Numeri naturali
TEORIA
1 Che cosa contiene e come si rappresenta l’insieme dei numeri naturali?
L’insieme dei numeri naturali contiene in niti numeri composti dalle dieci cifre del sistema numerico decimale (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). L’insieme si rappresenta gra camente con una semiretta (Fig. 1).
2 Come si esegue il confronto tra numeri naturali?
Consideriamo una generica coppia di numeri naturali a e b e la semiretta di Figura 1.
Il numero a è maggiore di b, cioè a > b, se a è posizionato alla destra di b (a segue b).
Il numero a è minore di b, cioè a < b, se a è posizionato alla sinistra di b (a precede b).
Il numero a è uguale a b, cioè a = b, se a coincide con b.
Il numero a è diverso da b, cioè a ≠ b, se a è posizionato in un punto diverso da quello di b.
3 Che cos’è un’operazione e quando è interna a un insieme numerico?
Un’operazione “O” è una qualsiasi elaborazione tra numeri di un insieme numerico che produce un unico numero chiamato risultato.
Se l’operazione “O” produce come risultato un numero che appartiene all’insieme numerico si dice che l’operazione è interna all’insieme.
ESEMPIO
L’addizione tra due numeri naturali è un’operazione interna all’insieme dei numeri naturali. Infatti qualsiasi somma è ancora un numero naturale (invitiamo a verificare).
4 In che cosa consiste l’operazione di addizione tra numeri naturali?
L’addizione è l’operazione mediante la quale, dati due o più numeri naturali chiamati addendi, si calcola un terzo numero naturale chiamato somma, contando di seguito al primo addendo tante unità quante sono le unità del secondo addendo e così via.
Il simbolo dell’addizione è + (si legge “più”).
Nell’addizione a + b = c i termini a e b sono gli addendi, c è la somma.
4
STEP
1
Aritmetica
0 1 2 3 4 5 6 7 u
Figura
1
5 Quali sono le proprietà dell’addizione?
L’addizione è commutativa: la somma non cambia se si commuta l’ordine degli addendi; per esempio a + b = b + a
ESEMPIO
2 + 8 = 8 + 2
L’addizione è associativa: la somma non cambia se si sostituiscono due o più addendi con la loro somma; per esempio a + b + c = a + d sostituendo b + c = d .
ESEMPIO
2 + 8 + 6 = 10 + 6
sostituendo gli addendi 2 e 8 con la loro somma 10.
L’addizione è dissociativa : la somma non cambia se un addendo è dissociato in addendi la cui somma è uguale all’addendo dissociato; per esempio a + b = a + c + d sostituendo b = c + d .
ESEMPIO
22 + 35 = 22 + 30 + 5 dove l’addendo 35 è dissociato negli addendi 30 e 5 con somma 35.
6 Qual è l’elemento neutro dell’addizione?
L’elemento neutro dell’addizione è il numero naturale 0; infatti a + 0 = 0 + a = a .
7 In che cosa consiste l’operazione di sottrazione tra numeri naturali?
La sottrazione è l’operazione mediante la quale, dati due numeri naturali, si calcola un terzo numero naturale chiamato differenza, che addizionato al numero minore dei due, chiamato sottraendo, dà il maggiore, chiamato minuendo.
Il simbolo della sottrazione è – (si legge “meno”).
Nella sottrazione a − b = c, il termine a è il minuendo, il termine b è il sottraendo e c è la differenza.
8 Quali sono le proprietà della sottrazione?
La sottrazione è invariantiva : la differenza tra due numeri non cambia se a entrambi si addiziona o si sottrae uno stesso numero, cioè a − b = ( a + c ) − ( b + c ) oppure a − b = ( a − c ) − ( b − c ).
ESEMPIO
56 – 34 = (56 + 6) – (34 + 6) dove l’addizione al minuendo 56 e al sottraendo 34 del medesimo addendo 6 non cambia la differenza di 22.
5 Aritmetica 1 STEP Numeri naturali TEORIA
9 In che cosa consiste l’operazione di moltiplicazione tra numeri naturali?
La moltiplicazione è l’operazione mediante la quale, dati due numeri naturali chiamati fattori, si calcola un terzo numero naturale chiamato prodotto, ottenuto addizionando tanti addendi uguali al primo fattore quanti ne indica il secondo fattore.
Il simbolo della moltiplicazione è · (si legge “per”).
Nella moltiplicazione a · b = c i termini a e b sono i fattori e il termine c è il prodotto.
10 Quali sono le proprietà della moltiplicazione?
La moltiplicazione è commutativa: il prodotto non cambia se si commuta l’ordine dei fattori;
per esempio a · b = b · a.
ESEMPIO
2 · 8 = 8 · 2
dove entrambe le moltiplicazioni danno il medesimo prodotto di 16.
La moltiplicazione è associativa: il prodotto non cambia se si sostituiscono due o più fattori con il loro prodotto; per esempio a · b · c = a · d sostituendo b · c = d.
ESEMPIO
3 · 2 · 5 = 3 · 10
dove i fattori 2 e 5 sono sostituiti dal loro prodotto 10.
La moltiplicazione è dissociativa: il prodotto non cambia se un fattore è sostituito con fattori il cui prodotto è uguale al fattore sostituito; per esempio a · b = a · c · d sostituendo b = c · d.
ESEMPIO
2 · 30 = 2 · 10 · 3
dove il fattore 30 è dissociato nei fattori 10 e 3, il cui prodotto è 30.
La moltiplicazione è distributiva. La moltiplicazione di un numero per un’addizione è uguale alla somma delle moltiplicazioni con fattori il numero e ogni singolo addendo; per esempio a · (b + c) = (a · b) + (a · c). La moltiplicazione di un numero per una sottrazione è uguale alla differenza delle moltiplicazioni con fattori il numero e il minuendo, e il numero e il sottraendo; per esempio a · (b − c) = (a · b) − (a · c).
ESEMPIO
4 · (10 + 2) = (4 · 10) + (4 · 2)
dove la distribuzione del fattore 4 per gli addendi 10 e 2 non comporta variazione del risultato dell’operazione composta da una moltiplicazione e un’addizione.
11 Qual è l’elemento neutro della moltiplicazione?
L’elemento neutro della moltiplicazione è il numero naturale 1, infatti a · 1 = 1 · a = a.
6 Aritmetica 1 STEP Numeri naturali TEORIA
12 In che cosa consiste l’operazione di divisione tra due numeri naturali?
La divisione è l’operazione mediante la quale, dati due numeri naturali chiamati dividendo e divisore, si calcola un terzo numero naturale chiamato quoziente, che moltiplicato per il divisore dà come risultato il dividendo.
Il simbolo della divisione è : (si legge “diviso”).
Nella divisione a : b = c il termine a è il dividendo, il termine b è il divisore, il termine c è il quoziente.
13 Che cosa comporta se dividendo e/o divisore assumono valore 0?
La divisione a : 0 è priva di signi cato (o impossibile).
La divisione 0 : 0 ha quoziente indeterminato (un qualsiasi numero può essere moltiplicato per 0 e dare come prodotto 0).
La divisione 0 : a ha per quoziente il numero naturale 0.
14 Che cosa comporta se dividendo e divisore sono lo stesso numero?
La divisione a : a ha per quoziente il numero naturale 1.
15 Quali sono le proprietà della divisione?
La divisione è invariantiva: il quoziente non cambia se il dividendo e il divisore si dividono o si moltiplicano per un medesimo numero, cioè a : b = (a : c) : (b : c) oppure a : b = (a · c) : (b · c).
ESEMPIO
20 : 4 = (20 : 2) : (4 : 2)
dove, dividendo per 2 sia il dividendo 20 che il divisore 4, il quoziente 5 non cambia.
La divisione è distributiva . La divisione di un’addizione per un numero è uguale alla somma delle divisioni che hanno come dividendo il singolo addendo e come divisore il numero; per esempio (a + b ) : c = ( a : c ) + ( b : c ). La divisione di una sottrazione per un numero è uguale alla differenza delle divisioni che hanno come dividendo il minuendo e il sottraendo, e come divisore il numero; cioè ( a − b ) : c = ( a : c ) − ( b : c ).
ESEMPIO
(30 + 8) : 2 = (30 : 2) + (8 : 2)
dove la distribuzione del divisore 2 per gli addendi 30 e 8 non comporta variazione del risultato dell’operazione.
16 Che cos’è un’espressione aritmetica?
Un’espressione aritmetica è un insieme di due o più numeri separati da simboli di operazione ed eventualmente racchiusi tra parentesi.
Le parentesi possono essere graffe, quadre o tonde e sono sempre in coppia (se si apre una parentesi, poi bisogna chiuderla).
La risoluzione di un’espressione aritmetica consiste nello svolgere tutte le operazioni indicate secondo un ordine prestabilito e nell’ottenere un unico numero chiamato risultato dell’espressione.
7 Aritmetica 1 STEP Numeri naturali TEORIA
17 Come si risolve un’espressione aritmetica senza parentesi?
Si eseguono prima le moltiplicazioni e le divisioni, una dopo l’altra nell’ordine in cui sono scritte.
Si eseguono poi le addizioni e le sottrazioni, una dopo l’altra nell’ordine in cui sono scritte.
ESEMPIO
25 + 12 : 4 – 3 · 5
Prima si risolvono le moltiplicazioni e le divisioni; avremo quindi 25 + 3 – 15.
Poi si procede nel calcolo nell’ordine con cui sono scritte le varie operazioni: in questo caso prima l’addizione e poi la sottrazione. Il risultato dell’espressione è 13.
18 Come si risolve un’espressione aritmetica con parentesi?
Si eseguono prima le operazioni in parentesi tonda, rispettando le regole indicate per le espressioni senza parentesi.
Si eseguono poi le operazioni in parentesi quadra, rispettando le regole indicate per le espressioni senza parentesi.
Si eseguono in ne le operazioni in parentesi graffa, rispettando le regole indicate per le espressioni senza parentesi.
Una volta eseguite tutte le operazioni all’interno di una parentesi, questa si deve eliminare.
ESEMPIO
{(10 – 25 : 5) · 6 – [6 + (18 – 14) : 2] + 8} : 10
Innanzitutto si risolvono le operazioni in parentesi tonda dando la precedenza alle moltiplicazioni e alle divisioni, quindi
{(10 – 5) · 6 – [6 + 4 : 2] + 8} : 10 e poi
{5 · 6 – [6 + 4 : 2] + 8} : 10
A questo punto si risolvono le operazioni in parentesi quadra dando la precedenza alle moltiplicazioni e alle divisioni, quindi
{5 · 6 – [6 + 2] + 8} : 10 e poi
{5 · 6 – 8 + 8} : 10
Infine si risolvono le operazioni in parentesi graffa dando la precedenza alle moltiplicazioni e alle divisioni, quindi
{30 – 8 + 8} : 10 poi
{22 + 8} : 10 e infine
30 : 10 = 3
Il risultato dell’espressione è 3.
8 Aritmetica 1 STEP Numeri naturali
TEORIA
ESERCIZI
ADDIZIONE E SOTTRAZIONE
1 Determina la proprietà applicata al primo membro dell’uguaglianza e calcola la relativa operazione.
a) 36 + 28 = 28 + 36 ;
b) 4 + 3 + 6 + 7 = 10 + 10 ;
c) 10 + 22 + 8 = 10 + 20 + 2 + 8 ;
d) 58 – 27 = (58 + 3) – (27 + 3) ;
2 Applica la proprietà commutativa e calcola l’addizione.
esempio: dato 45 + 25 scriviamo 25 + 45 = 70
a) 27 + 13 = =
b) 79 + 31 = ................................... = .................
3 Applica la proprietà associativa e calcola l’addizione.
esempio: dato 12 + 34 + 8 + 6 scriviamo (12 + 8) + (34 + 6) = 20 + 40 = 60
a) 17 + 11 + 3 + 9 = = =
b) 5 + 43 + 7 + 15 = = =
4 Applica la proprietà dissociativa e calcola l’addizione.
esempio: dato 127 + 13 scriviamo 120 + 7 + 10 + 3 = 140
a) 246 + 14 = .......................................................... = ...............
b) 149 + 21 = =
5 Applica la proprietà invariantiva e calcola la sottrazione.
esempio: dato 56 – 24 scriviamo (56 + 6) – (24 + 6) = 62 – 30 = 32
a) 92 – 19 = = =
b) 234 – 18 = = =
6 Applica la proprietà invariantiva e calcola la sottrazione.
esempio: dato 97 – 34 scriviamo (97 − 4) − (34 − 4) = 93 − 30 = 63
a) 78 – 22 = = =
b) 189 – 53 = = =
7 Quale operazione non ha risultato nell’insieme dei numeri naturali?
a) 22 + 14
b) 25 – 33
c) 29 – 24
d) 47 + 10
9 1 STEP Aritmetica
8 Completa l’operazione.
a) 30 + .................. = 73
b) .................. + 43 = 83
c) 25 – .................. = 14
d) .................. – 51 = 38
9 Se aggiungo 54 a un numero n ottengo 85. Qual è il numero n?
10 Se tolgo 45 da un numero n ottengo 22. Qual è il numero n?
11 Quale numero devo aggiungere a 47 per ottenere 78?
12 Quale numero devo togliere da 98 per ottenere 34?
13 Inserisci i simboli di maggiore, minore e uguale tra le coppie di addizioni.
a) (235 + 795) .......................... (235 + 794)
b) (267 + 278) (266 + 279)
c) (488 + 123) .......................... (487 + 122)
d) (858 + 200) (859 + 199)
14 Inserisci i simboli di maggiore, minore e uguale tra le coppie di sottrazioni.
a) (115 − 24) (115 − 23)
b) (444 − 267) (445 − 268)
MOLTIPLICAZIONE E DIVISIONE
c) (590 − 365) (592 − 364)
d) (522 − 487) (520 − 485)
15 Determina la proprietà applicata al primo membro dell’uguaglianza e calcola la relativa operazione.
a) 21 · 3 · 7 = 3 · 21 · 7 .......................................................; .................
b) 8 · 5 · 2 = 8 · 10 ;
c) 7 · 12 · 5 = 7 · 3 · 4 · 5 ;
d) (20 + 2) · 5 = 20 · 5 + 2 · 5 .......................................................; .................
e) 12 : 4 = (12 · 2) : (4 · 2) ;
16 Applica la proprietà commutativa e calcola la moltiplicazione.
esempio: dato 12 · 5 scriviamo 5 · 12 = 60
a) 15 · 20 = .................................................. = ............
b) 13 · 9 = .................................................. = ............
10 Aritmetica 1 STEP Numeri naturali ESERCIZI
17 Applica la proprietà associativa e calcola la moltiplicazione.
esempio: dato 2 · 5 · 32 scriviamo (2 · 5) · 32 = 320
a) 15 · 2 · 9 = =
b) 7 · 10 · 8 = =
18 Applica la proprietà dissociativa e calcola la moltiplicazione.
esempio: dato 25 · 12 scriviamo 25 · 4 · 3 = 300
a) 50 · 18 = .................................................. = ............
b) 35 · 16 = ................................................. = ............
19 Applica la proprietà distributiva e calcola la moltiplicazione.
esempio: dato 15 · (10 + 2) scriviamo = 15 · 10 + 15 · 2 = 180
a) 32 · (10 + 3) = =
b) 19 · (20 + 2) = =
20 Applica la proprietà invariantiva rispetto alla moltiplicazione e calcola la divisione.
esempio: dato 75 : 15 scriviamo (75 · 2) : (15 · 2) = 150 : 30 = 5
a) 135 : 45 = = =
b) 144 : 36 = .................................................................. = ................................... = ............
21 Applica la proprietà invariantiva rispetto alla divisione e calcola la divisione.
esempio: dato 120 : 40 scriviamo (120 : 10) : (40 : 10) = (12 : 4) = 3
a) 180 : 15 = = =
b) 525 : 75 = = =
22 Calcola la moltiplicazione.
a) 124 · 0 = c) 136 · 1 = e) 163 · 10 =
b) 0 · 89 =
23 Calcola la divisione.
a) 35 : 0 =
b) 0 : 0 =
d) 21 · 100 =
c) 0 : 17 = e) 23 : 23 =
d) 234 : 1 = f) 7800 : 100 =
24 Quale delle seguenti operazioni non ha risultato nell’insieme dei numeri naturali?
a) 32 · 134
b) 25 : 5
c) 7 · 81
d) 62 : 3
11 Aritmetica 1 STEP Numeri naturali ESERCIZI
25 Completa l’operazione.
a) 25 · = 75
b) · 31 = 713
c) 255 : = 15
d) : 51 = 24
26 Se moltiplico 14 per un numero n ottengo 112. Qual è il numero n?
27 Quale numero devo moltiplicare per 25 per ottenere 1625?
28 Se divido 483 per un numero n ottengo 23. Qual è il numero n?
29 Se divido un numero n per 74 ottengo 15. Qual è il numero n?
ESPRESSIONI ARITMETICHE
30 Calcola le seguenti espressioni aritmetiche facilitate.
a) 25 − (18 − 6) − (9 − 5)
25 − −
b) 7+ [(17 + 6) − (15 − 6)] + 10 − 3
7 + [ − ] + 10 − 3
7 + ............ + 10 − 3
c) 25 + (12 − 45 : 9)
25 + (12 − )
25 +
d) 54 − [5 + 2 · (3 + 6 · 2) + 7] : 6 + 42 : 7 − 23
54 − [5 + 2 · (3 + ............) + 7] : 6 + 42 : 7 − 23
54 − [5 + 2 · + 7] : 6 + 42 : 7 − 23
54 − [5 + + 7] : 6 + 42 : 7 − 23
54 − ............ : 6 + 42 : 7 − 23
54 − + − 23
e)
{2 · [3 + (15 – 27 : 9)] – 2} : 7
{2 · [3 + (15 – )] – 2} : 7
{2 · [3 + ] – 2} : 7
{2 · – 2} : 7
{ – 2} : 7
: 7
Aritmetica 1 STEP Numeri naturali ESERCIZI 12
31 Calcola le seguenti espressioni aritmetiche.
a) (13 · 3 + 45) : 21 + (12 − 16 : 4) : 2 + 7
b) 3 · 5 · 7 : [(16 − 2 · 3) : 5 + (5 · 3 + 3 · 4) : 9] – 5 · 4
c) {50 – [5 · 3 – 3 · (19 − 36 : 2) + 2 · 4 – 2 · (18 : 2)] – 47} · 5
13 Aritmetica 1 STEP Numeri naturali ESERCIZI
................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................
d) {[(6 · 4 + 1) : 5 + 3 · 2] · 12 + 64 : 8} : {7 · [35 – 3 · (15 · 2 – 19)]} ................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................
e) {[(27 : 3 · 8 + 10) – (35 : 7 + 12)] · (56 : 7 – 4)} – 8 – (50 · 4 + 8) ................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................
f) {[(27 · 4 + 20 – 1 – 90 : 9) : 3 + 7] · 5 + 2} : 8 + (2 · 49 – 21 · 4) – 2 · 20 ................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................
Aritmetica 1 STEP Numeri naturali ESERCIZI 14
TEST Stile invalsi
1 Un’operazione si dice aperta rispetto a un insieme numerico quando:
a) l’operazione si può eseguire solo tra gli elementi dell’insieme.
b) l’operazione non si può eseguire tra gli elementi dell’insieme.
c) i risultati delle operazioni sugli elementi dell’insieme appartengono all’insieme.
d) i risultati delle operazioni sugli elementi dell’insieme non appartengono all’insieme.
2 Quale proprietà è stata applicata?
8 · 2 · 7 = 16 · 7
3 Quale proprietà è stata applicata?
8 · (3 + 2) = (8 · 3) + (8 · 2)
1 STEP Aritmetica
4 Quale proprietà è stata applicata?
10 : 4 = (10 · 2) : (4 · 2)
5 Quale proprietà è stata applicata?
8 + 11 + 5 = 8 + 10 + 1 + 5
6 Quale proprietà è stata applicata?
16 − 9 = (16 − 5) − (9 − 5)
7 L’elemento neutro della moltiplicazione è:
a) 0 b) 1
8 Quale delle seguenti uguaglianze è vera?
a) 2 + 3 · 7 = 5 · 7
b) 16 · 4 + 2 = 16 + 8
9 Quale delle seguenti uguaglianze è vera?
a) 10 − 5 = (10 : 5) − (5 : 5)
b) 10 − 5 = (10 − 2) − (5 − 2)
c) 10 d) non esiste
c) 24 + 8 : 2 = 24 + 4
d) (5 + 4) · 3 = 5 + 4 · 3
c) 10 − 5 = (10 + 2) − (5 − 2)
d) 10 − 5 = (10 · 2) − (5 · 2)
10 Quale delle seguenti espressioni ha come risultato 1?
a) 5 · 0 + 4
6 ·
11 Usando nell’ordine dato e una sola volta i numeri 48, 10 e 3 costruisci l’espressione che dia come risultato 18.
12 Usando nell’ordine dato e una sola volta i numeri 20, 13 e 2 costruisci l’espressione che dia come risultato 14.
16 Aritmetica 1 STEP Numeri naturali TEST Stile invalsi
b)
2 − 8
4 c) 8 − 14 : 2 d) 5 + 16 : 8
:
.........................................................................................................................................................................................................................
13 Usando nell’ordine dato e una sola volta i numeri 10, 14 e 4 costruisci l’espressione che dia come risultato 6.
14 Nelle seguenti successioni di numeri individua la regola che stabilisce il numero successivo e completa.
a) 3, 5, 8, 12, b) 3, 6, 18, 72, c) 3, 5, 9, 17, d) 1, 4, 13, 40,
15 Al numero 1 si applica per quattro volte questo ciclo di operazioni: si triplica e si sottrae 1. Quale numero risulterà alla fine?
a) 42 b) 41 c) 40 d) 44
16 Nell’insieme dei numeri naturali, la sequenza numerica 3, 10, 16, 21, 25 si può continuare con:
a) nessun numero b) 28 c) 27 d) 29
17 Nell’insieme dei numeri naturali, la sequenza numerica 7, 6, 4, 1 si può continuare con: a) nessun numero b) 0 c) 3 d) 4
18 Nell’insieme dei numeri naturali, la sequenza numerica 120, 115, 105, 90, 70, 45 si può continuare con:
a) 15 b) 20 c) 25 d) 30
19 Quale delle seguenti relazioni risulta sempre falsa per una qualunque coppia di numeri a e b appartenenti all’insieme ?
a) a + b > 0 b) a : b > 0 c) a − b < 0 d) a · b < 0
20 In uno scatolone ci sono già 12 palline; se 5 bambini portano 2 palline ciascuno, quante palline ci saranno nello scatolone?
a) 2 + 12 · 5 b) 2 · 5 + 12 c) 12 · 2 + 5 d) 12 + 5 + 2
17 Aritmetica 1 STEP Numeri naturali TEST Stile invalsi
Potenze
TEORIA
1 Che cos’è la potenza di un numero?
La potenza p del numero b elevato al numero e si indica come p = be. Il numero b è chiamato base della potenza; il numero e, che indica quante volte occorre moltiplicare per se stessa la base b, è de nito esponente (o grado) della potenza.
ESEMPIO
Data la base b = 3 e l’esponente e = 4, la potenza p è il prodotto della moltiplicazione
3 · 3 · 3 · 3 = 34 = 81, e si legge 3 elevato a 4 o anche tre alla quarta.
2 Come si calcola il prodotto di potenze con la stessa base?
Il prodotto di due potenze con la stessa base a è uguale alla potenza con base a e con esponente la somma degli esponenti, cioè a m · a n = a(m+n). La regola si estende a un numero qualsiasi di potenze-fattori.
ESEMPIO
Il prodotto 123 · 122 è composto da due potenze-fattori con la medesima base 12; quindi 123 · 122 = 12(3+2), cioè 125.
3 Come si calcola il quoziente di potenze con la stessa base?
Il quoziente di due potenze con la stessa base a è uguale alla potenza con base a e con esponente la differenza degli esponenti, cioè a m : a n = a(m–n). Se l’esponente della potenzadividendo è minore di quello della potenza-divisore, la potenza-quoziente ha esponente negativo.
Se l’esponente della potenza-dividendo è uguale a quello della potenza-divisore, la potenzaquoziente ha esponente zero.
ESEMPIO
Caso con m > n, 87 : 85 = 8(7–5) = 82
Caso con n > m, 53 : 57 = 5(3–7) = 5–4
Caso con m = n, 65 : 65 = 6(5–5) = 60
4 Come si calcola il prodotto di potenze con lo stesso esponente?
Il prodotto di due potenze con lo stesso esponente m è uguale alla potenza che ha per esponente m e per base il prodotto delle basi, cioè a m · bm = (a · b)m. La regola si estende a un numero qualsiasi di potenze-fattori.
ESEMPIO
Il prodotto 25 · 35 è composto da due potenze con il medesimo esponente 5; quindi 25 · 35 = (2 · 3)5, cioè 65
18
STEP
Aritmetica
2
5 Come si calcola il quoziente di potenze con lo stesso esponente?
Il quoziente di due potenze con lo stesso esponente m è uguale alla potenza che ha per esponente m e per base il quoziente delle basi, cioè a m : bm = (a : b)m
ESEMPIO
Il quoziente 153 : 53 è composto da due potenze con il medesimo esponente 3; quindi 153 : 53 = (15 : 5)3, cioè 33
6 Come si calcola la potenza di una potenza?
La potenza di una potenza è uguale alla potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti, cioè (a m)n = a(m·n) .
ESEMPIO
La potenza di potenza (93)5 comporta 93·5 = 915; infatti, il prodotto tra i due esponenti è uguale a 15.
7 Qual è la potenza di un numero con esponente uguale a 1 e a 0?
Un qualsiasi numero a elevato a 1 dà come risultato il numero stesso, cioè a 1 = a.
Un qualsiasi numero a diverso da 0 elevato a 0 dà come risultato 1, cioè a 0 = 1.
8 Qual è la potenza quando la base è uguale a 1 e a 0?
Un qualsiasi numero m messo a esponente di 1 dà come risultato 1, cioè 1m = 1.
Un qualsiasi numero m diverso da 0 messo a esponente di 0 dà come risultato 0, cioè 0m = 0.
9 Qual è la potenza quando base ed esponente sono entrambi uguali a 0?
Non è possibile determinare il risultato della potenza 00 e dunque tale potenza è priva di signi cato.
10 Come si calcolano (rapidamente) le potenze con base 10?
Per calcolare il valore delle potenze con base 10 ed esponente m si fa seguire al numero 1 un numero m di zeri.
ESEMPIO
La potenza di base 10, 104, avendo esponente 4, ha il numero 1 seguito da quattro zeri, cioè 104 = 10000.
11 In che cosa consiste la notazione esponenziale in base 10?
Esistono numeri che possono essere rappresentati come prodotti tra un numero e una potenza di base 10. In questi casi si sfrutta la notazione esponenziale in base 10, che consiste nel prodotto tra un numero a e una potenza di base 10 con l’esponente m. La notazione si scrive come a · 10m .
ESEMPIO
Il numero 60000, che non è altro che la moltiplicazione 6 ∙ 10000, può essere rappresentato con la notazione esponenziale 6 · 104.
19 Aritmetica 2 STEP Potenze TEORIA
TEORIA
12 In che cosa consiste la notazione standard?
La notazione standard (o notazione scienti ca) sfrutta la notazione esponenziale. Consiste nel prodotto di una potenza di 10 per un numero decimale, in cui la parte intera è costituita da una sola cifra diversa da 0.
ESEMPIO
Il numero 23500 non è altro che la moltiplicazione 2,35 ∙ 10000. Può quindi essere rappresentato con la notazione standard 2,35 ∙ 104, dove 2,35 è il numero decimale e 104 è la potenza di 10.
13 Perché è utile la notazione standard?
La notazione standard consente di rappresentare valori molto grandi e molto piccoli che s’incontrano nello studio delle scienze.
ESEMPIO
La massa della Terra è mT = 5.980.000.000.000.000.000.000.000 kg, un numero di ben 25 cifre; in notazione scientifica il valore si esprime più “comodamente” come mT = 5,98 ∙ 1024 kg.
14 Che cos’è l’ordine di grandezza?
L’ordine di grandezza di un numero è la potenza di 10 il cui valore si avvicina maggiormente al numero stesso.
ESEMPIO
Il numero 78000 è compreso tra 10000 = 104 e 100000 = 105, ma avvicinandosi di più a 105 si sceglie tale potenza come ordine di grandezza del numero 78000.
15 Come si risolve un’espressione aritmetica con potenze?
Si risolve come una qualsiasi espressione aritmetica, facendo però attenzione a svolgere per prime le potenze all’interno delle parentesi tonde; inoltre, se la parentesi tonda è la base di una potenza, prima di eliminarla, bisogna elevare a potenza il numero all’interno della parentesi.
ESEMPIO
{(10 – 52 : 5) · 6 – [6 + (18 – 14)2 : 2] + 32} : 5
Si risolve la potenza contenuta nella prima parentesi tonda.
{(10 – 25 : 5) · 6 – [6 + (18 – 14)2 : 2] + 32} : 5
Si risolve la divisione contenuta nella prima parentesi tonda.
{(10 – 5) · 6 – [6 + (18 – 14)2 : 2] + 32} : 5
Si svolgono i calcoli contenuti nelle parentesi tonde in modo da eliminarle.
{5 · 6 – [6 + 42 : 2] + 32} : 5
20 Aritmetica 2 STEP Potenze
Si passa alla parentesi quadra, risolvendo prima la potenza in essa contenuta.
{5 · 6 – [6 + 16 : 2] + 32} : 5
Si risolve la divisione contenuta nella parentesi quadra.
{5 · 6 – [6 + 8] + 32} : 5
Si risolve la parentesi quadra in modo da eliminarla.
{5 · 6 – 14 + 32} : 5
Si passa alla parentesi graffa, risolvendo prima la potenza in essa contenuta.
{5 · 6 – 14 + 9} : 5
Si risolve la moltiplicazione contenuta nelle parentesi graffa.
{30 – 14 + 9} : 5
Infine, si risolve la parentesi graffa in modo da eliminarla.
25 : 5
Il risultato dell’espressione è dunque 5.
Aritmetica 2 STEP Potenze TEORIA
21
ESERCIZI
OPERAZIONI CON POTENZE
1 Rappresenta le seguenti moltiplicazioni secondo la notazione delle potenze.
esempio: dato 5 ∙ 5 scriviamo 52
a) 6 ∙ 6 b) 4 ∙ 4 ∙
2 Sviluppa le seguenti potenze in moltiplicazioni e calcola il relativo prodotto.
esempio: dato 23 sviluppiamo in 2 ∙ 2 ∙ 2 e calcoliamo il prodotto, cioè 8
a) 82 c) 25
b) 53 d) 34
3 Calcola le seguenti potenze in cui compare 0 e/o 1.
a) 15 ......................................................................................... d) 05 .........................................................................................
b) 00 e) 151
c) 120
4 Sostituisci all’esponente ✘ il valore che verifica le seguenti uguaglianze.
esempio: dato 3x = 9, il valore a esponente che verifica l’uguaglianza è x = 2, infatti 32 = 3 ∙ 3 = 9
a) 2x = 8 c) 9x = 1
b) 10x = 100 d) 7x = 7
5 Sostituisci alla base ✘ il valore che verifica le seguenti uguaglianze.
esempio: dato x3 = 8, il valore alla base che verifica l’uguaglianza è x = 2, infatti 23 = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8
a) x2 = 25 c) x7 = 0
b) x4 = 16 d) x1 = 15
22 2 STEP Aritmetica
3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 d) 13 ∙ 13 ∙ 13 ∙ 13
4 c)
6 Individua il prodotto corretto della moltiplicazione tra potenze con medesima base, 84 ∙ 82.
a) 82
b) 646
c) 86
d) 648
7 Individua il prodotto corretto della moltiplicazione tra potenze con medesimo esponente, 154 ∙ 24.
a) 308
b) 174
c) 158
d) 304
8 Individua il quoziente corretto della divisione tra potenze con medesima base, 5 13 : 5 10 .
a) 53
b) 13
c) 523
d) 123
9 Individua il quoziente corretto della divisione tra potenze con medesimo esponente, 164 : 44.
a) 41
b) 544
c) 44
d) 40
10 Calcola le seguenti moltiplicazioni e divisioni con potenze.
a) 64 ∙ 65
b) 115 : 113
c) 2711 : 911
d) 68 ∙ 58
11 Calcola le seguenti moltiplicazioni e divisioni con potenze.
a) 74 : 73
b) 285 : 145
12 Calcola le seguenti potenze di potenza.
a) (22)3
b) [(53)4]2
c) 22 ∙ 24
d) 52 ∙ 32
c) {[(3)2]3}5
d) {[(45)2]2}3
23 Aritmetica 2 STEP Potenze ESERCIZI
POTENZE DI 10
13 A quale dei seguenti numeri equivale 104?
a) 1000 b) 10000
14 Scrivi l’ordine di grandezza dei seguenti numeri.
a) 300
b) 12000
c) 7978000
d) 6600
c) 4000 d) 40
15 Scrivi in notazione esponenziale i seguenti numeri.
a) 20000
b) 4500
c) 8700000
d) 700000
16 Scrivi in notazione standard i seguenti numeri.
a) 2100
b) 68500
c) 9500000
d) 400000
…………………………………………………………………………………
17 Esegui i calcoli.
esempio: dato il prodotto 4 ∙ 105, lo sviluppiamo come 4 ∙ 100000, cioè 400000
a) 3 ∙ 104
b) 2 ∙ 102
24 Aritmetica 2 STEP Potenze ESERCIZI
ESPRESSIONI ARITMETICHE CON POTENZE
18 Calcola le seguenti espressioni aritmetiche con potenze.
a) 72 + 62 : 18 – 42 – 33
b) 42 ∙ 42 : 4 + 25 : 22 – 85 : 83
c) (32 ∙ 3)5 : (37 : 34)3 : 34 ...................................................................................................................................................................................................................
d) [(35 : 32 + 13) : (27 : 24) + 32] : 7 + [(38 : 35 – 2) ∙ 22 – 23] : 23
e) {32 ∙ 5 + 22 ∙ 32 ∙ (5 ∙ 3 – 32) ∙ [32 – 2 ∙ (2 ∙ 32 – 24)2] – 42 ∙ 32} : (62 + 3)
f) {[(45 ∙ 42)2 : 412]2 : [(44 ∙ 48 : 46)3 : (42)8]2 + [(3)5]2 ∙ 210 : (210 ∙ 310)}2 ∙ [(23 + 52) : 11]
25 Aritmetica 2 STEP Potenze ESERCIZI
TEST Stile invalsi
1 Considera la potenza 53 e indica il suo valore.
a) 15
b) 125
c) 8
2 Considera la potenza 15 e indica il suo valore.
a) 5
b) 6
c) 1
3 Considera la potenza 80 e indica il suo valore.
a) 1
b) 0
c) 8
4 La potenza 44 equivale a:
a) 216
b) 26
c) 82
d) 28
5 Qual è il valore da assegnare alla x nelle seguenti potenze? a)
6 Il valore dell’espressione 32 + 52 è:
a) 82
b) 152
c) 84
d) 34
7 Il valore dell’espressione (23 – 2) ∙ 30 è:
a) 6
b) 18
c) 0
d) 1
26 2 STEP Aritmetica
2
b) 7
= 49 c) 10x = 1000 d) 1 2 x = 1 2
x = 16
x
27 Aritmetica 2 STEP Potenze TEST Stile invalsi
Calcola il valore della seguente espressione. (23 + 24) : 23 ∙ 22 .........................................................................................................................................................................................................................
Risolvi la seguente espressione. 100 – 2 ∙ (72 – 5 ∙ 9)2 – (22 ∙ 7 – 25)2 ∙ 5 – 24 .........................................................................................................................................................................................................................
Considera il prodotto 65 ∙ 62 e indica la potenza corrispondente. a) 67 b) 63 c) 610
Considera il prodotto 83 ∙ 73 e indica la potenza corrispondente.
569
563
566
Considera il quoziente 712 : 79 e indica la potenza corrispondente. a) 721
73
13
Considera il quoziente 844 : 74 e indica la potenza corrispondente.
124
12
125
8
9
10
11
a)
b)
c)
12
b)
c)
13
a)
b)
c)
14 Quale delle seguenti uguaglianze è vera?
a) 37 ∙ 34 = 311
b) 37 ∙ 34 = 911
c) 37 ∙ 34 = 928
d) 37 ∙ 34 = 328
15 Quale delle seguenti uguaglianze è vera?
a) 28 : 24 = 14
b) 28 : 24 = 22
c) 28 : 24 = 212
d) 28 : 24 = 24
16 L’espressione 37 ∙ 34 : 3 ha come risultato:
a) 327
b) 311
c) 310
d) 326
17 Nelle seguenti uguaglianze introduci nella prima espressione le parentesi necessarie affinché ognuna di esse risulti uguale alla seconda.
a) 100 : 2 + 32 – 6 ∙ 22 = 50 + 3 ∙ 4
b) 100 : 2 + 32 – 6 ∙ 22 = 100 : 5 ∙ 4
c) 100 : 2 + 32 – 6 ∙ 22 = 100 : 20
Aritmetica 2 STEP Potenze TEST Stile invalsi
28
18 Quale affermazione è corretta?
a) Il prodotto di potenze di ugual base è una potenza con la stessa base e avente per esponente il prodotto degli esponenti.
b) Il prodotto di potenze di ugual base è una potenza con la stessa base e avente per esponente la somma degli esponenti.
c) Il prodotto di potenze di ugual base è una potenza avente per esponente la somma degli esponenti.
d) Il prodotto di potenze di ugual base è una potenza ottenuta dal prodotto delle basi.
19 Quale dei seguenti numeri è compreso tra 103 e 104?
a) 999 b) 9999
20 Il numero 3500 può essere scritto come:
a) 3,5100
b) 3 ∙ 103 + 5 ∙ 102
c) 3,5 ∙ 102
d) 3 ∙ 103 ∙ 5 ∙ 102
c) 99 d) 99999
Aritmetica 2 STEP Potenze TEST Stile invalsi
29
TEORIA
1 Che cos’è un multiplo?
Il multiplo q di un generico numero naturale n è quel numero ottenuto moltiplicando n per un qualsiasi numero naturale m (compreso n stesso), cioè q = n · m , e si legge q è multiplo di n .
ESEMPIO
Il numero q = 35 è un multiplo del numero n = 7; in questo caso il numero moltiplicativo è m = 5, infatti 35 = 7 · 5.
2 Quali caratteristiche possiedono i multipli?
Ogni numero possiede un numero in nito di multipli. Il numero 0 è multiplo di qualsiasi numero. Ogni numero è multiplo di se stesso.
3 Che cos’è un sottomultiplo o divisore?
Il sottomultiplo o divisore s di un generico numero naturale p è quel numero che, se posto a divisore di p, nella divisione ottenuta dà come quoziente un numero naturale t senza resto, cioè p : s = t (senza resto). In questo caso si dice che s è sottomultiplo di p oppure, in modo equivalente, che s è divisore di p.
ESEMPIO
La divisione 35 : 7 = 5 indica che il numero p = 35 è divisibile per il numero s = 7 perché il quoziente t = 5 è senza resto. In modo equivalente la divisione indica che 7 è divisore di 35.
4 Quali caratteristiche possiedono i divisori?
I divisori di un numero sono in numero nito. Il numero 0 ammette come divisore qualunque numero naturale diverso da 0. Ogni numero naturale è divisore di se stesso e ha come divisore il numero 1.
5 In che cosa consiste analizzare la divisibilità di un numero?
La divisibilità veri ca se un numero possiede divisori e, in caso affermativo, individua quali e quanti sono. Esistono criteri di divisibilità che studiano la divisibilità di un numero in modo rapido (vedi i punti seguenti).
ESEMPIO
I divisori di 12 sono i numeri 1, 2, 3, 4, 6, 12.
30
STEP
Aritmetica
3
Divisibilità
6 Quando un numero è divisibile per 2?
Un numero n è divisibile per 2 se è pari o, in modo equivalente, se l’ultima cifra è 0, 2, 4, 6, 8.
ESEMPIO
Il numero 1256 è divisibile per 2 poiché è un numero pari o, in modo equivalente, perché l’ultima cifra è 6.
7 Quando un numero è divisibile per 3?
Un numero n è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è divisibile per 3.
ESEMPIO
Il numero 4503 è divisibile per 3 poiché la somma delle sue cifre è 12, che è divisibile per 3.
8 Quando un numero è divisibile per 4?
Un numero n è divisibile per 4 se le ultime due cifre a destra formano un numero divisibile per 4 oppure sono due zeri.
ESEMPIO
Il numero 5116 è divisibile per 4 poiché termina con 16, che è divisibile per 4.
9 Quando un numero è divisibile per 5?
Un numero n è divisibile per 5 se termina con la cifra 0 o 5.
ESEMPIO
Il numero 3465 è divisibile per 5 poiché l’ultima sua cifra è 5.
10 Quando un numero è divisibile per 9?
Un numero n è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre è divisibile per 9.
ESEMPIO
Il numero 7263 è divisibile per 9 poiché la somma delle sue cifre è 18, che è divisibile per 9.
11 Quando un numero è divisibile per 10 o per una potenza di 10?
Un numero n è divisibile per 10 o per una potenza di 10 se termina con almeno tanti zeri quanti sono quelli contenuti nel divisore.
ESEMPIO
Il numero 120 è divisibile per 10 poiché termina con uno zero.
Il numero 4500 è divisibile per 10 e per 100 poiché termina con due zeri.
31 Aritmetica 3 STEP Divisibilità TEORIA
12 Quando un numero è divisibile per 11?
Un numero n è divisibile per 11 se la differenza tra la somma delle cifre in posizione pari e la somma di quelle in posizione dispari (o viceversa) è un multiplo di 11 (la posizione dell’unità è dispari, quella delle decine è pari e così via).
ESEMPIO
Il numero 7843 è divisibile per 11 poiché la differenza tra la somma delle cifre in posizione pari (4 + 7) e la somma di quelle in posizione dispari (3 + 8) è 0, che è un multiplo di 11.
13 Qual è la differenza tra numero primo e numero composto?
Un numero n è primo se è divisibile solo per 1 e per se stesso; i numeri primi sono in niti. Un numero n è composto se è divisibile per almeno un altro numero, oltre a esserlo per 1 e per se stesso.
ESEMPIO
Il numero 17 è un numero primo perché è divisibile solo per 1 e per se stesso. Il numero 15 è un numero composto perché, oltre a essere divisibile per 1 e per se stesso, è divisibile anche per 3 e per 5.
14 Che cosa sono i fattori primi?
I fattori primi di un numero n sono i numeri primi, se esistono, il cui prodotto è uguale a n.
ESEMPIO
I fattori primi di 6 sono 2 e 3, infatti 6 = 2 · 3.
15 In che cosa consiste la scomposizione in fattori primi?
La scomposizione in fattori primi (o fattorizzazione) trasforma un numero composto m in una moltiplicazione che ha come fattori solo numeri primi. Se un fattore primo si ripete, si scrive come potenza mettendo a esponente il numero di volte che si ripete.
ESEMPIO
La scomposizione in fattori primi di 12 è 12 = 22 · 3. In questo caso si tratta di una scomposizione semplice. Nei casi più complessi si procede come nel seguente esempio.
Si scomponga in fattori primi il numero 700.
700 | 2
350 | 2
175 | 5
35 | 5
7 | 7
1 |
Si scrive 700 e si traccia a destra una riga verticale. Con i criteri di divisibilità si trova il più piccolo numero primo per cui è divisibile 700, cioè 2, e lo si scrive a destra della riga verticale. Il quoziente di 700 : 2, 350, viene quindi scritto sotto 700. Il numero 350 è ancora divisibile per 2 e il quoziente è 175. Il numero 175, scritto sotto 350, non è più divisibile per 2, né è divisibile per 3, ma è divisibile per 5, con quoziente uguale a 35. Il numero 35 è ancora divisibile per 5 e il quoziente è 7. Il numero 7 è un numero primo ed è divisibile solo per se stesso, con quoziente 1. A questo punto la scomposizione è terminata con 700 = 2 · 2 · 5 · 5 · 7 = 22 · 52 · 7.
32 Aritmetica 3 STEP Divisibilità TEORIA
16 Come la scomposizione in fattori primi individua la divisibilità tra due numeri?
Un numero n è divisibile per il numero m secondo il seguente criterio generale di divisibilità: il numero n è divisibile per m se i fattori primi di m lo sono anche di n e gli esponenti dei fattori primi di m sono minori o uguali a quelli di n.
ESEMPIO
Siano dati i seguenti numeri scomposti in fattori primi: 29400 = 23 · 3 · 52 · 72 e 2100 = 22 · 3 · 52 · 7. Il numero n = 29400 è divisibile per m = 2100 perché tutti i fattori primi di 2100 sono presenti nella fattorizzazione di 29400 con esponente minore o uguale.
17 Come la scomposizione in fattori primi consente di dividere rapidamente due numeri fra loro divisibili?
Il quoziente di due numeri divisibili tra loro, n ed m , è il prodotto dei fattori primi di n presi ciascuno con esponente uguale alla differenza tra gli esponenti di n ed m . Gli eventuali fattori primi di n, che non compaiono tra quelli di m , mantengono il loro esponente nel prodotto nale.
ESEMPIO
Sia data la divisione 1176 : 84.
Si scompongono in fattori primi n = 1176 ed m = 84, quindi (23 · 3 · 72) : (22 · 3 · 7).
Il quoziente si calcola prendendo i fattori primi di 1176 con esponente uguale alla differenza degli esponenti di 1176 e di 84, cioè 2(3–2) · 3(1–1) · 7(2–1) = 2 · 7, cioè 14.
18 Che cos’è il Massimo Comune Divisore?
Il Massimo Comune Divisore (MCD) tra due o più numeri è il massimo tra i loro divisori comuni. Il MCD tra due o più numeri si calcola considerando i loro divisori comuni e, tra questi, scegliendo quello con valore massimo. Se due numeri non hanno divisori in comune, oltre al numero 1, si de niscono primi tra loro.
ESEMPIO
Siano dati i numeri 16 e 40.
I divisori del numero 16 sono: 1, 2, 4, 8, 16.
I divisori del numero 40 sono: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40.
Tra i divisori comuni (2, 4, 8) il maggiore è il MCD, che è 8.
19 Come si calcola il MCD tramite scomposizione in fattori primi?
Dati due o più numeri, si scompongono in fattori primi e si calcola il prodotto dei fattori comuni presi una sola volta con esponente minore.
ESEMPIO
Calcolare il MCD tra 2695 e 825.
Si scompongono in fattori primi i due numeri: 2695 = 5 · 72 · 11 e 825 = 3 · 52 · 11.
Quindi si moltiplicano i fattori comuni con esponente minore, cioè MCD = 5 · 11 = 55.
33 Aritmetica 3 STEP Divisibilità TEORIA
20 Che cos’è il minimo comune multiplo?
Il minimo comune multiplo (mcm) tra due o più numeri è il minimo tra i loro multipli comuni. Il mcm tra due o più numeri si calcola considerando i multipli del numero maggiore e, per ciascun multiplo, si valuta se è anche multiplo degli altri numeri. Il più piccolo dei multipli ottenuti è il minimo comune multiplo.
ESEMPIO
Siano dati i numeri 8 e 6.
I multipli del numero 8 sono: 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, …
I multipli del numero 6 sono: 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, …
Il minore tra i multipli in comune è il mcm, che è 24.
21 Come si calcola il minimo comune multiplo tramite scomposizione in fattori primi?
Dati due o più numeri, si scompongono in fattori primi e si calcola il prodotto dei fattori comuni e non comuni presi una sola volta con esponente maggiore.
ESEMPIO
Calcolare il mcm tra 360 e 588.
Si scompongono in fattori primi i due numeri: 360 = 23 · 32 · 5 e 588 = 22 · 3 · 72.
Quindi si moltiplicano i fattori comuni e non comuni con esponente maggiore, cioè mcm = 23 · 32 · 5 · 72 = 17640.
34 Aritmetica 3 STEP Divisibilità TEORIA
MULTIPLI E DIVISORI
1 Scrivi i multipli di 8 minori di 40.
2 Scrivi i multipli di 6 minori di 30.
3 Scrivi i sottomultipli o divisori di 15.
…………………………………………...............................................
4 Scrivi i sottomultipli o divisori di 45.
5 Individua tra le seguenti affermazioni quella vera.
a) 27 è sottomultiplo di 9
b) 12 è multiplo di 36
ESERCIZI
c) 5 è sottomultiplo di 70
d) 11 è multiplo di 55
6 Individua tra le seguenti affermazioni quella vera.
a) 45 è divisibile per 8
b) 3 è divisore di 32
7 Dati i numeri 5, 12, 20, 24, 36, 45, scrivi quelli:
a) divisibili per 2
b) divisibili per 3
c) divisibili per 5
c) 72 è divisibile per 7
d) 8 è divisore di 96
8 Dati i numeri 10, 15, 20, 32, 36, 40, scrivi quelli divisibili sia per 2 che per 5.
9 Dati i numeri 2, 4, 5, 7, 9, 10, 13, 15, scrivi quelli primi.
35 3 STEP Aritmetica
…………………………………………...............................................
10 Quali delle seguenti affermazioni sono vere?
a) Se un numero è divisibile per 9 allora è anche divisibile per 3.
b) Se un numero è divisibile per 2 allora è anche divisibile per 4.
c) Se un numero è divisibile per 6 allora è anche divisibile sia per 2 sia per 3.
11 Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a) I numeri primi sono infiniti.
b) I numeri primi sono tutti dispari.
c) Un numero primo è divisibile solo per se stesso.
12 Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a) I numeri composti sono tutti pari.
b) Un numero composto è formato da almeno due cifre.
c) Un numero è composto se è divisibile per 1, se stesso e altri numeri.
13 Dati i numeri 2, 3, 5, 6, 9, 10, 13, 14, scrivi quelli composti.
14 Dato il numero 23 inserisci l’unità nel quadratino in modo tale che:
a) 23 è divisibile per 2
b) 23 è divisibile per 3
c) 23 è divisibile per 4
d) 23 è divisibile per 5
e) 23 è divisibile per 9
f) 23 è divisibile per 10
15 Dato il numero 5 2 inserisci la decina nel quadratino in modo tale che:
a) 5 2 è divisibile per 3
b) 5 2 è divisibile per 4
c) 5 2 è divisibile per 9
16 Qual è il più grande numero naturale a due cifre divisibile sia per 2 sia per 3?
a) 96 b) 97
c) 98 d) 99
17 Qual è il più grande numero naturale a due cifre divisibile sia per 3 sia per 5?
a) 90 b) 93
c) 95 d) 99
36 Aritmetica 3 STEP Divisibilità ESERCIZI
18 Individua la corretta scomposizione in fattori primi del numero 30.
19 Individua la corretta scomposizione in fattori primi del numero 84.
a)
20 Scomponi in fattori primi i seguenti numeri.
a) 126 c) 1350
b) 504 d) 3224
21 Scomponi in fattori primi i seguenti numeri.
a) 576 c) 798
b) 455 d) 770
22 Correggi gli errori nelle seguenti scomposizioni in fattori primi.
a) 12 = 23 · 3 c) 45 = 32 · 52
b) 50 = 22 · 5 d) 81 = 33
23 Qual è la coppia di numeri che ha per mcm il maggiore dei due numeri dati?
a) 25 e 70
b) 15 e 35
c) 10 e 50
24 Con il criterio generale di divisibilità stabilisci se 6912 è divisibile per 72.
25 Con il criterio generale di divisibilità stabilisci se 2352 è divisibile per 22.
37 Aritmetica 3 STEP Divisibilità ESERCIZI
SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI
c) 2 · 3 · 5
5 · 6
a) 10 · 3 b) 2 · 32
d)
22 · 3 ·
2 · 32 · 7 d) 2 · 3 · 21
4 · 3 · 7 b)
7 c)
33 Qual è la coppia di numeri che hanno 40 come minimo comune multiplo?
a) 10 e 20
b) 8 e 40
c) 3 e 40
d) 22 e 40
38 Aritmetica 3 STEP Divisibilità ESERCIZI
COMUNE DIVISORE (MCD) 26 Calcola il MCD dei numeri 36 e 90. …………………………………..............................................…………………………………………............................................................... 27 Calcola il MCD dei numeri 120, 108 e 72. 28 Calcola il MCD dei numeri 144, 168 e 96.
(mcm) 29 Calcola il mcm dei numeri 18 e 20. 30 Calcola il mcm dei numeri 30 e 25. …………………………………..............................................…………………………………………............................................................... 31 Calcola il mcm dei numeri 27, 36 e 30. …………………………………..............................................…………………………………………............................................................... 32 Calcola il mcm dei
636, 530 e 477.
MASSIMO
MINIMO COMUNE MULTIPLO
numeri
34 Calcola il MCD e il mcm dei numeri 105, 110 e 390.
35 Calcola il MCD e il mcm dei numeri 1380 e 1656.
36 Calcola il MCD e il mcm dei numeri 8316, 9240 e 5544.
37 Risolvi il seguente problema.
Un fiorista ha a disposizione 84 rose e 60 fresie e vuole preparare dei mazzi misti in modo che ognuno abbia lo stesso numero di fiori.
a) Quanti mazzi riuscirà a confezionare? …………………………………………....................................………………………………………….........................................................
b) Quante rose ci saranno in ciascun mazzo?
suggerimento: ricorda le definizioni di MCD e mcm.
38 Risolvi il seguente problema.
In una merceria ci sono tre pezze di stoffa lunghe 12, 18 e 30 metri. Il negoziante deve dividerle in parti uguali. Quale sarà la lunghezza massima di ogni parte?
39 Risolvi il seguente problema.
Due stelle comete orbitano intorno al Sole: la prima ogni 42 anni e la seconda ogni 56 anni. Ogni quanti anni è possibile osservarle contemporaneamente?
39 Aritmetica 3 STEP Divisibilità ESERCIZI
40 Risolvi il seguente problema.
A un corso partecipano 30 ragazzi e 18 ragazze. Vengono suddivisi in gruppi di lavoro in modo tale che ogni gruppo deve contenere lo stesso numero di ragazzi e un altro stesso numero di ragazze.
a) Quanti gruppi si riescono a fare?
b) Quanti maschi ci saranno in ogni gruppo?
c) Quante femmine ci saranno in ogni gruppo?
suggerimento: i divisori di 30 sono … e i divisori di 18 sono … ; il più grande dei divisori in comune è …
41 Risolvi il seguente problema.
Un imprenditore paga un fornitore ogni 20 giorni e un altro ogni 30 giorni. Se oggi i due pagamenti coincidono, tra quanti giorni coincideranno nuovamente?
42 Risolvi il seguente problema.
Quante figurine deve avere una intera raccolta affinché si possano distribuire in ugual numero a 4, a 5 e a 6 persone?
43 Risolvi il seguente problema.
Si vogliono confezionare pacchi regalo tutti uguali avendo a disposizione 15 libri gialli, 10 romanzi e 20 fumetti. Quanti pacchi si possono confezionare? Cosa contiene ogni pacco?
44 Risolvi il seguente problema.
Quante parti si ottengono tagliando quattro corde lunghe rispettivamente 288 cm, 360 cm, 252 cm e 216 cm in parti uguali e della massima lunghezza possibile?
45 Risolvi il seguente problema.
Oggi Patrizia e Paola si ritrovano in palestra dove si allenano rispettivamente ogni 8 e 6 giorni. Quando si ritroveranno nuovamente?
40 Aritmetica 3 STEP Divisibilità ESERCIZI
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