Método de Elementos Finitos - Ferramentas para Análise Estrutural

Prefácio

Este livro tem como objetivo principal servir de apoio ao estudo do Método de Elementos Finitos (MEF) na sua vertente de cálculo estrutural. O MEF é uma técnica numérica de alguma complexidade no que concerne à sua formulação, e cujas aplicações e abrangência foram sendo alargadas desde há algumas décadas a vários domínios da engenharia. Não se pretende estudar exaustivamente os fundamentos teóricos do MEF, mas fornecer os princípios teóricos básicos para a compreensão e aplicação do método a problemas estruturais. Este livro compreende as seguintes matérias: ¬¬ Introdução ao Método de Elementos Finitos, ¬¬ Técnica do Método de Elementos Finitos, ¬¬ Elementos unidimensionais: • Elemento de mola, • Elemento de barra, • Elemento de viga, • Elemento de estrutura, ¬¬ Teoria básica da elasticidade, ¬¬ Elementos bidimensionais: • Elemento triangular, • Elemento quadrangular, ¬¬ Elementos tridimensionais: • Elemento tetraedro, ¬¬ Elementos axisimétricos: • Elemento toroidal, ¬¬ Elementos de placa: • Elemento quadrangular, ¬¬ Técnicas de modelação por software.

Este livro privilegia uma visão de engenharia, ou seja, apresenta apenas os conceitos matemáticos mínimos para poder estabelecer as bases que permitam a compreensão do MEF e para permitir a resolução de problemas estruturais. Apesar deste facto, pressupõe-se que o leitor tem conhecimentos prévios elementares nas áreas do Cálculo Diferencial e Integral, Álgebra Matricial, Estática e Mecânica dos Materiais. O autor disponibiliza o seu contacto de correio eletrónico (raulcampilho@gmail.com) para qualquer dúvida ou sugestão.

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Índice

1 Introdução ao Método de Elementos Finitos

1

1.1 História do MEF 1.2 Princípio de funcionamento do MEF 1.3 Comparação da aproximação do MEF com a solução exata 1.4 Aplicações do MEF

1 2 5 8

2 Técnica do Método de Elementos Finitos

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2.1 Pré-processamento 2.2 Obtenção da solução 2.3 Pós-processamento

13 16 17

3 Elementos unidimensionais

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3.1 Elemento de mola 3.2 Elemento de barra bidimensional de 2 nós 3.2.1 Matriz de rigidez do elemento – método direto 3.2.2 Matriz de rigidez do elemento – aproximação formal 3.2.3 Transformação de coordenadas 3.2.4 Estado de tensão nos elementos 3.3 Elemento de barra tridimensional de 2 nós 3.3.1 Transformação de coordenadas 3.3.2 Estado de tensão nos elementos 3.4 Elemento de viga bidimensional de 2 nós 3.4.1 Matriz de rigidez do elemento – aproximação formal 3.4.2 Carregamentos equivalentes 3.4.3 Estado de tensão nos elementos 3.5 Elemento de estrutura bidimensional de 2 nós 3.5.1 Matriz de rigidez do elemento – combinação de vários elementos 3.5.2 Transformação de coordenadas 3.5.3 Carregamentos equivalentes 3.5.4 Estado de tensão nos elementos

19 25 26 27 30 32 39 40 42 48 50 53 57 73 74 75 77 77

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Método de Elementos Finitos

3.6 Elemento de estrutura tridimensional de 2 nós 3.6.1 Matriz de combinação do elemento – combinação de vários elementos 3.6.2 Transformação de coordenadas 3.6.3 Carregamentos equivalentes 3.6.4 Estado de tensão nos elementos

86 87 90 92 92

4 Teoria básica da elasticidade

99

4.1 Elasticidade convencional 4.1.1 Relações tensão-deformação 4.1.2 Relações deformação-deslocamento 4.1.3 Equações de equilíbrio 4.2 Elasticidade para elementos axisimétricos 4.3 Elasticidade para elementos de placa

99 100 103 105 106 109

5 Elementos bidimensionais

113

5.1 Elemento triangular de deformação constante de 3 nós 5.1.1 Matriz de rigidez do elemento – aproximação formal 5.1.2 Matriz de rigidez do elemento – aproximação isoparamétrica 5.1.3 Carregamentos equivalentes 5.1.4 Estado de tensão nos elementos 5.2 Elemento quadrangular de deformação linear de 4 nós 5.2.1 Matriz de rigidez do elemento – aproximação isoparamétrica 5.2.2 Integração numérica 5.2.3 Carregamentos equivalentes 5.2.4 Estado de tensão nos elementos

113 113 117 121 122 127 127 132 135 135

6 Elementos tridimensionais

145

6.1 Elemento tetraedro de 4 nós 6.1.1 Matriz de rigidez do elemento – aproximação formal 6.1.2 Carregamentos equivalentes 6.1.3 Estado de tensão nos elementos

145 145 150 150

7 Elementos axisimétricos

155

7.1 Matriz de rigidez do elemento – aproximação formal 7.2 Carregamentos equivalentes 7.3 Estado de tensão nos elementos

156 160 161

viii

Índice

8 Elementos de placa

167

8.1 Matriz de rigidez do elemento – aproximação formal 8.2 Carregamentos equivalentes 8.3 Estado de tensão nos elementos

167 171 171

9 Técnicas de modelação por software

175

9.1 Construção dos modelos para análise 9.1.1 Criação da geometria 9.1.2 Propriedades 9.1.3 Conjunto 9.1.4 Tipo de estudo 9.1.5 Condições fronteira e esforços 9.1.6 Ligações 9.1.7 Malha de elementos finitos 9.1.8 Análise do problema 9.1.9 Visualização dos resultados

177 180 181 183 184 188 194 197 199 200

10 Bibliografia

203

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1 Introdução ao Método de Elementos Finitos

Muitos fenómenos em engenharia são governados por equações integrais ou diferenciais. Nestes problemas, as variáveis de campo devem satisfazer uma ou mais equações de equilíbrio em todo o seu domínio e satisfazer restrições específicas em certas fronteiras — as condições fronteira (Hutton 2004). Como tal, são denominados de problemas de campo ou problemas de valores fronteira. A resolução destes problemas pela solução exata das equações diferenciais apenas é possível para geometrias muito simples que raramente têm relevância no mundo real, onde os problemas a analisar são muito mais complexos. O MEF permite uma estimativa numérica das equações constitutivas integrais ou diferenciais que se estabelecem para a estrutura ou para os elementos da estrutura individualmente, pelo estabelecimento de equações algébricas que retornam soluções aproximadas das variáveis de campo para um número discreto de pontos do domínio — os nós dos elementos finitos. Adicionalmente, consideram-se leis de variação pré-estabelecidas das variáveis de campo no interior dos elementos finitos, dadas pelas chamadas funções de interpolação ou funções de forma. A formulação do MEF resulta assim num sistema de equações a serem resolvidas em detrimento das equações integrais ou diferenciais originais.

O processo de divisão de um domínio num sistema equivalente de domínios de dimensão inferior — os elementos finitos — interconectados por nós comuns é denominado de discretização. O MEF permite a obtenção de soluções numéricas de problemas de engenharia como análise de tensões, temperaturas, escoamento de fluidos e aerodinâmica, eletromagnética e eletrónica, entre outros.

1.1 História do MEF A utilização de métodos aproximados para resolver equações diferenciais através de funções de interpolação (inicialmente denominadas de funções de tentativa) foi introduzida por Rayleigh (1870), Ritz (1909) e Galerkin (1915). Estas soluções, quando comparadas com o MEF atual, careciam da necessidade das funções de interpolação serem válidas na totalidade do domínio do problema. Apesar de o Método de Galerkin já fornecer bases sólidas para o MEF, foi com o trabalho de Courant (1943) que o MEF teve o seu início pela utilização de funções descontínuas em subdomínios triangulares. No final dos anos 40, engenheiros aeronáuticos devolveram os métodos matriciais de análise de esforços, conhecidos de forma geral como Método das Flexibilidades. Estes trabalhos deveram-se à invenção do motor a jato e necessidade de análises mais sofisticadas das fuselagens de aviões, sujeitas a esforços acrescidos e acelerações superiores às observadas até à data. Por esta técnica, são conhecidos os deslocamentos, enquanto as forças são as incógnitas. O MEF, na sua forma mais comum, corresponde ao Método dos Deslocamentos, no qual as incógnitas são os deslocamentos (análise estrutural) e as solicitações são conhecidas. Noutros tipos de análises as variáveis de campo podem ser temperaturas, velocidades de fluido, entre outras. O termo Elemento Finito foi inicialmente utilizado por Clough (1960) no contexto de uma análise estrutural bidimensional. Durante as décadas de 60 e 70 o âmbito do MEF foi alargado a aplicações como a flexão de placas e cascas, reservatórios de pressão e problemas elásticos tridimensionais (Melosh 1961,

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Método de Elementos Finitos

Grafton e Strome 1963, Melosh 1963, Wilson 1965, Gallagher 1969) e problemas de escoamento de fluidos e transferência de calor (Wilson e Nickell 1966, Martin 1968). A aplicação do MEF foi também rapidamente estendida para problemas de grandes deslocamentos e análises dinâmicas (Turner et al. 1960, Archer 1965). Para uma informação mais detalhada sobre a história do MEF, pode ser consultada a obra de Noor (1991).

O MEF é uma técnica exigente em termos de cálculo, pois envolve operações aritméticas sobre matrizes de grandes dimensões. Nos primórdios do MEF, estes programas eram corridos em computadores mainframe, que correspondiam ao topo da tecnologia da época. Durante a década de 60 foi desenvolvido o código NastranTM, que foi o primeiro software utilizado em grande escala, capaz de análises com centenas de milhar de graus de liberdade. Muitos outros códigos foram desenvolvidos desde então, como o Ansys®, Autodesk® Algor ou o Abaqus®. O uso do MEF rapidamente se expandiu nas décadas seguintes, devido principalmente ao aumento exponencial das capacidades de processamento dos computadores. Atualmente, muitos destes códigos podem ser utilizados em computadores pessoais, permitindo realizar análises estáticas, dinâmicas, de escoamento de fluidos, eletromagnetismo, resposta sísmica, entre outras. A figura seguinte mostra a evolução da capacidade dos computadores desde o primeiro computador eletrónico construído, o ENIAC (1945). A velocidade é medida em megaflops, ou seja, milhões de operações de ponto flutuante por segundo. O Control Data 6600 (1966), o computador mais potente do seu tempo, conseguia resolver um problema com 10000 elementos em várias horas. Hoje em dia, qualquer computador pessoal resolve este problema em poucos minutos.

Figura 1

1.2 Princípio de funcionamento do MEF Considere-se um volume de material com propriedades físicas conhecidas. O volume representa o domínio e ϕ(x,y) a variável de campo a ser determinada em todos os pontos P(x,y), de forma a que uma lei ou conjunto de leis constitutivas sejam satisfeitas em cada ponto. Isto implica uma solução matemática exata sob a forma de uma ou mais expressões algébricas que dependem apenas das variáveis independentes do problema a analisar, como a geometria ou propriedades materiais (closed-form solution). Como este tipo de solução é quase sempre impossível de obter, usam-se soluções aproximadas baseadas em técnicas numéricas de resolução tipicamente

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Método de Elementos Finitos

computacional. Considere-se um elemento finito triangular que engloba um subdomínio de tamanho finito do domínio em causa.

(a)

(b)

(c) Figura 2

Os vértices do elemento triangular são designados por nós. Um nó é um ponto do domínio no qual a/as variáveis de campo vão ser calculadas explicitamente pelo MEF. Um nó exterior encontra-se na fronteira do elemento e pode ser usado para ligar o elemento a outro elemento. Um nó interior encontra-se no interior do elemento e não pode ser ligado a outro elemento. Como se pode observar, o elemento triangular apresentado tem três nós exteriores. Coloca-se então a seguinte questão: Se os valores das variáveis de campo são obtidos explicitamente apenas nos nós, como obter as distribuições nos restantes pontos de um elemento?

A resposta representa o grande princípio do MEF: para um elemento, os valores das variáveis de campo obtidos nos nós são usados para aproximar as variáveis nos pontos não nodais por intermédio de funções de interpolação. Para o triângulo em causa: (1) ϕ1, ϕ2 e ϕ3 são os valores das variáveis de campo nos três nós e N1, N2 e N3 são as funções de interpolação. No MEF o objetivo inicial consiste na determinação das variáveis de campo nos nós dos elementos, pela resolução do sistema de equações global. As funções de interpolação são posteriormente usadas para estimar as variáveis de campo nos restantes pontos do domínio. Estas funções são usualmente polinomiais, construídas para satisfazer condições específicas nos nós exteriores.

Caso o domínio seja um corpo bidimensional, as variáveis de campo ϕ são os deslocamentos segundo direções ortogonais ui e vi (i=1,2, ..., número de nós). Um elemento finito triangular terá 6 graus de liberdade (3 nós × 2 variáveis nodais). Nas ligações nodais, o valor das variáveis de campo é igual para os nós de cada elemento ligado a esse ponto (este princípio também é válido para as fronteiras entre elementos). Esta característica evita vazios no domínio, que seriam fisicamente inaceitáveis (num problema estrutural representariam a separação de material). No entanto, não há usualmente continuidade nas derivadas das variáveis de campo.

Por exemplo, em problemas estruturais, a deformação (definida em termos de primeira derivada da variável de campo deslocamento), não é contínua nas fronteiras entre elementos (Fish e Belytschko 2007).

3

Método de Elementos Finitos

resultados são sempre a resposta aos dados de entrada do problema e, caso estes não estejam corretamente definidos, os resultados do MEF não são representativos do problema analisado.

1.4 Aplicações do MEF São apresentadas algumas aplicações do MEF nas suas vertentes mais comuns, sabendo que estão constantemente a emergir novas formulações de elementos construídas para resolver problemas específicos. São de realçar (Fish e Belytschko 2007): ¬¬¬¬¬¬¬

Análises de tensões e térmicas de componentes mecânicos, Análise sísmica de barragens, cidades e arranha-céus, Análise de crash tests em carros, comboios ou aviões, Análise de dispersão de poluição e contaminantes ou escoamento de ar em condutas, Análise eletromagnética de ondas em antenas, transístores e transmissores de aviões e Análise de operações cirúrgicas como cirurgia plástica, reconstrução facial, correção da escoliose, entre outros.

Figura 9

A análise pelo MEF de componentes estruturais permite uma redução enorme no tempo de projeto e uma qualidade superior dos produtos. Na indústria automóvel, análises lineares podem servir para: ¬¬¬¬¬¬¬¬

Análise acústica para reduzir o ruído interior, Análise de vibrações, Melhoria do conforto, Otimização da rigidez do chassis, Aumento da vida à fadiga dos componentes da suspensão, Otimização da aerodinâmica e Projeto do motor para que as temperaturas e tensões não excedam os limites admissíveis.

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Método de Elementos Finitos

Figura 10

Análises não lineares podem ser utilizadas em crash tests e projeto de estruturas deformáveis, usando modelos dos veículos e ocupantes. Num avião é imperativo que o estado de tensão nos componentes, derivado de uma multiplicidade de esforços, não leve à rotura catastrófica ou por fadiga. Antes da utilização do MEF, esta análise era baseada num processo evolutivo (criação de uma estrutura com base numa já existente), pois a realização de testes para todas as solicitações possíveis não é viável.

(a)

(b) Figura 11

Problemas ambientais também podem ser analisados pelo MEF: a figura ao lado mostra uma simulação por MEF da dispersão de um agente químico na cidade norte-americana de Atlanta. A modelação inclui a topografia complexa da cidade, que é descrita em grande detalhe. Uma análise semelhante pode ser conduzida para simular a dispersão de drogas no corpo humano. Uma análise por MEF de dinâmica de fluidos permite a simulação do fluxo de ar de um carro em movimento e respetiva previsão do coeficiente aerodinâmico (Cx).

Figura 12

9

2 Técnica do Método de Elementos Finitos

O objetivo principal de um problema estrutural é o cálculo das tensões e deformações na estrutura, que se encontra em equilíbrio sob ação de um sistema de forças. Já foram referidas duas técnicas diretas do MEF, nomeadamente o Método das Flexibilidades e o Método dos Deslocamentos. Neste âmbito, o Método dos Deslocamentos é uma das formulações mais difundidas para a resolução de problemas estruturais, em que se toma os deslocamentos (em sentido lato) como as variáveis de campo desconhecidas (Bhavikatti 2005, Zienkiewicz et al. 2005). Por este método, inicialmente são garantidas as condições de compatibilidade para que elementos ligados em nós comuns se mantenham ligados após a solicitação imposta. Posteriormente, são definidas equações constitutivas expressas em função dos deslocamentos nodais usando as equações de equilíbrio para o problema em causa e uma lei para relacionar as forças com os deslocamentos. Devido à maior simplicidade do Método dos Deslocamentos, âmbito alargado de aplicação, formulação mais simples (que resulta num esforço computacional mais reduzido) e implementação generalizada nos softwares de MEF (Kardestuncer 1974), apenas se irá abordar esta formulação.

Para além dos métodos enunciados, também podem ser utilizados Métodos Variacionais para estabelecimento das equações constitutivas de problemas estruturais ou não estruturais, através de diversas abordagens. Um dos Métodos Variacionais mais difundidos pela sua simplicidade é o Teorema da Energia Potencial Mínima, que pode ser aplicado a materiais com comportamento elástico (Chandrupatla e Belegundu 1997). Este teorema postula que a energia potencial de um corpo elástico é dada pela soma da energia de deformação com o potencial de trabalho: (5) Em função do tipo de problema em causa, são definidas estas quantidades e integradas para a totalidade do domínio. O princípio fundamental do teorema diz então que “para sistemas conservativos, em que o potencial é independente do caminho tomado, de todas as soluções possíveis para as variáveis de campo em resposta a uma dada solicitação, o equilíbrio corresponde à solução de energia potencial total mínima”. Como tal, o sistema de equações algébricas do problema é construído fazendo: (6)

Desta forma, não é necessária a utilização de diagramas de corpo livre para a derivação das expressões, obtendo-se de forma simples uma expressão por cada variável de campo do sistema. Ainda no âmbito dos Métodos Variacionais pode-se referir o Princípio dos Trabalhos Virtuais, aplicável para materiais com comportamento

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Método de Elementos Finitos

linear ou não linear em análises estáticas ou dinâmicas, neste último caso pela combinação com o Princípio D’Alembert (Oden e Ripperger 1981). O Princípio dos Trabalhos Virtuais diz então que “se um corpo deformável em equilíbrio é sujeito a um conjunto de deslocamentos virtuais (imaginários) associados com uma deformação compatível do corpo, então o trabalho virtual das forças externas aplicadas no corpo é idêntico à energia de deformação virtual das tensões internas desenvolvidas”. Entende-se por deformação compatível aquela que satisfaz as condições fronteira e que garante a ausência de vazios ou sobreposições de material no corpo. Aplicando-se este princípio a um elemento ter-se-ia então: (7) onde ∂Ue representa a energia de deformação virtual devido às tensões internas e ∂We o trabalho virtual realizado pelas forças externas hipoteticamente atuando no elemento. Através do desenvolvimento de cada uma destas quantidades e do estabelecimento de funções das variáveis de campo para a generalidade do elemento a partir das funções de interpolação e dos valores das variáveis de campo nos nós, é possível definir um sistema de equações algébricas para o problema.

Outros tipos de problemas, mais especificamente quando não é possível estabelecer um princípio variacional, podem ser resolvidos por Métodos de Resíduos Ponderados, ainda no âmbito do MEF (Finlayson 1972, Zienkiewicz 1977, Cook et al. 2002). Existem algumas variantes destes métodos, nomeadamente o Método de Galerkin, o Método da Colocação, o Método dos Menores Quadrados e o Método do Subdomínio. Estes métodos são aplicáveis quando se encontram disponíveis as expressões diferenciais e condições fronteira. Como exemplo, nesta descrição é apenas abordado o Método de Galerkin. Neste método, aliás como na generalidade dos Métodos de Resíduos Ponderados, utiliza-se uma função de tentativa ou de aproximação para estimar a variável independente (por exemplo deslocamento ou temperatura) na equação diferencial que rege o problema. Como esta função de tentativa não irá em princípio satisfazer a equação diferencial, a sua substituição na referida equação irá resultar num resíduo, R, correspondente ao domínio do problema, igual a: (8) Nos Métodos de Resíduos Ponderados, estabelece-se que um valor ponderado do resíduo seja mínimo na totalidade do domínio. As funções de ponderação permitem ao integral de ponderação ser igual a 0. Se for definida a função de ponderação como W, o integral dos resíduos ponderados pode ser definido como: (9) Pela aproximação de Galerkin, escolhe-se a função de ponderação como um conjunto de Ni funções de interpolação para a variável independente da expressão diferencial, o que regra geral faz com o que o resíduo R seja diferente de 0. Assim, para cada valor de i tem-se que: (10)

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Técnica do Método de Elementos Finitos

A expressão (10) resulta em n equações, aplicando-se genericamente a pontos no domínio sem referência a condições fronteira como cargas aplicadas ou deslocamentos. Para a obtenção das condições fronteira, integrase por partes a expressão (10), o que resulta em integrais aplicáveis ao domínio e à sua fronteira.

Neste texto será seguido o Método dos Deslocamentos. Independentemente do tipo de análise, a metodologia de formulação da análise de MEF é idêntica, sendo constituída por 3 etapas (Logan 2007): o pré-processamento, a obtenção da solução e o pós-processamento. Como parte importante do pré-processamento destacase a formulação do elemento finito.

2.1 Pré-processamento No pré-processamento o domínio é dividido numa malha de elementos finitos, devendo ser escolhido o tipo de elemento mais apropriado para a modelação fiel do problema. A malha deve ser suficientemente refinada para garantir a precisão dos resultados, mas também sem comprometer demasiado o tempo necessário à obtenção de uma solução (Cook 1995). É possível a gradação do tamanho dos elementos, com elementos de tamanho inferior ou de grau superior em zonas de mudança abrupta das variáveis de campo (zonas de modificações bruscas na geometria ou próximo de cargas pontuais para problemas estruturais), enquanto se pode usar uma malha mais grosseira em zonas cujas variáveis de campo são aproximadamente constantes (Cook 1995). A escolha do tipo de elementos numa análise pelo MEF depende da disposição física do domínio a modelar e do grau de precisão pretendido para os resultados. Também a escolha entre análises a 1, 2 ou 3 dimensões deve ser considerada nesta altura. As figuras seguintes descrevem alguns dos elementos mais comummente utilizados em aplicações estruturais (Rao 2010).

Figura 15

13

3 Elementos Unidimensionais

Muitas estruturas usadas na prática são constituídas por um conjunto de elementos esbeltos com secção uniforme das mais variadas formas, como por exemplo edifícios, armazéns industriais, pontes rodoviárias ou ferroviárias, postes de eletricidade ou guindastes. No caso de estes elementos isolados estarem preparados para suportar apenas esforços axiais, devido à ligação entre elementos que não suporte a transmissão de momentos fletores ou torsores, está-se na presença de estruturas modeláveis pelo MEF por elementos de barra, que estão restritos a esforços puramente de tração ou compressão. Para vigas dispostas na horizontal, sujeitas a esforços normais ao seu eixo, são utilizados os denominados elementos de viga, que permitem a contabilização de momentos fletores e esforços cortantes. O elemento de estrutura tem origem na combinação de um elemento de barra com um elemento de viga, o que permite tem em conta a totalidade de esforços referidos para estes elementos (Bhatti 2005). Os elementos de barra, inicialmente formulados para 1 dimensão, podem ser sujeitos a transformação de coordenadas, para 2 ou 3 dimensões (estruturas planas ou espaciais, respetivamente). Os elementos de estrutura podem sofrem os mesmos tipos de transformação, sendo que no caso de 3 dimensões os elementos suportam momentos fletores segundo 2 eixos, momento torsor, esforço normal e esforço cortante segundo 2 eixos. Todos os elementos finitos referidos são descritos nesta Secção, cujo início detalha os elementos de mola, para uma descrição facilitada dos princípios gerais de resolução de um problema estrutural pelo MEF, e também para permitir a modelação de suportes elásticos ou outros tipos de restrição em qualquer tipo das estruturas esbeltas referidas anteriormente.

3.1 Elemento de mola O elemento de mola unidimensional com relação linear entre a força aplicada e o deslocamento relativo entre extremidades é descrito em primeiro lugar (Liu 2003).

Figura 16

19

Método de Elementos Finitos

A relação força-deslocamento da mola é linear (ver figura em baixo) e dada por (18)

Figura 17

k=F/δ (>0) representa a força necessária para produzir um deslocamento unitário. Por equilíbrio de forças nos nós i e j obtém-se (19)

ou, na forma matricial (20)

A figura seguinte representa um sistema com duas molas.

Figura 18

Neste caso, considerando elemento 1

a força interna atuante no nó local i do elemento m (i=1,2), tem-se para o

(21)

20

Elementos Unidimensionais

e para o elemento 2 (22)

Para montagem de K é estabelecido o equilíbrio das forças nos nós 1, 2 e 3

(23)

Pode-se escrever

(24)

Na forma matricial tem-se

(25)

De realçar que F inclui na realidade as reações e forças exteriores (R+F), conforme expressão (17). Em problemas com número elevado de elementos recomenda-se um processo alternativo de montagem do sistema global que consiste na indicação, em ke, dos graus de liberdade que dizem respeito a cada elemento de ke (Rao 2010). Para os elementos 1 (esquerda) e 2 (direita) tem-se

(26)

De seguida os dois sistemas de equações obtidos são sobrepostos no sistema global tendo em conta a correspondência estabelecida

(27)

21

4 Teoria Básica da Elasticidade

A Teoria da Elasticidade lida com a análise linear de tensões e deformações, isto é, considerando uma relação linear entre os esforços aplicados e os deslocamentos na estrutura. Tanto as análises linear como não-linear têm sido alvo de estudo nos últimos 3 séculos, começando por Hooke, razão pela qual esta Teoria também é conhecida por Lei de Hooke (Fish e Belytschko 2007). A Teoria da Elasticidade como é apresentada nesta Secção é usada na maioria das análises estruturais, uma vez que sob solicitações normais de serviço as estruturas não sofrem plasticidade nem grandes deslocamentos. Esta Teoria também permite lidar com muitos tipos de fenómenos relevantes à ciência dos materiais, como a determinação de deformações e tensões na proximidade de fendas.

No entanto, nesta Secção serão apenas desenvolvidos os tópicos necessários à formulação dos elementos finitos planos ou sólidos, axisimétricos ou de placa, que são abordados nas próximas Secções, focando nas relações tensão-deformação e deformação-deslocamento (necessárias para a obtenção de ke).

4.1 Elasticidade convencional O estado de tensão σ e deformação ε num qualquer ponto de uma estrutura tridimensional pode ser definido pelas seguintes componentes (Carroll 1999) (168)

(169)

Figura 76

99

Método de Elementos Finitos

Sob determinadas condições, o estado de tensão e deformação num corpo pode ser simplificado. Como tal, uma estrutura tridimensional pode, então, ser modelada por uma análise bidimensional. Distinguem-se os casos de estado plano de tensão (EPT) e estado plano de deformação (EPD). O caso mais simples é o unidimensional.

4.1.1 Relações tensão-deformação Para materiais com comportamento linear elástico, as relações entre as tensões e deformações podem ser definidas a partir da Lei de Hooke (Chandrupatla e Belegundu 1997). Para materiais isotrópicos, as duas propriedades a considerar são o módulo de Young (E) e o coeficiente de Poisson (ν).

Caso tridimensional Considerando um cubo elementar de um sólido, a Lei de Hooke permite escrever

Figura 77

(170)

O módulo de elasticidade transversal, G, é dado por (171)

A partir de (170) é possível escrever (172)

100

Teoria Básica da Elasticidade

Substituindo (σy+σz) e assim sucessivamente nas expressões (170) obtém-se a relação entre σ e ε (173) onde D representa a matriz das propriedades do material, simétrica e de ordem 6, dada por

(174)

O procedimento de obtenção de D é apresentado em detalhe em Logan (2007).

Caso bidimensional Para a elasticidade bidimensional, as relações apresentadas podem ser simplificadas. Os problemas bidimensionais tipicamente podem ser simplificados para uma das duas seguintes formas: EPT ou EPD (Liu 2003). ¬¬ Estado plano de tensão Aplicável a corpos planos de espessura fina e constante, com carregamento no plano do corpo (plano xy).

Considera-se por aproximação que a tensão normal segundo z é nula ao longo da espessura do componente, apesar da respetiva deformação não o ser necessariamente.

Esforços aplicados e aplicações possíveis da condição de estado plano de tensão Figura 78

Observa-se σz=τyz=τzx=0 e εz≠0. Como tal, as expressões apresentadas em (170) tomam a forma

(175)

101

5 Elementos Bidimensionais

Os elementos estruturais sólidos que apresentem espessura constante podem ser analisados por elementos bidimensionais, que pressupõem à partida um valor constante de espessura. De notar que este tipo de elementos não necessita transformação de coordenadas, e cada nó apresenta à partida dois deslocamentos em direções ortogonais.

Conforme apresentado na Secção 4.1, podem ser utilizadas condições de EPT ou EPD. Estes elementos são representados como corpos geométricos no plano, cujas formas mais comuns são o triângulo e o quadrilátero, e que possuem nas formulações mais simples 1 nó em cada vértice. Cada um dos nós dos elementos bidimensionais tem dois graus de liberdade: deslocamento segundo x, u, e deslocamento segundo y, v. A formulação destes elementos é de forma geral idêntica à apresentada anteriormente, com a determinação de N, que permite o cálculo de B e, por conseguinte, ke. O procedimento a seguir após determinação de ke é também idêntico, com a montagem do sistema global de equações e determinação das incógnitas em ae, por condensação do sistema, e cálculo das variáveis derivadas.

5.1 Elemento triangular de deformação constante de 3 nós A forma triangular é a mais simples de considerar para um elemento sólido bidimensional. Para este elemento, a localização mais óbvia para os nós é nos vértices do elemento, o que conduz a um elemento com 3 nós e 6 variáveis nodais. Praticamente qualquer forma bidimensional pode ser discretizada com este tipo de elemento de forma expedita, embora os elementos não tenham necessariamente o mesmo tamanho e forma. De facto, foi devido a esta vantagem que o elemento triangular de 3 nós foi dos primeiros a serem desenvolvidos. A existência de apenas 3 nós para interpolar as variáveis de campo faz com que as funções de interpolação sejam lineares e que a formulação do elemento seja matematicamente muito simples. Por outro lado, as funções de forma lineares fazem com que as deformações, e correspondentemente as tensões, sejam constantes no interior do elemento. Esta caraterística pode trazer uma simplificação considerável ao estado de tensão da estrutura em zonas de variação abrupta de tensões, como em pontos de aplicação de cargas concentradas ou variações bruscas de geometria. Para se conseguir uma reprodução minimamente fiel do comportamento dos componentes nestas condições, é necessária a utilização de um número elevado de elementos, o que por sua leva ao aumento da dimensão dos sistemas de equações a resolver, e logicamente esforço computacional muito superior. Uma alternativa que permite a redução do número total de elementos sem prejudicar a precisão dos resultados é a utilização de elementos triangulares de ordem superior, por exemplo com 6 nós (3 nós nos vértices e 3 nós a meio das arestas do triângulo), cuja formulação pode ser consultada em Reddy (1993) ou Logan (2007).

5.1.1 Matriz de rigidez do elemento – aproximação formal Etapa 0 – O elemento triangular de deformação constante de 3 nós destina-se a resolver problemas de corpos sólidos bidimensionais com espessura, t, constante. O elemento tem arestas planas e um nó em cada vértice,

113

Método de Elementos Finitos

cujas posições são dadas em coordenadas (xi, yi). Cada nó tem deslocamentos segundo duas direções ortogonais, ui e vi (Carroll 1999). Os nós devem ser numerados em sentido anti-horário no sentido de cálculo correto da área dos elementos (Rao 2010).

Figura 86

Etapa 1 – O elemento tem forma triangular e apresenta 1 nó em cada vértice. A cada nó estão associadas as variáveis u e v, que representam os deslocamentos sobre direções ortogonais no referencial (x,y). São apresentados os vetores de variáveis nodais e forças nodais (209) Etapa 2 – Obtenção do campo de deslocamentos em função de N e ae

(210)

Os polinómios a partir dos quais são obtidas as funções de interpolação para um elemento de duas dimensões, como é o caso dos elementos triangulares, são do tipo (211) O número de coeficientes do polinómio é igual ao número de variáveis nodais disponíveis para calcular os coeficientes, sendo como tal igual a 3 (três deslocamentos) (212)

114

Elementos Bidimensionais

A expressão geral para o deslocamento u é igual a (de igual forma para o deslocamento v) (213) De acordo com a expressão anterior, definem-se os deslocamentos u dos três nós constituintes do elemento

(214)

e obtém-se assim ae em função da matriz C e do vetor α dos coeficientes de u

(215)

As funções de interpolação são obtidas por intermédio da expressão (216) e C-1 é igual a

(217)

A área do triângulo (Δ) é igual a

(218)

Como tal

(219)

(220)

115

6 Elementos Tridimensionais

Os elementos tridimensionais são os elementos finitos mais generalistas, que podem ser aplicados para a análise estrutural de componentes e estruturas sem qualquer restrição de forma, carregamentos, propriedades materiais e condições fronteira (Cook 1995). Como consequência desta generalização, é considerada a totalidade das componentes de tensão apresentadas na Secção 4.1 (isto é, as 3 componentes normais σx, σy e σz e as 3 componentes de corte τxy, τyz e τzx). De igual forma, o campo de deslocamentos é definido pelas 3 componentes no espaço, u, v e w. Os elementos tridimensionais de utilização mais comum são o tetraedro de 4 nós e o hexaedro de 8 nós (cada um destes com um nó em cada vértice), dos quais apenas o 1.° é descrito neste texto. Problemas estruturais como sejam os de flexão de vigas, EPT ou EPD, estruturas axisimétricas ou flexão de placas, podem ser considerados casos particulares de sólidos tridimensionais. No entanto, para estes casos, existem elementos finitos especificamente formulados para as particularidades de cada tipo de problema a analisar, que garantem resultados precisos ao mesmo tempo que a dimensão do problema, em termos de número total de graus de liberdade, é reduzida de forma significativa. De facto, os elementos tridimensionais são aqueles que obrigam a um maior esforço computacional e, adicionalmente, obrigariam a um maior número de elementos para garantir uma malha conforme (por exemplo, para a modelação de vigas, ter-se-ia de utilizar um elevado número de elementos para evitar a forma alongada dos mesmos). De igual forma, para permitir a modelação dos componentes como volumes sólidos, o número de elementos necessário para garantir uma precisão aceitável é normalmente bastante elevado. Como resultado, o sistema global de equações a resolver atinge uma dimensão considerável, o que pode levar à consideração de soluções alternativas à sua utilização sempre que tal seja possível.

6.1 Elemento tetraedro de 4 nós O elemento tetraedro de 4 nós é o elemento finito tridimensional mais simples em termos de formulação, mas também mais limitado no que concerne à precisão possível dos resultados, caso haja variações significativas nos campos de deformações e tensões. De facto, cada variável de campo primária é interpolada no interior do elemento pelas variáveis correspondentes nos nós, o que resulta num valor constante das deformações e tensões no interior do elemento. Mais uma vez, a utilização de elementos de ordem superior, como é o caso do hexaedro de 8 nós, conduz a uma aproximação mais fiel dos campos de deformações e tensões no interior do elemento pela consideração de variação destas quantidades com x, y e z (Rao 2010).

6.1.1 Matriz de rigidez do elemento – aproximação formal Etapa 0 – O tetraedro de 4 nós é um elemento tridimensional para análise de tensões em corpos tridimensionais. O elemento tem arestas planas e cada nó do elemento possui três coordenadas (xi, yi, zi) e deslocamentos segundo três direções ortogonais (ui, vi, wi). A numeração dos nós deve ser de tal forma que, quando visto do

145

Método de Elementos Finitos

último nó da sequência, os restantes são ordenados em sentido anti-horário (ex. 1, 2, 3, 4). Desta forma, é evitada a obtenção de volumes negativos pelo processo descrito na presente formulação (Rao 2010).

Figura 96

Etapa 1 – O elemento tem a forma de tetraedro e 1 nó em cada vértice. A cada nó estão associadas as variáveis nodais u, v e w, relativas aos deslocamentos sobre direções ortogonais no referencial (x,y,z). Os vetores de variáveis nodais e forças nodais são definidos da seguinte forma (298) Etapa 2 – Obtém-se o campo de deslocamentos em função de N e ae

(299)

O polinómio de base para obtenção de N para um elemento tridimensional é (300) Sabe-se que o número de coeficientes do polinómio deve ser igual ao número de variáveis nodais disponíveis para efetuar a interpolação. Neste caso, cada um dos 3 deslocamentos ortogonais pode ser interpolado pelos deslocamentos respetivos dos 4 nós do elemento (Rao 2010). Assim (301) Para o deslocamento u pode-se escrever (e de forma idêntica para os deslocamentos v e w) (302)

146

Elementos Tridimensionais

Pela expressão (302) podem ser estabelecidos os deslocamentos u dos quatro nós do elemento

(303)

O vetor ae é definido em função da matriz C e do vetor α dos coeficientes de P(x)

(304)

As funções de interpolação são calculadas pela expressão (305) e C-1 é igual a

(306)

As constantes de C-1 são definidas como

(307)

147

7 Elementos Axisimétricos

Os elementos axisimétricos podem ser considerados elementos bidimensionais descritos em coordenadas cilíndricas, e são utilizados na análise de estruturas em que haja simetria geométrica e de carregamento relativas ao eixo de revolução do corpo. Como exemplos de estruturas que podem ser analisadas com este tipo de elementos (ver figura), apresentam-se a análise de tensões em pavimentos sujeitos a cargas circulares distribuídas, análise de tensões de serviço ou análises térmicas em válvulas de motores de combustão interna, análise de tensões em paredes de reservatórios de pressão, entre outros (Logan 2007). Neste texto é apenas apresentado o elemento triangular toroidal de 3 nós pela aproximação formal, após definição das relações da Teoria da Elasticidade para problemas axisimétricos na Secção 4.2. Para detalhes da aproximação isoparamétrica deste elemento, pode ser consultado o livro dos autores Chandrupatla e Belegundu (1997).

(a) Cilindro sujeito a pressão interna

(b) Ajustamento com aperto entre um veio e um anel

(c) Anilha de pressão (Belleville) Figura 98

155

Método de Elementos Finitos

7.1 Matriz de rigidez do elemento – aproximação formal Etapa 0 – O triângulo axisimétrico de 3 nós simula um toroide para análise estrutural em corpos com simetria geométrica e de carregamento relativamente ao seu eixo de revolução. Estes elementos são frequentemente utilizados para idealizar estruturas axisimétricas devido à capacidade de modelação de superfícies complexas e simplicidade de utilização. Cada um dos 3 nós do elemento possui dois graus de liberdade, nas direções radial e longitudinal (ui e wi no nó i, respetivamente). O elemento possui arestas planas e a sua numeração dos nós deve ser no sentido contrário aos ponteiros do relógio (Logan 2007).

(a)

(b) Figura 99

Etapa 1 – O elemento axisimétrico a ser formulado apresenta forma triangular com 1 nó em cada 1 dos 3 vértices. A cada nó associam-se as variáveis nodais u e w, que representam os deslocamentos radial e longitudinal, respetivamente. Os vetores de variáveis nodais e forças nodais são definidos da seguinte forma (318) Etapa 2 – O campo de deslocamentos no interior de um elemento é obtido por N e ae

(319)

Define-se o polinómio de base para obtenção de N tendo em conta duas dimensões (em coordenadas cilíndricas) pela expressão que se apresenta

156

Elementos Axisimétricos

(320) A construção do polinómio deve ser tal que o número de coeficientes seja idêntico ao número de variáveis nodais disponíveis para efetuar a interpolação dos deslocamentos u e w. Para o elemento toroidal, os deslocamentos u e w podem ser definidos pelos deslocamentos nodais respetivos dos 3 nós do elemento (Rao 2010).

Assim, tem-se um polinómio com 3 termos do tipo (321) Para o deslocamento u escreve-se (de forma idêntica para o deslocamento w) (322) A expressão (322) é generalizada para os deslocamentos nodais

(323)

Definindo ae em função de C e do vetor α dos coeficientes de P(x)

(324)

As funções de interpolação dos deslocamentos são definidas pela expressão (325) e C-1 é dado por

(326)

A área do elemento triangular (Δ) é dada pelo determinante

(327)

157

8 Elementos de Placa

O elemento de placa permite a análise de estruturas de geometria plana sujeitas a esforços perpendiculares ao seu plano (ver figura), como painéis ou vigas de espessura fina, paredes, pavimentos, pontes, entre outras.

Atualmente existem diversas formulações para estes elementos, sendo que só no trabalho de Hrabok e Hrudley (1984) se encontram citados 88 tipos de elementos de placa. Nesta descrição pretende-se apenas introduzir a temática deste tipo de elementos e formulação pela aproximação formal de um elemento simples de flexão de placas (de 12 nós) baseado na Teoria das Placas Finas de Kirchhoff (Timoshenko e Krieger 1969), apesar de muitas das premissas serem comuns à Teoria das Vigas de Euler-Bernoulli (Gere 2001). Para formulações distintas, englobando elementos de forma triangular a elementos de ordem superior, podem ser consultados os trabalhos de Gallagher (1975), Hinton e Huang (1986), Zienkiewicz e Taylor (1991) e Cook et al. (2002). Para formulação isoparamétrica de elementos de placa pode ser consultado o trabalho de Bhavikatti (2005).

Figura 103

Uma placa pode ser vista como uma extensão bidimensional de uma viga em flexão simples, pois ambas suportam apenas esforços perpendiculares ao seu plano por efeitos de flexão. Apesar disto, o elemento de viga apenas suporta flexão sobre um eixo, enquanto o elemento de placa suporta momentos sobre 2 eixos e ainda um momento torsor. Para a análise de estruturas finas curvas e/ou com carregamentos no plano estão disponíveis os elementos de casca, não apresentados nesta obra (Bhavikatti 2005).

8.1 Matriz de rigidez do elemento – aproximação formal Etapa 0 – O elemento de placa de 4 nós é um elemento que permite simular placas finas e planas sujeitas a carregamentos fora do plano. Conforme a figura seguinte, em cada um dos 4 nós do elemento existem 3 graus de liberdade, a saber deslocamento perpendicular ao plano, wi, rotação em torno do eixo x, θxi ou (∂w/∂y)i, e

167

Método de Elementos Finitos

rotação em torno do eixo y, θyi ou (-∂w/∂x)i, totalizando 12 graus de liberdade para o elemento. O elemento é representado por uma superfície plana retangular e a numeração dos nós deve seguir o sentido contrário aos ponteiros do relógio (Logan 2007).

Figura 104

Etapa 1 – O elemento de placa de 12 nós tem forma retangular com 1 nó em cada vértice. A cada nó associamse as variáveis nodais wi, θxi e θyi, correspondendo pela ordem respetiva ao deslocamento perpendicular ao plano, rotação em torno do eixo x e rotação em torno do eixo y. Podem-se definir os vetores de variáveis nodais e forças nodais como se segue

(343)

onde θxi e θyi se encontram relacionadas com wi por intermédio de (344) De referir que o sinal negativo de θyi deve-se à necessidade de um deslocamento negativo wi para provocar uma rotação positiva sobre o eixo y.

Etapa 2 – É definido o campo de deslocamentos e rotações no interior de um elemento de placa por N e ae, tendo em conta as expressões (344) (345) O polinómio escolhido para a interpolação de w deve ter em conta as dimensões x e y, uma vez que o elemento de placa é bidimensional no seu plano. Assim, escreve-se

168

Elementos de Placa

(346) Deve-se ter um número de coeficientes idêntico ao número de variáveis nodais do elemento. Neste caso, cada nó do elemento tem 3 graus de liberdade e, como tal (347) Como se pode observar, a expressão (347) está completa até aos termos de ordem 3 (totalizando 10 termos), e inclui 2 termos de ordem 4 para completar os 12 termos correspondentes à totalidade dos graus de liberdade do elemento. Foram considerados os termos x3y e xy3 como sendo aqueles que garantem continuidade de deslocamentos nas fronteiras entre elementos. Apesar de esta aproximação não garantir uma solução de energia potencial mínima, nem continuidade nas rotações entre elementos, ainda assim permite obter resultados aceitáveis, conforme Logan (2007). Nesta referência pode também encontrar-se uma explicação mais detalhada deste fenómeno e suas implicações. Para o deslocamento w diz-se então que (348) Pela expressão (348) e consideração das relações (344) tem-se ainda (349)

Deve-se definir ae em função de C e do vetor α dos coeficientes de P(x) (350)

(351)

As funções de interpolação das variáveis nodais são definidas por (352) Não é apresentado neste texto o cálculo explícito de C-1. Segundo (352), N é do tipo (353)

169

9 Técnicas de Modelação por Software

Devido às grandes potencialidades de modelação numérica do MEF e grande aplicação nos diversos domínios da Engenharia para análise, projeto ou investigação, aliados ao carácter repetitivo das operações matemáticas associadas, facilmente se percebe a diversidade de softwares atualmente existentes no mercado. Destacam-se softwares como o Solidworks®, Abaqus®, Ansys®, Femap®, Inventor® ou NastranTM, que são utilizados por grandes empresas de projeto e desenvolvimento, e que regra geral fornecem versões de estudante com funcionalidades reduzidas para uso académico a custo reduzido. Outros softwares, de uso não tão corrente, incluem o Autodesk® Simulation (antigo Autodesk® Algor), GT-STRUDL®, Marc®, NisaTM, Pro/Mechanica®, SAP2000® ou Stardyne® (Logan 2007). Refere-se ainda o VisualFEA, no âmbito dos softwares de âmbito geral, que se destaca pela vertente mais didática, já que permite visualizar efeitos como a montagem da rigidez global e contribuição de cada elemento na mesma, resolução do sistema de equações, entre outros. Estes softwares apresentam de uma forma genérica as seguintes capacidades/potencialidades: ¬¬ Desenho dos componentes a modelar através de comandos de desenho paramétrico (ou importação destes em formatos aceites pelo software), ¬¬ Montagem de componentes para obtenção de uma estrutura multi-componente, ¬¬ Atribuição de propriedades materiais aos componentes com possibilidade de utilização de diferentes leis (elásticas ou plásticas), ¬¬ Definição do tipo de contacto entre componentes (rígido, com ou sem atrito) para especificação do tipo de interação entre estes no decorrer da análise, ¬¬ Atribuição de esforços concentrados, distribuídos, térmicos ou deslocamentos, ¬¬ Algoritmos de geração automática de nós e elementos (malha do MEF) e atribuição das condições fronteira, ¬¬ Escolha do tipo de problema a analisar (análise estática, dinâmica, fadiga, análise modal, entre outros), ¬¬ Diferentes teorias de deslocamentos, como pequenos e grandes deslocamentos ou encurvadura, ¬¬ Construção matemática e resolução do problema pela sua conversão num conjunto de expressões e ¬¬ Visualização dos resultados, em termos de configuração original, deformada, distribuições de tensões nos componentes em forma gráfica ou output seletivo em nós, elementos ou caminhos específicos, coeficientes de segurança e ainda valores máximos e mínimos no modelo.

Outros softwares estão especificamente vocacionados para a indústria da construção metálica/civil e estão otimizados para a análise de estruturas compostas por elementos esbeltos como vigas de aço, madeira ou betão, ou ainda tirantes articulados. Como tal, apresentam algumas características distintivas dos programas de âmbito mais geral, como possibilidade de combinação de elementos de estrutura com elementos de barra (para simulação simultânea de ligações rígidas e articuladas), compatibilização dos elementos referidos com

175

Método de Elementos Finitos

elementos de placa para simulação de lajes, paredes ou coberturas, elementos com resistência somente à tração (simulação de cabos), formulações de ordem superior dos elementos para contabilizar de forma fiel os esforços em posições intermédias dos mesmos quando sujeitos a cargas distribuídas, bibliotecas de perfis normalizados segundo várias diretivas, algoritmos para combinação de ações para aplicação de regulamentos específicos como o Eurocódigo ou o Regulamento de Segurança e Ações (RSA), cálculo dos esforços nos elementos a diferentes níveis e segundo diferentes normas, como esforço axial, flexão, encurvadura ou bambeamento, entre outros. São incluídos neste grupo de software o Multiframe, Tricalc e o RobotTM. Todos os softwares referidos podem ser utilizados em computadores de secretária, estão vocacionados para a facilidade de utilização, permitem a escolha do tipo de elementos mais adequado para uma dada aplicação e não exigem ao utilizador conhecimentos profundos acerca dos fundamentos da formulação do MEF. É no entanto importante a existência de conhecimentos mínimos para uma correta idealização e definição dos parâmetros de entrada do problema.

Igualmente crucial é a capacidade de análise dos resultados obtidos e verificação da consistência física com as solicitações impostas, de forma a despistar possíveis erros de introdução de dados.

Numa linha de análise menos automatizada, existem também disponíveis várias implementações de formulações de MEF em software de computação técnica, análise numérica e cálculo matricial e cíclico como sejam o Matlab®, MapleTM, JavaTM, Fortran® ou Mathematica®. No entanto, neste caso, as rotinas disponíveis tradicionalmente são bastante mais limitadas, focando os aspetos principais da resolução de um problema pelo MEF, como sejam o cálculo das matrizes de rigidez dos elementos, a montagem da matriz de rigidez global da estrutura e a resolução do respetivo sistema global de equações e determinação das variáveis de campo primárias (deslocamentos e eventualmente rotações no caso estrutural). A discretização do domínio a analisar é normalmente fornecida pelo utilizador ao programa na forma de vetores e matrizes que representam as coordenadas dos nós e nós respetivos a cada elemento. Estão também disponíveis (ou são razoavelmente fáceis de implementar) algoritmos de geração de malhas a partir de uma forma global do corpo a analisar, o cálculo das variáveis derivadas das primárias mais relevantes para análise (como as deformações e tensões no caso estrutural) e a sua variação no interior dos elementos por aplicação das funções de interpolação, o cálculo de coeficientes de segurança, ou ainda a visualização da deformada do corpo com representação das variáveis de interesse.

No entanto, estas implementações do MEF pecam invariavelmente pela sua especificidade a um dado tipo de análise (estruturas unidimensionais, planas, tridimensionais ou placas) e pela forma manual e pouco intuitiva de introdução dos dados de entrada. Apesar destes aspetos, são códigos de dimensão tipicamente reduzida, com custos de desenvolvimento baixos, permitem facilmente a sua alteração para formulações derivadas da original e uma compreensão profunda do problema (Logan 2007). Está também disponível no mercado uma grande quantidade de bibliografia para implementação destas rotinas nos softwares descritos, que apresentam programas detalhados para casos concretos, bem como a metodologia de implementação das mesmas para posterior adaptação a casos específicos. Em língua Portuguesa está disponível a obra de Ferreira (2010) para o MatlabTM. Em língua Inglesa podem ser consultados os livros de Ferreira (2009), Kwon e Bang (2000) e Bhatti (2005) para o MatlabTM, de Portela e Charafi (2006) para o MapleTM, de Nikishkov (2010) para o JavaTM, de Smith e Griffiths (2004) para o Fortran® ou de Bhatti (2005) para o Mathematica®.

Neste livro pretende-se, mais do que a explicação do funcionamento de um software em específico, o fornecimento das bases necessárias à correta utilização de software para resolução de um problema de MEF. Apesar de muitas das instruções serem comuns aos mais variados tipos de problemas, a presente Secção diz apenas respeito à análise estrutural. Estão também disponíveis no mercado bastantes obras dedicadas à implementação/

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Técnicas de Modelação por Software

utilização de softwares específicos de MEF, focando em grande detalhe as possibilidades de cada um, sequência de introdução da informação necessária à resolução de problemas, descrição detalhada de todos os comandos e respetivas opções, bem como tutoriais passo a passo. Referem-se a título indicativo para o Solidworks® as obras de Kurowski (2011), Steffen (2011) e Shih (2012), para o Abaqus® os livros de Bhatti (2005) e Fish e Belytschko (2007) e para o Ansys® os de Bhatti (2005) e Moaveni (2007). Apesar da cada software ter a sua sequência própria de comandos e opções, os procedimentos gerais são bastante idênticos entre softwares e, como tal, as instruções e procedimentos apresentados podem ser extrapolados sem dificuldade para diferentes softwares. Neste texto vão ser referidos o Solidworks® (versão 2012 Premium) e Abaqus® (versão 6.11), pelos seguintes motivos: ¬¬ Utilização generalizada na indústria e para efeitos de investigação, devido às grandes potencialidades e existência de versões de estudante que estão restritas somente à dimensão dos problemas a resolver, ¬¬ Existência de módulos variados como análises estáticas lineares e não lineares, dinâmicas, encurvadura, escoamento de fluidos, otimização e fadiga, que cobrem a maioria dos cenários de análise, ¬¬ Capacidade de transferência de dados entre estes softwares e outros softwares de MEF, ou ainda importação dos modelos geométricos a partir de softwares de CAD, ¬¬ Existência, especialmente o Abaqus®, de um grande número de modelos não lineares para materiais e também de ambientes integrados de trabalho, o que facilita a inserção de dados e ¬¬ Representatividade das duas filosofias principais dos softwares de MEF no que diz respeito à funcionalidade e metodologia de análise.

O Abaqus® foi lançado no mercado na década de 70 desde logo com capacidade de modelação de materiais não lineares e com um carácter de introdução de dados através de ficheiros editáveis de texto, utilizando para o efeito um conjunto de comandos que permitiam criar a malha de forma progressiva, atribuição de nós aos elementos e atribuição de propriedades, o que à partida requer bastante experiência na linguagem de programação. Outras potencialidades foram sendo desenvolvidas, como modelação de estruturas em material compósito estratificado, materiais sandwich, modelos de propagação de dano, contacto entre corpos, biblioteca de elementos para os mais diversos fins, sendo nestes aspetos ainda hoje um software imbatível. Com o lançamento de novas versões, foi introduzido um ambiente gráfico que foi sendo aprimorado para simplificação da utilização, mas mesmo assim o Abaqus® ainda está muito aquém da facilidade de utilização de softwares como o Solidworks®. O Solidworks®, por sua vez, está otimizado para a indústria de projeto, para o cálculo estrutural estático e dinâmico, térmico e aerodinâmico e para a obtenção de resultados fiáveis no espaço de tempo mais curto possível. Com o evoluir das versões disponibilizadas, foi também aumentando o leque de possibilidades para a resolução simples dos problemas mais comuns. Tem no entanto algumas limitações no que concerne à impossibilidade de incorporação de elementos desenvolvidos pelo utilizador, modelos simplificados para simulação de alguns carregamentos (como sejam os comportamentos à fadiga, cujas leis materiais são baseadas em curvas S-N muito simplificadas) e inexistência de modelos de dano.

9.1 Construção dos modelos para análise O fluxograma seguinte descreve a sequência de passos de uma análise no Abaqus®, em que os vários módulos disponíveis no ambiente gráfico devem ser utilizados sequencialmente desde o desenho dos componentes até à visualização dos resultados.

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