette perpendicolari presenti in figura. a) a-d e b-c b) b-c e d-e c) a-d e d-e d) Non ne esistono

d e b a

9 Data una retta r e un punto P esterno ad essa, quante rette parallele ad r passano per P? a) Infinite b) Una c) Nessuna d) Due

10 In figura, la distanza del punto A dalla retta r è il segmento: a) AC b) AB c) AD d) CD

Unità 6

Geometria

ESERCIZI

Unità 6

Parallelismo e perpendicolarità

11 Quale delle seguenti figure rappresenta correttamente l’asse del segmento AB?

.............................................................

12 In figura, la retta r è perpendicolare al segmento AB ed M è il punto medio. L’asse del segmento AB è: a) AP b) BP c) la retta r d) PM

s B

13 In figura, le rette r ed s sono parallele e tagliate dalla retta t. Quale delle seguenti affermazioni è corretta? a) Gli angoli α e δ sono coniugati interni. b) Gli angoli β e γ sono alterni interni. c) Gli angoli α e γ sono corrispondenti. d) Gli angoli β e δ sono alterni esterni. γ

α δ

r β s

Geometria

ESERCIZI

Parallelismo e perpendicolarità

Unità 6

14 In figura, le rette r ed s sono parallele e tagliate dalla retta t. Quale delle seguenti affermazioni è corretta? a) Gli angoli α e δ sono supplementari. b) Gli angoli β e γ sono supplementari. c) Gli angoli α e γ sono supplementari. d) Gli angoli β e δ sono congruenti.

α δ

r β s

15 Nella figura sono rappresentate due rette parallele, r ed s, tagliate dalla trasversale t. Data l’ampiezza dell’angolo α, trova quella dell’angolo β. t α = 70° β

r s

.............................................................

16 Se due angoli coniugati interni sono congruenti, qual è la posizione della trasversale rispetto alle due rette parallele? .............................................................

Geometria

Unità 6

ESERCIZI

Parallelismo e perpendicolarità

17 Se α è la metà di β, quanto misura γ? a) 45° b) 120° c) 30° d) 60°

γ α

r β

18 Tra gli angoli formati da due rette parallele tagliate da una trasversale, un angolo interno è ampio 100°. Calcola l’ampiezza dell’angolo coniugato. .............................................................

19 Tra gli angoli formati da due rette parallele tagliate da una trasversale, l’ampiezza di un angolo interno misura 65°. Calcola l’ampiezza del suo alterno interno. .............................................................

20 Tra gli angoli formati da due rette parallele tagliate da una trasversale, un angolo interno è il triplo del suo coniugato. Quanto misurano i due angoli? .............................................................

Geometria

Unità 6

TEST Stile invalsi

1 Due rette sono coincidenti quando: a) non hanno punti in comune b) hanno tutti i punti in comune c) hanno un punto in comune d) hanno una coppia di punti in comune

2 Siano date tre distinte rette a, b, c, tali che a ⁄⁄ b e b⁄⁄ c. Individua l’affermazione corretta: a) a è parallela a c b) a è perpendicolare a c c) a coincide con c d) a è incidente c

3 Siano date tre distinte rette a, b, c tali che a⊥c e b⊥c. Individua l’affermazione corretta: a) a è perpendicolare a b b) a è parallela a b c) a coincide con b d) a è incidente b

4 L’asse di un segmento è: a) la retta perpendicolare al segmento passante per un suo estremo b) la retta perpendicolare al segmento passante per il suo punto medio

Geometria

Unità 6

TEST Stile invalsi

Parallelismo e perpendicolarità

5 Due rette parallele formano con una trasversale un angolo interno di 50°. Determina l’ampiezza dell’angolo coniugato interno. a) 130° b) 40° c) 110° d) 50°

6 Facendo riferimento ai dati in figura, calcola l’ampiezza dell’angolo α. a) 120° b) 40° c) 10° d) 15° 45°

α 120°

Unità 7

Geometria

Triangoli

TEORIA 1 Che cos’è un poligono? Un poligono è una parte di piano delimitata da un insieme di segmenti consecutivi che formano una linea chiusa chiamata poligonale. I segmenti sono chiamati lati e hanno come estremi due vertici consecutivi. I nomi dei poligoni dipendono dal numero di lati che li compongono (triangolo, tre lati; quadrilatero, quattro lati; pentagono, cinque lati e così via).

Figura 1

2 Quando un poligono è convesso? Dato un poligono, tracciamo i prolungamenti di tutti i suoi lati: se tali prolungamenti risultano tutti esterni al poligono stesso, il poligono è detto convesso (Fig. 2).

Figura 2

3 Quando un poligono è concavo? Dato un poligono, tracciamo i prolungamenti di tutti i suoi lati: se tali prolungamenti risultano non tutti esterni al poligono stesso, il poligono è detto concavo (Fig. 3).

Figura 3

Geometria

Unità 7

TEORIA

Triangoli

4 Qual è la somma degli angoli interni di un poligono? La somma degli angoli interni di un poligono è data dalla somma di tanti angoli piatti quanti sono i lati del poligono, meno due. Per esempio, la somma degli angoli interni di un quadrilatero è uguale alla somma di 2 angoli piatti (cioè 4 lati – 2); la somma degli angoli interni di un ottagono, invece, è di 6 angoli piatti (8 lati – 2).

5 Com’è definito un poligono regolare? Un poligono si dice regolare quando ha fra loro tutti uguali i suoi lati e i suoi angoli. Esempi di poligoni regolari sono: il triangolo equilatero, il quadrato, il pentagono regolare.

6 Che cosa sono il perimetro e l’area di un poligono? Il perimetro 2p di un poligono è la misura della somma delle lunghezze dei suoi lati. La metà del perimetro si indica con p e si chiama semiperimetro. L’area A è la misura della superficie del piano racchiuso dalla poligonale.

7 Che cos’è la diagonale di un poligono? La diagonale di un poligono è un segmento (AD) che unisce una qualsiasi coppia di vertici non consecutivi (Fig. 4). E D

C B

Figura 4

8 Come si classificano i triangoli rispetto ai lati? Un triangolo con i tre lati di lunghezza diversa è chiamato scaleno (Fig. 5a), con due lati uguali è chiamato isoscele (Fig. 5b), con tre lati uguali è chiamato equilatero (Fig. 5c).

Figura 5

9 Come si classificano i triangoli rispetto agli angoli? Un triangolo con i tre angoli interni acuti è chiamato acutangolo (Fig. 6a), con un angolo interno ottuso è chiamato ottusangolo (Fig. 6b), con un angolo interno retto è chiamato rettangolo (Fig. 6c).

Geometria

TEORIA

Triangoli

Unità 7

Figura 6

10 Come sono chiamati i lati di un triangolo rettangolo? I lati dell’angolo retto di un triangolo rettangolo sono chiamati cateti, mentre il lato opposto all’angolo retto è chiamato ipotenusa.

11 Qual è la somma degli angoli interni di un triangolo? La somma delle ampiezze degli angoli interni di un qualsiasi triangolo è di 180°.

12 Che cosa sono l’altezza e l’ortocentro di un triangolo? L’altezza è il segmento che congiunge un vertice con un punto del lato opposto, tale che la retta a cui esso appartiene sia perpendicolare al lato (Fig. 7a); l’ortocentro è il punto di incontro delle tre altezze (Fig. 7b). L’ortocentro può essere un punto esterno al triangolo. C

C h a

Figura 7

h A

13 Che cosa sono la mediana e il baricentro di un triangolo? La mediana è il segmento che congiunge un vertice con il punto medio del lato opposto (Fig. 8a); il baricentro è il punto d’incontro delle tre mediane (Fig. 8b). Il baricentro può essere solo un punto interno al triangolo. C

Figura 8

14 Che cosa sono la bisettrice e l’incentro di un triangolo? La bisettrice taglia l’angolo di un triangolo a metà (Fig. 9a); l’incentro è il punto d’incontro delle tre bisettrici (Fig. 9b). L’incentro può essere solo un punto interno al triangolo.

Geometria

TEORIA

Unità 7

Triangoli

Figura 9

15 Che cosa sono l’asse e il circocentro di un triangolo? L’asse rispetto a un lato è la retta incidente perpendicolare al lato e passante per il punto medio (Fig. 10a); il circocentro è punto di incontro dei tre assi (Fig. 10b). Il circocentro può essere un punto esterno al triangolo. C

C a

Figura 10

16 Quali sono i criteri di congruenza dei triangoli? 1° criterio: due triangoli sono fra loro congruenti se hanno congruenti due lati e l’angolo compreso tra essi (Fig. 11). C

Figura 11

2° criterio: due triangoli sono fra loro congruenti se hanno congruenti un lato e i due angoli ad esso adiacenti (Fig. 12). C

Figura 12

3° criterio: due triangoli sono fra loro congruenti se hanno congruenti tutti i lati (Fig. 13). C

Figura 13

Geometria

ESERCIZI

Unità 7 1 Quale delle seguenti figure rappresenta una poligonale?

………………............................................

2 Quale delle seguenti figure rappresenta un poligono?

………………............................................

3 Indica qual è il poligono concavo.

………………............................................

4 Come si chiama il segmento che unisce due vertici non consecutivi di un poligono? a) perimetro b) lato c) angolo d) diagonale

5 Indica quali sono le diagonali nel seguente poligono. a) DH b) EH c) AC d) EC

D C

Geometria

Unità 7

ESERCIZI

Triangoli

6 Indicando con S la somma degli angoli interni di un poligono e con n il numero dei suoi lati, individua la regola per calcolare tale somma. a) S = 90° · (n – 2) b) S = 180° · (n – 2) c) S = 180° · (n + 2) d) S = 180° + (n – 2)

7 Calcola la somma degli angoli interni di un poligono di 7 lati. ………………...........................................………………............................................……………...................................................................

8 Individua la frase corretta. a) Un poligono regolare ha solo gli angoli uguali. b) Un poligono regolare ha solo i lati uguali. c) Un poligono regolare ha i lati e gli angoli uguali. d) Un poligono regolare non ha gli angoli uguali.

9 In un triangolo un lato misura 12 cm, il secondo è il doppio del primo e il terzo misura 6 cm in più del secondo. Calcola il perimetro del triangolo. ………………...........................................………………............................................……………................................................................... ………………...........................................………………............................................……………................................................................... ………………...........................................………………............................................……………...................................................................

10 Calcola il perimetro di un triangolo equilatero sapendo che il lato misura 12,5 cm. ………………...........................................………………............................................……………................................................................... ………………...........................................………………............................................……………................................................................... ………………...........................................………………............................................……………...................................................................

Geometria

Triangoli

ESERCIZI

Unità 7

11 In un triangolo scaleno, un lato è il triplo del secondo lato e il terzo misura 20 cm. Sapendo che il perimetro misura 68 cm, calcola la misura di tutti i lati. ………………...........................................………………............................................…………….................................................................... ………………...........................................………………............................................…………….................................................................... ………………...........................................………………............................................……………....................................................................

12 In un triangolo isoscele, la base supera i lati obliqui di 3,5 cm. Sapendo che il perimetro misura 87,5 cm, calcola la misura di ciascun lato. ………………...........................................………………............................................…………….................................................................... ………………...........................................………………............................................…………….................................................................... ………………...........................................………………............................................……………....................................................................

13 Calcola l’ampiezza di ciascun angolo di un triangolo rettangolo sapendo che uno degli angoli acuti è il doppio dell’altro. ………………...........................................………………............................................…………….................................................................... ………………...........................................………………............................................…………….................................................................... ………………...........................................………………............................................……………....................................................................

14 L’angolo al vertice di un triangolo isoscele misura 36°. Calcola la misura di ciascun angolo alla base. ………………...........................................………………............................................…………….................................................................... ………………...........................................………………............................................…………….................................................................... ………………...........................................………………............................................……………....................................................................

Geometria

Unità 7

ESERCIZI

Triangoli

15 Come si chiama il punto d’incontro delle tre altezze di un triangolo? a) baricentro b) circocentro c) incentro d) ortocentro

16 Disegna un triangolo equilatero e il suo baricentro.

17 Disegna un triangolo scaleno e il suo ortocentro.

18 In un triangolo l’incentro è il punto di incontro: a) delle bisettrici b) delle altezze c) delle mediane d) degli assi

Geometria

Unità 7

TEST Stile invalsi

1 Individua la frase corretta. a) In un poligono il numero degli angoli è il doppio del numero dei lati. b) In un poligono il numero degli angoli è la metà del numero dei lati. c) In un poligono il numero degli angoli è uguale al numero dei lati. d) In un poligono il numero degli angoli non dipende dal numero dei lati.

2 I segmenti che costituiscono la poligonale si chiamano: a) vertici b) lati c) angoli d) diagonali

3 Individua la frase corretta. a) Un poligono è una parte di piano delimitata da una poligonale. b) Un poligono è una parte di piano delimitata da un insieme di segmenti adiacenti. c) Un poligono è un insieme di segmenti consecutivi che formano una linea aperta. d) Una poligonale è una linea aperta formata da segmenti consecutivi.

4 Se un poligono ha 12 lati, allora la somma dei suoi angoli interni è: a) 180° – 2 b) 180° · 10 c) 180° · 12 d) 360°

5 In un pentagono regolare, l’ampiezza di ciascun angolo interno misura: a) 180° b) 188° c) 118° d) 108°

6 In un triangolo isoscele, se indichiamo con b la misura della base e con l la misura dei lati, qual è la formula corretta per calcolare il perimetro? a) 2b + l b) b + l c) b + 2l d) 2b + 2l

Geometria

Unità 7

TEST Stile invalsi

Triangoli

7 Individua le frasi corrette. a) I lati di un triangolo equilatero sono tutti congruenti. b) Ogni lato di un triangolo equilatero è la metà del perimetro. c) Un triangolo equilatero non può essere anche rettangolo. d) Gli angoli di un triangolo equilatero sono tutti di 60°.

8 Se la differenza tra gli angoli acuti di un triangolo rettangolo è di 24°, quanto misura la loro ampiezza? a) 90°; 24° b) 66°; 24° c) 33°; 57° d) 60°; 30°

9 In un triangolo isoscele, indichiamo con l’ampiezza di ciascun angolo alla base. Individua la formula per calcolare l’ampiezza dell’angolo al vertice. a) 180 –

b) 180 – : 2

c) 180 – 2

d) 180 + 2

Geometria

Unità 8

Quadrilateri

Figura 1

2 Che cosa sono il perimetro e l’area di un poligono? Il perimetro 2p di un poligono è la misura della somma delle lunghezze dei suoi lati. La metà del perimetro si indica con p e si chiama semiperimetro. L’area A è la misura della superficie del piano racchiuso dalla poligonale.

3 Che cos’è la diagonale di un poligono? La diagonale di un poligono è un segmento (AD) che unisce una qualsiasi coppia di vertici non consecutivi (Fig. 2). E D

A Figura 2

C B

4 Che cos’è la diagonale di un quadrilatero? La diagonale di un quadrilatero è il segmento che unisce i vertici dei due angoli opposti; un quadrilatero ha sempre due diagonali che s’incrociano in un punto interno alla figura piana (Fig. 3).

Geometria

Unità 8

TEORIA

Quadrilateri

A C B

Figura 3

5 Quando un quadrilatero è considerato un trapezio? Un trapezio è un quadrilatero con due lati opposti paralleli (Fig. 4). Un trapezio è isoscele quando i due lati non paralleli e le diagonali sono fra loro uguali (Fig. 4b), è rettangolo quando due suoi angoli sono retti (Fig. 4c).

N H

A Figura 4

6 Quando un quadrilatero è considerato un parallelogramma? Un parallelogramma è un quadrilatero con i lati opposti paralleli e uguali, gli angoli opposti uguali, e le diagonali tra loro incidenti nel loro punto medio (Fig. 5). D

Figura 5

Geometria

TEORIA

Quadrilateri

Unità 8

7 Quando un quadrilatero è considerato un rombo? Un rombo è un parallelogramma con tutti i lati uguali e le diagonali perpendicolari nel loro punto medio (Fig. 6). D

Figura 6

8 Quando un quadrilatero è considerato un rettangolo? Un rettangolo è un parallelogramma con angoli e diagonali tra loro uguali (Fig. 7).

Figura 7

9 Quando un quadrilatero è considerato un quadrato? Un quadrato è un parallelogramma con lati, angoli e diagonali uguali tra loro (Fig. 8).

Figura 8

Geometria

ESERCIZI

Unità 8

1 Dopo aver osservato la figura, completa le frasi in modo opportuno scegliendo il termine corretto. C B D A a) ABCD è un ……................................…….............………(quadrilatero – pentagono) b) DB e AC sono ……................................……….....…… (altezze – diagonali) c) D̂ e B̂ sono angoli ……................................………..… (consecutivi – opposti) d) AB e BC sono lati ……................................…...……. (consecutivi – opposti)

2 Dopo aver osservato la figura, completa le frasi. C B D A a) Il vertice opposto ad A è …….................................................................. b) Le diagonali sono ……................................……………............................... c) Gli angoli consecutivi a D̂ sono ……................................……………. d) Il lato opposto a BC è ……................................…………….....................

Geometria

ESERCIZI

Quadrilateri

Unità 8

3 Disegna un trapezio isoscele e scrivi tutte le sue proprietà.

4 Disegna un parallelogramma e scrivi tutte le sue proprietà.

5 Disegna un rombo e scrivi tutte le sue proprietà.

Geometria

Unità 8

ESERCIZI

Quadrilateri

6 Disegna un rettangolo e scrivi tutte le sue proprietà.

7 Disegna un quadrato e scrivi tutte le sue proprietà.

8 Indica le frasi corrette. a) Un trapezio scaleno ha i lati opposti paralleli. b) Un trapezio scaleno ha due lati opposti paralleli. c) In un trapezio scaleno, gli angoli adiacenti ai lati obliqui sono supplementari. d) Un qualunque trapezio ha le diagonali congruenti.

9 Indica le frasi corrette. a) Un trapezio isoscele ha le diagonali congruenti. b) In un trapezio isoscele gli angoli adiacenti alle basi sono congruenti. c) Un trapezio isoscele ha i lati opposti paralleli. d) Un trapezio isoscele ha tutti i lati diversi.

Geometria

Quadrilateri

ESERCIZI

Unità 8

10 Indica le frasi corrette. a) Un trapezio rettangolo ha un solo angolo retto. b) Per il trapezio rettangolo non valgono le proprietà del trapezio scaleno. c) Un trapezio rettangolo ha due angoli retti. d) In un trapezio rettangolo le diagonali non sono congruenti.

11 Indica le frasi corrette. a) In un parallelogramma le diagonali sono congruenti. b) In un parallelogramma i lati opposti sono congruenti. c) Un parallelogramma ha solo due lati paralleli. d) In un parallelogramma gli angoli opposti sono congruenti.

12 Indica le frasi corrette. a) Il rombo è un parallelogramma. b) In un rombo le diagonali sono perpendicolari. c) In un rombo solo i lati opposti sono congruenti. d) In un rombo gli angoli sono tutti congruenti.

13 Indica la frase errata. a) Un rettangolo ha i lati opposti paralleli e congruenti. b) In un rettangolo le diagonali sono perpendicolari. c) Un rettangolo ha tutti gli angoli congruenti. d) In un rettangolo le diagonali sono congruenti.

14 Indica la frase errata. a) Il quadrato ha tutti gli angoli congruenti. b) Un quadrato ha tutti i lati congruenti. c) Un quadrato ha le diagonali perpendicolari. d) Il quadrato non è un parallelogramma.

15 Un quadrilatero ha tre lati congruenti e il quarto lato è il doppio di ciascuno dei precedenti. Sapendo che il suo perimetro misura 175 cm, calcola la lunghezza di ciascun lato. ......................................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................................

16 Un rombo ha il lato che misura 12 cm. Quanto misura il suo perimetro? ......................................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................................

Geometria

Unità 8

ESERCIZI

Quadrilateri

17 Il perimetro di un quadrato misura 224 cm. Calcola la misura del suo lato. ......................................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................................

18 Il perimetro di un rettangolo misura 124 cm e la base 37 cm. Quanto misura l’altezza? ......................................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................................

19 In un rombo un angolo misura 70°. Quanto misurano gli altri angoli? ......................................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................................

20 In un trapezio rettangolo un angolo misura 40°. Quanto misurano gli altri angoli? ......................................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................................

21 Il perimetro di un parallelogramma misura 126 cm e un lato è il doppio dell’altro. Quanto misura ciascun lato? ......................................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................................

Geometria

ESERCIZI

Quadrilateri

Unità 8

22 Osservando attentamente il rettangolo ABCD in figura, calcola l’ampiezza dell’angolo CÂ B sapendo che l’angolo AÔ D misura 64°. ..................................................................................................... .....................................................................................................

.....................................................................................................

23 In un rettangolo, la base supera l’altezza di 6 cm e la loro somma è 42 cm. Calcola la misura delle dimensioni del rettangolo. ......................................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................................

24 In un rettangolo, la base è il triplo dell’altezza e la loro somma misura 48 cm. Calcola la misura delle dimensioni del rettangolo. ......................................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................................

25 In un trapezio isoscele, il lato obliquo misura 20 cm e il perimetro 1 m. Se la base maggiore è tripla della minore, quanto misureranno le basi? ......................................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................................

26 In un rombo ABCD, la diagonale BD misura 52 cm e l’angolo Â misura 60°. Calcola il perimetro del rombo. ......................................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................................

Geometria

TEST Stile invalsi

Unità 8

1 Vero o falso? V V V V

a) In un parallelogramma le diagonali si dimezzano scambievolmente. b) Ogni parallelogramma è un rettangolo. c) In un rombo le diagonali sono congruenti. d) In un quadrato le diagonali sono perpendicolari.

F F F F

2 Se un quadrilatero ha le diagonali perpendicolari, può essere: a) un quadrato b) un rettangolo c) un rombo d) un trapezio isoscele

3 Quanti triangoli ci sono nel rettangolo in figura?

a) 4 b) 8 c) 10 d) 5

C O

4 Dopo aver osservato la figura, individua il termine che non possiamo usare per descriverla. a) Quadrilatero b) Quadrato c) Parallelogramma d) Rombo

5 Dopo aver osservato la figura, individua il termine che possiamo usare per descriverla. a) Trapezio scaleno b) Trapezio rettangolo c) Parallelogramma d) Quadrilatero

Geometria

TEST Stile invalsi

Quadrilateri

Unità 8

6 Individua la formula corretta per calcolare il perimetro del quadrilatero in figura. a) n + n + 3n + 5n b) n + 3n + 2 · (5n) c) n + 2n + 3n + 5n d) n + 3n + n + 5n

CD = n AD = 3CD AB = BC = 5CD B

7 Un quadro rettangolare le cui dimensioni sono 20 cm e 26 cm è inserito in una cornice dal bordo di 4 cm. Qual è il perimetro esterno della cornice? a) 46 cm b) 92 cm c) 124 cm d) 108 cm

Appendice

QUESITI INVALSI DI RIEPILOGO

1 Anna deve spedire due pacchi alle sue cugine che abitano a Bari. All’ufficio postale le danno le informazioni riportate nella seguente tabella. Peso

Costo per un pacco

Fino a 400 g

3,00 euro

Da 401 g a 500 g

3,25 euro

Da 501 g a 600 g

3,50 euro

…

Le dicono, inoltre, che il prezzo aumenta nello stesso modo fino a 4000 g, al di sopra dei quali il costo di spedizione per un pacco è di 13,00 euro. a) Il primo pacco che Anna deve spedire pesa 850 grammi. Quanti euro spende per spedirlo? ....................................................................................................................................................................................................................................

b) Per spedire il secondo pacco Anna spende 6 euro. Qual è il peso del pacco? A. 1000 grammi B. 1550 grammi C. 1650 grammi D. 2350 grammi Giustifica le risposte. .................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................................................

Suggerimento Come primo passo completa la tabella.

APPENDICE

Quesiti Invalsi di riepilogo

2 Osserva la seguente tabella. 144 Dividendo

36 Divisore

4 Quoziente

a) Cosa accade al quoziente se divido sia il dividendo sia il divisore per 2? A. Il quoziente viene diviso per 2. B. Il quoziente viene moltiplicato per due. C. Il quoziente viene diviso per 4. D. Il quoziente non cambia. b) Moltiplica il divisore per 2. Qual è il quoziente? ....................................................................................................................................................................................................................................

3 A ogni compleanno, la nonna regala a Mario una somma di denaro in euro uguale a 5 volte l’età che compie. Quest’anno, oltre al solito regalo, la nonna dà a Mario 10 euro in più. Se N è il numero di anni che Mario compie quest’anno, quale delle seguenti formule esprime la somma ricevuta da Mario? A. 10N + 5 B. 5N + 10 C. N + 10 D. N + 15

4 Elisa ha trovato lavoro in una città distante 50 km dal paese dove abita. Deve decidere tra due soluzioni. Soluzione 1: trasferirsi nella città dove lavora pagando un affitto di 200 euro al mese. Soluzione 2: andare e tornare ogni giorno in auto per 22 giorni al mese. L’automobile di Elisa fa 10 chilometri con 1 euro di benzina. Quale delle due soluzioni le fa spendere di meno? ....................................................................................................................................................................................................................................

Giustifica la risposta. .................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................................................

APPENDICE

Quesiti Invalsi di riepilogo

5 Osserva il seguente orario ferroviario del treno ad alta velocità. Nell’intestazione delle colonne è riportato il numero del treno (ad esempio AV9402). Peso

AV9400

AV9402

AV9404

AV9406

AV9408

06.45

07.45

08.45

09.45

10.45

Roma Termini Firenze S. M. Novella

–

F 09.20

F 10.20

F 11.20

F 12.20

Firenze S. M. Novella

–

R 09.30

R 10.30

R 11.30

R 12.30

Bologna Centrale

–

E 10.07

E 11.07

E 12.07

E 13.07

Bologna Centrale

–

C 10.10

C 11.10

C 12.10

C 13.10

Ferrara

C 10.33

Rovigo

11.45

Padova

A 09.51

A 11.07

A 12.07

A 13.07

A 14.07

Venezia Mestre

R 10.05

R 11.21

R 12.21

R 13.21

R 14.21

Venezia S. Lucia

G 10.17

G 11.33

G 12.33

G 13.33

G 14.33

a) Quale treno non ferma a Bologna Centrale? ....................................................................................................................................................................................................................................

b) A che ora parte da Roma Termini il treno numero AV9408? ....................................................................................................................................................................................................................................

c) Elena parte da Roma con il treno numero AV 9404 delle 8.45 e scende a Bologna Centrale. Il suo amico Dario ha prenotato un posto vicino a lei sullo stesso treno; sale però a Firenze S.M. Novella e scende a Venezia Mestre. Il treno viaggia in perfetto orario. Quanto tempo Dario ed Elena passano insieme a bordo del treno? A. Circa 3 ore e 30 minuti. B. Circa 2 ore e 20 minuti. C. Circa 2 ore. D. Circa 40 minuti.

APPENDICE

Quesiti Invalsi di riepilogo

6 In un test di matematica vengono dati 3 punti per ogni risposta corretta e tolti 2 punti per ogni risposta sbagliata o non data. Le domande del test sono 12 in tutto. a) Qual è il punteggio massimo che si può ottenere? ....................................................................................................................................................................................................................................

b) Se Bianca risponde correttamente a 7 domande, e sbaglia tutte le altre, che punteggio ottiene? A. 5 B. 11 C. 14 D. 21

suggerimento Ognuna delle 7 risposte corrette vale 3 punti mentre ognuna delle 5 risposte sbagliate toglie 2 punti.

7 Inserisci una sola coppia di parentesi nella seguente espressione 2 + 3 · 7 – 52 =

in modo che il risultato sia 10. ....................................................................................................................................................................................................................................

8 Marco vuole preparare una torta al cioccolato per il suo compleanno. La ricetta dice che occorrono 600 g di cioccolato. Al supermercato vendono tavolette di cioccolato da 250 g l’una. a) Qual è il numero minimo di tavolette di cioccolato che Marco deve comprare? ....................................................................................................................................................................................................................................

b) Ogni tavoletta è formata da 10 quadrati di cioccolato. Quanti quadretti di cioccolato servono a Marco per preparare la torta? ....................................................................................................................................................................................................................................

Giustifica le risposte. .................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................................................

100

APPENDICE

Quesiti Invalsi di riepilogo

9 Data l’espressione (35 + a) · 2 =

se si sostituisce a con un numero naturale, il risultato è: A. sempre un multiplo di a B. sempre un multiplo di 35 C. sempre un numero dispari D. sempre un numero pari

10 La lunghezza dell’ombra di un albero varia durante il giorno a seconda dell’altezza del sole sull’orizzonte.

Quanto deve misurare l’angolo ombra diventino uguali?

α affinché l’altezza dell’albero e la lunghezza della sua

suggerimento Ricorda che la somma degli angoli interni di qualsiasi triangolo è un angolo piatto.

101

APPENDICE

Quesiti Invalsi di riepilogo

11 Disegna, nel triangolo in figura, l’altezza CH relativa al lato AB. C

suggerimento Ricorda che cos’è l’altezza relativa e il piede dell’altezza relativa.

12 Quale fra le seguenti rette non è asse di simmetria del triangolo equilatero? q

A. La retta m B. La retta n C. La retta p D. La retta q

102

APPENDICE

Quesiti Invalsi di riepilogo

13 L’insegnante chiede ai suoi alunni: un triangolo equilatero e un quadrato possono avere lo stesso perimetro? Chi dei seguenti alunni afferma il vero? A. Anna: no, perché il triangolo ha tre lati e il quadrato ne ha quattro. B. Luigi: no, perché un quadrato è sempre più grande di un triangolo. C. Ugo: sì, perché i lati del triangolo sono più lunghi di quelli del quadrato. D. Fabiana: sì, perché il lato del triangolo è uguale a quello del quadrato.

14 Angelo, Marco, Piero e Samuel partecipano a una corsa campestre. Angelo taglia il traguardo alle 15:30, Samuel arriva 10 minuti prima di Angelo, Piero arriva 7 minuti dopo Samuel, Marco arriva 2 minuti dopo Piero. a) Chi vince? A. Angelo B. Marco C. Piero D. Samuel b) A che ora taglia il traguardo Samuel? ....................................................................................................................................................................................................................................

c) Quanti minuti di distacco ci sono tra Piero e Angelo? ....................................................................................................................................................................................................................................

d) Chi arriva ultimo? A. Angelo B. Marco C. Piero D. Samuel

103

Quesiti Invalsi di riepilogo

APPENDICE

15 Nel disegno è rappresentata una bilancia in equilibrio. Su un piatto ci sono 6 palline, tutte dello stesso peso, e 2 cubetti, anch’essi di peso uguale fra loro. Sull’altro piatto ci sono 2 palline e 10 cubetti.

Se su un piatto della bilancia si aggiunge una pallina e sull’altro un cubetto, la bilancia rimane in equilibrio? ....................................................................................................................................................................................................................................

104

APPENDICE

Quesiti Invalsi di riepilogo

16 A una conferenza sono presenti 60 persone. Gli uomini sono 12 più delle donne. Quante sono le donne? A. 18 B. 24 C. 42 D. 48 Giustifica la risposta. .................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................................................

suggerimento Dal dato totale togli la differenza in modo tale che numero di uomini e donne diventi uguale; procedi con la divisione a metà per trovare il numero delle donne.

Temperatura (°C)

17 Il grafico rappresenta le temperature massime e minime rilevate tutti i giorni, dal 7 al 18 gennaio 2012, dagli studenti di una scuola.

data

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

T massima T minima

a) Qual è la temperatura massima più alta che è stata registrata? ....................................................................................................................................................................................................................................

b) In che giorno si è registrata la temperatura minima più bassa? ....................................................................................................................................................................................................................................

c) Quali sono i giorni in cui la temperatura non è scesa sotto lo zero? ....................................................................................................................................................................................................................................

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Quesiti Invalsi di riepilogo

APPENDICE

18 Sergio sale sull’autobus e timbra il biglietto, che vale per 90 minuti, alle ore 9:04. Scende in centro per fare spese e ritorna alla fermata dell’autobus alle 9:58. Il tragitto fino a casa dura circa 10 minuti. Entro quanto tempo deve arrivare l’autobus perché Sergio possa utilizzare ancora lo stesso biglietto? A. cinque minuti B. un quarto d’ora C. 26 minuti D. 48 minuti

19 Giovanni ha nel suo portafoglio più euro di Anna, mentre Matteo ha meno euro di Giovanni. Quale delle seguenti affermazioni è vera? A. Anna ha più euro di Matteo. B. Matteo ha più euro di Anna. C. Giovanni è quello che ha più euro di tutti. D. Non si può sapere quale dei tre ha più euro.

Numero di articoli venduti

20 Il grafico in figura rappresenta gli articoli venduti da un’edicola nell’ultima settimana, ma i loro nomi sono scomparsi dal grafico. I quotidiani sono stati i più venduti, mentre i CD son stati i meno venduti; infine, sono stati venduti più settimanali che libri. 300 280 260 240 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0

In base alle informazioni fornite, quanti settimanali sono stati venduti? A. 80 B. 160 C. 240 D. 280

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APPENDICE

Quesiti Invalsi di riepilogo

1 21 Carla, Luca e Gianni comprano un sacchetto di caramelle. Carlo mangia delle caramel5 le, Luca i due decimi, Gianni il 20%. Chi ne mangia di più? A. Carla B. Luca C. Gianni D. Nessuno: tutti ne mangiano lo stesso numero

suggerimento Trasforma i tre dati in frazioni con lo stesso denominatore per confrontarli meglio.

22 Considera il seguente prodotto: 2 · 5 · 29 · 101

Quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false? Vero

Falso

a. Il risultato è un numero divisibile per 3. b. Il risultato è un numero divisibile per 58. c. Il risultato è un numero divisibile per 10. d. Il risultato è un numero divisibile per 6.

107

APPENDICE

Quesiti Invalsi di riepilogo

23 Nella seguente figura i punti A, O e B giacciono sulla stessa retta. La semiretta OM divide in due parti uguali l’angolo BOC, mentre la semiretta ON divide in due parti uguali l’angolo AOC.

50° O

Qual è la misura dell’angolo MOB? ....................................................................................................................................................................................................................................

24 A quale valore corrisponde il risultato della seguente operazione? 23 + 26 A. 512 B. 29 C. 72 D. 218

suggerimento Non dimenticare che le proprietà delle potenze si possono applicare solo con moltiplicazioni e divisioni.

108

APPENDICE

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25 Indica quale dei seguenti triangoli corrisponde a questa descrizione: ABC è un triangolo rettangolo con l’angolo retto in A; il cateto AB è minore del cateto AC; M è il punto medio dell’ipotenusa. A A M B M

B Triangolo 1

C Triangolo 2

B M

C Triangolo 3

A Triangolo 4

A. Triangolo 1 B. Triangolo 2 C. Triangolo 3 D. Triangolo 4

109

APPENDICE

Quesiti Invalsi di riepilogo

26 Piero ha 26 euro nel salvadanaio, mentre Dino ne ha 18. Ogni giorno Piero aggiunge un euro ai propri risparmi; Dino aggiunge due euro. Quanti euro avrà ciascuno di loro il giorno in cui saranno arrivati a mettere da parte la stessa somma? A. 8 euro B. 30 euro C. 34 euro D. 36 euro

27 Nel quadrato ABCD sono stati uniti i punti medi del lato AB e del segmento OB. A

B O

Con quanti triangoli come quello colorato in blu si riesce a ricoprire esattamente la superficie del quadrato ABCD? ....................................................................................................................................................................................................................................

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APPENDICE

Quesiti Invalsi di riepilogo

28 Completa la seguente figura in modo da ottenere un quadrato.

Spiega come hai tracciato il disegno. .................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................................................

29 Posiziona sulla retta i seguenti numeri: 2

2,5

3 2

5 10

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APPENDICE

Quesiti Invalsi di riepilogo

30 Osserva l’orologio in figura.

12 9

3 6

a) Qual è l’ampiezza dell’angolo che la lancetta dei minuti, girando, descrive in mezz’ora? ....................................................................................................................................................................................................................................

b) Che ora sarà quando la lancetta dei minuti avrà descritto un angolo di 90°? ....................................................................................................................................................................................................................................

31 Roberto pensa a un numero intero e lo triplica. Quale dei seguenti numeri non è il risultato dell’operazione? A. 150 B. 126 C. 75 D. 55 Giustifica la risposta. .................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................................................

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APPENDICE

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32 Quale delle seguenti operazioni ha come risultato un numero dispari, maggiore di mille e divisibile per tre? A. 1000 + 3 B. 1000 · 3 C. 3000 : 3 D. 3000 – 3

33 Un bastoncino viene prima diviso a metà, poi ognuna delle due metà viene divisa di nuovo a metà, e così via.

Prima suddivisione Seconda suddivisione …

Mostra l’operazione che permette di trovare il numero di pezzi dopo 10 suddivisioni. .................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................................................

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APPENDICE

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34 Un foglio di carta rettangolare viene piegato casualmente, prima lungo un lato e poi lungo l’altro. Aprendo il foglio, le piegature, rappresentate da segmenti tratteggiati, appaiono nella seguente figura.

Come sono tra loro le linee rette indicate dalle due piegature? A. Perpendicolari e non incidenti B. Incidenti e parallele C. Parallele e non incidenti D. Incidenti ma non perpendicolari

35 Quanto misura, all’incirca, il seguente angolo?

A. 5° B. 45° C. 90° D. 110°

36 Nicola si è addormentato alle ore 22:15. Alle ore 7:30 suona la sveglia. Quante ore ha dormito? A. 7 ore e 45 minuti B. 8 ore e 15 minuti C. 9 ore e 15 minuti D. 9 ore e 45 minuti

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APPENDICE

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37 Un triangolo isoscele ABC ha le seguenti misure: AB = 10 cm, AC = 13 cm, CH = 12 cm.

Qual è il suo perimetro? A. 34 cm B. 35 cm C. 36 cm D. 48 cm

38 A quale fra i seguenti numeri decimali corrisponde la frazione A. 10,4 B. 1,04 C. 0,4 D. 0,04

4 ? 10

39 Qual è l’unità di misura più appropriata per esprimere lo spessore di un foglio di cartoncino? A. metri B. decimetri C. centimetri D. millimetri

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APPENDICE

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40 Quale delle seguenti terne di numeri è formata da multipli di 4? A. 12, 26, 48 B. 20, 36, 92 C. 32, 44, 62 D. 36, 52, 66

suggerimento Un numero è multiplo di 4 quando le ultime due cifre sono multiple di 4.

41 Nel trapezio isoscele ABCD, l’angolo acuto di vertice B misura 45°.

Quanto misura l’angolo di vertice C? A. 270° B. 135° C. 90° D. 45°

suggerimento Gli angoli adiacenti ai lati obliqui sono supplementari.

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APPENDICE

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42 Il grafico rappresenta le vendite degli autosaloni “Delta” e “Nova” nell’anno 2004, rilevate per trimestre.

n° auto

Auto vendute dalle concessionarie “Delta e “Nova” nel 2004 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

Delta Nova

I trimestre II trimestre III trimestre IV trimestre trimestri

Quale delle seguenti affermazioni è vera? A. Negli ultimi tre trimestri i due autosaloni hanno venduto complessivamente lo stesso numero di auto. B. Nei primi due trimestri la Nova ha venduto complessivamente meno auto della Delta. C. In ogni trimestre la Delta ha venduto più auto della Nova. D. La Nova ha venduto nell’anno 2004 più auto della Delta.

43 Quattro alunni devono eseguire la seguente operazione: 475 · 19

Ognuno ha svolto i calcoli in maniera diversa. Quale delle seguenti procedure non è corretta? A. 475 · 19 = (400 · 19) + (70 · 19) + (5 · 19) B. 475 · 19 = (400 · 20) – 1 C. 475 · 19 = (400 · 20) – 475 D. 475 · 19 = (475 · 10) – (475 · 9)

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Quesiti Invalsi di riepilogo

44 La mamma di Sara compra al supermercato: – un pacchetto di caffè a 2,95 euro; – un flacone di detersivo a 4,15 euro; – una confezione da 2 kg di patate a 1,99 euro; – un pollo arrosto a 8,95 euro; – una busta di carciofi surgelati a 4,65 euro; – una confezione di quattro bottiglie di acqua minerale a 1,54. Quanto spende in totale? A. Tra 10 e 20 euro B. Tra 20 e 30 euro C. Tra 30 e 40 euro D. Tra 40 e 50 euro

45 Quale delle seguenti uguaglianze corrisponde a 35 · 9? A. 30 · 10 – 5 · 9 B. 30 · 10 – 35 C. 30 · 9 + 35 D. 30 · 10 – 9

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APPENDICE

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46 Due amici, Piero e Andrea, stanno giocando a “indovina il numero che ho pensato”. Piero comunica di avere pensato un numero maggiore di zero e minore di cinquanta. Andrea può fare tre domande e ha le relative risposte. Andrea: “È maggiore o uguale a 25?” Piero: “Sì”. Andrea: “È multiplo di 3?” Piero: “No”. Andrea: “È divisibile per 5?” Piero: “Sì”. Quale dei seguenti insiemi rappresenta i possibili numeri pensati da Piero? A. {25; 30; 35; 40; 45} B. {30; 35; 40; 45; 50} C. {25; 35; 40} D. {40; 50; 55}

suggerimento Incomincia ad escludere gli insiemi con numeri minori di 25, con numeri divisibili per 3 e con numeri che non siano divisibili per 5.

47 Quale dei seguenti numeri corrisponde a A. 0,09 B. 0,9 C. 1,9 D. 90

9 ? 10

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APPENDICE

Quesiti Invalsi di riepilogo

48 Quale delle seguenti figure mostra che

3 1 = ? 9 3

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

49 Come sono i quattro angoli convessi formati dalle due rette t e u?

A. 2 acuti e 2 ottusi B. tutti ottusi C. tutti uguali tra loro D. tutti acuti

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APPENDICE

Quesiti Invalsi di riepilogo

50 Quale delle seguenti affermazioni è vera? A. Un triangolo ha sempre tre altezze. B. Un triangolo ha solo un’altezza. C. Il numero delle altezze dipende dal tipo di triangolo. D. Un triangolo non sempre ha l’altezza.

51 Tutti i triangoli in figura hanno la misura della base uguale e il vertice sulla retta t parallela alla retta s. t

Triangolo 1

Triangolo 2

Triangolo 3

Quale delle seguenti affermazioni è vera? A. Il triangolo 2 ha il perimetro maggiore di tutti gli altri. B. Tutti i triangoli hanno lo stesso perimetro. C. Il triangolo 3 ha il perimetro maggiore di tutti gli altri. D. Il triangolo 1 ha il perimetro maggiore di tutti gli altri.

121

APPENDICE

Quesiti Invalsi di riepilogo

52 In quale figura il segmento tratteggiato corrisponde all’altezza?

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

53 La figura è formata da 8 rombi uguali tra loro.

Qual è la misura di ogni angolo ottuso? A. 90° B. 100° C. 135° D. 150°

suggerimento Ricorda la differenza tra angolo acuto e angolo ottuso. Inoltre, ogni rombo ha gli angoli opposti uguali, due acuti e due ottusi. Infine, gli angoli che formano l’angolo giro al centro della figura sono 8.

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APPENDICE

Quesiti Invalsi di riepilogo

54 Il seguente grafico rappresenta la distribuzione nelle classi degli alunni di una scuola media. 32

Numero di alunni

28 24 20 16 12 8 4 0 IA

II A

III A

II B

III B

Classi

Osservando il grafico, quale delle seguenti affermazioni è vera? A. La classe più numerosa ha in totale 24 alunni. B. Gli alunni che non frequentano le classi prime sono in totale 92. C. Gli alunni della scuola sono in totale 136. D. Gli alunni delle seconde sono in totale 48.

55 Marco vuole costruire con dei fiammiferi interi un rettangolo che abbia base tripla dell’altezza; quanti fiammiferi interi sono necessari? A. 25 B. Un numero multiplo di 8 C. 36 D. 21

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APPENDICE

Quesiti Invalsi di riepilogo

56 Osserva attentamente le seguenti figure formate da 12 quadratini.

Quale delle seguenti affermazioni è vera? A. Hanno diversa area e diverso perimetro. B. Hanno stessa area e diverso perimetro. C. Hanno diversa area e stesso perimetro. D. Hanno stessa area e stesso perimetro.

57 Il grafico visualizza la quantità di biglie di diversi colori contenute in una scatola.

verdi viola

rosse blu

Se le biglie sono in totale 120, quante saranno le biglie rosse? A. 40 B. 30 C. 45 D. 60

124

APPENDICE

Quesiti Invalsi di riepilogo

58 Osserva le seguenti figure.

Quale delle seguenti affermazioni è falsa? A. Non tutti i quadrati sono bianchi. B. Qualche triangolo è nero. C. Almeno un cerchio è nero. D. Non tutti i cerchi sono bianchi

59 Alberto ha 27 figurine; Giovanni ne ha meno di Alberto ma più di Giorgio, che ne ha 19. Quale delle seguenti affermazioni è sicuramente falsa rispetto al numero di figurine di Giovanni? A. 25 figurine B. 22 figurine C. 20 figurine D. 18 figurine

suggerimento Il numero delle figurine di Giovanni non si può determinare con precisione ma si può stabilire in quale intervallo possiamo trovare la risposta.

60 Un gestore di telefonia mobile fa pagare 0,02 euro come scatto alla risposta e 0,01 euro per ogni secondo di telefonata. Se fai una telefonata di 36 secondi. Quanto spendi? A. 0,42 euro B. 0,40 euro C. 0,38 euro D. 0,36 euro

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APPENDICE

Olimpiadi di Matematica Il numero misterioso

Tra i 5 numeri elencati qui sotto, quello che ho scelto è pari; tutte le cifre che lo formano sono diverse fra loro; la cifra delle centinaia è doppia di quella delle unità; la cifra delle decine è maggiore della cifra delle centinaia. Che numero ho scelto? A) 1246 B) 3874 C) 4683 D) 4894 E) 8462

Il numero più grande Osserva la figura: sei numeri sono scritti in altrettanti box.

309

Accostando tutti i sei foglietti puoi formare dei numeri di dieci cifre, ad esempio 6841309572. Qual è il più piccolo?

Il giorno del mio compleanno Un giorno dopo il mio compleanno, quest’anno, sarebbe stato corretto dire “Dopo domani sarà un giovedì”. In che giorno della settimana ho compiuto gli anni quest’anno?

Il naso di Pinocchio Il naso di Pinocchio è lungo 5 centimetri. Quando Pinocchio dice una bugia la Fata dai capelli turchini glielo fa allungare di 3 centimetri, ma quando Pinocchio dà una risposta sincera la Fata glielo fa accorciare di 2 centimetri. Alla fine della giornata Pinocchio ha il naso lungo 20 centimetri e ha detto 7 bugie. Quante risposte sincere ha dato Pinocchio alla Fata nel corso della giornata? Spiegate come avete fatto a trovare la risposta.

126

APPENDICE

Olimpiadi di Matematica

Che belle colonne!

12 4

6 1

Scrivete un numero in ogni casella rispettando le seguenti consegne: - Utilizzate soltanto i numeri 1, 2, 3, 4, 5 ma tutte le volte che volete. - In ogni riga, tutti i numeri sono diversi. - In ogni colonna, tutti i numeri sono diversi. - In ciascuna colonna il numero scritto nel triangolo è la somma degli altri tre numeri. Completate le colonne e spiegate il vostro ragionamento.

L’età dei nonni - Dimmi, Camilla, quanti anni hanno i tuoi nonni? - Posso dirti che se addiziono le loro età, trovo 132. - Dammi ancora una informazione in più. - Mio nonno ha 6 anni in più di mia nonna. - E vivono insieme da molto tempo? - Si sono sposati esattamente 42 anni fa. Quanti anni avevano i nonni di Camilla il giorno del loro matrimonio?

La famiglia di Pietro Pietro ha esattamente un fratello e sua sorella Caterina ha tanti fratelli quante sorelle. Quanti sono i figli (maschi e femmine) nella famiglia di Pietro?

Il drago rosso e il drago verde Se il drago rosso avesse 6 teste in più del drago verde, essi avrebbero in totale 34 teste. Ma il drago rosso ha 6 teste meno del drago verde. Quante teste ha il drago rosso?

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Olimpiadi di Matematica

APPENDICE

Il numero di partenza Ho in mente un numero: sottraggo da esso 203, quindi aggiungo al risultato 2003 ottenendo così 20003. Da quale numero sono partito?

Il prezzo dei palloni Simonetta vuole acquistare dei palloni da basket, tutti uguali fra loro. Se comprasse cinque palloni, le rimarrebbero 10 euro nel portafoglio. Se ne comprasse sette, dovrebbe chiedere un prestito di 22 euro. Quanti euro costa un pallone da basket?

Nel paese di Piovepoco Nel paese PIOVEPOCO manca l’acqua. Due amiche, Laura e Paola, vanno a prendere l’acqua con un secchio alla fontana ACQUACHIARA. I loro due secchi insieme contengono 26 litri. Con l’acqua contenuta nel secchio di Laura si può riempire per tre volte il secchio di Paola e restano ancora 2 litri d’acqua nel secchio di Laura. Quanti litri contiene il secchio di Paola? E quello di Laura?

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