Paulo Barreto Cachim Miguel Monteiro Morais
Estruturas de betão
BASES DE CÁLCULO SEGUNDO O EUROCÓDIGO 2
Prefácio
XI
Com o processo de introdução dos Eurocódigos Estruturais no espaço europeu, tem havido, ao longo das duas últimas décadas, alguma indefinição sobre as regras a adotar no dimensionamento e verificação da segurança das estruturas de betão. Os países europeus, como é o caso de Portugal, tinham já uma longa tradição de regulamentação específica, que, embora partisse de um código modelo discutido e elaborado essencialmente no espaço europeu, apresentava um cunho nacional específico com o valor de lei. Verifica-se que as últimas versões dos Eurocódigos atingiram uma qualidade técnica, uma solidez normativa e uma abrangência que os coloca como documentos técnicos indiscutíveis a serem utilizados no projeto e construção das estruturas. Com o estabelecimento do Eurocódigo 2, em detrimento da regulamentação portuguesa ainda em vigor (primeiro introduzido a nível do ensino das Estruturas de Betão e, em seguida, na prática da construção), criam-se as condições para o surgimento de publicações de carácter mais duradoiro orientadas para o projeto de estruturas de betão armado e pré-esforçado. É neste contexto que esta nova publicação surge no espaço nacional sobre um tema em que escasseiam os livros de apoio à prática da engenharia da construção em betão. O texto apresenta e discute os Princípios e as Bases de Cálculo para o dimensionamento e a verificação da segurança de estruturas de betão. Na primeira parte, Parte A, são apresentadas as regras para a verificação da segurança, as propriedades mecânicas dos materiais (betão e aço da armadura), e as bases do funcionamento conjunto dos dois materiais. São ainda apresentadas e discutidas as regras básicas para garantir a durabilidade adequada das estruturas de betão, que corresponde a uma exigência essencial no projeto e construção para garantia de um mínimo de conservação durante a vida útil da estrutura. A Parte B apresenta e discute as regras do Eurocódigo 2 para a verificação da segurança aos Estados Limites Últimos de Resistência de secções de betão armado. Os casos mais frequentes de secções de vigas e de pilares sujeitos à flexão e à flexão composta são descritos e alguns elementos auxiliares de cálculo são fornecidos. As regras de dimensionamento ao esforço transverso, com grande especificidade na sua aplicação a estruturas de betão, são explicadas e é apresentada a forma da sua aplicação prática. Estas regras são de seguida estendidas à verificação da segurança ao punçoamento de elementos laminares, nomeadamente
PREFÁCIO
Estruturas de Betão
lajes e sapatas. O dimensionamento à torção é ainda discutido de forma compreensiva. Na terceira parte, Parte C, são apresentadas as bases e as regras do Eurocódigo 2 para a verificação aos Estados Limites de Utilização que estabelecem os cuidados a ter para que as estruturas de betão apresentem qualidade, bom funcionamento em serviço, e durabilidade adequada. Para além da apresentação da forma de verificação dos limites de tensões no aço e no betão em serviço, é discutida a verificação ao estado limite de fendilhação e ao estado limite de deformação de elementos de betão armado fletidos. A verificação aos estados limites de utilização ganha importância acrescida quando se utilizam materiais, aço e betão de classes de resistência mais elevada e quando as deformações impostas aos elementos estruturais adquirem valores mais significativos.
ESTRUTURAS DE BETÃO
XII
BASES DE CÁLCULO
Joaquim Figueiras Porto, junho de 2013
1 CAPÍTULO 1
O betão é atualmente o material de construção mais utilizado em todo o mundo. Apesar de apenas na segunda metade do século XX se terem desenvolvido os modernos modelos de cálculo e a tecnologia do betão armado e do betão pré-esforçado, o material betão tem sido sempre usado desde a antiguidade. A construção mais antiga de um material como o betão remonta a cerca de 6500 a.C. na Síria, mas foram os romanos que utilizaram o betão de forma mais sistemática e eficiente na construção de habitações, templos, pontes e aquedutos, muitos dos quais ainda hoje se encontram em bom estado, testemunhando, assim, a mestria com que os romanos usavam este material. O apogeu da utilização do betão pelos romanos ocorreu durante os reinados dos imperadores Trajano e Adriano, cobrindo o período de aproximadamente 90 a 150 d.C.. Os romanos tentaram também armar o betão com cabos de bronze, mas as experiências não foram bem sucedidas devido aos diferentes coeficientes de dilatação térmica dos dois materiais. Entre o fim do Império Romano e o século XVIII, tendo-se perdido o conhecimento sobre o betão de pozolana, as argamassas utilizadas eram sobretudo de cal e passaram a ser utilizadas nas fundações e no interior das paredes de alvenaria. Durante o século XVIII, foram descobertos ligantes hidráulicos como a cal hidráulica e o cimento Portland. No final do século XIX e início do século XX, constroem-se os primeiros edifícios e pontes de betão armado. Posteriormente, na segunda metade do século XX, desenvolve-se a tecnologia do betão pré-esforçado e consolidam-se os modelos de cálculo estrutural. As principais vantagens do betão enquanto material de construção são a sua boa resistência, a liberdade de escolha de formas que permite, a fácil realização de estruturas monolíticas com elevada hiperestaticidade, a elevada durabilidade, a boa resistência ao fogo e o seu baixo custo devido a matérias-primas pouco dispendiosas. Contudo, existem também alguns problemas, como sejam o seu elevado peso próprio, a necessidade de controlar a fendilhação e os custos elevados associados à demolição e reparação. O betão caracteriza-se, em termos de propriedades mecânicas, pela sua boa resistência à compressão e fraca resistência à tração. Por esse motivo, quando se pretende a sua aplicação em estruturas que estão submetidas simultaneamente a esforços de tração e compressão, é necessário colocar uma armadura de reforço que permita absorver os esforços de tração. Essa armadura é, em geral,
INTRODUÇÃO
Capítulo 1 Introdução
Os valores dos coeficientes ψ0 , ψ1 , e ψ2 para as diferentes ações encontram-se definidos na norma EC0 e nas diferentes partes da norma EC1. Para as ações correntes em edifícios, os valores destes coeficientes encontram-se definidos no Quadro 1. Quadro 1. Valores recomendados para os coeficientes ψ para edifícios.
Ação
ψ0
Sobrecargas em edifícios (ver EN 1991-1-1) Categoria A: zonas de habitação Categoria B: zonas de escritórios Categoria C: zonas de reunião de pessoas Categoria D: zonas comerciais Categoria E: zonas de armazenamento Categoria F: zonas de tráfego peso dos veículos ≤ 30 kN Categoria G: zonas de tráfego 30 kN < peso dos veículos ≤ 160 kN Categoria H: coberturas
Q
Ação da neve em edifícios (ver EN 1991-1-3) (exceto Finlândia, Islândia, Noruega, Suécia) Altitude H > 1000 m acima do nível do mar Altitude H ≤ 1000 m acima do nível do mar
S
Ação do vento em edifícios (ver EN 1991-1-4) Temperatura (exceto incêndio) em edifícios (ver EN 1991-1-5)
Coeficiente reduzido ψ1 ψ2
0,7 0,7 0,7 0,7 1,0
0,5 0,5 0,7 0,7 0,9
0,3 0,3 0,6 0,6 0,8
0,7
0,7
0,6
0,7 0,0
0,5 0,0
0,3 0,0
0,7 0,5
0,5 0,2
0,2 0,0
W
0,6
0,2
0,0
T
0,6
0,5
0,0
INTRODUÇÃO CAPÍTULO 1
7
ser calculado com base nas suas dimensões nominais e nos valores médios das massas volúmicas. No caso das ações variáveis, o valor característico, Qk, pode ser representado por um valor superior (com uma certa probabilidade de não ser excedido), um valor inferior (com uma certa probabilidade de ser atingido durante um determinado período de referência) ou um valor nominal (que poderá ser especificado nos casos em que não seja conhecida a distribuição estatística da ação). Para além do valor característico, existem outros valores representativos das ações variáveis que deverão ser considerados na verificação da segurança em relação aos estados limites: a) o valor de combinação, representado pelo produto ψ0 Qk, utilizado para a verificação de estados limites últimos e de estados limites de utilização irreversíveis; b) o valor frequente, representado pelo produto ψ1Qk, utilizado para a verificação de estados limites últimos, envolvendo ações de acidente e para a verificação de estados limites de utilização reversíveis; para os edifícios, por exemplo, o valor frequente é escolhido de tal forma que só é excedido durante 0,01 do período de referência; para as ações de tráfego rodoviário em pontes, o valor frequente é avaliado para um período de retorno de uma semana; c) o valor quase-permanente, representado pelo produto ψ2Qk, utilizado para a verificação de estados limites últimos envolvendo ações de acidente e para a verificação dos estados limites de utilização reversíveis; os valores quase-permanentes são também utilizados para o cálculo dos efeitos a longo prazo; para as ações nos pavimentos de edifícios, o valor quasepermanente é normalmente escolhido de forma a que seja excedido durante 0,50 do período de referência; em alternativa, o valor quase-permanente pode ser determinado como o valor médio durante um determinado intervalo de tempo; no caso da ação do vento ou das ações de tráfego rodoviário, o valor quase-permanente é geralmente considerado igual a zero.
2.1. Betão A produção de betão em Portugal é regulada pela norma NP EN 206-1:2007 “Betão – Parte 1: Especificação, Desempenho, Produção e Conformidade”, a qual dedica especial atenção aos aspetos relacionados com a especificação do betão. Para o cálculo estrutural, o EC2 baseia-se na NP EN 206-1:2007 e especifica classes de resistência definidas de acordo com os princípios desta norma. No EC2, as classes de resistência baseiam-se no valor característico da resistência referido a provetes cilíndricos, fck, determinado aos 28 dias. Para além de cilindros, a norma prevê a determinação da resistência à compressão em cubos. Os provetes cilíndricos de referência têm 15 cm de diâmetro e 30 cm de altura, enquanto os cubos têm 15 cm de aresta. Os valores característicos da resistência fck e as correspondentes características mecânicas necessárias para o cálculo estão indicados no Quadro 3. As classes de resistência são, em termos de EC2, designadas através de:
Em que: C YY CC
ESTRUTURAS DE BETÃO
betão; valor característico da resistência em cilindros, fck, em MPa; valor característico da resistência em cubos, fck,cube, em MPa.
Quadro 3. Classes de resistência e propriedades do betão.
16
MATERIAIS
C YY/CC
C12/15 C16/20 C20/25 C25/30 C30/37 35/45 C40/50 C45/55 C50/60 C55/67 C60/75 C70/85 C80/90 C90/105
fck (MPa) fck,cube (MPa) fcm (MPa) εc2 (o/oo) εcu2 (o/oo) n fctm (MPa) fctk,0.05 (MPa) Ecm (GPa)
12 15 20
16 20 24
20 25 28
25 30 33
1,6 1,1 27
1,9 1,3 29
2,2 1,5 30
2,6 1,8 31
30 37 38 2,0 3,5 2,0 2,9 2,0 33
35 45 43
40 50 48
45 55 53
50 60 58
3,2 2,2 34
3,5 2,5 35
3,8 2,7 36
4,1 2,9 37
55 67 63 2,2 3,1 1,75 4,2 3,0 38
60 75 68 2,3 2,9 1,6 4,4 3,1 39
70 85 78 2,4 2,7 1,45 4,6 3,2 41
80 95 88 2,5 2,6 1,4 4,8 3,4 42
90 105 98 2,6 2,6 1,4 5,0 3,5 44
Contudo, para além da resistência, existem outras características que um betão deve satisfazer. Por esse motivo, uma designação de um betão de comportamento especificado de acordo com a NP EN 206-1 é mais completa do que a especificada pelo EC2 e será, a título exemplificativo, da forma: NP EN 206-1 C30/37 XC3(P) Cl 0,2 Dmax22 S3 Em que: NP EN 206-1 C30/37 XC3(P) Cl 0,2 Dmax22 S3
a referência à norma NP EN 206-1; a classe de resistência à compressão; a classe de exposição ambiental com indicação do país: (P) de Portugal; a classe de teor de cloretos; a dimensão máxima do agregado (22 mm no exemplo); a classe de consistência (S3 no exemplo).
O módulo de elasticidade tangente a utilizar no cálculo do coeficiente de fluência é função de Ec, que poderá ser considerado igual a 1,05 Ecm. O coeficiente de fluência no instante t para uma tensão de compressão constante, σc, aplicada na idade do betão t0, designa-se por φcc(t,t0). A utilização do módulo de elasticidade efetivo, Ec,eff, permite considerar diretamente o efeito da fluência, admitindo que o elemento tem uma deformação que segue a linha a traço interrompido da Figura 5. O módulo de elasticidade efetivo é dado pela expressão: (24) Nos casos em que não seja necessária grande precisão, poderão usar-se os gráficos da Figura 6 para obter o valor do coeficiente de fluência, desde que o betão não esteja submetido a uma tensão de compressão superior a 0,45 fck (t0) na idade t0, idade do betão à data do primeiro carregamento. Os monogramas da Figura 6 são válidos para temperaturas ambientes compreendidas entre -40 e +40 °C e para humidades relativas (RH) médias compreendidas entre os 40 e 100%.
t0
ESTRUTURAS DE BETÃO
26
MATERIAIS
1
N
2
R
S
3 5
C 20/25 C 25/30 C 30/37 C 35/45 C 40/50 C 50/60 C 60/75 C 80 /95
10 20 30
C 45/55 C 55/67 C 70/85 C 90/10 5
RH = 80% (exterior)
50 100
4, 0
5, 0 6,0 φ (∞, t 0 )
3,0
2,0
1,0
0 10 0 30 0 50 0 70 0 900 11 00 13 00 150 0
h 0 (mm)
t0 1 2
1
N
4
R
S
5
3 2
3 C 20/25 C 25/30 C 30/37 C 35/45 C 40/50 C 45/55 C 50/60 C 55/67 C 60/75 C 70/85 C 80/95 C 90/1 05
5 10 20 30
RH = 50% (interior)
50 100 7,0
6,0
5,0
φ (∞, t 0 )
4,0
3,0
2,0
1,0
0
100
30 0
500
700
900
1100 1300
1500
h 0 (mm)
Figura 6. Método para a determinação do coeficiente de fluência, φ(∞, t0) para betão em condições ambientais normais.
Quadro 8. Áreas de varões para betão armado correntes. Diâmetro (mm)
6
8
10
12
16
20
25
32
40
Área (cm2)
0,28
0,50
0,79
1,13
2,01
3,14
4,91
8,02
12,56
O EC2 considera três classes de aços: A, B e C com características de ductilidade e relação entre a resistência à tração e a tensão de cedência crescentes. No Quadro 9 apresentam-se os valores das propriedades das armaduras a utilizar em betão armado. Os tipos de aço comercializados em Portugal encontram-se definidos em várias especificações do LNEC (ver Quadro 10). A designação do aço é da forma:
Com exceção das malhas eletrossoldadas, só são permitidos aços nervurados nas estruturas de betão armado. Os diferentes tipos de aço podem ser facilmente identificados pela forma e disposição das nervuras, conforme indicado na Figura 10. Quadro 9. Propriedades das armaduras. Forma do produto
Varões e fios
Classe
A
B
Redes eletrossoldadas C
Valor característico da tensão de cedência fyk ou f0,2k (MPa)
A
B
C
400 a 600
Valor mínimo de k = (ft/fy)k
≥1,05
≥1,08
≥1,15 <1,35
≥1,05
≥1,08
≥1,15 <1,35
Valor característico da extensão à tensão máxima, εuk (%)
≥2,5
≥5,0
≥7,5
≥2,5
≥5,0
≥7,5
Quadro 10. Classes de aço comercializadas em Portugal.
Designação
Especificação
Classe
fyk
k = ft/fyk
A400 NR
LNEC E449
B
400
≥ 1,08
A400 NR SD
LNEC E455
C
400
≥ 1,15
A500 NR
LNEC E450
B
500
≥ 1,08
A500 NR SD
LNEC E460
C
500
≥ 1,15
A500 ER
LNEC E456
A
500
≥ 1,05
A500 EL*
LNEC E457
A
500
≥ 1,05
* só utilizado em malhas eletrossoldadas
35
aço; tensão de cedência em MPa (valores permitidos 400 ou 500 MPa); tipo de tratamento (N, normal; E endurecido); características da superfície (R, nervurado; L, liso); designação de ductilidade especial para os aços classe C.
CAPÍTULO 2
Em que: A YYY X Z SD
PROPRIEDADES DOS MATERIAIS
AYYY XZ SD
2.4. Considerações adicionais relativas a armaduras 2.4.1. Distância mínima entre varões A distância livre entre varões deve ser tal que permita a realização da betonagem e posterior compactação e vibração do betão de forma adequada, garantindo a necessária aderência entre o betão e as armaduras. Esta distância, quer horizontal quer vertical, pode ser determinada para varões paralelos ou camadas de varões paralelos pela expressão: (56)
Em que: dg é a máxima dimensão do agregado; ø é o diâmetro dos varões em mm. Quando os varões são colocados em diferentes camadas horizontais, os varões de cada camada deverão sobrepor-se em fiadas verticais, garantindo-se que entre cada fiada vertical exista espaço suficiente para a passagem dos vibradores e assegurando-se, deste modo, uma adequada compactação do betão.
Os diâmetros mínimos de dobragem dos varões são definidos de forma a não provocarem o aparecimento de fendas na face exterior do varão, bem como resultar na rotura do betão no interior da dobragem. O EC2 define o diâmetro mínimo de dobragem do varão, øm,min, denominado como diâmetro do mandril, de acordo com o Quadro 17 para evitar danificar armaduras. Quadro 17. Diâmetro mínimo do mandril para evitar danificar armaduras.
Tipo de varão
Diâmetro do varão
Diâmetro mínimo do mandril para cotovelos, ganchos e laços
ø ≤ 16 mm
4ø
ø > 16 mm
7ø
ou
5ø
Varões e fios
Armaduras e redes soldadas dobradas após a soldadura*
d ou
d ≥ 3ø
5ø
d < 3ø ou soldadura no interior da zona curva
20ø
* No caso de uma soldadura localizada no interior da zona curva, o diâmetro do mandril poderá ser reduzido para 5ø se a soldadura for efetuada de acordo com o Anexo B da EN ISO 17660.
CAPÍTULO 2
51
2.4.2. Diâmetros admissíveis dos mandris para varões dobrados
PROPRIEDADES DOS MATERIAIS
amin = max (ø; dg + 5mm; 20mm)
Quadro 25. Classes de exposição com risco de ataque químico. Característica química
Método de ensaio de referência
XA1
XA2
XA3
Ambiente químico ligeiramente agressivo
Ambiente químico moderadamente agressivo
Ambiente químico altamente agressivo
EN 196-2
≥ 200 e ≤ 600
> 600 e ≤ 3000
> 3000 e ≤ 6000
pH
ISO 4316
≥ 5,5 e ≤ 6,5
≥ 4,5 e < 5,5
≥ 4,0 e < 4,5
CO2 agressivo mg/l
prEN 13577:1999
≥ 15 e ≤ 40
> 40 e ≤ 100
> 100 até à saturação
mg/l
ISO 7150-1 ou ISO 7150-2
≥ 15 e ≤ 30
> 30 e ≤ 60
> 60 e ≤ 100
mg/l
ISO 7980
≥ 300 e ≤ 1000
> 1000 e ≤ 3000
> 3000 até à saturação
EN 196-2(2)
≥ 2000 e ≤ 3000(3)
> 3000(3) e ≤ 12000
> 12000 e ≤ 24000
DIN 4030-2
> 200 Baumann Gully
Não encontrado na prática
Águas mg/l
Solos total mg/kg
(1)
Acidez ml/kg
(1) Os solos argilosos com uma permeabilidade abaixo de 10-5 m/s podem ser colocados numa classe mais baixa.
ESTRUTURAS DE BETÃO
76
MATERIAIS
(2) O método de ensaio prescreve a extração do
através de ácido clorídrico; em alternativa, pode
usar-se a extração aquosa se houver experiência no local de utilização do betão. (3) O limite de 3000 mg/kg deve ser reduzido para 2000 mg/kg, caso exista risco de acumulação de iões sulfato no betão devido a ciclos de secagem e molhagem ou à absorção capilar.
3.5.2. Especificação do betão O EC2 especifica também classes de resistência mínimas para o betão a utilizar de acordo com as classes de exposição ambiental e que são apresentadas no Quadro 26. O princípio utilizado neste quadro é o de que os betões de maior resistência são mais densos e, consequentemente, a penetração dos agentes agressores é mais difícil. Quadro 26. Classes indicativas de resistência. Tipo de dano
Classes de exposição Carbonatação
Corrosão Cloretos Sem risco
Danos no betão
Ataque gelo/degelo
Ataque químico
Classe indicativa de resistência
XC1, XC2
C25/30, LC25/28
XC3, XC4
C30/37, LC30/33
XS1*, XD1, XS2*, XD2
C30/37, LC30/33
XS3**, XD3
C35/45, LC35/38
X0
C12/15
XF1
C30/37, LC30/33
XF2
C25/30, LC30/33
XF3
C30/37
XA1***
C30/37, LC30/33
XA2*, XA3*
C35/45, LC35/38
* C40/50, LC40/44, quando o cimento utilizado for CEM I ou CEM IIA. ** C50/60, LC50/55, quando o cimento utilizado for CEM I ou CEM IIA. *** C35/45, LC35/38, quando o cimento utilizado for CEM I ou CEM IIA.
σ c = η fcd
σ c = 0,9 η fcd Fc
x
ESFORÇOS NORMAIS E DE FLEXÃO
e a localização da resultante das forças de compressão no betão sejam iguais aos obtidos com o diagrama parábola-retângulo. O cálculo seria, por isso, muito mais simples se, em vez de se utilizar um diagrama parábola-retângulo, se utilizasse um diagrama retangular. Isto pode, de facto, ser realizado utilizando um diagrama retangular, conforme indicado na Figura 52. A tensão de compressão vale assim η fcd, exceto se a largura da zona comprimida diminuir na vizinhança da fibra extrema em que deve ser tomado o valor para a tensão no betão de 0,9η fcd. O bloco de tensões deve prolongar-se até uma altura λx, em que x representa a profundidade do eixo neutro. A utilização deste diagrama é particularmente útil no caso de secções de geometria complexa.
Fc
λx eixo neutro
Fs
As
Fs
95
As
CAPÍTULO 4
Figura 52. Distribuição retangular de tensões.
O coeficiente λ que define a altura útil da zona comprimida é obtido por: λ = max (0,8; 0,8 – (fck – 50) / 400), fck ≤ 90 MPa
(78)
O coeficiente η que define a resistência efetiva é obtido por: η = max (1,0; 1,0 – (fck – 50) / 200), fck ≤ 90 MPa
(79)
No caso do diagrama retangular, a determinação da força de compressão pode ainda ser simplificada, resultando em: Fc = fcd Acc (ou Fc = 0,9 fcd Acc)
(80)
em que Acc representa a área de betão comprimido numa altura de λx. A resultante das forças de compressão no betão encontra-se aplicada no centro de gravidade da área comprimida. Os valores de λ, η, χ1, χ2 para as diferentes classes de betão encontram-se no Quadro 31 para o diagrama retangular, sendo, neste caso, os valores de χ1 e χ2 iguais a λη, conforme equações (78) e (79), e 0,5λ, respetivamente.
εc
M Rd d N Rd θ = εc + ε s θ 1 = tan ( ) = r d
As εs θ
ESTRUTURAS DE BETÃO
116
ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS
Figura 66. Curvatura numa secção de betão armado.
O estudo efetuado para EI poderia fazer-se para EA, mas, na generalidade das estruturas, a deformabilidade por flexão é muito superior à deformabilidade por esforço axial. Na Figura 67 apresentam-se algumas relações típicas momento-curvatura de vigas fracamente armadas, fortemente armadas e fortemente armadas com armadura de compressão em flexão simples. É visível que, para secções fortemente armadas (rotura na zona Z3), a capacidade de rotação da secção fica bastante comprometida, sendo bastante inferior à das vigas fracamente armadas (rotura na zona Z1 ou Z2). Pode recuperar-se a capacidade de rotação através da introdução de uma armadura de compressão, conforme se ilustra na Figura 67.
M
As indicam início de plastificação das armaduras
θ= 4a5%o
θ = 10 a 13 % o
1/r ou θ Figura 67. Relação momento-curvatura em flexão simples.
4.6. Secções submetidas a flexão composta Na flexão composta, a secção encontra-se submetida simultaneamente a momento fletor e a esforço axial. Um dos problemas fundamentais relativamente à flexão composta consiste na interação existente entre estes dois esforços, podendo ao par de esforços N e M mais elevado não corresponder
5.1.1. Comportamento não fissurado Para cargas atuantes pequenas os elementos não estão fissurados. Admitindo que os materiais ainda apresentam um comportamento elástico linear, as tensões podem ser analisadas recorrendo à teoria da elasticidade. As trajetórias principais de tensão para uma viga simplesmente apoiada, com carregamento uniformemente linear, estão representadas na Figura 88. Esta análise é importante pois permite prever a localização e a orientação das fissuras, que serão alinhadas com as trajetórias principais de compressão, ou seja, perpendiculares à direção da tração.
σc
τ
σ ct σ ct
Trajetórias principais de tração Trajetórias principais de compressão
Figura 88. Tensões principais em secção não fissurada.
Analisando o elemento indicado na Figura 88, quando a tensão de tração, σct, atinge a resistência à tração do betão, irá surgir uma fissura. As fissuras serão perpendiculares à orientação das tensões principais de tração, ou seja, diagonais, conforme dito anteriormente. É importante estudar a orientação das fissuras, pois irá condicionar os mecanismos e a resistência ao esforço transverso. As fissuras de esforço transverso iniciam-se na alma, a meia altura, onde as tensões tangenciais são mais elevadas.
5.1.2. Resistência sem armadura transversal No caso de elementos sem armadura transversal, a rotura por esforço transverso pode acontecer de duas formas: 1. A fissura diagonal cresce imediatamente ao formar-se ou para uma carga ligeiramente superior, atravessando toda a secção da viga da face tracionada até à face comprimida, dividindo completamente a viga em duas partes. Esta rotura repentina, sem qualquer tipo de aviso, portanto frágil, é de evitar. Mesmo que não seja necessário, é prática corrente colocar sempre armadura transversal nas vigas. Esta armadura limita a abertura das fissuras diagonais, permitindo uma rotura mais dúctil e com aviso. Esta rotura acontece para vigas esbeltas, com relação vão/altura superior a 8.
137
σc
σc
CAPÍTULO 5
σ ct
ESFORÇO TRANSVERSO
x
Armadura transversal (estribos)
Fc
M N
z V
θ Fs
s Armadura longitudinal de tração
ESTRUTURAS DE BETÃO
142
ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS
Figura 94. Modelo de treliça múltipla.
Os banzos superior e inferior são dimensionados para o esforço axial e momento fletor, resistindo as diagonais comprimidas e os montantes tracionados ao esforço transverso. Três modos de rotura, ilustrados na Figura 95, podem ocorrer: a) rotura por tração dos estribos: este modo ocorre quando a armadura transversal é insuficiente e a armadura transversal atinge a sua capacidade de resistência à tração; é o tipo de rotura desejável, pois é o mais controlável; b) rotura por esmagamento do betão nas bielas comprimidas: ocorre devido ao esgotamento da capacidade de compressão do betão nas bielas inclinadas; acontece principalmente em vigas em T ou I em que a espessura da alma, bw, é reduzida; c) rotura por deslizamento da armadura de tração: acontece quando a amarração da armadura longitudinal não é suficiente; há uma perda de aderência da armadura ao betão e o consequente arrancamento da armadura longitudinal; pode ainda ocorrer quando a armadura longitudinal não é suficiente, possivelmente devido a uma incorreta dispensa de varões.
z cot θ a) Rotura dos estribos
b) Rotura por esmagamento das bielas comprimidas
c) Rotura por deslizamento da armadura de tração
Figura 95. Modos de rotura de elementos com armadura transversal.
5.1.3.1. Resistência com estribos verticais O valor do esforço transverso resistente, VRd, pode ser obtido pelo menor de dois valores:
Em que: Vccd é o valor de cálculo da componente de esforço transverso da força de compressão, no caso de um banzo comprimido inclinado; Vtd é o valor de cálculo da componente de esforço transverso da força na armadura de tração, no caso de um banzo tracionado inclinado.
Fc
V ccd=Fc sen α c Fc αc
V td αt
Ft
Ft V td=Ft sen α t
Figura 98. Elementos de altura variável.
O efeito de variação da altura dos elementos poderá ser favorável quando a altura da secção cresce com o aumento do momento fletor, Figura 98 a), ou um efeito desfavorável quando a altura da secção e o momento fletor variam inversamente, Figura 98 b). EXEMPLO 5.5: Verifique se a viga representada na figura resiste a um esforço transverso de 500 kN no apoio. A secção da viga no
ESFORÇO TRANSVERSO
b) Efeito desfavorável
147
a) Efeito favorável
2,26 cm2 na face superior. A armadura transversal é constituída por estribos de 8 mm espaçados de 0,10 m (ø 8 //0,10) com dois ramos. Materiais A500 NR e C30/37. Considere um recobrimento mecânico de 5 cm.
0,55 1,0 30º
Para cotθ = 2,5:
VRd,max = VRd,s =
1 × 0,20 × (0,9 × 0,95) × 0,53 × 20 × 103
= 635,0 kN
(2,5 + 1 / 2,5)
2 × 0,5 × 10–4
(0,9 × 0,95) × 435 × 103 × 2,5 = 929,1 kN
0,10
Como a secção tem altura variável, é necessário corrigir o valor de VRd,s. Uma vez que o momento fletor aumenta conforme a secção diminui, o efeito da variação da secção é desfavorável.
VEd Vtd = Ft sin αt =
z cotθ 2
sin α =
z
500 × 2,5
sin 30 = 312,5 kN
2
VRd,s = 929,1 – 312,5 = 616,6 kN VRd = min (635,0 ; 616,6) = 616,6 kN ≥ 500 kN OK
CAPÍTULO 5
apoio é de 0,2 × 1,0 e a meio vão é de 0,2 × 0,55. A armadura longitudinal utilizada é de 8,04 cm2 na face inferior e de
Armadura transversal do banzo, Asf Armadura transversal da alma, Asw
Figura 104. Armaduras transversais de uma viga em T.
ESFORÇO TRANSVERSO
Banzo comprimido Fbanzo
Fbanzo
Fc Tirantes
Figura 105. Passagem das forças de compressão dos banzos para a alma.
Essa armadura é dimensionada considerando a tensão de corte que existe na superfície de ligação do banzo à alma, ver Figura 106. Devido ao esforço transverso existente, há uma variação de momento ao longo do elemento. Essa diferença de momento fletor vai originar diferentes esforços normais. Se forem consideradas duas secções a uma distância Δx. Isolando uma das abas do banzo é possível determinar a variação de esforço normal nessa aba ao longo do comprimento Δx. A tensão tangencial é obtida dividindo o acréscimo de esforço normal na aba pela área da superfície de contacto da aba do banzo com a alma. A tensão de corte entre a aba do banzo e a alma, νEd , é dada por (ver Figura 106): (154) Em que: hf espessura do banzo na ligação com a alma; Δx comprimento considerado; o comprimento considerado não deverá ser superior a metade da distância entre as secções de momento nulo e máximo; no caso de ações pontuais, o comprimento não deverá exceder a distância entre pontos de aplicação das cargas; variação do esforço normal numa das abas do banzo ao longo do comprimento Δx. ΔFd
CAPÍTULO 5
155
M
â&#x2030;¤ 6d
l1â&#x2030;¤l2
u1
l1>l2
2d l2
l1l 2
ESTRUTURAS DE BETĂ&#x192;O
164
ESTADOS LIMITES Ă&#x161;LTIMOS
Figura 113. PerĂmetro de controlo junto de uma abertura.
6.1.1.2. CapitĂŠis Os capitĂŠis sĂŁo zonas junto aos pilares em que a laje tem uma maior espessura. Este aumento de espessura ĂŠ necessĂĄrio sempre que a espessura da laje nĂŁo seja suďŹ ciente para veriďŹ car o punçoamento na face do pilar, ou seja, quando vEd > vRd,Max. Os capitĂŠis contribuem tambĂŠm para a redução da deformabilidade das lajes. Normalmente recorre-se Ă utilização de capitĂŠis no caso de lajes de maior vĂŁo ou muito carregadas, tais como lajes de edifĂcios industriais. No caso de lajes sobre capitĂŠis em que lH < 2hH (Figura 114), a veriďŹ cação das tensĂľes de punçoamento deve ser realizada na secção de controlo exterior ao capitel. Para capitĂŠis circulares, a distância desta secção a partir do centro de gravidade do pilar, rcont, pode ser considerada igual a: rcont
2d lH 0,5c
(162)
Em que: lH distância da face do pilar à face do capitel; c diâmetro do pilar circular. Para pilar retangular com capitel retangular, a distância, rcont, Ê dada por:
rcont min 2d 0,56 l1l2 ;2d 0,69 l1 Em que: l1 = c1 + 2lH1 ; l2 = c2 + 2lH2 ; c1, c2 correspondem Ă dimensĂŁo do pilar nas direçþes paralela e perpendicular Ă excentricidade da carga (Figura 117); Sendo l1 â&#x2030;¤ l2.
(163)
A–
B–
–A
Planta
Corte A-A
–B
Planta
a)
Corte B-B
b)
Figura 125. Perfis metálicos: a) Secção “I”; b) Secção “U”.
Na verificação do punçoamento nas sapatas de pilares é possível reduzir o valor da carga atuante, VEd, tendo em consideração o efeito favorável da pressão exercida pelo terreno de fundação. Nestes casos, a verificação do punçoamento é realizada a uma distância r, menor do que 2d (ver Figura 126). Devem ser verificados diversos perímetros críticos, desde a face do pilar até ao menor valor entre a distância à face da sapata ou 2d.
178
ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS
6.5. Verificação para sapatas de pilares
ESTRUTURAS DE BETÃO
V Ed r
Perímetro de controlo
σ solo ΔV Ed
Figura 126. Verificação do punçoamento em sapatas.
Nas sapatas, não é corrente colocar armadura de punçoamento. Não existindo condicionamentos, é normalmente mais económico aumentar a altura da sapata. A verificação do punçoamento é realizada considerando a tensão atuante de punçoamento, vEd,red , e a tensão resistente de punçoamento sem armadura, vRd , em diversos perímetros de controlo. O valor do esforço atuante de punçoamento é dado por: VEd ,red
VEd 'VEd
(180)
Figura 129. Torção de equilíbrio.
ESTRUTURAS DE BETÃO
186
ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS
tal como no exemplo anterior, é transmitido à barra BC como momento torsor, T2= M3. No entanto, libertando as condições de compatibilidade, ou seja, realizando uma redistribuição de momentos na barra AB, é possível anular o momento negativo no ponto B, aumentando o momento positivo a meio vão: M2 passa a M4. Dessa forma, na barra BC deixa de existir momento torsor. Na realidade, esta redistribuição acontece ao haver fissuração por torção da barra BC, reduzindo a sua rigidez de torção e, assim, reduzindo ou mesmo anulando o encastramento da barra AB no ponto B. Neste tipo de torção é possível realizar a redistribuição de esforços, anulando os esforços de torção, sem perda de estabilidade da estrutura. Esta redistribuição nunca será possível em estruturas isostáticas. Apesar de não haver necessidade de dimensionar a estrutura para a torsão, é necessário colocar armadura mínima longitudinal e transversal para controlar a fissuração.
Figura 130. Torção de compatibilidade.
2ναcwfcd Aktef,i
TRd,max =
(189)
tanθ + cotθ
ν é definido na equação (142); αcw é 1 para secções não pré-esforçadas; cotθ inclinação das bielas comprimidas; tal como para o esforço transverso: 1,0 ≤ cotθ ≤ 2,5 tem de ter o mesmo valor em TRd,max e VRd,max VRd,max valor de cálculo do esforço transverso resistente máximo, de acordo com a equação (141). Em secções cheias, a largura total da alma poderá ser considerada na determinação de VRd,max.
EXEMPLO 7.3: Para a secção do exercício 7.1 determine a cot θ máxima que pode usar por forma a não haver esmagamento das bielas de compressão. Para cot θ = 2,5:
2 × 0,552 × 1,0 ×
20 × 103
× 3,24 × 0,2
1,5
TRd,max =
= 3284 kN.m
2,5 + 1/2,5 1 × 0,4 × (0,9 × 1,9) × 0,552 ×
1500
+
20 × 103 1,5
VRd,max =
3284
TORÇÃO
= 0,552
250
= 1736 kN
2,5 + 1/2,5 1200
= 1,15 ≥ 1
KO
1736
Para cot θ = 2,0: VRd,max = 2013 kN TRd,max = 3812 kNm 1500 3812
+
1200
= 0,99
193
20
1–
OK
2013
7.3.3. Armadura longitudinal de torção A torção que origina as fissuras helicoidais apresentadas na Figura 133 resulta na necessidade de colocar não só armaduras transversais, mas também uma armadura longitudinal. Caso seja necessário colocar armadura longitudinal, essa armadura deverá ser distribuída em todo o perímetro da secção. Para secções pequenas, a armadura longitudinal poderá ser concentrada nos vértices.
CAPÍTULO 7
ν = 0,6 ×
O comportamento idealizado para o cálculo da deformação numa peça de betão armado é, de acordo com estas hipóteses, representado pela reta que passa na origem e no ponto correspondente à combinação característica de ações. Assim, os valores de σs, M ou N a utilizar na equação (240) devem ser calculados com a combinação característica de ações. Na Figura 162 apresenta-se um fluxograma para o cálculo simplificado de deformações em vigas de betão armado, tendo em consideração as hipóteses anteriores. Quadro 47. Valores do coeficiente λ para vigas com dois apoios. Carregamento
M
M
ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO
M
aL
M
P
0,125
3 – 4a 2 48(1 – a)
M = a(1 – a) PL
L
a = 0,5
λ = 1/12
M M
0,0625
L aL
P P aL 0,125 –
252 ESTRUTURAS DE BETÃO
λ
Diagrama de momentos
M = 0, 5 aPL
L
a2 6
p 0,104
L
M = pL 2 / 8
L
M = pL 2 / 15,6
p 0,102
aL
p
aL 2 2
M=
L p
pL2 (3–4a 2) 24
Mb
Ma
1 ( 5 – 4a ) 80 3 – 4a 2
0,104(1 – 0,1β) β=
L
Mc P
Mb
Ma
0,083(1 – 0,25β) β=
L
Mc
Ma + Mb Mc
Ma + Mb Mc
Anexo A Armaduras para betão armado
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
6 0.28 0.57 0.85 1.13 1.41 1.70 1.98 2.26 2.54 2.83 3.11 3.39 3.68 3.96 4.24 4.52 4.81 5.09 5.37 5.65
8 0.50 1.01 1.51 2.01 2.51 3.02 3.52 4.02 4.52 5.03 5.53 6.03 6.53 7.04 7.54 8.04 8.55 9.05 9.55 10.05
10 0.79 1.57 2.36 3.14 3.93 4.71 5.50 6.28 7.07 7.85 8.64 9.42 10.21 11.00 11.78 12.57 13.35 14.14 14.92 15.71
12 1.13 2.26 3.39 4.52 5.65 6.79 7.92 9.05 10.18 11.31 12.44 13.57 14.70 15.83 16.96 18.10 19.23 20.36 21.49 22.62
Diâmetro [mm] 16 20 2.01 3.14 4.02 6.28 6.03 9.42 8.04 12.57 10.05 15.71 12.06 18.85 14.07 21.99 16.08 25.13 18.10 28.27 20.11 31.42 22.12 34.56 24.13 37.70 26.14 40.84 28.15 43.98 30.16 47.12 32.17 50.27 34.18 53.41 36.19 56.55 38.20 59.69 40.21 62.83
25 4.91 9.82 14.73 19.63 24.54 29.45 34.36 39.27 44.18 49.09 54.00 58.90 63.81 68.72 73.63 78.54 83.45 88.36 93.27 98.17
32 8.04 16.08 24.13 32.17 40.21 48.25 56.30 64.34 72.38 80.42 88.47 96.51 104.55 112.59 120.64 128.68 136.72 144.76 152.81 160.85
40 12.57 25.13 37.70 50.27 62.83 75.40 87.96 100.53 113.10 125.66 138.23 150.80 163.36 175.93 188.50 201.06 213.63 226.19 238.76 251.33
Quadro A.2. Áreas de varões para betão armado (cm2/m).
Espaçamento [mm] 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500
Diâmetro [mm] 6 11.3 5.7 3.8 2.8 2.3 1.9 1.6 1.4 1.3 1.1 1.0 0.9 0.9 0.8 0.8 0.7 0.7 0.6 0.6 0.6
8 20.1 10.1 6.7 5.0 4.0 3.4 2.9 2.5 2.2 2.0 1.8 1.7 1.5 1.4 1.3 1.3 1.2 1.1 1.1 1.0
10 31.4 15.7 10.5 7.9 6.3 5.2 4.5 3.9 3.5 3.1 2.9 2.6 2.4 2.2 2.1 2.0 1.8 1.7 1.7 1.6
12
16
20
25
32
40
22.6 15.1 11.3 9.0 7.5 6.5 5.7 5.0 4.5 4.1 3.8 3.5 3.2 3.0 2.8 2.7 2.5 2.4 2.3
40.2 26.8 20.1 16.1 13.4 11.5 10.1 8.9 8.0 7.3 6.7 6.2 5.7 5.4 5.0 4.7 4.5 4.2 4.0
62.8 41.9 31.4 25.1 20.9 18.0 15.7 14.0 12.6 11.4 10.5 9.7 9.0 8.4 7.9 7.4 7.0 6.6 6.3
98.2 65.4 49.1 39.3 32.7 28.0 24.5 21.8 19.6 17.8 16.4 15.1 14.0 13.1 12.3 11.5 10.9 10.3 9.8
107.2 80.4 64.3 53.6 46.0 40.2 35.7 32.2 29.2 26.8 24.7 23.0 21.4 20.1 18.9 17.9 16.9 16.1
125.7 100.5 83.8 71.8 62.8 55.9 50.3 45.7 41.9 38.7 35.9 33.5 31.4 29.6 27.9 26.5 25.1
265
N.o varões
ANEXOS
Quadro A.1. Áreas de varões para betão armado (cm2).
Anexo C Ábacos de dimensionamento de secções retangulares em flexão composta μ=
Asf yd bhfc
ν=
ωc =
NEd bhfc Ascf yd bhfc
α=
β=
x h Asc As
=
c h
fck ≤ 50 f yk = 400 = 0,1
fc = ηfcd
β = 0,5
ANEXOS
ω=
MEd bh2fc
271
x/h=2,0
x/h=1,0
ν
w=0,0
x/h=0,10
μ
Estruturas de betão BASES DE CÁLCULO Paulo Barreto Cachim Miguel Monteiro Morais Também disponível em formato e-book
Sobre o livro Nos últimos anos a regulamentação de estruturas foi uniformizada na Europa com a introdução dos Eurocódigos Estruturais. O Eurocódigo 2, que se refere às estruturas de betão armado e pré-esforçado, tem vindo a ser progressivamente mais utilizado na prática corrente de projeto. O livro, que apresenta as bases de dimensionamento de estruturas de betão de acordo com o Eurocódigo 2, começa por apresentar as regras gerais de verificação da segurança em estruturas. Seguidamente são apresentadas as propriedades dos materiais betão e aço, bem como a sua interação, incluindo questões relacionadas com a durabilidade e amarração de varões. Apresenta depois as regras de dimensionamento em estado limite último de elementos de betão armado para o esforço axial, de flexão, esforço transverso, punçoamento e torção. Finalmente aborda o dimensionamento de elementos de betão para estados limites de utilização (limitação de tensões, fendilhação e deformação), que são cada vez mais condicionantes para uma construção mais durável e sustentável.
Sobre os autores Paulo Barreto Cachim Nasceu em Ílhavo em 1968. Licenciou-se em Engenharia Civil em 1991, na Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto (FEUP). Realizou provas de Mestrado em Estruturas dois anos mais tarde, em 1993, tendo concluído o Doutoramento em Engenharia Civil no ano de 2000, também na FEUP. Recebeu o Prémio Eng.o António de Almeida em 1991, que distingue os alunos que concluíram a sua licenciatura com a classificação mais elevada, igual ou superior a 16 valores. Atualmente é Professor Associado do Departamento de Engenharia Civil da Universidade de Aveiro, onde é Diretor do Departamento de Engenharia Civil e leciona disciplinas na área das estruturas desde 1997. Entre 1993 e 1997 lecionou no Departamento de Engenharia Civil da Universidade do Minho disciplinas da área curricular de estruturas. É membro Sénior e Especialista em Estruturas pela Ordem dos Engenheiros. É autor e coautor de diversos livros e de artigos científicos publicados em revistas científicas internacionais, bem como de várias comunicações e apresentações em congressos da especialidade. Miguel Monteiro de Morais Nasceu em Moçambique em 1973. Licenciou-se em Engenharia Civil em 1996 na Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto (FEUP). Concluiu o doutoramento na Universidade de Cambridge em 2007. Atualmente é Professor Auxiliar do Departamento de Engenharia Civil da Universidade de Aveiro, onde leciona disciplinas na área das estruturas. É autor e coautor de várias comunicações e artigos científicos apresentados em congressos e publicados em revistas técnico-científicas e da especialidade.
ISBN: 978-989-723-040-0
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