PENSAMIENTO NUMERICO by Eduar Mauricio Mateus Ocampo

Módulo

Pensamiento Numérico y Sistemas Numéricos

SERIE DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS Universidad de Antioquia Facultad de Educación Secretaría de Educación para la Cultura de Antioquia

Diploma en Desarrollo de Competencias Básicas en Matemáticas en la Educación Básica y Media del Departamento de Antioquia

Módulo 1

Pensamiento Numérico y Sistemas Numéricos Aníbal Gaviria Correa Gobernador de Antioquia Claudia Patricia Restrepo Montoya Secretaria de Educación para la Cultura de Antioquia Libardo Enrique Álvarez Castrillón Director de Fomento a la Educación con Calidad Autores Gilberto Obando Zapata María Denis Vanegas Vasco Norma Lorena Vásquez Lasprilla Comité Académico Oscar Gallo Jesús María Gutiérrez Mesa Carlos Mario Jaramillo Orlando Monsalve John Jairo Múnera Gilberto Obando Zapata Fabián Posada Balvin María Denis Vanegas Vasco

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA

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Pensamiento Numérico y Sistemas Numéricos

PENDIENTE ISBN

Módulo 1 Pensamiento Numérico y Sistemas Numéricos © Gilberto Obando Zapata y otros autores. © De esta edición: Secretaría de Educación para la Cultura de Antioquia ISBN: XXX-XX-XXXX-X Tiraje: 3.500 ejemplares Primera edición, 2006. Gobernación de Antioquia. Secretaría de Educación para la Cultura de Antioquia Dirección de Fomento a la Educación con Calidad. www.seduca.gov.co Email: pcalidad@seduca.gov. c o Diseño, diagramación e impresión: Editorial Artes y Letras Ltda. Medellín, Colombia 2006

Contenido INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................... 9

Unidad No.1 NÚMEROS NATURALES ................................................................................ 17 EL CONTEO Y EL APRENDIZAJE DEL NÚMERO NATURAL .................................................................. 17 LA INTERACCIÓN SOCIAL Y LOS PRIMEROS APRENDIZAJES NUMÉRICOS ...................................... 18 EL CONTEO Y LAS ESTRATEGIAS PARA OPERAR A TRAVÉS DE EL CONTEO ................................... 20 ESTÁNDARES RELACIONADOS CON LA UNIDAD N°1 .......................................................................... 22 SITUACIÓN N° 1: JUGANDO Y CONTANDO ............................................................................................ 23 Conceptos y procedimientos ............................................................................................................... 23 Gestión de las actividades ................................................................................................................... 25

Unidad No.2 NÚMEROS ENTEROS .................................................................................... 31 REFERENTES CONCEPTUALES ................................................................................................................ ALGUNAS DIFICULTADES EN EL APRENDIZAJE DE LOS NÚMEROS ENTEROS ................................. ALGUNOS APUNTES DESDE LA HISTORIA ............................................................................................. ESTÁNDARES RELACIONADOS ............................................................................................................... SITUACIÓN Nº1 PREPARANDO EL CAMINO .......................................................................................... Conceptos y procedimientos ............................................................................................................... Gestión de las actividades ................................................................................................................... SITUACIÓN Nº2 MEDIDAS Y VARIACIONES ............................................................................................ Conceptos y procedimientos ............................................................................................................... Gestión de la situación ......................................................................................................................... SITUACIÓN 3: EN EL CAMINO DE LAS OPERACIONES. ........................................................................ Conceptos y procedimientos ............................................................................................................... Gestión de la situación ......................................................................................................................... SITUACIÓN 4: SUMANDO POSITIVOS Y NEGATIVOS ............................................................................. Conceptos y procedimientos ............................................................................................................... Gestión de la situación .........................................................................................................................

31 31 32 36 36 36 37 41 41 42 44 44 45 48 48 49

Unidad No.3 NÚMEROS RACIONALES ............................................................................. 55 INTRODUCCIÓN ......................................................................................................................................... LA ENSEÑANZA DEL NÚMERO RACIONAL: ALGUNOS PROBLEMAS EN LA ENSEÑANZA ACTUAL ........................................................................................................................ TRABAJO CENTRADO EN LA PARTICIÓN Y EL CONTEO ..................................................................... EL TRATAMIENTO DEL TIPO DE MAGNITUD Y DE UNIDAD ................................................................. ÉNFASIS EN LA MECANIZACIÓN DE REGLAS Y ALGORITMOS .......................................................... LA ENSEÑANZA DEL NÚMERO RACIONAL: NUEVOS ÉNFASIS .......................................................... LOS NÚMEROS RACIONALES COMO MEDIDA ...................................................................................... LOS NÚMEROS RACIONALES COMO FRACCIÓN DECIMAL ................................................................

55 56 56 58 59 60 63 65

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LOS NÚMEROS RACIONALES COMO COCIENTES INDICADOS ........................................................... LOS NÚMEROS RACIONALES COMO PUNTOS EN LA RECTA NUMÉRICA ......................................... ESTÁNDARES RELACIONADOS ............................................................................................................... SITUACIÓN 1 .............................................................................................................................................. Conceptos y procedimientos ............................................................................................................... Procedimientos esperados e indicadores de valoración .................................................................... Gestión de la situación ......................................................................................................................... SITUACIÓN 2: ESTABLECIENDO RELACIONES PARTE - TODO ............................................................. Conceptos y procedimientos ............................................................................................................... Procedimientos esperados e indicadores de valoración .................................................................... Gestión de la situación ......................................................................................................................... SITUACIÓN 3: SOBRE EL CAMINO DE OTRAS INTERPRETACIONES DE LOS RACIONALES ............. Conceptos y procedimientos ............................................................................................................... Procedimientos esperados e indicadores de valoración .................................................................... Gestión de la situación .........................................................................................................................

69 70 72 74 74 75 77 82 82 84 85 93 93 93 94

Unidad No.4 SITUACIONES ADITIVAS ............................................................................. 97 REFERENTES CONCEPTUALES ................................................................................................................ 97 LAS ESTRUCTURAS ADITIVAS ................................................................................................................ 102 ESTÁNDARES RELACIONADOS ............................................................................................................. 109 SITUACIÓN 1: SOBRE LOS PROBLEMAS DE ADICIÓN ......................................................................... 109 Conceptos y procedimientos ............................................................................................................. 109 SITUACIÓN 2: JUGANDO ....................................................................................................................... 117 Conceptos y procedimientos ............................................................................................................. 117

Unidad No.5 DE LA MULTIPLICACIÓN A LA PROPORCIONALIDAD ........................ 121 MULTIPLICACIÓN Y PROPORCIONALIDAD EN LA EDUCACIÓN BÁSICA ........................................ SOBRE LA MULTIPLICACIÓN ................................................................................................................. SOBRE LA PROPORCIONALIDAD ........................................................................................................... LA MULTIPLICACIÓN Y LA PROPORCIONALIDAD SIMPLE DIRECTA ............................................... ESTÁNDARES RELACIONADOS ............................................................................................................. SITUACIÓN 1: SITUACIONES PARTICULARES ......................................................................................

121 121 122 122 128 128

BIBLIOGRAFÍA ......................................................................................................................... 135

Agradecimientos La Secretaría de Educación para la Cultura de Antioquia y la Facultad de Educación de la Universidad de Antioquia, agradecen la labor de coordinación del Diploma: Desarrollo de Competencias Básicas en Matemáticas en la Educación Básica y Media del Departamento de Antioquia a su equipo técnico, a todos los docentes que participaron de él, y en particular, a las siguientes personas e instituciones educativas que hicieron posible llevarlo a feliz término: • Integrantes de la Mesa Departamental de Matemáticas. • Rectores de las Instituciones Educativas donde laboran los docentes integrantes de la Mesa Departamental de Matemáticas. • A los docentes del Diploma en Desarrollo de Competencias Básicas en Matemáticas en la Educación Básica y Media del Departamento de Antioquia por la lectura y sugerencias. • Al comité académico del Diploma en Desarrollo de Competencias Básicas en Matemáticas en la Educación Básica y Media del Departamento de Antioquia por el trabajo realizado en pro de esta obra.

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Introducción

Los números en la vida cotidiana pueden ser usados de muchas maneras: como secuencia verbal, para cuantificar, para medir, para expresar un orden, para etiquetar, para marcar una locación, o simplemente como una tecla para pulsar (en el caso de las calculadoras), (MEN, 1998; Decorte, Verschafel, 1996).

Los números como secuencia verbal Esta es quizás una de las primeras identificaciones que el niño hace con respecto al número. Desde una edad muy temprana, cuando se inicia el desarrollo del lenguaje, los niños comprenden que existen palabras para referirse a las cosas o las acciones, y otras palabras especiales con las cuales referirse a la acción de contar1. No quiere decir esto que los niños en esos momentos iniciales sepan contar, sino que identifican la existencia de palabras para referirse a dicha acción en especial. Esta iniciación al uso de las palabras números cumple una funcionalidad muy importante en el aprendizaje del conteo: de un lado, permite que los niños aprendan las palabras número, y de otro, con la orientación del adulto, interiorizan el orden en que ellas deben ser aprendidas. Si bien pronunciar las palabras número no es contar en el sentido estricto de la palabra, conocer las palabras y su orden convencional es uno de los aspectos claves en su aprendizaje. Además, cuando este aprendizaje se hace unido a las acciones mismas de contar, y no solo a partir de acción de repetir las palabras número como si se tratara de una canción o un retahíla de palabras, éstas palabras número se aprenden en contexto y con significado, lo que hace más fácil los aprendizajes posteriores con respecto a la cardinalidad, la ordinalidad y demás aspectos estructuran el concepto de número.

Los números para etiquetar Los números como etiquetas tienen varios sentidos: de un lado puede identificar cierto uso que da el niño a las palabras número cuando está en proceso de apren_____________________________________________________ 1

Así, hacia los dos años, los niños usan algunas palabras, como por ejemplo: uno tres cinco, etc., para referirse a acciones que indiquen contar, y cuando se les pide contar, no usan otras palabras como, gato, perro, etc., que son comunes en su vocabulario.

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der a contar, pero de otro, puede referirse al uso del número como código de identificación de personas, objetos, funciones etc. Cuando el niño inicia el aprendizaje del conteo, una etapa inicial del proceso está referida al uso de las palabras número como etiquetas. Esto es, para el niño, cada palabra número enunciada, no representa la cantidad de objetos contados hasta el momento, sino el último objeto señalado2. Es decir, la palabra número no expresa cantidad sino formas de nombrar los objetos. Esto se va superando en la medida que los niños interiorizan la noción de cantidad, y sobre todo, en la medida que reconocen y memorizan de manera perceptual las cantidades o colecciones de muestra. Por ejemplo, reconocen donde hay dos o tres objetos sin necesidad de contar3. El otro sentido, ya no depende de la comprensión del niño, sino de los usos culturales del número. Los números de las cédulas, de los teléfonos, de las camisetas de los jugadores de fútbol, etc., no comportan el significado de número en el sentido estricto de la palabra. Son tan solo etiquetas para identificar algo: una persona (la cédula), una cuenta (el teléfono) y una función (el juego del fútbol). Como puede verse en los ejemplos señalados, con dichos números no tiene sentido las operaciones clásicas de sumar o restar, aunque si indican una clasificación. Esto es, los números como etiquetas cumplen la función de clasificar objetos, y dependiendo del contexto en que sean usados, esta clasificación es más detallada o no. Por ejemplo, en el caso de los códigos de barra que identifican los productos que se venden en una tienda, almacén o supermercado, las barras representan una secuencia de números4 los cuales se utilizan para representar características del producto: fabricante, tipo de producto, nacionalidad, etc.

Los números para contar Como se verá más adelante, contar es una acción fundamental en el desarrollo del pensamiento numérico, sobre todo, al inicio de las conceptualizaciones más elementales con respecto al número. Pero no siempre que se repite una secuencia de palabras número se está usando el número en su sentido de contar. Los números se usan para contar, cuando el resultado final de la acción expresa la cantidad (cardinalidad) de una colección de objetos. _____________________________________________________ 2

Esto se evidencia en acciones como las siguientes: después de contar cuatro objetos se le pregunta al niño que muestre donde hay tres, y generalmente señala el tercer objeto contado. Esto demuestra que la palabra tres aun no significa cantidad, sino una forma de uno de los objetos contados. Este reconocimiento de las cantidades iniciales pues dos objetos siempre están en línea, mientras que tres siempre están en triángulo. De ahí que la visualización juega un papel importante. Además, culturalmente, se induce al niño en la representación de estas cantidades en sus dedos, sobre todo a partir de solicitarle que represente su edad en los dedos de las manos, en los juegos, al contar uno, dos, tres,… (y salte), etc. Representar los números por barras es un asunto de tecnología, pues de es forma se facilita su lectura electrónica.

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En tal sentido, establecer correctamente la correspondencia uno a uno de las palabras número con los objetos de la colección que se quiere contar no es suficiente para que el número exprese cantidad, aunque si es condición necesaria. Esta significación se logra, cuando en la acción de establecer la correspondencia biunívoca, cada nueva palabra número usada expresa la totalidad de objetos contados hasta el momento, y no tan solo como una etiqueta que representa el último objeto contado.

Los números para medir En el mismo sentido del ítem anterior, no siempre se tiene la necesidad de cuantificar cantidades discretas. Muy a menudo, se debe cuantificar magnitudes continuas. En tales casos, el número expresa una cantidad, pero ahora como resultado de una medición. En estos casos, por lo general ya no se trata de número enteros, sino de números racionales, o incluso de números irracionales. Los números como resultado de una medida constituyen una de las fuentes de sentido y significado más importantes para el desarrollo del pensamiento numérico. Es precisamente la necesidad de expresar la medida de magnitudes de diferente naturaleza la que se constituye como fuente fenomenológica para la construcción conceptual de los diferentes sistemas numéricos.

Los números para ordenar Unido a lo anterior está el sentido de los números como criterio organizador de una secuencia. Se trata un sentido del número en que no es solo cantidad, sino que a través de la noción de cantidad se establece la organización de una secuencia de eventos, acciones, etc. En este sentido el significado del número en juego no es el de cantidad, sino el de orden. En este caso, la noción de cantidad es el referente básico para definir el orden de aquello que se quiere organizar. Así pues, y atendiendo a la complejidad subyacente al aprendizaje de los sistemas numéricos, el Ministerio de Educación Nacional en su documento sobre los Lineamientos Curriculares en el área de Matemáticas5, propone desarrollar el pensamiento matemático a través de cinco pensamientos específicos, entre ellos se encuentra el Pensamiento Numérico. Dicho pensamiento integra el estudio de los Sistemas Numéricos para desarrollar habilidades referidas a la comprensión del número en sus diversos significados, al uso de los mismos en métodos cualitativos o cuantitativos, a la realización de estimaciones y aproximaciones, y en general, en la _____________________________________________________ 5

Ministerio de Educación Nacional. Lineamientos Curriculares para el área de matemáticas. 1998. Bogotá. P 131.

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utilización los números como herramientas de comunicación, procesamiento e interpretación de la información en contexto. De esta manera, una persona estaría en capacidad de asumir posturas críticas frente a la información que circula en su entorno, y así participar activamente en la toma de decisiones relevantes para su vida personal o en comunidad. …el pensamiento numérico se refiere a la comprensión en general que tiene una persona sobre los números y las operaciones junto con la habilidad y la inclinación a usar esta comprensión en formas flexibles para hacer juicios matemáticos y para desarrollar estrategias útiles al manejar números y operaciones. (Mcintosh, 1992) (Citado por MEN, 1998, p 43)

Desde una perspectiva más amplia, Resnick, 1989 (citada por Judith Sowder, 1992), propone que el pensamiento numérico debe ser considerado como una forma de pensamiento superior y que por tanto debe presentar características como: • No algorítmico, esto es, el camino de la acción no está totalmente especificado de antemano. • Tiende a ser complejo: el camino total no es visible (mentalmente hablando) desde ningún lugar en particular. • Abre un campo de soluciones múltiples, cada una con costos y beneficios, antes que una única solución. • Involucra juzgar e interpretar. • Involucra la aplicación de múltiples criterios, los cuales algunas veces entran en conflicto con otros. • Involucra la incertidumbre: no siempre que iniciamos una tarea, conocemos el camino para su solución. • Involucra autorregulación de los procesos de pensamiento. • Involucra imposición del significado, encontrando estructura en el aparente desorden. • El pensamiento es esfuerzo total. Existe un considerable trabajo mental en el tipo de elaboraciones y juicios que se requieren. La cita anterior muestra como el desarrollo del pensamiento numérico implica la inversión de largos periodos de tiempo ya que involucra no solo aspectos conceptuales de las matemáticas, sino también el desarrollo mismo de la cognición humana. En los Lineamientos Curriculares se plantean ideas similares a propósito de los énfasis sobre los cuales se debe estructurar el currículo de matemáticas en el sistema educativo colombiano: El pensamiento numérico se adquiere gradualmente y va evolucionando en la medida en que los alumnos tienen la oportunidad de pensar en los números y de usarlos en contextos significativos, y se manifiesta de diversas maneras de

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acuerdo con el desarrollo del pensamiento matemático. En particular, es fundamental la manera como los estudiantes escogen, desarrollan y usan métodos de cálculo, incluyendo cálculo escrito, cálculo mental, calculadoras y estimación, pues el pensamiento numérico juega un papel muy importante en el uso de cada uno de estos métodos. La invención de un algoritmo y su aplicación hace énfasis en aspectos del pensamiento numérico tales como la descomposición y la recomposición, y la comprensión de las propiedades numéricas. Cuando se usa un algoritmo ya sea utilizando papel y lápiz o calculadora, el pensamiento numérico es importante cuando se reflexiona sobre las respuestas. Otras situaciones que involucran el desarrollo del pensamiento numérico hacen referencia a la comprensión del significado de los números, a sus diferentes interpretaciones y representaciones, a la utilización de su poder descriptivo, al reconocimiento del valor (tamaño) absoluto y relativo de los números, a la apreciación del efecto de las distintas operaciones, al desarrollo de puntos de referencia para considerar números. En general, estos puntos de referencia son valores que se derivan del contexto y evolucionan a través de la experiencia escolar y extraescolar de los estudiantes. Otro indicador valioso del pensamiento numérico es la utilización de las operaciones y de los números en la formulación y resolución de problemas y la comprensión de la relación entre el contexto del problema y el cálculo necesario, lo que da pistas para determinar si la solución debe ser exacta o aproximada y también si los resultados a la luz de los datos del problema son o no razonables. El contexto mediante el cual se acercan los estudiantes a las matemáticas es un aspecto determinante para el desarrollo del pensamiento. Por tanto, para la adquisición del sentido numérico es necesario proporcionar situaciones ricas y significativas para los alumnos. Claramente, el pensamiento numérico es a veces determinado por el contexto en el cual las matemáticas evolucionan. Por ejemplo, mientras un estudiante en la escuela no se incomoda porque 514 sea la suma de 28 + 36, el mismo estudiante en una tienda puede exigir que se le revise la cuenta si tiene que pagar $ 5140 por dos artículos cuyos precios son $ 260 y $ 380. Para otro estudiante resulta más fácil decir que en ½ libra de queso hay más queso que en ¼ de libra, que determinar cuál es mayor entre ¼ y ½. La manera como se trabajen los números en la escuela contribuye o no a la adquisición del pensamiento numérico. Los estudiantes que son muy hábiles para efectuar cálculos con algoritmos de lápiz y papel (este es el indicador mediante el cual se mide con frecuencia el éxito en matemáticas) pueden o no estar desarrollando este pensamiento.

+ = o un estudiante de Cuando un estudiante de sexto grado dice que segundo grado afirma que 40 - 36 = 16, están intentando aplicar un algoritmo que han aprendido pero no están manifestando pensamiento numérico. MEN, 1998, p 43 y 44

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Surge entonces una gran pregunta para la escuela: ¿Cómo organizar la estructura curricular del área de matemáticas con el fin de lograr el desarrollo de un pensamiento matemático en los estudiantes, coherente con los planteamientos de los Lineamientos Curriculares, Estándares Básicos de Matemáticas, y en general, con las propuestas actuales de la didáctica de las matemáticas en el ámbito nacional e internacional? Por supuesto, un intento de respuesta no es simple ni inmediato. El desarrollo del pensamiento numérico de los niños empieza antes de su ingreso a la escuela, cuando hacia los dos o tres años, a través de la interacción con otros adultos (fundamentalmente sus padres) desarrollan no solo las habilidades y competencias relativas al lenguaje materno, sino que, gracias a esas interacciones, también desarrollan una serie de intuiciones sobre lo numérico. Dichas intuiciones se manifiestan en competencias relativas al conteo6, a la percepción global del cardinal de pequeñas colecciones7, e incluso, la posibilidad de composiciones y descomposiciones de las mismas. Si bien no puede decirse que estas actuaciones constituyan un conocimiento amplio del número, ni en el sentido matemático pues aun no pueden reconocerse las propiedades matemáticas básicas del sistema de los números naturales, ni en el psicológico puesto que la complejidad lógica de estos conocimientos es aun incipiente, si puede afirmarse que estas primeras intuiciones numéricas son la base para el posterior desarrollo de los aspectos psicológicos y matemáticos del mismo. Desde el punto de vista psicológico y teniendo como referente a Piaget, la construcción del número como una clase lógica, involucra en principio, la estructuración las operaciones lógicas de clases, de seriación y de inclusión. Luego, se construye la noción de cardinalidad, y orden estable y su correspondiente síntesis permite evidenciar la conservación, principio que sirve de indicador de la comprensión de tal concepto. Esta construcción de los aspectos cognitivos del número es un elemento inherente al desarrollo de la persona, y aquí la escuela juega un papel importante, no desde el énfasis en la réplica de las actividades piagetianas de seriación, clasificación, ordenación, conservación, etc., sino desde la perspectiva de promover situaciones en las cuales el papel de la interacción social del niño sea un factor fundamental que potencie la construcción de dicho concepto, pues por medio de esta interacción se posibilita el proceso de adquisición de las competencias lingüísticas, pragmáticas, _____________________________________________________ 6

Por contar se entiende no el recitar la secuencia de palabras número, sino al establecimiento de la correspondencia entre éstas y los objetos de la colección que se desea contar. Aunque es de anotar que en esas edades se cometen muchos errores al establecer esta correspondencia, y que el conteo, más que dar cuenta de la cantidad de objetos de una colección (cardinal), lo que hace es asignar etiquetas a los objetos contados (el tres no significa tres objetos, sino más bien el tercer objeto contado). Desde edades muy tempranas los niños reconocen perceptualmente colecciones de hasta tres objetos sin necesidad de recurrir a su conteo; este proceso se conoce como (subitising).

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y conceptuales necesarias para su desarrollo. En otras palabras, el aprendizaje del número no es solo un problema de desarrollo cognitivo, sino que el contexto sociocultural en el que el niño despliega su actividad es determinante en los logros que puede alcanzar. Así pues, aceptando que la escuela juega un papel fundamental en el desarrollo del pensamiento numérico, y que éste es un proceso de larga duración, se proponen los siguientes aspectos para el trabajo en el contexto escolar: • • • • • •

El conocimiento de los múltiples usos de los números. El conteo y las estrategias para operar a través del conteo. La comprensión de las relaciones y las operaciones. La comprensión del sistema de numeración decimal. El sentido de número y la estimación. Trascender los números naturales.

El siguiente diagrama muestra una alternativa organizacional de los aspectos antes señalados:

Cardinal

Ordinal

Código

Dominio y uso de su campo semántico

Representaciones Simbólicas

Medida

Concepto de Número

Verbal

Escrita

No Posicional Tratamiento de Magnitudes

Simples

Algoritmos

Contar

Medir

Discretas

Continuas

Orientadas/ No Orientadas

Base 10

Operaciones Básicas

Múltiples Combinatorios

Posicional

Estructuras Aditivas Estructuras Multiplicativas

Vectoriales

Escalares

Proporcionalidad Positivo/Negativo Conmensurable Enteros

Naturales

No Densos

Positivo/Negativo Inconmensurable Racionales

Irracionales Densos Incompletos

Números Reales _____________________________________________________ 8

GOBERNACIÓN DE ANTIOQUIA. SECRETARIA DE EDUCACIÓN PARA LA CULTURA. Interpretación e Implementación de los estándares básicos de matemáticas. Medellín, 2005. P 135

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Todo lo anterior muestra la necesidad del desarrollo de una propuesta curricular rica en situaciones a través de las cuales los alumnos puedan tomar conciencia de esta multiplicidad de sentidos y significados de los números. En este sentido este documento es el resultado de un proceso de reflexión, de discusión y construcción sobre el desarrollo del pensamiento numérico, que se ha venido adelantando con docentes del área y a través de la experiencia con estudiantes de la educación básica. El propósito fundamental, es presentar elementos de análisis para los conceptos que posibilitan el desarrollo del pensamiento numérico y el diseño de situaciones problema pertinentes con estos. El módulo se compone de cuatro unidades, así: Unidad No 1: Números naturales. Unidad No 2: Números Enteros. Unidad No 3: Números Racionales. Unidad No 4: Estructuras aditivas. Cada unidad contiene una situación problema, con un marco teórico que la sustenta desde la educación matemática, un conjunto de actividades para los estudiantes, un análisis conceptual que guíe al profesor frente a los conceptos desarrollados en cada. Se espera que este material sea un aporte a la labor que desempeñan los docentes del área y por lo tanto a la educación matemática en el departamento de Antioquia. Igualmente se trata de un documento en permanente construcción, por lo cual se espera siga creciendo con los aportes de todos los docentes que lo estudien y utilicen como base para su trabajo de aula.

Números Naturales

Unidad No.1

Conteo y el Aprendizaje del Número Natural Generalmente, cuando se habla del aprendizaje del número natural, se piensa básicamente en los primeros aprendizajes que el niño realiza en el Preescolar y/o primero de primaria. Nada más lejos de la realidad que tal planteamiento. Dicho aprendizaje está presente, por lo menos, a lo largo de toda la educación básica. Durante mucho tiempo las actividades de enseñanza del número centraron la atención en las tareas piagetianas sobre conservación, seriación y clasificación. Hoy en día se ha demostrado que estas actividades no mejoran la comprensión numérica de los niños (Decorte y Verschafel, 1996), y que por el contrario, centrar el trabajo sobre el conteo y las estrategias del conteo a través de la solución de problemas sencillos, trae grandes desarrollos en los procesos de conceptualización de los alumnos. En nuestro sistema educativo es muy común la estrategia de enseñar el concepto de número natural a partir de la noción de cardinal, el cual se supone es el resultado de la abstracción del trabajo con colecciones9 . Una vez “aprendidos los números”, se pasa al estudio de las operaciones, el cual se restringe básicamente al aprendizaje de los algoritmos para calcular los resultados, y no en la comprensión del sentido de las operaciones mismas. Finalmente, se trabaja la solución de problemas, donde se aplican los conceptos estudiados anteriormente. Esta perspectiva de trabajo desarticulado, dificulta el desarrollo del pensamiento numérico tal como se propone en los lineamientos curriculares. Por el contrario, una orientación pedagógica que involucre como punto fundamental las situaciones problema en las que intervienen los números naturales, y a través de estas, conceptualizar las relaciones, las operaciones y las propiedades que los caracterizan como sistema numérico, se hace bastante promisoria. Nótese que se está planteando un aprendizaje del número a través de su uso, y no aprender el número para luego utilizarlo. Para lograr tal meta, la acción de contar es un factor determinante. _____________________________________________________ 9

Así, son comunes las actividades en las que se muestran las colecciones de uno, dos, tres, cuatro,…, elementos, generalmente en forma gráfica y sin contexto alguno que les den sentido y significado, separadas en el tiempo (cada una de ellas en una clase diferente), seguidas posteriormente de actividades centradas en el reconocimiento de la representación simbólica de cada uno de los números representados en dichas colecciones.

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Así, por ejemplo, saber que el número “cinco” es mucho más que reconocer una colección de cinco unidades, o reconocer el numeral “5”. Es reconocer que 5 es 3+2, 4+1, 10÷2, etc., es reconocer que …3<4<5<6<7…, es poderlo utilizar con sentido para comunicar situaciones en las que él aparece, o poder resolver situaciones problema en las que el cinco esté involucrado. “La noción de número es la más importante de la matemática enseñada en la escuela primaria. Lejos de ser una noción elemental, se apoya en otras nociones como las de función, correspondencia biunívoca, relación de equivalencia y relación de orden. En el niño la noción de número es indisociable de la noción de medida. Finalmente, es la posibilidad de hacer sumas la que da a la noción de número su carácter específico, en relación con las nociones sobre las cuales se apoya.” (Vergnaud, 2003, p 101).

La Interacción Social y los Primeros Aprendizajes Numéricos Los padres inducen a los niños al aprendizaje de la secuencia de las palabras número, quizás por presumir ante familiares y amigos, ó motivados por la idea de que las matemáticas hacen a las personas inteligentes, o simplemente motivados por una necesidad social. Estas acciones hacen que paulatinamente, el niño hacia los tres o cuatro años, pueda recitar las palabras número, y en el orden apropiado, por lo menos hasta el diez. Erróneamente, la mayoría de los adultos asumen que esta recitación es una evidencia de que el niño sabe contar. En realidad el conteo implica, otro tipo de capacidades que superan ampliamente este nivel de la recitación de las palabras número. Pero cuando esta intencionalidad del adulto se contextualiza desde las actividades cotidianas del niño, fundamentalmente desde sus juegos, de tal manera que el aprendizaje de la secuencia de las palabras número se realice sobre la base de actividades reales de conteo, entonces se logra ya no solo recitar las palabras número, sino realmente contar en un rango alrededor de la decena, reconocer perceptualmente la cardinalidad de colecciones de hasta tres o cuatro elementos, o incluso, realizar composiciones y descomposiciones en los rangos numéricos dentro de los cuales se reconoce la cardinalidad perceptual. Realizar el anterior trabajo tiene dos condiciones básicas: De un lado, aprovechar las actividades de juego espontáneas de los niños para inducirlos en actividades de conteo, y de otro, que estas actividades de conteo generen la necesidad de comunicar cantidades y de comunicarse a través de las mismas. Es decir, no se trata de forzar actividades de conteo, sino de aprovechar aquellas en las que el contar se

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pueda desarrollar de forma casi natural, pero que a la vez, este conteo esté mediado por la necesidad de comunicarle a otros la cantidad contada. Por ejemplo, en un juego con cubos, carros, o muñecas, el adulto puede inducir a los niños a la necesidad de contar a través de un cuestionamiento sencillo: ¿cuántos cubos, carros, muñecas tenemos? En este momento el adulto puede acompañar el acto de contar del niño, ayudándolo en los momentos críticos, ya sea en el orden de la serie numérica o en llevar un control de los objetos que cuenta, para dar feliz término a su acto. Otro contexto que propicia los aprendizajes numéricos es el relativo a la comunicación de la edad: Al niño(a) continuamente se le cuestiona por su edad, y él rápidamente aprende a mostrar en sus dedos cuantos años tiene, reconociendo la cardinalidad de colecciones pequeñas haciendo uso de las colecciones de muestra. Como se afirmó antes, estos aprendizajes numéricos de los niños hacia tres o cuatro años de edad aun distan mucho de constituir formalmente el concepto de número, pues, siguiendo las posturas piagetianas, no hay en estos actos de conteo evidencia de cardinalidad, orden estable, conservación y por consiguiente, el número no existe como clase. La ausencia de cardinalidad se puede evidenciar en situaciones tan simples como en el acto de mostrar tres dedos de una mano para representar una cantidad (como por ejemplo su edad): Siempre son los mismos tres dedos, y no aceptan que otros tres dedos, o incluso que dos dedos de una mano y uno de la otra sean el mismo tres, En otras palabras, el tres no es la cantidad, sino los tres dedos que se usan para su representación y de ahí la negativa para aceptar que otra configuración de dedos también represente el mismo tres. Igual evidencia se puede observar con las palabras número que se utilizan para contar: Cuando el niño cuenta uno, dos y tres, estas no representan cantidades de objetos, sino más bien etiquetas para referirse a dichos objetos, y por tanto, el «uno», o el «dos», o el «tres» se refieren a denominaciones que se otorgan a los objetos de la colección para tener un control de los mismos, y no a las cantidades uno, dos o tres. La ausencia de orden se evidencia de un lado en la imposibilidad del niño para ver la inclusión de un número en otro, por ejemplo, para ver que el tres contiene al dos; y de otro lado, que a pesar de realizar el conteo en orden correcto, el orden en que se realiza dicho conteo se refiere no a la relación de ser mayor o menor, sino a la manera como fueron aprendidas la palabras número. Todo esto evidencia la ausencia de un concepto de número como clase, ya que, por ejemplo, el dos es diferente según el contexto donde es utilizado: La cantidad de dos carros no es la misma cantidad que dos muñecas, pues el dos se refiere a cosas y no a la cantidad. Es decir, existe un número para cada colección, y el número de una es diferente del número de la otra. 19

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Así pues, existe una gran distancia entre las ideas iniciales que los niños tienen acerca del número y los conceptos formales aceptados en la escuela, por ello no se puede pretender dejar este desarrollo conceptual a la mera voluntad del destino, si no mas bien buscar un aprendizaje del concepto de número natural sobre la base del desarrollo de unas estructuras cognitivas mediadas por la interacción social del niño. Dicha interacción posibilita un proceso de adquisición de las competencias lingüísticas, pragmáticas y conceptuales necesarias para la significación y estructuración de éste concepto. En otras palabras, el aprendizaje del número no es solo un problema de desarrollo cognitivo, sino que el contexto sociocultural en el que el niño despliega su actividad es determinante en los logros que puede alcanzar.

El Conteo y las Estrategias para operar a través de el Conteo Contar es una acción básica para el desarrollo del concepto de número natural, pero sobre todo, si esta acción está mediada por la necesidad de comunicar o interactuar con otros: Por ejemplo, mediante un juego para determinar los marcadores de cada jugador, para comunicar a otros cuanto se tiene de algo, para comparar cantidades, etc. El conteo es un esquema mental cuya construcción inicia en la etapa sensoriomotriz y que se va desarrollando paulatinamente hasta alcanzar niveles abstractos. Cada una de las etapas por las que atraviesa este proceso determina momentos específicos en el desarrollo conceptual del número. La construcción de este esquema requiere en el niño la presencia de colecciones como totalidades compuestas, susceptibles de ser compa! ! "# ! $%" &' " radas. Pero no por el hecho de que el # $%" % &( niño perciba la colección como pluraGráfico No.1 lidad está en capacidad de contarla. Debe ante todo percibir cada elemento de la colección como un ítem que puede ser contado, delimitar claramente los elementos de la colección, y establecer una correspondencia uno a uno entre la secuencia de las palabras número y los objetos de la colección que debe ser contada (esto es, no contar dos veces un elemento o dejar alguno sin contar). Como se ilustra en el gráfico N° 1(Kamii, 1994, p 21) 20

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Así pues, contar es un proceso mediante el cual se ponen en correspondencia biunívoca los números naturales con los elementos de una colección y se procede a su cuantificación, y como ya se dijo, recitar las palabras número, sin ninguna referencia a correspondencia con ítemes de una colección no es contar. Cuando el niño inicia los primeros aprendizajes de este proceso se ve enfrentado a múltiples problemas, que van desde no conocer los nombres de los números o no conocer el orden correcto de ellos, hasta los relativos con el establecimiento del cardinal de la colección contada. Solo a través de enfrentar múltiples situaciones de conteo, el niño puede desarrollar los esquemas suficientes y necesarios para solucionar estos problemas. De otra parte, así como a través de las diferentes situaciones de conteo a las que el niño se enfrente le permiten adquirir una comprensión del número, estas mismas situaciones, en la medida que exigen la comunicación con otros (sobre todo si esta se realiza con lápiz y papel), también generan la necesidad de aprender a escribir los numerales10. Al igual que con el conteo, este no es un aprendizaje de fácil tránsito, que parte de las representaciones espontáneas de los niños (icónicas muchas veces) hasta finalmente llegar a la escritura socialmente establecida. Se trata pues, no de imponer a la fuerza una escritura simbólica, sino de permitir que en la medida que aumente la comprensión conceptual del número, también mejore la forma como este se representa por escrito, y viceversa, que en la medida que se disponga de formas más potentes de representación simbólica para el número, entonces se tengan mejores herramientas para su comprensión. Finalmente, el conteo es una herramienta importante para iniciar el aprendizaje de las operaciones básicas, sobre todo las correspondientes a la estructura aditiva. La composición de dos o más a cantidades (partes) para formar una única cantidad (todo), o su correspondiente operación inversa, descomponer una cantidad dada (todo), en una o más cantidades no necesariamente iguales (partes), son una fuente importante de sentido y significado para la suma y la resta respectivamente. El conteo proporciona estrategias para el tratamiento de situaciones que involucren tanto la composición como la descomposición aditiva. Estas se constituyen en uno de los procesos fundamentales a través de los cuales el alumno logra la estructuración conceptual del número. La descomposición, como su nombre lo indica, consiste en la repartición de una cantidad determinada en dos o más cantidades menores que ella (éstas no necesariamente tienen que ser iguales). Así por ejemplo, la cantidad 5 puede ser descompuesta en 1 y 4; 2 y 3; 3 y 2 y 4 y 1. La composición es el proceso inverso, esto es, a _____________________________________________________ 10

Símbolos con los que representamos los números de forma escrita, que para nuestro caso, es a través de Sistema de Numeración Decimal.

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partir de dos o más cantidades dadas, encontrar la cantidad total. Ambos procesos están unidos al esquema básico aditivo: la relación parte-parte-todo. Así, en un primer momento de la actividad intelectual del alumno, la composición y la descomposición aditiva está ligada al conteo, y a través de este, se generan una serie de estrategias que evolucionan en la medida que evolucione el concepto de número y de las operaciones adición y sustracción.

Estándares Relacionados con la Unidad No.1 A continuación se presenta una propuesta organizacional de los estándares asociados al conjunto de actividades de esta unidad: Numérico Primero a Tercero

Reconocer el significado del número en diferentes contextos (medición, conteo, comparación, codificación, localización entre otros). Describir, comparar y cuantificar situaciones con números, en diferentes contextos y con diferentes representaciones.

Cuarto a quinto

Analizar y explicar las representaciones de un mismo número (naturales, fracciones, decimales, porcentajes).

Sexto a séptimo

Generalizar propiedades y relaciones de los números naturales (ser par, impar, ser múltiplo de, ser divisible por, conmutativa, etc.)

Variacional Primero a Tercero

Cuarto a quinto

Reconocer y describir regularidades y patrones en distintos contextos (numérico, geométrico, musical, entre otros). Describir cualitativamente situaciones de cambio y variación, utilizando el lenguaje natural, dibujos y gráficas. Representar y relacionar patrones numéricos con tablas y reglas verbales.

Métrico Primero a Tercero

Reconocer atributos mensurables de los objetos y eventos (longitud, superficie, capacidad, masa y tiempo) en diversas situaciones.

Cuarto a quinto

Diferenciar atributos mensurables de los objetos y eventos (longitud, superficie, volumen, capacidad, masa, tiempo y amplitud angular) en diversas situaciones.

Aleatorio Primero a Tercero

Clasificar y organizar datos (relativos a objetos reales o eventos escolares) de acuerdo con cualidades o atributos 11

_____________________________________________________ 11

Tomado del libro interpretación e implementación de los estándares básicos de matemáticas, Gobernación de Antioquia. Secretaría de Educación, Medellín 2005.

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SITUACIÓN N° 1: JUGANDO Y CONTANDO • CONCEPTOS Y PROCEDIMIENTOS Con el siguiente grupo de actividades, se pretende un acercamiento a los diferentes significados y usos del número en diferentes contextos, teniendo en cuenta el conteo, la composición y la descomposición como estrategias en la solución de problemas, y por esta vía, lograr una construcción significativa del concepto de número. Los juegos “Los bolos” y “La canasta” permiten hacer diferentes conteos, reconocimiento de cardinalidad y ordinalidad de los números, diferentes composiciones y por lo tanto operaciones entre ellos. Por ejemplo, si un equipo tumba 5 bolos de color rojo (valor 10 puntos cada uno), 3 bolos azules (valor 5 puntos) y 2 bolos amarillos (valor 1 punto), debe hacer la cuenta del total de puntos, para lo cual puede utilizar conteos múltiples y/ o simples: • 10, 20, 30, 40, 50 Puntos en los rojos: 40, • 5, 10, 15, Puntos en los azules: 15, • 1, 2 Puntos en los amarillos: 2, Y luego sumar para obtener el total de puntos. 50 + 15 + 2 = 67 Pero también puede plantear directamente las operaciones de multiplicación y adición: • 5 x 10 = 50 Puntos en los rojos: 50 • 3 x 5 = 15 Puntos en los azules: 15 • 2 x 1 = 2 Puntos en los amarillos: 2 Luego sumar como en el caso anterior para obtener el total de puntos: 50 + 15 + 2 = 67 La actividad de llenar la tabla en los dos juegos posibilita al estudiante reconocer relaciones entre los números obtenidos (mayorancia y minorancia), además de plantear diferentes operaciones y relaciones entre ellos. Así por ejemplo, si un jugador obtuvo la siguiente tabla en el juego de la canasta: Turno No 1 2 3

No de tapas en No de tapas en No de tapas en el el color azul el color rojo color amarillo 4 1 6

3 5 4

Puntaje obtenido

3 4 0

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Se pueden proponer reflexiones como las siguientes: • ¿Cuántas tapas cayeron en azul? ¿cuántas en rojo?… • ¿Cuál es el puntaje obtenido con las tapas que cayeron en azul? ¿con las que cayeron en rojo?... • ¿Cuántas tapas cayeron en la canasta? • ¿Cuál es el puntaje total? Otra posibilidad es la de realizar una tabla general donde se registren los resultados de todos los participantes para establecer las posibles combinaciones del número 10 que es el número de tapas que lanza cada jugador en cada turno. Además de las combinaciones de otros números, si son los cinco jugadores, en este caso para el 50. La actividad 4: “El mentiroso”, permite reconocer los números en composiciones y descomposiciones: • 4 como 2 + 2 • 6 como 2 +2 + 2 • 8 como 6 + 2; 2 +2 +2 +2; 4 + 2 + 2; 4 +4, etc. Además, reconocer que un mismo número se compone de diferentes maneras: ejemplo 24 aparece en la lista de 4, 8, 12, 16 ,20, 24, 28,…, pero también aparece en la lista de 6, 12, 18, 24, 30…, y además en la de 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27.. Se sugiere además, establecer discusiones acerca de las operaciones implicadas y sus propiedades, haciendo énfasis en la comprensión de los fenómenos y las relaciones que se involucran, para lograr explicar y argumentar los procedimientos y resultados obtenidos frente a una situación o problema planteado. Así, aunque se obtenga el mismo resultado (24) con las operaciones 6 x 4; 4 x 6 y 8 x3, el fenómeno representado es diferente: • 6 x 4 = 24: (4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4, seis tarjetas de 4 puntos cada una) • 4 x 6 = 24: (6 + 6 + 6 + 6, cuatro tarjetas de 6 puntos cada una) • 8 x 3 = 24: (3 + 3 +3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3, ocho tarjetas de 3 puntos cada una) Igualmente el juego permite reconocer en los números naturales propiedades y relaciones de divisibilidad, ser múltiplo de…, etc. Para lograr tales conceptualizaciones se sugiere crear variantes para el juego de modo que se identifiquen múltiplos de 2, 3, 4, 6, y además, reforzar distintas estrategias de conteo, buscar el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor, etc.. Otra línea de análisis interesante en esta actividad tienen que ver con las estrategias para descubrir al mentiroso, en tanto que dichas estrategias se basan en las

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operaciones entre números y sus propiedades. Preguntas como las siguientes pueden orientar el análisis propuesto: • ¿Cómo descubriste que … decía mentira? • ¿Qué estrategias utilizaste para determinar el número de veces que aparece cada número en el juego? • ¿Es posible saber siempre con certeza si un compañero dice mentira? De igual manera, en el juego “Tiro al blanco”, se puede interpretar y manipular la descomposición de los números, así: El 65 se puede obtener como 5 + 15 +15 + 30 ó como 5 + 5 + 5 +15 +15 + 20. Además, se puede plantear una variación del juego de tal forma que permita ver la descomposición de los números en decenas (y un excedente que no completa la decena). Por ejemplo, con tiros de 5, 10, 20, 30, se obtendrían resultados como 65 = 10 + 10 +10 + (10 + 10) + 10 + 5 Es preciso recordar que los errores de los estudiantes en la lectura de los números, muchas veces obedece a la utilización poco adecuada de esta descomposición. Así, cuando se le pregunta a un estudiante cuántas unidades hay en el número 65 y éste da como respuesta 5, él no percibe o no recuerda que realmente hay 65 unidades, y confunde la cifra que está ubicada en las unidades (5) con la cantidad de grupos de 1 que se pueden obtener del número dado. • GESTIÓN DE LAS ACTIVIDADES Se recomienda desarrollar los juegos con el número de participantes indicado y luego, en parejas, hacer la discusión de las preguntas y las reflexiones. Es pertinente hacer socializaciones en las cuales se planteen diferentes puntos de vista respecto a los interrogantes formulados y se diseñen nuevos planes de acción relativos a cada actividad. El docente debe analizar los resultados según las reflexiones iniciales y orientar a los estudiantes en los procesos de generalización, corrección de errores y procesos de ejercitación de procedimientos, siempre tomando como insumo los resultados obtenidos por los alumnos. Las tablas que se sugieren llenar en cada actividad juegan un papel muy importante, pues a partir de estos registros se puede recuperar el trabajo realizado por los alumnos y a partir de ahí poder realizar los procesos de conceptualización pertinentes a cada una de las actividades. Dependiendo del juego, o de la intencionalidad de conceptualuzación, la tabla puede ser una para cada jugador, o una para todo el equipo.

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•ACTIVIDAD 1: Tiro al blanco Número de jugadores: 2 o más Materiales: Tiza, bolsitas de arena o tapas de gaseosa rellenas de plastilina, pita, papel y lápiz.

Cómo jugar w El juego consiste en lanzar un objeto (bolsitas de arenas o tapas) a un blanco que se encuentra a una distancia prudencial del lanzador. w El blanco se realiza dibujando en el piso 4 círculos concéntricos. Cada círculo tiene los siguientes valores, iniciando desde adentro hacia fuera: 30, 20, 15, 5. w Cada jugador realiza 6 lanzamientos por turno. A medida que realiza el juego llena una tabla de registro similar a la de abajo. (Agrega las filas que sean necesarias para registrar todos los puntajes). Turno No.

No. de aciertos en 5

No. de aciertos en 15

No. de aciertos en 20

No. de aciertos en 30

Total Puntaje

Turno 1 Turno 2 Turno 3

Situaciones para reflexionar w ¿Cuántos puntos de ventaja obtuvo el ganador con respecto a los demás jugadores? w ¿Cuál creen que sea el máximo puntaje que puede obtener un jugador? w La siguiente es la tabla de registro de un jugador, pero olvidó anotar lo sucedido en algunos turnos. ¿Cuáles crees que sean los valores que faltan? Turno No.

Turno 1 Turno 2 Turno 3

No. de aciertos en 5

No. de aciertos en 15

No. de aciertos en 20

No. de aciertos en 30

•ACTIVIDAD 2: Los bolos Número de jugadores: 4 Materiales por equipo: Bolos (10) de colores con valores determinados (de acuerdo con las necesidades del grupo), pelota, hojas de registro, lápices, un espacio amplio para jugar. 26

Total Puntaje

65 120

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Cómo jugar: w Cada equipo de subdivide en parejas para competir entre ellos. w Cada equipo elige un líder y éste lanza la pelota para tumbar los bolos y empieza el equipo que tumbe más bolos. w El juego consiste en derribar el mayor número posible de bolos por equipo. w Cada integrante del equipo tira la pelota una vez y se totalizan los puntos obtenidos por la pareja en ese turno. Ese puntaje se registra en la tabla. w Después de cada lanzamiento se paran los bolos tumbados. w Cada equipo, en turnos alternados realiza tres rondas. w Gana el equipo que más puntos acumule después de terminar las tres rondas. Turno No.

No. de bolos azules caídos

No. de bolos amarillos caídos

No. de bolos verdes caídos

Total Puntaje

Turno 1 Turno 2 Turno 3 Total equipo

•ACTIVIDAD 3: La canasta Número de jugadores: 5 Materiales por equipo: 10 tapas de gaseosa (rellenas de plastilina para que sean más pesadas), una canasta de huevos vacía pintada de 4 colores diferentes, a cada uno se le asigna un valor a saber: 7 azul, 5 rojo, 3 amarillo, 2 verde; tabla de registro, lápices. (Los valores asignados a los colores pueden variar según las necesidades del grupo).

Cómo jugar: w Los participantes se enumeran de uno a cinco para determina el orden de lanzamiento. w El juego consta de tres turnos para cada participante. w Cada jugador en su turno lanzará de forma sucesiva 10 tapas hacía la canasta. Una vez efectuado el turno, el jugador debe observar la ubicación de las tapas para determinar el puntaje obtenido teniendo en cuenta el valor de cada zona de la canasta. Luego anota dicho puntaje en la tabla de registro. w El ganador es el participante que obtiene el mayor puntaje. w A medida que el juego se realiza se llena una tabla de registro individual como la siguiente: 27

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Turno No.

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No. tapas en color azul

No. tapas en color rojo

No. tapas en color amarillo

No. tapas en color verde

Puntos Ganados

1 2 3

Situaciones para reflexionar w Camilo y Pablo estaban jugando a la canasta, pero necesitan nuestra ayuda para saber quién ganó. Camilo encanastó diez tapas: 3 en color verde, 2 en color rojo, 4 en color amarillo y 1 en color azul ¿Cuántos puntos ganó? Pablo encanastó diez tapas: 2 en color verde, 4 en color rojo, 1 en color amarillo y 3 en color azul. ¿Cuántos puntos ganó? ¿Quién fue el ganador? Elabore las tablas de Camilo y Pablo. w Las siguientes son las tablas de registro de dos jugadores, pero por descuido de uno de ellos las ha mojado de jugo, y algunos números se han borrado. Ayuda a completar los datos para establecer el ganador de este juego. Turno No.

No. tapas en azul

1 2 3

Turno No.

No. tapas en azul

No. tapas en rojo

No. tapas en amarillo

No. tapas en verde

40 39 47

1 2 3

No. tapas en rojo

•ACTIVIDAD 4: El mentiroso

No. tapas en amarillo

Puntos Ganados

No. tapas en verde

Puntos Ganados

32 48 60

Número de jugadores: 4 Materiales por equipo: Una baraja de cartas caseras (60), en combinaciones de 10 como las que se muestran a continuación. _____________________________________________________ 12

Tomado y adaptado de: KAMII, Constante. Reinventando la aritmética II. pp 157-158.

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5, 10 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19

4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60

w El objetivo del juego es formar series de 10 cartas, iniciando con la serie del 2, luego con la del 3, 4, 5, 6 y 1. Terminada una serie se inicia otra ronda. w Se reparte toda la baraja en igual número de cartas para cada jugador. El primer jugador pone un 2 en el centro de la mesa, boca abajo y dice: “dos”. El siguiente continúa con un 4 y dice “cuatro”. El siguiente continúa con un 6 y dice “seis”. El jugador que no tiene la siguiente carta que le corresponde poner, coloca otra cualquiera esperando que no lo descubran. Si alguien cree que la carta no se corresponde con el número cantado por el jugador, dice “mentira”. Si es mentira, la persona que la ha echado se queda con todas las cartas del montón de la mesa. Si no es mentira, quien acusa se lleva todo el montón. w El juego continúa hasta que alguien se quede sin cartas o cuando no hayan más cartas para completar la serie. Gana el jugador que quede sin cartas o el que obtenga el menor puntaje

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Números Enteros

Unidad No.2

Referentes Conceptuales La enseñanza de los números enteros ha estado situada hacia los grados 6 o 7 de la educación básica. Además, dada la organización curricular lineal y rígida de la matemática escolar, antes de estos grados los niños difícilmente son puestos en situaciones de aula en las que se vean en la necesidad de utilizar, de manera intuitiva, nociones básicas relacionadas con los números enteros, o mejor aún, con las nociones básicas de lo positivo y lo negativo. Esta situación se presenta a pesar de que ellos, en su vida cotidiana, se ven enfrentados a situaciones que implican una primera aproximación a este sistema numérico; por ejemplo cuando juegan (pierden, ganan) quedan debiendo); en sus casas (sus padres tienen deudas, hacen préstamos, pagan acreencias); en las noticias (información estadística sobre la economía del país, las tasas de interés; etc.). La presencia de situaciones como las anteriores en la vida cotidiana de los alumnos, muestran que, en principio, si tendría sentido generar propuestas de aula que inicien el trabajo de los números enteros desde los primeros grados de la educación básica (claro esta, sin pretender que a esta edad se aprenda el tratamiento formal que implica la complejidad de los enteros como sistema matemático).

Algunas Dificultades en el Aprendizaje de los Números Enteros Es común encontrar que los alumnos al enfrentarse a situaciones que requieran del uso de los números enteros, los asuman como si se tratará de números naturales. Esto se evidencia en situaciones como: Se interpreta como negativo todo aquello que esté antecedido de un signo menos, por ejemplo: El número -x siempre se grafica a la izquierda del cero, independiente de que x sea o no mayor que cero. No se comprende que cuando x < 0 entonces -x es positivo.

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La marcada dependencia de la ley de los signos es otro asunto que impide un manejo adecuado de las diferentes interpretaciones del signo menos. Por ejemplo: Para encontrar el resultado de -2 -3 algunos estudiantes no dudan en afirmar que es +6 luego de multiplicar los números dados y sus correspondientes signos; o en otros casos +5 después de sumar los números y multiplicar los signos. Esto como resultado de omitir la interpretación de la expresión como la suma del opuesto de 2 con el opuesto de 3 o alternativamente, la resta de tres al opuesto de 2. Al despejar una ecuación, en la cual se aplique la propiedad invertiva del producto, también se hace inversión del signo: en la ecuación, 3x = 15 se despeja como: La no comprensión de la sustracción como la operación inversa de la suma. Esto es, que en los enteros solo tiene sentido hablar de la operación suma, pues cualquier resta se puede interpretar como una suma de inverso aditivos. Solo se admite el signo menos como un operador binario, esto es, la expresión 5 - 3 solo puede denotar la resta, y no se ve el -3 como el inverso aditivo de 3. La no comprensión de los diferentes significados del signo menos. Por ejemplo, -(-3), el primer signo menos indica el operador opuesto de…, mientras que el signo menos al interior del paréntesis puede denotar, o bien el opuesto aditivo, o bien un número negativo.

Algunos Apuntes desde la Historia La comprensión del concepto de número entero comporta una serie de elementos epistemológicos que lo hacen complejo: la aceptación de la existencia de las cantidades negativas, su comprensión y significación, y su tratamiento matemático. Estos aspectos fueron objeto de muchos debates por los matemáticos durante más de 1000 años, desde los griegos hasta finales del siglo XVIII, donde finalmente se logra una interpretación intuitiva de los números negativos, y por supuesto, una construcción formal para este sistema numérico13 . En contraste, la cultura China, siglos antes que los griegos, lograron la construcción de un concepto de negatividad que les permitía la aceptación de los números enteros a la par de otros números, como por ejemplo los naturales. La principal razón para esta aceptación China de la negatividad, en oposición a la imposibilidad griega, se debe buscar en la relación de ambas culturas con el cero, la nada, y con su manera de comprender los opuestos. Desde la cultura China, el cero se constituía en el centro, en _____________________________________________________ 13

Una reseña breve sobre la historia de los Números Racionales se puede leer en la siguiente dirección Web: http://nti.educa.rcanaria.es/ fundoro/es_confboye.htm. Igualmente se pueden consultar en: LIZCANO, EMMANUEL. Imaginario Colectivo y Creación Matemática: La construcción social del número, el espacio y lo imposible en China y en Grecia. Editorial Gedisa. 1993.

Números Enteros

el lugar del equilibrio de fuerzas opuestas que constantemente se equilibran. Por el contrario, en los griegos, el cero representa la nada, la ausencia de materia, de propiedad, y por tanto, los opuestos al ser menos que nada, no tenían existencia propia ni eran aceptados. Las reglas de operación con los números negativos en Occidente fueron desarrolladas por los matemáticos griegos en los inicios de la era cristiana14 , pero no los aceptaban como números, en tanto que no expresaban una medida concreta. Solo hasta que se logró una interpretación de los números enteros como cantidades relativas, las dudas sobre la existencia de los números negativos se fueron eliminando. Por ejemplo, cuando se dice que la temperatura es de -5 grados centígrados, este valor está expresando que la temperatura actual es 5 grados por debajo de la temperatura de referencia, la cual es la temperatura del agua en estado de congelación y a nivel del mar. Igualmente, cuando se dice que la economía colombiana tuvo un crecimiento negativo –3 puntos, este valor lo que expresa es que el crecimiento de la economía del país, comparado con el crecimiento en el mismo periodo del año anterior, quedó tres punto por debajo, esto se esta cuantificando la variación de la economía del país. Dicho de otra manera, los números enteros expresan cantidades de magnitud para las cuales la medida se realiza con respecto a una cantidad de magnitud tomada como referencia. Esto es, +5 o – 5 expresan que el valor de la magnitud está cinco unidades por encima o por debajo del valor tomado como referencia, es decir el cero. Pero igualmente, los números enteros también expresan cambios en las magnitudes. Cuando una magnitud sufre un cambio (bien sea un aumento o una disminución), este cambio puede se cuantificado a través de un número entero. Por ejemplo, si el peso de una persona aumenta o disminuye en 5kg, la variación del peso se puede representar por los números enteros +5 o -5 respectivamente. Situación similar se da con los desplazamientos en la recta numérica. El hecho de que los números enteros expresen cantidades relativas, hace que se deba poner especial cuidado con el punto de referencia sobre el cual se toma la medida. Se pueden identificar dos tipos de puntos de referencia: los absolutos y los relativos. Un punto de referencia es absoluto cuando este indica la ausencia de la magnitud que se cuantifica (es el caso de las magnitudes en las cuales el cero representa ausencia de lo que se mide). Por ejemplo, cuando se mide una altura por encima del nivel del mar o por debajo de este, el nivel del mar representa el punto cero, y así, un valor de –300 metros, expresa 300 metros por debajo de la superficie del mar. Pero en otras ocasiones las variaciones no se toman con respecto al punto de referencia absoluto (el cero), sino, como en el ejemplo mencionado de la economía de un país, se toma como referencia un valor cualquiera, en este caso, el valor _____________________________________________________ 14

El tratamiento con cantidades negativas y las reglas de operación con ellas fueron descubiertas en China muchos siglos antes que en el Occidente. Se atribuye a Diofanto el desarrollo de éstas reglas operatorias para occidente. Diofanto vivió entre 250 y 350 de la era cristiana.

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obtenido por la economía en el mismo periodo del año anterior, y por tanto, si en el actual periodo se obtiene un valor superior, entonces se dice que la economía tuvo un crecimiento positivo, y en el caso que sea menor, se afirma que la economía ha tenido un crecimiento negativo. En este caso el hecho de obtener valores positivos o negativos, está determinado por una comparación con respecto a un valor que hace las veces de punto de referencia, el cual ya expresa una medida de la magnitud y es tomado como relativo. Su carácter relativo se refiere a la posibilidad de variar dependiendo de la situación particular que se tenga y del hecho de que él en si mismo ya representa una medida de la magnitud con la cual se está trabajando. Los puntos de referencia absolutos o relativos son importantes, sobre todo, cuando se trata de hacer interpretaciones de los números enteros y de sus operaciones en la recta numérica15 , o de utilizarlos para representar situaciones de la vida real. Por ejemplo, – 5 puede ser representado como el punto de la recta que está 5 unidades a la izquierda del cero, pero también puede ser representado por un desplazamiento de 5 unidades hacia la izquierda, desde un punto cualquiera de la recta, por ejemplo un desplazamiento desde 20 hasta 15. En ambos casos, el –5 expresa una cantidad de 5 unidades contadas hacia la izquierda del punto de referencia, lo cual indica que el punto final representa un valor 5 unidades menor que el punto inicial, pero en el caso que el punto de referencia es absoluto, es decir el cero, entonces el resultado coincide con el punto geométrico de la recta que representa el número -5. En síntesis, se puede plantear que hasta el momento los números enteros tienen dos significados: expresan una medida relativa de una magnitud (relatividad con respecto a un valor de referencia), o expresan el cambio, la variación de una determinada magnitud. Así, llevando las situaciones anteriores a un plano más formal, y utilizando la representación geométrica de los números enteros en la recta numérica, implicarían una de las dos situaciones siguientes: los números enteros son puntos geométricos localizados a la derecha o a la izquierda del cero (que expresa la cantidad de unidades que hay desde ese punto hasta el cero, y por tanto, indican una medida), o un desplazamiento hacia la derecha o a la izquierda desde un punto cualquiera de la recta (lo cual indicaría la variación en la medida de una magnitud) 16. Desde la anterior perspectiva se puede ver que el signo menos (-), también puede tener varios significados: el signo que indica si un número es negativo, el signo que indica una disminución en el valor de una cantidad17, y el ya tradicional operador binario que indica la operación resta. _____________________________________________________ 15

En este documento se asumen por defecto, y por facilidad en la escritura, las convenciones izquierda y derecha como los sentidos negativo y positivo respectivamente, pero se debe destacar que esta elección es un asunto de convención, es decir, que se puede hacer una elección distinta si eso facilita el tratamiento de la situación (de hecho en física este es un recurso muy utilizado, por ejemplo en situaciones de caída libre de los cuerpos). Obviamente a partir de esta interpretación, el punto geométrico que representa un número entero, también puede ser interpretado como un desplazamiento de desde el cero. Un caso particular de esta situación se puede ver en los desplazamientos hacia la izquierda en la recta numérica.

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Sin embargo éstos no son todos los significados que puede tener el signo menos. Otro significado importante es el de un operador unario: “el opuesto de…” Este significado puede verse como una combinación de los anteriores, pero tiene un especial significado, ya que desde el punto de vista de las relaciones y operaciones de ambos sistemas, el operador “opuesto de”, que no existe en los naturales, hace que en los enteros, surja una nueva propiedad para la suma, la propiedad invertiva. Con este hecho, la operación suma en los enteros logra una estructura de grupo abeliano. El surgimiento de esta nueva propiedad, la invertiva, es lo que permite la redefinición de la resta como un caso particular de la operación suma. El operador “opuesto de...” admite dos interpretaciones, por supuesto, muy relacionadas entre sí: el simétrico de un número con respecto al cero absoluto (por ejemplo, 4 y –4), y el cambio de sentido de una variación (por ejemplo (-8) puede representar un desplazamiento de 8 unidades hacia la izquierda, y por tanto,- (-8) , representa un desplazamiento de 8 unidades hacia la derecha. El primero es un significado estático, mientras que el segundo es un significado dinámico. En síntesis los números enteros pueden tener varios significados, como se muestra en la siguiente tabla: Interpretaciones

Contextos

Medida

Positivo

Negativo

Operador Unario

Cantidad por encima del valor de referencia.

Cantidad por debajo del valor de referencia.

Puntos en la recta numérica

El opuesto de… Esto es, la cantidad que al sumarla con otra cantidad dada, la anula.

Operador Binario

Cero

Suma de dos Absoluto cantidades

Simétrico con respecto al cero de un punto en la recta numérica.

Variación

Aumento en la medida de una magnitud.

Disminución en la medida de una magnitud.

Desplazamiento a la derecha de un valor de referencia dado.

Desplazamiento a la izquierda de un valor de referencia dado

Cambio en el sentido de la variación en una cantidad de magnitud.

Suma de dos Relativo variaciones de cantidad de magnitud.

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• ESTÁNDARES RELACIONADOS A continuación se presentan los estándares asociados con las ideas relacionadas en las páginas anteriores, los cuales pueden ser movilizados a través de las actividades aquí propuestas: Numérico Primero a Tercero

Reconozco significados del número en diferentes contextos (medición, conteo, comparación, codificación, localización entre otros). Describo situaciones que requieren el uso de medidas relativas. Reconozco propiedades de los números (ser par, ser impar...) y relaciones entre ellos (ser mayor que, ser menor que, ser múltiplo de, ser divisible por....) en diferentes contextos. Justifico regularidades y propiedades de los números, sus relaciones y operaciones

Cuarto a quinto

Identifico y uso medidas relativas en distintos contextos.

Sexto a séptimo

Resuelvo y formulo problemas en contextos de medidas relativas y de variaciones en las medidas.

Variacional Primero a Tercero

Reconozco y describo regularidades y patrones en distintos contextos (numérico, geométrico, musical, entre otros).

Cuarto a quinto

Predigo patrones de variación en una secuencia numérica, geométrica o gráfica.

SITUACIÓN Nº1 PREPARANDO EL CAMINO • CONCEPTOS Y PROCEDIMIENTOS El conjunto de actividades que se presentan en la situación 1 apuntan a adquirir familiaridad con la noción de negatividad, siguiendo un camino por el juego entre opuestos. Se trata de enfrentar a los estudiantes con situaciones en las que, de un lado, vean la existencia de dos tipos de cantidades (las positivas y las negativas), y de otro, que se pueda conceptualizar una propiedad básica de este tipo de cantidades: cantidades opuestas iguales en valor numérico se anulan. En este sentido, la primera actividad se inicia con conteos de uno en uno, de cantidades opuestas que se anulan sucesivamente. Se trata de aprovechar la posibilidad que tienen los niños de establecer correspondencias uno a uno, y en este caso, al hacer dichas correspondencias, se logra anular parejas de cantidades opuestas. Es un primer contacto formal con la negatividad, pues de hecho en la vida cotidiana, encontramos contextos muy particulares en los que los números negativos no son 36

Números Enteros

pensados como tal, sino que se piensan las cantidades como ambas positivas, pero que entre ellas se debe realizar una operación de sustracción (esto se refuerza con el hecho de que en este tipo de contextos, casi siempre los resultados son positivos). La segunda actividad profundiza la reflexión sobre las cantidades opuestas que se anulan, pero ahora, a partir de conteos más complejos, al favorecer el conteo con totalidades (las cantidades marcadas por los dados). Si bien es cierto, que los alumnos pueden seguir operando a partir de conteos uno a uno, el hecho de que les aparezca, por ejemplo, tres positivos y tres negativos, hace que comprendan la posibilidad de anular totalidades, y no solamente contando uno a uno. Esta segunda actividad permite controlar el tipo de resultados que los alumnos pueden obtener: manipular los dados de tal manera que solo se obtengan resultados positivos (por ejemplo, el dado positivo tiene números 4, 5 y 6; mientras que el otro dado, 1, 2 y 3), o la inversa, que los resultados sean siempre negativos, o incluso, dejar libre la posibilidad del resultado. La primera opción, es conceptualmente menos compleja, pues deja al niño en el campo de los números naturales, y el procedimiento es similar al ya conocido por él en la resta entre números naturales. La opción de resultados negativos obliga a pensar en las cantidades negativas, ya no solo como cantidades opuestas que se anulan, sino como números en si mismos; de hecho es un avance en el concepto del número entero como tal. Finalmente las actividades 3 y 4, refuerzan los planteamientos de las dos actividades anteriores, pero ahora enfatizan más en la totalización de cantidades opuestas. Esto se debe a que ahora se trabaja con totalidades (no hay puntos que contar, como en los dados). Adicionalmente, se favorecen los conteos con unidades múltiples, tanto positivas como negativas, lo cual mejora las técnicas de conteo, y por lo tanto, el cálculo numérico. Como puede verse, este primer conjunto de actividades si bien se centra en una aproximación formal al concepto de negatividad, ésta se aborda desde la perspectiva de cantidades opuestas, pero además, constituyen una primera aproximación a la operación aditiva de cantidades positivas y negativas, e incluso de negativas entre si. • GESTIÓN DE LAS ACTIVIDADES Es importante resaltar que en el caso de las actividades en las cuales se pueden presentar resultados negativos, se debe prestar atención a como enfrentan los niños la situación. En general se pueden presentar dos casos: pueden ignorar el resultado negativo, o pueden dejarlo en espera para compensarlo en el siguiente turno. Si se da el caso inicial, entonces se debe hacer una intervención que motive a considerar la cantidad. En todo caso, y sobre todo para la actividad dos, se deben mani37

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pular los dados para lograr que los niños no se enfrenten de entrada a la situación más compleja, a menos que se tenga la seguridad que para un grupo determinado de alumnos enfrentarse a la situación más compleja será un reto que pueden superar.

•ACTIVIDAD 1: Opuestos que se anulan Número de jugadores: 2 Materiales: Computador, carpeta de archivos

Qué hacer: w Abra la carpeta actividades y dentro de ella la carpeta enteros, allí elija la opción ent-sum. Se podrá visualizar una pantalla como la que aparece a la derecha. w Se trata de colocar tantos cuadros positivos o negativos según lo indique la primera cantidad de la operación. Se oprime continúe. w Luego, se colocan en el círculo tantos pares de signos (+,-) según lo indique la segunda cantidad. Se oprime continúe. w Después se retiran tanto cuadrados positivos como lo indique la segunda cantidad de la operación. Se oprime continúe. w Se escribe la posible respuesta en el recuadro y se verifica la misma oprimiendo Check.

Situaciones para reflexionar w Cuando en la aplicación se añaden parejas de signos, ¿qué proceso matemático se está realizando? ¿Por qué es válido tal proceso? w ¿Por qué se retiran signos positivos si la segunda cantidad que se opera está precedida por un menos (-)? w ¿Qué significado tendrá el menos (-) que relaciona las dos cantidades?

•ACTIVIDAD 2: Juego del Parqués Número de jugadores: 4 Materiales: Tablero de parqués común, 4 fichas por cada jugador, dados, tabla de registro individual y lápiz.

Cómo jugar: w Inicia el juego el participante que al tirar el dado obtenga el mayor puntaje. 38

Números Enteros

w Se juega normalmente al parqués pero se modifican los valores de los dados, de tal forma que se identifique un dado que da puntos (dado positivo) y otro que resta (dado negativo). Los dados pueden identificarse con colores según sea positivo o negativo. Así, de la cantidad de puntos obtenidos en el dado positivo, se debe sustraer la cantidad de puntos obtenidos en el dado negativo, y el excedente es lo que se debe correr con las respectivas fichas. Esto es, si el jugador saca 5 en el dado positivo y 2 en el dado negativo, entonces solo debe correr 3 puntos. w El puntaje obtenido en cada jugada lo puede mover con varias fichas como en el parqués normal. w Gana el juego el primer jugador en llevar todas sus fichas al final del recorrido w A medida que el juego se realiza se llena una tabla de registro individual como la siguiente:

Valor en el dado positivo Valor en el dado negativo Casillas Recorridas

•ACTIVIDAD 3: Juego del ParquésJuego La canasta Número de jugadores: 5 Materiales por equipo: 10 tapas de gaseosa, una canasta de huevos vacía, pintada de 4 colores diferentes, a cada uno se le asigna un valor a saber: -5 azul, 5 rojo, -2 amarillo, 2 verde (Los valores asignados a los colores pueden variar según las necesidades del grupo), tabla de registro, lápices.

Cómo jugar: w Los participantes se enumeran de uno a cinco para determinar el orden de lanzamiento. w El juego consta de tres turnos para cada participante. w Cada jugador en su turno lanzará de forma sucesiva 10 tapas hacía la canasta. Una vez efectuado el turno, el jugador debe observar la ubicación de las monedas para determinar el puntaje obtenido teniendo en cuenta el valor de cada zona de la canasta. Luego anota dicho puntaje en la tabla de registro. w El ganador es el participante que obtiene el mayor puntaje. w A medida que el juego se realiza se llena una tabla de registro individual como la siguiente:

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Turno No.

Pensamiento Numérico y Sistemas Numéricos

No. de monedas en color azul

No. de monedas en color rojo

No. de monedas en color amarillo

No. de monedas en color verde

Puntos

1 2 3

Situaciones para reflexionar w Camilo y Pablo estaban jugando a la canasta, pero necesitan nuestra ayuda para saber quién ganó. Camilo encanastó diez monedas: 3 en color verde, 2 en color rojo, 4 en color amarillo y 1 en color azul ¿Cuántos puntos ganó? Pablo encanastó diez monedas: 2 en color verde, 4 en color rojo, 1 en color amarillo y 3 en color azul. ¿Cuántos puntos ganó? ¿Quién fué el ganador? Elabore las tablas de Camilo y Pablo. w Las siguientes son las tablas de registro de dos jugadores, pero por descuido de uno de ellos las ha mojado de jugo, y algunos números se han borrado. Ayuda a completar los datos para establecer el ganador de este juego. Turno No.

1 2 3 Turno No.

1 2 3

No. de monedas en color azul

No. de monedas en color rojo

No. de monedas en color amarillo

No. de monedas en color verde

Puntos

5 4 No. de monedas en color azul

No. de monedas en color rojo

3 No. de monedas en color amarillo

2 3

No. de monedas en color verde

Puntos

•ACTIVIDAD 3: Juego del Tiro al Blanco Número de jugadores: 2 Materiales: Tiza, bolsitas de arena, pita, papel y lápiz

Cómo jugar w El juego consiste en lanzar un objeto a un blanco que se encuentra a una distancia prudencial del lanzador. 40

Números Enteros

w El blanco se realiza dibujando en el piso 4 círculos concéntricos. Cada círculo tiene los siguientes valores, iniciando desde adentro hacia fuera: -10, 10, 5, -5. w Cada jugador realiza 6 lanzamientos por turno. A medida que se realiza el juego se llena una tabla de registro similar a la de abajo. (Agrega las filas que sean necesarias para registrar todos los puntajes). Turno No.

No. de aciertos en 5

No. de aciertos en (-5)

No. de aciertos en 10

No. de aciertos en (-10)

Total Puntaje

1 2 3 SITUACIÓN Nº2 MEDIDAS Y VARIACIONES • CONCEPTOS Y PROCEDIMIENTOS En este conjunto de actividades se pretende una aproximación más formal a los números enteros, pero ahora poniendo el acento en la medida de magnitudes, y en la cuantificación de sus variaciones. Así, en la actividad 1, se quiere hacer énfasis en el concepto de CAMBIO Y SU REPRESENTACIÓN NUMÉRICA. Diferenciando el número como cantidad absoluta, en este caso es un número natural (N), y el número como cantidad relativa (un número entero Z): +10, -10; 10, en este caso representado con el símbolo que indica la cantidad precedido del signo +, - que indica el cambio (aumento o disminución). Además del concepto de cero relativo y cero absoluto, entendiendo al cero absoluto como ausencia de la propiedad que se mide (unidad de medida), y al cero relativo, como el punto inicial (no necesariamente nulo) a partir del cual iniciar un conteo.

) *

Es importante resaltar, que desde una perspectiva formal, el conteo a partir de un cero relativo es equivalente a una traslación de los ejes coordenados: X = X’ + 40. +

+ +

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La situación dos, por su parte, pone el acento en las cantidades positivas y negativas, como medidas de magnitudes con respecto a un punto de referencia. Así pues, se desea hacer énfasis tanto en el concepto de posición positiva y negativa como en el concepto de cambio en la medida. O mejor aún, de magnitudes, cuyas medidas pueden ser negativas, o positivas. Además, se puede también analizar como el cambio puede darse, bien sea sobre una cantidad positiva o sobre una cantidad negativa. En particular se puede hacer énfasis en la existencia de cantidades cuyas medidas son siempre positivas, pero que pueden cambiar, bien sea positivamente, o negativamente: Positivas exclusivamente (escalares): Área, longitud, tiempo, rapidez, etc. Que pueden ser positivas o negativas (vectoriales): velocidad, posición, aceleración, fuerzas, …

-a -x

a x

-x

Con la segunda situación se pretende hacer énfasis en el manejo de la relación existente entre la magnitud inicial, la magnitud final y el cambio, con las cuales se establece la siguiente ecuación:Mi + C = MF, donde Mi= magnitud inicial, MF= magnitud final y C = cambio. Haciendo que la operación llamada sustracción se vea como la operación suma del opuesto de un número determinado. En general en el conjunto de números naturales la operación sustracción no existe, salvo para aquéllas en las que el minuendo es estrictamente mayor que el sustraendo, pues, en caso contrario dicha operación no sería cerrada, es decir que el elemento (-x) para algún x perteneciente a N no existe. Esto sugiere la necesidad de la ampliación del conjunto de números naturales al conjunto de números enteros Z, sólo que por la vía propuesta del análisis de magnitudes y sus cambios, esta necesidad no es solo una necesidad aritmética. • GESTIÓN DE LA SITUACIÓN Es importante que posterior a cada actividad se realice una plenaria sobre los conceptos y procedimientos empleados por los estudiantes. Además, la plenaria puede implicar el análisis de situaciones similares, pero en otros contextos, con el fin de profundizar en los aspectos conceptuales. Igualmente es necesario promover diferentes formas de representación para cada una de las situaciones planteadas en cada actividad: gráficas, diagramas, esquemas, numéricas, etc. La diversidad de representaciones permitirá una mejor comprensión de los conceptos que se quiere formalizar a través de estas actividades. 42

Números Enteros

Si se quiere, al finalizar este conjunto de actividades, se puede proponer una actividad de indagación sobre los números enteros, en la cual se consulte a través de Internet, libros, etc., aspectos relativos a los números enteros.

•ACTIVIDAD 1: Situaciones particulares a- Una persona, bajo una estricta dieta, pasa en dos meses de 40 Kg. a 50 Kg. ¿Con qué número representarías este cambio?. b- La misma persona cuando tenía 50 Kg. enfermó y volvió a rebajar a los mismos 40 Kg. ¿Con qué número representarías este cambio?.

•ACTIVIDAD 2: Desplazamientos a- Un cohete espacial se prepara para despegar desde su base. El conteo regresivo inicia 20 segundos antes del despegue, 30 segundos después del lanzamiento ha salido de la atmósfera terrestre, y 1 minuto más tarde sale de la órbita terrestre. i. En una línea de tiempo como se registraría ésta situación, asumiendo que: 1. El tiempo cero se asigna al momento de iniciar el conteo regresivo. 2. El tiempo cero se asigna al momento del despegue. 3. El tiempo cero se asigna al momento de salir de la atmósfera. ii. ¿Cuánto tiempo transcurrió desde el conteo hasta salir de la atmósfera?. b- Un avión que vuela a 900 m sobre el nivel del mar detecta un submarino que se encuentra a 500 m bajo el nivel del mar. ¿Cuántos m separan al avión del submarino? Si el submarino asciende 100 mts. Y el avión desciende 100 mts. i. ¿Cuál es la nueva posición de cada uno? ii. ¿Cuál es la nueva distancia de separación?

•ACTIVIDAD 3:Cambios a- En un cuarto la temperatura ambiente es de 47° C, se prende el aire acondicionado y la temperatura cambia en -25° C. ¿Cuál es la nueva temperatura del cuarto?. b- En un frigorífico la temperatura cambia en +15° C. si la temperatura final fue de 5° C. ¿Cuál era la temperatura inicial del frigorífico? c- CNN informó que en horas de la mañana la temperatura de Medellín sería de 28° C. y que en horas de la tarde sería de 17° C. ¿Cuál fue el cambio, en aquel día, en la temperatura de Medellín?

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SITUACIÓN 3: EN EL CAMINO DE LAS OPERACIONES • CONCEPTOS Y PROCEDIMIENTOS La primera de estas dos actividades se centra en la noción de número negativo asociada a la idea de desplazamiento: por convención, positivos hacia la derecha, negativos a la izquierda. Igualmente, a partir de los desplazamientos, se espera conceptualizar el número entero como un punto sobre la recta numérica (en este caso, una visión estática del número), que expresa la cantidad de unidades que se ha desplazado desde el cero, a cualquiera de los dos sentidos permitidos. se pretende entonces poder reconocer una propiedad fundamental de los números enteros: números con orientación y sentido. Esto es, hacer que el signo menos, o el signo más, sean comprendidos como los que definen el sentido de una cantidad, en función de una orientación determinada. La anterior perspectiva se complementa con los aspectos trabajados anteriormente, en los cuales las cantidades negativas y positivas se expresaban como opuestas entre si. Ahora se debe profundizar en este tipo de reflexiones, pero unido a contextos más formales. Esta actividad se presta para profundizar en el concepto de múltiplo y de divisor de un número, sobre todo, ampliandolos a los negativos. Igualmente, esta actividad permite una aproximación al concepto de número primo. Igualmente las relaciones entre filas o columnas, pone un acento en el análisis de regularidades numéricas, específicamente, relaciones de proporcionalidad directa. Un error muy común de los estudiantes al trabajar con esta actividad es que en el conteo para asignar los valores numéricos a los puntos de la cinta, tomen el punto donde se inicia el conteo como uno, y no como cero. Esto es, no ven en el punto inicial del conteo el cero relativo, y por ejemplo, para contar tres unidades a partir del 3, cuentan el tres como uno, el siguiente punto como dos, y el siguiente como tres, por tanto, ponen 6 al punto que debería ser marcado como cinco. Cuando esto sucede es importante dejar que el juego continúe, pues más adelante se dará cuenta de que los conteos le dan valores diferentes para el mismo punto. En este momento se debe hacer una intervención encaminada a que visualicen que el punto inicial no es uno, sino cero, y que no se cuentan puntos, sino desplazamientos (a veces, hacer la actividad física de caminar por el salón ayuda a comprender la situación propuesta).

Números Enteros

Por su parte, en la actividad 2, se trata de profundizar en el concepto de los números positivos o negativos como puntos de una recta, y en este caso, como identificadores de posiciones en el plano. • GESTIÓN DE LA SITUACIÓN Como se anotó anteriormente, se debe prestar atención a la manera como los estudiantes llenan la pista numérica, pero se debe dejar que cometan los errores, pues ellos indicarán su nivel de conceptualización sobre el cero absoluto y relativo, y sobre los positivo y lo negativo. Posterior a los errores, y dependiendo de la lectura que se haga, se deben realizar las intervenciones orientadas a que se tome conciencia del error, y se apropie de los elementos conceptuales que le permiten realizar correctamente la actividad. Cuando la actividad se juega con dos dados de números y uno de signo, no se presenta ganador. Este hecho facilita la reflexión sobre lo que es un número primo, ya que números como el 13 y (-13), 17 y (-17), 19 y (-19), etc., no son marcados en ningún caso. Se puede por tanto reflexionar sobre por que éstos números no son marcados, y los otros si. En este caso aparece la necesidad de comprender el concepto de múltiplos (y por ende de divisores), tanto positivos como negativos de un número dado. Es muy importante profundizar en las relaciones numéricas de la tabla, sobre todo, porque permite ampliar el horizonte de la comprensión de los números, sus relaciones y sus propiedades.

•ACTIVIDAD 1: La Pista Numérica Número de jugadores: 2 Materiales: Dados, cinta de papel, lápiz, fichas de parques.

Qué hacer: w Cada jugador recibe una cinta de papel de aproximadamente dos metros de largo; un par de dados tradicionales y un dado con signos. w Cada jugador debe llenar completamente su cinta con puntos distribuidos a igual distancia uno de otros (aproximadamente a 1 cm de distancia) por el centro de la misma. w Cada jugador elige y marca el punto central de su cinta con el CERO. w El juego consiste en colocar los números que corresponden a cada uno de los puntos dibujados sobre la cinta. w Cada jugador lanza un dado y quien obtenga el mayor puntaje inicia el juego.

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w Entre los dos jugadores se conviene hacia donde el conteo es positivo y hacia donde negativo teniendo como referente el CERO. (Tomada la decisión de hacia cuál lado es positivo o negativo no se puede cambiar). w Por turnos, cada jugador, lanza los tres dados y asigna el total obtenido al punto correspondiente en su cinta. De igual forma lo hace con los múltiplos de dicho puntajes hasta llegar al extremo respectivo según el tercer dado marque positivo o negativo. Por ejemplo si el jugador lanza y obtiene 3 puntos en el sentido positivo, la cinta se llena de la siguiente manera:

w Gana el jugador que primero logre asignar todos los números correspondientes a los puntos de su cinta. w A medida que se realiza el juego se llena la siguiente tabla, completando con los números que son múltiplos del puntaje obtenido: por ejemplo se obtuvo (-11), entonces se llena la fila 2 que corresponde a los múltiplos negativos de dicho puntaje. Se completa la fila así no se hayan marcado todos esos puntos sobre la cinta.

Números Enteros

Situaciones para reflexionar: w ¿Cuáles números no aparecen en la tabla? Explique por qué. Observe la tabla y responda: w ¿Se podrían obtener los números de la columna 2 a partir de los números de la columna 1? ¿Los números de la columna 5 y los de la columna10 a partir de la columna 1? w ¿Se podrían obtener los números de la fila 2 a partir de los números de la fila 1? ¿Los números de la fila 5 y los de la fila 16 a partir de la fila 1? w ¿Qué otras relaciones se pueden establecer entre los datos de la tabla?

•ACTIVIDAD 2:

La batalla naval

Número de jugadores: 2 Materiales: Un tablero por cada jugador, regla, lápiz, borrador, colores.

Qué hacer w El juego de la batalla naval consiste en derribar los barcos de tu compañero antes de que él derribe los tuyos. Los seis barcos con los que jugaremos en esta ocasión, tienen las siguientes características: w Cada barco será emulado por un segmento de recta que se trazará en la hoja que sirve de tablero. Se requieren dos barcos de cuatro unidades de longitud, dos barcos de tres unidades de longitud y dos barcos de dos unidades de longitud. w El tablero se dibuja sobre una hoja de papel dividida en 4 cuadrantes similares a un plano cartesiano. Cada eje se divide y a cada división se le asigna un número según la escala (se puede trabajar con una escala similar al plano cartesiano con números positivos y negativos).

w Cada jugador ubica los barcos al azar sobre el tablero sin dejar que el contrincante vea la ubicación de los mismos. Uno de los extremos de cada barco debe coincidir con un punto del plano sobre el que se está jugando. 47

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w Por turnos, cada jugador debe tratar de predecir la ubicación de los barcos de su contrincante: Debe decir las coordenadas del punto donde él considera se encuentra ubicado un posible barco, (por ejemplo (3, -5)), donde la primera coordenada representa las abscisas y la segunda coordenada representa las ordenadas. Si acierta en dicho punto, el contrincante dice “impacto” en 4, 3, 2 o 1 según sea la dimensión del barco. Un barco se considera derribado cuando se ha impactado en todos los puntos que lo conforman. w Gana la persona que derribe primero todos los barcos de su contrincante. w Se pueden usar lápices de colores para marcar los puntos que no se han acertado de tal manera que se pueda llevar un control de los disparos y poder predecir dónde están ubicados los barcos. Se puede hacer una ronda de juego donde se ubiquen los barcos al azar. Luego se procede a ubicarlos de la siguiente manera w Poner los barcos de tal manera que forme un rectángulo. w Colocar los barcos de tal manera que el punto donde se ubique el inicio o final del mismo, tengan las segundas coordenadas negativas. Esto es de la forma (x, -y). w Colocar los barcos de tal manera que el punto donde se ubique el inicio o final del mismo, tenga las dos coordenadas negativas. Esto es de la forma (-x, -y) w Colocar los barcos de tal manera que el punto donde se ubique el inicio o final del mismo, tenga las dos coordenadas iguales. Esto es de la forma (x, x), (-x, -x), (y,y) ó (-y,-y). w Colocar los barcos de tal manera que el punto donde se ubique el inicio o final del mismo, tenga coordenadas con dos puntos de diferencia entre ellas. Esto es de la forma (x, x+2) ó (y + 2, y) w Colocar los barcos de tal manera que el punto donde se ubique el inicio o final del mismo, tenga coordenadas donde una sea el doble de la otra. Esto es de la forma (x, 2x) ó (2y, y) SITUACIÓN 4: SUMANDO POSITIVOS Y NEGATIVOS • CONCEPTOS Y PROCEDIMIENTOS El conjunto de actividades presentadas en esta situación apuntan a formalizar conceptos propios de la suma entre enteros. Se dice formalizar, pues desde actividades anteriores se han venido trabajando aspectos relacionados con la suma entre cantidades positivas y negativas. Todas ellas comparten una característica común: centran el análisis de la suma como desplazamientos sobre la recta numérica. En este sentido, se trata de comprender la relación, Posición Inicial (Pi) más Desplazamiento (D) igual a Posición Final (Pf): Pi + D = Pf. Se espera comprender las situacio48

Números Enteros

nes aditivas de base, y sobre todo, construir unos métodos u algoritmos para realizar la suma entre enteros. Es importante recordar que en este punto del desarrollo de los sistemas numéricos la sustracción debe ser entendida como una suma entre opuesto aditivos. En ese sentido, la primera actividad esta orientada a brindar un panorama general de las operaciones entre enteros. Es una actividad exploratoria que permitirá la construcción de una serie de intuiciones sobre como operar con los enteros. El recurso del computador permite controlar que las operaciones se realicen correctamente, y la representación gráfica permite visualizar posibles procedimientos. Lo ideal es que la pantalla del computador presentara, no la cantidad negativa como una sustracción, sino como una suma de cantidades negativas, pero se debe hacer este tipo de reflexión con los estudiantes, enfatizando en el hecho que se agregan cantidades positivas y negativas. Las siguientes actividades, basadas en la pista numérica, presentan ahora de manera ordenada las diferentes posibilidades en la operación de números enteros: Ambos números son positivos (actividad 2 y 4), ambos números son negativos (actividades 3 y 4), y una cantidad positiva y otra negativa (actividad 5). Esta organización de las actividades trata de mostrar de manera gradual en complejidad los diferentes procedimientos para realizar sumas entre enteros. En todos los casos, es necesario visualizar las relaciones entre opuestos, y sobre todo, que una cantidad positiva se anula con una negativa, pero que dependiendo del valor numérico de ambas, el resultado puede ser cero, positivo o negativo. De alguna forma es un inicio al concepto de valor absoluto, y su relación con la operación aditiva. • GESTIÓN DE LA SITUACIÓN En general la situación no presenta énfasis especiales en las actividades, aunque para la situación 5, se debe tener cuidado para que los estudiantes comprendan la relación positivo negativo, o negativo positivo, como una suma entre cantidades opuestas, pues se pude caer fácilmente en la tentación de ver estos casos como si fueran restas, sobre todo en el caso de la relación positivo negativo. El análisis de las tablas que se llenan en cada una de las actividades es fundamental para poder comprender los procesos aditivos que se han realizado. El análisis posición inicial-desplazamiento-posición final, es clave en la comprensión del sentido y significado de las operaciones aditivas entre números enteros, sobre todo, para comprender los resultados negativos.

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•ACTIVIDAD 1: Ubicando barras Número de jugadores: 2 Materiales: Computador, una carpeta con archivos

Qué hacer w Abra la carpeta actividades y dentro de ella la carpeta enteros, allí elija la opción ent-rec. Se podrá visualizar una pantalla como la que aparece a la derecha. w La opción step size permite graduar la escala de la recta. w La opción zoom amplia la pantalla. w La opción New bar permite seleccionar el valor de la nueva barra que se va a ubicar sobre la recta. w La opción Delete y clear, borra la última barra que se ha insertado y borra toda la pantalla respectivamente. w Los cuadros de colores permiten varias los colores de las barras que se están utilizando. Explore la aplicación con varias sumas de enteros y responda: w Cuando se suman sólo positivos, ¿qué tipo de resultado se obtiene? Justifique su respuesta. w Cuando se suman sólo negativos, ¿qué tipo de resultado se obtiene? Justifique su respuesta. w Cuando se suman positivos y negativos, ¿qué tipo de resultado se obtiene? Justifique su respuesta.

•ACTIVIDAD 2: La pista numérica modificada Número de jugadores: 2 Materiales: Dados, cinta de papel, lápiz, fichas de parques. Parte 1 Qué hacer w Cada pareja recibe una cinta de papel de aproximadamente dos metros de largo; un dado tradicional y un dado con signos positivos. La cinta se debe llenar completamente con puntos distribuidos a igual distancia uno de otros (aproximadamente a 1 cm de distancia) por el centro de la misma. Se marca el punto central de la cinta con el CERO. 50

Números Enteros

w Cada jugador lanza un dado y quien obtenga el mayor puntaje inicia el juego. w Cada jugador coloca una ficha en el cero. El juego consiste en avanzar la ficha desde el cero hacia el lado derecho de la pista, gana quien llegue primero a este extremo. Los movimientos de la ficha se hacen de acuerdo con la cantidad marcada por los dados. w Por turnos, cada jugador, lanza los dos dados y asigna el total obtenido al punto correspondiente en la cinta. w A medida que se realiza el juego se llena la siguiente tabla, teniendo en cuenta la posición de la cual se parte en cada jugada, la cantidad que se recorrió y la posición a la cual se llegó.

Parte 2 Que hacer w Cada jugador coloca una ficha en el cero. El juego consiste en avanzar la ficha desde el cero hacia el lado izquierdo de la pista, gana quien llegue primero a este extremo. Los movimientos de la ficha se hacen de acuerdo con la cantidad marcada por los dados. w Por turnos, cada jugador, lanza los dos dados y asigna el total obtenido al punto correspondiente en la cinta. w A medida que se realiza el juego se llena la siguiente tabla, teniendo en cuenta la posición de la cual se parte en cada jugada, la cantidad que se recorrió y la posición a la cual se llegó.

Parte 3 Qué hacer w Cada jugador coloca una ficha en el cero y elige un extremo de la cinta como su meta. El juego consiste en avanzar la ficha desde el cero hacia el lado que ha elegido como meta, gana quien llegue primero a este extremo. Los movimientos de la ficha se hacen de acuerdo con la cantidad marcada por los dados. 51

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w Cada jugador tiene un dado común y un dado con signos según el extremo que haya determinado como meta: si es el extremo derecho entonces trabajará con el dado con signos positivos, y si es el extremo izquierdo entonces trabajará con el dado con signos negativos. Por turnos, cada jugador, lanza los dos dados y asigna el total obtenido al punto correspondiente en la cinta. w A medida que se realiza el juego se llena la siguiente tabla, teniendo en cuenta la posición de la cual se parte en cada jugada, la cantidad que se recorrió y la posición a la cual se llegó.

Parte 4 Qué hacer Cada jugador coloca una ficha en el extremo de la pista. El juego consiste en avanzar su ficha hacia el extremo opuesto, de acuerdo con la cantidad marcada por los dados, gana quien llegue primero a este extremo. Los movimientos de la ficha se hacen de acuerdo con la cantidad marcada por los dados. Cada jugador tiene un dado común y un dado con signos según el extremo que haya determinado como meta: si es el extremo derecho entonces trabajará con el dado con signos negativos, y si es el extremo izquierdo entonces trabajará con el dado con signos positivos. Por turnos, cada jugador, lanza los dos dados y asigna el total obtenido al punto correspondiente en la cinta. A medida que se realiza el juego se llena la siguiente tabla, teniendo en cuenta la posición de la cual se parte en cada jugada, la cantidad que se recorrió y la posición a la cual se llegó.

Números Enteros

•ACTIVIDAD 3: Desplazamientos Materiales: Computador, carpeta con archivos

Qué hacer: w Abra la carpeta actividades y dentro de ella la carpeta enteros, allí elija la opción ent-rec1. Se podrá visualizar una pantalla como la que aparece a la izquierda. w Se trata de obtener el resultado que aparece encerrado en el círculo, por medio del movimiento de las flechas. w La flechas se pueden orientar con el botón.

w Con la opción New Problem se elige otro cálculo. Manipule la aplicación y analice: w ¿La flecha con la que se inicia el movimiento siempre debe partir de cero para que se pueda resolver el ejercicio planteado? Explique su respuesta. w ¿Qué función cumple el cero en este ejercicio? w ¿Por qué a pesar de que el resultado de los ejercicios siempre es positivo se deben cambiar las orientaciones de algunas flechas para obtener el resultado?

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Números Racionales18

Unidad No.3

Introducción El aprendizaje del concepto de número no se agota con los aspectos relativos al concepto del número natural, y por ende se extiende, al menos, a lo largo de toda la educación básica. En el currículo actual se pueden identificar segmentos dedicados al estudio de los diferentes sistemas numéricos, los cuales se encuentran separados en el tiempo de acuerdo a niveles formales de complejidad lógica creciente. Pero a pesar de este trabajo diferenciado, la conceptualización que se alcanza es muy pobre, lo cual pone en evidencia que realmente los alumnos no logran trascender de un pensamiento matemático más allá de los números naturales 19 . Lo anterior se evidencia en situaciones como las siguientes: • Las operaciones entre fracciones se realizan como si se tratara de números naturales: “ + = ” • Los números racionales en su notación decimal son tratados como si se tratara de conjuntos discretos: “el siguiente de 1.25 es 1.26, o 1.251”. • Los números irracionales son tratados como si fueran decimales periódicos y finitos: “El valor de π es 3.14”. Trascender los números naturales debe entenderse en el sentido de proveer a los estudiantes de un conjunto amplio y complejo de comprensiones conceptuales relativas a los otros sistemas numéricos, fundamentalmente los enteros, los racionales y los reales. Si bien es cierto que el estudio formal de algunos de estos sistemas sólo se puede dar hacia los últimos años de la educación básica, o incluso, en la educación media, también lo es que existen múltiples contextos y situaciones a través de las cuales los estudiantes pueden desarrollar intuiciones primarias sobre dichos sistemas, incluso desde el Preescolar. De esta manera el aprendizaje del número natural estará acompañado de procesos que muestran la existencia de otros _____________________________________________________ 18

Este capítulo retoma planteamiento de: OBANDO Z, Gilberto. La Enseñanza de los Números Racionales a Partir de la Relación Parte-Todo, en revista EMA 2003, VOL. 8, Nº 2, 1-27. Prueba de ello es que los estudiantes al final de la educación básica no tienen una comprensión de los sentidos y significados de los números racionales o reales, o incluso de los números negativos.

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números, preparándose así el camino para su estudio formal en momentos posteriores. Pero además, el trabajo formal en otros sistemas numéricos diferentes a los números naturales debe ser desarrollado a partir de situaciones que permitan la construcción de los múltiples sentidos y significados de cada uno de ellos. Así por ejemplo, el estudio de los números racionales debe permitir la construcción de los sentidos y significados relativos a la medida, fracciones, razones, proporciones, porcentajes, y campo de cocientes. De igual forma, el estudio de los números enteros debe darse a partir de situaciones que involucren las medidas relativas, y el cambio de medidas, contextos dentro de los cuales se dan las bases fenomenológicas de éstos. De esta manera se logra que el estudio de los aspectos formales de cada uno de los sistemas numéricos, incluidos los naturales, esté sustentado sobre una base fenomenológica fuente de sentido y significado para cada uno de ellos.

La Enseñanza del Número Racional: Algunos Problemas en la Enseñanza Actual El trabajo escolar en el número racional inicia con el estudio de las fracciones, a través de estrategias metodológicas y conceptuales centradas en la partición y el conteo, y en la mecanización de reglas y algoritmos; en consecuencia, en el proceso de conceptualización de las fracciones, la medición no es el eje central, ni hay un tratamiento cuidadoso del tipo de magnitud y del tipo de unidad. Estos elementos, como se verá a continuación, son fuente de dificultades en los procesos de conceptualización de los alumnos.

Trabajo Centrado en la Partición y el Conteo La enseñanza actual enfatiza en actividades de partir y contar20 , y por tanto, los alumnos centran el proceso de conceptualización en el número natural y no en la fracción como tal. En efecto, al centrar la atención en el número de partes que representa el numerador y el número de partes que representa el denominador - y no en la relación cuantitativa entre las cantidades de magnitud de la parte y el todo-, _____________________________________________________ 20

Se trata de las actividades típicas en las cuales un objeto (el todo) es partido en partes iguales (en forma), obteniendo N partes en este. Luego se toman (sombrean, colorean, etc.) M partes de las N obtenidas. Por tanto las partes que se han tomado se representa por la fracción

. En estos casos, la fracción es el nombre utilizado para designar la parte o partes sombreadas, y la fracción, por

tanto, es la parte en si misma y no, una relación entre dos cantidades: la medida de la parte con respecto a la medida del todo.

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se piensa la fracción como dos números naturales separados por una rayita (vínculo) y no como una relación cuantitativa entre la parte y el todo. Por ejemplo, en la Figura 1, ¾ se piensa como «las tres partes sombreadas de las cuatro posibles», y no como «la relación cuantitativa entre la cantidad de magnitud de estas tres partes y la cantidad de magnitud total de las partes»; es más, para muchos alumnos la parte o partes que no se sombrean no constituyen una fracción de la unidad. Este trabajo centrado en el número natural permite explicar el error común de los alumnos al sumar varias fracciones: suman numeradores entre sí y denominadores entre sí, pues «si las fracciones son números naturales separados por unas rayitas, entonces, ¿por qué no sumarlos como la suma que ya se sabe hacer?». Pero además, como el proceso de partición no se basa en la medida de la magnitud que se desea repartir, entonces ésta se debe realizar a partir de procesos visuales que privilegian la igualdad en la forma (congruencia geométrica) entre las partes. Esto hace que en situaciones como la mostrada en la Figura 2, los alumnos no acepFigura 2 ten que cada una de las cuatro regiones triangulares tiene la cuarta parte de la cantidad de superficie del rectángulo. Otra consecuencia de poner el énfasis en el conteo y no en la medición, es precisamente que la noción de equivalencia entre fracciones queda significada en la congruencia de las partes en que se ha dividido cada unidad, lo cual constituye un significado muy débil, por demás basado en la percepción y no en las relaciones numéricas. Por ejemplo, en situaciones como las mostradas en la Figura 3, los alumnos difícilmente aceptan que las fracciones representadas en cada uno de los rectángulos21 son equivalentes, y mucho menos, si las formas de cada partición fueran irregulares; esto en tanto que las partes sombreadas no son congruentes entre sí. Si, para los rectángulos de la Figura 3, se comparan las cantidades de superficie sombreadas entre sí, se obtienen que unas son mayores que las otras; pero como fracciones, cada una expresa “½ de …” Es de_____________________________________________________ 21

Las cuales expresan correspondientemente la relación entre la cantidad de superficie sombreada con respecto a la cantidad de superficie del rectángulo.

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cir, la equivalencia no se da entre las cantidades de superficie sombreadas, sino entre las fracciones que representan, ya que la relación cuantitativa entre éstas y las correspondientes cantidades de superficie de los rectángulos, es la misma en los tres casos. Finalmente, el trabajo centrado en la partición y el conteo hace que el proceso de conceptualizar las fracciones impropias sea de difícil comFigura 4 prensión para los alumnos. “Si el denominador indica el número de partes en las que se divide la unidad, y el numerador la cantidad de partes que se toman, entonces ¿cómo poder tomar una cantidad de partes que sea mayor de las que se obtuvieron al dividir la unidad?”. Por ejemplo en la Figura 4 se muestra una respuesta típica de los alumnos cuando deben representar una fracción impropia como . En este caso, dado que de la unidad sólo se pueden obtener cuatro partes, entonces se parte una de ellas para poder obtener las cinco que indica el numerador. Este error es comprensible en tanto que la fracción es vista como un par de números naturales y no como una relación cuantitativa entre dos cantidades de magnitud.

El Tratamiento del Tipo de Magnitud y de Unidad En los procesos de enseñanza desarrollados en la escuela, muchas veces no se da un tratamiento cuidadoso del tipo de unidad ni del tipo de magnitud, lo que lleva a que se propongan de manera indiscriminada actividades Figura 5 en contextos de colecciones o de magnitudes continuas, desconociendo que los procesos de conceptualización de los alumnos son distintos en uno u otro contexto. Por ejemplo, en la Figura 5, se presentan dos actividades que se le proponen a los alumnos de manera simultánea. En este caso no se asume que hallar las tres cuartas partes de una magnitud continua o de una discreta implica procesos diferentes, ni se advierte que el proceso para el caso de las magnitudes discretas es más complejo. Hallar las tres cuartas partes de doce bombillos conlleva: (i) comprender que el “doce” es una unidad; (ii) hacer la repartición de dicha unidad, en cuatro partes iguales; (iii) conceptualizar cada parte obtenida, como la cuarta parte de la unidad (i.e., de doce); y, (iv) juntar

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tres de esas cuatro partes obtenidas para obtener las tres cuartas partes de la unidad. En el caso del rectángulo, éste es asumido como una unidad simple y por tanto las tres cuartas partes del mismo se obtienen de manera directa partiendo la unidad en cuatro partes (congruentes o de igual cantidad de superficie) y juntando tres de éstas. En la complejidad del proceso implicado para el contexto de la colección de bombillos subyace el hecho de que conceptualizar una unidad compuesta es, desde el punto de vista psicológico, más complejo. Primero se conceptualizan las unidades simples, esto es, la unidad como uno a partir de objetos individuales, y posteriormente, a las unidades compuestas: comprender que una multitud también puede ser una unidad. Igualmente, es común encontrar propuestas de actividades %" escolares en las cuales no hay un tratamiento cuidadoso de la unidad. Por ejemplo, en la Figura 6 se muestra una represen%" tación de las fracciones Figura 6 -por demás muy típica en los salones de clase y hasta en libros de texto- la cual puede llevar a un error conceptual debido a la falta de rigor en el tratamiento de la unidad: Si el trabajo se ha centrado en la congruencia de las partes y no en las relaciones cuantitativas entre las partes y el todo, entonces es natural que los alumnos concluyan que es igual a , lo cual, por supuesto, es un error.

Énfasis en la Mecanización de Reglas y Algoritmos Es común encontrar en los procesos de enseñanza estrategias como la presentada en la Figura 7 en las cuales primero se exhiben algunas situaciones concretas, acto seguido se muestran algunos ejemplos, luego se expone la fórmula o regla que generaliza el proceso conceptual que se espera que los alumnos aprendan y, finalmente, se proponen algunos ejercicios para practicar la regla o fórmula aprendida. En estrategias como esta se asume que para generalizar basta con dar unos cuantos casos particulares, para luego –de manera natural- inferir la ley general. Se olvida que el paso a la formulación de una ley general implica algo más profundo: reconocer una estructura invariante en un conjunto de situaciones particulares, la cual, una vez conceptualizada, debe permitir el tratamiento de cada situación particular como si

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. / 01

= . /

= = ≠

2 - %

1 1 1

se tratara de la situación general. Se ha mostrado que un proceso de generalización no se puede dar a partir de unos cuantos ejemplos, sino que requiere de múltiples situaciones, en diferentes contextos, a través de diversos sistemas de representación y a lo largo de un periodo de tiempo considerable.

(

! 3 4 3 3 4 3 3 5 3

Sobre la base de los análisis anteriormente expuestos se puede × = × proponer que el trabajo sobre los números racionales debe orientarse al diseño de situaciones didácticas que consideren los siguientes elementos: El tipo de unidad y magnitud, la fracción como relación parte todo, la fracción como composición multiplicativa, y la medición como fuente fenomenológica para conceptualizar los números racionales. 6

La Enseñanza del Número Racional: Nuevos énfasis • EL TIPO DE UNIDAD Y DE MAGNITUD Dos elementos fundamentales que se deben considerar en las distintas situaciones problema que se pueden proponer desde la relación Parte–Todo, corresponden a la naturaleza de la unidad y al tipo de magnitud sobre el cual se establece la comparación. En este sentido, la unidad puede ser simple o compuesta, y las magnitudes continuas o discretas. Con respecto al tipo de unidad, inicialmente se trabaja con unidades simples, lo cual implica tareas en el contexto de las magnitudes continuas. Esta elección se sustenta, como se dijo antes, en que una tarea que implique la conformación de unidades simples es de menor complejidad psicológica que cuando ésta implica la conformación de unidades compuestas. El paso a las unidades compuestas, implica por su parte, el trabajo con las magnitudes discretas, en tanto que las situaciones implican conteos de colecciones, su división, y respectiva comparación cuantitativa entre las partes y el todo.

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Este reconocimiento del tipo de unidad, como del tipo de magnitud, hace indispensable la referencia a la unidad en el sentido geométrico y en el sentido aritmético. En el primer caso, se trata a las unidades como aquellas magnitudes que se toman como referencia con respecto a las cuales se realiza la medida de las demás (es decir, aquella magnitud que es considerada unidad de medida). En el segundo caso, se trata de la magnitud considerada en el sentido del uno aritmético, y que por tanto, es la referencia para establecer la fracción como relación (es decir, la identificación del uno, del todo). Dependiendo de las situaciones, las diferentes magnitudes involucradas en el establecimiento de la fracción, intercambian constantemente entre unidades geométricas y aritméticas. • LA FRACCIÓN COMO RELACIÓN PARTE–TODO La fracción, como relación Parte–Todo, puede ser definida como una “nueva cantidad” que expresa la relación cuantitativa entre una cierta cantidad de magnitud tomada como unidad (todo) y otra cantidad de magnitud tomada como parte. Las magnitudes involucradas pueden ser continuas o discretas, y por consiguiente, las unidades (el todo) simples o compuestas respectivamente. Pensar la fracción en el sentido antes denotado implica, fundamentalmente, la realización de procesos de medición para establecer la cuantificación de la parte y el todo, y por consiguiente establecer la relación cuantitativa entre ambos. Igualmente, obliga a explicitar la magnitud sobre la cual se debe realizar la cuantificación. Hay en este sentido una diferencia importante con los procesos de enseñanza usual, ya que en ellos la medición no es un aspecto fundamental para conceptualizar la fracción. • LA FRACCIÓN COMO UNA RELACIÓN MULTIPLICATIVA La fracción unitaria: Si se parte del principio que la interpretación que actualmente se da a las fracciones (numerador y denominador como partes que se toman y partes en que se divide la unidad, la fracción como el nombre de una parte de la unidad) genera problemas serios en la conceptualización del número racional, entonces es necesario proponer una nueva: la fracción es una relación multiplicativa, resultado del proceso de medición. Desde el punto de vista matemático la relación de multiplicidad (ser múltiplo de …) genera la relación de divisibilidad (ser parte de …). Esto es, la relación X = n•Y es equivalente a la relación = ⋅ . Por tanto, la relación multiplicativa “n veces…”, define la relación inversa “n-ésima parte de…” y viceversa. En términos de las magnitudes, dicha equivalencia se puede interpretar así: Si X e Y son dos magnitudes tales que una de ellas (la magnitud Y) está contenida un número entero de veces n en la otra magnitud (la magnitud X), entonces se puede concluir que la magnitud Y es la n-ésima parte de la magnitud X. Así por ejemplo,

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algo es la cuarta parte de … si ese algo esta contenido cuatro veces en …, como se puede visualizar en la figura 8. . 7 " "

" "

Figura 8

Favorecer una interpretación de las fracciones unitarias desde esta perspectiva es coherente con los procesos de conceptualización a partir de la medición, y permite superar las limitaciones de la partición y el conteo. De esta manera, la fracción es efectivamente una relación cuantitativa entre dos magnitudes (la parte y el todo), y además, como relación que es, se puede mostrar su carácter relativo, es decir, que la fracción no es una propiedad, un nombre para la parte sombreada, sino que la fracción es el resultado de una comparación22. Así, es necesario que en las actividades se centre la reflexión en los procesos de medición, y que por tanto, se enfatice en las relaciones “n veces…” y “n-ésima parte de…” como dos relaciones inversas que se pueden utilizar la una para definir la otra. Es decir, que en vez de conceptualizar la fracción como “una parte sombreada de las n en que se dividió la unidad”, se comprenda que “la magnitud Y es veces la magnitud X puesto que la magnitud X es n veces la magnitud Y”. De esta manera se hace ver la fracción como una relación cuantitativa entre cantidades, a la vez que se enfatiza el carácter relativo de la fracción. La fracción no unitaria: Pero desde la anterior perspectiva aun queda un problema por resolver: ¿cómo proponer a los alumnos un proceso para conceptualizar las fracciones de la forma ?. Desde el punto de vista formal, la fracción es equivalente a ⋅ . Esto es, la repetición aditiva de una fracción unitaria (lo cual es en última instancia una multiplicación) genera una fracción no unitaria. O dicho de otra forma, la fracción

puede se interpretada como

+ + Κ + . De esta manera, se generan 1 44 2 4 43 −

_____________________________________________________ 22

Por ejemplo, se puede ver que una determinada magnitud puede ser la mitad de una segunda, pero la cuarta parte de una tercera, o incluso, el doble de una cuarta. Así, las fracciones dejan de ser nombres para las partes sombreadas, y se toman como relaciones entre magnitudes.

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procesos en los cuales fracciones como son interpretadas como 3 veces unidad, y no como 3 de las 5 partes en las que se partió la unidad.

de la

Con las dos aproximaciones anteriores para llegar al concepto de fracción se logra desarrollar un proceso basado en las operaciones que le dan sentido numérico23. Así, es fácil ver que a partir de este proceso de conceptualización, no hay dificultad para interpretar las fracciones impropias, y que además, la suma de fracciones surge de manera natural.

Los Números Racionales como Medida La medición, “el acto de medir” es importante en el proceso de conceptualizar los números racionales, pues de ella se derivan las fracciones, cuando lo que se mide no es un múltiplo entero de veces la unidad patrón de medida usada. También como resultado de la comparación de dos mediciones puede surgir una razón (claro está que no es la única manera de obtener una razón). Se podrían citar otros ejemplos en los cuales la medición es utilizada en problemas sobre números racionales. La medición con respecto a los números racionales merece ser estudiada en detalle, no sólo porque sea utilizada en la solución de numerosos problemas relacionados con éstos, sino también porque los sistemas de medidas tienen características que le dan identidad. Cualquier sistema de medidas tiene una unidad patrón, una unidad de base, la cual se materializa en un patrón de medida. La unidad de medida es arbitraria, convencional y abstracta. Por su parte el patrón de medida es concreto y debe ser estándar. La unidad de medida es acompañada de otra serie de unidades, unas más grandes y otras más pequeñas, que corresponden a los múltiplos y los submúltiplos respectivamente. Ahora bien, tanto los múltiplos como los submúltiplos son definidos a partir de la unidad patrón de medida, de tal manera que exista una determinada regularidad entre ellos. Esa regularidad es precisamente lo que permite hablar de un sistema. En la actualidad la mayoría de los sistemas de medida son decimales24. Esto significa que una unidad es diez veces la unidad de orden inferior inmediata, o _____________________________________________________ 23

Esto es, se trata de procesos de aprendizaje del número basados en relaciones y operaciones matemáticas que constituyen la base para su comprensión conceptual. En este sentido no se trata de dejar de lado los procesos centrados en las manipulaciones de materiales concretos, sino de reconceptualizarlos de tal forma que su manipulación tenga una base conceptual sólida basada en relaciones y operaciones matemáticas. La forma actual de comprender las fracciones se centra en la acción concreta de partir y contar, pero sin mayor fundamento matemático. Esto hace que se asemejen a nuestro sistema de escritura de los números, y que las operaciones con las medidas sea similar a la forma como operamos con los números.

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lo que es lo mismo, una determinada unidad es la décima parte de la unidad de orden superior inmediata (el mejor ejemplo es el sistema métrico decimal). Es de notar que en nuestra vida cotidiana es común el uso de sistemas de medidas no decimales, o mixtos, es decir, que combinan principios decimales con algún otro tipo de regularidad (es el caso de los sistemas de pesos y medidas tradicionales utilizados en el comercio, o el sistema de medición del tiempo). Ahora bien, como ya se dijo, dado que las distintas unidades de un sistema de medición deben guardar una determinada regularidad, entonces, existen entre ellas relaciones, bien sea de ser múltiplo de o ser fracción de (por ejemplo en el caso del sistema métrico decimal las relaciones son 10, 100, 1000, etc. veces, o Λ etc.). Puesto que estas relaciones son la vida del sistema, entonces, al trabajar la medición con los alumnos, se debe privilegiar la construcción de éstas, antes que su mecanización y memorización. Una manera de establecer estas relaciones es a partir de la relación Parte–Todo, ya que ellas expresan la cuantificación de una unidad con respecto a otra. Pero hasta ahora sólo se ha hablado del sistema de medidas en general, y no se ha dicho nada sobre la medida fraccional. Esta aparece cuando se desea medir una determinada magnitud en la cual la unidad no está contenida un número entero de veces en la magnitud que se quiere medir. Para obtener la medida exacta se deben utilizar los submúltiplos, y el resultado obtenido es la relación cuantitativa entre la magnitud medida y la unidad de medida utilizada. Ahora bien, si se hace necesaria la utilización de varios submúltiplos para la misma unidad de medida, entonces a partir de la regularidad que deben guardar el resultado se puede cuantificar en términos de cualquiera de las distintas unidades utilizadas: unidad o submúltiplos de la unidad de medida25. • IMPLICACIONES PEDAGÓGICAS Tradicionalmente se ha considerado un sistema de medidas como algo formado por una unidad patrón y dos conjuntos de unidades: los múltiplos y los submúltiplos. Aunque se muestren y se realicen las equivalencias entre las distintas unidades del sistema, cada unidad tanto de los múltiplos y como de los submúltiplos, no es considerada como una unidad con existencia propia, como un conjunto de elementos constitutivos de un todo (un sistema) con unas relaciones y una lógica en su constitución, sino que son consideradas como partes de la unidad patrón. Por ejemplo, el centímetro es visto solamente como una de las 100 partes en las que se puede dividir un metro, y no como una nueva unidad, con existencia propia, y que puede ser _____________________________________________________ 25

Por ejemplo en un sistema de medidas convencionales, 3 cm. no sólo expresan 3 veces un centímetro, sino también 3/100 de metro, o 3/10 de decímetro, etc., por lo tanto es necesaria esta comprensión para poder interpretar el resultado de una medida en una determinada unidad en otras unidades del mismo sistema.

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interpretado en relación con las demás unidades del sistema (el centímetro como: centésima parte del metro, la décima parte de un decímetro, diez veces un milímetro, etc.). Además, dado que la comprensión de la lógica de un sistema de medidas implica la cuantificación de cada una de las unidades con respecto a las demás, entonces su estudio a partir de un trabajo previo en las relaciones Parte–Todo permitiría una mejor interpretación de los sistemas de medidas, pues desde la relación Parte– Todo se pueden comprender no sólo las relaciones entre las distintas unidades, sino también la interpretación del resultado de efectuar la medición. Para terminar, es importante resaltar que comprender la lógica inherente a cualquier sistema de medida es comprender la lógica de las relaciones entre cada una de las unidades del sistema; por lo tanto no puede ser asunto de memoria, sino de una construcción activa del sujeto que aprende a partir de la actividad que realice.

Los Números Racionales como Fracción Decimal Primero que todo se hace necesario realizar una aclaración. Se entiende por fracción decimal a aquellas fracciones en las cuales el denominador es una potencia de 10. Éstas pueden ser notadas de dos formas: en la notación de fracciones (fracciocon n=1,2,3,...) o en la notación decimal (es decir, en la notación nes de la forma de los puntos o las comas: (

(((

((( , ).

Fácilmente podría pensarse que la fracción decimal es un caso particular de la relación Parte–Todo, cuando la unidad es dividida en 10, 100, 1000, etc. partes. Si bien es cierto que desde ésta se puede dotar de significado a la fracción decimal, también es cierto que dicho sentido es sólo parcial. También podría pensarse que, dado que las fracciones son cocientes indicados, entonces la fracción decimal aparece como consecuencia de efectuar dicha división. Esto también sería un significado parcial. Incluso se puede entender la fracción decimal como otra forma de representación simbólica de las fracciones en las cuales el denominador es un múltiplo de 10. De nuevo, el significado dado desde esta perspectiva es parcial. Las fracciones decimales hacen su aparición en el escenario de las matemáticas escolares cuando se empieza el uso de la notación decimal (sistema de numeración decimal) para representar las fracciones. Por lo tanto el estudio de las fracciones decimales no sólo implica la transformación de un sistema simbólico a otro (del de 65

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la fracción como a la escritura decimal y viceversa), sino también la extensión y la generalización de las reglas del sistema de numeración decimal a un nuevo contexto numérico: los números racionales. Por lo tanto, las fracciones decimales no son solamente otra forma de representación simbólica de las fracciones, ni cocientes indicados, ni fracciones en las que la unidad es partida en 10, 100, 1000, etc. partes. Son todo eso, y ante todo, un sistema notacional con reglas y lógica propia, y su comprensión implica, por supuesto, la comprensión de dichas reglas y lógica. Es muy común pensar que como el alumno ya conoce las reglas y la lógica del sistema de numeración decimal para los enteros (o por lo menos eso se cree), entonces lo único que tendrá que hacer para entender la notación decimal para las fracciones será extender dichas reglas y lógica al lado derecho del punto decimal. Con este tipo de visiones pedagógicas generalmente se logra que los alumnos llegan a realizar perfectamente la operatoria con fracciones decimales, pero que no que comprendan lo que realizan26 (es el caso de alumnos que suman perfectamente 0.5 y 0.2, pero no pueden representar gráficamente el resultado, o ni siquiera darle una interpretación física a las dos cantidades sumadas). Las reglas y la lógica del sistema de numeración decimal para las fracciones, aunque son las mismas que para los números enteros, deben ser construidas por quien aprende como producto de su actividad intelectual. Esta construcción no sólo permitirá un conocimiento más duradero, sino que daría significado a los símbolos que escribe y a su manipulación operativa. Además el uso de la notación decimal para las fracciones trae una serie de problemas relacionados con las notaciones decimales infinitas periódicas. En este caso el problema se genera cuando el alumno tiene que entrar a conceptualizar el sentido de las infinitas cifras de una determinada notación simbólica. Alrededor de esta interpretación se revive el gran debate epistemológico entre el infinito actual y el infinito potencial. Esto se evidencia en los conflictos que se les generan a los alum. De alguna nos cuando se enfrentan a la igualdad (,,,((( = (, = , o a la suma forma este tipo de reflexiones ponen a los alumnos en el camino de la reflexión sobre la densidad e incompletes de los números racionales. • IMPLICACIONES PEDAGÓGICAS Como se habrá podido notar, las fracciones decimales conforman un sistema simbólico, y su comprensión implica no solamente comprender sus reglas y su lógica, _____________________________________________________ 26

“...la ausencia de vínculos entre los conceptos y los procedimientos [cuando los estudiantes resuelven problemas] es tan generalizada, que parece que los dos tipos de conocimiento pertenecieran a dos mundos diferentes” Wearne y Hiebert, 1988, pág 222.

(

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sino también dotar de significado este sistema simbólico. Esto último ayudaría a salvar un problema muy generalizado, que es la manipulación irreflexiva de símbolos cuando el alumno soluciona un problema. Verbigracia la aplicación mecánica de los algoritmos de las operaciones27 . Cuando el estudiante se ve obligado a trabajar con símbolos carentes de significado para él, no le queda otra alternativa que buscar reglas (las cuales también carecen de significado) que le permitan la manipulación de dichos símbolos. Estas reglas descubiertas por él son eficaces en muchos casos particulares (lo que lo lleva a cometer errores al aplicarlas fuera del campo de validez en que las descubrió), o si tienen algún grado de generalidad son confundidas o distorsionadas cuando son aplicadas a problemas de mayor nivel de dificultad. Más grave aún es el hecho de que en muchos casos la enseñanza que se imparte a los alumnos está centrada en la memorización y mecanización de las reglas (es decir que ni siquiera se deja que ellos descubran las reglas), y no en la significación de los procesos que ellos realizan. Wearne y Hiebert, (1988), describen una sucesión de cinco procesos a través de los cuales un individuo asigna significado a los símbolos y las reglas de manipulación. Éstos son: 1. La conexión de procesos, a través de los cuales los símbolos individuales son conectados con sus referentes. 2. El desarrollo de procesos, en el cual las reglas de manipulación de los símbolos son desarrolladas a partir de la manipulación de los referentes. 3. La elaboración de procesos, en la cual las reglas son extendidas a problemas más complejos pero similares. 4. Los procesos de rutinización, en los cuales las reglas son memorizadas y mecanizadas. 5. La construcción de procesos, en los cuales los símbolos y las reglas son usadas para la construcción de sistemas simbólicos más abstractos. Existe una gran cantidad de referentes concretos que servirán para dotar de significado a los símbolos y a las reglas del sistema simbólico de las fracciones decimales. Entre otros se pueden destacar: los bloques de Dienes, tomando uno cualquiera de ellos como la unidad; el ábaco, tomando una fila cualquiera como la fila de las unidades; los sistemas de medidas decimales, como el sistema métrico decimal para las longitudes; las fracciones, con denominador 10, 100, 1000, ...; juegos con billetes de 1, 10, 100,... etc. _____________________________________________________ 27

Una manifestación de esta situación se evidencia cuando el alumno no es capaz de evaluar si su respuesta tiene o no sentido a la luz del problema que acaba de resolver.

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A partir de la manipulación de estos referentes concretos el alumno dotará de significado a los símbolos y los procesos que él realice. De esta manera, los materiales concretos no sólo le ayudarán a encontrar una respuesta, sino que darán significado a los procesos sintácticos y algorítmicos que él posteriormente deberá realizar. Es importante destacar que esta significación no está en los materiales concretos, ni tampoco en su manipulación. La significación está en la reflexión que el alumno haga sobre cada una de las acciones por él realizada. El siguiente paso se da cuando el alumno ha comprendido las reglas y el sentido de las manipulaciones concretas. Se trata de una traslación de lo realizado sobre los referentes a los símbolos, de tal manera que toda acción realizada sobre los referentes sea relacionada con una acción sobre los símbolos. Por ejemplo, una cantidad representada en el ábaco, escribirla en la notación decimal. De esta manera, al hacer esta traslación de significados, los símbolos y las reglas de constitución y manipulación también adquieren significado propio. Estas dos primeras etapas son fundamentales, pues su papel es, ante todo, dotar de significado tanto a los símbolos como a las operaciones con ellos, a través de los referentes y los procesos realizados con éstos. Es muy frecuente encontrar alumnos que se quedan ligados a los referentes y a las acciones sobre ellos. Esto sucede porque la traslación de los referentes a los símbolos no es sencilla y requiere procesos mentales complejos cuya construcción tarda periodos de tiempo considerables. Para que la traslación se dé es necesario exigir del alumno una constante reflexión sobre lo que hace con los materiales concretos. De lo contrario los materiales concretos se constituirán en una trampa de la cual es difícil escapar. Siguiendo el camino hacia la abstracción, el alumno deberá aplicar lo aprendido a otros problemas de dificultad mayor. Es posible que para hacerlo necesite nuevamente los materiales concretos, pero habrá que buscar que en lo posible no lo haga, o que los use muy poco. Se trata de que el alumno se plantee y resuelva problemas en otros contextos, diferentes a aquellos en los que ha trabajado habitualmente, y además con un nivel de dificultad matemático superior. De esta manera irá ampliando la comprensión conceptual de la temática estudiada. A medida que se trabaja en los tres aspectos antes señalados, se avanza en la fase de la mecanización y la memorización. Nótese que desde la educación tradicional este es el punto de partida, y el trabajo con los referentes es la última parte del trabajo, cuando se entran a estudiar las aplicaciones de lo que se acaba de estudiar. La propuesta es hacer el camino al contrario, de tal manera que cuando el alumno llegue a la etapa de la memorización y la mecanización, esas cosas que debe memorizar y mecanizar ya están plenas de significado.

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Es importante destacar que los límites entre una etapa y otra no son determinables de una manera precisa, es decir, que no puede indicarse cuándo se acaba una y empieza la otra. Es más, no puede pretenderse que haya que esperar a que un alumno pase por una para iniciar la siguiente. El trabajo de conceptualización por parte del alumno sigue esas etapas, pero lo realiza de una manera más o menos paralela, de tal manera que mientras avanza en la construcción conceptual de una determinada entidad matemática, puede iniciar el trabajo de la conceptualización en otra. Esto es, mientras avanza en la conceptualización de las décimas, puede iniciar la conceptualización de las centésimas.

Los Números Racionales como Cocientes Indicados El cociente indicado permite interpretar la fracción como el cociente entre dos cantidades A y B. Esta es quizás la interpretación más común para las fracciones. El nombre de cociente indicado expresa que la división no se realiza a través del algoritmo convencional, sino que la fracción es el cociente. Ahora bien, en el caso de que la fracción sea el resultado de una división repartición (la cantidad A es repartida en B grupos iguales), o partición (extraer la cantidad B, de la cantidad A hasta agotarla), entonces la fracción es una cantidad (la medida de cada uno de los B grupos iguales), o es un parámetro (cuántas veces se puede extraer la cantidad B de la cantidad A). El primer caso es de más fácil interpretación que el segundo. Como puede verse el trabajo en este campo está estrechamente ligado a las demás interpretaciones de la división. De esta manera, cuando la fracción OJO sea interpretada como el resultado de una división, esta fracción tendrá un significado y no será un símbolo muerto, sin sentido para quien lo utiliza. Esta interpretación es importante, ya que desde aquí se prepara el camino para entender los números racionales como un campo de cocientes, teniendo de esta manera una construcción formal de éstos. Además, desde esta interpretación de la fracción se prepara el camino para entender el significado de las construcciones matemáticas de los números racionales en las que este campo numérico se presenta como un campo de cocientes sobre los enteros. • IMPLICACIONES PEDAGÓGICAS La principal implicación pedagógica está en el hecho de aportar una nueva interpretación de la división, lo cual propone que el trabajo en este campo esté estrictamente ligado a la división. Por ejemplo, no es lo mismo pensar que 3/2 es la división

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indicada entre 3 y 2, a pensar que es el resultado de repartir, digamos tres bananos entre dos personas. Además de lo anterior, esta interpretación aporta una herramienta poderosa para el trabajo en otras interpretaciones de las fracciones como la recta numérica o las razones.

Los Números Racionales como Puntos en la Recta Numérica Esta interpretación de los números racionales es otra representación simbólica, o mejor aún, otro sistema de representación simbólica para ellos. Es de destacar que cada número racional es visto como un punto en una recta, pero no la recta física dibujada en un papel, sino la recta como ente geométrico abstracto. Acceder a esta interpretación implica una comprensión profunda de las relaciones Parte-Todo, la medida fraccional, la fracción decimal y el cociente indicado. Lo anterior no implica que se tiene que esperar a que los alumnos hayan trabajado todas las interpretaciones anteriores, sino que a medida que se trabajen, se pueden ir dando pasos que apunten a la reflexión sobre la recta numérica. Pensar los números racionales sobre la recta numérica implica interpretarlos de dos formas diferentes: como puntos o como segmentos. Pero el número racional como tal no es ni el punto ni el segmento. Como puntos, el número racional expresa la relación cuantitativa entre la distancia desde ese punto al cero, con respecto a la distancia desde el punto unidad hasta el cero. Como segmento, el número racional expresa la relación cuantitativa entre la longitud de dicho segmento y la longitud del segmento unidad. No debe tomarse partido por ninguna de las dos, sino desarrollar trabajos en ambas, sobre la base de cada una de las distintas interpretaciones de las fracciones. • IMPLICACIONES PEDAGÓGICAS De la misma manera como el grado de conceptualización logrado por los alumnos sobre el concepto de unidad es vital para la comprensión de los números racionales, en la recta numérica también juega un papel fundamental. Cuando el alumno pierde de vista el segmento unidad (o la distancia unidad), no puede relacionar de manera correcta los puntos con sus respectivos números racionales. Por ejemplo, en un problema donde la recta numérica tiene cinco unidades, al pedirle al alumno que localice el punto 3/5, puede hacerlo en el lugar que le corresponde al número tres. Claramente el estudiante perdió de vista el segmento unidad. Llinaris y Sánchez (1988), de quienes se adaptó el ejemplo anterior, plantean que este problema se 70

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puede salvar dando una recta numérica que tenga una sola unidad y dividirla en cinco partes. Esto no es una solución al problema, sino una manera de disfrazarlo para que no se presente. También se deben tener rectas numéricas con varias unidades, y sin ningún tipo de división. Hacer la construcción de la recta numérica desde la relación Parte–Todo plantea fundamentalmente una asociación entre segmentos de la recta y números racionales. Esto es importante, ya que facilita la comparación de dos o más números, las equivalencias y las operaciones de suma y resta. Pero esta interpretación no favorece la comprensión de las propiedades de densidad e incompletitud de los números racionales. La densidad e incompletitud de los números racionales encuentran en la recta numérica un camino de interpretación intuitiva, pero requieren que el alumno acceda al pensamiento de la recta numérica como un ente geométrico abstracto, y no como una forma de representación física. Esta es una condición necesaria, ya que ambas propiedades trascienden la barrera de lo físico, como se puede ver a continuación. Intuitivamente la densidad puede ser entendida como que dados cualesquiera dos números racionales, siempre será posible encontrar otro número racional entre ellos dos. Por su parte, la incompletitud expresa que a pesar de que los números racionales son un conjunto denso, ellos no llenan completamente la recta numérica; es decir que existen puntos en la recta numérica a los cuales no se les puede asignar un número racional. En otras palabras, los números racionales dejan huecos en la recta numérica, pero son huecos muy especiales: no tienen extensión. Por eso no violan la propiedad de la densidad. Si tratamos de comprobar físicamente ambas propiedades, rápidamente los límites físicos de los instrumentos utilizados para graficar, medir y observar, nos harán concluir que se ha llenado la recta numérica, y por tanto ambas propiedades serían falsas. Luego su comprensión sólo puede darse en el dominio de la representación mental, donde no existen los límites físicos. Claro está que las representaciones físicas son un buen medio para iniciar el camino hacia las representaciones mentales. De lo anterior se desprende que el trabajo con la recta numérica es muy delicado, dado el grado de abstracción de las propiedades de los números racionales que desde ella se pueden estudiar. Por lo tanto las actividades que se propongan para su estudio deben ser pensadas desde estas propiedades para que la actividad realizada por el alumno le permita acercarse a ellas, y no como sucede muy a menudo, que dicha actividad permite conceptualizar unos aspectos a costa de otros. Por ejemplo, el trabajo realizado normalmente sobre la recta numérica se reduce prácticamente a localizar puntos en un segmento de recta dibujado sobre una hoja de papel, y no se le permite al alumno la reflexión sobre la densidad y mucho menos sobre la incompletitud. Es más, este trabajo de localizar puntos, sin una reflexión apropia71

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da, bloquea la conceptualización de ambas propiedades, fundamentalmente de la segunda. • CONSIDERACIONES FINALES Como habrá podido notarse del análisis anterior, no hay límites claros entre cada una de las distintas interpretaciones de la fracción, lo cual no quita que desde cada una de ellas se aporten elementos específicos en la conceptualización de los números racionales. Esta situación lo que pone de manifiesto es la necesidad de trabajar con todas ellas de una manera sistemática, de tal suerte que se aprovechen los puntos de contacto para crear en el alumno un cuerpo de conocimientos integrados entre sí, y potentes en cuanto a las posibilidades de su utilización en otros campos. Estudiar los números racionales será, en últimas, estudiar cada una de las distintas interpretaciones, ya que sólo así se podrá tener un cuerpo de significados amplios con los cuales entender las situaciones problema que se plantean al interior de éstos (de los números racionales). Ahora bien, se puede pensar en dos ejes fundamentales sobre los cuales organizar la enseñanza de los números racionales: desde la relación Part e - Todo y desde el operador fraccionario. El primero favorece las situaciones aditivas, mientras que el segundo las situaciones multiplicativas. Sobre ambos ejes se pueden sustentar trabajos en las demás interpretaciones, incluida la familia de las razones, para así rescatar las posibilidades que cada una de ellas ofrece en cuanto a la conceptualización de las fracciones y, en última instancia, de los números racionales. • ESTÁNDARES RELACIONADOS A continuación se presentan los estándares asociados con las ideas relacionadas en las páginas anteriores, los cuales pueden ser movilizados a través de las actividades aquí propuestas:

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Numérico Primero a Tercero Cuarto a quinto

Describir situaciones de medición utilizando fracciones comunes. Resolver y formular problemas en situaciones de variación proporcional. Interpretar las fracciones en diferentes contextos -medidas, razones y cocientesResolver y formular problemas en situaciones de proporcionalidad directa, inversa y producto de medidas. Modelar situaciones de proporcionalidad directa e inversa

Sexto a séptimo

Utilizar números racionales, en su notación fraccionaria o decimal, para resolver problemas en contextos de medidas, cocientes, razones, proporciones y porcentajes. Justificar el uso de representaciones y procedimientos en situaciones de proporcionalidad directa e inversa. Justificar la pertinencia de un cálculo exacto o aproximado en la solución de un problema y lo razonable o no de las respuestas obtenidas.

Espacial Primero a Tercero

Reconocer y aplicar traslaciones y giros sobre una figura.

Cuarto a quinto

Identificar y justificar relaciones de congruencia y semejanza entre figuras.

Sexto a séptimo

Predecir y comparar los resultados de aplicar transformaciones (traslaciones, rotaciones, reflexiones) y homotecias sobre figuras bidimensionales en situaciones matemáticas y en el arte.

Reconocer congruencia y semejanza entre figuras. (ampliar y reducir) Hacer conjeturas y verificar resultados de aplicar transformaciones a figuras en el plano para construir diseños.

Resolver y formular problemas que involucren relaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales.

Octavo a noveno

Conjeturar y verificar propiedades de congruencia y semejanza entre figuras bidimensionales y entre objetos tridimensionales en la solución de problemas. Usar representaciones geométricas para resolver y formular problemas en la matemática y en otras disciplinas.

Métrico Primero a Tercero

Cuarto a quinto

Sexto a séptimo

Reconocer atributos medibles de los objetos y eventos (longitud, superficie, capacidad, masa y tiempo) en diversas situaciones. Realizar y describir procesos de medición con patrones arbitrarios y algunos estandarizados de acuerdo al contexto. Seleccionar unidades, tanto convencionales como estandarizadas, apropiadas para diferentes mediciones. Utilizar diferentes procedimientos de cálculo para hallar la medida de superficies y volúmenes. Resolver y formular problemas que involucren factores escalares (diseño de maquetas, mapas). Calcular áreas y volúmenes a través de composición y descomposición de figuras y cuerpos Identificar relaciones entre unidades para medir diferentes magnitudes. Resolver y formular problemas que requieren técnicas de estimación.

Octavo a noveno

Seleccionar y usar técnicas e instrumentos para medir longitudes, áreas de superficies, volúmenes y ángulos con niveles de precisión apropiados.

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SITUACIÓN 1 • CONCEPTOS Y PROCEDIMIENTOS El conjunto de actividades propuestas en esta situación presenta dos procesos conceptuales fundamentales: de un lado, las fracciones como relación parte todo (en el sentido descrito antes), y de otro, el área de superficies planas y sus procesos de medición, lo cual permite comprender el área como cantidad de magnitud de una magnitud dada. Las tres actividades propuestas permiten un trabajo conceptual con la noción de unidad de medida, de la equivalencia entre áreas independiente de la forma de las superficies medidas y de la aditividad de las áreas cuando las superficies son disjuntas entre si. Desde el punto de vista de los números racionales, se centra en la notación fraccionaria de los mismos, y permite un trabajo sistemático en el carácter relativo de las fracciones, esto es, que las fracciones no son propiedades de las partes medidas, sino relaciones cuantitativas entre magnitudes (ningún objeto es en si mismo la mitad de nada, sino que en relación con otra magnitud, puede ser la mitad, la tercera parte, el doble, etc.). En particular, la primera actividad permite trabajar conceptos relativos a las fracciones ½ y ¼ a través de la medición directa con unidades determinadas y de la comparación de las unidades de medida para realizar medidas indirectas a través de la conversión de una medida a otra cambiando la unidad de medida. En cuanto al concepto de medida permite conceptualizar la conservación del área de una superficie a pesar que la forma de la misma sea transformada. Igualmente permite ver el carácter aditivo de las superficies (cuando ellas no se superponen). La actividad Nro 2 busca de un lado profundizar en la noción de mitad ya tratada en la actividad Nro 1, pero de otro, afianzar el concepto de área al mostrar diferentes formas de configurar la mitad de… Se amplía el concepto de mitad al mostrar que la formas de las mitades no tienen que parecerse ya que lo importante es la relación entre las cantidades comparadas. La actividad Nro 3 continúa con el trabajo sobre las unidades de medida, pero ahora introduce relaciones fraccionarias más complejas (medios, cuartos, octavos y dieciseisavos), y además, profundiza en el carácter relacional de las fracciones. Es por esta razón que exige medir cada figura del rompecabezas utilizando cada una de las otras como unidad de medida. La actividad 4 pretende profundizar en el sentido de la relación parte todo, y para ello toma excusa la reflexión sobre la configuración de las banderas de algunos paí74

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ses del mundo. En este sentido es una actividad más formal que busca ampliar el concepto de fracción a otros contextos y a otras fracciones más complejas. La última es una actividad de carácter evaluativo que busca analizar el grado de apropiación de los conceptos de medida y de fracción. Dado que es un problema abierto puede tener múltiples soluciones, y la discusión en plenaria sobre los resultados y los métodos utilizados por los grupos de trabajo se constituye en un factor importante para el desarrollo del pensamiento matemático de los alumnos. • PROCEDIMIENTOS ESPERADOS E INDICADORES DE VALORACIÓN En la primera actividad, al superponer la unidad de medida en la superficie que se desea medir, se verifica que en algunos sectores de la figura, la unidad de medida no queda contenida totalmente. Esto hace que, en esencia se presenten dos procedimientos básicos: Aquellos en los que se desechan los sectores de la superficie en la cual la unidad de medida no está contenida totalmente, y otros en los que las partes son cuantificadas con respecto a la unidad. En el caso del primer tipo de procedimientos, se pone en evidencia que el concepto de medir está unido al concepto de número natural (solo se cuantifican y componen aditivamente las unidades totalmente contenidas en la superficie que se desea medir). Al despreciar sectores de la superficie, cuya medida es menor que la unidad, se asume que su medida es cero. Esto es, la medida es cuántica: o es una unidad, o es cero. Solo se componen aditivamente los valores enteros, y las cantidades menores que la unidad no se cuantifican como fracciones de la unidad, y por tanto no se pueden componer para formar unidades completas. Ahora bien, es posible que los estudiantes se den cuenta de que los sectores menores que la unidad también deben ser compuestos aditivamente con aquellos sectores donde la unidad fue contenida totalmente, pero no son capaces de establecer la relación parte todo entre la parte y la unidad. En este caso se evidencia un problema de conceptualización no alrededor del concepto de medida, sino de la fracción como relación parte todo. Si es este el caso, entonces una intervención que evidencie que la parte de la superficie está contenida dos veces en la unidad, permitirá la comprensión necesaria. En cuanto al segundo procedimiento, no es necesario hacer mayores comentarios, pues se evidencia un concepto de medida que permite cuantificar y componer aditivamente fracciones de unidad. Solo hay que agregar que, dado que la figura 2 tiene partes en las que la unidad U2 no está contenida totalmente, y que la comparación entre esas partes y la unidad no es fácil por métodos visuales, entonces los estudiantes pueden explorar dos vías: descomponer y transformar la unidad de

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medida, por ejemplo para formar un rectángulo, o transformar o componer las partes de la superficie de tal forma que puedan comparar el resultado con la unidad de medida. Este hecho permite avanzar en la conceptualización del área como una propiedad de la superficie, y no la figura o de la forma: la composición y descomposición de superficies genera superficies de áreas equivalentes a pesar de que ha cambiado la forma. Ahora bien, la actividad finaliza con acciones que implican el cambio en las unidades de medida: se mide el área de la figura 1, con la unidad de medida U2, y viceversa, el área de la figura 2 es medida con la unidad de medida U1. Al comparar los valores obtenidos, y sabiendo de la unidad U2 cabe dos veces en la unidad U1, se puede concluir sobre los procedimientos de medición se han realizado correctamente. Precisamente este aspecto el que genera un proceso de validación del trabajo realizado, pues generalmente la medición de la figura el pájaro suele generar dificultades y equivocaciones, y por tanto, al realizar la conversión de medidas (en ambas superficies) al cambiar de una unidad a la otra, si las medidas no han sido bien realizadas, se generan contradicciones en la información. Podría decirse que esta comparación corresponde a una actividad de evaluación intrínseca en la situación, que permite al estudiante por sus propios medios determinar la validez de lo realizado. La actividad 2 hace intervenir al computador de manera importante, pues gracias al dinamismo brindado por la posibilidad de mover los puntos sobre los lados de los rectángulos se pueden formular hipótesis sobre las comparaciones solicitadas. La posibilidad de que en cada nuevo ejercicio se pueda llegar al ejercicio anterior en los casos extremos del movimiento de los puntos, permite afianzar hipótesis sobre el camino a seguir. Igualmente la configuración visual de los triángulos interiores con respecto a los lados del rectángulo facilita la construcción de líneas guías auxiliares que permiten visualizar la estructura a partir de rectángulos, los cuales facilitan la conclusión final esperada: que en todos los casos, la parte sombreada es la mitad del rectángulo. Es importante que los alumnos exploren la situación, y que a través de las herramientas brindadas por el applet, puedan obtener sus propias conclusiones. Por supuesto, dependiendo de la manera como oriente el trabajo, el docente puede y debe hacer sus propias intervenciones. La actividad 3, continua con los procesos de medición, pero ahora, se espera que los procedimientos de los alumnos estén orientados al establecimiento de las relaciones parte todo. En este sentido, las composiciones o descomposiciones de las figuras en otras de área equivalente serán claves para determinar dichas relaciones. Se espera que los estudiantes concluyan las relaciones fraccionarias a partir de establecer cuántas veces está contenida la parte en el todo, y para ello, puede rea76

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lizar procedimientos manuales (recortar, dibujar, calcar, etc.) o puede realizar comparaciones directas a partir de las relaciones entre las formas de las superficies a comparar. Nótese que en este caso, se pretende profundizar en un aspecto que pudo ser problemático en la primera actividad: medir una superficie menor que la unidad de medida. Al igual que el caso de la actividad 1, la última pregunta de esta actividad tiene un carácter evaluativo, pues al pedir la medida de cada una de las figuras y su suma total, si esta no da un metro cuadrado, entonces el alumno podrá darse cuenta, por si mismo, que ha cometido un error en el procedimiento. La actividad 4, esconden un poco el problema de la medición, en tanto que el énfasis ya no es en los procesos de medición, sino en las comparaciones entre las partes y el todo, pero la medida sigue cruzando los posibles procedimientos de los alumnos. En este sentido profundizan la propuesto en las actividades anteriores, y permiten ampliar el campo de reflexiones a otro tipo de fracciones. La actividad 5, como ya se dijo, deja abierta la posibilidad a múltiples caminos de exploración y por lo tanto es difícil anticipar el tipo de soluciones que se puedan presentar. Comentario final: El intento de describir los posibles procedimientos de los estudiantes en un conjunto de actividades se justifica en la medida que a partir de éstos se pueden definir los indicadores de valoración en el desarrollo del proceso conceptual de los alumnos. Por ejemplo, para el caso de ésta situación se pueden definir indicadores como los siguientes: • Medir el área de superficies solo con referencia a los números naturales. • Medir el área de superficies cuantificando superficies menores que la unidad. • Descomponer y componer aditivamente áreas de superficies equivalentes. • GESTIÓN DE LA SITUACIÓN Las actividades propuestas en esta primera situación presentan unos niveles de complejidad apropiados para alumnos de grado 3 de Educación Básica Primaria. El trabajo se puede realizar en parejas lo cual favorece la discusión, formulación y puesta en ejecución de planes de acción. Este es un aspecto importante para favorecer el trabajo colaborativo, y por ende, el desarrollo de competencias ciudadanas, por ejemplo, relativas a la participación y responsabilidad democrática: Colaboro activamente para el logro de metas comunes en mi salón y reconozco la importancia que tienen las normas para lograr esas metas, o las relativas a la convivencia y paz: Comprendo que las normas ayudan a promover el buen trato y evitar el maltrato en el juego en la vida escolar. 77

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•ACTIVIDAD 1:

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Midiendo y comparando medidas

Número de jugadores: 2 Materiales: Un dibujo por pareja, lápiz, borrador ,regla. Opcional papel calcante.

Qué hacer w Mida la superficie S1 (la llave), utilizando el cuadrado U1 como unidad de medida. w Mida la superficie S2 (el pájaro), utilizando el cuadrado U2 como unidad de medida. w Compare las unidades U1 y U2. Si se midiera S1, utilizando U2, como unidad de medida, ¿cuál sería el resultado? w Si se midiera S2, utilizando U1, como unidad de medida, ¿cuál sería el resultado?

S1 U1

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•ACTIVIDAD 2: Trabajando con rectángulos Número de jugadores: 2 Materiales: Computador, archivo index.

Qué hacer w Abra el vínculo Actividad rectángulo 1 (Medición) w Mueva los puntos A y B. Observe cómo cambian las medidas del rectángulo. w De igual forma, mueva el punto P y observe qué cambia en las medidas del triángulo sombreado. w ¿Cuánto es el área del triángulo con respecto al área del rectángulo? w Al realizar los anteriores movimientos, ¿cambiaría la relación del área del triángulo con respecto al área del rectángulo?

Qué hacer w Abre el vínculo Actividad rectángulo 2 (Medición) w Mueve los puntos A y B y observa cómo cambian las medidas del rectángulo. w De igual forma, mueve los puntos D y C y observa cómo cambian las medidas de los triángulos sombreados. w ¿Cuánto es la suma de las áreas de los triángulos sombreados con respecto al área del rectángulo? w Al realizar los anteriores movimientos, ¿cambiaría la relación de la suma de las áreas de los triángulos sombreados con respecto al área del rectángulo?

Qué hacer w Abre el vínculo Actividad rectángulo 3 (Medición) w Mueve los puntos A y B y observa el cambio en las medidas del rectángulo. w Mueve los puntos C, D y E y observa qué cambia en las medidas del cuadrilátero interior. w ¿Cuánto es el área del cuadrilátero sombreado con respecto al área del rectángulo? w Al realizar los anteriores movimientos, ¿cambiaría la relación del área del cuadrilátero interior con respecto al área del rectángulo?

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Qué hacer w Abre el vínculo Actividad rectángulo 4 (Medición) w Mueve los puntos A y B y observa cómo cambian las medidas del rectángulo. w Mueve los puntos C, D, E y F y notarás cómo cambian las medidas del cuadrilátero interior. w ¿Cuánto es el área sombreada con respecto al área del rectángulo? w Al realizar los anteriores movimientos, ¿cambiaría la relación del área del cuadrilátero interior con respecto al área del rectángulo?

•ACTIVIDAD 3:

Rompecabezas geométrico28

Número de jugadores: 2 Materiales: Dibujo, lápiz y borrador. Opcional papel calcante y regla

Qué hacer w El cuadrado de la figura ha sido diseñado a partir de siete fichas, las cuales han sido nombradas con algunas letras. w Entre ellas se pueden identificar algunas propiedades y regularidades. Haga una lista de las propiedades y regularidades que encuentres. Explica estas decisiones. w Si las fichas A, B, C, D, E, F y G son medidas con la ficha E como unidad de medida, ¿cuál sería el valor de cada una de ellas? w Igual situación, pero ahora la unidad de medida es la ficha F. w Igual situación, pero ahora la unidad de medida es la ficha G. w Si la superficie total del cuadrado mide 1m2, ¿cuánto mide la superficie de cada una de las fichas A, B, C, D, E, F y G? Sume las áreas de todas las figuras.

•ACTIVIDAD 4: El día de la ONU

Número de jugadores: 2 Materiales: Computador, archivo index.

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Tomado y adaptado de: Petit X numéro spécial activités - novembre 92. pp 23-24. Tomado y adaptado de: http://www.sep.gob.mx/work/appsite/librosprimaria/libros/index.htm

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Qué hacer Para festejar el día de la ONU se realizó un festival en la escuela. Al grupo de Jaime le tocó hacer las banderas de algunos países: Puerto Rico, Tailandia, México, Uganda, Indonesia, España, Costa Rica, Chile, Kuwait, Paquistán, Nicaragua, Jordania, Colombia, Panamá, Suecia, Congo. w Averigua los colores, dimensiones y diseño exacto de cada una de estas banderas. w Los niños compraron varios pliegos de papel blanco, trazaron una bandera en cada pliego y después las colorearon. w ¿Cuáles banderas están divididas en partes del mismo tamaño? w ¿Cuáles están divididas en tres partes iguales? w ¿Cuáles están divididas en 4 partes iguales? w ¿Es cierto que la bandera de Chile está dividida en tercios? ¿Por qué? w ¿Es cierto que la bandera de Colombia está dividida en cuartos? ¿Por qué? Completa la siguiente tabla. Todas sus partes son País Puerto Rico Tailandia México Uganda Indonesia España Costa Rica Chile Kuwait Paquistán Nicaragua Jordania Colombia Panamá Suecia Congo

Mitades no

Tercios no

Cuartos no

Quintos no

Sextos no

w ¿Es cierto que la parte blanca en la bandera de Paquistán es ¼ del área de la bandera? ¿Por qué? w ¿Qué fracción de la bandera de Chile está coloreada de rojo?¿Qué fracción de la misma bandera tiene color blanco?¿Y qué fracción tiene color azul?

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•ACTIVIDAD 5: La Mancha

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Número de jugadores: 2 Materiales: Dibujo, lápiz y borrador. Opcional regla, pita, hojas cuadriculadas, papel calcante.

Qué hacer En una cortina aparecen unas manchas como las que ves más abajo. Su dueño quiere medirlas de la forma más exacta posible, porque el lavado de la cortina se cobra de acuerdo con el tamaño de las manchas. ¿Puedes ayudarle a medir las manchas?

El tamaño real y la forma de cada mancha son:

SITUACIÓN 2: ESTABLECIENDO RELACIONES PARTE – TODO • CONCEPTOS Y PROCEDIMIENTOS Las actividades de esta situación están orientadas a conceptualizar la equivalencia entre fracciones, y por esta vía, en la segunda situación iniciar un trabajo en lo relativo a la suma de fracciones. Se apoya en los conceptos aprendidos en la anterior situación sobre la medición y las fracciones.

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Tomado y adaptado de: Grupo Azarquiel. Proyecto Azarquiel matemáticas 1 de E.S.O. libro del profesor. UAM ediciones. Madrid 1996

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Vale la pena destacar que la noción de equivalencia que se quiere favorecer es la que deriva del proceso de medición, y por esto se espera conceptualizar la equivalencia entre dos fracciones a partir de analizar cuantas veces está contenida la una por el hecho de que 1 6 está contenido 3 veces en ½ en la otra. Por ejemplo, (esto es diferente de la forma usual que centra la comprensión en la fórmula de la igualdad entre producto de medios igual a producto de extremos). Cuando se trata de realizar la suma entre fracciones heterogéneas la búsqueda de las fracciones equivalentes implica buscar una fracción que mide un número exacto de veces las dos fracciones que deben ser sumadas (y no como se hace usualmente, buscando el mínimo común múltiplo de los denominadores, lo cual por demás centra el procedimiento en los números naturales y no en las fracciones como expresiose procede buscannes de los números racionales). Por ejemplo, para sumar: do una fracción que esté contenida un número exacto de veces en los cuartos y los tercios. Esta es . Como está contenido 3 veces en y cuatro veces en , entonces = , y 2 3 = 812 . Ahora si la suma es muy fácil de realizar. Este proceso conceptual se ve complejo, pero es más coherente con los procesos de medición y surge de manera muy natural a través de las actividades propuestas en esta situación. +=

La actividad 1 centra el análisis en la relaciones de equivalencia entre fracciones, a partir de la medición de áreas de superficies rectangulares. Adicionalmente se trabaja en aspectos relativos a la estructura de la Bandera de Colombia, así como, el sentido y significado de los colores. Si esta actividad se amplía al análisis de banderas de otros países se puede profundizar el estudio de la equivalencia entre otras fracciones. Las actividades 2 y 3 buscan profundizar lo relativo a las fracciones como relación parte todo, pero ahora ampliando el campo de reflexión a cualquier tipo de fracción. En particular la actividad 2 que utiliza una serie de applets para el computador tiene especial importancia ya que permite diferentes tipos de manipulaciones facilitando la comprensión de los procesos de comparación implicados al establecer la relación parte todo entre dos cantidades. La actividad 4 inicia un proceso muy importante, pues sobre la base de las relaciones parte todo, establece la reflexión sobre las fracciones equivalentes. Tal como se indicó al comienzo, se trata de ver como una fracción es contenida un número exacta de veces en otra, y tomar este elemento como base para la comprensión del sentido y significado de la equivalencia entre fracciones. Esto es, se trata de que los alumnos vean que encontrar una fracción equivalente es el resultado de buscar fracciones unitarias que dividan exactamente la fracción unitaria original, y no como tradicionalmente lo hacemos (aunque parece ser mucho más fácil) multiplicando

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numerador y denominador por un mismo número. Este procedimiento está centrado en la medición, y permite una mejor comprensión de lo que significa una fracción equivalente. Igualmente esta cuarta actividad empieza a relacionar la equivalencia de fracciones con el procedimiento para realizar la operación suma. La actividad 5 continúa con el proceso, pero ahora se introduce la noción de suma de fracciones. Esto se logra por dos vías: al acumular los desplazamientos de las fichas en cada una de las pistas, o al cambiar sistemáticamente las reglas del juego. En el primer caso se favorece la suma de fracciones homogéneas, mientras que el segundo caso se favorece la suma de fracciones heterogéneas. En esta actividad se favorece establecer las equivalencias a partir de comparar las fracciones pues la estructura de las pistas facilita la visualización de la contenencia de una fracción en la otra. Las actividades 6 y 7 permiten una reflexión más sistemática sobre las operaciones aditivas y multiplicativas. Sobre la base de las construcciones realizadas alrededor de las fracciones equivalentes permiten la formalización de procedimientos para sumar fracciones de cualquier tipo. Igualmente proponen una interpretación geométrica para la multiplicación de fracciones. En este caso es importante que las reflexiones muestren como la multiplicación de fracciones es en esencia una división sucesiva de la unidad, mejor aun, es el cálculo de un área en la cual las medidas de los lados no son valores enteros. Esta es tan solo una primera aproximación a la multiplicación de fracciones, y por tanto se hace necesario profundizar más en su sentido y significado. • PROCEDIMIENTOS ESPERADOS E INDICADORES DE VALORACIÓN En la actividad No. 1 se espera que los alumnos sigan procedimientos de tipo multiplicativo, tomando como referencia la relación entre los tamaños de las franjas de nuestra bandera: la franja de color amarillo es el doble de ancho de la de color rojo o azul, y es la mitad del ancho total de la bandera (por consiguiente el ancho de la franja azul o roja es la cuarta parte del ancho total de bandera). Ahora bien, es posible que se presenten procedimientos tipo aditivos, siguiendo, por ejemplo, patrones de repetición: 1 amarillo – 2 azules – 2 rojos; 2 amarillo – 4 azules – 4 rojos, etc. En las actividades 2 a 4 se espera, como ya se dijo, procedimientos ligados a la comparación, en primer lugar de las fracciones unitarias implicadas, y en segundo lugar, a la composición multiplicativa de la fracción unitaria analizada en la primera parte del proceso. Así se espera que se logre trascender la clásica interpretación de numerador y denominador, para pasar a una en la que la fracción sea vista como un número, como una cantidad. La comparación de la fracción unitaria con respecto a la unidad permitirá ver que cada fracción n-ésima de la unidad lo es en tanto que esta parte está contenida n-veces en la unidad, lo cual fácilmente verificable a par-

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tir de un proceso de conteo simple. Posteriormente, es fácil ver como el área sombreada es la repetición de un número m de fracciones unitarias. En el caso de la actividad 5, se esperan procedimientos ligados al conteo de fracciones unitarias, pues el desplazamiento de las fichas a lo largo de cada una de las pistas numéricas favorece este tipo de visualización. Sin embargo, se puede presentar una dificultad al realizar los desplazamientos en las pistas numéricas: no asumir el punto inicial del conteo como un cero relativo. Por ejemplo, en algunos casos, si una ficha cuya posición inicial sea ¼, se debe mover ¾, la posición final, que debería ser , es ¾. En esta caso, la posición inicial no es asumida como cero, sino uno, dos es el avance hasta los , y tres es el avance hasta los ¾. Nótese que este caso el problema no es con el concepto de fracción en si mismo, sino con el concepto de cero, en este caso, con la diferencia entre el cero absoluto y el cero relativo. • GESTIÓN DE LA SITUACIÓN La actividad 1, por tratarse de la bandera de nuestro país, tiene ingrediente que se debe cuidar y que no son propiamente matemáticos: cuáles son las características de la bandera nacional. Aunque parezca extraño, muchos niños piensan que las tres franjas de la bandera nacional son de igual ancho. Cuando esto sucede pues, se abre un escenario interesante para reflexionar sobre los símbolos patrios. No sobra resaltar que en las actividades 2 al 4, que presentan gran similitud con las actividades clásicas de partir y contar, se debe tener especial cuidado de centrarse en el análisis en la comparación (medición) de una parte con el todo (fracción unitaria), y la cantidad de partes (fracción no unitaria). Con respecto a la situación 5, hay que tener cuidado especial, con los objetivos de las modificaciones en las reglas del juego, pues éstos obedecen a la necesidad de generar cambios en las estrategias de trabajo de los estudiantes, y por tanto busca hacerlos avanzar en sus procesos conceptuales. Así, por ejemplo, en el caso del primer juego, las reglas utilizadas favorecen la suma de fracciones homogéneas, pues el desplazamiento de las fichas, y la cantidad sacada en los dados genera un contexto para la visualización del resultado de acumulaciones sucesivas de desplazamientos. Por su parte, el juego Nro. 2, al exigir que la cantidad sacada en los dados debe ser corrida en una pista diferente, se favorece la conceptualización de fracciones equivalentes, y se continúa profundizando en la suma de fracciones homogéneas. Finalmente el juego Nro. 3, al exigir que una determinada cantidad debe ser corrida en dos pistas, favorece la conceptualización de la suma de fracciones heterogéneas, y profundiza en la equivalencia de fracciones.

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•ACTIVIDAD 1: La bandera de Colombia Número de jugadores: 2 Materiales: Pliegos de papel amarillo, rojo y azul, todos del mismo largo, pero de anchos diferentes, pegante, palos de pinchos, tijeras.

Qué hacer w La actividad consiste en seleccionar los tipos de papel necesarios para hacer una bandera de Colombia, y realizarla. Situaciones para reflexionar w Si la franja de color azul se reemplaza por otra idéntica, pero de color amarillo, ¿Qué cantidad de la franja de color amarillo se necesitaría? w Se dispone de 4 hojas de color amarillo, con las cuáles se desea hacer 8 banderas de Colombia, ¿Cuántas hojas de color azul, y cuántas hojas de color rojo se necesitan? w De una hoja de color rojo se utiliza la tercera parte para realizar una bandera de Colombia, ¿Qué cantidad de la hoja de color amarillo, y qué cantidad de la hoja de color azul se necesita? w De una hoja de papel de color amarillo se cortan tres franjas para hacer tres banderas de Colombia. ¿Qué cantidad de papel de color azul y qué cantidad de papel de color rojo se necesita?

•ACTIVIDAD 2: Partes y todo

Número de jugadores: 2 Materiales: Archivo index, computador

Qué hacer w Abre el vínculo: Reconocimiento de fracciones en relación parte todo (Fracciones). w Mueve con el mouse las flechas que indican el número de partes en que se va a dividir el todo. w Haz clic sobre la figura para colorear las partes que desees. w Observa la fracción que aparece escrita al lado. w ¿Cuántas veces cabe cada una de las partes coloreadas en la figura dada? w ¿Qué significado tiene la fracción que aparece escrita? _____________________________________________________ 31

Tomado y adaptado http://www.matti.usu.edu/nlvm/nav/index.html

Números Racionales

Que hacer w Abre el vínculo: Visualización de las fracciones en relaciones parte todo (Fracciones). w Escribe la fracción que corresponde a la parte coloreada. Chequea si la respuesta dada es correcta, haciendo clic en “check”.

Qué hacer w Abre el vínculo: Representación gráfica de la relación parte todo (Fracciones). w Mueve con el mouse las flechas que indican el número de partes en que se va a dividir el todo. w Cuando consideres que tienes la división apropiada para la fracción pedida, presiona el botón “check” para verificar tu respuesta. w ¿Cuántas veces cabe cada parte coloreada en el todo? ¿Cómo simbolizarías esta relación por medio de una fracción? w De acuerdo con lo anterior, ¿cómo dibujarías 12/11; 5/4; 8/3?

•ACTIVIDAD 3: Midiendo áreas

Número de jugadores: 2 Materiales: Dibujo dado.

Qué hacer: w El cuadrado de la figura ha sido dividido en 7 piezas, las cuales han sido nombradas con algunas letras. w Si las piezas B, E y F son medidas con la pieza A como unidad de medida, ¿cuál sería la medida de cada una de ellas? w Igual situación, pero ahora la unidad de medida es la pieza F. w Igual situación, pero ahora la unidad de medida es la pieza B. w Teniendo en cuenta las dimensiones de los lados del cuadrado, calcula su área. ¿Cuánto mide la superficie de cada una de las piezas A, B, E y F ? _____________________________________________________ 32

Tomado y adaptado de: Petit X numéro spécial activités - novembre 92. pp 23-24

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•ACTIVIDAD 4:

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Encontrando fracciones equivalentes33

Número de jugadores: 2 Materiales: Archivo index, computador

Qué hacer: w Abra el vínculo: Visualización de la equivalencia entre fracciones (Fracciones). w Mueva con el mouse las flechas para aumentar el número de divisiones del todo. w Cuando considere que tiene la división apropiada para la fracción dada, escriba en los espacios de la derecha la fracción equivalente resultante. w Presiona el botón “check” para verificar su respuesta. Repita el proceso con otras fracciones. w ¿Qué relación puede establecer entre las fracciones equivalentes?

Qué hacer w Abra el vínculo: Compara fracción en relación parte todo, e intercala fracciones entre fracciones dadas. w Mueva con el mouse las flechas para aumentar el número de divisiones de cada uno de los todos dados, hasta encontrar una división común que cubra las superficies coloreadas. w Cuando considere que tiene las divisiones apropiadas para las fracciones dadas, escriba en los espacios de la derecha la fracción equivalente resultante. w Haga clic en “check” para verificar si su respuesta es adecuada. Visualizará la pantalla del lado. Si la respuesta no es correcta, debe continuar con el proceso anterior hasta encontrar las divisiones adecuadas. w Ahora, con el mouse, ubique sobre la recta numérica las fracciones equivalentes encontradas. w ¿Qué sucede al ubicar en la recta numérica dos fracciones equivalentes entre sí?

_____________________________________________________ 33

Tomado y adaptado http://www.matti.usu.edu/nlvm/nav/index.html

Números Racionales

w Ahora, mueva las flechas ubicadas a la derecha de la recta numérica para cambiar el número de divisiones de la recta, de tal forma que pueda ubicar una fracción que se encuentre entre las dos fracciones halladas en el punto anterior. La expresión simbólica de la fracción la debe escribir en los espacios en blanco y luego chequear si su respuesta es adecuada haciendo clic con el botón “check”. w ¿Cuántas fracciones puede ubicar entre las fracciones dadas anteriormente?.

•ACTIVIDAD 5: Juego de las equivalencias

Número de jugadores: 4 Materiales: Pista, dados modificados, fichas de parqués.

_____________________________________________________ 34

Este juego es una adaptación de uno presentado por el Dr. Carlos E, Vasco en su artículo "El archipiélago fraccionario" (Vasco, 1994).

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Qué hacer Como preparar el material: w Un octavo de cartulina en el cual se dibujan 8 segmentos (pistas), cada uno de dos unidades de longitud (la unidad se elige arbitrariamente). Los segmentos son divididos en fracciones de unidad respectivamente. w Con cinta de enmascarar, se modifican dos dados: en uno se escriben las palabras medio, tercio, cuarto, sexto, décimo y veinteavo, y en el otro dado se escriben las palabras uno, dos, tres, cuatro, cinco y seis. De esta manera uno de los dados marcará una fracción unitaria, mientras que el otro marcará la cantidad de veces que debe ser considerada dicha fracción unitaria. w 14 fichas de parqués.

Primer juego w Cada jugador toma 7 fichas de parqués y las ubica una a una en el punto de partida de cada segmento dibujado excepto en la pista de los veinteavos. w Tiran los dados por turnos sucesivos, y avanzan sus respectivas fichas según la cantidad marcada por cada dado. w Solo se puede mover la ficha que esté en la pista que está dividida en la fracción que marcan los dados. Por ejemplo, si los dados marcan tres cuartos, entonces se debe recorrer esa distancia con la ficha que se encuentra en la pista que está dividida en cuartos. Si el valor obtenido en los dados excede a dos unidades, entonces esa ficha ya se ubica en el extremo y el valor sobrante se recorre en con otra ficha en el mismo segmento. w Gana el primero jugador que lleve todas sus fichas hasta el extremo opuesto. w A medida que realizan el juego, cada jugador registra sus jugadas en la siguiente tabla:

Segundo juego w En este caso se cambia lo siguiente:

Números Racionales

w La cantidad sacada debe ser corrida por una pista diferente a la que está dividida en la fracción que indican los dados. Esto es, si los dados marcan, digamos ¾, entonces se deben correr por otra pista diferente a la que está dividida en cuartos, por ejemplo la de los veinteavos. w Además se pide colocar una ficha en la pista de los veinteavos.

Tercer juego w En este caso se cambia lo siguiente: w La cantidad marcada por los dados debe ser repartida en dos o más partes (no necesariamente iguales), y cada una de esas partes debe ser corrida por una pista distinta. Se puede usar la pista dividida en la fracción marcada por los dados como una de las pistas. w Además, en este juego se cambia la tabla de registro por la siguiente:

•ACTIVIDAD 6:

Sumando fracciones35

Números de jugadores: 2 Materiales: Archivo index, computador

Qué hacer: w Abra el vínculo: Visualización de la suma de fracciones. w Mueva con el mouse las flechas para aumentar el número de divisiones de cada uno de los todos dados, hasta encontrar una división común que cubra las superficies coloreadas. w Cuando considere que tiene las divisiones apropiadas para las fracciones dadas, escriba en los espacios de la derecha las fracciones equivalentes resultante. _____________________________________________________ 35

Tomado y adaptado http://www.matti.usu.edu/nlvm/nav/index.html

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w Haga clic en “check” para verificar si su respuesta es adecuada. Visualizará la pantalla del lado. Si la respuesta no es correcta, debe continuar con el proceso anterior hasta encontrar las divisiones adecuadas. w Ahora, escriba en los espacios en blanco el resultado de la suma que aparece escrita. Chequee la respuesta con el botón “check”. Repita el proceso para varias fracciones. w Describa el proceso que está realizando el computador para obtener la suma de 2 fracciones dadas. w De manera análoga, resuelva 7/3 + ½.

•ACTIVIDAD 7: Multiplicando fracciones

Número de jugadores: 2 Materiales: Archivo index, computador

Qué hacer: w Abra el vínculo: Visualización para la Multiplicación de fracciones propias e impropias w Mueva con el mouse las flechas de la derecha, para aumentar el número de divisiones del todo, hasta encontrar una que se adecúe para representar una de las fracciones dadas. De igual forma, desplace el cuadrado de la barra inferior hasta que se coloree en la gráfica la fracción elegida. w De forma similar, proceda con las flechas de arriba y el cuadrado de la barra izquierda para obtener la segunda fracción dada. w Cuando considere que tiene las representaciones apropiadas para las fracciones dadas, haga clic sobre el botón “check” y visualizará la siguiente pantalla. Repita el proceso para varias fracciones. w Describa el proceso que está realizando el computador para obtener el producto indicado. w En la gráfica, ¿cómo se representa el producto obtenido?

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Tomado y adaptado http://www.matti.usu.edu/nlvm/nav/index.html

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SITUACIÓN 3: SOBRE EL CAMINO DE OTRAS INTERPRETACIONES DE LOS RACIONALES • CONCEPTOS Y PROCEDIMIENTOS Los números racionales se representan de diferentes formas, una de ellas es a partir de las fracciones (como se ha trabajado en las situaciones anteriores) y la otra es a partir del sistema de numeración decimal. Se trata de extender la notación decimal a números menores que la unidad. En estos casos la relación con las fracciones se da a partir de comprender que las fracciones que se utilizan son decimales, esto es, fracciones cuyo denominador es una potencia de 10 (décimos, centésimos, milésimos, etc.). Por tanto el proceso de transformar una fracción cualquiera en su respectivo número decimal pasa por encontrar la fracción equivalente en fracciones decimales. Una vez obtenida la respectiva fracción decimal es muy fácil encontrar la expansión decimal del número racional en cuestión. Dado que las potencias de 10 tienen muy pocos divisores, entonces no siempre es fácil hallar dicha fracción equivalente, y por demás, existen fracciones cuya expansión decimal es infinita (números decimales periódicos infinitos). Otro tipo de interpretación importante de los racionales es el relacionado con los porcentajes. En este caso se trata de relaciones parte todo, en las cuales el todo es expresado como 100, y la medida de la parte se debe expresar como cuánto de ese 100 es su cantidad de magnitud. Los porcentajes tiene entonces estrechas relaciones con la notación decimal (fracciones decimales) y con las relaciones parte todo. Esta situación trabaja conceptos relativos a las diferentes formas de representación de números racionales, y además, plantea el problema de la aproximación de las expansiones decimales cuando se hace la transformación de la notación fraccionaria a la decimal. Igualmente permite trabajar conceptos relativos al orden entre números decimales. • PROCEDIMIENTOS ESPERADOS E INDICADORES DE VALORACIÓN El juego de las equivalencias (actividad 1) no permite muchas posibilidades en cuanto a los procedimientos de los alumnos. Lo que si es interesante de analizar es lo relativo a las estrategias desarrolladas en el juego para que permitan seleccionar las parejas de números apropiados de tal forma que, o bien bloquee la jugada del adversario, o bien logre el objetivo de poner las tres marcas consecutivas. Esto implica el uso de estrategias de estimación y aproximación a través de las cuales se logra tener un control de los valores esperados posibles, y por tanto, de la selección de los que sirven para un determinado propósito. 93

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La situación dos es de observación y permite a través de ella analizar las relaciones entre las fracciones y los porcentajes. • GESTIÓN DE LA SITUACIÓN Dado que la actividad 1 se desarrolla a través de un juego, no requiere mayor aclaración en cuanto a la gestión necesaria. El juego se puede complejizar cambiando la tabla de números (pero seleccionando los nuevos con cuidado), al igual que la graduación de la escala de la recta con la cual se trabaja (por ejemplo, centésimos en ves de décimos). Igualmente la actividad 2 es de observación, y se trata de comprender las relaciones y regularidades que propone la comparación entre las fracciones y los porcentajes.

•ACTIVIDAD 1:

Juego con decimales

Número de jugadores: 2 Material: Papel, regla, lápiz, tabla de números.

Qué hacer w Dibuja una línea recta en la hoja de papel y divídela en diez partes de igual tamaño. Numera los extremos con 0 y 1, como se muestra en la figura.

w El juego se realiza en parejas. Por turnos, cada participante escoge dos números de la tabla numérica, con ellos forma una fracción. Después, la transforma en número decimal y marca su ubicación en la recta. w El objetivo del juego para cada uno de los jugadores es conseguir tres marcas propias en la línea recta sin que haya entre ellas ninguna marca del otro jugador.

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•ACTIVIDAD 2:porcentajes y fracciones Número de jugadores: 2 Materiales: Computador, archivo index.

Qué hacer w Abra el vínculo: Representación fracciones porcentajes (Fracciones). w Puede llenar dos de los tres espacios en blanco que aparecen en la pantalla: “whole”, “Part” o “%”. Escriba en “Whole” el número total, en “Part” la parte que desea representar o en “%” el porcentaje requerido. w Una vez haya llenado dos de los espacios anteriores, haz clic en “compute” para visualizar: la representación gráfica en la barra y el círculo, al igual que el cálculo realizado por el computador para dar la respuesta. w Realice varios cálculos usando el proceso anterior. w ¿Qué fracción representa el 100% de una cantidad dada? w ¿Qué fracción representa el 50% de una cantidad dada? w ¿Cuánto porcentaje es ¼ de una cantidad dada? w ¿Qué fracción representa el 20% de una cantidad dada?

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Situaciones Aditivas

Unidad No.4

Referentes Conceptuales LA COMPRENSIÓN DE LAS OPERACIONES37 Tradicionalmente al aprendizaje de las cuatro operaciones básicas se le destina una buena parte de los cinco primeros años de la educación básica. Además, este aprendizaje prácticamente está reducido al aprendizaje de los algoritmos convencionales y a la aplicación de estos algoritmos a la solución de problemas típicos, clasificados según la operación que se esté estudiando en el momento. El trabajo así realizado no permite a los alumnos desarrollar habilidades y destrezas en el cálculo mental, en la comprensión y la solución de problemas, en la comprensión misma del sentido y significado de las operaciones. Por ejemplo, los alumnos ante la solución de un problema generalmente le preguntan al maestro(a) ‘¿la operación que hay que hacer es una suma o una resta?’. Una vez que el alumno obtiene la respuesta resuelve correctamente el problema. Este tipo de situaciones pone en evidencia que los alumnos no comprenden el sentido y significado de las operaciones sumar y restar, quizás tan sólo saben los algoritmos convencionales para calcular los resultados. Es más, situándose en una posición extrema, se podría decir que estos alumnos, no saben las operaciones sumar o restar, tan solo saben un método para calcular los resultados de hacer estas operaciones: los algoritmos convencionales. Operar y calcular Como se esbozó antes, el trabajo escolar se centra en la enseñanza de los algoritmos de las cuatro operaciones básicas. Constance Kamii, en su libro, Reinventando la Aritmética III, postula que este énfasis en la enseñanza de los algoritmos, perjudica, antes que beneficiar, el desarrollo del pensamiento matemático de los niños. Esto en tanto que la utilización de los algoritmos convencionales desde los primeros años de la educación básica inhibe a los niños para que inventen sus propias _____________________________________________________ 37

Esta sección sirvió como base para el documento Generalización y Conceptualización: El Caso de las Estructuras Aditivas. Publicado en Cuadernos Pedagógicos. N 16. P 75-90. Universidad de Antioquia. Facultad de Educación. 2001.

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formas de realizar los cálculos relativos a las operaciones que deba realizar, y por tanto, genera una excesiva confianza en los resultados que obtiene a través de ellos, y así al obtener resultados erróneos no tiene ninguna herramienta adicional que la aprobación de su profesor para estimar la viabilidad de su resultado,. Esto claramente atenta contra la autonomía intelectual de los alumnos. De otra parte, como se describió antes, la comprensión de las reglas con las que funcionan los algoritmos básicos, se fundamenta sobre la comprensión de las reglas del sistema de numeración decimal, las cuales, para los niños antes de cuarto o quinto grado, están lejos de sus posibilidades de comprensión. Quizás sea ésta la razón por la cual los maestros se ven en la necesidad de emplear tanto tiempo y esfuerzo para enseñar unos procesos algorítmicos, que el estudiante, en el mejor de los casos, termina mecanizando sin ninguna comprensión, y finalmente confunde y olvida con gran facilidad. Se hace pues, necesaria la distinción entre la operación y el cálculo. La operación implica ante todo el aspecto conceptual ligado a la comprensión del sentido y significado matemático y práctico de las operaciones; mientras que por su parte el cálculo está ligado a las distintas maneras que pueden existir para encontrar un resultado, entre las cuales se pueden destacar: los algoritmos convencionales y los no convencionales, el cálculo mental, la utilización de una calculadora, de un ábaco, etc. Así, el trabajo en la escuela debe iniciar por el estudio de las operaciones (no de los algoritmos), apoyado sobre formas de cálculo no convencionales (tales como las inventadas por los propios alumnos, o a través de ábacos, calculadoras, etc.), y desde estas estrategias particulares, fundamentar el aprendizaje de los algoritmos convencionales, sobre la base de una buena comprensión de los números, las operaciones y el sistema de numeración decimal. Así, los algoritmos estarán en la escuela no como la única manera de calcular, sino como una forma entre otras, eficiente en unos casos (por ejemplo, para hacer cálculos con números muy grandes) innecesarios en otros (por ejemplo, cuando se trabaja con números pequeños, o con números seguidos de ceros, tales como 3500+2000)38 . En el documento del MEN sobre los Lineamientos Curriculares en matemáticas (1988, p 49), se expresa lo siguiente a propósito de la comprensión de las operaciones: “Los aspectos básicos que según varios investigadores (por ejemplo, NTCM, 1989; Dickson, 1991; Rico, 1987; Mcintosh, 1992) se pueden tener en cuenta _____________________________________________________ 38

La NCTM, (National Council of Teachers of Mathematics) en sus estándares 2000, plantean que no tiene sentido utilizar los algoritmos convencionales, por ejemplo el de la suma, para sumar cantidades tales como 8+5, o 50+20. En estos casos se debe promover estrategias de cálculo, como el cálculo mental. Pero esto no es posible de lograr, si lo primero que se le enseña al niño sobre la suma, es el algoritmo convencional.

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para construir el significado de las operaciones y que pueden dar pautas para orientar el aprendizaje de cada operación tiene que ver con: Reconocer el significado de la operación en situaciones concretas, de las cuales emergen. Reconocer los modelos más usuales y prácticos de las operaciones. Comprender las propiedades matemáticas de las operaciones. Reconocer el efecto de cada operación y las relaciones entre operaciones. En el proceso de aprendizaje de cada operación hay que partir de las acciones y transformaciones que se realizan en los diferentes contextos numéricos, y diferenciar aquellos que tienen rasgos comunes, que luego permitan ser considerados bajo un mismo concepto operatorio. Por ejemplo, las acciones más comunes que dan lugar a conceptos de adición y sustracción son agregar y desagregar, reunir y separar, acciones que se trabajan simultáneamente con la idea de número. Al destacar los aspectos cuantitativos de las acciones en donde el niño describe las causas, etapas y efectos de una determinada acción, en una segunda etapa está abstrayendo las diferentes relaciones y transformaciones que ocurren en los contextos numéricos haciendo uso de diversos esquemas o ilustraciones con los cuales se está dando un paso hacia la expresión de las operaciones a través de modelos”.

En consonancia con lo anterior, la teoría de los campos conceptuales del profesor Gerard Vergnaud, permite ver de manera coherente y organizada la compleja estructura conceptual que se teje detrás de las estructuras aditivas (situaciones relacionadas con la adición o la resta) y de las estructuras multiplicativas (situaciones relacionadas con la multiplicación o la división). Esta teoría muestra como el aprendizaje tanto de lo aditivo como de lo multiplicativo empieza en el preescolar, y se extiende a lo largo de la escolaridad, llegando incluso hasta la universidad. La propuesta del profesor Vergnaud, se constituye en una herramienta potente para el diseño de situaciones problema que permitan una firme conceptualización, no solo de las cuatro operaciones básicas, sino de conceptos matemáticos ligados a lo aditivo y lo multiplicativo como son, entre otros, la proporción, la proporcionalidad, la función lineal y las fracciones. Desde la perspectiva de los campos conceptuales se hace un acercamiento conceptual a las operaciones aditivas y multiplicativas a través de situaciones problema y de distintos modelos para cada una de las operaciones. Para Vergnaud, un concepto es una “tripla de conjuntos C = (S, I, R) Donde S es el conjunto de situaciones que dan significado al concepto, I es el conjunto de invariantes

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(objetos, propiedades, y relaciones) y que pueden ser reconocidas y utilizadas por los sujetos para analizar y adueñarse de esas situaciones, y R es el conjunto de representaciones simbólicas que pueden ser usadas para enfrentar y representarse esas invariantes, y por tanto, representar las situaciones y procedimientos para manipularlas” (Vergnaud, 1988, p 141). Lo anterior conduce a Vergnaud a formular una categoría didáctica fundamental. Se trata de la categoría de campo conceptual39 , la cual define: Un Campo Conceptual está constituido, desde un punto de vista práctico, por el conjunto de situaciones en cuyo dominio progresivo juega un papel importante una gran variedad de conceptos y de procedimientos en estrecha conexión. Desde un punto de vista teórico, un campo conceptual está constituido por el conjunto de conceptos y teoremas que contribuyen al dominio progresivo de esas situaciones. (Vergnaud, 1997, p 9).

Para Vergnaud (sin fecha), la enseñanza de los conceptos no puede hacerse de una manera aislada, ni a partir de una sola situación problema, sino enmarcados dentro de un campo conceptual, pues: • Una situación dada, no podría poner en juego, en general, todas las propiedades de un concepto..., se hace necesario la referencia a una diversidad de situaciones. • Una situación dada no pone en juego habitualmente un solo concepto40 ... • La formación de un concepto, en particular si uno lo considera a través de la actividad de resolución de problemas, tarda en general un gran período de tiempo.

Para Vergnaud en el proceso de formación de un concepto juega un papel fundamental la noción de esquema, el cual es entendido “como una organización invariante de la conducta para un tipo de situaciones dadas” (Vergnaud, 1993). Esto implica que en un esquema existe un conocimiento implícito, pero que está ligado al tipo de situaciones en donde se aplica. Este tipo de conocimientos Vergnaud los denomina conceptos–en–acto y teoremas–en–acto41 . Estas son las invariantes operatorias, es _____________________________________________________ 39

Esta categoría didáctica tiene su origen en la enseñanza a través de la resolución de problemas. Esta es quizás una de las maneras más efectivas de enseñar las matemáticas, pues los alumnos están en una constante actividad que les permite reflexionar sobre la naturaleza y propiedades de los entes matemáticos. Además está de acuerdo con la idea de que la enseñanza no es la simple transmisión de un conocimiento. No se trata solamente de los prerrequisitos para afrontar una determinada tarea sino también de que en una situación problema dada entran en juego varios conceptos de los cuales alguno o algunos no son objeto de estudio en el momento, pero no debe descuidarse la incidencia de la tarea en el proceso de conceptualización de dichos conceptos, o viceversa, la incidencia del nivel de conceptualización de dichos conceptos en la manera como es afrontada y solucionada la tarea. Un teorema–en–acto es definido como las relaciones matemáticas que los estudiantes deben tomar en cuenta para seleccionar la operación o secuencia de operaciones que debe realizar para solucionar un problema. Un teorema–en–acto no es un teorema en el sentido convencional, puesto que la mayoría de las veces no es explícito. Ellos subrayan el comportamiento del alumno, y su campo de validez, usualmente es más reducido que el campo de los teoremas. Pueden incluso ser falsos. (Vergnaud, 1988, p 144).

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Situaciones Aditivas

decir, el tipo de conocimientos que permiten que la acción del sujeto sea operatoria. Así mismo Vergnaud 1993, plantea que el paso de la utilización de un esquema de una clase particular de situaciones a una clase más general de situaciones, está mediada por el reconocimiento de analogías, inferencias, semejanzas, relaciones causa efecto, etc., que el sujeto hace desde esas situaciones en las que su esquema era operatorio hacia aquellas en las que debe ser utilizado el nuevo conocimiento. El esquema, totalidad dinámica organizadora de la acción del sujeto por una clase especificada de acciones, es pues un concepto fundamental de la Psicología cognitiva y de la didáctica. A menudo no es reconocido como tal. Además, demanda ser analizado. Si se reconoce fácilmente que un esquema está compuesto de reglas de acciones para alcanzar cierto fin, no siempre se reconoce que igualmente está compuesto, de manera esencial, de invariantes operatorias (conceptos–en–acto y teoremas–en–acto) y de inferencias. Las inferencias son fundamentales para hacer actuar al esquema en cada situación particular: en efecto un esquema no es un estereotipo sino una función temporalizada de argumentos, que permite generar secuencias diferentes de acciones y de tomas de información, en función de los valores de las variables de la situación. (Vergnaud, 1993, p 93).

En resumen, desde esta perspectiva para el aprendizaje de un determinado concepto, no es suficiente con tratar una sola situación, sino que por el contrario, es necesario el tratamiento de una gran variedad de situaciones, pero además, se tiene que cada situación puede poner en juego una variedad de conceptos, y para el tratamiento de estas situaciones se pueden tener distintos sistemas de representación. Esto hace que el aprendizaje de un determinado concepto sea un proceso complejo que dura un largo período de tiempo, y para el cual se requiere una variedad de situaciones que pongan en juego las características de dicho concepto.

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LAS ESTRUCTURAS ADITIVAS Situaciones Aditivas

Amplían campo semántico del

Relaciones ternarias de la forma

Concepto de número

A±B=C

Fundamentalmente en lo relativo al

Que modela situaciones de

Cardinal

Ordinal

Medidas

Medida

Composición

Transforma ción

Relación

Lleva a

No lleva a

Pueden ser

Igualar

Comparar

Lleva a

Relación de equivalencia

Relación de orden

Conmutatividad

Suma y resta como operaciones inversas

Cambio

Composición

Transformación

Relación

Relaciones, operaciones y propiedades de los números negativos

Según Vergnaud, las estructuras aditivas están conformadas por: El conjunto de las situaciones cuyo tratamiento implica una o varias adiciones o sustracciones, y el conjunto de los conceptos y teoremas que permiten analizar esas situaciones como tareas matemáticas. Son de esta forma constitutivos de las estructuras aditivas los conceptos de cardinal y de medida, de transformación temporal por aumentos o disminución (perder o ganar dinero), de relación de comparación cuantificada (tener 3 dulces o 3 años más que), de composición binaria de medidas, (¿cuánto en total?), de composición de transformaciones y de relaciones, de operación unitaria, de inversión, de número natural y de número relativo, de abscisa, de desplazamiento orientado y cuantificado, …(Vergnaud, 1990, p 96 y 97).

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Situaciones Aditivas

Cualquiera que sea la situación aditiva a la que uno se vea enfrentado, ésta expresa una relación ternaria que puede ser representada por uno de los seis esquemas elementales que se describen a continuación, o por una combinación de estos (para una discusión detallada de estos seis esquemas elementales puede consultarse el texto “Las matemáticas, el niño y la realidad” de Gerard Vergnaud). 1º Dos medidas se componen para dar lugar a una tercera. En esta categoría se pueden clasificar todas aquellas situaciones en las cuales dos medidas a y b (las partes) se unen para dar lugar a una tercera medida c (el todo). Esto es, se trata de situaciones típicas de la relación Parte-Parte-Todo. La combinación de las dos partes puede ser física, cuando las dos medidas son homogéneas, o conceptual, cuando las dos medidas no siendo homogéneas, pueden ser homogeneizadas a través de un cambio en el espacio de medida42 .

Todo Parte

Parte

En virtud de las relaciones lógicas posibles entre las cantidades del problema43 se pueden tener dos tipos diferentes de problema según que en el problema se pregunta por a, b o c. Esto es, la estructura matemática de este tipo de problemas es de la forma, a+b=x o de la forma a+x=c, ya que preguntar por a o por b es equivaa a lente (pues tienen el mismo estatus lógi1. 2. c co en la situación: cada una representa x una de las partes que se unirán para forx b mar el todo), y por tanto, las situaciones aditivas que se representan por medio de éste esquema son conmutativas. Dado que las tres cantidades involucradas en la situación son siempre positivas, entonces, este tipo de situaciones siempre representan problemas de suma. En esta categoría de problemas, los de la forma a+b=x se solucionan por medio de la suma propuesta en la ecuación, mientras que los otros, los de la forma a+x=c se _____________________________________________________ 42

Por ejemplo, dadas las situaciones: En un plato hay 4 galletas y en otro hay 5 galletas. ¿si se juntan los dos platos en uno solo cuántas galletas se completan?. En un corral hay 4 gallinas y 5 cerdos. ¿cuántos animales domésticos hay? La primera representa una situación de combinación física, mientras que la segunda se trata de una combinación conceptual, pues su solución pasa por generar una nueva categoría (animales domésticos), en la cual las dos medidas iniciales son homogéneas.

Siguiendo a Vergnaud, 1997, se hace una doble distinción, de un lado, el «análisis relacional» determinado por el conjunto de razonamientos necesarios para determinar la ecuación del problema (que pasa por comprender las relaciones lógicas entre las cantidades involucradas); y de otro, el «cálculo numérico», el cual corresponde al conjunto de operaciones que deben ser realizadas para solucionarlo. Es importante resaltar que la ecuación del problema y la solución del mismo, no siempre coinciden, y este hecho hace que al interior de una misma categoría se tengan niveles de dificultad diferenciados en los tipos de problema.

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solucionan con una resta x=c - a, lo que implica una transformación del problema en otro equivalente, y por demás, inverso con respecto al original. Por ejemplo, en el problema “Pedro tiene 5 galletas en una mano. Si las junta con las que tiene en el bolsillo, completa en total 8 galletas. ¿Cuántas galletas tenía en el bolsillo?”. Nótese como la ecuación del problema, es decir la representación simbólica de su estructura es: 5+x=8, aunque su solución se realice a través de la resta x=8-5. Este es un problema de suma, pues la relación lógica entre los datos del problema tiene esa forma: una cantidad conocida se junta con otra cantidad desconocida para formar un todo cuyo valor se conoce. Su solución se hace a través de una resta, puesto que la cantidad desconocida es una de las partes, y por tanto, para hallar su valor se debe tomar el camino inverso: si del todo se extrae una de las partes, se puede obtener el valor de la otra parte. 2º Una transformación opera sobre una medida para dar lugar a una medida. En este caso se tiene una medida inicial (estado inicial), medida a, la cual sufre una transformación a través del tiempo debido a la acción de un operador, cantidad b, para producir una medida final (estado final), medida c. La medida a siempre es positiva y la medida c siempre mayor o igual a cero. Pero la cantidad b, dependiendo del efecto que realice sobre la cantidad a, puede ser negativa (si la hace disminuir) o positiva (si la hace aumentar). Esto es, b es un número relativo, y en ese sentido no representa una medida, sino una variación en una medida. En este tipo de situaciones los papeles que juegan las cantidades a y b en la estructura relacional del problema no son intercambiables (en tanto que a representa la cantidad inicial, mientras que la cantidad b representa el operador que actúa sobre la cantidad inicial). Por lo tanto, estas situaciones no presentan conmutatividad. Esto es, un problema de la forma a+x=b es distinto de otro de la forma x+b=c, así ambos se solucione con el mismo tipo de resta: x=b-a. Dado que la cantidad puede ser positiva o negativa, entonces se pueden presentar seis tipos de problemas diferentes según que la pregunta sea por la cantidad a, b, o c (tres cuando la cantidad b es positiva y tres cuando es negativa). La siguiente tabla sistematiza tales relaciones. Los problemas tipo 1 o 4, son los más fáciles de solucionar en tanto que la ecuación del problema así como la ecuación de la solución coinciden. Tanto la suma como la resta tiene sentido por si mismas, ya que el sentido de una operación u otra es dado por el papel del operador (hacer aumentar o disminuir la cantidad inicial).

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En los casos en que la ecuación del problema es diferente de la ecuación que lo soluciona, se pueden presentar dos situaciones: Una cuando se pregunta por la cantidad inicial, en cuyo caso la solución pone en evidencia la relación de operaciones inversas entre la suma y la resta (en tanto que la solución implica plantearse el problema inverso, la transformación inversa que implica ir de la cantidad final hacia la cantidad inicial). El otro caso se presenta en las situaciones en donde se pregunta por el operador, en cuyo caso no necesariamente se ven a la suma y a la resta como operaciones inversas en tanto que se favorece un tipo de solución en la cual se completa la cantidad final a partir de la cantidad inicial, y por tanto, la solución es la cantidad de unidades agregadas o quitadas según sea el caso (suma o resta). ! "

3º Una relación $ une dos medidas. $ %

&'( + =

$ *

&' ) ( + = &'( − =

&' ) ( −

&'( +

= &'( + = Este tipo se situaciones se presentan cuando se deben comparar &' ) ( =dos − cantidades, &' )( bien = − sea para establecer su diferencia (cuan&'to ( más − = tiene la&' mayor, ( − = o cuanto menos tiene la menor), o para igualarlas (agregar a la menor para igualar a la mayor, o quitar a &' ) ( − = &' ) ( = + la mayor para igualar a la menor). Las situaciones de esta categoría tienen cierto nivel de similitud con los de la categoría anterior, pero en este caso la relación no es dinámica sino estática: la igualación o diferencia no se establecen a través del tiempo.

En el caso de los problemas de igualación, se favorece una interpretación de la igualdad como relación de equivalencia en tanto que una cantidad es adicionada (o restada) a otra cantidad, con el fin de igualar una tercera cantidad. Por su parte en los problemas de establecer diferencia se favorece una interpretación de la relación de orden mayor que (o su correspondiente menor que) pero a partir de establecer la diferencia entre ambas cantidades (este es un procedimiento muy cercano a la definición matemática44 de la relación de orden mayor que). _____________________________________________________ 44

Una forma de definir la relación mayor que es la siguiente: "a, b Î Â, a > b si y solo si $ c > 0 tal que a = b + c . Nótese como esta manera de aproximarse a la relación de orden mayor que es similar al tipo de situaciones propuesta en esta categoría de situaciones aditivas, y como se anotó antes, puede ser una manera de dotar de sentido a esta definición matemática, tomando como base los procesos conceptuales propios de las matemáticas, y no en estrategias nemotécnicas que eluden el problema de la comprensión.

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Pensamiento Numérico y Sistemas Numéricos

En la comparación para establecer diferencia se pueden presentar 3 tipos de problemas de suma (cuantos más tiene la mayor) o tres tipos de problemas de resta (cuántos menos tiene la menor). De igual forma en los problemas de igualar se pueden presentar 6 casos. Así en esta categoría se pueden identificar 12 tipos posibles de problemas, como se muestra en la siguiente tabla:

4º Dos transformaciones se componen para dar lugar a una transformación. En este tipo de problemas, el enunciado se refiere a operadores y no medidas. Se trata de la aplicación de dos operadores (composición aditiva), de manera sucesiva, a una determinada cantidad. Por ejemplo, es el caso de un estudiante que juega dos partidas de bolas, y en la primera pierde 5, mientras que en la segunda gana 3. En total es como si hubiera perdido 2.

En este tipo de problemas, las tres cantidades involucradas pueden ser positivas o negativas, lo cual genera un rango más amplio de posibilidades, 18 en total, dependiendo tanto de los signos de cada una de las transformaciones, y del lugar de la incógnita (es decir, de la transformación por la cual se pregunte). En la siguiente tabla se muestran las seis combinaciones posibles según las combinatorias de los signos de los operadores:

106

Situaciones Aditivas

Y por cada uno de estos casos, se tienen tres posibilidades, según el lugar de la pregunta. Así se logran los 18 casos posibles. Dado que la situación se refiere a los operadores entonces se pueden obtener valores negativos en las respuestas. Por lo tanto, se trata de situaciones en las cuales se trabaja con números enteros en toda su extensión. T2

5º Una transformación opera sobre un estado relativo (una relación) para dar lugar a un estado relativo. T1

.% .*

Al igual que el caso anterior, el enunciado se refiere a operadores, pero ahora se trata de un operador que se aplica sobre otro operador. Por ejemplo, Juan juega una partida de bolas y gana 5 canicas. Luego juega una segun+% +* da partida, y gana tres más que las que ganó en la primera partida. ¿Cuántas ganó % , -%$ % esta segunda partida?. Nótese como el operador +3 es un operador que actúa en * , -*$ no sobre la cantidad de bolas que posee Juan, sino sobre el operador +5.

% , -*$* , -%$-

Este tipo de problemas es equivalente a los de la segunda categoría, pero a diferencia de esta, las tres cantidades pueden ser positivas o negativas, lo cual genera un rango más amplio de posibilidades, 18 en total, dependiendo tanto de los signos de cada una de las cantidades (seis como en la tabla anterior), y del lugar de la incógnita (tres posibilidades por cada uno de los casos anteriores). 6º Dos estados relativos se combinan para dar lugar a un estado relativo

Este caso es similar al anterior, solo que ahora, uno de los operadores no actúa sobre el otro para transformarlo, sino que ellos se combinan T2 para producir un nuevo operador. Por ejemplo, Juan le debe $500 a Pedro, pero Pedro el debe $300 a Juan, entonces Juan solo le queda T3 debiendo $200 a Juan. Se trata de una situación equivalente a la categoría uno, pero con cantidades que pueden ser positivas o negativas. T1 Aquí el número total de posibilidades es 12, ya que las situaciones son conmutativas, y por tanto, el lugar de la incógnita solo produce 2 casos posibles, por cada uno de los seis casos obtenidos de combinar los posibles signos de cada una de las transformaciones. 107

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Pensamiento Numérico y Sistemas Numéricos

Otros estados de complejidad de las situaciones En un marco como el que se acaba de describir, queda claro que el dominio de las estructuras aditivas, implica, entre otros elementos, ser capaz de reconocer cualquier situación que implique sumas o restas a través de los esquemas generales que permiten su tratamiento (ver en lo particular la expresión de lo general); reconocer en las diferentes situaciones que impliquen sumas o restas los invariantes conceptuales que hacen que estas se organicen en grupos o categorías perfectamente diferenciados (ver lo general a partir de lo particular); dominar diversas formas de representación de las situaciones problema; y por supuesto, dominar una gran variedad de procedimientos para encontrar las soluciones a las situaciones que se presenten. No sobra recalcar que estos elementos no se presentan aislados unos de otros, sino que, según el tipo de situaciones, se pueden tener diferentes formas de representación, y por ende de solución de la misma. Pero además de estos esquemas básicos desde los cuales se puede analizar cualquier situación aditiva se deben considerar los contextos dentro de los cuales están inmersos los problemas, pues estos afectan la representación que uno pueda darse de ellos. Así son determinantes en el tipo de representación que un alumno construya de una situación, entre otros, los siguientes elementos: el tipo de magnitud (continua o discreta), el conjunto numérico (naturales, racionales, irracionales, etc.), el tamaño de los números (grandes o pequeños, cercanos o distantes), los referentes materiales de la situación (un juego, una actividad comunitaria, etc.), la formulación del enunciado (una sola proposición, una secuencia de proposiciones, etc.), los medios y mediadores de la situación (se utiliza material concreto, gráfico, etc.), por quien se pregunta (por alguno de los sumandos, o por el resultado). Por ejemplo, en los siguientes tres problemas se puede evidenciar como al hacer variar algunos de los elementos antes mencionado, se afecta radicalmente el tipo de representación del problema: En una caja hay 12 bolas, de las cuales 9 son rojas y el resto azules. ¿Cuántas bolas azules hay? ¿Si de una varilla de hierro que mide 14.795 cm se pinta 9.327 cm de roja, qué longitud queda por pintar de azul? De una varilla de hierro 19/37 están pintados de rojo y el resto está pintado de azul. ¿Cuánto está pintado de azul? Nótese como en cada uno de ellos la imagen mental que uno se puede formar es distinta, a pesar que los tres problemas tienen la misma estructura. Mientras que en el primero al ver las nueve rojas ya se ven las tres azules, en los otros dos esta 108

Situaciones Aditivas

imagen cambia: ya no se sabe, de inmediato cuanto mide la parte azul. Es más en el segundo se ve de inmediato que más de la mitad de la varilla está pintada de rojo, mientras que en el último no es tan obvio. • ESTÁNDARES RELACIONADOS Numérico Primero a Tercero

Resolver y formular problemas en situaciones aditivas de composición y de transformación. Usar estrategias de cálculo (especialmente cálculo mental) y de estimación para resolver problemas en situaciones aditivas y multiplicativas. Identificar regularidades y propiedades de los números utilizando diferentes instrumentos de cálculo (calculadoras, ábacos, bloques multibase, etc)

Cuarto a quinto

Resolver y formular problemas en situaciones aditivas de composición, transformación, comparación e igualación. Usar diferentes estrategias de cálculo y de estimación para resolver problemas en situaciones aditivas y multiplicativas

Sexto a séptimo

Justificar procedimientos aritméticos utilizando las relaciones y propiedades de las operaciones. Resolver y formular problemas en situaciones aditivas y multiplicativas en diferentes contextos con dominios numéricos.

Variacional Primero a Tercero

Describir cualitativamente situaciones de cambio y variación utilizando el lenguaje natural, dibujos y gráfica. Reconocer y generar equivalencias entre expresiones numéricas

Métrico Primero a Tercero

Reconocer el sentido y el significado de las magnitudes en situaciones aditivas y multiplicativas.

SITUACIÓN 1: SOBRE LOS PROBLEMAS DE ADICIÓN • CONCEPTOS Y PROCEDIMIENTOS El trabajo que se pretende abordar se enfoca hacia la reflexión conceptual de las estructuras aditivas. Esto es, identificar las características generales de los problemas que pertenecen a esta categoría, sus dificultades y propiedades matemáticas que se involucran. Para desarrollar este trabajo, se harán análisis de problemas cotidianos que se proponen en los libros de texto.

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Módulo

•ACTIVIDAD 1:

Pensamiento Numérico y Sistemas Numéricos

Analizando problemas

Número de participantes: 2 Materiales: Papel, lápiz y borrador

Qué hacer?

w w w w w

Para cada uno de los problemas dados: Resuelva los problemas propuestos. Indique los conceptos y procedimientos matemáticos que se ponen en juego en la solución. Identifique diferencias y semejanzas entre los distintos problemas. Para cada problema, enuncie otros dos del mismo tipo, cambiando las variables de la tarea, de manera que uno le parezca más fácil de resolver y otro más difícil. ¿Los enunciados son suficientemente precisos y comprensibles para los alumnos de primaria? Proponga un enunciado alternativo para aquellos ejercicios que no le parezcan suficientemente claros para los estudiantes. A los problemas enunciados, escríbale la ecuación que soluciona el problema y la que propone el enunciado del mismo. ¿Son iguales estas expresiones?

Problemas 1. Juan tiene 11 caramelos. Cinco de ellos son de limón, los otros de fresa. ¿Cuántos tiene de fresa? 2. Juan tenía algunos caramelos y le regaló tres a su hermana. Si le quedan diez, cuántos caramelos tenía al principio? 3. En una carrera, Laura llegó de octava, 3 puestos antes que Beatriz. ¿En qué puesto llegó Beatriz?. 4. Pedro gana 5 canicas por la mañana. Pierde 9 por la tarde. ¿cuántas ha ganado o perdido en total?. 5. Pedro tiene 6 caramelos más que Juan. A Juan le dan algunos más y ahora tiene un caramelo más que Pedro. ¿Cuántos caramelos le han dado a Juan? 6. Patricia mide 15 cm más que su hermano Pedro y 5 cm. menos que su hermano Juan. ¿qué diferencia entre la altura de Pedro y Juan? 7. Para hacer un collar Miriam emplea 25 perlas rojas, 30 perlas azules y 45 perlas verdes. Calcula el número de perlas que tiene el collar. 8. Escribe con números y símbolo matemáticos: tres mil doscientos más cuatro mil ochocientos es igual a cuatro mil ochocientos más tres mil doscientos. 9. Un tren sale de Acevedo con 480 pasajeros. En Alpujarra bajan 35 y suben 46. ¿Cuántos viajeros quedan ahora en el tren?

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Situaciones Aditivas

•ACTIVIDAD 2: Desplazamientos en una tabla de sumas

Número de participantes: 2 Materiales: Tabla numérica, lápiz y borrador.

Qué hacer w Elabore una tabla o cuadrícula (base 10) como la siguiente

w El docente indica las características de la tabla a los estudiantes para que ellos elijan la forma de llenarla: por filas, por columnas, sumando una por una, etc. w Luego se determinan los desplazamientos en la tabla, así: La operación +1 corresponde a un desplazamiento de una casilla hacia la derecha, cuando ese desplazamiento es posible sin salirse de la casilla, y la operación -1 a un desplazamiento de una casilla hacia la izquierda. Cuando tales desplazamientos no son posibles, hay que recurrir a un cambio de línea. Las operaciones +10 y -10 corresponden a desplazamientos de una casilla hacia abajo y de una casilla hacia arriba respectivamente. Los anteriores desplazamientos se simbolizan mediante flechas, así: +1;

-1; +10,

-10

Observa el ejemplo: Indica un desplazamiento de +11 Organizar con los estudiantes juegos con desplazamientos sobre la cuadrícula: _____________________________________________________ 45

Tomado y adaptado de Vergnaud, El niño, las Matemáticas y la Realidad

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Módulo

Pensamiento Numérico y Sistemas Numéricos

w Dada la casilla de salida, así como una serie de desplazamientos, encontrar el casillero de llegada. w Dadas las casillas de salida y de llegada encontrar la serie de desplazamientos e interpretarlos en términos numéricos. w Dados el casillero de llegada y la serie de desplazamientos, encontrar el casillero de salida. w Dada una serie de desplazamientos, encontrar una serie equivalente. Encontrar la más corta. w Mostrar que la composición de los desplazamientos es conmutativa, asociativa, que hay un elemento neutro (quedarse en su lugar), y que todo desplazamiento tiene una inversa, si hace una interpretación adecuada.

•ACTIVIDAD 3: Sobre el significado de las operaciones Número de participantes: 2 Materiales: Papel, lápiz y borrador.

Qué hacer PARA LA ADICIÓN w Escriba un problema que se resuelva mediante la adición: 23 + 15. w Compare su problema con los enunciados a continuación: a. Camilo tiene 23 estampillas nacionales y 15 extranjeras. ¿Cuántas estampillas tiene en total? b. Camilo tiene 23 estampillas en su colección, compra 15 más, ¿cuántas estampillas tiene ahora? c. Camilo tiene 23 estampillas, su hermano tiene 15 estampillas más. ¿Cuántas estampillas tiene el hermano de Camilo? d. Camilo le regala 15 estampillas a su hermano y aún le quedan 23. ¿cuántas estampillas tenía Camilo? e. Camilo regaló 15 estampillas que tenía. Compró un paquete y ahora tiene 23 estampillas más que antes de regalar las 15.¿Cuántas estampillas tiene el paquete que compró? w El problema que plantearon, ¿a cuál de estos se parece?. Discuta las diferencias que presentan los enunciados de los cinco problemas anteriores y acuerden respuestas para las siguientes preguntas: w ¿Encuentra diferentes significados para la adición en cada uno de los problemas planteados? w ¿Cómo explicaría cada uno de esos significados?

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Situaciones Aditivas

w Las acciones de: Reunir, Agregar, Comparar y Completar (sustracción complementaria) ¿podrían calificar los diferentes significados de la adición en los problemas expuestos? w ¿Cuáles son los significados más usuales en el abordaje de la adición con los alumnos? w ¿Considera que algunos de los significados de la adición en estos problemas presentan mayor dificultad al ser abordados por los niños? w ¿Encuentra situaciones de la cotidianidad de donde surja este tipo de problemas? w ¿Es posible clasificarlos en alguna de las relaciones aditivas propuestas por Vergnaud? Cuál?.

•ACTIVIDAD 4: Sobre las estructuras aditivas Número de participantes: 2 Materiales: Papel, lápiz y borrador

Qué hacer w Analice en los siguientes problemas, el esquema aditivo correspondiente, las ecuaciones del problema y las ecuaciones de la solución. w Además resuélvalos, utilizando para ello diversas estrategias de cálculo. 1. Había 5 personas en el salón, luego llegaron 13. Cuántas hay ahora? 2. Un vendedor sale de su casa con $ 4000, al regreso tiene $13500. Cuánto dinero recogió durante el día? 3. Maicol acaba de comprar 17 caramelos, ahora tiene 32 caramelos. Cuántos tenía antes de hacer la compra? 4. Leidy tenía $700 pesos y le regaló $250 a su hermano. Cuánto dinero tiene ahora? 5. Pablo acaba de jugar a las canicas. Tenía 41 canicas antes de jugar. Ahora tiene 29 canicas cuántas perdió? 6. El Martes, Ana tenía $6750 . Durante los dos últimos días se había gastado $2350. Cuánto dinero tenía el domingo 7. Juan es tres años mayor que Pedro. Si Pedro tiene 17; cuántos tiene Juan? 8. En la escuela se hizo una competencia por grupos, para recolectar dinero, así 3ºA recolectó $34000 y 3ºB recolectó $41250. Cuánto de más recolectó 3ºB. 9. Juan mide 1,55m y María mide 5cm menos que éste. Cuánto mide María. 10. Alicia tiene 15 caramelos y su hermano tiene 13. Cuántos le faltan al hermano para tener los que tiene Alicia. 11. Carlos tiene 29 fichas para un juego y su amigo Marco tiene 14. Cuántas debe perder Carlos para tener las mismas que su amigo?

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Módulo

Pensamiento Numérico y Sistemas Numéricos

12. Teresa es menor 8 años que su novio, quien tiene 28 años, cuántos tiene tiene Teresa? 13. En el empaque A hay 18 colombinas, y en el B hay 12. Cuántas se le deben sacar al empaque A para que haya las mismas que en el empaque B? 14. En mi mano derecha tengo 8 caramelos y en la izquierda tengo 12. Cuántos caramelos menos tengo en la derecha? 15. Ana tiene $17000 y para tener los mismos que su hermana le faltan $3500. Cuánto dinero tiene su hermana? 16. Elena mide 1,64m y esto es 0,4m menos de lo que mide Lida. Cuánto mide Lida? 17. Del grupo 11ºB 14 estudiantes se retiraron, quedando los mismos que en 11ºC que son 28. Cuántos eran en 11ºB? 18. Del grupo 11ºB que tiene 28 estudiantes, los que ven el canal caracol son 6 más que los que ven RCN. Cuántos ven RCN?

•ACTIVIDAD 5:

Solucionando problemas

1. El parque recreativo: En el parque recreativo había un puesto de venta de mango. Complete la red para encontrar cuántos mangos en total compró el dueño. (Nota: La caja contiene 10 bolsas de mangos y cada bolsa contiene 10 mangos)

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Situaciones Aditivas

Diseñe una red de números y dibújela en su cuaderno. Intercámbiela con su compañero y resuelva la que él te entrega. Devuelve el cuaderno al compañero y revisa si la llenó bien. 2. La alcancía de Nana C Nana C acaba de destapar su alcancía y descubre que entre monedas de $50, $100, $200 y $500 tiene $5800. Nana C, quiere organizar sus monedas para hacer algunas inversiones. w Ayúdele a Nana C a organizar sus monedas. w Escriba posibles combinaciones en que Nana tiene los $5800. w Elabora una tabla como la siguiente para hacer las cuentas

"#$ !

"%$$

"&$$

"#$$

w Si Nana quiere cambiar sus monedas por billetes, y en la tienda le dicen que tienen de $1000, de $2000, de $5000, de $10000 y de $20000, cómo crees que se las cambiaron?. w Cuál es el máximo de billetes de $20.000, y el de $5000, y el mínimo de billetes de $10.000. w Nana decide comprar un libro de cuentos y un bolso para sus lápices, que le cuestan juntos $15.500. Cuánto dinero le sobró a Nana?. w Si el hermano de Nana también destapa su alcancía y obtiene $!7000 más que ella, cuánto dinero tenía en la alcancía. Cuánto dinero se debe gastar para tener el mismo que tiene ahora Nana? w Si después de unos gastos, Nana y su hermano, tienen entre los dos $26.000. Cuánto se gastó cada uno? Si Nana gastó $8000 más de lo que gastó su hermano?. ¿Cuánto tiene cada uno? 3. La tienda de dulces En una tienda de dulces, empacan chocolates así: 5 chocolates en una bolsa; 5 bolsas en un estuche; y 5 estuches en una caja. Realiza los siguientes cálculos:

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Módulo

w w w w w w

Pensamiento Numérico y Sistemas Numéricos

¿Cuántos chocolates hay en 3 bolsas? ¿Cuántos chocolates hay en un estuche? ¿Para llenar 4 estuches cuántas bolsas se necesitan? ¿Cuántas bolsas hay en una caja? ¿Cuántos chocolates se requieren para llenar una caja?. Colabora en el despacho de pedidos: Los pedidos diarios se anotan en una planilla. Debido al intenso trabajo, la planilla del día está incompleta. Ayuda a completarla:

Al envío del grupo de artistas se requiere agregar un chocolate de oferta. ¿Cuál será el número total de chocolates a empacar?. ¿Cuál será el empaque más cómodo para mandar este pedido? 4. Excursión al acueducto46 Un día de paseo para explorar y conocer de dónde viene el agua que usamos en la casa y en la escuela. Para surtir a las ciudades, el agua de algunos ríos y quebradas es almacenada en represas cercanas. De allí va por tubos tan grandes que uno podría caminar en su interior sin agacharse. Por esos tubos el agua es conducida al acueducto y allí, en grandes piscinas, se hace un tratamiento para que se pueda beber sin producir enfermedades. Por ejemplo se le echa cloro, que es una sustancia para matar las bacterias. En el campo, los acueductos son más sencillos, o muchas veces no hay. Se trae el agua hasta las casas sin ningún tratamiento. A veces no se utiliza la tubería sino canales de guadua en donde el agua, al correr al aire libre, puede recibir basuras que la contaminan. Qué interesante que los niños y los profesores hagan una excursión y conozcan el acueducto de su pueblo o de su ciudad. ¡Éxitos en la excursión! _____________________________________________________ 46

SABER, Octubre de 2005

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) & 1 )

Situaciones Aditivas

Observando el siguiente gráfico puedes saber la cantidad de habitantes de tres diferentes ciudades

Cada representa 500.000 habitantes El consumo mensual de agua por habitante es de 4 metros cúbicos.

67.7 .

67.7 +

67.7

1. ¿Cuántos metros cúbicos de agua se requieren mensualmente en la ciudad B? 2. Si en la ciudad C se mueren 250.000 habitantes y nacen 128.0000 habitantes, ¿cuál será la cantidad de agua que se requiere ahora, para el consumo de un mes? 3. ¿Cuántos habitantes más hay en la ciudad A con relación a la ciudad C?. ¿Cuántos menos hay en la ciudad A con relación a la ciudad B?. 4. Organiza en una tabla el número de habitantes y el consumo de agua según las instrucciones dadas. 5. ¿Cuántos habitantes hay entre las 3 ciudades? SITUACIÓN 2: JUGANDO • CONCEPTOS Y PROCEDIMIENTOS Los juegos son una parte esencial en la enseñanza de las operaciones, desde un punto de vista del desarrollo de la autonomía del niño, desde la posibilidad de practicar las operaciones en contextos de competencias con una motivación natural. Desde el punto de vista de la comprensión de significados de las operaciones y de la interpretación y valoración de los resultados. En los juegos, los niños se supervisan unos a otros y crean estrategias de cálculo muy diversas y válidas. Un ejercicio interesante para los docentes es identifica los elementos conceptuales que están puestos en cada uno de los juegos planteados y analízalos según los referentes teóricos propuestos anteriormente. 117

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•ACTIVIDAD 1: El Juego del 101

Pensamiento Numérico y Sistemas Numéricos

Número de participantes: 3 o 4. Materiales: 12 o más fichas (de parqués o botones); una baraja con 62cartas, con las siguientes Instrucciones 27 cartas con números de 1 a 9 (3 de cada una); 6 cartas con el número10; 5 cartas con el número 101; 12 cartas con el número -10; 2 cartas con el número 50; 4 cartas con la palabra INVERTIR; 4 cartas con la palabra PASAR y 2 cartas con la frase JUGAR DOS VECES.

Qué hacer w El objetivo del juego es evitar totalizar 101 puntos o más, el jugador que obtiene este número o lo supera pierde el turno. w A cada jugador se le entregan 3 o 4 fichas. w Se reparten tres cartas a cada jugador. El resto de las cartas forma el montón para arrastrar, que permanece en medio de la mesa. w El primer jugador echa una carta anunciando su valor ( 9 por ejemplo). Luego toma una carta del montón para reemplazar la que ha tirado. Cada uno de los siguientes jugadores echa una carta (por ejemplo un 5) anunciando el valor acumulado (14 en este caso) y reemplaza su carta con otra que arrastra del montón. De esta manera cada jugador siempre tiene 3 cartas. w La partida continúa y la persona que llega a 101 o más pierde el turno. Por cada turno que pierda una persona entrega una ficha de las tres que se le entregaron al principio del juego. Al jugador que primero se le acabe las fichas pierde el juego. w Una vez se haya alcanzado el total de 101 o más se inicia nuevamente el juego y por ende el conteo. w Las cartas con fines específicos: INVERTIR: Invierte la dirección de la partida, es decir debe jugar nuevamente el jugador anterior. PASAR: cuando un jugador la tira, el siguiente pasa, por lo tanto pierde un turno. No invierte la dirección de la partida. JUGAR DOS VECES: Las cartas con esta instrucción hacen que el siguiente jugador juegue dos veces. Al jugador que le toca jugar dos veces no puede empezar con una carta que tenga esta misma instrucción (jugar dos veces) o con una carta que tenga la instrucción (invertir). La carta con 101 sólo puede jugarse cuando el acumulado es negativo. _____________________________________________________ 47

Tomado de Constante Kamii. Reinventando la aritmética III. P128

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Situaciones Aditivas

•ACTIVIDAD 2: Juego Adelante y atrás

Número de participantes: 3 o 4. Materiales: Tablero con una pista y una meta dibujadas libremente por los estudiantes. Tres dados, dos de un mismo color y otro de un color diferente. Tres o cuatro fichas del mismo color para cada jugador.

Qué hacer w Por turnos, los jugadores tiran los tres dados. Los dos números de los dados del mismo color se suman y el número del tercer dado se resta. Si el número obtenido es mayor que cero, el jugador avanza tantas casillas como indique el número. Si el número es menor que cero, el jugador se mueve hacia atrás tantas casillas como lo indique el número. La primera persona que llegue a la meta es el ganador. w Los jugadores pueden escoger la ficha que quieren mover, pero no pueden mover más de una ficha durante un turno.

•ACTIVIDAD 3: El dominó Número de participantes: 2 Materiales: Fichas de dominó

Qué hacer LAS DIEZ MÁS PEQUEÑAS. Coloca las diez fichas más pequeñas del dominó (3-3, 32, 3-1, 3-0, 2-2, 2-1, 2-0, 1-1, 1-0, 0-0) como en la figura adjunta, de modo que todas las columnas verticales sumen lo mismo. También deben sumar lo mismo las dos filas horizontales.

_____________________________________________________ 48

Tomado de Constante Kamii. Reinventando la aritmética III.

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Pensamiento Numérico y Sistemas Numéricos

•ACTIVIDAD 4: Las pirámides Número de participantes: 2 Materiales: Pirámides dibujadas

Qué hacer En las siguientes pirámides numéricas, los números de cada uno de los nueve niveles de la pirámide se deducen del nivel precedente, mediante la relación de adición que se observa. Halle los números que faltan en cada caso: C=A .

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De la multiplicación a la Proporcionalidad

Unidad No.5

Multiplicación y Proporcionalidad en la Educación Básica

• SOBRE LA MULTIPLICACIÓN La enseñanza de la multiplicación se realiza en los primeros años de la educación básica, bajo un esquema que relaciona la operación multiplicación con la suma: sumas de sumandos iguales se abrevian por medio de la multiplicación. En este sentido, 4x5 es interpretado como 4 veces 5, o lo que es lo mismo, 5 + 5 + 5 + 5. De esta manera la multiplicación es vista como una relación ternaria (4x5=20), resultado de ejecutar una operación binaria. A partir de allí, se estudia el algoritmo clásico de la multiplicación, y la solución de problemas que involucran multiplicaciones. En los grados más avanzados se estudian sus propiedades aritméticas en los diferentes sistemas numéricos. Como se mostrará mas adelante, y contrario a como se presenta en el sistema educativo, la relación multiplicativa fundamental no es una relación ternaria, sino cuaternaria. Esto es, en un problema como el siguiente: ¿Si una libra de sal cuesta $ 250, cuánto cuestan 4 libras de sal?, no se relacionan tres términos, sino cuatro. La 1¾ ¾® 250

relación sería 4 ¾ ¾® x y no como generalmente se hace: 250 × 4 = 1000 o, 4 × 250 = 1000. Esto se presenta en tanto que en el planteamiento clásico escolar no se explicita la relación entre la unidad y el precio de la unidad, la cual es clave para la solución de este tipo de problemas. Es mas, cuando el problema se representa como la suma repetida 250 + 250 + 250 + 250, se esconde la relación de proporcionalidad que éste implica. El modelo de la suma repetida de un sumando es importante para producir un modelo inicial de significación a la multiplicación, pero es insuficiente para dar cuenta de la complejidad subyacente a las estructuras multiplicativas.

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Módulo

Pensamiento Numérico y Sistemas Numéricos

• SOBRE LA PROPORCIONALIDAD La situación con la proporcionalidad es similar. En primera instancia, se toma como punto de partida el concepto de razón, entendida ésta como el cociente entre dos números naturales. Este cociente expresa una comparación entre la medida de dos cantidades o magnitudes, por ejemplo, la razón de hombres a mujeres en un grupo de personas; la razón de goles anotados con respecto a la cantidad de lanzamientos al arco, la razón de respuestas correctas con respecto a las incorrectas en un examen, etc. En segunda instancia, a partir del concepto de razón se define el concepto de proporción, enunciándolo como la igualdad de dos o más razones. Esta igualdad se expresa en términos de una relación de equivalencia: las razones

forman una proporción si y solo si axd = bxd, (o en términos un poco menos formales, si el producto de medios es igual al producto de extremos). Finalmente se presenta la proporcionalidad, la cual se orientada como aplicación del concepto de proporción a la solución de problemas. En este caso se estudian básicamente tres tipos de proporcionalidad: la proporcionalidad directa, la proporcionalidad inversa y la proporcionalidad compuesta. Éstos tres casos de proporcionalidad se presentan a través de las reglas de tres simple directa, simple inversa y compuesta, respectivamente, las cuales constituyen una estrategia algorítmica aritmética para la solución de los problemas. De esta manera no se abordan los problemas de proporcionalidad como problemas de variación (es más, podría pensarse que no se tiene conciencia de la importancia que la noción de variación tiene para el proceso de conceptualización de los conceptos relativos a los diferentes tipos de proporcionalidad). En síntesis, la organización escolar de la multiplicación y la proporcionalidad, se caracterizan por: no mostrar de manera explícita la relación entre la multiplicación y la proporcionalidad; presentar la proporcionalidad al margen del estudio de las magnitudes; estudiar multiplicación y proporcionalidad al margen del análisis de los procesos de covariación entre magnitudes; y finalmente, se deslinda una separación entre la proporcionalidad y las funciones. Como se mostrará a continuación estos cuatro hechos son desde el punto de vista matemático y pedagógico cuatro elementos centrales en el proceso de conceptualización de la proporcionalidad en general, y de la multiplicación en particular.

La multiplicación y la proporcionalidad simple directa Desde el punto de vista cognitivo, la multiplicación implica la posibilidad de operar de manera simultánea con dos o más clases. Esto es, en el análisis de un fenómeno o situación, se deben considerar los efectos de la ocurrencia simultánea de dos o

122

De la multiplicación a la Proporcionalidad

más características, a diferencia de los procesos aditivos, en los que se consideran los efectos de una clase a la vez. Las situaciones multiplicativas se presentan, por ejemplo, en la clasificación de individuos de acuerdo a sucesiones de clases diferentes –como en las tablas de doble entrada (en general, el producto cartesiano o las combinatorias), o en la correspondencias de uno a varios –como en la relación entre la cantidad de unidades compradas de un producto y el valor de los mismos (en general, las relaciones y los árboles genealógicos). Las acciones mentales descritas en el párrafo anterior constituyen los fundamentos cognitivos de las operaciones multiplicativas cuando se pasa de las consideraciones cualitativas a las numéricas. Así, por ejemplo, en el caso de la representación más simple de la multiplicación, la suma de sumandos iguales, ésta esconde una correspondencia de uno a varios: 1® x 2 ® x + x = 2x 3 ® x + x + x = 3x L

Igualmente, los párrafos precedentes muestran una línea de continuidad desde la multiplicación hasta la proporcionalidad, la cual pasa por el desarrollo del pensamiento proporcional, que puede caracterizarse como una forma de razonamiento matemático que involucra el sentido de covariación y comparaciones múltiples, y la habilidad para almacenar y procesar mentalmente distintos tipos de información (Lesh y otros 1988). El razonamiento proporcional esta estrictamente relacionado con la inferencia y la predicción e involucra tanto métodos de razonamiento cualitativo como cuantitativo. Este tipo de razonamiento implica el establecer relaciones entre relaciones (relaciones de segundo orden), y al involucrar la covariación49 , está estrechamente relacionado con las nociones de variable y variación. Esto hace que el razonamiento proporcional se constituya en la cúspide del desarrollo del pensamiento aritmético, y en la puerta de entrada al pensamiento algebraico. Esto se pone en evidencia en tanto que a través del razonamiento proporcional se pueden modelar situaciones que involucran distintos niveles de la igualdad50, distintos niveles de las variables51 _____________________________________________________ 49

En sentido estricto, la covariación implica que dos o más variables están relacionadas de tal forma que el cambio en una o algunas, determina cambio(s) en la(s) restante(s). Ahora bien, en el caso que esta covariación se pueda expresar a través de un modelo funcional, entonces se dice que las variables están correlacionadas. En los análisis estadísticos que parten de tablas de datos que expresan la relación cuantitativa entre dos o más variables, primeramente se determina si existe covariación, generalmente a través de analizar la gráfica cartesiana de la nube de puntos que representan las relaciones entre los datos, y después, se realizan los respectivos análisis de regresión, que no son otra cosa que determinar si existe un modelo funcional que se ajuste a los datos experimentales. El factor de correlación determina el grado de ajuste del modelo funcional a los datos. Esto es, la igualdad como equivalencia entre números o razones entre números, la equivalencia entre expresiones que involucran números y unidades de medida, equivalencia entre expresiones que involucran relaciones y/o operaciones entre números y unidades de medida y equivalencia entre ecuaciones. Las letras que se utilicen al modelar una determinada situación pueden significar incógnita, número generalizado o variable.

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y transformaciones e invariantes52 (Lesh y otros 1988). Las situaciones que en general implican razonamiento proporcional son aquellas en las que se encuentran productos, razones, y proporciones, tales como: equivalencia entre fracciones, porcentajes, conversión de medidas, velocidades, razones de cambio, funciones, etc. Para ver la relación entre la multiplicación y la proporcionalidad, se debe centrar la mirada en un caso particular de correlación: aquel en que el modelo funcional relaciona las variables linealmente. Si el modelo es de dos variables se trata de una correlación lineal (el modelo funcional es una línea recta Y=mX+b) si es de tres variables entonces se trata de una correlación bilineal53 (función de la forma: Z=XY), si es de cuatro variables entonces puede presentarse una correlación trilineal 54 (función de la forma: W=XYZ), o incluso un modelo más complejo 2-2 lineal (función de la forma WX=YZ)55 , y así sucesivamente. De las correlaciones de lineales, aquella en la que la correlación es positiva y perfecta (es decir, una línea recta Y=mX que pasa por el origen del sistema de coordenadas) es la que determina la proporcionalidad simple directa. Las correlaciones lineales de más de dos variables determinan las proporcionalidades compuestas. El caso más simple de situación multiplicativa, como se indicó antes, se puede representar por una relación cuaternaria como la siguiente:

→

$ &

Así, si se pregunta por el valor de f(n), entonces el problema remite a la multiplicación, a lo cual se puede llegar por la vía del análisis de la correlación entre los espacios de medidas: →

→ →

$& $&

Μ →

_____________________________________________________ 52

54 55

Al involucrar relaciones de segundo orden, se puede ver como ciertas características permanecen invariantes en una determinada situación, cuando las variables recorren su campo de valores. Relación de una variable a dos variables, como por ejemplo, el caso de la función área, o el movimiento rectilíneo uniforme sin velocidad inicial. Relación de una variable a tres, como por ejemplo, el caso de la función volumen. Relación de dos variables a dos, como por ejemplo en la ley de los gases ideales: PV=rNT, donde P es presión, V es volumen, N es el número de moléculas, T la temperatura, y r la constante universal de los gases.

124

De la multiplicación a la Proporcionalidad

Así, la multiplicación por n es el resultado de analizar como la variación en uno de los espacios, determina los valores posibles en el otro espacio (en cierta forma, las llamadas tablas de multiplicar tienen su origen en una mirada de la multiplicación como un problema de variación conjunta de dos espacios de medida). Este tipo de análisis es el llamado análisis escalar, en tanto que se ponen en relación las variaciones en uno de los espacios de medida con respecto a las variaciones en el otro. O dicho de otra forma, cambios en un espacio de medida, generan cambios simétricos en el otro espacio de medida. La otra posibilidad de solución es a través del planteamiento de una relación entre los dos espacios de medida, es decir, reconocer que la multiplicación de n por f(1), produce el valor de f(n). En este caso, se debe tener cuidado con el análisis dimensional de las cantidades, pues este planteamiento es posible gracias al reconocimiento de igualdad

$ &

, lo cual es equivalente a que nf(1)= f(n) (se reconoce

a f(1) como el valor de la constante de proporcionalidad). Regresando al esquema inicial, si la pregunta es por el valor de f(1) o de n, ya no se generan multiplicaciones, sino dos tipos de división. La primera, cuando se pide hallar el valor de f(1), es decir, el valor que corresponde con la unidad. Cuando los números involucrados son números enteros, entonces se genera la división partitiva (o en palabras del Dr. Vasco, «la división entre»), es decir, una división en la cual una cantidad debe ser repartida en una determinada cantidad de partes iguales. En general, la solución de este tipo de situaciones requiere del reconocimiento de la relación escalar, y de la división como una operación inversa, es decir, saber que f(n) es el resultado de tener n veces f(1), y por tanto, la repartición de f(n) en n partes iguales produce el valor de f(1)56 . Esto permite comprender la división que se debe realizar como la inversa de un operador escalar multiplicativo. En efecto, tomando la situación de las libras de sal antes descrita, ahora se trataría de averiguar cuánto cuesta una libra de sal, si se sabe que 4 libras cuestan $ 1000. Para solucionar esta situación primero se debe reconocer que el operador escalar x 4 transforma una libra en cuatro libras, y que por tanto, al dividir $ 1000 entre cuatro se obtiene el valor de una libra.

(× ↓) (÷ ↑)

 →

(÷ ↑)

 →

_____________________________________________________ 56

En estas situaciones es posible encontrar procesos de solución que no requieran explícitamente de realizar la división, como puede ser por ejemplo, una repartición en n grupos, pero colocando una a una las unidades en cada grupo.

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Obviamente este análisis se complejiza en la medida que se utilicen otros tipos de números, o de magnitudes. El segundo tipo de división se presenta cuando se debe averiguar cuantas unidades se corresponden al valor f(n) (el valor de n unidades, por supuesto n es desconocido). Esto es, conocido el valor de la unidad, cuantas unidades se pueden obtener con una cantidad determinada f(n). Si los números involucrados son enteros, entonces se genera la división quotitiva (o como el Dr. Vasco las llama, «la división diá»), en la cual se trata de saber cuantos grupos se pueden formar con una determinada cantidad una vez conocido el valor de cada grupo. Al igual que el caso anterior, para este tipo de situaciones también es posible encontrar procedimientos que no requieran de la división, como es el caso de una extracción repetida del valor de cada grupo, de la cantidad total57 , donde el resultado es la cantidad de veces que se puede realizar la extracción. En general, sin importar el tipo de números involucrados este tipo de divisiones implica la utilización de la relación funcional, pues la división

relaciona los dos

espacios de medida. Al igual que en el caso anterior, el planteamiento de esta división, implica relacionarla como la inversa de la multiplicación. Como puede verse en los casos anteriores, la multiplicación no es más que un caso particular de proporcionalidad simple directa, solo que en ella se conoce el valor de una unidad. El caso general se da cuando ninguno de los cuatro términos corresponde con la unidad. En este caso, la proporcionalidad simple directa se puede representar o modelar por una función tal que: →  → $ & = ⋅

donde k es la llamada constante de proporcionalidad. Esto es, una función lineal. Esta función cumple con las siguientes propiedades: El estudio de los problemas de proporcionalidad simple directa a partir de la función lineal que la modela, y de sus propiedades, es generalmente pasado por alto en la escuela, y se simplifica su tratamiento a partir del uso de la regla de tres simple directa. En este tipo de problemas se trata de averiguar un valor desconocido _____________________________________________________ 57

Es de anotar que desde este tipo de procedimientos se puede llegar a un antiguo algoritmo para realizar la división que consistía en restar sucesivamente el divisor del dividendo. El resultado era la cantidad de veces que se podía hacer dicha sustracción.

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De la multiplicación a la Proporcionalidad

dados tres valores. El siguiente diagrama representa un modelo de una situación típica en las cual está subyacente la proporcionalidad simple directa: $ &+ $ & = $ + & $λ ⋅ & = λ ⋅ $ &

Su solución pasa bien por un análisis escalar (analizando las relaciones entre las cantidades del mismo espacio de medida) o por uno funcional (analizando las relaciones entre las cantidades correspondientes de un espacio de medida al otro) 58 . = λ ⋅ $ & = λ ⋅ $ & . En Un análisis escalar implica reconocer que si este caso λ es un número racional y no tiene unidades59 . Por su parte, un análisis funcional implica el reconocer que si a = d × f ( a ) entonces b = d × f (b) , o lo que es lo mismo, si d × a = f (a ) entonces d × b = f (b)60 . En este caso δ es un número racional con unidades61 , y es el inverso multiplicativo de la constante de proporcionalidad, o la constante misma.

Aunque cada uno exige un tipo de análisis distinto de la situación, pues implican poner en relación magnitudes de dos espacios de medida distintos –en el segundo caso, o del mismo espacio de medida –en el primero, la elección de una relación u otra para la solución de la situación está determinada por factores tales como la naturaleza de las magnitudes implicadas (continuas o discretas), los números implicados (naturales, enteros, decimales, etc.) y por la naturaleza de los operadores (qué tipo de número son tanto el operador funcional como el escalar). Los procedimientos para resolver uno u otro tipo de problemas puede ser muy variado dependiendo del grado de dificultad del problema (una discusión detallada de estos puede leerse en Vergnaud, 1988, 1991, 1993a, 1993b). Uno en particular muy importante se presenta cuando los alumnos emprenden una solución tipo aditiva (utilizando la primera propiedad descrita antes) en problemas en los que están dados a, f(a), b y f(b) y se debe averiguar f(c), donde c= a+b pues en este caso f(c) = f(a) + f(b). Es pertinente anotar que este tipo de problemas puede ser modelado a través de una tabla de correspondencia entre los dos espacios de medida, la cual, además de constituir una buena herramienta para comprender las relaciones de proporcionalidad que están involucradas, en tanto que permite ver la dependencia de las varia_____________________________________________________ 58

59 60 61

Lo cual desde ningún punto de vista implica que primero haya que enseñar la función lineal a los alumnos para que puedan resolver problemas de proporcionalidad directa, sino por el contrario, desde aquí se puede construir una aproximación bastante interesante para su estudio. Se hace uso de la segunda propiedad antes descrita. Se hace uso de la definición de función dada antes. Un caso particular de este tipo de números se da en física o en química al trabajar con factores de conversión para la transformación de unidades.

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ciones de los valores de un espacio de medida con respecto al otro espacio de medida, también permite realizar representaciones gráficas en el plano cartesiano. Esto aspectos permiten varias formas de aproximarse a la correlación entre los dos espacios de medida, y por ende a las propiedades del modelo matemático en juego. • ESTÁNDARES RELACIONADOS

Numérico Primero a Tercero

Reconocer significado del número en diferentes contextos (medición, conteo, comparación, codificación, localización entre otros) Reconocer y describir situaciones de cambio y variación utilizando lenguaje natural, dibujos y gráficas.

Cuarto a quinto

Analizar y explicar relaciones de dependencia en situaciones económicas, sociales y de las ciencias naturales.

Sexto a séptimo

Analizar las propiedades de variación lineal e inversa en contextos aritméticos y geométricos.

Octavo a noveno

Modelar situaciones de variación con funciones polinómicas.

Numérico Primero a Tercero

Describir, comparar y cuantificar situaciones con números, en diferentes contextos y con diversas representaciones Resolver y formular problemas en situaciones de variación propocional.

Cuarto a quinto Sexto a séptimo

Modelar situaciones de dependencia mediante la proporcionalidad directa, inversa. Usar diversas estrategias de calculo y de estimación para resolver problemas en situaciones aditivas y multiplicativas Resolver y formular problemas en contextos relativas y de variaciones de medidas. Justificar el uso de representaciones y procedimientos en situaciones de proporcionalidad directa e inversa

SITUACIÓN 1: SITUACIONES PARTICULARES

•ACTIVIDAD 1: La fábrica de osos

Número de participantes: 2 Materiales: Papel, lápiz y borrador. _____________________________________________________ 62

Tomado y adaptado de: http://www.sep.gob.mx/work/appsite/librosprimaria/libros/index.htm

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De la multiplicación a la Proporcionalidad

Qué hacer w La mamá de Carlos y Alejandra hace osos de peluche. Los niños ayudan a su mamá cortando las patas de los osos. ¿Cuántas patas necesita cortar Carlos para hacer cinco osos? Alejandra corta 23 patas ¿Para cuántos osos le alcanzan? w Con otro compañero y por turnos, cada quien dice una cantidad de osos que esté entre el 1 y el 20. El otro calcula la cantidad de patas que se necesitan para hacerlos. Registren los resultados en sus cuadernos. w Ahora, por turnos, cada uno dice una cantidad de patas entre 1 y 100. El otro calcula la máxima cantidad de osos que se podrían hacer con dichas patas, y si es del caso, la cantidad de patas sobrantes. Registren los resultados en sus cuadernos.

•ACTIVIDAD 2: Agua con sabor a…

Número de participantes: 2 Materiales: Papel, lápiz y borrador.

Qué hacer 8

9"! 9

w En la escuela de Juan están preparando agua de distintos sabores para una fies: naranjada, 9 ; 8 de jugo !" de naranjas, 10 vasos ta. 8Para hacer en8la olla se0 puso 20 vasos de agua y 2 vasos de azúcar. Con esta fórmula se obtienen 30 vasos de naranjada. ¿Cuántos vasos de jugo de naranja, y cuántas tazas de agua y azúcar deberán ponerse en otra olla para obtener naranjada con el mismo sabor que en la primera olla, de tal forma que alcance para:

w Paula y sus compañeros preparan jugo de tamarindo para los raspados de la fiesta. En una botella pusieron 3 tazas de agua y 5 cucharadas de pulpa de tamarindo. En otra botella pusieron 8 tazas de agua y 10 cucharadas de la misma pulpa. En otra botella pusieron 6 tazas de agua y 8 cucharadas del concentrado de _____________________________________________________ 63

Tomado y adaptado de: http://www.sep.gob.mx/work/appsite/librosprimaria/libros/index.htm

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tamarindo. Lupe dice que el jarabe que tiene más sabor es el de la segunda botella. Pepe dice que el que tiene más sabor es el de la tercera botella. ¿Quién tiene razón? ¿Por qué? w Se tienen 56 limones para hacer dos ollas de agua fresca. A una le caben 4 litros de agua, a la otra le caben 3. ¿Cuántos limones deberán ponerse en cada olla para que toda el agua tenga el mismo sabor?

•ACTIVIDAD 3: Mezclando pinturas

Número de participantes: 2 Materiales: Vasos y cucharas desechables pequeñas, vinilos de color rojo, amarillo y azul (colores primarios), agua, palitos de paletas, pinceles.

Qué hacer El equipo desea pintar un afiche para desarrollar una campaña ecológica. Para ello, deben mezclar en un vaso, las siguientes cantidades de pintura: dos cucharadas de pintura amarilla, 1cucharada de pintura azul y 1 cucharada de agua. w w w w w

w w w

w w

¿De qué color crees que es la mezcla? ¿Cuántas cucharadas de pintura hay en el vaso? ¿Qué fracción de la mezcla es pintura amarilla? ¿Qué fracción de la mezcla es pintura azul? ¿Qué resultado obtienes al sumar la fracción de pintura amarilla con la fracción de pintura azul? ¿Por qué crees que se obtiene ese resultado? Raúl dice que el resultado que se obtiene es 1, René dice que es 3/4 y Cristina dice que es 3/3. ¿Quién tiene razón? Para complementar la campaña, se requiere elaborar mensajes y plegables acordes con el afiche. Para ello, se hará una mezcla del mismo color, pero ahora se utilizarán 8cucharadas de pintura amarilla. ¿Cuántas cucharadas de pintura azul se deben utilizar? ¿Cuántas cucharadas de pintura habrá en el vaso? ¿Qué fracción de la mezcla es pintura azul? ¿Qué fracción de la mezcla es pintura amarilla? Debido a la gran acogida de la campaña, se requiere elaborar más plegables. Para ello, ahora se ponen 5 cucharadas de pintura azul y quieren que la mezcla salga del mismo color con que han venido trabajando. ¿Cuánto deben utilizar de pintura amarilla? Si para hacer una mezcla de igual color, el equipo utilizara 3 cucharadas de pintura amarilla, ¿cuánto tendría que agregar de pintura azul?

_____________________________________________________ 64

Tomado y adaptado de: http://www.sep.gob.mx/work/appsite/librosprimaria/libros/index.htm

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De la multiplicación a la Proporcionalidad

•ACTIVIDAD 4: Agua azucarada

Número de participantes: 2

Qué hacer Se desea preparar agua azucarada utilizando dos botellas diferentes, como se muestra en la siguiente figura: Primer ensayo: En la botella A se echan 4 vasos de agua, y 2 cubos de azúcar. En la botella B se echan 6 vasos de agua, y 3 cubos de azúcar. w ¿En cuál botella queda el agua más dulce? w Para preparar 2 botellas de cada una, ¿cuánta agua y azúcar se necesita? w Para preparar 4 botellas de cada una, ¿cuánta agua y azúcar se necesita? w Para preparar 10 botellas de cada una, ¿cuánta agua y azúcar se necesita? w Escribe una regla general que le permita calcular la cantidad de agua y azúcar que se necesitan, para preparar cualquier cantidad de botellas. Segundo ensayo: En la botella A se echan 4 vasos de agua, y 6 cubos de azúcar. En la botella B se echan 8 vasos de agua, y 10 cubos de azúcar. w w w w w

¿En cuál botella queda el agua más dulce? Para preparar 3 botellas de cada una, ¿cuánta agua y azúcar se necesita? Para preparar 6 botellas de cada una, ¿cuánta agua y azúcar se necesita? Para preparar 9 botellas de cada una, ¿cuánta agua y azúcar se necesita? Escribe una regla general que le permita calcular la cantidad de agua y azúcar que se necesitan, para preparar cualquier cantidad de botellas.

•ACTIVIDAD 5: En el restaurante

Materiales: Cuaderno y lápiz Número de participantes: 2

Qué hacer Los estudiantes de tercer grado están organizando una salida a un parque recreativo. La lista de precios ofrecidos en la cafetería se muestra a la derecha. _____________________________________________________ 65 66

Adaptación tomada de: Petit X numéro spécial activités - novembre 92. pp 82. Tomado y adaptado de: http://www.sep.gob.mx/work/appsite/librosprimaria/libros/index.htm

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w “Gerardo y sus amigos comieron en el restaurante. Compraron 3 tacos, 4 pinchos, 2 botellas de agua y 5 gaseosas”. En su cuaderno escriba qué preguntas le puede poner al anterior texto. Haga las cuentas para contestar las preguntas que hizo. w Armando compró 4 arepas y dos gaseosas para compartir con sus amigos. Elija la cuenta que le sirve para saber cuánto pagó. • 500 + 800 y 1300 × 4 • 500 × 4 y 800 × 2 • 500 × 4 ; 800 + 800 y 2000 + 1600 ¿Existen otras formas para saber cuánto pagó Armando?

•ACTIVIDAD 6: Bombones y caramelos

Materiales: Cuaderno y lápiz Número de participantes: 2

Qué hacer Una compañía empaqueta cajas de bombones intercalando un caramelo, por cada cuatro bombones, según se mues_____________________________________________________ 67

Tomado de: GODINO, Juan. Proporcionalidad y su Didáctica. p 54.

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tra en la figura. Los círculos representan los bombones y los cuadrados los caramelos. Las dimensiones de la caja se indican mediante el número de columnas y de filas de bombones que hay en cada caja. w ¿Cuántos caramelos tiene la caja cuyas dimensiones son 4 x 5 y 5 x 6? w Si una caja contiene 60 bombones ¿De cuántas y cuáles formas se pueden organizar? ¿Cuántos caramelos contienen dichas cajas? w Si una caja contiene 72 bombones y tiene 4 columnas, ¿Cuántas filas tiene? ¿Cuántos caramelos tiene? w Desarrolle un método para encontrar el número de caramelos en cualquier caja si se conocen sus dimensiones. Explique y justifique el método usando palabras, diagramas o expresiones con letras w Si una caja contiene 48 bombones ¿Cuál sería la máxima cantidad de caramelos que se podrían empacar?

•ACTIVIDAD 7: Haciendo presupuesto Materiales: Cuaderno, lápiz y tabla de precios. Número de participantes: 2 Qué hacer Elabore un presupuesto de alimentación mensual para su familia. Para ello, consulte qué cosas y cuánta cantidad se consume a diario en su hogar. Tenga en cuenta la lista de precios dada en el salón de clase. ¿Cuánto dinero se requiere para cumplir con el presupuesto?

•ACTIVIDAD 8: Una receta Materiales: Cuaderno, lápiz. Número de participantes: 2

Qué hacer Receta de sopa de cebolla para 8 personas 8 cebollas 3 tazas de agua 2 cubos de caldo de gallina 2 cucharadas de margarina de mesa ½ taza de crema de leche Sal y pimienta al gusto

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w Si se requiere preparar sopa para 4 personas. ¿Cuántos cubos de caldo de gallina serían necesarios? ¿Alcanza 1 taza de crema de leche? Sobra? Falta? Cuánto? w ¿Cómo sería la receta si se quisiera preparar sopa para 1 persona? w ¿Qué cantidad de ingredientes serían necesarios para preparar sopa para 12 personas?

•ACTIVIDAD 9: Una ciudad congestionada

Materiales: Cuaderno, lápiz, Internet o propaganda de automóviles. Número de participantes: 2

Qué hacer Por determinadas calles del centro de una ciudad pasa cada día una gran cantidad de vehículos. Por ejemplo, por la avenida Oriental pasan unos 100.000 carros en un día normal (no tienen por qué ser distintos, puesto que un mismo carro puede pasar varias veces por esta avenida en un día, como ocurre con los taxis). Si se colocaran todos estos carros en fila, ¿qué longitud alcanzarían? ¿Qué superficie ocuparían? ¿Cuánto pesaría el conjunto? Para poder hacer los cálculos (que necesariamente serán aproximados, y en los que interesa sobre todo es el orden de magnitud del resultado) a continuación le proporcionamos una tabla con las dimensiones y el peso de algunos modelos. Tabla de dimensiones y pesos Si se utilizan los transportes públicos en vez de carros particulares se ocupa mucho menos espacio, con lo que hay me4 " nos tacos y se tarda menos tiempo en des0 plazarse. Supongamos que 60 personas "! que suelen desplazarse en carros parti8 F G! culares deciden ahora pasarse al bús. 4 " / ¿Qué ganancia de superficie se consigue? Observe que necesitará las dimensiones de un autobús (que puedes obtener de forma aproximada observando alguno por la calle; si lo prefiere, podemos partir de una estimación: 10 metros de largo y 3 de ancho). Los resultados también variarán según el número de carros que utilicen las personas (puedes calcular los valores extremos entre los que se encontrará: una persona como mínimo y cuatro como máximo). + !

- .

( - .

_____________________________________________________ 68

Tomado y adaptado de: CORBALAN, Fernando. La matemática aplicada a la vida cotidiana. pp 132-135

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